Dr. Bazsó Fülöp - Fizika 1 (SRB-HUN)

7/23/2019 Dr. Bazs Flp - Fizika 1 (SRB-HUN)

1/30

Chapter 1Koordinatni sistemiKoordinatarendszerek

1.1 Primer / Pelda

Tacka P ima Dekartove koordinate (1, 1, 1). Koje su koordinate tackeP u cilindricnom (,,z)-,odnosno sfernom koordinatnom sistemu (r,,)?A P pont Descartes-koordinatai (1, 1, 1). Mik a Ppont henger (,,z)-, illetve gombkoordinatai(r,,)?

Figure 1.1: Cilindricni i sferni koordinatni sistem. Henger- es gombkoordinatarendszer. [1, 2]

Pogledajte (i) sledece stranice: [4, 5,3,7].Tekintse meg a kovetkezo oldalakat (is): [6, 3, 7].

1.1.1 Resenje / Megoldas

Cilindricne koordinate / Hengerkoordinatak

(x,y,z) = (1, 1, 1)

=

x2 +y2 =

2

1


2/30

2 CHAPTER 1. KOORDINATNI SISTEMI KOORDIN ATARENDSZEREK

= arctgy

x= arctg 1 =

4rad= 45

z = 1

(1.1)

Sferne koordinate / Gombkoordinatak

r =

x2 +y2 +z2 =

3

= arctgy

x= arctg 1 =

4rad= 45

= arccosz

r= arccos

13

0.955rad 55 (1.2)

1.2 Primer / Pelda

Napisite pravila transformacije sfernih koordinata u cilindricne i obrnuto.

Adja meg a gombkoordinata transzformacioit hengerkoordinatakba es viszont.


z

r

Figure 1.2: Odnos sfernih i cilindricnih koordinata. Gombi- es hengerkoordinatak viszonya.

Na osnovu slike1.2vidimo da su sve velicine vezane za pravougli trougao. Na osnovu Pitagorineteoreme i definicije trigonometrijskih funkcija nalazimo:A 1.2 abra alapjan latjuk, hogy az osszes mennyiseg egy derekszogu haromszoghoz kotheto.Pitagorasz tetele es a trigonometriai fuggvenyek defincioja alapjan belatjuk, hogy:

Prelazak sa cilindricnih na sferne koordinateHengerkoordinatakrol a gombi koordinatakra valo atteres

r2 = 2 +z2 (1.3)


3/30

1.2. PRIMER / P ELDA 3

cos = z

r =

z2 +z2

= arccos z2 +z2

(1.4)

Prelazak sa sfernih na cilindricne koordinateGombi koordinatakrol a henger koordinatakra valo atteres

z = r cos (1.5) = r sin (1.6)


4/30

4 CHAPTER 1. KOORDINATNI SISTEMI KOORDIN ATARENDSZEREK


5/30

Chapter 2Kinematika

2.1 Veza izmedju geometrije i kinematike:

A geometria es kinematika kozotti kapcsolat:

Vektor brzine je tangenta putanje kojom se telo krece. Telo se krece po pravoj liniji ukoliko jevektor brzine paralelan vektoru ubrzanja.Telo se krece ubrzano na mestima gde se putanja krivi - tamo gde je zakrivljena, odnosno, ubrzanje

je vece na mestima gde se putanja vise krivi. Zakrivljenost putanje (c) merimo poluprecnikomkrivine (r). Poluprecnik krivine je poluprecnik one kruznice cijim lukom priblizno opisujemoputanju na datom odsecku. Gde je poluprecnik krivine manji, zakrivljenost je veca, c = 1

r, shodno

tome tokom kretanja na datom odsecku putanje ubrzanje je vece. Tamo gde je poluprecnik krivinebeskonacan, telo se krece po pravoj liniji.A sebesseg(vektor) a palya erintoje. Egy test egyenesvonalu mozgast vegez amennyiben a sebesseg-es a gyorsulas vektorai parhuzamosak.Ott ahol a palya gorbul, a test gyorsulo mozgast vegez. Ahol a palya gorbulete nagyobb, nagyobba test gyorsulasa (is). A palya gorbuletet a gorbuleti sugar meri, azaz annak a kornek a sugaramelynek vevel kozeltjuk az adott palyaszakaszt. Ahol a gorbuleti sugar kisebb, a palya gorbuletenagyobb. Ott ahol a gorbuleti sugar vegtelen, a test egyenes vonalu mozgast vegez.

2.2 Primer/Pelda: Kinematika

Telo se krece po zakonu r(t) =r0+t+ 2 t

2, gde su i konstantni vektori at oznacava vreme.

Egy test azr(t) =r0+t + 2 t

2 torveny szerint mozog, ahol es konstans vektorok es t az idotjeloli.

2.2.1 Pitanja/ Kerdesek:

1. Koje su merne jedinice koordinata vektora i ?Melyek az es vektor komponenseinek a mertekegysegei?

2. Odredite brzinu i ubrzanje tela.Hatarozza meg a test sebesseget es gyorsulasat.

3. Sta je fizicki smisao konstantnih vektora i ?

5


6/30

6 CHAPTER 2. KINEMATIKA

4. Koji ugao zaklapa vektor brzine i vektor ubrzanja?Milyen szoget zar/alkot a sebesseg es a gyorsulas vektora?

5. Koji je uslov pravolinijskog kretanja?Mi az egyenesvonalu mozgas foltetele?

6. Nacrtajte putanju tela, pretpostavite da je kretanje dvodimenzionalno.

Rajzolja le a test palyajat, tetelezze fol, hogy a mozgas ketdimenzios.

2.2.2 Odgovori / Valaszok:

1. Posto su komponente vektora r dimenzije duzine, merna jedinica im je metar, (m). Kom-ponente vektora t moraju imati dimezije duzine, a vreme ima mernu jedinicu sekund (s), te

ima dimezije duzina/vreme, tj. mernu jedinicu ms. Slicno zakljucujemo da je dimenzija vektora

duzina/vreme2, tj. da komponente vektora imaju mernu jedinicu ms2

.Mivel az r vektor komponensei hosszusag dimenziojuak, a mertekegyseguk meter, (m). Az tvektor komponensei is hosszusag dimenziojuak, t az idot jeloli melynek mertekegysege s, ezert

az vektor komponensei hossz/ido dimenziojuak, azaz mertekegyseguk m

s. Hasonlo okoskodassalmegallapthatjuk, hogy a vektor dimenzioja hossz/ido2, vagyis a mertekegysege m

s2.

2. Brzina je prvi izvod vektora polozaja po vremenu:A sebesseg a helyvektor idoszerinti elso derivaltja:

v=dr

dt =+t (2.1)

Ubrzanje je prvi izvod vektora brzine po vremenu:A gyorsulas a sebesseg idoszerinti elso derivaltja:

a=dv

dt = (2.2)

3. Na osnovu jednacine (2.2) zakljucujemo da je konstantno ubrzanje kojim se telo krece. To

potvrdjuje i dimenzija vektora , kao sto smo zakljucili pod tackom1. Na osnovu jednacine (2.1)zakljuvcujemo da je vektor pocetna brzina tela, tj. v(0) =, sto potvrdjuje i dimenzija vektora, koja je odredjena pod tackom1.A (2.2) egyenlet alapjan megallaptjuk, hogy a test allando gyorsulasa. Ezt a megallaptasta vektor mertekegysege is alatamasztja, amint azt a 1pontban mar belattuk. Az (2.1) egyenletalapjan arra kovetkeztetunk, hogya test kezdeti sebessege, azaz v(0) =, mint azt a1pontban

mar belattuk.4. Ugao vektora brzine i ubrzanja odredjujemo pomocu njihovog skalarnog proizvoda. Znamo da

je za bilo koja dva vektoraa ibnjihov skalarni proizvod zadat saa b= |a||b| cos , gde vektoriaib zaklapaju ugao i| | oznacava duzinu vektora, npr. |b| oznacava duzinu vektora b. Znamo,da za duzinu vektorab vazi|b|2 = b b. Na osnovu jednacina (2.1) i (2.2) koje odredjuju brzinu iubrzanja nalazimo:A sebesseg es gyorsulas kozotti szoget a skalarszorzat segtsegevel hatarozzuk meg. Tudjuk, hogybarmely ket a esb vektor skalarszorzataa b=|a||b| cos , ahol aza esb vektorok altal bezartszog es| |a vektor hosszat jeloli, pl.|b|a bvektor hossza. Tudjuk, hogy egy bvektor|b| hosszara


7/30

2.2. PRIMER/P ELDA: KINEMATIKA 7

50

40

30

20

10

0

10

0 20 40 60 80 100 120 140

Figure 2.1: Putanja tela zadatog jednacinama (2.4). A (2.4) egyenletekkel megadott palya alakja.

igaz, hogy |b|2 = b b. A sebesseget es gyorsulast meghatarozo (2.1) es (2.2) egyenletek alapjan aztkovetkeztetjuk, hogy:

cos = v a

|v

||a

|=

(+t)

|+t

|||

= + 2t2

2 + 2 t+2t2(2.3)

5. Kretanje je pravolinijsko ukoliko su vektori brzine i ubrzanja paralelni.A mozgas akkor egyenesvonalu, ha a sebesseg vektor es a gyorsulas vektor parhuzamos.6. U razmatranom primeru se kretanje uvek vrsi u ravni odredjenoj vektorima brzine i ubrzanja,po parabolicnoj putanji. (Zasto?)A vizsgalt esetben a mozgas mindeg a sebesseg es gyorsulas altal meghatarozott skban, parabolikuspalyan tortenik. (Miert?)

Na slici je prikazana putanja odredjena jednacinama:Az abran a kovektezo egyenletekkel meghatarozott palya van abrazolva:

x(t) = 1 3t+ 5t2, y(t) = 2 + 7t 3t2 (2.4)tj. u odgovarajucim jedinicama / azaz megfelelo mertekegysegekben

r0 = (1, 2), = (2, 7), = (5, 3) (2.5)

Telo se krece donjom granom parabole ka njenom temenu, i nastavlja gornjom granom. (Zasto?)A test a parabola also agan tart annak a csucsahoz, aztan a folso agon mozog tovabb. (Miert?)


8/30


2.3 Primer / Pelda

Zakon kretanja nekog tela je dat jednacinom (2.6). Odredite trenutnu brzinu i trenutno ubrzanjetog tela. c i su odgovarajuce konstante. Koje su merne jedinice konstantici ?Egy test mozgastorvenye a (2.6) egyenlettel van megadva. Hatarozza meg a test pillanatnyisebesseget es pillanatnyi gyorsulasat. cesvalamilyen allandok. Melyek az ces mertekegysegei?

Funkcija cos kao argument mora da ima neimenovani broj. Posto je merna jedinica vremenasekunda, proizvodtnema dimenzija, a to je moguce ukoliko ima dimenzije 1/vreme, tj. mernu

jedinicu 1/s. Svaka komponenta vektora polozaja ima mernu jedinicu metar, stoga i svaka kom-ponenta vektorac ima iste merne jedinice.A cos fuggveny argumentuma csak mertekegyseg nelkuli szam lehet. Mivel az ido mertekegysegepedig masodperc, az t szorzatnak nincs mertekegysege, ezert omega mertekegysege csak 1/slehet. A helyvektor minden komponense hossz, mertekegysege meter, ezert c minden komponenseis hossz, mertekegysege meter.

r(t) =c cos(t) (2.6)


Znamo da vazi: / Tudjuk, hogy:

(cos x) = sin x, (sin x) = cos x, (f(g(x))) =f(g(x))g(x) (2.7)f cos, g(t) =t (2.8)

v(t) = drdt =c(1) sin(t)= c sin(t) (2.9)

a(t) = dv

dt = c cos(t)= c 2 cos(t) (2.10)

Na slici 2.2je prikazan primer kretanja opisanog zakonom kretanja 2.6, (slucaj jednodimenzion-alnog kretanja).A2.2abran a2.6mozgastorveny (es ami belole megtudhato) van abrazolva (egydimenzios mozgaseseten).

2.4 Primer / PeldaZnamo da se vektor polozaja nekog tela menja na osnovu jednacine (2.11). Po kojoj putanji setelo krece?Tudjuk, hogy a test helyzetet lero helyvektor valtozasat a (2.11) egyenlet rja le. Milyen palyanmozog a test?

r(t) = (a cos(t), b sin(t)) (2.11)


9/30


r(t)v(t)a(t)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

Figure 2.2: c = 1m, = 0.81s

. Vertikalna osa je data u odgovarajucim jedinicama. A fuggoleges

tengely megfelelo mertekegysegekben van megadva.


Putanju tela opisuje kriva y = f(x). U jednacini krive nije prisutno vreme. Eliminisimo vreme izjednacina koje opisuju promenu vektora polozaja i dobicemo trazenu krivu.A test palyajat az y=f(x) egyenlet adja meg. Az palya egyenleteben nem szerepel az ido. Ha amozgasegyenletben megszabadulunk az idofuggestol, megkapjuk a keresett gorbet.

x(t) = a cos(t), y(t) =b sin(t) (2.12)

cos(t) = x

a, sin(t) =

y

b (2.13)

Posto vazi trigonometrijski identitet / mivel ervenyes a kovetkezo trigonometriai osszefugges:

cos2 + sin2 = 1 (2.14)

Zakljucujemo da vazi / arra kovetkeztetunk, hogy

x2

a2+

yb

b2 = 1 (2.15)

sto je jednacina elipse. / ami az ellipszis egyenlete.

2.5 Primer / PeldaZnamo da je trenutno ubrzanje nekog tela dato jednacinom (2.17). Odredite brzinu tog tela ukoliko

je pocetna brzina telav0. Neka je u specijalnom slucaju ubrzanje dato jednacinom (2.16), gde jebodgovarajuca konstanta.Tudjuk, hogy egy test pillanatnyi sebesseget a (2.17) egyenlet adja meg. Amennyiben a test kezdetisebessegev0, hatarozza meg annak pillanatnyi sebesseget. Specialis esetben a gyorsulast a (2.16)

egyenlet hatarozza meg, aholbegy megfelelo konstans.

a(t) = b tn (2.16)


10/30



a(t) = dv

dt dv= a(t)dt

v(t)v0

dv= t0

a(t)dt v(t) v0 = t0

a(t)dt (2.17)

v(t) = v0+ t

0

b tndt=v0+ b t

0

tndt=v0+ b tn+1

n+ 1

(2.18)

2.6 Primer / Pelda

Telo se krece u ravni. Sta mozemo da zakljucimo o ubrzanju tela?A test skban mozog. Mit allthatunk annak gyorsulasarol?


Posto je brzina tangenta na putanju, zakljucujemo da su svi vektori brzina takodje u ravni kretanja

tela. To povlaci za sobom da su i svi prirastaji brzina takodje u ravni kretanja, a posto je ubrzanjeproporcionalno prirastaju brzine, znaci da je i vektor ubrzanja u ravni kretanja. Drugim recima,ako bi ubrzanje bilo van ravni kretanja, onda se ni telo ne bi kretalo u ravni.Mivel a sebesseg a palya erintoje, a sebesseg vektor a mozgas skjaban van. Ebbol kovetkezik, hogya sebesseg novekmenyek is a mozgas skjaban vannak, es mivel a gyorsulas aranyos a sebessegnovekmennyel, arra kovetkeztetunk, hogy a gyorsulas is a palya skjaban van. Masszoval, ha agyorsulas kimutatna a mozgas skjabol, akkor a mozgas sem lenne skmozgas.

2.7 Krivina, Grblet

y = f(x) (2.19)

R = (1 +y2)

3

2

y(2.20)

= 1

R (2.21)

2.8 Primer/Pelda:

Kinematika rotacije, 1 /Forgomozgas kinetikaja, 1

Zemlja se obrne oko svoje ose za (T=) 23 casa 56 minuta i 4 sekunde. Poluprecnik Zemlje merenkod ekvatoa iznosi 6,38106 m, grad Subotica se nalazi na 46 06 01 severne geografkse sirine.Izracunajte tangencijalnu brzinu Zemljine rotacije u Subotici, odnosno odgovarajuce centripetalnoubrzanje.A Folgolyo 23 ora 56 perc es 4 masodperc alatt fordul meg sajat tengelye korul. A Fold egyenltonelmert sugara 6,38106 m, Szabadka varos pedig az eszaki szelesseg 46 06 01 -nel helyezkedikel. Szamolja ki a Fold forgasa okozott erintoleges sebesseget Szabadkan, illetve a megfelelo cen-tripetalis gyorsulast.


11/30

2.9. PRIMER/P ELDA: KINEMATIKA ROTACIJE, 2 /FORG OMOZGAS KINETIK AJA, 211


T = 23 60 60s+ 56 60s+ 4s= 86164s.

r

R

Figure 2.3: Sematski prikaz geografske sirine. Foldrajzi szelesseg sematikus abrazolasa.

Neka je R Zemljin poluprecnik, a geografska sirina (ugao u odnosu na ekvator) Subotice.

Rastojanje r izemdju grada Subotice i Zemljine ose rotacije iznosi r = R sin2

= R cos .

Rastojanje koje tokom jednog obrta predje tacka na geografskoj sirini iznosi s = 2r te jetangencijalna brzina v = 2R cos()

T = 6.28318536,3810

6

86164ms 46.5m

s. Centripetalno ubrzanje iznosi

a= v2

r

= 42R cos()

T2 .

Legyen R a Fold sugara, pedig Szabadka szelessegi foka (az egyenltohoz viszonytott szog).

Szabadka es a Fold forgastengelye kozotti tavolsag r = R sin2

= R cos . Egy forgas alatt

megtett tavolsag szelessegen s = 2r, ezert az erintoleges sebesseg v = 2R cos()T

. A centripetalis

gyorsulas a = v2

r = 4

2R cos()T2

.

2.9 Primer/Pelda:


Tocak se kotrlja po podlozi bez proklizavanja. Osovina tocka se krece brzinom v0 u odnosu napodlogu. Kojim brzinama u odnosu na podlogu se krecu tackea,b,c id na slici2.4?A kerek csuszasmentesen gurul a talajon. A kerek tengelyenek a talajhoz viszonytott sebessegev0. Mi a2.4 kepen megjelolt a, b, c esd pontok tala jhoz viszonytott sebessege?


Brzina svake tacke na obodu tocka u odnosu na osovinu iznosi v0. Posto tocak ne proklizava, tackac u odnosu na podlogu je nepokretna, stoga joj je brzina 0. Osovina se u odnosu na podlogu


12/30


b

c

d

a

Figure 2.4: Tacke na obodu tocka sa odgovarajucim brzinama. A kerek peremen levo pontok amegfelelo sebessegekkel.

krece brzinom v0, a tacka au odnosu na osovinu istom tom brzinom, tako da je brzina tackeauodnosu na podlogu 2v0. U tackama b i d brzine imaju horizontalnu i vertikalnu komponentu, obesu jednakev0, tako da je rezultujuca brzina po intenzitetu

2v0. U taccib vertikalna kompenenta

brzine je uperena navise, a u tacci dnanize.A kerek peremen levo pontok tengelyhez viszonytott sebessege v0. Mivel a kerek nem csuszik,a c pont a talajhoz kepest nyugalomban van, sebessege 0. A tengely a talajhoz viszonytva v0sebesseggel halad, az a pont a tengelyhez viszonytva ugyanugyv0 sebeseggel halad, ezert a tala-

jhoz viszonytva az a pont 2v0 sebesseggel halad. b es d pontokban a sebessegnek fuggoleges esvzszintes osszetevoje is van. Mindkettov0, ezert az eredo sebesseg intenzitasa

2v0. Ab pontban

a fuggoleges osszetevo folfele, adpontban lefele mutat.

2.10 Primer/Pelda:


Kupa visineh i poluprecnika osnovice r je polozena i poduprta tako da joj je osa paralelna ravnojpodlozi. U tacci u kojoj je kupa je poduprta nema trenja.Egy h magassagu, r sugaru kup ugy van alatamasztva, hogy a tengelye parhuzamos a talajjal essurlodas nelkul foroghat az alatamasztasi pont korul.

2.10.1 Pitanja / Kerdesek:

1. Koje su ose rotacija?Melyek a forgasi tengelyek?

2. Koja je veza izmedju ugaonih brzina?Mi az osszefugges a szogsebessegek kozott?

3. Koja je trenutna osa rotacije?Melyik a pillanatnyi forgastengely?


13/30

2.10. PRIMER/P ELDA: KINEMATIKA ROTACIJE, 3 /FORG OMOZGAS KINETIK AJA, 313

h

r

1

2

+

1 2

Figure 2.5: Skica / Vazlat.

4. Koliko je ugaono ubrzanje?Mekkora a szoggyorsulas?

2.10.2 Odgovori / Valaszok:

1. Jedna (promenljiva) osa rotacije je osa kupe, druga (nepromenljiva) osa rotacije je normalnana osu kupe i prolazi kroz njeno teme.Az egyik (nem allando) forgastangely a kup tengelye, a masik (allando) forgastangely a kuptengelyere meroleges es athalad a kup csucsan.2. Tangencijalna brzina tacke na obodu kupe je ista bez obzira da li je posmatramo duz jedne ilidruge ose rotacije. Na osnovu toga i poznate jednacine (3.10):A kup szegelyen egy pont erintosebessege ugyanakkora, fuggetlenul attol, hogy melyik forgastengelymenti forgast vizsgaljuk. Ezert az ismert (3.10)-es egyenlet alapjan:

v= r, v= r sin (2.22)

dobijamo veze izmedju ugaonih brzina i tangencijalne brzine:megkapjuk a szogsebessegek kozotti kapcsolatot:

v= 1r, v= 2h (2.23)

tj. / azaz

1

2=

h

r

(2.24)

3. Na osnovu jednacine (2.24) trenutna osa rotacije prolazi kroz teme kupe i kroz tacku u kojojkupa dodiruje podlogu.A (2.24)-as egyenlet alapjan a pillanatnyi forgastengely athalad a kup csucsan es azon a pontonkeresztul, amelyben a kup erinti a talajt.4. Ugaono ubrzanje je vezano za rotaciju vektora 1 oko vertikalne ose ugaonom brzinom 2.Znajuci da je infinitezimalni pomeraj vektora usled rotacije za infinitezimalni ugao d iznosiA szoggyorsulas az 1 fuggoleges tengely koruli forgasabol ered. Tudva, hogy egy vektor in-finitezimalis elfordulas miatti infinitezimalis novekmenye


14/30


dr= d r (2.25)

Posto je vektor rproizvoljan, u jednacini (2.25) na mestoruvrstimo1, koje se rotira za ugaodoko vertikalne ose, te dobijamo infinitezimalni prirastaj vektora1:

Mivel az r tetszoleges, a (2.25)-es egyenletben az r helyere 1-et helyettestunk, es ez d szoggelfordul el a fuggoleges tengely korul, gy megkapjuk 1 infinitezimalis novekmenyet:

d 1= d 1 (2.26)

Podelimo jednacinu (2.26) sa infinitezimalnim vremenskim intervalom dt:Osszuk el az (2.26)-os egyenletet adtinfinitezimalis idointervallumal:

=d 1

dt =

d

dt 1= 2 1 (2.27)


15/30

Chapter 3Pokretni i nepokretni referentni sistemiMozgo es mozdulatlan vonatkoztatasirendszerek

3.1 Primer / Pelda

Fizicke pojave su istebez obzira iz kog referentnog sistema se posmatraju, ali njihov opis mozebiti razlicit, i zavisi od referentnog sistema koji koristimo.A fizikai jelensegeknem fuggenekattol, hogy milyen vonatkoztatasi rendszerbol figyeljuk meg oket,de a fizikai jelensegek ler asa fugghet a vonatkoztatasi rendszertol.

3.1.1 Zadatak / Feladat

Opisite transformacije vremena, vektora polozaja, brzine i ubrzanja izmedju dva proizvoljna ref-

erentna sistema.Adja meg az ido, hely-, sebesseg- es gyorsulas vekor transzformaciojat ket tetszoleges vonatkoz-tatasi rendszer kozott.


Transformacija vremena / Idotranszformacio

Posmatrajmo dva referentna sistema, A i B. U klasicnoj fizici vreme protice jednako u svimreferentnim sistemima.Vizsgaljunk ket vonatkoztatasi rendszert,A-t esB-t. Klasszikus fizikaban az ido egyforman mulikminden vonatkoztatasi rendszerben.

tA= tB (3.1)

Transformacija vektora polozaja / Helyvektor tanszformacio

Neka je polozaj tacke P u prvom sistemu zadat vektorom polozaja rA, a u drugom sistemu jepolozaj iste tacke zadat vektorom polozajarB. Veza izmedju dva vektora polozaja je:

15


16/30

16 CHAPTER 3. REFERENTNI SISTEMI / VONATKOZTAT ASI RENDSZEREK

A B

P

r

r

r

AB

A

B

Figure 3.1: Sistem B je u opstem polozaju u odnosu na sistem A. Polozaj tacke P je proizvoljan.AB rendszer tetszolegesen helyezkedik el azA rendszerhez kepest. APpont helyzete tetszoleges.

Legyen a Ppont helyvektora az elso rendszerbenrA, a masodikban pedig ugyanennek a pontnaka helyvektorarB. A helyvektorok kozotti kapcsolat:

rA= rAB+ rB (3.2)

gderAB oznacava vektor polozaja koordinatnog pocetka sistema B u sistemu A.

aholrAB aB rendszer origojanak a helyvektora az A rendszerbol nezve.Malo detaljnije, pretpostavimo da su jedinicni vektori duz koordinatnih osa u sistemuB zadatitrojkom vektora (e1, e2, e3), tj. da se u referentnom sistemu B vektorrB moze zapisati u obliku:Kicsit reszletesebben, tetelezzuk fol, hogy a B rendszerben a koordinata tengelyek egysegvektorai(e1, e2, e3). Ekkor a B rendszerben azrB vektor a kovetkezo alakban rhato fol:

rB =3

i=1

xiei (3.3)

Transformacija brzine / Sebesseg tanszformacio

Brzina je prvi izvod vektora polozaja po vremenu, tako da nalazimo:A sebesseg a helyvektor idoszerinti elso derivaltja, tehat:

drAdt

=drAB

dt +

brzina translacijeeltolasi sebesseg

3i=1

dxidt

ei +

rotacijaforgatas 3

i=1

xideidt

= ddt

(

3

i=1xiei)

(3.4)


17/30


Prvi clan na desnoj strani jednacine (3.4) opisuje brzinu pomeranja - translacije koordinatnogpocetka sistema B u sistemu A.A (3.4) egyenlet jobboldalan az elso tag a B rendszer origojanak a sebessege az A rendszerben.Drugi clan na desnoj strani jednacine (3.4) opisuje brzinu translacije 1 tacke P vidjene iz sistemaB, tj. to je brzina vB.

2

A (3.4) egyenlet jobboldalan a masodik tag a Ppont eltolasi 3 sebessege ahogyan azt a B rend-

szerbol latni, vagyis az a vB sebesseg. 4Treci clan na desno j strani jednacine (3.4) opisuje rotaciju 5 tacke Pvidjenu iz sistema B .A (3.4) egyenlet jobboldalan a harmadik tag a P pont forgasat rja le 6, ahogyan azt a B rend-szerbol latni.Primetimo da suei jedinicni vektori, te im se moze menjati samo pravac, ali ne i duzina.Vegyuk eszre, hogy azei-k egysegvektorok, ezert azok hossza nem, csak az iranyuk valtozhat.Znaci, za transformaciju brzina nalazimo:Ezek alapjan a sebessegtranszformacio:

vA= vAB+vB+

3

i=1 xi

dei

dt (3.5)

gde je vA brzina tacke P u sistemu A, vAB je brzina sistema B u odnosu na sistem A i vB jebrzina tacke Pvidjena iz sistema B .aholvA aPpont sebessege az A rendszerben,vAB a B rendszer sebessege az aA rendszerben/azA rendszerhez viszonytva es vB a P pont sebessege a B rendszerben.Zadnji clan u jednacini (3.5) je posledica rotacije sistema B vidjene iz sistema A, i u tom smislutaj clan nije vezan za kretanje tacke P, nego je posledica kretanja sistema B u odnosu na sistemA.A (3.5) egyenlet jobboldalan az utolso tag annak a kovetkezmenye, hogy aBrendszer azArendszer-hez viszonytva forog(hat). Ebben az ertelemben, ennek a tagnak nincs koze aPpont mozgasahoz,hanem az aBrendszerArendszerhez viszonytott mozgasanak, pontosabban forgasanak a kovetkez-menye.

Transformacija ubrzanja / Gyorsulas transzformacio

Ubrzanje je prvi izvod (vektora) brzine po vremenu. Izracunajmo prvi izvod po vremenu jednacine(3.5), nalazimo:A gyorsulas a sebesseg idoszerinti elso derivaltja. Szamoljuk ki a (3.5) egyenlet derivaltjat:

dvA

dt

= dvAB

dt

+dvB

dt

+3

i=1d

dt xidei

dt =

dvABdt

+dvB

dt +

3i=1

dxidt

deidt

+3

i=1

xid2eidt2

(3.6)

1Jer ovaj clan ne zavisi o d promene pravaca vektoraei!2 dxi

dt je i-ta komponenta brzine tacke P u sistemu B.

3Mert ez a tag nem fugg az ei vektorok iranyvaltozasatol!4 dxi

dt a P pont sebessegenek i.-dik komponense a B rendszerben.

5Jer ovaj clan zavisi o d promene pravca vektoraei!6Mert ez a tag fugg az ei vektorok iranyvaltozasatol!


18/30


Posto vazi / Mivel:

dvBdt

= d

dt

3i=1

dxidt

ei

=

3i=1

d2xidt2

ei+3

i=1

dxidt

deidt

(3.7)

jednacinu (3.6) mozemo pisati u obliku:

az (3.6) egyenletet a kovetkezo alakban rhatjuk fol:

dvAdt

= dvAB

dt + 2

3i=1

dxidt

deidt

+3

i=1

d2xidt2

ei +3

i=1

xid2eidt2

(3.8)

ili explicitno: / vagy explicit alakban:

aA= aB+

inercijalno ubrzanjetehetetlensegi gyorsulas

aAB+ 23

i=1

dxidt

deidt

Koriolisovo ubrzanjeCoriolis-fele gyorsulas

+

3i=1

xid2eidt2 (3.9)

aA je ubrzanje tacke P u sistemu A, aB je ubrzanje tacke P u sistemu B, aAB je ubrzanje ko-ordinatnog pocetka sistema B u odnosu na sistem A, 2

3i=1

dxidt

deidt

je Koriolisovo ubrzanje, koje

je posledica rotacije sistema B u odnosu na sistem A, i3

i=1xid2eidt2

je ubrzanje koje je posledicaugaonog ubrzanja sistema B u odnosu na sistem A.aA a P pont gyorsulasa az A rendszerben, aB a P pont gyorsulasa a B rendszerben, aAB a B

rendszer origojanak gyorsulasa azA rendszerben, 23i=1 dxidt deidt az un. Coriolis-gyorsulas, mely aBrendszerA rendszerhez viszonytott forgasanak a kovetkezmenye, mg

3i=1xi

d2eidt2

az a gyorsulas,mely aB rendszer A rendszerhez viszonytott szoggyorsulasanak a kovetkezmenye.

3.2 Primedba / Megjegyzes

Vazno je primetiti da je kretanje tacke Pnevezano za kretanje referentnog sistema. TackaP, kaoi referentni sistem moze da se krece proizvoljno. Kao ilustraciju, pogledajte npr. video [9]. Zemljase ne krece drukcije nego inace, samo se posmatrac krece (pomalo) neuobicajeno. Mi smo samozadali veze izmedju opisa kretanja referentnog sistema i kretanja tacke. Vise o ovoj temi moze senaci u wikipediji,[8].Fontos tudni, hogy a Ppont mozgasa es a vonatkoztatasi rendszer mozgasa egymastol fuggetlen.Mindketto teljesen tetszoleges. Erre egy pelda itt talalhato: [9]. A Fold ugyanugy mozog mintmaskor, csak a megfigyelo mozog (kisse) szokatlanul. Mi csak a ket mozgas lerasa kozti kapcsola-tokat rtuk fol. Errol a temarol tobbet a wikipediaban lehet talalni. [8].U okviru klasicne fizike dalje vazi, da je i masa tela invarijantna, tj. da ne zavisi od referentnogsistema, ili od stanja/kretanja posmatraca, tj. mA= mB.A klasszikus fizika keretein belul tovabba az is igaz, hogy egy test tomege invarians, azaz nem fugga vonatkoztatasi rendszertol, azaz nem fugg a megfigyelo mozgasatol/allapotatol, vagyismA= mB.


19/30

3.3. REFERENCIJALNI SISTEMI, BIS / VONATKOZTAT ASI RENDSZEREK, BIS 19

3.3 Pokretni i nepokretni referencijalni sistemi, bis

Mozgo es mozdulatlan vonatkoztatasi rendszerek, bis

Uobicajeno je da se sistem Azove nepokretni sistem, a sistem B pokretni sistem.Szokas az A rendszert mozdulatlan-, es aB rendszert mozgo rendszernek nevezni.Jednacinu (3.5) koja opisuje transformaciju brzina mozemo napisati i u drugom obliku, koristeci

pojam ugaone brzine. Posto znamo da vazi:A sebesseg transzformaciokat lero (3.5) egyenletet maskeppen is fol tudjuk rni, folhasznalva aszogsebesseg fogalmat. Mivel tudjuk, hogy:

dr

dt =v= r (3.10)

zakljucujemo da promena pravaca jedinicnih vektoraei moze da se napise u istom obliku:arra kovetkeztetunk, hogy azei egysegvektrok is hasonloan viselkednek:

dei

dt

=

ei (3.11)

Koristeci pojam ugaone brzine () jednacina (3.5) koja opisuje transformaciju brzina je sledecegoblika:A szogsebesseg () segtsegevelaz egyszer mar folrt (3.5) sebesseg transzformacio a k ovetkezoalakot olti:

vA= vAB+vB+3

i=1

xi( ei) (3.12)

I transformacije ubrzanja mozemo napisati koristeci pojmove ugaone brzine i ugaonog ubrzanja(). Znamo da vazi:Hasonlokeppen rhatjuk fol a gyorsulas transzformaciot is, folhasznalva a szogsebesseg es a szoggyor-

sulas () fogalmait. Tudjuk, hogy:

d2r

dt2 =a=

d

dt=

r + ( r) (3.13)

Posto prethodni izraz vazi za bilo koji vektor r, on vazi i za jedinicne vektoreei.Mivel az elozo kifejezes barmilyenrvektorra igaz, ugy az igaz azei egysegvektorokra is.Koristeci pojmove ugaone brzine i ugaonog ubrzanja, jednacinu za transformaciju ubrzanja (3.9)mozemo pisati (i) u sledecem obliku:A szogsebesseg es a szoggyorsulas segtsegevel a (3.9) gyorsulas transzformacio a kovetkezo alakot

olti:

aA= aB+

inercijalno ubrzanjetehetetlensegi gyorsulas

aAB+ 23

i=1

vi ei Koriolisovo ubrzanje

Coriolis-fele gyorsulas

+3

i=1

xi ei+ ( ei)

(3.14)


20/30


3.3.1 Jos jedan primer / Meg egy pelda

Neka se telo u nepokretnom referentnom sistemu krece konstantnom brzinom po pravoj y = ax +b.Po kojoj krivoj se to telo krece u sistemu koji se rotira konstantnom ugaonom brzinom, a njegovaosa rotacije se nalazi u koordinatnom pocetku nepokretnog referentnog sistema?Mozdulatlan vonatkoztatasi rendszerben egy test az y = ax + b egyenesen mozog egyenletessebesseggel. Milyen gorbe menten mozog ez a test egy allando szogsebesseggel forgo vonatkoz-tatasi rendszerbol nezve, ha a forgo rendszer forgastengelye a mozdulatlan vonatkoztatasi rendszerorigojaban van?Neka su koordinate tacke P = (x, y) u nepokretnom sistemu. Ukoliko zarotiramo koordinatnisistem za ugao , nove koordinate tacke P ce biti (x, y):Legyenek a Ppont koordinatai (x, y) a mozdulatlan vonatkoztatasi rendszerben. Ha a pontotszoggel forgatjuk el, az uj koordinatai (x, y) lesznek:

x

y

=

cos sin sin cos

xy

(3.15)

Ako znamo da se telo krece po pravoj y = ax+b, za svako x znamo i y koordinatu. Uvrstimoto u jednacinu 3.15. Nakon uvrstavanja dobijamo jednacinu putanje u koordinatnom sistemurotiranom za ugao :Ha tudjuk, hogy a test az y = ax+ b egyenesen mozog, minden x koordinatahoz meg tudjukfeleltetni az y koordinatat. A (3.15) egyenletbe valo helyettestes utan azt kapjuk, hogy:

x

y

=

cos sin

sin cos

x

ax+b

(3.16)

Ukoliko se ugao menja po zakonu = t, i brzina duz x ose iznosi vx, za jednacinu putanje upokretnom koordinatnom sistemu dobijamo:Ha aszog idobeli valtozasa= t, es a test sebessegenek az xkomponensevx, a forgo rendszerbena palya egyenlete:

x

y

=

cos t sin t

sin t cos t

vxt

avxt+b

(3.17)

Izgled putanje je prikazan na slikama (3.2,3.3).A palya alakja a (3.2,3.3) abrakon lathato.Primer skripta za gnuplot,[10,11]program kojim su nacrtane i slike (3.2,3.3).Egy gnuplotszkript pelda, [10,11], amellyel a (3.2,3.3) abrak is meg lettek rajzolva.

# prava y=ax+b egyenes

# c: ugaona brzina / szogsebesseg

# d: x komponenta brzine / a sebesseg x komponense

a=1

b=2

c=4

d=1

set parametric

set xrange [-10:10]


21/30

3.3. REFERENCIJALNI SISTEMI, BIS / VONATKOZTAT ASI RENDSZEREK, BIS 21

set yrange [-10:10]

set size ratio 1

plot [-6:6] d*t*(cos(c*t)-a*sin(c*t)) - b*sin(c*t), /

d*t*(a*cos(c*t)+sin(c*t))+b*cos(c*t) t ""

pause -1

10

5

0

5

10

10 5 0 5 1010

5

0

5

10

10 5 0 5 10

10

5

0

5

10

10 5 0 5 10

Figure 3.2: = 4 s1,vx = 1ms, a = 1, b = 2. y= ax+b,t 0, t 0.


22/30


10

5

0

5

10

10 5 0 5 1010

5

0

5

10

10 5 0 5 10

10

5

0

5

10

10 5 0 5 10

Figure 3.3: = 4 s

1, vx= 1ms, a = 1,b = 0. y= ax, t 0,t 0.


23/30

Chapter 4Dinamika

4.1 Primer primene Njutnovih zakona - Pelda a Newton

torvenyek alkalmazasara

Odredite ugao pri kome se telo koje klizi niz polusferu odvoji od nje. Koeficijent trenja izemdjutela i polusfere je k . U pocetku se telo nalazilo na vrhu polusferem pocetna brzina mu je bila 0.Najmanje koliki treba da bude koeficijent trenja da se telo ne bi odvojilo od polusfere?Hatarozza meg azt a szoget amelynel egy felgombon csuszo test levalik egy felgombrol, amennyibena test es a felgomb kozotti surlodasi egyutthatok . A kezdeti pillanatban a test nyugalomban volta felgomb tetejen.Legalabb mekkora kell, hogy legyen k , hogy a test ne valjon le a felgombrol?

4.1.1 Resenje Megoldas

Primetimo da se kretanje vrsi u vertikalnoj ravni duz luka polusfere.

Vegyuk eszre, hogy a mozgas a fuggoleges skban tortenik, a felgomb ve menten.Tangencijalna i normalna komponenta sile teze, odnosno sila trenjaF su:

QT

N

r

RF

Figure 4.1: Sile koje deluju na telo. A testre hato erok.

A nehezsegi ero erintoleges es meroleges osszetevoje, illetve a surlodasi erok (F):

T =mgsin , N=mgcos , F =kN=kmgcos (4.1)

Duz tangencijalnog pravca telo ubrzava tangencijalna komponenta sile teze, dok ga sila trenjakoci. Jednacina kretanja duz tangencijalnog pravca je:

23


24/30

24 CHAPTER 4. DINAMIKA

Az erintoleges irany menten test a nehezsegi ero erintoleges osszetevojenek hatasara gyorsul, mga surlodasi ero lasstja. Erintoleges iranyban a mozgasegyenlet:

mdv

dt =T F =mg(sin k cos ) (4.2)

Dok telo klizi niz polusferu na njega deluje i sila reakcije polusfere R. Znajuci opsti izraz za

normalnu kompenentu ubrzanja, jednacina kretanja duz normalnog pravca je:Amg a test a felgombon van, arra a felgomb ellenhatasa (R) is hat. Ismerve a meroleges gyorsulaskifejezeset, a meroleges iranyu mozgasegyenlet:

mv2

r =mgcos R (4.3)

Zavisnost brzine od vremena na levoj strani jednacine (4.2) pretvorimo u zavisnost od ugla.A sebesseg idofuggeset a (4.2) mozgasegynlet baloldalan lecsereljuk szoggfuggesre:

dv

dt

= dv

dt

dl

dl=1

=dv

dl

dl

dt=v=v

dv

dl

=vdv

rd

=v

r

dv

d

(4.4)

Jednacina kretanja duz tangencijalnog pravca sada glasi:Az erintoleges iranyu mozgasegyenlet gy:

mv

r

dv

d =mg(sin k cos ) (4.5)

Podelimo levu i desnu stranu jednacine (4.5) sa masom tela, odnosno pomnozimo obe strane sard. Dobijamo:Osszuk el az (4.5) egyenlet mindket oldalat a test tomegevel, illetve szorozzuk be mindket oldalatrd-val.

v dv= gr(sin k cos )d (4.6)Ukoliko je telo pocelo da klizi nultom pocetnom brzinom, granice integracije za brzinu su 0 i v0 -brzina u trenutku odvajanja, dok su granice integracije za ugao 0 i 0- ugao u trenutku odvajanja.Amennyiben a test nyugalmi allapotbol indul, a sebesseg szerinti integralas hatarai 0 esv0- sebessega levalas pillanataban, mg a szog szerinti integralas hatarai 0 es 0 - a levalasi szog.

v00

v dv = gr 00

(sin k cos )d

v

2

02 = gr( cos k sin )|

00 =gr(1 cos 0 k sin 0) (4.7)

Na osnovu jednacine kretanja duz normalnog pravca mozemo da odredimo trenutak kada se teloodvoji od polusfere, to je prvi trenutak kada sila reakcije postane jednaka nuli. Znaci u trenutkuodvajanja vazi:A meroleges irany szerinti mozgasegyenletbol meg tudjuk hatarozni a levalas piilanatat, az az elsopillanat, amikor a felgomb ellenhatasa nulla. Tehat a levalas pillanataban:

mv20r

=mgcos 0 (4.8)


25/30

4.2. PRIMER IZRACUNAVANJA RADA - P ELDA A MUNKA KISZ AM IT AS ARA 25

Skratimo sam i pomnozimo sa r, te izrazimo kvadrat brzine iz obe jednacine, dobijamo:Egyszerustsunk a test tomegevel es szorozzuk be mindket oldalt r-rl es fejezzuk ki a sebessegnegyzetet mindket egyenletbol:

v20 = 2gr(1 cos 0 k sin 0) (4.9)v20 = gr cos 0 (4.10)

Posto su leve strane jednake, jednake su i desne strane. Dobili smo jednacinu koja odredjuje ugaoodvajanja:Mivel a baloldalak egyenloek, egyenloek a jobboldalak is. Megkaptuk a levalasi szoget meghatarozoegyenletet:

cos 0 = 2(1 cos 0 k sin 0) (4.11)3cos 0+ 2k sin 0= 2 (4.12)

3cos 0+ 2k

1 cos2 0= 2 (4.13)2k

1 cos2 0 = 2 3cos 0 (4.14)4k2(1

cos2 0) = 4

12cos 0+ 9 cos

2 0 (4.15)

(9 +k2)cos2 0 12cos 0+ 4(1 k2) = 0 (4.16)

cos 0 =12

144 16(9 +k2)(1 k2)

2(9 +k2) =

6

36 4(9 +k2)(1 k2)9 +k2

(4.17)

Po svom smislu cos 0 mora da bude izmedju nule i jedinice. U slucaju da nema trenja, k = 0,dobijamo vrednost cos 0 =

23 . Posto se telo zbog trenja sporije ubrzava, kosinus ugla odvajanja

mora biti manji od 231, te stoga biramo negativan predznak ispred korena.

Ertelem szerint cos 0 nulla es egy kozott van. Surlodasmentes esetben k = 0, ezert cos 0 = 23 .

Mivel a surlodas miatt a test lassabban gyorsul, surlodas eseten a levalasi szognek nagyobbnakkell lennie, vagyis a koszinuszanak 2

3-nal kissebnek kell lenni2,ezert a gyok elott a negatv elojelet

valasztjuk.

cos 0 =12

144 16(9 +k2)(1 k2)

2(9 +k2) =

6

36 4(9 +k2)(1 k2)9 +k2

(4.18)

Za vrednost koeficijenta trenja k 1 telo se ne odvoji od polusfere, nego klizeci po polusferidotakne podlogu. Jer za k = 1 diskriminanta izraza (4.18) dobija vrednst 36, ciji je koren 6, tebrojilac razlomka postane 0.Ha a surlodasi egyutthato legalabb 1 vagy annl nagyobb k1, a test nem valik le a felgombrol,vegig a felgombon csuszik. Hak = 1, akkor a (4.18) kifejezesben a diszkriminans egyenlo 36-al,melynek gyoke 6, gy a tort szamlaloja 0.

4.2 Primer izracunavanja rada - Pelda a munka kiszamtasara

Izracunajte rad tangencijalne komponente sile teze iz prethodnog primera duz luka polusfere.Szamolja ki az elozo peldaban meghatarozott nehezsegi ero erintoleges osszetevojenek munkajat afelgomb ve menten.

1Kako ugao raste, tako mu kosinus opada.2Ahogy a szog novekszik, koszinusza ugy csokken.


26/30

26 CHAPTER 4. DINAMIKA

4.2.1 Resenje Megoldas

Telo se kree duz luka kruznice poluprecnikar. Duzina luka je l = r, gde je odgovarajui ugao.Infinitezimalni element puta se po pravcu poklapa sa tangentom, a duzina mu je dl = rd . SilaTi element infinitezimalni puta su paralelni, te je rad sile jednak:A test az r sugaru felgomb ve menten mozog. Egy korv hossza l= r, ahol a megfelelo szog.Az infinitezimalis elmozdulas iranya megegyezik az erinto iranyaval, hossza pedig dl = rd. A Tero es az elmozdulas egymassal parhuzamosak, ezert az ero altal vegzett munka:

A= l00

T dl= 00

mgsin =T

rd=dl

=mgr 00

sin d = mgr(1 cos 0) (4.19)

U slucaju da nema trenja:Surlodasmentes esetben:

A=mgr

3 (4.20)


27/30

Bibliography

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_CY_1.svg

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_SZ_0.svg

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system

[4] http://sh.wikipedia.org/wiki/Cilindri%C4%8Dni_koordinatni_sistem

[5] http://sh.wikipedia.org/wiki/Sferni_koordinatni_sistem

[6] http://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mbi_koordin%C3%A1t%C3%A1k

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system

[8] http://en.wikipedia.org/Fictitious_force

[9] http://www.youtube.com/watch?v=Y95qHqPU23Y

[10] http://www.gnuplot.info

[11] http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/index-e.html

27
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_CY_1.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_SZ_0.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_systemhttp://sh.wikipedia.org/wiki/Cilindri%C4%8Dni_koordinatni_sistemhttp://sh.wikipedia.org/wiki/Sferni_koordinatni_sistemhttp://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mbi_koordin%C3%A1t%C3%A1khttp://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_systemhttp://en.wikipedia.org/Fictitious_forcehttp://www.youtube.com/watch?v=Y95qHqPU23Yhttp://www.gnuplot.info/http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/index-e.htmlhttp://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/index-e.htmlhttp://www.gnuplot.info/http://www.youtube.com/watch?v=Y95qHqPU23Yhttp://en.wikipedia.org/Fictitious_forcehttp://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_systemhttp://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mbi_koordin%C3%A1t%C3%A1khttp://sh.wikipedia.org/wiki/Sferni_koordinatni_sistemhttp://sh.wikipedia.org/wiki/Cilindri%C4%8Dni_koordinatni_sistemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_systemhttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_SZ_0.svghttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Coord_system_CY_1.svg


28/30

28 BIBLIOGRAPHY


29/30

Contents

1 Koordinatni sistemi Koordinatarendszerek 11.1 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Kinematika 52.1 Veza izmedju geometrije i kinematike:

A geometria es kinematika kozotti kapcsolat: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Primer/Pelda: Kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Pitanja/ Kerdesek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Odgovori / Valaszok: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7 Krivina, Grblet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Primer/Pelda:

Kinematika rotacije, 1 /Forgomozgas kinetikaja, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.9 Primer/Pelda:Kinematika rotacije, 2 /Forgomozgas kinetikaja, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9.1 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.10 Primer/Pelda:Kinematika rotacije, 3 /Forgomozgas kinetikaja, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10.1 Pitanja / Kerdesek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10.2 Odgovori / Valaszok: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Referentni sistemi / Vonatkoztatasi rendszerek 153.1 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 Zadatak / Feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2 Resenje / Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Primedba / Megjegyzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

29


30/30

30 CONTENTS

3.3 referencijalni sistemi, bis / Vonatkoztatasi rendszerek, bis . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.1 Jos jedan primer / Meg egy pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Dinamika 234.1 Primer primene Njutnovih zakona - Pelda a Newton torvenyek alkalmazasara . . . . 23

4.1.1 Resenje Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Primer izracunavanja rada - Pelda a munka kiszamtasara . . . . . . . . . . . . . . 254.2.1 Resenje Megoldas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Documents

Dr. Bazsó Fülöp - Fizika 1 (SRB-HUN)