Upload
hoangphuc
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
projekt GML Brno Docens
DUM č. 13 v sadě
13. Ma-1 Příprava kmaturitě a PZ – algebra, logika, teorie množin, funkce,posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
Autor: Jarmila Šimečková
Datum: 05.06.2013
Ročník: maturitní ročníky
Anotace DUMu: Funkce - absolutní hodnota: definice, geometrický význam, vlastnosti, funkce sabsolutní hodnotou, grafy, rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami, sada úlohs výsledky
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škola školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
projekt GML Brno Docens Název DUMu: Ma-1 Příprava k maturit ě a PZ – algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravdepodobnost Autor: Jarmila Šimečková Datum: 20.12.2012 Ročník: maturitní seminář 4.A, 4.B, 8.AV, 6.AF, 6.BF Anotace DUMu: Funkce - absolutní hodnota: definice, geometrický význam, vlastnosti, funkce s absolutní hodnotou, grafy, rovnice a nerovnice s absolutními hodnotami, sada úloh s výsledky 13.Funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Absolutní hodnota reálného čísla a: a pro a 0 |a|
-a pro a 0
Geometrický význam absolutní hodnoty:
|x-s| r r r r-s s s+r Rovnice, nerovnice případně funkce s jednou absolutní hodnotou řešíme z definice absolutní hodnoty, s více absolutními hodnotami metodou nulových bodů.
Vlastnosti absolutních hodnot Pro každé reálné číslo a platí: 1. |a| 0, přičemž |a| = 0, právě když a= 0 2. |-a|= |a| 3. a) |a|= r,r 0 právě když a = r nebo a = -r b) |a| r, r 0, právě když -r r c) |a| r, r 0, právě když a r nebo a pro každá dvě reálná čísla a,b platí 1. |a±b| |a|+ |b| 2. |a±b| ||a|-|b|| |a|-|b| 3. |a-b| = |b-a| 4. |a b|= |a| |b|
5. b
a
b
a = pro b ≠ 0
Příklady: 1) (VŠE) Řešte rovnice v R:
131)
4321)
16243)
21)
03213)
132)
725)
231)
22
22
+−=+
=+−−++
=−+−−+
−=
=+−−
−++=
+−=−−+
−=−−
xxxh
xxxg
xxxf
xxe
xxd
xxxc
xxxxb
xxa
)
{ } { }0)8;2))3
3;1)
4;5
2)
2
1);2)3;-a):Řešení
hgřešenínemáfe
dcb
−
±±
−
−∞+∞
2) (VŠE) Řešte rovnice v Z:
11
1)
2332)
1159916)22
−=−
−−=−+
=−−−
xx
c
xxxxb
xxa
Řešení: { } { } { }2)1;0;1;2;3);-1;0....;-3;-2a) cb −−−
3) (VŠE) Řešte rovnice v daném intervalu:
(
))2;2472462)
1;3312312)
3;3647)
3;072632)
−=++−−+
−−−⋅=+−+
−−=−−+
+=−+−⋅
vxxxd
vxxxc
vxxxb
vxxxa
Řešení:
{ } { }
{ }1-)3
1;3)
1)1a)
dc
b
−
4) (VŠE) Řešte v R x R soustavy rovnic:
−=−=+−
=−=+−
573
21)
052
43)
yx
yxb
yx
yxa
Řešení:
[ ]
−
−−
5
7;
5
8,
2
1;
2
1)
3
2;
3
5,2;5)
b
a
5) (VŠE) V množině reálných čísel řešte nerovnice:
13
)
2
2
1
1)
31
1)
1)
12
22)
11)
342)
21)
63)
≤−
−≥
−
≥+
−≤
<−−
−>+−
<−≤
≥−+
≥−
x
xi
xxh
xg
xxfx
xe
xxd
xc
xxb
xa
)( )
)( ( ) ( )
) )
∞−∪−−
−∞−
+∞∪
+∞∞−∪
∞+∪−∞−∞+∪−∞−
2
3;)
3
4;11;0)1;
3
4)
2
1;)
;23
4;0);)7;62;1)
;2
3
2
1;);93;):
ihgf
edc
baŘešení
32
1log1)
43log2)
31log2)
2log)
12
11-xlog 0)
1log)
212
log)
23
1log)
11
23)
≤+<
<+<
≤−≤
>−
≤+
<
>−
≥−
≤−
−≤+−
xr
xq
xp
xo
n
xm
xl
xk
x
xj
)
( )
( ) ( )
( ) ( )) ( 1999;1921;2001)
10;1,01,0;10)1001;10199;999)
01,0;00;01,0)11;10
11
10
9;9)
;1010
1;0)
;20005
1;0)10;10)
4
1;
4
1): 75
∪−−
∪−−∪−−
∪−
∪
−
+∞∪
∞+∪− −
r
qp
on
m
lkjŘešení
6)(MZLU) V oboru R řešte nerovnice:
3- x 2)
23)
236)
213)
532)
312)
11)
12)
542)
233)
131)
12)
<−
−>−
+≤−
−≥+
+≤+
+>+
≥−+
≤+
<++
+≥+
+>−
+≥−
xl
xxk
xxj
xxi
xxh
xxg
xxf
xxe
xxd
xxc
xxb
xxa
( ) ( )
( )
) )
řešenínemálRkj
ih
g
Rfřešenínemáed
cba
Řešení
))4;1)
;2);4
3)
;23
2;)
))3
1;9)
;2
1
4
5;)0;)
2
1;)
:
∞+−∞+−
+∞∪
−∞−
−
∞+−∪−∞−
∞−∞−
7) (MZLU) Nakreslete graf funkce ( )xfy = a určete průsečíky s osami souřadnic
xyh
xyg
xyfx
xye
3log)
3)
1)
2)
=
−=
−=
=
xyl
xyk
xyj
xyi
sin2)
1cos)
sin3)
cos2)
=
−=
=
=
tgxyn
gxym
−=
=
)
cot)
2)
2cot)
xtgyp
xgyo
=
−=
xxyd
xyc
xyb
xya
+=
−=
−=
−=
)
2)
1)
4)
2
2
a)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
(0,4)
(2,0)(-2,0)
b)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
(0,1)
(1,0)(-1,0)
i)
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
(0,2)
(-4.71,0) (-1.57,0) (1.57,0) (4.71,0)
j)
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
(0,0)(-3.14,0)(-6.28,0) (3.14,0) (6.28,0)
(0,3)
k)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
(0,0)(-3.14,0)(-6.28,0) (3.14,0) (6.28,0)(0,-1)
l)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
(0,0)(-3.14,0)(-6.28,0) (3.14,0) (6.28,0)
(0,2)
m)
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
(3.14/2,0)(-3.14/2,0) (3.14,0)(-3.14,0)
n)
-6 -4 -2 2 4 6
-12
-10
-8
-6
-4
-2
xy
(3.14,0)(-3.14,0) (6.28,0)(-6.28,0) (0,0)
o)
-6 -4 -2 2 4 6
-12
-10
-8
-6
-4
-2
xy
(3.14,0)(-3.14,0) (6.28,0)(-6.28,0) (0,0)
p)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
5
10
x
y
(3.14,0)(-3.14,0) (6.28,0)(-6.28,0) (0,0)
8) (VŠE) Nakreslete graf funkce ( )xfy = v jejím definičním oboru
( )
1ln)
1ln)
1ln)1
2)
1
2)
1
2)
cossinsincos)
65)
65)
65)
65)
24)
sinsin
sin2)
11)
1
1)
46)
34222)
42)
)
2
2
2
2
2
2
2
+=
+=
+=−+
=
+=
++
=
⋅+⋅=
++=
++=
+−=
+−=
−−=
+=
+−−=
−=
++=
−+⋅−−−=
−−⋅−=
+=
xys
xyr
xyqx
xyp
x
xyo
x
xyn
xxxxym
xxyl
xxyk
xxyj
xxyi
xyh
xx
xyg
xxyf
xye
xxyd
xxxyc
xxxyb
x
xxya
Řešení: a)
y=(abs(x)+x)/x
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
b)
y=x^2-x*abs(x-2)-4
Posloupnost 1
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
x
y
(0.5,-9/2)
(0,-4)
c)
y=2-abs(2-x)-2*abs(x+4)-3x
Posloupnost 1
-15 -10 -5 5 10
-20
-15
-10
-5
5
x
y
(-4,8)
(2,-16)
(0,-8)
d)
y=x^2+6*abs(x)+4
Posloupnost 1
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40
20
40
60
x
y
(0,4)
e)
y=1/(abs(x)-1)
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
x
y
(0,-1)
f)
y=abs(x-1)-abs(x+1)
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
x
y
(-1,2)
(1,-2)
g)
y=((2sin(x))^2)/(sin(x)+abs(sin(x)))
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
x
y
-4π
-3π
-2π -π 0 π 2π
3π
h)
y=abs(abs(x-4)-2)
-2 2 4 6 8
-2
2
4
6
8
x
y
(0,2)
(2,0) (6,0)
i)
y=abs(x^2-5x+6)
f(x)=(x^2-5x+6)
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1
2
3
4
x
y
(2,0) (3,0)(2.5,-0.25)
j)
y=x^2-5abs(x)+6
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
2
4
6
8
x
y
(-2.5,-0.25) (2.5,-0.25)
(0,6)
k)
y=abs(x^2+5x+6)
f(x)=x^2+5x+6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
(-2.5,-0.25)
(0,6)
l)
y=x^2+5abs(x)+6
f(x)=x^2+5(x)+6
f(x)=x^2-5(x)+6
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
6
8
10
12
x
y
(-2.5,-0.25)
(0,6)
(2.5,-0.25)
m)
y=abs(cos(x))*sin(x)+abs(sin(x))*cos(x)
-1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
(3.14/4,1)
(3.14+3.14/4,-1)
(3.14/2,0) (3.14,0)
n)
y=(abs(x+2))/(x+1)
-8 -6 -4 -2 2 4 6
-5
5
x
y
(-2,0)
(0,2)
o)
y=(2abs(x))/(1+abs(x))
-6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
p)
y=(abs(x-2))/(x-1)
-6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
(0,-2)
(2,0)
q)
y=abs(ln(x+1))
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
x
y
r)
y=ln(abs(x+1))
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1
-3
-2
-1
1
x
y
s)
y=abs(ln(abs(x+1)))
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1
1
2
3
x
y
Literatura: