Upload
others
View
25
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Dokuz Eylül Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Endüstri Mühendisliği
Metalurji & Malzeme Mühendisliği
END 3618 & END 4822 Kalite Planlama & Kontrol
Mayıs - 2019
Bölüm 12: Standart Örnekleme Planları ve
Değişkenlere Göre Kabul Örneklemesi
Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN
Dodge-Roming Örnekleme Planları Dodge-Roming tabloları, ürünlerin niteliklere göre kontrolüne yönelik
olarak, iki tip örneklem planı için (i) Parti toleransı (PT), (ii) Çıkan
ortalama kalite limiti (AOQL) kriterlerine dayanarak tek ve çift katlı
örnekleme muayeneleri için hazırlanmıştır.
Kritik öneme sahip malzeme ve parçalar için, AQL odaklı
örnekleme planlarından (MIL STD 105E) ziyade, PT koruması
sağlayan Dodge-Roming planlarının kullanılması tercih edilmektedir.
Birçok üretici firma artık, 1 milyon adet üretimde karşılaşılan hatalı
parça sayısını (Defective parts per million – ppm) performans
göstergesi olarak kabul etmektedir.Çok küçük AQL’lerin kullanılması
durumunda dahi, fazla sayıda hatalı
parçalarla karşılaşılması söz
konusu olabilmektedir.
Tüketiciye kalite güvence sağlayan
örnekleme planlarıdır.
Özellikle kompleks yapıdaki ürünlerde, bunun etkisi daha da fazladır.
Örneğin, 100 parçadan oluşan bir elektrik devresi üretiminde, üretim
esnasında her bir parça için kabul edilebilir kalite seviyesinin AQL =
%0.5 olması durumunda (Her bir parça üretiminde %0.5 hata olasılığı),
üretilen elektrik devresinin fonksiyonlarını istenilen/uygun şekilde
yerine getirebilme olasılığı:
Düşük AQL seviyesinde dahi, PT koruması sağlayacak örneklem
planlarının kullanılması gerekliliği ortaya konulmuştur. Bu nedenle,
LTPD (Lot tolerance percent defective) planları, ortalama toplam
muayeneyi minimize edecek şekilde tasarlanmıştır.
Dodge-Roming AOQL planları ise, verilen bir AOQL için ortalama
toplam muayene ve belirlenen proses ortalamasını (p) minimize
edecek şekilde tasarlanmıştır. Bu da, Dodge-Roming örnekleme
planlarını tesis içerisinde yarı mamullerin muayenesi için kullanışlı
hale getirmektedir.
Dodge-Roming Örnekleme Planları
Dodge-Roming tablolarında, reddedilen partilerin %100 muayene ilehatasız duruma getirilmesi esasına dayanılarak, toplam muayeneyiminimum kılan kabul planları, ortalama hatalı/kusurlu oranı (p)verildiğinde, gelen parti ölçümlerine göre n ve c değerlerini verir.
Üretici-tüketici arasındaki anlaşmalar, reddedilen partilerin üreticiyegeri gönderilmesi kararına göre yapıldığında ise bu tablolardanyararlanılmaz.
Reddedilen partilerin üreticiye geri gönderilmesinin tüketici içinyaratacağı sakıncalar göz önüne alınarak, uygulamalarda genellikle,reddedilen parti %100 muayene ile bütün hatalı birimlerhatasızlarla değiştirildikten sonra teslim alınmak üzere planlanankabul planları kullanılır.
Dodge-Roming tablolarını kullanmak için yüksek bir prosesortalaması (p) seçildiğinde, herhangi bir büyüklükteki parti içinbelirlenen örneklem ölçümü de büyük olacaktır.
Dodge-Roming Örnekleme Planları
Proses Ortalamasının Tahmin Edilmesi
Dodge-Roming planlarını kullanmak için proses ortalamasının (Satın
alınan malzemeler için ortalama kusurlu oranı) bilinmesi gereklidir.
Eğer tedarikçi ile ilişkiler yeni ise, tedarikçinin proses ortalamasının
kesin ve net bir şekilde bilinmesi söz konusu değildir.
Bu nedenle, uygun örnekleme planlarının oluşturulması için,
tedarikçinin proses ortalaması, geçmiş örneklem verilerine
dayandırılarak tahmin edilebilir.
Proses ortalamasını tahmin etmek için tedarikçiden satın alınan ilk 25
parti için kusurlu oranı – p kontrol grafiği kullanılabilir. Kusurlu
oranı, üst kontrol limitini aşan partiler reddedilir.
Alternatif olarak, tedarikçinin proses ortalaması hakkında daha doğru
bilgiler edinceye kadar, Dodge-Roming tablolarındaki en yüksek
proses ortalaması değerleri kullanılabilir.
Tek Katlı Kabul Örneklemesi için PT Tabloları
Dodge-Roming LTPD tabloları, tüketici riskinin 𝜷 = 𝟎. 𝟏 olacak şekilde
tasarlanmıştır.
Bir başka ifadeyle, belirlenen PT değerinde partinin kabul olasılığı
%10’dur.
Tablolar, %0.5, %1, %2, %3, %4, %5, %7 ve %10 PT değerleri için
geliştirilmiştir.
PT tablolarında, proses ortalaması, ‘0’ ile PT değerinin yarısına kadar
verilmiştir.
Daha yüksek proses ortalamaları için %100 muayene daha ekonomik
olacaktır.
Bu nedenle, eğer proses ortalaması, PT değerinin yarısından fazla ise
kabul örneklemesi yerine %100 muayene gerçekleştirilir.
Örnek - 1
Bir işletme tedarikçisinden N = 5000 birimlik partiler halinde hammaddesatın almaktadır.
Tedarikçinin imalat sürecinde ortalama kusurlu oranı p = %0.25’dir.
Tedarikçi ile yapılan sözleşmede, parti toleransı, PT=%1 olarakbelirtilmiştir (%10 kabul olasılığına karşılık gelen kusurlu oranı),
İşletmenin, tek katlı kabul örneklemesi gerçekleştirdiği bilindiğine göre,Dodge-Roming tablolarını kullanarak;
a) Örnekleme planı için alınması gereken örneklem büyüklüğü (n) vekabul sayısı (c) ne olmalıdır ?
b) İşletme ile tedarikçisinin sürekli olarak aynı parti büyüklüğü ile çalıştığıvarsayılırsa ve işletmenin reddettiği partilerin %100 muayeneye tabitutularak, kusurlu parçaların yenileri ile değiştirildiği varsayılırsa, bu kabulörneklemesi planı için, çıkan ortalama kalite limiti, AOQL (Ürün içinmaksimum kusurlu oranı) ne olacaktır ?
LTPD = %1 Tek Katlı Örnekleme için
Dodge-Roming Tablosu
Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi ve AOQL Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi (AOQ), reddedilen partiler %100
muayeneden geçirilip, kusurlu parçalar ayıklandıktan sonra tüm
partilerin ortalama kalite düzeyini belirlemeye yarar.
Bir başka deyişle, partinin reddi durumunda %100 muayeneye
geçilir ve uygun olmayan ürünler, uygun olanlar ile değiştirilir ya da
yeniden işlenir. Ortalama çıktı kalitesi, bu tür düzeltmeli örnekleme
planlarının değerlendirilmesinde kullanılmaktadır.
AOQ’nun maksimum değerine, çıkan ortalama
kalite limiti (AOQL) denir. AOQ’nun maksimum
olması, satın alınan malların maksimum kusurlu
mal olduğunu gösterir.
AOQ girdi kalitesi ile çıktı kalitesi arasındaki
ilişkiyi göstermektedir.
Gelen partilerin kusurlu oranı değiştikçe, çıkan
ortalama kalite de değişecektir.
Çıkan Ortalama Kalite (AOQ) Bir örnekleme planı uygulandığında partinin reddedildiği durumlar
olabilir. Reddedilen bu parti, %100 muayeneye tabi tutularakkusurlular ayıklanır ve yerine kusursuz (sağlam) parçalar konulur.
Dolayısıyla, reddedilip te düzeltmeye tabi tutulan söz konusupartide "kusurlu oranı = sıfır" olacaktır.
Ancak, plana göre "kabul edilen" partide belirli bir oranda "kusurlubirim" bulunacaktır. Bu durumda, kabul planı uygulandıktan sonrapartinin kalite düzeyinde bir artış olacağı açıktır.
Özetle, tüketici uygulanan kabul planı ile (kabul veya reddedilen)partiler toplamında bulunması mümkün olan "en kötü kaliteyi"bilmek ister. İşte, reddedilen partiler ayıklanıp, kusurlular atıldıktansonra, bütün partilerdeki ortalama kusurlu yüzdesi ortalama çıkışkalitesini verir.
Bu yüzde, kusursuz partilerin (%100 muayene edilmiş veayıklanmış) ve hala yaklaşık olarak belli bir p kusur yüzdesi içerenpartilerin ortalamasıdır.
Partiler kusurlu üretim oranı (Ortalama Girdi Kalitesi AIQ -Average incoming quality) p olan bir üretimden geliyor olsun,
Parti büyüklüğü N olsun ve tüm fark edilen uygun olmayanürünler sağlam olanlarla değiştirilsin. Bu durumda;
Örnekteki n ürün, uygun olmayanlar sağlam olanlarla değiştirileceğiiçin, kusurlu içermez.
Parti reddedilirse, N – n ürün kusurlu içermez.
Parti kabul edilirse, N – n üründeki kusurlu miktarı, p.(N – n)olacaktır.
Böylece, bir muayene işlemi sonunda kusurlu ürünlerin beklenendeğeri, Pa. p. (N – n) olacaktır (Pa partinin kabul olasılığı).
Çıkan Ortalama Kalitenin (AOQ) Hesaplanması
Bir işletme, N = 10000’lik partiler halinde hammadde satın almakta
olup, giriş kalite kontrol işlemlerinde, n = 89 ve c = 2 olan tek katlı
kabul örneklemesi uygulamaktadır. İşletmeye gelen bir parti malın
kusurlu oranı p = 0.01 ise, parti için çıkan ortalama kalite (kusurlu
oranı) ne olacaktır ?
Not: Örnek hacmi, parti hacmine nazaran çok küçük olduğundan,
kabul olasılığı hesaplanırken, Hipergeometrik dağılım yerine
(İadesiz örnekleme), Binom dağılımı (İadeli örnekleme)
kullanılabilir. Ayrıca, çıkan ortalama kalite (AOQ), yaklaşık olarak
hesaplanabilir.
Örnek - 2
Örnek 3: Çıkan Ortalama Kalite Limiti (AOQL)
Yandaki tabloda, farklı satın alma partilerine (hammadde) ilişkin kusurlu
oranları (Giren ortalama kalite düzeyleri) verilmiştir. İşletme her
seferinde tedarikçisinden N = 5000 adetlik partiler halinde hammadde
satın almakta olup, tek katlı kabul örneklemesi (n =30 ve c = 1)
uygulamaktadır. İşletmenin ürettiği ürüne ilişkin çıkan ortalama kalite
limitini (AOQL) hesaplayıp, yorumlayınız.
AOQ’nun maksimum değeri, AOQL
= 0.028’dir.
Çıkan ortalama ürün kalitesi için,
kusurlu oranı en fazla %2,8
olacaktır.
Örnek 4: Tek Katlı Örnekleme Planında
AOQL Hesaplanması
Tek katlı kabul örneklemesi planı dahilinde (N= 300, n=24, c=2) için
çeşitli kusurlu oranlarına (Giren ortalama kalite düzeyleri) ait
kabul olasılıkları hesaplanarak, aşağıdaki tabloda verilmiştir.
a) Çıkan ortalama kalite limiti değerini bularak yorumlayınız.
b) Partiler halinde üretim gerçekleştiren bu işletme için, parti başına
maksimum kusurlu ürün sayısının ne kadar olmasını beklersiniz ?
Çift katlı örnekleme planı dahilinde (N= 400 , n1=10 , c1=0 , n2=20,
c2=3) için çeşitli kusurlu oranları ve bunlara karşılık gelen P(a) kabul
olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. a) AOQL değerini
hesaplayıp, yorumlayınız. b) Partiler halinde üretim gerçekleştiren bu
işletme için, parti başına maksimum kusurlu ürün sayısının ne kadar
olmasını beklersiniz ?
Örnek 5: Çift Katlı Örnekleme Planında
AOQL Hesaplanması
Bir işletme, tedarikçisinden N = 5000’lik partiler halinde
hammadde satın almaktadır. Tedarikçinin üretim prosesine ait
kusurlu oranının ortalamasının p = %1 olduğu bilinmektedir.
İşletme, çıkan ortalama kalite limitinin AOQL = %3 olmasını
istemekte ve tek katlı kabul örneklemesi uygulamaktadır.
a) Partiden alınması gereken örneklem büyüklüğü (n) ve kabul sayısı
(c) ne olmalıdır ?
b) Bu örneklem planı için parti toleransı, LTPD nedir ? (Bu durumda,
gelen partilerin %90’ının reddedileceği kusurlu oranı nedir ?)
Örnek – 6: Tek Katlı Kabul Örneklemesi için
AOQL Tabloları
AOQL = %3 Olduğu Tek Katlı Örnekleme
Planı için Dodge-Roming Tablosu
Örnek 7: Dodge- Romig Tabloları Kullanarak
Çift Katlı Örnekleme Planının Oluşturulması
N = 5000 birimden oluşan bir partinin ortalama kusurlu yüzdesi
%1’dir. AOQL=%3 olmak üzere, İki Katlı Örnekleme Planını
oluşturunuz.
Bu planın LTPD değeri nedir ? Buna göre % kaç kusurlu içeren
partiler, %90 güvence ile reddedilecektir ?
Değişkenlere Göre Örnekleme Planları Avantajları: (i) Niteliklere göre örnekleme planlarından daha az örneklem
büyüklüğü ile çalışılarak aynı operasyon karakteristik eğrisi elde edilebilir.
Tahribatlı muayene durumunda, değişkenlere göre örnekleme, muayenemaliyetlerini azaltacağından daha kullanışlıdır (Daha küçük örneklem grubu).
(ii) Ölçüm verisi, üretim/imalat süreci hakkında daha fazla bilgi sağlar.
(iii) Kabul edilebilir kalite düzeyinin (AQL) çok küçük olduğu durumlarda;niteliklere göre örnekleme planlarında örneklem büyüklüğü çok fazla olması gerekir.
Dezavantajları: (i) Kalite karakteristiğine ilişkin dağılımın bilinmesi gerekir. Birçokdeğişkenlere göre standart örnekleme planı, kalite karakteristiğinin normaldağıldığını varsayar.
(ii) İncelenen her bir kalite karakteristiği için ayrı ayrı örnekleme planıoluşturulur. Niteliklere göre örnekleme planlarında ise tek bir örnekleme planı ileçalışılır.
(iii) Parti, gerçekte hiç kusurlu ürün içermemesine rağmen, değişkenlere göreörnekleme planı ile reddedilmesi mümkündür.
Değişkenlere Göre Örnekleme Plan Tipleri Değişkenlere göre örnekleme prosedürleri ikiye ayrılır:
(i) Parti veya prosesteki kusurlu oranının (kalite düzeyi) kontrolü,
(ii) Parti veya proses parametrelerinin (Genellikle: ortalama) kontrolü.
Parti veya prosesteki kusurlu oranının kontrolünde, kalite karakteristiği
değişken türünde olduğundan, alt/üst veya her iki spesifikasyon limiti de söz
konusu olabilir.
p partideki kusurlu oranını temsil etmektedir ve kusurlu oranı ile normal
dağılan bir kalite karakteristiği için parti/proses ortalaması µ ve standart
sapması σ arasında fonksiyonel bir ilişki vardır. Bu ilişki normal dağılım
eğrisinin altında kalan olup, 𝑍𝐿𝑆𝐿 veya 𝑍𝑈𝑆𝐿 ile gösterilir.
Standart sapma biliniyorsa, partiden
örneklem alınarak, örneklem ortalamasının
değerine göre, kusurlu oranının kabul
edilebilir seviyede olup/olmadığı araştırılır.
Standart sapma sabit ise, kusurlu oranı
örneklem ortalamasına bağlı olarak değişir.
Standart sapma sabit ise, kusurlu oranı doğrudan doğruya ortalamaya
bağlı olarak değişir.
Ortalama, spesifikasyon limitine ne kadar yakınsa, kusurlu oranı o derece
büyür.
Standart sapma sabit değilse, kusurlu oranı hem ortalama hem de
standart sapmadan etkilenir.
1. Standart sapma belli
1.1. Tek özellik limiti söz konusu ise,
1.2. Çift özellik limiti söz konusu ise,
2. Standart sapma belli değil,
2.1. Tek özellik limiti söz konusu ise,
2.2. Çift özellik limiti söz konusu ise.
Değişkenlere Göre Örnekleme Planları
Prosedür - I Partiden rastgele n hacminde örnek alınarak, örneklem ortalaması 𝑿
ve alt spesifikasyon (özellik) limiti (LSL) arasındaki uzaklık/mesafe,
standart sapma cinsinden hesaplanır:
Hesaplanan bu mesafe ne kadar büyükse, bir başka ifadeyle;
örneklem ortalaması özellik limitinden ne kadar uzakta ise, parti
kusurlu oranı o kadar küçük olacaktır.
Parti kusurlu oranı (p) için aşılmaması gereken bir kritik değer (Eşik
değer) belirlenirse, bu oran k-kritik uzaklığa dönüştürülerek, partinin
kabul veya red kararı verilebilir.Parti ortalaması, özellik limitinden yeterince
uzak ve parti kusurlu oranı kabul edilebilir
seviyede; parti kabul edilir.
Parti reddedilir.
Partiden rastgele n hacminde örnek alınarak, 𝒁𝑳𝑺𝑳 hesaplanır.
Bu uzaklık değeri kullanılarak, standart normal dağılım eğrisi altında
kalan hesaplanarak, parti kusurlu oranı tahmin edilmeye çalışılır, veya;
Elde edilen tahmin değeri 𝑝 , önceden belirlenen maksimum kusurlu
oranı değerini (M) aşarsa, parti reddedilir.
Kalite karakteristiği için üst özellik limiti söz konusu ise test istatistiği:
Standart sapma bilinmiyorsa, test istatistikleri hesaplanırken, σ
yerine örneklem standart sapması s (nokta tahminleyicisi) kullanılır.
Örneklem aralığı, R kullanılarak ta standart sapma tahmin edilebilir.
Prosedür - II
𝑸𝑳𝑺𝑳 standart normal dağılan rastgele değişkeni
kullanılarak, kusurlu oranı p tahmin edilir.
Kalite karakteristiği için hem alt hem de üst özellik limiti
söz konusu ise, prosedür – II’de M metodu kullanılır.
Değişkenlere Göre Örneklem Planlarının
Kullanımı için Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar İlgilenilen kalite karakteristiğinin hangi dağılıma uyduğu bilinmelidir. İlgilenilen
kalite karakteristiğinin normal dağılım gösterdiği varsayılır.
Eğer kalite karakteristiği normal dağılım özelliği göstermiyorsa; örneklem ortalaması
ve standart sapması kullanılarak tahmin edilen parti kusurlu oranı, normal dağılım
varsayımı ile hesaplanan değer ile aynı olmayacak ve parti kusurlu oranından
(Popülasyon kusurlu oranı) önemli ölçüde sapma gösterebilecektir.
Özellikle, çok küçük kusurlu oranları ile ilgilenildiğinde, normal dağılmayan bir
kalite karakteristiği için tahmin edilen kusurlu oranı ile normal dağılan için tahmin
edilen kusurlu oranı arasındaki fark oldukça fazla olacaktır.
Örneğin, normal dağılan bir kalite karakteristiği için örneklem ortalaması, üst
spesifikasyon limitinin 3σ gerisinde ise, parti en fazla %0.135 oranında kusurlu
içerirken; kalite karakteristiğinin normal dağılmaması durumunda bu oran, ortalama
spesifikasyon limitinin 3σ gerisinde olmasına rağmen, %1 ve daha fazla olabilmektedir.
Belirlenen Bir Operasyon Karakteristik Eğrisi ile
Değişkenlere Göre Örnekleme Planı Tasarlanması
Prosedür-I’deki k-metodu kullanılarak, belirli bir OC eğrisine sahip
değişkenlere göre kabul örnekleme planı tasarlanabilmektedir.
𝑝1, 1 − 𝛼 ve 𝑝2, 𝛽 ilginlenilen OC eğrisinin iki noktası olsun. 𝑝1 ve
𝑝2 kabul edilebilir kalite seviyesi (AQL) ve reddedilebilir kalite
seviyesidir (LTPD – Parti toleransı).
Değişkenlere göre örnekleme planları için hazırlanan nomograf
kullanılarak, verilen koşulları (𝑝1, 1 − 𝛼 ve 𝑝2, 𝛽) sağlayan örneklem
büyüklüğü (n) ve k-kritik uzaklığı, standart sapmanın bilindiği ve
bilinmediği durumlar için bulunmaktadır.
Belirsizliğin fazla olduğu durumda (standart sapmanın bilinmediği),
örnek hacmi daha fazla olacak; ancak aynı k-kritik uzaklık değeri
kullanılacaktır. Ayrıca, verilen bir örnekleme planı için nomograf
kullanılarak belirli bir kusurlu orana ait kabul olasılığı da bulunabilir.
Değişkenlere Göre Örnekleme
Planlarının Tasarımı için
Kullanılan Nomograf
Örnek 8: Değişkenlere Göre Örnekleme Planı Tasarımı
Bir meşrubat üreticisi, tedarikçisinden meyve sularının doldurulduğucam şişeleri satın almaktadır. Meşrubat üreticisi, cam şişelerinpatlamaya karşı dayanımı (kalite karakteristiği) için 225 psi altspesifikasyon limiti belirlemiştir. Eğer şişelerin %1 veya daha azıbelirlenen limitin altındaysa, meşrubat üreticisi partiyi %95 olasılıkla(𝑝1 = 0.01, 1 − 𝛼 = 0.95) kabul etmektedir.
Eğer şişelerin %6 veya daha fazlası belirlenen alt özellik limitininaltındaysa, parti %90 𝒑𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟔, 𝜷 = 𝟎. 𝟏 olasılıklareddedilmektedir. Uygun örneklem planını teşkil ediniz..
Öncelikle, %1 ve %6 kusurlu oranları ile %95 ve %10 kabulolasılığı değerlerini birleştiren doğrular çizilir. Bu doğruların kesişimnoktasındaki k-kritik uzaklık değeri 1.9 olarak elde edilir.
Kalite karakteristiğinin standart sapması verilmediği için (Standartsapma belli değil), kesişim noktasından yukarı doğru çıkan eğrininbitiminde örneklem büyüklüğü n = 40 olarak bulunur.
Gelen partiden rastgele 40 cam şişe alınarak, patlamaya karşı dayanımları ölçülür.
Örneklem ortalaması ve standart sapması kullanılarak 𝒁𝑳𝑺𝑳 test istatistiği hesaplanır.
Eğer 𝒁𝑳𝑺𝑳 ≥ 𝟏. 𝟗 ise parti kabul edilir.
Standart sapmanın bilindiği durumda ise, kesişim noktasından aşağı doğru dik inerek örneklem büyüklüğü n = 15 olarak bulunur.
Standart sapmanın bilindiği durumda, örneklem büyüklüğünde önemli ölçüde azalma sağlanır.
Standart Sapma Belli ve Tek Özellik Limiti Varsa Parti veya prosesten alınması gereken minimum örnek sayısı:
𝑍𝛼, üretici riski kabul olasılığına (1-α) karşılık gelen z standart değeri,
𝑍𝛽, tüketici riski kabul olasılığına (1-β) karşılık gelen z standart değeri,
𝑍1, Kabul edilebilir kalite düzeyi (AQL) için kabul olasılığına (1 − 𝑝1) karşılık
gelen z standart değeri,
𝑍2, Parti toleransı (PT) için kabul olasılığına (1 − 𝑝2) karşılık gelen z standart değeri,
𝑛 =𝑍𝛼 + 𝑍𝛽
𝑍1 − 𝑍2
2
Parti kabul edilir; aksi
durumda reddedilir.
Kritik k-uzaklığı, AQL ve PT için
ayrı ayrı hesaplanır ve ortalaması
alınarak 𝑘 , tek bir k değeri ile
karşılaştırma yapılabilir.
𝑘1 = 𝑍1 −𝑍𝛼
𝑛𝑘2 = 𝑍2 +
𝑍𝛽
𝑛
𝑘 =𝑘1 + 𝑘2
2
I. Yöntem
II. Yöntem
I. Yöntemde elde edilen 𝒌 kritik değeri, düzeltme faktörü𝒏
𝒏−𝟏ile
çarpılarak elde edilen standart değere karşılık gelen kusurlu oranı (M)
standart normal dağılım tablosundan bulunur. Bu değer, partiden ya
da prosesten beklenen kusurlu oranıdır.
Alt veya üst özellik limit değeri için bulunacak standart değer de,
düzeltme faktörü ile çarpılır ve elde edilen standart değere karşılık
gelen kusurlu oranı bulunur.
Elde edilen her iki kusurlu oranı karşılaştırılarak kabul ya da red
kararı verilir. Özellik limiti ile elde edilen standart değere karşılık
gelen kusurlu oranı, beklenen kusurlu oranından küçük ve eşit ise parti
kabul edilir; aksi durumda ise reddedilir.
Örnek 9: Standart Sapma Belli ve Tek bir
Özellik Limiti Söz Konusu ise AQL = %1 ve PT = %8 olarak belirlenen bir işletme için, üretici riskinin (1-α) %5 ve
tüketici riskinin (β) %10 olması halinde, imalattan çıkan ipliklerin gerilme
dirençlerinin kontrolü yapılacaktır.
Mamulün özellik alt limiti 425 gr/m olarak saptanmış olup, prosesin/partinin standart
sapması 20 gr/m olarak bilinmektedir.
a) Partiden alınacak örneklemdeki iplik gerilme dirençlerinin ortalamasının hangi değer
aralığında olması beklenir ?
b) Alınması gereken minimum örnek büyüklüğü ne kadar olmalıdır ?
c) Partiden alınan örnek değerleri: 417, 450, 433, 429, 455, 422, 438, 449, 462 ve 425 ise, I.
yöntem ve II. yöntemi kullanarak, tezgahtan çıkan mamulün ortalama özelliğinin, kabul
edilebilir bir kusurlu oranı verip vermediğini araştırınız. Partiyi kabul eder misiniz ?
d) Mamulün sadece üst özellik limiti olsaydı (450 gr/m), partiyi kabul eder miydiniz ?
Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu
Örneklemin standart sapması s kullanılarak işlemler yapılır.
Alınması gereken örneklem büyüklüğü aşağıdaki gibi hesaplanır:
Standart sapmanın bilinmediği durumda, örneklem hacmini veren oran bir
düzeltme faktörü ile çarpılır. Aynı zamanda, örnek hacminin
bulunabilmesi için k-kritik mesafe değerinin de hesaplanmış olması
gerekmektedir.
Standart sapma bilinmiyorsa, örneklem hacmi artmaktadır.
Standart sapma, parti (ana kitle, yığın) hakkında bilgi içerir.
Standart Sapma Belli Değil ve Tek Özellik
Limiti Varsa
𝑛 = 1 +𝑘2
2
𝑍𝛼 + 𝑍𝛽
𝑍1 − 𝑍2
2
𝑘 =𝑍𝛼 . 𝑍1 + 𝑍𝛽 . 𝑍2
𝑍𝛼 + 𝑍𝛽
Örnek 10: Standart Sapma Belli Değil ve
Tek bir Özellik Limiti Söz Konusu ise
a) Bir evvelki iplik gerilme direncinin analiz edildiği örnekte, standart
sapmanın bilinmediğini varsayarak ve sadece alt spesifikasyon limitinin
önemli olduğu durumda, k-kritik uzaklık değerini hesaplayıp, alınması
gereken minimum örnek sayısını bulunuz. Hesapladığınız değerleri,
standart sapmanın bilindiği durum ile karşılaştırınız.
b) Partinden alınması gereken minimum örnek sayısı kadar örneğin alınıp;
örnek standart sapmasının 18; iplik gerilme direnci değerlerinin
ortalamasının ise 445 bulunduğunu varsayarak, partinin kabul ya da
red edilme kararını I. yöntem ve II. yöntemi kullanarak veriniz.
Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu
Kalite karakteristiği için hem alt hem de üst özellik limiti belirlenmiş
ise ve parti için kalite karakteristiği değerlerinin normal dağıldığı
varsayılırsa, örneklem ortalamasının bu iki özellik limitinin tam
ortasında olması beklenir. Buradan, z istatistiği her iki limit için:
z istatistiğine karşılık gelen kusurlu oranı, standart normal dağılım
tablosundan bulunarak, parti hakkında kabul/red kararı verilir.
Standart Sapma Belli ve
Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise
∓𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿
2 𝜎aralığında değişecektir.
𝑋 − 𝐿𝑆𝐿
𝜎≥ 𝑘 𝑈𝑆𝐿 − 𝑋
𝜎≥ 𝑘 ise parti kabul edilir. ve
a) Bir evvelki iplik gerilme direncinin analiz edildiği örnekte, Alt ve üst
özellik limitleri 425 ve 450 olarak belirlenmiş, alınan örneklem ortalaması
438 bulunmuş ve parti standart sapmasının 20 olduğu bilindiğine göre, parti
hakkında kabul veya red kararı veriniz.
b) AQL = %1’inin 425 gr/m ve altında olan bir parti ile eşdeğer partinin
özelliklerini bulunuz.
c) PT = %8’inin 425 gr/m ve altında olan bir parti ile eşdeğer partinin
özelliklerini bulunuz.
Örnek-11: Standart Sapma Belli ve
Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise
Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu
Standart Sapma Belli Değil ve Çift Özellik
Limiti Söz Konusu ise
Kalite karakteristiği için hem alt ve hem de üst spesifikasyon limiti
söz konusu ise ve partinin/yığının standart sapma bilinmiyorsa; her iki
limit için ayrı ayrı örneklem planları düzenlemek bir çözümdür.
Çift özellik limiti söz konusu ise, partinin kabul edilebilmesi için
örneklem standart sapmasının, hesaplanan maksimum standart
sapma (MSS) değerinden küçük veya eşit olması gerekmektedir.
MSS hesaplanabilmesi için k-kritik uzaklık değeri hesaplanmış
olmalıdır veya nomograflar kullanılarak bu değer tespit edilebilir.
𝑀𝑆𝑆 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿
2 𝑘
Bir evvelki iplik gerilme direncinin analiz edildiği örnekte,
ÜSL = 450, ASL = 425 gr/m olarak belirlenmiş ve partiden alınan 27
örneğin ortalaması 445, standart sapması 18 olarak hesaplanmıştır
(Partinin ilgili kalite karakteristiği için standart sapması
bilinmemektedir). Partinin kabul/red kararını veriniz.
Örnek-12: Standart Sapma Belli Değil ve
Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise
Örnek-13
Ürününüzün ana parçalarından birine ait kalite planı değerleriniz şu
şeklidedir; p1= 0.008, p2=0.025, α = 0.04 ve β = 0.08. Bu parça için
uyguladığınız özellik limitleri de 125 – 148 olarak belirlenmiştir.
a) Parça için ilgili kalite karakteristiğine ait standart sapmanın 5 olduğu
biliniyor ise, partiden kaç adet gözlem alınması gereklidir? Aldığınız
örneklemin ortalaması ne olursa partiyi kabul edersiniz, yorumlayınız.
b) Parça için ilgili kalite karakteristiğine ait standart sapmanın
bilinmediğini varsayarsak, bu kez partiden kaç adet gözlem alınması
gereklidir? Belirlediğiniz adet kadar alınan örneklemin ortalaması 128
ise, partiyi kabul etmek için aldığınız örneklemin standart sapması ne
olmalıdır?
Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu
Proses veya Parti Değişkenleri Açısından
Kalite Güvencesi Veren Planlar
Bu tür planlar, malzemelerin kusurlu oranı açısından değil de,
ortalama kalitesi ya da kalitedeki değişimler açısından güvence
sağlayan planlardır.
Daha çok kutu, torba, varil gibi kaplar içerisinde döküm
şeklinde gelen malzemelerin kabul kontrolü için kullanılır.
Temel varsayım, proses ya da partideki birimlerin incelenen kalite
karakteristiğinin normal dağılım özelliği göstermesidir.
Bu tür planlarda da, standart sapmanın bilindiği ve bilinmediği
durumlar ile tek veya çift özellik limiti olması durumları dikkate
alınmaktadır.
Standart Sapma Belli ve Tek Özellik Limiti
Söz Konusu ise Öncelikle, malzemenin iyi kalite sayılabileceği bir özellik ortalaması
𝑿𝟏ile daha aşağı bir değer taşıdığında istenmeyen kaliteyi oluşturacakbir alt limit ortalama değeri 𝑿𝟐 belirlenir.
Proses veya parti standart sapması bilindiğine göre, plan için α ve βdeğerleri belirlenir.
Malzemenin ortalama kalitesini belirleyen ve kabul limiti olarakadlandırılan 𝑿𝒌 değeri ve örneklem büyüklüğü n hesaplanır.
𝑋𝑘 ve örneklem büyüklüğü n değerleri için üretici riski ve tüketici riskiaçısından aşağıdaki iki eşitlik oluşturulmuştur:
Belirlenen n adet örnek alınıp, ölçümler yapılır ve ölçüm ortalaması 𝑿ö ≥ 𝑿𝒌 ise malzeme kabul edilir.
𝑋𝑘 − 𝑋1
𝜎
𝑛
= −𝑍𝛼
𝑋𝑘 − 𝑋2
𝜎
𝑛
= +𝑍𝛽
Örnek 14: Standart Sapma Belli ve Tek
Özellik Limiti Söz Konusu ise
Belirli kalite karakteristiği açısından malzemenin iyi sayılması için
sahip olması gereken değer 𝑿𝟏= 13.5 ve özellik alt limiti değeri de 𝑿𝟐= 13 olarak belirlenmiştir.
Prosesin standart sapması σ = 0.512 olarak bilinmektedir.
Üretici ve tüketici riski standart değerleri sırasıyla α = 0.05 ve β = 0.10
olarak belirlenmiştir.
Üretici riski kabul olasılığı, iyi sayılacak malzemenin kabul olasılığıdır.
Tüketici riski kabul olasılığı ise, alt limit değerinden daha düşük
malzemeyi kabul etmeme olasılığıdır.
Alınması gereken minimum örneklem büyüklüğünü bulunuz.
Minimum örnek büyüklüğü ile alınan örneklemin ortalamasının
13.30 olması durumunda partinin kabul/red kararını veriniz.
Örnek 15:
Bir işletme tedarikçisinden satın aldığı bir hammadde için emisyon
seviyesi 0.3 ppm’in altında olduğu sürece, partiyi kabul etmektedir.
Bir başka ifadeyle, emisyon düzeyi 0.3 ppm olan bir partinin kabul
edilme olasılığı %95’tir.
Emisyon seviyesi 0.4 ppm’e yükseldiğinde ise kabul olasılığı %10’a
düşmektedir.
Geçmiş deneyimlerden emisyon düzeyi için mümkün olan en yüksek
standart sapma değerinin 𝝈 = 𝟎. 𝟏𝟎 ppm olduğu bilinmektedir.
a) Emisyon seviyesinin hangi değerden yüksek olması halinde, gelen
partiler reddedilir ?
b) Partiden alınması gereken minimum örneklem büyüklüğü ne
kadar olmalıdır ?
Standart Sapma Belli ve Çift
Özellik Limiti Söz Konusu ise Malzeme için alt ve üst spesifikasyon limiti söz konusu ise, kabul limiti de
iki tane olacaktır ( 𝑋𝑘𝑎 ve 𝑋𝑘ü). Örneklem büyüklüğü ve kabul limitleriaşağıdaki 3 eşitliğin ardışık çözümü ile elde edilir.
Tüketici alt limitin altına inmemeyi tercih eder. Bu nedenle, 𝒁𝜷 tek yanlı
olarak alınır. Üretici ise hem alt hem de üst limiti aşmamak ve ortalamadeğerde kalmak ister, bu nedenle 𝒁𝜶 değeri çift yanlı olarak alınır.
1. ve 3. denklemler kullanılarak örneklem büyüklüğü n hesaplanır.
1. denklemde yerine konularak, üst özellik limiti için kabul limitihesaplanır. Alt özellik limiti için normal muayene durumunda kabul limiti, 𝑿𝒌𝒂 = 𝑼𝑺𝑳 + 𝑳𝑺𝑳 − 𝑿𝒌ü olarak hesaplanır. Eğer n değeri, 3. denklemdeyerine konularak hesaplama yapılırsa, bulunacak değerler sıkı muayene içingeçerli olacaktır.
𝑋𝑘ü − 𝑈𝑆𝐿
𝜎
𝑛
= −𝑍𝛽
𝑋𝑘𝑎 − 𝐿𝑆𝐿
𝜎
𝑛
= +𝑍𝛽
𝑋𝑘ü,𝑎 − 𝑋1
𝜎
𝑛
= ±𝑍 𝛼2
Örnek 16: Standart Sapma Belli Çift Özellik
Limiti Söz Konusu ise
Bir yakıt besleme pompasında, motorun eksantrik miline basan dilin
sertliğinin 64 ± 4 Rockwell olması istenir. Daha sert metal, eksantrik
miline zarar verebilir veya kırılabilir. Daha yumuşak metal ise çabuk
aşınır ve eğilebilir.
Isıl işlem prosesinin standart sapması 2 Rockwell’dir.
Üretici ve tüketici riskleri standart değerleri ile kabul edilmektedir.
a) Pompaya monte edilecek dil parçasını oluşturacak metalden kaç
birim örnek alınmalıdır ?
b) Normal muayene için kabul limitleri ne olmalıdır ? Sıkı muayene
yapılmak istenirse kabul limitleri ne olmalıdır ?
Not: Normal muayeneye göre; sıkı muayene ile elde edilen kabul
limitlerinin daha dar olması beklenir.
Standart Sapma Belli Değil ve Tek Özellik
Limiti Söz Konusu ise
Parti veya prosesin standart sapması bilinmiyorsa, karar
aşamasında normal dağılımdan türeyen, t-istatistiğinden yararlanılır.
Partiden belirli miktarda örneklem alınarak, örneklem ortalaması
ve standart sapması hesaplanarak; örneklem için 𝒕ö istatistiği
hesaplanır.
n-1 serbestlik derecesi dikkate alınarak, üretici riski veya tüketici
riski güven düzeyi için t-dağılım tablosundan 𝒕𝒕 değeri okunur.
𝒕ö ≤ 𝒕𝒕 ise parti kabul edilir; aksi halde reddedilir.
Örnek 17: Standart Sapma Belli Değil ve
Tek Özellik Limiti Söz Konusu ise
Bir malzemenin ölçülebilen bir kalite karakteristiği için üst özellik
limiti 24.5 birim olarak belirlenmiştir.
Satın alınan partiden alınan örneklerin ölçümleri sonucu: 22, 27, 23,
25, 26, 24, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 23, 25 ve 24 birimdir.
Partinin durumunu a) Üretici riski b) Tüketici riski açısından
irdeleyiniz.
Standart Sapma Belli Değil ve Çift Özellik
Limiti Söz Konusu ise
Satın alınan malzemenin hem alt hem de üst özellik limiti söz
konusu ise alt ve üst limitler için ayrı ayrı örneklem planı
düzenlenebilir.
Bir başka deyişle, bir alt bir de üst özellik limiti için 𝒕ö istatistiği
değerleri hesaplanır.
Üst özellik limiti için hesaplanan 𝒕ö istatistiği değerini %95, alt
özellik limiti için hesaplanan 𝒕ö istatistiği değerini %90 güven
düzeyi açısından tablo değerleri ile karşılaştırmak uygun olur.
Bir malzeme için özellik toleransı 48 ± 2 olarak belirlenmiştir.
İmalat sürecinin standart sapması bilinmemektedir.
Gelen malzemeden 30 birim örnek alınarak özellik değeri ölçülmüş
ve bu değerlerin ortalaması 𝑿ö = 𝟒𝟕. 𝟓 ve ölçüm değerlerinin
standart sapması s = 5 olarak bulunmuştur.
Malzemenin kabul kontrolünü a) Üretici riski, b) Tüketici riski
açısından gerçekleştiriniz.
Örnek 18: Standart Sapma Belli Değil ve
Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise
Kaynakça
Douglas C. Montgomery (2009). Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, Inc.
Demir Aslan (2003). Proses Kontrol ve Toplam Kalite, DEU Mühendislik Fakültesi Basım Ünitesi.
Şanslı Şenol (2012). İstatistiksel Kalite Kontrol, Nobel Akademik Yayıncılık.
Tayfun Özdemir (2000). İstatistiksel Kalite Kontrol, A.Ü.F.F. Döner Sermaye İşletmesi Yayınları, 62.
Sermin Elevli. Kalite Kontrol Ders Notları.
http://content.lms.sabis.sakarya.edu.tr/Uploads/33730/50954/kal_12(kabul_%C3%B6rneklemesi).pdf
http://www.uzaktanegitimplatformu.com/E_Oner_Kabul_Orneklemesi_EkDersNotu_2016.pdf
http://kisi.deu.edu.tr/cenk.ozler/ Kabul Örneklemesi Ders Notları
Yıllar boyunca hep sayılara inandım ve de nedenleri getiren denklemlere ve mantığa..
Bu şekilde geçen bir yaşamdan sonra, mantık aslında nedir ? diye soruyorum..
Nedenlerine kim karar verir ? Yaşamım matematik, fizik, metafizik & halüsinasyonlar
arasında gidip geldi..
Ve akademik kariyerim en önemli buluşunu yaptım.. Hayatımın da en önemli buluşu bu..
Mantıklı sebepler ancak ve ancak gerçek sevginin gizem dolu denklemlerinde bulunabilir.
John Forbes Nash, Jr.
Nobel ödülü konuşmasından (1994)