Dominio de la Frecuencia - Sistemas Electrónicos de Control · Sistemas Electrónicos de Control Álvaro Gutiérrez 18 de abril de 2018 [email protected] ... Diagrama de Bode Diagrama

Dominio de la Frecuencia

Sistemas Electrónicos de Control

Álvaro Gutiérrez18 de abril de 2018

[email protected]

www.robolabo.etsit.upm.es

N

Índice

1 Introducción

2 Representaciones GráficasDiagrama de BodeDiagrama de Nyquist

3 EstabilidadCriterio de estabilidad de NyquistMargen de Fase y Margen de GananciaResonanciaAncho de banda

4 Sintonización de PIDInterpretación en el dominio de la frecuenciaZiegler-Nichols Modificado

5 Conclusiones

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Introducción

I El análisis en el dominio de la frecuencia hace referenciaa la respuesta en régimen permanente a una entradasinusoidal

I Los datos se pueden obtener sobre el sistema físico sindisponer del modelo matemático

I Las representaciones más usadas son las de Bode,Nyquist y Nichols

N

Régimen PermanenteI Sea

x(t) = Xsen(ωt)

I donde

G(s) =Y(s)X(s)

es estable

I entoncesyss(t) = Ysen(ωt + φ)

I dondeY = X |G(jω)| y φ = G(jω)

I por lo tanto

|G(jω)| =∣∣∣∣Y(jω)X(jω)

∣∣∣∣ y G(jω) =Y(jω)X(jω)

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Diagrama de Bode - Introducción

I Formado por 2 gráficas:I Logaritmo de la magnitud de la función de transferencia:

20log |G(jω)|I Ángulo de faseI Ambas con el eje de la frecuencia logarítmico

I Para la ganancia KI Magnitud: 20log(K)I Fase: 0◦

N

Diagrama de Bode - Integradores

I Para factores integrales ((jω)−1)

I Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)I Fase: −90◦

N

Diagrama de Bode - Integradores

I Para factores integrales ((jω)−1)I Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)I Fase: −90◦

N

Diagrama de Bode - Derivadores

I Para factores derivativos ((jω))

I Magnitud: 20log(ω) (20 dB/dec)I Fase: 90◦

N

Diagrama de Bode - Derivadores

I Para factores derivativos ((jω))I Magnitud: 20log(ω) (20 dB/dec)I Fase: 90◦

N

Diagrama de Bode - Sist. de 1er order

I Para factores de primer orden ((1 + jωT)−1)I ωT << 1

I Magnitud: 0I Fase: 0◦ en ω = 0

I ωT >> 1I Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)I Fase: −45◦ en frecuencia esquina (ω = 1/T )I Fase: −90◦ en ω →∞

N

Diagrama de Bode - Sist. de 1er orderI Para factores de primer orden ((1 + jωT)−1)

I ωT << 1I Magnitud: 0I Fase: 0◦ en ω = 0

I ωT >> 1I Magnitud: −20log(ω) (-20 dB/dec)I Fase: −45◦ en frecuencia esquina (ω = 1/T )I Fase: −90◦ en ω →∞

N

Diagrama de Bode - Sist. de 2o orden

I Para factores cuadráticos ((1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2)−1)

I ω << ωnI Magnitud: 0I Fase: 0◦ en ω = 0

I ω >> ωnI Magnitud: −40log(ω/ωn) (-40 dB/dec)I Fase: −90◦ en frecuencia esquina (ω = ωn )I Fase: −180◦ en ω →∞

I Frecuencia de resonancia:I ωr = ωn

√1− 2ζ2 ; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

I Mr = |G(jωr)| =1

2ζ√

1− ζ2; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

N


I Para factores cuadráticos ((1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2)−1)

I ω << ωnI Magnitud: 0I Fase: 0◦ en ω = 0

I ω >> ωnI Magnitud: −40log(ω/ωn) (-40 dB/dec)I Fase: −90◦ en frecuencia esquina (ω = ωn )I Fase: −180◦ en ω →∞


√1− 2ζ2 ; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

I Mr = |G(jωr)| =1

2ζ√

1− ζ2; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

N


N

Diagrama de Bode - Ejemplo

I Ejemplo:

I G(s) =10(s + 3)

s(s + 2)(s2 + s + 2)

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Diagrama de Nyquist - Introducción

I El diagrama de Nyquist es una representación encoordenadas polares de la magnitud de G(jω) conrespecto al ángulo de fase de G(jω) cuando ω varía de 0 a∞

I Los ángulos de fase son positivos si se miden en elsentido contrario a las agujas del reloj

I Los ángulos de fase son negativos si se miden en elsentido de las agujas del reloj

I Cada punto del diagrama representa un valor de G(jω)para una determinada ω

I Ventaja: Representa en una gráfica las características dela respuesta en frecuencia para todo el rango de ω

I Desventaja: No indica claramente la contribución de todoslos factores de la FT en lazo abierto

N

Diagrama de Nyquist - Integral y Derivativo

I Integral:

I G(jω) =1jω

= −j1ω

=1ω−90◦

I Diagrama de Nyquist: Eje imaginario negativoI Derivativo:

I G(jω) = jω = ω 90◦I Diagrama de Nyquist: Eje imaginario positivo

N

Diagrama de Nyquist - 1er orden

I G(jω) =1

1 + jωT=

1√1 + ω2T2

−tan−1ωT

I G(j0) = 1 0◦, G(j1T) =

1√2−45◦ y G(j0∞) = 0 −90◦

I G(jω) = 1 + jωT =√

1 + ω2T2 tan−1ωTI G(j0) = 1 0◦, G(j

1T) =√

2 45◦ y G(j∞) =∞ 90◦

N


I G(jω) =1

1 + jωT=

1√1 + ω2T2

−tan−1ωT

I G(j0) = 1 0◦, G(j1T) =

1√2−45◦ y G(j0∞) = 0 −90◦

I G(jω) = 1 + jωT =√

1 + ω2T2 tan−1ωTI G(j0) = 1 0◦, G(j

1T) =√

2 45◦ y G(j∞) =∞ 90◦

N


I G(jω) =1

1 + jωT=

1√1 + ω2T2

−tan−1ωT

I G(j0) = 1 0◦, G(j1T) =

1√2−45◦ y G(j0∞) = 0 −90◦

I G(jω) = 1 + jωT =√

1 + ω2T2 tan−1ωTI G(j0) = 1 0◦, G(j

1T) =√

2 45◦ y G(j∞) =∞ 90◦

N

Diagrama de Nyquist - 2o orden

I G(jω) =1

1 + 2ζ(jω

ωn) + (j

ω

ωn)2

; ζ > 0

I limω→0

G(jω) = 1 0◦ y limω→∞

G(jω) = 0 −180◦

I Si ω = ωn → G(jωn) =1

2ζ−90◦


√1− 2ζ2 ; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

I Mr = |G(jωr)| =1

2ζ√

1− ζ2; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

N

Diagrama de Nyquist - 2o orden

I G(jω) =1

1 + 2ζ(jω

ωn) + (j

ω

ωn)2

; ζ > 0

I limω→0

G(jω) = 1 0◦ y limω→∞

G(jω) = 0 −180◦

I Si ω = ωn → G(jωn) =1

2ζ−90◦


√1− 2ζ2 ; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

I Mr = |G(jωr)| =1

2ζ√

1− ζ2; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

N

Diagrama de Nyquist - Formas generalesI Tipo 0:

I G(j0) = finito y sobre ele eje real positivo. Fase(0)perpendicular al eje real

I G(j∞) = 0. Fase (∞) tangente a uno de los ejesI Tipo 1:

I G(j0) =∞. Fase(0) = −90◦I G(j∞) = 0. Fase (∞) tangente a uno de los ejes

I Tipo 2:I G(j0) =∞. Fase(0) = −180◦I G(j∞) = 0. Fase (∞) tangente a uno de los ejes

N

Conclusiones en lazo cerrado

I | G(jω1)

1 + G(jω1)| = OA

PAI G(jω1)− 1 + G(jω1) = φ− θ

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Introducción

I Determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado apartir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto

I Se basa en el teorema de la transformación de la teoríade variable compleja

I El criterio de estabilidad se supone para un sistema causaly estable.

N

Criterio de estabilidad de Nyquist

I Si la FT en lazo abierto G(s) tiene P polos en el semiplanoderecho del plano s, para que el sistema sea estable, ellugar geométrico G(jω) para ω ∈ (−∞,∞) debe rodear Pveces el punto −1 + j0 en el sentido contrario de lasagujas del reloj.

I Podemos resumirlo en:I Z = N + PI Z = número de ceros de 1 + G(s) en el semiplano derecho

del plano sI N = número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj

del punto −1 + j0 (negativo en el sentido contrario de lasagujas del reloj)

I P = número de polos de G(s) en el semiplano derecho delplano s

N

Ejemplos

I G(s) =K

s(T1s + 1)(T2s + 1)

N

Ejemplos

I G(s) =K(s + 3)s(s− 1)

; K > 1

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Margen de Fase y Margen de Ganancia I

I Margen de Fase: Cantidad de retardo de fase adicional enla frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar elsistema al borde de la inestabilidad (MF = 180◦ + φ)

I Margen de Ganancia: El inverso de la magnitud |G(jω)|en la frecuencia (ω1) a la cual el ángulo de fase es −180◦

(MG =1

|G(jω1)|)

N

Margen de Fase y Margen de Ganancia II

N

Margen de Fase y Margen de Ganancia III

I G(s) =K

s(s + 1)(s + 5); K = 10 y K = 100

N

Margen de Fase y Margen de Ganancia III

I G(s) =K

s(s + 1)(s + 5); K = 10 y K = 100

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

ResonanciaI Frecuencia de resonancia: La frecuencia (ωr) a la que la

magnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado tieneun máximo.

I Magnitud de resonancia: La magnitud del pico deresonancia.

I ωr = ωn√

1− 2ζ2 ; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

I Mr = |G(jωr)| =1

2ζ√

1− ζ2; 0 ≤ ζ ≤ 0.707

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Ancho de banda

I Frecuencia de corte: La frecuencia (ωb) a la que lamagnitud de respuesta en frecuencia en lazo cerrado está3 dB por debajo del valor de frecuencia cero

I Ancho de banda: El rango de frecuencias donde0 ≤ ω ≤ ωb

I Recordemos que:

tr =π − βωd

I ζ ↑→ tr ↑I ζ ↑→ Bw ↓I tr ∝ 1/Bw

N

Conclusiones

I MF, MG y Mr → amortiguamiento del sistemaI ωMF, ωr y BW → velocidad de la respuesta transitoria

I ωr ↑→ par de polos dominantes lazo cerrado con ζ ↓I ωr ↓→ par de polos dominantes lazo cerrado con ζ ↑I ζ ↓→ ωd ' ωr ∝ 1/trI Mr ∝ Mp

I tr ∝ 1/BWI Mp ∝ 1/ζ → MF ∝ ζ → MF ∝ 1/Mp

I tr ∝ MG

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Método 2 de Ziegler-Nichols I

I Basado en la respuesta en frecuenciaI Válido para sistemas donde existen oscilaciones

mantenidas para un valor de Kcr

GPID(s) =

0.075KcrPcr

(s +4

Pcr)2

s

KP τI τD

P 0.5Kcr ∞ 0

PI 0.45Kcr1

1.2Pcr 0

PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

N

Interpretación en el Diagrama de Nyquist II Sabemos que

G(jω) = X(ω) + jY(ω)

I Para ω0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama deNyquist

A ≡ G(jω0) = X(ω0) + jY(ω0)

I Modificando la ganancia (Kp) desplazamos un puntoradialmente con respecto al origen

I Movimientos ortogonales se producen modificando τI y/oτD

N

Interpretación en el Diagrama de Nyquist II Sabemos que

G(jω) = X(ω) + jY(ω)

I Para ω0, seleccionamos un punto (A) en el Diagrama deNyquist

A ≡ G(jω0) = X(ω0) + jY(ω0)

I Modificando la ganancia (Kp) desplazamos un puntoradialmente con respecto al origen

I Movimientos ortogonales se producen modificando τI y/oτD

N

Interpretación en el Diagrama de Nyquist II

N


N


N


N

Interpretación en el Diagrama de Nyquist III

ωRe[G(j )]

ωIm[G(j )]

P

D

I

P

N


N


N


N

Interpretación en el Diagrama de Nyquist IV

I ¿Qué ocurre con eldiagrama de Nyquist?

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

N



G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Ax

is

N



G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Ax

is

N



G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Ax

is

N



G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Ax

is

N



G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Ax

is

N



G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)−8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Ax

is

N



G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)−8 −6 −4 −2 0 2 4 6

x 10−5

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Ax

is

N

Interpretación del 2◦ método de ZN I

H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j )]ω

Re[KpG(j )]ω

−1

KP < 0.39 0.39 ≤ KP < 60 KP = 60

N


H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j )]ω

Re[KpG(j )]ω

−1

KP < 0.39

0.39 ≤ KP < 60 KP = 60

N


H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j )]ω

Re[KpG(j )]ω

−1

KP < 0.39 0.39 ≤ KP < 60

KP = 60

N


H(s) G(s)+−

U(s) Y(s)E(s)R(s)

G(s) =1

(s + 1)(s + 2)(s + 3)

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j ω )]

Re[KpG(j ω )]

−1

Im[KpG(j )]ω

Re[KpG(j )]ω

−1

KP < 0.39 0.39 ≤ KP < 60 KP = 60

N

Interpretación del 2◦ método de ZN II

I ¿Qué ocurre para ωcr?

I En ωcr → (−1/Kcr, 0)

KP τI τD

P 0.5Kcr ∞ 0

PI 0.45Kcr1

1.2Pcr 0

PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

N

Interpretación del 2◦ método de ZNI PI

I G(jωcr) = −1/Kcr → G(jωcr)Gc(jωcr) = −0.45 + j0.08I PID

I G(jωcr) = −1/Kcr → G(jωcr)Gc(jωcr) = −0.6− j0.28

Nyquist Diagram

Real Axis

Ima

gin

ary

Axis

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

System: untitled2Real: −0.595Imag: −0.278Frequency (rad/sec): 1.75

System: GReal: −0.246Imag: 0.000499Frequency (rad/sec): 1.75

System: untitled1Real: −0.443Imag: 0.084Frequency (rad/sec): 1.75

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) I

1. Seleccionar un punto A del diagrama de Nyquist de laplanta

2. Seleccionar un punto B del conjunto “controlador +planta” donde queremos mover A

3. Observar si puede ser desplazado mediante un P, PI, PD oPID y seleccionar el más adecuado

4. Calcular los parámetros del controlador

N

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) III Sea A = G(jωo) = raej(π+φa)

I Sea B = G(jωo)Gc(jωo) = rbej(π+φb)

I Sea Gc(jωo) = rcej(φc)

I Igualando términos tenemos:I rbej(π+φb) = rarcej(π+φa+φc)

I rc =rb

raφc = φb − φa

I Para un PI:I τI = −

1ωotgφc

I KP = rccosφc

I Para un PD:I τD =

tgφc

ωoI KP = rccosφc

I Para un PID (τD = ατI):

I ωoτD −1ωoτI

= tgφc → {τD = ατI} → τ 2I αω

20 − τIω0tgφc − 1 = 0

I KP = rccosφc

I τI =1

2ωoα(tgφc +

√4α+ tg2φc)

N

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) IIII ¿Cómo seleccionar el punto deseado (B) ?

I ZN2 sugiere desplazar, para un PID, el punto (−1/Kcr, 0) a(-0.6, -0.28) correspondiendo con: rb = 0.66 y φb = 25◦

I Pessen sugiere desplazarlo a (−0.2,−0.26) o(−0.2,−0.21), correspondiendo con rb = 0.41 y φb = 61◦ orb = 0.29 y φb = 46◦ respectivamente

G(s) =1

s(s + 1)(s + 2)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

ZN2

PE1

PE2

N

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) IIII ¿Cómo seleccionar el punto deseado (B) ?I ZN2 sugiere desplazar, para un PID, el punto (−1/Kcr, 0) a

(-0.6, -0.28) correspondiendo con: rb = 0.66 y φb = 25◦

I Pessen sugiere desplazarlo a (−0.2,−0.26) o(−0.2,−0.21), correspondiendo con rb = 0.41 y φb = 61◦ orb = 0.29 y φb = 46◦ respectivamente

G(s) =1

s(s + 1)(s + 2)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

ZN2

PE1

PE2

N

Ziegler-Nichols Modificado (ZNM) IIII ¿Cómo seleccionar el punto deseado (B) ?I ZN2 sugiere desplazar, para un PID, el punto (−1/Kcr, 0) a

(-0.6, -0.28) correspondiendo con: rb = 0.66 y φb = 25◦I Pessen sugiere desplazarlo a (−0.2,−0.26) o

(−0.2,−0.21), correspondiendo con rb = 0.41 y φb = 61◦ orb = 0.29 y φb = 46◦ respectivamente

G(s) =1

s(s + 1)(s + 2)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

ZN2

PE1

PE2

N

Ejemplo

I Ejemplo:

G(s) =1

(s + 1)(s + 12)(s +

14)

I Especificaciones:I MF = 50◦I ess|escalon = 0

N

Ejemplo - En detalle

G(s) =1

(s + 1)(s + 12)(s +

14)

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e

φb=10

°

φb=20

°

φb=30

°

φb=40

°

φb=50

°

φb=60

°

φb=70

°

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

pli

tud

e

rb=0.1

rb=0.3

rb=0.5

rb=0.7

rb=0.9

rb=1.1

rb=1.3

rb=1/Mg ∼ 0.71 φ

b=50

°

N

1 Introducción




5 Conclusiones

N

MATLAB

I Diagrama de Bode: bode(num,den)I Ejes: w=logspace(-2,3,100)→ bode(num,den,w)

I Diagrama de Nyquist: nyquist(num,den)I Ejes: axis([Re1 Re2 Im1 Im2])

I Margen de Fase y Ganancia: [Gm,pm,wcp,wcg]=margin(num,den)

N

ConclusionesI El método de ZNM permite una sintonización de

parámetros en el dominio de la frecuenciaI Es más flexible que los métodos 1 y 2 de ZNI Desventajas:

I Se posiciona un único punto del diagramaI Las propiedades del sistema en lazo cerrado pueden

modificarse bruscamenteI Es necesario estudiar la forma final del diagrama

I Cuidado con la bibliografía:

N

ConclusionesI El método de ZNM permite una sintonización de

parámetros en el dominio de la frecuenciaI Es más flexible que los métodos 1 y 2 de ZNI Desventajas:

I Se posiciona un único punto del diagramaI Las propiedades del sistema en lazo cerrado pueden

modificarse bruscamenteI Es necesario estudiar la forma final del diagrama

I Cuidado con la bibliografía:

N

Gracias

GRACIAS

N

Gracias

GRACIAS

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