59
HAL Id: inria-00071453 https://hal.inria.fr/inria-00071453 Submitted on 23 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Dual norms and image decomposition models Jean-François Aujol, Antonin Chambolle To cite this version: Jean-François Aujol, Antonin Chambolle. Dual norms and image decomposition models. RR-5130, INRIA. 2004. inria-00071453

Dual norms and image decomposition models

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Dual norms and image decomposition models

HAL Id: inria-00071453https://hal.inria.fr/inria-00071453

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Dual norms and image decomposition modelsJean-François Aujol, Antonin Chambolle

To cite this version:Jean-François Aujol, Antonin Chambolle. Dual norms and image decomposition models. RR-5130,INRIA. 2004. �inria-00071453�

Page 2: Dual norms and image decomposition models

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--51

30--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 3

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Dual norms and image decomposition models

Jean-François Aujol — Antonin Chambolle

N° 5130

March 2004

Page 3: Dual norms and image decomposition models
Page 4: Dual norms and image decomposition models

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65

������������ ������� �� ������������ ������ �!� �� "�������

#%$'&%(�)�*,+-&.(,/103254"6�798�03:<;>=>?,6�(A@B0.(�25(DCFE�&.GIHJ0.:5:K$MLON

PRQTS�UOV�W�X Y[Z]\^V�_^`ba \^cedfZgQTdbU"UOVih[U"`bajQTceZTVbkceU"`blfV�mnk9oTdfZpZTqnV�mnk%andfZpZ9`bcemrm^`sZTanV�m

tu_rdwvxV�\zy{_|c}`bZT`~z`b�T�.df_|\�oTV�_|VnajQTV�_rajQTV�Z%������Wf��X �M`b_rajQg�b�f�b��X �f���9`slfVnm

�>�������w�T�b�]��� db���ed-��c�ZTl��e�-�B��k�oTVna�dfUO�3dfm|ce\rc�dbZ�U"d'oTV���m�c�Z]\^d�`MlfV�dfUOV�\^_|c�an`b�JandfUO�.dshZTVnZ]\�`bZTo�`�\rV  '\^¡T_|Vno�andfUO�.dfZTVnZ]\¢Q9`�£fV¤_rVna�VnZ]\^�¦¥"§3V�VnZ��T_rdf�.dfm|Vno"c�Z�c�U"`blfV��T_|d�a�Vnm|mxhc�ZTl¨�©�b�pk��Bª'k«�pk¬�-­w�K®�Y[Z¨m|¡TajQ¯`s�T�T_rdf`bajQTVnm�k,ZpVnl]`s\rce£bV"°�df§.df�eV�£�ZTdb_rUOm±Q9`�£fVOmrV�VnUOVno\^d²§3V"¡TmrV ³´¡T��\^d²U"d'oTV���ceµnV�dfmra�c��e�}`w\^ceZTlg�9`w\r\^V�_rZTm�®>Y[ZI\rQTcem��9`s�3V�_nk,�¢V"andfUO�9`b_|V"\rQTV�T_rdf�.Vn_x\^ceVnm¢db³A£s`b_|c�df¡pm�ZTdf_|UOmJ\rQ9`s\�`b_rVzoT¡9`b�%db³�°�df§.df��V £"df_J¶�Vnm|dB£�ZTdf_|UOmn®¬·IVz\rQTVnZ�T_rdf�.dfm|V�`FoTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZMU"d'oTV��«��QTc�ajQMmr�T�ec¦\^m¤`bZMceU"`blfV�ceZ1\rd"\rQT_rV�V�andfUO�.dfZTVnZ]\rmn¸`�¹9_rmx\ºdfZpV�andfZ]\^`bc�Zpc�ZTl>\rQTV�mx\^_|¡Ta�\r¡T_rVFdb³u\rQTV�ceU"`blfVsk«`»m|VnandbZTo¨dfZTV�\rQTV�\rV  '\^¡T_|V�db³\^QTV�c�U"`blfVskA`sZTo�`�\rQTc�_|o�dfZTV�\^QTV�ZTdfcemrVs®º¼º¡T_¤oTVna�dfUO�3dfm|ce\rc�dbZ�U"d'oTV��,_|Vn�ec�V�mºdfZM\rQTV¡TmrV±db³�\rQT_rV�V±oTce½3Vn_|VnZ]\�mrV�UOc¦h¾ZTdf_rUOm�¸�\rQTVº\^ds\j`b�.£b`s_rc�`s\^cedfZ>³´df_J\^QTV±lfV�dfUOV�\r_rcea�`b�«a�dfU�h�3dfZT`bZ]\�k3`�ZTV�l]`s\^c¦£fVF°�df§.df��V £²ZTdf_rU¿³´db_z\rQTV�\rV  '\^¡T_|VbkA`bZTo�`"ZTVnl]`w\^c¦£fVF¶�V�mrd-£MZTdf_rU³´df_<\^QTV�ZTdbc�m|Vb®u·¯V�ce���e¡Tmx\^_^`w\^V�df¡T_�m|\r¡Top¥>��c¦\^QMZ1¡TUOVn_rcea�`s�!Vi p`bUO�T��V�mn®ÀMÁ]ÂAÃ|Ä�Å �wÆ,�b� P,db\^`b�º£s`b_rc�`s\rc�dfZÇUOceZTc�UOceµ�`s\rc�dbZ«k�ÈFÉ"k¤\^V  '\r¡T_rVskºZTdfcemrVsk±ZTVnl]`w\^c¦£fV°�df§.df��V £mr�T`banV�mnk%ZTVnlf`s\^c¦£fV�¶�Vnm|d-£�mr�9`ba�Vnm�k.ceU"`blfV±oTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZ

Ê,ËxÌ�Í Î©Ï|Ð<ÏxÑnÒAÐ<Ï|ÐJÓBÔ�ÏuÕ-Ö¤Î×ÍiÓbØ Ô¾ÍjÒ�Ø ÙÚÔKϬÛBÜ Ý�Þ!ÙÚÏxÖsÕ-Ø ÑBÑwË ßBà�ÑwÙ©á�ÏxÔ¾â5Ù©ÒKËuÕ-Ïuã�Ù×äåÏxæèç-Ø éBêBÙ×ÍjæèÝ�ÑnÒ�Ù©ébØ ÎÚÙÚâëTìèí ÍiÖ ì Ø�Îïî�âKØ éwêBÙÚÍwÜ ÙÚÑBÔ�ÙÚÍwÜ í Ôð,ñ«ò Ý!ó�ô�à ò±õ�öi÷iøwù^ú ß-û%äxØ ÎÚϬópØ�ΩünÒKÏrä¾êBÑBÙ×ýnÖBÏ ßBþ ù ùrÿ�� óTÍiÎ×ÍiÙ×âKÏ|ÍiÖ ñ Ï|ÕBÏ��]ß��BÔ¾ÍiÑwäxÏ� ÍiÑnÒKØ�ÑBÙÚÑ1Ü ä¾êsÍiÐJÓbØ ÎÚÎÚÏ^î,ébØ ÎÚü�Ò�Ï|ä¾êBÑwÙÚýnÖBÏ�Ü í Ô

Page 5: Dual norms and image decomposition models

� ��, ���¿����������� �<�� "���������¿���������� ������ �!� �����[�n �������

��� ��� � � Y[ZTm|�Tce_rqz�9`b_z�e���w�Kk'opV¤ZTdbU�§T_|Vn¡� "UOd'oTSn�eVnmJoTVzoTqna�dfUO�3dfm|ce\rc�dbZ»o� c�U"`blbVnmVnZ²¡TZTV�andfUO�.dfm^`bZ]\rV�lfq�dfUOq�\r_rc��'¡pV�V�\z¡TZpV�a�dfUO�3dfmr`bZ]\^V�\^Vi �\r¡T_rq�V�dbZ1\zq \^q��T_rdf�.dfm|qnmVnZI\r_^`bc¦\^V�UOVnZ]\Fo� c�U"`blbVnm>�©�b�'k¢�Bª1k��Tk��-­s�K®��{`bZTm�opV"\rVn�e��V�mF`b�T�T_|d�ajQpVnmnk���V�m�ZTdf_|UOVnmo� ©V�mr�9`sanVnm�oTV°�db§3df�eV�£�o� V  ��.dfm^`sZ1\�ZTqnl]`w\^c¦³RdfZ]\��T`b_r¡�ceZ]\^q�_rVnm|m^`bZ]\rVnmF�.df¡T_�U"d'oTq���cïhmrVn_±�eVnm±q���q�UOVnZ]\^m�dfmra�c��e��`bZ]\^mn®��º`bZTm±a�VF�9`b�TceVn_�k ZTdf¡Tm±a�dfUO�9`b_rdbZTm±��V�m��T_rdf�p_rceq�\^q�m±oTVoTce½3qn_|VnZ]\^V�m�Zpdf_rUOVnm��1¡Tc�mrdfZ]\�oT¡9`s��V�m�oTVOZTdb_rUOVnm�oTV�°�df§.df�eV�£�df¡�oTV"¶�V�mrd-£.®��zdf¡Tm�T_rdf�.dfm|dfZTm�VnZTm|¡Tc¦\^V�¡pZgUOd�opSn�eV�oTV�oTq�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZ��1¡Tc m|qn�9`s_rV�¡pZTV�ceU"`blfV�VnZMoTVn¡' andfUO�.dfm^`bZ]\rVnmnk]¡pZTVR�T_rV�UOc�S�_rVRandbZ1\rVnZ9`sZ1\¬��V�mum|\^_|¡Ta�\r¡T_rV�muoTV<�� ©ceU"`blfVsk]¡TZTV<m|VnandbZToTVR�eVnm\^V  '\r¡T_rV�mzopV±�� c�U"`blbVbkTV \�¡TZTVº\^_|dfcemrceSnUOV���V±§T_|¡Tc¦\�®��¤ds\^_rV±UOd'oTSn�eV±oTV±oTq�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZ_rVn�.dfm|V�mr¡p_,�� ©¡�\^ce��cem^`s\rc�dbZ�oTV¢\r_rdfcem!mrVnUOcïh[ZTdb_rUOVnm¬opce½3qn_|VnZ]\^V�mn¸���`z£s`b_|c}`w\^cedfZ�\rdb\j`s��VJ�3db¡T_�}`�andfUO�.dfm^`sZ1\rV�lbqndfUOq�\r_rc��1¡TVbk,¡TZTV"ZTdf_rUOV"oTV»°�df§.df��V £�ZTq�l]`s\^c¦£fV��3db¡T_��}`\^Vi �\r¡T_rVskV�\<¡pZTVºZTdf_|UOV{oTV±¶¢Vnmrd-£�ZTqnlf`s\^c¦£fVº�.df¡T_¢��V¤§T_r¡pce\n®��¤df¡Tm�c��e��¡pm|\^_|dfZTm<Zpdb\^_|V{q�\r¡ToTVº�T`b_oTVnm�V  �V�U"�p��V�m{Z1¡TUOqn_|c��1¡TV�mn®� Å �B� à ��� � �²� �Mc�Zpc�UOcem^`s\rc�dfZMoTV��}`F£s`b_rc�`s\^cedfZ�\^db\^`b�eVbk%ÈFÉ�k9\rV  '\^¡T_|Vbk%§T_|¡Tce\nk%Vnmr�T`banVoTV�°'df§3db��V £�o� ©Vi ��3dfmr`bZ]\ºZTq�l]`s\rce³åk9V�mr�9`ba�V�oTV�¶�V�mrd-£²o� ©Vi ��3dfmr`bZ]\ºZTq�l]`s\rce³åk%oTq�andfUO�.dshmrc¦\^cedfZMo� ©ceU"`blfVnm

Page 6: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� W

��O�����F�!�

! " � Å �$#�%T�p�$# Å'& (�b®�� �{Vna�dfUO�3dfm|ce\rc�dbZgUOd�opVn�em ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ��b®×� °�dfUOV±³´¡TZTa�\rc�dbZ9`b� mr�T`banV�m ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ��b®ÚW ¼º£bVn_x£�ceV�� ds³,\rQTV��9`b�.Vn_ ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® )

* "�+ #5���f� Á ��#�,]�p��# Å'& -�'®�� �¤db\^`s\^cedfZTm ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® )

��®��b®�� P!db\j`s�«£b`s_rc�`s\^cedfZ ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ­��®��b®×� °�db§3df�eV�£>mrVnUOcïh[ZTdb_rUOm�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ­��®��b®ÚW .{h[ZTdb_rU ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �-�

�'®×� P,db\^`b�«£s`b_rc�`s\rc�dfZ�UOceZTc�UOceµ�`s\rc�dbZg`bmz`F�T_|dsvxVna \^cedfZ ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �f�/ "10 Å �32���$# &54 Æ !� � &!Å � ��� !�*

W�®�� 6�dfUO�T¡p\^ceZTl�7 ZTdf_|U ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �B�W�®×� y{�T�T�ecea�`s\rc�dfZ²\^d"`FoTVna�dfUO�3dbmrc¦\^cedfZ�`b�elfdf_|ce\rQTU ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �-W

Wp®×�'®�� Y[Z]\^_|d�op¡Ta�\rc�dfZ ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �-WWp®×�'®×� 6�QTdbc�a�V�db³!\^QpV8¨�9`s_^`bUOV�\rVn_ ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ���

W�®ÚW 6�dfUO�T¡p\^ceZTl:9<;>=@?MZpdf_rUOm<AB?:CEDF;G=IHKJMLON ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ���W�®©� y{�elfdf_rc¦\^QpU�\^dOandbU"�p¡p\^VQPSRTP�U�VXW YD®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ��)W�®×� �¤¡TUOVn_|c�an`b��_rV�mr¡T�¦\^m ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® ��)W�®Ú� 9<;>=�ZOZTdb_rU�ds³¬`F��QTc¦\^V�l]`b¡Tm|mrc�`bZ²ZTdfcemrV ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®D���W�®×ª y{ZM`b��lbdf_rc¦\^QTU \^d"mrdf�¦£fV�\^QpV�¼ºm|QTVn_åhx°�df�eq h�[�Vnm|V�UOd'oTVn� ®�®�®�®�®�®�®�®D�fª

\ " � # & #��]#^,]�p�$# Å_&�Åa` Æ��� � &�Å � �¯� * -�p®�� °�dfUOV�andfZ]£fVi g`bZ9`b�¦¥'mrcemI®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®D�G)�p®×� y{�T�T�ecea�`s\rc�dfZ²\^dcbdHfe>UOd'oTVn�em ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® W]�

( � &�Á1ÄgbhHEe � � 4%Å ��#è�$i � /'/�'®�� t�_|c�Zpance�T��VI®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® WfW

��®��b®�� y¤��lfdb_rc¦\^QTU ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® Wb��'®×� �g`s\^QpVnU"`s\^cea�`s�,`sZ9`b�¦¥�m|c�m ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® Wb��'®ÚW �¤¡TUOVn_|c�an`b��_rV�mr¡T�¦\^m¤`bZTo²andfUOUOVnZ]\rm{®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® W]�

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 7: Dual norms and image decomposition models

� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

� " bhHfe H�� � Å Æ Á � \����®�� t�_|Vnm|VnZ]\j`s\rc�dbZ ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �]���®×� y{�elfdf_rc¦\^QpU ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �]W��®ÚW ��ceUOce\z�T_|df§T�eVnU ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �1ª��®©� �¤¡TUOVn_|c�an`b��_rV�mr¡T�¦\^m ®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�®�® �1ª

�´ã õ �´Ý

Page 8: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �

����� ��!���º���!� ��

��� � ���������������������� �!�#"$�&%��{Vna�dfUO�3dfm|c�Zpl>`bZ²c�U"`blbV�ceZ]\^d"UOV�`bZTceZTlb³´¡p�!a�dfUO�3dbZTVnZ]\^mzcemzdbZTV�db³�\rQTV�U�`Bvxdf_�lfd]`b�emdb³zc�U"`blfV�p_rd'anVnm|mrceZTlT®�y ¹9_rmx\�_r`bZTlfV»db³zU"d'oTV���m"`b_|V>oTVnZpdfc�m|c�ZplIUOd'oTVn�emn¸ceZ�mr¡TajQU"d'oTV���m�k�\^QpV{ceU�`slfV{cem<`bm|mr¡TUOV�o�\rd�Q9`�£bVº§3V�VnZ>a�df_r_|¡T�p\rVno§]¥�`�ZTdfcemrVskT`bZTo���Q9`s\��¢V�<`bZ]\Jcem�\rd�_rVnUOd-£fV�\^QpVzZpdfc�m|Vb®¬PRQpVn_rV¤`b_|VRU�`sc�ZT�¦¥�\[�¢d�'1ceZToTmJdb³A`b�T�T_|d]`bajQTV�mn®uy ¹9_|m|\dfZTVºcem<§9`bm|Vno�dfZ�`��p_rd'anVnm|mRdfZ>\^QpV{�<`�£bVn�eV�\zand'V)("anceVnZ]\rmzds³ \^QTV±ceU"`blfVF� ­�k3���Tk )'kA�-W�k�B�'k �-�B��®uy m|VnandbZToMdbZTV�c�mR§9`smrVno²dfZ\^QpV�_|Vnm|df��¡�\^cedfZMds³,\rQTV�t��+* `bmrm|d�a�c}`w\^Vno�\^d�\rQTVU"ceZTceUOc�µn`s\^cedfZ²db³¬`sZMV�ZTVn_|lb¥ceZ1£bdf�¦£�ceZTl>m|dfUOV�ZTdf_rU�db³,\rQTV�lf_^`soTc�V�Z]\��¦��)'k.ª�k«�-�s�K®

�²df_rVJ_rV�anVnZ]\r�e¥bkb³´df�e��d-��ceZTl��¦�-�s�KksopVnandbU"�.dfm|ce\rc�dfZ�U"d'oTV���m!c�Z]\rdº`�lfVndfUOV \^_rcea�`s�'a�dfU�h�3dfZpVnZ]\¢`bZTo"`º\^V  '\r¡T_rV�o»andbU"�.dfZTV�Z]\¢QT`-£bV¤§.VnV�Z��p_rdf�.dfmrV�og�©�b�'k9�Bª'k]��k9�-­w�K®¬PRQTVR¹9_|m|\\^QT_|VnVFUOd�opVn�em±_rVn�¦¥�dbZ�\^QTV�¡pmrVFdb³¢`>ZTV�l]`s\^c¦£fV"°'df§3db��V £�ZTdf_|U \rdajQ9`b_r`ba�\rVn_rceµnVF\rV  1h\^¡T_|Vnmn®��¦�-­w�¢¡Tm|Vnm�`s�T�T_rdb�T_rc�`s\^V"oTcea�\rc�dfZT`b_rceVnm�\rdMajQT`b_^`ba \^V�_rceµnV»\rV  '\^¡T_|Vnm�ku`bZTo�`w\�\rQTVVnZTo>V £fV�ZlfV�\rmR`�oTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZdb³A\^QTV¤c�U"`blfV¤c�Z]\rd�\^QT_|VnV¤andfUO�.dfZTVnZ]\rmn¸J`�¹9_|m|\RdbZTVandfZ]\j`sc�ZTceZTl�\^QTVzlfV�dfUOV�\^_|c�an`b�%c�Z�³´df_rU"`s\rc�dfZ"db³.\^QTVzceU�`slfVbk'`�mrVna�dfZTo>dbZTVR\^QTV�\^Vi �\r¡T_rVsk`bZTo�`���`bmx\¢dbZTVz\rQTV�ZTdfcemrVs®uY[Z"\rQTc�m��9`s�3V�_nk]��V��¢df¡T�eo»�ec,'sVz\rd�mx\^¡Top¥OUOdf_|V�oTVnV��T�e¥F\rQTVajQ9`b_^`sa�\^V�_rcem|\rc�a>ds³RZTVnlf`s\^c¦£fV�°'df§3db��V £IZpdf_rUOmnk¬`bZToI\rQTVnZ��p_rdf�.dfmrV�`goTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZU"d'oTV��A��QTceajQ²�¢df¡T�eoMm|�T�ece\¤`bZceU"`blfV�c�Z]\rdO\rQT_rV�V±andfUO�.dfZTV�Z1\rmn¸¢`�¹9_rmx\zdfZTV±andbZ1\^`bceZ�hc�ZTl>\rQTVFm|\r_r¡Ta \^¡T_|VOdb³�\^QTVFceU"`blfVbk�`m|VnandbZToIdbZTV�\^QpVO\rV  '\^¡p_rVFdb³�\^QpVFc�U"`blfVsk�`bZTo�`\^QTce_ro²dfZTVº\rQTV�ZTdfcemrVb®

��.- /#����1032$�$�4�5����$6%7�8�96������y{�¦\^QTdf¡plfQ>��V¤��c��e�A�¢df_:'"dfZT�¦¥>ceZ>\^QTV{oTc�m|an_|V�\^V±m|V�\|\^ceZTlOc�Z>\rQTVº_rV�m|\Rds³ \^QTV±�9`s�3V�_nk��¢V¹9_rmx\�ceZ1\r_rd'oT¡Ta�V»£s`b_rcedf¡Tm�³´¡pZTa�\rc�dfZT`b�¢m|�9`ba�Vnm�\rQ9`s\�QT`-£bV§3V�VnZ�a�dfZTm|c�oTV�_rV�o ceZ�ceU�`slfV�T_rd'anV�mrmrceZTl�³´df_ oTV�mran_|c�§pc�ZTlz�TceVna�V���cemrV�m|UOd�db\rQ�df_ dfmra�c��e��`s\^df_x¥ºa�dfUO�3dfZpVnZ]\^m!c�Z�ceU"`blfVnm�®PRQT_rdf¡plfQTdf¡p\J\^Qpc�m¢mr¡T§Tm|Vna \^cedfZ«kp�¢V{oTV�ZTdb\rV{§]¥<; `bZ»db�3V�Z>andfZpZTVna \^Vno»mrV�\�db³>=�?¤��c¦\^Q��ce�Tm|ajQTce\rµ�§.df¡TZpo9`b_|¥b®

PRQpV<¡TmrV�db³%oTc¦½AV�_rVnZ]\u³´¡TZpa�\^cedfZ9`s��m|�9`banV�muc�m¬`¤andbU"UOdfZ�\rd�db��ceZ�ceU�`slfV<�T_|d�a�Vnmrm|c�ZplTkVnmr�.Vna�c}`s���¦¥ceZ²UOceZTceU"ceµ�`w\^cedfZM�p_rd'anVnm|mrV�mdA´mrV�V�� Wpk«���w��`bZpo²_|V�³´V�_rVnZpanVnm N ® � df_�ceZTm|\^`bZTa�Vbk\^QTV±m|�9`banV�È�É db³�³´¡TZTa�\rc�dbZTm<��ce\rQ�§3df¡pZToTVno£s`b_|c}`s\rc�dbZc�mRdb³è\rVnZ¡Tm|Vno«®�Y¾\�V�Zsvxd-¥�m<\rQTV

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 9: Dual norms and image decomposition models

� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

ZTc�a�V�³´V�`s\r¡T_rVFds³�a�dfZ]\j`bceZTceZTl³´¡TZTa�\rc�dbZTm±��ce\rQ�opc�m|andfZ]\^ceZ1¡Tc¦\^ceVnm�`s��dfZpl��ceZTVnm�k \^Q9`s\�an`bZ_rVn�p_rVnm|VnZ]\z\^QTV�VnoplfVnmzc�ZM`bZ�ceU�`slfVb®u·IV�_|Vnan`b��� QpVn_rV�c¦\^m�oTV ¹9ZTc¦\^cedfZ¯�©�w�K®+ Á�� & #è�$# Å'& !�"�!a" ÈFÉ�D ; Luc�m�\^QTVzmr¡p§Tmr�9`sanV{ds³A³´¡TZTa \^cedfZTm b�C�� V D ; Lumr¡pajQ»\^Q9`w\J\rQTV³´df���ed-��c�Zpl �1¡9`bZ]\rce\[¥bk.an`b�e��V�o²\rQTV�P,db\^`b� [J`b_|c}`w\^cedfZ�db³ b�kTcem�¹9ZTc¦\^Vb¸

� D�b_L������� ���� b D��_LåoTc¦£KD���D��_LmL��������cC�� V� D ;�� = ? LI=GP�� P! #"%$ ��&(' ;�) Aå�f®e�$N

PRQpV¯\^db\^`b�º£s`b_rc�`s\rc�dfZ �T�}`�¥'m�` 'bV ¥1h¾_rdf�eV�ceZ \^QpV�~�¡ToTceZ�hx¼ºmrQpVn_xh � `s\^V�U"c A5~R¼ � NU"d'oTV��F�e��)s��®+*�£fV�mg�²V�¥fV�_MQT`bm_rV�anVnZ]\r�e¥ÇceZ]£fVnmx\^cel]`s\rVnoÇ\^QTcem�U"d'oTV��ºc�Z �¦�-�s�K®-,zZ�hm^`s\rc�mx¹9Vno>��c¦\^Q>\rQTVº_rV�mr¡T�¦\^m�kTQTVºQT`bm�ceZ]\^_rd'oT¡Ta�Vno�`�m|�9`ba�VK7 ³´df_Jdfm|ance����`s\^ceZTlF�9`w\r\^V�_rZTm�®PRQTc�m�mr�9`ba�VºQ9`b�p�3V�ZTm�\^d�§3Vz£fV�_|¥>a���dbmrV{\rd�\^QpVºoT¡9`b�.mr�T`banVºds³�ÈFÉ�®¬Y[Zm|¡TajQ�`�m|�9`banVskdfmra�c��e�}`w\^ceZTl�9`s\|\^Vn_|ZTmºQ9`�£bVO`»mrU"`b�e��ZTdb_rU�¸R\^QTcem±`»¡Tm|V�³´¡T�e�¬�T_|df�.Vn_|\[¥²\^d»a�`s\rajQ�\^QTV�U��ce\rQg`bZ�V�ZTVn_|lb¥�UOc�ZTceUOc�µn`s\^cedfZ²�T_rd'anV�mrm�®J·IV�_rVnan`b�e� QTVn_|V�\rQTV�oTV�¹TZTce\rc�dbZgdb³ 7"¸+ Á�� & #è�$# Å'& !�" * " 7Çc�m!\^QTVR¶�`bZ9`bajQFm|�9`banV�andfUO�.dfmrV�oFdb³T\^QpV<oTcem|\^_|c�§p¡p\^cedfZTmTRF��QTc�ajQa�`bZ²§3Vº��_|ce\|\^V�Z

R.�0/ V21�V H3/ ? 1 ? � oTc¦£KD41 L Aå�f®Ú�>N��ce\rQ51 VR`sZTo61 ? c�Z7��8cD ; Li®J¼±Z:7OkT\^QTV±³´df�e��d-��ceZTlOZTdf_|U¿c�m�oTV ¹9ZTV�o«¸

PSRTP!95�;:=<�>@? P�15P " $ � W ACB & �cR.� oTc¦£KD41 LED Aå�f®©W N��ce\rQfP�15P " $ � W ACB & ��FG��H�I��HJLK �NM O 1 V O ? H O 1 ? O ? D4�_L

Y[Z ³5`ba \�k���ce\rQ \rQTVnm|VMZTds\j`s\rc�dfZpmnk 7�c�mOV  p`ba \^�¦¥QP U�VXW 8 D ; Lik¢\^QpV²op¡9`b�Rmr�T`banV�db³P VXW VR D ; L��¦�n�K®¤y¤ZTo�c¦\{cemºm|QTd-��Z�c�Zg\rQTV�opc�m|an_rV \^V�an`bmrV�c�Z¯� �b�!\^QT`s\�PES^P!9Icem¤\rQTV��.df��`b_mrVnUOcïh[ZTdb_rU¿db³�� D2S LKA´mrVnV�tu_rdb�3dfm|ce\rc�dbZ���®e�$Ni®

Y[Z��e�-�w��k.\^QTV�`b¡p\^Qpdf_{Q9`sm{�T_|df�3dbmrVno�`»ZTV�� oTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZ¨`b�elfdf_|ce\rQTU�¸Rce\{mr�T�ec¦\^m`bZ>df_|c�lfceZ9`b�3c�U"`blbV RgceZ1\rdO`�mr¡pU b H e�db³!`�§3df¡pZToTVno£s`b_|c}`s\rc�dbZ>andfUO�.dfZTV�Z1\R`bZTo�`andfUO�.dfZTVnZ]\zandbZ1\^`bceZTc�Zpl"\rQTV�dfmra�c��e�}`w\^ceZTl��T`b_|\zdb³!\^QTV�ceU"`blfV±§]¥�UOc�ZTceUOc�µ�c�ZplT¸� D�b_L H PIe P!9 Aå�f® � N¶�¡p\�kzoT¡TV�\rd \rQTV17 ZTdb_rU�kz\rQTcem²opVnandbU"�.dfm|ce\rc�dfZ cem��'¡pce\rV�opc ("an¡p�e\�\^d a�dfUO�T¡p\^Vs®y{�elfdf_rc¦\^QpU"m�Q9`�£bVJ§.VnV�Z��p_rdf�.dfmrV�o�\rd�mrdf�¦£fV¢�MV ¥fVn_ ©m,�T_rdb§T��V�UDdf_ a���dfm|V�dfZTVnmJ�©�b�pk��pkB�w�K®PRQTVnm|V<��df_ '1muQ9`�£fVRandbZp¹9_rUOV�o�\^Q9`s\ 7 cemu`¤£bVn_|¥�lfd'd�o�m|�9`ba�V�\^d±UOd'oTVn�ec�µ�V<dfm|ance����`s\^ceZTl�9`s\r\rVn_|ZTmnk%`bZpoMV�mr�.Vnanc�`b�e�e¥\rV  '\^¡p_rVnm�®

�´ã õ �´Ý

Page 10: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� ª

Y[Z¯�e�BªB��k9\^QpVd7�ZTdf_|U c�mz_rV��T��`banV�o�§]¥g`sZTdb\^QpVn_�ZTVnlf`s\^c¦£fV�°�df§.df��V £�ZTdf_|U²® � df_<\rQTV_rV�`soTVn_�andbZ1£bVnZTceVnZpanVbk.��V�_|Vna�`s��� QTV�_rV�\^QTV±opV�¹9ZTc¦\^cedfZMdb³¬`"°�db§3df�eV�£>mr�9`ba�V A´mrVnV»�e����Ni¸+ Á�� & #è�$# Å'& !�" / " Y¾³ ? C DF;>=IHKJMLik<\^QTV�Z�P VXW Y D ; L�cem»\^QTV�m|�9`ba�V�db³±³´¡TZTa \^cedfZTmc�Z�� Y D ; L k«`sZTo�mr¡pajQ¨\rQ9`s\¤\^QTV�c�_¤oTc�mx\^_|c�§T¡�\^cedfZ9`b�,oTVn_|ce£s`s\rce£bVO`b��m|d>§.Vn�edfZTlfm{\rd � Y D ; Li®P VXW YR D ; LRc�m�\^QTV�an�edfm|¡T_rV�db³ � V� D ; LRceZ�P VXW Y D ; Li® � V�\ � � YY�U�V A5mrd"\^Q9`w\ VY H V

� � ;$Ni®·¯V�oTV�ZTdb\^V�§]¥5P U�VXW � D ; L�\^QTV�oT¡9`s�«mr�9`sanV�db³ P VXW YR D ; L ®

¼ºm|ance����`s\^ceZTl��9`s\|\^V�_rZTm±Q9`�£bV�`>m|U"`b����ZTdf_rU ceZ¨`>ZTVnl]`w\^c¦£fV�°�df§.df�eV�£�m|�9`ba�Vb®�y{ZTomr¡TajQg`OZpdf_rU¿U"`�¥§.V�V�`bm|c�V�_�\rdOU"ceZTceUOc�µ�V�\^QT`bZ\^QTV7 ZTdf_|U�®

Y[Z �¦�-�s�Kk�\rQTV�`b¡�\^QTdf_»`b�emrd¯m|¡TlflfV�m|\rm»\^QTVM¡TmrVMdb³�`bZpdb\^QTV�_»oT¡T`b�¤m|�9`ba�VM\^dIUOd�oTV��dfmra�c��e�}`w\^ceZTl��T`s\r\rVn_rZpmn¸�� � �È 8U�VXW 8 ®uPRQTcemzc�mR\^QpV�op¡9`b� mr�T`banV�db³��È VVXW V ®+ Á�� & #è�$# Å'& !�"B\5" �È VVXW V cem \^QTV�¡Tm|¡9`b�]QTdfUOdflbVnZTV�df¡Tm!¶�Vnm|d-£�mr�9`ba�V A´mrV�V¤�¦�-�s� N ®�� V�\�� W �`bZ�df_|\rQTdfZTdf_|U"`b�«§9`bm|V±andfUO�.dfmrV�ogdb³!m|U"d'db\rQg`bZpo²a�dfUO�9`ba \^�¦¥mr¡T�p�3df_x\^V�o²��`�£fVn�eV�\rmn®�È VVXW V cemz`Fmr¡T§Tm|�9`ba�V�db³(��?�D =�?�L k9`sZTog`�³´¡TZpa�\^cedfZ�R�§3V���dfZplfmR\^d��È VVXW V c¦³�`bZTo²dfZT�¦¥ce³å¸

K�� � K�� B O � FW � O Z �� ?�� HKJ Aå�f®Ú�>N

��QTVn_|V � FW �º`b_|Vº\^QTV±��`�£fVn�eV�\{and'V)("anceVnZ]\rm{db³ R,®+ Á�� & #è�$# Å'& !�" ( " PRQTV¤oT¡9`b�%m|�9`banV¤db³��È VVXW V cemJ\rQTV{¶�`bZ9`bajQ>m|�9`ba�V�� � �È 8U�VXW 8 ®uY¾\¢cemajQ9`b_^`sa�\^V�_rceµnV�o>§]¥F\^QTV�³5`ba�\�\rQ9`s\�\^QTVR��`�£fVn�eV�\<and'V)("anceVnZ]\^m¢db³ `�lfV�ZTVn_r`b��ceµnV�o�³´¡TZpa�\^cedfZc�Z��+� �ÈN8U�VXW 8 §3V���dbZTlF\^d�� 8cD������#?mL ®

Y[ZO�T_r`ba�\rc�a�Vbkf�¢V<��c��e�T¡Tm|V<\^QTV��¤`f`b_���`�£fV���V \ A´_rV�mr�«®�\rQTV �º`b¡p§3V�ajQTc�VR��`�£fVn�eV�\���c¦\^QVncelfQ]\z£s`bZpc�m|QTc�Zpl�UOdfUOVnZ]\rm�NRoTVnZTds\^VnoM§]¥! K� �#" A5_rV�mr�«®%$<� � �'& N{�¦�B�B�K®

�>Á �¯�T�)(¬� ·IV�Q9`�£fV�\^QTV±³´df�e�edB��ceZTlO_rV�mr¡T�¦\hA5m|\^`s\^V�oMceZI�e�-�B��Ni¸�È VVXW V+* �È�É * � ? * 7 * � � �È 8U�VXW 8 Aå�f®©� N

��QTVn_|V �È�É c�m«\rQTVuQTdfUOdflfV�ZTVndb¡Tm £fVn_|mrcedfZ�db³TÈ�É"¸ �ÈFÉ � ÈFÉ �+,�b�C�È�É �.-�b �0/21]®Y[Z>³5`ba�\nk��¢Vº��c��e�Am|VnVº\^QT`s\�ÈFÉ cem��¢Vn�e� `bo9`b��\^Vno>³´db_¢\^QpV±lfVndfUOV \^_rcea�`s�A�9`b_x\Rdb³!`bZceU�h`blfVbk 7 ³´df_<\^QTV±\rV  '\^¡T_|V��9`b_|\¤`bZpo�� � �È 8U�VXW 8 ³´df_<\rQTV�ZTdfcemrVs®

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 11: Dual norms and image decomposition models

) ���������� ���� ����� �G���� ���� �

Y[Z>\rQTVº_|Vnm|\�ds³ \^QTVº�T`b�3V�_nkp�¢V{��ce���3\^QTV�Zc�Z]\^_|d�op¡TanVº\rQTVºoTcemra�_rV�\rVº£fV�_rmrcedfZTm�db³ \rQTVZTdf_rUOm�db³!\^QTV�mrV�mr�9`sanVnm

���� ���������#��� ��0<�� � �96�� ���PRQTV�`sc�U¿ds³�\^Qpc�mR�¢df_:'cemz\rd�a�dfZTmx\^_r¡pa�\{`"UOd'oTVn�«��QTceajQ�oTV�andfUO�.dfmrV�`bZ²c�U"`blbV�ceZ]\^d\^QT_|VnV�andfUO�.dfZTV�Z1\rmnk�`º¹9_rmx\¢dbZTV�andfZ]\j`sc�ZTceZTl�\^QTV�lfV�dfUOV�\r_rcea�`b�9ceZp³´df_|U�`w\^cedfZ«k1`�mrVna�dfZTodfZTVFandbZ1\^`bceZTc�Zpl²\rQTV�\^Vi �\r¡T_rVsk�`sZTo�`���`bmx\�dfZTVOandfZ]\^`bc�Zpc�ZTl\rQTVOZTdfcemrVb®FP!d�mrV��9`b_^`w\^V\^QTV�mrV�andbU"�.dfZTV�Z]\^mnk��¢V��<`bZ]\>\rd¯\^_x¥ \rd�¹9ZToÇ`b�p�T_rdf�p_rc�`s\^VMZTdf_rUOm>\rQ9`s\`s_rVg�¢Vn�e�`bo9`b�p\rVnoF\^d�UOV�`smr¡T_|Vz\rQTVR_rV��}`s\rce£bV¤ceUO�3db_|\j`sZTanV�db³.V�`sajQ»andbU"�.dfZTV�Z]\^mn®uy¤mumr¡TlblfVnmx\^Vnoc�Z �¦�-�w�Kk���V¨`b_|Vglfdbc�ZTl�\rd�¡Tm|V�oT¡9`b�¤ZTdf_rUOmdb³±\rQTV�mx\j`bZToT`b_ro °�db§3df�eV�£ ZTdf_|U"m�\^dajQ9`b_^`sa�\^V�_rceµnV�\^QTV�dfm|ance����`s\rc�ZTl"�9`s\|\^V�_rZTm�®

Y[Z�\rQTV�¹9_|m|\��9`s_|\¬ds³.\rQTcem¬�9`b�.Vn_�kb��VRceZ]\^_|d�oT¡panV<\^QpV<oTcemran_|V�\rV�³´_r`bUOV��¢df_:'�ceZ���QTc�ajQ��V±��ce���«�p�}`ba�V�df¡T_rm|Vn�¦³åk9`bZTo��QTceajQgcem�`bZ²`b�T�p_rdf�T_|c}`w\^V±dfZTV±ceZ�c�U"`blbV±�T_rd'anV�mrmrceZTlT®�Y[Z`�m|VnandbZTo»�9`s_|\�k]�¢V{a�dfUO�T¡p\^VzoT¡9`s�.Zpdf_rUOmJ¡TmrV�o»ceZ��¦�-��k��b�'k.�-ª'k1�s�K®¬PRQTcem¢��ce���9\rVn�e��mJ¡Tm��QTc�ajQ�op¡9`b�!ZTdf_rUOm{`b_rV�`b�T�T_|df�T_rc�`s\rV�\^d»a�`b�p\r¡T_rV�dfmra�c��e��`s\^ceZTl>�9`w\r\^V�_rZTm�®{PRQTV�Z«k«ceZ�`\^QTce_ro��9`s_|\�k.��VFceZ]\^_|d�oT¡panVO`>U"`s\^QpVnU"`s\^cea�`s�,³´_^`sU"V ��db_:'M\rdUOc�ZTceUOc�µ�VFoT¡9`b�,ZTdf_|U"m�®PRQTc�mu��ce���9�p_rVna�c�m|Vz\rQTVRm|\r¡Top¥Odb³%\rQTV�mrVna�dfZTo"�9`b_x\�®¬Y[ZF\^QpV�³´db¡T_|\rQF�9`b_|\nkf��Vz�T_|df�3dbmrV�`ZTV�� b H e�UOd�oTV��Kk1��QTceajQ»Q9`s�T�3V�ZTmu\^d�§3V�`��.dB�¢Vn_x³´¡T�%oTVnZpdfc�m|c�Zpl�UOd'oTVn�5®¬y{Zpo»ceZO\rQTV�}`bmx\z�9`b_|\nk9��V�¹9Z9`b�e�¦¥�andfZTmx\^_|¡Ta�\{df¡T_ b H e H � UOd�oTV���`bZToMmrQTd-� m|dfUOV�Z1¡TUOVn_|c�an`b�V  ��3V�_rceUOVnZ]\^m�®

� � ���n�����!�<�!�� <���!� ��

-#�� � � ��6 �5����$�� _|dfU ZTd-� dbZ«kb�¢VRandfZTm|c�opVn_u\^QTV�oTc�m|an_|V�\^V�an`bmrV<·IV�\j` 'bVRQTV�_rV<\^QpVRm^`bUOVRZTdb\^`s\^cedfZTm¬`bmc�Z�� �s�K®�PRQTV�ceU�`slfV<cem�`{\[��d�oTceUOVnZTm|c�dfZF£bVna�\rdf_�db³%mrceµnV�� ���I®¬·IV<oTVnZpdb\^VR§]¥�� \rQTV*�¡pan�ec�oTVn`bZ�m|�9`banV =�������k3`bZTo��-��� ����®<PRQTV�m|�9`ba�V�� ��ce�e�!§.V�VnZToTd-�¢Vno���c¦\^Q\^QTVzmran`b�}`s_��T_|d�oT¡pa�\ D�b5= e�L � �"! V$#&% W '# � b(% W �e)% W �`bZpo�\^QpV¤ZTdb_rUgPIb P'�3� M D^b =Ob L*��®·¯V±��ce����`b�emrd"¡Tm|V�\rQTV±³´df�e��d-��ceZTl�Zpdf_rUOm<AB?,+ ;$N ¸

PIb P Y �.- V$#&% W '# � O b(% W O Y0/ V � Y AK��®e�$N

A5_rV�U"`b_:'»\rQ9`s\ PIb P'� � PIb P ? Ni®

�´ã õ �´Ý

Page 12: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� ­

* "�!�"�! � Å �-� �T%T�p� #´�p�$# Å'&P,d oTV ¹9ZTV�`�oTc�m|an_|V�\^V¨\^ds\j`b�{£s`b_|c}`w\^cedfZ«k���V¨ceZ1\r_rd'oT¡Ta�VI`�oTcemra�_rV \^V¨£fVn_|mrcedfZ ds³�\rQTVlf_^`bopc�V�Z1\�db�3V�_^`s\rdf_n® Y¾³db C ��kz\^QTV�lf_r`boTceVnZ]\!-�b c�m²`¯£bVna�\rdf_�c�Z � lfc¦£fV�Z §]¥.¸D -�b_L$% W � DmD -cb L V% W =$D -�b_L ?% W Li®u��ce\rQ

D -�b_L V% W � b(%��_VXW 9 b(% W c¦³�� � �/ c¦³��@��� AK��®Ú�>N

`bZToD -�b_L ?% W � b(% W ��_V 9]b(% W ce³�� � �

/ ce³��N��� AK��®©W NPRQpV�oTcemra�_rV \^V�\^db\^`b�A£s`b_rc�`s\rc�dfZ�db³ bgcemR\^QTV�ZMopV�¹9ZTV�og§]¥.¸

� D�b_L � V$#&% W '# � O D -�b_L$% W O AK��® � N

* "�!�" * � Å � Å � Á % � Á �3# à &!Å � ���·¯V�`b�emrdO¡Tm|V�\rQTV±³´df���ed-��c�Zpl�ZTdb_rUOm<AB?,+ ;$N ¸

P -�b P Y �.- V$#&% W '# � O -�b(% W O Y / V � Y AK��®Ú�>N

A5_rV�U"`b_:'�\rQ9`s\KP -�b P7� P -�b P ? `bZTo.� D�b_L � P -cb P�VFN ®,·¯Vza�`bZ"ZTd-� ceZ]\^_rd'oT¡Ta�Vz\rQTV³´df���ed-��c�Zpl�m|VnUOc¦h¾ZTdf_|U²¸

PIb P�VXW Y � P -�b P Y AK��®©� NPRQTc�mzcem{`OZTdf_|U¿dfZ�\^QTV�mr�9`sanV�� R ���'b C�� = ! % W b(% W ��/� ,®¢Y¾\zan`bZg§.V�mrVnV�Z�`bmz`oTc�m|an_|V�\^V�£fV�_rm|c�dfZMdb³�`�°'df§3db��V £ZTdf_|U²®

·IV±andbZTmrceoTVn_<\rQTV±�.df�}`s_<mrV�U"cïh[Zpdf_rU�`bmrm|d�a�c}`s\rVno\^d AK��®©� N�Aè��ce\rQ ; ��?KH ;E� � � ;$Ni¸PIe P�U�VXW Y�� �I����������� � #�V D�ea= b_L � � �I����������� ��� V D�ea= b_L � � �I��������� � � V D�ea= b_L � AK��®Úª>N

PRQTc�m�cemz\rQTV±oTcemra�_rV�\rV�ZTdb_rU �¢V�¡TmrV±³´df_RZTV�l]`s\rce£bV�°�db§3df�eV�£>mr�9`ba�Vnm�®

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 13: Dual norms and image decomposition models

�-� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

* "�!�" / � Ã�&�Å � �·¯V�`b��m|dc�Z]\r_rd'oT¡TanV�`»oTcemran_|V�\rV�£fVn_|mrcedfZ¨db³¬\rQTV�oTc¦£fV�_rlfV�ZTanVOdf�.Vn_r`s\^df_�®¤·IV�oTV ¹9ZTVFc¦\§1¥�`bZT`b��dblb¥O��ce\rQ»\^QTV¤andfZ]\rc�Z1¡Tdf¡pm<mrV \r\^ceZTl�§]¥"oTc¦£ � 9 -��¢��QTV�_rV -���c�mJ\^QTV{`bosvxdfceZ]\db³ -�¸¢\^QT`s\zc�m�k.³´df_�V £fVn_x¥ ?�C � `bZpo�b C���k DF9zoTc¦£ ? = b_L*� � D ? = -�b_L�¬®<Y¾\{cemzV�`bmx¥\^dOajQTVna '\rQ9`s\�¸

D´oTce£ DB?'LmL*% W � ���� ? V% W 9 ? V% U�VXW ce³ ; � � � �? V% W ce³,c��F�9 ? V% U�VXW ce³,c�� � H

���� ? ?% W 9 ? ?% W �U�V c¦³ ; � � � �?4?% W c¦³3v���9 ?4?% W IU�V c¦³3v� �

AK��® ) N� _|dfU�ZpdB� dfZ«kp�¢V���c��e� ¡TmrV�\^QpVnmrV�oTcemra�_rV�\rV�db�3V�_^`s\rdf_rm�®

·IVF`b_|V�ZTd-� ceZ��3dbmrc¦\^cedfZg\^d»c�Z]\^_|d�op¡TanV�\rQTV�oTcemra�_rV \^V�£fV�_rm|c�dfZ¨db³��MV�¥bVn_ m�mr�9`sanV7"®+ Á�� & #è�$# Å'& * "�!�"

7 � ,$e C�� �� 1�C���mr¡TajQ²\^Q9`s\ e � oTc¦£KD41 L 1 AK��®©­ N`bZTo�ce³ e�C 7O¸

PIe P!9 � : <�> ,�P�1 P 8 �he �ÇoTce£ D�1 L�=1N� D41 V =I1 ? L C�� = O 1)% W O � � D41 V% W L ? H D�1 ?% W L ? A��'®��-�>N

��QTVn_|V P�15P 8 ��������% W O 1 % W O ®�²df_rV�dB£bVn_�k%�¢V���c��e� oTVnZpdb\^Vs¸

È 9 $�� & � 8«È�95� ,$e�C 7 ��PIe P!9 ' 8 1 A��'®��f��N·IV"_rVnan`b�e�J\rQ9`s\�\^QTV � VnlfV�ZToT_rVih � VnZpajQTVn�J\^_^`sZTm|³´df_|U db³�� cem�lfc¦£fV�Z�§]¥�� � D^e�L ��I�� � D^b =Oe L*�39�� D�b_L A´mrVnV��¦�-�w� N ®�PRQTV±\[�¢d�³´df�e��d-��ceZTlO_rV�mr¡T�¦\^m¤`b_rV��T_|d-£fVnoMc�ZI� �s�K®

� � Å 2 Å ��#´��# Å'& * "�!�" � D�b_L � ���� K���� D�b5= e�L � A��'®��B�GN�G�'

PIe P!9 � �I��� $ � & #�V D^b =Oe L*� A��'®��-W>N

�´ã õ �´Ý

Page 14: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �f�

·IV�mrV�V�\rQ9`s\ � D2S LKA´_rVnm|�«®^PES�P!9 N<cemR\^QTV��.df�}`s_Rdb³ PES^P!9fA5_|Vnmr�A® � D�S�LON ®� � Å 2 Å ��#´��# Å'& * " * "�� �����X� ����� 7 ���������� � ����� ��� � � ������ ���� �� ��� � � � ���X� ������� R � ,$e C � � % W e)% W ��/21 A��'®���� N

-#�.- 7� ��6% � 6 ���6 ������� �!��9��!��� 6 ������ 6�� 6�� ���� ��� ��������& ��� Å Æ�!�b�$# Å_& � °�c�ZpanV.� oTV ¹9ZTV�o¯§]¥ Ax�f®e�$Nºcem�QTdbU"dblfVnZTV�df¡Tm�db³<opVnlf_|VnV"dfZTV:A5c5®©Vs®� D���b_L ��� � D�b_L��_b `bZTo���� />N k¬c¦\�cem�\^QpVnZ�mx\j`bZToT`b_ro A´mrVnV��e�-�B��N±\^Q9`w\ � � cem�\rQTVc�ZTopc�an`s\^df_J³´¡TZTa \^cedfZ»db³�m|dfUOV{a���dfm|Vnoa�dfZ]£fV  »mrV \�k'��QTc�ajQ>\r¡T_rZpm�df¡p\¢\^d�§3V�\^QTV¤mrV \�È�9oTV�¹9ZpVnog§]¥ AK��®e�f�$N ¸

� � D�e�L ��� � � D^e�L � / c¦³ e�C�È�9HJ db\rQTVn_x��c�m|V A��'®��B�GN

PRQpc�m²a�`bZǧ.V¨ajQTVna 'sVno df¡p\�Vn`bmrce�¦¥ A5mrV�V �©�s�{³´df_oTV�\^`bce��m N ® Y[Z � �s�Kk¤\rQTV�`b¡p\^Qpdf_�T_rdf�.dfm|Vnm�`ZTdfZT�eceZTV�`b_±�p_rdsvxV�a�\^cedfZ�`b�elfdf_|ce\rQTU \rdU"ceZTceUOc�µ�VO\rQTVO~R¼ � UOd�oTV��K®�PRQTV�T_rdf§p��V�U¿c�m�¸ :=< >� K ��� � D^b L H ;

Z�� PSR 9]b P ?��� A��'®��-�>N·¯VJQ9`�£fV�\rQTV�³´df���ed-��c�Zpl{_rV�mr¡T�¦\�ks��QTc�ajQFa�dfUOVnm!³´_rdfU mx\j`bZToT`b_ro�andfZ]£fVi �op¡9`b�ece\[¥�\^QpVndf_x¥�e�-�B��¸� � Å 2 Å ��#´��# Å'& * " / " �"!$#&%(' � � ��� �� �� ������ ��3 &� �()+*-,.#/' � � �>�"0G��� �1��

b � R�932�4 � � D@R L A��'®��BªGN� ��� "��52 � �� ��� "I� �� m�� ��'�G� � " ������ "h ��6�%È�9 � ��7� � �O �1 �()+*-,.,/'/'8*·IV{¡pmrV{\rQTV{³´df�e��d-��ceZTlF`b�elfdf_|ce\rQTU \^d�andfUO�T¡p\rV92�4 � � D@R L ®�Y¾\<ceZToTVnV�o�`bUOdf¡TZ]\^m¢\^d

¹9ZToTceZTlT¸ � : < ? P:�9oTce£ DB?aL 9fRTP ?�<; ? � O ? % W O ' ;=���O= � � ;>=LSLSGS�= � D A��'®���)>NPRQTc�m��T_|df§T�eVnU an`bZM§.V±mrdb�e£bVnog§]¥²`�¹p �VnoM�3dbc�Z]\�UOV�\rQTd�oA¸

? R �0/ A��'®��-­>N

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 15: Dual norms and image decomposition models

�B� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

`bZTo?�� �_V% W � ? �% W H��5D -�D5opce£ DB? � L 9fR ���'LOL$% W

; H�� O D -�D5opce£ DB? � L 9fR ���'LOL$% W O A��'®×�b�>NY[Z��©�B�Acem�lbce£bVnZ`�mr¡�("anceVnZ]\�a�dfZToTc¦\^cedfZ>V�ZTmr¡T_|c�Zpl�\^QTV¤andfZ]£bVn_rlbVnZTa�V±db³«\^QpVº`b�elfdf_|ce\rQTU�¸ce\�c�m�mrQpdB��ZI\^Q9`s\�`bm���dbZTl�`bm�� ' ; ���pk \^QTV�Z3�9oTce£ DB? � L±andfZ]£fV�_rlfV�m�\^d 2�4 � � D@R L�`bm� HKJ ®

� � � �²�>�!�n�� ������������ �6�dfZ]\^_^`s_rce�e¥�\rd±\^QTVRa�dfUO�T¡p\j`w\^cedfZ�ds³3\rQTV�� ZTdf_rU ��QTceajQ»cemuV�`bm|c��¦¥Odf§p\^`bc�ZpVno"dfZTanV<\rQTV�<`�£fV���V \RoTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZ>db³3\^QTVzceU�`slfV¤QT`bm¢§.VnV�Z>�.Vn_|³´db_rUOVno«k1\^QpV¤db\rQTVn_JoT¡9`s�.Zpdf_rUOm`b_rV±�eVnm|m¤Vn`bm|¥\rd"a�dfUO�T¡p\rVb®

� �� � ��!�92 ����� �� � � ���·¯V�¡Tm|V�\rQTV��T_rdwvxVna�\rc�dbZg`b�elfdf_|ce\rQTU AK��®×�s� N ®

� V \ R�§.V�`bZ�c�U"`blfV±��c¦\^Q²µnV�_rd"U"Vn`bZ«®u·IV�_|VnU"`b_ '»\^Q9`w\�ce³ � + /pkp\^QpVnZ«¸R5� 2�4 � � D�R L A5Wp®e�$N

ce³p`bZTo�dfZT�¦¥±c¦³ PSRTP!9 ' � ®,PRQ1¡Tm!dfZTV«vx¡Tmx\!ZTVnV�o�\rdza�dfUO�T¡p\rVJ\rQTVuZTdf_|UDdb³ R 992�4 � � D@R L\^d ''ZpdB� c¦³���cem¤��`b_|lfVn_<A5c¦³¬\rQTV�Zpdf_rU¿cem{µ�Vn_|d N<df_¤m|U"`b���eVn_dA5c¦³¬\rQTV�Zpdf_rU¿cem{�.dfm|ce\rce£bV�N\^Q9`bZ PSRTP!9,®uPRQ'¡pmz�¢V�an`bZ�¹9ZToEPSRTP!9�§1¥>oTc�ajQpdb\^dfU�¥f®

��� 4%Å ��#´�$i � ��f®�Y[ZTc¦\^c�`b��ceµ�`w\^cedfZ«¸�� R � /"`bZTo� R ��� k.��QpVn_rV�� cem{`smrmr¡pU"V�og\^d"§.V�m|¡TajQg\^QT`s\

PSRTP!9 ' � ®��®�Y¾\^V�_^`s\rc�dfZpmn¸¢°�V�\ � � �_V%����� ��� �? ® 6�dfUO�T¡p\^V 2 � ��� � ��� D�R L<§]¥¡Tm|c�Zpl AK��®×�s� N ®

Y¾³ 2 � ��� � � � D@R L �� R,k.\^QTcemºUOV�`sZTmº\^Q9`w\ � � �_V ' PSR P!9,®±PRQ1¡Tm±mrV \!� � �_V � �� �_V`bZTo"� � �_V��#� � ®

¼{\^QTV�_|��cemrVQA´cK® Vb®ºc¦³ 2 � ��� � � � D�R L � R N k%\^QTcemºUOV�`sZTm{\^QT`s\ � � �_V � PSRTP!9!®{PRQ1¡TmmrV \$� � �_V�� � � �_V�`bZpo%� � �_V �#� � ®

Wp®¤°'\^db�T�TceZTlF\^Vnmx\�¸���V�mx\^df�²ce³ O � � 9&� � O '(' ®�´ã õ �´Ý

Page 16: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �-W

�zV�£bVn_|\rQTVn�eVnm|mnk3c�Z�df¡T_RZ1¡TUOV�_rcea�`b� \^V�m|\rmnkT�¢V�QT`-£bV�³´db¡TZTo\^Q9`w\R\^QTcem�U"V \^QTd'o�oTd'VnmZTdb\�lfc¦£fV�`F�T_rV�ancemrV�`b�T�T_|d- �ceU"`s\^cedfZ²db³,\rQTV7±h¾ZTdf_|U�db³¬`bZ�c�U"`blfVs®

� �.- � �9�9% ����6 ������� ����6 "$���������������������� 6�% �� �5� � $�/ " * "�! �S& �-� Å Æ ,�b��# Å'&Y[Z��¦�-�s�KkT�MV ¥fV�_<Q9`bmJc�Z]\r_rd'oT¡TanV�o�`�ZTV �ÇUOd�oTV��9\^d�m|�T�ece\<`�lfc¦£fV�Z>c�U"`blbV R²ceZ]\^d�`�mr¡pUb H e�db³A`±§3db¡TZToTV�o"£s`b_|c}`s\rc�dbZ"a�dfUO�3dbZTVnZ]\¢`bZTo�`±andfUO�.dfZTVnZ]\JandbZ1\^`bceZTc�Zpl�\rQTV�dfmra�c��ïh�}`s\rc�Zpl>�9`b_x\ºdb³u\rQTV�ceU�`slfVb®ºPRQpc�mºUOd'oTVn�,Q9`bmº§.VnV�Z�¹9_rmx\±mr¡pananV�mrmx³´¡T���¦¥�ceUO�T��V�UOVnZ]\^V�o§1¥�[�VnmrV�`bZpog¼ºm|QTVn_��©�b�s�K®uy oTce½3Vn_|VnZ]\{`b�T�T_|d]`bajQ�Q9`bmR§.VnV�ZM�T_|df�.dfmrV�oMceZ�� �Tk9�w��®¬·IV��c��e� ³´d�a�¡Tm¤dbZ²\rQTc�m¤dfZTVsk%��QpVn_rV�\^QTV�oTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZ�cem¤a�dfUO�T¡p\rVno�§]¥�UOc�Zpc�UOceµnceZTl`andfZ]£fVi "³´¡TZTa�\rc�dbZ9`b�T��QTceajQ>oTV��3V�ZToTmJdfZ"\rQTVR\[��d�£s`b_rc�`b§T�eVnmTb>`bZpo e%k'`b�¦\^Vn_|Z9`s\rce£bVn�¦¥�ceZV�`bajQ�£s`b_rc�`b§T�eVb®�*�`bajQ²UOc�ZTceUOc�µn`s\^cedfZ²c�mR§T`bmrV�oMdfZ\rQTV±�T_rdwvxVna�\rc�dbZg`b�elfdf_|ce\rQTU AK��®Ú�b� N ®

PRQpV��T_|df§T�eVnU�\rdOmrdf�¦£fV�c�mR\rQTV±³´df���ed-��c�Zpl A@R�§.VnceZTlO\^QTV�oTV�lf_^`soTVno²c�U"`blbV�N ¸

: <�>$ � W � & K � � � ��� � � D^b L H ;Z�� PSR�9 b�9]e P ?� � A5Wp®Ú�>N

��QTVn_|V

8 È 9 � ,$e C 7 �'PIe P!9 ' 8 1 A5Wp®©W N`sZTofPIe P!9�cemzopV�¹9ZTV�og§]¥ Aå�f®ÚW>N k9`bZpo � D�b_L�§]¥ Ax�f®e�$Ni®PRQpV�`b�elfdf_|ce\rQTU \^d mrdb�e£bVI\^Qpc�m²�T_rdb§T��V�U ¡TmrV�oDceZ � �Tkz�w��ZTVnV�oTmM\rQ1¡Tm²\rQTV¨\[��d

�9`b_^`sU"V \^V�_rm � `bZTo38¬®MPRQpV>�9`b_r`bUOV�\^V�_ ��andbZ1\r_rdf�em�\rQTV ��?|h[Zpdf_rU db³R\rQTV»_|Vnm|c�oT¡T`b�R�9 bh9 e%®uPRQTV±m|U"`b���eVn_ ��c�m�kp\^QpV±mrU"`b�e��V�_<\^QTV ��?RZTdf_|U ds³!\rQTV±_rV�mrceoT¡9`b� R�9 bh9 ec�m�®uPRQTV±�}`s_rlfV�_ 8�cemnkp\rQTV±UOdf_rV eOa�dfZ]\j`bceZTmRceZp³´df_rU"`s\rc�dbZ«kT`bZpo>\^QTV�_rV�³´db_rVº\^QpVºUOdf_rV bc�mJ`�£fV�_^`blfV�o«®uY[ZO³5`ba�\nk1\rQTV�ajQTdfceanV¤db³ �»cem�V�`bmx¥f®J¼ºZTV¬vx¡Tmx\¢ZpVnVnopm¢\^d�m|V�\¢ce\�£fV�_|¥Om|U�`s���5®� db_<c�Zpm|\j`sZTanVsk9c�ZM`b�e�A\^QTV±Vi p`bUO�T��V�m¤�p_rVnm|VnZ]\^V�ogQTV�_rVn`s³è\^V�_nkT�¢V�QT`-£bV�ajQTdfmrV�Z �6� /�S ;bk`bZTo»³´df¡pZTo>df¡p\<`�U"`w �ceU�¡TU ZTdf_rU�³´df_ Rh9 bd9�e"ds³�`b§.df¡p\��p®×��A´³´df_�£s`b��¡pVnm<_r`bZTlfceZTl³´_rdfU ��\rd�f�f�GN ®º¶¢¡p\{\rQTVh8¯�T`b_^`bUOV \^Vn_{c�mºU�¡TajQ�Q9`b_|oTVn_¤\^d�\r¡TZTVs®ºY¾\±andbZ1\r_rdf�em¤\rQTV7 ZTdf_|U�db³�\^QpV±dfmra�c��e�}`w\^ceZTl�a�dfUO�3dbZTVnZ]\ e%®J°�dfUOV±V  p`bUO�T�eVnmzdb³!\^QTVº£s`b�e¡TV±db³,mr¡TajQM`ZTdf_rU�`b_rV�oTcemr�p�}`�¥fV�o�ceZ�°�¡p§TmrV�a�\^cedfZgWp®×�'®

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 17: Dual norms and image decomposition models

��� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

/ " * " * 0 i Å #5� ÁgÅa` �$i Á 8 2,�p�w� � Á � Á �y{mrm|¡TUOVz\rQTVzc�U"`blfV b�Q9`bm�§3V�VnZ�oTVnlf_r`boTV�o�§]¥"`±l]`b¡Tm|mrc�`bZ»Zpdfc�m|V¤ds³3£s`b_|c}`bZpanV�� ? ®,·IV��df¡p��o"��c 'bV�\^d�_rV�UOdB£bVz\rQ9`s\�ZTdbc�m|Vb¸¬QTV�ZTanV��¢Vz��`bZ]\�\^QTV e�a�dfUO�3dfZpVnZ]\�\^d�§3V�`±��QTc¦\^VZTdfcemrV�db³!£b`s_rc�`bZTanV��>?�®

Y[Z�\^QTV¢~R¼ � UOV�\rQTd'o>�¦��)s�Kkbc¦\�cem,m|¡TlflfV�m|\rVno�\^d¤UOc�ZTceUOc�µ�V�\^QpVJ\rdb\j`b�]£s`b_|c}`s\rc�dbZ���c¦\^Q\^QTV±a�dfZTm|\r_^`bceZ]\R\^Q9`w\<\^QTV±_|Vnm|c�oT¡T`b�«Q9`bmRVi p`ba�\r�e¥�`�£s`b_|c}`sZTanV±db³���?�®uY¾³!�¢V±�<`sZ1\R\rdFoTd\^QTV�m^`sU"V�³´df_<\rQTV�`s��lfdb_rc¦\^QTU db³R� �b�KkT��V�Q9`�£fV�\^d '1ZTd-�D\^QTV7 ZTdb_rU¿db³¬`�.�`b¡pmrmrc�`bZZTdf_rU db³ ''ZpdB��Z�mx\j`bZpo9`b_rogoTV�£'c�`s\^cedfZ«®¤PRQ9`bZ5'1m{\rd�\^QpV�QTdfUOdflbVnZTV�ce\[¥Mdb³u\^QpV�ZTdf_|U�kP � P!9 ���ÇmrQpdf¡T�eo §.V²_|df¡TlfQp�e¥�a�dfZTmx\j`bZ]\ AK`s\"�eV�`bmx\���QTV�Z \rQTV�Z'¡pU�§.Vn_»ds³º�.dfc�Z]\rm"cem�}`b_|lfVºV�ZTdf¡TlfQAkTlfc¦£fVnZ\rQTV±mrceµnV±db³�\rQTVºceU�`slfV�NikTQTd-��V £fV�_nk9\^QTV±mx\^_|dfZTlFZTdfZp��ceZTV�`s_rc¦\[¥>db³\^QTV 7ÇZTdf_|U opd�V�m¬ZTdb\¬`b���ed-� ¡Tm�\^d{ajQTVna '�_|c�lbdf_rdf¡pmr�¦¥�\rQTcem¬³5`ba�\ A5ceZ�db\^QpVn_��¢df_ropmnkf\^QT`s\\^QTcem��iandbZTm|\^`bZ]\��Jcem �'¡pce\rVRc�ZTm|VnZTm|ce\rce£bVz\rdº\^QTV��9`b_|\rc�a�¡T��`b_u_rVn`b��ceµ�`w\^cedfZFdb³%\^QTV .�`b¡pmrmrc�`bZZTdfcemrV±��V�andbZTmrceoTVn_ N ®

·IVzQ9`�£fV{a�dfUO�T¡p\rVno»\rQTV 7DZTdb_rU�db³«��Qpce\rV¤l]`s¡Tmrm|c}`bZ»ZTdfcemrV{ceU"`blfV�m A´db³A£s`b_|c}`bZpanV� ? NO��c¦\^Q \rQTV�`b�elfdf_|ce\rQTU V  ��T��`bceZTVnoÇceZ mr¡T§pmrVna \^cedfZ Wp®��b® � df_"c�ZTmx\j`bZpanVbk��¢V�Q9`�£fVajQTVna 'sVno\^Q9`w\�\^QpV 7 ZTdf_|U ds³�`���QTc¦\^V¤l]`b¡Tm|mrc�`bZ>ZTdbc�m|V{��ce\rQ»£s`b_rc�`bZTa�V��7� ;¤c�mJ£fVn_x¥an�edfmrV±\^d��f®©�F³´df_�`bZ�c�U"`blbV�ds³�m|c�µ�V��B� )1�B�G)�®

�±ZTd-��ceZTl¯\rQTc�m�k<��VMa�`bZ \^QTV�Z andbU"�p¡p\^V²\^QTV�7 Zpdf_rU db³±`bZ]¥ ��Qpce\rVgl]`b¡pmrmrc�`bZZTdfcemrV � db³�m|c�µ�V��-�G)1�B� )pkp�T_|d-£�ceoTV�oM�¢V 'sd-� ce\rmR£b`s_rc�`bZTanV��>?�¸

P � P!9 � ; S���� A5Wp® � NPRQpc�mºlbce£bVnmº\^QpV�£s`b�e¡TV�db³u\rQTVd8��T`b_^`bUOV \^Vn_z³´df_¤\rQTV�`s��lfdb_rc¦\^QTU db³z� �b�K® � celf¡T_|V»�

mrQTd-��mzQTd-� \^Qpc�m�ajQTdfceanV�db³!\^QTV��9`s_^`bUOV�\rVn_ 8¨�3V�_|³´df_|UOmzdbZg`F�9`b_x\^cean¡T��`b_�a�`smrVb®

� ��� � ��!�92 ����� �������� � � ������������� ���"!$#&%�'��V \ ?�C DF;>=IHKJMLi® � V�\�R�§3V�`�³´¡TZTa \^cedfZ²��c¦\^QMµnV�_rdOUOV�`bZ]A5c5®©Vs® ! V$#&% W '# � R0% W ��/ N ®·IV���`bZ]\²\rd andfUO�T¡p\rVMPSRTP�U�VXW YfA5m|VnV A���®Úª>NmN ® � V \�¡Tm�mrV�\ � � YY�U�V A´mrd�\^QT`s\VY H V

� � ;$Ni®� V \¤¡pmz_|Vnan`b���«\rQ9`s\ PIb P�VXW � � P -cb P � A5mrV�V AK��®©� NON<`bZpo«¸

PSR P�U�VXW Y�� �I������� ��� � #�V D@R'= b_L*� � �������� ��� � � V D�Ra= b_L � � �I����������� � V D�R'=Ob L*� A5Wp®Ú�>N

·IV���d'd '»`s\�\^QTVº³´df�e�edB��ceZTl"UOc�ZTceUOc�µn`s\^cedfZM�T_rdf§p��V�U²¸� : <� K � D � D�b_L 9 D�Ra= b_L � L A5Wp®©� N

�´ã õ �´Ý

Page 18: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �B�

¼º_|c�lfceZ9`b�Ac�U"`blfV �zdfc�mx¥�c�U"`blbVdREA �7� ��� N

~�Vnmx\^df_|Vno²c�U"`blfV A^b�� �b��N �¤dfcemrV A^e�� �b��N� �0/�S ; 8 � ; S���� �7� � �

~�Vnmx\^df_|Vno²c�U"`blbV�A^b���� N �¤dfcemrV�A�e���� NA �7� ��� N

� celf¡T_|VF�f¸��{V�ZTdfcemrceZTl

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 19: Dual norms and image decomposition models

�-� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

��QTVn_|V � D�b_L%� ;�

V$#&% W '# � O -�b(% W O � � ;

� P -�b P �� A5Wp®Úª>N

¶J¥ `bZ9`s��dfls¥ ��c¦\^Q \^QTV�a�dfZ]\^ceZ1¡Tdf¡Tm�mrV \r\rc�ZTlpk¤�¢V�oTV�¹9ZpVI`�oTcemra�_rV \^V ��`b�T��`banc�`bZdf�3V�_^`s\rdf_R§]¥mrV \r\rc�ZTl�� b.� opce£ D -�b_Li®� � Å 2 Å ��#´��# Å'& / "�!a" � ���b]� � � ��� � ������� ����� " &� ��� *-#/'� � ����� � ��� �80G� �� " ; ' �O= � '� �

oTc¦£KD O -��b(% W O � U ? -��b(% W �L � % W � R0% W A5Wp® ) N� " �� �0G� " � � �d�G���� � �80G��

PSR P Y U�VXW Y � P -��b P �� � V$#&% W # � O -��b(% W O � � � � D��b'L A5Wp®©­ N

��� � �#"I����� ��� �#" � � �����d? � Z � � � �����(����b � R AKW�®��-�>N

�G�'PSRTP�U�VXW ? � P -��b P �

V$#&% W '# � O -��b(% W O ? AKW�®��f��N

� � Å«Åa` � AKWp® ) N¢cemR\^QTV *u¡T�eVn_åh ��`blf_r`bZTlfV±V �'¡T`s\^cedfZ�db³ AKWp®©� Nik9`bZTo�c¦\^mRandbU"�p¡p\j`s\rc�dbZ²cemm|\j`sZTo9`b_|oMdfZpanV�dfZTV�Q9`bm�_|VnU"`b_:'sVno²\^Q9`s\<D ����D�b_L�=��'L*� � O -�b O � U ? D -cb = -��aL ��®

�´ã õ �´Ý

Page 20: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �Bª

·IV�a�dfZTanV�Z]\^_^`w\^V�ZTd-� dfZEA5Wp®©­ N ®¤Y¾\ºcem{��V���� '1ZTd-��Z¨\rQ9`s\z\^QTV ��V�lfVnZpoT_rVih � VnZTajQpVn�\^_^`sZTm|³´df_|U�db³ V� PSRTP � VXW � cem

VY PSR P Y U�VXW Y k9`bm�mrQpdB��ZM§]¥>\^QTV±³´df�e�edB��ceZTl"andfUO�T¡�\j`s\rc�dfZA¸

� ;� PSRTP � VXW � � � � �I��� � D@R'= b_L �39 ;� P -�b P �� �� �I��

����� R W � � ��������� � V�� � D�Ra=�� b_L �]9 � �� P -�b P �� �� �I��

����� R W � � ��������� � V�� � �SD�Ra= b_L �]9 � �� �

� �I����� R - ���������� � � V �SD�Ra= b_L �]9 � �

�/

� �I����� R � ��PSRTP�U�VXW Y 9 � �

� �� ;? PSRTP

Y U�VXW Y

·IV±\^QTV�_rV ³´df_rV�oTV�oT¡TanV�\^QT`s\

9 ;? PSRTP

Y U�VXW Y � � :=<� D � D�b_L 9 D@R'= b_L*� L�� � D��b'L 9 D@R'= �b_L*� AKW�®��B�GN

PRQpV�m|df��¡�\^cedfZ �bMdb³ AKWp®©� N�m^`w\^cem|¹9V�m

� D��b'L � ;�

V$#&% W '# � O -��b(% W O � � ;

� P -��b P �� AKW�®��-W>N

`bZTo�§]¥ *�¡p��V�_ m¤ceoTVnZ]\rce\[¥�¢V�QT`-£bV D � � D��b'LI= �b'L �3� � � D��b'L ®¬·IV±\^Q1¡Tm�oTV�oT¡TanV�\^Q9`w\�¸D@R'= �b_L �3� � � D��b'L AKW�®���� N

� _|dfU A5Wp®e�B�>N k���V�lfV \�¸

9 ;? PSR P

Y U�VXW Y � DF; 9 � L � D��b'L�� 9 �? ��D �b'L AKW�®��B�GN

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 21: Dual norms and image decomposition models

��) ���������� ���� ����� �G���� ���� �

P�`s§T��V"�f¸uy mx\^_rc '1c�Zpl»V  p`bUO�T�eV

Y[U�`slfVnm �ºÉ ��? 9;>=IZ 7 � A��º`s¡T§«�-�pk9db_roTV�_z� N\rV  '\^¡T_|VnoMc�U"`blfV ���f�b�"�b�f� ­"�b�f� WfWO�f�f� Wf�f� ªs�]­lbVndfUOV�\r_rcea�ceU"`blfV �s���b�f� ­"�b�f� Wf�f�O�f�f� �b�f�f� W]�f�

.�`b¡pmrmrc�`bZ²ZTdfcemrV A �7�#� � N �>�-�b�"�b�f� ­"�b�f� ­�-�f� �B�b� �G)]ª

� ��� � % � ������9� ����������+2 ����������� � �� _|dfU t�_|df�.dfmrc¦\^cedfZTm±W�®��fk3��VOmrV�V�\^Q9`w\�`»�<`�¥�\rdandfUO�T¡�\^V PSRTP�U�VXW YFcem±§]¥�UOc�Zpc�UOceµ hc�ZTl:A5Wp®Ú�>N<`bZTo²§1¥>¡TmrceZTl�\rQTV±³´df_rU�¡T��`p¸

PSRTP Y U�VXW Y � ;� P -��b P �� � ;

V$#&% W '# � O -�b(% W O � � � ��D��b'L AKW�®��-�>N

·¯V�a�`sZMUOceZTc�UOceµnV�\^QTV�a�dfZ]£fV  �³´¡pZTa�\rc�dfZ � §]¥m|\rVnV��3V�m|\¤oTVnm|anVnZ]\n®

�>Á �¯�T�)(¬� ��QpVnZ ? � Z¢\^QTV�Z�c¦\ cem!ceUOUOVnoTc�`s\^Vu\rdRandfUO�T¡p\rV PSRTP�U�VXW ? � M DF9�R'= � U�V R L �§1¥>¡TmrceZTlO\^QTV�oTcemra�_rV�\rV � df¡T_|c�V�_<\^_r`bZTm|³´db_rU A´mrV�V�\rQTV�VnZTo²db³,mr¡T§Tm|Vna \^cedfZ�Wp®©� N ®

� ��� � 2$�!������ 6%�������29% ���������� #�( # & 4¨Á�� � � 2 � Á �

P,`b§T�eV"��a���Vn`b_r�¦¥�c��e�e¡Tm|\r_^`s\rVnm¤\rQTV�mr¡T�.Vn_|c�df_|ce\[¥�ds³�\^QpVd7 ZTdb_rU d-£fV�_z\rQTV ��?zZTdf_rU\^d²a�`b�p\r¡T_rV�dfmra�c��e��`s\^ceZTl��9`w\r\^V�_rZTm�ceZ�UOc�ZTceUOc�µn`s\^cedfZ��p_rd'anVnm|mrV�mnku`bm�an��`bceU"V�o�ceZ �¦�-�s�K®Y¾\�`b�emrd�c��e�e¡Tm|\r_^`s\rVnm±��Q]¥g\^QpVF¡TmrVOdb³�\^QpV.��ZTdf_|U cemº��V����u`so9`b�p\rVno�\^dm|Vn�9`b_r`s\^V�\rQTVZTdfcemrVb®

���$i Á �»� Å � 2 �-�p�$# Å'& �s�

~�Vnlf`b_roTceZTl \^QpV�ZTdf_rUOm¨db³"\^QTV�ceU"`blfV�m�ds³"��Qpce\rV lf`b¡Tmrm|c}`sZ ZTdbc�m|Vnmnk��¢V Q9`�£fVajQTVna 'sVnoD\^QT`s\²df¡T_�_rV�mr¡T�¦\^mMoTd Zpdb\²oTVn�.VnZTo dfZÇ\^QTV¨�<`�¥ df¡T_:.�`b¡Tm|mrc�`bZ Zpdfc�m|VIcemmrceU�¡T��`s\^V�o«¸u³´df_�Vn`bajQ>��QTc¦\^V±l]`s¡Tmrm|c}`bZZpdfc�m|Vbkp�¢V±Q9`�£fV±a�_rVn`s\^V�o>\^VnZopce½3Vn_|VnZ]\�c�U"`blbVnm

�´ã õ �´Ý

Page 22: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �-­

\rV  '\^¡T_|VnoMc�U"`blfV lfV�dfUOV�\r_rcea�ceU"`blfV .�`b¡Tm|mrc�`bZMZpdfc�m|V A �7� � � N

� c�lb¡T_rV���¸uy mx\^_rc '1c�Zpl�Vi T`sU"�p��V

P,`b§T�eV���¸uY[U"`blfVnmzdb³,mrceµnVO�B�G) 1�B�G)Y[U"`blbVnm �{É �? 7 9<;>=�Z � A��º`b¡T§«���pk9df_ropVn_^W>N�9`b_r`bU�� ���f�f�O�f�f� ­"�b�f� Wb�f� WbW"�b�f� ªbWb��9`b_r`bU�� )f�f�F�f�b� ­"�b�f� Wb�f� �s�"�b�f� �f­b��9`b_r`bU"W ­>)f�F�f�b� ­F�1�b� Wf�b� Wb�"�b�f� )f­b��9`b_r`bUO� �O�-�f�O�f�f� ­F�1�b� �s­f� �b�O�b�f� �fWb�ance_ra���V�m ��)O�f�f� WO�f�f� �s�f�f� ��)"�b�f� �G)b�.��b� �fªb�F�f�b� �O�b�f� Wp� �"Wf�b� ªsW.�Wf� )]�b�F�f�b� WO­f�f� �b��®×� W»ªb�b� �f���.��b� ���]�f�O�f�f� �OWf�f� )b� �²�-�b� ��)b�.K)]� �>�-�f�O�f�f� ­"�b�f� �-�b� ­²�-�b� �b­b�

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 23: Dual norms and image decomposition models

�b� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

�9`b_^`sU²� �9`s_^`bU��

�9`b_^`sU�W �9`s_^`bUO�

� celf¡T_|V�Wp¸uP,Vi '\^¡T_|VnogceU"`blfV�mance_ra���V�m

� celf¡T_|V±�T¸J¶ [ c�U"`blbV

�´ã õ �´Ý

Page 24: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� ���

.��b�QA �7� Z#/ N .��s�:A �5� � / N .)]�QA � � � � N

� celf¡T_rV���¸T.�`b¡Tm|mrc�`bZ²ZTdfcemrV�c�U"`blbVnm

dfZ���QTceajQO�¢VRandbU"�p¡p\^V�oO\rQTV<ZTdb_rUOmn®�·IV<Q9`�£bVRZTdb\^ceanV�oF\^Q9`s\,\^QTV<£s`b_|c}`sZTanV�m¬db³%\^QTV 7`bZToQ9<;G=IZºZTdf_rUOmJ`b_|Vzm|��celfQ]\^�¦¥O��`b_rlfV�_¬\^Q9`sZO\rQTV�dfZTV�mJds³3\rQTV �ºÉ `bZpo���?�ZTdf_|U"m�k�§p¡p\\^Q9`s\�\^QpV�¥IZTV�£bVn_|\rQTVn�eVnm|mO_rVnU"`bceZ �1¡Tc¦\^V>m|U�`s������ce\rQ�_rV�mr�.Vna�\�\^dM\rQTVnce_�UOV�`sZ¯£s`b��¡pVnmA5mrV�V�`b��m|d�P,`b§T�eV��"`s\�\^QTV�VnZpoMdb³,mr¡p§TmrV�a�\^cedfZgWp®Ú�>N ®

y¤m¢an`bZ"§3VzmrV�VnZ>dfZ"P,`b§T�eVº��k]\rQTVn_|V{`b�p�3Vn`b_rmJ`±£fVn_x¥"m|\^_|dfZTl�andf_|_rV��}`s\rc�dbZ»§.V�\[�¢VnVnZ\^QTV ��?zZpdf_rU `sZTo\^QTVc9;>=IZFZTdf_rU db³!\^QTV�ceU�`slfV�db³¬`F��QTc¦\^V�l]`b¡pmrmrc�`bZ²ZTdfcemrVs®¢PRQTcem��c��e� §3V�a�dfZp¹9_|U"V�oM§]¥\rQTV�_rVnm|¡T�¦\^mzdb³,\rQTV�ZTV  '\zmr¡p§TmrV�a�\^cedfZ«®

� ��� � ����� � � �5� ��0 6 � 9� ��� 62 �����6� � �����8�·¯V�a�dfZTm|c�oTV�_±`bZ�ceU"`blfV � � D � % W �L¤ds³�mrceµnV � � ��®ºP,dm|c�UO�T�ec¦³è¥fk«�¢V�¡TmrVF�.Vn_|c�d'oTceaandfZTopce\rc�dfZpm�ceZ¨\^QTcem�mr¡T§Tm|Vna \^cedfZMA´§T¡p\�dfZT�¦¥�ceZ¨\rQTcem�m|¡T§Tm|Vna�\rc�dbZaN ®O·¯VF\rQTVn_|V�³´df_|V"Zpdb\¡TmrV<A��'®×�>NikaA��'®ÚW N,`bZTo:A���® ) Nik©§T¡�\J`ºoTc�m|an_|V�\^Vzlf_r`boTceVnZ]\J`bZTo"`±oTcemran_|V�\rVzopce£bVn_rlbVnZTa�Vz��c¦\^Q�3V�_rced�oTcea�andfZTopce\rc�dfZpmn®<·IV�`bm|mr¡TUOV�\^Q9`s\ � c�m¤`bZgceU"`blfV�db³u`O��QTc¦\^V�l]`b¡Tm|mrc�`bZ�ZTdfcemrV��cK® Vb®¬³´df_<`b��� D��m= ��L k � % W z³´db���ed-��m�`�l]`b¡Tm|mrc�`bZ��}`�� ��QTdfm|V±�T_rdf§T`b§Tce��c¦\[¥>oTV�ZTmrc¦\[¥>³´¡TZpa�\^cedfZ_rV�`soTmn¸

R D4�_L � ;� Z� � ? F � � � 9 � ?Z�� ? � AKW�®��BªGN

��QTVn_|V � ? cemz\rQTV±£s`b_rc�`bZTa�V±db³�\rQTV�ZTdfcemrVb®

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 25: Dual norms and image decomposition models

�f� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

� � Å 2 Å ��#´��# Å'& / " * "� D�P � P ? U�VXW ? L��0� S � DIP � P ?� L AKW�®���)>N� ��� "�� � � �<� �� �� �����G����� ����� �:��X�����'��h ���� 1 �� � ��� �������h &�K� ��� ��������� *

� � Å«Åa` � ·¯V�§.VnlfceZM§]¥a�dfUO�T¡p\rc�ZTl � D�P � P ? U�VXW ? Li®·IV�andfZpmrceoTVn_�\^QTV±³´¡TZpa�\^cedfZ9`s�K¸:=<�>� ��D^b L AKW�®��-­>N

��QTVn_|V ��D^b_L%� ;Z P -cb P ? 9 D � = b_L � AKW�®×�b�>N

��cem¤a�dfZ]£fVi �`bZpog�emra A´��d-�¢Vn_¤mrVnUOc!andfZ]\rc�Z1¡Tdf¡pm�N ® �zVnZTa�VQA5m|VnV>�¦�f� �!³´db_¤ceZTm|\^`bZTa�V�N\^QTV�_rV�V  �cem|\^m��bgm|df�¦£�ceZTl��T_rdf§p��V�U AKWp®e�-­ Ni®uy{m�ceZg°'¡T§TmrV�a�\rc�dfZ�Wp®ÚW�kp��V�lfV \�¸

D -��b5= -��aL� � D � = �aL � � �²��c¦\^Q²µnV�_rd"UOV�`bZ«® AKW�®×����N·IV�oTV�ZTdb\rVF§1¥��"\rQTV�ceU�`slfVFmr¡TajQ�\rQ9`s\�� R W R � ;fk«`bZTo�� % W � />db\^QpVn_|��cemrVs®�·IV

oTVnZTds\^V�§]¥5P \^QpV�m|df�e¡p\^cedfZ²db³,\rQTV��T_rdb§T��V�U�¸

:=< >� �C� � ;Z O -cb O ? 9��$b � AKW�®×�f�GN

`bZTo�\^Q1¡Tm¬�¢VRQ9`�£fVD - P = -��aL��� D���= �aL �I³´df_u`b�e� ����ce\rQFµnV�_rd�UOV�`bZ«®!·¯VRceZ]\^_|d�oT¡panV`Oopc�m|an_rV \^V�andfZ]£bdf��¡�\^cedfZ«¸

R � 1 D4�5=�� L%� % W R % W �1 J U&% W �IU AKW�®×�bW>N

Y¾\�cem�V�`bmx¥>\^dOajQTV�a '>\^Q9`w\� � R7� R �� � Rg³´df_�`b�e�5R A5ceZ�³5`ba�\nk P cemR\^QTV<.±_rV�VnZ³´¡TZTa�\rc�dbZg`bm|mrd'anc�`s\^V�o²\rdO�T_rdf§p��V�U AKWp®e�-­ NmN ®

� V \¤¡pmzZpdB� andfZpmrceoTVn_ b6� � � P �Tc5®©Vs®Tb � ! % W b % W Bk���ce\rQb(% W �D��5=�� L � � % W P J U&% W �IU AKW�®×�s� N

b�cem�\^QTV�mrdf�e¡p\^cedfZMdb³u�T_|df§T�eVnU:AKWp®e�-­ Ni®<Y¾³ �gQ9`sm{µnV�_rd�U"Vn`bZ«k%\^QTV�ZED -cb5= -��aL� �D � � - P = -��aL��� D - P =��� � -��'L��� D �$=��� � �aL �Q� D � ���$=��'L*�Q� D � = �aL � A´�¢VzQ9`�£fV

�´ã õ �´Ý

Page 26: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �bW

¡TmrV�o¨\rQTV�³5`ba \±\^Q9`s\cD � � �a= ��L*� � D �'=��� � ��L �D��QpVn_rV��� % W � 9 � % W SN ® � _|dfU A5Wp®e�f�$N k��V '1ZTd-�D\^QT`s\ P � P�U�VXW ? � P -�b P ? ®�·IV�ZTdb\rc�a�V�\rQ9`s\ -cb6� � �%- P ® �¤V�ZTanVs¸

% W O -�b(% W O ? � D � ��-�P = � �%- P L � D � = � � P L ��

��W � � ��W � � � P D��_= ��L�

��W � � ��W � % W � % W !P �IU&% W �BU

·¯V�andbZTan�e¡ToTV�\^Q9`w\�¸ % W O -cb % W O ? � % W FW ��W � � % W � ��W �=P ��U&% W � U AKW�®×�f�GN

y¤ZTo�\^Q1¡Tmn¸

� - % W O -�b(% W O ? / ��� D P ��U&% W � U � % W � ��W � L��0P ��U&% W � U � D � % W � ��W � L AKW�®×�b�>N

y{m�\^QpV � % W »`s_rVceZToTVn�.VnZpo9`bZ]\�k���V�Q9`�£bV!�MD � % W � �IW � L � ��D � % W �L � D � ��W � L���QpVnZTV £fVn_D��O= ��L �� D��_= ��Li®J�Mdf_rV�d-£fVn_�k � D � % W SL �0/pk9`bZpo!��D � ?% W L�� � ? ® �¤V�ZTanVs¸

� - % W O -�b(% W O ? / � � ? % W P % U&% W �U AKW�®×�fªGN

·¯V±\^Q1¡Tm�lfV \�¸� - % W O -�b(% W O ? / ��� ? � ? P R W R AKW�®×�G)>N

·IV�a�`bZM`b�emrdOdf§Tm|Vn_x£fV�\rQ9`s\n¸ % W O -�P�% W O ? � D - P = - P L � D���= P L � �0P R W R AKW�®×�b­>N

°'d"�¢V�a�`bZ²_rV ��_rc¦\^V AKWp®Ú�G) Ni¸� D�P -�b P ? L���� ? � ? P - P P ? AKW�®ÚWf�>N

AK`bZTo³´_|dfU tu_rdf�.dfm|ce\rc�dfZ²Wp®e�±��V '1ZTd-�D\^QT`s\ P -�b P � P � P�U�VXW ? N

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 27: Dual norms and image decomposition models

�s� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

� ? &�Å � � � ·¯V�Q9`�£bVb¸P � P ?� � % W D � % W �L ? AKW�®ÚWp��N

�¤VnZpanV� D�P � P ?� L�� % W � D � % W �L ? � AKW�®ÚW]�GN

y¤ZTo���V�lfV�\n¸� DIP � P ?� L�� � ? � ? AKW�®ÚWfW>N

·IV\^QTV�Z lbV�\O\^QTV�_|Vnmr¡p�e\"db³{tu_rdf�.dfmrc¦\^cedfZ Wp®Ú����c¦\^QQ� � P -�P P�? � P R W R �P �aP�? U�VXW ? ®

PRQpc�m�lfc¦£fV�m�`�mrceU"�p��V±\^V�m|\R\rd ''ZpdB� ce³,`bZceU"`blfV±an`bZ§3V�`���Qpce\rV±l]`b¡Tm|mrc�`bZ�ZTdfcemrVdf_,Zpdb\�®,PRQTc�m�_rVnm|¡T�¦\ua�`bZ�`b��m|dº§.V�¡Tm|V�³´¡T�'��QTVnZ�\r¡TZTceZTlº\^QTV¢�9`b_r`bUOV�\^V�_rm¬ds³%`{oTV�ZTdfcemrZTl`b��lbdf_rc¦\^QTU ¡TmrceZTlO\^QTVc9;>=IZ�ZTdf_|U�®

�>Á �¯�T�)(¬� 0 Å �32 �-�p��# Å'& Åa` �$i Á � Å'& � �-� & � ��Åa` � � Å 2 Å ��#´�$# Å'& / " * ¸� V \¤¡pmzopVnZTdb\rV�§1¥����<\rQTV�UOV�`bZ²db³ �'k%`bZpoM§]¥ �� � ��9����n®� _|dfU AKW�®×����N k���V²lfV�\O\rQ9`s\�¸ � P � 9 ��'® °�d¨³´df_rU"`b�e�¦¥fk¢�¢V²a�`bZ ��_rc¦\^V P �

9 � U�V D �� L ®O·IV"QT`-£bV�m|QTd-��Z¯\^QT`s\ � � P ���P�? U�VXW ? � P -�P P�? ®O·IV"\rQ'¡pm�Q9`�£bV � �D -�� U�V D ��GLI= -�� U�V D ��GLmL�;�gD 9 �� =�� U�V D �� LOL*�¤®PRQpVn_rV�_rV�U�`sc�ZTm�\^d²andfUO�T¡�\^V � U�V D ��GLi®PRQTc�m¢a�`bZ�V�`bm|c��¦¥O§.V¤oTdbZTV¤��c¦\^Q"\^QTV �{cemran_|V�\rV � df¡T_rceVn_�P!_^`bZpm|³´df_|U A�� � P Ni®]·¯Vz_rV�a�`b�e�\^Q9`s\�\rQTV � � P�db³�`�lfce£bVnZDopc�m|an_rV \^V�c�U"`blbV D@R D�� = � LOL1A / '

�' � 9 ;I`bZTo

/ ' � ' � 9M;$N�cem�lfce£bVnZM§1¥1A / ' ? ' � 9M;�`bZTo�/ ' � ' � 9 ;$N ¸

� D�R LSDB? = � L � � DB? = � L � � U�V � � R

� U�V � � R R D�� = � L� U I$ ?� � � & Y � � U $ ?� � � & � � AKW�®ÚWb� N

`bZTo\^QTV�ceZ]£fVn_|mrV�\^_^`sZTm|³´df_|U¿cemn¸

R D�� = � L�� ;� ? � U�V Y � R

� U�V � � R ��D ? = � L� I$ ?� � �

& Y � � $ ?� � � & � � AKW�®ÚW]�GN

�´ã õ �´Ý

Page 28: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �f�

P,`b§T�eV�W�¸ [J`b��¡pVnm�db³ � �+� P ���P�U�VXW ? � P - P P'�Y[U�`slfV±mrceµnV ; � ? � Z ? ��� ? ;$Z�� ? Z � � ? � ;$Z ? ;'/ Z�� ? Z /�� � ? � /��"� ? � ;�� Z ? ; � � ��� ?

� � ��®Ú�f­ �p®Úªfª �p® )b� �p®©­p� �p®©­]ª �f®©�p� �f®©�]ª �b®��B� �f®��-ª �f®×�b� �f®Ú�b�

�²df_rV�dB£bVn_�ks�¢V�`b��m|d�Q9`�£fV P � D@R L$P ?� � � ? PSR P ?� `bZTo D�� D�R L�= � D�1 LOL*� � � ? D@R'=I1 L �z®� V \�¡TmR_rV�U�`s_:'�\rQ9`s\ � D�� L�D ? = � L%� ;���? k9`sZTo\^Q9`s\ � D ��GLSDB? = � L ��/�c¦³'? � � ��/

`bZTo¨��ds\^QTV�_|��cemrVb®·IV�Q9`�£fV���R D�� = � L � R D�� H ;>= � L H R D�� 9M;>= � L5H R D�� = � H ;$L5H R D�� = � 9

;$L 9�� R D�� = � Li®J°'\j`sZTo9`b_|oMa�dfUO�T¡p\j`w\^cedfZTm���Vn`bo�\^dT¸

� D ��R LSDB? = � L%� Z ��� � � Z�� ? � H � � � Z �� � � 9 Z � � D@R L�D ? = � L AKW�®ÚWf�>N

·¯V�oTV�oT¡TanV�\^QT`s\�kTc¦³ R�Q9`smzµ�Vn_|d�UOV�`sZ«kT\^QTV�Z²³´db_DB? = � L �� D / = / L

� D � U�V R L�DB? = � L(� ;Z � � ?�� ? � H �� � ?�� � � 9fZ � � D@R L�D ? = � L AKW�®ÚW]ªGN

�zVnZTa�V

� D � U�V �� L�D ? = � L � � / c¦³ ? � � �0/V? D� ���� D B��� Y L � ���� D B��� � L U ? L db\rQTVn_x��c�m|V AKW�®ÚW>)>N

mrdO\^Q9`s\

�+� 9hD ���=�� U�V �� L �3� ;� ? $ Y�W � &��� $ R W R &;

Z Z 9 �� � ?�� ? � H �� � ?�� � �� AKW�®ÚWf­>N

·IVOQ9`�£fV"andfUO�T¡�\^Vno¨\^Qpc�m±��`-¥�\rQTVFandbZTm|\^`bZ]\N� ³´db_±oTce½3Vn_|VnZ]\�c�U"`blbV"m|c�µ�Vnm�A5m|VnVP�`b§p��V�W Ni®

P,`b§T�eV��andbZp¹9_rUOm�\rQTV_rV�mr¡T�¦\^mFdb³zP,`b§T�eV�Wp®¨P,d�¹T���<ceZ�P,`b§T�eV�Tk¬³´df_�Vn`bajQ mrceµnVA´³´_rdbU �-�1�-��\^d¨�'�B� s���-�>N k���V»Q9`�£fV>m|c�U�¡T�}`w\^VnoÇ�-�b�f�²ceU"`blfV�m�db³R��QTc¦\^V .�`b¡pmrmrc�`bZ

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 29: Dual norms and image decomposition models

�b� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

P�`b§p��V��T¸ �¤¡pU"V�_rcea�`b��a�dfUO�T¡p\j`w\^cedfZTm���ce\rQI�-�b�f�Fc�U"`blfV�m�db³���QTc¦\^V�l]`b¡pmrmrc�`bZ²ZTdfcemrV ���ce\rQMmx\j`bZToT`b_ro²oTV�£'c�`s\^cedfZ²V �1¡9`b� \rd²� Aè³´df_<\^QTV � ZTdf_|U `bZTo\rQTVc9<;>=�ZOZTdb_rU N

Y[U�`slfV�mrceµnV ; � ? � Z ? ��� ? ;$Z�� ? Z � � ? � ;$Z ?��DIP � P'� L �-�p®©� W]��®©� �s�T®Ú� �B�G) �f�b� ���B�M É���� DIP � P'� L �p®×ª'� �p®©�f­ ��®×ªf� �p®×ªsW �p®×ªsW ��®×ªb�� DIP � P�U�VXW ? L �f�f®Ú� �s�T®Úª �s� �f�-� �s�1ª �f�bWM É���� D�P � P�U�VXW ? L �p®Ú­fª �f® ) Wp®ÚW �p®©� �B� �f�

� $ � � ��� &� $ � � ��� ��� B & �p®×ªs� �p®Úªfª ��®�)b� �p®Ú­�� �p®Ú­b� �b®Ú�]�

P�`b§p��V���¸ �¤¡pU"V�_rcea�`b��a�dfUO�T¡p\j`w\^cedfZTm���ce\rQI�-�b�f�Fc�U"`blfV�m�db³���QTc¦\^V�l]`b¡pmrmrc�`bZ²ZTdfcemrV ���ce\rQMmx\j`bZToT`b_ro²oTV�£'c�`s\^cedfZ²V �1¡9`b� \rd²� Aè³´df_<\^QTV �{É ZTdf_|U¿`bZTo�\^QpV � Zpdf_rU N

Y[U"`blbV�m|c�µ�V ; � ? � Z ? ��� ? ;$Z�� ? Z � � ? � ;$Z ?��D2� D � LmL Wf­]� ���fªb� �"­]�b� �G)�-�f� �f�-WF�f�f� �1�f�F�f�f�M É ��� D2� D � LmL �b� �]W ­b� ��)f� Wf�f� �f­f���DIP � P � L �'®�)p� W�®×�b­ Wp®©�fW Wp®Ú­G) �T®ÚWb� �T®×�s­M É���� DIP � P � L ��®©�]� ��®ÚWb� �p®©W]� �p®ÚWf� �p®×� ) �p®×�s�

ZTdfcemrVO��ce\rQ�m|\^`bZTo9`b_|o¯oTV £'c}`s\rc�dbZ � V �'¡T`b�u\^d¯�b®Ú� A´\rdMZTdb_rU"`b�ec�µ�V»df¡T_�V  ��.Vn_|c�UOVnZ]\�N ®PRQTVnZ��¢V�Q9`�£fVFa�dfUO�T¡p\rVno�\^QpV�� ZTdb_rU `bZTog\rQTV�9;>=IZ�Zpdf_rU db³�Vn`bajQ�c�U"`blbVb®¤·IVQ9`�£fV<a�dfUO�T¡p\^V�o�\^QTV¢V  ��.Vn_rceUOVnZ]\j`s�TUOV�`bZF`sZToF`bZTo�`b��m|d{\^QpV�V  ��.Vn_|c�UOVnZ]\^`b�pmx\j`bZToT`b_rooTV�£'c�`s\^cedfZ«®zPRQTV�£s`b�e¡TV�m{db³ � $ � � ��� &

� $ � � � � ��� B & ds³uP�`s§T��V���¹T\¤\^QTV�£s`b�e¡TVnmºds³ � ��db³uP,`b§T�eV�W�k`bm±V  ��.Vna�\rVno�³´_rdfU tu_rdf�.dfmrc¦\^cedfZIWp®Ú��®�¶�¡�\±\^QTVFVi p�.Vn_|c�UOV�Z1\^`b��m|\^`bZTo9`b_|oIopV�£'c}`w\^cedfZTmdb³«\^QpVnmrV±Zpdf_rUOm<oTd�ZTdb\<QT`-£bV{\^QpVºm^`bUOVº§.VnQT`-£'cedf¡T_�¸¬\^QTV¤m|\j`sZTo9`b_|ooTV�£'c�`s\^cedfZdb³«\rQTV��_rV�U"`bc�Zpm<`b�eUOdfm|\�andfZTmx\j`bZ]\nk���QTV�_rV�`sm¢\^QpV{m|\^`bZTo9`s_ro>oTV £'c}`s\rc�dbZ>db³«\rQTVd9;>=IZ�ZTdf_rUmrVnV�UOm¤\^d�§3V�`bZ²c�Zpan_rVn`bmrceZTl»³´¡pZTa�\rc�dfZMdb³�\rQTV�m|c�µ�V�db³,\^QTV�ceU�`slfVb® �zV�£bVn_|\rQTVn�eVnm|mnkA\rQTVm|\j`sZTo9`b_|ogoTV £�c�`s\rc�dfZgdb³¬\^QpV 9;>=IZOZTdf_rU m|VnV�U"m¤\^d»ceZTa�_rV�`smrV�m|��d-�¢Vn_{\rQTVnZgce\rm¤UOV�`sZ«k`bZTo�`bm�mrd'dfZI`bmº\^QTVOm|c�µ�V�db³J\^QpV"ceU"`blfVOcem���`b_|lfVOVnZTdf¡plfQ«k \^QTVOmx\j`bZToT`b_ro�oTV�£'c�`s\^cedfZ_rVnU"`bceZTm¤mrU"`b�e�!��c¦\^Q�_|Vn�.Vna \{\^d"\^QTV�UOV�`bZEAè��QTceajQ�a�`bZ²\^QTV�_rV�³´db_rV�§.V�andfZTm|c�opVn_rV�o�`bm` �1¡Tc¦\^V�lfd'd�oV�m|\rc�U"`s\rV�db³!\^QpV�9;>=IZ�ZTdb_rU N ®

�´ã õ �´Ý

Page 30: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �fª

P,`b§T�eV±�±mrQpdB��m¢\^QTVz_rV�mr¡T�¦\^m��¢V{lbV�\J³´df_u\^QTV¤m^`bUOVzV  ��3V�_rceUOVnZ]\R��ce\rQ�\rQTV �{É `bZTo\^QTV � ZTdf_|U A´�¢V�_rV�a�`b�e� \^Q9`s\ � D�R L � PSRTP���� N ®

� ��� � � 6�% �� �5� � $� ��� �8�%*���1�� � � ��$����� /#�%���� ���8� ���#"9�&%·¯V�andbU"V�§9`sa '�QTVn_|V�\rd�\^QTV²UOd�oTV��R�T_rdb�3dfm|Vno §]¥ ¼ºmrQTV�_xhx°'df��qih [�V�mrV²c�Z �e�-ªw��®�·IV_rVnan`b�e�«\^Q9`s\R\rQTV�andfZpmrceoTVn_|Vnog�p_rdf§T�eVnU cemn¸

: <�>� � � D�b_L H ;Z8� PSR�9 b P ? U�VXW ? � AKW�®©�]�>N

PRQpV�³´df�e�edB��ceZTlO_rV�mr¡T�¦\¤QTdf�eoTmn¸� � Å 2 Å ��#´��# Å'& / " / " � �� b � ������ �� ���@�� �� &� � " ��� ��� ��� *����/'� � ������ e6� � U�V ��� U��4 �� �<���� �� ������ ��3 &� � ���d � �G� � " ��� ��� �

:=< >� � � Z P -�e P ? 9MD�R'=Oe L*�1H;� � D�e�L � AKW�®©�T��N

� � Å«Åa` � PRQTVn_|V�`b_rVIU"`bZ]¥ ��`�¥'mg\^d m|QTd-� \^QTcemEA´mrVnV �e���s��Ni® � df_�ceZTm|\^`bZTa�Vbk�dbZTVU�`�¥¯_rVn�p_rd'oT¡TanV>\rQTV�T_|d�db³zdb³¤tu_rdb�3dfm|ce\rc�dbZ �'®ÚW�lfc¦£fV�Z c�Z � �s��®�PRQ9`bZ�''mF\rdItu_|df�3dwhmrc¦\^cedfZ�Wp®e�fk9��V�Q9`�£fV�PSR 9Eb P�? U�VXW ? � DF9�R�H b5=�� U�V D@RQ9Eb_LOL*�¤®RY¾³ b�cemº`"UOc�ZTceUOc�m|Vn_db³dAKWp® �]� Nik¬\^QTV�Z«¸ /fC 9 � U�V � U��4 � H0/ � D�b_L k�c5®©Vs®�¸ � U�V � U��4 �1C+/ � D�b_L ® �¤VnZpanVb C / � � � U�V � U��4 ��]k¢cK® Vb®e¸�/ C ��U �4 9 �4 H V4 / � � � U�V � U��4 ��f® ·IV\^QTV�Z m|V�\e � � U�V � U��4 �fkA`bZpog��V�lfV�\n¸�/ C 9 � e 9 �4 H V4 / � � D�e�Lj® e�cem¤\rQ'¡pm±`�m|df��¡�\^cedfZ�db³�T_rdf§p��V�U AKWp® �T�$Ni®

��� 4%Å ��#´�$i � � PRQ9`sZ5'1m�\^dgt�_|df�.dfmrc¦\^cedfZ�W�®ÚWpk��¢V»Q9`�£fV� b � RQH�� �� e%® �¤VnZpanVbk,\^dandfUO�T¡p\rV� b�k,�¢V�vx¡pm|\�ZpVnVnoI\^dga�dfUO�T¡p\rV� e�mrdf�e¡p\rc�dfZIdb³R�T_|df§T�eVnU AKW�®©�T��N ®y{m � � cemlfce£bVnZ²§]¥ A���®e�B�>Nik� e»cemR\^QTV�mrdb��¡p\rc�dbZMdb³!\^QpV�³´db���ed-��c�ZTl"�T_|df§T�eVnU�¸

� :=< � Z P -"oTc¦£KD ?'L$P ? H D -�Ra=�?'L� ; ?�� O ? % W O ' ;9���m= � � ;>=LSLSLSS= � ) AKW�®©�1�GN

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 31: Dual norms and image decomposition models

�G) ���������� ���� ����� �G���� ���� �

¶¢¥ ¡pmrceZTl¯\^QpV�m^`bUOV�`s_rlf¡TUOV�Z1\rm�`bm»ceZ � �s�KkzdbZTVgm|VnVnm>\rQ9`s\�\^QTcem>�T_|df§T�eVnU a�`bZ §.VZ'¡pU"V�_rcea�`b�e�¦¥�mrdf�¦£fV�og§]¥²`�¹p �Vnog�.dfceZ]\¤UOV \^QTd'o«®

? R �0/ AKW�®©�]W>N`bZTo

? � �_V% W � ? �% W 9&�5D -:D �FoTc¦£DB? � L5H R ���'LOL*% W ; H�� O D -�D �FoTc¦£D ? � L H R ���'LOL$% W O AKW�®©�f� N

y{ZTo`sm¢ceZ�� �s��k1�¢V{mrQpdB�Ç\rQ9`s\¢ce³ �»c�m¢mrU"`b�e�3V�ZTdf¡TlbQ«k R H � �Oopce£ ? � b�`bm �% J ®

� � Á � #5�f� �<� Á � �´�B� � celf¡T_|VFª�cem{\rd>§3V�andfUO�9`s_rVno���c¦\^Q � celf¡T_|V»�f®z·¯V�a�`bZ�m|VnV\^Q9`s\R`bm�`FoTVnZTdbc�m|c�ZTl�`b�elfdf_|ce\rQTU�k�\^QpV�¼�°�[ UOd'oTVn�AmrVnV�UOm�\rdOdf¡p\^�.Vn_x³´df_rUOmR§.db\^Q>\rQTV~R¼ � UOd'oTVn��`sZToM�MV�¥bVn_{UOd'oTVn�5®

� c�lf¡p_rV"�mrQTd-��m�`²a�dfUO�9`b_rcemrdbZI§.V�\[�¢VnV�Z¯\^QTV�¼�°�[ UOd'oTVn��`bZpo�\rQTV"`b��lbdf_rc¦\^QTUdb³º� �b�K®�y¤m�`²oTV�andfUO�.dfmrc¦\^cedfZ¯`b��lbdf_rc¦\^QTU A´\rQ9`s\�c�m�`bm�`bZI`b�elfdf_|ce\rQTU ��QTceajQ¯m|�T��c¦\^m�`lfce£bVnZceU"`blfVºceZ]\^dO`�lfV�dfUOV�\r_rcea�`b�3andfUO�.dfZTVnZ]\�`sZTo�`bZ>dfm|ance����`s\rdf_|¥»andfUO�.dfZTVnZ]\�N k�\rQTV`b��lbdf_rc¦\^QTU db³�� �b��m|VnV�U"m�\^dOdf¡�\^�.Vn_|³´db_rU�\rQTV�¼�°�[ U"d'oTV��K®

�>Á �¯�T�)(¬� Y[Z�\^QTV<¼�°�[ UOd'oTVn�_A5Wp®©�f� N kB\^QTcem�cem!ZTdb\!\^QTV¢ZTdf_rU §p¡p\,\rQTV�m �1¡9`b_rV¢db³p\rQTVZTdf_rU ��QTceajQ�c�mRUOceZTc�UOceµnV�o²³´df_J\^QTV±dbmrance�e�}`s\rdf_|¥»andfUO�.dfZTV�Z1\<A´§T¡p\<\rQTcemRc�m<V �1¡Tce£s`b�eVnZ]\¡T�²\rd"`"`FajQ9`sZTlfV�db³��T`b_^`bUOV \^Vn_��'N ®� ��� �����n � R���!� �� �� �²���������, �

�$�� /#����1� �������� 6�$6%��#������ � Å 2 Å ��#è�$# Å_& \5"@!�"� ��� � ��� �d�� �� 0G�� ���� ������ �� * � �����c� ��� �-� ��� ���� �� ��� � �����G�X���������^�

�#"��d� � ���"0��G� �������,8* �b � �d�c�� �� ���@�� ��3 &� � : <� � ��D^b L H ;Z�� PSR�9 b P ?��� A´�T®e�$N

)+* ���� R 9 �b � �d�c�� �� ���@�� ��3 &�� :=<� � � � D � ���'L H ;

Z�� PSR 9 ��P ?� � A´�T®Ú�>N

�´ã õ �´Ý

Page 32: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �b­

¼º_rcelfceZ9`b�«ceU"`blfV<R b�� �b� e�� �b�� �0/ S � 8 � ; � /

b ��� � e ��� �� � ;'/ / /

� c�lb¡T_rV��p¸ �{Vna�dfUO�3dbmrc¦\^cedfZ Aè\^QTV��9`s_^`bUOV�\rVn_|m¢`s_rV<\^¡pZTVno"mrd�\^Q9`w\�§3db\rQce ��� �²`bZpoO\rQTVe»andbU"�.dfZTV�Z]\¤lbdb\R��ce\rQM\rQTV�`b��lbdf_rc¦\^QTU db³�� �b�«Q9`�£fV�\^QTV�m^`sU"V ��?zZpdf_rU N

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 33: Dual norms and image decomposition models

Wf� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

¼º_|c�lfceZ9`b�Ac�U"`blfV �zdfc�mx¥�c�U"`blbVdREA �7� ��� N

~�Vnmx\^df_|VnoMc�U"`blfV �zdfcemrV�6���#/�S /

� c�lb¡T_rV�ª�¸��{V�ZTdfcemrceZTl»mx\^_|c��.VnmR��c¦\^Q�\^QTV�¼ºmrQTV�_xhå°�df�eV h [�V�mrV�UOd�oTV��

�´ã õ �´Ý

Page 34: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� Wp�

� " �� �0G� " � � � � � � , �� ��� m����� �� � � � � ��� � � � � ���Q�O����� � ����� � � � �:����� � � "I� '�� ����� � � � �� ������'G���O�G� " ���� ������ �� &�<� ��� ����O �� �� 0G���������� *� � � �32�� Á �s�

�f®�Y¾³ � D�b_L � � D�b_L A´oTV�¹9ZpVnog§]¥ Aå�f®���NON k�\^QTV�Z� � D � L ��� � � � � � � � #�V�� D � L A´�T®©W N

��®�Y¾³ � D�b_L � PIb P!9fA´oTV�¹9ZpVnog§]¥ Aå�f®ÚW>NON k�\^QTV�Z� � D � L � � � � � � $ � & #�V�� D � L A´�T® � N

Wp®�Y¾³ � D�b_L � PIb P�U�VXW YbkT\^QTV�Z � � D � L � � � � � ��� � � � #�V���D � L A´�T®Ú�>N

�T®�Y¾³ � D�b_L � PIb P��� ���� � kT\rQTVnZ� � D � L � � � � � � � ���� " � ��� " #�V���D � L A´�T®©� N

� � Å«Åa`zÅ'` � � Å 2 Å ��#è�$# Å'& \5"�! PRQTcemzc�m{`"mx\j`bZToT`b_roMoT¡9`b�ece\[¥²_|Vnmr¡p�e\z³´df_R£s`b_rc�`s\^cedfZ9`s��T_rdf§p��V�U"m��¦�-�w�K®

�bMc�mz`Fmrdb��¡p\rc�dbZMdb³

� : <� � � D�b_L H ;Z8� PSR�9 b P ?� � A´�T®Úª>N

ce³«`bZTo"dfZT�¦¥Fce³/ CEDF;E�8�_LSD��b�9 R L�H7/ � D��b'Lik1cK® V¤c¦³A`bZTo"dfZT�¦¥Oce³ DF;E���'L�D@R�9 �b_L C / � D��b_Lik��QTc�ajQMc�m�V �'¡pce£s`b�eVnZ]\z\^d��b C�/ � � ��U��4 � k9cK® V

/ C1R 9 �b 9fRcHQ/ � � � R 9 �b� � A´�T® ) N

��QTc�ajQM�T_rV�ancemrV��e¥²UOV�`bZpm�\rQ9`s\ �� � R 9 �bMc�mz`Fmrdf�e¡p\rc�dfZ²db³

� : <� � � � � D � ���'L H ;

Z PSR 9 � P ?� � A´�T®©­ N

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 35: Dual norms and image decomposition models

W]� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

�$�.- � �9�9% ����6 ������� ����� !�� ���#"9�&%����V \�¡TmzZTd-�DandbZTmrceoTVn_¤`�³´¡TZTa \^cedfZ9`b� db³!\^QpV�³´db_rU�¸

� : <� W � � ��D^b L H ;Z�� PSR�9 b�9]e P ?� H3� D�e�L � A5�p®��-�>N

��QTVn_|V �Ç`bZTo ��`b_|V�\[�¢d{a�dfZ]£fVi �³´¡TZpa�\^cedfZTm�®�y Z9`s\r¡T_^`b�1`s��lfdb_rc¦\^QTU \rd¤UOceZTceU"ceµnV¢mr¡TajQ`³´¡pZTa�\rc�dfZT`b�¬andbZTmrcem|\rm�ceZ¨U"ceZTceUOc�µ�c�ZTl²mr¡pananV�mrc¦£fV��e¥���ce\rQI_|Vnm|�3V�a�\�\^d�V�`sajQ�£s`b_|c}`b§p��Vsk\^Q9`s\�cemR\^dOmrdb�e£bV�m|¡TanV�mrmrc¦£fV��e¥M\^QTV±\[�¢d"³´db���ed-��c�ZTl"�T_|df§T�eVnUOmn¸

� : <� � ��D^b L H ;Z PSR 9]b 9 e5P ?� � A5�p®��f��N

� : <� � ;Z PSR 9 b�9 e P ?� HQ� D�e�L � A5�p®��B�GN� V \R¡Tm�`bm|mr¡TUOVº\^QT`s\ � D�b_L � � D^b_LJoTV ¹9ZTVno�§]¥1Aå�f®e�$N ®¬·IV{��ce���«a�dfZTm|c�oTV�_RmrV £fVn_r`b�

�3dfm|mrce§Tce��c¦\^ceVnm�³´df_<\^QpV�³´¡pZTa�\rc�dfZ7�R¸ � D�e�L�� 8 PIe5P�U�VXW Y A5�p®��-W>N

0 Å ��� Á�& �B�b� ,¤mrceZTl�tu_rdf�.dfmrc¦\^cedfZ²�T®e�fkTdfZTV±m|VnV�mz\rQ9`s\ �e»cemz`Fmrdf�e¡p\^cedfZ²db³,�T_rdf§p��V�UA5�T®e�B�>N�c¦³¬`sZToMdbZT�e¥>ce³ ���� R�9 b�9 �e>c�mz`Fmrdb��¡p\rc�dbZMdb³!\^QpV��p_rdf§T�eVnU�¸

� :=<� � � � D � L H ;

Z PSR 9]b�9 ��P ?� � A5�p®���� N

� Y¾³�? � ZºceZ A´�T®���W N kf\rQTVnZ�¡TmrceZTl�A5�T®Ú�>N���VzmrV�VR\^Q9`s\�\rQTV�U"ceZTceUOc�µn`s\^cedfZ»ds³ A5�p®��B�GN`bUOdf¡TZ]\^m"\^d¯`¯PRc,'1QTdbZTd-£ _|Vnlf¡T��`b_|c�µn`s\^cedfZ ��c¦\^Q�� V �3V�Z9`b�ec�µn`s\^cedfZ A5`bZTo dbZTV'1ZTd-��m�\rQ9`s\um|¡TajQ�`º_rVnlb¡T�}`s_rceµ�`s\rc�dfZFcemuZTdb\u`ºlfd�d'oFajQTdfceanVRceZOc�U"`blbVR�T_rd'anV�mrmrceZTlmrceZTanV�c¦\�oTd�V�m�ZTdb\��T_|VnmrV�_|£bV�VnoplfVnm N ®� Y¾³�? � ;�ceZ A´�T®���W N kf\rQTVnZ�¡TmrceZTl�A5�T®Ú�>N���VzmrV�VR\^Q9`s\�\rQTV�U"ceZTceUOc�µn`s\^cedfZ»ds³ A5�p®��B�GN

`bUOdf¡TZ]\^m<\rdO` � c��Tm|ajQTc¦\^µ�_rVnlb¡T�}`s_rceµ�`s\rc�dfZds³!\rQTV±lf_r`boTceVnZ]\�¸¬\rQTc�mRcemRZTdb\z`�lbd�d'oajQTdfceanV�c�Z�ceU"`blfV��T_rd'anV�mrm|c�ZTl�Vnc¦\^QTV�_n®

� �Mdf_|V�lfV�ZTVn_r`b���¦¥fkbce³ ?:C�� ;>=IHKJML kB��V�mrVnV¢\^Q9`s\�mr¡TajQO`¤U"ceZTceUOc�µn`s\^cedfZFmrUOd'db\^QpVnm\^d'dFU�¡TajQ²\^QTV�lfV�dfUOV�\r_rcea�`b� �9`s_|\zdb³!\^QTV�ceU�`slfVb®

�´ã õ �´Ý

Page 36: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� WfW

0 Å'& ����!��# Å'& Y¾³�dfZTV��<`sZ1\rm\^d UOc�ZTceUOc�µ�V¯`¯³´¡pZTa�\rc�dfZT`b�±��c 'bV A´�T®���� N"\^d an`b�p\^¡p_rVdfmra�c��e�}`w\^ceZTl>�9`s\|\^V�_rZTm�kA\^QTV�Z�mr¡pajQ�a�dfZTm|c�oTV�_^`s\rc�dbZTm±`b_|V�ceZ�³5`-£bdf_{ds³¬\^QTV�¡TmrV�ds³¬\^QTVh7ZTdf_rU�k9`smR`bop£bd�an`s\^V�o²ceZ��e���s��®�*¬£bVnZ²ce³!mr¡pajQg`�ZTdb_rU�cemRU�¡pajQMUOdf_|VºandfUO�T�ecea�`s\rVno�\^dandfUO�T¡p\rV A´Vnmr�.Vna�c}`s���¦¥»a�dfUO�9`b_|c�ZTl���ce\rQ»\^QTV<9<;G=IZ�ZTdb_rU N k'ce\¢mrV�VnUOm<�¢df_|\rQ�\^d�¡TmrV{ce\n®

� � ����� ��� � ��������,� ���

�#�� ��5��$����9%�Y[Z¯�¦�-�w�KkT\^QpV�`s¡p\^QTdb_R�T_rdf�.dfm|VnmR\^d"UOc�ZTceUOc�µ�V�\rQTV±³´df�e��d-��ceZTl"³´¡pZTa�\rc�dfZT`b�K¸

:=< >� � � � � D2� D�b_L H�� PIe P � L A��'®��B�GN

�{¡TVM\rdI\rQTV�� � �ÈN8U�VXW 8 ZTdf_rU�k<\rQTc�m��T_rdb§T��V�U a�`bZTZpdb\»§.Vgm|df�¦£fVno opc�_|Vna�\r�e¥b® ·IV�T_rdf�.dfm|V�ceZTmx\^V�`so²\rd"UOceZTceU"ceµnV�\^QpV�³´db���ed-��c�ZTlO³´¡TZTa \^cedfZ9`b�5¸

: <�>$ � W � & K �(B � � D�b_L H È � D�e � � L H ;Z8� PSR 9 b�9 e P ?��� A��'®��-�>N

��QTVn_|VÈ D � L � P��P��� ���� � A��'®��BªGN

`bZTo\^QTV�_rV ³´df_rVÈ � D � � �GL ��� � � � �� # � � A��'®���)>N

� ¡p_|\^QpVn_rUOdf_|Vbk9�eV�\z¡Tm�oTV�ZTdb\^V�§]¥�wÈ � � È � $ � & � , � ��P� P � '

� 1 A��'®��-­>N·ÇQTVnZ ��lfd'Vnmz\^d�pk.dfZTV�a�`bZ�m|QTd-� \^Q9`s\{mrdf�¦£'c�Zpl>�T_rdb§T��V�U AK��®e�-� NRlfce£bVnm�`"mrdf�e¡p\^cedfZ³´df_A���®e�B�>N A´¡TmrceZTlO\^QTV�mr`bUOV�`s_rlf¡TUOV�Z1\rm{`smRc�ZI� �s��Ni®

P!d"U"ceZTceUOc�µ�V AK��®���� N kp�¢V�andfZpmrceoTVn_�\^QTV±\[�¢d"³´db���ed-��c�ZTl"�T_|df§T�eVnUOmn¸

� e»§.VnceZTlO¹p �Vno«kT�¢V�m|V�`b_|ajQM³´df_ bg`bmz`Fmrdf�e¡p\^cedfZ²db³å¸

:=<�>� K � � � D�b_L H ;Z�� PSR�9 b�9]e P ?� � A��'®×�b�>N

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 37: Dual norms and image decomposition models

Wb� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

� bg§.VnceZTlF¹p �Vno«k9�¢V�m|V�`b_|ajQM³´df_ e»`bmz`Fmrdf�e¡p\^cedfZ²db³å¸: <�>� K � � PSR 9 b�9 e P ?� A��'®×����N

� _|dfU¿tu_rdb�3dfm|ce\rc�dbZ���®©Wpkp�¢V ''ZpdB� \^Q9`w\z\rQTV�mrdf�e¡p\rc�dfZ²db³ A���®Ú�b� NJc�m�lfc¦£fV�Zg§]¥.¸ b6� R 9Ke 9 2�4 � � D�R 9Ke�L ®�y¤ZTo�\rQTV�mrdf�e¡p\rc�dfZ�db³5AK��®Ú���$N«c�m!lfc¦£fV�Z�§]¥3¸ e � 2 � � D�R 9b_Li®P!d"andfUO�T¡p\rV±\^QTcem��}`bmx\z�T_rdsvxV�a�\rc�dfZAkT��V�andfZpmrceoTVn_�\^QTV�oT¡T`b� �T_rdb§T��V�U¿db³ A���®Ú���$Ni¸

: <�>� K � � ;Z PSR�9 b 9 � P ?� H �aP��P��� ���� � � A��'®×�f�GN

PRQTVIm|df�e¡p\^cedfZ ds³�\^Qpc�mM�T_rdf§p��V�U � cem²df§p\j`sc�ZTV�o §]¥ ` ��`�£fV���V \�mrds³è\|h¾\rQT_rV�mrQTdb��oTceZTl`b��lbdf_rc¦\^QTU ��ce\rQ¯\^QT_|Vnm|QTdf�eo Z � A5m|VnVg� )s� N ®�·¯VO��_rc¦\^V � � P�� �dD@R:9 b5=IZ � L ®�y{ZTo³´_rdfU �T_rdf�.dfm|ce\rc�dfZ²�T®e�fkp�¢V�mrVnV�\^QT`s\ e � R 9 b�9 ��®

( "�!�"�! ��� 4%Å ��#è�$i ��f®�Y[ZTc¦\^c�`b��ceµ�`w\^cedfZ«¸

b R � e R �0/ A��'®×�bW>N��®�Y¾\^V�_^`s\rc�dfZpmn¸

e � �_V � 2 � � D�R�9 b � L�� R 9]b � 9 P�� �hD@R�9 b � =�Z �GL A��'®×�s� N

b � �_V � R 9 e � �_V 932�4 ��� D@R�9 e � �_VmL A��'®×�f�GNWp®¤°'\^db�T�TceZTlF\^Vnmx\�¸���V�mx\^df�²ce³

����� D O b � �_V 9 b �O = O e � �_V 9]e �

O L '(' A��'®×�b�>N

�#�.- � 6 � �&��6 ������6%�6� 6�%��#����·¯V�³´df�e��d-� QTV�_rV»� �b�K®RPRQTV��T_rd'db³´m�db³¬\rQTV�_|Vnm|¡T�e\rm{mx\j`s\rVno�ceZM\rQTc�m¤mr¡T§pmrVna \^cedfZ�`b_|V�\rQTVm^`bUOV�`bm�c�ZI� �b��®

PRQpV�¹9_|m|\z�.dfc�Z]\R�¢V�mx\j`s\rV�c�mR\^QpV�a�dfZ]£fV�_rlfV�ZTanV�db³,\rQTV��T_rdb�3dfm|VnoM`b�elfdf_rc¦\^QpU²®

�´ã õ �´Ý

Page 38: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� W]�

� � Å 2 Å ��#´��# Å'& ( " * " � ������ � �a��� ��� D�b � = e � L � ����� � ��� ���.* ) �:'�� ���.* ) #/' �� �� 0G� "������d� D�b R = e R L C�� � � � ��� ����� � ��� �� �� ���@�� ��3 &� � " ��� ��� ���.*-,.#/'8*P!d�m|VnVz\^QTV¤��ceZ5'F§.V�\[�¢VnVnZ AK��®e�B�>N�`bZTo AK��®e�-� N k]�¢V{ceZ]\^_rd'oT¡Ta�V¤\rQTVz³´db���ed-��c�ZTl��T_rdb§�h

��V�U²¸ :=< >� � � � � D2� D�b_L H È � D�e � � LOL A��'®×�fªGNPRQTV�ZTV  '\¤_rVnm|¡T�¦\¤mx\j`s\rVnm�\^QTV��ec�Z�'>§3V \[��V�VnZ]A���®e�B�>N<`bZpo]AK��®×�bª>N� � Å 2 Å ��#´��# Å'& ( " / " � ��� � � � �<� /1��� � " ��� ��� ���.*-,�� '8* � ��� D b5= e�Lc� �� �� ���@�� �� &� � " ��� ��� ���.*-,�� '8*�� � � � � P� e P � ��� ���.* )��$'8* � ����� �� D� b =� e�L � �d�G���� ���� �� ���@�� �� &� � " ��� ��� ���.* )��$'8*� � �� 0G� " ����� 1 � �G� 1K�� �� ������ ��:D��b5= �e�LK &� ���.* )��$' � � ��� � � � P� e P � ' � � �<�� �� ���@�� �� &����.*-,�� '8*P!d�an�edfmrV<\rQTVR�ec�Z5'�§3V \[��V�VnZ A���®e�B�>N!`bZTo:A���®e�-� Nikb�¢VRQ9`�£fVR\^d±ajQTV�a '���Q9`s\�Q9`s�T�3V�ZTm

��QTVnZ �glfd'Vnm<\^d��Fc�Z²�T_|df§T�eVnU AK��®���� N ®� � Å 2 Å ��#´��# Å'& ( "B\5" � ��� � � � � � / ��� ���.*-,�� '8* ����� � P� e P � ��� ���.*-,.#/'�G�' ���.* )��$'8* � ��� � � ���� �� � �11D^b 4 � = e 4 � L�� ��� �� �� ������ ��M &�K� " ��� ��� ���.*-,.#/' � � ��� �� � � � '8* � ����� � � ����� � � �� ���� �X �� �G� 1 ��� � ���X� " �� ������ &� D�b 4 � = e 4 � L � �K�d�� �� ���@�� �� &� � " ��� ��� ���.* )��$'8*�#��� � 2$�!������ 6%�������29% ��� 6�� " � �� ���&����0 i Å #K� ÁgÅ'` �$i Á 2,�p�w� � Á � Á �s�s� PRQTV��9`b_^`sU"V \^V�_=��andbZ1\r_rdf�em�\^QTV ��?{ZTdf_|U¿db³�\rQTV_rVnm|c�op¡9`b� R 9 b 9 e%®�PRQTV�mrU"`b�e��V�_Oce\"cemnk�\^QTV�mrU"`b�e�eVn_O\^QTVZTdb_rU db³z\^QpV²_|Vnm|c�oT¡T`b�§3V�andfUOVnm�®uY[Z»�T_r`ba�\rc�a�Vbk'��V�vx¡Tm|\¢ZTVnV�o�\rd�mrV \ �>m|U�`s��� A5ceZ»db¡T_¢Vi ��3V�_rceU"V�Z]\^mnk���V¤Q9`�£fV¡TmrV�o�� ' ;f¸�\rQTV6��8�ZTdf_|U db³<\^QpV>_rV�mrceoT¡9`b�Jc�m�\^QTV�Z�mrU"`b�e��V�_�\^QT`bZ �f®Ú�]A5`bZToI\rQTVlf_^`�¥»£s`b�e¡TV�m¤db³,df¡T_RceU"`blfV�m¤lfdF³´_|dfU¿��\^d��f�b�>NONi®

PRQpVM�9`s_^`bUOV�\rVn_ �g_|Vn�T_|VnmrV�Z]\^m»\rQTV ��ZTdf_rU db³¤\rQTV e¯andbU"�.dfZTV�Z]\�®��{`�£'c�ZTlI`an�edfmrV�_»�ed�d '�`s\�\rQTVM`b��lbdf_rc¦\^QTU�k��¢Vgm|VnV²\^Q9`s\ Z ��cem"\rQTVM\rQT_rV�mrQTdf�eo ��QTceajQ cem»¡Tm|Vnoc�Z \^QTV��<`�£bVn�eV�\>\rQT_rV�mrQTdf�eoTceZTlT® Y[Z \^QTV²a�`bm|Vgdb³{oTVnZpdfc�m|c�ZplTk<��V²a�`sZ \^QpVnZ ¡Tm|V²\rQTVan��`bmrm|c�an`b�!\rQT_rV�mrQTdb��o � M Z�� � D�� ? L<��QTVn_|V � ?{c�mz\^QTV�mrceµnV�db³¬\rQTV�ceU"`blfV»�©­'k,�-W'k��-�s�K®·¯V>\rQTVn_|V�³´df_|V>ajQTd'dfmrV ��� � � ?�� ��� $ � B &? ®�Y[Z�³5`ba�\nk�\rd�lfV�\�§3V \r\^V�_F_rV�mr¡T�¦\^m�kJ�¢V�Q9`�£fV

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 39: Dual norms and image decomposition models

Wf� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

¼º_|c�lfceZ9`b�Ac�U"`blfV �zdfc�mx¥�c�U"`blbVdREA �7� ��� N

~�Vnmx\^df_|VnoMc�U"`blfV �zdfcemrV� �0/�S �

� c�lb¡T_rV)p¸��{V�ZTdfcemrceZTl»mx\^_|c��.Vnm

c�Z]\^_|d�op¡TanV�o�`"�¢VncelfQ]\^ceZTl��9`b_^`sU"V \^V�_��.k.`bZTo���V�mrV�\ � ��� � � ?�� ��� $ � B &? ®�Y[ZM�T_^`sa�\^ceanVsk�>c�m�V �'¡T`b�«\^d²��df_Rmr�ec�lbQ1\r�e¥�m|U"`b���eVn_�®

0 Å ��� Á�& �B�b� PRQTc�m"ZTV � `b�elfdf_rc¦\^QpU `b�T�.V�`b_|m"\rdI§.V²`¨£bVn_x¥ lfd�d'o oTVnZpdfc�m|c�Zpl�`b�ïhlfdf_rc¦\^QpU�³´df_�\rV  '\^¡T_|Vno c�U"`blfV�mn®�Y[ZTopVnVnoAk<ce\Om|c�U�¡T�¦\j`bZTV�df¡Tm|�e¥ UOc�Zpc�UOceµnVnm"\^QTV>\rdb\j`s�£b`s_rc�`s\^cedfZOdb³%\^QTV�_|Vnm|\rdf_rV�o�ceU"`blfVz`bZTo"`�¶�V�mrd-£OZTdf_|U A´��Qpc�ajQ»`bUOdf¡TZ]\^mu\^d�`º��`-£bVn�eV�\mrQT_|c�Z5'w`blbV�N ®�Y¾\�§.VnZTV ¹T\^m�³´_rdbU \^QTV¤`bop£s`bZ]\^`blfVnmJdb³3§3ds\^Q"U"V \^QTd'oTm�®J¼±ZpV¤m|VnVnm¢dfZ � c�lwh¡T_rV�­F\^Q9`s\�\rQTV�_rVnmx\^df_|VnoMc�U"`blfV�Q9`smz§.VnV�ZgUOdf_|V�_|Vnlf¡p�}`b_|c�µ�Vno²��ce\rQM\^Qpc�mzZTV�� UOd�oTV��\^Q9`bZ��c¦\^Q�\^QTV�a��}`bm|mrcea�`b� ��`�£fVn�eV�\z\^Qp_rVnm|QTdf�eoTceZTlT® � c�lb¡T_rVK)Fcem�\rdO§3V�andbU"�T`b_rV�o²��c¦\^Q� c�lb¡T_rV��¢`bZTo � c�lb¡T_rV¢ª�®!Y[Z�\rQTc�m!a�`smrVbksdf¡T_�ZTV ��oTVnZpdfc�m|c�Zplº`b�elfdf_|ce\rQTUDan�eV�`s_r�¦¥�df¡p\^�.Vn_åh

�´ã õ �´Ý

Page 40: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� W]ª

¼º_rcelfceZ9`b�«ceU"`blfV �zdfcem|¥�ceU�`slfV A �5� ��� N

~zV�m|\rdf_^`s\rc�dbZ ·¯`�£fV���V \¤\rQT_rV�mrQTdf�eoTceZTlA�� ��/�S � k � ��/�S ��k �{`b¡T§�) N A � �0/�S ��k �º`b¡p§�) N

� celf¡T_|V�­p¸��AVn§T_r`Fc�U"`blfV

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 41: Dual norms and image decomposition models

W>) ���������� ���� ����� �G���� ���� �

¼º_rcelfc�ZT`b�«ceU�`slfV �zdfcem|¥ceU"`blfV A �7� Z#/>N

~zV�m|\^db_^`s\rc�dfZ ~�Vnmx\^df_r`s\^cedfZ��c¦\^QA��6��/ S � k � ��/�S��pk �º`s¡T§�) N \^QTV�~�¡ToTceZ�hx¼ºmrQpVn_xh � `s\^V�U"c UOd'oTVn�

� celf¡T_|VF�-�p¸�¶<`b_|§9`b_r`

�´ã õ �´Ý

Page 42: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� Wf­

¼º_|c�lfceZ9`b� ceU"`blfV �¤dfcem|¥ceU"`blfV A �7� � / N

~�Vnm|\rdf_^`w\^cedfZ ~zV�m|\^db_^`s\rc�dfZ���c¦\^Q�\^QTV�`b�elfdf_|ce\rQTU�db³�� �b�A�� �0/�S � k � �0/ S �pk �º`b¡T§�)>N A �6��/�S � k�87�0/�S � � N

� celf¡T_rVO�f�b¸uP,Vi �\r¡T_rV�ceU�`slfV

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 43: Dual norms and image decomposition models

�]� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

³´df_rUOm¢\rQTVº~<¼ � UOd�oTV����¦��)s�.df_J\^QTV{`b�elfdf_rc¦\^QpU�db³J� �w��®uy¤ZTo>c¦\R`b�emrd�`b�T�.V�`b_|m�m|��celfQ]\^�¦¥§3V \r\^V�_¤\rQ9`bZg\rQTVO¼�°�[ UOd'oTVn�¢�¦�Bªw�K®±¼ºZTV�m|VnV�m±dfZ � celf¡T_|V»�-�O\^Q9`s\¤\^QTV�\^Vi �\r¡T_rV�Q9`bm§3V�VnZ¯UOdf_|V»�T_|Vnm|Vn_|£bVno�\rQ9`bZI��c¦\^QI\^QTV�~z¡poTc�Z'hx¼ºmrQTV�_xh � `w\^VnUOc�UOd�opVn�z�e��)pk!�s��®»y{ZTodfZ � celf¡T_|V��f�fk�dfZTV{m|VnV�m�\rQ9`s\¢\^QTVºm|U"`b���3m|\r¡Ta�\r¡T_rV±db³�\rV  '\^¡T_|Vnm�`b_|V{§.V�\|\^Vn_��T_rV�mrVn_x£fV�o\^Q9`bZ ��c¦\^Q \rQTVM`b��lbdf_rc¦\^QTU db³F� �b�K® PRQTcem�cemO��Q1¥ \rQTc�m"UOd�opVn��c�m"�9`b_x\^cean¡T��`b_|�e¥��¢Vn�e�mr¡Tc¦\^V�o²\rd�oTV�ZTdfcemrV�\^Vi �\r¡T_rV�oMceU"`blfV�mn®

Y[Z �e��Wpk��B�B�Kk�\^QpVg`b¡�\^QTdf_�`b�emrdI�T_rdf�.dfm|VnmO\^d¯m|c�U�¡T�¦\j`bZTV�df¡Tm|�e¥ andfU�§TceZTVM\rQTVg`so�h£b`sZ1\^`blfVIdb³�\^QpVI\^ds\j`b�±£s`b_rc�`s\rc�dfZ UOc�ZTceUOc�µn`s\^cedfZ `bZpo �<`�£bVn�eV�\�\rQT_rV�mrQTdf�eoTceZTlT® �¤Vc�Z]\^_|d�op¡TanV�m�`¯lfVnZpVn_^`s�¤³´_^`sU"V ��db_:' ��QTc�ajQÇa�dfZ]\j`bceZTm§.db\^Q \rQTVnm|Vg\[�¢d `s�T�T_rdf`bajQTVnm�®�Mdf_rV�d-£fVn_�k<QTV²a�`bZ oTV�`s�<��ce\rQ db\rQTVn_"oTcea�\^cedfZ9`s_rceVnmO\^Q9`bZ ��`-£bVn�eV�\§T`bmrV�mn® ¶�¡�\"\rQTVZ'¡pU"V�_rcea�`b��`b�T�T_|d]`bajQ�cemºa�dfUO�T��V \^V��e¥MoTc¦½AV�_rVnZ]\n® �¤V�mrdf�¦£fV�m±`»�.VnZ9`b�eceµ�`s\rc�dfZg�T_rdf§p��V�U��QTc�ajQMc�m�UOdf_|V�a�dfUO�T�ec�an`s\^V�o«®

PRQpVn_rV ³´df_rVskw\rd�andfZTmx\^_|¡Ta�\,`RUOd�oTV��f��QTceajQ��¢df¡T�eo�opVnandbU"�.dfm|V�`bZ�ceU"`blfVuceZ1\rdR\^QT_|VnVandfUO�.dfZTVnZ]\rmnk�`»¹9_|m|\�dfZTV�andfZ]\j`sc�ZTceZTl>\rQTVFlfVndbU"V \^_|c�an`b�¬ceZp³´df_rU"`s\rc�dbZ�db³�\^QTVFceU"`blfVsk`"m|VnandbZTo�dfZTV�a�dfZ]\j`bceZTceZTl�\rQTV�\rV  '\^¡p_rVbk3`bZTog`"��`bmx\{dfZpV�a�dfZ]\j`bceZTceZTl�\rQTV�ZTdfcemrVbk.c¦\¤cem\^QTV�ZMZ9`w\^¡T_r`b�«\^dOandbZTmrceoTVn_�\^QpV�\rQT_rV�V�³´db���ed-��c�ZTl"ZTdf_|UOmn¸u\^QTV±\rdb\j`b�3£b`s_rc�`s\^cedfZ«kT\rQTV7ZTdf_rU�k%`bZpo�\rQTV ��ZTdf_rU�®

� � ��� � � � "����

� �� ������8�&���6 �5����·¯V��T_|df�3dbmrV±\^dOUOc�Zpc�UOceµnV�\^QTV±³´df�e��d-��ceZTlO³´¡TZTa�\rc�dbZ9`b�5¸

:=<�>$ � W � W � & K ��� ��D^b =Oe'= � L A5�p®e�$N

��QTVn_|V

� D�b5= ea= � L@�+� D�b_L H;� � � e8 � H È ��� ���� H ;

Z�� PSR 9]b�9 e9 � P ?� A5�p®Ú�>N

� � Å 2 Å ��#´��# Å'& � "�!�" �$#8*-,/' � G� �����h� �� �� ������ ��3D b = ea= ��L * �1 "��� �0G� " � b �G�' e H ��#"�� ����� � ��� *� � Å«Åa` � ·¯V�mr�p��c¦\�\^QTV��T_|d�db³,ceZ1\rd"\[�¢d"m|\^V��Tmn¸°'\^V��I�f¸�*� �cem|\^V�ZTanV

�´ã õ �´Ý

Page 44: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �T�

�f®R·¯V�¹T_rm|\�_|VnU"`b_ 'M\^QT`s\º\^QpVFmrV�\�� � 8 È�9 � �wÈ � c�m±a�dfZ]£fVi Ak,`bZTo�\rQTVnZ�\^QT`s\� cem�andfZ]£fVi �dfZ�� � 8«È�9 � �wÈ � ®�·IV�\^Q1¡Tm�oTV�oT¡TanVF\rQ9`s\ ��cem�andfZ]£fVi �dfZ� � � ����®��®�Y¾\�cemJc�UOUOVnoTc�`s\rV¤\^d�mrV�V¤\^QT`s\ � cem¢a�dfZ]\^ceZ1¡Tdf¡Tm<dbZ � �c8 È�9 � �wÈ � ®�·IVz\rQTVnZ

oTVnop¡TanV�\^Q9`w\ � c�m��ed-��V�_¤m|VnUOc¦h¾andfZ]\rc�Z1¡Tdf¡pm{dfZ � ��� � ��®Wp® � V�\ D�b5= ea= � LC � �38 È�9 � �wÈ � ®»·IV"Q9`�£fV PIe P!9 ' 8¬®��Mdf_|Vnd-£fV�_nk,mrceZTanV� cem�db³�¹9Zpce\rV�oTceUOVnZTm|c�dbZ«k,\rQTVn_|V�Vi pcem|\rm 13C � m|¡TajQ¯\rQ9`s\e � opce£ D�1 L±`bZTo

P�15P! " � PIe P!9 ' 8¬®>·IV�oTV�oT¡Ta�V»³´_rdfU AK��® ) N{\^Q9`s\ A � ?�cem�\^QpV�m|c�µ�V>db³�\rQTVc�U"`blbV�N ¸

PIe P'� ' �>8�� ? A5�p®©W N°�ceZTanV � C �wÈ � kJ`bZTo�m|c�ZTa�V � cemFdb³�¹9ZTc¦\^Vopc�UOVnZpmrcedfZ«k¢�¢VlfV \F\^Q9`s\�\^QTV�_rVV  �cem|\^m � ��/FoTV��3V�ZToTceZTl»dbZT�e¥>dfZ�� `bZpo ��m|¡TajQM\rQ9`s\n¸

P��P'� ' � A5�p® � N·¯V�_|Vna�`s���«\rQ9`s\ � ��� ��� c�m�VnZpoTd-��V�og��ce\rQ²\rQTV *u¡Tan�ec�opV�`bZMZTdf_rU�®

P D^b =Oe'= � L$P'� � � � � � � PIb P ?� H PIe P ?� H P� P ?� A5�p®Ú�>N

PRQ1¡Tmnk¬c¦³hP D^b =Oe'= � L$P'� � � HKJ k�\^QTV�ZI�¢V»lfV \�³´_|dfU AK��®ÚW N�`bZTo AK�p® � N{\^QT`s\PIb P'� HKJ ® ·¯V²\^QTV�_rV ³´df_rVMoTVnoT¡panVbk�m|c�ZTa�V1R cem�¹� pV�o«kz`bZTo mrceZTanVEA5�p®©W N`bZTo]AK�p® � NRQTdf�eo«k3\rQ9`s\�PSRQ9Eb 9Ee 9�� P��� HJ ®�y¤ZTo�mrceZTanV ��D^b =Oe'= � L�+V? 4 PSRc91bh91e 9 � P�?� k��¢V±lfV \ ��D^b5= ea= � L HKJ ® �zVnZTa�V��¢VºoTV�oT¡Ta�V�\rQ9`s\ �c�m¢and'Vn_|anc¦£fVºdfZ � � 8 È 9 � �sÈ � ®¬·¯V�\^QTV�_rV ³´df_rVºa�dfZTa���¡TopV{\^Q9`w\ � cem�and'Vn_|anc¦£fVdfZ � ��� �,��®

·¯V�oTV�oT¡TanV�\^QpV�Vi �c�mx\^VnZpanV�ds³¬`FUOc�Zpc�UOceµnVn_dD� b5=� e�= � Li®

°'\^V�����¸�,zZTc��'¡pVnZTV�mrm{ds³ b�`sZTo� e H ��¸P,d�lfV \J\rQTcemJ_|Vnm|¡T�e\nk'�¢VR¹9_rmx\J_rVnU"`b_ '�\^QT`s\ � c�m�mx\^_rcea�\r�e¥Oa�dfZ]£fVi "dfZ � �<8 È�9 � �sÈ � k`bm�\rQTV"mr¡TU db³<`Ma�dfZ]£fV  I³´¡TZTa \^cedfZ�`sZToIds³�`²mx\^_|c�a \^�¦¥Ia�dfZ]£fVi ¯³´¡TZpa�\^cedfZ«k!V  �a�Vn�p\FceZ\^QTV>opc�_|Vna�\rc�dbZ D�b5= ea=�9 b:9 e�L"® �zVnZTa�Vce\�mr¡�("anV�mF\^d�ajQTV�a '¯\^QT`s\�c¦³<D� b5=� e�= ��L�cemF`U"ceZTceUOc�µ�Vn_Rdb³ � \rQTVnZ>³´db_ �!�� /pk D� bH �� b5= e H � e�= �f9 �SD bH e�LOL¢cemRZTdb\R`�UOc�ZTceUOc�µ�Vn_db³ �"®¤y{ZTo�m|c�ZpanV � c�m{andfZ]£fVi 3k«��VFan`bZ�`bm|mr¡TUOV O � O � ;f®{PRQpVF_rVnm|¡T�¦\±c�m{df§]£�cedf¡Tm{ce³

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 45: Dual norms and image decomposition models

�1� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

e H � e C����G8«È�9�df_� � 9 �SD bhH e�L C���� �wÈ � ® � V�\�¡Tm�m|QTd-� \^QT`s\�ce³ e�H � e C�8 È�9`bZTo � 9 �SD� bcH e�L C �sÈ � k3\rQTVnZg\rQTV�_|Vnm|¡T�e\ºc�m¤m|\^ce�e�,\^_|¡TVb®zY[ZToTV�Vno«k3��V�QT`-£bV�ceZg\^QTcema�`bm|V�A´mrceZTanV O � O � ;$N ¸� D� bdH �� b5=� e H � ea= � 9 �SD� b H e�LOL�� � D� b = ea=� ��L H ��� D� b_L A5�p®©� N¶¢¥�a�dfZ]\^_^`soTc�a \^cedfZ«k1�eV�\J¡Tm�`bm|mr¡TUOV�\^Q9`s\u\rQTVn_|V�V  �c�mx\^m �!���/�m|¡TajQO\^Q9`s\ �:9 ��D� b H� e�L C�sÈ � ® ��D� bhH � b = e H � ea=� � 9 �SD� bdH e�LOL ' � D� b =� e�= � L A5�p®Úª>Ny{m�D� b5= e�= ��LOUOceZTceU"ceµnV�m �OkKAK�p®Úª>N�cem>`bZ V �1¡9`b�ece\[¥b® � _|dfU A5�p®Ú�>N k��¢VgoTV�oT¡Ta�VM\^QT`s\� D� b'L � / A5m|c�ZTa�V � �� / N ®FPRQpVn_rV"V  �cem|\rm�\rQTVn_|V�³´df_|V�� C = mr¡TajQ�\^Q9`s\�³´df_�`s��� D �O= ��Lik b % W ���!®

�f®�Y¾³��5� /pks\rQTVnZ b ��/p®,PRQ1¡Tm D� b H � b = e_H � ea= � 9 ��D� b H e�LOL � D� b = e_H � ea=� ��9 � e�Li®��®�Y¾³�� �� /pk3\rQTVnZ � 9 �SD� b�H e�L�a�`bZpZTdb\º§.Vn�edfZTl�\^d �wÈ � mrceZTa�V�ce\rmºUOV�`bZgc�mºZpdb\

�p®uPRQTcem¤a�dfZ]\^_r`boTcea�\^m�df¡p_¤`smrmr¡pU"��\^cedfZ«®

P!d"mrdf�¦£fV�AK�p®e�$Nikp��V�a�dfZTmrceoTV�_z\rQTV±\^QT_|VnV±³´df�e��d-��ceZTl��p_rdf§T�eVnUOm�¸� e>`bZpo �D§.VnceZTlO¹p �Vno«k9�¢V�m|V�`b_|ajQ²³´db_ b�`bmz`Fmrdf�e¡p\rc�dfZ²db³å¸

: <�>� K ��� � D�b_L H ;Z�� PSR�9 b�93ed9 � P ?� � A5�p® ) N

� b�`bZpo � §.VnceZTlO¹p �Vno«k9�¢V�mrV�`s_rajQM³´db_ e>`bmz`Fmrdf�e¡p\rc�dfZ²db³å¸: <�>� K � � � PSR�9 b�93ed9 � P ?� A5�p®©­ N

� b�`bZpo e»§3V�c�ZTlF¹p �V�o«k9��V�mrVn`b_rajQ²³´df_ � `bmz`Fmrdf�e¡p\rc�dfZ²db³å¸: <�>� K � � PSR 9]b 9 e<9 ��P ?� AK��®��-�>N

� _|dfU¿tu_rdb�3dfm|ce\rc�dbZ���®©Wpkp�¢V ''ZpdB� \^Q9`w\z\rQTV�mrdf�e¡p\rc�dfZ²db³ AK�p® ) N�cem�lfce£bVnZ²§]¥3¸ b � R:9 e 9 � 9 2�4 � � D@R:9fe�9 � Li®�PRQpVFmrdf�e¡p\^cedfZ¨db³�AK��®Ú­ Nzc�m±m|c�UO�T�¦¥�lfc¦£fV�ZI§]¥.¸ e � 2 � ��� D�R:9 bQ9 � Li®Fy{ZTo�_rV�U"V�U�§.Vn_|c�ZTl�°�Vna \^cedfZ��'k�\rQTVOmrdf�e¡p\rc�dfZ�db³ AK�p®e�-� N{cemlfce£bVnZ�§]¥.¸ � � 2 � � D�R 9Mb 9Me�L � R 9Mb:9Me 9;P�� �hD@R�9Mb:9Mea=IZ �GLik,��QTV�_rVP � �dD�Rh9 bh91ea=IZ � Lum|\j`sZToTm<³´df_J\^QTV{��`�£fV���V \¤m|db³è\|h�\^QT_|Vnm|QTdf�eoTc�ZplFdb³ Rc91b<9 eF��c¦\^Q\^QT_|VnmrQpdf��o�Z �1®

�´ã õ �´Ý

Page 46: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �]W

� �.- � % � ������9���� 4%Å ��#´�$i � ! �

�f®�Y[ZTc¦\^c�`b��ceµ�`w\^cedfZ«¸b R � e R � � R ��/ AK��®��f��N

��®�Y¾\^V�_^`s\rc�dfZpmn¸� � �_V � 2 � � D@R9Qb � 9Qe � L�� RK9Qb � 9Qe � 97P�� �hD@R9Qb � 9 e � =IZ � L3AK��®��B�GN

e � �_V ��2 � � � D@R 9 b � 9 � � �_VmL AK��®��-W>N

b � �_V%� R 9]e � �_V 9 � � �_V 932�4 ��� D@R 93e � �_V 9 � � �_VFL AK��®���� NWp®¤°'\^db�T�TceZTlF\^Vnmx\�¸���V�mx\^df�²ce³

��� �5D O b � �_V 9 b �O = O e � �_V H � � �_V 9]e � 9 � �

O L '(' AK��®��B�GN

�T®R·¯V±\rQ'¡pmzlbV�\ b6� �=: � � D�b � L ®�PRQTV�Z«k9c¦\^Vn_r`s\^cedfZTm�¸

� � �_V%� 2 � � D@R 9 b�9]e � L�� R 9 b 9]e � 9 P�� �dD@R�9 b 9 e � =�Z �GL AK��®��-�>Ne � �_V�� 2 � � � D�R 9 b�9 � � �_VmL AK��®��BªGN

��®¤°'\^db�T�TceZTlF\^Vnmx\�¸���V�mx\^df�²ce³����� D O e � �_V 9 e �

O = O � � �_V 9 � � O L '(' AK��®���)>N

Y[Z»�T_^`ba \^ceanVskp��V¤_^`s\rQTVn_¢¡TmrV¤\^QTVz³´df���ed-��c�ZplF`b�elfdf_rc¦\^QpU A´Z1¡TUOVn_rcea�`s���¦¥fkTc¦\<m|VnV�U"m¢\^dlfce£bV±\^QTV�m^`sU"V�_rV�mr¡T�¦\^m N ®

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 47: Dual norms and image decomposition models

�f� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

��� 4%Å ��#´�$i � * ��f®�Y[ZTc¦\^c�`b��ceµ�`w\^cedfZ«¸

b R � e R � � R ��/ AK��®��-­>N��®�Y¾\^V�_^`s\rc�dfZpmn¸

� � �_V � 2 � � D@R9Qb � 9Qe � L�� RK9Qb � 9Qe � 97P�� �hD@R9Qb � 9 e � =IZ � L3AK��®×�b�>N

e � �_V ��2 � � � D@R 9 b � 9 � � �_VmL AK��®×����N

b � �_V%� R 9]e � �_V 9 � � �_V 932�4 ��� D@R 93e � �_V 9 � � �_VFL AK��®×�f�GNWp®¤°'\^db�T�TceZTlF\^Vnmx\�¸���V�mx\^df�²ce³

����� D O b � �_V 9]b �O = O e � �_V 9 e �

O = O � � �_V 9 � � O L '(' AK��®×�bW>N

� � Å 2 Å ��#´��# Å'& � " * "� � ��� ��� � ����� ����D�b � = e � = � � L�� ����� � ��� �G� �� "I��� ��� , �� �� 0G� "������ �X �� ���� D� b = ea= ��L� ������� ����� "< &� �$#8*-,/'8*� � ���<��� � ����� ��� D�b � = e � = � � L � ����� � ���3�G� �� "I��� ��� ) � �<� �a� ��� � �G� b � �� �� 0G� "������� bfC � � �G�'Q� ��D ea= ��Lc� �c�1��� � ��� � "��� ������ &��D^e � = � � Lc� �����ED� b =� e�= � L � � �� ������� ����� "< &� �$#8*-,/'8*

� � Å«Åa` ·¯V�¹T_rm|\�_|VnU"`b_:'²\^Q9`w\�k�`bmº�¢VOmrdf�¦£fV"mr¡Ta�anV�mrmrc¦£fV»U"ceZTceUOc�µn`s\^cedfZ��T_rdf§p��V�U"m�k��V�Q9`�£fVs¸� D�b � = e � = � � L�+ � D�b � = e � = � � �_VmL + ��D^b � = e � �_V�= � � �_V L + � D�b � �_V�= e � �_VI= � � �_VmLAK��®×�s� NY[ZO�9`s_|\^cean¡p�}`b_�k]\^QTVRm|V �1¡TVnZpanV � D�b � = e � = � � L�cem�ZTdfZTceZTa�_rV�`smrceZTlT®uy{m�c¦\�c�mu§.df¡TZpoTVno

³´_rdfU §.Vn�ed-� §1¥�/pk.c¦\¤\rQ'¡pm{andbZ1£bVn_|lfVnm±ceZ =z®�·¯V�oTVnZTds\^V�§]¥ ��c¦\^m¤��ceUOce\n®�·IV���`bZ]\\^dOmrQTd-�D\rQ9`s\

� � :=<�>$ � W � W � & K � � � � � � D�b5= ea= � L AK��®×�f�GN

�´ã õ �´Ý

Page 48: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �1�

·Çc¦\^Qpdf¡p\J`bZ]¥�_|Vnmx\^_rcea�\rc�dbZ«k]��VRan`bZ"`bmrm|¡TUOV�\rQ9`s\nk � � k'D�b � = e � = � � L C � �8 È 9 ��sÈ � ®uy{m � cem�a�d�V�_ranc¦£fVº`bZTo`bmJ\^QTVzmrV �1¡TVnZTa�V ��D^b � = e � = � � L�a�dfZ]£fVn_|lfVnm�kT��V¤oTVnop¡TanV\^Q9`s\�\^QpV»mrV �1¡TVnZTa�V D�b � = e � = � � L�c�m�§3db¡TZToTV�o�c�Z � � 8 È�9 � �wÈ � ®>·¯V�a�`bZI\^Q1¡TmV  '\^_r`ba�\¬`{mr¡T§pmrV �1¡TV�ZTanV<D^b ��� =Oe ��� = � ��� L���QTceajQFandfZ]£bVn_rlbVnm¬\^d D� b =� ea= ��L!`sm � � HKJ k��ce\rQ3D b5= e�= ��L C ���:8 È 9 � �wÈ � ®J�Mdf_|Vnd-£fV�_nk9�¢V�QT`-£bVbkT³´df_<`b��� � � C�� `sZTo²`b�����c�Z ��¸ ��D^b ��� =Oe ��� = � ��� �_VFL ' � D�b ��� =Oe ��� = � L AK��®×�b�>N·¯V�`b�emrdOQ9`�£fVsk9³´df_�`b�e� � � C�� `bZpoM`s��� e�c�Z ��¸

��D^b ��� = e ��� �_VI= � ��� �_VOL ' � D�b ��� =Oe'= � ��� �_VmL AK��®×�fªGN`bZTo³´df_�`b�e� � � C�� `sZTog`s��� bMc�Z ��¸

� D�b � � = e � � = � � � L ' � D�b5= e � � = � � � L AK��®×�G)>N� V \º¡Tm¤oTVnZTds\^V�§]¥ �� `"an�e¡Tm|\rVn_º�.dfceZ1\{db³ D � ��� �_VFL ®�6�dfZTmrceoTV�_rceZTl AK�p®Ú�s� Nik.�¢V�lfV \

A5mrceZTa�V � cem�andfZ]\rc�Z1¡Tdf¡pm¤dfZ � � 8 È�9 � �wÈ � Ni¸� � � D� b = ea= ��L�� � D� b = ea= ���L AK��®×�b­>N

¶J¥��9`bmrm|c�Zpl»\^dO\^QTV��ec�UOc¦\{ceZ A5�p®��-�>N k9�¢V�lfV \�¸��� � 2 � � D�R 9 b�9 e�L ®�¶�¡p\z³´_rdfUAK�p®Ú�b­ NikT��V '1ZTd-� \^Q9`s\n¸PSR 9 b�9 e<9 � P � PSR 9 b�9 eh9 ���PB®<¶¢¥�¡pZTc��1¡TV�ZTVnm|mºdb³\^QTV��T_|dsvxVna \^cedfZ«kT�¢V�a�dfZTan�e¡ToTV�\^QT`s\ ���� ��® �¤VnZpanV � ��� �_V ��®

� V \�¡Tm�oTVnZTds\^VF§]¥ �e�`a���¡Tmx\^V�_��.dfceZ]\�db³�D�e ��� �_VOLi®�Y[Z¨\^QTVFmr`bUOVF�<`�¥¨`bm�`s§3d-£fVsk��V�a�`sZMm|QTd-�D\^Q9`w\ �e � e%® �¤V�ZTanVe ��� �_V e.®

¶J¥>�9`bm|mrceZTl�\^d�\rQTVº�ec�UOc¦\�c�Z A5�p®Ú�b� N�A � cemRandbZ1\rc�Z1¡Tdb¡TmRdfZ � � 8 È 9!� �sÈ � N k��¢V\^QTV�_rV�³´db_rV�Q9`�£fV�³´df_�`b�e� ��¸

� D� b = ea= ��L ' ��D� b = e�= � L AK��®ÚWf�>N¶¢¥��9`bmrm|c�Zpl�\^dg\rQTV>�ec�UOc¦\�ceZ AK�p®Ú�fª>N�A � c�m�andfZ]\rc�Z1¡Tdf¡pmFdfZ � �]8 È�9 ���wÈ � N k��¢V\^QTV�_rV�³´db_rV�Q9`�£fV�³´df_�`b�e� e%¸

� D� b = ea= ��L ' ��D� b = ea= � L AK��®ÚWp��Ny{ZTo²§]¥�9`bm|mrceZTl�\rdO\rQTV���ceUOce\zceZ]A5�p®Ú�G) N k'³´df_�`b�e� b�¸

� D� b = ea= ��L ' ��D^b = e = ��L AK��®ÚW]�GN

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 49: Dual norms and image decomposition models

�]� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

A5�p®©Wf� N k AK�p®©Wp�$N<`bZpo3A5�p®©W]�>N�a�`sZM_|Vnmr�.Vna \^c¦£fV��e¥²§.V�_|V���_|ce\|\^VnZA¸��D b5= e�= ��L�� : <�>

� K � ��D b = e�= � L AK��®ÚWfW>N

� D� b = ea=� ��L�� : <�>� K � � D� b =Oe'=� ��L AK��®ÚWb� N��D� b = ea= � L�� : <�>� K � � D�b5= e = ��L AK��®ÚW]�GN

¶¢¡p\�kT³´_|dfU \rQTV�oTV�¹9Zpce\rc�dfZMdb³ ��D^b =Oe'= � L k AK��®ÚWfW>N�c�m�V �1¡Tc¦£s`b�eVnZ]\¤\rd:A5mrV�V»�¦�-�B��Ni¸

/cC]9�RcH b H e H �EH�� /%È � � � � � AK��®ÚWf�>N

`bZTo AK�p®©Wb� N¢\rd/cC]9�RcH b H e H �EH�� / � � � e8 � AK��®ÚW]ªGN

`bZTo AK�p®©W]�>N¢\rd/cC]9�RcH b H e H �EH�� / � D� b L AK��®ÚW>)>N

PRQpV�m|¡T§3opce½3Vn_|VnZ]\^c�`b��db³ � `s\<D� b5=� e�= � L<cemzlbce£bVnZ²§1¥.¸

/ ��D b5= e�L�� ;����9 R�H bdH e H �fH�� / � D� b L9 R�H bdH e H �fH�� / � � � ��� �9 R�H bdH e H �fH�� /%È � �� � �

���� AK��®ÚWf­>N

y¤ZTo�\^Q1¡Tmnk.`ba�andf_|oTceZTl"\rd:AK�p®©W>) Nik5AK�p®©W]ª>N¢`bZTo3AK�p®©Wf� Nikp��V�Q9`�£bVb¸�� ///

�� C�/ ��D b5= e�= ��L AK��®©�]�>N

��QTc�ajQ�cem�V �'¡pce£s`b�eVnZ]\F\^dp¸�� D� b =� e�= � L � : <�> $ � W � W � & K ��� ��D^b5= ea= � L � ��® �¤V�ZTanV»\rQTV��QTdf�eVºmrV �'¡pVnZTa�V � D�b � = e � = � � L�andfZ]£fV�_rlfV�mR\^d-�<`s_roTm �¿\rQTVºUOc�Zpc�U�¡TU¿db³ � dfZ � �8 È�9 � �sÈ � ® � _|dfU tu_rdf�.dfmrc¦\^cedfZO�p®e�fkw��VRoTV�oT¡Ta�V�\rQ9`s\,\^QTV<m|V �1¡TV�ZTanVdD�b � L,andbZ1£bVn_|lfVnm\^d b�`bZpo²\rQ9`s\<D�e � H�� � L�a�dfZ]£fVn_|lfVnmz\^d e H �D��QTVnZ � \^V�ZToTm�\^d HKJ ®

·IV�ZTd-� \r¡T_rZ²df¡T_�`s\|\^V�Z1\rc�dbZ²\rdO\rQTV�mrV�andfZToM�9`b_x\�db³�\rQTV�`b��lbdf_rc¦\^QTU�®¬·IV�Q9`�£fVb¸� � �_V%� 2 � � D@R 9 b 9 e � L AK��®©�T��N

�´ã õ �´Ý

Page 50: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �1ª

e � �_V � 2 � ��� D�R 9 b 9 � � �_VmL AK��®©�1�GNPRQpc�m�\^_r`bZTm|³´db_rU"`s\^cedfZÇcem�� h � c��pmrajQTc¦\^µsk{\^Q9`w\�c�m � � �_V�� � VSD � � L>`bZTo e � �_V ��TV�D�e � L���c¦\^Q �TV¢`bZpo � ? ��h ��ce�Tm|ajQTce\rµº³´¡TZTa \^cedfZTmn¸ � VSD � L � 2 � � D�R 9 bh9 2 � ��� D�R 9

b�9 � LmLu`bZTo � ? D�e�L � 2 � � � D�R 9 b 962 � � D�R 9 b 9 e�LOLi®�·Çce\rQ"\rQTVzm^`bUOV¤`b_rlf¡pU"V�Z]\^m`bm<ceZ»\^QTV¤¹9_rmx\R�9`b_x\Rdb³ \^QpVº�T_rd'db³åk'dfZTVºan`bZ>Vi �\r_^`ba \z`�mr¡p§TmrV �'¡pVnZTa�V D^e ��� = � ��� Lu³´_rdfUD�e � = � � L{a�dfZ]£fVn_|lfceZTl\^dmrdbU"V:D e�= � L CE8 È�9 � �wÈ � ®��²df_rV�dB£bVn_�k�� VSD � L � � `bZTo� ? D e�L � e9® � _|dfU \^QTcemnk«�¢VFoTV�oT¡TanVF\rQ9`s\º\rQTV���QTdf�eVFmrV �1¡TVnZTa�V D^e � = � � L¤andbZ1£bVn_|lfVnm\^d:D ea= ��L ®

� ��� � �� � � � �����+%��&���V \�¡Tmzc�Z]\^_|d�op¡TanV±\^QpV�\[�¢dO³´df���ed-��c�Zpl��T_|df§T�eVnUOmn¸

: <�>� � � � � � � � D�b_L H � � � e8 � H È � � �� � AK��®©�]W>N

:=<�>� � � � � � � � D^b_L H�� PIe P!9cH � P��P � AK��®©�f� N·IV±¹9_rmx\zU�` 'bV�\^QTV��ec�Z5'»§3V \[��V�VnZEA5�p®©�b� N�`bZTo3AK��®©�]W>N ®

� � Å 2 Å ��#´��# Å'& � " / " � ����� � � �� �G�' � ���:� " ��� ��� �$#8*����8'8* � ��� D b = ea= ��L ��� ��� �� ������ ��E &� � " ��� ��� �$#8*����8'8* ���� � ���� 8 � PIe P!9 �G�' � � P��P � ��� �$#8*�� �:'8* � �����D� b = ea= ��L� �<�G���� ����� �� ������ ��3 &� � " ��� ��� �$#8*�� �:'8*

�zd-� ��VzU"` 'bVz\^QTV��ec�Z�'"§.V�\[�¢VnV�Z1AK��®©�]W>N¬`bZTo A5�p®e�$N k]§]¥"ajQTVna '1ceZTl���Q9`w\�Q9`s�T�3V�ZTm��QTVnZ �glfd'Vnm<\^d��Fc�Z²�T_|df§T�eVnU A5�p®���N ®� � Å 2 Å ��#´��# Å'& � "B\ " � ��� � � ���� ��X� �1<D�b 4 � =Oe84 � = �54 � L �K�� �� ���@�� �� &� � " ��� ��� �$#8*-,/'� � ��� � � � � � '8* � ����� � � ����� � � �� ������X �� �G� 1 ��� � ���X� "<�� ������d &��� ������� � ����� ���D�b 4 � =Oe84 � = �54 � LK� �<���� �� ���@�� ��3 &� � " ��� ��� �$#8*�� �:'8*

PRQpV��T_|d�ds³´m�`b_rV±mx\^_^`sc�lfQ]\|³´df_|��`b_ro²lfV�ZTVn_r`b��ceµ�`w\^cedfZTmzdb³,\rQTV��T_rd'db³´mRceZ¯� �b�K®

� ��� � 2$�!������ 6%�������29% ���·¯V�oTcemr�T��`�¥�QTVn_|V�mrdfUOV�Z1¡TUOVn_rcea�`s�!_|Vnm|¡T�e\rmn®

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 51: Dual norms and image decomposition models

� ) ���������� ���� ����� �G���� ���� �

0 i Å #K� ÁgÅ'` �$i Á 2,�p�w� � Á � Á �s�s� PRQTV��9`b_^`sU"V \^V�_=��andbZ1\r_rdf�em�\^QTV � ? ZTdf_|U¿db³�\rQTV_rVnm|c�op¡9`b� R 9 b 9 e%®�PRQTV�mrU"`b�e��V�_Oce\"cemnk�\^QTV�mrU"`b�e�eVn_O\^QTVZTdb_rU db³z\^QpV²_|Vnm|c�oT¡T`b�§3V�andfUOVnm�®uY[Z»�T_r`ba�\rc�a�Vbk'��V�vx¡Tm|\¢ZTVnV�o�\rd�mrV \ �>m|U�`s��� A5ceZ»db¡T_¢Vi ��3V�_rceU"V�Z]\^mnk���V¤Q9`�£fV¡TmrV�o � ' ; S /p¸R\rQTV ��8�ZTdf_rU db³u\rQTV�_|VnmrceoT¡9`s�¬c�m¤\^QTV�Z�mrU"`b�e��V�_º\^Q9`bZ��b®×� A5`bZTog\rQTVlf_^`�¥»£s`b�e¡TV�m¤db³,df¡T_RceU"`blfV�m¤lfdF³´_|dfU¿��\^d��f�b�>NONi®

PRQpV��9`s_^`bUOV�\rVn_ 8¨_rV��T_rV�mrVnZ]\rm¤\^QpV<7 ZTdf_rU�db³,\rQTVKe»a�dfUO�3dfZpVnZ]\�®PRQpV�9`b_^`sU"V \^V�_ �M_rV��T_rV�mrV�Z1\rmF\^QTV � Zpdf_rU db³�\^QTV � andfUO�.dfZTV�Z1\n® �¤`�£�ceZTl�`

an�edfmrV�_u��d'd '�`s\u\^QTV�`s��lfdb_rc¦\^QTU AK`bm�c�Z�°�¡T§pmrVna \^cedfZ%�>Nik]��V�mrV�V<\^Q9`w\ Z �¤cem¬\^QTV<\rQT_rV�mrQTdb��o��QTc�ajQ�cem�¡Tm|Vno�ceZ»\^QTV¤�<`�£fV���V \^m|db³è\|h�\^QT_|VnmrQpdf��opc�ZTlp®¢Y[Z>\rQTVºa�`smrVºdb³«oTVnZTdbc�m|c�ZTlpkp��V±an`bZ\^QTV�Z�¡Tm|Vz\rQTV�an��`bmrm|c�an`b�9\^QT_|Vnm|QTdf�eo � M Z � � D � ? L,��QTVn_|V � ? cemu\^QTV�mrceµnVzdb³.\^QTVzceU�`slfV�©­pk��-W'k��-�s�K®<·¯V�\^QTV�_rV�³´db_rV�ajQTd�dbmrV � � � � ? � ��� $ � B &? ®RY[ZM³5`ba�\nk%\rd»lfV \{§.V�\|\^V�_¤_|Vnmr¡p�e\rmnk��V�QT`-£bV�ceZ1\r_rd'oT¡Ta�Vno¨`��¢VncelfQ]\^ceZTl��9`b_r`bUOV�\^V�_ �.k«`bZpog��V�mrV�\ � � � � � ? � ��� $ � B &? ®{Y[Z�T_^`ba \^ceanVsk �c�m�V �1¡9`s�«\^d���df_�mr�ec�lfQ]\r�e¥�m|U�`s���eVn_�®

·IV�oTcemr�T��`�¥�mrdfUOV�Z1¡TUOVn_rcea�`s�!_|Vnm|¡T�e\rm¤dbZ � celf¡T_|Vnm��B��\^d��-��®

0 Å ��� Á�& �B� PRQTV�U"d'oTV��«c�ZI�¦�-­s� an`bZM§.V±��_rc¦\r\rVnZ«¸� : <� W � P�� b P�V H P��ce5P�V H � PSR�9 b�9 e5P ?? H ��� D�b_L � AK��®©�1�GN

��QTVn_|V�� cemg`�\^_r`bZTmx³´df_rU `so9`b�p\rVnoÇ\^d \^QTV¨lfV�dfUOV�\^_|c�an`b���9`b_x\Mds³�\rQTV¨c�U"`blfV Aè³´df_c�ZTmx\j`bZpanV�\rQTV�a�¡T_|£bVn�eV�\±\^_r`bZTmx³´df_rU N kA`bZTo�� `�\^_r`bZTm|³´db_rU `bo9`s�p\^V�o�\^d�\rQTV�\rV  '\^¡T_|Vno�9`b_|\»db³�\^QTVgc�U"`blfV A´³´df_�c�ZTmx\j`bZpanV�\^QpV�oTcemran_|V�\rV�a�dfmrceZ1¡Tm>\^_r`bZTmx³´df_rU N ® PRQpV�ZTdfcemrV� � RQ9 b 9fe²c�m±�.VnZ9`s��ceµnV�o¨\rQT_rdb¡TlfQ�c¦\^m ��?±ZTdf_rU�®�Y[Z�³5`ba�\nkA\^QpVF`b¡p\rQTdf_rm{db³¤�e�-­w�lfV�\�\^QpV"Zpdfc�m|V�a�dfUO�3dbZTVnZ]\�`bm�`�§]¥]h[�p_rd'oT¡Ta�\�db³¢\^QTV�c�_�UOd�opVn�5®»¶�¡�\�\rQTV�¥¨QT`-£bV�Zpdb\_rV�`s���¦¥²c�Z]\^_|d�op¡TanV�`�ZTdf_|U mr�.Vna�ce¹9a�\^d�\rQTV�Zpdfc�m|Vbk.andfZ]\r_^`b_x¥²\rd���Q9`w\¤�¢V�Q9`�£fV�oTdfZTVs®�Mdf_rV�d-£fVn_�k�c¦³�\rQTVOan¡T_x£fVn�eV�\�\^_r`bZTm|³´db_rU�cem�§.VnceZTl²¡TmrV�o¯³´df_º\rQTV�lbVndfUOV�\r_rcea�`b�u�T`b_|\�db³\^QTV�c�U"`blbV�ceZ A5�p® �1�>N kT\rQTV�andfUO�T¡p\^`s\^cedfZ²\^ceU"V�cemz\rQTVnZMU�¡TajQ��edfZTlbVn_R\^Q9`sZM��c¦\^Qgdb¡T_`b��lbdf_rc¦\^QTU�®

���)( &�Å�Ä � Á Æ 4%Á � Á�& �]� �²dfm|\Fds³<\^QTcem��¢df_:'¨��`bmFoTdfZTV"��QTce��V>\rQTV>mrV�andfZpo `b¡p\^Qpdf_�<`bm¢m|\rc��e�.��c¦\^Q 6 *�~$*J�My �+*Rka6 �{~¤°�,{�g~ ªb�bWb�Tk ,zZTce£bVn_|mrc¦\^q±oTV¤t�`b_|c�m �º`b¡T�pQTc�ZpVbkt�`b_|c�m�k � _^`bZpanVb®�PRQTV�¹9_rmx\±`b¡�\^QTdf_�\^QT`bZ5'1m{\^QpV�QTdbmr�Tc¦\j`b�ec¦\[¥gdb³ 6 *J~ *J�My �9* ��QTV�_rV\^QTcemz�¢df_ '���`bm¤c�ZTc¦\^c�`s\rVno«®�t,`b_|\¤db³�\rQTcem¤�¢df_:'Q9`sm{§.VnVnZ²³´¡TZToTV�o�§]¥�.�o9~<håtu_ 6 Yx°�Yx°A5Q]\r\r�«¸����w�R�R�<h[cemrcemn® VnZTmx\�® ³´_��>NR\^QT_|df¡TlfQ\rQTV±¥fdf¡TZpl�_|VnmrVn`b_rajQpVn_{�p_rdflf_r`bU�®

�´ã õ �´Ý

Page 52: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �]­

¼º_rcelfc�ZT`b�«ceU�`slfV �zdfcem|¥ceU"`blfV A �7� ��� N bhHfe

b e H ; � /�S / �fH ; � /

� c�lb¡T_rVF�B�'¸uy m|c�UO�T�eV�V  p`bUO�T�eV A � �0/�S � k 8 � ;$Z /pk � � ; S /pk �{`f`b_ N

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 53: Dual norms and image decomposition models

�b� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

¼º_|c�lfceZ9`b�Ac�U"`blfV �¤dbc�mx¥c�U"`blbV�A � � Z#/ N

b b HEe

e H ; � /�S / �fH ; � /

� c�lf¡p_rVF�-Wp¸��AV�§T_^`OceU�`slfV�A��6� ; S /�k�8 � ; / /pk � ��/�S ��k �º`b¡p§�) N

�´ã õ �´Ý

Page 54: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� ���

¼º_rcelfc�ZT`b�«ceU�`slfV

�¤dfcem|¥ceU"`blfV A �7� Z / N

� celf¡T_|V"�n�T¸�¶<`b_|§9`b_^`FceU"`blfV±Y

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 55: Dual norms and image decomposition models

�f� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

b

b Hfe

� celf¡T_|VF�B��¸�¶<`s_r§9`b_r`Fc�U"`blfV�Y|Y A �6� ; S /pk�87� � /�k � �0/�S��pk �º`s¡T§�) N

�´ã õ �´Ý

Page 56: Dual norms and image decomposition models

�������������� ����� ��������� ����� ������� �bW

e H ; � / S /

�EH ; � /

� celf¡T_|VF�-�p¸�¶<`b_|§9`b_r`OceU"`blfV�YrY|Y A �6� ; S /pk 8 � � /pk � ��/ S �pk �{`b¡T§�) N

õ!õ ÑGj�k ùml�n

Page 57: Dual norms and image decomposition models

�s� ���������� ���� ����� �G���� ���� �

��� �������������

�������������������� ��� !�#"%$ 0 '&)(+*,$,- �/.1032546��73�8��9393:�;<4��>=6��?5@34A�B��?5;<C��A�D��CE���34���;<C.�2F4A�F�AGIHJ73C�GK�ML'N'OP�

RQS��T��U�V�XW325Y'�F;<Y)G�ZX�\[�03�5C�Y3G���7)�^]_�\.`��:�:%��25�)�Xa\bPc *!dfeg� c -��ihj !� b+clk $ k 0 (�m!ef(�dfeg� c -( clk hnmo$,$ k e%-M*,� c dfe c�b epd 1 &lmo�� A"%$!q_- �srut+vwY'25�^�B��?5@34A�B��?5;<CA��:x��Y'73Y'y�2o��93@)�A�Krut{zvwY'25�}|u7);�~�4A25�F;�?J�6.1254��5�AGUQ����'�)�

��#�X���P�V03Wl4A2�?���73�.`� � Y'2F739325Y�W3�F?A� � (�dw��$!qB(�dfeg*5(�"l��mo�� A"%$!q_-�e c� qB(E�P$V��mo�M*,$,-,-!�e c � G{~�Y':�03��4_�E�{N�Y�v�� &�&l"�eg$ k_� (�dw��$!qB(�dfeg*5(�" �*!eg$ c *,$,- ���P9)25;�73y'4A2iz���4�25:<��y3G)Q��'��QP�

����X�)�R[����V0���Y':fG{�j���u03WU4�2F?AG{T�����:<��73C!zJ[��A25��03��G{��73���_����@3���_WlY':�:<4��U]u4ACAY��B9lY'�F;<73y��7�;�����y'4��x�u9393:�;<CA��?o;�Y'7 ?5YX?54!t+?o032F4A��;��B��y'4�����73���P�¡�/;�����y'4A��G�Q��'���)��HiZV��HJ���4��54E��25C,@¢��4�9UY�2F?s��N����3G�?5Y£��939l4E��2_;�7¢��=¤H��sG`@{?F?o9�� � �#¥�¥�¥ ��;�7325;<�)�¦vw2 � 2F252F? � 252iz�{N����3��@�?o��:f�

ROS�X�)�R[����V0���Y':fG{�j���u03WU4�2F?AG{T�����:<��73C!zJ[��A25��03��G{��73���_����@3���_WlY':�:<4��U]u4ACAY��B9lY'�F;<73y��7^;<�B��y'4��¡�V9)93:<;�CE�#?o;�Y'7£?oY¤�P�¡�§;<�B��y�4A�A�_HJ7 �*5(�"%$!� '&)(+*,$^¨ª©�« G�~�Y':<0)�B4�M¬�­�QY�vD® $,*!d b mo$°¯��#di$,-�e c²± �#qV& b dJ$!m°³�*!eg$ c *,$ G3Q��'�'�P�

�¬#�°�_����@3���_WlY':�:<4��¡�V7£��:<y'Y�25;´?o@3�µvwY'2�?oY�?o��:�~���2F;%�#?o;�Y'76��;�73;<��;�¶E��?5;<Y�7·��73�£��939):<;�zCE��?5;<Y'7)�A��¸'�}�{¹KGlQ��P�R­'LMºPL�NPG3Q��'���3�

RNS�°�_�1��@3���_WlY':�:<4»��73�².`��T1�xT�;�Y'73�A�6HJ����y'4 2F4ACAYM~�4A2F�¼~P;<�¤?5Y�?,��:�~���25;<��?5;<Y'7¼�B;�73;�z�B;�¶E�#?o;�Y'7^��73�£2F4A:<��?o4��½9325Y�W3:<4����A� ¯ b q $!mne%-M*,��$ � (�dp��$!qB(�d¾e%¿ G�N�¬�Àf��Á!���M¬�NMºI�M­'­)G�ML'L�NP�

�­#�°�_�I��@����_WlY':<:�4�GI�°���_�3]u4°��Y�254�G3ZX�3T�4�4�GI��73��u�Â�)��T�03C�;<4�2A��Z�Y'73:�;<734A��2 ¥ �M~�4A:�4�?;<�B��y'4_9325Y+CA4��5�5;�73y3�u�D��25;<��?o;�Y'7���:`932FY'W3:�4A���AG�C�Y'��93254��5�F;<Y'7\G`��73�£73Y';��54s2F4A��YM~���:?o@32FY'03y'@ ¥ �E~�4A:�4�?²�F@325;�73Ã#��y'4�� �FÄDÄ�Ä Å m5( c -M*5(�dfeg� c -¢� c§� qB(E�P$·��m,�M*,$,-,-!e c � GN3À¾��Án�R�P�MLSºP�'�'OPG�=6��25C,@Æ�ML'L'­)�

�L#��]_�RT1�j]uY'73Y'@3YÇ��73�È=·�j��Y�@373�F?5Y'734�� ���3��9)?o;�73yÉ?5YÊ0373Ã{73Y ¥ 7Ë�5��YPY�?o@3734��5�~P;<� ¥ �E~�4A:�4�?��5@32F;<73Ã#��y�4��̸ � b m c (�"��ih dw��$ � q $!m!eg*5( c ³Idg(�d¾e%-!dfeg*5(�" � -,-M�M*!ef(�d¾eg� c�GL'��Àf�'��Q'Á!���SQ����Sºl�SQ'Q#�3G+]V4AC�4A�_Wl4A2X�ML'L�O+�

��M�#�°H,�`Í1Ã�4A:<��73�Î��73�¼���KÏ�4A�B����}�Vc (�"�ÐM-M$»*,� c�Ñ $FÒP$»$!dD&lmo�� A"%Ó!q $,- Ñ (�mnef(�d¾eg� c�c $!"R- �Í1?503�34��¡=6�#?o@3�����#?o;�Ô+0)4A�A�U]V037)YP��G��EL�N��3�

Õ´ã�Ö�Õw×

Page 58: Dual norms and image decomposition models

� qB(E�P$ k $,*,�#qV&��M-!epdfeg� c q � k $!"R- O'O

��'����T��R�V�'Íx~���73��� � (�m!dfef(�" � e �¡$!m,$ c dfef(�" Ä��Ab (�dfeg� c - G�~'Y':�03��4¡�MLuY�v�� mF( k�b (�dJ$�³Id b3k eg$,-e c½� (�dp��$!qB(�d¾eg*,- �1�u��4A25;�CE��7½=6�#?o@34����#?o;�CE��:`�PY+CA;�4�?J��G��ML'L)�'�

��SQS��[�� =¤��:<y�Y'0)�+254��A�Ç=6�#?o@34����#?o;�CE��:u��7���:´�+�5;��»Y�v°�¼��Y+�34A: ¥ @3;�C,@>CAY'�XW3;<7)4A��?oY#z?,��:�~���25;<��?o;�Y'7¼��73� ¥ �E~'4A:�4�?jvwY�2X;��B��y'4 2F4A��?oY'25��?o;�Y'7��·¸ � b m c (�" �ihBe c hE�#m!qB(�dfeg� c&lm,�M*,$,-,-M$,- G�Q3À��SÁn�<�nºl�M�)G3Q��'��QP�

��M�#��[���=6��:�y'Y'0)�+254��A�>=};<73;���;<¶�;<7)y¼?o@34?oY�?,��:�~���25;<��?5;<Y'7¢0373�)4A2��·y'4�734A25��:�CAY'7�~'4ntCAY'73��?o25��;<7�?�vwY'2 ;��B��y'4¡2F4A��?oY'25��?o;�Y'7����FÄ�ÄDÄ dfmF( c -A(+*!d¾eg� c -X� c epqB(E�P$�&lm,�M*,$,-,-!e c � G�'�{À��MQ'Á!���E�{O��Mºl�E�{O�¬PG)]V4�CA4��_Wl4A2VQ��'��QP�

��E���X�U�Â�j�X=6��:�:%�#?E� � ?o@)4AY'2��ÊvwY'2^�_03:´?o;�254��5Y':�0)?o;�Y'73�F;<y�7���: �)4ACAY��B9lY'�F;�?5;<Y'7\� Ï�@34¥ �E~'4�:<4!?�254A9)254A�F4A7�?,�#?o;�Y'7����5Ä�Ä�Ä Å m5( c -A(+*!dfeg� c -�� c � (�d¾dJ$!m c»�Vc (�"�ÐM-!e%-�( clkj� (��*,�+e c $ �,c dJ$!"p"�e´�P$ c *,$ G\�'��ÀgN'Án�R¬�N#�#ºP¬'L'�PG3��03:´�^�ML'­�L)�

��SOS�X�U�Â�j�P=6��:�:%�#?E����� ( Ñ $!"%$!d Å � b m��ih�³Ie´� c (�")��m,�M*,$,-,-!e c � �U��CE���)4A��;<CV.1254A�F�AGU�ML'L'­)� ��M¬#��~'4A��=¤4���4A2A�`r¡�5C�;<:�:<��?o;�73y_93��?5?54A257)��;�7 ;�����y'4u9)25Y+CA4A�F�5;�73yj��7)� ;�7 �5Y��B4u73Y'73:�;�7Pz

4E��2�4�~�Y':�0)?o;�Y'764�Ô{0���?o;�Y'73��GU=6��25C,@½Q��'�)���1Ï�@34_[`;�vp?54A4A7�?5@½]V4A��7½�'��CAÔ{034A:�;�734A���u�TK4 ¥ ;<�V=¤4��BY�25;<��:KT�4AC�?503254��A�

��SNS�X�U�Â�)��r��F@34A2�G3�_���PY':�4�G���7)�T����_�+��4A�F4��1HJ�B��y'4¡�)4ACAY��B9lY'�F;�?5;<Y'7}��7)�}2F4A��?oY'25��?o;�Y'703�5;�73y¡?oY�?,��:�~���25;<��?5;<Y'7X��;<73;���;<¶A��?o;�Y'7���7)�_?o@34��� ��K73Y�25��U�¤b "�dfe%-M*5(�"%$ � � k $!"�e c �( clk ³Iepq b "�(�dfeg� c���� ³ ���¡� �oc di$!m k e%-M*!eR&l"�e c (�mnÐ ¸ � b m c (�" G��{Àf��Á!������LMºP��N��)G3Q��'�'�P�

��M­#��T��3��03�);<7�G��U�Ir¡�5@34�2AGI��7)�Í��3[l�#?o4A��;f�1ZuY�73:<;�734A��2 ?oY�?o��:U~���2F;%�#?o;�Y'7»W����F4A�}73Y';��54254A��YM~���:K��:�y'Y'2F;�?5@3���A� ���+ÐS-!eg*5( � G�¬'�)�RQ'O�LSºPQ�¬'­)GU�ML'L�QP�

��ML#�X�)�RT1�K�+?o��25C,ÃIG`=·�KÍ�TK����GK��7)�·]X�RT1��]VY�73Y'@3Y3�_HJ����y'4j�34AC�Y'��9UY��5;´?o;�Y'7����54�9���25�#z?o;�Y'7¤Y�v�?o4nt+?o032F4�vw2FY'� 93;�4AC�4 ¥ ;��54s�F��YPY�?5@¤C�Y'7�?o4�7{?AGUQ��'�'�)��Ï�Y ��939U4A��2�;�76HiÍ�Í�ÍÏ`25��73�o��C�?o;�Y'73��Y'7HJ�B��y'4�.125Y+CA4��5�5;�73y3�

RQ��#��T����_����4��54���73� �l�Â�)�`r¡�5@34�2A�=}YP�34�:<;�73y}?o4!t+?503254�� ¥ ;´?o@·?5Y�?,��:x~���25;<��?o;�Y'7Æ�B;�73;�z�B;�¶E�#?o;�Y'7_��73�°Y'�5C�;<:�:%�#?o;�73yu93��?5?54A257)��;�7°;<�B��y�4D9)25Y+CA4A�F�5;�73y3�I¸ � b m c (�")�ih1³�*!eg$ c dfe � *± �#qV& b dfe c � G��ML)�RO'O��Mº)O'N'QPG3Q��'�'�P�

�������������

Page 59: Dual norms and image decomposition models

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes4, rue Jacques Monod - 91893 ORSAY Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399