Linearna algebra i analiti~ka geometrija

-drugi kolokvijum-

1. [6 poena ]Date su ta~ke A(3, 1, 1), B(1, 4, 1), C(1, 1, 7) i D(3, 4, 8).

a) Dokazati da su date ta~ke nekomplanarne.

b) Odrediti vektor−−→BB1 koji odgovara te`i{noj du`i trougla ABC.

v) Izra~unati du`ine stranica trougla ABC.

g) Izra~unati povr{inu trougla ABC.

d) Izra~unati zapreminu tetraedra ABCD.

|) Izra~unati visinu tetraedra iz temen D.

2. [2+ 2+ 2 poena ] Odrediti rastojawe:

a) izme|u ta~ke A(1, 3, 0) i ravni α : 2x+ y − 3z + 2 = 0;

b) ta~ke B(2, 1, 1) od prave p :x− 1

2=

y

3=

z − 4

4;

v) izme|u pravihm :x− 1

2=

y

3=

z

5i n :

x

4=

y + 1

2=

z − 5

7.

3. [2+ 2+ 2 poena ] Data je sfera S1 : (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 81.

Ispitati polo`aj ove sfere i:

a) prave p :x− 4

0=

y + 4

1=

z − 9

1;

b) ravni π : 2x− 2y + z = 28;

v) sfere S2 : x2 + y2 + z2 − 4x− 10z − 7 = 0.

Odrediti koordinate zajedni~kih ta~aka ukoliko one postoje.

4. [2+ 3 poena ] Odrediti sopstvene vrednosti i odgovaraju}e sopstvene vek-

tore realne simetri~ne matrice:

a) A =

[−4 1010 11

];

b) B =

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

.