DSP 6 The Fast Fourier Transform (FFT) การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว

EEET0485 Digital Signal Processing

Asst.Prof. Peerapol Yuvapoositanon

DSP6-1

ผศ.ดร. พี�ระพีล ยุ�วภู�ษิ�ตานนท์�

ภูาคว�ชา ว�ศวกรรมอิ�เล�กท์รอิน�กส์�

DSP 6 The Fast Fourier Transform

(FFT)การแปลงฟูรเยร แบบเร�ว



DSP6-2

เป�าหมาย• นศ ร� �จั กความหมายุขอิง การแปลงฟู�ร�เยุร�แบบเร�ว

(Fast Fourier Transform :FFT) และผลการแปลงจัากส์ ญญาณในโดเมนเวลา

• นศ ร� �จั ก FFT แบบ Decimation in time (DIT) หร,อิ DIT-FFT



DSP6-3

DFT คำ�านวณช้�า...เพราะการคำณของเลขเช้งซ้�อน

• จัากเร,-อิงขอิง DFT

• ส์ งเกตว.า แต.ละค.าขอิง X(k) น /น ต�อิงท์0าการค�ณจำ�านวนเช้งซ้�อน

• ถึ2ง N ค.า ค,อิ x(0) ถึ2ง x(N-1)• และ ถึ�าต�อิงการ X(k), โดยุท์�- k=0 ถึ2ง N-1 ก�ต�อิงค�ณ

จำ�านวนเช้งซ้�อน อิ�ก N คร /ง กลายุเป3น NxN• ซ้!"งเป#นการกนก�าล$งงานของโปรเซ้สเซ้อร อย'าง

มาก !!!

1

0

( ) ( ) , 0,1,..., 1N

nkN

n

X k x n W k N

2jN

NW e

โดยุ

เลขเช้งซ้�อน



DSP6-4

จำ�านวนการคำณและบวกเลขจำรงต่'อ การคำณเลขเช้งซ้�อนหน!"งคำร$)ง

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ).( ) ( )a jb a jb a a b b j b a a b

ต วอิยุ.าง

ว�ธี�ท์0า1 1 2 2 1 1( ).( )a jb a jb c jd

จังหาจั0านวนการค�ณและบวก ส์0าหร บการเลขเช�งซ้�อินข�างล.าง

ม�การบวกสามคร /ง

ม�การคำณ ส*"คร /ง

1 1

2 2

X a jb

Y a jb

XY โดยุท์�-



DSP6-5

จำ�านวนการคำณเลขเช้งซ้�อนส�าหร$บ 2-point DFT

0 02 20 1

2 2

(0) (0)

(1) (1)

X xW W

X xW W

กรณ* N=2

0 02 2

0 12 2

(0) (0) (1)

(1) (0) (1)

X x W x W

X x W x W

ม*การคำณเลขเช้งซ้�อน 4 คำร$)ง



DSP6-6

จำ�านวนการคำณเลขเช้งซ้�อนส�าหร$บ 4-point DFT0 0 0 0

4 4 4 40 1 2 3

4 4 4 40 2 4 6

4 4 4 40 3 6 9

4 4 4 4

(0) (0)

(1) (1)

(2) (2)

(3) (3)

X xW W W W

X xW W W W

X xW W W W

X xW W W W

0 0 0 04 4 4 4

0 1 2 34 4 4 4

0 2 4 64 4 4 4

0 3 6 94 4 4 4

(0) (0) (1) (2) (3)

(1) (0) (1) (2) (3)

(2) (0) (1) (2) (3)

(3) (0) (1) (2) (3)

X x W x W x W x W

X x W x W x W x W

X x W x W x W x W

X x W x W x W x W

ม*การคำณเลขเช้งซ้�อน 16 คำร$)ง

กรณ* N=4



DSP6-7

วธี*ลดจำ�านวนการคำณเลขเช้งซ้�อน

ลอิงมาด�ว.ากรณ� N=2 เราได� 22N W

10. 1.

2 2 20

( ) ( ) (0) (1) , 0,1nk k k

n

X k x n W x W x W k

น -นค,อิ

เราได�

02

12

(0) (0).1 (1)

(1) (0).1 (1)

X x x W

X x x W



DSP6-8

วธี*ลดจำ�านวนการคำณเลขเช้งซ้�อน (ต่'อ)

(0) (0) (1)

(1) (0) (1)

X x x

X x x

โดยุการค0านวณ WN ไว�ก.อิน จัะท์0าให�ลดการค�ณเลขลง ซ้2-งอิาจัจัะท์0าให�ไม.ม�การค�ณเลขเช�งซ้�อินเลยุ!!!

02

12

1

1

W

W

แต.เน,-อิงจัาก

ซ้2-งเป3นเลขจั0านวนจัร�ง ด งน /น

2

222 1

j jN W e e

หร,อิ

The Fast Fourier Transform (FFT)

เร�ว...เพราะการสล$บล�าด$บข�อมล• Radix-2 DIT-FFT• FFT เป3นช,-อิเร�ยุกโดยุรวมๆขอิง อิ ลกอิร�ธี2มใดๆ ท์�-

ม�การแปลง DFT อิยุ.างเร�ว • ว�ธี� แบ.งแยุกแล�วปกครอิง “ (Divide and

conquer)” ก�เป3นหน2-งว�ธี�ท์�-จัะลดจั0านวนการค�ณเลขเช�งซ้�อินลง

• ใช� การแบ.งท์างเวลา (Decimation in time) ก บ N ส์ ญญาณโดเมนเวลา โดยุท์�- N เป3นเลขก0าล งขอิง 2 หร,อิเร�ยุกว.า Radix-2 ด งน /นช,-อิเต�มเร�ยุกว.า Radix-2 DIT-FFT EEET0485 Digital Signal

Processing Asst.Prof. Peerapol

Yuvapoositanon

DSP6-9



DSP6-10

บ$ต่เต่อร ฟูลาย Butterfly

1

1

(0)x

(1)x

(0)X

(1)X

Note: จัร�งๆแล�วแม�ว.า =1 ส์.วน = -1, แต.ตอินน�/เราจัะน บไปก.อินว.าเป3นเลขเช�งซ้�อิน

02 1W

12 1W

12W

เป3นช,-อิเร�ยุก ขอิง กราฟูการไหลขอิงส์ ญญาณ (signal flow graph)

02W

โดยุหน2-ง บ$ต่เต่อร ฟูลาย ม�การค�ณเลขเช�งซ้�อิน สอง คร /ง



DSP6-11

กรณ* N=4 DIT-FFT2

4 244

j jN W e e j

กรณ� N =4

3

40

0. 1. 2. 3.4 4 4 4

( ) ( ) , 0,1,2,3

(0) (1) (2) (3) ,

nk

n

k k k k

X k x n W k

x W x W x W x W

2

44 , 0,1,2,3

nj knkW e n

โดยุท์�-

เราใช�การ ส์ล บ ต0าแหน.งขอิงข�อิม�ลแล�ว รวม” ” ” ” (recomposite)



DSP6-12

การสล$บต่�าแหน'งและการรวม (recomposite)

0. 1. 1. 3.2 4 2 4

0. 1. 1. 3.2 2 4 4

0. 1. 1. 0. 1.2 2 4 2 2

( ) (0) (1) (2) (3) ,

(0) (2) (1) (3) ,

(0) (2) (1) (3) ,

k k k k

k k k k

k k k k k

X k x W x W x W x W

x W x W x W x W

x W x W W x W x W

1( )X k 2 ( )X k

DFT แบบ 4 จั�ด = DFT แบบ 2 จั�ด + Wk4 x DFT แบบ 2 จั�ด

1 4 2( ) ( ) ( ), 0,1,2,3kX k X k W X k k

ซ้2-งเป3นการแยุกอิอิกเป3น DFT แบบ 2 จั�ดส์อิงช�ด ด งน /น



DSP6-13

01 4 2

11 4 2

21 4 2

21 4 2

31 4 2

31 4 2

(0) (0) (0)

(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

(0) (0)

(3) (3) (3)

(1) (1)

X X W X

X X W X

X X W X

X W X

X X W X

X W X

เรา ลดร�ป ส์มการลงได�อิ�กในข /น “ ” Recomposite

• เราจัะส์ร�าง บ ตเตอิร�ฟูลายุ เพี,-อิแส์ดงการส์ร�าง“ ”ส์ ญญาณ X(k) ส์0าหร บ

• แต.ละค.าขอิง k



DSP6-14

หา 01 4 2(0) (0) (0)X X W X

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04W

หมายเหต่-: ล�กศรท์�-ไม.เข�ยุนค.าก0าก บไว� จัะเท์.าก บการค�ณด�วยุ “1”

การรวม Recomposite



DSP6-15

หา 11 4 2(1) (1) (1)X X W X

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04W

14W




DSP6-16

หา (0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04 1W

2 21 4 2 1 4 2(2) (2) (2) (0) (0)X X W X X W X

14W

24W




DSP6-17

หา (0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04 1W

14W

24W

34W

3 31 4 2 1 4 2(3) (3) (3) (1) (1)X X W X X W X




DSP6-18

ผลล พีท์�ท์�ายุส์�ดค,อิ 4-point DIT-FFT

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X

1(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

04 1W

14W

24W

34W

10

4W

24W

10

4W

24W

การรวม Recomposite2-point DFT x 2



DSP6-19

8-point DIT-FFT2

8 488 2 2

j jN W e e j

7

80

0. 1. 2. 3.8 8 8 8

4. 5. 6. 7.8 8 8 8

( ) ( ) , 0,...,7

(0) (1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7)

nk

n

k k k k

k k k k

X k x n W k

x W x W x W x W

x W x W x W x W

0. 2. 4. 6.8 8 8 8

1. 3. 5. 7.8 8 8 8

( ) (0) (2) (4) (6)

(1) (3) (5) (7)

k k k k

k k k k

X k x W x W x W x W

x W x W x W x W

จั ดร�ปแบบใหม.



DSP6-20

8-point DIT-FFT (ต่'อ)

22 .2

2 2/ 2

jN

jN

N NW e e W

จัาก

0. 2. 4. 6.8 8 8 8

1. 0. 2. 4. 6.8 8 8 8 8

( ) (0) (2) (4) (6)

(1) (3) (5) (7)

k k k k

k k k k k

X k x W x W x W x W

W x W x W x W x W

0. 2. 3.4 4 4 4

1. 0. 2. 3.8 4 4 4 4

( ) (0) (2) (4) (6)

(1) (3) (5) (7)

k k k k

k k k k k

X k x W x W x W x W

W x W x W x W x W

ส์ งเกตว.า เหล,อิเพี�ยุงการค0านวณส์0าหร บ 4-point DFT เท์.าน /น

1( )X k

2 ( )X k



DSP6-21

ลดรปลงได�อ*กไหม?

1 1( ) ( 4)X k X k 2 2( ) ( 4)X k X k

01 8 2

11 8 2

21 8 2

31 8 2

(0) (0) (0)

(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

(3) (3) (3)

X X W X

X X W X

X X W X

X X W X

41 8 2

51 8 2

61 8 2

71 8 2

(4) (0) (0)

(5) (1) (1)

(6) (2) (2)

(7) (3) (3)

X X W X

X X W X

X X W X

X X W X

ได�ใช�ประโยุชน�จัากคำวามเป#นคำาบขอิงส์ ญญาณ



DSP6-22

8-point บ$ต่เต่อร ฟูลาย(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

08W

18W

28W

38W

(4)X

(5)X

(6)X

(7)X

4-pointDFT

4-pointDFT

(4)x

(6)x

(1)x

(3)x

(5)x

(7)x

1(1)X

1(2)X

1(3)X

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X

1(0)X

48W

58W

68W

78W




DSP6-23

แต่'เราย$งลดรปได�อ*ก1.

1 8 2( ) ( ) ( ), 0,...,7kX k X k W X k k 0. 2. 3.

1 4 4 4 4

0. 2. 3.4 4 4 4

0. 2. 1. 0. 2.4 4 4 4 4

( ) (0) (2) (4) (6)

(0) (4) (2) (6)

(0) (4) (2) (6)

k k k k

k k k k

k k k k k

X k x W x W x W x W

x W x W x W x W

x W x W W x W x W

2-point DFT1 ( )aX k 1 ( )bX k

2-point DFT

จัาก ส์มการ 8-point DFT ท์�-ถึ�กลดลงเหล,อิ 4-point DFTx2

ซ้2-งก�ค,อิ การแบ.ง 4-point DFT อิอิกเป3น 2-point DFTx2



DSP6-24

แยก 4-point DFT ออกเป#น 2-point DFT

ส�าหร$บ x(0),x(2),x(4) และ x(6)

(0)x

(2)x 4-pointDFT(4)x

(6)x

1(1)X

1(2)X

1(3)X

1(0)X(0)x

(4)x

1(0)X

1(1)X

1(2)X

1(3)X

10

4 1W

14W

24W

34W

10

4W

24W

04W

24W

(2)x

(6)x



DSP6-25

ส์0าหร บ x(1),x(3),x(5) และ x(7)

1.1 8 2( ) ( ) ( ), 0,...,7kX k X k W X k k

0. 2. 3.2 4 4 4 4

0. 2. 3.4 4 4 4

0. 2. 1. 0. 2.4 4 4 4 4

( ) (1) (3) (5) (7)

(1) (5) (3) (7)

(1) (5) (3) (7)

k k k k

k k k k

k k k k k

X k x W x W x W x W

x W x W x W x W

x W x W W x W x W

2-point DFT2 ( )aX k 2 ( )bX k

2-point DFT

ซ้2-งก�ค,อิ การแบ.ง 4-point DFT อิอิกเป3น 2-point DFTx2



DSP6-26

(1)x

(3)x 4-pointDFT(5)x

(7)x

(1)x

(5)x

10

4 1W

14W

24W

34W

10

4W

24W

04W

24W

(3)x

(7)x

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X

แยก 4-point DFT ออกเป#น 2-point DFT

ส�าหร$บ x(1),x(3),x(5) และ x(7)



DSP6-27

DIT-FFT ส�าหร$บ N=8 (0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(0)x

(2)x

(4)x

(6)x

(1)x

(3)x

(5)x

(7)x

08W

48W

08W

48W

08W

48W

08W

48W

28W

08W

48W

68W

28W

08W

48W

68W

18W

08W

28W

38W

48W

58W

68W

78W

(4)X

(5)X

(6)X

(7)X



DSP6-28

สร-ป 8-point DFT แต่กต่$วออกได�จำนเหล/อ

2-point DFT

8-point DFT

4-point DFT + Wk8 x 4-point DFT

2-point DFT + W4k x 2-point DFT 2-point DFT + W4

k x 2-point DFT



DSP6-29

กรณ* 8-point DIT-FFT(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(2)X

(3)X

(4)x

(6)x

(1)x

(3)x

(5)x

(7)x

1(1)X

1(2)X

1(3)X

2 (0)X

2 (1)X

2 (2)X

2 (3)X

1(0)X

ต วรวม8-point DFT(Recomposition to8-point DFT)

2 point

DFT

2 point

DFT

2 point

DFT

2 point

DFT

ต่$วรวม4-point DFT

ต่$วรวม4-point DFT

(4)X

(5)X

(6)X

(7)X



DSP6-30

2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

2-point DFT

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 2N

/ 2N

Recomposition

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 4N

/ 2N

/ 2N

N

กรณ* N-point DIT-FFT



DSP6-31

ทำ�าไม FFT ใช้�การคำ�านวณเพ*ยง N log2N ?

22

RN

เม,-อิเราให� R เป3น จำ�านวนข$)น (stage) ทำ*"ม*การรวม เราจัะได�ว.า

2 2 2log log 2 log 2RN

2

2

log 1

log 1

N R

R N

จั2งได�

ส์0าหร บ 4–point DFT, R=1ส์0าหร บ 8–point DFT, R=2



DSP6-32

422

4-point DFT

จั0านวนคร /งการรวม (R)=1

84

4

2222

8-point DFT

จั0านวนคร /งการรวม (R)=1 2

จำ�านวนข$)นการรวม (R)



DSP6-33

จำ�านวนบ$ต่เต่อร ฟูลายต่'อคำอล$มน (B)

422

4-point DFT

8

4

4

2222

8-point DFT

จั0านวนคอิล มน� 2 จั0านวนบ ตเตอิร�ฟูลายุ (B)=4 4 4

จั0านวนบ ตเตอิร�ฟูลายุ (B)= 2 2

จั0านวนคอิล มน� 3



DSP6-34

จำ�านวนการคำณเลขเช้งซ้�อน

2

2

( / 2) log 2

(log )

N N

N N

= จำ.น.บ$ต่เต่อร ฟูลายต่'อคำอล$มน X จำ.น.คำอล$มน X ม*การคำณ 2 คำร$)งต่'อบ$ต่เต่อร ฟูลาย



DSP6-35

เปร*ยบเทำ*ยบจำ�านวนคำร$)งการคำณเลขเช้งซ้�อนของ DFT และ FFT

เราลดการค0านวณ จัาก เหล,อิ2N 2logN N

N DFTN2

FFT(N

log2N)

248:

256512

1,024

41664:

65,536262,14

41,048,5

76

2824:

2,0484,60810,240



DSP6-36

ปร$บปร-งบ$ต่เต่อร ฟูลายrNW

/ 2r NNW

-1rNW

เราท์ราบว.า / 2 1NNW = -

จัาก

ด งน /น

ท์0าให�เหล,อิ จั.น.การค�ณเลขเช�งซ้�อินเป3น (N/2)log2N

r= เลขใดๆ

1



DSP6-37

1

11

-1 -1

(0)x

(2)x

(0)X

(1)X

(1)x

(3)x

(2)X

(3)X14W

11(0)X

1(1)X

2 (0)X

2 (1)X

1

11

-1

11

-1

1

1

04W

เหล/อจำ.น. การคำณเลขเช้งซ้�อนเพ*ยง (N/2)log2N= 4

บ$ต่เต่อร ฟูลาย 4-point DFT ทำ*"ถูกลดรป

สร-ป• FFT ก�ค,อิ DFT แต.เป3นการส์ล บต0าแหน.งข�อิม�ล

และเท์คน�กการรวมส์ ญญาณ เพี,-อิยุ.อิยุให�จั0านวนการแปลงลดร�ปลง ว�ธี�การน�/ เร�ยุกว.า Decimation in Time (DIT) และเร�ยุก การแปลงฟู�ร�เยุร�แบบเร�วน�/ว.า DIT-FFT

• การแปลงฟู�ร�เยุร�แบบเร�ว (FFT) แบบจัะท์0าให�เหล,อิการค�ณเลขเช�งซ้�อินเหล,อิเพี�ยุง Nlog2N คร /ง จัาก N2 คร /ง เม,-อิใช� DFT

• หร,อิอิาจัจัะลดการค�ณเลขเช�งซ้�อินลงได�อิ�กเป3น (N/2) log2N หากใช�การปร บปร�งบ ตเตอิร�ฟูลายุ EEET0485 Digital Signal

Processing Asst.Prof. Peerapol

Yuvapoositanon

DSP6-38

Documents

DSP 6 The Fast Fourier Transform (FFT) การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว