9.9.

Dr. Balogh PéterDr. Balogh Péter

Gazdaságelemzési és Statisztika TanszékGazdaságelemzési és Statisztika Tanszék

DE-AMTC-GVKDE-AMTC-GVK

StatisztikaStatisztika

22

Empirikus eloszlások típusai

Empirikus eloszlások típusai

Egy móduszú eloszlás

Egy móduszú eloszlás

Több módoszú eloszlás

Több módoszú eloszlás

SzimmetrikusSzimmetrikus AszimmetrikusAszimmetrikus

MérsékeltenMérsékelten ErősenErősen

Bal oldaliBal oldali Jobb oldaliJobb oldali J alakú J alakú Fordított J alakúFordított J alakú

33

Aszimmetrikus eloszlásokAszimmetrikus eloszlások

Bal oldali aszimmetria Jobb oldali aszimmetria

xMeMo x Me Mo

44

Erősen aszimmetrikus eloszlások

J alakú Fordított J alakú

55Jobbra elnyúló Balra elnyúló

66

AlakmutatókAlakmutatók

arra szolgálnak, hogy tömör számszerű formában arra szolgálnak, hogy tömör számszerű formában jellemezzék, hogy milyen tekintetben és milyen jellemezzék, hogy milyen tekintetben és milyen mértékben tér el az adott eloszlás a normális eloszlás mértékben tér el az adott eloszlás a normális eloszlás gyakorisági görbéjéből. gyakorisági görbéjéből.

Mértékegység nélküli mutatók.Mértékegység nélküli mutatók.

77

ASZIMMETRIAASZIMMETRIA

Az aszimmetria a számtani átlag és a módusz egymáshoz viszonyított helyzetétől függ: értékük minél távolabb esik egymástól, annál nagyobb az aszimmetria mértéke.

Az aszimmetria mutatószáma egy móduszú eloszlás esetén:

SMoX

A

88

ASZIMMETRIAASZIMMETRIA

Értéke: -1<A<1 (a gyakorlatban)

Bal oldali aszimmetria: A pozitív

Jobb oldali aszimmetria: A negatív

Ha A > 0,5 erős aszimmetria

Szimmetrikus eloszlás: A = 0

99

Aszimmetria mutatókAszimmetria mutatók

Ha +, bal oldali aszimmetria

- , jobb oldali aszimmetria

0 , szimmetrikus az eloszlás

)()(

)()(

13

1325,0 QMeMeQ

QMeMeQF

F- mutató (kvartiliseken alapul)

-1≤ F ≤1

1010

Csúcsossági mutatóCsúcsossági mutató

Normális eloszlás esetén a K~0,263

Ha K> 0,263 lapultabb az eloszlás a vele azonos szórású normális eloszláshoz képest

Ha K< 0,263 csúcsosabb az eloszlás a vele azonos szórású normális eloszláshoz képest

)(2 19

13

DD

QQK

1111

KoncentrációKoncentráció

A sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős részének vagy egészének kevés egységre történő összpontosulását koncentrációnak nevezzük

Lehet : Abszolút : ha a vizsgált sokaság nagysága kicsi –

tényleg kevés egységre összpontosul Relatív : sokaság nagy : a „kevés” egységet az egész

sokasághoz viszonyítják Koncentráció hiánya : egyenletes eloszlás

1212

ABSZOLÚT KONCENTRÁCIÓABSZOLÚT KONCENTRÁCIÓ(AZ EGYSÉGEK NAGYSÁGA)(AZ EGYSÉGEK NAGYSÁGA)

A teljes értékösszeg kevés számú egységhez tartozik (energiaipar, gépkocsigyártás)

Felső határ ha a sokaság egy egységből áll (n = 1) és a teljes értékösszeg ehhez az egy egységhez tartozik.

Jellemezhetjük:

A sokaság tagszámával: n (az értékösszeg hány egységhez tartozik),

Számtani átlaggal: (mekkora az egységek átlagos nagysága).

1313

Speciális elemzés eszközei:

koncentrációs táblázat,

a kvantilis eloszlás,

a Lorenz-görbe..

Relatív koncentráció: az egységek nagyságának különbözőségét, szóródását jelenti.

1414

KoncentrációKoncentráció

tőke, vagyon, termelés,forgalom, eredmény

gazdasági szervezetek

export, import országok,termékek,gazdasági szervezetek

mezőgazdasági földterület, eszközállomány,állatállomány

gazdasági szervezetek,tulajdonosok

lakossági jövedelem, vagyon lakosság,háztartások

ÉRTÉKÖSSZEG (s) SOKASÁG (n)

1515

KoncentrációKoncentráció

Abszolút koncentráció: az értékösszeg kevés egységére összpontosul (pl.: energiaiparban, gépkocsigyártásban)

Relatív koncentráció: az értékösszeg relatív értelemben kevés egységnél összpontosul (pl.: személyi jövedelemben)

1616

KONCENTRÁCIÓS TÁBLÁZATKONCENTRÁCIÓS TÁBLÁZAT

A relatív gyakoriságok és a relatív értékösszegek

összehasonlítását mutatja

A vizsgált sokaságot mennyiségi ismérv (koncentrációs

ismérv) szerint csoportosítjuk, és meghatározzuk az

egyes csoportokba tartozó egységek részarányát,

valamint ezen egységeknek az értékösszegből való

részesedését

1717

KONCENTRÁCIÓS TÁBLÁZATKONCENTRÁCIÓS TÁBLÁZAT

Képet ad a koncentrációs ismérv eloszlásáról

Összehasonlítja nagyság kategóriánként a sokaságból és

az értékösszegből való részesedéseket

Elkészítjük a kumulált relatív gyakorisági és

értékösszegsort is

Ezeket szembeállítva megállapíthatjuk, hogy az

egységek adott sokaságbeli aránya - az értékösszeg -

mekkora hányadával rendelkezik

1818

Koncentrációs táblaKoncentrációs tábla

Építési-szerelésitevékenységet végzők

száma

A szervezetek számának

relatív gyakorisága

A tevékenységrelatív

értékösszege

fő %% %%

xi ggii zzii

11-20 55,255,2 14,914,9

21-50 29,029,0 20,020,0

51-100 10,510,5 15,715,7

101-200 2,82,8 8,58,5

201-500 1,71,7 17,017,0

501-1000 0,50,5 15,915,9

1001-1500 0,30,3 8,08,0

Összesen: 100,0100,0 100,0100,0

1919

KVANTILIS ELOSZLÁSKVANTILIS ELOSZLÁS

Hosszú távú időbeli összehasonlításoknál

Területi összehasonlításoknál

Személyi jövedelem koncentrációjának elemzésénél

használjuk

2020

KVANTILIS ELOSZLÁSKVANTILIS ELOSZLÁS

A kvantilis eloszlás az adott ismérv szerint sorba

rendezett azonos hányadokhoz tartozó értékösszeg

hányadokat fejezi ki (pl. a személyi jövedelmek decilis

eloszlása azt fejezi ki, hogy a jövedelem nagysága

szerint sorba rendezett népességtizedek az összes

jövedelem hány százalékával rendelkeznek).

2121

A személygépkocsi állomány jövedelmek szerinti decilis A személygépkocsi állomány jövedelmek szerinti decilis

eloszlása Magyarországoneloszlása Magyarországon 1993 1996 1993 1996

Népesség tizedekNépesség tizedekSzáz háztartásra jutó db

s i

%zi

1.1. 27 16 6,7 4,7

2.2. 31 28 7,7 8,3

3.3. 32 32 7,9 9,4

4.4. 30 31 7,4 9,1

5.5. 32 29 7,9 8,6

6.6. 39 27 9,6 8,0

7.7. 45 34 11,1 10,0

8.8. 51 37 12,6 10,9

9.9. 54 46 13,3 13,6

10.10. 64 59 15,8 17,4

ÖsszesenÖsszesen 405 339 100,0 100,0

2222

%7,6100405

271001

1 ss

z

%7,7100405

311002

2 ss

z

2323

A LORENZ-GÖRBEA LORENZ-GÖRBE

A Lorenz-görbe: egy egységoldalú négyzetben

elhelyezett ábra, amely a kumulált relatív értékösszeget

(z’i ) a kumulált relatív gyakoriságok (g’i) függvényében

ábrázolja. A kumulálás a legkisebb egyedtől a

legnagyobbig terjed

2424

A relatív koncentráció általános elemzési eszköze:

minél nagyobb fokú a koncentráció a görbe annál

távolabb kerül a négyzet átlójától,

teljes koncentráció esetén a görbe egybeesik a

koordináta tengelyekkel.

2525

ÁTLAGPONTÁTLAGPONT

Az átlagpont az a pont, ahol az átlóval párhuzamos

egyenes érinti a görbét (tg = 1). Koordinátáiból

leolvasható, hogy az egységek hány %-a kisebb illetve

nagyobb az átlagnál, és ezen csoportokhoz az értékösszeg

mekkora hányada tartozik..

2626

Felhasználása:

szemléltetés,

interpoláció,

azonos sokaság esetén több ismérv koncentrációjának

egybevetése,

adott ismérv koncentrációjának időbeli, illetve térbeli

összehasonlítása.

A LORENZ-GÖRBEA LORENZ-GÖRBE

2727

Az építőipari szervezetek megoszlása a tevékenységet

végzők nagyságcsoportjai szerint 1994-ben

Építési-szerelésitevékenységet végzők

száma

Szervezetek száma

Építési-szerelési

tevékenység

Építési-szerelésitevékenységet végzők

létszáma

fő darab millió Ft fő

xi fi si si

11-20 1388 33225 10714

21-50 730 44746 20091

51-100 264 35100 15302

101-200 71 19063 7946

201-500 43 37976 10908

501-1000 13 35621 7084

1001-1500 4 17994 3541

Összesen: 2513 223725 75586

2828

A A szervezeteszervezete

k k számának számának

relatív relatív gyakorisággyakoriság

a a

A A tevékenystevékenys

égégrelatívrelatívéértékrték--

összege összege

A A létszámlétszámrelatívrelatívéértékrték--

összegeösszege

A A szervezeteszervezete

k k számánakszámánakkumulált kumulált relatívrelatív

gyakorisággyakoriságaa

A A tevékenysétevékenysé

ggkumulált kumulált relatívrelatívéértékrték--

összegeösszege

A létszámA létszámkumulált kumulált relatívrelatívéértékrték--

összegeösszege

%% %% %% %% %% %%

ggii zzii zzii g’g’ii z’z’ii z’z’ii

55,255,2 14,914,9 14,214,2 55,255,2 14,914,9 14,214,2

29,029,0 20,020,0 26,626,6 84,284,2 34,934,9 40,840,8

10,510,5 15,715,7 20,220,2 94,794,7 50,650,6 61,061,0

2,82,8 8,58,5 10,510,5 97,597,5 59,159,1 71,571,5

1,71,7 17,017,0 14,414,4 99,299,2 76,176,1 85,985,9

0,50,5 15,915,9 9,49,4 99,799,7 92,092,0 95,395,3

0,30,3 8,08,0 4,74,7 100,0100,0 100,0100,0 100,0100,0

100,0100,0 100,0100,0 100,0100,0

2929

%2,551002513

13881001

1 nf

g

%9,14100223725

332251001

1 ss

z tev

%2,84292,55212 ggg

%9,34209,14212 zzz tev

3030

Lorenz-görbeLorenz-görbe

Egységoldalú négyzetben elhelyezett ábra,amely a kumulált relatív értékösszegeket értékeket a kumulált relatív gyakoriságok értékeinek függvényében ábrázolja.

Felhasználása: relatív koncentráció szemléltetése több ismérv koncentrációjának egybevetése adott ismérv koncentrációjának időbeli vagy térbeli egybevetése

3131

Lorenz görbeLorenz görbe Négyzet, oldalai 100 % hosszúak Rangsor alapján, vagy osztályközös kumulált

relatív gyakorisági/ értékösszeg sorból nyert pontok összekötése

Koncentrációs terület : görbe és az átló közötti terület, jellemzője a : koncentrációs együttható L

Átlagpont : a görbe és az átlóval párhuzamos egyenes érintési pontja

12

Y

GL

3232

Lorenz-görbeLorenz-görbe

3333

A relatív koncentráció általános elemzési eszköze:

minél nagyobb fokú a koncentráció a görbe annál

távolabb kerül a négyzet átlójától,

teljes koncentráció esetén a görbe egybeesik a

koordináta tengelyekkel.

3434

A népesség A népesség száma, főszáma, fő

Osztályköz Osztályköz hosszúsághosszúság

A városokA városok

számaszáma Számának %-Számának %-os kumulált os kumulált megoszlásamegoszlása

Népességének Népességének számaszáma

Népességének Népességének %-os %-os kumulált kumulált megoszlásamegoszlása

- 5999- 5999

6000-119996000-11999

12000-1799912000-17999

18000-2399918000-23999

24000-3999924000-39999

40000-7999940000-79999

80000-80000-

??

60006000

60006000

60006000

1600016000

4000040000

??

2424

6565

3030

2727

2424

1414

99

12,40%12,40%

46,10%46,10%

61,60%61,60%

75,60%75,60%

88%88%

95,30%95,30%

100%100%

109 216109 216

580 133580 133

430 350430 350

546 159546 159

751 171751 171

821 709821 709

1 261 5691 261 569

2,40%2,40%

15,30%15,30%

24,90%24,90%

37%37%

53,70%53,70%

72%72%

100%100%

Összesen :Összesen : 193193 4 500 3074 500 307

3535

Magyar városi lakosság Lorenz görbéje

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Számának kumulált %-os megoszlása

Nép

essé

gén

ek k

um

ulá

lt %

-os

meg

osz

lása