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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 05.12.2006
Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 2
2.8.3.3 Auswahl des vollständigen Baumes
liefert 16 verschiedenevollständige Bäume
Tipps:
Baum so legen, dass möglichst einfache Umläufe entstehen
(a) gut, da Umläufe wie Maschen
(c) schlecht für I6, da Umlauf über Zweige 1, 2 ,5
Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])
6
41
B
C
D
3 55
46
2
A
6U
4M
5M
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 3
2.8.3.3 Auswahl des vollständigen Baumes
X X 0 0X X X 00 X X X0 0 X X
Umläufe mit möglichst wenig Kopplungen wählen gibt viele Nullen in Widerstandmatrix
(a) gut
▶ Vorgegebene Ströme/Stromquellen in Verbindungszweige legen -> Damit werden sofort entsprechend viele Variablen zu bekannten Größen▶ Baum so legen, dass gesuchte Ströme in den Verbindungszweigen liegen (nicht immer möglich)▶ Spannungsquellen in Verbindungszweige legen -> Dann nur einmal für den entsprechenden Umlaufstrom im Gleichungssystem vorhanden▶ Schaltungssymmetrie ausnutzen (siehe Bsp. 2.29), um schnell Unbekannte eliminieren zu können
Widerstands-matrix dazu:
1M2M 3M
4M 1M3U
4U
Bild 2.91. Zwei vollständige Bäume für eine viermaschige Kettenschaltung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 100, 2005])
2U
(b) schlecht, Zweig 1 verkoppelt alle Ströme
1
X X X XX X X XX X X XX X X X
Widerstands-matrix dazu:
Widerstandsmatrix ist voll besetzt!-> Unvorteilhaft!
Widerstandsmatrix hat Null-Einträge!-> Dies ist für die Lösung vorteilhaft!
2 3
41
2 3
4
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 4
2.8.4. Knotenanalyse2.8.4.1 Abhängige und unabhängige Spannungen
► Mit den Spannungen, UQ1, UQ2, UQ3, in allen 3 Baumzweigen sind alle Spannungen festgelegt!
4 5 6 0U U U
Daher Definition: ► unabhängige Spannungen in Baumzweige legen► abhängige Spannungen in Verbindungszweigen legen!
anders als bei der Umlaufanalyse!
Bild 2.92. Unabhängige Spannungen in den Baumzweigen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 101, 2005])
A
B
C
D
4U
5U
Q1U
Q3UQ2U
6U
► Es wäre unmöglich die Spannungen an den Zweigen 4, 5 und 6 vorgeben, da für den äußeren Umlauf ( ) gilt
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 5
2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen
Q6Q6
6
UI
R
66
1GR
Spannungsquelle durch Ersatzstromquelle ersetzen:
Innenleitwert
Kurzschlussstrom
Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])
A
B
C
D
6I
R6U1R
1I
R1U
Q6U
6R
4I
4RR4U
5RR5U3RR3U
5I3I
2I2R
R2U
6M
4M
5M
Netzstruktur:
Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005])
1U
3U
4U
5U
Q6I
6G6U2U
6GI
1G
1GI 4GI
5GI3GI
2GI
4G
3G 5G
2G
A
D B
C
Spannungs-quelle inStrom-quelle
umwandeln
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 6
2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen
G1 1 1
G6 6 6
I G U
I G U
G1 G4 G6 Q6
G2 G 4 G5
G3 G5 G6 Q6
0
I I I I
I I II I I I
4
5
6
:::
MMM
Ohmsches Gesetz für die 6 Leitwerte:
Knotengleichungen:
Knoten KB:Knoten KC:
Spannungen in den Verbindungszweigenüber die Umlaufgleichungen:
Knoten KA:
Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005])
1U
3U
4U
5U
Q6I
6G6U 2U
6GI
1G
1GI 4GI
5GI3GI
2GI
4G
3G 5G
2G
AK
D B
C
1 1 4 4 6 6 Q6
2 2 4 4 5 5
3 3 5 5 6 6 Q6
0
G U G U G U I
G U G U G UG U G U G U I
Gleichungen nach dem Ohmschen Gesetz in die oben stehenden Knotengleichungen einsetzen:
4 1 2
5 2 3
6 3 1
U U UU U UU U U
6M
4M
5M
G1 1 1
G6 6 6
I G U
I G U
G1 G4 G6 Q6
G2 G4 G5
G3 G5 G6 Q6
0
I I I I
I I II I I I
1 2 4
2 3 5
3 1 6
000
U U UU U UU U U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 7
2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen
1 1 4 1 2 6 3 1 Q6
2 2 4 1 2 5 2 3
3 3 5 2 3 6 3 1 Q6
0
G U G U U G U U I
G U G U U G U U
G U G U U G U U I
Die abhängigen Spannungen mithilfe der Umlaufgleichungen ersetzen
Spannungsvektor besteht aus den
unabhängigen Spannungen in Baumzweigen
Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005])
1U
3U
4U
5U
Q6I
6G6U2U
6GI
1G
1GI 4GI
5GI3GI
2GI
4G
3G 5G
2GD B
C
A
1 4 6 1 4 2 6 3 Q6
4 1 2 4 5 2 5 3
6 1 5 2 3 5 6 3 Q6
0
G G G U G U G U I
G U G G G U G U
G U G U G G G U I
Nach den Spannungen umsortieren:
Q61 4 6 4 6 1
4 2 4 5 5 2
Q66 5 3 5 6 3
0IG G G G G U
G G G G G UIG G G G G U
In Matrixform schreiben
Stromvektor besteht aus den
Strömen der Stromquellen
Leitwertmatrix
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 8
2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen
Als Matrixgleichung schreiben
Q
Q61 4 6 4 6 1
4 2 4 5 5 2
Q66 5 3 5 6 3
0IG G G G G U
G G G G G UIG G G G G U
UG I
Die erste Zeile der Leitwertmatrix entsteht aus Knoten A:
Allgemein: Die Leitwertmatrix besteht aus den Knotenleitwerten auf der Hauptdiagonalen und den symmetrisch liegenden Kopplungsleitwerten auf den Nebendiagonalen.
Knotenleitwert G1 + G4 + G6 Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U2 ist G4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U3 ist G6
Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einerStromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann Bd. I, S. 102, 2005])
1U
3U
4U
5U
Q6I
6G6U2U
6GI
1G
1GI 4GI
5GI3GI
2GI
4G
3G 5G
2GD B
Leitwertmatrix
C
A
QG U I
Spannungs-vektor
Strom-vektor
Q
: Leitwertmatrix: Spannungsvektor
: Stromvektor
der Quellströme
GUI
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 9
2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen
11 12 1( 1) 1 Q1
21 22 2( 1) 2 Q2
( 1)1 ( 1)2 ( 1)( 1) ( 1) Q( 1)
Knoten 1 : Knoten 2 :
Knoten ( -1):
K
K
K K K K K K
G G G U IG G G U I
G G G U IK
Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten:
1. Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln.2. ► Bezugsknoten auswählen. Hinweis: Einen Knoten auswählen, der mit möglichst vielen anderen Knoten verbunden ist. ► Sternförmigen vollständigen Baum bilden: Ausgehend vom Bezugsknoten werden die Verbindungen zu allen anderen K – 1 Knoten
des Netzes, d.h. die Baumzweige, eingezeichnet. Ggf. zusätzliche Leitwerte G = 0 für Knoten
ohne Verbindung zum Bezugsknoten einfügen.
3. Zählpfeile der unabhängigen Spannungen längs der Baumzweige eintragen, d. h. die Spannungen von jedem der K – 1 Knoten zum Bezugsknoten mit Richtung auf den Bezugsknoten eintragen.
Leitwertmatrix ist symmetrisch!
Tij jiG G G G
Der Index ,,T" steht für transponiert!
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 10
2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen
Für jeden Knoten i = 1,…,K - 1 – außer dem Bezugsknoten – wird jetzt eine Gleichung (Zeile in dem Gleichungssystem) aufgestellt:
4. Leitwertmatrix [G] a) Hauptdiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: Gij für i = j sind die Knotenleitwerte, d.h.
die sich aus der Parallelschaltung aller im Knoten i zusammentreffenden Zweig-Leitwerte ergeben. b) Nebendiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: Gij für i ≠ j sind die Kopplungsleitwerte, d.h. die Summe aller Leitwerte der Verbindungszweige, die den Knoten j direkt mit dem aktuellen Knoten i verbinden: Vorzeichen wegen 2. und 3. immer negativ! Hinweis: Die Leitwertmatrix ist symmetrisch, d. h. es gilt für die Kopplungsleitwerte Gij = Gji.
i ≠ j.
5. Spannungsvektor {U}: Die Elemente des Spannungsvektors Ui, i = 1,…,K-1 sind alle K - 1 unabhängigen Spannungen, d. h. die Spannungen längs der Baumzweige.
6. Stromvektor des Quellströme {IQ}: Die Elemente des Stromvektors Ii, i = 1,…,K-1, werden aus der
Summe aller Quellströme gebildet, die am betrachteten Knoten i angeschlossen sind: ► positives Vorzeichen, wenn der Strom in den Knoten hineinfließt ► negatives Vorzeichen, wenn der Strom aus dem Knoten herausfließt
11 12 1( 1) 1 Q1
21 22 2( 1) 2 Q2
( 1)1 ( 1)2 ( 1)( 1) ( 1) Q( 1)
Knoten 1 : Knoten 2 :
Knoten ( -1):
K
K
K K K K K K
G G G U IG G G U I
G G G U IK
Leitwertmatrix ist symmetrisch!
Tij jiG G G G
Der Index ,,T" steht für transponiert!
Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 11
Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle
1 2 3
4 5 6
Q6
6 S, 8 S, 11S12 S, 4 S, 3 S23,5 A
G G GG G GI
Gegeben:
Leitwerte und Quellstrom
Bezugsknoten D:
Alle unabhängigen Spannungen, U1, U2, U3, zeigen von dem jeweiligen Knoten, A, B, C, auf den Bezugsknoten D
Lösung:
Bild 2.94. Dreimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle:(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 104, 2005])
Q6I1U
3 ?U 2U
A
B
C
6G
1G
3G
4G
5G
2GD
Gesucht:
Die Spannung U3 ist gesucht.
6G
1G 3G
4G 5G
2G
D
BA C
1U 2U 3 ?U
Q6I
Umzeichnung der Schaltung ergibt:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 12
Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle
6G
1G 3G
4G 5G
2G
D
BA C
1U 2U 3 ?U
Q6I6G
1G 3G
4G 5G
2G
D
BA C
1U 2U 3 ?U
Q6I
z.B. Bezugsknoten D erden!
Ist z. B. bei der Schaltungssimulation mit SPICE erforderlich.
SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis
•ElectronicsWORKBENCH - MultiSIM•OrCAD – Capture CIS
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 13
PSPICE – PC-Version von SPICE – CAD-Schaltungssimulation(SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)
PSPICE
www.orcad.com
OrCAD 9.1 Studentenversion
http://www.electronicsworkbench.com/
OrCAD 15.7 Demo CD
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 14
PSPICE - OrCAD – Capture CIS Simulation - Schaltung
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 15
PSPICE - OrCAD – Capture CIS SimulationGleichstromanalyse (DC-Analyse) - Simulationsergebnisse
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 16
Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle
1 4 6 4 6 1 Q6
4 2 4 5 5 2
6 5 3 5 6 3 Q6
Knoten A: Knoten B: 0Knoten C:
G G G G G U IG G G G G UG G G G G U I
6G
1G 3G
4G 5G
2G
D
BA C
1U 2U 3 ?U
Q6I
Knoten-leitwert Kopplungsleitwert zum
Knoten B mit unabhängiger Spannung U2 ist G4
Kopplungsleitwert zumKnoten C mit unabhängiger
Spannung U3 ist G6
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 17
Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle
1 4 6 4 6 1 Q6
4 2 4 5 5 2
6 5 3 5 6 3 Q6
Knoten A: Knoten B: 0Knoten C:
G G G G G U IG G G G G UG G G G G U I
6G
1G 3G
4G 5G
2G
D
BA C
1U 2U 3 ?U
Q6I
Knoten-leitwert
Kopplungsleitwert zum Knoten A mit unabhängiger
Spannung U2 ist G4
Kopplungsleitwert zumKnoten C mit unabhängiger
Spannung U3 ist G5
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 18
Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle
1 4 6 4 6 1 Q6
4 2 4 5 5 2
6 5 3 5 6 3 Q6
Knoten A: Knoten B: 0Knoten C:
G G G G G U IG G G G G UG G G G G U I
6G
1G 3G
4G 5G
2G
D
BA C
1U 2U 3 ?U
Q6I
Knoten-leitwertKopplungsleitwert zum
Knoten A mit unabhängiger Spannung U1 ist G6
Kopplungsleitwert zumKnoten B mit unabhängiger
Spannung U2 ist G5
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 19
Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle
1
2
3
21S 12 S 3 S 23,5A12 S 24 S 4 S 09 S 12 S 54 S 70,5A
UUU
3. Gl. *3:
dann alle addieren, U3 bleibt übrig:
1 4 6 4 6 1 Q6
4 2 4 5 5 2
6 5 3 5 6 3 Q6
Knoten A: Knoten B: 0Knoten C:
G G G G G U IG G G G G UG G G G G U I
1
2
3
21S 12 S 3 S 23,5A12 S 24 S 4 S 03 S 4 S 18 S 23,5A
UUU
3 347 47V 1VU U Oder über Cramersche Regel!
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 20
Ende der Vorlesung