Título de la obra original: The Chemistry Maths Book

Edición original en lengua inglesa publicada por: Oxford University Press Inc., New York. U.S.A.

Copyright © E. Steiner 1996, 2003

Edición en español

Versión española por: Salvador Jiménez Departamento de Matemática y Física Aplicadas Universidad Alfonso X El Sabio Madrid - España

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 reverte@reverte.com www.reverte.com

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# 1257

© Editorial Reverté, S. A., 2005

Edición en papel ISBN: 978-84-291-5159-6

Edición e-book (PDF) ISBN: 978-84-291-9439-5

Este libro describe las matematicas necesarias para todo el conjunto de temas que con-forman una carrera universitaria de quımica (u otra ciencia aplicada). Ha sido ideadopara que sirva de libro de texto para asignaturas de ‘matematicas para quımicos’.

Los temas se desarrollan de forma logica y consistente con pocas suposiciones deun conocimiento previo de matematicas. El material esta organizado en tres partes inde-pendientes en gran medida: los Capıtulos 1 al 15 tratan de algebra, calculo, ecuacionesdiferenciales y desarrollos en series; los Capıtulos 16 a 19 de vectores, determinantesy matrices; los Capıtulos 20 y 21 son introducciones a los grandes temas de analisisnumerico y estadıstica.

Una caracterıstica de este libro es el uso extenso de ejemplos para ilustrar todos losconceptos y metodos importantes del texto. Algunos de esos ejemplos se usan tambienpara mostrar aplicaciones de las matematicas en quımica y varios conceptos basicos defısica. Los ejercicios al final de cada capıtulo, 900 en total, son un elemento esencialdel desarrollo de los temas, y han sido ideados para dar al estudiante un conocimientooperativo del material del texto. Se dan las soluciones a todos los ejercicios numericos.El texto se acompana de una historia de las matematicas en notas a pie de pagina.

Algunos temas de quımica reciben un tratamiento extenso. Entre ellos el concepto detrabajo presion-volumen en termodinamica en el Capıtulo 5, los sistemas periodicos enel Capıtulo 8, las ecuaciones diferenciales de la cinetica quımica en el Capıtulo 11, yvarias aplicaciones de la ecuacion de Schrodinger en los Capıtulos 12 y 14. Ademas, elcontenido de varios capıtulos viene determinando en gran medida por sus aplicacionesen las ciencias fısicas: Capıtulo 9, las matematicas de la termodinamica; Capıtulos 10y 16, descripcion de sistemas y procesos en tres dimensiones; Capıtulo 13 (avanzado),algunas ecuaciones diferenciales y funciones especiales importantes en quımica y fısi-ca matematicas; Capıtulo 15 (avanzado), fuerzas intermoleculares, analisis ondulatorioy espectroscopıa de transformada de Fourier; Capıtulos 18 y 19, simetrıa molecular yoperaciones de simetrıa, teorıa de orbitales moleculares, dinamica molecular y mecanicacuantica avanzada.

Agradecimientos

Quiero expresar mi gratitud a mis colegas de Departamento de Quımica por su estımu-lo, crıtica y ayuda en la preparacion de este libro. Quiero dar las gracias en particulara los Doctores John Sandall y David Rosseinsky, a los Profesores Ken Schofield y An-thony Legon, por sus valiosos comentarios sobre determinados capıtulos, y al ProfesorPatrick Fowler por su constante apoyo y crıtica constructiva durante todas las etapas dela redaccion del libro.

VI Prefacio

Estoy en deuda con mis alumnos por convencerme de que este libro era necesario, ycon los revisores por persuadir a Oxford University Press de que lo publicase.

Sobre todo, quiero agradecer a Mary Steiner su paciencia y su fe en mı.

Exeter, julio 1995 Erich Steiner

01 Numeros, variables y algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.20 Numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.30 Representacion decimal de los numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.40 Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.50 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.60 El algebra de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201.70 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

02 Funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2302.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2302.20 Representacion grafica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2502.30 Factorizacion y simplificacion de expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2702.40 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2902.50 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3102.60 Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3902.70 Resolucion de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4302.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

03 Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4903.10 Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4903.20 Relaciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5703.30 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6103.40 Funciones trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6203.50 La funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6303.60 La funcion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6603.70 Valores de las funciones exponencial y logarıtmica . . . . . . . . . . . . . 6903.80 Funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7003.90 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

04 Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7504.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7504.20 El proceso de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7604.30 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7904.40 Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VIII Indice de contenidos

04.50 Derivacion a partir de primeros principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8204.60 Derivacion a partir de reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8304.70 Funciones implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9004.80 Derivada logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9104.90 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9204.10 Puntos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9304.11 Movimientos lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9704.12 El diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9904.13 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

05 Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10505.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10505.20 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10705.30 La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11005.40 El calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11905.50 Usos del calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12405.60 Propiedades estaticas de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12505.70 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12805.80 Trabajo presion-volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13405.90 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

06 Metodos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13906.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13906.20 El uso de relaciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14006.30 El metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14106.40 Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14706.50 Formulas de reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15006.60 Integrandos racionales. El metodo de fracciones simples . . . . . . . . 15306.70 Derivacion parametrica de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15706.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

07 Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16307.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16307.20 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16407.30 Series finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16707.40 Series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17407.50 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17507.60 Series de MacLaurin y de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17807.70 Valores aproximados y lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18307.80 Operaciones con series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18707.90 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Indice de contenidos IX

08 Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19308.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19308.20 El algebra de los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19408.30 Representacion grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19608.40 Funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20208.50 Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20308.60 Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20608.70 Calculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21108.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

09 Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21509.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21509.20 Representacion grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21609.30 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21709.40 Puntos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22109.50 El diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22509.60 Algunas propiedades diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22809.70 Diferenciales exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23709.80 Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23909.90 Integrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24509.10 La integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24609.11 Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24909.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10 Funciones en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25710.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25710.20 Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.30 Funciones de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25910.40 Integrales de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.50 El operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.60 Otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26810.70 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

11 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27511.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27511.20 Solucion de una ecuacion diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27611.30 Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27811.40 Ecuaciones separables en cinetica quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.50 Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.60 Un ejemplo de ecuaciones lineales en cinetica quımica . . . . . . . . . 29011.70 Circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

X Indice de contenidos

12 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Coeficientes constantes 29712.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29712.20 Ecuaciones lineales homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29712.30 Solucion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29912.40 Soluciones particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.50 El oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30612.60 Partıcula en un pozo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31012.70 Partıcula en un aro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31412.80 Ecuaciones lineales no homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31712.90 Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32012.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

13 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Algunas funciones13 especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

13.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32513.20 El metodo de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32613.30 El metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32813.40 La ecuacion de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33013.50 La ecuacion de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33513.60 La ecuacion de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33713.70 Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33913.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

14 Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34314.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34314.20 Soluciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34414.30 Separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34514.40 Partıcula en un pozo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34714.50 Partıcula en un pozo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35014.60 El atomo de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35314.70 La cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36214.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

15 Desarrollos ortogonales. Analisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36915.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36915.20 Desarrollos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37015.30 Dos desarrollos en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37415.40 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37815.50 La cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38515.60 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38615.70 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Indice de contenidos XI

16 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39716.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

16.20 Algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39816.30 Componentes de los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40116.40 Derivada escalar de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40516.50 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40716.60 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41216.70 Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41616.80 Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41616.90 Divergencia y rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 41816.10 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41916.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

17 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42517.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42517.20 Determinantes de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42717.30 Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43117.40 Resolucion de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43317.50 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43817.60 Reduccion a forma triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44317.70 Funciones alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44317.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

18 Matrices y transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44918.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44918.20 Algunas matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

18.30 Algebra matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45418.40 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46218.50 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46418.60 Matrices ortogonales y transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . 46918.70 Operaciones de simetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47118.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

19 El problema de autovalores matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48119.10 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48119.20 El problema de autovalores matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48319.30 Diagonalizacion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49019.40 Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49319.50 Matrices complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49719.60 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

XII Indice de contenidos

20 Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50320.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50320.20 Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50320.30 Resolucion de ecuaciones ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50720.40 Interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51120.50 Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51820.60 Metodos de algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52520.70 Eliminacion gaussiana para la resolucion de ecuaciones lineales . 52520.80 Metodo de eliminacion de Gauss–Jordan para la inversa de una20.80 matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52820.90 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53020.10 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53420.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

21 Probabilidad y estadıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54121.10 Estadıstica descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54221.20 Frecuencia y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54821.30 Probabilidades combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54921.40 Distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55121.50 Permutaciones y combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55321.60 Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55821.70 Distribucion gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56021.80 Mas de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56321.90 Mınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56421.10 Estadıstica muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56921.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

Apendice. Integrales estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

Soluciones de los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Numeros, variables y algebra

1.1. Conceptos

La Quımica, en comun con las otras ciencias fısicas y otras ciencias aplicadas, com-prende:

(i) experimentos: la observacion de fenomenos fısicos y la medicion de cantidadesfısicas, y

(ii) teorıa: la interpretacion de los resultados de los experimentos, la correlacion deun conjunto de medidas con otros conjuntos de medidas, el descubrimiento y laaplicacion de reglas para racionalizar e interpretar esas correlaciones.

Ambos, experimentos y teorıa, suponen la manipulacion de numeros y de los sımbolosempleados para representar los numeros y las cantidades fısicas.

EJEMPLO 1.1 La ecuacion de estado de un gas ideal es

pV = nRT (1.1)

donde p es la presion del gas, V su volumen, T la temperatura, n la cantidad de materia, y R = 8,31451 J K−1

mol−1 es la constante de los gases. Supongamos que tenemos un decimo de mol de gas, n = 0,1 mol, atemperatura T = 298 K y presion p = 105 Pa. La ecuacion (1.1) nos permite calcular el volumen del gas:

V =nRT

p=

0,1 mol × 8,31451 J K−1 mol−1 × 298 K105 Pa

=0,1 × 8,31451 × 298

105× mol J K−1 mol−1 K

Pa

= 2,478 × 10−3 m3.

Este ejemplo ilustra un cierto numero de conceptos:

(i) Dado cualquier conjunto particular de valores de la presion p, la temperatura T ycantidad de materia n, la ecuacion nos permite calcular el correspondiente volumen V .El valor de V queda, por lo tanto, determinado por los valores de p, T y n. Decimos que

V es una funcion de p, T y n.

2 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

Este enunciado se representa normalmente como1

V = f (p, T, n)

y significa que, conocidos los valores de p, T y n, el valor de V viene dado por el valorde una funcion f (p, T, n) que, en el presente caso, es f (p, T, n) = nRT/p.

Una forma ligeramente diferente, utilizada a menudo en ciencias, es

V = V(p, T, n),

y significa que V es alguna funcion de p, T y n, que puede ser conocida o no. Trataremoslas funciones en el Capıtulo 2.

(ii) La funcion contiene dos tipos de cantidades.

Constantes: una cantidad cuyo valor es fijo para el caso que se esta tratando. La canti-dad R = 8,31451 J K−1 mol−1 es una cantidad fısica constante. Un numero constante escualquier numero especıfico, por ejemplo, a = 0,1 o π = 3,14159 . . .

Variables: una cantidad que puede tomar cualquier valor dentro de un conjunto devalores permitidos. Las cantidades p, T y n son las variables de la funcion f (p, T, n) =nRT/p.

Podemos distinguir dos tipos de variables. Una variable independiente es una cuyovalor no depende del valor de ninguna otra variable. Escribir la ecuacion (1.1) en laforma V = nRT/p supone que las variables independientes son p, T y n. La cantidadV es entonces una variable dependiente porque su valor depende de los valores de lasvariables independientes. Podrıamos haber escogido T como variable dependiente y p, Vy n como variables independientes, es decir: T = pV/nR. En la practica, la eleccion delas variables independientes es por conveniencia matematica, pero puede tambien estardeterminada por las condiciones de un experimento. En algunos casos es mas facil medirla presion p, la temperatura T y la cantidad de materia n, y calcular V a partir de ellas.

Tratamos los numeros en los Apartados 1.2 y 1.3, y las variables en el Apartado 1.5.El algebra de los numeros (aritmetica) lo tratamos en el Apartado 1.6.

(iii) Una cantidad fısica es siempre el producto de dos cantidades, un numero y unaunidad. Por ejemplo, T = 298,15 K o R = 8,31451 J K−1 mol−1. En aplicaciones dematematicas en ciencias, los numeros por sı mismos no tienen sentido salvo que se es-pecifiquen las unidades de las cantidades fısicas. Es importante saber cuales son esasunidades, pero las matematicas no dependen de ellas.

01. El signo para la igualdad fue introducido por Robert Recorde (hacia 1510-1558) en su The whets-tone of witte (La piedra de afilar el ingenio, Londres 1557).‘Voy a fijar, como suelo hacer en mis trabajos,un par de lıneas paralelas o gemelas de misma longitud, ası: ==, porque no hay dos cosas que puedan sermas iguales.’

1.2. Numeros reales 3

Las unidades obedecen las leyes ordinarias del algebra y pueden manipularse co-mo numeros. Por ejemplo, en el calculo del volumen presentado en el Ejemplo 1.1, lascantidades fısicas estaban dadas en unidades SI: mol para cantidad de materia, K paratemperatura, Pa para presion y J para energıa (o trabajo). Los numeros y las unidades seseparan en el calculo, dando la expresion para las unidades

mol J K−1 mol−1KPa

=J

Pa

(recordando que x−1 = 1/x). Ahora bien

trabajo = fuerza × distancia

de manera que la unidad (SI) de trabajo es J = N m, donde el newton N es la unidad SIde fuerza y m es la unidad de longitud. Ademas,

presion = fuerza/area

de manera que la unidad (SI) de presion es Pa = N m−2. Se deduce que

JPa

=N m

N m−2= m3,

que es la unidad SI de volumen.Tratamos las unidades con mas detalle en el Apartado 1.7.

1.2. Numeros reales

El concepto de numero, y de contar, se aprende muy pronto en la vida, y casi todaslas mediciones en el mundo fısico implican de un modo u otro numeros y cuentas. Losnumeros mas sencillos son los numeros naturales, numeros cardinales o numeros en-teros sin signo: 1, 2, 3. . . Se comprueba facilmente que la suma o la multiplicacion dedos numeros naturales siempre da un numero natural, mientras que la resta y la divisionno necesariamente. Por ejemplo: 5 − 3 = 2, pero 5 − 6 no es un numero natural. Unconjunto de numeros para el que la resta siempre es valida es el conjunto de los enteros,que consiste en todos los numeros cardinales positivos y negativos mas el cero:

· · · − 3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, · · ·

Las operaciones de suma y resta de enteros tanto positivos como negativos son posiblesgracias a las reglas

m + (– n) = m − nm − (– n) = m + n (1.2)

4 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

de manera que, por ejemplo, la resta de un numero negativo es equivalente a la suma delcorrespondiente numero positivo. La operacion de multiplicacion es posible gracias a lasreglas

(– m) × (– n) = + (m × n)(– m) × (+ n) = – (m × n) . (1.3)

EJEMPLOS 1.2 Suma y resta de numeros negativos

2 + (– 3) = 2 − 3 = −1 , 2 − (– 3) = 2 + 3 = 5 ,

(– 2) × (– 3) = 2 × 3 = 6 , (2) × (– 3) = −2 × 3 = −6 .

En las ecuaciones (1.2) y (1.3) las letras m y n son sımbolos empleados para representarcualquier par de enteros. Son variables enteras, cuyos valores pertenecen al conjunto(infinito) de los enteros.

La division de un entero por otro no da siempre un entero. Por ejemplo 6 ÷ 3 = 2,pero 6 ÷ 4 no es un entero. Un conjunto de numeros para el que la division siempre esvalida es el conjunto de los numero racionales, que consiste en todos los numeros m/ndonde m y n son enteros. La expresion m/n se lee ‘m partido por n’ y es la notacion mascomun para ‘m dividido por n’. La definicion excluye el caso n = 0 porque la divisionpor cero no esta definida (vease el Apartado 1.6), pero incluye el caso de los enterospuesto que un entero m puede escribirse como m/1. Las reglas para la combinacion denumeros racionales (y, en general, de fracciones) son

mn

+pq

=mq + np

nq(1.4)

mn× p

q=

mpnq

(1.5)

mn÷ p

q=

mn× q

p=

mqnp

(1.6)

donde, por ejemplo, mq significa m × q.

EJEMPLOS 1.3 Suma de fracciones

1. Sume12

y14

.

El numero un medio es igual a dos cuartos y puede ser sumado a un cuarto para dar tres cuartos:

12

+14

=24

+14

=34

.

El valor de una fraccion como 1/2 no cambia si el numerador y el denominador son ambos multipli-cados por el mismo numero:

12

=1 × 22 × 2

=24

y el metodo general de sumar fracciones es: (a) hallar un denominador comun para las fraccionespor sumar, (b) expresar todas las fracciones en terminos de ese denominador comun, (c) sumar.

1.2. Numeros reales 5

2. Sume23

y45

.

Un denominador comun es 3 × 5 = 15. Por lo tanto

23

+45

=2 × 53 × 5

+3 × 43 × 5

=1015

+1215

=2215

.

3. Sume14

y56

.

Un denominador comun es 4 × 6 = 24, pero el mınimo (menor) denominador comun es 12:

14

+56

=3

12+

1012

=1312

.

EJEMPLO 1.4 Multiplicacion de fracciones

23× 4

5=

2 × 43 × 5

=8

15.

Podemos interpretarlo como tomar dos tercios de 4/5 (o cuatro quintos de 2/3).

EJEMPLO 1.5 Division de fracciones

23÷ 4

5=

23× 5

4=

1012

.

El numero 10/12 puede simplificarse ‘dividiendo arriba y abajo’ por el factor comun 2: 10/12 = 5/6.

Todo numero racional es la solucion de una ecuacion lineal

mx = n (1.7)

donde m y n son enteros. La solucion de la ecuacion (1.7) es x = n/m. Sin embargo, notodos los numeros son racionales. Por ejemplo, una solucion de la ecuacion cuadratica

x2 = 2

es x =√

2, la raız cuadrada positiva de 2 (la otra solucion es −√2), y este numero no

puede escribirse como un numero racional 4m/n. Se dice que es un numero irracional.Otros numeros irracionales se obtienen como soluciones de la ecuacion cuadratica masgeneral

mx2 + nx + p = 0 ,

donde m, n y p son enteros arbitrarios, ası como de otras ecuaciones algebraicas deordenes superiores. Por ejemplo, una solucion de la ecuacion cubica

x3 = 2

es la raız cubica de 2, 3√

2. Los numeros irracionales como√

2 y 3√

2 se llaman sordos.

6 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

Los numeros racionales e irracionales que se obtienen como soluciones de ecuacio-nes algebraicas del tipo

a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + . . . + anxn = 0 , (1.8)

donde a0, a1, . . . an son enteros, se llaman numeros algebraicos. Estos numeros puedenexpresarse de manera exacta mediante un numero finito de numeros racionales y sordos.Existen otros tipos de numeros que no son algebraicos; no se obtienen como solucio-nes de ninguna ecuacion algebraica. Esos numeros son numeros irracionales llamadosnumeros trascendentes: ‘trascienden el poder de los metodos algebraicos’ (Euler).2 Losmas conocidos y mas importantes de ellos son el numero de Euler e y el numero arqui-mediano π.3 Los tratamos en el Apartado 1.3.

Los numeros racionales y los irracionales forman el continuo de numeros. Todosjuntos son llamados los numeros reales.

1.3. Representacion decimal de los numeros

Estos son los nueve caracteres de los Indios

9 8 7 6 5 4 3 2 1

con estos mismos nueve caracteres y con este signo 0, que llaman losarabes sefir, se escribe cualquier numero, como se demostrara masabajo.

(Fibonacci)4

02. Leonhard Euler (1707-1783). Nacido en Suiza, trabajo la mayor parte de su vida en San Peters-burgo y en Berlın. Fue uno de los matematicos mas prolıficos del mundo, escribio ‘voluminosos trabajosy gigantescos libros de texto’. Contribuyo a casi todas las ramas de las matematicas y a sus aplicacio-nes a problemas fısicos, incluyendo calculo, ecuaciones diferenciales, series infinitas, funciones complejas,mecanica e hidrodinamica, y su nombre se asocia con muchos teoremas y formulas. Una de sus contribu-ciones importantes, si bien no espectacular, fue la notacion matematica. Introdujo el sımbolo e, dio a lasfunciones trigonometricas su definicion moderna, y por su uso de los sımbolos sen, cos, i y π, los hizo seruniversalmente aceptados.

03. El sımbolo π fue empleado por vez primera por William Jones (1675-1749) en un libro de textosobre matematicas, Synopsis palmariorum mathesos (Una nueva introduccion a las matematicas) en 1706.El que Euler adoptara el sımbolo determino su aceptacion.

04. Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci (hacia 1170 - despues de 1240). El matematico sobresalientedel medioevo en occidente. En sus viajes a Egipto, Siria, Grecia y Sicilia, Fibonacci estudio los textosmatematicos griegos y arabigos, y se familiarizo con el sistema posicional arabigo desarrollado por losmatematicos indios del valle del Indo, en el noroeste de la India. El primer libro de Fibonacci, el Liberabaci o Libro de los abacos (1202, revisado en 1228), circulo ampliamente en forma de manuscrito perofue unicamente publicado en 1857 en Scritti di Leonardo Pisano. El primer capıtulo empieza con la citaque aparece mas arriba en el texto.

1.3. Representacion decimal de los numeros 7

En el sistema decimal de numeros, los diez dıgitos 0 a 9 (numerales indo-arabigos)5 seutilizan para el cero y los primeros nueve enteros positivos. El decimo entero positivose representa por 10. Un entero mayor, como ‘trescientos setenta y dos’ se expresa en laforma

300 + 70 + 2 = 3 × 102 + 7 × 10 + 2

y se denota con el sımbolo 372, en el cual el valor de cada dıgito depende de su posiciondentro del sımbolo del numero. El sistema decimal tiene base 10, y es el unico sistemaen uso general.

Aunque los numeros racionales pueden siempre expresarse exactamente como co-cientes de enteros, esto no ocurre con los numeros irracionales. Para efectuar los calcu-los, todo numero que no es entero se expresa convenientemente como una fracciondecimal,6 por ejemplo: 5/4 = 1,25 . La forma general de una fraccion decimal consisteen un entero a la izquierda de la coma decimal, la parte entera del numero, y uno o masdıgitos a la derecha de la coma decimal, la parte decimal o fraccionaria del numero. Elvalor de cada dıgito viene determinado por su posicion. Por ejemplo

234,567 = 200 + 30 + 4 +510

+6

100+

71000

= 2 × 102 + 3 × 101 + 4 × 100 + 5 × 10−1 + 6 × 10−2 + 7 × 10−3,

donde 100 = 1 (vease el Apartado 1.6).Un numero con un numero finito de dıgitos tras (a la derecha de) la coma decimal

puede escribirse siempre en forma racional m/n. Por ejemplo 1,234 = 1234/1000. Sinembargo, lo contrario no siempre es cierto. El numero 1/3 no puede expresarse exacta-mente como una fraccion decimal finita:

13

= 0,3333 . . .

05. Una de las principales fuentes que introdujeron el sistema posicional indo-arabigo en la Europaoccidental fue la Aritmetica de Al-Khwarizmi. Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (Mohammed hijo deMoises de Khorezm, la moderna Khiva en Uzbekistan) ejercio en los tiempos del califa de Bagdad Al-Mamun (813-833), y fue probablemente un miembro de su “Casa de la sabidurıa” (Academia) en la epocaen que Bagdad era la mayor ciudad del mundo. El Algebra de Al-Khwarizmi fue utilizado ampliamente enarabe y en su traduccion latina como fuente sobre ecuaciones lineales y cuadraticas. La palabra algoritmoproviene del nombre del autor y la palabra algebra proviene del tıtulo, Liber algebrae et almucabala, quepuso Robert de Chester en la traduccion latina (hacia 1140) del trabajo sobre las ecuaciones.

06. El uso de fracciones decimales fue introducido en las matematicas europeas por el matematico eingeniero flamenco Simon Stevin (1548-1620) en su De Thiende (El arte de las decimas) en 1585. Aunquelas fracciones decimales ya eran usadas por los chinos desde varios siglos antes, y el astronomo persa Al-Kashi utilizo fracciones decimales y sexagesimales en su Llave de la Aritmetica a principios del siglo XV, eluso generalizado de las fracciones decimales en las matematicas europeas se remonta directamente a Stevin,especialmente despues que John Napier modificase la notacion y diese la actual con el punto decimal (ola coma, como se usa en gran parte de la Europa continental). Esto simplifica mucho las operaciones demultiplicacion y division.

8 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

los puntos suspensivos indican que la fraccion debe extenderse de manera indefinida.Redondeado a cuatro cifras decimales, el numero tiene por cotas inferior y superior0,3333 y 0,3334:

0,3333 <13

< 0,3334,

donde el sımbolo < significa ‘menor que’. Otros sımbolos del mismo tipo son > para‘mayor que’ y ≤ para ‘menor o igual que’. Otros ejemplos de fracciones decimales queno terminan son

17

= 0,142857 142857 . . . ,112

= 0,083333 333333 . . .

En ambos casos se repite indefinidamente una secuencia finita de dıgitos tras la comadecimal, ya sea inmediatamente despues de la coma decimal, como la secuencia 142857en 1/7, o despues de un numero finito de dıgitos previos, como 3 en 1/12. Esta es unapropiedad caracterıstica de los numeros racionales.

Un numero irracional no puede ser expresado exactamente. El numero√

2 tiene comovalor aproximado con 16 cifras significativas

√2 = 1,41421 35623 73095 . . .

y puede ser calculado hasta cualquier precision deseada por medio de un metodo numeri-co como el de Newton-Raphson que tratamos en el Capıtulo 20. En contraste con el casoracional, los dıgitos tras la coma decimal no muestran una secuencia que se repita.

El numero arquimediano π

El numero π se define como la razon de la circunferencia de un cırculo a su diametro.Es un numero trascendente y no puede ser representado exactamente mediante un nume-ro finito de dıgitos.7 Su valor ha sido calculado con muchas cifras significativas. Euler lodio con 127 cifras decimales en 1748. Su valor con 16 cifras significativas es

π = 3,14159 26535 89793 . . .

El valor de π ha sido de importancia practica desde hace miles de anos. Por ejemplo, unmanuscrito egipcio de aproximadamente 1650 a.C. (el papiro Rhind del Museo Britanicode Londres) contiene una receta para el calculo del volumen de un silo cilındrico de la

07. La prueba de la irracionalidad de π fue dada primero en 1761 por el fısico y matematico alemanJohann Heinrich Lambert (1728-1777) que es tambien conocido por haber introducido las funciones hi-perbolicas en trigonometrıa. La prueba de que el numero π es trascendente se debe a Carl Louis Ferdinandvon Lindemann (1852-1939), quien lo demostro en 1882 con un metodo similar al empleado por Hermitepara e.

1.3. Representacion decimal de los numeros 9

cual se deduce el valor aproximado 256/81 ≈ 3,160. Arquımedes8 uso por primera vezun metodo para generar aproximaciones precisas, determinando las cotas

22371

< π <227

,

y la cota superior tiene un error de solo 2 partes por mil.

El numero e de Euler

El numero e se define mediante la ‘serie infinita’ (vease el Capıtulo 7)

e = 1 +11!

+12!

+13!

+14!

+ . . .

= 2,71828 18284 59045 . . .

la cantidad n! (que se lee ‘n factorial’) se denomina factorial de n, y se define paraenteros positivos como

n! = 1 × 2 × 3 × . . . × n ,

por ejemplo: 3! = 1× 2× 3 = 6, 4! = 1× 2× 3× 4 = 24. Ademas, el factorial de cerose define como 0! = 1. El valor de e puede calcularse mediante la serie con cualquierprecision deseada. Hermite9 demostro en 1873 que es un numero trascendente.

EJEMPLO 1.6 Demuestre que la suma de los 10 primeros terminos de la serie da un valor aproximadode e que es correcto al menos con 6 cifras significativas.

e = 1 + 1 +12

+16

+1

24+

1120

+1

720+

15040

+1

40320+

1362880

+1

3628800+ . . .

≈ 1 + 1 + 0,5 + 0,1666667 + 0,041667 + 0,008333 + 0,001389 + 0,000198

+ 0,000025 + 0,000003 + 0,0000003

≈ 2,71828 .

08. Arquımedes (287-212 a.C.) nacio en Siracusa, en Sicilia. Hizo contribuciones a las matematicas,la mecanica y la astronomıa, y fue un gran inventor de maquinas. Sus principales contribuciones a las ma-tematicas y a las ciencias matematicas fueron la invencion de metodos para determinar areas y volumenes,que anticiparon el calculo integral, y el descubrimiento de la primera ley de la hidrostatica y de la ley de lapalanca.

09. Charles Hermite (1822-1901). Matematico frances, profesor en la Sorbona, es conocido por sustrabajos en algebra y en teorıa de numeros. Su trabajo sobre el algebra de los numeros complejos (las‘formas hermıticas’) adquirio importancia con la formulacion de la teorıa cuantica. La ecuacion diferencialde Hermite y los polinomios de Hermite son importantes en la resolucion de la ecuacion de Schrodingerpara el oscilador armonico.

10 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

El valor es correcto hasta las seis cifras dadas porque cada termino adicional de la serie es por lo menosdiez veces menor que el anterior.

Cifras significativas y redondeo

En la practica, la aritmetica que trata solo con enteros da resultados exactos (salvo quelos numeros sean demasiado grandes para ser escritos). Mas generalmente, un numeroen el sistema decimal se aproxima ya sea con un numero dado de decimales, o conun numero dado de cifras significativas, y el resultado de una operacion aritmetica estambien aproximado. En la representacion en coma fija, todos los numeros se dan conun numero fijo de decimales. Por ejemplo,

3,142 , 62,358 , 0,013 , 1,000 .

tienen todos 3 cifras decimales. En la representacion en coma flotante, utilizada mas ge-neralmente en ciencias, los numeros se dan con un numero fijo de ‘cifras significativas’,donde los ceros a la izquierda no cuentan. Por ejemplo,

3210 = 0,3210 × 104, 003,210 = 0,3210 × 101, 0,003210 = 0,3210 × 10−2 ,

tienen todos 4 cifras significativas.Un numero cuya representacion (decimal) exacta necesita mas del numero dado de

dıgitos se reduce de manera sencilla por truncacion, esto es, suprimiendo o sustituyendopor ceros los dıgitos superfluos a la derecha. Por ejemplo, con 4 cifras decimales, o 5cifras significativas, 3,14159 se trunca a 3,1415. Truncar no es recomendable porquepuede conducir a serios errores de calculo. Una aproximacion mas sensata (precisa) deπ con cinco cifras es 3,1416, y se obtiene por redondeo. Las reglas mas comunmenteaceptadas para redondear son:

(i) Si el primer dıgito desechado es mayor o igual a 5, el dıgito anterior se incrementaen 1. El numero es redondeado al alza.

(ii) Si el primer dıgito desechado es menor que 5, el dıgito anterior se deja como esta.El numero es redondeado a la baja. Por ejemplo, para 4, 3, 2 y 1 cifras decimales,

7,36284 es 7,3628 , 7,363 , 7,36 , 7,4 .

1.4. Numeros complejos

Las soluciones de ecuaciones algebraicas no son siempre numeros reales. Por ejem-plo, las soluciones de la ecuacion

x2 = −1

1.5. Variables 11

no son ninguno de los numeros descritos en el Apartado 1.2. Se incorporan al sistemade numeros definiendo la raız cuadrada de −1 como un nuevo numero que se representageneralmente por el sımbolo i (algunas veces j) con la propiedad

i2 = −1 .

Las dos raıces cuadradas de un numero real negativo arbitrario −x2 son entonces ix y−ix. Por ejemplo,

√−16 =√

16 ×√−1 = ±4i .

Estos numeros se llaman imaginarios para distinguirlos de los numeros reales. Masgeneralmente, el numero

z = x + i y ,

donde x e y son reales, se llama un numero complejo. Tratamos los numeros complejosen el Capıtulo 8.

1.5. Variables

En los apartados previos hemos usado sımbolos (letras) para representar numerosarbitrarios. Una cantidad que puede tomar cualquier valor escogido dentro de un con-junto de valores se llama una variable. Si x1, x2, x3, . . . , xn es un conjunto de objetos,no necesariamente numeros, entonces podemos definir mediante ese conjunto una va-riable x que tenga como valor cualquiera de los miembros del conjunto. El conjunto esel dominio de la variable. En teorıa de numeros (reales), los objetos del conjunto sonnumeros reales, y una variable real puede tener como dominio o bien todo el continuode los numeros reales o bien un subconjunto de este. Si el dominio de la variable x es unintervalo desde a hasta b,

a ≤ x ≤ b ,

entonces x es una variable continua en el intervalo y puede tomar cualquier valor en elintervalo continuo de valores desde a hasta b (incluidos a y b). Si el dominio consisteen un conjunto discreto de valores, por ejemplo los n numeros x1, x2, x3, . . . , xn, se diceentonces que x es una variable discreta. Si el dominio consiste en enteros, x es unavariable entera. Si el conjunto consiste en un unico valor, entonces se dice que es unavariable constante, o sencillamente una constante.

En las ciencias fısicas se usan variables para representar numeros y cantidades fısicaspor igual. En el ejemplo del gas ideal comentado en el Apartado 1.1, p, V , n y T sonvariables continuas cuyos valores numericos pueden en principio ser cualquier numeroreal positivo. Las variables discretas aparecen normalmente cuando los objetos son con-tados por oposicion a medidos. Tıpicamente, se emplea una variable discreta para contar

12 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

y los objetos contados son una muestra de algun conjunto discreto. Sin embargo, a vecesuna cantidad fısica puede tener valores que en algunos casos pertenecen a un conjuntodiscreto y en otros a un conjunto continuo. Es el caso de los niveles de energıa y de lasfrecuencias espectrales observadas en un atomo o en una molecula.

EJEMPLO 1.7 El espectro del atomo de hidrogeno

Los niveles de energıa del atomo de hidrogeno son de dos tipos:(i) Niveles de energıa discretos (cuantizados) con energıas (negativas) dadas por la formula (en unidadesatomicas, vease el Apartado 1.7)

En = − 12n2

, n = 1, 2, 3 . . .

Los estados correspondientes del atomo son los estados ligados, en los cuales el movimiento del electronesta confinado a las proximidades del nucleo. Las transiciones entre niveles de energıa dan lugar a lıneasdiscretas en el espectro del atomo.

(ii) Niveles de energıa continuos, con todas las energıas positivas, E ≥ 0. Los correspondientes estados delatomo son los de un electron que se mueve en presencia del campo electrostatico de la carga nuclear. Lastransiciones entre esos niveles de energıa y los de los estados ligados dan lugar a intervalos continuos defrecuencias espectrales.

La importancia del concepto de variable se debe a que las variables se pueden utilizarpara hacer afirmaciones sobre propiedades de conjuntos completos de numeros (u otrosobjetos) y a que permiten la formulacion de un conjunto de reglas para manipular nume-ros. El conjunto de reglas se llama el algebra.

1.6. El algebra de los numeros reales

Sean a, b y c variables reales cuyos valores pueden ser cualquier numero real. Las re-glas basicas para combinar dos numeros reales, el algebra de numeros reales o aritmetica,son

1. a + b = b + a (ley conmutativa de la suma)2. ab = ba (ley conmutativa de la multiplicacion)3. a + (b + c) = (a + b) + c (ley asociativa de la suma)4. a(bc) = (ab)c (ley asociativa de la multiplicacion)5. a(b + c) = ab + ac (ley distributiva)

Las operaciones de suma y multiplicacion, y sus inversas, resta y division, se llamanoperaciones aritmeticas. Los sımbolos +,−, × y ÷ (o bien /) se llaman operadoresaritmeticos. El resultado de multiplicar dos numeros, ab = a × b, se llama producto.

1.6. El algebra de los numeros reales 13

EJEMPLOS 1.8 Leyes de la aritmetica (a = 2, b = 3, c = 4)

(1) 2 + 3 = 3 + 2 = 5 ,

(2) 2 × 3 = 3 × 2 = 6 ,

(3) 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 , y

(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 ,

(4) 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 , y

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 ,

(5) 2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14 , y

2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14 .

Estos ejemplos muestran el convenio de que las expresiones algebraicas (o aritmeticas)entre parentesis deben ser evaluadas primero.

Tres reglas definen las propiedades del cero y de la unidad:

6. a + 0 = 0 + a = a (suma de cero)7. a × 0 = 0 × a = 0 (multiplicacion por cero)8. a × 1 = 1 × a = a (multiplicacion por la unidad)

Ya hemos visto que la resta de un numero es lo mismo que la suma de su opuesto, yque la division por un numero es lo mismo que multiplicar por su inverso. Sin embargo,la division por cero no esta definida: no hay ningun numero cuyo inverso sea cero. Elnumero 1/a para valores de a positivos, por ejemplo, se hace arbitrariamente grandecuando el valor de a se acerca a cero. Decimos que 1/a tiende a infinito cuando atiende a cero:

1a→ ∞ cuando a → 0 .

Aunque representamos ‘infinito’ por el sımbolo ∞, no es un numero. Si lo fuera, por lasleyes del algebra las ecuaciones 1/0 = ∞ y 2/0 = ∞ implicarıan 1 = 2 .

El valor absoluto de un numero real a se define como la raız cuadrada positiva de a2,|a| = +

√a2. Es la ‘magnitud’ del numero, igual a a si a es positivo, e igual a −a si a es

negativo:

|a| = +a si a > 0 ,|a| = −a si a < 0 .

Por ejemplo, |3| = 3 y | − 3| = 3.

La ley de los exponentes

Los numeros se escriben a menudo en la forma am, donde a se llama la base y m elexponente. Por ejemplo, 100 = 102, o 16 = 24. Cuando el exponente m es un entero

14 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

positivo, el numero am se define como la m-esima potencia de a y, para numeros reales,a puede ser cualquier numero tanto positivo como negativo. Por ejemplo,

a3 = a × a × a, (– a)3 = (– a) × (– a) × (– a) = (– 1)3 × a3 = −a3 .

Tambien se pueden definir numeros con exponentes negativos o no enteros, y la reglabasica para la combinacion de tales numeros es

9. aman = am+n (ley de los exponentes)

Por ejemplo

a2a3 = (a × a) × (a × a × a) = a × a × a × a × a = a5 .

Otras reglas suplementarias son

10. am/an = am−n 11. (am)n = (an)m = am×n 12. (ab)m = ambm

Las reglas 9 y 10 definen un numero con un exponente negativo. Ası, si sustituimos npor −n, la regla 9 nos da ama−n = am−n y comparandolo con la regla 10 nos muestra que

a−n =1an

.

Por ejemplo, 25 × 2−2 = 25−2 = 23 por la regla 9, y 25/22 = 25−2 = 23 por la regla 10, demanera que 2−2 = 1/22 = 1/4. Ademas, tomar m = n en la regla 10 nos da

am/am = am−m = a0 = 1

y cualquier numero elevado a la potencia cero es igual a la unidad.La regla 11 es inmediata si m y n son enteros. Por ejemplo,

(23)2 = 23 × 23 = 26 = 23×2, (22)3 = 22 × 22 × 22 = 26 = 22×3 .

Para exponentes fraccionarios, consideramos

21/2 × 21/2 = 21 = 2 .

De donde se deduce que 21/2 =√

2, la raız cuadrada de 2. En general, a1/m es la raızm-esima de a,

a1/m = m√

a .

Por ejemplo, 21/3 es la raız cubica de 2 porque (21/3)3 = 21 = 2. Vemos que para unexponente no entero, am puede ser complejo si a es negativo. Por ejemplo, (– 2)1/2 =(– 1)1/2 × 21/2 = i

√2 es complejo (veanse el Apartado 1.4 y el Capıtulo 8).

1.7. Unidades 15

Para un exponente cualquiera racional, consideramos usando la regla 11

43/2 = (41/2)3 = 8 .

El exponente racional m/n puede considerarse como el producto del entero m y de lafraccion 1/n, y el numero resultante puede escribirse ya sea como la raız n-esima de lam-esima potencia o como la m-esima potencia de la raız n-esima:

am/n = (am)1/n = (a1/n)m ,

o, de forma equivalente,

am/n = n√

am = ( n√

a)m .

Aunque hemos demostrado las reglas de los exponentes unicamente para exponentes en-teros y racionales, se aplican tambien a los numeros con exponentes irracionales y, si sepermiten numeros complejos, a todo numero escrito en la forma base/exponente. Cuandom es una variable, am se llama funcion exponencial (vease el Apartado 3.5 para expo-nentes reales y el Capıtulo 8 para exponentes complejos). Si x = am, m es el logaritmoen base a de x (vease el Apartado 3.6).

Hemos tratado en detalle la ley de los exponentes porque es una fuente comun deerrores en las manipulaciones algebraicas.

EJEMPLOS 1.9 La ley de los exponentes

regla ejemplo

aman = am+n 23 × 22 = 23+2 = 25

23/4 × 2−1/4 = 23/4−1/4 = 21/2

am/an = am−n 23/4/21/4 = 23/4−1/4 = 21/2

24/2−2 = 24−(−2) = 24+2 = 26

(am)n = (an)m = amn (23)1/3 = (21/3)3 = 21 = 2

(2√

2)√

2 = 2√

2×√2 = 22 = 4

(ab)m = ambm (2 × 3)2 = 22 × 32

(– 8)1/3 = (– 1)1/3 × 81/3 = −2

EJEMPLO 1.10 Un ejemplo de lo que no hay que hacer

De la regla de los exponentes se deduce que√

ab = (ab)1/2 = a1/2b1/2 .

Por ejemplo,√

36 =√

4√

9 = 2 × 3 = 6.Pero √

a + b = √a +

√b

donde = significa ‘no es igual a’. Por ejemplo,√

9 + 16 =√

25 = 5 y√

9 + 16 =√

9 +√

16 = 3 + 4 = 7 .

Este es un error sorprendentemente frecuente.

16 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

1.7. Unidades

Una cantidad fısica tiene dos atributos esenciales, magnitud y dimensiones. Porejemplo, la cantidad ‘2 metros’ tiene dimensiones de longitud y tiene magnitud igual ados veces la del metro. El metro es una cantidad fısica constante que define las dimensio-nes de la cantidad y proporciona una escala para especificar la magnitud de una longitudarbitraria; es una unidad de longitud. En general, una cantidad fısica es el producto deun numero y de una unidad. Toda cantidad fısica puede expresarse en terminos de sie-te cantidades ‘fundamentales’ cuyos nombres y sımbolos aparecen en las dos primerascolumnas de la Tabla 1.1.

Tabla 1.1 Cantidades fısicas fundamentales y unidades SI

Cantidad Sımbolo para Nombre de Sımbolo defısica la cantidad la unidad SI la unidad SI

longitud l metro mmasa m kilogramo kgtiempo t segundo scorriente electrica I amperio Atemperatura T kelvin Kcantidad de materia n mol molintensidad lumınica Iν candela cd

Los sımbolos en la segunda columna definen las dimensiones de las cantidades fısicasfundamentales, y las dimensiones de todas las demas cantidades pueden expresarse enfuncion de ellas. Por ejemplo, la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempoy tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo, lt−1. Las dimensiones de una can-tidad fısica son independientes del sistema de unidades utilizado para describir su valor.Todo sistema de unidades debe, sin embargo, ajustarse a las dimensiones. Por ejemplo,en un sistema de unidades en el cual la unidad de longitud es el metro, m, y la unidadde tiempo es el segundo, s, la unidad de velocidad es metro por segundo, ms−1. Algunascantidades fısicas no tienen dimensiones. Ese es el caso de una cantidad que es el cocien-te de dos otras con las mismas dimensiones. Ejemplos de esto son la densidad relativa, lamasa molar relativa y la fraccion molar. Un ejemplo menos evidente es el angulo (plano)que se define en terminos del cociente entre dos longitudes (vease el Apartado 3.1).

Vimos en el Apartado 1.1 que las unidades obedecen las leyes del algebra ordinaria.Una de las lecciones del ejemplo es que las dimensiones, y por lo tanto las unidades, aambos lados de una ecuacion tienen que coincidir.

EJEMPLO 1.11 Para la ecuacion de los gases ideales, pV = nRT , las dimensiones de pV (utilizando lasTablas 1.1 y 1.2) son las de trabajo (o energıa)

(ml−1t−2) × l3 = ml2t−2 .

La correspondiente expresion en terminos de unidades SI es Pa m3 = J. En el segundo miembro de (1.1),para nRT ,

(mol)(JK−1 mol−1)(K) = J

como es necesario.

1.7. Unidades 17

Se utiliza toda una variedad de sistemas de unidades, muchos adaptados a las necesida-des de las disciplinas particulares de las ciencias fısicas. El sistema recomendado paralas ciencias fısicas, y para la quımica en particular, es el Sistema Internacional de Unida-des (SI) que se basa en las siete unidades de base cuyos nombres y sımbolos se resenanen la Tabla 1.1. Toda cantidad fısica tiene una unidad SI determinada por sus dimensio-nes. La unidad SI de velocidad es el metro por segundo, ms−1. Ademas de las unidadesfundamentales, un cierto numero de cantidades que son particularmente importantes enlas ciencias fısicas tienen asignados nombres y sımbolos SI. Algunos de estos aparecenen la Tabla 1.2.

Tabla 1.2 Unidades SI derivadas con nombres especıficos y sımbolos

Cantidad fısica Nombre Sımbolo Descripcion

frecuencia hercio Hz eventos por unidad de tiempo s−1

fuerza newton N masa × aceleracion kg m s−2

presion pascal Pa fuerza por unidad de area N m−2

energıa, trabajo, calor julio J fuerza × distancia N mpotencia vatio W trabajo por unidad de tiempo J s−1

carga electrica culombio C corriente × tiempo A spotencial electrico voltio V trabajo por unidad de carga J C−1

capacitancia electrica faradio F carga por unidad de potencial C V−1

resistencia electrica ohmio Ω potencial por unidad de corriente V A−1

conductancia electrica siemens S corriente por unidad de potencial Ω−1

flujo magnetico weber Wb trabajo por unidad de corriente J A−1

densidad de flujomagnetico tesla T flujo magnetico por unidad de area Wb m−2

inductancia henrio H flujo magnetico por unidad decorriente Wb A−1

angulo plano radian rad angulo subtendido por la unidadde arco en el centro del cırculounidad 1

angulo solido estereo- sr angulo solido subtendido por larradian unidad de superficie en el centro

de la esfera unidad 1

Los multiplos de diez de las unidades SI tienen nombres formados con los nom-bres de las unidades y los prefijos resenados en la Tabla 1.3. Por ejemplo, un pico-metro es pm = 10−12 m, un decımetro es dm = 10−1 m. Estas unidades de longitudse usan frecuentemente en quımica: concentraciones en moles por decımetro cubico,mol dm−3 = 103 mol m−3, y longitudes de enlaces moleculares en picometros.

Calculos aproximados

A menudo se utilizan las potencias de 10 como una descripcion del orden de mag-nitud. Por ejemplo, si una longitud A es dos ordenes de magnitud mayor que la longitudB, entonces es unas 102 = 100 veces mayor. En algunos calculos que involucran una

18 Capıtulo 1. Numeros, variables y algebra

variedad amplia de ordenes de magnitud puede ser de ayuda, para evitar errores, calcularel orden de magnitud de la respuesta antes de embarcarse en todo el calculo detallado.La manera mas sencilla de hacer tal ‘calculo del orden de magnitud’ es convertir todaslas cantidades fısicas a la unidades SI fundamentales y aproximar la magnitud de cadauna por una potencia apropiada de diez, posiblemente multiplicada por un entero. Talescalculos son a menudo sorprendentemente exactos.

Tabla 1.3 Prefijos SI

Multiplo Prefijo Sımbolo Multiplo Prefijo Sımbolo

10 deca da 10−1 deci d102 hecto h 10−2 centi c103 kilo k 10−3 mili m106 mega M 10−6 micro µ109 giga G 10−9 nano n1012 tera T 10−12 pico p1015 peta P 10−15 femto f1018 exa E 10−18 atto a

EJEMPLO 1.12 Para el Ejemplo del Apartado 1.1 (desechando las unidades),

V =nRT

p=

0,1 × 8,31451 × 298105

= 2,478 × 10−3

dos estimaciones de la respuesta son

1. V ≈ 10−1 × 10 × 102

105= 10−3

2. V ≈ 10−1 × 8 × 300105

= 2,4 × 10−3

Unidades atomicas

Las ecuaciones del movimiento en mecanica cuantica se complican por la presenciade las cantidades fısicas me, masa en reposo del electron, e, carga del proton, h, constantede Planck, y ε0, permitividad del vacıo. Por ejemplo, la ecuacion de Schrodinger para elmovimiento de un electron alrededor del nucleo estacionario en el atomo de hidrogenoes

− h2

8π2me

∇2ψ − e2

4πε0rψ = Eψ . (1.9)

Las cuatro cantidades determinadas experimentalmente pueden usarse como unidadesfundamentales para construir unidades atomicas para todas aquellas cantidades fısicasque tienen que ver con longitud, masa, tiempo y corriente electrica (las cuatro primerasentradas de la Tabla 1.1). Presentamos algunas de las unidades atomicas en la Tabla