Dualidade

UDM - Operational Research

Docente: R. Fazenda 1

O que é dualidade em Programação Linear?O que é dualidade em Programação Linear?

Dualidade significa a existência de um outro problema de PL, associado a cada problema de PL.

Esse outro problema designa-se por1problema dual (D).

Nesta relação com o problema dual o problema original designa-se por

problema primal (P).

Dualidade significa a existência de um outro problema de PL, associado a cada problema de PL.

Esse outro problema designa-se por1problema dual (D).

Nesta relação com o problema dual o problema original designa-se por

problema primal (P).

Capítulo 5: Dualidade.5.1. Definição do problema dual.

Os problemas primal (P) e dual (D) são conhecidos por par de problemas duais (P)-(D)Os problemas primal (P) e dual (D) são conhecidos por par de problemas duais (P)-(D)

O par de problemas duais (P) – (D).

– (P)-(D) são suportados pelo mesmo sistema de parâmetros;– a resolução de um deles constitui a resolução simultânea

do outro;– a solução de um, está completamente determinada pela

solução do outro.

O par de problemas duais (P)- (D) não é mais do que um par de representações matemáticas do mesmo problema real.



uma restrição uma restrição

uma variáveluma variável

matriz A matriz A A

uma variáveluma variável

uma restriçãouma restrição

matriz A transpostamatriz A transpostaA transposta

1ª1ª

2ª2ª

3ª3ª

um coeficiente da f.oum coeficiente da f.o um termo independenteum termo independente4ª4ª

um termo independenteum termo independente um coeficiente da f.o.um coeficiente da f.o.5ª5ª

Relações entre o par de problemas duais.

um problemaum problema o outro problemao outro problema

um problema de maximização com restrições de desigualdade

do tipo (≤)


do tipo (≤)

um problema de minimizaçãocom restrições de desigualdade

do tipo (≥)


do tipo (≥)


do tipo (≥)


do tipo (≥)


do tipo (≤)


do tipo (≤)

6ª6ª

7ª7ª

Relações entre o par de problemas duais.

um problemaum problema o outro problemao outro problema



Par de Problemas Duais na forma canónica.

ProblemaProblema PrimalPrimal

Maximizar

sujeito a

i=1,...,M, j=1,...,N

∑=

≤N

jijij bxa

1∑

=

≤N

jijij bxa

1

∑=

=N

jjj xcz

1∑

==

N

jjj xcz

1

0≥jx 0≥jx

ProblemaProblema DualDual

∑=

=M

iii ybw

1∑

=

=M

iii ybw

1

∑=

≥M

ijiij cya

1∑

=

≥M

ijiij cya

1

0≥iy 0≥iy

sujeito a

Minimizar

i=1,...,M, j=1,...,N

O dual do problema dual é o problema primal.

A relação entre os dois problemas é recíproca.

Se um dos problemasindistintamente foi designado

primal, então o outro é designado

dual.

Definição do Problema Dual.



(D): (D): w = b1y1+b2y2+…+bmym

y1≥≥00y2≥≥00

.

.

.

ym≥≥00

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n

.

.

.

am1 am2 … amn

≤≤ b1≤≤ b2

.

.

.

≤≤ bm

c1 c2 … cn

xx11≥≥0 0 xx22≥≥0 0 …. xxnn≥≥00

MaxMax zz

(P): (P): ai1x1+ai2x2+…ainxn ≤ bi

Problema dualProblema dual

Problema Problema primalprimal

(P): (P): z =c1x1+c2x2+…cnxn

Min wMin w

≥≥ ≥≥ ≥≥

(D): (D): a1jy1+a2jy2+…amjym≥≥ cj

ccjj-- coeficientes da f.o do (P)(P)

ccjj-- termos independentes

do (D)(D)

bbii -- coeficientes da f.o. do (D)(D)

bbii -- termosindependentes

do (P)(P)

Diagrama de Tucker para os problemas (P)-(D).

(D)(D)--w = 4 y1 + 12y2+ 18 y3

y1≥≥00y2≥≥00y3≥≥00

1 0 0 23 2

≤≤ 4≤≤ 12 ≤≤ 18

3 5

xx11≥≥0 0 xx22≥≥0 0

MaxMax zz

(P)(P)-- 1ª rest.: : x1 ≤ 4

Problema dualProblema dual

Problema Problema primalprimal

(P): (P): z =3x1+5x2

Min wMin w

≥≥ ≥≥(D)(D)--1ª rest.: : y1 + 3 y3 ≥≥ 3

(D)(D) -2ª rest.:: 2 y2+ 2 y3 ≥≥ 5

(D)(D)-- 3 3 variáveis:yy1 1 , , yy22, , yy33

(P)(P)-- 2ª rest.: : 2x2 ≤ 12

(P)(P)-- 3ª rest.: : 3x1+ 2x1 ≤ 18

(P)(P)-- 2 2 variáveis:xx1 1 , , xx22

Diagrama de Tucker para o Exemplo Protótipo.



Maximizar z= 3 x1 + 5 x2

sujeito a

x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18

x1, x2 ≥0

Minimizar w= 4y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a

y1 + 3 y3 ≥ 32y2 +2 y3 ≥ 5

y1, y2, y3 ≥ 0

Exemplo Protótipo: Par de Problemas Duais

ProblemaProblema PrimalPrimal Problema DualProblema Dual

Como determinar a solução do problema dual para o exemplo protótipo?

Como determinar a solução do problema dual para o exemplo protótipo?

A solução para o problema dual do exemplo protótipo foi já determinada e pode ser encontrada no quadro óptimo do problema primal na linha dos

zj correspondentes às variáveis de folgas x3, x4, x5 ,

onde inicialmente se encontrava a base inicial.

A solução para o problema dual do exemplo protótipo foi já determinada e pode ser encontrada no quadro óptimo do problema primal na linha dos

zj correspondentes às variáveis de folgas x3, x4, x5 ,

onde inicialmente se encontrava a base inicial.

Solução do problema dual. Exemplo protótipo.



3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj

XXBBCCBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55

zzj j

ccjj --zzjj

bb

366

0 0 1

0 1 01 0 0

01213-

13-

13

13

x3

x2x1

62

250

3

-1

Quadro óptimo do problema primal

a solução óptima para o problema

dual é:yy1 1 = 0 , = 0 ,

yy2 2 = 3/2,= 3/2,yy3 3 =1=1

colunas correspondentes à

inversa da base associada à

solução óptima

Solução do problema dual. Exemplo protótipo.

as variáveis de folga do dual têm valor simétrico ao valor dos custos

reduzidos correspondentes às colunas das variáveis de decisão

yy4 4 = 0 , = 0 , yy5 5 = 0= 0

Considere um problema de maximização contendo restrições de desigualdade do tipo (≥).

Se uma restrição de desigualdade for do tipo oposto ao da respectiva forma canónica, então a correspondente variável

dual é não positiva.

Se uma restrição de desigualdade for do tipo oposto ao da respectiva forma canónica, então a correspondente variável

dual é não positiva.

Prova:

∑ ≤j

ijji bxa11

0≥jx

pi ,...,2,11 =

Nj ,.........2,1=∑ ≥

jijji bxa22

Mppi ,...,2,12 ++=

∑=

=N

jjj xcz

1

maximizar

sujeito a:

∑ −≤−j

ijji bxa22

Mppi ,...,2,12 ++=

As restrições de desigualdades do tipo (≥) podem ser sempre convertidas em restrições do tipo (≤) multiplicando por (-1) ambos os membros.

Caso 1: Uma restrição de desigualdade do tipo oposto...



0'22

≤−=i

yyi

Designando por yyi1 i1 e yy’’i2i2

as variáveis duais correspondentes às restrições de desigualdade tem-se o problema dual:

♦

minimizar

sujeito a:

∑∑ −=i

iii

iyi ybbw '2211

∑ ∑ ≥−i i

jijiiji cyaya '2211

pi ,...,2,11 = Mppi ,...,2,12 ++=

Nj ,.........2,1=

0, '21

≥i

yyi

minimizar

sujeito a: ∑ ∑ ≥+i i

jijiiji cyaya2211

01

≥iy pi ,...,2,11 =

Mppi ,...,2,12 ++=

∑∑ +=i

iii

iyi ybbw2211

02

≤iy

Nj ,.........2,1=

a cada restrição de desigualdade do tipo oposto corresponde

uma variável dual não positiva

Caso 1: Uma restrição de desigualdade do tipo oposto...

Minimizar

sujeito a

∑ ∑ ≥+i i

jijiiji cyaya2211

01

≥iy pi ,...,2,11 =

Mppi ,...,2,12 ++=

∑∑ +=i

iii

iyi ybbw2211

02

≤iyNj ,.........2,1=

Maximizar

sujeito a

∑=

=N

jjj xcz

1

∑ ≤j

ijji bxa11

0≥jx

pi ,...,2,11 =

Nj ,.........2,1=

∑ ≥j

ijji bxa22

Mppi ,...,2,12 ++=

Caso 1: Uma restrição de desigualdade do tipo oposto.

Problema Primal Problema DualProblema Dual



Maximizar w= 5y1 + 18 y2 + 12 y3+ 22 y4

sujeito a

y1 + 2 y3 + 4 y4 ≤ 5y2 + y3 + y4 ≤ 1

y1 + 2y2 + y4 ≤ 3

y1, y2, y3 ≥ 0, y4 ≤ 0

Caso 1: Exemplo.

Minimizar z= 5 x1 + x2 + 3 x3

sujeito a

x1 + x3 ≥ 5x2 + 2 x3 ≥ 18

2 x1 + x2 ≥ 124 x1 + x2 + x3 ≤ 22

x1, x2, x3 ≥ 0

Como esta restrição é de tipo oposto corresponde-lhe uma variável dual não positiva

Problema Primal Problema Dual

Pode ser demonstrado a partir do facto de que qualquer

restrição de igualdade pode ser convertida em duas

restrições de desigualdade de um mesmo tipo.

Provar!!!

Se uma restrição for de igualdade,então a correspondente variável dual é livre.

Se uma restrição for de igualdade,então a correspondente variável dual é livre.

Caso 2: Uma restrição de igualdade.

♦



Maximizar

sujeito a

∑=

=N

jjj xcz

1

∑ ≤j

ijji bxa11

0≥jx

pi ,...,2,11 =

Nj ,.........2,1=

Mppi ,...,2,12 ++=∑ =j

ijji bxa22

Minimizar

sujeito a

∑ ∑ ≥+i i

jijiiji cyaya2211

01

≥iy pi ,...,2,11 =

Mppi ,...,2,12 ++=

∑∑ +=i

iii

iyi ybbw2211

Nj ,.........2,1=

livresyi2

Caso 2: Uma restrição de igualdade.

Problema Primal Problema Dual

uma restrição iuma restrição ii

≤≤≤

uma variável iuma variável i

≥ 0≥≥ 00

≥≥≥ ≤ 0≤≤ 00

=== livrelivrelivre

Relações primal-dual.Problema Problema Primal Primal

MaximizaçãoMaximizaçãoProblema dualProblema dual

MinimizaçãoMinimização

uma variável juma variável jj≥ 0≥≥ 00

uma restrição juma restrição j≥≥≥

≤ 0≤≤ 00 ≤≤≤

livrelivrelivre===

Restrição de tipo oposto




uma restrição iuma restrição ii

≥≥≥

uma variável iuma variável i

≥ 0≥≥ 00

≤≤≤ ≤ 0≤≤ 00

=== livrelivrelivre

Relações primal-dual.Problema Problema PrimalPrimal..

MinimizaçãoMinimizaçãoProblema dual.Problema dual.

MaximizaçãoMaximização

uma variável juma variável jj

≥ 0≥≥ 00

uma restrição juma restrição j

≤≤≤

≤ 0≤≤ 00 ≥≥≥

livrelivrelivre ===



Maximizar z= 5 x1 + 12 x2 +4 x3

x1 + 2 x2 + x3 ≤ 102 x1 - x2 + 3 x3 == 8

x1 , x2 , x3 ≥0

sujeito a:Primal : 2 restrições,

3 variáveis⇔ Dual : 2 variáveis,

3 restrições

Primal : 2 restrições,3 variáveis

⇔ Dual : 2 variáveis,3 restrições

Primal : x1 , x2 , x3 ≥ 0⇔ Dual : 3 restrições de tipo ≥

Primal : xx1 1 ,, xx2 2 , x, x3 3 ≥ 0⇔ Dual : 3 restrições de tipo ≥≥

Primal : restrição nº 1 tipo ≤⇔ Dual : y1 ≥ 0

Primal : restrição nº 1 tipo ≤≤⇔ Dual : yy1 1 ≥ 0

Minimizar w= 10 y1 + 8 y2

, yy2 2 livre

sujeito a:

y1 +3 y2 ≥≥ 4

y1 + 2y2 ≥≥ 5 2 y1 - y2 ≥≥ 12

yy1 1 ≥0

Formulação do Problema Dual. Exemplo 1.

Primal : restrição nº 2 tipo = ⇔ Dual : y2 livre

Primal : restrição nº 2 tipo = = ⇔ Dual : yy22 livre

Primal

Dual

restrições duais:

variáveis duais:



Maximizar w= -20 y1 + 8y2+ 100 y3

x1 - x2 + 5 x3 + x5 ≥ 8

Minimizar z= x1 + 6 x2 -7 x3+ x4 - 5 x5-5 x1 + 4 x2 - 13 x3 + 2 x4 - 5 x5 == - 20

2 x1 - x3 + x4 ≤≤ 100 x1 , x2 ≥0 , x3 livre, x4 ≥0, x5 ≤ 0

sujeito a:





, yy22 ≥0

sujeito a:

-13 y1 +5 y2 - y3 == -7

-5 y1 + y2 + 2 y3 ≤ 1 4 y1 - y2 ≤ 6

2 y1 + y3 ≤ 1 -5 y1 + y2 ≥≥ - 5

(P) : x1 , x2 , x4 ≥0⇔ (D) :rest. 1, 2, 4 tipo≤

(P) : xx1 1 ,, xx2 2 , x, x44 ≥0⇔ (D) :rest. 1, 2, 4 tipo≤

(P) : x3 livre⇔ (D) :rest. 3 tipo =

(P) : x3 livre⇔ (D) :rest. 3 tipo ==

(P) : x5 ≤0⇔ (D) :rest. 5 tipo ≥

(P) : xx5 5 ≤0⇔ (D) :rest. 5 tipo ≥≥

(P) : :rest. 1 tipo =⇔ (D) : y1 livre

(P) : :rest. 1 tipo ==⇔ (D) : yy11 livre

(P) : :rest. 2 tipo ≥⇔ (D) : y2 ≥0

(P) : :rest. 2 tipo ≥≥⇔ (D) : yy22 ≥0

(P) : :rest. 3 tipo ≤⇔ (D) : y3 ≤ 0

(P) : :rest. 3 tipo ≤≤⇔ (D) : yy33 ≤ 0 yy1 1 livre , yy33 ≤ 0

Formulação do problema dual. Exemplo 2.Primal

Dual

restrições duais:

variáveis duais:

Minimizar w= 5 y1 + 3y2+ 8 y3

- x1 + 5 x2 ≥ 3

Maximizar z= 5x1 + 6 x2

x1 + 2 x2 == 5

4 x1 + 7 x2 ≤≤ 8 x1 livre , x2 ≥0

sujeito a:





, yy22 ≤ 0

sujeito a: y1 - y2 + 4 y3 = 5 2 y1 +5 y2 + 7 y3 ≥ 6

(P) : x2 ≥0⇔ (D) :rest. 2 tipo ≥

(P) : xx22 ≥0⇔ (D) :rest. 2 tipo ≥≥

(P) : x1 livre⇔ (D) :rest 1 tipo =

(P) : x1 livre⇔ (D) :rest 1 tipo ==

(P) : :rest. 1 tipo =⇔ (D) : y1 livre

(P) : :rest. 1 tipo ==⇔ (D) : yy11 livre

(P) : :rest. 2 tipo ≥⇔ (D) : y2 ≤ 0

(P) : :rest. 2 tipo ≥≥⇔ (D) : yy22 ≤ 0

(P) : :rest. 3 tipo ≤⇔ (D) : y3 ≥0

(P) : :rest. 3 tipo ≤≤⇔ (D) : yy33 ≥0 yy1 1 livre , yy33 ≥0

Formulação do problema dual. Exemplo 3.Primal

Dual

restrições duais:

variáveis duais:



Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≤0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥0≥Y

Pares de Problemas Duais. Notação Matricial.Forma Canónica.

Minimizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≥0≥X

Maximizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≤0≥Y



Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX =0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥livreY

Pares de Problemas Duais. Notação Matricial.Forma Padrão.

Minimizar

sujeito a

Xcz t=

bAX =0≥X

Maximizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≤livreY





O estudo da dualidade em Programação Linear

considera um problema (o qual é geralmente

designado por problema dual) distinto daquele

que se pretende resolver (problema primal),

mas cuja abordagem permite obter algumas

conclusões directamente relacionadas com o

problema original (problema primal),

nomeadamente referente às condições de

optimalidade.

O estudo da dualidade em Programação Linear

considera um problema (o qual é geralmente

designado por problema dual) distinto daquele

que se pretende resolver (problema primal),

mas cuja abordagem permite obter algumas

conclusões directamente relacionadas com o

problema original (problema primal),

nomeadamente referente às condições de

optimalidade.

Definição do Problema Dual. Conclusões.

Capítulo 5: Dualidade.5.2. Propriedades.

– Propriedades Fundamentais. – Propriedade dos Desvios Complementares.

(complementaridade das slacks)



Formas Canónica e Padrão de Dualidade.

Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≤0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥0≥Y


Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX =0≥X

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥livreY


Prova:

Considere o anterior par de problemas duais (P)-(D) na forma canónica.Se X é admissível para (P) e Y é admissível para (D) então:

z z = = cct t XX ≤≤ bbtt Y Y = w= w,i.e., o valor da função objectivo de qualquer solução admissível do problema primal, não excede o valor da função objectivo do problema dual.

wYbAXYYAXXcz ttttt =≤=≤=

bAX ≤0≥Y

wYbbYAXY ttt ==≤

cYAt ≥0≥X zXccXYAX tttt ==≥

((aa))

((bb))de b e aa

como X e Y são soluções admissíveis para os respectivos problemas primal-dual então:

multiplicação de matrizes e vectores.wYbXcz tt =≤=♦

Teorema 5.1 ( fraco de dualidade)

multiplicando por Yt

ambos membros

multiplicando por Xt

ambos membros

X é SBAPY é SBAD

Y é SBADX é SBAP



Prova:pelo teorema 5.1 qualquer

solução admissível X do primal

por hipótese

de (a) e (b)de (a) e (b)

X* é a solução óptima do primal

♦

Se X* é admissível para (P) e Y* é admissível para (D) e os

valores óptimos das respectivas funções objectivo coincidem, i.e.,

z z = = cct t XX == bbtt YY** = w= w** , então X* é a solução óptima do primal e

Y* é a solução óptima do dual

*YbXc tt ≤

** YbXc tt =

*XcXc tt ≤De igual forma, pode ser demonstrado que Y* é a solução óptima do dual

De igual forma, pode ser demonstrado que Y* é a solução óptima do dual

Corolário 5.1. (corolário do teorema fraco de dualidade)

((aa))

((bb))

ProvaProva::Considere o problema primal de maximização na forma padrão e seja A a matriz das restrições:

X*é solução óptima do primal

Se o primal tem solução óptima (i.e. tem óptimo finito) então o respectivo dual também tem e os correspondentes valores óptimos z* e w* coincidem.

=

=

−

0*

1

*

* bBX

XX

N

B

njPBcczc jtBjjj ,...2,1,01 =∀≤−=− −

Teorema 5.2:(relações entre as soluções óptimas primal e dual).

Faça-se Y* = ( y1 , y2 , ..., ym )

njjj PYc ,...,2,1* ,0 =∀≤− cYAt ≥*

Y* é uma SBA do problema dual

é a solução óptima para o problema dual1* −= BcY tB

♦

***** 1* wYbbYbBcXcXcz ttBB

tB

t ====== − t

Minimizar w= ytbs. a

AtY ≥ cY livres

pelo critério de optimalidade para a solução primal, todos os custos

reduzidos são não negativos



Prova : 1º.

1º. Um problema de PL tem óptimo finito se e só existirem soluçõesadmissíveis para os problemas primal-dual.

2º. Se algum dos problemas não tem óptimo finito, então o outro não possui soluções admissíveis, i.e., é impossível.

se X é admissível para (P)

♦

wYbXcz tt =≤=

wYbXcz tt =≤= **

se Y' é admissível para (D)

pelo Teoremafraco de dualidade

a solução óptima X* também verifica:

w é finito z* é finito

o primal tem óptimo finito o dual tem óptimo finito

o valor da f. o. z = ctX

o valor da f.o. w= btY

Teorema Fundamental da Dualidade.

pelo Teorema 5.2

analogamente é possível demonstrar que se o dual não tem óptimo finito, então o primal não tem soluções admissíveis.

Prova 2ºProva 2º::

suponha que o primal não tem óptimo finito (i.e. z → ∞);

♦

suponha ao contrário que o dual tem soluções admissíveis;

seja Y uma solução dual admissível (SBAD) :

pelo Teorema fraco de dualidade wYbXcz tt =≤= é limitada !!!

absurdo !!! (por hipóteses z → ∞)

o dual não tem soluções admissíveis

Teorema Fundamental da Dualidade.

2º. Se algum dos problemas não tem óptimo finito, então o outro não possui soluções admissíveis, i.e., é impossível.



Teorema Fundamental da Dualidade. Conclusões.

•Segundo o Teorema fundamental da dualidade pode concluir-se que para os problemas primal-dual, verifica-se uma e só uma das seguintes situações:

– ambos têm soluções óptimas X* e Y* e os valores óptimos das respectivas funções objectivo coincidem: z* = w*

– se um problema não tem óptimo finito, então o outro é impossível.

– ambos os problemas são impossíveis.

Ambos os Problemas são Impossíveis. Exemplo.

Maximizar z= x1 + x2sujeito a

- x1 + x2 = 4x1 - x2 = 4

x1 , x2 , ≥ 0

PrimalPrimalMinimizar w = 4 y1 + 4 y2sujeito a

- y1 + y2 ≥ 1y1 - y2 ≥ 1

y1 , y2, livres

DualDual



Problema dual: Forma Canónica e Forma Padrão.Forma canónicaForma canónica

Maximizar z= ctXs. a

A X ≤ bX ≥ 0

reduzir à forma padrão

Se uma solução é admissível para o problema dual na forma padrão com variáveis duais livres, é admissível para o problema dual do

problema original na forma canónica, i.e., verificam-se as restrições de não negatividade para as variáveis duais.

Se uma solução é admissível para o problema dual na forma padrão com variáveis duais livres, é admissível para o problema dual do

problema original na forma canónica, i.e., verificam-se as restrições de não negatividade para as variáveis duais.


A X + I Xs = bX, Xs ≥ 0


AtY ≥ cIY≥ 0

Y livres

Fica redundante, pode ser eliminada, e

obtém-se a forma canónica do problema

dual


AtY ≥ cY≥ 0

Forma padrãoForma padrão

Dual

Primal

Dual

PrimalA matriz das

restrições pode ser decomposta como:

[A, I], Xs é o vector das variáveis

de folga

Formulando o Problema Dual a partir da Forma Padrão.Exemplo Protótipo.

Maximixar z= 3x1 + 5x2sujeito a

x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3 x1 + 2x2 ≤ 18

x1 , x2 ≥ 0

Minimizar w= 4y1 + 12 y2 + 18 y3sujeito a

y1 + 3 y3 ≥ 32y2 + 2 y3 ≥ 5

y1 ≥ 0 y2 ≥ 0

y3 ≥ 0y1 , y2, , y3 – livres


y1 + 3 y3 ≥ 32y2 + 2 y3 ≥ 5

y1 , y2, , y3 ≥ 0

Maximixar z= 3x1 + 5x2sujeito a

x1 + x3 = 42x2 + x4 = 12

3 x1+ 2x2 + x5 = 18

x1 , x2 ,x3 , ,x4 ,x5 ≥ 0

Forma canónicaForma canónica

reduzir à forma padrão

Ficam redundantes, podem ser eliminadas, e obtém-se a forma canónica do problema dual

Forma padrãoForma padrão

Dual

Primal

Dual

Primal



Variáveis de Decisão Duais e Quadro Primal Óptimo.

Relação 1:Relação 1: Os valores das variáveis de decisão da solução óptima dual encontram-se no quadro simplex óptimo na linha zzj j nas colunas correspondentes à base inicial de identidade Bde identidade BO O = I.= I.

A matriz das restrições para o problema na forma padrão pode ser decomposta como: [[NNO O BBOO] = [ ] = [ AA I I ] , ] , BBO O = I .= I .

Quadro simplex óptimo

Y= (y1 , y2 ,..., ym ) = CBB-1

BB-1-1NNOO BB-1-1bbXXBB

CCBB BB-1-1bbCCB B BB-1-1NNOO

CCNNOO -C-CB B BB-1-1NNOO

BB-1-1II

CCB B BB-1-1

CCJ J -C-CB B BB-1-1

XXNNOO XXBBOO

zzjj

ccj j -z-zj j

CCBB

bb

valor da f.o.z*=w*variáveis de

decisão duais

DualDualPrimalPrimal

m variáveis de decisão duais que correspondem

às m restrições primais


A X ≤ bX ≥ 0


A X + I Xs = bX, Xs ≥ 0


AtY ≥ cIY≥ 0

Y livres


AtY ≥ cY≥ 0

BB-1-1NNOO BB-1-1bbXXBB

CCBB BB-1-1bbCCB B BB-1-1NNOO

CCNNOO -C-CB B BB-1-1NNOO

BB-1-1II

CCB B BB-1-1

CCJ J -C-CB B BB-1-1

XXNNOO XXBBOO

zzjj

ccj j -z-zj j

CCBB

bb

variáveis dedecisão duais

variáveis defolgas duais

Variáveis de Folga Duais e Quadro Primal Óptimo.

Relação 2:Relação 2: Os valores das variáveis de folga correspondentes à solução óptima dual encontram-se no quadro simplex óptimo e são os simétricos dos elementos da linha dos custos reduzidos nas colunas correspondentes às variáveis de decisão primais.

Quadrosimplexóptimo

Às n variáveis de folga duais correspondem às n variáveis de decisão primais: Ys =( ym+1 , ym+2 ,..., ym+n )

AtY ≥ csubstituindo por Y=CBB-1

At CBB-1 - I Ys = c

-Ys = c - At CBB-1 = c - CBB-1 A

-Ys = CNº – CBB-1 N0-Ys = CNº – CBB-1 N0

⇒⇒

⇒⇒

At Y - I Ys = c⇒⇒

( por hipótese as colunas de NNO O correspondem às colunas da matriz A )

⇒⇒



3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzj j

ccjj --zzjj

bb

366

0 0 1

0 1 01 0 0

01213-

13-

13

13

x3

x2x1

62

250

3

-1

a solução óptima para o problema dual

é:yy1 1 = 0 , = 0 ,

yy2 2 = 3/2,= 3/2,yy3 3 =1=1

as variáveis de folga do dual são simétricas aos

custos reduzidos correspondentes às

colunas das variáveis de decisão primais

yy4 4 = 0 , = 0 , yy5 5 = 0= 0

Quadro Óptimo do Exemplo Protótipo. Solução dual.

Relação 3:Relação 3: A cada solução básica primal (SBP), admissível ou não admissível, corresponde-lhe uma solução básica dual (SBD), admissível ou não admissível, a que chamamos solução complementar.

O facto de não ser um quadro óptimo para o primal, significa que a solução do dual não é

admissível.

Solução Complementar.

0 5 0 0

3 0 0 0

52

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

52-

0 5 0 0

3 0 0 0

5252

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

0 5 0

cj


zzj j

ccjj --zzj j

bbcj


zzj j

ccjj --zzj j

bbcj


zzj j

ccjj --zzj j

bbbb

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 0

300

0 1 0 12 0

46 6

x3x2x5

3 5 0 0 03 5 0 0 0

300

0 1 0 12 00 1 0 12 0

52- 52- 52-

X =( 0,6,4,0,6) SBAP ⇔solução complementar Y = ( 0,5/2, 0, -3, 0) - SBNAD

Variáveis de decisão duais:y1 = 0 ,

y2 = 5/2,y3 =0

as variáveis de folga duais y4 = -3 , y5 = 0

Exemplo protótipo: 2º Quadro Simplex (a solução não é óptima)



Se todos os custos reduzidos são não positivos, i.e., cj-zj ≤0 verifica-se o critério de optimalidade para a solução primal

Relação 4: Se num quadro simplex correspondente a uma solução básica primal (SBP) ,admissível ou não admissível, todos os custos reduzidos são não positivos então a solução dual complementar é admissível (SBAD) .

Relação 4:Relação 4: Se num quadro simplex correspondente a uma solução básica primal (SBP) ,admissível ou não admissível, todos os custos reduzidos são não positivos então a solução dual complementar é admissível (SBAD) .

YY é uma SBAD. (solução básica admissível para o dual)

ccj j -- CCB B BB--1 1 PPjj ≤≤ 0 0 ∀j , j =1,2,...,n, n+1,...,n+m

ccjj --YYttPPjj ≤≤ 0 0 ∀j , j =1,2,...,n, n+1,...,n+m

YYttPPjj ≥≥ ccjj ∀j , j =1,2,...,n, n+1,...,n+m

YYttAA ≥≥ cc

YYtt=C=CB B BB--11

Solução Dual Complementar. Critério de Admissibilidade.

( neste caso por hipótese A A refere-se à matriz de restrições correspondente ao problema na forma padrão, já que são incluídas todas as colunas do quadro simplex)

AAttYY ≥≥ cc

Relação 5: Se ambos os problemas têm soluções admissíveis (ambos são possíveis) então ambos têm óptimo finito e os correspondentes valores óptimos z* e w*coincidem

Relação 5:Relação 5: Se ambos os problemas têm soluções admissíveis (ambos são possíveis) então ambos têm óptimo finito e os correspondentes valores óptimos z* e w*coincidem

Relação 6: Se algum dos problemas não tem óptimo finito,então o outro não possui soluções admissíveis (é impossível).Relação 6:Relação 6: Se algum dos problemas não tem óptimo finito,então o outro não possui soluções admissíveis (é impossível).

Relação entre as Soluções dos Problemas Primal–Dual.

Nenhum dos dois problemas têm soluções

admissíveis

w*→ ∞o problema dual não tem

óptimo finito

ImpossívelK=∅

z*→ ∞o problema primal não

tem óptimo finito

z*=w*ambos os problemas têm

óptimo finito

PossívelK≠∅

ImpossívelK=∅

PossívelK≠∅

PRIMAL

DUAL



Resolução do Problema Dual. Exemplo protótipo.


y1 + 3 y3 ≥ 32y2 + 2 y3 ≥ 5

y1 , y2 , y3 ≥ 0


y1 + 3 y3 - y4 = 32y2 + 2 y3 - y5 = 5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0


y1 + 3 y3 - y4 = 32y2 + 2 y3 - y5 + y6 = 5

y1 , y2, , y3 , y4 , y5 , y6 ≥ 0y6 - variável artificial

Redução à forma padrão: subtraiam-se duas variáveis de folga y4 , y5

Como não é possível determinar uma matriz identidade introduz-se

uma variável artificial y6 na restrição nº 2 (para a equação nº1 a variável y1 pode ser tomada como

variável básica inicial).

P1 P6

1 00 1

B0 =P1 P2 P3 P4 P5 P61 0 3 -1 0 00 2 2 0 –1 1

A =

A SBA inicial para a 2ª fase é

Y0=(3,5/2,0,0,0)

A SBA inicial para a 2ª fase é

Y0=(3,5/2,0,0,0)

1 0 3 -1 0 00 2 2 0 -1 1

35

y1y6

0 1

0 0 0 0 0 1

550 2 2 0 -1 10 2 2 0 -1 0

0 0

y1y2

1 0 3 -1 0 0 30 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

cj yy11 yy22 yy3 3 yy4 4 yy5 5 yy66YYBBCCBB

zzj j zzjj --ccjj

bb

zzj j zzjj --ccjj

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

00

Minimizar w'= y6sujeito a

y1 + 3 y3 - y4 = 32y2 + 2 y3 - y5 + y6 = 5

y1, y2,, y3, y4, y5, y6 ≥ 0

y6- variável artificial

Exemplo protótipo.Resolução do Problema Dual.Método das duas fases: 1ª Fase.

Para aplicação da 1ª fase constrói-se o problema auxiliar:



A solução óptima é Y*=(0,3/2,1,0,0)

A solução óptima é Y*=(0,3/2,1,0,0)

y1y2

412

4 12 18 0 0 0

42424 12 24 -4 -6 60 0 6 -4 -6 6

18 12

y3y2

1 0 3 -1 0 0 30 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

zzjjzzjj --ccjj

bbcj

YYBBCCBByy11 yy2 2 yy33 yy4 4 yy55 yy66

zzj j zzjj --ccjj

2 12 18 -2 -6 6

-2 0 0 -2 -6

3636


y1 + 3 y3 - y4 = 32y2 + 2 y3 - y5 + y6 = 5

y1, y2,, y3, y4, y5, y6 ≥ 0

y6- variável artificial

1/3 0 1 -1/3 0 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 1/2 3/2

Exemplo protótipo.Resolução do Problema Dual.Método das duas fases: 2ª Fase.

y3y2

1812

4 12 18 0 0 0

zzjjzzj j -c-cjj

bbcjYYBBCCBB

yy11 yy2 2 yy33 yy4 4 yy5 5 yy66

-2-2 0 0 -662 12 18 -2 -6 36

1/3 0 1 - 0 11/3 0-1/3 1 0 1/3 1/2 1/2 3/2

y3y2

1812

4 12 18 0 0 0

zzjjzzj j -c-cjj

bbbbcjYYBBCCBB

yy11 yy2 2 yy33 yy4 4 yy5 5 yy66

-2-2 0 0 -6-2-2 0 0 -6-2 0 0 -662 12 18 -2 -6 3662 12 18 -2 -6 36

1/3 0 1 - 0 11/3 01/3 0 1 - 0 11/3 0 1 - 0 11/3 0-1/3 1 0 1/3 1/2 1/2 3/2-1/3 1 0 1/3 1/2 1/2 3/2

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

366

0 0 1

0 1 01 0 0

01213-

13-

13

13

x3

x2x1

6

2

2 5 0

3

-1

a solução óptima para o dual é:

y1 = 0 , y2 = 3/2, y3 =1

as variáveis de folga do dual y4 = 0 , y5 = 0

a solução óptima para o primal, x1 = 2 , x2 = 6,encontram-se na linha zj nas colunas correspondentes à

matriz inicial identidade, i.e.,nas colunas correspondentes a y1 e à variável artificial y6

as variáveis de folga do primal são

simétricas aos custos reduzidos das colunas

correspondentes às variáveis de decisão

duais:x3 = 2 , x4 = 0, x5 = 0

Par de Problemas Primal-Dual. Quadros Óptimos.

Primal: X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal:: X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,0 2,0,0 ) ) Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 ))z*= w*=36zz**= = ww**=36=36



SBAP X0 = (0,0,4,12,18), zº=0 SBAP X0 = (0,0,4,12,18), zº=0 SBNAD Y0 = (0,0,0,-3,-5), wº=0SBNAD Y0 = (0,0,0,-3,-5), wº=0

SBAP X1 = (0,6,4, 0, 6), z1=30SBAP X1 = (0,6,4, 0, 6), z1=30 SBNAD Y1 =(0,5/2,0,-3,0), w1=30SBNAD Y1 =(0,5/2,0,-3,0), w1=30

Primal: X* = (2,6,2,0,0) PrimalPrimal:: X* = X* = ((2,6,2,6,22,0,0) ,0,0) Dual: Y* = (0,3/2,1,0,0) Dual:Dual: Y* = Y* = ((0,3/2,10,3/2,1,0,0) ,0,0)

SBAP X2 = (2,6,2, 0, 0), z2=36SBAP X2 = (2,6,2, 0, 0), z2=36 SBAD Y2= (0,3/2,1, 0,0), w2=36SBAD Y2= (0,3/2,1, 0,0), w2=36

z*=w*=36z*=w*=36

Soluções complementares

Exemplo Protótipo: Soluções complementares

então uma restrição i do problema primal pode ser representada como:

Restrições do Problema Primal em Notação Vectorial.

AX =

PP1→ a11 a12 … a1nPP2→ a21 a22 … a2n....PPii →→ aaii11 aaii22 … … aainin

PPm→ am1 am2 … amn

x1x2...xJ

xn

≤≤

b1b2...bi

bm

Pi X ≤ biPi X ≤≤ bi

i =1,2,...,m

Considere a matriz A A do problema primal representada por m linhas PPii::



então uma restrição j do problema dual pode ser representada como:

Yt Pj ≥ cjYYtt PPjj ≥≥ ccjj

Restrições do Problema Dual em Notação Vectorial.

AAttYY = = YYttAA== yy1 1 yy2 2 ... ... yyii … … yymm

≥≥

P1 … PPj j … Pna11 … aa11jj … a1na21 … aa22jj … a2n...am1 … aamjmj … amn

c1c2...cj

cn

t

j =1,2,...,n

Considere a matriz A A do problema primal representada por n

colunas PPjj::

se Pi X = bi para o problema primal.

se YtPj = cj para o problema dual

Uma restrição encontra-se saturadase verifica a igualdade.

Uma restrição encontra-se saturadase verifica a igualdade.

Caso contrário a restrição encontra-se não saturada

Caso contrário a restrição encontra-se não saturada

Restrições Saturadas e Não Saturadas.

se Pi X < bi para o problema primal.

se YtPj > cj para o problema dual



Teorema 5.4:Propriedade dos Desvios Complementares.

•Se X* e Y* são soluções óptimas para o primal (P) e dual(D), respectivamente, então verificam a seguinte propriedade designada como propriedade dos desvios complementares ou complementaridade das slacks:

••1º. 1º. Se uma variável de decisão de qualquer dos problemas for nãonula na solução óptima, então, no outro problema a restriçãoassociada a essa variável encontra-se saturada,i.e., a variável defolga correspondente é nula.

2º. 2º. Se uma restrição de qualquer dos problemas não se encontra

• saturada na solução óptima desse problema (se uma variável de

• folga é positiva) então, no outro problema, a variável de decisão

• associada a essa restrição é nula.

Em síntese a propriedade dos desvios complementares pode resumir-se pela seguintes expressões:

é nulo o produto da j-ésima variável de decisão do primal pela j-ésimavariável de folga do dual

I.I.

é nulo o produto da i-ésima variável de decisão do dual pela i-ésima variável de folga do primal.

1,...n,0)( ** =∀=− jcPYxjj

tj

1,...,n,0*jm

* =∀=×+

jyxj

1,...m,0)( ** =∀=− iXPbyiii

1,...,m,0*in

* =∀=×+

ixyj

II.II.

Propriedade dos Desvios...



a variável de folga do problema dual associada a essa restrição é nula

a restrição do problema dual associada a essa variável encontra-se saturada

pela propriedade de desvios complementares

0* >jx 0* =+ jmy

jmjmjj cyayaya =+++ **22

*11 ...

0* =− jjt cPY

jjt cPY =*

0* >jx

0* =+ jmy

1,...,n,0)( ** =∀=− jcPYx jjt

j

Propriedade dos desvios...

• I. Se a variável de decisão do primal é positiva entãoa variável de folga correspondente do dual é nula.

•• I.I. Se a variável de decisão do primal é positiva entãoa variável de folga correspondente do dual é nula.

a restrição do problema dual associada encontra-se não saturada


1,...,n,0)( ** =∀=− jcPYx jjt

j

0* =jx

jmjmjj cyayaya >+++ **22

*11 ...

0* >+ jmy

jjt cPY >*

0* >− jjt cPY

0* >+ jmy

0* =jx


II. Se a variável de folga do dual é positiva então a variável de decisão correspondente do primal é nula.

II.II. Se a variável de folga do dual é positiva então a variável de decisão correspondente do primal é nula.



0* >iy 0* =+imx

0* >+imx 0* =iy


III. Se a variável de decisão do dual é positiva então a variável de folga correspondente do primal é nula.

III.III. Se a variável de decisão do dual é positiva então a variável de folga correspondente do primal é nula.

IV. Se a variável de folga do primal é positiva então a variável de decisão correspondente do dual é nula.

IV.IV. Se a variável de folga do primal é positiva então a variável de decisão correspondente do dual é nula.

Propriedade dos Desvios Complementares.Conclusões.

– A variáveis de decisão primais positivas correspondem restrições duais saturadas (i.e.,variáveis de folga duais nulas, slacks nulas);

– A restrições duais não saturadas (i.e,variáveis de folga duais positivas, slacks positivas) correspondem variáveis de decisão primais nulas;

•e reciprocamente:

– A variáveis de decisão duais positivas correspondem restrições primais saturadas (i.e, variáveis de folga primais nulas, slacks nulas);

– A restrições primais não saturadas (i.e, variáveis de folga primais positivas, slack positivo) correspondem variáveis de decisão duais nulas



variáveis de decisãovariáveis de decisão

x1= 2xx11= = 22 y4= 0yy44= = 00

x2= 6xx22= = 66 y5= 0yy55= = 00

x3= 2xx33= = 22 y1= 0yy11= = 00

Primal: X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal: : X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,0 2,0,0 ) ) Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )Dual: Dual: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 ))

variáveis de folgavariáveis de folga

variáveis de folgavariáveis de folga variáveis de decisãovariáveis de decisão

x4= 0xx44= = 00 y2= 3/2yy22= = 3/23/2

x5= 0xx55= = 00 y3= 1yy33= = 11

os produtos das variáveis de decisão do primal

pelas correspondentes variáveis de folga do

dual são nulos

os produtos das variáveis de decisão do primal

pelas correspondentes variáveis de folga do

dual são nulos

os produtos das variáveis de decisão do dual pelas

correspondentes variáveis de folga do

primal são nulos


correspondentes variáveis de folga do

primal são nulos

Propriedade dos Desvios Complementares.Exemplo Protótipo.

Aplicando Dualidade e as Propriedades de Desvíos Complementares para resolver o Problema Primal.

Minimizar z= 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 +3x5sujeito a

x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3x5 ≥ 42 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 + x5 ≥ 3

x1 , x2 ,, x3 ,, x4 ,, x5 ≥ 0

Maximizar w = 4 y1 + 3 y2sujeito a

y1 + 2 y2 ≤ 2y1 - 2 y2 ≤ 3

2 y1 + 3 y2 ≤ 5y1 + y2 ≤ 2

3 y1 + y2 ≤ 3y1 , y2, ≥ 0

Primal Primal de de MinimizaçãoMinimização

Dual de MaximizaçãoDual de Maximização

Como o problema dual é um problema com duas variáveis pode ser resolvido graficamente.

A solução óptima para o dual é:

Y*= ( 4/5, 3/5 ) com um valor óptimo de 5



substituindo

por y1 e y2

Utilizando o dual e as

propriedades....

1º: Pela propriedade dos desvios complementares se a variável de decisão dodual é positiva então a variável de folga correspondente do primal é nula.

1º:1º: Pela propriedade dos desvios complementares se a variável de decisão dodual é positiva então a variável de folga correspondente do primal é nula.

2º: Calcular as variáveis de folga duais, substituindo os valores de y1 = 4/5,y2 = 3/5 nas restrições duais.

2º:2º: Calcular as variáveis de folga duais, substituindo os valores de yy1 1 = = 4/5,yy2 2 = = 3/5 nas restrições duais.

y3 = = 2 - y1 - 2 y2 ⇒⇒ y3 = = 2 - 4/5 - 6/5 ⇒⇒ y3 = = 0

X* = X* = (( xx11, , xx2 2 , , xx3 3 , , xx4 4 , , xx5 5 ,, xx6 6 , , xx77 ) )

variáveis de decisão variáveis de folga

Y* = Y* = (( yy11, , yy22 , , yy3 3 , , yy4 4 , , yy5 5 ,, yy6 6 , , yy77 ) )


prop.desvios

complementares⇒⇒ xx11 ≥≥ 0substituindo

por y1 e y2y4 = = 3 - y1 + 2 y2 ⇒⇒ y4 = = 3 - 4/5 + 6/5 ⇒⇒ y4 =1=13/5 xx22 = = 0

substituindo

por y1 e y2

y5= = 5 - 2 y1 - 3 y2 ⇒⇒ y5 = = 5 - 8/5 - 9/5 ⇒⇒ y5 = 8= 8/5 xx33 = = 0substituindo

por y1 e y2y6 = = 2 - y1 - y2 ⇒⇒ y6 = = 2 - 4/5 - 3/5 ⇒⇒ y6 = 3= 3/5 xx44 = = 0

Y*= ( 4/5 , 3/5 ) é a solução óptima do problema dual obtida graficamente

prop.desvios

complementares⇒⇒yy1 1 = = 4/5 xx6 6 = = 0 prop.desvios

complementares⇒⇒yy2 2 = = 3/5 xx77= = 0

substituindo

por y1 e y2y7 = = 3 - 3 y1 - y2 ⇒⇒ y7 = = 3 - 12/5 - 3/5 ⇒⇒ y7 = = 0 xx55 ≥≥ 0

prop.desvios

complementares⇒⇒prop.desvios



complementares⇒⇒

Utilizando o dual e as propriedades....

A solução primal óptima é X* = X* = (( 1 , 0 , 0 ,1 , 0 , 0 , 0 ,0 , 1 , 1 , 00 , , 00 ) )

3º: Calcular x1 ≥ 0 , x5 ≥ 0 substituindo x2= x3 = x4 = 0 nas restrições primais3º:3º: Calcular x1 ≥ 0 , x5 ≥ 0 substituindo x2= x3 = x4 = 0 nas restrições primais

x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3x5 - x6 = 4substituindo por

xx22== xx3 3 == xx4 4 == xx66== 0⇒⇒ x1 + 3 x5 = = 4

X* =X* = (( xx11, , xx2 2 , , xx3 3 , , xx4 4 , , xx5 5 ,, xx6 6 , , xx77 ) )


Y* =Y* = (( yy11, , yy22 , , yy3 3 , , yy4 4 , , yy5 5 ,, yy6 6 , , yy77 ) )


2x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 + x5 – x7 = 3substituindo por

xx22== xx3 3 == xx4 4 == xx66== 0⇒⇒ 2 x1 + x5 = = 3xx11 = = 1 xx55 = 1= 1⇒⇒

A solução dual óptima é Y* = Y* = (( 4/5 , , 3/5 , 0 , 1, 0 , 13/5 , 8, 8/5 , 3, 3/5 , 0 , 0 ))

Os produtos das variáveis de decisão primais(duais) com as correspondentes variáveis de

folga duais (primais) são nulos

Minimizar z= 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 +3x5sujeito a

x1 + x2 + 2 x3 + x4 + 3x5 ≥ 42 x1 - 2 x2 + 3 x3 + x4 + x5 ≥ 3

x1 , x2 ,, x3 ,, x4 ,, x5 ≥ 0



SBAPSBAPSBAPPrimalPrimal ::

No caso de óptimo finito o algoritmo Primal aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAP, a que

corresponde uma SBNAD, prosseguindo de SBAP (SBNAD) em SBAP (SBNAD) até obter um par de soluções admissíveis do primal e do dual (SBAP e SBAD) que são as soluções óptimas

para os respectivos problemas

No caso de óptimo finito o algoritmo Primal aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAP, a que

corresponde uma SBNAD, prosseguindo de SBAP (SBNAD) em SBAP (SBNAD) até obter um par de soluções admissíveis do primal e do dual (SBAP e SBAD) que são as soluções óptimas

para os respectivos problemas

Caso 1: Óptimo finito

SBAPSBAPSBAP SBAPSBAPSBAP

SBNADSBNADSBNAD SBNADSBNADSBNAD SBADSBADSBADDual:Dual:

……

……

X*X*-- solução óptima

para o primal

z*= z*= ww* * finitofinitoY*Y*-- solução óptima

para o dual

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Primal aplicado ao Problema Primal

SBAP X0 = ( 0,0,4,12,18 ), zº=0SBAPSBAP XX00 = = (( 0,0,0,0,4,12,184,12,18 ), ), zzº=0º=0 SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 ) , wº=0SBNADSBNAD YY00 = = (( 0,0,0,0,00,,--3,3,--5 5 ) ,) , wwº=0º=0

SBAP X1 = ( 0,6,4, 0, 6) , z1=30SBAPSBAP XX11 = = (( 0,6,0,6,4, 0, 64, 0, 6) ,) , zz11=30=30 SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 ) , w1=30SBNADSBNAD YY11 = = (( 0,5/2,0,5/2,00,,--3,0 3,0 ) ,) , ww11=30=30

Primal: X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal:: X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,0 2,0,0 ) ) Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 ))

SBAP X2 = ( 2,6,2, 0, 0) , z2=36SBAPSBAP XX22 = = (( 2,6,2,6,2, 0, 02, 0, 0) ,) , zz22=36=36 SBAD Y2= ( 0,3/2,1, 0,0 ) , w2=36SBADSBAD YY22= = (( 0,3/2,0,3/2,11, 0,0 , 0,0 ) ,) , ww22=36=36

z*= w*=36zz**= = ww**=36=36

Soluções complementares

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Primal aplicado ao Problema Primal.

Caso 1: Óptimo finito. Exemplo Protótipo: Problema Primal

Soluções óptimas:



SBAPSBAPSBAPPrimalPrimal ::

No caso de óptimo não finito o algoritmo Primal aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAP, a que

corresponde uma SBNAD, prosseguindo de SBAP (SBNAD) em SBAP (SBNAD) sem nunca obter uma SBAD, e concluir que o

primal não tem óptimo finito,sendo então o dual impossível.

No caso de óptimo não finito o algoritmo Primal aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAP, a que

corresponde uma SBNAD, prosseguindo de SBAP (SBNAD) em SBAP (SBNAD) sem nunca obter uma SBAD, e concluir que o

primal não tem óptimo finito,sendo então o dual impossível.

SBAPSBAPSBAP

SBNADSBNADSBNAD SBNADSBNADSBNADDual:Dual:

……

……

Óptimo não finito para o primal

K=K=∅∅ para o dual, i.e. o dual é

impossível

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Primal aplicado ao Problema Primal

Caso 2: Óptimo não finito.

SBNAPSBNAPSBNAPPrimalPrimal :: SBNAPSBNAPSBNAP SBAPSBAPSBAP

SBADSBADSBAD SBADSBADSBAD SBADSBADSBADDual:Dual:

……

……Y*Y*-- solução óptima para o

dualz*= z*= ww* * finitofinitoX*X*-- solução óptima para o

primal

No caso de óptimo finito o algoritmo Primal aplicado ao problema dual consiste em partir de uma SBAD, à que corresponde uma SBNAP, prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) até obter um par de soluções admissíveis do primal e do dual (SBAP e SBAD) que são

soluções óptimas para os respectivos problemas

No caso de óptimo finito o algoritmo Primal aplicado ao problema dual consiste em partir de uma SBAD, à que corresponde uma SBNAP, prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) até obter um par de soluções admissíveis do primal e do dual (SBAP e SBAD) que são

soluções óptimas para os respectivos problemas

O dual do problema dual é o problema primalO dual do problema dual é o problema primal

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Primal aplicado ao Problema Dual.

Caso 1: Óptimo finito.



SBAD Y0 = ( 3,5/2,0,0,0 ) , wº=42SBADSBAD YY00 = = (( 3,5/23,5/2,0,0,0,0 ,0,0 ) ,) , wwº=42º=42 SBNAP X0 = ( 4,6,0, 0,-6 ) , zº=42SBNAPSBNAP XX00 = = (( 4,6,4,6,0, 0,0, 0,--6 6 ) ,) , zzº=42º=42

SBAD Y1 =( 0,3/2,1, 0, 0) , w1=36SBADSBAD YY1 1 ==(( 0,3/2,0,3/2,11, 0, 0, 0, 0) ,) , ww11=36=36 SBAP X1 = ( 2,6, 2, 0, 0 ) , z1=36SBAPSBAP XX11 = = (( 2,6, 2,6, 2, 0, 0 2, 0, 0 ) ,) , zz11=36=36

Dual: Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )DualDual:: Y* = Y* = (( 0,3/2,10,3/2,1,0,0 ,0,0 )) Primal : X* = ( 2,6,2,0,0 ) PrimalPrimal :: X* = X* = (( 2,6,2,6,2,0,02,0,0 ) ) w*= z*=36ww**= = zz**=36=36

Soluções complementaresSoluções complementares


Caso 1: Óptimo finito. Exemplo Protótipo: Problema Dual.

Soluções óptimasSoluções óptimas

SBADSBADSBAD

PrimalPrimal::

SBADSBADSBAD

SBNAPSBNAPSBNAP SBNAPSBNAPSBNAP

Dual:Dual: ……

……

Óptimo não finito para o dual

K=0 K=0 para o primal, i.e. o primal

é impossível

No caso de óptimo não finito o algoritmo Primal aplicado ao problema dual consiste em partir de uma SBAD, a que corresponde uma SBNAP, prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) sem nunca obter uma SBAP, e concluir que o dual não tem óptimo

finito, sendo então o primal impossível.

No caso de óptimo não finito o algoritmo Primal aplicado ao problema dual consiste em partir de uma SBAD, a que corresponde uma SBNAP, prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) sem nunca obter uma SBAP, e concluir que o dual não tem óptimo

finito, sendo então o primal impossível.


Caso 2: Óptimo não finito.



SBNAPSBNAP SBADSBADSBAD

SBAPSBAPSBAP SBNADSBNAD

Primal Primal (maximização)(maximização)

DualDual((minimizaçãominimização))

z, w

z*=w*

supersuper--óptimaóptima subsub--óptimaóptima

subsub--óptimaóptima supersuper--óptima óptima

óptimaóptimaPercurso do

algoritmo Primalaplicado ao

problema primal

Percurso do algoritmo Primal

aplicado ao problema dual

X*XX** YY**

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Primal. Representação gráfica

Em que consiste o algoritmo dual Simplex?Em que consiste o algoritmo dual Simplex?

O algoritmo dual Simplex tem um comportamento homólogo ao

algoritmo primal do simplexaplicado ao problema dual

O algoritmo dual Simplex tem um comportamento homólogo ao

algoritmo primal do simplexaplicado ao problema dual

Algoritmo Dual Simplex.

O algoritmo dual Simplex consiste em partir duma solução básica admissível dual (SBAD), a que corresponde uma solução básica não admissível primal(SBNAP),prosseguindo até:

1º: se atingir uma soluçaõ básica admissívelprimal (SBAP) e concluir que o problema temóptimo finito.

2º: nunca se atingir uma solução básica admissívelprimal, e concluir que o problema dual não temóptimo finito, sendo então o primal impossível.

O algoritmo dual Simplex consiste em partir duma solução básica admissível dual (SBAD), (SBAD), a que corresponde uma solução básica não admissível primal((SBNAP),SBNAP),prosseguindo até:

1º1º: se atingir uma soluçaõ básica admissívelprimal (SBAP) e concluir que o problema temóptimo finito.

2º2º: nunca se atingir uma solução básica admissívelprimal, e concluir que o problema dual não temóptimo finito, sendo então o primal impossível..



SBNAPSBNAPSBNAPPrimalPrimal :: SBNAPSBNAPSBNAP SBAPSBAPSBAP

SBADSBADSBAD SBADSBADSBAD SBADSBADSBADDual:Dual:

……

……

X*X*-- solução óptima para o

primal

z*= z*= ww* * finitofinitoY*Y*-- solução

óptima para o dual

No caso de óptimo finito o algoritmo Dual aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAD, à que

corresponde uma SBNAP,prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) até obter um par de soluções admissíveis do

primal e do dual (SBAP e SBAD) que são soluções óptimas para os respectivos problemas.

No caso de óptimo finito o algoritmo Dual aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAD, à que

corresponde uma SBNAP,prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) até obter um par de soluções admissíveis do

primal e do dual (SBAP e SBAD) que são soluções óptimas para os respectivos problemas.

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Dual aplicado ao Problema Primal.

Caso 1: Óptimo finito.

SBADSBADSBAD

PrimalPrimal ::

SBADSBADSBAD

SBNAPSBNAPSBNAP SBNAPSBNAPSBNAP

Dual:Dual: ……

…… KK vaziovazio para o primal, i.e. o primal

é impossível

Óptimo não finito para o dual

No caso de problema impossível o algoritmo Dual aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAD, a que

corresponde uma SBNAP, prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) sem nunca atingir uma SBAP, e concluir que o dual

não tem óptimo finito,sendo então o primal impossível.

No caso de problema impossível o algoritmo Dual aplicado ao problema primal consiste em partir de uma SBAD, a que

corresponde uma SBNAP, prosseguindo de SBAD (SBNAP) em SBAD (SBNAP) sem nunca atingir uma SBAP, e concluir que o dual

não tem óptimo finito,sendo então o primal impossível.

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Dual aplicado ao Problema Primal.

Caso 2: Problema impossível.



SBNAPSBNAP SBADSBAD

SBAPSBAP SBNADSBNADSBNAD

PrimalPrimal(maximização)(maximização)

Dual(minimização)

z, w

z*=w*

supersuper--óptimaóptima subsub--óptimaóptima


óptimaóptimaPercurso do

algoritmo dual aplicado ao

problema dual

Percurso do algoritmo dual

aplicado ao problema primal

X*XX** YY**

Percurso do par de soluções primais-duais.Algoritmo Dual. Representação Gráfica.

Enquanto o algoritmo primal mantém a admissibilidade da solução primal,o algoritmo dual, mantém a admissibilidade da solução dual.

Enquanto o algoritmo primal mantém a admissibilidade da solução primal,o algoritmo dual, mantém a admissibilidade da solução dual.

Move-se de uma solução primal

super-óptima, mas não admissível até

atingir uma solução primal admissível

Move-se de uma solução dual super-

óptima, mas não admissível até

atingir uma solução dual admissível

A solução básica primal é

admissível?

Construir o quadro simplex correspondente a uma SBAD

complementar (todos os custos reduzidos não positivos)

FIM !!!FIM !!!a solução é óptima a solução é óptima

Mover-se para umaSBAD "melhor"

SimSim

NãoNão

Algoritmo Dual Simplex. Fluxograma Geral.



NãoNão

SimSim

Construir quadro correspondente a Construir quadro correspondente a uma uma SBAD complementarSBAD complementar

INÍCIOINÍCIOForma Padrão

A solução básica primalé admissível ?

FIMFIMa solução é óptima !!!

Calcular nova SBP.Actualizar quadro Calcular nova SBP.Actualizar quadro correspondente à nova correspondente à nova SBAD SBAD complementar.complementar.

Determinar a variável básica Determinar a variável básica negativa que sai danegativa que sai da SBNAPSBNAP

Óptimo não finito para o

dual ?

FIMFIMo primal é

impossível !!!

Determinar a variável não Determinar a variável não básica que entra para a básica que entra para a

SBNAPSBNAP

SimSim

Não

critério de admissibilidade para o dual:∀ j : cj-zj≤ 0

critério de admissibilidadepara o primal:

xi ≥ 0 , ∀ xi ∈ XB

critério de óptimo não finito para o dual

∀ j: xs j≥ 0

critério de saídamin { xi : xi < 0 , xi ∈ XB }= xsdeterminar a linha pivotal ss

Algoritmo Dual.

critério de entrada

min cj - zj : xsj < 0 xsj

determinar a coluna pivotal

Exemplo. Redução á forma padrão.

-2 x1 - 7 x2 - 2 x3 - 2 x4 + x5 = -20

7 x1 + 2x2 + 6x3 - 2 x4 + x6 = 35

-4 x1 - 5 x2 + 3x3 + 2x4 + x7 = -15

2 x1 + 7x2 + 6x3 + 5x4minimizar

sujeito a:

x1, x2, x3, x4 , x5, x6 , x7 ≥ 0

2 x1 + 7 x2 + 2 x3 + 2 x4 - x5 = 20

7 x1 + 2 x2 + 6 x3 - 2 x4 + x6 = 35

4 x1 + 5 x2 - 3 x3 - 2 x4 - x7 = 15

2 x1 + 7 x2 + 6 x3 + 5 x4minimizar

sujeito a:

x1, x2, x3, x4 , x5, x6 , x7 ≥ 0

2 x1 + 7 x2 + 2 x3 + 2 x4 ≥ 20

7 x1 + 2 x2 + 6 x3 - 2 x4 ≤ 35

4 x1 + 5 x2 - 3 x3 - 2 x4 ≥ 15

2 x1 + 7 x2 + 6 x3 + 5 x4minimizar

sujeito a:

x1, x2, x3 , x4 ≥ 0

Multiplicando por (-1) as equações 1 e

3 , obtém-se uma matriz inicial

identidade



XBx5x6x7

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

-2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0-4 -5 3 2 0 0 1

P5 P6 P7

1 0 00 1 00 0 1

P0

-2035

-15==

A SBP inicial X0 = ( 0, 0, 0, 0, -20, 35, -15 ) é não admissível.

Passo 1: Determinar uma SBP inicial que corresponde a umaSBAD. Construir o quadro simplex correspondente.

Passo 1: Determinar uma SBP inicial que corresponde a umaSBAD. Construir o quadro simplex correspondente.

Com a redução à forma padrão, é possível identificar uma SBPSBP que corresponda a uma SBAD SBAD complementar.

(verifica : ∀∀ j : j : ccjj--zzjj≤≤ 0,0, jj=1,…,n)=1,…,n)

Algoritmo Dual. Exemplo: determinando uma SBP inicial.

zzj j

zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5x6x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

00valor da f.o.

verifica o critério de optimalidade:

os custos reduzidos são não positivos, i.e. a solução dual complementar é

admissível.0 0 0 0 0 0 0

1º quadro, Passo 1: Construção do 1º quadro correspondente àSBNAP X0 = ( 0, 0, 0, 0, -20, 35, -15 ).

1º quadro,1º quadro, Passo 1Passo 1:: Construção do 1º quadro correspondente àSBNAP X0 = ( 0, 0, 0, 0, -20, 35, -15 ).

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

Algoritmo Dual. Exemplo: 1º quadro Simplex correspondente à SBP Inicial.



∃ xi ∈ XkB , tal

quexi< 0 ?

Passar ao passo seguinte

FIMFIMa solução é óptima !!!Não

Sim

Algoritmo Dual.Passo 2: Teste de admissibilidade para a solução primal.

• Existe algum xi ∈ XkB , tal que xi< 0 , i=1,…m ?

– Não, o processo termina: a solução básica do primal é admissível, i.e., a solução é óptima para o primal.

– Sim, o processo prossegue.

X0B= ( -20 , 35, -15 )XX00

BB= ( = ( --20 , 35, 20 , 35, --15 )15 )

∃∃ xxii ∈∈ XX00B B , , tal tal

quequexxii< 0 ?< 0 ?

SimSim


XX00 não é admissível para o primal

(SBNAP)

Algoritmo Dual. Exemplo: 1º Quadro. Passo 2: Teste de admissibilidade para a solução primal.

Existe alguma variável básica negativa?Existe alguma variável básica negativa?



Critério de saída:

min { xi ∈ XkB : xi < 0 } = xs

i

Critério de saída:


i

linha pivotal ss

XXBB xx1 1 …… xxjj … … xxnnxxii11 x11 ... x1j … x1nxxii2 2

x21 … x2j … x2n.

.

xxiiSS<0 xxs1s1 … xxsjsj … xxsnsn

..

.

xxiiMMxm1 ... xmj … xmn

Algoritmo Dual.Passo 3:Determinando a variável básica negativa que sai.

min { xi ∈ XkB : xi < 0 } = -20

a variável candidata a sair é: x5

linhapivotal

zzj j

zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5x6x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

→→ mínimo mínimo

Algoritmo Dual. Exemplo. 1º Quadro.Passo 3:Determinando a variável básica negativa que sai.




ii

Existe algumxsj < 0 ?


FIMFIMóptimo não finito para o dual, i.e., o

primal não tem soluções

admissíveis:o primal é impossível

NãoNão

SimSim

Existe alguma componente negativa na

linha pivotal ?


x21 … x2j … x2n.

.


..

.


Algoritmo Dual.Passo 4: Teste de óptimo não finito para o dual

(primal impossível).

Existe alguma componente negativa na linha pivotal ?

zzj j

zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5x6x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

→→ mínimo mínimo Há 2

componentes negativas na

linha pivotal, i.e., é possível passar ao passo seguinte

do algoritmo

Há 2 componentes negativas na

linha pivotal, i.e., é possível passar ao passo seguinte

do algoritmo

Algoritmo Dual. Exemplo. 1º Quadro. Passo 4: Teste de óptimo não finito para o dual.



1º. Seleccionar os coeficientes negativos da linha pivotal s s : xxsjsj <0 <0

2º. Dividir os quocientes entre os custos reduzidos e cada um destes coeficientes negativos

,...,n,sjsj

jj jxx

zc21 ,0 : =<

−

Algoritmo Dual. Passo 5: Determinar a variável não básica que entra.

3º. Seleccionar a coluna r onde se alcance o menor dos quocientes(critério de entrada):

sr

rrsj

sj

jj

j xzcx

xzc −=

<

−

= 0min0θ

linha pivotal ss


x21 … x2j … x2n.

.


..

.


linha pivotal ss


x21 … x2j … x2n.

.


..

.



x21 … x2j … x2n.

.


..

.


A escolha de θ0 como o mínimo desta expressão

garante a admissibilidade da nova solução dual, já que o

percurso deste algoritmo dual Simplex é mover-se duma SBAD para outra SBAD “

melhor”.

A escolha de θ0 como o mínimo desta expressão

garante a admissibilidade da nova solução dual, já que o

percurso deste algoritmo dual Simplex é mover-se duma SBAD para outra SBAD “

melhor”.

-2/-2= 1-5/-4= 5/4↑↑ mminimoinimo

coluna pivotal: j =1

pivot→→ mínimomínimo

zzj j

zzjj --ccjj

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5x6x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

Algoritmo Dual. Exemplo: 1º Quadro. Passo 5: Determinar a variável não básica que entra.



A variável básica negativa que sai

A variável não básica que entra xrxxrr

1ª1ª

2ª2ª

SBP:X0 = ( x1 , x2, xs ,..,xm,0,..,0 )

SBP:X0 = ( x1 , x2, xs ,..,xm,0,..,0 )

nova SBP:X1 = ( x1 , x2 ,xr ,..,xm,0,..,0 )

nova SBP:X1 = ( x1 , x2 ,xr ,..,xm,0,..,0 )

xr entra

xs sai

xsxxss

Algoritmo Dual. Passo 6: 1º. Calcular nova SBP com SBAD complementar.

2º. Construir o novo quadro simplex.

Calcular o novo quadro aplicando o método de Gauss-Jordan, tomando o pivot como elemento redutor.

SBP inicial X0 :

X0

B = (x5 , x6 , x7 )X0 = (0,0,0,0,-20, 35, -15)

SBP inicial XX0 0 :

XX00

B B = (= (xx55 , , xx6 6 , , xx77 ))X0 = (0,0,0,0,-20, 35, -15)

SBP X1 :

X1

B= ( x1 , x6 , x7 )X1 = ?

SBP XX1 1 :

XX11

BB= ( = ( xx11 , xx66 , xx77 )X1 = ?

x1 entra

x5 sai

Algoritmo Dual. Exemplo. 1º Quadro.

Passo 6: Calcular nova SBP com SBAD complementar.


A variável não básica que entra x1xx11

1ª1ª

2ª2ª

x5xx55



1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 0 10

Linha 1: linha pivotal dividir pelo pivot: -2

Linha 2: linha anterior -(coeficiente coluna pivot x nova linha pivot)

7 2 6 -2 0 1 0 35-(7) 1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 0 10

0 25/2 47/2 -16 7/2 1 0 -35 zzj j zzjj --ccj j

- 2 3 5 -4 1 0 07 2 6 -2 0 1 0

- 4 -5 3 2 0 0 1

-2035

-15

x5x6x7

0 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

000 0 0 0 0 0 0

-2 -7 - 6 -5 0 0 0

0 25/2 47/2 -16 7/2 1 0 -350 -11 -7 10 -2 0 1 25

x1x6x7

2 0 0

Linha 3: linha anterior -(coeficiente coluna pivot x nova linha pivot)

-4 -5 3 2 0 0 1 -15+4x 1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 0 10

0 -11 -7 10 -2 0 1 25

Algoritmo Dual. Exemplo. Passo 6. Calcular nova SBP X1.

zzj j

zzjj --ccjj

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBBb

200

os custos reduzidos são não positivos, i.e., a solução dual

complementar é admissível.

2 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0

Algoritmo Dual. Exemplo: 2º Quadro. Passo 1. Construir o quadro Simplex correspondente à

nova SBP X1 = (10, 0, 0, 0, 0,-35, 25 ).



X1B= ( 10 , -35 , 25 )XX11

BB= ( 10 , = ( 10 , --3535 , 25 ), 25 )

∃ xi ∈ X0B ,

tal quexi< 0 ?

SimSim


X1 não é admissível para o primal

(SBNAP)

Algoritmo Dual. Exemplo: 2º quadro.Passo 2: Teste de admissibilidade para a solução primal.


a variável candidata a sair

é: x6

linhapivotal


zzj j

zzjj --ccjj

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

2002 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0

Algoritmo Dual. Exemplo. 2º quadro.Passo 3: Determinar a variável básica que sai.



Existe algum xx5j5j < 0 < 0 na linha pivotal ?


zzj j

zzjj --ccjj

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

2002 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0

Há uma componente

negativa na linha pivotal, i.e., é

possível passar ao passo seguinte

do algoritmo

Há uma componente

negativa na linha pivotal, i.e., é

possível passar ao passo seguinte

do algoritmo

Algoritmo Dual. Exemplo: 2º Quadro. Passo 4: Teste de óptimo não finito para o dual,

problema impossível para o primal.

-1/-16= 1/16

mmínimoínimo ↑↑

→→ minimominimo

zzj j

zzjj --ccj j

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

x1x6x7

2 0 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

2002 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0

Algoritmo Dual. Exemplo: 2º quadro.Passo 5: Determinar a variável não básica que entra.



Algoritmo Dual. Exemplo: 2º Quadro. Passo 6: Calcular nova SBP X2 .

SBP inicial X1 :

X1

B = (x1 , x6 , x7 )X1 = (10,0,0,0,0, -35, 25)

SBP inicial XX1 1 :

XX11

B B = (= (xx1 1 , , xx66 , , xx77 ))X1 = (10,0,0,0,0, -35, 25)

SBP X2 :

X2

B= ( x1 , x4 , x7 )X2 = ?

SBP XX2 2 :

XX22

BB= ( = ( xx11 , xx44 , xx77 )X2 = ?

x4 entra

x6 sai


A variável não básica que entra x4xx44

1ª1ª

2ª2ª

x6xx66

0 -25/32 -47/32 1 -7/32 -1/16 0 35/16

x1x4x7

2 5 0

zzj j zzjj --ccjj

x1x6x7

20 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

200

1 -3/2 -5/2 2 -1/2 0 00 25/2 47/2 -16 7/2 1 00 -11 -7 10 -2 0 1

10- 3525

2 -3 -5 4 -1 0 0

0 -10 -11 -1 -1 0 0

1 1/16 7/16 0 -1/16 1/8 0 45/8

0 -51/16 123/16 0 3/16 5/8 1 75/8

Algoritmo Dual. Exemplo: 2º Quadro.Passo 6. Calcular nova SBP X2.



os custos reduzidos são não positivos, i.e. a solução dual

complementar é admissível zzjj

zzjj --ccj j

x1x4x7

2 5 0

2 7 6 5 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66 xx77

cj

XXBBCCBB bb

355/16

0 -25/32 -47/32 1 -7/32 -1/16 0 35/16

1 1/16 7/16 0 -1/16 1/8 0 45/8

0 -51/16 123/16 0 3/16 5/8 1 75/8

Algoritmo Dual. Exemplo. Passo 1: Construir o 3º quadro Simplex correspondente

à nova SBP X2.

X2 = (45/8, 0, 0, 35/16, 0 , 0, 75/8 ).X2 = (45/8, 0, 0, 35/16, 0 , 0, 75/8 ).

0 -345/32 -399/32 0 -39/32 -1/16 0

2 -121/32 -207/32 4 -39/32 -1/16 0

X2

B= ( 45/8 , 35/16 ,75/8 )X2

B= ( 45/8 , 35/16 ,75/8 )

∃ xi ∈ X2B ,

tal quexi< 0 ?

Não FIMa solução é óptima !!!

X2 é admissível para o primal (SBAP), sendo a solução óptima para o primal.

A solução dual complementar Y2=CBB-1 é admissível para o dual (SBAD), sendo a solução óptima para o dual.

X2 é admissível para o primal (SBAP), sendo a solução óptima para o primal.

A solução dual complementar Y2=CBB-1 é admissível para o dual (SBAD), sendo a solução óptima para o dual.

Algoritmo Dual. Exemplo: 3º quadro.Passo 2: Teste de admissibilidade para a solução primal.




Algoritmo Dual. Conclusões.•O Algoritmo Dual Simplex envolve:

– uma SBAD como ponto de partida à qual corresponde uma SBNAP;

– um mecanismo que determina a passagem para uma nova SBAD "melhor" do que a anterior;

– critérios de paragem que indicam se o problema primal tem óptimo finito (solução óptima) ou se o problema primal é impossível (neste caso o problema dual não tem óptimo finito).

A solução básica primal é

admissível?

Construir o quadro simplex correspondente a uma SBAD

complementar (todos os custos reduzidos não positivos)

FIM !!!FIM !!!a solução é óptima a solução é óptima

Mover-se para umaSBAD "melhor"

SimSim

NãoNão

Algoritmo Dual Simplex. Fluxograma Geral.



NãoNão

SimSim

Construir quadro correspondente a Construir quadro correspondente a uma uma SBAD complementarSBAD complementar

INÍCIOINÍCIOForma Padrão

A solução A solução básica básica primalprimalé admissível ?é admissível ?

FIMFIMa solução é óptima !!!

Calcular nova SBP.Actualizar quadro Calcular nova SBP.Actualizar quadro correspondente à nova correspondente à nova SBAD SBAD complementar.complementar.

Determinar a variável básica Determinar a variável básica negativa que sai danegativa que sai da SBNAPSBNAP

Óptimo não Óptimo não finito para o finito para o

dual ?dual ?

FIMFIMo primal é

impossível !!!

Determinar a variável não Determinar a variável não básica que entra para a básica que entra para a

SBNAPSBNAP

SimSim

Não

critério de admissibilidade para o dual:∀ j : cj-zj≤ 0

critério de admissibilidadepara o primal:

xi ≥ 0 , ∀ xi ∈ XB

critério de óptimo não finito para o dual

∀ j: xs j≥ 0

critério de saídamin { xi : xi < 0 , xi ∈ XB }= xsdeterminar a linha pivotal ss

Algoritmo Dual.

critério de entrada

min cj - zj : xsj < 0 xsj

determinar a coluna pivotal

Características Fundamentais do Percurso do Algoritmo Dual.

•O Algoritmo Dual Simplex envolve:– uma SBAD como ponto de partida à que corresponde uma SBNAP;– um mecanismo que determina a passagem para uma

nova SBAD "melhor" do que a anterior;– critérios de paragem que indicam se o problema tem óptimo finito ou se

o problema é impossível.

•Esta passagem de SBAD para SBAD deve verificar os seguintes objectivos:– ir eliminando as variáveis negativas da solução primal para poder

atingir, caso seja possível, uma solução primal admissível (SBAP), i.e., atingir a solução primal óptima;

– manter a admissibilidade da nova solução dual; – "melhorar" (ou pelo menos não piorar) o valor da f.o. dual até que seja

atingido o seu valor óptimo, ou se conclua que o problema dual não tem óptimo finito, sendo então o primal impossível.



se existir pelo menos uma variável básica negativa na solução primal

Considere o par de problemas primal-dual na forma canónica:

se verificar o critério de optimalidade, i,e, cj -zj ≤ 0 ∀j

Ver prova no capítulo 5.2,

relação 4

a solução primal é não admissível ( SBNAP )( SBNAP )

a solução dual complementar é admissível (SBAD)(SBAD)

Álgebra do Algoritmo Dual Simplex.

Maximizar

sujeito a

Xcz t=

bAX ≤0≥X

Problema Problema PrimalPrimal

Minimizar

sujeito a

Ybw t=

cYAt ≥livreY

Problema DualProblema Dual

Suponha xs0 < 0(a linha pivotalcorresponde à variável básica

negativa xs )

Quadro Simplex correspondente à uma SBNAP.

•Suponha:– uma base B constituída pelos primeiros m vectores P1 ,..., Pm e

que existe pelo menos uma variável básica negativa⇒ a solução primal é não admissível (SBNAP).SBNAP).

– o critério de optimalidade se verifica ( cj -zj ≤ 0 ∀j )⇒ a solução dual complementar é admissível(SBAD)(SBAD)

XXBB

zzzzj j

ccjj --zzjj

CCBB bbccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ...... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0

XXBB

zzzzj j

ccjj --zzjj

CCBB bbbbccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ...... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0



0 00' →>

→<

→<=

srxx

x s

s

Critério de Entrada. Objectivo 1.

– se o pivot, xsr, é seleccionado entre os coeficientes negativos da linha pivotal, depois de calcular o novo quadro e dividir esta linha pelo pivot(um número negativo) obtém-se um valor positivo para a variável básica que entra

Critério de entrada:Critério de entrada:Seleccionar a coluna r onde se alcance o menor dos quocientes:

sr

rrsj

sj

jj

j xzcx

xzc −=

<

−

= 0min0θ

Objectivo 1Objectivo 1: : eliminar as variáveis negativas da solução primal..

se não existirem coeficientes negativos na linha pivotal, é impossível atingir um valor positivo para esta variável, i.e. nunca é atingida uma SBAP, sendo o primal impossível.

A escolha de θ0 como o mínimo dos quocientes garante a admissibilidade dual da nova solução .

Para verificar a admissibilidade dual da nova solução tem-se de verificar que para o novo quadro todos os custos reduzidos são não positivos.

Critério de Entrada. Objectivo 2.

Objectivo 2Objectivo 2: : Manter a admissibilidade da nova solução dual.

sr

rrsj

sj

jj

j xzcx

xzc −=

<

−

= 0min0θ



XXBB

zzzzj j

ccjj --zzj j

CCBB bbccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ... ... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0

XXBB

zzzzj j

ccjj --zzj j

CCBB bbbbccj j cc1 1 ...... ccss ...... ccm m … … ccj j …… ccr r …… ccnn

xx1 1 ... ... xxss ...... xxm m … … xxj j …… xxr r … … xxnn1 ... 0 ... 0 ... x1j ... x1r ... x1n

…

0 ... 1 ... 0 ... xsj ... xsr ... xsn

0 ... 0 ... 1 ... xmj ... xmr ... xmn

xx11

xxss

xxmm

cc11

ccss

ccmm

0 ... 0 ... 0 ... cj -zj...cr –zr ... cn-zn

c1 ... cs ... cm ... zj ... zr ... zn

x10

xs0 < 0

xm0

)()()( 'rr

sr

sjjjjj zc

xx

zczc −−−=−

Critério de Entrada: Objectivo 2.•Provar que para o novo quadro todos os custos reduzidos são não positivos, i.e., (cj -zj)' ≤ 0 ∀j:1º. Para os vectores da nova base os custos reduzidos

são nulos ,

•2º. Para os vectores fora da base (excepto j=r):

3º. Para o vector que sai da base PPss :

0)()( ' ≤−

−=−sr

rrss x

zczc

Para os casos 1 e 3 os custos reduzidos do novo quadro são não positivos.Falta apenas verificar se os custos reduzidos são também não positivos para os vectores fora da base (excepto Pr ).

Para os casos 1 e 3 os custos reduzidos do novo quadro são não positivos.Falta apenas verificar se os custos reduzidos são também não positivos para os vectores fora da base (excepto Pr ).

Os custos reduzidos para o novo quadro podem também ser

calculados pelaregra da estrela(PROVAR !!!).

Os custos reduzidos para o novo quadro podem também ser

calculados pelaregra da estrela(PROVAR !!!).

Caso 1: xsj ≥ 0Caso 1: xsj ≥ 0

0)( ≥− rrsr

sj zcxx

)()( 'jjjj zczc −≤−

0)( ≤− jj zc

0:, 0)( ' ≥∀≤− sjjj xjzc

0)(,0,0 ≤−<≥ rrsrsj zcxxcomo

como a solução anterior era dual admissível, então:

Para os vectores fora da base os custos reduzidos são não positivos?

Caso 2: xsj < 0Caso 2: xsj < 0

0:, 0)( ' <∀≤− sjjj xjzc

comosr

rrsj

sj

jj

j xzcx

xzc −=

<

−

= 0 min0θ

0:, <∀−

≤−

sjsj

jj

sr

rr xjx

zcx

zc

0:,0)()( <∀≤−−− sjrrsr

sjjj xjzc

xx

zc

do caso 1 e caso 2 pode concluir-se que a nova solução é também dual admissível

)()()( 'rr

sr

sjjjjj zc

xx

zczc −−−=− ≤ 0 ? rjBPj ≠∉ ,

multiplicando ambos os membros por xsj<0, obtém-se:



Procedendo à mudança de base obtém-se o novo valor da f.o. dual w’ :

soxww o' θ+=

0θ,0 00 ≥<sxww ≤'

A selecção da coluna r pelo critério exposto, garante que o valor da f.o. dual melhora (ou pelo menos não piora)?A selecção da coluna rr pelo critério exposto, garante que o valor da f.o. dual melhora (ou pelo menos não piora)?

Esta expressão exprime o valor da nova f.o. dual em função da

anterior e verifica que se escolher para sair a variável negativa com menor valorentão obtém-se um maior

decréscimo para o novo valor da f.o., o que fundamenta o critério

de saída

sorrsr

soB xwzc

xxbBcw 0

' θ )( 1 +=−+= −

Mudança de Base com Melhoria da F.O. Dual.

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a y1 + 3 y3 ≥ 3

2 y2 + 2 y3 ≥ 5

y1 , y2 , y3 ≥ 0

Algoritmo Dual aplicado ao Problema Dual do Exemplo Protótipo.

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a y1 + 3 y3 - y4 = 3

2 y2 + 2 y3 - y5 = 5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0

multiplicando por (-1) as equações obtém-se:

reduzindo à forma padrão

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a - y1 - 3 y3 + y4 = −3

- 2 y2 - 2 y3 + y5 = −5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0



-1 0 -3 1 0 0 -2 -2 0 1

-3-5

y4y5

0 0

4 12 18 0 0

000 0 0 0 0-4 -12 -18 0 0

0 12

y4y2

-1 0 -3 1 0 -30 1 1 0 -1/2 5/2

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy55 bbcj

YYBBCCBB

zzj j zzjj --ccjj

zzjjzzjj --ccjj

0 12 12 0 -6 3030

→→mínimo mínimo

verifica o critério de admissibilidade

para o dual :os custos reduzidos são não positivos

-12/-2= 6

↑↑ mminimoinimo-18/-2= 9

-4 0 -6 0 -6

Exemplo Protótipo.Algoritmo Dual aplicado ao Problema Dual.

Minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3

sujeito a - y1 - 3 y3 + y4 = −3

- 2 y2 - 2 y3 + y5 = −5

y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0

-1 0 -3 1 0 0 1 1 0 -1/2

-3

5/2

y4y2

0 12

4 12 18 0 0

30300 12 12 0 -6 -4 0 -6 0 -6

18 12

y3y2

1/3 0 1 -1/3 0 1-1/3 1 0 1/3 -1/2 3/2

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy5 5 bcj

YYBBCCBB

zzj j zzjj --ccj j

zzj j zzjj --ccj j

2 12 18 -2 -6 3636


↑↑ mmínimoínimo -6/-3= 2

-2 0 0 -2 -6

como as restrições foram multiplicadas por

–1, as variáveis de decisão primais

correspondem aos valores simétricos dos zj

nas colunas onde se encontrava a base

inicial

os valores simétricos

correspondem às variáveis de folga

do primal

A solução óptima é Y*=(0,3/2,1,0,0) A solução óptima é Y*=(0,3/2,1,0,0)

Exemplo Protótipo. Algoritmo Dual aplicado ao Problema Dual.



-1 0 -3 1 0 0 1 1 0 -1/2

-35/2

y4y2

0 12

4 12 18 0 0

30300 12 12 0 -6 -4 0 -6 0 -6

18 12

y3y2

1/3 0 1 -1/3 0 1-1/3 1 0 1/3 -1/2 3/2

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy5 5 bbcj

YYBBCCBB

zzj j zzjj --ccj j

zzj j zzjj --ccj j

yy11 yy2 2 yy3 3 yy4 4 yy5 5 bbbbcj

YYBBCCBB

zzj j zzjj --ccj j

zzj j zzjj --ccj j

cj

YYBBCCBB

zzj j zzjj --ccj j

zzj j zzjj --ccj j

2 12 18 -2 -6 3636

↑↑ mminimoinimo

-2 0 0 -2 -6

y1y2

4 12

4 12 18 0 0 0

4242 4 12 24 -4 -6 60 0 6 -4 -6 6

18 12

y3y2

1 0 3 -1 0 0 30 1 1 0 -1/2 1/2 5/2

zzjjzzj j -c-cjj

bbcj

YYBBCCBByy11 yy2 2 yy33 yy4 4 yy5 5 yy66

zzjjzzj j -c-cjj

2 12 18 -2 -6 6

-2 0 0 -2 -6

3636

1/3 0 1 -1/3 0 0 1

-1/3 1 0 1/3 -1/2 1/2 3/2

A solução óptima é Y*=(0,3/2,1,0,0) com w*=36 A solução óptima é Y*=(0,3/2,1,0,0) com w*=36

Problema Dual do Exemplo Protótipo. Quadros Simplex Óptimos.

3636

3030

PrimalPrimal Dualz, wsupersuper--óptimaóptima subsub--óptimaóptima


Algoritmo dual

aplicado ao dual

Algoritmo dual

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao dualSBAD Y0 = ( 3,5/2,0,0,0 )SBAD Y0 = ( 3,5/2,0,0,0 )4242SBNAP X0 = ( 4,6,0, 0,-6)SBNAP X0 = ( 4,6,0, 0,-6)

SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0)SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0) z*=w*=36óptimaóptima

SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)

SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)

00

O percurso do algoritmo primal(dual) aplicado ao problema

primal(dual)

O percurso do algoritmo primal(dual) aplicado ao problema

primal(dual)

O percurso do algoritmo dual (primal) aplicado

ao problema dual (primal)

O percurso do algoritmo dual (primal) aplicado

ao problema dual (primal)

Percurso dos Algoritmos Primal e Dual Simplex aplicados ao Par de Problemas P-D do Exemplo Protótipo



Vantagem: Particularmente útil na resolução de problemas de minimizaçãocom restrições do tipo (≥),não existindo qualquer restrição quanto ao sinal dos bi..

Vantagem:Vantagem: Particularmente útil na resolução de problemas de minimizaçãocom restrições do tipo (≥),não existindo qualquer restrição quanto ao sinal dos bi..

Limitação: Alterações posteriores nos parâmetros exigem, em muitos casos, a resolução do problema a partir do início.

Limitação:Limitação: Alterações posteriores nos parâmetros exigem, em muitos casos, a resolução do problema a partir do início.

Vantagem: Alterações posteriores nos parâmetros dispensa a resolução a partir do início. É muito útil no análise de sensibilidade e pós-optimização.

Vantagem:Vantagem: Alterações posteriores nos parâmetros dispensa a resolução a partir do início. É muito útil no análise de sensibilidade e pós-optimização.

Limitação: Como os termos independentes estão restringidos ( bi ≥ 0 ) , raramente dispensa a técnica das variáveis artificiais, particularmente na resolução dos problemas de minimizaçãocom restrições do tipo (≥) .

Limitação:Limitação: Como os termos independentes estão restringidos ( bi ≥ 0 ) , raramente dispensa a técnica das variáveis artificiais, particularmente na resolução dos problemas de minimizaçãocom restrições do tipo (≥) .

Primal Simplex vs Dual Simplex.

Primal Simplex vs Dual Simplex.

Início: uma SBAPInício:Início: uma SBAP

Iteração:move-se de SBAP em SBAP com melhoria da f.o. primal

Iteração:Iteração:move-se de SBAP em SBAP com melhoria da f.o. primal

Critérios de paragem:1º. se verifica o critério deoptimalidade, então o problema tem óptimo finito.2º. se não existe nenhuma componente positiva na coluna pivotal,então o problema não tem óptimo finito.

Critérios de paragem:Critérios de paragem:1º. se verifica o critério deoptimalidade, então o problema tem óptimo finito.2º. se não existe nenhuma componente positiva na coluna pivotal,então o problema não tem óptimo finito.

Início: uma SBAD à quecorresponde uma SBNAPInício:Início: uma SBAD à quecorresponde uma SBNAP

Iteração:move-se de SBAD para SBAD com melhoria da f.o. dual.

Iteração:Iteração:move-se de SBAD para SBAD com melhoria da f.o. dual.

Critérios de paragem:1º. se atinge uma solução

admissível primal, então o problema tem óptimo finito.2º. se não existe nenhuma componente negativa na linha pivotal, então o problema é impossível.

Critérios de paragem:Critérios de paragem:1º. se atinge uma solução

admissível primal, então o problema tem óptimo finito.2º. se não existe nenhuma componente negativa na linha pivotal, então o problema é impossível.



Capítulo 5: Dualidade5.5.Interpretação económica.

– Problema dual: preços sombra e perdas de oportunidade.

– Propriedade dos desvios complementares

Formulação do Problema de PL em termos de Actividades.Exemplo Protótipo.

Maximizar Z=3x1+ 5 x2

sujeito a

x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0

103

022

100

010

001

41218

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =

Actividade PrincipalP1- produção de

portas por minuto

Actividade PrincipalP2- produção de

janelas por minuto

Actividade AuxiliarP3- não utilização da

capacidade de produção da secção 1 por minuto


capacidade de produção da secção 2 por minuto


capacidade de produção da secção

3 por minuto

As variáveis xxjjcorrespondem aos níveis

das actividades



Exemplo Protótipo. Problema Primal.Interpretação Económica das Variáveis.

•variáveis de decisão:– x1 - nível de produção de portas por minuto;– x2 - nível de produção de janelas por minuto;

•unidade de medida: unidade físicavariáveis de folga:– x3 - capacidade de produção não utilizada na 1ª secção,

por minuto;– x4 - capacidade de produção não utilizada na 2ª secção,

por minuto;– x5 - capacidade de produção não utilizada na 3ª secção,

por minuto;•unidade de medida: unidade física

•função objectivo → max:

Maximizar Maximizar o lucro total por minuto.unidade de medida: unidade monetária (Euros)

y1 + 3 y3 ≥ 3yy1 1 + + 33 yy33 ≥≥ 33

minimizar w = 4 y1 + 12 y2 + 18 y3minimizar w = minimizar w = 4 4 yy1 1 ++ 1212 yy2 2 ++ 1818 yy33

y1 , y2 , y3 ≥ 0 yy1 1 , yy2 2 , yy3 3 ≥ 0 0

As variáveis de decisão duais yy1 1 , y, y2 2 , y, y33

são valorizações unitárias a atribuir a cada recurso e podem ser interpretadas

como a contribuição ao lucro total por cada unidade de recurso i utilizada.

Estes são preços internos, também designados como

preços sombra

o valor da f.o. traduz o valor total atribuído

aos recursos

2 y2 + 2 y3 ≥ 52 2 yy2 2 + + 22 yy33 ≥≥ 55

Interpretação Económica do Problema Dual. Preços Sombras.



642 x1

2

4

6

8

x2

x 1 = 4

x 2 = 6

3x 1 + 2 x 2 = 18

Região de admissibilidade x 1 = 5

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 36

y1* = 0

Se incrementar a capacidade de produção da secção 1 em 1 unidade ( b 1 = 5 ) o valor óptimo

( z*=36 ) não muda.Este recurso é abundante

( "gratis")

yy11** = 0= 0

Se incrementar a capacidade de produção da secção 1 em 1 unidade ( b 1 = 5 ) o valor óptimo

( z*=36 )( z*=36 ) não mudanão muda.Este recurso é abundante

( "gratis")

X*=(2, 6)

Exemplo Protótipo: Recurso 1.Preços Sombras. Representação Gráfica.

642 x1

2

4

6

8

x2

x 1 = 4

x 2 = 12/2=6

3x 1 + 2 x 2 = 18Região de admissibilidade

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 36

y2* =3/2

Se incrementar a capacidade de

produção da secção 2 em 1 unidade

( b 2 = 13 ) o valor óptimo será

incrementado em 3/2 Euros ( z*=37 ½ ).

Este recurso é escasso.

yy22** =3/2=3/2



( b 2 = 13 ) o valor óptimo será

incrementado em 3/2 Euros ( z*=37 ½ )( z*=37 ½ )..

Este recurso é escasso.escasso.

x 2 = 13/2

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 37 1/2

X*=(5/3, 13/2)

Exemplo Protótipo: Recurso 2.Preços Sombras. Representação Gráfica.



642 x1

2

4

6

8

x2

x 1 = 4

x 2 = 12/2=6

3x 1 + 2 x 2 = 19

Região das soluções admissíveis

z*= 3x1 + 5 x2 = 36

y3* =1



( b3 = 19) o valor óptimo será

incrementado em 1Euro( z*=37 ) .

Este recurso é escasso.

yy33** =1=1



( ( bb33 = 19)= 19) o valor óptimo será

incrementado em 1Euro( z*=37 ) .( z*=37 ) .

Este recurso é escasso.escasso.

z*= 3x1 + 5 x2 = 37

X*=(7/3, 6)

Exemplo Protótipo. Recurso 3.Preços Sombras. Representação Gráfica.

y1 + 3 y3 ≥ 3yy1 1 + + 33 yy33 ≥≥ 33

Restrições Funcionais Duais. Interpretação Económica.

esta restrição significa que a valorização interna atribuída aos

recursos gastos na produção de uma porta não deve ser inferior ao seu respectivo lucro unitário: 3 Euros


recursos gastos na produção de uma porta não deve ser inferior ao seu respectivo lucro unitário: 3 Euros

Se y1 e y3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 1 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma porta gasta 1 unidade de produção da secção 1 e3 unidades de produção da secção 3 então

a expressão y1 + 3 y3 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma porta. Como 3 Euros é o lucro unitário duma porta, é evidente que no plano óptimo se a

produção duma porta está activada até um nível positivo é porquese verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam portas.

Se yy1 1 e yy3 3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 1 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma porta gasta 1 unidade de produção da secção 1 e3 unidades de produção da secção 3 então

a expressão yy1 1 + + 33 yy33 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma porta. Como 3 Euros é o lucro unitário duma porta, é evidente que no plano óptimo se a

produção duma porta está activada até um nível positivo é porquese verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam portas.



Restrições Funcionais Duais. Interpretação Económica.

2 y2 + 2 y3 ≥ 52 2 yy2 2 + + 22 yy33 ≥≥ 55 esta restrição significa que a valorização interna atribuída aos

recursos gastos na produção de uma janela não deve ser inferior ao seu respectivo lucro unitário: 5 Euros,


recursos gastos na produção de uma janela não deve ser inferior ao seu respectivo lucro unitário: 5 Euros,

Se y2 e y3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 2 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma janela gasta 2 unidades de produção da secção 2 e2 unidades de produção da secção 3 então

a expressão 2 y2 + 2 y3 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma janela. Como 5 Euros é o lucro unitário duma janela, é evidente que no plano óptimo

se a produção duma porta está activada até um nível positivo é porque se verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam janelas.

Se yy2 2 e yy3 3 são os preços sombra em Euros ( “ custo” , valorização interna),dos recursos 2 e 3 respectivamente, e sabendo que

a produção de uma janela gasta 2 unidades de produção da secção 2 e2 unidades de produção da secção 3 então

a expressão 22 yy2 2 + + 22 yy33 pode ser interpretada como a valorização interna (“custo interno”) em Euros atribuída

aos recursos gastos para produzir uma janela. Como 5 Euros é o lucro unitário duma janela, é evidente que no plano óptimo

se a produção duma porta está activada até um nível positivo é porque se verifica a igualdade (equilíbrio), i.e. “custo interno = lucro”.

Caso contrário se o “custo interno > lucro” não é economicamente rentávelactivar esta actividade, i.e., não se produziriam janelas.

y1 , y2 , y3 ≥ 0yy1 1 , yy2 2 , yy3 3 ≥ 00

Restrições Duais de Não Negatividade.

Interpretação Económica.

estas restrições significam que a valorização unitária (preço sombra, “custo” interno) dos recursos

deve ser não negativa,caso contrário,

a utilização deste recurso não seria rentável, pelo que

seria melhor não utilizar este recurso no absoluto.

estas restrições significam que a valorização unitária (preço sombra, “custo” interno) dos recursos

deve ser não negativa,caso contrário,

a utilização deste recurso não seria rentável, pelo que

seria melhor não utilizar este recurso no absoluto.



y4 = y1 + 3 y3 - 3yy4 4 = y= y1 1 + + 33 yy33 -- 33a variável de folga y4 representa

a perda de oportunidade da produção de uma porta, i.e.,

a diferença entre a valorização interna atribuída

aos recursos gastos(“custo interno”) na fabricação

duma porta e o seu lucro unitário.

a variável de folga yy4 4 representa a perda de oportunidade

da produção de uma porta, i.e.,a diferença entre

a valorização interna atribuída aos recursos gastos

(“custo interno”) na fabricação duma porta

e o seu lucro unitário.

Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i.e.,

há perda de oportunidade da produção duma porta, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,

“custo interno = lucro” pelo que é economicamente rentávelactivar esta actividade e a perda de oportunidade é nula.

Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i.e.,

há perda de oportunidade da produção duma porta, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,


Variáveis de Folga Duais. Interpretação Económica

a variável de folga y5 representaa perda de oportunidade

da produção de uma janela, i.e.,a diferença entre


na fabricação duma janelae o seu lucro unitário.

a variável de folga yy5 5 representaa perda de oportunidade

da produção de uma janela, i.e.,a diferença entre


na fabricação duma janelae o seu lucro unitário.

y5 = 2 y2 + 2 y3 - 5yy5 5 = = 2 2 yy2 2 + + 22 yy33 - 55

Variáveis de Folga Duais. Interpretação Económica.

Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i,e,

há perda de oportunidade da produção duma janela, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,


Se a variável de folga é positiva significa que “custo interno > lucro” pelo que não é economicamente rentável activar esta actividade, i,e,

há perda de oportunidade da produção duma janela, caso contrário se a variável de folga é nula, a restrição é de igualdade, i.e.,




y1* = 0yy11

** = 0= 0 Se incrementarmos a capacidade de produção da secção 1 em 1 unidade, o valor da f.o. (lucro) não

é alterado.

Se incrementarmos a capacidade de produção da secção 1 em 1 unidade, o valor da f.o. (lucro) não

é alterado.

Primal: X*=(2,6,2,0,0)PrimalPrimal:: X*=X*=(2,6,2,0,0)(2,6,2,0,0) Dual: Y*=(0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y*=Y*=((00,,3/23/2,,11,0,0 ),0,0 )z*= w*=36zz**= = ww**=36=36

y2* = 3/2yy22

** = 3/2= 3/2

y3* = 1yy33

** = 1= 1

Se incrementarmos a capacidade de produção da secção 2 em 1 unidade, o valor da f.o. (lucro) é

incrementado em 3/2 Euros


incrementado em 3/2 Euros


incrementado em 1 Euro.


incrementado em 1 Euro.

Exemplo Protótipo. Variáveis de Decisão Duais. Interpretação Económica: Preços Sombras.

y4* = 0yy44

** = 0= 0 A perda de oportunidade da produção de uma porta por minuto é nula, obviamente se fosse

positiva não eram produzidas portas

A perda de oportunidade da produção de uma porta por minuto é nula, obviamente se fosse

positiva não eram produzidas portas

y5* = 0yy55

** = 0= 0 A perda de oportunidade da produção de uma janela por minuto é nula, obviamente se fosse

positiva não eram produzidas janelas

A perda de oportunidade da produção de uma janela por minuto é nula, obviamente se fosse

positiva não eram produzidas janelas

Exemplo Protótipo.Variáveis de Folga Duais.Interpretação Económica: Perda de oportunidade

Primal: X*=(2,6,2,0,0)PrimalPrimal:: X*=X*=(2,6,2,0,0)(2,6,2,0,0) Dual: Y*=(0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y*=Y*=(0,3/2,1,(0,3/2,1,0,00,0 ))z*= w*=36zz**= = ww**=36=36



Exemplo Protótipo. Problema Dual.Interpretação Económica das Variáveis.

•variáveis de decisão: – y1 - preço sombra da capacidade de produção da secção 1– y2 - preço sombra da capacidade de produção da secção 2 – y3 - preço sombra da capacidade de produção da secção 3

•unidade de medida: unidade monetária (Euros)•variáveis de folga:

– y4 - perda de oportunidade da produção duma porta – y5 - perda de oportunidade da produção duma janela

•unidade de medida: unidade monetária (Euros)•função objectivo → min:

Minimizar a valorização interna total dos recursos gastos pelasactividades

•unidade de medida: unidade monetária (Euros)

1º. Se a variável de decisão do primal é positiva então a variável de folga correspondente do dual é nula.

1º.1º. Se a variável de decisão do primal é positiva então a variável de folga correspondente do dual é nula.

Sempre que uma actividade j seja activada a um nível estritamente positivo, a valorização interna atribuída aos

recursos que utiliza deve ser igualao lucro unitário que se obtém dessa actividade, i.e.,a perda de oportunidade para esta actividade é nula

Sempre que uma actividade j seja activada a um nível estritamente positivo, a valorização interna atribuída aos

recursos que utiliza deve ser igualao lucro unitário que se obtém dessa actividade, i.e.,a perda de oportunidade para esta actividade é nula


0* >jx 0* =+ jmy

jmjmjj cyayaya =+++ **22

*11 ...0* >jx

as variáveis são das soluções

óptimas X* e Y*


óptimas X* e Y*

Propriedade dos Desvios Complementares.

Interpretação Económica.

Se interpretar a valorização interna atribuída aos recursos gastos numa

actividade como um “custo interno”, esta restrição significa que “custo=lucro”, pelo que é

rentável que esta actividade esteja activada a um nível positivo.



2º. Se a variável de folga do dual é positiva então avariável de decisão correspondente do primal é nula.

2º.2º. Se a variável de folga do dual é positiva então avariável de decisão correspondente do primal é nula.


óptimas X* e Y*


óptimas X* e Y*

0* =jx

jmjmjj cyayaya >+++ **22

*11 ...

0* >+ jmy

0* >+ jmy

Se a valorização interna atribuída aos recursos gastos numa actividade j é maior do que o seu lucro unitário, então com a activação dessa actividade não se está a fazer uma utilização

óptima destes recursos, i.e., essa actividade não é rentável pelo que não deve ser activada .

Se a valorização interna atribuída aos recursos gastos numa actividade j é maior do que o seu lucro unitário, então com a activação dessa actividade não se está a fazer uma utilização

óptima destes recursos, i.e., essa actividade não é rentável pelo que não deve ser activada .


Propriedade dos Desvios Complementares.Interpretação Económica.

Se interpretar a valorização interna atribuída aos recursos gastos numa actividade como

um “custo interno”, esta restrição significa que

custo>lucro, pelo que não é rentável activar esta actividade

3º. Se a variável de folga do primal é positiva então a variável de decisão do dual é nula.

3º.3º. Se a variável de folga do primal é positiva então a variável de decisão do dual é nula.

0* =iy0* >+inx

ininii bxaxaxa <+++ **22

*11 ...

Se a capacidade não utilizada do recurso i é positiva, então a valorização interna (preço sombra) deste recurso é nula, i.e., este recurso é abundante ("mercadoria grátis") , o preço das mercadorias que estão em excesso, deve cair até zero por lei da oferta-procura.

0* >+inx

1,…m,0)( ** =∀=− iXPby iii



Esta restrição não está saturada, i.e., que este recurso não está esgotado, é abundante



4º. Se a variável de folga do primal é nula entãoa variável de decisão do dual é positiva.

4º.4º. Se a variável de folga do primal é nula entãoa variável de decisão do dual é positiva.

0* >iy0* =+inx

ininii bxaxaxa =+++ **22

*11 ...

Se a capacidade não utilizada do recurso i é nula, então a valorização interna (preço sombra) deste recurso é positiva, i.e., este recurso é escasso ("não há sobras“).Por cada unidade extra que seja incrementada este recurso i, obtém-se um incremento de yi

* na f.o. (lucro total) .

Se a capacidade não utilizada do recurso i é nula, então a valorização interna (preço sombra) deste recurso é positiva, i.e., este recurso é escasso ("não há sobras“).Por cada unidade extra que seja incrementada este recurso i, obtém-se um incremento de yi

* na f.o. (lucro total) .

0* =+inx

1,…m,0)( ** =∀=− iXPby iii



Como a variável de folga é nula, esta restrição está saturada, i.e.,

este recurso está esgotado, é escasso

variáveis de decisãovariáveis de decisão

x1= 2xx11= = 22 y4= 0yy44= = 00

x2= 6xx22= = 66 y5= 0yy55= = 00

x3= 2xx33= = 22 y1= 0yy11= = 00

variáveis de folgavariáveis de folga

variáveis de folgavariáveis de folga variáveis de decisãovariáveis de decisão

x4= 0xx44= = 00 y2= 3/2yy22= = 3/23/2

x5= 0xx55= = 00 y3= 1yy33= = 11

os produtos das variáveis de decisão do

primal pelas correspondentes

variáveis de folga do dual são nulos

os produtos das variáveis de decisão do

primal pelas correspondentes

variáveis de folga do dual são nulos


correspondentes variáveis de folga do primal são nulos


correspondentes variáveis de folga do primal são nulos

Propriedade dos Desvios Complementares.Interpretação Económica. Exemplo Protótipo.

Primal: X*=(2,6,2,0,0)PrimalPrimal:: X*=X*=((22,,66,,2,0,02,0,0)) Dual: Y*=(0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y*=Y*=((0,3/2,10,3/2,1,,0,00,0 ))



x1* . y4

*= 0xx11** .. yy44

**= = 00 2 . 0 =02 . 02 . 0 =0=0

Devem ser produzidas 2 portas por minuto, sendo a valorização interna dos recursos gastos

na fabricação de uma porta igual ao seu lucro unitário,pelo que é rentável produzir 2 portas ,i.e.,

a perda de oportunidade é nula.Caso a perda de oportunidade fosse positiva,

logicamente não se produziriam portas.

Devem ser produzidas 2 portas por minuto, sendo a valorização interna dos recursos gastos

na fabricação de uma porta igual ao seu lucro unitário,pelo que é rentável produzir 2 portas ,i.e.,


logicamente não se produziriam portas.

Propriedade dos Desvios Complementares.

Interpretação Económica. Exemplo Protótipo.Primal: X*=(2,6,2,0,0)PrimalPrimal:: X*=X*=((22,,66,,2,0,02,0,0)) Dual: Y*=(0,3/2,1,0,0 )Dual:Dual: Y*=Y*=((0,3/2,10,3/2,1,,0,00,0 ))

Devem ser produzidas 6 janelas por minuto, sendo a valorização interna dos recursos gastos

na fabricação de uma janela igual ao seu lucro unitário,pelo que é rentável produzir 6 janelas ,i.e.,


logicamente não se produziriam janelas.

Devem ser produzidas 6 janelas por minuto, sendo a valorização interna dos recursos gastos

na fabricação de uma janela igual ao seu lucro unitário,pelo que é rentável produzir 6 janelas ,i.e.,


logicamente não se produziriam janelas.


x2* . y5

*= 0xx22** .. yy55

**= = 00 6 . 0 = 06 . 06 . 0 = 0= 0




A valorização interna (preço sombra) da capacidade de produção da secção 1 por minuto é nula, pelo

facto deste ser um recurso abundante,do qual sobram 2 unidades da capacidade de produção. ( a capacidade de produção não utilizada da secção 1

é igual a 2 unidades )

A valorização interna (preço sombra) da capacidade de produção da secção 1 por minuto é nula, pelo

facto deste ser um recurso abundante,do qual sobram 2 unidades da capacidade de produção. ( a capacidade de produção não utilizada da secção 1

é igual a 2 unidades )



x3* . y1

*= 0xx33** .. yy11

**= = 00 2 . 0 = 02 . 02 . 0 = 0= 0

A valorização interna (preço sombra) da capacidade de produção da secção 2 por minuto é positiva (igual a 3/2), pelo facto, deste ser

um recurso escasso, do qual não há sobras. ( a capacidade de produção da secção 2 está esgotada )

A valorização interna (preço sombra) da capacidade de produção da secção 2 por minuto é positiva (igual a 3/2), pelo facto, deste ser


A eventual disponibilidade adicional de 1 unidade da capacidade de produção na secção 2 por minuto possibilitaria um

incremento de 3/2 Euros no valor do lucro total

A eventual disponibilidade adicional de 1 unidade da capacidade de produção na secção 2 por minuto possibilitaria um

incremento de 3/2 Euros no valor do lucro total



x4* . y2

*= 0xx44** .. yy22

**= = 00 0 . 3/2 = 00 . 3/20 . 3/2 = 0= 0



A valorização interna (preço sombra) da capacidade de produção da secção 3 por minuto é positiva (igual a 1), pelo facto, deste ser


A valorização interna (preço sombra) da capacidade de produção da secção 3 por minuto é positiva (igual a 1), pelo facto, deste ser


A eventual disponibilidade adicional de 1 unidade da capacidade de produção na secção 3 por minuto

possibilitaria um incremento de 1 Euro no valor do lucro total

A eventual disponibilidade adicional de 1 unidade da capacidade de produção na secção 3 por minuto

possibilitaria um incremento de 1 Euro no valor do lucro total



x5* . y3

*= 0xx55** .. yy33

**= = 00 0 . 1 = 00 . 10 . 1 = 0= 0

as variáveis de folgaprimais representam a

capacidade não utilizada dos recursos

as variáveis de folgaprimais representam a

capacidade não utilizada dos recursos

as variáveis de decisão duais representam os preços sombras dos

recursos

as variáveis de decisão duais representam os preços sombras dos

recursos

as variáveis de decisão primais representam os níveis das actividades

as variáveis de decisão primais representam os níveis das actividades

as variáveis de folgaduais representam a perda

de oportunidade das actividades

as variáveis de folgaduais representam a perda

de oportunidade das actividades

m recursosm recursosm recursos

n actividadesn actividadesn actividades

unidades físicas unidades monetárias

f.o.f.o.f.o. lucro total das actividades → maximizar

lucro total das actividades → maximizar

valorização interna total dos recursos gastos pelas actividades → minimizar

valorização interna total dos recursos gastos pelas actividades → minimizar

Par de problemas Primal - Dual.

Interpretação Económica. Problema Problema PrimalPrimal Problema DualProblema Dual



a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym≥ cj ∀ j=1,…n aa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm≥ ccj j ∀∀ j=1,…n

minimizar w = b1y1+ b2y2 +... + bmymminimizar w = bminimizar w = b11yy11++ bb22yy2 2 +...+... ++ bbmmyymm

yi≥ 0 ∀ i=1,…m yyii≥ 0 0 ∀∀ i=1,…m

As n restrições duais estão associadas às

n actividades. Como a cada restrição dual

corresponde uma variável de folga dual, então as n

variáveis de folga duais estão

associadas àsn actividades

as m variáveis de decisão duais

estão associadas aos m recursos

Problema Dual. Restrições

Problema Dual. Função Objectivo.

•Das relações entre os problemas primal-dual sabe-se que a cada solução básica primal X corresponde uma solução básica dual complementar Y e que os valores das respectivas f.o. coincidem:

z = w = bz = w = b11yy11++ bb22yy2 2 +...+... ++ bbmmyymm

•Para este par de soluções básicas complementares X e Y :

– as variáveis duais yi - preços sombras- representam a valorização unitária a atribuir a cada recurso i.

– cada membro bbii yyii representa a contribuição para o lucro total z quando são gastas bbii unidades do recurso i.



complementaridade de slacks

Quadro Simplex Óptimo. Análise das Slacks Duais.

ym+j = zj - cj ≥ 0 , ∀ j= 1, …, nyymm+j+j = = zzj j -- ccj j ≥≥ 0 0 , , ∀∀ j= 1, …, nj= 1, …, n

cj - zj ≤ 0 , ∀ j= 1, …, nccjj -- zzjj ≤≤ 00 , ∀∀ j= 1, …, nj= 1, …, n

1º caso: ym+j = zj - cj = 01º caso:1º caso: yymm+j+j = = zzj j -- ccj j = 0= 0

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym= cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm== ccjj

2º caso: ym+j = zj - cj > 02º caso:2º caso: yymm+j+j = = zzj j -- ccj j > 0> 0

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym > cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm >> ccjj

a valorização interna dos recursos gastos na actividade j é igualé igual ao seu lucro unitário

No quadro simplex as variáveis de folgas duais são

simétricas aos custos reduzidos nas colunas correspondentes às n

variáveis de decisão primais

a perda de oportunidade da actividade jé nula

o nível da actividade j é positivo (está incluída no plano óptimo)

a valorização interna dos recursos gastos na actividade j é superioré superior ao seu lucro unitário

a perda de oportunidade da actividade j é positiva

o nível da actividade j é nulo (não está incluída no plano óptimo)

complementaridade de slacks

Quadro Simplex Óptimo. Preços Sombra.

yi ≥ 0 , ∀ i= 1, …,myyii ≥≥ 0 0 , , ∀∀ i= 1, …,mi= 1, …,m

Como no quadro óptimo todos os custos reduzidos são não positivos, a solução dual é admissível:

1º caso: yi = 01º caso:1º caso: yyi i = = 00 2º caso: yi > 02º caso:2º caso: yyi i > > 00

o preço sombra do recurso ié nulo

a capacidade não utilizada do recurso i é positiva

(o recurso é abundante )

o preço sombra do recurso ié positivo

a capacidade não utilizada do recursoi é nula

(o recurso é escasso )

No quadro simplex as variáveis de decisão duais

encontram-se na linha dos zjnas colunas correspondentes à matriz inicial identidade.



variáveis de folgas duais

ccnn+1 +1 … … ccnn+m+m

XXBB

z*z*zzj j

ccjj --zzjj

CCBB bbccj j cc1 1 cc22 ...... ccnn

xx1 1 xx22 ...... xxnn xxnn+1 +1 … … xxnn+m +m x11 x12 ... x1n…

xi1 xi2 ... xin

xm1 xm2 ... xmn

x1n+1 ... x1n+m…

xin+1 ... xin+m

xmn+1 ... xmn+m

_b1_bi_bn

xxBB11

xxBBii

xxBBmm

ccBB11

ccBBii

ccBBmm

c1 -z1 c2 -z2 … cn -zn cn+1 -zn+1 ... cn+m -zn+m

z1 z2 … zn y1 … ym

-ym+1 -ym+2 …. - ym+n

yymm+j+j = = zzj j -- ccj j < 0 < 0

ccj j -- zzj j = = -- yymm+j+j > 0> 0

ccj j -- zzj j = 0= 0 -- zznn+i+i > 0> 0

yyii = = zznn+i +i << 00

∃ j , j=1…n , tal que:

variáveis de decisão duais

ou, ∃ j , j=n+1…n+m , tal que:

Quadro Simplex. Mudança de Base.

Suponha-se que as colunas da base inicial correspondem às m variáveis de folgas

o quadro simplex não é óptimo, pelo que existe pelo

menos um custo reduzido positivo.

Mudança de Base. Análise das Slacks Duais.

Considere um plano não óptimo em que ∃ j : xj = 0, i.e., a actividade j não está incluída no plano, i,e., o seu nível é nulo.

Considere um plano não óptimo em que ∃ j : xj = 0, i.e., a actividade j não está incluída no plano, i,e., o seu nível é nulo.

1º caso: ym+j = zj - cj < 0 : a variável de folga dual correspondente é negativa

1º caso:1º caso: yymm+j+j = = zzj j -- ccj j < 0< 0 : a variável de folga dual correspondente é negativanegativa

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym< cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm<< ccjj

2º caso: ym+j = zj - cj >0: a variável de folga dual correspondente é positiva

2º caso:2º caso: ym+j = zj - cj >0: a variável de folga dual correspondente é positivapositiva

a1jy1+ a2j y2 +... +amj ym > cjaa1j1jyy11++ aa2j 2j yy2 2 +...+... ++aamj mj yymm >> ccjj

a não activanão activaççãoão de uma unidade da actividade j implica uma perda de | yymm+j+j| no

valor do lucro total.

a perda de oportunidade da não activanão activaççãoãode uma unidade da actividade j

é igual a | yymm+j +j |

os recursos disponíveis seriam melhor utilizados se fosse activadase fosse activada esta

actividade ao nível máximo possível.

a activaactivaççãoão de uma unidade da actividade j implica uma perda de yymm+j +j no valor

do lucro total.

a perda de oportunidade da activaactivaççãoãode uma unidade da actividade j

é igual a yymm+j+j

os recursos já estão sendo gastos noutras actividades de forma mais vantajosa e não não devem ser desviadosdevem ser desviados para esta actividade

Candidato a entrar na base



Mudança da Base. Análise dos Preços Sombras.

Considere um plano não óptimo em que ∃ i : xn+i = 0 .Como a variável de folga xn+i é nula,

então o recurso i está esgotado ( é escasso )

Considere um plano não óptimo em que ∃ i : xn+i = 0 .Como a variável de folga xn+i é nula,

então o recurso i i está esgotado ( é escasso )

1º caso:1º caso: yyii = = zznn+i +i < 0< 0 :o preço sombra do recurso i é negativonegativo

2º caso:2º caso: yi = zn+i >0: o preço sombra do recurso i é positivopositivo

deve ser diminuser diminuíídada a utilização deste recurso até que a sua contribuição por

unidade para o lucro total (preço sombra) seja não negativa.

o valor da variável de folga correspondente deve ser incrementado de

zero a um valor positivo, i.e., o recurso i deixa de ser escasso.

como a sua contribuição para o lucro total éé positivapositiva é vantajosovantajoso continuar a utilizar este recurso ao máximo da sua

disponibilidade

o valor da variável de folga correspondente

não deve ser incrementado

Candidato a entrar na base

O objectivo do Algoritmo Primal Simplex é procurar um modo de utilizar os recursos disponíveis da forma mais vantajosa (óptima) possível .

Isto significa, atingir uma SBAP, que verifique o critério de optimalidade

Isto significa, que a SBNAD complementar atinja uma SBAD, que verifique as restrições do problema dual

Economicamente, isto significa atingir a utilização mais vantajosa (óptima) para todos os recursos disponíveis.

Interpretação Económica do Primal Simplex.



Interpretação Económica do Primal Simplex.

•O que faz o Algoritmo Primal Simplex é analisar todas as variáveis não básicas da SBAP em curso, para determinar se existe alguma que possa proporcionar uma utilização mais vantajosa dos recursos ao ser incrementado o seu valor de zero a um valor positivo.

– Se nenhuma variável não básica está em condições de substituir uma das variáveis básicas, i.e., nenhuma re-distribuição na utilização dos recursos garante uma melhoria do lucro, então a solução actual éóptima.

– Caso contrário,se existe uma ou mais variáveis em condições de melhorar a rentabilidade dos recursos, então incrementa-se o valor dessa variável tanto quanto seja possível até que sejam alteradas as valorizações dos recursos. Isto conduz a uma nova SBA.


subsub--óptimaóptima supersuper--óptimaóptima

Algoritmo dual

aplicado ao o dual

Algoritmo dual

aplicado aoprimal

Algoritmo primal

aplicado ao

primal

Algoritmo primal

aplicado ao dual

z*=w*=36óptimaóptima

SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18) 00

Exemplo Protótipo.Percurso do Algoritmo Primal Simplex.



máximo máximo

a não produção de janelas tem uma maior perda de oportunidade, pelo que

esta actividade vai ser activada ao nível máximo possível

SBAP X0 =(0,0,4,12,18) ⇔ SBNAD Y0 =(0,0,0,-3, -5)SBAP XSBAP X0 0 =(0,0,4,12,18) =(0,0,4,12,18) ⇔⇔ SBNAD YSBNAD Y0 0 =(0,0,0,=(0,0,0,--3, 3, --5)5)

x3x4x5

0

1 0 1 0 0 0 2 0 1 0 3 2 0 0 1

4 12 18

000

3 5 0 0 0cjXXBBCCBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55

zzjjccj j -z-zj j

bb

000 0 0 03 5 0 0 0

yy11= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 1 é nulonulo . .

Este recurso é abundanteabundante (sobram 4 unidades)

yy22= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 2 é nulonulo ..

Este recurso é abundanteabundante (sobram 12 unidades)

yy33= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 3 é nulo.nulo.

Este recurso é abundante abundante (sobram 18 unidades)

yy44= = -- 33 : a perda de oportunidade da não produçãonão produçãode uma porta é de 3 3 EurosEuros por unidade.

yy5 5 = = --55 : a perda de oportunidade da não produçãonão produçãode uma janela é de 5 5 EurosEuros por unidade.

Análise da Mudança de Base.Exemplo Protótipo. 1º Quadro.

y4 = (y1 + 3 y3) - 3= ( 0 + 3.0 ) -3= 0 - 3 = -3

yy4 4 = (yy1 1 ++ 3 yy33) -- 33= ( 0 ++ 3.0 ) --33= 0 -- 3 = -3

y5 = ( 2y2 + 2y3 ) -5= ( 2.0 + 2.0 ) -5

= 0 - 5 = -5

yy5 5 = ( 2yy2 2 ++ 2yy3 3 ) --55= ( 2.0 ++ 2.0 ) --55

= 0 -- 5 = -5

A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma janela ( 5 ), i.e., a perda de oportunidade da não produção duma janela é

de 5 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se fosse activada esta actividade.

(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de uma janela está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero)

A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma janela ( 5 ), i.e., a perda de oportunidade da não produçãonão produção duma janela é

de 5 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se fosse activada esta actividade.

(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de uma janela está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero)

Produzir Produzir janelasjanelas

1º Quadro. Análise das Slacks Duais.

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma

porta ( 3 ), i.e., a perda de oportunidade da não produção duma porta é de 3 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se

fosse activada esta actividade.(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de

uma porta está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero).

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma

porta ( 3 ), i.e., a perda de oportunidade da não produçãonão produção duma porta é de 3 Euros, i.e., os recursos seriam melhor utilizados se

fosse activada esta actividade.(como nenhum dos recursos que participam na fabricação de

uma porta está a ser utilizado, o preço sombra para eles é zero).

Produzir Produzir portasportas



Explicitem-se as variáveis de folga em termos das variáveis de decisão:

x1+ x3= 4 ⇒ x3= 4 - x1xx11++ xx33= 4 ⇒ xx33= 4 - xx11

a capacidade de produção não utilizada permite uma produção máxima de 4

portas por minuto


portas por minuto

2x2+ x4=12 ⇒ x4= 12 - 2x22xx22++ xx44=12 ⇒ xx44= 12 - 2xx22


janelas por minuto


janelas por minuto

3x1+ 2x2+ x5=18 ⇒x5= 18 - 3x1 - 2x2

3xx11++ 2xx22++ xx55=18 ⇒xx55= 18 - 3xx11 - 2xx22

a capacidade de produção não utilizada permite uma produção máxima de 9 janelas ou de 6 portas por minuto

a capacidade de produção não utilizada permite uma produção máxima de 9 janelas ou de 6 portas por minuto

1ªsecção1ªsecção

Exemplo Protótipo. Mudança de Base: X0 → X1

Análise dos recursos disponíveis



Analise-se a produção das janelas:

Tendo em conta a disponibilidade dos recursos, o nível máximo possível para a produção de janelas é de 6 por minuto.

SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)3030



Algoritmo dual

aplicado ao dual

Algoritmo dual

aplicado aoo primal

Algoritmo primal

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao dual


SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18) 00

Exemplo Protótipo.Percurso do Algoritmo Primal Simplex.



máximo máximo

SBAP XSBAP X1 1 =(0,6,4,0,6) =(0,6,4,0,6) ⇔⇔ SBNAD YSBNAD Y1 1 =(0,5/2,0,=(0,5/2,0,--3,0)3,0)

3 5 0 0 0

300

4 6 6

x3x2x5

050

cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

0 5 0 0

3 0 0 0

0 1 0 12 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 15252-

yy11= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secção 1 é nulonulo . . Este recurso é abundanteabundante (sobram 4 unidades)

yy22= 5/ 2= 5/ 2 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secção 2 é 5 / 2.5 / 2.

Este recurso é escasso escasso (está esgotado)

yy33= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secção 3 é nulo.nulo.

Este recurso é abundante abundante (sobram 6 unidades)yy44= = -- 33 : a perda de oportunidade da não produçãonão produção

de uma porta é de 3 3 EurosEuros por unidade.

yy5 5 = 0= 0 : a perda de oportunidade da produçãoproduçãode uma janela é nula.nula.

Estão a ser produzidas 6 janelas por minuto .6 janelas por minuto .

a não produção de portas tem uma perda de oportunidade positiva, pelo que vai ser activada esta actividade

ao nível máximo possível

Análise da Mudança de Base.Exemplo Protótipo. 2º Quadro.

y4 = (y1 + 3 y3) - 3= ( 0 + 3.0 ) -3

= 0 - 3 = -3

yy4 4 = (yy1 1 ++ 3 yy33) -- 33= ( 0 ++ 3.0 ) --33

= 0 -- 3 = -3

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma porta (3), i.e., a perda de oportunidade da não produção duma

porta é de 3 Euros, i.e.,os recursos seriam melhor utilizados se fosse activada esta

actividade.(como os recursos que participam na fabricação

de uma porta não estão esgotados, o preço sombra para eles é nulo)

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é nula e menor do que o lucro que se obtém se fosse produzida uma porta (3), i.e., a perda de oportunidade da não produçãonão produção duma

porta é de 3 Euros, i.e.,os recursos seriam melhor utilizados se fosse activada esta

actividade.(como os recursos que participam na fabricação

de uma porta não estão esgotados, o preço sombra para eles é nulo)

y5 = ( 2y2 + 2y3 ) -5= ( 2.5/2 + 2.0 ) -5= 5 - 5 = 0

yy5 5 = ( 2yy2 2 ++ 2yy3 3 ) --55= ( 2.5/2 ++ 2.0 ) --55= 5 -- 5 = 0


A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é de 5 Euros e igual ao seu lucro

unitário (5) pelo que a perda de oportunidade da produção duma janela é nula

A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é de 5 Euros e igual ao seu lucro

unitário (5) pelo que a perda de oportunidade da produção duma janela é nula


2º Quadro: Análise das Slacks Duais.



Analise-se a produção das portas:

Exemplo Protótipo. Mudança de Base: X1 → X2

Análise dos recursos disponíveis.

x1+ x3= 4 ⇒ x3= 4 - x1xx11++ xx33= 4 ⇒ xx33= 4 - xx11


portas por minuto


portas por minuto

x4= 0xx44= 0 a capacidade de produção está esgotada

a capacidade de produção está esgotada

3x1- x4+ x5=6 ⇒x5= 6 - 3x1 – x4 = 6 - 3x1

3xx11-- xx44++ xx55=6 ⇒xx55= 6 - 3xx11 – xx4 4 = 6 - 3xx11


portas por minuto


portas por minuto




xx1 1 xx22 xx33 xx44 xx551 0 1 0 00 1 0 1/2 03 0 0 -1 1

xx11xx22xx33xx44xx55

466

=

Tendo em conta a disponibilidade dos recursos, o nível máximo possível para a produção de portas é de 2 por minuto.

yy11= 0= 0 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 1 é nulonulo . .

Este recurso é abundanteabundante (sobram 2 unidades)yy22= 3/ 2= 3/ 2 : o preço sombra de uma unidade da

capacidade de produção da secçao 2 é 3 / 2.3 / 2.Este recurso é escasso escasso (está esgotado)

yy33= 1= 1 : o preço sombra de uma unidade dacapacidade de produção da secçao 3 é 11..

Este recurso é escasso escasso (está esgotado)yy44= 0= 0 : a perda de oportunidade da produçãoprodução

de uma porta é nula.nula.Estão a ser produzidas 2 portas por minuto2 portas por minuto

yy5 5 = 0= 0 : a perda de oportunidade da produçãoproduçãode uma janela é nula.nula.

Estão a ser produzidas 6 janelas por minuto .6 janelas por minuto .

X* = (2,6,2,0,0) é óptimapara o primal e

Y* = (0,3/2,1,0,0) é óptimapara o dual

3 5 0 1

0 0 0

3232-

3 5 0 0 0cj


zzjj

ccj j -z-zj j

bb

366

0 0 1

0 1 01 0 0

01213-

13-

13

13

x3

x2x1

6 2

2 5 0

3

-1

SBAP X* =(2,6,2,0,0)⇔ SBAD Y* =(0,3/2,1,0,0)SBAP XSBAP X* * =(2,6,2,0,0)=(2,6,2,0,0)⇔⇔ SBAD Y*SBAD Y* =(0,3/2,1,0,0)=(0,3/2,1,0,0)

Análise da Mudança de Base.

Exemplo Protótipo. Quadro óptimo.



y4 = (y1 + 3 y3) - 3= ( 0 + 3.1 ) -3= 3 - 3 = 0

yy4 4 = (yy1 1 ++ 3 yy33) -- 33= ( 0 ++ 3.1 ) --33= 3 -- 3 = 0

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é de 3 Euros e igual ao seu lucro unitário

pelo que a perda de oportunidade da produção de uma porta é nula

A valorização interna a atribuir à produção de uma porta é de 3 Euros e igual ao seu lucro unitário

pelo que a perda de oportunidade da produção de uma porta é nula

y5 = ( 2y2 + 2y3 ) -5= ( 2.3/2 + 2.1 ) -5= 5 - 5 = 0

yy5 5 = ( 2yy2 2 ++ 2yy3 3 ) --55= ( 2.3/2 ++ 2.1 ) --55= 5 -- 5 = 0


A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é de 5 Euros e igual ao seu lucro unitáriopelo que a perda de oportunidade da produção de

uma janela é nula

A valorização interna a atribuir à produção de uma janela é de 5 Euros e igual ao seu lucro unitáriopelo que a perda de oportunidade da produção de

uma janela é nula


o preço sombra para a secção 2 caiu de 5/2 para 3/2 quando foi compensado pela utilização dos outros recursos

Quadro Óptimo: Análise das Slacks Duais.

3636


subsub--óptimaóptima supersuper--óptimaóptima

Algoritmo dual

aplicado ao dual

Algoritmo dual

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado ao primal

Algoritmo primal

aplicado aodual


SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBNAD Y0 = ( 0,0,0,-3,-5 )SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)SBAP X0 = ( 0,0,4,2,18)

SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBNAD Y1 = ( 0,5/2,0,-3,0 )SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6)SBAP X1 = ( 0,6,4,0,6) 3030

00

SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAD Y* = ( 0,3/2,1,0,0 )SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0)SBAP X* = ( 2,6,2, 0,0)

Exemplo Protótipo.Percurso do algoritmo Primal Simplex.



Interpretação Económica. Exemplo.

•Num laboratório farmacêutico são manufacturados 3 produtos, passando por 3 operações diferentes. O tempo (em h.) requerido por cada unidade de cada produto, a capacidade diária de cada operação (em h/dia) e o lucro unitário por unidade vendida de cada produto(em Euros) são os seguintes:

Tempo por unidade

Operação Nº 1 3 Capacidadeoperativa

1 2 1 5

2 0 2 11

3 3 2 8

Lucro unitário(Euros)

5 3

Produtos

2

3

1

4

4

Maximizar Z = 5 x1 + 4 x2 + 3x3

sujeito a

x1 , x2 ,x3 , x4 ,x5 , x6 ≥ 0

243

314

122

100

010

5118

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =001

+ x6

PP11-- produção diária do produto 1



PP55- capacidade operativa não

utilizada, relativamente à

operação 2

PP66 - capacidade operativa não


operação 3

PP44 -- capacidade operativa não


operação1

Formulação em Termos de Actividades.



ccj j -z-zj j

1 2 0 2 0 -1 0 -5 0 -2 1 0 0 -1 1 -3 0 2

211

x1x5x3

503

5 4 3 0 0 0xx1 1 xx22 xx3 3 xx44 xx55 xx66

cj

XXBBCCBB bb

1313 0 -3 0 -1 0 -1

X* = ( 2, 0, 1, 0, 1, 0 )XX* * = ( = ( 2, 0, 12, 0, 1, , 0, 1, 00, 1, 0 ))

a) Descreva as soluções óptimas primal e dual e justifique economicamente, utilizando a complementaridade de slacksa) Descreva as soluções óptimas primal e dual e justifique economicamente, utilizando a complementaridade de slacks

Y* = ( 1, 0, 1, 0, 3, 0 )YY* * = ( = ( 1, 0, 11, 0, 1, , 0, 3, 00, 3, 0 ))

x1 x y4 = 2 x 0 =0

x2 x y5 = 0 x 3 =0

x3 x y6 = 1 x 0 =0

x4 x y1 = 0 x 1 =0

x5 x y2 = 1 x 0 =0

x6 x y3 = 0 x 1 =0

Exemplo: Soluções óptimas primal-dual.

x1* . y4

*= 0xx11** . y. y44

**= = 00 2 . 0 =02 2 . . 00 =0=0

Primal: X* = ( 2,0,1,0,1,0 )PrimalPrimal: : XX* * = (= ( 2,0,12,0,1,,0,1,00,1,0 )) Dual: Y* = (1,0,1,0,3 0 )Dual: Y* = Dual: Y* = ((1,0,1,1,0,1,0,3 00,3 0 ))

São manufacturadas 2 unidades do produto 1 diariamente, sendo a valorização interna atribuída às horas gastas nas

operações para produzir uma unidade do produto 1 igual ao seu lucro unitário,

pelo que a perda de oportunidade da produçãode uma unidade do produto 1 é nula.

Caso a perda de oportunidade fosse positiva a produção deste produto não seria contemplada.

São manufacturadas 2 unidades do produto 1 diariamente, sendo a valorização interna atribuída às horas gastas nas



Caso a perda de oportunidade fosse positiva a produção deste produto não seria contemplada.

Interpretação Económica. Complementaridade de Slacks.Exemplo: Produção & Perda de Oportunidade.



A produção do produto 2 não é contemplada,sendo a valorização interna atribuída às horas que seriam

gastas nas operações para produzir uma unidade do produto 2 maior do que o seu lucro unitário.

A produção de uma unidade do produto 2 implicariauma redução de 3 Euros no lucro total, pelo que

a perda de oportunidade da produção de uma unidade do produto 2 é de 3 Euros.

A produção do produto 2 não é contemplada,sendo a valorização interna atribuída às horas que seriam

gastas nas operações para produzir uma unidade do produto 2 maior do que o seu lucro unitário.

A produção de uma unidade do produto 2 implicariauma redução de 3 Euros no lucro total, pelo que

a perda de oportunidade da produção de uma unidade do produto 2 é de 3 Euros.


x2* . y5

*= 0xx22** . y. y55

**= = 00 0 . 3 =00 0 . . 33 =0=0


Deve ser manufacturada 1 unidade do produto 3 diariamente, sendo a valorização interna atribuída às horas gastas nas



Caso a perda de oportunidade fosse positivaa produção deste produto não seria contemplada.

Deve ser manufacturada 1 unidade do produto 3 diariamente, sendo a valorização interna atribuída às horas gastas nas



Caso a perda de oportunidade fosse positivaa produção deste produto não seria contemplada.


x3* . y6

*= 0xx33** . y. y66

**= = 00 1 . 0 =01 1 . . 00 =0=0




A valorização interna (preço sombra) de uma hora por dia na

operação 1 é positiva e igual a 1 Euro, pelo facto, deste ser um

recurso escasso, do qual não há sobras, o que significa que

a capacidade diária para a operação 1 ( 5 h/dia) está esgotada.

A disponibilidade adicional de 1 hora diária na operação 1

possibilitaria um incremento de 1 Euro no valor do lucro total.

A valorização interna (preço sombra) de uma hora por dia na

operação 1 é positiva e igual a 1 Euro, pelo facto, deste ser um

recurso escasso, do qual não há sobras, o que significa que

a capacidade diária para a operação 1 ( 5 h/dia) está esgotada.



Interpretação Económica. Complementaridade de Slacks.Exemplo: Recurso & Preço Sombra.

x4* . y1

*= 0xx44** . y. y11

**= = 00 0 . 1 =00 0 . . 11 =0=0


A valorização interna (preço sombra)

de uma hora por dia (h/dia) na operação 2 é nula,

pelo facto deste ser um recurso abundante,

do qual sobra 1 hora diária do total de horas disponíveis

para esta operação (11 h/dia)

O tempo diário não utilizado na operação 2 é de 1 hora .


de uma hora por dia (h/dia) na operação 2 é nula,

pelo facto deste ser um recurso abundante,

do qual sobra 1 hora diária do total de horas disponíveis

para esta operação (11 h/dia)

O tempo diário não utilizado na operação 2 é de 1 hora .


x5* . y2

*= 0xx55** . y. y22

**= = 00 1 . 0 =01 1 . . 00 =0=0





de uma hora por dia na operação 3 é positiva e igual a 1 Euro,

pelo facto deste ser um recurso escasso,

do qual não há sobras, o que significa que

a capacidade diária para a operação 3 ( 8 h/dia) está esgotada .




de uma hora por dia na operação 3 é positiva e igual a 1 Euro,

pelo facto deste ser um recurso escasso,

do qual não há sobras, o que significa que

a capacidade diária para a operação 3 ( 8 h/dia) está esgotada .




x6* . y3

*= 0xx66** . y. y33

**= = 00 0 . 1 =00 0 . . 11 =0=0


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