DOSSIER MATEMATICA FINANCIERAS PARA LA TOMA DE DECSIONES 2012.pdf

Universidad Nacional Autnoma de Nicaragua

UNAN - MANAGUA

Facultad Multidisciplinaria Regional de Carazo

FAREM - CARAZO

Departamento de Ciencia; Tecnologa y Salud

Edificio Central FAREM - CARAZO

Dossier

Matemticas Financieras para la toma de decisiones

Facilitador

Msc. Sergio Vado Conrado

JINOTEPE, CARAZO

MARZO - 2012

Matemticas Financieras para la toma de decisiones FAREM CARAZO

Msc. Sergio Vado Conrado 2

Prologo (presentacin)



ndice

TEMA 1: CALCULO DE INTERES SIMPLE. 6

1.1. Introduccin. 1.1.1. Objeto de estudio de las matemticas financieras 1.1.2. El Dinero. 1.1.3. Diagrama del flujo de caja. 1.1.4. Inters, monto, tasa de inters, plazo y valor actual. 1.2. Inters simple exacto y comercial. 1.3. Tasas de inters activas y pasivas. 1.4. Tasas de inters moratoria y de rendimiento. 1.5. Monto (Valor futuro) a inters simple. 1.6. Valor actual (valor presente) a inters simple. 1.7. Descuento bancario y simple racional. 1.8. Descuentos comerciales: comisiones, por pronto pago y en cadena. 1.9. Pagos parciales: mtodo de la regla americana. 1.10. Ejercicios resueltos 1.11. Ejercicios propuestos

TEMA 2: CALCULO DE INTERES COMPUESTO..47

2.1. Deduccin de la frmula del monto a inters compuesto. 2.2. Monto (valor futuro) a inters compuesto. 2.3. Diferencia entre inters simple y compuesto. 2.4. Valor presente o actual de una o varias sumas de dinero. 2.5. Nmero de perodos de capitalizacin de inters. 2.6. Determinacin del plazo de una inversin a plazo fijo. 2.7. Definicin y clculo de las tasas de inters. 2.7. Monto con inters convertible continuamente. 2.8. Relacin de equivalencias entre las tasas efectivas y nominales. 2.9. Ejercicios resueltos 2.10. Ejercicios propuestos

TEMA 3: ANUALIDADES69

3.1. Concepto de anualidad. 3.2. Clasificacin de las anualidades. 3.3. Anualidades vencidas simples y clculo de: montos, valor de la renta, tasa de inters

y valor actual.

3.4. Anualidades anticipadas simples y clculo de: montos, valor de la renta y valor actual.



3.5. Anualidades simples diferidas y clculo de: montos, valor de la renta y valor actual. 3.6. Ejercicios resueltos 3.7. Ejercicios propuestos

TEMA 4: AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION. 97

4.1. Concepto del proceso de amortizacin y sus elementos .

4.2. Sistemas de amortizacin de deudas con inters sobre saldos. 4.3. Monto de la cuota y elaboracin de la tabla de pagos. 4.4. Sistema de amortizacin con inters flat y elaboracin de la tabla. 4.5. Concepto de fondo de amortizacin, sus elementos y situaciones donde utiliza. 4.6. Depsito peridico y elaboracin de la tabla de capitalizacin. 4.7. Diferencias bsicas entre el proceso de amortizacin y fondo de amortizacin. 4.8. Ejercicios resueltos

BIBLIOGRAFIA .121



INTRODUCCION:

La Matemtica Financiera es una derivacin de la matemtica aplicada que estudia

el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un

rendimiento o inters, a travs de mtodos de evaluacin que permiten tomar decisiones de

inversin. Llamada tambin anlisis de inversiones, administracin de inversiones o

ingeniera econmica.

Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en

momentos precisos o determinados, informacin razonada, en base a registros tcnicos, de

las operaciones realizadas por un ente privado o pblico, que permiten tomar la decisin

ms acertada en el momento de realizar una inversin; con el derecho, por cuanto las leyes

regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y martimos, seguros,

corretaje, garantas y embarque de mercancas, la propiedad de los bienes, la forma en que

se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, prstamos a inters; con la

economa, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un

negocio o empresa, podran obtener mayores beneficios econmicos; con la ciencia

poltica, por cuanto las ciencias polticas estudian y resuelven problemas econmicos que

tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los

gobiernos.

Las matemticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en

cuento a inversiones, presupuestos, ajustes econmicos y negociaciones que beneficien a

toda la poblacin; con la ingeniera, que controla costos de produccin en el proceso fabril,

en el cual influye de una manera directa la determinacin del costo y depreciacin de los

equipos industriales de produccin; con la informtica, que permite optimizar

procedimientos manuales relacionados con movimientos econmicos, inversiones y

negociaciones; con la sociologa, la matemtica financiera trabaja con inversiones y

proporciona a la sociologa las herramientas necesarias para que las empresas produzcan

ms y mejores beneficios econmicos que permitan una mejor calidad de vida de la

sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activos financieros o ttulos valores e

incluyen bonos, acciones y prstamos otorgados por instituciones financieras, que forman

parte de los elementos fundamentales de las matemticas financieras.

Por ello, las matemticas financieras son de aplicacin eminentemente prctica, su

estudio esta ntimamente ligado a la resolucin de problemas y ejercicios muy semejantes a

los de la vida cotidiana, en el mundo de los negocios. Dinero y finanzas son indesligables.



TEMA I: CALCULO DE INTERES SIMPLE

OBJETO DE ESTUDIO DE LA MATEMATICA FINANCIERA:

El estudio de las Matemticas Financieras consiste en encontrar el valor del dinero

en diferentes momentos en el tiempo, es decir valorar el premio de prescindir por cierto

tiempo, a cierta tasa de inters, de un determinado capital.

Existen diferentes mtodos para dicho anlisis, ya sea mediante el uso del Inters

Simple o el Inters Compuesto. En el primero de ellos se parte del hecho de que slo el

capital genera intereses, en tanto que en el segundo los intereses tambin generan intereses.

Los mtodos no son equivalentes ni su uso es operativo por parte del inversionista o

analista financiero. Existe un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia particular.

Por ejemplo: Si se desea saber los ingresos de un determinado capital

(Invertido en Certificado de Depsito a Plazo) que paga intereses

semestralmente a una cierta tasa de inters por un perodo de 3 aos, lo

recomendable es hacer uso del mtodo de inters simple. Pero si por el contrario

se desea saber el monto que se obtendr al final de 5 aos, de una cierta cantidad de dinero

invertida peridica y consecutivamente y cuyos intereses se capitalizarn, habra que usar el

mtodo de Inters Compuesto.

La matemtica financiera desde el punto de vista de la Ingeniera Econmica

permite al analista financiero tomar las mejores decisiones financieras, empleando diversos

mtodos para evaluar las alternativas que se presentan,

Por ejemplo se pueden presentar dos opciones Ay B para invertir para

invertir en las cuales el capital inicial de la inversin es C$ 250,000 para ambas

y que la alternativa A proporcionar C$ 40.000 de ganancia dentro de 6 meses

y la alternativa B proporcionar C$ 40,000 de ganancia dentro de un ao.

Si empleamos un poco el sentido comn, lgicamente que optaramos por la

alternativa A debido a la misma rentabilidad en menor tiempo; pero en la mayora de las

decisiones se tienen en cuenta, adems del sentido comn, los resultados de los estudios

realizados de las alternativas o fenmenos que son objeto de comparacin.



EL DINERO

"El dinero es el equivalente general, la mercanca donde el resto de las

mercancas expresan su valor, el espejo donde todas las mercancas reflejan su

igualdad y su proporcionalidad cuantitativa".

Segn la economa habitual, dinero es cualquier cosa que los miembros de una comunidad

estn dispuestos a aceptar como pago de bienes y deudas, cuya funcin especfica estriba en

desempear la funcin de equivalente general. El dinero surgi espontneamente en la

remota antigedad, en el proceso de desarrollo del cambio y de las formas del valor. A

diferencia de las otras mercancas, el dinero posee la propiedad de ser directa y

universalmente cambiable por cualquier otra mercanca.

Marx procede en este terreno de modo distinto. Cuando analiza el trueque directo de mercancas descubre el dinero en forma germinal... .

FUNCIONES DEL DINERO

Formas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En

la economa mercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes:

1) medida del valor Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene cada ciudadano. Y tambin podemos medir el precio de cada hora de trabajo social medio.

2) medio de circulacin,

3) medio de acumulacin o de atesoramiento,

4) medio de pago y

5) dinero mundial.

Siendo su funcin elemental la de intermediacin en el proceso de cambio. El hecho de que

los bienes tengan un precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a

otros.

TIPOS DE DINERO

Dinero Mercanca: Consiste en la utilizacin de una mercanca (oro, sal, cueros) como medio para el intercambio de bienes. La mercanca elegida debe ser: duradera,

transportable, divisible, homognea, de oferta limitada.

Dinero Signo: Billetes o monedas cuyo valor extrnseco, como medio de pago, es superior al valor intrnseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por imperio

de la ley que determina su circulacin (curso legal). El dinero signo descansa en la



confianza que el pblico tiene en que puede utilizarse como medio de pago generalmente

aceptado.

Dinero Giral: Representado por los depsitos bancarios.

LA TRANSFORMACIN DEL DINERO EN CAPITAL

El dinero se transforma en capital cuando con l compramos los factores objetivos y los factores subjetivos para producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de

produccin y los factores subjetivos son la fuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como

capital se diferencia del dinero como simple dinero por la clase peculiar de mercancas que

compra: medios de produccin y fuerza de trabajo. La economa convencional slo capta el

dinero como medio de cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta

como medio de cambio. Y es cierto que el dinero que circula como capital funciona como

medio de cambio. La diferencia no estriba, por lo tanto, en la funcin que desempea en el

mercado, sino en la clase de mercancas que se compra con l. El dinero como simple

dinero se emplea como medio de cambio de medios de consumo personal, mientras que el

dinero como capital se emplea como medio de cambio de medios de produccin y de fuerza

de trabajo...

SISTEMAS MONETARIOS

Un sistema monetario es un conjunto de disposiciones que reglamentan la circulacin de la

moneda de un pas.

Tradicionalmente, los pases eligieron el oro y la plata como la base de un sistema

monetario mono metalista. Cuando adoptaron ambos metales a la vez, se trataba de un

sistema bi-metalista. Actualmente todas las divisas (dlar, Euro, yen, etc.) son dinero

fiduciario.

En pocas de inflacin, la gente trata de desprenderse inmediatamente del dinero que se

desvaloriza y de retener aquellos bienes que conservan su valor.

EL RENDIMIENTO DEL DINERO:

La matemtica financiera o la ingeniera econmicas por ser stas conjuntos de

mtodos que ayudan a realizar los anlisis financieros, se ven involucradas en toda

actividad econmicas donde se pretenda obtener alguna ganancia; particularmente en la

medicin del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que est en

juego, es decir; si se pierde o se gana dinero. Es importante tambin tener en cuenta, las

condiciones micro y macroeconmicas de los procesos productivos. Debido a esto; muchas

veces se hace necesario analizar algunos aspectos relacionados con las empresas o entes

ejecutores de la inversin.



EL RENDIMIENTO DEL SISTEMA.

Es el grado de eficiencia que tiene o puede tener una empresa o proyecto, desde el

punto de vista estructural, al realizar las labores relacionadas con su gestin econmica,

podramos considerar: La eficiencia en los diferentes canales de distribucin,

comercializacin, grado de organizacin que tiene la estructura productiva, eficiencia en el

servicio a los clientes, calidad de los productos entre otros.

EL RENDIMIENTO FINANCIERO.

Es el que mide el grado de eficiencia que tiene o puede tener un proyecto desde el

punto de vista cuantitativo y estrictamente desde el punto de vista financiero, sin considerar

los aspectos sociales.

EL RENDIMIENTO ECONOMICO.

Es ms amplio que el rendimiento financiero, incluye los aspectos sociales y el

rendimiento del sistema. En este caso se trata de medir el grado de eficiencia de un

proyecto tratando de considerar la combinacin ptima entre todos los aspectos tales como:

rendimiento del sistema financiero y econmico.

Se trata de medir o cuantificar la capacidad que tiene cualquier tipo de proyecto o

inversin de producir beneficios. En esta cuantificacin, por lo general se consideran como

parmetros, el capital inicial de la inversin, la tasa interna de retorno econmico-social

(TIRES), y el valor actual neto econmico social (VANES).

En la dinmica de investigar si un proyecto es rentable (evaluacin privada) surge

un problema y es que a nivel de toda la economa de un pas, existen diferentes ramas y

sectores productivos, donde el capital inicial de inversin y los flujos de retornos de un

proyecto, no son iguales para otro, ni se presenta en las mismas condiciones, entonces se

recurre a un criterio ms representativo y que nos permita una evaluacin ms rpida. Este

criterio se conoce como: El valor cronolgico del dinero.

EL VALOR CRONOLOGICO DEL DINERO.

A menudo se dice que el dinero produce dinero. Esta aseveracin es realmente

verdadera, si nosotros elegimos invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una

corporacin de ahorro y prstamo, maana habremos acumulado ms dinero que el que

hemos invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero durante un perodo de

tiempo es lo que se conoce como el valor cronolgico del dinero, este concepto es el ms

importante en el estudio de la Ingeniera Econmica. Tambin debe notarse, que si una



persona o empresa pide hoy dinero prestado, maana tendr que pagar una cantidad mayor,

debido al valor del dinero en el tiempo.

El valor cronolgico del dinero debe verse desde el punto de vista del valor real, o

sea; poder adquisitivo. A como lo veremos ms adelante, el valor del dinero puede cambiar

a travs del tiempo, no solamente debido a una tasa de inters, sino tambin por efectos de

la tasa de variacin monetaria (devaluacin) o la tasa de inflacin.

RIESGO:

En todas las inversiones el elemento riesgo est presente y puede entenderse como

la ocurrencia de eventos, con grado de certeza o incertidumbre que pueden obstaculizar el

proceso de inversin. Algunos inversionistas estiman que, entre menos tiempo dure la

recuperacin del dinero invertido, menores sern las posibilidades de prdida y a mayor

riesgo, mayor rentabilidad , no obstante en algunos casos, el factor riesgo se puede medir y

predecir haciendo uso de los mtodos y tcnicas de las Estadsticas y Probabilidades.

COSTO DE OPORTUNIDAD:

Por tener invertido el dinero, en un proyecto de largo plazo, podra perderse la

oportunidad de invertir en otros de ms alta rentabilidad y menor plazo. Principalmente lo

que mueve a todo inversionista: EL CORDOBA DE HOY, puede convertirse en algo ms que

el crdoba invertido inicialmente.

COSTO DEL CAPITAL O INTERS:

Independientemente del uso que se le quiera dar, el dinero siempre tendr un costo.

Este costo est en relacin directa al tiempo durante el cual se utilice. Resulta evidente el

hecho de que no hay dinero sobre el cual el prestamista o el propietario del dinero no espere

un rendimiento, y el que lo utiliza no puede omitir su costo, lo que conlleva a que el dueo

del capital opte por establecer un costo fijo y muchas veces peridicamente por el uso de su

dinero dado en prstamo.

En todas las actividades financieras, la costumbre de pagar un rdito por el uso del

dinero prestado se vuelve un elemento importante, para que los Bancos y Compaas

inversionistas, incrementen sus capitales a travs de los ingresos obtenidos por la va de los

intereses. En general todas las operaciones comerciales estn relacionadas con los intereses

de los capitales en juego.



Toda persona natural o jurdica que obtiene prstamo, est obligada a pagar un

inters o rdito por el uso del dinero tomado en prstamo. Es sumamente importante tener

en cuenta, que el dinero genera dinero, acumulando valores que varan con el tiempo; este

es el problema fundamental de las finanzas, el estudio de las causas que origina la

acumulacin del dinero en el tiempo.

FLUJOS DE CAJA:

Las personas y compaas tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero

(costos) que ocurren particularmente cada perodo de tiempo dado. Estos valores que

constituyen ingresos y pagos y que se dan peridicamente en el tiempo se denominan flujos

de caja. Para simplificar, se supone que todos los flujos de caja ocurren al final de cada

perodo de inters. Esto es lo que se conoce como convencin fin de perodo, de lo

contrario se debe especificar.

Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo

si es un pago o desembolso. En cualquier instante de tiempo el flujo de caja podra

representarse como:

Flujo de Caja Neto = Ingresos Egresos

FLUJOS DE CAJA POSITIVO (+).

Estos representan todas las entradas de dinero independientemente de donde

provengan. (Ver grfico 1.1)

Grfico 1.1:

(+)

25

40

60

30

90



FLUJOS DE CAJA NEGATIVOS (-).

Estos representan todas las salidas o egresos de dinero independientemente del

concepto que los origine. (Ver grfico 1.2).

Grfico 1.2:

Por Ejemplo: Un prstamo por $ 200.00 es positivo para la persona o

entidad que recibe el prstamo y para la institucin financiera que le otorga es

negativa.

DIAGRAMA DE FLUJOS DE CAJA.

Es la representacin grfica o tabular de un flujo de caja en una escala de

tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que

es lo dado y lo que debe encontrarse, es decir; es un instrumento visual del

analista que le permite resolver el problema mirando nicamente el dibujo del

diagrama de flujo. Puede asegurarse que el xito para la resolucin de un

problema de Matemtica Financiera o Ingeniera Econmica, depende de gran manera de la

elaboracin del diagrama de flujos de caja.

En el diagrama de flujos de caja, la fecha o (cero) es considerada el Valor Presente y

la fecha 1 final del perodo 1. La fecha 2, final del perodo 2. La fecha 3 final del perodo

3 y as sucesivamente hasta el final del perodo de inters n. En vista de que se asume que

el flujo de dinero ocurre al final de cada perodo (salvo cuando se estipule lo contrario),

solamente se deben considerar las fechas marcadas 0, 1, 2, 3,.., n.

( - )

95

69

100

40



A continuacin dos formas de presentar los flujos de caja; tabular (Tabla 1.1) y

Diagramas o Grficos 1.3 (a) y 1.3 (b)

FLUJOS DE CAJA TABULAR

Periodo (aos) Alternativa A Alternativa B

0 $ $

1 $70,000.00 $10,000.00

2 $50,000.00 $30,000.00

3 $30,000.00 $50,000.00

4 $10,000.00 $70,000.00

Tabla 1.1

Diagramas de flujos de caja de alternativa A y B

ALTERNATIVA: A

Grfico 1. 3 (a)

4 aos

10,000.00 30,000.00

50,000.00 70,000.00

100,000.00



ALTERNATIVA: B

La Direccin de la flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la

solucin de problemas. En este caso utilizaremos flechas hacia arriba para indicar un flujo

positivo (ingreso) y una flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (desembolso).

DEFINICION DE INTERS

El inters es la cantidad convenida que se paga por el uso del dinero en

calidad de prstamo o depsito. La evidencia del valor del dinero en el tiempo

se llama inters, y es una medida del incremento entre la suma de dinero

prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada.

El uso del capital no es gratuito y el concepto de inters surge precisamente de esto,

aunque el Antiguo Testamento prohiba especficamente los prstamos con tasa de inters a

los miembros de una misma comunidad, los telogos medievales trataron de separar los

diferentes componentes del inters, tales como: el riesgo, el costo de oportunidad, la

inflacin, y la inconveniencia de perforar el slido muro de la prohibicin y permitir

algunas filtraciones, para salvar las crecientes actividades comerciales de las

interpretaciones bblicas ortodoxas. De lo contrario mucha gente estaba dispuesta a

enfrentar el Castigo Divinoal poner en prctica un sistema mercantilista generalizado.

Para salvar la situacin los telogos desarrollaron sus teoras econmicas apoyndose al

mismo tiempo en lo secular y lo sagrado.

Estas teoras con el desarrollo que ha alcanzado la sociedad en sus diversas

manifestaciones, se han transformado a tal punto que en la actualidad los bancos, las

entidades financieras y las personas no estn dispuestas a facilitar ninguna cantidad de

4 aos

100,000.00

10,000.00 30,000.00

50,000.00

70,000.00

Grfico 1. 3 (b)



dinero, sin tener en cuenta cierto margen de ganancia o utilidad y todo esto originado por el

concepto de rentabilidad que se medie por el aumento del valor cronolgico del dinero.

INTERES ACUMULADO O DEVENGADO

Es el inters generado al final de cierto perodo de tiempo por efecto del prstamo o

depsito y depende entre otros factores de:

a) La cantidad de dinero prestada o ahorrada

b) Del plazo del prstamo o depsito

c) De la tasa de inters pactada o establecida

METODO DE INTERES SIMPLE

En este mtodo de clculo de intereses el principal P no sufre ninguna variacin en

el tiempo que dura la transaccin, es decir, la tasa de inters se aplica solamente al principal

P en base al tiempo estipulado. El Inters Simple I de un principal P en n unidades de

tiempo y a una tasa de inters i, est dado por la expresin:

I = P i n Frmula 1.1

Donde:

P: principal (cantidad prestada o ahorrada)

n: plazo tiempo de la transaccin (prstamo o depsito) que puede ser aos, meses, o das

etc.,

i : tasa de inters medida en aos, meses, o das etc.,

I: inters acumulado o devengado.

Para el uso correcto de la frmula (1.1) es necesario que las variables relacionadas

con el plazo (n) y la tasa de inters (i) estn definidas en la misma unidad de tiempo.

Por ejemplo:

a) n = 3 meses, i = 4 % trimestral

b) n = 5 aos i = 18% anual

c) n = 10 meses i = 2 % mensual

d) n = 6 meses i = 20 % anual



En este ltimo caso (d) para usar la frmula se debe convertir 6 meses a 0.5 aos o

bien 20% anual a 1.66667% mensual. (Ver ejercicios 1, 2 y 3)

Si la tasa i est dada en ao y el tiempo n en das usaremos n/360; si n es en meses

usaremos n/12;

Lo anterior lo presentaremos en la tabla

Casos Plazo Tasa de Inters Frmula

1 n = aos i: anual I = P i n

2 n = meses i: anual I = P i (n/12)

3 n = das i: anual I = P i (n/360)

4 n = semanas i: anual I = P i (n/52)

COMENTARIO: Para determinar n entre fecha y fecha se utilizan todos los

das efectivos entre las fechas respectivas y se dividen entre 360 das

comerciales para anualizar el plazo.

INTERES SIMPLE COMERCIAL U ORDINARIO:

Al inters calculado sobre la base del ao comercial que tiene 360 das y cada mes 30 das,

se le llama inters simple comercial u ordinario, es decir:

I = P i (n/360) Frmula 1.2

Lo anterior provoca que muchas veces, las fechas de pago de un prstamo no

coincidan exactamente con la fecha en que se otorg el prstamo.

Por ejemplo, un prstamo que se otorg el 15 de enero de 1997 y con un plazo de 1

ao, no necesariamente vence el 15 de enero 98, sino que puede vencer el 10 de

enero debido a que se trabaja con el ao comercial de 360 das. Este es el sistema

utilizado comnmente por las instituciones que trabajan con crdito y finanzas.



INTERES SIMPLE EXACTO:

Al inters calculado sobre la base de 365 das se le llama inters exacto. Por otra

parte el tiempo puede ser calculado de manera exacta y de manera aproximada, por

consiguiente para determinar el inters, las dos partes involucradas en la transaccin deben

ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se utilizar.

El inters comercial y exacto son los mecanismos ms conocidos y utilizados en la

prctica comercial, se conocen con el nombre de inters bancario.

EJERCICIO No. 1

Una persona realiza un depsito de $ 25, 000 en un banco a una tasa de inters

simple del 20% a plazo fijo de 10 meses, determine el inters devengado.

SOLUCIN:

Datos: P = $ 25, 000, n = 10/12 = 0. 83333 ao, i = 20% anual

I = P i n =25, 000 ( 0.20) (10/12) = $4, 166.67

EJERCICIO No. 2:

Una persona plantea solicitar un prstamo de C$ 180.000, a 18 meses de plazo

a una tasa de inters simple de 30% anual. Calcule la cantidad que pagar en

concepto de intereses al final del plazo.

SOLUCION:

Datos: p = C$ 180, 000, n = 18 meses, i = 0.30/12 = 0.025 mensual

I = p i n = 180, 000 ( 0.30/12) (18) = C$ 81,000 ;

Tambin da lo mismo, si n = 18/12 = 1.5 aos, i = 30% anual ;

o sea: I = p i n = 180,000 (0.30) (18/12) = C$ 81,000



EJERCICIO No. 3:

Qu cantidad de intereses devenga un pagar cuyo valor nominal es $50,000

(dlares) a un plazo de 270 das a una tasa de inters del 0.95% mensual?

SOLUCION:

Datos: p = 50,000, n = 270/360 = 0.75 aos

i = 0.0095 (12) = 0.114 anual, luego;

I = p i n = 50,000 (0.114) (0.75) = $4,275;

Tambin resulta lo mismo, si n = 270/30 = 9 meses, i = 0.95% mensual;

o sea: I = p i n = 50,000 (0.0095) (9) = $4,275

EJERCICIO No. 4:

Determinar el inters simple comercial de un certificado de $ 20,000 a plazo fijo

del 6 de enero 2010 al 20 de diciembre 2010 a una tasa del 6.3%.

SOLUCION: Los datos del ejercicio son: p = $ 20,000, i = 6.3% anual, el plazo es de

348 das (ver tabla del clculo exacto para el numero de das). Entonces el dinero es:

I = pin = 20,000(0.063) (348/360) = $1,218.000

EJERCICIO No. 5:

Se realiza un depsito por $500 a plazo de un ao, 4 meses y 16 das en una

institucin bancaria que le paga el 0.51% mensual. Determinar el inters que

gana el depsito.

SOLUCION: Los datos son p = $500, i = 0.51/100 mensual, que multiplicado por 12

meses, resulta una tasa de 6.12% anual. El plazo lo convertiremos a aos equivalentes de la

siguiente forma:

n = 1 + 4/12 + 16/360 = 1+ 0. 3333333 = 0. 0444444

n = 1.3777777 aos (mnimos 8 decimales para expresar el tiempo)



Como la tasa de inters y el plazo estn transformados a la misma unidad de tiempo.

Calculemos ahora el inters ganado por el depsito;

I = pin = 500 (0.0612) (1.37777777) = $42.16

EQUIVALENCIA ENTRE SUMAS DE DINERO.

Diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo

valor econmico, esto quiere decir el valor del dinero en el tiempo, utilizando

conjuntamente una tasa de inters por ejemplo; si la tasa de inters es del 25%

anual, C$ 100.00 hoy son equivalentes a C$100.00 + C$ 25.00 = C$ 125.00 dentro de

un ao.

TASAS DE INTERES:

La tasa de inters es la razn del inters devengado respecto al capital inicial.

En otras palabras es la cantidad porcentual que al multiplicarse por el capital

inicial, da como resultado el inters devengado en un perodo de tiempo

determinado y ser denotado por I.

La determinacin de la tasa efectiva o verdadera, de inters de un prstamo depende de

la que se haya convenido y el mtodo que el acreedor cargue el inters, si ste se paga

al vencimiento del prstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de inters.

Las tasas de inters bancarias presenta tres resultados: Inters Compuesto Ordinario,

Inters Descontado, e Inters a Plazo.

TASAS DE INTERS.

TASA DE INTERES ACTIVA. Es la tasa de inters cobrada por los bancos del sistema

financiero nacional S. F. N. a las personas, instituciones y empresas a las cuales les ha

otorgado financiamiento para alguna actividad econmica. Las tasas inters corriente y

moratoria son tasas activas.

TASA DE INTERES PASIVA. Es la tasa de inters pagada por los bancos del sistema

financiero nacional S. F. N. a sus ahorrantes y depositantes en sus diferentes formas y de

alguna manera constituye una tasa de rendimiento, por cuanto el ahorro es una inversin de

bajo riesgo.



Por naturaleza, las tasas de inters activa son mayores que las pasiva, ya que por parte de la

diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En Nicaragua, las tasas activas

y pasivas estn determinadas segn la oferta y demanda de dinero, as como ndice de

riesgo de la inversin prevaleciente en el pas por diferentes circunstancias.

Estas tasas de inters estn determinadas para moneda extranjera (dlar) y para moneda

nacional (crdobas).

En Nicaragua al primer semestre del ao 2010, segn informe del Banco Central, el

promedio de las tasas de inters pasivas y activas en el SFN para un ao de plazo estaba:

Pasiva Activa

Moneda nacional 5.90% 22.47%

Moneda extranjera 2.99% 16.65%

TASA DE INTERES MORATORIA.

Es el porcentaje de recargo que se adiciona a la tasa de inters corriente

pactada, por incumplimiento de pago en la fecha establecida. Generalmente se

calcula en base al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento de la

deuda o cuota. Tericamente se establece que; cuando el pago de una deuda o

cuota se retrasa, el inters moratorio se calcula, aplicando la tasa de inters (corriente ms

moratoria) nicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora de la

cuota. Utilizando el Mtodo de Inters Simple para efectuar el clculo de inters

moratorio se usa la frmula (1.3) que se deriva de la frmula (1.1). Posteriormente este

clculo se realizar con el Mtodo de Inters Compuesto.

I = Pcv (ic + im) (Tm) Frmula 1.3

Donde:

I = Inters moratorio

Pcv = Principal de la cuota o pago vencido.

ic = Tasa de inters corriente pactada

im = Tasa de inters mora

Tm = Tiempo de mora de la cuota o pago de la deuda



COMENTARIO: Muchas veces en la prctica, el clculo de los intereses

moratorios, se derivan en base a una situacin contractual (acreedor- deudor),

por eso es importante que el prestatario est enterado al momento de contraer una

obligacin financiera, el procedimiento que utiliza el prestamista para calcular dichos

intereses.

EJERCICIO No. 6:

Una empresa est amortizando una deuda a un banco y paga al final de cada mes

una cuota de valor C$17, 666.67 la cual est vencida y tiene 20 das de mora. El

principal es de C$15,000 y los intereses corrientes del mes son de C$2,666.67, la

tasa de inters corriente sobre el Prstamo es del 32% anual sobre el saldo y la tasa

de inters moratoria es del 8% anual. Qu cantidad deber pagar la empresa para ponerse

al corriente?

Datos:

Pcv = C$ 15,000 principal de la cuota vencida

ic = 32% tasa de inters anual

im = 8% tasa moratoria

Tm = 20 das de mora de la cuota

SOLUCION:

Aplicando la Frmula 1.3 tenemos:

34.333$360

208.032.0000,15 CI

Total a pagar: C$17,666.67+C$333.34=C$18,000.00

OBSERVACIN Nota: Este mismo ejemplo ser resuelto a inters compuesto.



80,000

20,000

80,000

TASA DE RENDIMIENTO O RENTABILIDAD:

La tasa de rendimiento es el porcentaje de utilidad obtenido o que se espera obtener de una

determinada inversin. La tasa anual de rentabilidad (r) responde a la pregunta de cuanto

ganar o perder en relacin a la inversin efectuada. Es por lo tanto una relacin.

r = Rentabilidad en % = INV

G Frmula 1.4

Donde: G = Ganancia o prdida de la inversin.

INV = Cantidad invertida.

EJERCICIO No. 7:

Hoy se invierte la cantidad de C$80,000 y dentro de un ao espera obtener

C$100,000 y como no conoce de finanzas, quiere averiguar. Cul ser su tasa de

rendimiento esperada?.

SOLUCION:

La ganancia anual de la inversin es igual a (C$100,000 C$80,000) = C$20,000, o sea:

Ganancia = Ingresos Egresos. As la inversin genera un 25% de rendimiento, como se

puede apreciar al utilizar la ecuacin 1.4:

r = INV

G = Anual %2525.0

000,80

000,20

000,80

000,80000,100

La anterior operacin la podemos visualizar en un diagrama de flujos de caja o fondos de la

siguiente manera: (ver grfico 1.4)

0 1 ao

Grfico 1.4.



Si la rentabilidad (r) se quiere anualizar, dado que no todas las inversiones son anuales, se

utiliza el factor de anualizacin, el cual est dado por:

DVdas

360

to vencimiende

360 Frmula 1.5

Por tanto el rendimiento anualizado de una inversin es,

DVINV

Gr

360* Frmula 1.6

La tasa de rendimiento descrita anteriormente tiene mucha aplicacin en la bolsa de valores

y permite seleccionar la mejor alternativa de inversin en la transaccin financiera con

ttulos valores.

VALOR FUTURO A INTERESES SIMPLES DE UNA SUMA DE DINERO:

El valor futuro de una cantidad p a inters simple, es la cantidad acumulada

al final de cierto perodo de tiempo que incluye principal ms los intereses

y lo designaremos F.

Si el tiempo n es medido en aos, meses o das, el valor presente de una cantidad de dinero

es denominado p, su valor despus de cierto perodo de tiempo y a una tasa de inters i

estar dado por:

F = P+I Frmula 1.7

Sustituyendo I= Pin en (1.7) por su valor obtenemos una nueva versin de la frmula

anterior:

F = P (1+in) Frmula 1.8



EJERCICIO No. 8:

Una persona deposita en un banco C$130.000.00 en certificados de depsito a

trmino (C.D.T) a 6 meses de plazo. Certificado que devenga el 15% anual.

Determinar:

A. Los intereses acumulados.

B. - El valor futuro de los certificados.

Datos

P = C$ 130,000.00 n = 6 meses i = 0.15 I =? F=?

Frmula Solucin A:

I = Pin I = (130,000.00) (0.15) (6/12) = C$9,750.00

Frmula Solucin B:

F = P+I F = C$ 130,000 + 9,750.00

F = C$ 139, 750.00

VALOR PRESENTE A INTERES SIMPLE DE UNA SUMA DE DINERO:

El valor presente, es el valor del dinero el da de hoy o el valor del dinero en

cualquier fecha anterior a la de su vencimiento y lo denominaremos P.

De acuerdo la frmula (1.8) donde F = P(1+in), despejando p obtendremos el

valor presente el est dado por:

in1

FP Frmula 1.9



EJERCICIO No. 9:

Cunto recibi el momento de ser otorgado un prstamo industrial, el Sr.

Gonzalo Martnez, si este 9 meses despus de otorgado el prstamo pag un

monto de C$ 165,568.50 a una tasa de inters del 24% anual.

DATOS:

P = ? F = C$165,568.50 n =1 ao i = 0.24 .

FRMUILA SOLUCION

P = F/(1+in) P = 165,568.50/{1+(0.24) (9/12)

P = 200,000 (0.8474576)

P = C$140, 312.29

EJERCICIO No. 10:

Un inversionista tendr que pagar dentro de 6 meses la cantidad de C$

300,000, si el banco le aplic una tasa de descuento simple racional del 26%

anual, calcule el valor lquido que recibi del banco.

DATOS

F = C$300,00 n = 6 meses i = 0.26 p =?

FORMULA SOLUCION

Valor lquido es = P

P = F-D Valor a pagar al vencimiento = F

Donde P = 300,000/ [1+ (0.26) (6/12)

D = F-P P = C$265,486.73 valor recibido del banco

D = C$34,513.27



LOS DESCUENTOS

DESCUENTO BANCARIO:

El descuento simple bancario D es la diferencia entre el valor futuro F a pagar

y el valor presente P. Consiste en cobrar intereses por anticipado calculados

sobre el valor final F documento, as :

1. D = F-P

2. Sabemos por frmula (1.8) que: F = P+ I

3. Al despejar I tenemos: I = F - P

4. Por 1 y 3 podemos concluir que: D = I

5. En este caso D se calcula: D = F.d.n

6. d es la tasa de descuento

El descuento bancario se emplea generalmente en la transaccin de ttulos

valores que se negocian en el mercado de valores y se colocan por un valor

ms bajo que en el ttulo valor.

Una caracterstica de este clculo es el tiempo de la tasa de descuento, que a lo sumo es un

ao de plazo. En otras palabras, lo que se hace es un descuento sobre el valor facial que

tendr el ttulo en la fecha de reintegrar el dinero ms su ganancia. Debido a esto la tasa de

descuento es menor que la tasa de rendimiento sobre la inversin.

EJERCICIO No. 11:

Una persona compra al Banco Central de Nicaragua un certificado de

inversin cuyo valor facial es de C$ 10,000.00 a una tasa de descuento

del 8.70% a 270 das de plazo. Calcule (a) el valor del descuento (b) la

tasa de rendimiento sobre la inversin.

Principio de Equivalencia:

Una o Varias sumas de dinero pueden

transformarse en otra u otras sumas de

dinero equivalentes con el paso del tiempo

si la tasa de inters utilizada para la

transformacin satisface las aspiraciones

del inversionista.



DATOS SOLUCION A

F = C$$10,000.00 Como D = F-P al despejar P obtenemos

D = 0.087 P = F - D precio de compra

P = F (1- du)

N = 270 das P = 10,000-10,000 (0.087) (270/360)

D = ? P = 10, 000-652.50 = $9,347.50

Donde D = $ 652.50

SOLUCION B

En este caso para el clculo de (r), la ganancia = descuento, la inversin = al precio de

compra del bono y los das vencidos = 270. As, utilizando la frmula 1.6 obtenemos:

r = (G/INV) (360/DV) = (652.5/9,347.50) (360/270)

r = 0.093073 = 9.3073% anual.

De esta manera esta persona obtuvo una tasa de rendimiento del 9.3073% ligeramente

superior a la tasa de descuento aplicada en la colocacin del Certificado.

DESCUENTO SIMPLE O RACIONAL.

El descuento simple racional es de mucho menor uso que el bancario, posiblemente por que

la cantidad que se descuenta es menor. Este descuento se define como la diferencia entre el

valor Futuro F de una cantidad P.

D = F- P

Donde el valor P se calcula mediante la frmula (1.9) remplazando i por d.



EJERCICIO No. 12:

Calcular el descuento simple del EJERCICIO No. 9.

DATOS: F = $ 10,000, d = 8.7% n = 270 das P =?, D =?

SOLUCIN: Por la frmula 1.9 calculamos el valor presente P;

P = F/ (1 + in) = 10,000/ [1+ (0.087) (270/360)] = $ 9,387.47

As, el descuento simple resulta ser;

D = F P = 10,000 9,387.47 = $ 612.53

Podemos comparar, y observar que nos es el mismo resultado. Por tanto, el descuento

bancario no es lo mismo que descuento simple; lo que equivale a decir, que en tiempos

iguales y a una misma tasa, el valor actual p con descuento racional es siempre mayor que

el valor actual p con descuento bancario.

DESCUENTOS COMERCIALES.

Es costumbre de las casas comerciales en pocas especiales ofrecer una rebaja

sobre el precio de lista; por ejemplo: promociones de venta; por compras al

mayor, por pronto pago o por otras causas.

DESCUENTO POR COMISIONES.

Estas comisiones se expresan en porcentaje y en su valor no interviene el tiempo, su clculo

es mediante:

D = F (i) Frmula 1.10

Donde, D: descuento

F: Valor de la factura del producto vendido.

I: porcentaje de descuento por comisin.



VALOR NETO DE UNA FACTURA. Este valor P es igual al valor facturado F, menos

descuento D, no interviene el tiempo, o sea:

P = F D = F F (i)

P = F (1 i ) Frmula 1.11.

EJERCICIO No. 13:

Un comerciante ofrece descuento de un 10% sobre mercadera facturada con

valor superior a los $15,000. Un cliente factura una cantidad de $18, 513.45.

Qu valor pagar el comerciante?

DATOS

F = $18,513.45, i = 10%, P =?

SOLUCIN:

P = F(1 i) = 18,513.45 (1-0.10) = 18,513.45 (0.90)

P = $16,662.11 valor que pagar el cliente.

DESCUENTON POR PRONTO PAGO.

Los distribuidores y mayoristas en el comercio entre varias alternativas ofrecen

descuentos por pronto pago, segn la anticipacin del pago en el plazo sealado del crdito.

Es costumbre sealar los descuentos por medio de fracciones cuyo numerador indica en

tanto por ciento y cuyo denominador indica el tiempo dentro del cual el comprador tiene la

opcin de pagar, para tener derecho al descuento que seala el numerador.

EJERCICIO No. 14.

Un comerciante factura en un almacn el 15 de octubre del 2009 $80,000 con

las condiciones siguientes: a) 8% al contado b) 5/10 c) 4/20 c), 3/25 d) neto

a 30 das.

Calcular los pagos para cada una de las alternativas.



SOLUCION:

Los pagos en las fechas indicadas se calculan por la frmula 1.11, y serian las siguientes:

a) P = 80,000 80,000 (0.08) = $73,600.00: fecha 15 de octubre.

b) P = 80,000 80,000 (0.05) = $76,000.00: fecha 25 de octubre.

c) P = 80,000 - 80,000 (0.04) = $76,800.00: fecha 05 de noviembre

d) P = 80,000 80,000 (0.03) = $77,600.00: fecha 10 de noviembre

e) P = 80,000 80,000 (0.00) = $80,000.00: fecha 15 de noviembre

DESCUENTO EN CADENA.

Sobre una misma factura se pueden hacer descuentos entre s. Cada uno de estos descuentos

se efecta sobre el valor neto de la factura despus de deducir el descuento anterior.

EJERCICIO No. 15

La factorizacin de una mercadera es por valor de $120,000.00. El distribuidor

tiene los siguientes descuentos en ocasin de Navidad 2009 y Ao Nuevo 2010.

a) Por comprar al por mayor 6%

b) Por promocin especial 4%

c) Por preferencia del cliente 2%

d) Por noches de compra navideas 2009 3%

Determinar el valor neto a pagar:



SOLUCION:

Estos descuentos en cadena se presentan en la siguiente tabla:

VALOR DE FACTURA % DESCUENTO VALOR NETO DE FACTURA

$ 120,000.00

$ 112,800.00

$ 108,288.00

$ 106,122.24

6%

4%

2%

3%

$112,800.00

$108,288.00

$106,122.24

$102,938.57

VALOR NETO A PAGAR $102,938.57

Otra forma de clculo del valor neto de factura es mediante la frmula que sigue:

P = (1 i1 ) (1 i2 ) (1 i3 )..... (1 in ) Frmula 1.12

Donde; ir tasas de descuentos en cadenas, y r = 1, 2,3,....,..., n.

Calculando el valor anterior se tiene el mismo resultado, como se puede observar;

P = 120,000 (1 0.06) (1 0.04) (1- 0.02) (1 0.03)

P = 120,000 (0.94) (0.96) (0.98) (0.97)

P = 120,000 (0.857821) = $ 102,938.57

PAGOS PARCIALES.

En las actividades comerciales, es frecuente la costumbre de utilizar

obligaciones en las que se aceptan pasos parciales o abonos a buena cuenta,

dentro del plazo de la obligacin, en lugar de un solo pago en la fecha de

vencimiento.

En la solucin de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se

supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, contina en el



proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extincin de la

obligacin. En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas y el anlisis y

clculo de los valores en juego debern hacerse de acuerdo con las condiciones del

comercio y la banca local segn el pas.

REGLA DE LOS SALDOS INSOLUTOS:

Esta regla conocida como REGLA AMERICANA (United State Rule), el

inters se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez

que se efecta un pago parcial. Si el pago es menor que el inters vencido, el

pago se lleva sin inters hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto

exceda al inters vencido a la fecha del ltimo de dichos pagos parciales.

La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se

hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese

monto el valor del pago; as, se obtiene el saldo insoluto en esa fecha. Este proceso se repite

hasta calcular el saldo en la fecha de vencimiento, que ser igual al ltimo pago parcial y

que saldar totalmente la deuda. La incgnita del procedimiento es hallar el valor del

ltimo pago parcial en la fecha de vencimiento y que liquida totalmente la deuda.

EJERCICIO No. 16:

Una persona compra un artculo electrodomstico por valor de $10,000 en una

casa comercial de Managua, conviene en pagar $ 3,000 al contado y el saldo a

plazo de un ao con intereses de 2% mensual, para el cual har los siguientes

pagos: $4,000 y $2,000 a los tres y ocho meses respectivamente posterior fecha

de contrada la deuda. Calcular el saldo a pagar en la fecha de vencimiento.

SOLUCION:

Valor del artculo.............................................................. $10,000.00

Menos primer pago de contado........................................ $ 3,000.00

Saldo inicial..................................................................... $ 7,000.00

Monto de la deuda de los tres meses................................. $ 7,420.00

Menos segundo pago parcial............................................ $4,000.00

Saldo de la deuda a los tres meses.................................... $3, 420.00



Monto de la deuda a los ocho meses................................ $3,762.00

Menos tercer pago parcial................................................. $2,000.00

Saldo de la deuda a los ocho meses................................... $1,762.00

Monto de la deuda a los doce meses.................................. $1,902.96

Menos cuarto pago parcial................................................. $1,902.96

Saldo de la deuda al vencimiento...................................... $00000000

El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar intereses

capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales.

Por ejemplo, si un deudor de una obligacin con intereses del 24% a un ao de

plazo, hace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2%

mensual con capitalizacin mensual, es decir intereses compuestos y no simples.

Otra forma de expresar los resultados del EJERCICIO No. 16, es a travs de la

elaboracin del calendario de pago de la amortizacin no peridica de la deuda,

considerando que todo pago o cuota Ck contiene dos elementos importante: los intereses

devengados en perodo Ik y la amortizacin al principal Ak que disminuye el saldo insoluto,

donde K representa el k-eximo pago parcial con 1< k < N; as la cuota o pago se expresa:

Ck = Ak + Ik Frmula 1.13

Donde

Ck = valor de la cuota peridica

Ak = principal de la cuota, es una cantidad que es aplicable directamente a la deuda y la

disminuye

Ik = intereses de la cuota

k= numero de periodos o de pago que queremos cancelar la deuda



El calendario de pago del EJERCICIO No. 16 se presenta en la siguiente tabla.

NUMERO DE

PAGO

AMORTIZACION

AL PRINCIPAL

INTERES

DEVENGADOS

VALOR DEL

PAGO SALDO

0

1

2

3

4

$ 000000

$3,000.00

$ 3,580.00

$ 1,658.00

$ 1,762.00

$ 000000

$ 000000

$ 420. 00

$ 342. 00

$ 140. 00

$ 00000000

$ 3 , 000.00

$ 4 , 000.00

$ 2 , 000.00

$ 1 , 902.96

$ 10, 000.00

$ 7, 000.00

$ 3, 420.00

$ 1, 762.00

$ 00000000

Total:

$ 25, 000. 00

$ 2,337.89

$27, 337.89

SALDO

PAGADO

EJERCICIO No. 17:

Supongamos en el ejemplo anterior, que el cliente se retras 25 das en el

pago de 3 de $ 2,000 y que los intereses en mora se cobran al 12%.

Qu valor deber pagar para ponerse al corriente?

SOLUCION:

Todo pago o cuota por lo general est compuesto (segn la frmula 1.13 ) por;

Ck = Ak + Ik

Donde C3 = $2,000.00, A3 = $1, 658.00, I3 = 342.00

En este caso los intereses en mora se cobran sobre la base del principal vencido ($

1,658.00) del pago correspondiente, durante el tiempo retrasado. Por la frmula (1.3) esto

es:

Imo = (1,658) (0.02 + 0.02/12) (25/30)

Imo = (1,658) (0.03) (0.83333333) = $ 41.45

Por tanto el pago con mora es: $ 2,000 + $ 41.45 = $2041.45



Obsrvese que tanto la tasa de inters como el tiempo en mora se

transformaron a meses equivalentes, tambin se pudo haber transformado a

ao comercial y el resultado sera el mismo.

TABLA PARA HALLAR EL NMERO EXACTO DE DIAS ENTRE DOS FECHAS:

A continuacin se te presenta la siguiente tabla, por medio de la cual es posible hallar,

fcilmente el nmero exacto de das que abarca cualquier perodo de tiempo dentro de un

ao particular.

Desde

cualquier

da

Al mismo da del Prximo

Meses Enero Febre. Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septi. Octub. Noviem

bre

Diciemb

re

Enero 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

Febrero 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

Marzo 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

Abril 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

Mayo 245 276 304 335 365 31 61 92 23 153 184 214

Junio 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

Julio 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

Agosto 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

Septiemb 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

Octubre 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

Noviemb 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

Dieciem. 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365



REGLAS PARA USAR LA TABLA:

1.- Para obtener el nmero exacto de das comprendidos entre cualquier fecha de un mes y

la misma de cualquier otro me, hllese el nmero de la tabla situada en la columna

encabezada por el mes terminal y en la lnea correspondiente al nombre del mes inicia.

2.- Cuando el nmero del da del mes terminal es mayor que el nmero del da del mes

inicial, hllese en la tabla el nmero que corresponde al nmero de das comprendidos entre

las mismas fechas de los dos mese, como en el caso (1), y prstesele la diferencia entre el

nmero del da del mes inicial y el mes terminal.

3.- Cuando el nmero del da del mes inicial es mayor que el del da del mes terminal,

hllese el nmero de la tabla que corresponde al nmero de das comprendidos entre las

mismas fechas de los dos mese, como en el caso (1), y rstesele la diferencia entre el

nmero del da del mes inicial y el mes terminal.

Por Ejemplo: Hllese el nmero exacto de das usando la tabla desde:

Caso solucin

a) el 4 de enero al 4 de septiembre...........................................................243 das

b) el 9 de marzo al 19 de agosto............................................ 153 + 10 = 163 das

c) el 23 de mayo al 7 de noviembre ......................................184 16 = 168 das



PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERS SIMPLE

Formulas de Inters Simple

I = Pin

F =P (1 + i n)

P =F (1 + in)-1

F = P + I

I = inters; F = valor futuro; P = Capital; i = tasa de inters.

CALCULAR EL INTERS SIMPLE COMERCIAL DE:

a. $2.500 durante 8 meses al 8%.

P = $2.500 n = 8 meses i= 0,08

I = 2.500 * 8/12 * 0.08 = $133.33 Respuesta

b. $60.000 durante 63 das al 9%.

P =$60.000 n =63 das i =0,09

I = 60.000 * 63/360 * 0.09 = $ 945.00 Respuesta

c. $12.000 durante 3 meses al 8 %.

P =12.000 n =3 meses i =0,085

I = 12.000 * 3/12 * 0.085 = $ 255 Respuesta

d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre.

Del mismo ao.

P =$15.000 i =0,10 n =167 das

I = 15.000 * 0.10 * 167/360 = $ 695,83 Respuesta



e. $8.000 durante 7 meses 15 das al 1,5% mensual.

P = $8000 n =7,5 i = 0,015

7 meses + 15 das * 1 mes =7,5 meses

Meses de 30 das

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta

2. Un seor pago $2.500,20 por un pagar de $2.400, firmado el 10 de abril de 2010 a un

4.5 % de inters. En qu fecha lo pag?

F = 2.500,20

P =2.400

i = 0.045

n =?

F = P (1 + in)

2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 n)

0,04175 = 0,045 n

n = 0,9277 aos Respuesta 10 de marzo de 2011

3. Un inversionista recibi un pagar por valor de $120.000 a un inters del 8% el 15 de

julio con vencimiento a 150 das. El 20 de octubre del mismo ao lo ofrece a otro

inversionista que desea ganar el 10%. Cunto recibe por el pagar el primer

inversionista?

F =120.000 (1 + 0,08 * 150/360) =124.000

= 124.000 (1 + 0,1 * 53/360)-1

= 122.000,93 Respuesta



4. Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de inters. Si el pagar tiene

como clusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al

plazo fijado qu cantidad paga el deudor, 70 das despus del vencimiento?

F = 14.000(1 + 0,08 * 3/12) = 14.280 Valor de vencimiento

F = 14.280(1+0,1 * 70/360) =14.557,67 respuesta - valor de mora.

5. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagar de $ 20.000 con vencimiento para el 13

de agosto y recibe & 19.559,90. A qu tasa de descuento racional o matemtico se le

descont el pagar?

F = P (1+ in)

20.000=19.559,90 (1 + i * 90/360)

i =0, 09 9% Respuesta



6. Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8

meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses

y un ao, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagars al 8% de

rendimiento (tmese como fecha focal dentro de un ao).

F1=20.000(1+0,08 * 9/12)= 21.200

F2=16.000(1+0,08 * 4/12)= 16.426,67

Deuda = 21.200 + 16.426,67

Deuda = 37.626,67

Pagos

P1 = x (1+0,08 * 6/12) =1,04 x

P2 = x

Pagos =P1 +P2

Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagars 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deudas

a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.



PROBLEMAS DE DESCUENTO

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de inters simple he aqu sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor lquido de los pagars, descontados en un banco a las tasas y fechas

indicadas a continuacin:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 das de su vencimiento.

20.000(1- 0.1 * 45/360)= 19.750 Respuesta

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

18.000(1-0.09 * 2/12)=17.730 Respuesta



c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de

septiembre del mismo ao.

14.000(1-0.08 * 95/360)=13.704,44 Respuesta

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14

de febrero del ao siguiente.

10.000(1-0.1 * 86/360)=9.761,11 Respuesta

2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio

de cierto ao:

a. $20.00 de contado

b. Un pagar por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo ao.

c. Un pagar por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo ao.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.

a. 20.000 contado

b. 20.000(1-0.09 * 92/360)=19.540

c. 30.000(1-0.09 * 153/360)=28.852,5

Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 el valor real de la venta Respuesta

2.3 Un pagar de $10.000 se descuentan al 10% y se reciben del banco $9.789.

Calcular la fecha de vencimiento del pagar.

10.000=9.789 (1+0.1 * t)

t = 0,21 aos

0,21 aos * 12 meses = 2,52 meses Respuesta



2.4 El Banco Ganadero descuenta un pagar por $80.000 al 10%, 90 das antes de su

vencimiento, 5 das despus lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la

utilidad del Banco Ganadero.

80.000(1-0.1 * 90/360)=78.000

80.000(1-0.09 * 75/360)= 78.500

Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta

2.5 Qu tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700

dlares, si se descont a 60 das antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dlares

netos?

700=666,67(1 + i 60/360)

i = 0.30 30% Respuesta

2.6 Cul es el valor nominal de un pagar por el cual se recibieron 146,52 dlares, si

se descont comercialmente a un tipo de 49%, 85 das antes de su vencimiento?

146,52 = VF (1 - 0,49 * 85/360)

VF = 165,68 Respuesta.



PROBLEMAS PROPUESTOS DE INTERS SIMPLE

Resuelva los siguientes ejercicios. Verifique las respuestas que se ofrecen

1) Calcule el Monto (F) y el Inters Simple Comercial (I) de :

a) La cantidad de C$ 22,840 desde el 20 de octubre de 2009 al 16 de mayo de 2010 al 18%. Respuestas: C$ 2,375.36, C$ 25,215.36

b) La cantidad de C$ 18,547.80 durante 123 das al 1.2% mensual. Respuestas: C$ 912.55, C$ 19,460.35

c) La cantidad de C$ 20,340.54 desde el 12 de noviembre de 2009 al 23 de junio de 2011 al 20%. Respuestas: C$ 6,667.18, C$ 27,007.72.

d) La cantidad de C$ 50,400 durante 142 das al 24%. Respuestas: C$ 5,171.20, C$ 4,771.20

e) La cantidad de C$ 65,500 desde el 10 de julio 2009 al 15 de noviembre 2010, al 24.55%. Respuestas: C$ 87,521.00, C$ 22,021.00.

f) La cantidad de C$ 18,146 durante 10 meses y 25 das al 25%. Respuesta: C$ 22,241.45, C$ 4,095.45.

g) La cantidad de C$ 150,800 desde el 3 de febrero al 25 de octubre del mismo ao, al 0.9% mensual. Respuestas: C$ 162,743.36, C$ 11,943.36

h) La cantidad de C$ 10,000 durante 8 meses y 18 das al 0.88% mensual. Respuestas: C$ 10,756.80, C$ 756.80

2) Una inversin de C$ 150,000 genera intereses pagaderos al final de cada tres meses por la Cantidad de C$ 7,000 durante 9 meses. Calcule la tasa de rendimiento sobre la

inversin. Respuesta: r = 18.67%

3) En qu tiempo un capital de C$ 30,420. a) Produce C$ 7,500 al 20% de inters simple?

Respuesta: 1 ao, 2 meses, 6 das.

b) Alcanza un monto de C$ 35,450.65 al 20% de inters simple?

Respuesta: 9 meses, 27 das.

c) Produce C$ 5,635 al 18% de inters simple?

Respuesta: 1 ao.

4) El monto de un prstamo es de C$ 80,000 que vence dentro de 10 meses a una tasa de 20%. Calcule su valor.

a) el da de hoy b) Dentro de un ao y 20 das. c) Dentro de 9 meses d) Dentro de 2 meses y 10 das e) Dentro de 15 meses.

Respuestas:

a) C$ 68,571.43, b) C$ 83,555.55, c) C$ 78,688.52, d) C$ 70,935.96, e) C$ 86,666.67.



5) calcular la tasa de inters a la cual el monto de C$ 10,000 es C$ 11,436 en 8 meses.

Respuesta: 21.54%

6) El seor Lpez compra un pagar de C$ 200,000 en la Bolsa de Valores que gana intereses del 24% a 16 meses de plazo. Ocho meses despus el seor Lpez decide

vender el pagar.

a. Cuanto recibir si la tasa en el mercado es de 20% b. Que tasa de rendimiento obtuvo sobre la inversin

Respuesta: a) 232,941.17, b) 24.7%

7) Se colocan C$7.800 durante 4 bimestres en una agencia financiera que ofrece el 6% semestral. Cunto ganarn de intereses y cunto se acumular al final del perodo?

8) Cierto capital gana C$157,50 de intereses al colocarlos durante 4 meses y medio en una institucin que paga el 30% anual. Determine cunto se invirti y cunto se acumula.

9) Se adquiere una maquinaria por C$ 5 mil, dando al momento de la compra un 40% de inicial, financiando el resto durante 7 trimestres. De esta forma, terminan pagndose

C$1.155 de intereses. Qu tasa anual le fue aplicada? Cunto pag en total por la

maquinaria?.

10) Cuntos meses deben transcurrir para que C$ 812 colocados al 2,2% bimensual se conviertan en C$ 910,252?.

11) Una empresa decide invertir C$ 6.300 durante 8 bimestres a una tasa que le garantice que ganar C$ 2.419,20. A qu tasa trimestral deber invertir?.

12) El 24 de Marzo, el Sr. Digenes invierte C$960 al 2,1% mensual y mantendr su inversin hasta que su dinero se convierta en C$1141,44. Cundo lo retirar?.

13) Una cuenta de ahorros ofrece el 0,05% diario. Decido guardar all C$ 2.900 durante 5 meses y 10 das. Cunto retirar al final del perodo? Cunto si lo dejo un ao?.

14) Se adquiere un repuesto a crdito y el vendedor lo financia al 1,8% quincenal. La operacin dura 7 meses y 18 das y se terminan pagando C$ 725,925 por el repuesto.

Determine su valor de contado.

15) Un terreno se compra, pero a los dos aos y 5 meses se vende por C$ 6.478,70, luego de ganar C$ 2.038,70 por inflacin. Qu tasa de inflacin semestral se est usando?

16) Un capital de C$ 4.200 se invierte en dos bancos: 9/14 partes en el BANPRO, al 22% durante 10 meses, y el resto en el BDF, al 20% durante 1 ao y un mes. Determine: a)

El monto final de su inversin. b) La tasa de inters que realmente aplic a su inversin



17) El seor Moreno recibe C$ 55 mil como premio de una lotera y decide invertirlos de la siguiente manera: El 30% durante 5 trimestres en una institucin financiera que le

ofrece el 19% de inters simple anual y el resto durante 1 ao y dos meses en un banco

que le da el 23% anual simple. Determine el total de intereses que percibir y el capital

que tendr al final de las inversiones.

18) Agropecuaria Palo Alto decide comprar un lote de maquinarias de siembra por un total de C$ 650 mil. Como cuota inicial, la empresa aporta el 20%, dejando el resto para ser

financiado en 2 aos y medio por una agencia que cobra el 8% semestral simple.

Determine de cunto ser el pago que deber realizar la Agropecuaria para liquidar su

deuda al final del perodo

19) Una empresa decide colocar cierto capital durante 9 meses al 22,5% anual en un banco. Al final de ese perodo, tras ganar C$810 de intereses, tiene un total de C$5.610.

Determine cunto fue el capital colocado.

20) A qu tasa de inters mensual hay que colocar C$ 500 para que, al pasar un semestre se conviertan en C$ 551 ?

21) El 4 de Abril coloqu C$ 7 mil en una cuenta de ahorro VIP que me ofrece el 2% simple mensual. Deseo retirar mi dinero cuando haya ganado C$ 616 de intereses.

Cundo debo realizar el retiro?

22) Se coloca cierto capital al 20% anual. Determine cunto tiempo pasar para que este capital se duplique..

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL 7 AL 22

7) Intereses = C$624 ; Monto final = C$8.424

8) Se invirtieron C$ 1400; Se acumulan C$ 1557,50

9) Tasa aplicada = 22% anual ; Total pagado = C$ 6.155

10) Deben transcurrir 11 meses

11) Tasa = 7,2% trimestral

12) El da de Navidad (25 de Diciembre)

13) A los 5 meses y 10 das Retirar C$ 3.132 ; Al ao Retirar C$ 3.422

14) Valor de Contado = C$ 570



15) Tasa semestral de inflacin = 9,5%

16) Monto final = C$ 5.020 ; Tasa real aplicada = 18,02% anual

17) Intereses percibidos = C$ 14.249,58 ; Capital Final = C$ 69.249,58

18) Deber pagar C$ 728 mil

19) Se coloc un capital de C$ 4.800

20) Tasa = 1,70% mensual

21) Debo retirar el 14 de Agosto (132 das mas adelante)

22) 5 aos

TEMA II: CALCULO DE INTERES COMPUESTO

En la unidad anterior abordamos problemas de inters simple, donde el

capital permaneca invariable o constante durante todo el tiempo que

duraba la transaccin y que los intereses se retiraban peridicamente.

Cuando utilizamos el mtodo de INTERES COMPUESTO,

observamos que el capital va aumentando en cada perodo; por cuanto

el inters se va integrando al capital para luego calcular intereses sobre un nuevo monto

en cada perodo. Por ello es muy corriente decir que en el inters compuesto los

intereses ganan intereses, porque se capitalizan en cada perodo de inters.

CALCULO DEL VALOR FUTURO A INTERES COMPUESTO.

Para deducir la frmula general del clculo del inters compuesto, calcularemos

primeramente el valor futuro, partiendo del ejercicio siguiente:



EJERCICIO No. 17:

Una persona deposita en un banco US$ 1,000 en una cuenta de ahorro a plazo

fijo de un ao. El Banco capitaliza el inters trimestralmente a una tasa del

2% trimestral, cual ser el valor de la cuenta final del ao?

Ilustremos la situacin en la siguiente tabla

PERIODO

TRIMESTRAL

VALOR

PRESENTE

P, INICIO DE

PERIODO

INTERES EN

TRIMESTRES I,

I = Pin

VALOR FUTURO

F

FIN DE

PERIODO

1

2

3

4

$ 1,000.00

$ 1,020.00

$ 1,040.40

$ 1,061.21

1,000.00 (0.02) = 20.00

1,020.00 (0.02) = 20.40

1,040.40 (0.02) = 20.81

1,061.21 (0.02) = 21.23

$ 1,020.00

$ 1,040.40

$ 1,061.21

$ 1,082.43

Los nuevos montos o valores futuros para cada perodo, se muestran a continuacin en

el grfico de capitalizacin, donde el inters se suma o se integra al capital en cada

trimestre.

DIAGRAMA DE FLUJO

1, 020 1,040.40 1,061.21 1,082.43

0 1 2 3 4

1,000



La situacin anterior la podemos representar grficamente, mostrando el valor presente y el

valor futuro as: (ver grfico SIGUIENTE).

US$1,082.43

0 1 2 3 4

US$1,000

La frmula general para el clculo de inters compuesto la deducimos a partir de los

resultados anteriores, la cual se muestra en la siguiente tabla.

PERIODO VALOR PRESENTE P,

INICIO DE PERIODO

INERES I

DEL

PERIODO

VALOR FUTURO F, FIN DE

PERIODO

1

2

3

4

5

.

.

.

n

P

P (1+ i)

P(1+i )2

P(1 + i)3

P(1 + i)4

.

.

.

P (1 + i ) i-n

Pi

P (1+ i)i

P (1+ i)2

i

P (1+i)3

i

P (1+i )4

i

.

.

.

P (1 + i ) n-1

i

P + Pi = P (1 + i)

P(1 + i )+ P (1+i)i = P (1 +i)2

P(1 + i )2+ P (1+i)

2 i = P (1+i)

3

P(1 + i )3+ P (1+i)

3 i = P (1+i)

4

P(1 + i )4+ P (1+i)

4 i = P (1+i)

5

.

.

.

P (1+i) n-1

+P (1+i)n-1

i =P (1+i)n

A B = A + B



De lo anterior podemos generalizar la frmula de valor futuro a inters compuesto para N

perodos de la siguiente manera:

F = P(1+ie) n

Frmula 2.1

Donde

F = Valor futuro (monto de una deuda).

P = Valor presente (principal de una deuda).

ie = Tasa de inters efectiva anual.

n = Plazo en aos y total de capitalizaciones de la operacin financiera.

Tambin la frmula 2.1 es equivalente a la siguiente:

F = P(1+j/m)m-n

Frmula 2.2

O bien:

F = P(1+i)N

Donde

j = Tasa de inters nominal peridica o tasa convenida para una operacin

financiera.

m = Frecuencia de capitalizacin de los intereses segn la tasa nominal j.

n = Tiempo o plazo de la operacin financiera.

N = m.n = nmero total de capitalizaciones de intereses.

i = j/m tasa de inters efectiva para perodos de capitalizacin menores que un ao.

Retomando el EJERCICIO No. 17 y resolvindolo por la frmula (2.1) obtenemos el

mismo resultado.



DATOS SOLUCION

P = US$ 1,000 F = P(1+i)N

i = 2% = 0,02 trimestral F = 1,000 (1+0.02)4

n = 1 ao F = 1,000 (1+082432)

m = 4 F = US$ 1, 082.43

N = 4 (1) = 4

F = ?

Observamos que el resultado es el mismo, tanto por deduccin, como por induccin. En la

solucin anterior se recalca que el valor de 0.02 es lo que gana un dlar en un trimestre y

4x1 es el nmero de capitalizaciones durante el tiempo de la transaccin, lo que significa

que US$ 1,000 colocados al 0.02 trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o

valor futuro de US$ 1,082.43 dlares.

EJERCICIO No. 18:

Deducir los datos para cada una de las siguientes transacciones financieras de

un cierto capital P invertido a la tasa indicada y al plazo determinado:

1-.Tasa del 20% convertible semestralmente a cinco aos de plazo.

2-.Tasa del 24% convertible mensualmente a 16 meses de plazo.

3.-Tasa del 1.5% mensual a tres aos de plazo.

SOLUCION:

DATOS DE 1: DATOS DE 2: DATOS DE 3: DATOS DE 4:

P = Capital P = Capital P = Capital P = Capital

J = 0.20 j = 0.18 j = 0.24 j = 0.18

m = 2 m =12 m = 4 m = 12

n = 5 n = 16/12= 1.3333 n = 18/12 =1.5 n = 3

N = 10 N = 16 N = 6 N = 36

F=? F =? F = ? F = ?



EJERCICIO No. 19:

El lector puede el lector puede proponerse una cantidad especfica para P y

calcular el valor F, utilizando las frmulas 2.1 y 2.2. De esta forma

comprobar que el resultado es el mismo para cada transaccin realizada.

DIFERENCIAS ENTRE EL INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO.

Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos mtodos:

a) La aplicacin de los mtodos difiere en respuesta al tipo de transaccin financiera efectuada: si los intereses son pagaderos por perodo, acta el inters simple. Si los

intereses son integrados al principal en cada perodo de capitalizacin, acta el inters

compuesto.

b) El crecimiento de una inversin especfica se da de forma ms acelerada para un mismo plazo y una misma tasa de inters. Si observamos el EJERCICIO No. 17 resuelto en el

cuadro podemos apreciar que el monto a inters compuesto de US$ 1,000 colocados a

una tasa del 0.02 trimestral, durante un ao es US$ 1,082.43. En cambio si realizamos

el clculo a inters simple detectamos que se produce una ligera disminucin de US$

2.43 en el monto o valor futuro de la misma transaccin. Efectuando los clculos e

inters simple conforme la frmula (1.11) confirmamos lo sealado.

DATOS: SOLUCION:

P = US$ 1,000 F = P (1 + in)

I = (0.02) 4 = 0.08 anual F = 1,000 [1 + (0.08) (1)]

n = 1 ao F = 1,000 (1.08)

F = ? F = US$ 1,080.00

El mtodo de clculo del inters compuesto, hace crecer al principal o capital invertido de

forma exponencial, en vista del proceso de capitalizacin de los intereses por perodos de

acuerdo a la especificidad de la tasa, a la cual se coloca el capital.

Observemos en el EJERCICIO No. 17 como el valor futuro a inters compuesto crece ms

rpidamente que el valor futuro a inters simple, por efecto de la capitalizacin de los

intereses. El valor futuro a inters compuesto crece en razn geomtrica y su grfico

corresponde al de una funcin exponencial; por el valor futuro a inters simple crece con

progresin aritmtica y su uso grfico corresponde a una funcin lineal.



Como ejercicio dejamos al lector que deduzca la relacin entre las tasas de inters simple y

compuesto y dibuje los grficos a inters simple y compuesto correspondientes al

EJERCICIO No. 17.

CALCULO DEL VALOR PRESENTE A INTERES COMPUESTO.

El valor presente o actual, es el valor del dinero el da de hoy o el valor del

dinero en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El clculo del

valor presente responde a las siguientes preguntas: Si se desea una determinada cantidad de

dinero en el futuro, Cuanto se tendr que invertir hoy, conociendo la tasa de inters y el

plazo de la Inversin? Otra forma de uso valor presente, es por ejemplo, la determinacin

del valor actual de una deuda pendiente, si se desea pagarla por adelantado antes de la

fecha de su vencimiento.

De la formula (2.1) o (2.2) al despejar la variable P obtenemos el valor presente a inters

compuesto, de la siguiente manera:

F = P (1+i) N

Frmula 2.4

Al despejar la frmula (2.4) obtenemos lo siguiente:

P = F (1+i)-N

Frmula 2.4

Toda las variables bsicas que intervienen en las formulas (2.1) y (2.2), son validas para

formulas (2.4)



EJERCICIO No. 19:

Determinar el valor futuro de un depsito de $100,000 al 8% de inters,

capitalizable semestralmente y a un plazo de 2 aos, 3 meses y 20 das.

DATOS

p = $100,000 principal. j = 8% = 0. 08 anual

m = 2 frecuencia de capitalizacin de los intereses anualmente.

n = 2 + (3/12) + (20/360) = 2.305555 aos = 27.6667 meses

N = m (n) = 2(2.305555) = 4.611111 total de capitalizaciones.

i = j/m = 0.08/2 = 0.04 tasa efectiva por semestre.

F =? Valor futuro

SOLUCION

F = P (1+i) N

frmula de valor futuro

F = 100,000 (1+0.04)4.611111

F = 100.000 (1.198236) = $119,823.67

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P = $100,000.00

F=?

27.6667 meses



EJERCICIO No. 20:

Una persona obtiene un prstamo de C$ 75,500 a 10 aos de plazo, con

intereses del 12% anual efectivo. Determinar el valor futuro que deber

pagar en la fecha de vencimiento.

DATOS:

Cuota inicial = C$ 55,000 F = C$ 125,000 m = 4 N = 8 trimestres

P = Valor de contado de la casa. j = 0.24 i = 0.24/4 = 0.06 tasa efectiva por trimestre.

P =?

SOLUCION:

P = Cuota inicial + f (1+i)-N

= 55,000+122,500 (1.06)-8

=

55,000+122,500 (0.627412371) = 55,000+76,858.02 =C$ 131,858.02

P = C$75,000

Grafico 2.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F =?

Aos



CALCULO DEL NMERO DE PERIODOS:

El clculo del numero de periodos a inters compuesto nos es til para saber en que tiempo

se puede alcanzar un monto prefijado de una determinada inversin realizada el da de hoy,

a partir del conocimiento de la tasa de inters que acta en la transaccin.

Deduccin de la formula:

De la formula 2.1 se sabe que,

F = P (1+i) N

formula 2.1

Se trata de despejar N de la siguiente manera:

(1+i)N = f/p

Aplicando logaritmo natural (1n) a la ecuacin anterior en ambos miembros tenemos;

1n (1+i) N

= 1n (f/p)

N1n (1+i) = 1n (f/p)

De donde al despejar N se obtiene la formula deseada:

EJERCICIO No. 21:

Una persona invirti en un C.D.T (certificado de depsito a trmino) la

cantidad de C$15,000 y le redimieron C$30,596.01. Determinar el plazo del

certificado si la tasa de inters era del 25% efectivo.

DATOS SOLUCION

P = C$15,000

F = C$30,596.01 i

p

f

N1ln

ln



i = 0.25 annual

N =?

aosN

N

19444444.3

2231435.0

7128196.0

25.1ln

0397345.2ln

25.01ln

000,15

01.596,30ln

Significa que el plazo del C.D.T es 3.1944444 aos. Para ser ms exacto esto es: 3aos, 2

meses, 10 das.

EJERCICIO No. 22:

Un seor est interesado en acumular la cantidad de C$50,000 para

comprarse un automvil usado. En este momento dispone de C$20,000 y

decide para su propsito, depositarlos en una cuenta de ahorro a plazo fijo

en un Banco que paga el 12% convertible trimestralmente.

Que tiempo deber esperar este seor para comprar el vehculo?

DATOS SOLUCION

P = C$ 20,000

F = C$ 50,000 i

p

f

N1ln

ln



J = 0.12 03.1ln

5.2ln

03.01ln

000,20

000,50ln

N = 029558802.0

916290731.0

m = 4 i = 0.12/4 =0.03

N=? N = 30.99891276 trimestres

Lo que significan: 7aos, 8 meses, 29dias, 21 horas, o sea

7 aos, 9 meses aproximadamente.

2.5- CALCULO DE LA TASA DE INTERES.

Para calcular la tasa de inters i la despejamos en la formula 2.1de la siguiente manera:

= P (l+i) N

= f

= (l+i) N

= f/p

= l + i = pf /1/N

- l

i = pf /l/N

l Formula 2.7

Por ejemplo, si una persona

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DOSSIER MATEMATICA FINANCIERAS PARA LA TOMA DE DECSIONES 2012.pdf