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DOIC, Fuzzy Power Flow
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Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica
e de Computadores
Decisão, Optimização e Inteligência
Computacional
Trânsito de Potências Difuso
23 – 04 – 2010
Trabalho realizado por:
Paulo Alexandre Alves Félix Turma 8
2
Índice:
Introdução ....................................................................................................................... 3
Trânsito de Potências AC Difuso ..................................................................................... 4
Trânsito de Potência Activa ik.................................................................................. 5
Trânsito de Potência Reactiva ik ............................................................................ 12
Trânsito de Potência Activa ki................................................................................ 15
Trânsito de Potência Reactiva ki ............................................................................ 18
Perdas Activas Difusas ........................................................................................... 20
Perdas Reactivas Difusas ....................................................................................... 22
Trânsito de Potências DC Difuso ................................................................................... 24
Conclusões ..................................................................................................................... 25
Referências .................................................................................................................... 26
3
Introdução
No dia-a-dia nem todos os problemas se traduzem por números exactos, isto é, nem
todos os problemas têm um único valor como solução, pode ser um intervalo de valores. O
trânsito de potências é um exemplo da necessidade de utilização dos números difusos, já
que os valores das cargas nem são conhecidos com exactidão nem com antecedência, mas
espera-se que estejam num intervalo, pois há incerteza na previsão.
Neste trabalho vamos resolver o problema do trânsito de potências através de
métodos apropriados, com o objectivo de interiorizar mais facilmente o conceito de
números difusos, já que os modelos de trânsito de potência difusos permitem modelar e
determinar todos os estados possíveis do sistema.
Para poder resolver este trabalho vamos ter de utilizar alguns programas, como o
Power World e o Microsoft Office Excel, para o resolver de uma forma mais simples e mais
rápida. O Power World será utilizado numa parte inicial da resolução, onde iremos buscar os
valores centrais de constantes e ainda a matriz Jacobiana. O resto da resolução tratar-se-á
no Excel.
4
Trânsito de Potências AC Difuso
Vamos começar por apresentar os dados do problema.
Tabela 1 – Barramentos
Tabela 2 - Linhas
Sendo que a potência de base do sistema é de 100 MVA.
Através da análise dos dados, concluímos que o barramento 1 é do tipo PV, o 2 é o
barramento de compensação e de referência, enquanto que os barramentos 3, 4 e 5, são do
tipo PQ.
Colocando então o sistema no Power World, usando como valores de potência a
produzir e de cargas, os valores centrais de cada número triangular, que são representados
pela letra b, e colocando também os valores das características das linhas.
5
Trânsito de Potência Activa ik
A rede implementada no Power World foi a seguinte:
Figura 1 – Rede do sistema no Power World
Agora através do Power World vamos retirar os valores da matriz Jacobiana, que
apresenta os seguintes valores:
49,44 -33,95 -5,62 -4,19 -11,16 -1,85 -1,31
-33,9 38,16 0 0 12,28 0 0
-5,61 0 30,62 -16,57 0 10,03 -5,26
-4,13 0 -16,37 20,5 0 -5,78 6,38
11,37 -13,01 0 0 37,71 0 0
1,89 0 -10,35 5,2 0 30,53 -16,77
1,47 0 5,79 -7,26 0 -16,37 20,42
Tabela 3 – Matriz Jacobiana
Esta matriz terá de ser invertida para utilizar mais à frente. Invertendo a matriz
Jacobiana ficamos com a seguinte matriz:
6
0,07238 0,06453 0,03775 0,04541 0,00041 0,00121 0,00117
0,06419 0,08082 0,03348 0,04028 -0,00732 0,00107 0,00104
0,03696 0,03295 0,07107 0,06461 0,00021 -0,01539 -0,01215
0,04412 0,03934 0,06492 0,10517 0,00025 -0,01050 -0,02193
0,00032 0,00843 0,00017 0,00020 0,02387 0,00001 0,00001
0,00095 0,00085 0,01933 0,01762 0,00001 0,05280 0,04290
0,00076 0,00068 0,01571 0,02993 0,00000 0,04287 0,07892
Tabela 4 – Inverso da matriz Jacobiana
Do Power World retiramos ainda os valores centrais do vector X, ou seja, retiramos
os valores centrais das fases e das tensões dos barramentos onde esses valores ainda não
são conhecidos. Retiramos também os valores do trânsito de potências central nas linhas.
Os valores dados pelos Power World são apresentados de seguida.
Xctr θ1 (rad) -0,04398
θ3 (rad) -0,04590
θ4 (rad) -0,04747
θ5 (rad) -0,06545
V3 (p.u.) 1,00765
V4 (p.u.) 1,00038
V5 (p.u.) 0,98814
Tabela 5 – Fases e tensões obtidas pelo Power World
Nó i Nó k Pikb (p.u.) Qikb (p.u.)
1 2 -0,28957 -0,02196
1 3 0,09196 0,05721
1 4 0,03765 0,04747
1 5 0,12000 0,06328
2 3 0,23192 0,03432
2 4 0,49539 0,12812
4 5 0,36394 0,10837
Tabela 6 – Trânsitos nas linhas, no sentido ik
Agora vamos começar por calcular as potências injectadas centrais, para isso temos
que em cada barramento subtrair à potência gerada a potência consumida. Neste caso com
números triangulares vamos usar apenas os valores centrais. Os resultados obtidos foram
os seguintes:
Zctr P1 (p.u.) -0,04
P3 (p.u.) -0,32
P4 (p.u.) -0,16
P5 (p.u.) -0,48
Q3 (p.u.) -0,08
Q4 (p.u.) -0,04
Q5 (p.u.) -0,16
Tabela 7 – Potências injectadas centrais
7
Como é um número triangular precisamos ainda dos valores à esquerda e à direita
dos valores centrais, mas para os podermos calcular precisamos primeiro de calcular o
desvio que estes sofrem em relação aos valores centrais. Para o valor à esquerda,
representado por a, o menor valor, usamos a seguinte expressão:
ΔP1� a = Pga − Pcc
Para os valores à direita, a expressão é semelhante:
ΔP1� c = Pgc − Pca
Aplicando este raciocínio aos restantes nós obtivemos os seguintes resultados:
Δ~Z a c
Δ~P1 -0,12 0,16
Δ~P3 -0,04 0
Δ~P4 -0,04 0,08
Δ~P5 -0,04 0,08
Δ~Q3 -0,04 0
Δ~Q4 -0,024 0,016
Δ~Q5 -0,04 0,04
Tabela 8 – Desvio das potências injectadas
Para obter os valores das potências activa e reactiva difusas, temos que somar as
estes valores o módulo do valor central correspondente. A expressão será semelhante à
empregada no exemplo seguinte:
P1�a = ΔP1� a + P1ctr Aplicando então esta expressão os resultados obtidos são:
~Z a b c
~P1 -0,16 -0,04 0,12
~P3 -0,36 -0,32 -0,32
~P4 -0,2 -0,16 -0,08
~P5 -0,52 -0,48 -0,4
~Q3 -0,12 -0,08 -0,08
~Q4 -0,064 -0,04 -0,024
~Q5 -0,2 -0,16 -0,12
Tabela 9 – Potências injectadas difusas
As potências injectadas são números difusos, pois representam a incerteza
associada às potências injectadas em cada nó.
Agora calculam-se as tensões e as fases. Começando por calcular os desvios através
das expressões:
�ΔX�a� = [J(�)]�� × �ΔZ�a� + [J(�)]�� × �ΔZ�c� �ΔX�c� = [J(�)]�� × �ΔZ�c� + [J(�)]�� × �ΔZ�a�
8
De notar que as matrizes Jacobianas utilizadas acima, representam a parte positiva
e negativa da matriz Jacobiana apresentada na tabela 4.
Δ~X a c
Δ~θ1 -0,01469 0,01830
Δ~θ3 -0,01395 0,01652
Δ~θ4 -0,01192 0,01762
Δ~θ5 -0,01473 0,02180
Δ~V3/V3 -0,00135 0,00008
Δ~V4/V4 -0,00461 0,00567
Δ~V5/V5 -0,00613 0,00762
Tabela 10 – Desvios das tensões e fases
Para obter os valores das tensões e fases, apenas temos que somar os desvios das
fases aos valores centrais das mesmas, enquanto para as tensões temos de multiplicar o
respectivo valor apresentado na tabela 10 pelo valor central dessa tensão e depois ao
produto resultante somar o valor central da tensão. Os resultados são os seguintes:
~X a b c
~θ1 -0,0587 -0,0440 -0,0257
~θ3 -0,0599 -0,0459 -0,0294
~θ4 -0,0594 -0,0475 -0,0298
~θ5 -0,0801 -0,0654 -0,0436
~V3 1,0063 1,0077 1,0077
~V4 0,9958 1,0004 1,0061
~V5 0,9821 0,9881 0,9957
Tabela 11 – Valores difusos das tensões e fases
Agora para calcular os desvios dos trânsitos de potência activa nas linhas vamos
aplicar a seguinte expressão:
ΔP� �� = [A���] × [ΔZ�] Sendo que,
[A���] = �∂P��∂V�∂P��∂V�
∂P��∂θ�
∂P��∂θ� " ×
#$$$%[J��]�&[J��]�&[J��]�'[J��]�'(
)))*
Vamos então começar por calcular as derivadas, mas para isso também
necessitamos da matriz das condutâncias, [G], e das susceptâncias, [B]. A matriz [G] é
obtida através das seguintes expressões:
G�� = − R��(R��- + X��- )
, (i ≠ k)
G�� = −2G���3�
9
Aplicando as expressões, o resultado obtido foi:
16,2037 -1,8519 -11,1111 -1,8519 -1,3889
-1,8519 6,0185 -1,3889 -2,7778 0
-11,1111 -1,3889 12,5000 0 0
-1,8519 -2,7778 0 10,1852 -5,5556
-1,3889 0 0 -5,5556 6,9444
Tabela 12 – Matriz das condutâncias
A matriz das susceptâncias é calculada através das seguintes expressões:
B�� = X��(R��- + X��- )
, (i ≠ k)
B�� = −2B���3�
A matriz B obtida foi a seguinte:
-48,6111 5,5556 33,3333 5,5556 4,1667
5,5556 -18,0556 4,1667 8,3333 0
33,3333 4,1667 -37,5000 0 0
5,5556 8,3333 0 -30,5556 16,6667
4,1667 0 0 16,6667 -20,8333
Tabela 13 – Matriz das susceptâncias
Agora vamos calcular as derivadas, para isso vamos utilizar as seguintes expressões:
∂P��∂V� = −2G�� × V� + V� × (G��. cos θ�� + B��. sin θ��)
∂P��∂V� = V� × (G��. cos θ�� + B��. sin θ��)
∂P��∂θ� = V� × V� × (−G��. sin θ�� + B��. cos θ��)
∂P��∂θ� = −∂P��
∂θ�
Aplicando então as expressões acima apresentadas obtemos:
Nó i Nó k dPik/dVi dPik/dVk dPik/dθi dPik/dθk
1 2 1,5837 -2,1152 5,6892 -5,6892
1 3 11,3133 -11,1571 33,9460 -33,9460
1 4 1,9076 -1,8507 5,6198 -5,6198
1 5 1,5216 -1,3124 4,1871 -4,1871
2 3 1,6557 -1,2321 4,3861 -4,3861
2 4 3,3421 -2,4506 8,7127 -8,7127
4 5 5,9215 -5,2582 16,5710 -16,5710
Tabela 14 – Valores das derivadas parciais da potência activa
10
Agora temos de calcular a “matriz das sensibilidades AC”, que é representada pela
letra A. Como já havia sido indicado, calculamos esta matriz através da expressão:
[A���] = �∂P��∂V�∂P��∂V�
∂P��∂θ�
∂P��∂θ� " ×
#$$$%[J��]�&[J��]�&[J��]�'[J��]�'(
)))*
O resultado obtido é o que se apresenta em seguida.
A-Pik
L1-2 0,4118 0,3671 0,2148 0,2584 0,0023 0,0069 0,0067
L1-3 0,2742 -0,6470 0,1430 0,1721 -0,0040 0,0046 0,0044
L1-4 0,1973 0,1759 -0,2230 -0,1404 0,0011 -0,0044 -0,0045
L1-5 0,1173 0,1046 -0,1344 -0,2895 0,0007 -0,0072 -0,0068
L2-3 -0,2820 -0,3649 -0,1471 -0,1769 0,0027 -0,0047 -0,0046
L2-4 -0,3243 -0,2892 -0,6666 -0,6061 -0,0018 0,0047 0,0007
L4-5 -0,1171 -0,1044 0,1338 -0,7253 -0,0007 0,0062 0,0012
Tabela 15 – Matriz das sensibilidades para Pik
Conhecida a matriz das sensibilidades vamos agora determinar os desvios da
potência activa. A expressão a utilizar será então:
ΔP� �� = [A���] × [ΔZ�]
Os resultados obtidos pela aplicação desta expressão são:
a c
~ΔP12 -0,0835 0,1041
~ΔP13 -0,0458 0,0954
~ΔP14 -0,0601 0,0464
~ΔP15 -0,0526 0,0362
~ΔP23 -0,0714 0,0617
~ΔP24 -0,1538 0,1016
~ΔP45 -0,0823 0,0581
Tabela 16 – Desvios de potência activa
Agora podemos finalmente calcular o trânsito de potência activa difuso, para isso
apenas temos que somar os valores dos desvios aos valores centrais, presentes na tabela 6.
Somando então esses valores e mantendo os valores centrais obtemos como trânsito de
potência activa difuso:
11
a b c
~P12 -0,37312 -0,28957 -0,18546
~P13 0,04617 0,09196 0,18733
~P14 -0,02244 0,03765 0,08404
~P15 0,06742 0,12000 0,15617
~P23 0,16052 0,23192 0,29360
~P24 0,34154 0,49539 0,59696
~P45 0,28163 0,36394 0,42206
Tabela 17 – Trânsito de potência activa difuso, em p.u.
De seguida apresentamos a representação gráfica dos resultados da tabela anterior:
Figura 2 – Trânsito de potência activa difuso
Através da figura anterior consegue-se entender um pouco melhor os números
difusos, já que se conseguem visualizar os valores que cada variável poderá apresentar.
Conseguimos também mais facilmente observar quais as linhas que terão um maior
intervalo de funcionamento, por exemplo a linha 2-4.
Pela observação da figura, facilmente se retira que a linha 1-2, transmitirá potência
no sentido 2-1.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60
Gra
u d
e P
ert
en
ça
Potência Transmitida (p.u.)
Trânsito de Potência Activa AC
~P12 ~P13 ~P14 ~P15 ~P23 ~P24 ~P45
12
Trânsito de Potência Reactiva ik
Para o trânsito de potência reactiva utilizamos alguns dos valores já apresentados
anteriormente, sendo que apenas a partir dos valores das derivadas parciais é que
começam a haver diferenças entre o trânsito de potência activa e reactiva. Vamos então
começar por calcular os valores das derivadas usando as expressões que se apresentam a
seguir.
∂Q��∂V� = 2B�� × V� + V� × (G��. sin θ�� − B��. cos θ��)
∂Q��∂V� = V� × (G��. sin θ�� − B��. cos θ��)
∂Q��∂θ� = V� × V� × (G��. cos θ�� + B��. sin θ��)
∂Q��∂θ� = −∂Q��
∂θ�
Estas expressões permitem-nos obter os seguintes resultados:
Nó i Nó k dQik/dVi dQik/dVk dQik/dθi dQik/dθk
1 2 5,5894 -5,5235 -2,1786 2,1786
1 3 33,7234 -33,6883 -11,2425 11,2425
1 4 5,6581 -5,6176 -1,8514 1,8514
1 5 4,2710 -4,2374 -1,2968 1,2968
2 3 4,3250 -4,3528 -1,2416 1,2416
2 4 8,7077 -8,7094 -2,4516 2,4516
4 5 16,7813 -16,7699 -5,1958 5,1958
Tabela 18 – Valores das derivadas parciais da potência reactiva
Para calcular a matriz das sensibilidades é usado o mesmo raciocínio, e por isso a
expressão a aplicar é equivalente.
�A;��� = �∂Q��∂V�∂Q��∂V�
∂Q��∂θ�
∂Q��∂θ� " ×
#$$$%[J��]�&[J��]�&[J��]�'[J��]�'(
)))*
Aplicando então a expressão acima apresentada obtivemos os resultados que
apresentamos de seguida:
13
A-Qik
L1-2 -0,1577 -0,1406 -0,0822 -0,0989 -0,0009 -0,0026 -0,0026
L1-3 -0,1029 -0,1007 -0,0537 -0,0646 -0,8910 -0,0017 -0,0017
L1-4 -0,0709 -0,0632 -0,0469 -0,0634 -0,0004 -0,3273 -0,2656
L1-5 -0,0399 -0,0355 -0,0313 -0,0493 -0,0002 -0,1968 -0,3644
L2-3 0,0783 0,0637 0,0408 0,0491 -0,1130 0,0013 0,0013
L2-4 0,0823 0,0734 0,0059 0,0050 0,0005 -0,4976 -0,4034
L4-5 0,0404 0,0361 0,0290 0,0045 0,0002 0,1925 -0,6545
Tabela 19 - Matriz das sensibilidades para Qik
Os desvios de potência reactiva são calculados de forma semelhante à da utilizada
para os da potência activa.
ΔQ� �� = �A;��� × [ΔZ�] Os resultados obtidos foram os seguintes:
a c
~ΔQ12 -0,03987 0,03199
~ΔQ13 -0,02602 0,05686
~ΔQ14 -0,03603 0,03395
~ΔQ15 -0,03055 0,02874
~ΔQ23 -0,01562 0,02431
~ΔQ24 -0,03737 0,04212
~ΔQ45 -0,03845 0,03841
Tabela 20 – Desvios de potência reactiva
Como anteriormente para calcular o trânsito de potência reactiva difuso, temos que
aos desvios somar os valores centrais apresentados na tabela 6, após isso obtemos o
trânsito de potência reactiva difuso.
a b c
~Q12 -0,06183 -0,02196 0,01003
~Q13 0,03119 0,05721 0,11407
~Q14 0,01144 0,04747 0,08142
~Q15 0,03273 0,06328 0,09202
~Q23 0,01870 0,03432 0,05863
~Q24 0,09075 0,12812 0,17024
~Q45 0,06992 0,10837 0,14678
Tabela 21 – Trânsito de potência reactiva difuso, em p.u.
14
Figura 3 – Representação gráfica do trânsito de potência activa difuso
Tal como anteriormente, também agora a linha 1-2, transmitirá essencialmente
potência de 2 para 1, no entanto haverá alguns estados em que isso não acontece, ou
porque a potência transmitida é nula, ou porque é transmitida no sentido 1-2. As restantes
linhas funcionam no sentido indicado, ou seja, ik.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
-0,08 -0,04 0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20
Gra
u d
e P
ert
en
ça
Potência Transmitida (p.u.)
Trânsito de Potência Reactiva AC
~Q12 ~Q13 ~Q14 ~Q15 ~Q23 ~Q24 ~Q45
15
Trânsito de Potência Activa ki
Para determinar o trânsito de potência activa no sentido ki, temos de seguir a
mesma metodologia anteriormente utilizada, para o sentido ik. Como a rede é a mesma,
não a vamos apresentar outra vez, sendo que apenas alteramos no Power World o sentido
das linhas. A matriz Jacobiana dada pelo programa é igual à da tabela 3, por isso a sua
inversa será igual à da tabela 4. Também os valores centrais das tensões, fases e potências
injectadas são iguais aos do sentido ik, presentes na tabela 5 e 7, já os trânsitos nas linhas
apresentam valores ligeiramente diferentes.
Nó k Nó i Pkib (p.u.) Qkib (p.u.)
2 1 0,29403 0,03536
3 1 -0,09185 -0,05690
4 1 -0,03745 -0,04689
5 1 -0,11870 -0,05938
3 2 -0,22819 -0,02313
4 2 -0,48651 -0,10146
5 4 -0,36135 -0,10058
Tabela 22 – Trânsitos nas linhas, no sentido ki
Os valores dos desvios das potências injectadas, das tensões e das fases são iguais
aos do sentido ik, o que faz com que os valores das potências injectadas difusos e das
tensões e fases difusos sejam também iguais aos anteriores.
As matrizes G e B continuam iguais, por isso vamos calcular as derivadas para depois
calcular a matriz das sensibilidades. Para isso utilizamos as mesmas expressões que foram
apresentadas anteriormente, só que agora temos de ter em atenção que o sentido da
potência é oposto ao anterior. Aplicando então as expressões obtivemos:
Nó i Nó k dPki/dVi dPki/dVk dPki/dθi dPki/dθk
2 1 2,1929 -1,6541 5,8585 -5,8585
3 1 11,1049 -11,2610 33,9023 -33,9023
4 1 1,8151 -1,8720 5,6067 -5,6067
5 1 1,2523 -1,4602 4,1278 -4,1278
3 2 1,1731 -1,5907 4,2538 -4,2538
4 2 2,2925 -3,1713 8,4411 -8,4411
5 4 5,1240 -5,7837 16,3743 -16,3743
Tabela 23 – Valores das derivadas parciais da potência activa ki
16
De notar que na tabela anterior se apresentam os valores relativos ao sentido ik dos
nós presentes na tabela, mas é preciso ter em atenção que os nós i e k, foram trocados em
relação aos dos trânsitos de potências ik, isto para ser mais simples de aplicar as expressões
das derivadas.
De um modo equivalente ao utilizado anteriormente, calculamos a matriz das
sensibilidades para o caso, o resultado é o seguinte:
A-Pki
L2-1 -0,42402 -0,37805 -0,22116 -0,26606 -0,00238 -0,00709 -0,00686
L3-1 -0,27386 0,64584 -0,14284 -0,17184 0,00312 -0,00458 -0,00443
L4-1 -0,19686 -0,17551 0,22192 0,13957 -0,00110 0,00275 0,00319
L5-1 -0,11567 -0,10313 0,13183 0,28415 -0,00065 0,00534 0,00347
L3-2 0,27344 0,35367 0,14262 0,17158 -0,00314 0,00457 0,00443
L4-2 0,31414 0,28008 0,64426 0,58573 0,00176 -0,00889 -0,00420
L5-4 0,11575 0,10320 -0,13204 0,71572 0,00065 -0,00565 -0,00391
Tabela 24 – Matriz das sensibilidades para o trânsito de potência activa ki
Os desvios de potência activa e o valor do trânsito de potência activo difuso no
sentido ki, são apresentados de seguida.
a c
~ΔP21 -0,10721 0,08603
~ΔP31 -0,09520 0,04574
~ΔP41 -0,04615 0,05978
~ΔP51 -0,03541 0,05153
~ΔP32 -0,05981 0,06926
~ΔP42 -0,09848 0,14904
~ΔP54 -0,05748 0,08135
Tabela 25 – Desvios da potência activa ki
a b c
~P21 0,18682 0,29403 0,38006
~P31 -0,18705 -0,09185 -0,04611
~P41 -0,08360 -0,03745 0,02233
~P51 -0,15411 -0,11870 -0,06717
~P32 -0,28800 -0,22819 -0,15893
~P42 -0,58499 -0,48651 -0,33747
~P54 -0,41883 -0,36135 -0,28000
Tabela 26 - Trânsito de potência activa ki difuso, em p.u.
17
Figura 4 – Representação gráfica do trânsito de potência activa difuso, no sentido ki
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40
Gra
u d
e P
ert
en
ça
Potência Transmitida (p.u.)
Trânsito de Potência Activa
~P21 ~P31 ~P41 ~P51 ~P32 ~P42 ~P54
18
Trânsito de Potência Reactiva ki
Utilizando parte dos dados já obtidos ao longo do ponto anterior, para calcular o
trânsito de potência reactiva, temos de começar por calcular o valor das derivadas, que
como na situação anterior se vão utilizar as expressões indicadas na situação equivalente,
mas no sentido ik. Os resultados foram os seguintes:
Nó i Nó k dQki/dVi dQki/dVk dQki/dθi dQki/dθk
2 1 5,7565 -5,8005 -1,6706 1,6706
3 1 33,5318 -33,5666 -11,3736 11,3736
4 1 5,5108 -5,5512 -1,8907 1,8907
5 1 4,0572 -4,0869 -1,4748 1,4748
3 2 4,1756 -4,1299 -1,6384 1,6384
4 2 8,2351 -8,1953 -3,2664 3,2664
5 4 16,3672 -16,3680 -5,7859 5,7859
Tabela 27 - Valores das derivadas parciais da potência reactiva ki
Também agora apresentamos na tabela a indicação de i e k, “trocados” apenas para
simplificação na aplicação das expressões das derivadas.
A matriz das sensibilidades obtida para este caso foi:
A-Qki
L2-1 0,12091 0,10780 0,06307 0,07587 0,00068 0,00202 0,00196
L3-1 0,10395 0,09728 0,05422 0,06523 0,88829 0,00174 0,00168
L4-1 0,07221 0,06438 0,04350 0,06079 0,00040 0,32235 0,26158
L5-1 0,04475 0,03990 0,02365 0,03328 0,00025 0,19121 0,35428
L3-2 -0,10382 -0,09723 -0,05415 -0,06514 0,11167 -0,00174 -0,00168
L4-2 -0,11289 -0,10065 -0,07300 -0,06596 -0,00063 0,48508 0,39294
L5-4 -0,04458 -0,03975 -0,02370 -0,03324 -0,00025 -0,19084 0,64622
Tabela 28 - Matriz das sensibilidades para o trânsito de potência reactiva ki
Os resultados obtidos para os desvios de potência reactiva e para o valor do trânsito
de potência reactivo difuso no sentido ki, são apresentados de seguida.
a c
~ΔQ21 -0,02453 0,03057
~ΔQ31 -0,05678 0,02628
~ΔQ41 -0,03363 0,03552
~ΔQ51 -0,02801 0,02894
~ΔQ32 -0,03072 0,02123
~ΔQ42 -0,05654 0,04664
~ΔQ54 -0,04059 0,03966
Tabela 29 - Desvios da potência reactiva ki
19
a b c
~Q21 0,01083 0,03536 0,06593
~Q31 -0,11368 -0,05690 -0,03062
~Q41 -0,08052 -0,04689 -0,01137
~Q51 -0,08739 -0,05938 -0,03044
~Q32 -0,05385 -0,02313 -0,00190
~Q42 -0,15800 -0,10146 -0,05482
~Q54 -0,14117 -0,10058 -0,06092
Tabela 30 - Trânsito de potência reactiva ki difuso, em p.u.
Figura 5 - Representação gráfica do trânsito de potência reactiva difuso, no sentido ki
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,18 -0,15 -0,12 -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09
Gra
u d
e P
ert
en
ça
Potência Transmitida (p.u.)
Trânsito de Potência Reactiva
~Q21 ~Q31 ~Q41 ~Q51 ~Q32 ~Q42 ~Q54
20
Perdas Activas Difusas
Para calcular as perdas activas temos de começar por calcular a matriz das
sensibilidades das perdas activas, que irá ser formada pela soma das duas matrizes das
sensibilidades do trânsito de potência activa no sentido ik e ki. O resultado dessa soma é
apresentado em seguida:
A-Perdas
L1-2 -0,01226 -0,01093 -0,00639 -0,00769 -0,00007 -0,00020 -0,00020
L1-3 0,00034 -0,00115 0,00018 0,00021 -0,00091 0,00001 0,00001
L1-4 0,00043 0,00038 -0,00112 -0,00088 0,00000 -0,00166 -0,00135
L1-5 0,00163 0,00145 -0,00256 -0,00534 0,00001 -0,00188 -0,00337
L2-3 -0,00851 -0,01119 -0,00444 -0,00534 -0,00044 -0,00014 -0,00014
L2-4 -0,01019 -0,00908 -0,02236 -0,02033 -0,00006 -0,00417 -0,00348
L4-5 -0,00138 -0,00123 0,00176 -0,00957 -0,00001 0,00056 -0,00276
Tabela 31 - Matriz das sensibilidades das perdas activas
O próximo passo é calcular os desvios das perdas activas, para isso, temos de aplicar
a seguinte expressão:
ΔP�<=>?@A = �A<=>?@A� × [ΔZ�] O resultado obtido, aplicando então a expressão é:
Δ~P a c
L1-2 -0,00310 0,00249
L1-3 -0,00006 0,00017
L1-4 -0,00031 0,00024
L1-5 -0,00105 0,00076
L2-3 -0,00215 0,00189
L2-4 -0,00525 0,00354
L4-5 -0,00118 0,00086
Tabela 32 – Desvios das perdas activas
Para obter o valor das perdas activas difusas precisamos do valor central das
perdas, valor esse que como todos os outros valores centrais, é retirado do Power World.
Nó i Nó k Perdas Activas ctr Perdas Reactivas ctr
1 2 0,00446 0,01339
1 3 0,00010 0,00031
1 4 0,00019 0,00058
1 5 0,00130 0,00390
2 3 0,00373 0,01119
2 4 0,00888 0,02665
4 5 0,00259 0,00778
Tabela 33 – Valores centrais das perdas activa e reactiva
21
Agora temos apenas que somar o valor central das perdas activas, aos desvios e
temos as perdas activas difusas.
~P a b c
L1-2 0,00137 0,00446 0,00695
L1-3 0,00005 0,00010 0,00027
L1-4 -0,00011 0,00019 0,00044
L1-5 0,00025 0,00130 0,00206
L2-3 0,00158 0,00373 0,00562
L2-4 0,00363 0,00888 0,01242
L4-5 0,00141 0,00259 0,00345
Tabela 34 – Perdas activas difusas
Figura 6 – Representação gráfica das perdas activas difusas
Podemos observar que na linha 1-4, temos perdas com valor mínimo negativo, que
apesar de apresentar um valor em módulo muito pequeno, não deveria acontecer, já que
não pode haver perdas negativas. Nota-se facilmente também que é na linha 2-4 que há
mais perdas, esta informação poderá conduzir a algumas decisões importantes
relativamente ao futuro da rede.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,001 0,004 0,008 0,012
Gra
u d
e P
ert
en
ça
Valor das Perdas (p.u.)
Perdas Activas
L1-2 L1-3 L1-4 L1-5 L2-3 L2-4 L4-5
22
Perdas Reactivas Difusas
Para as perdas reactivas difusas a metodologia é a mesma das perdas activas, sendo
que por isso apenas apresentamos os resultados.
A-Q
L1-2 -0,03677 -0,03278 -0,01918 -0,02307 -0,00021 -0,00061 -0,00060
L1-3 0,00102 -0,00346 0,00053 0,00064 -0,00272 0,00002 0,00002
L1-4 0,00129 0,00115 -0,00337 -0,00264 0,00001 -0,00499 -0,00406
L1-5 0,00489 0,00436 -0,00767 -0,01603 0,00003 -0,00564 -0,01011
L2-3 -0,02553 -0,03357 -0,01332 -0,01602 -0,00132 -0,00043 -0,00041
L2-4 -0,03057 -0,02725 -0,06708 -0,06100 -0,00017 -0,01250 -0,01045
L4-5 -0,00414 -0,00369 0,00529 -0,02871 -0,00002 0,00167 -0,00828
Tabela 35 - Matriz das sensibilidades das perdas reactivas
Δ~Q a b c
L1-2 -0,00930 0 0,00746
L1-3 -0,00017 0 0,00051
L1-4 -0,00092 0 0,00073
L1-5 -0,00315 0 0,00227
L2-3 -0,00646 0 0,00566
L2-4 -0,01575 0 0,01061
L4-5 -0,00354 0 0,00258
Tabela 36 - Desvios das perdas reactivas
Os valores centrais da potência reactiva já haviam sido apresentados, podemos
encontrá-los na tabela 33.
~Q a b c
L1-2 0,00410 0,01339 0,02085
L1-3 0,00014 0,00031 0,00082
L1-4 -0,00034 0,00058 0,00131
L1-5 0,00074 0,00390 0,00617
L2-3 0,00473 0,01119 0,01685
L2-4 0,01090 0,02665 0,03726
L4-5 0,00424 0,00778 0,01036
Tabela 37 - Perdas reactivas difusas
23
Figura 7 - Representação gráfica das perdas reactivas difusas
Para as perdas reactivas a interpretação é a mesma que para as perdas activas, até
porque os resultados são semelhantes, não em valor absoluto, mas comparando as duas
representações gráficas, reparamos que apresentam formas semelhantes.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
-0,001 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
Gra
u d
e P
ert
en
ça
Perdas Reactivas (p.u.)
Perdas Reactivas
L1-2 L1-3 L1-4 L1-5 L2-3 L2-4 L4-5
24
Trânsito de Potências DC Difuso
Para que se possa fazer uma comparação fundamentada entre o trânsito de
potência activa difuso AC e DC, vamos apresentar os resultados para o DC, obtidos pelo
método das sensibilidades.
a b c
L1-2 -0,3695 -0,2873 -0,1847
L1-3 0,0737 0,0929 0,1613
L1-4 0,0199 0,0365 0,0396
L1-5 0,1159 0,1179 0,1038
L2-3 0,2863 0,2271 0,1587
L2-4 0,5841 0,4856 0,3366
L4-5 0,4041 0,3621 0,2962
Tabela 38 – Trânsito de potência activa difuso DC, em p.u.
Devemos ter em atenção que neste caso não são consideradas perdas.
Figura 8 – Trânsito de potências activas difusas DC
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60
Gra
u d
e P
ert
en
ça
Potência Transmitida (p.u.)
Trânsito de Potências Difuso DC
L1-2
L1-3
L1-4
L1-5
L2-3
L2-4
L4-5
25
Conclusões
Atendendo aos resultados obtidos, podemos começar por concluir que os valores
dos trânsitos de potência nos sentidos ik e ki, são semelhantes, sendo que seriam sempre
algo diferentes devido às perdas existentes nas linhas. Comparando também estes valores
com os obtidos no trânsito de potência activa DC, também se nota que os valores são
semelhantes, apesar de um pouco diferentes. Isso pode dever-se ao facto de não serem
consideradas perdas no DC.
Concluímos também que para resolver o trânsito de potências difuso DC, temos de
utilizar o método das sensibilidades, já que pelo outro método obtemos valores errados.
Este método é muito útil para a determinação dos trânsitos de potência, porque em
grandes redes permite que não se tenha de calcular o trânsito de potências para todos os
casos possíveis, o que seria moroso e mais complicado a nível de tratamento de
informação. Podemos afirmar que os números difusos representam com bastante
fidelidade os resultados possíveis para cada estado.
26
Referências
[1] V. Miranda, “Interval and fuzzy power flows”, Fevereiro 1997
[2] V. Miranda, M. A. Matos and J. T. Saraiva, "Fuzzy Load Flow – New Algorithms
Incorporating Uncertain Generation and Load Representation", in Proceedings of PSCC-
Power Systems Computation Conference, Graz, Austria, 1990
[3] J. T. Saraiva, N. Fonseca and M.A. Matos, "Fuzzy Power Flow – An AC Model
Addressing Correlated Data", 8º International Conference on Probabilistic Methods Applied
to Power Systems, Iowa State University, Ames, Iowa, September 12-16,2004
[4] J. T. Saraiva, Algoritmos de Fuzzy Power Flow e Aplicações, Janeiro 2000