NIHANJE LINEARNIH MEHANSKIH

SISTEMOV ZARADI UDARNE MOTNJE

dr. Miha Boltežar

2004

1

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

1 Uvod, umestitev predavanja

Linearna nihanja sistemov lastna - nedeušena

z 1 prostostno stopnjo - dušena (viskozno)

Vsiljena - harmonska motnja

-periodična motnja

- udarna motnja (prehodna)

Nihanja sistemov Lastna

z več pr. st. . . .

Nihanje zveznih sistemov

2 Metode obravnavanja

• predstavitev vzbujanja z FOURIER-jevim integralom

• uporaba konvolucijskega integrala

• uporaba metod Laplacove trasformacije

• aproksimacija vzbujevalne sile z interpolacijskom modelom ter nato uporaba konvolucije

• numerično integracija gibalnih enačb

3 Uporaba konvolucijskega integrala

3.1 Definicija enotskega impulza

f(t)

tt1 Dt1

1

IÄt

Slika 1: Enotski impulz

Enotski impulz; Dirac-ova delta funkcija

∆t1 −→ 0 =⇒I

∆t1−→ preko vseh meja

δ(t− t1) =

0 za vse t 6= t1∞ za t = t1,2

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

Integral produkta Diracove delta funkcije s poljubno funkcijo f(t) je:

∞∫0

f(t)δ(t− t1)dt = f(t), 0 < t1 < ∞

V posebnem primeru, če je f(t) = 1, pa:

∞∫0

δ(t− t1)dt = 1, 0 < t1 < ∞

3.2 Impulzna prenosna funkcija

k d

mx

Slika 2: Oscilator

~I = ∆~p = m~v2 −m~v1,

kjer je

~I =

t∫0

~F (t) dt

in

~v2 =~I

m

Če vzbudimo oscilator na sliki 2 z impulzom ~I, sta začetna pogoja:

1. x(0) = 0

2. ẋ(0) = Im

3

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

a) Nedušen oscilator; d = 0Gibalna enačba za nedušen oscilator na sliki 2:

mẍ + kx = 0

Rešitev gibalne enačbe:

x(t) = A cos(ω0t) + B sin(ω0t), ω0 =

√k

m

Iz začetnih pogojev izračunamo A = 0 in B = Imω0 , zato je odziv sistema naslednji:

x(t) =I

mω0sin(ω0t)

Impulzna prenosna funkcija:

g(t) =x(t)I

=1

mω0sin(ω0t)

b) Dušen oscilatorGibalna enačba za dušen oscilator na sliki 2:

mẍ + dẋ + kx = 0

Rešitev gibalne enačbe:

x(t) = e−δω0t [A cos(ω0dt) + B sin(ω0dt)]

Iz začetnih poogojev izračunamo konstanti A in B, ki sta enaki A = 0 in B = Imω0d .Odziv sistema:

x(t) =I

mω0de−δω0t sin(ω0dt)

Impulzna prenosna funkcija:

g(t) =1

mω0de−δω0t sin(ω0dt)

4 Konvolucijski integral

Potrebne lastnosti sistema za uporabo konvolucijskega integrala so:

• Linearnost

• Časovna invariantnost

• Kavzalnost

∆x(t) = f(t1)∆t1g(t− t1)

Sedaj z uporabo superpozicije dobimo

x(t) = lim∆i→0

n∑i=1

f(ti)g(t− ti)∆ti =t∫

0

f(t1)g(t− t1)dt1

BOREL-ov teorem

4

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

4.1 Zapis konvolucije s pomočjo spominske spremenljivke τ

f(t) x(t)g(t)

x(t) =

t∫0

f(t1)g(t− t1)dt1

Splošneje lahko zapǐsemo:

x(t) =

t∫−∞

f(t1)g(t− t1)dt1

5

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

Sedaj uvedemo novo časovno spremenljivko τ = t− t1, dτ = −dt1

x(t) =

∞∫0

f(t− τ)g(τ)dτ

x(t) =

t∫0

f(t− τ)g(τ)dτ

Oznakex = f ∗ g = g ∗ fx = f ◦ g = g ◦ fτ - spominska časovna spremenljivkag(τ)-dinamični spomin sistema (oscilatorja)

f(t )1

t1

t

t

g(t)

x(t)

t

t

t

x(t) =

t∫0

f(t− τ)g(τ)dτ = lim∆τi→0

n∑i=0

f(t− i∆τ)g(i∆τ)∆τ

6

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

f(t)

1

2.0 t [s]

g(t)

g(t)

g(t)

g(t)

t[s]

t[s]

t[s]

t[s]

2

0.5

1

a)

b)

c)

d)

7

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

5 Zgledi

5.1 Zgled 1

x(t)

F(t)

k/2 k/2d

m

Slika 3: Shematični prikaz stiskalnice.

F(t)

F0

t

Slika 4: Koračna sila.

Določi odziv stiskalnice, slika 3, na koračno silo in sicer za primera:

a) v primeru nedušenega sistema ter

b) v primeru dušenega sistema

8

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

Rešitev

a) Nedušen primerImpulzna prenosna funkcija nedušenega oscilatorja je:

g(t) =1

mω0sin(ω0t) (1)

Odziv sistema dobimo z rešitvijo konvolucijskega integrala:

x(t) =

t∫0

f(t1)g(t− t1)dt1 (2)

Pred tem še preuredimo impulzno prenosno funkcijo (1) v naslednjo obliko:

g(t− t1) =1

mω0sin(ω0(t− t1)) (3)

Sedaj z vstavitvijo izraza (3) v (2) in upoštevanjem, da je f(t1) = F0, izračunamo odzivsistema, ki je:

x(t) =t∫0

F0mω0

sin(ω0(t− t1))dt1

= F0mω0

(1

ω0cos(ω0(t− t1))

)∣∣∣t0

= F0mω20

(1− cos(ω0t))

= F0k (1− cos(ω0t))

(4)

Odziv je prikazan na sliki (5).

x(t)

t

0F

k

02F

k

0

Slika 5: Odziv nedušene stiskalnice.

9

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

b) Dušen primerImpulzna prenosna funkcija dušenega sistema je:

g(t) =1

mω0de−δω0t sin(ω0dt) (5)

Odziv sistema dobimo z rešitvijo konvolucijskega integrala:

x(t) =

t∫0

f(t1)g(t− t1)dt1 (6)

Impulzno prenosno funkcijo (7) preuredimo v naslednjo obliko:

g(t− t1) =1

mω0de−δω0(t−t1) sin(ω0d(t− t1)) (7)

Odziv sistema podaja rešitev naslednjega integrala:

x(t) =

t∫0

F01

mω0de−δω0(t−t1) sin(ω0d(t− t1))dt1 (8)

DN Rešite integral (8).

Odziv sistema prikazuje slika 6.

Slika 6: Odziv dušene stiskalnice.

10

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

5.2 ZGLED 2

Določitev odziva sistema na sliki 7 glede na silo, ki je prikaza na sliki 8.

F(t)m

x(t)

2

k

2

k

Slika 7: Konzolno vpetje.

F(t)

F0

tt00

Slika 8: Potek sile.

Potek sile na sliki 8 lahko zapǐsemo na naslednji način:

f(t) =

F0(1− tt0

)0 ≤ t ≤ t0

0 t > t0(9)

Impulzna prenosna funkcija je:

g(t− t1) =1

mω0sin(ω0(t− t1)) (10)

Odziv sistema podaja rešitev spodnjega integrala:

x(t) =

t∫0

F0

(1− t

t0

)1

mω0sin(ω0(t− t1))dt1 (11)

11

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

Odziv v času 0 ≤ t ≤ t0 je:

x(t) =F0k

[1− t

t0− cos(ω0) +

1ω0t0

sin(ω0t)]

(12)

Odziv po času delovanja sile f(t), torej za čas t > t0 je:

x(t) =F0

kω0t0[(1− cos(ω0t0)) sin(ω0t)− (ω0t0 − sin(ω0t0)) cos(ω0t)] (13)

x(t)

t0 t0

Slika 9: Odziv sistema prikazanega na sliki 7.

12

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

6 Uporaba udarne motnje

6.1 Diskretni sistemi

6.2 Zvezni sistem-eksperimentalna strukturna dinamika

x (t)j

w1 ww 2

H( )w

13

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

7 Eksperimentalno preverjanje kvalitete modela za izračunupogibnih nihanj pri dinamiki rotorjev

Slika 10: Diskretizacija gredi.

f01 [Hz] ∆ [%] f02 [Hz] ∆ [%]

Eksp. vrednost 480.0 1050.0

MPM 465.7 2.98 1044.4 0.56

Slika 11: Diagram spektralne gostote.

14

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

8 Neporušno testiranje poškodovanih struktur

15

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

9 Odziv na vzbujanje podlage

k d

m

x

y

Gibalna enačba:

mẍ = −k(x− y)− d(ẋ− ẏ) (14)

Če sedaj uvedemo novo spremenljivko z = x − y, lahko gibalno enačbo (14) zapǐsemo v naslednjiobliki:

mz̈ + dż + kz = −mÿ (15)

Opazimo pa podobnost enačb (15) in (16):

mz̈ + dż + kz = F (16)

Za podkritično viskozno dušen sistem je impulzna prenosna funkcija:

g(t) =1

mω0de−δω0t sin(ω0dt) (17)

Rešitev gibalne enačbe 14 je:

x(t) =

t∫0

f(t1)g(t− t1)dt1 (18)

z(t) = − 1ω0d

t∫0

ÿ(t1)e−δω0(t−t1) sin(ω0d(t− t1))dt1 (19)

16

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojnǐstvoLADISK-Laboratorij za dinamiko strojev in konstrukcij

10 Udarni spekter

max

f(t)

tf

F0

t

1

0

ω0 =√

km ω =

πtf

17