DOS Zbirka Milic Ljiljana

7/23/2019 DOS Zbirka Milic Ljiljana

http://slidepdf.com/reader/full/dos-zbirka-milic-ljiljana 1/120



Diskretni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu

Sadržaj

Zadatak 1

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Zadatak 2

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Rešenje d)

Zadatak 3

Rešenje

Zadatak 4

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Zadatak 5Rešenje

Zadatak 1

a) U programskom jeziku MATLAB generisati po trideset odbiraka diskretnih signala x(n) i h(n), definisanih izrazima,

x(n)=0.9nu(n), h(n)=0.8nu(n),

gde {u(n)} predstavlja jedinični odskočni niz.

b) Grafički prikazati ova dva signala.

c) Izračunati i grafički prikazati konvoluciju { y(n)} signala { x(n)} i {h(n)}.

Rešenje a)

clear all, close all;N=30;n=[0:N-1]';x=0.9.^n;h=0.8.^n;

Rešenje b)

figure,subplot(1,2,1),stem(n,x),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}({\itn})');subplot(1,2,2),stem(n,h),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}({\itn})');

etni signali i sistemi: analiza u vremenskom domenu file:///F:/glava01/glav

1 09-Dec-15



Rešenje c)

y1=conv(x,h);y2=conv(h,x);ny=[0:2*N-2]';figure,

subplot(1,2,1),stem(ny,y1),xlabel('\itn'),ylabel('{\ity}_1({\itn})');subplot(1,2,2),stem(ny,y2),xlabel('\itn'),ylabel('{\ity}_2({\itn})');

Zadatak 2


1 09-Dec-15



a) Formirati diskretne nizove i predstaviti ih grafički:

x1(n)=sin(2πn/16), n=0, 1, ..., 63

x2(n)=sin(2π 1.3n/16), n=0, 1, ..., 63

x3(n)=sin(2π 17n/16), n=0, 1, ..., 63

x4(n)=sin(2πn/32), n=0, 1, ..., 63

x5(n)=sin(2πn/64), n=0, 1, ..., 63

Da li su svi dati nizovi periodični? Da li se odbirci nizova x1(n) i x3(n) razlikuju među sobom?

b) Formirati i grafički predstaviti na istom dijagramu eksponencijalne nizove:

h1(n)=0.9n, n=0, 1, ..., 63

h2(n)=0.8n, n=0, 1, ..., 63

h3(n)=0.7n, n=0, 1, ..., 63

c) Formirati i grafički predstaviti na istom dijagramu eksponencijalne nizove:

g 1(n)=(-0.9)n, n=0, 1, ..., 63

g 2(n)=(-0.8)n, n=0, 1, ..., 63

g 3(n)=(-0.7)n, n=0, 1, ..., 63

d) Odrediti i grafički predstaviti niz { x(n)} koji je proizvod nizova { x1(n)} i {h1(n)}.

Rešenje a)

clear all, close all;

n=[0:63]';x1=sin(2*pi*n/16);

x2=sin(2*pi*1.3*n/16);x3=sin(2*pi*17*n/16);x4=sin(2*pi*n/32);x5=sin(2*pi*n/64);

figure,subplot(5,1,1),stem(n,x1),ylabel('{\itx}_1({\itn})');subplot(5,1,2),stem(n,x2),ylabel('{\itx}_2({\itn})');

subplot(5,1,3),stem(n,x3),ylabel('{\itx}_3({\itn})');subplot(5,1,4),stem(n,x4),ylabel('{\itx}_4({\itn})');subplot(5,1,5),stem(n,x5),ylabel('{\itx}_5({\itn})'),xlabel('\itn');


1 09-Dec-15



Rešenje b)

h1=0.9.^n;h2=0.8.^n;h3=0.7.^n;figure,

stem(n,[h1 h2 h3]),ylabel('{\ith}_1({\itn}), {\ith}_2({\itn}), {\ith}_3({\itn})'),xlabel('\itn'),

legend('{\ith}_1({\itn})','{\ith}_2({\itn})','{\ith}_3({\itn})');


1 09-Dec-15



Rešenje c)

g1=(-0.9).^n;g2=(-0.8).^n;g3=(-0.7).^n;figure,stem(n,[g1 g2 g3]),ylabel('{\itg}_1({\itn}), {\itg}_2({\itn}), {\itg}_3({\itn})'),xlabel('\itn'),legend('{\itg}_1({\itn})','{\itg}_2({\itn})','{\itg}_3({\itn})');

Rešenje d)

y=x1.*h1;figure,stem(n,y),ylabel('{\ity}({\itn})'),xlabel('\itn');


1 09-Dec-15



Zadatak 3

Formirati i grafički predstaviti diskretne kosinusne nizove: x(n)=cos(ωn), n=0, 1, ..., 31 za različite vrednosti ω. Frekvencija

uzima sledeće vrednosti:

ωk =2πωk /16, k =0, 1, ...,17.

Da li se brzina promene diskretnog niza uvek povećava sa porastom frekvencije ω?

Rešenje

clear all, close all;n=[0:31]';for k=0:17 x(:,k+1)=cos(2*pi*k/16*n);end;figure,for br=1:9 subplot(9,2,2*br-1),stem(n,x(:,br)),xlim([0 31]), ylabel(['{\itx}_{' num2str(br-1) '}({\itn})']);

if br==9, xlabel('\itn'), end; subplot(9,2,2*br),stem(n,x(:,18-br+1)),xlim([0 31]), ylabel(['{\itx}_{' num2str(18-br) '}({\itn})']);

if br==9, xlabel('\itn'), end;end;

cf=gcf;set(cf,'position',[0 0 800 600]);


1 09-Dec-15



Zadatak 4

Za date parove diskretnih nizova izračunati i grafčki predstaviti njihove konvolucije. Kolike su dužine nizova dobijenih

konvolucijom?

a)

b)

c)


1 09-Dec-15



Rešenje a)

clear all, close all;lx1=30; lh1=10; ly1=lx1+lh1-1;nx1=[0:lx1-1]';

x1=ones(size(nx1));nh1=[0:lh1-1]';h1=ones(size(nh1));ny1=[0:ly1-1]';y1=conv(x1,h1);figure,subplot(3,1,1),stem(nx1,x1),xlim([0 ly1-1]),ylabel('{\itx}_1({\itn})');subplot(3,1,2),stem(nh1,h1),xlim([0 ly1-1]),ylabel('{\ith}_1({\itn})');subplot(3,1,3),stem(ny1,y1),xlim([0 ly1-1]),ylabel('{\ity}_1({\itn})'),xlabel('{\itn}');

Rešenje b)

lx2=30; lh2=20; ly2=lx2+lh2-1;

nx2=[0:lx2-1]';x2=0.9.^nx2;nh2=[0:lh2-1]';

h2=ones(size(nh2));ny2=[0:ly2-1]';y2=conv(x2,h2);

figure,subplot(3,1,1),stem(nx2,x2),xlim([0 ly2-1]),ylabel('{\itx}_2({\itn})');subplot(3,1,2),stem(nh2,h2),xlim([0 ly2-1]),ylabel('{\ith}_2({\itn})');subplot(3,1,3),stem(ny2,y2),xlim([0 ly2-1]),ylabel('{\ity}_2({\itn})'),xlabel('{\itn}');


1 09-Dec-15



Rešenje c)

lx3=15; lh3=10; ly3=lx3+lh3-1;nx3=[0:lx3-1]';x3=0.5*ones(size(nx3));nh3=[0:lh3-1]';

h3=sin(0.2*pi*nh3);ny3=[0:ly3-1]';y3=conv(x3,h3);

figure,subplot(3,1,1),stem(nx3,x3),xlim([0 ly3-1]),ylabel('{\itx}_3({\itn})');subplot(3,1,2),stem(nh3,h3),xlim([0 ly3-1]),ylabel('{\ith}_3({\itn})');

subplot(3,1,3),stem(ny3,y3),xlim([0 ly3-1]),ylabel('{\ity}_3({\itn})'),xlabel('{\itn}');


1 09-Dec-15



Zadatak 5

Ulazno-izlazna relacija kauzalnog sistema data je diferencnom jednačinom prvog reda:

y(n)= x(n)+0.8 y(n-1).

Odrediti i grafički predstaviti prvih 40 odbiraka izlaznog signala ako je sistem pobuđen nizom { x3(n)} iz zadatka 4.

Rešenje

clear all, close all;lx=15;

n=[0:lx-1]';x=0.5*ones(size(n));ly=40;n=[0:ly-1]';x(ly)=0;y(1)=x(1);for br=2:ly y(:,br)=x(br)+0.8*y(:,br-1);end;figure,subplot(2,1,1),stem(n,x),ylabel('{\itx}({\itn})');subplot(2,1,2),stem(n,y),ylabel('{\ity}({\itn})'),xlabel('{\itn}');


11 09-Dec-15



Published with MATLAB® 7.8


11 09-Dec-15



Furijeova transformacija

Sadržaj

Zadatak 1

Rešenje

Zadatak 2

Rešenje

Zadatak 3

Rešenje

Zadatak 4

Rešenje

Zadatak 5

Rešenje

Zadatak 6

Rešenje

Zadatak 7

Rešenje

Zadatak 8

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Zadatak 9

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Zadatak 10

Rešenje a)

Rešenje b)

Zadatak 1

U programskom jeziku MATLAB generisati i prikazati u opsegu 0≤ω≤2π amplitudski i fazni spektar signala { x1(n)} i

{ x2(n)}, definisanih izrazima,

x1(n)=0.9nu(n), x2(n)=(-0.9)nu(n),

gde u(n) predstavlja jedinični odskočni niz.

Rešenje

clear all, close all;Nw=100;[X1,w]=freqz(1,[1 -0.9],Nw,'whole');[X2,w]=freqz(1,[1 0.9],Nw,'whole');figure,plot(w,abs(X1),w,abs(X2)),xlabel('\it\omega'),ylabel('|{\itX}_{1,2}({\ite^{j\omega}})|'),

legend('{\ita}=0.9','{\ita}=-0.9'),xlim([0 2*pi]);figure,plot(w,angle(X1),w,angle(X2)),xlabel('\it\omega'),ylabel('arg[{\itX}_{1,2}({\ite^{j\omega}})]'),

legend('{\ita}=0.9','{\ita}=-0.9'),xlim([0 2*pi]);

Zadatak 2

Generisati nizove { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)} a zatim izračunati i grafički prikazati njihove amplitudske i fazne spektre u

opsegu 0≤ω≤π .

Rešenje


eova transformacija file:///F:/glava02/glav

09-Dec-15



nx1=[0:15]';

x1=ones(size(nx1));nx2=[0:31]';x2=ones(size(nx2));nx3=[0:63]';x3=ones(size(nx3));Nw=100;[X1,w]=freqz(x1,1,Nw);

[X2,w]=freqz(x2,1,Nw);[X3,w]=freqz(x3,1,Nw);figure,plot(w/pi,abs(X1),w/pi,abs(X2),w/pi,abs(X3)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}_{1,2,3}({\ite^{j\omega}})|'),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','{\itX}_3({\ite^{j\omega}})'),xlim([0 1]);figure,

plot(w/pi,angle(X1),w/pi,angle(X2),w/pi,angle(X3)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itX}_{1,2,3}({\ite^{j\omega}})]'),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','{\itX}_3({\ite^{j\omega}})'),xlim([0 1]);

Zadatak 3

Generisati trougaoni niz {w(n)} dužine N =9. Izračunati i grafički prilkazati amplitudski i fazni spektar ovoga niza u opsegu

0≤ω≤π .

Rešenje

clear all, close all;N=9;n=[0:N-1]';

w(1+(0:(N-1)/2),1)=n(1+(0:(N-1)/2));w(1+((N+1)/2:(N-1)),1)=N-1-n(1+((N+1)/2:(N-1)));Nw=100;[W,omega]=freqz(w,1,Nw);figure,subplot(3,1,1),stem(n,w),xlabel('\itn'),ylabel('{\itw}({\itn})'),xlim([0 N-1]);

subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(W)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itW}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,angle(W)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itW}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);


09-Dec-15



Zadatak 4

Generisati niz {h(n)}. Izračunati i grafički prikazati njegov amplitudski i fazni spektar u opsegu 0≤ω≤π .

Rešenje

clear all, close all;N=9;n=[0:N-1]';h=sin(2*pi*n/16).^2;Nw=100;

[H,w]=freqz(h,1,Nw);figure,subplot(3,1,1),stem(n,h),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}({\itn})'),xlim([0 N-1]);subplot(3,1,2),plot(w/pi,abs(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itH}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);

subplot(3,1,3),plot(w/pi,angle(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itH}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);

Zadatak 5

Dat je neparno simetričan niz {h(n)} čiji su članovi: h(0)=-1/2, h(1)=1, h(2)=-1, h(3)=1/2 i h(n)=0 za svako drugo n.

Grafički predstaviti niz {h(n)}. Izračunati i grafički predstaviti njegov amplitudski i fazni spektar u opsegu 0≤ω≤π .

Rešenje

clear all, close all;h=[-1/2 1 -1 1/2]';N=length(h);n=[0:N-1]';Nw=100;[H,w]=freqz(h,1,Nw);

figure,subplot(3,1,1),stem(n,h),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}({\itn})'),xlim([0 N-1]);subplot(3,1,2),plot(w/pi,abs(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itH}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);

subplot(3,1,3),plot(w/pi,angle(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itH}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);

Zadatak 6

Formirati niz {v(n)} definisan kao proizvod nizova {w(n)} i {h(n)} koji su dati u zadacima 3 i 4. Grafički predstaviti niz

{v(n)}. Izračunati i grafički predstaviti amplitudski i fazni spektar niza {v(n)} u opsegu 0≤ω≤π .


09-Dec-15



Rešenje

clear all, close all;N=9;n=[0:N-1]';w(1+(0:(N-1)/2),1)=n(1+(0:(N-1)/2));w(1+((N+1)/2:(N-1)),1)=N-1-n(1+((N+1)/2:(N-1)));

h=sin(2*pi*n/16).^2;v=w.*h;Nw=100;[V,omega]=freqz(v,1,Nw);figure,subplot(3,1,1),stem(n,[w h v]),xlabel('\itn'),ylabel('{\itv}({\itn})'),xlim([0 N-1]),legend('{\itw}({\itn})','{\ith}({\itn})','{\itv}({\itn})','Location','NorthEastOutside');

subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(V)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itV}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,angle(V)),

xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itV}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]);

Zadatak 7

Dati su signali { x1(n)} i { x2(n)}, gde je

a) Formirati i grafički predstaviti signal { x(n)} koji predstavlja konvoluciju signala { x1(n)} i { x2(n)}.

b) Izračunati i grafički predstaviti amplitudski spektar signala { x(n)} u opsegu 0≤ω≤π .

c) Rezultat uporediti sa rešenjem zadatka br. 3.

Rešenje


Nw=9;nw=[0:Nw-1]';w(1+(0:(Nw-1)/2),1)=nw(1+(0:(Nw-1)/2));

w(1+((Nw+1)/2:(Nw-1)),1)=Nw-1-nw(1+((Nw+1)/2:(Nw-1)));Nomega=100;[W,omega]=freqz(w,1,Nomega);Nx1=5;

nx1=[0:Nx1-1]';x1=ones(size(nx1));x=conv(x1,x1);Nx=Nx1+Nx1-1;

nx=[0:Nx-1]';[X,omega]=freqz(x,1,Nomega);figure,

subplot(3,1,1),stem(nw,w),hold on,stem(nx,x,'filled'),xlabel('\itn'),ylabel('{\itw}({\itn}), {\itx}({\itn})'),xlim([0 Nw-1]),legend('{\itw}({\itn})','{\itx}({\itx})','Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs([W X])),

xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itW}({\ite^{j\omega}})|,|{\itX}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),

legend('{\itW}({\ite^{j\omega}})','{\itX}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,3),plot(omega/pi,angle([W X])),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('arg[{\itW}({\ite^{j\omega}})],arg[{\itX}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 1]),legend('{\itW}({\ite^{j\omega}})','{\itX}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');


09-Dec-15



Zadatak 8

a) Formirati kosinusne signale

x1(n)=cos(2πn·32/256), 0≤n≤255,

x2(n)=cos(2πn·100/256), 0≤n≤255.

b) Izračunati i prikazati amplitudski spektar signala { y1(n)} u opsegu 0≤ω≤π ., gde je

y1(n)=0.4 x1(n)+0.9 x2(n).

c) Izračunati i prikazati amplitudski spektar signala { y2(n)} u opsegu 0≤ω≤π , gde je

y2(n)= x1(n) x2(n).

Rešenje a)


N=256;N1=32;N2=100;n=[0:N]';

x1=cos(2*pi*n*N1/N);x2=cos(2*pi*n*N2/N);Nomega=1000;

[X1,omega]=freqz(x1,1,Nomega);[X2,omega]=freqz(x2,1,Nomega);figure,subplot(2,1,1),stem(n,[x1 x2]),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}_{1,2}({\itn})'),xlim([0 N/16-1]),

legend('{\itx}_1({\itn})','{\itx}_2({\itn})','Location','NorthEastOutside');subplot(2,1,2),plot(omega/pi,abs([X1 X2])),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}_{1,2}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');

Rešenje b)

y1=0.4*x1+0.9*x2;[Y1,omega]=freqz(y1,1,Nomega);figure,

subplot(3,1,1),plot(omega/pi,abs(X1)),ylabel('|{\itX}_1({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(X2)),ylabel('|{\itX}_2({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,abs(Y1)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itY}_1({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);


09-Dec-15



Rešenje c)

y2=x1.*x2;[Y2,omega]=freqz(y2,1,Nomega);figure,

subplot(3,1,1),plot(omega/pi,abs(X1)),ylabel('|{\itX}_1({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,2),plot(omega/pi,abs(X2)),ylabel('|{\itX}_2({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);subplot(3,1,3),plot(omega/pi,abs(Y2)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itY}_2({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]);

Zadatak 9

a) Formirati signale { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)},

x1(n)=0.9ncos(2πn·32/256), 0≤n≤255,

x2(n)=0.8ncos(2πn·32/256), 0≤n≤255,

x3(n)=0.5ncos(2πn·32/256), 0≤n≤255.

b) Grafički prikazati prvih 50 odbiraka signala { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)}.

c) Izračunati i prikazati amplitudske spektre signala { x1(n)}, { x2(n)} i { x3(n)} u opsegu 0≤ω≤π .

Rešenje a)

clear all, close all;N=256;

n=[0:N-1]';x1=0.9.^n.*cos(2*pi*n*32/N);x2=0.8.^n.*cos(2*pi*n*32/N);x3=0.5.^n.*cos(2*pi*n*32/N);

Rešenje b)

figure,stem(n,[x1 x2 x3]),,xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}_{1,2,3}({\itn})'),xlim([0 49]),legend('{\itx}_1({\itn})','{\itx}_2({\itn})','{\itx}_3({\itn})','Location','NorthEastOutside');


09-Dec-15



Rešenje c)

Nomega=1000;[X1,omega]=freqz(x1,1,Nomega);[X2,omega]=freqz(x2,1,Nomega);

[X3,omega]=freqz(x3,1,Nomega);figure,plot(omega/pi,abs([X1 X2 X3])),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}_{1,2,3}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),legend('{\itX}_1({\ite^{j\omega}})','{\itX}_2({\ite^{j\omega}})','{\itX}_3({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');

Zadatak 10

a) Formirati realni signal { x(n)} i kompleksni signal { y(n)}:

x(n)=0.8n, 0≤n≤255,

y(n)=0.8nexp( j2πn·32/256), 0≤n≤255.

b) Izračunati i grafički prikazati:

amplitudske spektre signala { x(n)} i { y(n)} u opsegu 0≤ω≤π ,

fazne spektre signala { x(n)} i { y(n)} u opsegu 0≤ω≤π ,

realne i imaginarne delove spektara signala { x(n)} i { y(n)} u opsegu 0≤ω≤π .

Rešenje a)


n=[0:N-1]';x=0.8.^n;y=0.8.^n.*exp(j*2*pi*n*32/256);

Rešenje b)

Nomega=1000;[X,omega]=freqz(x,1,Nomega,'whole');[Y,omega]=freqz(y,1,Nomega,'whole');

figure,plot(omega/pi,abs([X Y])),ylabel('|{\itX}({\ite^{j\omega}})|, |{\itY}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 2]),legend('{\itX}({\ite^{j\omega}})','{\itY}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');figure,plot(omega/pi,angle([X Y])),ylabel('arg[{\itX}({\ite^{j\omega}})], arg[{\itY}({\ite^{j\omega}})]'),xlim([0 2]),legend('{\itX}({\ite^{j\omega}})','{\itY}({\ite^{j\omega}})','Location','NorthEastOutside');figure,plot(omega/pi,[real([X Y]) imag([X Y])]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('Re/Im({\itX}({\ite^{j\omega}})), Re/Im({\itY}({\ite^{j\omega}}))'),xlim([0 2]),legend('Re({\itX}({\ite^{j\omega}}))','Re({\itY}({\ite^{j\omega}}))','Im({\itX}({\ite^{j\omega}}))','Im({\itY}({\ite^{j\omega}}))','Location','NorthEastOutside');


09-Dec-15





09-Dec-15



Z transformacija

Sadržaj

Zadatak 1

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Zadatak 2

Rešenje

Zadatak 3

Rešenje a)Rešenje b)

Rešenje c)

Rešenje d)

Zadatak 4

Rešenje a)

Rešenje b)

Zadatak 5

Rešenje a)

Rešenje b)

Zadatak 1

Generisati diskretni signal { x(n)} definisan izrazom,

x(n)=anu(n),

Signal u(n) predstavlja jedinični odskočni niz, dok vrednost konstante a iznosi 0.9.

a) Prikazati grafički prvih četrdeset odbiraka dobijenog diskretnog signala.

b) Odrediti izraz za njegovu z transformaciju i odrediti oblast konvergencije z transformacije.

c) Prikazati raspored nula i polova ove transformacije u z ravni.

d) Prikazati amplitudski spektar ovog signala.

Rešenje a)

clear all;close all;N=40;n=(0:N-1)';a=0.9;x=a.^n;figure,stem(n,x),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx}({\itn})');

Rešenje b)

disp('Sabiranjem konvergentnog niza {x(n)} dobija se X(z)=z/(z-a).');

Sabiranjem konvergentnog niza {x(n)} dobija se X(z)=z/(z-a).

Rešenje c)

nsformacija file:///F:/glava03/glav

09-Dec-15



figure,subplot(2,1,1),zplane(1,[1 -a]); % funkcija zplane kada su ulazni nizovi vrste podrazumeva da su to koef. polinoma pa prvo sračuna nule i polovesubplot(2,1,2),zplane(0,a); % funkcija zplane kada su ulazni nizovi kolone podrazumeva da su to nule i poloviNomega=1000;[X,omega]=freqz(1,[1 -a],Nomega);figure,plot(omega/pi,abs(X)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}({\ite^{j\omega}})|');

Zadatak 2

Dati su diskretni signali { x(n)} i {h(n)}, definisani izrazima,

Izračunati konvoluciju ova dva signala i pokazati da je z transformacija njihove konvolucije proizvod z transformacija

pojedinačnih signala.

Rešenje

clear all; close all;x=[1 1]';

h=[1 0.5]';y=conv(x,h);disp('dobijena konvolucija y(n):');disp(y);disp('Z transformacija signala x(n) je:');disp('X(z)=1+z^(-1)');disp('Z transformacija signala h(n) je:');disp('H(z)=1+0.5z^(-1)');X=[1 1]';H=[1 0.5]';Y=conv(X,H); % funkcija conv se može koristiti i za množenje polinomadisp('Z transformacija signala y(n) je:');Y_str=num2str(y(1));


09-Dec-15



for br=2:length(y) Y_str=[Y_str '+' num2str(y(br)) 'z^(-' num2str(br-1) ')'];end;disp(['Y(z)=' Y_str]);disp('Proizvod Z transformacija signala x(n) i h(n) je:');XxH_str=num2str(Y(1));for br=2:length(Y) XxH_str=[XxH_str '+' num2str(Y(br)) 'z^(-' num2str(br-1) ')'];end;disp(['X(z)H(z)=' XxH_str]);

dobijena konvolucija y(n): 1.0000 1.5000 0.5000

Z transformacija signala x(n) je:X(z)=1+z^(-1)Z transformacija signala h(n) je:H(z)=1+0.5z^(-1)

Z transformacija signala y(n) je:Y(z)=1+1.5z^(-1)+0.5z^(-2)Proizvod Z transformacija signala x(n) i h(n) je:X(z)H(z)=1+1.5z^(-1)+0.5z^(-2)

Zadatak 3

Za sisteme opisane datim diferencnim jednačinama izračunati z transformaciju njihovog impulsnog odziva, {h(n)}, i nacrtati

raspored nula i polova u z ravni:

a) y(n)= x(n)- x(n-5);

b) y(n)= x(n)+ x(n-5);

c) y(n)=2r cos(q) y(n-1)+r 2 y(n-2)+ x(n), q=π /4, r =0.9.

d) y(n)=2r cos(q) y(n-1)-r 2 y(n-2)+ x(n), q=π /4, r =0.9.

Rešenje a)

clear all; close all;h1=[1 0 0 0 0 -1];figure,zplane(h1,1);

Rešenje b)

h2=[1 0 0 0 0 1];figure,zplane(h2,1);


09-Dec-15



Rešenje c)

b3=1;r=0.9; q=pi/4;a3=[1 -2*r*cos(q) -r^2];figure,zplane(b3,a3);

[h3,nh3]=impz(b3,a3);figure,stem(nh3,h3),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_3({\itn})');

Rešenje d)


09-Dec-15



b4=1;r=0.9; q=pi/4;a4=[1 -2*r*cos(q) r^2];figure,zplane(b4,a4);[h4,nh4]=impz(b4,a4);figure,stem(nh4,h4),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_4({\itn})');

Zadatak 4

Izračunati z transformaciju datih nizova. Nacrtati raspored nula i polova izračunatih z transformacija i na osnovu crteža

odrediti da li su posmatrani sistemi stabilni.

a)

b)

Rešenje a)

clear all; close all;Nh1=20;n1=(0:Nh1-1);h1=(-1).^n1;figure,stem(n1,h1),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_1({\itn})');figure,zplane(h1,1),text(.2,.2,'sistem je stabilan.');


09-Dec-15



Rešenje b)

disp('H(z)=z/(z+1)');

b2=1;a2=[1 1];[h2,n2]=impz(b2,a2);figure,stem(n2,h2),xlabel('\itn'),ylabel('{\ith}_2({\itn})');figure,zplane(b2,a2),text(.2,.2,'sistem je nestabilan.');

H(z)=z/(z+1)


09-Dec-15



Zadatak 5

Data je funkcija prenosa:

a) Za različite vrednosti parametra ρ (npr. ρ=0.5, 0.9 i 0.99) nacrtati raspored nula i polova date z transformacije.

b) Izračunat i | H (e jω)| korišćenjem funkcije freqz, rezultat predstaviti grafički i na osnovu crteža proveriti da li ova

amplitudska karakteristika ima konstantnu vrednost za svako ω.

Rešenje a)

clear all; close all;ro=[0.5 0.9 0.99];for br=1:length(ro) b(br,:)=[1 -1/ro(br)];

a(br,:)=[1 -ro(br)];end;boja=[0 0 1; 0 0.5 0; 1 0 0];for br=1:length(ro) nule(:,br)=roots(b(br,:)); polovi(:,br)=roots(a(br,:)); [hZ(br),hP(br),hl]=zplane(nule(:,br),polovi(:,br)); set(hZ(br),'color',boja(br,:)); set(hP(br),'color',boja(br,:)); hold onend;xlim([-2.1 2.1]);ylim([-2.1 2.1]);h=[hZ;hP];h=h(:);legend(h,'{\it\rho}=.5','','{\it\rho}=.9','','{\it\rho}=.99','');title('Raspored nula i polova funkcije prenosa {\itH}({\itz})');


09-Dec-15



Rešenje b)

for br=1:length(ro) [H(:,br),w]=freqz(b(br,:),a(br,:));end;figure,plot(w/pi,abs(H)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itH}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),ylim([.5 2.1]),

legend('{\it\rho}=.5','{\it\rho}=.9','{\it\rho}=.99');



09-Dec-15



Diskretna Furijeova transformacija (DFT)

Sadržaj

Zadatak 1

Rešenje a)

Rešenje b)

Zadatak 2

Rešenje a)

Rešenje b)Zadatak 3

Rešenje

Zadatak 4

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Rešenje d)

Zadatak 5

Rešenje

Zadatak 6

Rešenje

Zadatak 1

Dat je signal { x(n)}, definisan izrazom,

a) Izračunati i grafički prikazati Furijeovu transformaciju ovog signala.

b) Signal { x p(n)}, je dobijen periodičnim produžavanjem signala { x(n)}, sa periodom N =7. Izračunati i grafički prikazati

DFT signala { x p(n)}.

Rešenje a)

clear all, close all;N=7;x=ones(N,1);xc=x;xc(2*N)=0;n=(0:2*N-1)';figure,stem(n,xc),xlabel('\itn'),ylabel('{\itx({\itn})}');[X,w]=freqz(x,1,'whole');figure,plot(w/pi,abs(X)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('|{\itX}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 2]);

etna Furijeova transformacija (DFT) file:///F:/glava05/glav

09-Dec-15



Rešenje b)

xp=[x;x];

Xp=fft(xp);k=(0:length(Xp)-1)';figure,stem(k,abs(Xp)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX}({\itk})|'),xlim([-0.5 (max(k)+0.5)]);


09-Dec-15



Zadatak 2

Dat je signal x(t ), definisan izrazom,

x(t )=cos(2πf 1t )+cos(2πf 2t ).

Diskretni signal { x(n)} sadrži sto odbiraka signala x(t ), dobijenih sa frekvencijom odabiranja f s=1 kHz. Primenom DFT

izračunati amplitudski spektar signala i prikazati ga u opsegu frekvencija od 0 Hz do 500 Hz za,

a) f 1=200 Hz, f 2=240 Hz;

b) f 1=207 Hz, f 2=213 Hz.

Rešenje a)

clear all, close all;N=100;fs=1000;t=(0:N-1)'/fs;f1=200; f2=240;

xa=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);Xa=fft(xa);fa=[0:length(Xa)-1]/length(Xa)*fs;

figure,stem(fa(1:N/2),abs(Xa(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx_a})'),xlim([0 500]),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/N)]);


09-Dec-15



Rešenje b)

f1=207; f2=213;xb=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);

Xb=fft(xb);fb=[0:length(Xb)-1]/length(Xb)*fs;figure,stem(fb(1:N/2),abs(Xb(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx_b})'),xlim([0 500]),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/N)]);

Zadatak 3

Dati su diskretni signali { x(n)} i {h(n)},

{ x(n)}={1,2,3} i {h(n)}={1,2,3}.

Izračunati i grafički prikazati linearnu i cikličnu konvoluciju ova dva signala. Kružnu konvoluciju izračunati direktno i

preko DFT.

Rešenje


09-Dec-15



clear all, close all;x=[1 2 3]';h=[1 2 1]';yl=conv(x,h);

for br=0:length(x)-1 yc(br+1)=0;

for br_sum=0:length(x)-1 ind_h=br-br_sum+1;

if ind_h<1, ind_h=ind_h+length(h); end; yc(br+1)=yc(br+1)+x(br_sum+1)*h(ind_h);

end;

end;yc_FFT=ifft(fft(x).*fft(h));figure,subplot(3,1,1),stem([0:length(yl)-1],yl),xlim([0 length(yl)-1]),ylabel('{\ity_l}({\itn})');subplot(3,1,2),stem([0:length(yc)-1],yc),xlim([0 length(yl)-1]),ylabel('{\ity_c}({\itn})');subplot(3,1,3),stem([0:length(yc_FFT)-1],yc_FFT),xlim([0 length(yl)-1]),ylabel('{\ity_{cFFT}}({\itn})'),xlabel('\itn');

Zadatak 4

Izračunati DFT u osam tačaka sledećih nizova:

a)

b)

c)

d)

Rešenje a)



09-Dec-15



xa=ones(8,1);

Xa=fft(xa);figure,stem([0:length(Xa)-1],abs(Xa)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_a}({\itk})|');

Rešenje b)

xb=ones(5,1);

Xb=fft(xb,8);figure,stem([0:length(Xb)-1],abs(Xb)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_b}({\itk})|');

Rešenje c)

xc=zeros(8,1);xc(0+1)=1;xc(7+1)=-1;Xc=fft(xc);figure,stem([0:length(Xc)-1],abs(Xc)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_c}({\itk})|');


09-Dec-15



Rešenje d)

xd=zeros(8,1);xd(0+1)=1;

xd(5+1)=-1;Xd=fft(xd);figure,stem([0:length(Xd)-1],abs(Xd)),xlabel('\itk'),ylabel('|{\itX_d}({\itk})|');

Zadatak 5

Generisati N =16 odbiraka diskretnog niza x(n)=cos(0.1n). Izračunati DFT ovog niza. Posmatranjem pojedinih članova niza,

pokazati da DFT zadovoljava relaciju, X (k )= X *( N -k ), gde znak * označava konjugovano kompleksnu vrednost.

Rešenje

clear all, close all;N=16;n=(0:N-1)';

x=cos(0.1*n);X=fft(x);


09-Dec-15



for br=1:length(X)-1

uporedi(br,1:2)=[X(br+1) conj(X(N-br+1))];end;disp(uporedi);

-0.1869 - 2.7688i -0.1869 - 2.7688i 0.3413 - 1.2639i 0.3413 - 1.2639i

0.4331 - 0.7764i 0.4331 - 0.7764i 0.4645 - 0.5172i 0.4645 - 0.5172i 0.4784 - 0.3451i 0.4784 - 0.3451i

0.4853 - 0.2138i 0.4853 - 0.2138i 0.4886 - 0.1026i 0.4886 - 0.1026i

0.4896 0.48960.4886 + 0.1026i 0.4886 + 0.1026i

0.4853 + 0.2138i 0.4853 + 0.2138i 0.4784 + 0.3451i 0.4784 + 0.3451i 0.4645 + 0.5172i 0.4645 + 0.5172i 0.4331 + 0.7764i 0.4331 + 0.7764i 0.3413 + 1.2639i 0.3413 + 1.2639i -0.1869 + 2.7688i -0.1869 + 2.7688i

Zadatak 6

Izvršiti odabiranje kontinualnog signala x(t )=cos(2π 100t )+cos(2&pi105t ) sa frekvencijom odabiranja f s=500 Hz. Generisati

20, 50 i 100 odbiraka. Za sva tri slučaja izračunati amplitudski spektar korišćenjem DFT i videti kako broj odbiraka utiče na

oblik dobijenog spektra.

Rešenje

clear all, close all;fs=500;f1=100; f2=105;

t_20=(0:20-1)'/fs;x_20=cos(2*pi*f1*t_20)+sin(2*pi*f2*t_20);t_50=(0:50-1)'/fs;x_50=cos(2*pi*f1*t_50)+sin(2*pi*f2*t_50);t_100=(0:100-1)'/fs;x_100=cos(2*pi*f1*t_100)+sin(2*pi*f2*t_100);X_20=fft(x_20);

X_50=fft(x_50);X_100=fft(x_100);f_20=(0:length(X_20)-1)/length(X_20)*fs;

f_50=(0:length(X_50)-1)/length(X_50)*fs;

f_100=(0:length(X_100)-1)/length(X_100)*fs;figure,subplot(3,1,1),stem(f_20,abs(X_20)),ylabel('DFT({\itx}_{20})'),

legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/20)],'Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,2),stem(f_50,abs(X_50)),ylabel('DFT({\itx}_{50})'),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/50)],'Location','NorthEastOutside');subplot(3,1,3),stem(f_100,abs(X_100)),ylabel('DFT({\itx}_{100})'),xlabel('{\itf} [Hz]'),legend(['\Delta{\itf}=' num2str(fs/100)],'Location','NorthEastOutside');


09-Dec-15





09-Dec-15



Funkcija prenosa i frekvencijski odziv

Sadržaj

Zadatak 1

Rešenje

Zadatak 2

Rešenje

Zadatak 3

Rešenje

Zadatak 4

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Zadatak 5

Rešenje a)

Rešenje b)

Zadatak 1

Data je funkcija prenosa H ( z )=Q( z )/ P ( z ), gde su Q( z ) i P ( z ) polinomi po z -1,

Q( z )=0.0647-0.0106 z -1+0.0997 z -2-0.0106 z -3+0.0647 z -4,

P ( z )=1-2.2800 z -1+2.6543 z -2-1.5624 z -3+0.4215 z -4.

Odrediti položaj nula i polova sistema u z ravni. Izračunati i prikazati amplitudsku i faznu karakteristiku

sistema kao i karakteristiku grupnog kašnjenja. Prikazati prvih 50 vrednosti odbiraka impulsnog odziva

sistema.

Rešenje

clear all, close all;Q=[0.0647 -0.0106 0.0997 -0.0106 0.0647];P=[1 -2.2800 2.6543 -1.5624 0.4215];N=50;figure,zplane(Q,P);[H,w]=freqz(Q,P);figure,plot(w/pi,abs(H));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');

figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(Q,P);figure,plot(w/pi,gd);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h,n]=impz(Q,P,N);figure,stem(n,h);xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');

cija prenosa i frekvencijski odziv file:///F:/glava07/glav

4 09-Dec-15




4 09-Dec-15




4 09-Dec-15



Zadatak 2

Data je funkcija prenosa FIR sistema

H ( z )=0.0186-0.0294 z -1-0.0731 z -2+0.0396 z -3+

0.3045 z -4+0.4528 z -5+0.3045 z -6+

0.0396 z -7-0.0731 z -80.0294 z -9+0.0186 z -10.

Odrediti položaj nula i polova sistema u z ravni. Prikazati impulsni odziv sistema. Izračunati i prikazati

amplitudsku i faznu karakteristiku sistema kao i karakteristiku grupnog kašnjenja.

Rešenje

clear all, close all;h=[0.0186 -0.0294 -0.0731 0.0396 0.3045 0.4528... 0.3045 0.0396 -0.0731 -0.0294 0.0186];figure,zplane(h,1);[H,w]=freqz(h,1);

figure,plot(w/pi,abs(H));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(h,1);figure,plot(w/pi,gd);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');n=0:length(h)-1;figure,stem(n,h);xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');


4 09-Dec-15




4 09-Dec-15




4 09-Dec-15



Zadatak 3

Data je funkcija prenosa H ( z )=Q( z )/ P ( z ), gde su Q( z ) i P ( z ) polinomi po z -1,

Q( z )=0.2031+0.2588 z -1+0.2588 z -2+0.2031 z -3

P ( z )=1.0000-0.6804 z -1

+0.7865 z -2

-0.1821 z -3

.

a) Odrediti položaj nula i polova sistema u z ravni. Izračunati i prikazati amplitudsku i faznu karakteristiku

sistema kao i karakteristiku grupnog kašnjenja. Prikazati prvih 50 vrednosti odbiraka impulsnog odziva

sistema.

b) Ponoviti proceduru iz tačke a) za H 1( z )= H ( z 2).

c) Ponoviti proceduru iz tačke a) za H 2( z )=[ H ( z )2].

Rešenje

clear all, close all;Q=[0.2031 0.2588 0.2588 0.2031];P=[1 -0.6804 0.7865 -0.1821];N=50;figure(1),subplot(3,1,1),zplane(Q,P);[H,w]=freqz(Q,P);figure(2),subplot(3,1,1),plot(w/pi,abs(H));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');figure(3),subplot(3,1,1),plot(w/pi,unwrap(angle(H)));ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(Q,P);


4 09-Dec-15



figure(4),subplot(3,1,1),plot(w/pi,gd);ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h,n]=impz(Q,P,N);figure(5),subplot(3,1,1),stem(n,h);ylabel('{\ith}({\itn})');Q1(1:2:2*length(Q))=Q;P1(1:2:2*length(P))=P;figure(1),subplot(3,1,2),zplane(Q1,P1);[H1,w]=freqz(Q1,P1);figure(2),subplot(3,1,2),plot(w/pi,abs(H1));

ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_1({\it\omega})');figure(3),subplot(3,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H1)));ylabel('{\it\fontname{symbol}j}_1({\it\omega}) [rad]');[gd1,w]=grpdelay(Q1,P1);figure(4),subplot(3,1,2),plot(w/pi,gd1);ylabel('{\itgd}_1({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h1,n]=impz(Q1,P1,N);figure(5),subplot(3,1,2),stem(n,h1);ylabel('{\ith}_1({\itn})');Q2=conv(Q,Q);P2=conv(P,P);figure(1),subplot(3,1,3),zplane(Q2,P2);[H2,w]=freqz(Q2,P2);

figure(2),subplot(3,1,3),plot(w/pi,abs(H2));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_2({\it\omega})');figure(3),subplot(3,1,3),plot(w/pi,unwrap(angle(H2)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}_2({\it\omega}) [rad]');[gd2,w]=grpdelay(Q2,P2);figure(4),subplot(3,1,3),plot(w/pi,gd2);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}_2({\it\omega}) [br. odbiraka]');[h2,n]=impz(Q2,P2,N);figure(5),subplot(3,1,3),stem(n,h2);xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}_2({\itn})');


4 09-Dec-15




4 09-Dec-15



Zadatak 4

Dat je realni signal { xr (n)},

Primenom instrukcije hilbert iz MATLAB-a formirati analitički signal { x(n)},


14 09-Dec-15



a) Nacrtati odbirke signala Re{ x(n)} i Im{ x(n)},

b) Izračunati diskretne Furijeove transformacije za signale Re{ x(n)}, Im{ x(n)} i { x(n)},

c) Grafički prikazati rezultate iz tačke b).

Rešenje a)

clear all, close all;N=32;xr=ones(8,1);xr(N)=0;x=hilbert(xr);n=(0:N-1)';figure,subplot(2,1,1),stem(n,real(x)),ylabel('Re({\itx}({\itn}))');subplot(2,1,2),stem(n,imag(x)),xlim([0 N-1]),ylabel('Im({\itx}({\itn}))'),xlabel('{\itn}');

Rešenje b)

ReX=fft(real(x));ImX=fft(imag(x));X=fft(x);

Rešenje c)

figure,subplot(3,1,1),stem(n,real(ReX)),


14 09-Dec-15



hold onstem(n,real(ImX),'marker','*','color',[0 0.5 0]),stem(n,real(X),'marker','d','color',[1 0 0]),xlim([0 N-1]),ylabel('Relani deo DFT-a'),xlim([0 N+10]),legend('real(x)','imag(x)','x','location','northeastoutside');subplot(3,1,2),stem(n,imag(ReX)),hold on

stem(n,imag(ImX),'marker','*','color',[0 0.5 0]),

stem(n,imag(X),'marker','d','color',[1 0 0]),xlim([0 N-1]),ylabel('Imag. deo DFT-a'),xlim([0 N+10]),legend('real(x)','imag(x)','x','location','northeastoutside');subplot(3,1,3),stem(n,abs(ReX)),hold on

stem(n,abs(ImX),'marker','*','color',[0 0.5 0]),stem(n,abs(X),'marker','d','color',[1 0 0]),xlim([0 N-1]),ylabel('moduo DFT-a'),xlim([0 N+10]),xlabel('{\itk}'),legend('real(x)','imag(x)','x','location','northeastoutside');

Zadatak 5

Dati su polovi funkcije prenosa propusnika svih frekvencija drugog reda,

p1=e jπ /4 i p2=e- jπ /4.

a) Na osnovu datih polova formirati funkciju prenosa H ap( z ).

b) Izračunati amplitudsku i faznu karakteristiku, kao i karakteristiku grupnog kašnjenja za funkciju H ap( z ).


14 09-Dec-15



c) Nacrtati položaj nula i polova funkcije H ap( z ) u kompleksnoj z ravni.

d) Nacrtati karakteristike izračunate u tački b).

Rešenje a)

clear all, close all;a=poly(0.8*exp(j*pi/4*[1;-1]));

b=fliplr(a);figure,zplane(b,a);

Rešenje b)

[Hap,w]=freqz(b,a);figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,abs(Hap)),ylabel('|{\itH_{ap}}({\ite^{j\omega}})|'),xlim([0 1]),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})');subplot(3,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(Hap))),

xlim([0 1]),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');[gd,w]=grpdelay(b,a);subplot(3,1,3),plot(w/pi,gd),xlim([0 1]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');


14 09-Dec-15





14 09-Dec-15



Digitalni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR

Sadržaj

Zadatak 1Rešenje a)Rešenje b)

Rešenje c)Rešenje d)Rešenje e)Rešenje f)

Zadatak 2Rešenje

Zadatak 3Rešenje

Zadatak 4Rešenje

Zadatak 5Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)



Rešenje c)Zadatak 8

Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)

Zadatak 1

Dat je signal x(t ), definisan izrazom

x(t )=cos(2π 100t )+cos(2π 300t ).

a) Generisati diskretni signal { x(n)} koji sadrži prvih 256 odbiraka signala x(t ). Frekvencija odabiranja iznosi f s=1000Hz.

b) Projektovati Batervortov IIR filtar propusnik niskih frekvencija koji će prvu komponentu signala x(t ) oslabiti najviše 1dB, a drugu komponentu će oslabiti barem 30 dB.

c) Izračunati i grafički prikazati željenu i realizovanu amplitudsku karakteristiku u linearnoj razmeri.

d) Izračunati i prikazati grupno kašnjenje.

e) Izračunati i grafički prikazati raspored nula i polova projektovanog filtra.

alni filtri beskonačnog impulsnog odziva, IIR file:///F:/glava08/glav

1 09-Dec-15



f) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog IIR filtra kada se ovaj pobudi signalom { x(n)}i grafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra u linearnoj razmeri.

Rešenje a)

clear all, close all;N=256; fs=1000;f1=100; f2=300;t=(0:N-1)'/fs;

x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);

Rešenje b)

wp=f1/(fs/2); ws=f2/(fs/2);rp=1; rs=30;[Nf,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs);[b,a]=butter(Nf,wn);

Rešenje c)

[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,plot(f,abs(H)),line([0 f1],[1 1],'color',[1 0 0]);line([f2 fs/2],10.^(-rs/20)*[1 1],'color',[1 0 0]),ylim([0 1.1]),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),legend('realizovana','zadata');

Rešenje d)

[gd,f]=grpdelay(b,a,1000,fs);figure,plot(f,gd),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');


1 09-Dec-15



Rešenje e)

nule=roots(b);disp('Nule f-je prenosa projektovanog filtra:');disp(nule);polovi=roots(a);disp('Polovi f-je prenosa projektovanog filtra:');disp(polovi);figure,subplot(2,1,1),zplane(b,a); % Dobija se isti grafik, na dva nacina, b i a su vektori-vrste,

subplot(2,1,2),zplane(nule,polovi); % nule i polovi su vektori-kolone

Nule f-je prenosa projektovanog filtra: -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i -1.0000

Polovi f-je prenosa projektovanog filtra: 0.4988 + 0.4640i 0.4988 - 0.4640i 0.3934


1 09-Dec-15



Rešenje f)

y=filter(b,a,x);X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');


1 09-Dec-15



Zadatak 2

Projektovati Batervortov, Čebiševljev filtar I i II vrste i eliptički IIR filtar propusnik niskih frekvencija koji će zafrekvencije niže od 100 Hz imati slabljenje od najviše 1 dB, a za frekvencije više od 300 Hz imati slabljenje od bar 30dB. Filtre treba projektovati za frekvenciu odabiranja od 1 kHz.

Izračunati i grafički prikazati amplitudske karakteristike projektovanih filtara u logaritamskoj razmeri, njihove faznekarakteristike, kao i grupno kašnjenje.

Rešenje

clear all, close all;fs=1000;f1=100; f2=300;wp=f1/(fs/2); ws=f2/(fs/2);rp=1; rs=30;[Nb,wnb]=buttord(wp,ws,rp,rs);[Nc1,wnc1]=cheb1ord(wp,ws,rp,rs);[Nc2,wnc2]=cheb2ord(wp,ws,rp,rs);[Ne,wne]=ellipord(wp,ws,rp,rs);[bb,ab]=butter(Nb,wnb);[bc1,ac1]=cheby1(Nc1,rp,wnc1);[bc2,ac2]=cheby2(Nc2,rs,wnc2);[be,ae]=ellip(Ne,rp,rs,wne);[Hb,f]=freqz(bb,ab,[],fs);[Hc1,f]=freqz(bc1,ac1,[],fs);[Hc2,f]=freqz(bc2,ac2,[],fs);[He,f]=freqz(be,ae,[],fs);figure,plot(f,20*log10(abs([Hb Hc1 Hc2 He])));xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itg}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),legend('Batervortov','Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');ylim([-100 10]);figure,plot(f,unwrap(angle([Hb Hc1 Hc2 He])));xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [rad]'),legend('Batervortov','Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');[gdb,f]=grpdelay(bb,ab,1000,fs);[gdc1,f]=grpdelay(bc1,ac1,1000,fs);

[gdc2,f]=grpdelay(bc2,ac2,1000,fs);[gde,f]=grpdelay(be,ae,1000,fs);figure,plot(f,[gdb gdc1 gdc2 gde]);xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');legend('Batervortov','Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');


1 09-Dec-15




1 09-Dec-15



Zadatak 3

Napisati program u MATLAB-u kojim se generiše diskretni niz { x(n)} koji sadrži 20 odbiraka signala

x(t )=cos(2π 100t ).

Frekvencija odabiranja iznosi 500 Hz.

Generisati signal { y(n)} propuštanjem signala { x(n)} kroz filtar čija je funkcija prenosa

Nacrtati prvih pedeset odbiraka impulsnog odziva filtra i amplitudski spektar odziva { y(n)} na izlazu iz filtra.

Rešenje

clear all, close all;N=20;fs=500;t=(0:N-1)/fs;

x=cos(2*pi*100*t);a=0.9;bf=[1 -1/a];af=[1 -a];y=filter(bf,af,x);Nimpz=50;[h,n]=impz(bf,af,Nimpz);figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');[H,f]=freqz(bf,af,[],fs);figure,plot(f,abs(H));xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})');X=fft(x);Y=fft(y);


1 09-Dec-15



f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');


1 09-Dec-15



Zadatak 4

Generisati u MATLAB-u N =1000 odbiraka signala x(t ), opisanog izrazom,

x(t )=cos(2π 50t )+n(t ).

Frekvencija odabiranja iznosi f s=500 Hz. n(t ) je Gaussov šum snage σ 2=4.

Projektovati IIR Batervortov filtar propusnik niskih frekvencija četvrtog reda koji na svojoj graničnoj frekvenciji f p=100

Hz ima slabljenje od 3 dB. Nacrtati amplitudsku karakteristiku ovog filtra i impulsni odziv.

Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog IIR filtra kada se ovaj pobudi signalom { x(n)} igrafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra u linearnoj razmeri.

Rešenje

clear all, close all;N=1000;fs=500;sigma_na_2=4;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*150*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));

[b,a]=butter(4,100/(fs/2));[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,plot(f,20*log10(abs(H)),100,-3,'o'),text(100,-10,'{\itf}_g')xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itg}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),ylim([-100 5]);[h,n]=impz(b,a);figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');y=filter(b,a,x);figure,plot(t,x,t,y),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');


1 09-Dec-15



X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','location','northeastoutside');


21 09-Dec-15



Zadatak 5

U programskom jeziku MATLAB:

a) Generisati N =1000 odbiraka signala x(t ), opisanog izrazom,

x(t )=cos(2π 150t )+n(t ).

Frekvencija odabiranja iznosi f s=500 Hz. n(t ) je Gaussov šum snage σ 2=4.


21 09-Dec-15



b) Projektovati IIR Čebiševljev filtar I vrste, propusnik visokih frekvencija četvrtog reda granične frekvencije f p=100 Hz

sa varijacijom slabljenja u propusnom opsegu od 1 dB. Nacrtati raspored nula i polova ovog filtra, amplitudskukarakteristiku i impulsni odziv.

c) Kako su raspoređene nule i polovi projektovanog IIR filtra u odnosu na jedinični krug i šta se može zaključiti iznjihovog rasporeda?

d) Propustiti signal { x(n)} kroz projektovani filtar i tako dobijeni signal nazvati { y(n)}. Nacrtati signale { x(n)} i { y(n)}.

Rešenje a)

clear all, close all;N=1000;fs=500;rp=3;sigma_na_2=4;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*150*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));

Rešenje b)

[b,a]=cheby1(4,rp,100/(fs/2),'high');figure,zplane(b,a);[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,plot(f,20*log10(abs(H)),100,-3,'o'),text(100,-10,'{\itf}_g'),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itg}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),ylim([-100 5]);[h,n]=impz(b,a);figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');


21 09-Dec-15



Rešenje c)

disp('Filtar je stabilan, minimalne faze.')

Filtar je stabilan, minimalne faze.

Rešenje d)


21 09-Dec-15



y=filter(b,a,x);figure,plot(t,x,t,y);xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');


21 09-Dec-15



Zadatak 6

Zadate su specifikacije filtra propusnika niskih frekvencija:

granična frekvencija propusnog opsega π p=0.35π ,

granična frekvencija nepropusnog opsega π a=0.46π ,

maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu a p=0.2 dB,

minimalno dozvoljeno slabljenje u nepropusnom opsegu aa=50 dB.

a) Prema postavljenim zahtevima projektovati, (i) eliptički filtar, (ii) Čebiševljev filtar, (iii) inverzni Čebiševljev filtar.

b) Uporediti karakteristike slabljenja filtara (i), (ii) i (iii).

c) Uporediti fazne karakteristike filtara (i), (ii) i (iii) u propusnom opsegu.

d) Uporediti karakteristike grupnog kašnjenja filtara (i), (ii) i (iii) u propusnom opsegu.

Rešenje a)

clear all, close all;wp=0.35*pi;wa=0.46*pi;ap=0.2;aa=50;[Nc1,wnc1]=cheb1ord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[Nc2,wnc2]=cheb2ord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[Ne,wne]=ellipord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[bc1,ac1]=cheby1(Nc1,ap,wnc1);[bc2,ac2]=cheby2(Nc2,aa,wnc2);[be,ae]=ellip(Ne,ap,aa,wne);

Rešenje b)

[Hc1,w]=freqz(bc1,ac1);[Hc2,w]=freqz(bc2,ac2);[He,w]=freqz(be,ae);figure,plot(w/pi,-20*log10(abs([Hc1 Hc2 He])));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]'),legend('Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');ylim([-10 100]);


21 09-Dec-15



Rešenje c)

figure,plot(w/pi,unwrap(angle([Hc1 Hc2 He]))),xlim([0 wp/pi]);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]'),legend('Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');

Rešenje d)


21 09-Dec-15



[gdc1,w]=grpdelay(bc1,ac1);[gdc2,w]=grpdelay(bc2,ac2);[gde,w]=grpdelay(be,ae);figure,plot(w/pi,[gdc1 gdc2 gde]),xlim([0 wp/pi]);xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itgd}({\it\omega}) [br. odbiraka]');legend('Cebisevljev I vrste','Cebisevljev II vrste','elipticki');

Zadatak 7

Zadate su specifikacije filtra propusnika opsega:

granične frekvencije propusnog opsega π p1=0.30π , π p2=0.55π ,

granične frekvencije nepropusnih opsega π a1=0.20π , π a2=0.70π ,


minimalno slabljenje u nepropusnim opsezima aa=40 dB.

a) Prema postavljenim zahtevima projektovati eliptički filtar.

b) Predstaviti položaj nula i polova ovog filtra u kompleksnoj z ravni.

c) Nacrtati karakteristiku slabljenja ovog filtra i njegovu faznu karakteristiku.Rešenje a)

clear all, close all;wp=[0.3*pi 0.55*pi];wa=[0.2*pi 0.7*pi];ap=0.5;aa=40;[N,wn]=ellipord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[b,a]=ellip(N,ap,aa,wn);


21 09-Dec-15



Rešenje b)

figure,zplane(b,a);

Rešenje c)

[H,w]=freqz(b,a);figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]');ylim([-10 100]);figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');


21 09-Dec-15



Zadatak 8

Zadate su specifikacije filtra nepropusnika opsega:

granične frekvencije propusnih opsega π p1=0.20π , π p2=0.70π ,

granične frekvencije nepropusnog opsega π a1=0.30π , π a2=0.60π ,


minimalno slabljenje u nepropusnim opsezima aa=40 dB.


21 09-Dec-15



a) Prema postavljenim zahtevima projektovati eliptički filtar.

b) Predstaviti položaj nula i polova ovog filtra u kompleksnoj z ravni.

c) Nacrtati karakteristiku slabljenja ovog filtra i njegovu faznu karakteristiku.

Rešenje a)


wp=[0.2*pi 0.7*pi];wa=[0.3*pi 0.6*pi];ap=0.5;aa=40;[N,wn]=ellipord(wp/pi,wa/pi,ap,aa);[b,a]=ellip(N,ap,aa,wn,'stop');

Rešenje b)

figure,zplane(b,a);

Rešenje c)

[H,w]=freqz(b,a);figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]');ylim([-10 100]);figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');


21 09-Dec-15





21 09-Dec-15



Digitalni filtri konačnog impulsnog odziva (FIR)

Sadržaj

Zadatak 1

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Rešenje d)

Rešenje e)

Zadatak 2

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Rešenje d)

Zadatak 3

Rešenje a)

Rešenje b)Rešenje c)

Rešenje d)

Zadatak 4

Rešenje a)

Rešenje b)

Rešenje c)

Rešenje d)

Zadatak 5

Rešenje a)

Rešenje b)Rešenje c)

Rešenje d)

Zadatak 1


x(t )=cos(2π 200t )+n(t ),

gde je n(t ) Gausov šum jedinične snage.

a) Generisati diskretni signal { x(n)} koji sadrži prvih 512 odbiraka signala x(t ). Frekvencija odabiranja iznosi

f s=1000 Hz.

b) Projektovati FIR filtar propusnik opsega frekvencija 32. reda graničnih frekvencija f c1=100 Hz i f c2=300 Hz

primenom Hamingovog prozora. Izračunati i grafički prikazati impulsni odziv projektovanog filtra.

c) Izračunati i grafički prikazati raspored nula i polova projektovanog filtra u z ravni, njegovu amplitudsku

karakteristiku i slabljenje, faznu karakteristiku, kao i njegovo grupno kašnjenje.

d) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu iz projektovanog filtra kada se ovaj pobudi

alni filtri konačnog impulsnog odziva, FIR file:///F:/glava09/glav

9 09-Dec-15



signalom { x(n)}.

e) Grafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra.

Rešenje a)


fs=1000;sigma_na_2=1;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*200*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));

Rešenje b)

N_FIR=32;h=fir1(N_FIR,[100 300]/(fs/2)); % Hammingov prozor je podrazumevani (default) izborn=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');

Rešenje c)

nule=roots(h);polovi=zeros(size(nule));figure,zplane(nule,polovi);[H,f]=freqz(h,1,[],fs);figure,subplot(2,1,1),plot(f,abs(H)),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),


9 09-Dec-15



subplot(2,1,2),plot(f,-20*log10(abs(H))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\ita}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),ylim([-5 100]);figure,subplot(2,1,1),plot(f,unwrap(angle(H))),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [rad]');[gd,f]=grpdelay(h,1,1000,fs);subplot(2,1,2),plot(f,gd),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');


9 09-Dec-15



Rešenje d)

y=filter(h,1,x);figure,plot(t,x,t,y),xlim([0 t(N)]),


9 09-Dec-15



xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');

Rešenje e)

X=fft(x);

Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');


9 09-Dec-15



Zadatak 2


x(t )=cos(2π 100t )+n(t ),

gde je n(t ) Gausov šum snage σ2=2.


f s=1000 Hz.

b) Projektovati FIR filtar propusnik niskih frekvencija 32. reda granične frekvencije f g =50 Hz primenom

pravougaonog prozora i primenom trougaonog prozora.

c) Izračunati i grafički prikazati amplitudsku karakteristiku i karakteristiku slabljenja oba filtra.

d) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu FIR filtra projektovanog primenom pravougaonog

prozora kada se ovaj pobudi signalom { x(n)} i grafički prikazati signal na ulazu i izlazu projektovanog filtra.

Rešenje a)

clear all, close all;N=512;fs=1000;sigma_na_2=2;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*10*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));


9 09-Dec-15



Rešenje b)

N_FIR=32;h_p=fir1(N_FIR,50/(fs/2),rectwin(N_FIR+1));h_t=fir1(N_FIR,50/(fs/2),triang(N_FIR+1));n=0:N_FIR;figure,stem(n,[h_p;h_t]'),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})'),legend('pravougaoni','trugaoni');

Rešenje c)

[H_p,f]=freqz(h_p,1,[],fs);[H_t,f]=freqz(h_t,1,[],fs);figure,subplot(2,1,1),plot(f,abs([H_p H_t])),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),legend('pravougaoni','trugaoni');subplot(2,1,2),plot(f,-20*log10(abs([H_p H_t]))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\ita}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]'),

ylim([-5 100]);


9 09-Dec-15



Rešenje d)

y=filter(h_p,1,x);figure,plot(t,x,t,y),xlim([0 t(N)]),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');

X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');


9 09-Dec-15



Zadatak 3


x(t )=cos(2π 150t )+n(t ),


9 09-Dec-15



gde je n(t ) Gausov šum snage σ2=2.


f s=1000 Hz.

b) Projektovati optimalni FIR filtar propusnik opsega 29. reda graničnih frekvencija propusnog opsega f p1=100

Hz i f p2=200 Hz, kao i graničnih frekvencija nepropusnog opsega f a1=50 Hz i f a2=250 Hz.

c) Izračunati i grafički prikazati željenu i realizovanu amplitudsku karakteristiku.

d) Izračunati i prikazati grupno kašnjenje.

e) Izračunati diskretni signal { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog FIR filtra kada se ovaj pobudi

signalom { x(n)} i grafički prikazati amplitudski spektar signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra.

Rešenje a)


fs=1000;sigma_na_2=2;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*150*t)+sqrt(sigma_na_2)*randn(size(t));

Rešenje b)

N_FIR=29;h=firpm(N_FIR,[0 50 100 200 250 fs/2]/(fs/2),[0 0 1 1 0 0]);n=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');[H,f]=freqz(h,1,[],fs);figure,plot(f,abs(H)),line([0 50],[0 0],'color',[1 0 0]),line([100 200],[1 1],'color',[1 0 0]),line([250 fs/2],[0 0],'color',[1 0 0]),ylim([0 1.1]),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),legend('realizovana','zadata');


19 09-Dec-15



Rešenje c)

[gd,f]=grpdelay(h,1,1000,fs);figure,plot(f,gd);xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itgd}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [br. odbiraka]');


19 09-Dec-15



Rešenje d)

y=filter(h,1,x);figure,plot(t,x,t,y),xlim([0 t(N)]),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');

X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');


19 09-Dec-15



Zadatak 4


x(t )=cos(2π 100t )+n(t )+cos(2π 300t ).


19 09-Dec-15




f s=1000 Hz.

b) Projektovati FIR filtar propusnik niskih frekvencija 32. reda granične frekvencije f g =200 Hz primenom

Hamingovog prozora. Grafički prikazati impulsni odziv projektovanog filtra.

c) Izračunati prvih 50 odbiraka diskretnog signala { y(n)} koji se dobija na izlazu projektovanog filtra kada se

ovaj pobudi signalom { x(n)}.

d) Grafički prikazati prvih 50 odbirak signala na ulazu i izlazu projektovanog filtra.

Rešenje a)

clear all, close all;N=512;fs=1000;t=(0:N-1)/fs;x=cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*300*t);

Rešenje b)

N_FIR=32;fg=200;h=fir1(N_FIR,fg/(fs/2));n=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');


19 09-Dec-15



Rešenje c)

y=filter(h,1,x);

Rešenje d)

figure,plot(t,x,t,y),

xlim([0 t(N)]),xlabel('{\itt} [s]'),ylabel('{\itx}({\itt}), {\ity}({\itt})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');X=fft(x);Y=fft(y);f_crt=(0:length(X)-1)/length(X)*fs;figure,plot(f_crt(1:N/2),abs(X(1:N/2)),f_crt(1:N/2),abs(Y(1:N/2))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('DFT({\itx}), DFT({\ity})'),legend('signal na ulazu filtra','signal na izlazu filtra','Location','NorthEastOutside');


19 09-Dec-15



Zadatak 5

Zadate su specifikacije FIR filtra propusnika niskih frekvencija:

Granična frekvencija propusnog opsega ω p=0.35π ,

Granična frekvencija nepropusnog opsega ωa=0.46π ,

Tolerancija amplitudske karakteristike u propusnom opsegu δ p=0.025,Tolerancija amplitudske karakteristike u nepropusnom opsegu δa=0.01.

a) Prema postavljenim zahtevima projektovati optimalan FIR filtar linearne fazne karakteristike.

b) Izračunati i prikazati amplitudsku karakteristiku i karakteristiku slabljenja filtra.

c) Izračunati i prikazati faznu karakteristiku filtra.

d) Prikazati impulsni odziv filtra.

Rešenje a)

clear all, close all;wp=0.35*pi;wa=0.46*pi;deltap=0.025;deltaa=0.01;[N_FIR,fo,mo,w_FIR]=firpmord([wp/pi wa/pi],[1 0],[deltap deltaa]);h=firpm(N_FIR,fo,mo,w_FIR);

Rešenje b)


19 09-Dec-15



[H,w]=freqz(h,1);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,abs(H)),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}({\it\omega}) [dB]');

Rešenje c)

figure,plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');


19 09-Dec-15



Rešenje d)

n=0:N_FIR;figure,stem(n,h),xlabel('{\itn}'),ylabel('{\ith}({\itn})');


19 09-Dec-15





19 09-Dec-15



Realizacija digitalnih filtara

Sadržaj


Rešenje e)Zadatak 2Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)Rešenje e)


Zadatak 4Rešenje a)

Rešenje b)Rešenje c)Rešenje d)Rešenje e)


Zadatak 1

a) Projektovati IIR eliptički filtar propusnik niskih frekvencija 4. reda prema sledećim specifikacijama:

granična frekvencija propusnog opsega ω p

=0.4π ,


minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu aa=30 dB.

b) Izračunati i prikazati karakteristiku slabljenja i faznu karakteristiku ovog filtra.

c) Odrediti konstante direktne realizacione strukture.

d) Odrediti konstante kaskadne strukture.

e) Odrediti konstante paralelne strukture.

Rešenje a)


N=4;ap=0.5;aa=30;wp=0.4*pi;[z,p,k]=ellip(N,ap,aa,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture

Rešenje b)

b=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');

zacija digitalnih filtara file:///F:/glava10/glav

5 09-Dec-15



Rešenje c)

disp('Keoficiejnti direktne realizacione strukture:');disp(' -brojilac:');disp(b);disp(' -imenilac:');disp(a);

Keoficiejnti direktne realizacione strukture: -brojilac: 0.1048 0.1366 0.2134 0.1366 0.1048

-imenilac: 1.0000 -1.2475 1.4920 -0.7518 0.2449

Rešenje d)

[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_c);for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_c(brojac,4:6));end;

Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja:

0.1048

1. sekcija -brojilac: 1.0000 1.2754 1.0000

-imenilac: 1.0000 -0.7335 0.3008

2. sekcija -brojilac: 1.0000 0.0281 1.0000

-imenilac: 1.0000 -0.5140 0.8141


5 09-Dec-15



Rešenje e)

[rb,ra,g_p]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)

if tr_ind==length(ra) | ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;

else

[basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;

end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));

end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6));end;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');

Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja:

0.4280

1. sekcija -brojilac: -0.1094 + 0.0000i -0.1311 0

-imenilac: 1.0000 -0.5140 0.8141

2. sekcija -brojilac: -0.2138 0.6115 0

-imenilac: 1.0000 -0.7335 0.3008


5 09-Dec-15



Zadatak 2

Zadatak 2

a) Projektovaati IIR Batervortov filtar propusnik visokih frekvencija 7. reda za graničnu frekvenciju ω p=0.4π .





Rešenje a)


N=5;wp=0.4*pi;[z,p,k]=butter(N,wp/pi,'high'); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture

Rešenje b)

b=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');


5 09-Dec-15



Rešenje c)


Keoficiejnti direktne realizacione strukture: -brojilac: 0.1084 -0.5419 1.0837 -1.0837 0.5419 -0.1084

-imenilac: 1.0000 -0.9853 0.9738 -0.3864 0.1112 -0.0113

Rešenje d)


Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja: 0.1084

1. sekcija -brojilac: 1 -1 0

-imenilac: 1.0000 -0.1584 0

2. sekcija -brojilac: 1 -2 1

-imenilac: 1.0000 -0.3493 0.1303

3. sekcija -brojilac:


5 09-Dec-15



1 -2 1

-imenilac: 1.0000 -0.4777 0.5457

Rešenje e)


if tr_ind==length(ra) || ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;

else [basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;

end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6));end;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));

ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');

Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja: 9.6217

1. sekcija -brojilac: 0.0889 0.5978 0

-imenilac: 1.0000 -0.4777 0.5457


-imenilac: 1.0000 -0.3493 0.1303

3. sekcija -brojilac: -5.8304 0 0

-imenilac: 1.0000 -0.1584 0


5 09-Dec-15



Zadatak 3

a) Projektovati FIR filtar linearne faze propusnik niskih frekvencija dužine N =31 sa graničnom frekvencijom ωc=0.4π .Primeniti Hanov prozor.




Rešenje a)

clear all, close all;N=30;wp=0.4*pi;h=fir1(N,wp/pi,hann(N+1));

Rešenje b)

[H,w]=freqz(h,1);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');


5 09-Dec-15



Rešenje c)

disp('Keoficiejnti direktne realizacione strukture:');disp(h);

Keoficiejnti direktne realizacione strukture: Columns 1 through 8

0 -0.0002 -0.0006 0.0015 0.0046 -0.0000 -0.0116 -0.0105

Columns 9 through 16

0.0148 0.0330 -0.0000 -0.0631 -0.0564 0.0895 0.2993 0.3998


0.2993 0.0895 -0.0564 -0.0631 -0.0000 0.0330 0.0148 -0.0105


-0.0116 -0.0000 0.0046 0.0015 -0.0006 -0.0002 0

Rešenje d)

z=roots(h);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(z)

if tr_ind==length(z) || z(tr_ind)~=conj(z(tr_ind+1)) h_c(sec_ind,1:2)=poly(z(tr_ind)); tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;

else h_c(sec_ind,1:3)=poly([z(tr_ind) z(tr_ind+1)]); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;

end;end;[br_sec_c,ni]=size(h_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(h_c(brojac,:));end;H_c_uk=ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c h_c(brojac,:)=h_c(brojac,:)./abs(sum(h_c(brojac,:))); H_c_uk=H_c_uk.*freqz(h_c(brojac,:),1);end;figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));


5 09-Dec-15



ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(2,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');

Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:1. sekcija 1 0 0

2. sekcija 1.0000 2.9817 0

3. sekcija 1.0000 -2.2289 0

4. sekcija 1.0000 -3.4593 3.2706

5. sekcija 1.0000 -2.2997 2.5556

6. sekcija 1.0000 1.9894 1.0000

7. sekcija 1.0000 1.9050 1.0000

8. sekcija 1.0000 1.7396 1.0000

9. sekcija 1.0000 1.5000 1.0000

10. sekcija 1.0000 1.1970 1.0000

11. sekcija 1.0000 0.8448 1.0000

12. sekcija 1.0000 0.4616 1.0000

13. sekcija 1.0000 0.0727 1.0000

14. sekcija 1.0000 -0.8999 0.3913

15. sekcija 1.0000 -1.0577 0.3058

16. sekcija 1.0000 -0.4487 0

17. sekcija 1.0000 0.3354 0


5 09-Dec-15



Zadatak 4

a) Projektovaati IIR Čebiševljev filtar propusnik opsega 6. reda graničnih frekvencija f p1=2000 Hz i f p2=3000 Hz.Frekvencija odabiranja je 10000 Hz. Maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu je a p=0.5 dB.




Rešenje a)

clear all, close all;N=6;ap=0.5;fp=[2000 3000];

fs=10000;[z,p,k]=cheby1(N/2,ap,fp/(fs/2)); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture

Rešenje b)

b=k*poly(z);a=poly(p);[H,f]=freqz(b,a,[],fs);figure,subplot(2,1,1),plot(f,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}(2{\it\pif}/{\itf_s})'),subplot(2,1,2),plot(f,unwrap(angle(H))),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}(2{\it\pif}/{\itf_s}) [rad]');


15 09-Dec-15



Rešenje c)


Keoficiejnti direktne realizacione strukture: -brojilac: 0.0154 0 -0.0462 0 0.0462 0 -0.0154

-imenilac: 1.0000 -0.0000 1.9900 -0.0000 1.5715 0.0000 0.4583

Rešenje d)


Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:konstanta pojacanja:

0.0154

1. sekcija -brojilac: 1 0 -1

-imenilac: 1.0000 0.0000 0.6618

2. sekcija -brojilac: 1 2 1

-imenilac: 1.0000 0.5798 0.8322

3. sekcija


15 09-Dec-15



-brojilac: 1 -2 1

-imenilac: 1.0000 -0.5798 0.8322

Rešenje e)



else [basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;

end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6));end;figure,subplot(3,1,1),plot(f,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(f,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]');

subplot(3,1,3),plot(f,-20*log10(abs(H_p_uk)));ylim([-5 100]),xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\ita}_p(2{\it\pif}/{\itf_s}) [dB]');

Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja: -0.0336

1. sekcija -brojilac: -0.1878 - 0.0000i 0.0154 - 0.0000i 0

-imenilac: 1.0000 -0.5798 0.8322

2. sekcija -brojilac: -0.1878 -0.0154 0

-imenilac: 1.0000 0.5798 0.8322

3. sekcija -brojilac: 0.4247 - 0.0000i 0.0000 0

-imenilac: 1.0000 0.0000 0.6618


15 09-Dec-15



Zadatak 5

a) Projektovati IIR eliptički filtar propusnik opsega 6. reda sa sledećim specifikacijama: granične frekvencije propusnogopsega ω p1=0.3π i ω p2=0.3π , maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu a p=1 dB, minimalno slabljenje u

nepropusnom opsegu aa=50 dB.

b) Formirati kaskadnu realizacionu strukturu ovog filtra.

c) Izračunati i prikazati amplitudske karakteristike sekcija drugog reda.

d) Izračunati i prikazati amplitudsku karakteristiku slabljenja filtra u celini.

Rešenje a)

clear all, close all;N=6;ap=1;

aa=50;wp=[0.3 0.4]*pi;[z,p,k]=ellip(N/2,ap,aa,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture

Rešenje b)

[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_c);for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:');

disp(basos_c(brojac,4:6));end;


1. sekcija -brojilac: 1.0000 0.0000 -1.0000

-imenilac: 1.0000 -0.8509 0.8511



15 09-Dec-15



1.0000 0.3232 1.0000

-imenilac: 1.0000 -0.6030 0.9237

3. sekcija -brojilac: 1.0000 -1.6400 1.0000

-imenilac: 1.0000 -1.1308 0.9344

Rešenje c)

za_legendu='';for brojac=1:br_sec_c [H_c(:,brojac),w]=freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6)); za_legendu=[za_legendu; num2str(brojac) '. sekcija'];end;figure,plot(w,abs(H_c)),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_{sos}({\it\omega})'),legend(za_legendu);

Rešenje d)

[H,w]=freqz(k*poly(z),poly(p));H_c_uk=g_c*ones(size(H));for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6));end;figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(2,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));ylim([-5 100]),

xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');


15 09-Dec-15



Published with MATLAB® 7. 8


15 09-Dec-15



Softverska implementacija u MATLAB-u

Sadržaj

Zadatak 1Rešenje a)Rešenje b)Rešenje c)



Zadatak 4Rešenje


Zadatak 1

a) Projektovati FIR filtar propusnik opsega dužine N =21 sa graničnim frekvencijamaω p1=0.32π i ω p2=0.55π . Filtar projektovati primenom Hamingovog prozora. Nacrtati

amplitudsku i faznu karakteristiku ovog filtra koristeći funkciju freqz.

b) Napisati MATLAB program za implementaciju ovog filtra na osnovu kaskadnerealizacione strukture.

c) Proveriti realizacionu strukturu iz tačke b) koristeći odziv sistema na jedinični impuls. Zaulazni signal { x(n)} uzeti,

Izračunati amplitudski spektar signala { y(n)} koji se dobija na izlazu filtra iz tačke b) irezultat uporediti sa amplitudskom karakteristikom filtra izračunatom u tački a).

Rešenje a)

clear all, close all;N=20;wp=[0.32 0.55]*pi;h=fir1(N,wp/pi,hamming(N+1));[H,w]=freqz(h,1);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');

erska implementacija u MATLAB-u file:///F:/glava11/glav

4 09-Dec-15



Rešenje b)

z=roots(h);p=zeros(size(z));figure,zplane(z,p);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(z)

if tr_ind==length(z) || z(tr_ind)~=conj(z(tr_ind+1)) h_c(sec_ind,1:2)=poly(z(tr_ind)); tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;

else

h_c(sec_ind,1:3)=poly([z(tr_ind) z(tr_ind+1)]); tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;

end;

end;[br_sec_c,ni]=size(h_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');

for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(h_c(brojac,:));end;

Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:1. sekcija 1.0000 -2.2100 7.6744

2. sekcija 1.0000 -1.9781 1.0000

3. sekcija 1.0000 -1.8971 1.0000

4. sekcija 1.0000 -1.7807 1.0000

5. sekcija 1.0000 2.4373 1.6417

6. sekcija 1.0000 1.2831 1.0000

7. sekcija 1.0000 1.7044 1.0000

8. sekcija 1.0000 1.9756 1.0000

9. sekcija 1.0000 1.4846 0.6091

10. sekcija


4 09-Dec-15



1.0000 -0.2880 0.1303

Rešenje c)

H_c_uk=ones(size(H));x=zeros(256,1);x(1)=1;y=x;for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(h_c(brojac,:),1); y=filter(h_c(brojac,:),1,y);

end;g_c=1/max(abs(H_c_uk));y=g_c*y;H_c_uk=g_c*H_c_uk;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));

xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');Y=freqz(y,1);subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(Y)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itY}({\it\omega}) [dB]');


4 09-Dec-15



Zadatak 2

a) Projektovati Čebiševljev IIR filtar propusnik opsega 6. reda sa graničnim frekvencijamaω p1=0.32π i ω p2=0.55π , i varijacijom slabljenja u propusnom opsegu a p=0.5 dB. Nacrtati

amplitudsku i faznu karakteristiku ovog filtra.

b) Napisati MATLAB program za implementaciju ovog filtra u kaskadnoj strukturi koristeći prog11_5 za implementaciju sekcije drugog reda.

c) Proveriti realizacionu strukturu iz tačke b) na osnovu odziva sistema na jedinični impuls.Koristiti postupak iz zadatka br.1, tačka c).

Rešenje a)

clear all, close all;N=3; % red LP prototip filtra (red BP filta je dva puta veci)

ap=0.5;wp=[0.32 0.55]*pi;[z,p,k]=cheby1(N,ap,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne struktureb=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');

Rešenje b)

figure,zplane(z,p);[basos_c,g_c]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c);disp('Keoficiejnti kaskadne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');

disp(g_c);

for brojac=1:br_sec_c disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_c(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_c(brojac,4:6));end;H_c_uk=g_c*ones(size(H));x=zeros(256,1);x(1)=1;y=g_c*x;for brojac=1:br_sec_c H_c_uk=H_c_uk.*freqz(basos_c(brojac,1:3),basos_c(brojac,4:6)); y=prog11_5(basos_c(brojac,:),y);end;


4 09-Dec-15



figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));

xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');Y=freqz(y,1);subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(Y)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itY}({\it\omega}) [dB]');


1. sekcija -brojilac: 1 0 -1

-imenilac: 1.0000 -0.3506 0.6172

2. sekcija -brojilac: 1 2 1

-imenilac: 1.0000 0.2996 0.8001


1 -2 1

-imenilac: 1.0000 -0.9923 0.8272


4 09-Dec-15



Zadatak 3

a) Za IIR filtar projektovan u zadatku br.2 napisati MATLAB program za implementaciju u

paralelnoj strukturi koristeći prog11_5 za implementaciju sekcije drugog reda.

b) Proveriti realizacionu strukturu iz tačke a) na osnovu odziva sistema na jedinični impuls.Koristiti postupak iz zadatka br.1, tačka c).

Rešenje a)

clear all, close all;N=3; % red LP prototip filtra (red BP filta je dva puta veci)ap=0.5;wp=[0.32 0.55]*pi;[z,p,k]=cheby1(N,ap,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne strukture

b=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);

figure,subplot(2,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}({\it\omega})'),subplot(2,1,2),plot(w/pi,unwrap(angle(H))),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{symbol}j}({\it\omega}) [rad]');

Rešenje b)


4 09-Dec-15



figure,zplane(z,p);[rb,ra,g_p]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)


else

[basos_p(sec_ind,1:3),basos_p(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0);

tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;

end;end;disp('Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:');disp('konstanta pojacanja:');disp(g_p);for brojac=1:br_sec_p disp([num2str(brojac) '. sekcija']); disp(' -brojilac:'); disp(basos_p(brojac,1:3)); disp(' -imenilac:'); disp(basos_p(brojac,4:6));

end;H_p_uk=g_p*ones(size(H));x=zeros(256,1);x(1)=1;y=g_p*x;

for brojac=1:br_sec_p H_p_uk=H_p_uk+freqz(basos_p(brojac,1:3),basos_p(brojac,4:6)); y=y+prog11_5(basos_p(brojac,:),x);end;figure,subplot(3,1,1),plot(w/pi,-20*log10(abs(H)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_d({\it\omega}) [dB]');subplot(3,1,2),plot(w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');Y=freqz(y,1);subplot(3,1,3),plot(w/pi,-20*log10(abs(Y)));xlim([0 1]),ylim([-5 100]),xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\itY}({\it\omega}) [dB]');

Keoficiejnti paralelne realizacione strukture:konstanta pojacanja:

-0.0546


-imenilac: 1.0000 -0.9923 0.8272

2. sekcija -brojilac: -0.2285 + 0.0000i 0.0144 - 0.0000i 0

-imenilac: 1.0000 0.2996 0.8001

3. sekcija -brojilac: 0.5015 -0.1087 0

-imenilac: 1.0000 -0.3506 0.6172


4 09-Dec-15



Zadatak 4

a) Formirati signal,

x(n)=cos(2πnf 1/ f s)+1.5cos(2πnf 2/ f s) +1.8cos(2πnf 3/ f s)

gde je frekvencija odabiranja f s=8000 Hz, i f 1=1530 Hz, f 2=1800 Hz, f 3=2050 Hz. Signalu je

dodat šum varijanse 2.

b) Izračunati spektralnu gustinu snage ovog signala za sledeće dužine signala { x(n)}:

N =32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096.Rezultate predstaviti grafički.

Rešenje

clear all, close all;fs=8000;f1=1530; f2=1800; f3=2050;N=[32 64 128 256 512 1024 2048 4096];for br=1:length(N) n=(0:N(br)-1)'; x=cos(2*pi*n*f1/fs)+1.5*cos(2*pi*n*f2/fs)+1.8*cos(2*pi*n*f3/fs);%+sqrt(2)*randn(size(n)); X=fft(x); Sx=X.*conj(X)/N(br)/fs; f=fs*(0:N(br)/2-1)/N(br); figure,subplot(2,1,1),plot(f,10*log10((2*Sx(1:N(br)/2))));


4 09-Dec-15



xlabel('{\itf} [Hz]'),ylabel('{\itS_x}'),title(['duzina niza {\itN}=' num2str(N(br))]); Hs=spectrum.periodogram; subplot(2,1,2),psd(Hs,x,'Fs',fs);

end;


4 09-Dec-15




14 09-Dec-15



Zadatak 5


14 09-Dec-15



Analizirati efekte konačne dužine reči na karakteristiku slabljenja IIR filtra projektovanog uzadatku br.2, tačka a).

a) Analiza kaskadne realizacione strukture. Konstante filtra izračunate u zadatku br.2, tačka b), predstaviti sa dužinom reči od 10 bita. Primeniti zaokružavanje. Izračunati karakteristikuslabljenja filtra i uporediti sa karakteristikom koja se dobija sa tačnim vrednostima konstanti.

b) Analiza paralelne realizacione strukture. Postupak iz prethodne tačke ponoviti i za paralelnu realizacionu strukturu.

c) Postupak iz tačaka a) i b) ponoviti za dužine reči od 8 i 12 bita.

Rešenje a)

clear all, close all;duz_kod_rec=[8 10 12];N=3; % red LP prototip filtra (red BP filta je dva puta veci)

ap=0.5;wp=[0.32 0.55]*pi;[z,p,k]=cheby1(N,ap,wp/pi); % ovaj oblik pogodniji za kasnije dobijanje koeficijenata kaskadne i paralelne struktureb=k*poly(z);a=poly(p);[H,w]=freqz(b,a);[basos_c_full,g_c_full]=zp2sos(z,p,k);[br_sec_c,ni]=size(basos_c_full);for br=1:length(duz_kod_rec) basos_c=round(basos_c_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1); g_c=round(g_c_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1);

H_c_uk(:,br)=g_c*ones(size(H));for br_sec=1:br_sec_c

H_c_uk(:,br)=H_c_uk(:,br).*freqz(basos_c(br_sec,1:3),basos_c(br_sec,4:6));end;

end;figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)),w/pi,-20*log10(abs(H_c_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_c({\it\omega}) [dB]');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');figure,plot(w/pi,(abs(H)),w/pi,(abs(H_c_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_c({\it\omega})');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');


14 09-Dec-15



Rešenje b)

[rb,ra,g_p_full]=residuez(b,a);br_sec_p=ceil(length(ra)/2);tr_ind=1;sec_ind=1;while tr_ind<=length(ra)

if tr_ind==length(ra) || ra(tr_ind)~=conj(ra(tr_ind+1)) basos_p_full(sec_ind,1:6)=[rb(tr_ind),0,0,1 -ra(tr_ind),0]; tr_ind=tr_ind+1; sec_ind=sec_ind+1;

else [basos_p_full(sec_ind,1:3),basos_p_full(sec_ind,4:6)]=residuez([rb(tr_ind),rb(tr_ind+1)],[ra(tr_ind),ra(tr_ind+1)],0);

tr_ind=tr_ind+2; sec_ind=sec_ind+1;

end;

end;for br=1:length(duz_kod_rec) basos_p=round(basos_p_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1); g_p=round(g_p_full*2^(duz_kod_rec(br)-1))/2^(duz_kod_rec(br)-1);

H_p_uk(:,br)=g_p*ones(size(H));for br_sec=1:br_sec_p

H_p_uk(:,br)=H_p_uk(:,br)+freqz(basos_p(br_sec,1:3),basos_p(br_sec,4:6));end;

end;figure,plot(w/pi,-20*log10(abs(H)),w/pi,-20*log10(abs(H_p_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\ita}_p({\it\omega}) [dB]');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');figure,plot(w/pi,(abs(H)),w/pi,(abs(H_p_uk)));xlabel('{\it\omega}/{\it\pi}'),ylabel('{\it\fontname{Monotype Corsiva}M}_p({\it\omega})');legend('MATLAB','8 bita','10 bita','12 bita');


14 09-Dec-15




Documents

DOS Zbirka Milic Ljiljana