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d.ssa Roberta RomanelliPsicometria II (fascia I-Z)
http://www.psicometria.unich.it
• L’ANOVA è una tecnica statistica che permette di verificare ipotesi su differenze tra medie di 2 o più popolazioni.
Che cosa è?
Var. DipendenteScala a Intervalli e/o a Rapporti
equivalenti
Var. Indipendente
Scala Nominale
Gruppo sperimentale VS Gruppo di controllo
TerminologiaVariabile indipendente/
sperimentaleuna variabile che il
ricercatore sottopone a manipolazione sperimentale
Variabile quasi-indipendente una variabile utilizzata per
distinguere fra diversi gruppi di
risultati (es: sesso)
Variabile dipendente: una variabile il cui valore è determinato da quello dei fattori
FATTORI
• È una tecnica statistica basata sulla scomposizione della variabilità totale dei dati in due parti:
Una prima definizione
VARIABILITA’ SPERIMENTALE che
è dovuta alle variabili introdotte o
studiate dallo sperimentatore
VARIABILITA’ ACCIDENTALE o
RESIDUA dovuta a tutte le variabili che
non è possibile controllare o che non sono state controllate
può assumere diversi valoriOgni punteggio Y dipende dal gruppo cui appartiene il soggetto
(più un errore).
Possiamo prevedere il
punteggio di ogni soggetto in base
al gruppo cui appartiene
Come verifichiamose i punteggi
osservati dipendono
dall’appartenenza a gruppi diversi?
1 2 … j k1 x11 x12 … x1j x1k
2 x21 x22 . . . … . . . … i xi1 xi2 … xij xik
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .n xn1 xn2 … xnj xnk
• Differenza tra le medie = Variabilità tra gruppi
VARIABILITA’ TOTALE
VARIABILITA’ TRA I GRUPPI (o Between)
VARIABILITA’ ENTRO I GRUPPI
(o Within)
-Trattamento- Differenze individuali-Errore casuale
- Differenze individuali-Errore casuale
• Differenza tra le medie = Variabilità tra gruppi
VARIABILITA’ TOTALE
VARIABILITA’ TRA I GRUPPI (o Between)
VARIABILITA’ ENTRO I GRUPPI
(o Within)
Viene isolata eliminando la variabilità che esiste all’interno di ogni gruppo
Deve essere isolata dalla variabilità tra i gruppi
Il punteggio ottenuto da ogni soggetto viene confrontato con la media generale
Il punteggio ottenuto da ogni soggetto viene confrontato con la media del proprio gruppo
• Non ci sono differenze significative tra le medie dei gruppi• Il trattamento non produce effetti• La variabilità tra gruppi e quella entro i gruppi sono molto
simili perché comprendono entrambe solo la varianza d’errore
Quando l’IPOTESI NULLA è vera
• Ci sono differenze significative tra le medie dei gruppi• Il trattamento produce effetti• La variabilità tra gruppi sarà maggiore di quella entro i
gruppi
Quando l’IPOTESI NULLA è falsa
Il modello teorico
Media generale dei punteggi nel campione totale
Effetto dovuto al trattamento
Errore casuale (o Residuo)
-È specifica per ogni soggetto- Il suo valore dipende da:
- differenze individuali tra i soggetti-Errore di specificazione del modello-Non attendibilità delle misure
Questo modello è relativo ai dati della
popolazione
…. Noi lavoriamo sulle stime campionarie dei parametri della popolazione….
Stima
Media generale del campione
Differenza tra la media dei gruppi e la media generale del campione
Differenza tra il punteggio del soggetto e la media del gruppo in cui si trova
Quanto il punteggio del soggetto j è determinato
dall’appartenenza alla condizione
i
Variabilità dei punteggi del
soggetto j all’interno di ogni gruppo
Solo 1 Var.Indipendente ANOVA A 1 VIA
2 o più Var.Indipendenti ANOVA FATTORIALE
Solo 1 Var.Dipendente ANOVA UNIVARIATA
2 o più Var.Dipendenti ANOVA MULTIVARIATA o MANOVA
Classificazione generale
• È definita anche:• “Disegno di ricerca tra i soggetti” ad un solo
fattore• Disegni per gruppi indipendenti
• La condizione sperimentale è determinata dai livelli della VI
• Ad ogni condizione troviamo un gruppo di soggetti diversi
Gruppi indipendenti
ANOVA UNIVARIATA
• 3 gruppi esposti a 3 trattamenti diversi T1,T2,T3.
• La media complessiva è 10
Se il punteggio del soggetto fosse dovuto solo all’effetto della media allora ….
Esempio
T1 T2 T3
10 10 10
10 10 10
TUTTI I SOGGETTI HANNO LO STESSO PUNTEGGIO
• Se il trattamento ha effetto. Ad esempio:– T1: diminuzione di 2
punti– T2: diminuzione di 1
punto– T3: aumento di 3
puntiIl punteggio di ogni
soggetto sarà:
• Se nel punteggio influiscono sia la media generale, sia il trattamento sia la variabilità dovuta all’errore casuale
Il punteggio di ogni soggetto sarà:
T1 T2 T3
8 9 13
8 9 13
T1 T2 T3
9 (ε = 1) 8 (ε = -1) 13 (ε=0)
7 (ε = -1) 9 (ε = 0) 13 (ε=1)
somma dei quadrati degli scostamenti di ogni punteggio dalla media
La devianzaDEVIANZA
1)DEVIANZA TOTALE Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi ( ) dalla media generale ( )
2) DEVIANZA TRA I GRUPPI Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi (o Dev. BETWEEN) medi del gruppo di appartenenza ( ) dalla media generale
3) DEVIANZA ENTRO I GRUPPI Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi di (o Dev. WITHIN) ogni singolo soggetto ( ) dalla media del
gruppo di appartenenza ( )
…..in formuleDEVIANZA
TOTALE
DEVIANZA BETWEEN
DEVIANZA WITHIN+
= +
n - 1
k - 1 n - k
n – 1 = k – 1 + n - k
Riprendendo i dati dell’esempio precedente
Calcoliamo le devianze:
… esempio
T1 T2 T3
9 (ε = 1) 8 (ε = -1) 13 (ε=0)
7 (ε = -1) 9 (ε = 0) 13 (ε=1)
media 8 8,5 13
yij Gr.appartenenza
Dev.Totale Dev.Between
Dev.Within
9 1 (9-10)2= 1 (8-10)2 (9-8)2
7 1 (7-10)2= 9 (8-10)2 (7-8)2
8 2 (8-10)2= 4 (8.5-10)2 (8-8.5)2
9 2 (9-10)2= 1 (8.5-10)2 (9-8.5)2
13 3 (13-10)2= 9 (13-10)2 (13-13)2
14 3 (14-10)2=16 (13-10)2 (14-13)2
• Dividendo le devianze per i rispettivi gradi di libertà otteniamo:
…. come ricaviamo la varianza?
Riflette l’effetto del trattamento sperimentale, delle differenze
individuali e dell’errore
Riflette l’effetto delle differenze individuali e
dell’errore casuale
Differenze sulla VD tra le medie dei gruppi sottoposti a trattamenti diversi
Differenze sulla VD tra i punteggi di soggetti appartenenti allo stesso gruppo
FONTI DI VARIAZION
EDEVIANZA GDL VARIANZA CONFRONTI
Trai i gruppik - 1
Entro i gruppi/residua
n – k
Totale n - 1
• Supponiamo di aver effettuato un esperimento nel quale abbiamo assegnato casualmente 10 soggetti ad un gruppo sperimentale e di controllo.
• Supponiamo che la nostra variabile dipendente sia QUANTITA’ DI PAROLE DI UNA LISTA RICORDATE DOPO 5 MINUTI
• Supponiamo che la nostra variabile indipendente sia MODO DIVERSO DI DARE LE ISTRUZIONI (amichevole VS neutro)
Esempio
Modo amichevole (gr. Sperimentale)
Modo neutro (gr. di Controllo)
Soggetto
Nr. Parole ricordate
Soggetto
Nr. Parole ricordate
1 10 1 8
2 10 2 7
3 14 3 10
4 16 4 14
5 15 5 11
MEDIAMEDIA 1313 MEDIAMEDIA 1010
Media totale = 11,5
Gr.Sperimentale
Gr. Controllo
10 8 (13-11,5)2 (10-11,5)2
10 7 (13-11,5)2 (10-11,5)2
14 10 (13-11,5)2 (10-11,5)2
16 14 (13-11,5)2 (10-11,5)2
15 11 (13-11,5)2 (10-11,5)2
Media Media gr.sperimentagr.sperimenta
lele1313
Media Media gr.controllgr.controll
oo1010
11,2511,25 11,25
DEVIANZA BETWEEN CON DEVIANZA BETWEEN CON k-1 gdlk-1 gdl
11,25 + 11,25 = 22,50 con 2-1=1 gdl
Calcoliamo la variabilità between
Media totale = 11,5
Gr.Sperimentale
Gr. Controllo
10 8 (10-13)2 (8-10)2
10 7 (10-13)2 (7-10)2
14 10 (14-13)2 (10-10)2
16 14 (16-13)2 (14-10)2
15 11 (15-13)2 (11-10)2
Media Media gr.sperimentalgr.sperimental
ee1313
Media Media gr.controllogr.controllo
1010 3232 30
DEVIANZA WITHIN CON n-k DEVIANZA WITHIN CON n-k gdlgdl
32+30= 62 con 10-2=8 gdl
Calcoliamo la variabilità within
FONTI DI VARIAZION
E
DEVIANZA
GDL VARIANZA CONFRONTI
Trai i gruppi 22,501 22,50/1=22,
50F = 22,50/7,75
= 2,90
Entro i gruppi/residua 62 8 62/8 = 7,75
Totale 84,50 9
Con le formule abbreviate…
1 2 … j k1 x11 x12 … x1j x1k
2 x21 x22
. . . …
. . . …
i xi1 xi2 … xij xik
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
n xn1 xn2 … xnj xnk
T1 T2 Tj Tk TQ1 Q2 Qj Qk Qn1 n2 nj nk Nμ1 μ2 μj μk μ
CQDevT
Cn
TDev
k
1jj
2
B
j
k
1jj
2
W n
TQDev j
Somma dei Qj
Somma dei singoli valori elevati al quadrato di ciascun campione
NT
C2
Somma dei singoli valori di ciascun campione
Somma dei Tj
gruppo 1 gruppo 2 gruppo 3soggetti xi1 xi1
2 xi2 xi22 xi3 xi3
2
1 2 4 2 4 1 12 1 1 4 16 1 13 3 9 3 9 2 44 2 4 2 4 2 45 1 1 4 16 1 1
T1=9 Q1=19 T2=15 Q2=49 T3=7 Q3=11
317159 T 79114919 Q
07.6415
312
C
93.1407.6479DevT
CQDevT
gruppo 1 gruppo 2 gruppo 3soggetti xi1 xi1
2 xi2 xi22 xi3 xi3
2
1 2 4 2 4 1 12 1 1 4 16 1 13 3 9 3 9 2 44 2 4 2 4 2 45 1 1 4 16 1 1
T1=9 Q1=19 T2=15 Q2=49 T3=7 Q3=11
07.6415
312
C
• Le osservazioni devono essere raccolte indipendentemente le une dalle altre: il punteggio che presenta un soggetto non deve essere stato influenzato da quello osservato in un altro soggetto
• Gli errori εij si distribuiscono normalmente con media =0. Indici di Asimmetria e Curtosi
• La variabile indipendente ha k≥2 livelli ed è su scala nominale o ordinale
• La variabile dipendente è misurata su scala a intervalli e/o a rapporti equivalenti
Assunzioni di base
• OMOSCHEDASTICITA’: in base alla quale la varianza degli errori σε deve essere uguale in ogni gruppo ( test di Levene). Se non è rispettata i diversi gruppi hanno un peso diverso nel determinare la varianza d’errore
• Gli effetti hanno natura addittiva la VI aggiunge qualcosa alla condizione base in maniera identica per tutti i soggetti
• Gli errori εij devono essere indipendenti il punteggio di un soggetto non deve essere correlato con quello di altri soggetti. Randomizzazione
Assunzioni di base
• Il test di verifica delle ipotesi si basa sulle seguenti considerazioni:
– Se HO è vera i dati differiscono tra loro solo per l’effetto del caso
– Se H1 è vera entrambe le fonti di variabilità determinano la variabilità complessiva
Verifica delle ipotesi (1)
• Segue la distribuzione della F
Verifica delle ipotesi (2)
Le ipotesi che esamina sono:Ho le popolazioni da cui provengono i campioni hanno medie uguali sulla VD
H1 almeno due medie sono diverse, cioè almeno due campioni provengono da popolazioni con medie diverse tra loro
• Si fissa il livello di α (solitamente pari a .05)
• Si calcolano i Gradi di Libertà
• Si calcola il valore dell’Fcrit(gdlB, gdlW) usando le tavole
• Si calcola il valore del nostro F secondo la formula Fott = VarB/VarW
Verifica delle ipotesi (3)
Verifica delle ipotesi (4)
• Si prende una decisione:– Se Fott < Fcrit si accetta H0
le medie delle popolazioni da cui i campioni sono stati estratti non sono significativamente diverse
• Il trattamento non produce effetto
• Le VarB e VarW sono molto simili
• F assume valori bassi, cioè F<1
– Se Fott > Fcrit si rifiuta H0
almeno due medie delle popolazioni da cui i campioni sono stati estratti sono significativamente diverse La VarB sarà > della VarW
F assume valori elevati
I pacchetti statistici forniscono due indicazioni:• il valore della statistica test• il p-value
Il p-value rappresenta, intuitivamente, la probabilità di osservare, sotto l’ipotesi nulla, un valore meno verosimile di quello dellastatistica test.
P-value
• Il p-value (p) `e quindi un valore compreso tra 0 e 1 tale che:
– se α < p si accetta H0
– se α > p si rifiuta H0
• Il p-value è molto utile perchè consente di fare il test anche non conoscendo nei dettagli la regola di decisione specifica (è sufficiente conoscere l’ipotesi nulla).
Il test mediante il p-value
• Se i gruppi (k) sono 2 t di Student F di Fisher
• Se i gruppi (k) sono più di 2 non si può usare la t di Student perché:a) I diversi t non sono indipendenti:
aumento del livello di α
a) Diminuzione della potenza del testb) La varianza d’errore è maggiore con la t di
Student perché la numerosità del campione è ridotta.
• Se F è significativo e quindi la VI ha un effetto significativo possiamo dire che:
Almeno tra due delle medie dei gruppi a confronto esiste una differenza significativa
Ma quali gruppi
differiscono?
Uso dei confronti
• Il ricercatore non può selezionare in anticipo i gruppi da confrontare
• Ogni media viene confrontata con tutte le altre
Confronti post hoc
k (k – 1) /2
Il livello di probabilità per un confronto è α
Il livello di probabilità per k confronti è
Svantaggio
All’aumentare del numero dei gruppi aumenta il numero dei confronti
Aumenta la probabilità di commettere l’errore di I° Tipo (rifiuto Ho quando è vera)
• Il ricercatore decide in anticipo quali medie vanno confrontate.
• Le medie possono essere relative ai singoli gruppi oppure è possibile combinare le medie di più gruppi
• Per valutare la significatività del gruppo di confronti pianificati, si usa il livello di significatività che si utilizzerebbe se si facesse un unico confronto.
Confronti pianificati
