Due esempi di simmetria

Giugno 2002

1 Le simmetrie del triangolo equilatero

1.1 Il triangolo equilatero e una figura dotata di simmetria. Cosa significaquesta affermazione? In cosa consiste la sua simmetria?

1.2 Consideriamo un triangolo equilatero in un piano. Nella figura 1 sonodisegnati gli assi di simmetria del triangolo, che sono le rette r, s, t, ed ilcentro di simmetria, che e il punto B. La proprieta del triangolo equilaterodi avere 3 assi di simmetria ed 1 centro di simmetria non e comune a tuttele figure del piano.

Quanti assi di simmetria e quanti centri di simmetria possiedonoun triangolo isoscele, un triangolo scaleno, un quadrato, unrettangolo, un cerchio, una retta del piano?

1.3 Cosa significa che la retta r e un asse di simmetria del triangolo equi-latero della figura 1? Possiamo rispondere dicendo che per ogni punto P deltriangolo, se indichiamo con P ′ il punto del piano simmetrico a P rispettoalla retta r (1), allora P ′ appartiene al triangolo.In modo equivalente, possiamo interpretare la legge che ad ogni punto P delpiano associa il suo simmetrico P ′ rispetto a r come un movimento rigidodel piano in se, ossia un movimento che conserva le distanze. Chiamiamoquesto movimento rigido la riflessione rispetto alla retta r, ed r il suo asse.La riflessione rispetto ad una retta determina il suo asse, e viceversa.Concludiamo allora che gli assi di simmetria – del triangolo equilatero, ed ingenerale di ogni figura del piano – sono gli assi delle riflessioni che mandanoin se la figura data.

1cio significa chese P appartiene a r allora P ′ = P , mentre se P non appartiene a rallora il segmento PP ′ e ortogonale a r ed interseca r nel suo punto medio.

1

r

st

B

Figura 1: Assi e centro di simmetria di un triangolo equilatero

1.4 In modo analogo ci possiamo chiedere cosa significhi che il punto B e uncentro di simmetria del triangolo equilatero. Una risposta puo essere che larotazione del piano di centro B dell’angolo di 2π/3 radianti (120◦) in senso(per esempio) orario manda in se il triangolo. Anche una rotazione di unpiano rispetto ad un suo punto e un movimento rigido, poiche conserva ledistanze tra i punti.Possiamo in conclusione definire simmetrie del triangolo equilatero tutti imovimenti rigidi — riflessioni e rotazioni — che lo mandano in se (2).

1.5 Realizziamo ora concretamente le simmetrie del triangolo equilatero.Ritagliamo i due triangoli della parte superiore della figura 2, incolliamolilungo la faccia bianca in modo da formare un’unico triangolo equilatero dicarta, i cui 3 vertici di entrambe le faccie sono colorati di nero, verde giallo.Appoggiamo il triangolo di carta sul triangolo disegnato nella parte inferioredella figura 2. Possiamo farlo in piu modi. Se applichiamo una simmetria altriangolo appoggiato, otteniamo un nuovo modo di appoggiare il triangolo.Le simmetrie del triangolo equilatero trasformano il modo di appoggiare iltriangolo di carta sul triangolo disegnato.

1.6 Quante sono le simmetrie del triangolo equilatero? Tante quanti i modipossibili di appoggiare il triangolo di carta sul triangolo disegnato. Questimodi sono determinati dalla posizione dei tre vertici.Nella parte superiore della figura 3 ritagliamo i tre dischi nero, verde e giallo.

2Si puo dimostrare che ogni movimento rigido che manda in se un triangolo equilateroe una rorazione oppure una riflessione.

2

Ogni posizione del triangolo di carta appoggiato corrisponde ad un mododi sovrapporre i 3 dischi colorati ai 3 dischi disegnati. In tutto vi sono 6modi, quindi 6 simmetrie. Diciamo che il triangolo equilatero possiede unasimmetria di ordine 6.

1.7 Una delle 6 simmetrie del triangolo equilatero lascia inalterato il mododi appoggiarlo. Essa corrisponde al movimento rigido che lascia fermi tuttii punti. Chiamiamo questa simmetria identita.

1.8 Due simmetrie date ne generano una terza. Infatti se applichiamo altriangolo appoggiato nell’ordine la prima e poi la seconda, otteniamo unaterza simmetria, che chiamiamo la composizione delle prime due.Questo fatto fa sı che l’insieme delle simmetrie abbia un suo ordine interno,che chiamiamo struttura.

1.9 E un fatto caratteristico della struttura delle simmetrie del triangoloequilatero che due di esse, opportunamente scelte, possano generare permezzo di ripetute composizioni tutte le altre.Consideriamo, per esempio, le due seguenti:

(1) la riflessione rispetto alla retta r;(2) la rotazione di 120◦ in verso orario.

Nella figura 3 esse sono rispettivamente rappresentate da freccie blu e rosse.Disponiamo i 3 dischi colorati sui tre dischi disegnati della parte superioredella figura 3. Muovendoli con le due simmetrie scelte, possiamo in modoconcreto vedere come tutte le altre simmetrie vengano generate, secondo loschema illustrato nella parte inferiore.

Completare la parte inferiore della figura 3 colorando di nero,verde, giallo i 5 gruppi di 3 dischi, seguendo le freccie rosse e blu.

1.10 Chiamiamo la parte inferiore della figura 3 il grafo della simmetria deltriangolo equilatero — relativo alla scelta delle simmetrie (1) e (2).Esso da una rappresentazione visibile della struttura delle sue simmetrie. Peresempio, permette di vedere che se al triangolo equilatero di carta appoggiato(oppure ai tre dischi colorati) applichiamo nell’ordine

(1) la riflessione rispetto alla retta r(2) la rotazione di 120◦ in verso orario(1) la riflessione rispetto alla retta r(2) la rotazione di 120◦ in verso orario

ritorniamo alla posizione che aveva prima dei quattro movimenti.

Vi sono altre sequenze delle due simmetrie (1) e (2) che faccianoritornare il triangolo appoggiato alla posizione iniziale?

3

1.11 Utilizzare il grafo per rispondere a queste domande:

Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che diala riflessione rispetto all’asse s. Ve ne e una sola o piu d’una?

Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che diala riflessione rispetto all’asse t. Ve ne e una sola o piu d’una?

Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che diala la rotazione di 120◦ in verso antiorario. Ve ne e una sola o piud’una?

1.12 Il grafo della simmetria dipende dalla scelta delle simmetrie con cui epossibile generare per composizione tutte le altre. Consideriamo la seguente:

(3) la riflessione rispetto alla retta t.

Allora e possibile ottenere tutte le 6 simmetrie del triangolo equilatero anchecomponento opportunamente le simmetrie (1) e (3).

1.12 Per concludere, possiamo definire la simmetria del triangolo equilaterocome l’insieme delle sue simmetrie, definite in 1.4 a loro volta a partire dagliassi e dal centro di simmetria. Abbiamo cosı dato una risposta alla domandafatta in 1.1, e visto che la simmetria possiede una struttura.

1.13 Il disegno in figura 2 ha una simmetria di ordine 6 la cui struttura ediversa da quella della simmetria del triangolo equilatero. Infatti, e possibile

Quante simmetrie possiede il disegno in figura 2 ? e stabilire

4

Figura 2: Determinare il grafo della simmetria del disegno

2 Le simmetrie del tetraedro regolare

2.1 Analizziamo ora un caso di simmetria tridimensionale. Il tetraedro e ilsolido regolare delimitato da 4 triangoli equilateri aventi il lato della stessalunghezza. Esso e uno dei 5 solidi regolari citati da Platone nel Timeo.Possiamo pensarlo come una generalizzazione tridimensionale del triangoloequilatero. Vogliamo studiare le sue simmetrie.

2.2 Analogamente a quanto visto in 1.4, le simmetrie del tetraedro sonoi movimenti rigidi dello spazio che lo mandano in se. Questi movimentirigidi sono rotazioni attorno a rette, dette assi di simmetria, passanti per ilbaricentro B del tetraedro (3).

2.3 Ritagliare ed incollare lo sviluppo della figura 4, ottenendo un tetraedrocolorato. Utilizzarlo per rispondere alle seguenti domande.

3Infatti, ciascuno di questi movimenti rigidi dovra mandare B, che e equidistante dai4 vertici, in un punto che verifica la stessa proprieta, quindi necessariamente in B stesso.Immaginiamo una palla che abbia B come centro. Ogni movimento rigido dovra mandarlain se. Possiamo allora convincerci che ogni movimento rigido deve essere una rotazioneattorno ad una retta passante per B. Escludiamo le riflessioni perche vogliamo movimentiche si possano realizzare su oggetti “fisici” dello spazio senza distruggerli.

5

r

B

Figura 3: Ritagliare ed incollare il triangolo superiore ed appoggiarlo in varimodi su quello inferiore.

6

Figura 4: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore.Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi della parte inferiore.

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Figura 5: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore.Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi e disegnare le freccie rosse e blumancanti.

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Quanti assi di simmetria possiede un tetraedro? Classificarli daun punto di vista geometrico in due tipi.Quali sono gli angoli delle rotazioni attorno agli assi che mandanoin se il tetraedro?Quante sono le simmetrie del tetraedro, inclusa l’identita?

2.4 Indichiamo con

• r l’asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle faccierossa, verde, gialla;

• t l’asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso-blu edello spigolo verde-giallo.

Consideriamo le seguenti simmetrie(1) la rotazioni di 120◦ attorno a r (4);(2) la rotazioni di 180◦ attorno a t.

Nella figura 5 le rotazioni (1) sono indicate da freccie rosse, mentre lerotazioni (2) sono date da freccie blu.

Utilizzare il tetraedro colorato, appoggiato sul triangolo del-la parte superiore della figura 5, per completare il grafo dellesimmetrie del tetraedro della parte inferiore:colorare gli 11 tetraedri;disegnare le 3 coppie di freccie blu mancanti.

2.5 Per il tetraedro si possono formulare domande analoghe a quelle di 1.10e 1.11, che studiano la struttura della sua simmetria.

Determinare alcune sequenze delle due simmetrie (1) e (2) chefacciano ritornare il tetraedro appoggiato alla posizione iniziale.

Indichiamo con

• r′ l’asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle faccieblu, verde, gialla, orientato da B verso il vertice;

• t′ l’asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso-verdee dello spigolo blu-giallo.

4Se orientiamo r da B verso il vertice comune alle faccie rossa, verde, gialla, la rotazionesi intende che avvenga nel verso opposto a quello dato dall’avanzamento di una vite.

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Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che diala rotazione rispetto all’asse r′ di 120◦.Ve ne e una sola o piu d’una?

Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e (2) che diala rotazione di 180◦ rispetto all’asse t′.Ve ne e una sola o piu d’una?

Riferimenti bibliografici

[1] M. Dedo, Forme, simmetria e topologia, Zanichelli-Decibel,Padova, 1999.

[2] H. Weyl, La simmetria, Feltrinelli, Milano, 1969

[3] G. E. Martin, Transformation geometry, UTM, Springer, NewYork, 1982.

[4] I. Grossman, W. Magnus I gruppi ed i loro grafi, Zanichelli,Bologna, 1969.

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TETRAEDRO

Figura 6: Lo sviluppo del tetraedro. Ritagliare ed incollare

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Movimenti:

Appoggiare quiil tetraedro

Figura 7: Il grafo delle simmetrie del tetraedro. Colorare, aiutandosi con ilmodello della parte superiore. Disegnare le freccie blu mancanti.

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