XIII PREDAVANJE

PRIMENA ODREDJENOG INTEGRALA

Primene odredjenog integrala zasnivaju se na definiciji. Odredjeni integral koristise za izracunavanje povrsina figura u ravni, duzinu lukova ravnih krivih, zapreminei povrsine tela.

PRIMER.

2

0

1dx = x20= 2

2

0

xdx =x2

2

20

= 1

GEOMETRIJSKI SMISAO ODREDJENOG INTEGRALA

I) Neka je y = f(x) pozitivna funkcija na [a, b]. Tada je

ba

f(x)dx = P (G),

gde je G = {(x, y)|a x b, 0 y f(x)} .

II) Ukoliko je f(x) < 0, x [a, b], tada je

P (G) =

ba

|f(x)|dx = ba

f(x)dx.

III) Ako je f(x) > 0 za x (c, d) i f(x) < 0 za x [a, c) (d, b], tada je

P (G) =

ba

|f(x)|dx = ca

f(x)dx+

dc

f(x)dx bd

f(x)dx.

1. IZRACUNAVANJE POVRSINA RAVNIH LIKOVA

PRIMER. Izracunati povrsinu ogranicenu lukom krive y = 4 x2 i xosom.PRIMER. Izracunati povrsinu oblasti ogranicene krivom y = lnx i pravama

x = 1/e, x = e i y = 0.1

2U slucaju kada je oblast u ravni omedjena dvema krivama, tj.

D = {(x, y)| a x b, y1(x) y y2(x)}Povrsina ove oblasti se izracunava kao

P (D) =

ba

(y2(x) y1(x))dx

PRIMER. Izracunati povrsinu oblasti ogranicene krivama y = x2 i y = 6 x iyosom.

PRIMER. Izracunati povrsinu oblasti ogranicene krivama y = 1/(1 + x2) iy = x2/2.

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2. IZRACUNAVANJE ZAPREMINE OBRTNIH TELA

Neka je y = f(x) neprekidna kriva definisana na intervalu [a, b]. Njenim obr-tanjem nastaje telo. U proizvoljnoj tacki x [a, b] poprecni presek tela sa ravni,koja je normalna na xosu, predstavlja krug sa poluprecnikom R = f(x). Njegovapovrsina je

P (x) = piR2 = pif2(x).

3Odatle sledi da je zapremina tela

V =

ba

P (x)dx = pi

ba

f2(x)dx

PRIMER. Naci zapreminu tela dobijenog rotacijom krive y = x2 oko xosenad intervalom [0, 1].

PRIMER. Naci zapreminu tela dobijenog rotacijom krive y = ex oko xosenad intervalom [0, 1].

PRIMER. Oblast ogranicena krivama y = x i y = x2 rotira oko prave y = 3.Izracunati zapreminu tako nastalog tela.

3. DUZINA LUKA KRIVE

Neka funkcija y = f(x) ima neprekidan prvi izvod na [a, b]. Tada element duzineluka krive moze da se izrazi kao

L (x)2 + (y)2

1 + (f (x))2x.

Odatle je duzina luka krive

L =

ba

1 + (f (x))2dx

PRIMER. Naci duzinu luka krive y = x2 od x = 0 do x = 5.

Ako je funkcija f zadata parametarski

x = (t), y = (t), t [, ],tada se duzina luka krive izracunava formulom

L =

(xt)2 + (yt)

2dt =

((t))2 + ((t))2dt

PRIMER. Naci duzinu luka krive y = lnx od x =3 do x =

7.

PRIMER. Naci duzinu dela kruznice x2+y2 = r2, y 0 od A(r, 0) do B(r, 0).(Uvesti parametarske jednacine kruznice: x = r cos t, y = r sin t, t [0, pi].)

PRIMER. Naci duzinu luka krive zadate parametarskim jednacinama

x = cos t+ t sin t

y = sin t t cos tod t = 0 do t = 5.