DraftModul_MatematikaGeodesi

1

UNIVERSITAS GADJAH MADAFAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESIJalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-1)

MATEMATIKA GEODESISemester III / 2 SKS / TKGD2302

Oleh:1. Ir. Parseno, MT.

2. Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.3. Dwi Lestari, ST., ME.

4. Ir. Sri Narni, MT.

Didanai dengan Dana BOPTN P3-UGMTahun Anggaran 2013

Nopember 2013

2

LEMBAR PENGESAHANLAPORAN PENYUSUNAN MODUL PEMBELAJARAN

BPOPTN – 2013

1 a. Buku I Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan(RKPM)

b. Matakuliah Matematika Geodesic. Program Studi Teknik Geodesi dan Geomatikad. Semester/SKS/Kode III/3 SKS/TKGD2302e. Prasyarat Sistem Acuan Geodetikf. Status matakuliah Wajib

2 Dosen Pengampu Ia. Nama lengkap dan gelar Ir. Parseno, MT.b. Pangkat, Golongan, NIP Penata Tk.I, III.d., 1956 10 08 1983 03 1 001c. Jabatan Fungsional Lektord. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM

3 Dosen Pengampu IIa. Nama lengkap dan gelar Ir. Nurrohmat Widjajanti, M.T., Ph.D.b. Pangkat, Golongan, NIP Pembina, IV.a., 1969 10 21 1994 03 2 003c. Jabatan Fungsional Lektor Kepalad. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM

4 Dosen Pengampu IIIa. Nama lengkap dan gelar Dwi Lestari, ST.,ME.b. Pangkat, Golongan, NIP Asisten Ahli, III.a., 1975 08 30 1999 03 2 002c. Jabatan Fungsional Lektord. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM

5 Dosen Pengampu IVa. Nama lengkap dan gelar Ir. Sri Narni, MT.b. Pangkat, Golongan, NIP Penata Muda, III.c., 1950 10 09 1977 02 2 001c. Jabatan Fungsional Lektord. Jurusan, Fak, Univ. Teknik Geodesi, Fakultas Teknik, UGM

Disetujui : Yogyakarta, 20 November2013Ketua Jurusan Teknik Geodesi Koordinator Dosen PengampuKetua PS T. Geodesi dan Geomatika

Ir. Djurdjani, MSP., M.Eng., Ph.D. Ir. Parseno, MT.NIP 1958 08 20 1985 02 1 001 NIP 1956 10 08 1983 03 1 001

3

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN

PRAKATA

DAFTAR ISI

MODUL 1 : Pendahuluan dan Review Aljabar Vektor

MODUL 2 : Sistem Koordinat Vektor

MODUL 3 : Aplikasi Vektor dalam Geometri Analitik

MODUL 4 : Diferensial Vektor

MODUL 5 : Medan Skalar dan Medan Vektor

MODUL 6 : Geometri Diferensial


MODUL 8 : Tes Sumatif 1 (UTS)



MODUL 11 : Segitiga Bola

MODUL 12 : Geometri Segitiga Bola

MODUL 13 : Geometri Segitiga Bola

MODUL 14 : Aplikasi Segitiga Bola

MODUL 15 : Aplikasi Segitiga Bola

MODUL 16 : Tes Sumatif 2 (UAS)

4

PRAKATA

Matematika Gedesi adalah matakuliah wajib di semester III pada program

studi Teknik Geodesi dan Geomatika, Jurusan Teknik Geodesi Fakultas Tekik

UGM. Matakuliah ini diselenggarakan sebagai salah satu pendukung kompetensi

yang harus dicapai lulusan program S1 Program Studi Teknik Geodesi dan

Geomatika.

Keberhasilan pencapaian kompetensi yang diharapkan pada program studi

ini sangat ditentukan oleh proses kegiatan pembelajaran. Dalam rangka menuju ke

cita-cita program studi tersebut disusunlah Bahan Ajar untuk matakuliah

Matematika Geodesi. Buku ini diharapkan dapat digunakan sebagai acuan oleh

pengampu matakuliah Matematika Geodesi dalam menyampaikan perkuliahan

maupun oleh mahasiswa yang mengambil matakuliah ini.

Dengan selesainya pembuatan buku bahan ajar Matematika Geodesi ini,

penyusun menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Ketua P3 UGM atas biaya yang dialokasikan guna penyusunan buku ini.

2. Ketua Jurusan Teknik Geodesi atas kepercayaan yang diberikan untuk

menyusun buku ini.

3. Tim MONEV atas masukan-masukan guna perbaikan dalam penyusunan

buku RPKPS an Bahan Ajar.

Selanjutnya harapan penyusun semoga buku ini dapat membantu pengampu

matakuliah Matematika Geodesi dalam menyampaiakan materi di kelas dan

membantu mahasiswa dalam memahami isi matakuliah Matematika Geodesi.

Yogyakarta, 20 November 2013Koordinator Dosen Pengampu

Ir Parseno, MT.NIP 1956 10 08 1983 03 1 001

5

TINJAUAN MATAKULIAH

Matematika Geodesi

III/3 SKS/TKGD2302/Wajib

DESKRIPSI MATAKULIAH

Matakuliah ini menjelaskan dasar-dasar matematika yang digunakan dalam

ilmu Geodesi, meliputi aljabar vektor, diferensial vektor, geometri diferensial,

medan skalar dan medan vektor, serta ilmu ukur segitiga bola.

KEGUNAAN MATAKULIAH BAGI MAHASISWA

Matakuliah ini berguna bagi mahasiswa terutama dalam mempelajari

bentuk bumi terkait dengan medan gayaberat bumi, penentuan konstanta fisik

bumi, dan karakteristik dari garis untuing-unting (plumb line) terhadap bidang-

bidang equipotensial. Matakuliah lain yang didasari oleh matakuliah ini adalah

Proyeksi Peta. Pengetahuan tentang kelengkungan garis, kelengkungan normal

pada bidang-bidang irisan sangat mendukung dalam memahami transformasi data

ukuran pada bidang lengkung ke bidang datar (bidang peta). Dengan memiliki

bekal materi pada matakuliah Matematika Geodesi diharapkan mahasiswa akan

lebih mudah dalam mempelajari matakuliah lanjutan yang terkait dengan

Matematika Geodesi.

TUJUAN PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan-persoalan hitungan dalam aljabar

vektor dan hitungan diferensial pada vektor, dapat menerapkan hitungan vektor

untuk menyelesaikan persoalan pada kurva dan luasan (geometri diferensial) serta

mampu menyelesaikan persoalan-persoalan hitungan dalam ilmu segitiga bola

untuk mendukung tercapainya kompetensi dalam pengolahan data geosapasial.

6

SUSUNAN URUTAN BAHAN AJAR

BAB I : PENDAHULUAN DAN RIVIEW ALJABAR VEKTOR

a. Penggunaan Vektor dan Segitiga Bola

b. Pengertian Vektor, Jenis dan Sifat-sifat Vektor

c. Letak Relatif 2 Vektor (Dependent dan Indepent Linear).

d. Letak Relatif 3 Vektor (Asas Koplanaritas).

e. Dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi).

BAB II : SISTEM KOORDINAT VEKTOR

a. Komponen Vektor dalam Bidang dan Ruang

b. Vektor Satuan

c. Operasi Vektor Penjumlahan, Selisih dan Perkalian dengan

Skalar

d. Operasi Vektor : Dot Product dan Cross Product

e. Operasi Vektor : Perkalian 3 Vektor

BAB III : APLIKASI VEKTOR DALAM GEOMETRI ANALITIK

a. Persamaan Garis AB

b. Persamaan Garis melalui A Sejajar Vektor b

c. Persamaan Garis/Bidang melalui A Tegak Lurus Vektor b

d. Persamaan Bidang melalui A // b dan // c

e. Menentukan Jarak Titik ke Garis atau Bidang

f. Persamaan Bidang Tertentu oleh 3 Vektor

g. Sudut antara Dua Bidang

BAB IV : DIFERENSIAL VEKTOR

a. Fungsi Satu Perubah

b. Fungsi Lebih dari Satu Perubah

BAB V : MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR

7

a. Pengertian Medan Skalar dan Medan Vektor

b. Gradien

c. Divergensi

BAB VI : GEOMETRI DIFERENSIAL

a. Kurva dalam Ruang

b. Vektor Singgung

c. Vektor Binormal pada Kurva

BAB VII : GEOMETRI DIFERENSIAL

a. Kelengkungan dan Puntiran pada Kurva

b. Sifat-sifat Kurva

BAB VIII : UJIAN TENGAH SEMESTER (Tes Sumatif 1)

BAB IX : GEOMETRI DIFERENSIAL

a. Luasan atau Permukaan dan Garis

b. Besaran Fundamental Orde I dan Orde II

BAB X : GEOMETRI DIFERENSIAL

a. Kelengkungan Utama Gauss

b. Sifat-sifat Developable

c. Sifat Titik pada Luasan

BAB XI : SEGITIGA BOLA

a. Pengertian dan Terbentuknya Segitiga Bola

b. Istilah dalam Segitiga Bola

BAB XII : GEOMETRI SEGITIGA BOLA

a. Syarat Hitungan pada Segitiga Bola

b. Jenis Segitiga Bola

c. Hitungan pada Segitiga Bola Siku (Aturan Napier)

8

BAB XIII : GEOMETRI SEGITIGA BOLA

a. Hitungan pada Segitiga Bola Kutub

b. Hitungan pada Segitiga Bola Kwadran

c. Hitungan pada Segitiga Bola Sembarang (Aturan Sinus dan

Cosinus)

BAB XIV : APLIKASI SEGITIGA BOLA

a. Pelayaran melalui Lingkaran Besar

b. Penentuan Arah Garis antara Dua Tempat

BAB XV : APLIKASI SEGITIGA BOLA

a. Aplikasi Segitiga Bola pada Astronomi

b. Bola Langit

c. SK Langit

BAB XVI : UJIAN AKHIR SEMESTER (Tes Sumatif 2)

PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN AJAR

Buku Bahan Ajar ini digunakan sebagai pedoman baik bagi dosen

pengampu maupun mahasiswa. Materi pembelajaran pada matakuliah ini tersusun

dala 16 bab. Setiap bab adalah materi untuk satu kali pertemuan. Dengan buku ini

diharapkan mahasiswa dapat mengetahui materi-materi dalam satu pertemuan,

sehingga dapat mempersiapkan materi sebelum kuliah.

Agar supaya mahasiswa dapat lebih memahami mengenai materi yang

disampaikan setiap kali pertemuan, dalam buku ini dilengkapi dengan pertanyaan-

pertanyaan ataupun soal latihan hitungan. Penyelesaian soal-soal latihan pada

setiap akhir pertemuan digunakan sebagai tolok ukur keberhasilan dalam proses

pembelajaran.

Supaya proses pembelajaran matakuliah Matematika Geodesi dapat

berjalan lancar, maka mahasiswa wajib:

9

1. Membaca/ mempelajari daftar pustaka yang diwajibkan dan dianjurkan.

2. Mengerjakan latihan/tugas yang diberikan oleh dosen pengasuh, baik

berkelompok maupun mandiri.

3. Aktif bertanya, menjawab pertanyaan maupun menyampaikan

pendapatnya pada saat sesi diskusi di setiap pertemuan kuliah.

10


Buku 2 : RKPM(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-1 )






November 2013

11

BAB I

PENDAHULUAN DAN REVIEW ALJABAR LINIER

I.1. Pendahuluan

Bagian ini dimaksudkan untuk memberi gambaran kepada mahasiswa

tentang lingkup pembelajaran matakuliah Matematika Geodesi secara keseluruhan

serta keterkaitanya dengan bidang geodesi dan bidang lain khususnya kalkulus.

Pada bab I, akan dibahas materi tentang: penggunaan vektor dan segitiga bola

dalam bidang geodesi. Selanjutnya akan di-review mengenai pengertian vektor,

jenis vektor dan sifat-sifatnya, letak relatif 2 vektor (dependent dan indepent

linear), serta dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi).

I.1.1. Deskripsi Singkat

Vektor adalah besaran yang memiliki besar/nilai dan arah. Dalam

penerapannya beberapa vektor dapat digabung dengan operasi aljabar. Letak

relatif dari 2 buah vektor atau satu vektor terhadap vektor lainya dapat

menunjukan hubungan linier yang disebut hubungan gayut (dependen) atau

hubungan tak gayut (independen). Sedangkan hubungan linier tiga buah vektor

dapat digunakan untuk menjelaskan azas koplanaritas yaitu suatu azas yang

menunjukan bahwa ketiga vektor tersebut terletak pada satu bidang atau tidak.

I.1.2. Manfaat

Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya medan vektor dan segitiga

bola dalam kerangka konsep model bumi teoritik atau model bumi matematis.

Pengetahuan tentang azas kolinieritas dan koplanaritas, sangat

mendukung dalam mempelajari matakuliah Fotogrametri. Di dalam Fotogrametri

dipelajari pembentukan bayangan tiga dimensi dari sepasang foto udara/citra yang

bertampalan. Dengan rekonstruksi bayangan tiga dimensi secara analitik azas

kolinier dan koplanaritas diterapkan. Selanjutnya dapat diproses foto ortogonal

yang selanjutnya dapat digunakan sebagai peta.

12

I.1.3. Relevansi

Bab I ini mempunyai maksud memperkenalkan mahasiswa tentang ruang

lingkup geodesi secara umum dalam kaitannya dengan disiplin ilmu lainnya,

sehingga mahasiswa mendapat gambaran disiplin ilmu yang menjadi dasar ilmu

geodesi dan disiplin ilmu penunjangnya. Dari uraian manfaat jelas bahwa

pengetahuan letak relatif dari dua atau lebih vektor memiliki hubungan yang kuat,

yaitu sebagai jembatan antara pengetahuan matematika dengan ilmu geodesi

khususnya bidang fotogrametri.

I.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-1, mahasiswa akan dapat:

1. Menjelaskan tentang ruang lingkup Matematika Geodesi.

2. Menjelaskan pengertian dan jenis vektor.

3. Menjelaskan letak vektor dan dalil-dalil yang berlaku.

I.2. Penyajian

I.2.1. Penggunaan Vektor dan Segitiga Bola

Dalam bidang geodesi vektor banyak digunakan untk menguraikan

kondisi atau fenomena alam misalnya fenomena yang terkait dengan hukum fisika

sperti gravitasi bumi, gaya-gaya yang bekerja di permukaan bumi yang

berpengaruh pada gaya gravitasi bumi. Gaya pembangkit pasang-surut bumi atau

pasang-surut laut.

Segitiga bola digunakan untuk menjelaskan kedudukan bumi secara

relatif terhadap planet lain dalam sistem tata surya atau sistem koordinat langit.

Segitiga bola juga digunakan untuk menjelaskan hubungan antara tempat yang

satu dan tempat yang lain di permukaan bumi dalam sistem toposentris maupun

dalam sistem geosentris.

I.2.2. Pengertian Vektor dan Skalar

Vektor didefinisikan sebagai suatu besaran yang mempunyai arah,

misalnya kecepatan, gaya, pergeseran, percepatan dll, sedangkan skalar adalah

13

suatu besaran saja/tidak mempunyai arah misalnya masa, panjang, waktu, suhu,

tinggi dll. Untuk memperjelas perbedaan skalar dan vektor bisa diperhatikan

Tabel 1. berikut.

Tabel 1. Perbedaan vektor dan skalar

skalar vektor- Besaran tanpa arah- Contoh: luas, panjang, tinggi, suhu,

dll- Penulisan simbol: huruf kecil atau

besar tanpa strip di bawah, misal: a, b, D, M

- Operasi pada skalar mengikuti aturan pada aljabar dasar

- Besaran yang mempunyai arah- Contoh: gaya, kecepatan,

percepatan, pergeseran/translasi, dll- Penulisan simbol: huruf kecil atau

besar dengan strip di bawah, misal a, P, DF atau cara tulis lain dengan tanda panah di atas atau di bawah huruf

- Ada aturan tentang aljabar vektor

Lambang vektor:

Besar vektor a = magnitude a = | a |

Vektor PQ bisa ditulis PQ , PQ , PQ , PQ

I.2.3. Jenis-jenis Vektor

Beberapa jenis vektor yaitu:

Vektor bebas: boleh dipindah asal sejajar dan sama besar

Contoh:

Vektor meluncur: boleh digeser sepanjang garis kerja

Vektor terikat tetap: titik pangkal tetap, atau biasa disebut dengan vektor letak

Vektor PQ = PQP = pangkalQ = ujung

Besar vektor PQ = magnitude= |PQ|

P

Q

a

14

Vektor nol = 0 : vektor yang besarnya nol (arah tak tentu)

Vektor satuan (unit vector): vektor yang panjangnya/besarnya/magnitudenya =

1 satuan

Vektor lawan : adalah vektor yang sama besarnya, arah berlawanan

|a| = |-a|

Dua buah vektor a dan b dikatakan sama apabila:

- Sama panjang

- Sejajar

- Sama arahnya

a = b a ≠ b a ≠ b

I.2.4. Operasi Vektor (Secara Grafis)

Operasi yang dimaksud disini adalah operasi-operasi aljabar seperti pada

bilangan skalar, yaitu penjumlahan, pengurangan dan perkalian.

a. Penjumlahan

a- a

a

b

a a

b b

a

b

a +ba b

a +b

ab

b + a

15

Sehingga pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif : a + b = b + a

Sifat asosiatif juga berlaku pada penjumlahan vektor :

(a + b) + c = a + (b + c)

b. Pengurangan

a + b = c c - a = b

dapat ditafsirkan sebagai c + (- a) = b

c. Perkalian dengan skalar

Jika m adalah suatu skalar dan a adalah suatu vektor, maka:

m a = b, dengan a // b dan |b| = |m| |a|

a

b

c

a + bb + c

(a + b) + c

a + (b + c)

ab

c

d

e

f

0

f = ??

a

b

c

d

a + b + c + d = 0

c

a

b c

- a

b

16

untuk m > 0 , arah b sama arah dengan a

untuk m < 0 , arah b berlawanan arah dengan a

Contoh:

I.2.5. Sifat-sifat Vektor

Beberapa sifat vektor dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. a + (- a) = 0

2. 1 a = a

3. 0 a = 0

4. m 0 = 0

5. a + 0 = a

6. m (a + b) = ma + mb

7. (m + n) a = ma + na

8. Kombinasi linear

r merupakan kombinasi linear a dan b

s = m a + n b + p c + t d

s merupakan kombinasi linear dari a, b, c, dan d

I.2.6. Letak Relatif 2 Vektor (Dependent dan Indepent Linear)

Di dalam suatu bidang dua buah vektor apat dikatakan sebagai linearly

dependent atau linearly independent.

a

b

c

d

b = ½ a

c = ¾ a

d = - ¼ a

ab

p = m aq = n b----------------- +r = p + q = m a + n b

17

1. Dependent linear

a // b , dengan kata lain b dapat dinyatakan dengan a atau sebaliknya.

Misalkan: b = m a

a // b , a dan b saling dependent linear atau a dan b berbeda hanya dari

perkalian konstan m (kolinear)

2. Independent linear

a tidak sejajar b, dengan kata lain a dan b saling independen linear (non

kolinear).

Jika a dan b dua vektor bukan nol yang tidak saling sejajar, vektor c dalam

bidang (R2) diperoleh dengan memilih m dan n yang tepat.

c = m a + n b

I.2.7. Letak Relatif 3 Vektor (Asas Koplanaritas)

ab

a

b

a b

a

m a

b n b

c

b

a

c

α

β

a

b

c

α

β

18

Jika dua bidang α dan β sejajar, vektor a, b, c akan sejajar dengan suatu

bidang (koplanar), atau vektor a, b, c saling dependent linear.

atau

a, b, c sejajar dengan suatu arah bidang yang memuat vektor (koplanar), a, b,

c saling dependent linear.

sebaliknya

Tiga buah vektor nonkoplanar a, b, c menjadi basis untuk R3, dan vektor d

dalam ruang dapat diperoleh dengan menentukann h, m, n yang tepat pada:

d = h a + m b + n c

I.2.8. Dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi)

Dalil 1 :

Bila a dan b sejajar, maka selalu dapat ditemukan skalar m sehingga:

b = m a

Dalil 2 :

β

αp

q

r

bidang α tidak sejajar bidang

β, disebut independent linear

p, q, dan r: tidak ada bidang

sejajar ketiganya

(nonkoplanar)

ab

cd

ha

mb

nc

19

Dalam bidang (R2) sembarang vektor c selalu dapat dituliskan sebagai

kombinasi linear dari dua vektor yang tidak saling sejajar (independent

linear).

Dalil 3 :

Dalam ruang (R3), sembarang vektor d selalu dapat ditulis sebagai

kombinasi linier 3 vektor yang nonkoplanar (independent linear).

Dalil 4 :

Dalam bidang, 3 vektor atau lebih selalu dependent linear.

Dalil 5 :

Dalam ruang, 4 vektor atau lebih selalu dependent linear.

I.3. Penutup

I.3.1. Rangkuman

Dalam pokok bahasan ini mahasiswa dihantarkan untuk memahami

penggunaan vektor dan segitiga bola terutama terkait dengan disiplin geodesi.

Dasar dasar operasi vektor, sifat-sifat dalam operasi vektor dan azas kolinieritas

serta azas koplanaritas menjadi inti pembahasan. Sedangkan yang terkait dengan

segitiga bola akan dibahas lebih detil mulai pada pertemuan ke-12 sampai

pertemuan ke-15.

I.3.2. Tes Formatif

1. Tentukan 3 buah vektor a, b, c sembarang dan tidak saling sejajar.

Lakukan operasi berikut secara grafis:

a. a + b + 2c

b. 2a – b + c

c. ½ a + b – c

2. Jika a dan b adalah sisi-sisi jajaran genjang (parallelogram), tentukan

vektor-vektor yang membentuk dua sisi lainnya dan diagonalnya.

3. Buktikan bahwa pada penjumlahan vektor berlaku hukum asosiatif.

20

4. Buktikan bahwa pada perkalian vektor dengan skalar berlaku hukum

distributif.

5. Tanto bersepeda ke arah Utara sejauh 3 km, kemudian berbelok ke arah

Tenggara sejauh 5 km. Gambarkan arah pergerakan Tanto dan berapa

resultan pergerakannya?

6. Tunjukan vektor-vektor yang independent dan dependent linear pada

contoh bangun bidang dan ruang berikut ini:

a.b.

c.d.

I.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Lingkup matematika geodesi

Tidak mampu menjelaskan

Dapat menjelaskan sebagian

Dapat menjelaskan secara runtut

Perkembangan penentuan dimensi bumi




Peran data gayaberat di bidang geodesi




a b

cd

e a

b

c

d

e

fhg

g

ca

b

f

h

d

e

CD

AB

E

HG

F

21

I.3.4. Tindak Lanjut

Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori dengan nilai skor kurang

dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif

dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor

2.

I.3.5. Sumber Pustaka

Narni, S. dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi,

Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta.

Stein, F.M., Ph.D., 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row

Publishers, New York.

Strang, G. dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, Wellesley-

Cambridge Press, USA.

22








November 2013

23

BAB IISISTEM KOORDINAT VEKTOR

II.1. Pendahuluan

II.1.1. Deskripsi Singkat

Sistem koordinat pada dasarnya digunakan untuk mengetahui posisi

(lokasi) suatu titik dibandingkan dengan posisi (lokasi) titik lainya. Pada

umumnya elemen-elemen penentu posisi menggunakan angka-angka koordinat

yang diletakan pada sistem sumbu-sumb koordinat. Pengertian sistem koordinat

vektor tidak jauh berbeda dengan sistem-sistem koordinat lainnya, hanya saja

pemahaman elemen-elemen koordinat menjadi menjadi komponen-komponen

vektor posisi dari suatu titik.

II.1.2. Manfaat

Pengetahuan tentang sistem koordinat vektor sangat bermanfaat dalam

mempelajari penentuan posisi di permukaan bumi menggunakan space teknologi.

II.1.3. Relevansi

Di bidang geodesi teknologi penentuan posisi di permukaan bumi menjadi

bagian penting dalam mempelajari bentuk, ukuran serta dinamika bumi. Analisis

yang terkait dengan perubahan atau pergeseran posisi sering disajikan dalam

vektor posisi.

II.1.4. Learning Outcome


1. Menjelaskan komponen vektor dalam ruang.

2. Menghitung vektor satuan.

3. Menerapkan operasi vektor dalam hitungan.

24

II.2. Penyajian

II.2.1. Komponen Vektor dalam Bidang dan Ruang

a. Vektor letak

Suatu titik dalam ruang dapat ditentukan letaknya dengan vektor letaknya

(position vector).

Bila O (titik pangkal) sudah ditentukan, maka letak

suatu titik P dapat ditentukan dengan vektor OP = p

yang berpangkal di O dan berujung di P, maka

vektor letak ini harus berjenis vektor terikat.

b. Sistem koordinat R2

Dalam bidang ditentukan titik

pangkal O dan sepasang vektor basis

yang independent linear: u1 dan u2.

Titik B ditandai oleh vektor letak b =

OB, maka menurut dalil 2, b akan

dapat ditulis sebagai kombinasi linier

u1 dan u2.

Contoh : b = 2 u1 + 3 u2

Dalam hal ini titik B lalu diberi koordinat B(2, 3), periksa koordinat C dan

D.

Sistem koordinat yang timbul disebut cartesius (yang umum).

Apabila u1 tegak lurus u2, maka didapat sistem koordinat cartesius

orthogonal.

Yang biasa digunakan di geodesi adalah sistem koordinat cartesius

ortonormal, yaitu u1 tegak lurus u2 dan magnitude u1 = magnitude u2.

p

O

P

ou1

u2

B

C

D

25

Sistem ini juga disebut koordinat tegak dan vektor basisnya biasa diberi

nama: i (pada arah sumbu x) dan j (pada arah sumbu y).

Secara umum, vektor letak suatu titik P juga akan diberi koordinat, sama

dengan koordinat P.

Dalam gambar di atas, B ditandai oleh b = 2 u1 + 3 u2 lalu ditulis b = (2,3)

yang dianggap sebagai bentuk singkat penulisan b = 2 u1 + 3 u2.

Bilangan 2 dan 3 disebut koordinat = komponen skalar vektor b.

Dalam sistem koordinat tegak, a = OA = (4, -2) artinya a = 4i - 2j yang

akan menunjuk titik A(4, -2).

c. Sistem koordinat R3

Dalam ruang dapat ditentukan pangkal O dan 3 vektor independen linear

u1, u2, u3 sebagai basis dan setiap titik akan ditandai dengan vektor

letaknya.

Titik A ditentukan oleh:

a = OA = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 = (a1, a2, a3)

maka koordinat A ialah A(a1, a2, a3)

II.2.2. Vektor Satuan

Dalam R2: Dalam R3:

au3

u2

u1

O

j

i X

Y

i j

k

X

Y

Z

26

i, j, k = vektor basis/satuan

| i | = | j | = | k | = 1, saling tegak lurus, orientasi tangan kanan

Dalam R2: vektor posisi suatu titik P (p1, p2)

ditulis p = p1 i + p2 j

| p | = 22

21 pp

Dalam R3: vektor posisi suatu titik A (a1, a2, a3)

ditulis a = a1 i + a2 j + a3 k

| a | = 23

22

21 aaa

Vektor satuan a = μa= a / | a |

II.2.3. Operasi Vektor Penjumlahan, Selisih dan Perkalian dengan Skalar

Jika a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k

Penjumlahan:

a + b = (a1+ b1) i + (a2 + b2) j + (a3 + b3) k

= (a1+ b1 , a2 + b2 , a3 + b3)

Selisih:

a - b = (a1 - b1) i + (a2 - b2) j + (a3 - b3) k

= (a1- b1 , a2 - b2 , a3 - b3)

Perkalian dengan skalar:

m a = (ma1) i + (ma2) j + (ma3) k = ( ma1, ma2, ma3)

Perhatikan:

AB = b - a

a = (a1, a2, a3)

b = (b1, b2, b3)

sehingga b – a = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)

|AB| = jarak = |b – a| = 233

222

211 )()()( ababab

II.2.3. Operasi Vektor: Dot Product dan Cross Product

O

B

A

b

a

27

Pada materi sebelumnya telah dibahas perkalian vektor dengan suatu

skalar. Pada pokok bahasan ini akan dibahas perkalian vektor dengan vektor.

Hasil kali dua buah vektor dibedakan menjadi hasil kali titik (dot product) dan

hasil kali silang (cross product).

Hasil kali titik (dot atau scalar product)

Hasil kali titik dua buah vektor a dan b didefinisikan sebagai:

cosbaba

dimana θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor a dan b.

Secara geometrik, hasil kali titik adalah panjang vektor a dikalikan

panjang dari proyeksi vektor b di a atau panjang proyeksi a di b dikalikan

panjang vektor b.

a . b = |a| |b| cos θ

= |OA| |OB| cos θ

= |OA| |OBo|

= panjang a kali panjang proyeksi b pada a

a . b = |OB| |OA| cos θ

= |OB| |OAo|

= |b| |a| cos θ

= b . a

b

O

aA

BAo

θ

b

aO

B

ABo

θ

28

Sifat –sifat yang berlaku pada hasil kali titik:

1. a . b = b . a , sifat komutatif

2. a . (b + c) = a . b + a . c , sifat distributif

(a + b) . c = a . c + b . c

3. m (a . b) = (ma) . b = a . (mb)

4. jika a tegak lurus b maka a . b = 0

5. a . 0 = |a||0| cos θ = 0

6. a . a = |a||a| cos 0 = |a|2 sehingga |a| = (a . a)1/2

7. i . j = i . k = j . k = 0

8. i . i = j . j = k . k = 1

Misal a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k

a . b = (a1i).(b1i) + (a1i).(b2j) + (a1i).(b3k) + (a2j).(b1i) + …

(silahkan dijabarkan sendiri…)

a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Sudut antara 2 arah : cos θ = 2

32

22

12

32

22

1

332211

bbbaaa

bababa

ba

ba

Contoh 1: p = (2, 4, 1) dan q = (6, -3, 0) p . q = 2 . 6 + 4 . (-3) + 1 . 0 = 0 artinya p tegak lurus q

Jadi jika a . b = 0 , maka a = 0 atau b = 0 atau θ = 90º a.a = a1a1 + a2a2 + a3a3 = a1

2 + a22 + a3

2

Contoh 2:

Diketahui: a = 2i + j + 3k

b = i – 4k

c = 3i – j + 2k

Soal Latihan

Hitunglah:

a. a . b dan b . a

b. |a| , |b|, |c|

c. |a + b|, |a + c|

d. (a – b) . c

e. 3a . 2c dan 6(a . c)

29

f. (a + b) . c

g. Sudut yang terbentuk oleh a dan b

h. Vektor satuan pada arah a

i. Komponen vektor b pada a

Latihan ini dikerjakan/didiskusikan di kelas.

II.2.3. Operasi Vektor: Perkalian 3 Vektor

Hasil kali silang dua buah vektor a dan b ditulis sebagai:

cba

Hasil kali silang berupa vektor (vektor c ) yang tegak lurus terhadap vektor

a dan vektor b (orientasi tangan kanan). Magnitude dari vektor c dapat

ditulis dengan persamaan berikut:

|c| = |a| |b| sinθ

Dengan kata lain vektor c tegak lurus pada bidang yang tertentu oleh a dan

b seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Arti geometris:

a

b

θ

c = a x b

c = a x b

a

bθ

O A

CB

Bo a

b

θ

|a x b| = |a| |b| sin θ

= |OA| |OB| sinθ

= |OA||BBo|

= luas OACB

= luas jajaran genjang yang

tertentu oleh a dan b

30

Akibatnya luas Δ OAB = ½ |a x b|

Luas segitiga yang tertentu oleh dua vektor

Secara umum dapat ditulis :

Luas ΔPQR = ½ |PQ x PR|

= ½ |PQ| |PR| sinθ

Sifat-sifat hasil kali silang:

a. Jika a // b maka a x b = 0, khususnya a x a = 0

b. a x b = - b x a

c. a x (b + c) = a x b + a x c

(a + b) x c = a x c + b x c

d. m ( a x b) = (ma) x b = a x (mb)

e. a x b = 0 , maka a = 0, atau b = 0, atau a // b

f. i x j = |i| |j| sin 90º k = 1.1k = k, j x k = i, k x i =j

g. i x i = j x j = k x k = 0

jika a = a1i +a2j + a3k

b = b1i +b2j + b3k

a x b = silahkan dijabarkan berdasar sifat-sifat di atas

Perkalian tiga buah vektor dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah

perkalian pada dua vektor, namun perlu diperhatikan beberapa hal berikut:

a. a . b . c = tidak berarti

b. (a x b) . c = tidak berarti

c. (a . b) c = m c = hasil berupa vektor

d. a ( b . c) = a m = hasil berupa vektor

e. (a x b) . c = a x b . c = hasil berupa skalar

f. a . (b x c) = a . b x c = hasil berupa skalar

g. (a x b) x c = hasil berupa vektor

h. a x (b x c) = hasil berupa vektor

P Q

R

θ

hasil kali triple skalar

hasil kali triple vektor

31

Hasil kali triple skalar

a x b . c

OCo = proyeksi c ke L

= tinggi c di atas bidang OADB

a x b . c = luas OADB x tinggi C

adalah volume parallel epipedum yang tertentu oleh a, b, c

Jika a = a1 i + a2 j + a3 k

b = b1 i + b2 j + b3 k

c = c1 i + c2 j + c3 k

kbb

aaj

bb

aai

bb

aaba

21

21

13

13

32

32

c = c1i + c2j + c3k

----------------------------------------------------- . (perkalian dot)

= 321

212

13

131

32

32 cbb

aac

bb

aac

bb

aa

321

321

321

321

321

321

321

321

321

ccc

bbb

aaa

bbb

ccc

aaa

bbb

aaa

ccc

cba

O

Co

A

D

B

C

θ

a

b

c

a x b = L …vektor luas OADB

dengan |L| = luas OADB

a x b . c = L . c

= |L||c| cosθ

= |L| OCo

32

II.3. Penutup

II.3.1. Rangkuman

Vektor satuan digunakan sebagai skala dalam menentukan posisi dalam

sistem koordinat vektor. Apabila suatu vektor akan dinyatakan terhadap vektor

lainya, maka diperlukan vektor satuan untuk menyatakannya. Terkait dengan

sifat-sifat orthogonalism pada sumbu-sumbu kordinat maka diperlukan

pengetahuan tentang hasil perkalian operasi vektor. Di dalam operasi vektor

diagonal ada dua perkalian yang berbeda yaitu operasi perkalian titik (dot) dan

operasi perkalian silang (cross). Beberapa karakteristik khusus operasi perkalian

vektor terkait pada sistem koordinat perlu dipahami.

II.3.2. Tes Formatif

1. Tentukan titik D supaya ABCD menyusun sebuah jajaran genjang, dimana

A(4,4,1); B(2,1,5); C(6,8,0)

2. Diketahui p = 3i – 2j + k ; q = 2i – 4j – 3k ; r = -i + 2j + 2k

a. Tentukan magnitude dari p ; p + q - r ; 2p – 3q + r

b. Tentukan vektor satuan p, q dan r

3. Jika r1 = 2i – j + k ; r2 = i + 3j – 2k ; r3 = -2i + j – 3k dan r4 = 3i + 2j + 5k.

Tentukan skalar h, m, n, sehingga r4 = hr1 + mr2 + nr3.

Tunjukan bahwa dot product dapat digunakan untuk merumuskan aturan

cosines pada segitiga.

4. Jika c tegak lurus a dan b, buktikan bahwa c juga tegak lurus terhadap:

a. a + b

b. 2a – b

c. b – a

5. Tentukan sudut antara a = 3i + 2j – 2k dan b = 2i – 3j + k

6. Tentukan nilai m sehingga a = 2i + mj + k tegak lurus b = 4i – 2j – 2k

7. Tentukan panjang proyeksi vektor a = i – 2j + k pada b = 4i - 4j + 7k

8. Diketahui a = 3i – j +2k, b = 2i +j – k, dan c = i – 2j + 2k , tentukan:

33

a. a x b; b x c; (a x b) x c

b. Luas segitiga tertentu oleh a, b, dan c

9. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus bidang yang tertentu oleh:

a = 2i – 3 j + k dan b = i + 3j + 2k

Tunjukan bahwa cross product dapat digunakan untuk merumuskan aturan

sinus pada segitiga.

II.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Menjelaskan komponen vektor dalam ruang 2 dan 3




Menghitung vektor satuan

Tidak dapat melakukan hitungan

Dapat melakukan hitingan tetapi hasilnya salah

Dapat melakukan hitingan dan hasilnya benar

Penerapan operasi vektor

Tidak dapat menerapkan

Dapat menerapkan sebagian

Dapat menerapkan seluruh operasi vektor

II.3.4. Tindak Lanjut


dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait dan melakukan latihan

mengerjakan soal lebih intensif dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang

memiliki katagori dengan skor 2.

II.3.5. Sumber Pustaka







34








November 2013

35

BAB III

APLIKASI VEKTOR DALAM GEOMETRI ANALITIK

III.1. Pendahuluan

Di dalam geometri analitik antara lain dipelajari tentang

persamaan suatu garis atau bidang jika diketahui beberapa syarat. Aplikasi vektor

dalam geometri analitik dimaksudkan agar mahasiswa dapat menerapkan operasi

vektor untuk mencari atau menyelesaikan persoalan-persoalan yang berkaitan

dengan persamaan garis dan bidang.

III.1.1. Deskripsi Singkat

Pada pokok bahasan ini akan dipelajari beberapa persamaan garis dan

bidang yang dapat ditentukan oleh vektor-vektor tertentu seperti misalnya

persamaan garis melalui satu atau beberapa titik, persamaan garis atau bidang

melalui satu atau beberapa titik dan sejajar vektor lain, persamaan garis atau

bidang melalui satu titik dan tegak lurus vektor lain, dan persamaan bidang yang

tertentu oleh tiga buah vektor, serta jarak titik ke garis atau bidang.

III.1.2. Manfaat

Dengan mempelajari aplikasi vektor dalam geometri analitik mahasiswa

mendapat wawasan bahwa ada benang merah antara matakuliah matematika

dengan konsep-konsep penentuan posisi serta konsep geometri analitik yang

diterapkan pada peralatan survei dan pemetaan.

III.1.3. Relevansi

. Terkait bidang geodesi, persoalan membuat garis tegak lurus terhadap

bidang, garis tegak lurus garis dan garis sejajar garis adalah hal terpenting

terutama pada konsep peralatan alat-alat ukur survei pemetaan.

III.1.4. Learning Outcomes


36

1. Menerapkan aplikasi hitungan vektor pada geometri analitik untuk

mencari persamaan garis.

2. Menerapkan aplikasi hitungan vektor pada geometri analitik untuk

mencari persamaan bidang.

III.2. Penyajian

III.2.1. Persamaan Garis AB

Bila diketahui:

OR = r = (x, y, z) = xi + yj + zk = vektor letak titik R, bergerak (R3)

= (x,y) = xi + yj = vektor letak titik R, bergerak (R2)

OA = a = (a1, a2, a3) = a1i + a2j + a3k = vektor letak titik A, tetap (R3)

= (a1, a2) = a1i + a2j k = vektor letak titik A, tetap (R2)

maka dapat ditentukan:

Apabila λ dijalankan, r = (1 – λ) a + λ b memberikan persamaan garis g

(AB).

Penjabaran ke persamaan skalarnya:

r – a = λ(b – a)

dalam R3 menjadi:

(x – a1, y – a2, z – a3) = λ(b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)

= (λ(b1 – a1), λ(b2 – a2), λ(b3 – a3))

g

O

a r b

A

BR

1

λ Misalkan AR = λ AB

r = OR = OA + AR = a + λAB

= a + λ (b – a)= (1 – λ)a + λb

37

x – a1 = λ(b1 – a1)

y – a2 = λ(b2 – a2)

z – a3 = λ(b3 – a3)

Eliminasi λ menghasilkan:

33

3

22

2

11

1

ab

az

ab

ay

ab

ax

dalam R2 menjadi 22

2

11

1

ab

ay

ab

ax

(biasanya ditulis AB

A

AB

A

YY

Yy

XX

Xx

)

III.2.2. Persamaan Garis melalui A Sejajar Vektor b

Pada gambar ditunjukkan bahwa a dan b

adalah dua buah vektor terikat pada

titik O sehingga berlaku:

Dalam R3:

r – a = λb

(x – a1, y – a2, z – a3) = (λb1, λb2, λb3)

3

3

2

2

1

1

b

az

b

ay

b

ax

b1, b2, b3 disebut bilangan arah

b disebut vektor arah

Dalam R2:

)()( 11

22

2

2

1

1 axb

bayatau

b

ay

b

ax

b2/b1 biasa dikenal dengan gradient (m)

persamaan skalar dengan parameter λ

O

a

b

r

gA R

r = OR = OA + AR

r = a + λb

Untuk λ berubah, maka persamaan menyatakan

persamaan garis g, melalui A, sejajar b

atau (r – a) x b = 0

38

III.2.3. Persamaan Garis/Bidang melalui A Tegak Lurus Vektor b

Pada gambar di atas, dalam R2 , garis g melalui A, tegak lurus vektor b dan

dalam R3 bidang melalui A tegak lurus vektor b

Bentuk persamaannya adalah:

(r – a) . b = 0

Bentuk persamaan skalarnya adalah:

b1 (x – a1) + b2 (y – a2) + b3 (z – a3) = 0

III.2.4. Persamaan Bidang melalui A // b dan // c

Bentuk skalar persamaannya adalah:

[r – a, b, c] = 0, atau

0

321

321

321

ccc

bbb

azayax

Sedangkan bentuk khusus persamaan di atas adalah:

O

α

β bt

c

AR Pada bidang β : t = λb + μc

Titik R pada bidang α, sehingga:

OR = OA + AR

r = a + t

maka: r = a + λb + μc

O

AR

b a r

α

b

O

A

R

b

a rg

39

r = λb + μc

yaitu persamaan bidang melalui O, // b dan c (ingat jika tiga buah vektor a,

b, c dependent linear, maka ada bidang yang sejajar ketiganya, atau

parallel epipedum collaps).

III.2.5. Menentukan Jarak Titik ke Garis atau Bidang

Bila disusun vektor satuan arah b, μ = b

bmaka persamaan menjadi:

r . μ = p (Persamaan Hess (Normal))

merupakan persamaan garis dalam R2 atau bidang dalam R3 yang tegak

lurus μ, dan berjarak p dari O.

Jarak titik-garis

Titik A dengan vektor a, garis g dengan persamaan Hess r . μ = p atau

r . μ – p = 0 maka jarak (A, g) = |a . μ – p|

Jarak titik-bidang

Titik A dengan vektor a, bidang α dengan persamaan Hess r . μ – p = 0

maka jarak (A, α) = |a . μ – p|

III.2.6. Jarak Garis ke Garis

Berikut adalah uraian untuk menentukan jarak antara dua garis yaitu garis

g ke garis h. Jika dipilih titik A dan B pada garis g dan titik C dan D pada garis h,

maka berlaku:

AB x CD = vektor yang tegak lurus garis g dan h

Vektor satuan yang tegak lurus garis g dan garis h adalah:

CDxAB

CDxAB

r . b = k, merupakan persamaan garis (R2)

atau bidang (R3) yang tegak lurus b,

berjarak b

kdari O.r

b

40

Jika diambil sembarang titik pada garis g, misalnya titik A dan titik C sembarang

titik pada garis h maka jarak garis g ke garis h dapat dihitung dengan persamaan

berikut:

Jarak (g, h) = lGHl = lAC . l

III.2.7. Sudut antara Dua Garis dan Sudut antara Dua Bidang

a. Sudut antara dua garis g dan h

Sudut (g, h) = , dapat dihitung dengan persamaan berikut:

CD AB

x CDABCos

Perhatikan pada gambar di atas:

Pilih A, B pada garis g dan C, D pada h.

b. Sudut antara dua bidang dan

Perhatikan pada gambar disamping:

Pilih vektor normal n pada bidang .

Pilih vektor normal m pada bidang .

gh

A

B

C

D

H

G

µ

g h

CB

DA

n m

41

Sudut antara bidang dan bidang = sudut (n, m) = , dapat dihitung dengan

persamaan berikut:

Cos = n.m /l n ll m l

c. Sudut antara garis g dan bidang

Tentukan normal pada bidang , yaitu vektor b,

Sudut antara garis g dan bidang , dapat dihitung dengan persamaan berikut:

Sudut (g, ) = /2 – sudut (g, b)

= 90 – sudut (g, b)

III.2.Persamaan Bidang Tertentu oleh 3 Vektor

X

Y

Z

P

P1

P2

P3

P1 , P2 , P3 , tidak terletak pada satu garis lurus.

Jika:

r1 = x1 i + y1 j + z1 k

r2 = x2 i + y2 j + z2 k

r3 = x3 i + y3 j + z3 k

Merupakan vektor posisi titik P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), dan P3(x3,

y3, z3), serta P1,P2,P3 tidak terletak satu garis lurus.

A

Bb

g

42

Jika: r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi sembarang titik di P (x, y, z)

pada bidang maka:

P1P2 = r2 – r1 ,

P1P3 = r3 – r1 , berada dalam satu bidang.

P1P = r – r1

Sehinga:

P1P . P1P2 x P1P3 = 0

atau

(r – r1 ) . (r2 – r1 ) x (r3 – r1 )

atau

III.3. Penutup

III.3.1. Rangkuman

Vektor dapat diterapkan untuk menentukan persamaan garis, bidang, jarak

antara dua garis, jarak titik ke garis dan sudut antara dua garis pada geometri

analitik.

III.3.2. Tes Formatif

5. Tentukan titik D supaya ABCD menyusun sebuah jajaran genjang, dimana

A(4,4,1); B(2,1,5); C(6,8,0)

6. Diketahui p = 3i – 2j + k ; q = 2i – 4j – 3k ; r = -i + 2j + 2k

c. Tentukan magnitude dari p ; p + q - r ; 2p – 3q + r

d. Tentukan vektor satuan p, q dan r

7. Jika r1 = 2i – j + k ; r2 = i + 3j – 2k ; r3 = -2i + j – 3k dan r4 = 3i + 2j + 5k.

Tentukan skalar h, m, n, sehingga r4 = hr1 + mr2 + nr3

8. Jika u = 2i + j + 2k adalah vektor letak titik A dan v = 3i -j + 4k adalah

vektor letak titik B, tentukan

[(x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k] . [(x2 – x1) i + (y2 – y1) j + (z2 – z1) k] x [(x3

– x1) i + (y3 – y1) j + (z3 – z1) k]

43

a. Persamaan garis yang melalui A dan sejajar vektor B

b. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB

c. Apabila w = 2i + j + k adalah vektor letak C, tentukan persamaan

bidang yang melalui C sejajar B dan sejajar A

d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak

lurus vektor AB

III.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Menerapkan hitungan vektor untuk mencari persamaan garis

Tidak mampu menerapkan


Dapat menerapkan dengan benar

Menerapkan hitungan vektor untuk mencari persamaan bidang

Tidak mampu menerapkan


Dapat menerapkan dengan benar

III.3.4. Tindak lanjut




2.

III.3.5. Sumber Pustaka:

Davis, H.F., 1961, Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon, Inc.,

Boston.



Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis,

Schaum Publishing Co., NewYork, USA.





44








November 2013

45

BAB IV

DIFERENSIAL VEKTOR

IV.1. Pendahuluan

Pada bab IV akan didiskusikan mengenai penerapan kaidah-kaidah

diferensial pada vektor. Hal ini dimaksudkan untuk memberi pemahaman dan

kecakapan dalam mengurai persoalan vektor dengan diferensial.

IV.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bagian ini akan dibahas tentang fungsi dengan beberapa perubah

bebas, difernsial vektor dan sifat-sifat dari derivatif vektor.

IV.1.2. Manfaat

Mahasiswa akan dapat menjelaskan dan menerapkan kaidah-kaidah

diferensial dalam menyelesaikan persoalan-persoalan vektor fungsi dengan

beberapa perubah bebas.

IV.1.3. Relevansi

Dalam mengurai persoalan-persoalan geodesi sering dijumpai persoalan-

persoalan yang harus diselesaikan dengan menggunakan vektor fungsi. Oleh

karena itu, materi ini memberi wawasan tentang penerapan kaidah diferensial

dalam vektor fungsi menjadi sangat bermanfaat.

IV.1.4. Learning Outcome


1. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi satu perubah.

2. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi dua perubah.

3. Melakukan hitungan diferensial pada vektor fungsi dengan beberapa

perubah bebas.

46

IV.2. Penyajian

IV.2.1. Fungsi dengan Perubah Bebas

Diketahui pada persamaan skalar : y = f(x), mempunyai arti:

f : x ( x merupakan perubah bebas) menghasilkan y (tak bebas).

Contoh : y = f(x) = sin x 1 perubah bebas

z = f(x, y) = cos (x+y) 2 perubah bebas

Vektor v berubah sebagai fungsi suatu perubah t, dapat ditulis V = v(t).

Jika V = (v1, v2, v3) maka V = v(t) berarti masing-masing komponen merupakan

fungsi dari t, dan ditulis:

V = ( v1(t), v2(t), v3(t))

Contoh: v = (cos t, sin t, sin 2t)

Jika V(t) merupakan suatu vektor yang bergantung pada variable skalar tunggal t,

maka:

))(),(),(()( 321 ttvttvttvvttv

))(),(),(()( 321 tvtvtvvtv

)()( tvttvv

ttvttv

tv

)()(

Derivatif v ke t , ditulis dv/dt, didefinisikan sebagai:

t

tvttv

t

v

dt

vdtt

)()(limlim

00

atau dapat ditulis: )()(' tvdt

dtv

dt

vd berupa vektor

Hasil pendiferensialan berupa vektor dan dapat didiferensialkan lagi ke t:

3

3

2

2

;dt

vd

dt

vddst.

Kejadian khusus:

Jika v merupakan vektor letak titik, ditulis r:

R3 : r = (x, y, z)

v(t)

v(t+Δt)

Δv

47

R2 : r = (x, y) dan r = r(u), maka:

R3 : r = (x(u), y(u), z(u))

R2 : r = (x(u), y(u))

r = r(u) menyatakan suatu kurva (R2 maupun R3).

r’ = dr/du = vektor singgung pada kurva γ di titik P.

Jika perubahnya adalah panjang busur kurva itu sendiri, sehingga r = r(s), maka :

r’(s) = dr/ds = t = vektor singgung satuan, atau

t = r’/|r’| → |t| = 1

Contoh dalam Fisika:

Jika perubah t : waktu, r = r(t) merupakan persamaan gerak titik,

r’(t) = v(t) : adalah vektor kecepatan,

r’’(t) = v’(t) = a(t) : adalah vektor percepatan titik.

Vektor kecepatan akan menyinggung kurva lintasan.

Sifat-sifat derivatif vektor:

Jika u, v, w merupakan vektor fungsi dan φ adalah skalar fungsi dengan perubah

skalar t:

1. 0adtd

; a vektor tetap

2.dt

vd

dt

udvu

dt

d )(

3.dtvd

udtud

vvudtd

)(

4. vdt

ud

dt

vduvu

dt

d )(

r(u)

r(u+Δu)

Δr

Q

P

γ

dr/du r(u) = OPr(u + Δu) = OQΔr = PQjika Δu → 0 maka Q → P, Δr/Δu → dr

48

5. udt

d

dt

udu

dt

d )(

6. wvdt

udw

dt

vdu

dt

wdvuwvu

dt

d )(

7. )()()()( wvdt

udw

dt

vdu

dt

wdvuwvu

dt

d

Hati-hati dengan urutan operasinya!

Pada vektor letak v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k

Jika v = v(t) maka:

v1= v1(t) ; v2= v2(t) ; v3= v3(t)

sehingga:

v = v1(t) i + v2(t) j + v3(t) k

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

s v s v s v

sehingga:

)()()( 33

22

11 k

dt

dv

dt

kdvj

dt

dv

dt

jdvi

dt

dv

dt

idv

dt

vd

Ingat da/dt = 0

Maka:

),,( 321

321

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

vd

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dv

dt

vd

IV.2.2. Fungsi Lebih dari Satu Perubah

Jika v = (v1, v2, v3), sedang v1, v2, v3 merupakan fungsi dua perubah s, t, maka v

adalah fungsi s,t.

v = v(s, t) = (v1(s, t), v2(s, t), v3(s, t))

Derivatif parsial v ke s dan t adalah:

ds

v

s

v

s

v

s

v 321 ,,

49

dt

v

t

v

t

v

t

v 321 ,, dst untuk derivatif orde yang lebih tinggi disusun dengan

cara sama.

Jika vektor letak r merupakan fungsi 2 perubah r = r (s, t), maka tempat

kedudukan titiknya berupa luasan dalam ruang.

Jika a = a (x, y, z) → dzz

ady

y

adx

x

aad

x

a

xx

a2

2

,

y

a

yy

a2

2

,

z

a

zz

a2

2

y

a

xyx

a2

,

x

a

yxy

a2

,

2

2

2

3

z

a

xzx

a

Jika a memiliki derivatif parsial orde dua atau lebih, xy

a

yx

a

22

Contoh latihan:

1. a = (2x2y – x4) i + (exy – ysinx) j + (x2 cosy) k

Carilah x

a

, y

a

, 2

2

x

a

, 2

2

y

a

, yx

a

2

, xy

a

2

, 2

3

yx

a

, yx

a

2

3

IV.3. Penutup

IV.3.1. Rangkuman

Kaidah-kaidah diferensial yang dipelajari dalam matakuliah kalkulus

berlaku juga dalam menyelesaikan problem diferensiasi dalam vektor fungsi.

IV.3.2. Tes Formatif

1. v = (2, t2, 1/t) tentukan dv/dt !

2. r = sin t i + cos t j + t k = (sin t, cos t, t)

v Carilah: dr/dt , d2r/dt2 , | dr/dt| , | d2r/dt2|

3. Persamaan gerak suatu titik sepanjang kurva dalam bentuk parameter:

x = e-t , y = 2 cos 3t ; z = 2 sin 3t

Tentukan magnitude dari kecepatan dan percepatan pada saat t = 1.

50

4. Sebuah titik bergerak sepanjang kurva x = 2t2 , y = t2 – 4t , z = 3t –5

Carilah komponen kecepatan dan percepatannya pada saat t = 1 dalam arah i – 3j + 2k

5. Persamaan gerak titik diberikan dengan r = (x, y, z) = (2 cos t, sin t, 4)

Carilah vektor normal pada kurva pada saat t = π/4

6. Jika a = 5t2 i + t j – t3 k dan b = sin t i – cos t j, carilah:

a. d/dt(a . b)

b. d/dt (a x b)

c. d/dt (a . a)

7. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik φ =

π/3 pada kurva r = (x, y) = (φ cosφ, sin2φ).

IV.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Diferensial vektor fungsi satu perubah


Dapat melakukan hitungan sebagian

Dapat melakukan hitungan keseluruhan

Diferensial vektor fungsi dua perubah




Diferensial vektor fungsi beberapa perubah




IV.3.4. Tindak Lanjut




2.

51

IV.3.5. Sumber Pustaka







52








November 2013

53

MODUL V

MEDAN VEKTOR DAN MEDAN SKALAR

V.1. Pendahuluan


tentang salah satu aplikasi diferensial vektor untuk menentukan medan vektor dan

medan skalar.

V.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bab V, akan dibahas materi tentang pengertian medan vektor dan

medan skalar, gradien, derivatif berarah, divergensi, dan curl (rotor) serta

penggunaan beberapa operator gabungan dan sifat-sifat dari operator operator

tersebut.

V.1.2. Manfaat

Mahasiswa dapat memahami aplikasi diferensial vektor pada medan

vektor dan medan skalar, dapat menjelaskan rumus-rumus yang digunakan dan

sifat-sifat dari beberapa operator yang dijelaskan. Selanjutnya dapat melakukan

hitungan vektor normal suatu luasan, sudut yang terbentuk antara dua luasan,

derivatif berarah suatu luasan, menentukan persamaan garis singgung luasan,

persamaan bidang normal dan hitungan menggunakan operator gabungan.

V.1.3. Relevansi

Bab V ini mempunyai maksud menjelaskan kepada mahasiswa tentang

aplikasi diferensial vektor pada medan vektor dan medan skalar dan dapat

menerapkannya pada matakuliah-matakuliah selanjutnya yang relevan, yaitu

Proyeksi Peta, Geodesi Fisis dan Analisis Deformasi.

V.1.4. Learning Outcome


1. Menjelaskan tentang pengertian medan skalar dan medan vektor

2. Menjelaskan pengertian gradien, divergensi dan curl.

54

3. Menggunakan rumus gradien untuk hitungan vektor normal dan derivatif

berarah suatu luasan.

4. Melakukan hitungan dengan divergensi dan curl.

5. Menjelaskan penggunaan operator gabungan dan sifat-sifatnya.

6. Menyelesaikan hitungan menggunakan operator gabungan.

V.2. Penyajian

V.2.1. Medan Vektor dan Medan Skalar

Jika suatu vektor v merupakan fungsi 3 perubah yang juga berupa koordinat titik

dalam ruang:

v = v (x,y,z)

= (v1(x,y,z), v2(x,y,z), v3(x,y,z))

Berarti v merupakan fungsi r (vektor letak titik). Satu titik dalam ruang dikaitkan

dengan satu v, dan ditulis:

v = v (r)

Ruang seperti ini dinamai medan vektor. Contoh medan vektor antara lain medan

magnet, medan gaya potensial, medan kecepatan arus.

Sebaliknya ada pula skalar φ yang menjadi fungsi dari r:

φ = φ (r) = φ (x,y,z)

Pada setiap titik ruang terkait satu skalar φ, ruangnya disebut medan skalar.

Contoh medan skalar antara lain medan suhu, medan tekanan (barometer), medan

potensial.

Jika dalam ruang diketahui medan suhu φ = φ (x,y,z), maka φ = konstan

memberikan luasan yang diberi nama bidang isothermis, jika φ adalah tekanan

dan konstan maka luasan yang terbentuk disebut bidang isobaris, sedangkan

apabila φ adalah potensial dan konstan, maka bidangnya disebut bidang

ekuipotensial.

V.2.2. Gradien

Diketahui suatu medan skalar φ = φ (x,y,z).

Diferensial total φ adalah:

55

dzdydxzyx

d ,,,,

Jika r = (x,y,z) maka (dx, dy, dz) = dr, sedangkan

zyx

,, = = gradien

φ = grad φ.

Notasi dibaca nabla phi, sehingga dapat ditulis: dφ = .dr

dianggap sebagai hasil operasi terhadap φ, maka:

zyx

,,

dianggap sebagai vektor pendiferensial, sebelum ada yang dikenai maka belum

bernilai.

φ berarti dikalikan dengan φ (perkalian vektor dengan skalar) dan

dikenakan terhadap φ.

Sebaliknya,

zyx

,, masih merupakan operator, sebab

dikalikan φ tetapi tidak dikenakan terhadap φ.

Diambil suatu bidang/luasan dengan φ = konstan.

Secara umum bidang ini dinamakan bidang ekuipotensial.

Untuk φ = k maka dφ = 0, .dr = 0

dr adalah vektor yang menyinggung luasan, maka vektor tegaklurus bidang

φ.

Jadi vektor adalah vektor normal luasan, dan vektor normal satuan luasan

adalah:

dr

T

φ = k

n

56

n

Contoh soal:

a. Tentukan persamaan garis normal dan bidang singgung di titik T(2,1,-1)

pada luasan 2x2y +3y3z –xz2 = 3.

Jawab:

Anggap φ(x,y,z) = 2x2y +3y3z –xz2 – 3

24 zxyx

; zyxy

22 92

; xzyz

23 3

sehingga untuk T(2,1,-1), maka 7

x

, 1

y

, dan 7

z

atau T = (7,-1,7).

Persamaan garis normal luasan:

(x,y,z) = (2,1,-1) + λ(7,-1,7)

(x,y,z) – (2,1,-1) = λ(7,-1,7)

Bentuk skalarnya menjadi: 7

1

1

1

7

2

zyx

Adapun persamaan bidang singgung di T:

{(x,y,z) – (2,1,-1)} . (7,-1,7) = 0

Atau 7(x-2) – (y-1) + 7(z+1) = 0

7x – 14 – y + 1 + 7z + 7 = 0

7x – y + 7z = 6

Vektor normal satuan di T = 113

)7,1,7( n

b. Tentukan sudut potong antara dua luasan x2z3 + 4x2 – y + 5 = 0 dan xyz2 =

4 di titik (1,1,-2).

Jawab:

Misalkan φ1 = x2z3 + 4x2 – y + 5

φ2 = xyz2 – 4

maka 1 = (2xz3 + 8x, -1, 3x2z2)

2 = (yz2, xz2, 2xyz)

untuk A(1,1,-2) maka 1 = (-8,-1,12) dan 2 = (4,4,-4)

57

Sudut antara dua luasan = θ,

627

21

34209

)4,4,4()12,1,8(cos

21

21

θ = arcos627

21

V.2.3. Derivatif Berarah

Jika u vektor arah satuan ke suatu arah tertentu, maka u = . u merupakan

panjang proyeksi ke arah u. u disebut derivatif berarah medan skalar di P

pada arah u, dan nilainya akan maksimum jika u sejajar ( tegak lurus bidang

φ = k) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

Contoh soal:

Dalam medan φ = xeyz , suatu titik digerakkan dari A(3,0,2) ke B(4,4,1). berapa

derivatif berarah medan di A pada arah AB?

Jawab: = (eyz, xzeyz, xyeyz)

( )A = (1,6,0)

AB = b – a = (1,4,-1)

sehingga vektor satuan arah AB:

u = 23

)1,4,1(

maka derivatif berarahnya:

AB = ( )A . u

P

φ = k

u

58

= (1,6,0) . 23

)1,4,1( =

23

25

V.2.4. Divergensi

Jika v suatu medan vektor dan dikenakan pada v secara dot product, maka

hasilnya adalah skalar.

. v = divergensi v = div v

. v = z

v

y

v

x

v

321

Perhatikan bahwa v . ≠ . v , sebab:

v . = z

vy

vx

v

321 masih berupa operator

V.2.5. Curl (Rotor)

Apabila v adalah medan vektor, maka:

× v = curl v = rotor v ( hasilnya berupa vektor)

× v = ),,( 123123

321

y

v

x

v

x

v

z

v

z

v

y

v

vvvzyx

kji

V.2.6 Operator Gabungan dan Sifat-sifat Operator

Operator-operator yang telah dijelaskan, dalam penggunaannya bisa digabungkan.

Operator gabungan tersebut adalah:

1. . ( ) = 2φ = div.grad φ = 2

2

2

2

2

2

zyx

Hasilnya berupa skalar, persamaan ini juga disebut Laplacian φ.

2 = 2

2

2

2

2

2

zyx

disebut Operator Laplace

2. × φ = curl grad φ = 0 (vektor), disebut medan grad φ:

irrotational

3. . ( ×v) = div curl v = 0 (skalar), disebut medan curl φ:

solenoida

59

Catatan: bersifat sebagai operator dan sebagai vektor, meskipun sebagai

vektor tidak perlu dicoret bawahnya.

Sifat-sifat operator:

1. (φ + θ) = φ + θ

2. .(v + w) = .v + .w

3. ×(v + w) = ×v + ×w

4. .(φ v) = (φ).v + φ( .v)

5. ×(φ v) = ( φ)×v + φ( ×v)

Khusus: untuk r vektor letak titik.

r = (x,y,z) maka .r = 3

z

z

y

y

x

x

×r = 0

zyxzyx

kji

Beberapa contoh kasus:

1. Salah satu definisi elips:

r1 + r2 = c

dimana r1 dan r2 adalah jarak titik (pada elips) ke fokus.

(r1 + r2) adalah vektor normal kurva pada sembarang titik P. Jika t adalah vektor

singgung satuan pada P, maka (r1 + r2) . t = 0 atau

r1 . t = - r2 . t

r1 sejajar AP dan r2 sejajar BP

r1 . t = - r2 . t membentuk sudut-sudut yang sama terhadap garis

singgung elips.

B A

Or2 r1

Pt

(r1 + r2)

60

2. Buktikan (φ + θ) = φ + θ

(φ + θ) = i )( x

+ j )( y

+ k )( z

= ix

+ i

x

+ jy

+ j

y

+ kz

+ k

z

= (ix

+ j

y

+ kz

) + (i

x

+ jy

+ k

z

)

= φ + θ

V.3. Penutup

V.3.1. Rangkuman

Operasi-operasi pada medan skalar maupun medan vektor merupakan

aplikasi dari diferensial vektor.

V.3.2. Tes Formatif

1. Diketahui suatu luasan dengan persamaan φ = 2x2yz + 4xy2z – 3yz

a. Tentukan persamaan garis normal dan persamaan bidang singgung

luasan di titik P (1, -2, -1).

b. Tentukan derivatif berarah titik P pada 2i – j + k

2. Tentukan divergensi dan curl dari persamaan x2cosz i + y log x j + yz k

3. Buktikan bahwa .(φ + θ) = .φ + .θ

4. Tentukan vektor normal persamaan parabola y = 3x2 – 2x – 6 pada titik

(2,2) dengan menggunakan gradien. Tentukan pula persamaan garis

singgung pada parabola yang melalui titik tersebut.

5. Buktikan bahwa persamaan f = xyz dan f = 5z –e-ysinx memenuhi

persamaan Laplacian 2f = 0

61

V.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Pengertian medan skalar dan medan vektor



Dapat menjelaskan secara runtutdengan contoh

Gradien dan derivatif berarah




Divergensi dan curl Tidak mampu menjelaskan



Operator gabungan Tidak mampu mengerjakan

Dapat mengerjakan ada sebagian yang tidak benar

Dapat mengerjakan dengan benar

V.3.4. Tindak Lanjut



dibandingkan dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2

V.3.5. Sumber Pustaka



Spiegel, M.R.,1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis,

Schaum’s Outline of Theory and Problems, Schaum Publishing Co., New

York, pp 57-81.

62








November 2013

63

BAB VI

GEOMETRI DIFERENSIAL

VI.1. Pendahuluan

VI.1. 1. Deskripsi Singkat

Pada pokok bahasan ini akan dipelajari tentang, kurva dalam ruang,

vektor singgung, vektor normal, vektor binormal.

VI.1.2. Manfaat

Mahasiswa akan memperoleh pengetahuan tentang kurva dalam ruang,

vektor singgung pada suatu bidang dan dasar-dasar dalam menyusun sistem

koordinat ortogonal. Materi ini merupakan pengetahuan dasar dalam mempelajari

matakuliah selanjutnya yang terkait dengan garis normal dan sistem koordinat.

VI.1.3. Relevansi

Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya kurva dalam ruang, vektor

singgung pada suatu bidang dan dasar-dasar dalam menyusun sistem koordinat

ortogonal. Pengetahuan tentang kurva dalam ruang sangat mendukung dalam

mempelajari matakuliah Proyeksi Peta dan Sistem Transformasi Koordinat.

VI.1.4. Learning Outcome


1. Menguraikan terbentuknya kurva dalam ruang dan luasan dalam konsep

geometri diferensial.

2. Menjelaskan perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor

binormal.

3. Menerapkan dalam hitungan.

64

I.2. Penyajian

VI.2.1. Kurva dalam Ruang dan Vektor Singgung

Suatu kurva dalam ruang (R3) adalah tempat kedudukan suatu titik r(x, y, z) yang

dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi dari suatu parameter tunggal u.

R3 : r(x, y, z) → r = r(u) dengan u : parameter

Dapat ditulis r = r (u) = (x(u), y(u), z(u))

atau x = x(u); y = y(u); z = z(u)

Suatu kurva dalam ruang dapat pula merupakan kurva hasil perpotongan dari 2

luasan misalnya perpotongan antara luasan F(x,y,z) = 0 dengan luasan G(x,y,z) =

0.

Jika diketahui suatu kurva: r = r(u), maka derivatif pertama: )(urdu

rd adalah

vektor singgung pada kurva.

oo rrr → garis singgung di To pada kurva.

0)( oo rrr → bidang normal pada kurva di To.

Khusus: jika sebagai parameter adalah s sama dengan panjang busur kurva,

sehingga:

r = r(s), maka dr/ds = r´(s) = t merupakan vektor singgung satuan (|t| = 1).

Lambang aksen (´) digunakan untuk derivatif ke s, sedangkan lambang flux (·)

untuk derivatif ke parameter lain yang bukan s.

Untuk suatu nilai u = uo tertentu oleh titik r(uo) = ro

pada kurva yaitu To dan oo rur )( = vektor

singgung di To.

0

r = r (u)

)(urTo

65

Di antara keduanya terdapat hubungan:

urds

du

du

rd

ds

rdrt

stdu

dst

du

ds

ds

rd

du

rdr

VI.2.2. Vektor Normal

r = r (s) → r´ = t → vektor singgung satuan, karena |t| = konstan (=1) maka t´┴t

nds

rd

ds

tdt

2

2

n : vektor normal utama satuan

κ : kelengkungan dari kurva pada suatu titik (dipilih yang tidak negatif)

Dapat ditulis κ = |t´| = |r˝| = (r˝.r˝)1/2

ρ = 1/κ → jari-jari kelengkungan

VI.2.3. Vektor Binormal

Jika b: suatu unit vektor yang tegak lurus

bidang yang tertentu oleh n dan t maka b = t x n

Vektor b : vektor binormal satuan.

Ketiga vektor t, n, b menyusun suatu sistem ortogonal yang disebut sistem

koordinat yang berjalan, karena di setiap titik di kurva dapat disusun sepasang t, n,

b kemudian semua vektor berkaitan dengan titik tersebut dapat dinyatakan dengan

t, n, b secara tunggal.

t . n = n . b = b . t = 0

t . t = n . n = b . b = 1

Vektor t, n menyusun bidang oskulasi (Os),

Vektor n, b menyusun bidang normal (N),

Vektor t, b menyusun bidang rektifikasi (R),

Garis melalui T, sejajar t disebut garis singgung,

Garis melalui T, sejajar n disebut garis normal utama,

t

n

b

T

66

Garis melalui T, sejajar b disebut garis binormal.

Jadi misalnya:

Persamaan bidang oskulasi di To:

(r – ro) . bo = 0 atau r = ro + λto + μno atau bisa ditulis [r – ro, to, no] = 0

Garis normal utama di To:

r = ro + γno

Catatan:

Bidang N adalah bidang tegak lurus kurva, dan bidang Os adalah bidang yang

di sekitar titiknya seolah-olah memuat kurvanya.

Contoh:

Diketahui kurva r(t) = x i + y j + z k dengan x = 3t – t3, y = 3t2, z = 3t + t3.

Tentukan vektor singgung satuan (t).

Jawab:

r(t) = (3t – t3, 3t2, 3t + t3)

ds

dt

dt

rd

ds

rdt = (3 – 3t2, 6t, 3 + 3t2)

ds

dt

|t| = 1

Bidang oskulasi(r – ro). bo = 0

Bidang rektifikasi/pelurus(r – ro). no = 0

Bidang normal(r – ro). to = 0

t

n

b

67

ds

dttttt .)33()6()33( 22222

ds

dtttttt .91893691891 42242

ds

dttt .3618181 24

ds

dttt .)12(181 24

ds

dtt 22 )1(.181

ds

dtt )1.(231 2

)1.(23

12

tds

dt

)1(23

1).33,6,33(

2

22

ttttt

)1(2

)1,2,1(2

22

t

tttt

VI.3. Penutup

VI.3.1. Rangkuman


penggunaan vektor terkait dengan kurva dalam ruang dan luasan dalam konsep

geometri diferensial. Selain itu, mahasiswa diberi pengertian tentang perbedaan

antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal.

VI.3.2. Tes Formatif

1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t,

t´, n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di

θ = θo.

68

2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva

berupa helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2,

v3)

3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana:

x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t, tentukan t di titik t = 2.

4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada

kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3.

Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya.

VI.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Menguraikanterbentuknya kurva dan luasan dalamkonsep geometri diferensial

Tidak mampu menguraikan

Dapat menguraikan sebagian

Dapat menguraikan secara keseluruhan

Menjelaskan perbedaan antara vektor singgung, vektor normal dan vektor binormal

Tidak mampu membedakan

Dapat membedakan sebagian

Dapat membedakan keseluruhan

Menerapkan dalam hitungan

Tidak mampu menerapkan hitungan


Dapat menerapkan keseluruhan

VI.3.4. Tindak Lanjut




2.

VI.3.5. Sumber Pustaka




Schaum Publishing Co., New York, USA.

69

Stein, F.M., Ph.D, 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row


70








November 2013

71

BAB VII

GEOMETRI DIFERENSIAL

(Kurva dalam Ruang)

VII.1. Pendahuluan

VII.1. 1. Deskripsi Singkat

Pada pokok bahasan ini akan dipelajari tentang, kurva dalam ruang,

vektor singgung, vektor normal, vektor binormal.

VII.1.2. Manfaat

Mahasiswa akan memperoleh pengetahuan tentang konsep kelengkungan,

puntiran dalam kurva serta jenis-jenis kurva berdasarkan nilai torsi dan jari-jari

kelengkungannya. Materi ini merupakan pengetahuan dasar dalam mempelajari

matakuliah selanjutnya yang terkait dengan kengkungan dan puntiran dalam

kurva.

VII.1.3. Relevansi

Mahasiswa dapat memahami arti pentingnya konsep kelengkungan,

puntiran dalam kurva serta jenis-jenis kurva berdasarkan nilai torsi dan jari-jari

kelengkungannya. Pengetahuan tentang kelengkungan dan jenis-jenis kurva ini

sangat mendukung dalam mempelajari matakuliah Proyeksi Peta dan Sistem

Transformasi Koordinat.

VII.1.4. Learning Outcome


1. Menjelaskan konsep kelengkungan dan puntiran pada kurva.

2. Menjelaskan sifat-sifat kurva.

3. Menerapkan konsep dalam hitungan.

72

VII.2. Penyajian

VII.2.1. Kelengkungan dan Puntiran pada Kurva (Rumus Serret-Fernet)

Rumus ini menyatakan derivatif t, n, b, ke s (panjang busur kurva).

ntds

td tbnds

nd nbdsbd

τ : suatu skalar dinamakan torsi = puntiran yang mungkin positif, nol atau

negatif

σ = 1/τ : jari-jari torsi

Periksa : κ = |t´| = kecepatan sudut t

|τ| = |b´| = kecepatan sudut b

Untuk parameter bukan s (umum):

Ingat kembali: untuk r = r(u) di titik u = uo, maka garis singgung dapat ditulis:

oo rrr

Sudah ditulis pula bahwa du

dstr sehingga:

2

2

2

2

du

sdt

du

ds

du

ds

ds

td

du

rd

du

rdr

=2

22

du

sdt

du

dsn

Jadi r dan r dua-duanya sejajar dengan bidang Os, maka persamaan bidang Os

di To dapat ditulis:

ooo rmrlrr atau 0,, ooo rrrr

Ditulis dengan skalar, persamaan bidang Os di To menjadi:

0

2

2

2

2

2

2

ooo

ooo

ooo

du

zd

du

yd

du

xd

du

dz

du

dy

du

dxzzyyxx

73

Contoh:

Diketahui kurva r = (x,y,z) = (a cos, a sin, c ), dengan adalah parameter.

r = (x,y,z) atau

r = r( ) sehingga:

x = a cos

y = a sin

z = c , atau = z/c sehingga:

x dan y dapat ditulis sebagai:

x = a cos (z/c) dan y = a sin (z/c).

Eliminasi sinus dan cosinus yaitu dengan

cara mengkuadratkan dan menjumlahkan x

dan y diperoleh:

x2 + y2 = a2 cos2 + a2 sin2 atau x2 + y2 = a2 (cos2 + sin2 ) sehingga:

x2 + y2 = a2 ini adalah suatu kurva berupa sirkular helik (garis sekrup) pada

bidang tabung x2 + y2 = a2.

Dari kurva r akan dicari torsi atau puntiran (t):

t = dr/ds = dr/d d/ds = (-a sin , a cos , c) d/ds

Padahal ltl = 1 sedangkan ltl = 1ds

dccosasina( 22222

ltl = 1ds

d.)cos(sina 2222 c sehingga:

1ds

d a 22

c dan konstanca

1

ds

d22

Jadi t = 22 ca

)c,cosa,sin a-(

adalah vektor singgung satuan.

Berapa derivatif pertama dari t (t’) ?

t’ =222222 ca

10,sin

ca

a- ,cos

ca

a-

d

d

ds

dt

ds

d

= nca

)0,sin -,cos-(a22

n = (-cos , -sin , 0) dan = 22 ca

a

, =

a

ca1 22

74

Nilai dapat juga dicari dengan menghitung nilai magnitude dari dengan cara:

= |t’| = (a2 cos2 + a2 sin2 + 0)1/2/(a2 + c2)

= 1/(a2 + c2) [a2(cos2 + sin2)]1/2

= a/(a2 + c2)

Vektor b = t x n

= i j k

22

2 sin

ca

a

22

2 cos

ca

a

22 ca

c

- cos - sin 0

= 22

),cos,sin(

ca

acc

Kurva r = (a cos, a sin, c) dapat disusun persamaan garis singgung di = 0 (r

= r0).

00

rrr (x,y,z) = (a cos0, a sin0, c0 ) + (-a sin0, a cos0, c)

Persamaan bidang Os di = 0 adalah:

x – a cos 0 y – a sin 0 z – c0

- a sin 0 a cos 0 c

- a cos 0 - a sin 0 0

VII.2.2. Sifat-sifat Kurva

Rumus untuk mencari κ dan τ.

Jika digunakan parameter s:

κ = (r˝. r˝)1/2

r˝ = d2r / ds2

τ = [r´, r˝, r”’]/κ2

Jika digunakan parameter yang umum u:

3

r

rr

75

2

,,

rr

rrr

κ dan τ adalah ukuran penting bagi kurva, sebab jika κ dan τ tiap titik tertentu

maka bentuk kurva tertentu, kecuali letaknya belum.

Sifat- sifat yang didasarkan atas κ dan τ adalah:

Jika kurvanya datar, maka τ = 0 dan sebaliknya (kecuali garis lurus

yang τ nya tidak tentu).

κ = 0, maka kurvanya garis lurus.

κ/ τ = konstan, maka kurvanya berupa helix (kurva bersudut tetap

dengan suatu arah).

κ = konstan dan τ = konstan, maka kurvanya adalah helix lingkaran

(garis sekrup).

τ = 0, dan κ = konstan, kurva berupa lingkaran.

Contoh 1:

Sebagai contoh adalah kurva garis sekrup di atas yaitu r = (a cos, a sin, c).

Jawab:

)c,cosa,sin a-(

d

drr

),sin a-,cos-(2

2

d

rdr

),cosa-,sina(3

3

d

rdr

)a,cosca-,sin ca(

0 sin a- cosa-

c cosa sin a-

k j i

r x 2 r

)0,cosa-,sin (a.)a,cosac-,sin ac(r.r x rr.r. 2 r

= a2c

22a cr

22422 aaacar crx

76

konstana

a

)ca(

aa

r

rr222/322

22

3

c

cx

konstan

a)ca(a

a

r x r

r.r.r22222

2

c

cc

Terbukti kurva berupa lingkaran.

Contoh 2:

Diketahui kurvat

t-l ,

t

tlt, r

2

, tentukan dan dari kurva tersebut, jika t

adalah parameter.

Jawab:

2

2

2 t

t1,

11,

tdt

drr ; )11,-1,(

t

2r x

3r

332

2

t

2,

t

20,

dt

d rr ; 0r,r, r

443

3

t

6-,

t

6-0,

dt

d rr ;

4

242

t

1) t(t2rr.

r

Maka)1 t t(2

t3324

6

dan = 0

Contoh 3:

Jika diketahui r = (av, bv2, v3), dengan v adalah parmeter dan memenuhi 2b2 = 3a,

maka kurva berupa helik yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Selidiki r = (6v,

3v, v3).

Jawab:

)3v6v,6,( 2r 2),2v-, v(18r x 2r

6v,60,dt

d2

2

r

r 216r,r, r

6,00,dt

d3

3

r

r )2 v(3rr. 22 r

22 )2 v(3

2

22 )2 v(3

2

77

/ = 1 = konstan, maka kurva berupa helik.

VII.3. Penutup

VII.3.1. Rangkuman


pengertian tentang kelengkungan, puntiran dalam kurva serta jenis-jenis kurva

dalam konsep geometri diferensial.

VII.3.2. Tes Formatif

1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t, t´,

n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di θ = θo.

2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa

helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3).

3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana:

x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t, tentukan t di titik t = 2.

4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada kurva:

r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3.

Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya.

VII.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Hitungan rumus Serret-Frenet

Tidak mampu melakukan hitungan


Dapat melakukan hitungan seluruhnya

Hitungan vektor garis singgung dan vektor normal




Klasifikasi jenis-jenis kurva berdasarkan nilai torsi dan jari-jari kelengkungan.




78

VII.3.4. Tindak Lanjut




2.

VII.3.5. Sumber Pustaka







79








November 2013

80

BAB VIII

TES SUMATIF I

(Ujian Tengah Semester)

I.1. Pendahuluan

VIII.1.1. Deskripsi Singkat

Soal ujian tengah semester meliputi soal dalam bentuk essay yang

memuat pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menjelaskan pengertian-

pengertian maupun definisi. Selain itu juga memuat soal dalam bentuk hitungan

yang memuat pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menyelesaikan suatu

hitungan.

VIII.1.2. Manfaat

Dengan kegiatan ini dapat menilai pemahaman mahasiswa tentang materi

kuliah minggu ke-1 s.d. minggu ke-7.

VIII.1.3. Relevansi

Penilaian pemahaman mahasiswa ini harus dilakukan karena untuk

evaluasi pemberian materi kuliah berikutnya. Materi kuliah yang diujikan dalan

ujian tengah semester ini menjadi dasar untuk pemahaman materi kuliah minggu

berikutnya. Oleh karena itu, apabila hasil evaluasi disimpulkan bahwa

pemahaman mahasiswa masih rendah, perlu direview terlebih dahulu materi

minggu ke-1 s.d. minggu ke-7. Namun apabila hasil evaluasi diperoleh

kesimpulan bahwa mahasiswa sudah memahami materi sebelum ujian tengah

semester, maka materi minggu selanjutnya dapat langsung diberikan.

VIII.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti ujian tengah semester, mahasiswa akan dapat:

1. Mahasiswa dapat menjelaskan tentang materi operasi dasar vektor, sistem

koordinat vektor, penggunaan vektor dalam geometri analitik, diferensial

81

vektor, medan vektor, medan skalar dan geometri diferensial kurva dalam

ruang.

2. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan materi

operasi dasar vektor, sistem koordinat vektor, penggunaan vektor dalam

geometri analitik, diferensial vektor, medan vektor, medan skalar dan

geometri diferensial kurva dalam ruang.

VIII.2. Penyajian

UJIAN TENGAH SEMESTER GASALTAHUN AJARAN 2008/2009JURUSAN TEKNIK GEODESI

Matakuliah : Matematika GeodesiProgram Studi : S1 RegulerHari/tanggal : Rabu, 5 November 2008Waktu : 120 menitSifat : Buku TertutupDosen : Dwi Lestari, ST., ME.

Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas, boleh tidak urut asalkan diberi nomor yang jelas. Bobot nilai setiap nomor ditunjukkan dengan angka dalam tanda kurung.

SOAL1. Diketahui: a = ( 2, 3, 1 ); b = ( 4, 2, 3 )

Tentukan:a. Besar sudut yang tertentu oleh vektor a dan bb. Luas paralelogram yang tertentu oleh vektor a dan bc. Vektor yang magnitudenya 4 dan tegak lurus vektor a dan bd. Jika a dan b membentuk sisi-sisi segitiga, tentukan sudut-sudut

segitiga tersebut (30).2. Diketahui: a = ( 1, 3, 1 ); b = ( 1, 1, 4 ); c = ( 2, 1, 3 )

Tentukan:a. cba )(

b. )()( cbba c. abca , agar mempunyai arti.d. Volume paralelepipedum tertentu oleh vektor a , b dan c (20).

3. Jika u = 2i + j + 2k adalah vektor letak titik A dan v = 3i -j + 4k adalahvektor letak titik B, tentukan:

a. Persamaan bidang yang melalui A dan sejajar vektor Bb. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB

82

c. Apabila w = 2i + j + k adalah vektor letak C, tentukan persamaan bidang yang melalui C sejajar B dan sejajar A (ingat persamaan r = a + λb + μc)

d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB (Ingat bidang dengan pers Hess r.u – p = 0, maka jarak titik ke bidang = |x.u – p|) (30).

4. Diketahui suatu benda bergerak sepanjang kurva r = (x,y,z) dimana tex 22 , ty 3cos2 , tz 2sin3 . Jika t adalah waktu, maka:

a. Tentukan kecepatan dan percepatan pada waktu t.b. Tentukan besarnya kecepatan dan percepatan pada saat t = 0 (20).


Matakuliah : Matematika Geodesi Program Studi : S1 RegulerHari/tanggal : Rabu, 28 Oktober 2009 Waktu : 120 menitSifat : Buku TertutupDosen : Ir. Sri Narni, MT.

Dwi Lestari, ST., ME.

Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas. Kerjakan bagian A dan B pada kertas terpisah! Bobot masing-masing soal adalah sama.

SOAL BAGIAN A ( Ir. Sri Narni, MT.)1. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = (2, 1, 2); b = ( 4, 1, 3 )

a. Tentukan besar sudut yang tertentu oleh vektor a dan b.b. Tentukan luas jajaran genjang yang tertentu oleh kedua vektor a

dan b.c. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus vektor a dan b.d. Tentukan komponen vektor a pada b.

2. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = ( 2, 3, 2 ); b = ( 1, 1, 4 )a. Selidiki apakah kedua vektor a dan b saling kolinier.b. Tentukan p = 2a + 3b.c. Tentukan sudut antara vektor a dengan sumbu X, sumbu Y, dan

sumbu Zd. Tentukan vektor yang magnitudenya 5 dan vektor tersebut tegak

lurus a dan juga tegak lurus b.

SOAL BAGIAN B (Dwi Lestari, ST., ME.)3. Diketahui vektor : a = ( 2, 3, 1 ); b = ( 2, 1, 4 ); c = ( 2, 2, 3 )

Tentukan:a. bca

83

b. abca c. acba d. Volume paralelepipedum tertentu oleh vektor a, b, dan c.

4. Jika u = 2i + 2j + 3k adalah vektor letak titik A dan v = 3i - j + 4k adalahvektor letak titik B, tentukan:

a. Pesamaan garis/bidang yang melalui A dan B.b. Persamaan bidang yang melalui A dan sejajar vektor B.c. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB.d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak

lurus vektor AB (ingat bidang dengan pers Hess r.u – p = 0, maka jarak titik ke bidang = |x.u – p|).


Matakuliah : Matematika GeodesiProgram Studi : S1 RegulerHari/tanggal : Rabu, 27 Oktober 2010 Waktu : 120 menitSifat : Buku TertutupDosen : Ir. Sri Narni, MT.

Dwi Lestari, ST., ME.

Kerjakan soal-soal berikut dengan tulisan yang jelas. Bobot nilai untuk masing-masing soal adalah sama.

1. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = ( 3, 1, 5 ); b = ( 3, 2, 3 )a. Selidiki apakah kedua vektor a dan b saling kolinier.b. Tentukan p = 2a + 3b.c. Tentukan sudut antara vektor a dengan sumbu X, sumbu Y, dan

sumbu Z.d. Tentukan vektor yang magnitudenya 5 dan vektor tersebut tegak

lurus a dan juga tegak lurus b.2. Diketahui dua buah vektor a dan b dimana: a = ( 1, 1, 2 ); b = ( 3, 2, 4 )

a. Tentukan besar sudut yang tertentu oleh vektor a dan b.b. Tentukan luas jajaran genjang yang tertentu oleh kedua vektor a

dan b.c. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus vektor a dan b.d. Tentukan komponen vektor a pada b.

3. Diketahui vektor: u = ( 3, 4, 2 ); v = ( 2, 1, -1 ); w = ( 1, 3, 3 )Tentukan:

a. )( vwu b. uvwu c. uvwv

84

d. Apakah volume paralelepipedum tertentu oleh vektor u, v dan wdapat ditentukan, jelaskan!

4. Jika u = 3i + 1j + 2k adalah vektor letak titik A dan v = 3i -j + 4k adalahvektor letak titik B, tentukan:

a. Persamaan garis yang melalui A dan sejajar vektor B.b. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB.c. Jarak titik P(2,-2,3) terhadap garis yang melalui A dan tegak lurus

vektor B.d. Persamaan bidang yang melalui O dan sejajar A dan B.

UNIVERSITAS GADJAH MADAFAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK GEODESI

SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL TA 2012/2013Matakuliah : Matematika Geodesi Program Studi : S-1 RegulerHari, Tanggal : Senin, 22 Oktober 2012Waktu : 120 menitSifat : Buku TertutupDosen Penguji : Ir. Sri Narni, MT.

Ir. Parseno, MT.


1. Diketahui 2 vektor a = (2, 1, 3) dan b = (3, 2, 5). Tenntukan:a. Besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor a dan b.b. Luas segitiga yang terbentuk oleh kedua vektor a dan b.c. Vektor luas dari segitiga yang terbentuk oleh kedua vektor a dan b.d. Komponen vektor a pada b.

2. Diketahui 3 vektor a = (2,1,1), b = (3,1,2) dan c = ( 4, 2, 1)a. Selidiki apakah ketiga vektor a, b dan c dependen linier atau independen linier.b. Hitung volume paralelepipedum yang terbentuk oleh ketiga vektor a, b,

c.c. Hitung (a x b) x c.

3. Tentukan besar sudut antara 2 luasan yaitu x2y + y3z – xz2 = 3 dan x2yz2 = 4 di titik T(2, 1, 1).

4. Tentukan persamaan garis normal dan bidang singgung di titik T(1, -1, 2) padaluasan 2xz2 – 3xy – 4x = 7.

KELAS: A/B

85

5. Tentukan derivatif berarah di titik T(1, -2, -1) pada luasan x2yz + 4xz2 dalam arah b = (2, -1, -2).

UNIVERSITAS GADJAH MADAFAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK GEODESI

SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL TA 2013/2014Matakuliah : Matematika Geodesi Program Studi : S-1 RegulerHari, Tanggal :Selasa, 29 Oktober 2013Waktu : 120 menitSifat : Buku TertutupDosen Penguji : Ir. Sri Narni, MT.

Ir. Parseno, MT.


1. Diketahui 2 vektor a dan b, dimana a = (2, 1, 3) dan b = (3, 1, 1).Tentukan:a. Besar sudut yang tertentu oleh dua vektor a dan b.b. Komponen vektor b pada a.

c. Luas paralelogram yang tertentu oleh dua vektor a dan b.

2. Diketahui 3 vektor a = (2, 2, 1), b = (3, 1, ) dan c = (2, 1, 4)a. Hitung volume paralelepipedum yang tertentu oleh ketiga vektor a, b, c

tersebut.b. Selidiki apakah ketiga vektor a, b, dan c dependen linier atau

independen linier.

3. Tentukan persamaan bidang yang melalui A(3, 1, 2) // (sejajar) b = (1, 3, 2) dan // (sejajar) c = (3, 2, 2).

4. Sebuah titik bergerak sepanjang kurva x = t2, y = t3 – 3, dan z = 2t + 1. Tentukan komponen kecepatan saat t = 1, dalam arah 2i + j + 3k.

5. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik Q = /4 pada kurva r = (x,y) = (2 cos Q, 2 sin Q).

KELAS: A/B

86

VIII.3. Penutup

VIII.3.1. Rangkuman


penggunaan vektor dan segitiga bola terutama terkait dengan disiplin geodesi.

Dasar dasar operasi vektor, sifat-sifat dalam operasi vektor dan azas kolinieritas

serta azas koplanaritas menjadi inti pembahasan. Sedangkan yang terkait dengan

segitiga bola akan dibahas lebih detil mulai pada pertemuan ke-12 sampai

pertemuan ke-15.

VIII.3.2. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Operasi dasar vektordan sistem koordinat vektor

Tidak mampu mengerjakan soal hitungan

Dapat mengerjakan sebagian soal hitungan

Dapat mengerjakan seluruh soal hitungan

Aplikasi vektor dalam geometri analitik




Aplikasi diferensial vektor




Geometri diferensial kurva dalam ruang




VIII.3.3. Tindak Lanjut


dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dibanding

dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2. Apabila dari

hasil evaluasi, mahasiswa yang mempunyai skor kurang dari 2 lebih dari lima

puluh persen dari jumlah mahasiswa, perlu direview terlebih dahulu materi

sebelum ujian tengah semester.

87

VIII.3.4. Sumber Pustaka


Boston.









88








November 2013

89

BAB IX

PERMUKAAN

IX.1. Pendahuluan

IX.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bagian ini akan didiskusikan tentang persamaan luasan, besaran

fundamental orde I, besaran fundamental orde II, kelengkungan normal, garis

kelengkungan, rumus Gauss.

IX.1.2. Manfaat

Mahasiswa akan dapat menjelaskan serta menghitung besaran-besaran

fundamental orde I dan orde II.

IX.1.3. Relevansi

Besaran fundamental orde I dan orde II sangat berguna bagi mahasiswa

dalam mempelajari bidang proyeksi peta. Besaran-besaran ini mendasari pada

diskusi tentang garis-garis lengkung pada bidang proyeksi yang digunakan dalam

pemetaan.

IX.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti kuliah pertemuan minggu ke-9, mahasiswa akan dapat:

1. Menghitung besaran fundamental orde I dan orde II pada suatu luasan.

2. Mengidentifikasi luasan sebagai suatu developable surface.

IX.2. Penyajian

IX.2.1. Luasan atau Permukaan dan Garis-garis Parameternya

90

a. Persamaan luasan

Luasan L dinyatakan dengan:

r = r (u,v) atau

= ( x(u,v), y(u,v), z(u,v))

dengan u dan v adalah parameter.

Bentuk skalarnya adalah:

x = x(u,v)

y = y(u,v)

z = z(u,v)

Parameter u= konstan, merupakan kurva pada luasan L yang disebut garis

parameter.

Jika u = konstan, dan v = konstan, maka u dan v merupakan pasangan garis

parameter (berupa jaringan).

Contoh:

R = (u,u2,v)

Berarti bahwa x = u ; y = u2 ; z = v

Eliminasi u dan v menghasilkan y = x2, yang grafiknya merupakan tabung

parabola.

Jika u = kostan, berarti x = konstan, dan y = konstan, grafik berupa garis lurus //

OZ (garis generator tabung).

Jika v = konstan, berarti z = konstan maka, grafik merupakan irisan dengan luasan

berupa parabola dengan bidang // XOY.

91

Untuk setiap pasang nilai (u,v) akan didapat suatu titik pada tabung. Misalnya

sepasang nilai (u,v) = (2,3), ini akan memberikan titik P (2,4,3) yang terletak pada

tabung.

IX.2.2. Besaran Fundamental Orde I

Perhatikan gambar berikut:

r = r (u,v)

r1 = r/u

r1 : merupakan derivatif parsial r ke u

dengan menganggap v konstan, jadi

r1 adalah vektor singgung pada garis

v = k.

r / v = r2, merupakan vektor

singgung pada garis.

Bidang singgung akan sejajar dengan

vektor r1 dan r2.

r = r (u,v)

dvv

rdu

u

rrd

= r1 du + r2 dv

Karena P dan Q adalah titik-titik yang berdekatan pada suatu kurva yang melalui

P dan Q, maka panjang busur (ds) yang menghubungkan P dan Q sama dengan l

dr l sehingga:

ds2 = dr . dr

= r1 . r1 du2 + 2 r1 . r2 + r2 . r2 dv2

ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv2 (I)

Persamaan tersebut disebut bangun atau persamaan fundamental orde I (bentuk

dasar pertama) dengan:

E = r1 . r1 ; F = r1 . r2 ; G = r2 . r2

u=c

v = k

r1

r2

T

Pdr

Qv+ dv

u + du

u

v

92

E, F, dan G disebut besaran fundamental pertama (I) dengan ditambah lagi

besaran H2 yaitu:

H2 = E G – F2

Yang ternyata bahwa besaran H = l r1 x r2 l.

Jika F = 0, maka garis parameter saling tegak lurus.

Contoh dalam R2 (bidang):

ds2 = dx2 + dy2

Dari pesamaan tersebut koefisian dx

dan dy masing-masing sama dengan

1 maka nilai dari besaran-besaran

fundamental I untuk E, F dan G

masing-masing adalah E = 1, F = 0

dan G = 1. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa garis-garis parameter

saling tegak lurus (ortogonal).

Contoh pada sistem koordinat kartesius miring:

Dalam koordinat kartesius miring

panjang garis antara dua titik dapat

diturunkan dari persamaan berikut:

ds2 = dx2 + 2 cos dx dy + dy2

Dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa nilai besaran fundamental pertama

adalah:

E = 1 ; F = cos ; G = 1

Sistem koordinat miring akan menjadi ortogonal jika nilai cos = 0.

Contoh dalam sistem koordinat polar:

Dalam sistem koordinat polar,

panjang garis antara dua titik dapat

diturunkan dari persamaan berikut:

ds2 = d2 + 2 d2

O X

Yx = 0

x = 1 x = 2

y = 0

y = 1

y = 2

x = 0 x = 1 x = 2

y = 0

y = 1

O

O

=1 =2 =3=0

=/6

93

Dengan demikian dapat dimengerti bahwa besaran fundametal pertama (I) adalah:

E = 1 ; F = 0 ; G = 2

Perpotongan antara garis parameter dan saling tegak lurus (ortogonal).

Pasangan du.dv, du/dv atau dv/du akan menentukan suatu arah pada luasan seperti

halnya dy/dx = m, adalah gradien suatu arah dalam sistim koordinat tegak dua

dimensi.

Sudut antara dua arah

Jika diketahui dua arah du, dv dan dvdu , berturut-turut menghasilkan dr

dan dr . Jika sudut antara kedua arah dan ds serta ds adalah elemen panjang

yang sesuai maka:

dvdvGdvdudvduFduduEdsds )( cos

Kedua arah akan saling tegak lurus jika bentuk tersebut bernilai sama dengan nol.

Vektor normal satuan dapat diperoleh sebagai berikut:

H

rxr

rxr

rxrn 21

21

21

IX.2.3. Besaran Fundamental Orde-II

Jika diketahui r = r (u,v), dapat disusun turunan kedua dari vektor r

sebagai berikut:

2

2

22

2

122

2

11 ; ; rv

rr

vu

rr

u

r

L = n . r11 ; M = n . r12 ; N = n . r22 ; T = LN – M2

L, M, dan N disebut besaran-besaran fundamental orde II, sedangkan bentuk

persamaan II adalah:

L du2 + 2 M du dv + N dv2 (II)

Bentuk II disebut bangun fundamental orde II atau bentuk dasar kedua.

94

Contoh:

Tentukan besaran fundamental orde I dan orde II pada luasan r = (a(s+t), b(s-t),

2st), dengan s, dan t adalah parameter.

Jawab:

Eliminasi s dan t menghasilkan (penjelasan eleminasi).

zb

y

a

x2

2

2

2

2

Mengacu pada persamaan hasil eliminasi s dan t maka dapat diketahui bahwa

luasan berupa parabolida hiperbolis. Garis parameter dapat ditentukan jika

dimisalkan s = c, kemudian dilakukan eliminasi parameter t akan diperoleh:

ca

xcz

cb

y

a

x

2

2

berupa garis lurus

Jika dimisalkan t = k kemudian dilakukan eliminasi parameter s akan diperoleh:

ka

x2kz

2kb

y

a

x

berupa garis lurus

)2,,(1 tbads

rdr

)2,,(2 sbadt

rdr

)0,0,0()2,,(2

2

11 tbass

rr

)2,0,0()2,,(2

12 sbasts

rr

)0,0,0()2,,(2

2

22 tbatt

rr

E = r1 . r1 = a2 + b2 + 4t2

F = r1 . r2 = a2 - b2 + 4st

G = r2 . r2 = a2 + b2 + 4s2

95

i j k

r1 x r2 = a b 2t

a -b 2s

n = 222222

21

21

)()(

))()((

sastastb

abstastb

rxr

rxr

L = n . r11 = 0

M = n . r12 = 222222 )()(

2

bastastb

ab

N = n . r22 = 0

Contoh 2:

Diketahui luasan putaran : x = u cos Q; y = u sin Q; z = f(Q). tentukan besaran dan

bangun fundamental orde I dan orde II.

Jawab:

r = r (u, Q) = (u cos Q, u sin Q, f(Q))

Garis parameter Q – c, menghasilkan

kurva pada bidang uz yang diputar

(perhatikan gambar disamping).

Garis parameter u = k, merupakan

lingkaran paralel lintasan suatu titik.

r1 = (cos Q, sin Q, 0)

r2 = (-u sin Q, u cos Q, f(Q))

r11 = (0, 0, 0)

r12 = (-sin Q, cos Q, 0) dan r22 = (-u cos Q, -u sin Q, F(Q))

E = 1; F = 0; G = u2 + (f”)2; H2 = u2 + (f’)2

n = H

uQfQf ),cos',sin'( ; L = 0; M = -f’/H; N = u f”/H (dQ2)

I = du2 + (u2 + f’2) dQ2

II = (-2 f’/H) du dQ + (u f” / H) dQ2

96

IX.3. Penutup

IX.3.1. Rangkuman


pengertian tentang besaran fundamental I, besaran fundamental II, kelengkungan

normal dan besaran Gauss.

IX.3.2. Tes Formatif

1. Diketahui persamaan luasan r= (5 sin cos φ, 5 sin cos φ, 5 cos)

dengan dan φ parameter. Tentukan besaran fundamental orde I dan orde

II.

2. Tentukanlah vektor-vektor normal satuan dan bentuk-bentuk dasar dari

luasan-luasan berikut:

a. r= (u+v, 1-uv, u-v)

b. r= (a cos u, a sin u, bv)

c. r= (u cos v, u sun v, f(u)+cv)

IX.33. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Besaran fundamental orde I pada suatu luasan




Besaran fundamental orde II pada suatu luasan




IX.3.4. Tindak Lanjut




2.

97

IX.3.5. Sumber Pustaka







98








November 2013

99

BAB X

KELENGKUNGAN NORMAL DAN SIFAT TITIK PADA LUASAN

X.1. Pendahuluan

X.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bagian ini akan didiskusikan tentang kelengkungan garis utama

Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan.

X.1.2. Manfaat

Mahasiswa akan dapat menjelaskan karakteristik garis-garis lengkung

pada suatu luasan yang berhubungan dengan matakuliah proyeksi peta.

X.1.3. Relevansi

Materi pada bab ini mendasari pada matakuliah yang berkaitan dengan

transformasi koordinat atau transformasi data ukuran dari bidang lengkung ke

bidang datar. Sebagai contoh data ukuran di permukaan bumi yang akan digambar

sebagai peta pada bidang datar maka diperlukan pengetahuan tentang karakteristik

titik, garis atau luasan pada bidang lengkung yang selanjutnya akan diproyeksikan

ke bidang lengkung atau bidang datar. Demikian pula sebaliknya perpindahan data

dari bidang datar (peta) ke bidang lengkung.

X.1.4. Learning Outcome


1. Menentukan sifat titik pada luasan berdasar nilai κ dan τ.

2. Menyelesaikan hitungan kelengkungan Gauss.

X.2. Penyajian

X.2.1. Kelengkungan Utama Gauss

Di suatu titik P(u,v) pada luasan akan tertentu oleh besaran-besaran:

r1, r2, E, F, G, H2, n, L, M, N, T2

Di suatu titik P(u,v) dengan arah (du,dv) akan tertentu oleh:

(I) = ds2dan (II)

100

Besaran E, F, G berbicara tentang ukuran pada permukaan dan tak berubah jika

luasan digulung. Besaran L, M, N dan vektor n, berbicara tentang ukuran di luar

permukaan, antara lain kelengkungan luasan yang tertentu saja bersama E, F, G,

r1, r2. Di suatu titik P (u,v) pada arah tertentu (du, dv) dapat dibuat bidang pengiris

normal, yaitu bidang melalui normal di P, sejajar (du,dv) yang mengiris luasan

menurut kurva irisan normal n.

n = kelengkungan n di P

Maka n diangkat menjadi

kelengkungan normal luasan di P

pada arah (du, dv)

Rumus:

22

22

2

2

)(

)(

dvGdudvFduE

dvNdudvMduL

I

IIn

Jika di satu titik P, pada arah du/dv

yang tertentu dibuat bidang normal N

dan bidang miring M yang

membentuk sudut dengan N maka

terdapat hubungan antara

kelengkungan irisan-irisan mereka

(n dan ).

Dalil Meusnier: n = cos

n = kelengkungan irisan normal

= kelengkungan irisan miring

X.2.2. Garis-garis Kelengkungan

Garis kelengkungan adalah kurva yang melalui garis-garis arah utama suatu

normal di suatu titik. Untuk mejelaskan tentang garis kelengkungan baiklah kita

tinjau titip P dan titik Q pada arah du/dv dari titi P.

Pada umumnya normal di titik P dan di Q tidak berpotongan (bersilangan). Tetapi

di setiap titik pada luasan

n

n

P

du,dv

101

terdapat dua arah yaitu (du/dv)1 dan

(du/dv)2 yang saling tegak lurus. Jadi

di titik P terdapat dua garis arah yaitu

(du/dv)1 dan (du/dv)2 yang saling

tegak lurus dan dan memotong

normal titik P. Seperti ditunjukan

pada gambar disamping, kedua arah

tersebut dinamai arah-arah utama.

Garis kurva yang bersesuaian dengan arah-arah utama disebut garis-garis

kelengkungan (1 dan 2).

Titik C1 dan C2 adalah pusat kelengkungan 1 dan 2 di titik P, maka PC1 = 1

dan PC2 = 2 disebut sebagai jari-jari kelengkungan 1 dan 2.

1 = 1/1 dan 2 = 1/2 disebut sebagai kelengkungan utama. (yang ternyata

sama dengan n pada arah-arah utama)

Bentuk umum dari kelengkungan utama adalah:

NML

GFE

dududvdv

22 = 0

Rumus kelengkungan utama:

H2 2 – (EN – 2 FM + GL) + T2 = 0

Yang menghasilkan akar-akar 1 dan 2.

J = 1 + 2 = 1/H2 (EN – 2 FM + GL) disebut kelengkunan pertama.

K = 1 2 = T2/ H2 disebut kelengkungan Gauss atau kelengkukngan kedua.

Ternyata bahwa 1 dan 2 ini merupakan n yang maksimum dan minimum bila

ditinjau semua n pd arah-arah yang variabel.

Tinjau n irisan normal pada satu

arah.

1 = sudut yang dibentuk oleh n

dengan 1 (1 memuat 1).

2 = sudut yang dibentuk oleh n

dengan 2 (2 memuat 2).

C1

C2

1

2

1

2

du/dv1

du/dv2

P

1

2

1

2

n

102

Dalil Euler: n = 1 Cos2 + 2 Cos2

X.2.3. Sifat Titik pada Luasan

Jika di suatu titik P:

K > 0 (1, 2 sama tandanya), titik P disebut (pada) eliptis.

K = 0 (1, 2 salah satu = 0), titik P disebut (pada) parabolis.

K < 0 (1, 2 berlainan tanda), titik P disebut (pada) hiperbolis.

Untuk melihat kelengkungan dan sifat titik dapat juga ditinjau dari irisannya

dengan bidang sejajar dan dekat dengan bidang singgung. Irisan tersebut

dinamakan indikator Dupin.

Indikator Dupin:

0 12

2

1

2

KuntukYX

Y2 = 1 untuk K = 0, 1 = 0

X2 = 1 untuk K = 0 dengan 2 = 0

X = sumbu searah 1

P

21

Eliptis

P

Parabolis

P

Hiperbolis

103

Y = sumbu searah 2

Jadi untuk K = 0, indikator berupa parabola (terurai), K > 0, indikator berupa elips

dan K < 0 , indikator berupa hiperbola.

Jika J = 0 (J = 0 di setiap titik pada luasan) maka luasan disebut minimal.

Jika K = 0 (T2 = 0 di setiap titik pada luasan) maka luasannya developable (dapat

dijerang, dihimpitkan dengan bidang datar).

Developable surface yang terkenal adalah bidang tabung dan bidang kerucut.

Bidang-bidang inilah yang biasa digunakan sebagai bidang proyeksi dalam ilmu

kartografi dan proyeksi peta.

Contoh:

1. Diketahui luasan x = u cos ; y

2. = u sin ; z = 1 – u2. Apa macam luasannya? Di titik u = 1; = /4, hitung

J dan K, kemudian tentukan indikator Dupinnya.

Jawab:

Eliminasi u dan , menghasilkan x2 + y2 + z = 1, persamaan ini merupakan

paraboloida putaran dengan puncak (0,0,1) dan OZ sebagai sumbu putar.

Pilih u sebagai parameter pertama sehinga r = r (u,) = (u cos , u sin , 1-

u2).

Sesudah dihitung diperoleh:

E = 1 + 4u2

24u1

1 ,sin2 ,cos2

uun

F = 0

G = u2

H2 = u2 (1+4u2)

241

2

uL

M = 0

2

2

41

2

u

uN

2

22

41

4

u

uT

eliptis titik semua 0)41(

4222

2

uH

TK

Rumus kelengkungan utama adalah:

104

= H2 2 – (EN – 2FM + GL) + T2 = 0

Di titik P (1, /4), diperoleh:

E = 5 ; F = 0 ; G = 1 ; H2 = 5 ;

5

2L

M = 0 ;5

2N ;

5

42 T

Sehingga persamaan menjadi:

05

4

5

125 2 atau 0

25

4

55

122 penyelesaan

persamaan kuadrat.

055

2

5

2

;

55

2 ;

5

221

25

4T 5

25

122

2

2151 H

KJ

2

551 ;

2

51

22

11

Indikator Dupin (K 0) adalah:

55210atau 1 22

255

2

25

2

yxyx

Persamaan tersebut merupakan elips dengan perbandingan sumbu panjang dan

sumbu pendek 5 : 1.

3. Diketahui luasan r = r (u,v) = (a (u + v). b (u – v). uv). Apa macam

luasannya? Tentukan J dan K.

Jawab: Luasan

X = a (u + v)

Y = b (u – v)

Z = uv

(x/a)2 = u2 + 2uv + v2

(y/b)2 = u2 – 2uv + v2

X

YZ

105

--------------------------- -

zuvb

y

a

x4 4

2

2

2

2

Jadi persamaan tanpa parameter adalah: zb

y

a

x4

2

2

2

2

adalah suatu parabola

hiperbolis. Setelah dihitung didapat:

E = a2 + b2 + v2

F = a2 - b2 + uv ; G = a2 + b2 + u2

H2 = b2 (u + v)2 +a2 (v – u)2 + 4 a2 b2

L = 0 ;H

abM

2 ; N = 0 ;

2

222 4

H

baT

2

22 )(4

H

uvbaabJ

;

hiperbolistitiksetiapH

baK 0

44

22

4. Tentukan titik yang eliptis, parabolis dan yang hiperbolis pada:

Torus: x = u cos Q

y = u sin Q

0 );( )( 22 ucacuaz

Didapat dengan memutar lingkaran (u – c )2 + z2 = a2 sekeliling sumbu OZ.

)( ,sin ,cos(),( 22 cuaQuQuQurr )

Jika disingkat z = (f(u) = 22 )( cua dipilih yang positif. Maka:

E = 1 + f12

Z

ua

U

c

106

F = 0

G = u2

H = u2 (1 + f12)

H

) ,sin ,cos( 11 uQufQufn

H

ufL 11

0M

H

fuN 1

2

2111

32

H

ffuT

221

111

)1( fu

ffK

Dengan:

221)(

)(

cua

cu

u

ff

2/322

2

11)( cua

af

Didapat:

2

2)(

ua

acuK

Untuk u > 0 maka:

K > 0 (eliptis) jika u > c.

K = 0 (parabolis) jika u = c.

K < 0 (hiperbolis) jika u < c.

X.2.4. Rumus Gauss

Jika suatu titik P terletak pada suatu luasan, maka dari titik tersebut dapat

diambil 3 vektor yaitu vektor-vektor r1, r2 dan n yang independen linier sebagai

u = c

u > c

u < c

u = c

u > c

u < c

107

basis, dan semua vektor di P dapat dinyatakan dengan basis tersebut. Pada diskusi

sebelumnya telah diketahui hubungan antara vektor r1, r2 dengan besaran-besaran

fundamental pertama. Hubungan tersebut adalah:

E = r1 . r1 E1 = 2 r1 . r11 E2 = 2 r1 . r12

F = r1 . r2 F1 = r1 . r12 + r2 . r11 F2 = r1 . r22 + r2 . r12

G = r2 . r2 G1 = 2 r2 . r12 G2 = 2 r2 . r22

Ternyata r11, r12 dan r22 dapat dinyatakan dengan n, r1, r2 sebagai berikut:

Rumus Gauss:

r11 = L n + l r1 + r2

1)

r12 = M n + m r1 + µ r2 2)

r22 = N n + n r1 + r2

3)

Terdapat 6 parameter yang harus dicari yaitu l , m, n, , µ, dan , sebagai

penjelasan ditunjukan dengan contoh berikut:

Persamaan 1) diproses dengan perkalian titik dengan r1 akan diperoleh:

½ E1 = 0 + l E + F

Persamaan 2) diproses dengan perkalian titik dengan r2 akan diperoleh:

F1 – ½ E2 = 0 + l F + G

Selanjutnya:

l = (1/2H2)(GE1 – 2 FF1 + FF2)

= (1/2H2)(2 EF1 – EF2 – FE1)

Dengan cara yang sama diperoleh:

m = (1/2H2)(GE2 – FG1)

µ = (1/2H2)(EG1 – FE2)

n = (1/2H2)(2GE2 – GG1 – FG2)

= (1/2H2)(EG2 – 2FF2 + FG1

108

X.3. Penutup

X.3.1. Rangkuman


pengertian tentang kelengkungan garis utama Gauss serta sifat-sifat titik pada

luasan.

X.3.2. Tes Formatif

1. Diketahui persamaan luasan r= (5 sin cos φ, 5 sin cos φ, 5 cos)

dengan dan φ parameter. Tentukan kelengkungan Gauss (κ). Dari nilai κ,

selidiki di titik mana luasan bersifat eliptis, parabolis dan hiperbolis.

X.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Sifat titik pada luasanberdasar nilai κ dan τ

Tidak mampu menentukan sifat luasan

Mampumenentukan sebagian sifat luasan

Mampumenentukan seluruh sifat luasan

Kelengkungan Gauss Tidak mampu melakukan hitungan



X.3.4. Tindak Lanjut

Bagi mahasiswa yang termasuk dalam katagori engan nilai skor kurang



2.

X.3.5. Sumber Pustaka







109








November 2013

110

BAB XI

PENGERTIAN DAN TERBENTUKNYA SEGITIGA BOLA

XI.1. Pendahuluan


tentang ukuran ukuran di atas bidang sferis khususnya pengertian segitiga bola,

penjelasan tentang terbentuknya segitiga bola dan identifikasi posisi sebuah titik

dalam sistem koordinat bola.

XI.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bab XII, akan dibahas materi tentang pengertian dan terbentuknya

segitiga bola, istilah-istilah dalam segitiga bola meliputi lingkaran kecil, lingkaran

besar, paralel, meridian, lintang, bujur, ekses sferis, jarak sferis dan sudut sferis.

XI.1.2. Manfaat

Mahasiswa dapat memahami unsur-unsur bola bumi serta dapat

menggambar posisi titik-titik di atas bola bumi dan menghitung jarak sferis titik-

titik di atas bola bumi ( bidang lengkung).

XI.1.3. Relevansi

Bab XII ini mempunyai maksud memperkenalkan mahasiswa tentang

konsep dasar posisi suatu titik di atas bola bumi (permukaan bumi tidak dianggap

sebagai bidang datar tetapi bidang lengkung) dan unsur-unsur yang terbentuk pada

segitiga bola untuk proses hitungan selanjutnya, misalnya pada kuliah geodesi

satelit, survei GNSS.

XI.1.4. Learning Outcome


1. Menjelaskan tentang pengertian bola bumi dan segitiga bola.

2. Menjelaskan unsur-unsur pada bola bumi.

3. Menjelaskan posisi titik-titik di atas bola bumi.

4. Menghitung jarak sferis di atas bola bumi.

111

XI.2. Penyajian

XI.2.1. ILMU UKUR SEGITIGA BOLA

Definisi dan Istilah

Bola (permukaan bola) adalah tempat kedudukan titik-titik (dalam ruang)

yang berjarak sama (tetap) terhadap titik yang tetap.

P : titik tetap (titik pusat bola)

R1 : titik di permukaan bola

R : jari-jari bola

Beberapa definisi pada bola:

- Lingkaran besar (L) : irisan diantara bola dengan bidang datar yang

melalui pusat bola.

- Lingkaran kecil (l) : irisan diantara bola dengan bidang datar yang

tidak melalui pusat bola.

- Kutub (Ku dan Ks) : dua titik tembus (potong) diantara bola dengan

diameter bola yang tegak lurus bidang yang memuat lingkaran tersebut.

- Titik lawan : bila titik A dihubungkan dengan P dan garis AP

diperpanjang sampai memotong(menembus) bola di B, maka B disebut

titik lawan A dan sebaliknya.

- Meridian A : irisan diantara bola dengan bidang vertikal yang

melalui Ku dan KS dan A. Bila bidang vertikal melalui Greenwich, Ku

dan Ks maka irisan bidang tersebut dengan bola disebut ”Prime meridian

atau meridian nol”.

- Equator : irisan diantara bola dengan bidang horizontal

yang melalui P (pusat bola). Equator tegaklurus meridian.

P

R1

R

112

- Paralel : irisan diantara bola dengan bidang horizontal

yang tidak melalui pusat bola, dan berjarak < r dari pusat bola.

- Lintang A (Latitude A) : jarak sudut A yang diukur dari equator dihitung

sepanjang meridian A.

- Secara umum Lintang Utara (LU) = + 0˚ s.d 90˚, Lintang Selatan (LS)= -

0˚ s.d -90˚

- Bujur A ( Longitude A) : sudut di salah satu kutub antara meridian A

tersebut dengan meridian nol.

- Secara umum Bujur Timur (BT) = + 0˚ s.d 180˚,Bujur Barat (BB) = - 0˚

s.d -180˚.

Lintang dan Bujur pada Bola (Djawahir 2009)

- Jarak sferis dan sudut sferis

Melalui dua titik A dan B pada bola dapat dibuat satu lingkaran besar.

A

φA

λA

113

Panjang busur dari A ke B dalam arah panah dinamakan jarak sferis dari

A ke B. Jadi Jarak sferis adalah jarak terpendek pada permukaan bola dari

A ke B.

Panjang busur AB (jarak sferis) dinyatakan dalam derajat (radial) dan

sama dengan besar sudut APB. Jadi panjang busur selalu lebih kecil dari

180˚atau T radial.

Sedangkan yang dimaksud dengan sudut

sferis adalah sudut di antara dua lingkaran

besar, yaitu sudut di antara garis singgung

pada masing-masing lingkaran besar di

titik potongnya.

Sudut sferis APB dibentuk oleh lingkaran

besar A dan B yang berpotongan di P.

- Ekses sferis

"01sin2"

R

LABC =

2

206265

R

xLABC

Catatan : R = 6.372.160 m

B

Lingkaran besar melalui A dan B.AB < 180˚

A θ<180˚

P

B

A

C

βα

γ

α + β + γ = 180˚+Σ

O

P

A BC

p

114

1/sin 01” = ρ” = 206265 → 1˚ = 111 km

XI.2.2 Terbentuknya Segitiga Bola

Segitiga bola ialah segitiga pada permukaan bola yang dibentuk dengan

cara menghubungkan tiga titik pada permukaan bola dengan busur lingkaran

besar. Jadi sisi-sisi segitiga bola ialah segmen-segmen busur lingkaran besar. Pada

gambar berikut ini, titik-titik A, B, dan C adalah titik-titik pada permukaan bola,

sedangkan AB, AC, dan BC adalah segmen-segmen busur lingkaran besar.

Unsur-unsur segitiga bola terdiri dari tiga sudut dan tiga sisi. Pada gambar

segitiga bola ABC tersebut, unsur-unsur segitiga bola ialah sudut-sudut , , dan

sisi-sisi a, b, c. Berbeda dengan segitiga datar yang jumlah ketiga sudutnya 180

derajat, jumlah ketiga sudut dalam segitiga bola ialah 180 derajat ditambah ekses

sferis.

XI.3. Penutup

XI.3.1. Rangkuman


pengertian tentang terbentuknya segitiga bola, istilah-istilah dalam segitiga bola

Gambar segitiga bola ABC

O

A

B

C

A

B

C

ab

c

115

meliputi lingkaran kecil, lingkaran besar, paralel, meridian, lintang, bujur, ekses

sferis, jarak sferis dan sudut sferis.

XI.3.2. Tes Formatif

1. Gambarkan posisi titik- titik berikut pada bola bumi:

a. A (20° LU; 45° BT)

b. B (45° LU; 120° BT)

c. C (30° LS; 75 ° BB)

d. D (45° LS; 100° BB)

2. Kota P dan kota Q terletak di ekuator, kota P pada Bujur 30° T sedangkan

kota Q berada pada 115° BT, berapakah jarak sferis kota P ke kota Q. Jika

1° jarak sferis sama dengan 111 km, berapa kilometerkah jarak kedua kota

tersebut.

3. Kota X dan Y terletak pada bujur yang sama, kota X pada Lintang 15°30’

Utara sedangkan kota Y pada Lintang 25°40’ Selatan. Hitunglah jarak

sferis kota X ke kota Y dalam satuan kilometer.

XI.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Pengertian bola bumi dan segitiga bola




Unsur-unsur pada bola bumi



Dapat menjelaskan secara benar dengan gambar

Posisi titik di atas bola bumi

Tidak dapat menggambarkan

Dapat menggambarkansebagian

Dapat menggambarkan dengan baik dan benar

Jarak sferis Tidak dapat menghitung jarak sferis titik-titik di atas bola bumi

Dapat menghitung sebagian

dapat menghitung dengan cepat dan tepat

116

XI.3.4. Tindak Lanjut




2.

XI.3.5. Sumber Pustaka

Ayres, F. Jr., 1954, Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry,

Schaum’s Outline Series, Schaum Publishing Co., NewYork, USA.

Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books.



Todhunter, M.A.F.R.S, 1878, Spherical Trigonometry with Numerous Examples,

Macmillan and Co., London, on-line version from

www.forgottenbooks.com.

117








November 2013

118

BAB XII

GEOMETRI SEGITIGA BOLA

XII.1. 1. Deskripsi Singkat

Pada bagian ini akan dibahas mengenai geometri segitiga bola pada sub

bahasan syarat segitiga bola dan jenis-jenis segitiga bola.

XII.1.2. Manfaat

Mendasari pada matakuliah penentuan posisi di permukaan bumi dengan

metode astronomi ataupun teknologi ruang angkasa.

XII.1.3. Relevansi

Dengan teknologi satelit penentuan posisi di permukaan bumi menjadi

semakin cepat, namun demikian untuk mempelajari penentuan posisi dengan

teknologi satelit memerlukan dasar-dasar matematika khususnya segitiga bola.

Bagian ini mendasari juga pada pelajaran transformasi koordinat dari sistem

kuvilinier ke sistem kartesi atau sebaliknya.

XII.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti kuliah pertemuan ke-12 mahasiswa akan dapat:

a. Menjelaskan syarat hitungan pada segitiga bola.

b. Mengidentifikasi dan membedakan macam-macam segitiga bola

c. Dapat menggambarkan secara grafis tentang jenis-jenis segitiga bola pada

bola langit.

XII .2. Penyajian

Segitiga Bola

Bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh ketiga buah lingkaran

besar yang berpotongan satu sama lain.

119

Syarat segitiga bola:

1. α + β + γ = 180˚ + Σ; Σ: ekses sferis

2. 180˚ < α + β + γ < 540˚

3. 0˚< a + b + c < 360˚

4. a < b + c ; b < c + a ; c < a + b dan α < β + γ ; β < γ + α ; γ < α + β

5. a > b → α > β ; a > c → α > γ ; c > b → γ > β

6. a = b → α = β ; a = c → α = γ ; c > b → γ = β

7.a ≠ b → α ≠ β ; a ≠ c → α ≠ γ ; c ≠ b → γ ≠ β

8. a, b, c, α, β, γ masing-masing < 180˚

Macam-macam segitiga bola:

1. Segitiga bola lawan

A

C

βα

γ

B

ab

c

KS

KU

TB

L1

L2

L3

A B

CP

ekuator

P

A

C

Ba

cb

a

b

c

Sudut bidang tiga P.ABC

120

2. Segitiga bola samping

3. Segitiga bola siku-siku

4. Segitiga bola kutub

5. Segitiga bola kwadran

6. Segitiga bola sembarang

1. Segitiga bola lawan

Tiga buah lingkaran besar L1, L2, L3 yang berpotongan satu sama lain,

mempunyai 6 titik potong: A, B, C dan A1, B1, C1. membentuk A1B1C1

yang disebut sebagai segitiga lawan dari ABC dan sebaliknya.

Titik A1 adalah titik lawan A dan sebaliknya, titik B1 adalah titik lawan B dan

sebaliknya, titik C1 adalah titik lawan C dan sebaliknya. Hubungan segitiga

ABC dan segitiga A1B1C1 adalah:

a = a1 ; α = α1 ; b = b1 ; β = β1 ; c = c1 ; γ = γ1

L1

L2

L3

KU

KS

T

B

C

B

AP

C1

B1

A1

c1

b1

a1 c

ba

Segitiga lawan

A

B

C

c

b

a

Sudut sferis

Jarak sferis

C1

B1

A1

c1

b1

a1

1

1

1

121

2. Segitiga bola samping

Segitiga bola AKsB merupakan segitiga bola samping ABC:

o sisi-sisi : 180˚ - a, 180˚ - b, Ku

o sudut-sudut: 180˚ - α, 180˚ - β, KS

Segitiga bola BA’Ku merupakan segitiga bola samping ABC:

o sisi-sisi: 180˚ - Ku, 180˚ - b, a

o sudut-sudut: 180˚ - KU, 180˚ - β, α

Segitiga bola AB’Ku merupakan segitiga bola samping ABC:

o sisi-sisi : 180˚ - Ku, 180˚ - a, b

o sudut-sudut: 180˚ - KU, 180˚ - α, β

XII.3. Penutup

XII.3.1.Rangkuman


tentang rumus-rumus segitiga bola, jenis-jenis segitiga bola, syarat-syarat dan

aturan pada segitiga bola serta contoh penyelesaian beberapa kasus.

L2

KU

T

B’

B

A

A’

ku

b

a

L1

180 -

180

-a

180

-b

180 -

Segitiga bola ABC = segitiga bola ABKu

Segitiga bola AKsB = segitiga bola samping ABC

122

XII.3.2.Tes Formatif

1. Jelaskan perbedaan antara segitiga bidang datar dengan segitiga bola

2. Jelaskan syarat-syarat agar terpenuhi apa yang disebut sebagai segitiga bola

3. Gambarkan segitiga bola samping dan segitiga bola lawan pada bola langit.

XII.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Identifikasi perbedaan segitiga bidang datar dan segitiga bola

Tidak dapat mengidentifikasi dan membedakan

Dapat mengidentifikasi dan membedakan sebagian

Dapat mengidentifikasi dan membedakan seluruhnya

Identifikasi jenis segitiga bola




Gambar grafis jenis segitiga bola

Tidak dapat mengambar

Dapat menggambar sebagian

Dapat menggambar seluruh jenis

XII.3.4. Tindak Lanjut




2.

XII.3.5. Sumber Pustaka






123








November 2013

124

BAB XIII:GEOMETRI SEGITIGA BOLA

(LANJUTAN)

XIII.1. Pendahuluan

XIII.1. 1. Deskripsi singkat

Pada bab ini akan dibahas tentang segitiga bola siku-siku, segitiga bola

kutub, segitiga bola sembarang dan kwadranserta contoh penyelesaian beberapa

kasus.

XIII.1.2. Manfaat Mendasari pada matakuliah penentuan posisi di permukaan bumi dengan

metode astronomi ataupun teknologi ruang angkasa.

XIII.1.3. Relevansi,

. Dengan teknologi satelit penentuan posisi di permukaan bumi menjadi

semakin cepat, namun demikian untuk mempelajari penentuan posisi dengan

teknologi satelit memerlukan dasar-dasar matematika khususnya segitiga bola.

Bagian ini mendasari juga pada pelajaran transformasi koordinat dari sistem

kuvilinier ke sistem kartesi atau sebaliknya

XIII.1.4. Learning outcame :


menyelesaikan hitungan segitiga bola siku-siku, segitiga bola kutub, segitiga bola

sembarang dan kwadran

XIII.2. PenyajianSegitiga bola siku-siku

O

A

ca

b

B

Cc

a

b

D90

E

90 90

90 90

125

adalah segitiga bola yang hanya mempunyai satu sudut yang besarnya 90˚.

Segitiga siku-siku:

O : pusat bola berjari-jari 1 (satu unit radius)

O : titik puncak dari sudut bidang tiga O ABC

ABC ; segitiga bola siku-siku di C dan a < 90˚, b < 90˚.

Melalui A dibuat bidang tegak lurus OB,atau melalui A dibuat bidang ADE

tegak lurus OB, memotong OB di E dan OC di D.

Dengan mengacu rumus-rumus pada segitiga bidang datar, diperoleh:

DA/OA = sin b atau DA/1 = sin b

EA/OA = sin c atau EA/1 = sin c

OE/OA = cos c atau OE/1 = cos c

OD/OA = cos b atau OD/1 = cos b

Dari segitiga datar OED:

tan a = ED/OE atau ED = OE x tg a

Dari persamaan tersebut OE = cos c, sehingga ED = cos c tan a

dst...(rumus-rumus yang lain dapat dijabarkan sendiri).

ATURAN NAPIER dari segitiga bola ABC

1. sin a = sin A sin c

Bagian TENGAH

Bagian SAMPING

Bagian SAMPING

Bagian LAWAN

Bagian LAWAN

a

b

Co-A

Co-c

Co-B

Co-A

Co-B

Co-c

C

b

a

90

126

2. tan a = tan A sin c

3. tan a = cos B tan c

4. cos c = cos b cos a

5. cos A = sin B cos a

6. sin b = sin B sin c

7. tan b = tan B sin a

8. tan b = cos A tan c

9. cos c = cot A cot B

10. cos B = sin A cos b

Rumus yang dipilih:

Pilih rumus yang mengandung 2 unsur yang sudah diberikan dan 1 unsur

yang ditanyakan.

a. sin (bagian TENGAH ) = cos (bagian LAWAN ) x cos (bagian

LAWAN)

b. sin (bagian TENGAH) = tan (bagian SAMPING) x tan (bagian

SAMPING)

c. sin b = tan a x tan Co-A;

sin b = tan a cot A;

tan a = tan A sin b

sin(1 bagian TENGAH) = tan (1 bagian SAMPING) x tan (1

bagian LAWAN)

d. sin (b) = cos (Co-B) x cos (Co-c)

sin b = sin B sin c

sin (1 bagian TENGAH) = cos (1 bagian LAWAN) x cos (1

bagian LAWAN)

Urutan kerja dalam penyelesaian segitiga bola siku adalah sbb:

a. Buat sketsa/gambar segitiga bola siku dan diberi notasi seperlunya,

unsur-unsur yang diketahui diberi tanda misalnya dengan lingkaran.

b. Tulis rumus untuk unsur-unsur yang tak diketahui dengan ketentuan-

ketentuan Napier. Tiap rumus mengandung dua unsur yang diketahui

dan mengandung satu unsur yang ditanyakan.

127

c. Tulis rumus untuk unsur-unsur yang tak diketahui dengan ketentuan

Napier untuk ceking.

d. Hitungan dapat dilakukan dengan kalkulator.

Hukum Kwadran

a. Bila A < 90 dan C < 90, maka a, b, B < 90

Bila C < 90 dan a < 90 , maka b, B > 90 dan A < 90

b. Bila A > 90 dan C < 90, maka a, b, B > 90

Bila C > 90 dan a > 90, maka b, B < 90 dan A > 90

Contoh 1:

Diketahui: ABC siku-siku di C ; A = 650 ; B = 1180

Hitung: a, b, dan c

Jawab:

a) Mencari a: Mencari b:

sin Co-A = cos a cos Co-B sin Co-B = cos Co-A cos b

cos a = cos A cosec B cos b = cos B cosec A

a = arc cos (cos A cosec B) a = arc cos ( cos B cosec A

b) Mencari c

sin Co-c = tan Co-B tan Co-A

cos c = cot B cot A

c = arc cos (cot B cot A)

c) Ceking

sin Co-c = cos a cos b

LATIHAN:

Co-A

Co-B

Co-c

90 C

a

bCo-A

Co-B

Co-c ?

a ?

b ?

128

1. Diketahui segitiga bola siku-siku di C, a = 45˚; b = 30˚, hitung A, B, c!

2. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan a = 66˚59’31” ; b =

156˚34’19”!

3. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan a = 60˚ ; b = 30˚!

4. Selesaikan sebuah segitiga bola siku-siku di C dan A = 45˚ ; c = 60˚!

Segitiga bola kutub

Kutub-kutub dari sebuah lingkaran besar adalah titik-titik tembus dari

garis tegak lurus lingkaran melalui pusatnya, pada bidang permukaan bola.

Sebuah segitiga ABC mempunyai segitiga kutubnya yang terbentuk dengan

jalan membuat segitiga bola yang sisi-sisinya adalah lingkaran-lingkaran besar

yang berkutub di A, B, dan C.

- Ak adalah kutub dari lingkaran besar BC, yang terletak sepihak dengan A

terhadap BC.

- Bk adalah kutub dari lingkaran besar AC, yang terletak sepihak dengan B

terhadap AC.

- Ck adalah kutub dari lingkaran besar AB, yang terletak sepihak dengan C

terhadap AB.

- Segitiga bola AkBkCk, dinamakan segitiga bola kutub dari segitiga bola

ABC.

- Segitiga bola ABC, dinamakan segitiga bola kutub dari segitiga bola

AkBkCk.

Ak

Bk

Ck

akbk

ck

C

BAc

ba

129

Ak = 180˚ - a = αk A = 180˚ - ak = α

Bk = 180˚ - b = βk B = 180˚ - bk = β

Ck = 180˚ - c = γk C = 180˚ - ck = γ

Segitiga bola kwadran

Adalah segitiga bola yang hanya mempunyai satu sisi yang besarnya 90˚.

Segitiga kutub dari segitiga kwadran adalah segitiga siku-siku, oleh karena itu

unsur-unsur dari segitiga kwadran dapat ditentukan dengan menggunakan rumus

segitiga siku-siku pada segitiga kutubnya.

Segitiga bola sembarang (oblique)

Adalah segitiga bola yang tidak mengandung keistimewaan. Segitiga bola

sembarang dapat terbentuk dari:

- tiga sisi yang diketahui,

- tiga sudut yang diketahui,

- dua sisi dan satu sudut yang diapitnya,

- dua sudut dan satu sisi yang diapitnya,

- dua sisi dan satu sudut di muka salah satu sisinya, atau

- dua sudut dan satu sisi di muka salah satu sudutnya.

Adapun rumus-rumus yang berlaku:

1. Rumus sinus:

C

c

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin

sin

sin

2. Rumus cosines untuk sisi:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

3. Rumus cosines untuk sudut:

130

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a

cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos C

4. Rumus ½ sudut:

)sin(

tantan 2

1

aS

rA

)sin(

tantan 2

1

bS

rB

)sin(

tantan 2

1

cS

rC

S = (a + b + c)/2

S

cSbSaSr

sin

)sin()sin()sin(tan

5. Rumus ½ sisi:

)cos(

tancot 2

1

AS

Ra

)cos(

tancot 2

1

BS

Rb

)cos(

tancot 2

1

CS

Rc

S = (A + B + C)/2

S

CSBSASR

cos

)cos()cos()cos(tan

6. Gauss or Delambre’s analogies:

cSin

baSin

CCos

BA

21

21

21

21 )()(sin

cSin

baSin

CSin

BACos

21

21

21

21 )()(

cCos

baCos

CCos

BASin

21

21

21

21 )()(

131

cCos

baCos

CSin

BACos

21

21

21

21 )()(

7. Napier’s analogies:

)(

)()(

21

21

21

21

baSin

baSin

CCot

BATan

)(

)()(

21

21

21

21

baCos

baCos

CCot

BATan

)(

)()(

21

21

21

21

BASin

BASin

CTan

baTan

)(

)()(

21

21

21

21

BACos

BACos

CTan

baTan

XIII.3. Penutup

XIII.3.2.Tes formatif

1. Diketahui segitiga bola ABC, a = 1210 18,4’; b = 1040 54,7’; c = 650 42,5’.

Hitung besaran A,B, dan C menggunakan rumus ½ sudut.

2. Dketahui segitiga bola ABC, A = 1170 22,8’; B = 720 38,6’; C = 580 21,2’.

Tentukan a,b dan c. (menggunakan rumus ½ sisi).

3. Diketahui segitiga ABC, a = 1060 25,3’; B = 420 16,7’; c = 1140 53,2’.

Tentukan A, C, dan b. (menggunakan Napier’s analogies).

4. Diketahui segitiga ABC, A = 480 44,6’; B = 600 42,6’; c = 760 22,4’.

Tentukan a, b, dan C. (menggunakan Napier’s analogies).

5. Diketahui segitiga ABC, a = 480 44,6’; c = 600 42,2’; A = 760 22,4’.

Tentukan C, B dan b.

6. Diketahui segitiga ABC, A = 350 52,5’; B = 560 10,7’; a = 400 38,8’.

Tentukan c, C dan b.

XIII.3.3. Petunjuk Penilaian dan umpan balik

Kriteria Skor

132

0 1 2Identifikasi perbedaan segitiga bidang datar dan segitiga bola




Identifikasi jenis segitiga bola




Mampu melakukan hitungan pada semua kasus segitiga bola


Dapat melakukan hitungan sebagian kasus

Dapat melakukan hitungan semua kasus

XIII.3.4. Tindak lanjut


dari 2 dianjurkan untuk membaca sumber pustaka terkait lebih intensif dianding

dengan kelompok mahasiswa yang memiliki katagori dengan skor 2

XIII.3.5. Sumber Pustaka:





Fakultas Teknik UGM, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADAFAKULTAS TEKNIKJURUSAN TEKNIK GEODESI

133

Jalan Grafika No. 2, Sendowo, Yogyakarta

Buku 2 : RKPM(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-14&15 )






November 2013

BAB XIV

APLIKASI SEGITIGA BOLA

134

XV.1. Pendahuluan

Pada bagian ini diberikan penjelasan dan contoh-contoh aplikasi ilmu

ukur segitiga bola dalam kaitannya untuk penentuan posisi titik-titik di atas bumi

dan segitiga bola untuk astronomis.

XV.1.1. Deskripsi Singkat

Pada bab XV, akan dibahas materi tentang: sistem koordinat geografik,

hitungan jarak dan sudut arah pada great circle sailing, pemanfaatan ilmu ukur

segitiga bola untuk penentuan arah kiblat, dan segitiga bola astronomis untuk

penentuan asimut matahari.

XV.1.2. Manfaat

Mahasiswa dapat menerapkan rumus-rumus pada segitiga bola untuk

aplikasi-aplikasi yang terkait, misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan

arah (contoh arah kiblat), perhitungan segitiga bola astronomis, dan perhitungan

asimut matahari.

XV.1.3. Relevansi

Bab XV ini mempunyai maksud menunjukkan kepada mahasiswa

penerapan rumus-rumus segitiga bola untuk keperluan praktis maupun keterkaitan

dengan matakuliah yang lain misalnya Geodesi Satelit (segitiga bola astronomis),

Ukur Tanah, Survei Topografi (penentuan asimut matahari).

XV.1.4. Learning Outcome


1. Menjelaskan tentang sistem koordinat geografis.

2. Meghitung jarak dan sudut arah pada great circle sailing.

3. Menjelaskan aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan arah kiblat.

4. Menjelaskan aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan asimut

matahari.

135

XV.2. Penyajian

Banyak pemakai ilmu ukur segitiga bola di bidang perhitungan waktu dan

jarak-jarak sudut (angular distance). Waktu dan jarak sudut biasanya berdasar

pada benda-benda angkasa yang dianggap terletak pada bola angkasa (celestial

sphere) atau di permukaan bumi (terrestrial). Dalam perhitungan-perhitungan

yang memakai ilmu ukur segitiga bola, maka bumi dianggap berbentuk bola

sehingga jarak antara dua titik diperhitungkan sepanjang lingkaran besar. Di

bidang perhitungan waktu, didasarkan adanya rotasi bumi pada porosnya sekali

setiap hari, yang merupakan dasar satuan waktu.

XV.2.1 Sistem Koordinat Geografik

Untuk mengidentifikasi posisi titik di bumi atau yang terkait dengan bumi,

dikembangkanlah Sistem Koordinat Geografik dengan mendefinisikan bentuk

bumi berupa bola (globe) dengan dimensi mendekati ukuran bumi yang

Gambar Sistem Koordinat GeografikSumber: http://homer.ugdsb.on.ca/

hP

O

Ekuator

Meridian P

Meridian Greenwich

Ku

P

P

P

XQ

136

sesungguhnya (jari-jari bumi R ≈ 6378 kilometer). Sebagai origin sistem

koordinat biasanya diambil titik pusat bumi (geosentrik) (dirangkum dari bahan

pelatihan penentuan arah kiblat oleh Djawahir, 2012).

Dalam sistem koordinat ini kedudukan suatu titik (P) dinyatakan dengan tiga

komponen koordinat (lihat gambar di atas):

a. Lintang geografik (sering dinyatakan dengan simbol huruf L atau φ).

b. Bujur geografik (sering dinyatakan dengan simbol huruf B atau λ).

c. Tinggi terhadap permukaan laut rerata (sering dinyatakan dengan simbol

huruf h atau H).

Lintang geografik diukur dari ekuator (0 derajat) sepanjang busur meridian ke

arah Kutub Utara (positif) atau ke arah Kutub Selatan (negatif) sampai ke

proyeksi titik yang bersangkutan pada permukaan bola bumi acuan. Harga lintang

geografik berkisar dari 0 derajat sampai +90 derajat untuk belahan bumi utara dan

dari 0 derajat sampai -90 derajat untuk belahan bumi selatan. Pada gambar di atas,

lintang geografik titik P ialah P (=sudut QOP).

Bujur geografik diukur sepanjang busur ekuator mulai dari meridian Greenwich

ke arah Timur (positif) atau ke arah Barat (negatif) sampai meridian yang melalui

titik yang bersangkutan. Harga bujur geografik berkisar dari 0 derajat (0 jam)

sampai 180 derajat (12 jam). Pada gambar di atas, Bujur geografik titik P ialah P

(=sudut QOX).

Tinggi titik diukur dari bidang acuan, biasanya permukaan laut rerata, sepanjang

garis normal atau vertikal sampai ke titik yang bersangkutan. Pada gambar di atas,

tinggi titik P ialah hp. Jarak titik P ke origin sistem koordinat (pusat bumi) ialah

R+hp.

Informasi tentang koordinat geografik titik-titik atau tempat pengamatan di

permukaan bumi dapat diperoleh antara lain melalui data grafis yang disajikan

oleh peta atau atlas, data koordinat yang disajikan oleh situs website “Google

Earth” baik secara online maupun offline, pengukuran langsung di lapangan

137

dengan sistem satelit (GPS, GNSS) atau metode extra-terrestrial yang lain. Perlu

diketahui bahwa untuk perhitungan-perhitungan posisi teliti di bumi dan

sekitarnya diperlukan bentuk dan dimensi bumi acuan yang lebih akurat,

mendekati bentuk dan dimensi bumi yang sebenarnya, yaitu elipsoid. Dalam hal

ini pendekatan bentuk bumi bola tidak lagi cukup akurat. Penentuan posisi dalam

sistem satelit (GPS, GNSS, dsb) menggunakan acuan bumi elipsoid.

Pada umumnya prosedur pemakaian ilmu ukur segitiga bola dalam menyelesaikan

soal-soal menyangkut titik-titik di bumi, berupa perhitungan tiga unsur dari

segitiga terestris. Dari unsur-unsur segitiga bola yang sudah diketahui, kemudian

unsur-unsur yang lain dapat dihitung dan dibuat penaksiran hasilnya. Misalnya

bagaimana menentukan jarak dan sudut antara dua buah titik M1 dan M2 yang

diketahui posisi geografiknya (lintang dan bujurnya diketahui).

Jika M1 (φ1, λ1) dan M2 (φ2, λ2), maka unsur-unsur segitiga bola yang dapat

dibentuk adalah:

sudut M1KUM2 = λ2 - λ1

KU

KS

M1

M2

QQ’

K1K2

Greenwich

90°- φ1

M1

M2

KU

?

90°- φ2λ2 - λ1

138

Jarak KUM2 = 90° - φ2

Jarak KUM1 = 90° - φ1

Kemudian jika ditanyakan berapakah jarak antara M1 dan M2, maka solusinya

dapat diselesaikan menggunakan rumus-rumus pada segitiga bola, misalnya

dengan menggunakan aturan sinus atau dengan aturan cosinus.

Contoh:

1. Great circle sailing

Sebuah kapal berlayar dari kota Chicago (41°51’,0 U ; 87°37’,0 B) menuju

kota Harbor (53°54’,0 N ; 166°33’,0 B). Tentukan jarak tempuh kapal

tersebut?

Jawab:

Jarak M1KU = 90° - 41°51’,0

= 48°09’

Jarak M2KU = 90° - 53°54’,0

= 36°06’,0

Sudut di KU = 166°33’,0 - 87°37’,0

= 78°56’,0

Menggunakan aturan cosinus diperoleh:

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

= cos 48°09’ cos 36°06’,0 + sin 48°09’ sin 36°06’,0 cos

78°56’,0

= 0,6233221

c = 51°26’,45

Jarak M1 ke M2 = c = 51,441 × 111 km = 5709,901 km

(catatan jarak busur 1° = 111 km).

M1

M2

KU U

?

90°- φ2λ2-λ1

ab

cA

B

C

139

Sedangkan sudut keberangkatan kapal dapat dihitung dengan menerapkan

aturan sinus:

A

a

C

c

sinsin

Coba anda hitung sendiri!

2. Perhitungan arah kiblat shalat (Djawahir, 2012).

Pendekatan atau asumsi yang diterapkan dalam penentuan arah kiblat

shalat ialah bumi berbentuk bola, sehingga segmen-segmen busur

lingkaran besar (jari-jari R= 6378 km) yang menghubungkan Kutub Utara

(K), Ka’bah (M), dan titik tempat shalat (X) membentuk segitiga bola

XKM sebagai berikut:

Unsur-unsur segitiga bola yang diketahui ialah:

a. Sisi KX = 90o – X (X adalah lintang geografik tempat shalat, untuk belahan

bumi Selatan bertanda negatif, untuk belahan bumi Utara bertanda positif).

b. Sisi KM = 90o – M (M adalah lintang geografik Ka’bah = + 21o25’25”).

c. Sudut XKM = X – M (X adalah bujur geografik tempat shalat dan M

adalah bujur geografik Ka’bah = 39o49’40”)

Gambar Segitiga Bola XKM

M

X

K

90o - X

90o - M

AXM

X - M

AMX

140

Unsur segitiga bola yang dihitung ialah sudut AXM (= asimut Utara-Barat

untuk wilayah Indonesia) dengan salah satu dari dua cara berikut:

Cara I:

Menghitung busur XM dengan rumus:

cos(XM) = cos(90o - X) cos(90o - M) + sin(90o - X) sin(90o - M) cos(X -

M)

Kemudian hasilnya digunakan untuk menghitung sudut AXM dengan rumus:

sin(AXM) = sin(90o - M) sin(X - M)/sin(XM)

atau rumus:

Cara II:

Menghitung (AMX + AXM)/2 dan (AMX – AXM)/2 dengan rumus:

Kemudian hasilnya dikurangkan untuk mendapatkan sudut AXM.

XV.2.2 Segitiga Bola Astronomis

Segitiga astronomis adalah segitiga bola langit yang dibatasi oleh

lingkaran besar dan yang dibentuk oleh titk Zenit (Z), benda langit yang diamat

(M) dan kutub bola langit (KU). Di Indonesia dipilih Kutub Utara sebagai titik

acuan sehingga segitiga astronomis yang dimaksud adalah:

cos[{(90o - X) – (90o - M)}/2]tan{(AMX + AXM)/2} = ---------------------------------------- cot{(X - M)/ 2}

cos[{(90o - X) + (90o - M)}/ 2]

sin[{(90o - X) – (90o - M)}/ 2]tan{(AMX – AXM)/2} = --------------------------------------- cot{(X - M)/ 2}

sin [{(90o - X) + (90o - M)}/ 2]

cos(90o - M) - cos(90o - X) cos(XM)cos(AXM) = ------------------------------------------------ sin(90o - X) sin(XM)

KU

M

Z

Aq

t

141

Enam unsur segitiga bola

astronomis adalah tiga unsur

sudut, yaitu KU, Z, M dan

tiga unsur sisi yaitu:

KU – Z = 90° – φ

Z – M = 90° – h

KU – M = 90° – δ

Sudut di titik KU dinamakan sudut waktu (t), di titik Z dinamakan asimut

(A) dan di titik M dinamakan sudut paralaktis (q), sedangkan φ adalah

lintang pengamat, h adalah tinggi benda langit (M) dan δ adalah sudut

deklinasi M.

Pengamat dapat berada di sebelah Utara maupun Selatan ekuator,

demikian pula benda langit yang diamat. Posisi benda langit M terhadap

zenith Z dan Kutub Utara KU dengan beracuan terhadap mata angin, dapat

dibedakan menjadi empat macam segitiga astronomis (Basuki, 1988).

KS

90°-φ

KUKU

90°-h

90°- δ

90°-h

90°-h90°-h

90°-φ

90°-φ

90°-φ

90°- δ

90°- δ 90°- δ

AM

M

Z

q

-t

M

M

M

Z

Z

Z

AM

A

AM

A

q

q

q

-t

t

t

AM

KU

KU

142

Catatan AM = asimut benda langit = 360 – A

Contoh:

Hitung asimut dan tinggi benda langit bila diketahui deklinasi (δ) benda

langit = 10°30’00”, sudut jam (t) benda langit = 330°05’10” dan lintang

pengamat (φ) = 48°16’40”.

Jawab:

ZK = 90° - φ = 41°43’20”

MK = 90° - δ = 100°30’00”

H1 =360° - 330°05’00” = 29°54’50”

Dengan menggunakan aturan cosines:

cos ZM = cos KZ cos KM + sin KZ sin KM cos H1

= cos 41°43’20” cos 100°30’00” + sin 41°43’20” sin cos

100°30’00” cos 29°54’50”

= 0,431180

ZM = 64°27’27”

Jadi tinggi benda langit = 90° - 64°27’27” = 25°32’32”

cos A = ZMKZ

ZMKZKM

sinsin

coscoscos

= "27'2764sin"20'4341sin

"27'2764cos"20'4341cos'30100cos

= -0,839434496

Karena negatif maka benda langit berada pada kwadran ke II, sehingga A

= 147°04’50” UT.

Aplikasi segitiga astronomis ini juga bisa digunakan pada penentuan

asimut dengan pengamatan matahari. Asimut matahari (Am) untuk setiap

saat bisa ditentukan bila kita dapat mengamati matahari tersebut untuk

menentukan tingginya serta dicatat pula waktu atau saat pengamatannya

Z

KU

M

AH1

ekuatorhorison

meridian

143

(Basuki, 1988). Penentuan asimut dengan pengamatan matahari adalah

penentuan asimut arah dari tititk pengamatan ke titik sasaran tertentu di

permukaan bumi yang dilakukan dengan menentukan asimuth matahari.

Kemudian dengan ukuran sudut horisontal antara arah matahari ke arah

sasaran, ditentukan asimut ke titik sasaran itu. Ada dua cara untuk

menentukan asimut dengan pengamatan matahari yaitu metode tinggi

matahari dan metode sudut waktu.

Gambar Asimut Matahari dan Arah Titik Acuan

Keterangan:

α : sudut horisontal P ke matahari

(= bacaan arah horisontal ke P - bacaan arah horisontal ke matahari).

AP : asimut OP

AM : asimut matahari

KU : kutub Utara

Pada segitiga astronomis, asimut matahari (AM) dari segitiga bola KU-M-Z dapat

ditentukan bila diketahui tiga unsur padanya. dengan bantuan peralatan teodolit

dapat ditentukan busur ZM dan waktu pengamatan (t), kekurangan data lintang

tempat pengamat dapat diinterpolasi dari peta topografi yang ada sehingga unsur

Z-KU dapat ditentukan. Tabel deklinasi matahari dan rerata waktu misal dari

nautical almanac dapat untuk menentukan M-KU, sehingga unsur-unsur yang

diketahui adalah:

1. Z-M = 90° - h

2. Z-KU = 90° - φ

M

KU

O

P

APAM

α APZ

AM

P

q

-tλGR

144

3. M-KU = 90° - δ

4. MKUZ = t (sudut waktu)

Penentuan asimut matahari dengan metode tinggi matahari berdasarkan rumus

segitiga bola:

)90sin()90sin(

)90cos()90cos()90cos(cos

h

hA

hcoscos

hsin sin-sinAcos

Penentuan asimut matahari dengan metode sudut waktu:

ttg

ttgA

cossincos

sin

Sudut waktu (t) besarnya = GMT + PW +λ – 12 jam

Dimana GMT : waktu wilayah Indonesia Barat – 7 jam

PW : perata waktu (dari tabel)

λ : bujur pengamat

Atau t dicari dengan rumus:

coscos

sinsinsinhcos

t

Untuk detil pengamatan dan perhitungan asimut matahari bisa dilihat di materi

kuliah Ukur Tanah II.

XV.3. Penutup

XV.3.1. Rangkuman


tentang contoh-contoh aplikasi ilmu ukur segitiga bola dalam kaitannya untuk

penentuan posisi titik-titik di atas bumi dan segitiga bola untuk astronomis.

XV.3.2.Tes Formatif

1. Sebuah kapal berlayar pada lingkaran besar dari New York (40˚42,04’ N ;

74˚1,0’ W) ke arah N 30˚10’E. Tentukan pada jalur tersebut titik M yang

paling dekat dengan Kutub Utara dan tentukan jarak kutub M dari Kutub

145

Utara dan dari New York. Apabila kapal berlayar dengan kecepatan 100

mile /jam, berapa waktu yang diperlukan untuk menuju M? (1’ = 1 mile).

2. Kapal berlayar dari kota San Fransisco (37˚48,5’ N ; 122˚24,0 W) dengan

arah S 40˚30,0’ W. Tentukan titik M yang memotong ekuator pada jalur

tersebut. Tentukan jarak M dari San Fransisco.

3. Sebuah kapal berlayar dari kota A(157˚52’18” BB ; 21˚18’18” LU)

menuju kota B(122˚25’42” BB ; 37˚47’30” LU). Tentukan jarak tempuh

kapal dan sudut arah keberangkatannya. (1˚= 111 km). Tentukan besarnya

ekses sferis.

XV.3.3. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Sistem koordinat geografis




Jarak dan sudut arah pada great circle sailing


Dapat menghitungsebagian

Dapat menghitung dengan baik dan lancar

Aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan arah




Aplikasi ilmu ukur segitiga bola pada penentuan asimutmatahari




I.3.4. Tindak Lanjut




2.

I.3.5. Sumber Pustaka



146

Basuki K.S., 1988, Penentuan Asimut dengan Pengamatan Matahari, Kanisius,

Yogyakarta.




Strang, G, dan K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy and GPS, Wellesley-






147

Buku 2 : RKPM(Rencana Kegiatan Pembelajaran Minggu ke-16)






November 2013

BAB XVI

TES SUMATIF II

(Ujian Akhir Semester)

XVI.1. Pendahuluan

XVI.1.1. Deskripsi Singkat

148

Soal ujian akhir semester meliputi soal dalam bentuk essay yang memuat

pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menjelaskan pengertian-pengertian

maupun definisi. Selain itu juga memuat soal dalam bentuk hitungan yang

memuat pertanyaan dari materi kuliah yang bersifat menyelesaikan suatu

hitungan.

XVI.1.2. Manfaat

Dengan kegiatan ini dapat menilai pemahaman mahasiswa tentang materi

kuliah minggu ke-9 s.d. minggu ke-16.

XVI.1.3. Relevansi

Penilaian pemahaman mahasiswa ini harus dilakukan karena untuk

evaluasi pemberian materi kuliah dalam 7 minggu akhir perkuliahan. Hasil

evaluasi ujian tengah semester dan ujian akhir semester digunakan untuk

menentukan nilai akhir mahasiswa dalam menempuh matakuliah ini. Materi

perkuliahan ini sebagai pengetahuan dasar yang digunakan dalam aplikasinya

untuk matakuliah Proyeksi Peta, Sistem Transformasi Koordinat, Geodesi Satelit

dan Survei GNSS.

XVI.1.4. Learning Outcome

Setelah mengikuti ujian akhir semester, mahasiswa akan dapat:

1. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan tentang

materi persamaan luasan, besaran fundamental orde I, besaran

fundamental orde II, kelengkungan normal, rumus Gauss. kelengkungan

garis utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan.

2. Mahasiswa dapat menjelaskan tentang pengertian dan terbentuknya

segitiga bola, serta menyebutkan istilah-istilah dalam segitiga bola.

3. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi

segitiga bola, misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan arah

(contoh arah kiblat), perhitungan segitiga bola astronomis, dan

perhitungan asimut matahari.

149

XVI.2. Penyajian


SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL T.A 2011/2012

Matakuliah : Matematika GeodesiProgram Studi : S-1 Reguler Hari, Tanggal : Senin, 9 Januari 2012Waktu : 120 menitSifat : Buku Terbuka*)Dosen Penguji : Dwi Lestari, ST., ME.

Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------*) Hanya diperkenankan membuka lembar ringkasan (1 lembar folio bergaris) yang dikumpulkan bersama lembar jawaban ujian.Petunjuk: kerjakan soal-soal berikut dengan rapi dan jelas, boleh tidak urut asal diberi nomor yang jelas, angka dalam kurung menunjukkan bobot penilaian untuk masing-masing nomor.

1. Tentukan konstanta a dan b sehingga luasan ax2 - byz = (a+2)x tegak lurus luasan 4x2y + z3 = 4 pada titik (1, -1, 2) (nilai 15).

2. Diketahui kurva r (θ) = x i +y j + z k, dengan x = 6θ – 2θ3 , y = 6θ2, z = 6θ + 2θ3

a. Tentukan vektor singgung satuan (t), vektor normal satuan (n) dan vektor binormal satuan (b).

b. Tentukan persamaan bidang normal pada saat θ = 1.c. Tentukan κ dan τ serta sifat kurvanya (nilai 25).

3. Diketahui persamaan luasan r = (3 cosφ sinθ, 3cosφ cosθ, 3sinφ) dengan φ dan θ adalah parameter.a. Tentukan besaran fundamental orde I dan orde II serta kelengkungan normal (κn).b. Tentukan kelengkungan Gauss (K) dan selidiki sifat/macam luasan tersebut (nilai 30).

4. Diketahui segitiga bola siku-siku di C dan a = 59˚ dan b = 31˚. Tentukan unsur-unsur yang lain dalam segitiga bola tersebut. Hitunglah dengan menggunakan aturan Napier (nilai 10).

5. Sebuah kapal berlayar dari kota A (157˚52’18” BB ; 21˚18’18” LU) menuju kota B (122˚25’42” BB ; 37˚47’30” LU).

150

a. Tentukan jarak tempuh kapal dan sudut arah keberangkatannya (1˚= 111 km).b. Tentukan besarnya ekses sferis (nilai 20).


SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL T.A 2012/2013

Matakuliah : Matematika GeodesiProgram Studi : S-1 Reguler Hari, Tanggal : Senin, 14 Januari 2013Waktu : 120 menitSifat : Buku Semi Terbuka*)Dosen Penguji : Ir. Nurrohmat Widjajanti, MT., Ph.D.

Dwi Lestari, ST., ME.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------*) Hanya diperkenankan membuka lembar ringkasan (1 lembar folio bergaris) yang dikumpulkan bersama lembar jawaban ujian.Petunjuk: kerjakan soal-soal berikut dengan rapi dan jelas, boleh tidak urut asal diberi nomor yang jelas, angka dalam kurung menunjukkan bobot penilaian untuk masing-masing nomor.

1. Diketahui kurva r (t) = x i +y j + z k, dengan x = 6t , y = 3t2, z = t3

a. Tentukan vektor singgung satuan (t), vektor normal satuan (n) dan vektor binormal satuan (b).

b. Tentukan persamaan bidang normal pada saat t = 1.c. Tentukan κ dan τ serta sifat kurvanya (nilai 30).

2. Diketahui persamaan luasan r = (5 cos u, 5 sin u, 10 v) dengan u dan v adalahparameter.a. Tentukan kelengkungan Gauss (K) dan selidiki di titik mana luasan

bersifat eliptis (K>0), parabolis (K=0), dan hiperbolis (K<0).b. Hitunglah besarnya kelengkungan-kelengkungan utamanya (κ1 dan κ2),

serta kelengkungan pertama (J) dengan rumus kelengkungan utama κadalah H2κ – (EN – 2FM + GL)κ + T2 = 0 (nilai 30).

3. Diketahui segitiga bola sembarang ABC, sisi a = 39˚20’, sisi b = 70˚15’ dan sisi c = 113˚10’.a. Tentukan unsur-unsur yang lain dalam segitiga bola tersebut.b. Ekses sferis segitiga bola ABC (nilai 20).

4. Sebuah kapal berlayar mengikuti lingkaran besar dari kota A (36˚50’ N ; 76˚20’ W) memotong ekuator di B pada 50°0’ W.

151

a. Tentukan jarak tempuh kapal (1˚= 111 km). b. Tentukan sudut arah keberangkatannya.

c. Tentukan besarnya ekses sferis segitiga bola A-KU-B (nilai 20).

XVI.3. Penutup

XVI.3.1. Rangkuman


pengertian tentang geometri diferensial. Selain itu mahasiswa harus memahami

pengertian segitiga bola dan istilah-istilahnya dalam segitiga bola. Selanjutnya

dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi segitiga bola,

misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan arah (contoh arah kiblat),

perhitungan segitiga bola astronomis, dan perhitungan asimut matahari.

1. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan tentang

materi persamaan luasan, besaran fundamental orde I, besaran

fundamental orde II, kelengkungan normal, rumus Gauss. kelengkungan

garis utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasan.

2. Mahasiswa dapat menjelaskan tentang pengertian dan terbentuknya

segitiga bola, serta menyebutkan istilah-istilah dalam segitiga bola.

3. Mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi

segitiga bola, misalnya untuk keperluan navigasi kapal, penentuan arah

(contoh arah kiblat), perhitungan segitiga bola astronomis, dan

perhitungan asimut matahari.

XVI.3.2. Petunjuk Penilaian dan Umpan Balik

Kriteria Skor0 1 2

Persamaan luasan, besaran fundamental orde I, besaran fundamental orde II, kelengkungan normal, rumus Gauss. kelengkungan garis




152

utama Gauss serta sifat-sifat titik pada luasanPengertian segitiga bola, serta istilah-istilah dalam segitiga bola



Dapat menjelaskansecara runtut

Aplikasi segitiga bola Tidak mampu mengerjakan soal hitungan



XVI.3.3. Tindak Lanjut




2. Apabila dari hasil evaluasi gabungan dari ujian tengah semeter dan ujian akhir

semester, mahasiswa mayoritas mempunyai nilai C ke bawah maka perlu

dievaluasi pada proses pembelajarannya.

XVI.3.4. Sumber Pustaka



Basuki K.S., 1988, Penentuan Asimut dengan Pengamatan Matahari, Kanisius,

Yogyakarta.


Boston.










153




Documents

DraftModul_MatematikaGeodesi