docs.dicatechpoliba.it M... · Web viewPOLITECNICO DI BARI – CORSO MLEZIONI DI GEOMETRIA E ALGEBRA Anno Accademico 201 8 - 201 9 DISPENSA 8 GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO TEORIA

POLITECNICO DI BARI – CORSO M

LEZIONI DI GEOMETRIA E ALGEBRA

Anno Accademico 2018 - 2019

DISPENSA 8

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO

TEORIA ED ESERCIZI

DOCENTE: PROF. GIOVANNI VITERBO

PARTE II - GEOMETRIA TEORIA ED ESERCIZI

CAP. 8 – RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

&8.1 - Riferimento cartesiano nello spazio

Def.8.1.1 – Dicesi riferimento cartesiano ortonormale dello spazio S3, ogni insieme

(O , i⃗ , j⃗ , k⃗ ) in cui O è un punto dello spazio S3 e i⃗ , j⃗ , k⃗ sono tre versori dello spazio vettoriale

V 3O, a due a due ortogonali e orientati in modo tale il vettore k⃗veda il vettore i⃗ sovrapporsi

al vettore j⃗ descrivendo un angolo di +90°.

Il riferimento cartesiano ortonormale sarà indicato con RC(O , i⃗ , j⃗ , k⃗ ):

- il punto O dicesi origine del riferimento;

- la retta orientata associata al versore i⃗ è indicata con x e dicesi asse delle ascisse;

- la retta orientata associata al versore j⃗ è indicata con y e dicesi asse delle ordinate;

- la retta orientata associata al versore j⃗ è indicata con z e dicesi asse delle quote.

Analogamente a quanto già visto nel piano S2, anche nello spazio S3, ad ogni punto P

corrisponde una e una sola terna ordinata di numeri reali (x,y,z),

dette coordinate cartesiane del punto. In tale corrispondenza è:

{x=O⃗ Px

y=O⃗ Py

z=O⃗ P z

.

Per indicare che P ha coordinate cartesiane (x,y,z) si scrive P(x,y,z).

408


&8.2 – Componenti di un vettore in funzione delle coordinate dei suoi estremi

Prop.8.2.1 – Se P1 e P2 sono due punti dello spazio S3, di coordinate P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2), si dimostra che il vettore v⃗=P⃗1P2∈V3 ha componenti

(x2−x1 , y2− y1 , z2−z1) .

Dim. La dimostrazione è analoga a quella vista per i vettori del piano cartesiano S2.

Infatti, anche in S3, si ha:

O⃗ P1+ P⃗1P2=O⃗ P2⟹ P⃗1P2=O⃗P2−O⃗ P1=(x2 , y2 , z2 )−(x1 , y1 , z1 )=(x2−x1, y2− y1 , z2−z1 )⟹

⟹ v⃗= P⃗1P2=(x2−x1 , y2− y1, z2−z1 ) .

&8.3 – Distanza di due punti – Coordinate del punto medio di un segmento

Def. 8.3.1 – Se P1 e P2 sono due punti dello spazio S3, dicesi distanza dei due punti il

modulo del vettore v⃗=P⃗1P2:

d (P1 ,P2 )=|⃗P1P2|=|v⃗|.

Prop.8.3.1 - Se P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) sono due punti dello spazio S3 e se M è il punto

medio del segmento P1P2, si dimostra che:

1. d (P1 ,P2 )=√(x¿¿2−x1)2+( y2− y1)

2+( z¿¿2−z1)2;¿¿

2. M ( x1+x2

2,y1+ y2

2,z1+z2

2 ) .Dim.1 – Per la proprietà 8.2.1, il vettore v⃗=P⃗1P2ha componenti (x2−x1 , y2− y1 , z2−z1) . La

distanza dei due punti è:

d (P1 ,P2 )=|⃗P1P2|=|v⃗|=√(x¿¿2−x1)2+( y2− y1)

2+(z¿¿2−z1)2 ¿¿

Dim.2 – Sia M(x,y,z) il punto medio del segmento P1P2. Allora, per definizione di punto

medio, si ha:

P⃗1M=M⃗P2⟹ (x−x1 , y− y1 , z−z1 )=(x2−x , y2− y , z2−z )⟹ { x−x1=x2−xy− y1= y2− yz−z1=z2−z

⟹

409


⟹ {x=x1+ x2

2

y=y1+ y2

2

z=z1+z2

2

.

&8.4 - Equazione vettoriale di un piano

Def.8.4.1 - Nello spazio ordinario, dove si suppone che siano validi i postulati della

geometria euclidea, esiste ed è unico il piano α passante per tre punti P0,P1,P2 non

allineati. Se indichiamo con v⃗= P⃗0P1e conw⃗=P⃗0P2, un piano π è anche univocamente

individuato se si assegnano un suo punto P0 e una coppia di vettori non paralleli

(linearmente indipendenti) v⃗ e w⃗ appartenenti al piano.

Di conseguenza, ∀ P∈π , ( P⃗0P , v⃗ , w⃗ )risultano tre vettori di π linearmente dipendenti (ricorda

che ogni piano ha dimensione 2 e perciò due è il massimo numero di vettori l.i.) e quindi

tali che

∀ P∈α : P⃗0 P=h v⃗+k w⃗, con h , k∈R . (1)

L'equazione (1) dicesi equazione vettoriale del piano α: i vettori v⃗ , w⃗ si dicono vettori di

giacitura del piano α.

Se fissiamo nello spazio S3 un sistema di riferimento e se in tale riferimento

P0(x0,y0,z0), v⃗=(l ,m ,n ) e w⃗=(l ' ,m' , n ' ) ,

allora si ha che ∀ P ( x , y , z )∈ π :

P⃗0 P=h v⃗+k w⃗⟹ (x−x0 , y− y0 , z−z0 )=h ∙ (l ,m,n )+k ∙ (l' ,m' ,n ' )=¿

¿ (h l ,hm ,hn )+(k l ' , km' , kn ' )=(h l+k l' , hm+k m' , hn+kn' )⟹

⟹ { x−x0=h l+k l '

y− y0=hm+k m'

z−z0=hn+kn '

⟹ { x=x0+h l+k l'

y= y0+hm+k m'

z=z0+hn+kn' (2)

∀ P ( x , y , z )∈ π : P⃗0 P=h v⃗+k w⃗⇒ ( x−x0 , y− y0 , z−z0)=(hℓ+kℓ ',hm+km ',hn+kn ' )⇒

Tali equazioni (2) si dicono equazioni parametriche del piano: al variare di h e k, si

ottengono gli ∞2 punti del piano.

410


&8.5 - Condizione di complanarità di quattro punti

E' noto dalla geometria elementare che tre punti non allineati individuano sempre un piano

mentre in generale non è detto che 4 punti appartengano ad uno stesso piano: in questo

paragrafo vogliamo determinare le condizioni affinché un quarto punto appartenga al piano

individuato dai primi tre.

Sussiste la seguente proprietà.

Prop.8.5.1 - Se P(x,y,z), P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3), con (P1,P2,P3) non allineati,

sono quattro punti dello spazio S3, si dimostra che:

(P,P1,P2,P3 sono complanari) ⟺| x−x1 y− y1 z−z1

x2−x1 y2− y1 z2−z1

x3−x1 y3− y1 z3−z1|=0⟺|x y z

x1 y1 z1

x2 y2 z2

111

x3 y3 z3 1|=0.

Dim. (P, P1, P2, P3) complanari ( P⃗1 P , P⃗1P2 , P⃗1 P3 ) sono L.D

⟺| x−x1 y− y1 z−z1

x2−x1 y2− y1 z2−z1

x3−x1 y3− y1 z3−z1|=0⟺|x y z

x1 y1 z1

x2 y2 z2

111

x3 y3 z3 1|=0. (3.1)

Le equazioni (3.1) rappresentano entrambe:

1. l’equazione sotto forma di determinante del piano passante per tre punti non

allineati;

2. la condizione di appartenenza di un punto al piano individuato da tre punti non

allineati.

&8.6 - Equazione cartesiana di un piano

Sviluppando il determinante della (3.1) secondo gli elementi della prima riga, si ha:

(x−x1 ) ∙|y2− y1 z2−z1

y3− y1 z3−z1|−( y− y1 ) ∙|x2−x1 z2−z1

x3−x1 z3−z1|+( z−z1 ) ∙|x2−x1 y2− y1

x3−x1 y3− y1|=0⟹

x ∙|y2− y1 z2−z1

y3− y1 z3−z1|− y ∙|x2−x1 z2−z1

x3− x1 z3− z1|+z ∙|x2−x1 y2− y1

x3−x1 y3− y1|−x1∙|y2− y1 z2−z1

y3− y1 z3−z1|+ y1 ∙|x2−x1 z2−z1

x3−x1 z3−z1|−z1∙|x2−x1 y2− y1

x3−x1 y3− y1|=0.

Posto

a=|y2− y1 z2−z1

y3− y1 z3−z1|, b=−|x2−x1 z2−z1

x3−x1 z3−z1|, c=|x2−x1 y2− y1

x3−x1 y3− y1|,411


e

d=−x1 ∙|y2− y1 z2−z1

y3− y1 z3−z1|+ y1∙|x2−x1 z2−z1

x3−x1 z3−z1|−z1 ∙|x2−x1 y2− y1

x3−x1 y3− y1|si ha:

ax + by + cz + d = 0. (4)

Tale equazione dicesi equazione cartesiana di un piano.

Osservazione - Poiché i tre punti (P1, P2, P3) non sono allineati, i tre coefficienti (a, b, c)

non possono essere contemporaneamente nulli.

Di conseguenza, i quattro parametri a,b,c,d si possono sempre ridurre a tre (dividendo, ad

esempio, primo e secondo membro dell'equazione (4) per a, e ciò dimostra che i piani dello

spazio sono 3.

&8.7 - Equazione cartesiana di piani in posizione particolare

a) Piano per l'origine

Per la condizione di appartenenza del punto O(0,0,0) al piano, risulta d = 0.

Quindi, l'equazione del generico piano per l'origine è:

a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z=0.

b) Piano parallelo ad un asse coordinato

Si dimostra che ogni piano parallelo ad un asse cartesiano ha un'equazione lineare che

manca dell'incognita uguale all'asse cartesiano, cioè:

1. se è parallelo all’asse x la sua equazione è del tipo b ∙ y+c ∙ z=0;

2. se è parallelo all’asse y la sua equazione è del tipo a ∙ x+c ∙ z=0;

3. se è parallelo all’asse z la sua equazione è del tipo a ∙ x+b ∙ y=0;

4. di più, se il piano contiene l'asse, esso passa per l’origine e di conseguenza

nell'equazione manca anche il termine noto.

c) Piano parallelo ad un piano coordinato

Si dimostra che:

1. se // xy, l'equazione manca dei termini x e y ed è del tipo c ∙ z+d=0;

412


2. se // xz, l'equazione manca dei termini x e z ed è del tipo b ∙ y+d=0;

3. se // yz, l'equazione manca dei termini y e z ed è del tipo a ∙ x+d=0.

4. In particolare, i piani cartesiani xy, xz e yz hanno rispettivamente equazione:

xy: z = 0;

xz: y = 0;

yz: x = 0.

d) Equazione segmentaria di un piano non parallelo agli assi e ai piani cartesiani e non

passante l’origine

Se è un piano, non parallelo agli assi e ai piani cartesiani e non passante per l’origine, di

equazione

a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z+d=0⟺a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z=−d

con a,b,c,d tutti non nulli, dividendo primo e secondo membro per - d, si ha:

−ad

x−bdy− c

dx=1.

Posto

−ad

= 1p,−b

d=1q,− c

d=1r ,

l'equazione del piano diventa

xp+ yq+ zr=1.

Tale equazione è detta equazione segmentaria del piano: essa è valida solo per i piani

che non sono paralleli agli assi e ai piani cartesiani.

413


I parametri (p, q, r), che compaiono nell'equazione, rappresentano, rispettivamente, p

l'ascissa, q l'ordinata e r la quota dei punti di intersezione del piano α con i tre assi

cartesiani:

π∩ x : A ( p ,0,0 ) , π ∩ y :B (0 , q ,0 ) , π ∩ z :C (0,0 , r ) .

e) Equazione di un piano passante per un punto

Sia un piano di equazione ax + by + cz + d = 0 e sia P0(x0,y0,z0) un punto di S3.

Affinché P0∈π, P0 con le sue coordinate deve soddisfare l'equazione di e, dunque, deve

risultare

a ∙ x0+b ∙ y0+c ∙ z0+d=0⟹d=−a ∙ x0−b ∙ y0−c ∙ z0.

Sostituendo tale valore nell'equazione del piano π , si ha:

a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z−a ∙x0−b ∙ y0−c ∙ z0=0⟹a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0.

Dunque,

a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0

è l'equazione del generico piano passante per il punto P0(x0,y0,z0).

Poiché nell'equazione permangono tre parametri, dei quali solo due linearmente

indipendenti, ciò vuol dire che i piani passanti per un punto assegnato sono 2: l'insieme di

tutti questi piani passanti per P0 dicesi stella di piani di centro P0.

&8.8 – Posizione relativa di due piani nello spazio - Condizione di parallelismo fra piani

Teor.8.8.1 – Se π e π' sono due piani di S3 di equazione, rispettivamente,

π: ax + by + cz + d = 0 e π': a'x + b'y + c'z + d' = 0,

detta A la matrice dei soli coefficienti,

A=( a b ca' b ' c ' )

e detta A’ la matrice completa dei cofficienti e dei termini noti

A'=( a b ca ' b ' c '

dd ')

si dimostra che π e π' sono:

1. incidenti se rang(A) = 2;

2. paralleli e distinti se rang(A) = 1 e rang(A’) = 2;

3. paralleli e coincidenti se rang(A) = rang(A’) = 1.

Dim.

Considerato il sistema formato dalle equazioni dei due piani

{ ax+by+cz+d=0a' x+b ' y+c ' z+d '=0,

414


per il teorema di Rouchè-Capelli, si ha che:

1. se rang(A) = 2 = rang(A’), il sistema è compatibile e ammette ∞3−2=∞1soluzioni, ovvero

i due piani hanno una retta in comune e sono perciò incidenti;

2. se rang(A) = 1 < rang(A’) = 2, il sistema è impossibile: i due piani sono paralleli e

distinti.

3. Infine, se rang(A) = rang(A’) = 1, il sistema è compatibile e ammette ∞3−1=∞2soluzioni:

i due piani hanno tutti i punti in comune e sono coincidenti.

Corollario 8.8.1 - Se π e π' sono due piani di S3 di equazione, rispettivamente,

π: ax + by + cz + d = 0 e π': a'x + b'y + c'z + d' = 0

si dimostra che:

(1 ) (π ∥ π ' e π≠ π ' )⟺( aa' =bb '=

cc ' ≠

dd ' );

(2 ) (π∥ π ' e π≡π ' )⟺( aa'= bb'

= cc '=

dd ' ) .

Dim.(1) Per il teorema 8.8.1. precedente, si ha:

π∥ π '⟺ rang (A )=1e rang (A ' )=2⟺|a ba ' b '|=| a c

a ' c '|=|b cb ' c '|=0e| a d

a ' d '|≠0

⟹ aa'=

bb '=

cc ' ≠

dd ' .

Dim.(2) Per il teorema 8.8.1. precedente, si ha:

π∥ π '⟺ rang (A )=rang (A ' )=1⟺|a ba ' b'|=|a c

a' c '|=|b cb' c'|=|a d

a' d'|=0⟹

⟹ aa'=

bb '=

cc '=

dd ' .

Dunque, due piani sono paralleli (distinti o coincidenti) se hanno i coefficienti delle

incognite proporzionali, in particolare uguali:

a = a’, b = b’, c = c’. (1)

In virtù della (1), l'equazione del piano πpassante per un punto P0(x0,y0,z0) e parallelo ad un

piano π ' di equazione ax + by + cz + d = 0, è:

a (x−x0 )+b ( y− y0 )+c ( z−z0 )=0.

Def.8.8.1 - Se π è un piano di equazione ax + by + cz + d = 0, i coefficienti a, b, c

dell’equazione si dicono parametri di giacitura del piano.

415


Prop.8.8.1 - Piani paralleli (distinti o coincidenti) hanno i parametri di giacitura

proporzionali, in particolare uguali.

&8.9 - Fasci di piani

Def.8.9.1 - Se

π: a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z+d=0 e π': a ' ∙ x+b ' ∙ y+c ' ∙ z+d ' =0

sono due piani distinti dello spazio S3, dicesi fascio di piani generato da π e π’ l’insieme

dei piani che si ottengono dalla combinazione lineare delle equazioni di π e π ' :

λ ∙ (a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z+d¿+μ ∙(a ' ∙ x+b ' ∙ y+c ' ∙ z+d ')=0 )

ovvero

( λa+μa ' ) x+( λb+μb ' ) y+ ( λc+μc ' ) z+ ( λd+μd ' )=0(1)

al variare dei parametri non entrambi nulli λ e μ.

E' immediato riconoscere che se π e π' sono incidenti e si intersecano secondo la retta r,

allora tutti i piani del fascio passano per la retta r, che dicesi sostegno del fascio: in tal

caso il fascio dicesi proprio.

Dall'equazione (1), dividendo per λ ≠ 0, si ha:

(a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z+d)+ μλ∙(a ' ∙ x+b ' ∙ y+c ' ∙ z+d ')=0⟹ (posto k=μ

λ)

⟹(a∙ x+b ∙ y+c ∙ z+d)+k ∙(a' ∙ x+b ' ∙ y+c ' ∙ z+d ')=0⟹

⟹ (a+k a' )∙ x+(b+k b' )∙ y+(c+k c' ) ∙ z+(d+k d ')=0. (2)

L’equazione (1) dicesi equazione cartesiana a due parametri del fascio, l'equazione (2)

dicesi equazione cartesiana ad un parametro del fascio.

I due piani generatori del fascio si ottengono rispettivamente per λ = 1 (π ¿e μ = 0 e per λ =

0 e μ = 1 (π’) se l'equazione del fascio è a due parametri, mentre per k = 0 e k = ∞ se

l'equazione del fascio è ad un parametro.

Se, invece, i due π e π' sono paralleli, allora l’equazione (1) rappresenta l’insieme degli

infiniti piani paralleli a π e π'.

In tal caso, il fascio di piani dicesi improprio e la sua equazione è:

a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z+k=0 , al variare del parametro k in R.


Prop.8.9.1 - (Condizione di appartenenza di un piano ad un fascio)

Condizione necessaria e sufficiente affinché il piano π: a x + b y + c z + d = 0 appartenga

al fascio generato da π': a'x + b'y + c'z + d' = 0 e da π'': a''x + b''y + c''z + d'' = 0 è che:

416


rang ( a b ca ' b ' c '

a ' ' b ' ' c ' '

dd 'd ' ')<3.

Dim. Consideriamo il sistema formato dalle equazioni dei tre piani

{ ax+by+cz+d=0a' x+b ' y+c ' z+d '=0

a ' ' x+b ' ' y+c ' ' z+d ' '=0

e indichiamo con

A=( a b ca' b ' c 'a' ' b ' ' c ' ')

la matrice incompleta del sistema e con

A '=( a b ca ' b' c 'a ' ' b ' ' c ' '

dd 'd ' ')

la matrice completa del sistema.

Per il teorema di Rouchè-Capelli, si ha:

1) se rang(A) = rang(A') = 3, il sistema è determinato e ammette un'unica soluzione: in tal

caso i tre piani sono incidenti in un sol punto e non appartengono ad alcun fascio né

proprio né improprio;

2) se rang(A) = 2 < rang(A') = 3, il sistema è incompatibile: i tre piani non hanno punti in

comune;

3) se rang(A) = rang(A') = 2, il sistema ammette ∞1 soluzioni e i tre piani si intersecano

secondo una retta, dunque appartengono allo stesso fascio proprio;

4) se rang(A) = 1 e rang(A') = 2, il sistema è incompatibile e i tre piani sono paralleli,

dunque appartenenti ad uno stesso fascio improprio;

5) infine, se rang(A) = rang(A') = 1, il sistema ammette ∞2 soluzioni e i tre piani sono

coincidenti, dunque appartenenti ad uno stesso fascio improprio.

In conclusione, affinché il piano π∈ F(π ' , π ' ')

è che sia rang(A') < 3.

&8.10 - Equazioni di una retta nello spazio S3.

Def.8.10.1 – Se P0 è un punto di S3 e se v⃗ è un vettore non nullo di S3, dicesi retta r

passante per P0 e parallela al vettore v⃗il luogo geometrico dei punti P dello spazio che

soddisfano l'equazione vettoriale

417


P⃗0 P=t ∙ v⃗, al variare di t in R. (10.1)

L'equazione precedente (10.1), dicesi equazione vettoriale della retta r.

Se ora fissiamo un riferimento cartesiano affine RA(O,x,y,z) e supponiamo che in tale

riferimento P(x,y,z), P0(x0,y0,z0) e v⃗=(l ,m ,n ) ,passando alle componenti dei vettori, si ha:

P⃗0 P=t ∙ v⃗⟺ (x−x0 , y− y0 , z−z0 )=t ∙ (l ,m,n )⟹{ x−x0=t ∙ ly− y0=t ∙mz−z0=t ∙n

⟹ { x=x0+t ∙ ly= y0+t ∙mz=z0+ t ∙ n

,∀ t∈R . (10.2)

Le equazioni (10.2) si dicono equazioni parametriche della retta r: al variare di t in R si

ottengono gli infiniti punti di r;

i coefficienti ( l ,m,n ) si dicono parametri direttori della retta r;

il vettore v⃗=(l ,m ,n ) dicesi vettore direttore di r.

&8.11 - Condizioni di allineamento di tre punti. Retta passante per due punti

Prop.8.11.1 – Se P(x,y,z), P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), sono tre punti dello spazio euclideo S3,

si dimostra che

(P , P1 , P2 sonoallineati )⟺ rang( x−x1 y− y1 z−z1

x2−x1 y2− y1 z2−z1)<2⟺ rang( x−x1 y− y1 z−z1

x2−x1 y2− y1 z2−z1)=1.

Dim. Poiché P(x,y,z), P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) sono allineati ⟺ P⃗1P ∥ P⃗1P2⟺ le

componenti del vettore P⃗ P1=(x−x1 , y− y1, z−z1 ) e le componenti del vettore

P⃗1P2=(x2−x1 , y2− y1, z2−z1 ) sono proporzionali, ovvero risulta:

rang ( x−x1 y− y1 z−z1

x2−x1 y2− y1 z2−z1)<2⟺ rang ( x−x1 y− y1 z−z1

x2−x1 y2− y1 z2−z1)=1. (11.1)

E' questa la condizione matriciale di allineamento per tre punti: tutti i minori del secondo

ordine estratti dalla matrice devono essere nulli.

Dalla (11.1), si deduce (P,P1,P2) sono allineati, ovvero P appartiene alla retta P1P2, se

x−x1

x2−x1=

y− y1

y2− y1=

z−z1

z2−z1 (11.2)

con l'avvertenza che se qualche denominatore si annulla bisogna imporre che sia nullo

anche il corrispondente numeratore.

Se si considerano (x,y,z) come incognite, l'equazione (11.2) è detta equazione della retta

per due punti, da utilizzare quando si conoscono due punti della retta.

Inoltre, osservato che

l=x2−x1 ,m= y2− y1 ,n=z2−z1

sono i parametri direttori della retta r, sostituendo nella (11.2), si ha:

418


x−x1

l=

y− y1

m=

z−z1

n (11.3)

Le equazioni (11.2) e (11.3) si dicono equazioni della retta sotto forma di rapporti uguali.

&8.12 - Equazioni cartesiane di una retta

Poiché ogni retta si può ottenere come intersezione di due piani non paralleli, se i piani

hanno equazione

π: a ∙ x+b ∙ y+c ∙ z+d=0 e π': a ' ∙ x+b ' ∙ y+c ' ∙ z+d'=0

allora la retta r d'intersezione avrà equazioni date da:

r=π∩π ' :{ ax+by+cz+d=0a ' x+b ' y+c ' z+d '=0

Sono queste le equazioni cartesiane di r: in tal caso, i parametri direttori di r sono i minori

del 2° ordine che si ottengono dalla matrice dei coefficienti

( a b ca' b ' c ')

sopprimendo, nell'ordine, la I, la II e la III colonna, presi con segno alternato, cioè:

l=| b cb ' c '|,m=−|a c

a ' c '|, n=| a ba ' b '|.

Dim. Sia r=π∩π ' :{ ax+by+cz+d=0a ' x+b' y+c' z+d '=0

⟹{ z=tax+by+ct+d=0

a ' x+b' y+c' t+d'=0⟹

⟹ { z=tax+by=−ct−d

a' x+b' y=−c' t−d '.

Calcoliamo x e y:

∆=|a ba' b'|,∆ x=|−ct−d b

−c' t−d ' b'|,∆ y=|a −ct−da' −c ' t−d '|⟹ {x=|−ct−d b

−c ' t−d ' b'||a ba' b'|

y=|a −ct−da' −c' t−d '|

|a ba' b '|

⟹

419


⟹ {x=|−ct−d b−c ' t−d ' b'|

|a ba' b'|

y=|a −ct−da' −c' t−d '|

|a ba' b '|z=t

⟹ {x= (bc '−b' c ) t+bd '−b'dab '−a' b

=b c'−b ' c¿

ab'−a' bt+ bd '−b'd

ab'−a'b¿y=

(c a'−ac' ) t+d a'−ad '

ab'−a 'b=−ac '−a' c

ab '−a' bt+ d a'−ad '

ab'−a'b¿z=t

¿⟹

⟹ i parametri direttori dir sono :{l= bc '−b' cab '−a' b

=|b cb ' c '||a ba' b'|

m=−|a c

a' c '||a ba' b '|

⟺

n=1

⟺ { l=|b cb ' c '||a ba ' b'|

∙|a ba' b'|=|b c

b' c '|

m=−|a c

a' c'||a ba' b'|

∙|a ba' b'|=−|a c

a' c '|n=1∙|a b

a' b'|=|a ba' b'|

&8.13 - Condizione di parallelismo fra rette

Prop.8.13.1 – Se r e r’ sono due rette di S3 e se ( l ,m,n ) e (l ' ,m' , n ' ) sono i rispettivi

parametri direttori, si dimostra che

(r ∥r ' )⟺( ll '= mm'

= nn' ).

Dim. Siano r una retta di parametri direttori (l,m,n) e sia r’ una retta di parametri direttori

(l’,m’,n’): di conseguenza, un vettore direttore di r è v⃗r=( l ,m,n )e un vettore direttore di r' è

v⃗r '=( l ' ,m ' , n ' ). Poiché:

420


r ∥r '⟺ v⃗r ∥ v⃗r' (l' ,m' , n' )⇔ ( l ,m,n ) e (l ' ,m' , n' ) sono L .D .⟺ rang( l m n

l ' m' n ')=1⟺

⟺ ll'= mm'

= nn' .

&8.14 - Retta incidente un piano, retta parallela ad un piano

Def.8.14.1 – Se r è una retta e π è un piano dello spazio S3, si dice che:

(1) (r è incidente il piano π ¿⟺¿);

(2) r è parallela al piano π se r è contenuta nel piano oppure r non ha punti in comune col

piano:

(r ∥ π )⟺ (r⊂ π∨ r ∩π=∅ ) .

Prop.8.14.1 - Se π è un piano di equazione

ax+by+cz+d=0

e r è una retta di equazioni

{ a ' x+b ' y+c ' z+d '=0a ' ' x+b ' ' y+c ' ' z+d ' '=0

si dimostra che:

(a) (r ∩π= {P } )⟺| a b ca ' b ' c'

a' ' b' ' c ' '|≠0; (r incidente π)

(b) (r ∥ π )⟺| a b ca' b' c '

a' ' b' ' c ' '|=0.

Dim. Considerato il sistema formato dalle equazioni di π e di r,

{ ax+by+cz+d=0a ' x+b ' y+c ' z+d '=0

a ' ' x+b ' ' y+c ' ' z+d ' '=0

le matrici associate al sistema sono:

A=( a b ca' b ' c 'a' ' b ' ' c ' ') (matrice dei coefficienti)

e

A'=( a b ca ' b ' c 'a ' ' b ' ' c ' '

dd 'd ' ') (matrice completa)

I casi che si possono verificare sono:

421


(a) Se rang ( A )=rang ( A ')=3⟺det ( A )=|a b ca' b' c '

a ' ' b ' ' c' '|≠0 , per il teorema di Rouchè-Capelli, il

sistema ha un’unica soluzione: la retta è incidente il piano.

(b1) Se rang(A) = rang(A’) = 2, il sistema è compatibile e ammette infinite ∞3−2=∞1

soluzioni: in tal caso la retta è contenuta nel piano ed è parallela al piano.

(b2) Se rang(A) = 2 ≠ rang ( A' )=3 , il sistema è incompatibile: la retta è parallela e non è

contenuta nel piano.

In entrambi i casi di (b1) e (b2) è r // π. Dunque:

| a b ca ' b ' c'

a' ' b' ' c ' '|=0 (14.1)

è la condizione di parallelismo fra retta e piano, quando le rispettive equazioni sono date in

forma cartesiana.

Prop.8.14.2 – Se r è una retta di parametri direttori ( l ,m,n ) e se π è un piano di equazione

ax+by+cz+d=0 ,

si dimostra che:

(r ∥ π )⟺ (a∙ l+b ∙m+c ∙n=0 ) .

Dim. Osservato che un vettore normale al piano π di equazione ax+by+cz+d=0 è

n⃗=(a ,b , c), si ha:

r ∥ π⟺ v⃗r=( l ,m,n )⊥ n⃗=(a ,b , c)⟺(condizionedi perpendicolarità fra vettori)⟺

⟺a ∙ l+b ∙m+c ∙n=0.

Osservazione - a ∙ l+b ∙m+c ∙n=0 è anche la condizione di parallelismo fra un piano π di

equazione ax+by+cz+d=0e un vettore v⃗di componenti ( l ,m,n ).

&8.15 - Condizione di complanarità/non complanarità di due rette

E' noto che due rette dello spazio S3 possono essere sghembe, cioè non appartenenti ad

un medesimo piano, o complanari cioè appartenenti ad uno stesso piano, e, in tal caso,

possono essere o parallele o incidenti in un punto.

Vogliamo determinare qual è la condizione analitica affinché due rette siano complanari o

sghembe.

Prop.8.15.1 – Se r e r’ sono due rette di S3 di equazioni

r :{ ax+by+cz+d=0a ' x+b' y+c ' z+d '=0 e r': { a ' ' x+b ' ' y+c ' ' z+d ' '=0

a ' ' ' x+b ' ' ' y+c ' ' ' z+d ' ' '=0

422


si dimostra che:

(a) (r e r ' sonocomplanari )⟺| a b c da' b' c ' d'

a' ' b ' ' c' ' d' '

a' ' ' b' ' ' c' ' 'd ' ' '|=0 ;

(b ) (r e r ' sonosghembe )⟺| a b cda' b' c 'd '

a' ' b' ' c ' 'd ' '

a' ' ' b' ' ' c ' ' ' d ' ' '|≠0.

Dim.(a) A tal fine, siano r e r' due rette complanari di S3, di equazioni rispettivamente

r :{ ax+by+cz+d=0a ' x+b' y+c ' z+d '=0

er ' :{ a ' ' x+b' ' y+c ' ' z+d ' '=0a' ' ' x+b' ' ' y+c ' ' ' z+d ' ' '=0.

Poiché r e r' sono complanari, esiste un piano che appartiene sia al fascio avente per asse

la retta r sia al fascio che ha per asse la retta r’ e perciò deve esistere una combinazione

lineare del 1° fascio che coincide con una combinazione del 2° fascio.

Imponendo tale condizione, si ha:

⇒( λa+μa ' )x+( λb+μb ' ) y+( λc+μc ' )z+( λd+μd ' )=( λ ' a ''+μ' a ''')x+( λ ' b ''+μ ' b ''') y++( λ ' c ''+μ ' c ''') z+( λ ' d ''+μ ' d ''' )⇒

⇒¿ {λa+μa'=λ ' a ''+μ ' a''' ¿ {λb+μb '= λ ' b ''+μ' b ''' ¿ { λc+μc '=λ ' c ''+μ ' c ''' ¿ ¿¿{λa+μa'−λ ' a ''−μ ' a '''=0 ¿ {λb+μb'−λ ' b ''−μ ' b '''=0 ¿ {λc+μc '−λ ' c ''−μ ' c '''=0¿ ¿ ¿¿ (1)

Questo è un sistema omogeneo di 4 equazioni nelle 4 incognite (λ,μ,λ',μ'), che ammette

soluzioni non banali solo se il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero,

cioè se:

|

a a ' −a '' −a '''b b ' −b '' −b '''c c ' −c '' −c '''d d ' −d '' −d '''

|=0⇔|

a a ' a '' a '''b b ' b '' b '''c c ' c '' c '''d d ' d '' d '''

|=0⇔

⟺| a b c da ' b' c' d '

a' ' b' ' c ' ' d ' '

a ' ' ' b' ' ' c ' ' 'd ' ' '|=0 (condizione di complanarità di due rette)

(b) Se le rette r e r’ sono sghembe, il sistema (1) deve ammettere come unica soluzione

quella banale

λ=μ= λ'=μ'=0

423


e questo si verifica solo se

| a b c da' b' c' d '

a' ' b' ' c ' ' d ' '

a' ' ' b ' ' ' c ' ' ' d' ' '|≠0.

&8.16 – Angolo di due rette - Condizione di perpendicolarità fra rette

Def.8.16.1 – Se r e r’ sono due rette dello spazio S3 aventi vettore direttore v⃗re,

rispettivamente, v⃗r ' dicesi angolo che r forma con r’ l’angolo che il vettore v⃗r forma con il

vettore v⃗r ' :

r̂r '=^⃗vr v⃗r'.

Prop.8.16.1 - Se r ed r' sono due rette di parametri direttori (l,m,n) e (l',m',n'), si dimostra

che:

cos ( r̂ r ')= l ∙l '+m∙m'+n ∙n '√ l2+m2+n2 ∙√l '2+m' 2+n '2

.

Dim. Sia v⃗r=( l ,m,n ) il vettore direttore di r e v⃗r '=(l ' ,m ' , n ' ) il vettore direttore di r’.

Si ha:

cos ( r̂ r ')=cos (^⃗vr v⃗r' )=v⃗r ∙ v⃗r '

|v⃗r|∙|v⃗r'|= l ∙ l '+m ∙m'+n ∙n'

√ l2+m2+n2∙√l '2+m '2+n '2.

Prop.8.16.2 – Se r e r’ sono due rette di parametri direttori (l ,m,n )e, rispettivamente,

(l ' ,m' ,n '), si dimostra che:

(r⊥ r ' )⟺ (l ∙l'+m ∙m'+n ∙n '=0 ) .

Dim. Se indichiamo con v⃗r=( l ,m,n ) il vettore direttore di r e con v⃗r '=( l ' ,m ' , n ' ) il vettore

direttore di r’, si ha:

r⊥ r '⟺ ^⃗vr⊥ v⃗r '⟺ (condizione di perpendicolarità fra vettori )l ∙l '+m∙m'+n∙n'=0.

&8.17 - Angolo fra retta e piano

Preliminarmente, dimostriamo la seguente proprietà.

Prop.8.17.1 – (Significato dei coefficienti a,b,c)

Se π è un piano di equazione ax + by + cz + d = 0, si dimostra che:

(a) i coefficienti (a,b,c) sono le componenti di un vettore perpendicolare al piano π;

(b) ogni retta perpendicolare al piano ha parametri direttori proporzionali ai coefficienti

(a,b,c) del piano π.

424


Dim.(a) Sappiamo che data una retta r e un suo punto P0, esiste ed è unico il piano π

perpendicolare in P0 a r.

Di conseguenza un piano π può definirsi anche come il luogo geometrico dei punti P tali

che P⃗0 Psia perpendicolare ad r:

π= {P∈S3|⃗P0P⊥r }.Di conseguenza, se indichiamo con n⃗=( l ,m ,n )un vettore direttore di r, si ha:

∀ P∈π : P⃗0 P⊥ n⃗⟺ (x−x0 , y− y0 , z−z0) ∙ ( l ,m ,n )=0⟺ l (x−x0 )+m ( y− y0 )+n ( z−z0 )=0⟹

⟹ l x+my+nz−(l x0+m y0+n z0 )=0.

Dal confronto di tale equazione con l’equazione ax + by + cz + d = 0, per la prop.8.8.1, si

ha:

al= bm

= cn.

Dunque, i parametri di giacitura (a,b,c) del piano π sono proporzionali alle componenti

( l ,m,n )di un vettore n⃗ perpendicolare a π, in particolare uguali.

Dim.(b) – Poiché la retta r perpendicolare al piano π ha per vettore direttore un vettore

v⃗r=( l ,m,n ) perpendicolare al piano π, la retta r ha parametri direttori proporzionali, in

particolare uguali, ai coefficienti (a,b,c) di π.

Ora poniamo la seguente definizione.

Def.8.17.1 - Dicesi angolo fra una retta r e un piano α l'angolo che la retta forma con la

sua proiezione ortogonale sul piano.

Se indichiamo con n la retta perpendicolare ad α nel punto in cui r interseca α, si ha che

r̂α= π2−r̂n.

Ciò osservato, sussistono le seguenti proprietà.

Prop.8.17.2.1 - Se r è una retta di parametri direttori ( l ,m,n ) e se α è un piano di

equazione ax + by + cz + d = 0, si dimostra che:

425


sen ( r̂α )=| a ∙l+b ∙m+c ∙n√a2+b2+c2 ∙√ l2+m2+n2|.

Dim.

sen ( r̂α )=sen ( π2 −r̂n)=co s ( r̂n )=| a ∙ l+b∙m+c ∙n√a2+b2+c2 ∙√ l2+m2+n2|.

Prop.8.17.2.1 - Se r è una retta di parametri direttori ( l ,m,n ) e se α è un piano di

equazione ax + by + cz + d = 0, si dimostra che:

(r è parallela ad α)⟺(a l+bm+cn=0) .

Dim. r ∥α⟺ r̂α=0⟺ sen ( r̂α )=0⟺a ∙ l+b ∙m+c ∙n=0.

&8.18 - Condizione di perpendicolarità fra retta e piano

Prop.8.18.1 - Se r è una retta avente parametri direttori ( l ,m,n ) e se π è un piano di

equazione ax + by + cz +d = 0, si dimostra che:

(r è perpendicolareal piano π )⟺ ( al = bm

= cn )

Dim. Per la prop.8.17.1, poiché r è perpendicolare a π, r ha parametri direttori ( l ,m,n )

proporzionali ai coefficienti a,b,c di π ⟺ al= bm

= cn .

Prop.8.18.2 - Se P0 è un punto di coordinate (x0,y0,z0) e se π è un piano di equazione ax +

by + cz + d = 0, allora la retta r passante per il punto P0 perpendicolare al piano π ha

equazione:

x−x0

a=

y− y0

b=z−z0

c

con l'avvertenza che se un denominatore è nullo lo è anche il rispettivo numeratore.

Dim. Poiché r è perpendicolare a π, r ha parametri direttori l = a, m = b, n = c e quindi la

sua equazione è:

x−x0

a=

y− y0

b=z−z0

c.

Prop.8.18.3 - Se P0 è un punto di coordinate (x0,y0,z0) e se r è una retta di parametri

direttori ( l ,m,n ), allora il piano π passante per P0 e perpendicolare ad r ha equazione

l ∙ (x−x0 )+m∙ ( y− y0 )+n ∙ ( z−z0 )=0.

La dimostrazione è analoga alla precedente.

8.18 - Angolo di due piani

Poniamo la seguente definizione.

426


Def.8.18.1 - Se α e β sono due piani incidenti (non paralleli) dello spazio S3 e se r è la retta

di intersezione di α con β, dice angolo formato dai due piani l’angolo formato dalle rette

n ed n’, dove e è un piano perpendicolare ad r:

Dunque:

Prop.8.18.1 - Se α e β sono due piani di equazione, rispettivamente,

α: ax + by + cz + d = 0 e β: a'x + b'y + c'z + d' = 0

si dimostra che:

cos (α β̂ )= aa '+bb'+cc '±√a2+b2+c2⋅√a' 2+b '2+c '2 .

Dim. Se indichiamo con un vettore perpendicolare al piano e con

un vettore perpendicolare al piano , sappiamo dalla geometria che

Corollario 8.18.1 – (Condizione di perpendicolarità fra piani)

Se α e β sono due piani di equazione, rispettivamente,

α: ax + by + cz + d = 0 e β: a'x + b'y + c'z + d' = 0

si dimostra che:

Dim.

427


&8.19 - Formula della distanza di un punto da un piano

Si pone la seguente definizione.

Def.8.19.1 – Se P0 è un punto di S3 e π è un piano di S3, detta P1 la proiezione ortogonale

di P0 su π, dicesi distanza di P0 da π la misura del segmento P0P1:

d(P0, π) = d(P0,P1).


Prop.8.19.1 - Se P0 è un punto di coordinate (x0,y0,z0) e se π è un piano di equazione ax +

by + cz + d = 0,

si dimostra che:

d (P0 , π )=|ax0+by0+cz0+d

√a2+b2+c2|.

Dim. La distanza del punto P0 dal piano π è la misura del segmento P0P1, dove P1 è la

proiezione ortogonale di P0 sul piano π:

Calcoliamo le coordinate di P1. Poiché la retta P0P1 è perpendicolare al piano π, essa ha

equazioni parametriche

e quindi

428


Pertanto:

&8.20 - Formula della distanza di due piani paralleli

Ricordiamo che se π e π’ sono due piani paralleli, tutti i punti di π hanno la stessa

distanza da π’:

Tale proprietà giustifica la seguente definizione.

Def.8.20.1 – Se π e π’ sono due piani paralleli, dicesi distanza di π da π’ quanto segue:


Prop.8.20.1 – Se π e π’ sono due piani paralleli, con π: ax + by + cz + d =0 e π’: ax + by

+ cz + d’ = 0, si dimostra che:

Dim. Scelto, ad esempio,

e quindi si ha:

&8.21 - Distanza di un punto da una retta


429


Def.8.21.1 – Se P0 è un punto di S3 e se r è una retta, dicesi distanza di P0 da r la distanza

di P0 da H, dove H è la proiezione ortogonale di P0 su r.

Non ci sono formule per calcolare la distanza di un punto da una retta: il procedimento che

consente di calcolare la distanza di P0 da r è il seguente.

1. Si scrive l'equazione del piano π passante per P0 e perpendicolare ad r;

2. si calcola il punto H di intersezione di π con r;

3. si calcola d(P0, H): è questa la distanza di P0 da r, d(P0,r) = d(P0,H).

Diamo un esempio.

Calcolare la distanza del punto P0(1,2,3) dalla retta r di equazioni

{x=1+2 t ¿ { y=−3+2 t ¿ ¿¿¿.

Soluzione

1) I parametri direttori di r sono:ℓ=2 ,m=2 , n=3 .

Di conseguenza, il piano π passante per P0(1,2,3) e perpendicolare ad r ha equazione

2(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0 ⇔2 x+2 y+3 z−15=0 .

2) Ora calcoliamo il punto H=π∩r :

{x=1+2 t ¿ { y=−3+2 t ¿ { z=2+3 t ¿ ¿¿¿⇒¿{x=1+26

17=43

17 ¿ {y=−3+2617

=−2517 ¿¿¿

.

3) Quindi la distanza di P0 da r è:

d (P0 ,r )=P0 H=√(4317 −1 )2+(−

2517 −2)2+(

7317 −3 )2=√262

172 +592

172 +222

172 =√464117 .

&8.22 - Distanza di due rette parallele

Ricordiamo che se due rette r ed r’ sono parallele, tutti i punti di r hanno la stessa distanza

da r’:

430


Tale proprietà giustifica la seguente definizione.

Def.8.22.1 – Se r e r’ sono sue rette parallele dicesi distanza di r da r’ quanto segue:

Non ci sono formule per calcolare la distanza di un punto da una retta: per ottenere la

distanza delle due rette parallele, si sceglie un punto P0 di r (a piacere) e si calcola d(r,r’) =

d(P0,r’) eseguendo i passi indicati nel paragrafo precedente.

&8.23 - Distanza di due rette sghembe – Retta di minima distanza


Def.8.23.1 – Se r e r’ sono due rette sghembe, detti H un punto di r e H’ un punto di r’ tali

che sia perpendicolare sia ad r sia ad r’, dicesi distanza delle due rette sghembe la

distanza di H da H’:

La retta HH’ dicesi retta di minima distanza delle rette sghembe r e r’.

Anche in questo caso non esiste una formula che permette di determinare la distanza

delle due rette sghembe.

Un procedimento che consente di calcolare la distanza delle rette sghembe r e r' è il

seguente:

1. Si scelgono un punto generico H di r e un punto generico H’ di r’;

2. si impone che il vettore sia perpendicolare sia ad r sia ad r';

3. si ottengono le coordinate di H e H’;

4. si calcola la distanza d(H,H');

5. d(r,r') = d(H,H') (distanza delle due rette sghembe);

6. (H,H’) è la retta di minima distanza.

Diamo un esempio.

Calcolare la distanza delle due rette sghembe

r: x = y = z ed r': x = - y +1 = 2z.

Soluzione

La retta r ha parametri direttori (1,1,1), la retta r' ha parametri direttori (2,-2,1).

431


Siano H ( z , z , z )ed H'(2z',-2z'+1,z') due punti appartenenti, rispettivamente, ad r ed r' ed

imponiamo che il vettore H⃗H '=(2 z '−z ,−2 z '−z+1 , z '−z )sia perpendicolare alle due rette r ed

r'. Si ha:

a) H⃗H '⏊r⇒(2 z '−z )⋅1+(−2 z '−z+1)⋅1+( z '−z )⋅1=0⇒ z '−3 z+1=0 ;

b) H⃗H '⏊r '⇒(2 z '−z )⋅2+(−2 z '−z+1)⋅(−2 )+( z '−z )⋅1=0⇒4 z '−2 z+4 z '+2 z−2+z '−z=0

⇒9 z '−z−2=0. Ponendo a sistema le due equazioni, si ha:

{ z '−3 z+1=0 ¿ ¿¿¿⇒H (11

26,1126

,1126

) e

H ' (1426

,1226

, 726

).

Quindi:

d(r,r') = HH '=√(14

26−11

26)2+(12

26−11

26)2+( 7

26−11

26)2=√ 9

262 + 1262 +16

262 =√2626

.

&8.24 – Coseni direttori di una retta

Def.8.24.1 – Se r è una retta dello spazio S3, si dicono coseni direttori di r i coseni degli

angoli che r forma con gli assi cartesiani x,y,z.

Se , allora i coseni direttori di r sono:

Proprietà dei coseni direttori

Prop.8.24.1 – Se r è una retta dello spazio S3 e se è un versore associato

alla retta r, si dimostra che i coseni direttori di r sono le componenti del versore associato

ad r:

432


Dim.

Prop.8.24.2 - Se r è una retta dello spazio S3 e se sono i suoi

coseni direttori, si dimostra che:

Dim. Per la prop. 8.24.1, si ha:

Prop.8.24.3 – (Nuova espressione dei coseni direttori)

Se r è una retta dello spazio S3 di parametri direttori , si dimostra che:

Dim. Se r ha parametri direttori , un vettore direttore di r è v di componenti

e un versore di r è:

Prop.8.24.4 – (espressione di un vettore mediante i coseni direttori)

433


Dim.

434


CAP. 8 - ESERCIZI RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

E1 – Scrivere le equazioni della retta r passante per A(1,1,2) e parallela al vettore v⃗ (1 ,−1,1) .Soluzione

La retta r è il luogo geometrico dei punti P(x,y,z) tali che A⃗P // v⃗⇔ A⃗P=t⋅v⃗⇒

( x−1 , y−1 , z−2 )=t (1 ,−1,1)=( t ,−t , t )⇒¿ {x−1=t ¿ {y−1=−t ¿ ¿¿ (eq.parametriche di r).

Le equazioni cartesiane si ottengono eliminando t:

{t=x−1 ¿ {t=− y+1¿ ¿¿¿ (equazioni cartesiane di r).

E2 – Determinare le equazioni cartesiane e parametriche della retta r passante per i punti

P1(1,0,-2) e P2(2,1,3).

Soluzione

La retta r è la retta passante per P1(1,0,-2) e parallela al vettore

P⃗1 P2(2−1,1−0,3+2 )=(1,1,5 ). Di conseguenza, i parametri direttori di r sono:

(ℓ=1 ,m=1 ,n=5 )

e le equazioni parametriche di r sono:

{x=x1+ℓt=1+ t ¿ { y= y1+mt=t ¿ ¿¿¿.

Le equazioni cartesiane sono:

x−x1

ℓ=

y− y1

m=

z−z1

n⇔ x−1

1= y−0

1= z+2

5⇒¿ {x−1= y ¿ ¿¿

E3 – Calcolare le equazioni parametriche della retta r:{x+2 y−3 z−1=0 ¿ ¿¿¿

.

Soluzione

Posto ad esempio z = t, si ha:

435


{x+2 y−3 t−1=0 ¿ ¿¿¿

⇒¿{x=75t−9

5 ¿{y=45t−2

5 ¿ ¿¿.

E4 – Calcolare i parametri direttori della retta passante per i punti A(1,2,1) e B(2,-1,3).

Soluzione

I parametri direttori della retta r sono le componenti del vettore

A⃗B=(2−1 ,−1−2,3−1 )=(1 ,−3,2).

Quindi: {ℓ=1 ¿ {m=−3 ¿¿ ¿¿

.

E5 – Calcolare i parametri direttori della retta r:{x−2 y+z=1 ¿¿¿¿

.

Soluzione

I parametri direttori sono i minori estratti del 2° ordine dalla matrice

( a b ca' b ' c ' )=(1 −2 1

2 −3 3 ).

Nel nostro caso:

{ℓ=|−2 1−3 3

|=−6+3=−3 ¿ {m=−|1 12 3

|=2−3=−1 ¿ ¿ ¿¿.

E6 – Calcolare le componenti dei vettori paralleli alla retta r: {x−2 y+2 z=5¿ ¿¿¿

.

Soluzione

Calcoliamo dapprima le componenti del vettore direttore della retta r:

436


v⃗r¿ {ℓ=|−2 2−4 1

|=−2+8=6 ¿ {m=−|1 22 1

|=4−1=3 ¿ ¿¿.

Di conseguenza, ∀ v⃗ // r : v⃗ // v⃗r⇒ v⃗=h v⃗r=h (6,3,0)=(6h ,3h ,0 ).

E7 – Verificare che le rette r:{x− y+z=0¿ ¿¿¿

ed s: {x+ y=0 ¿ ¿¿¿

sono sghembe.

Soluzione

Calcoliamo i vettori direttori di r e di s.

La matrice dei coefficienti di r è (1 −1 12 −1 0 )

;

i parametri direttori di r sono:

{lr=|−1 1−1 0

|=1 ¿ {mr=−|1 12 0

|=2 ¿ ¿¿¿Quindi, il vettore direttore di r è:

v⃗r=(1,2,1 ) .

La matrice dei coefficienti di s è (1 1 00 0 1 )

;

i parametri direttori di s sono:

{ls=|1 00 1

|=1¿ {ms=−|1 00 1

|=−1 ¿ ¿¿ ¿Quindi, il vettore direttore di s è:

v⃗s=(1,−1,0 ) .

437


Poiché v⃗r=(1,2,1 ) // v⃗s=(1,−1,0 ) ⇒ r ed s sono incidenti o sghembe, ovvero r ed s hanno

un solo punto o non hanno punti in comune. Per questo, studiamo il sistema formato dalle

equazioni delle due rette:

{x− y+ z=0¿ {2 x− y=1 ¿ {x+ y=0 ¿ ¿¿¿

La matrice incompleta del sistema è: A = (1 −1 12 −1 01 1 00 0 1

),

la matrice completa del sistema è: A’= (1 −1 1 02 −1 0 11 1 0 00 0 1 0

).

Poiché rang(A’) = 4⇒ rang( A )<rang( A ' )⇒ il sistema è incompatibile e le rette sono

sghembe.

E8 – Verificare che le rette r: {x=1−t ¿ {y=2 t ¿¿¿¿

ed s: {x=t ¿ { y=1−t ¿ ¿¿¿

sono complanari e determinare le

equazioni parametriche del piano π da esse individuato.

Soluzione

Il vettore direttore di r è

v⃗r(−1,2,1)

il vettore direttore di s è

v⃗s(1 ,−1,1 )

Poiché v⃗r(−1,2,1) // v⃗s(1 ,−1,1 ), le rette r ed s non sono parallele.

Verifichiamo che r ed s sono incidenti. Il punto P comune alle due rette, se esiste, deve

avere coordinate uguali e perciò deve risultare

{1−t=t ' ¿ {2 t=1−t ' ¿¿¿¿: quindi esiste ed è unico il punto P di

intersezione delle due rette, P0(1,0,0).

438


Le due rette sono incidenti e quindi complanari.

Il piano da esse individuato è il piano π(P0(1,0,0), //v⃗r(−1,2,1) , //v⃗s(1 ,−1,1 )).Esso è il luogo geometrico dei punti P(x,y,z) tali che

P⃗0 P=t v⃗r+u v⃗s⇒¿ {x=1+ t (−1)+u⋅1=1−t+u ¿ { y=0+t⋅2+u(−1 )=2 t−u ¿ ¿¿⇒π :¿ {x=1−t+u ¿ { y=2 t−u¿ ¿¿.

(Eliminando i parametri t e u si ottiene l’equazione cartesiana del piano).

E9 – Dato il punto A(1,2,3)∈S3 e il vettore v⃗=2 i⃗−3 k⃗∈V 3(O ), calcolare:

a) le equazioni parametriche della retta r di S3 passante per A e parallela al vettore v⃗

;

b) stabilire se B(3,2,0) e C(-1,2,1) appartengono ad r.

Soluzione

a) I parametri direttori di r sono:

{ℓ=2 ¿ {m=0 ¿¿¿¿e le equazioni parametriche di r sono:

{x=xA+ℓt=1+2t ¿ { y= yA+mt=2¿ ¿¿¿

b) B

∈ r⇔∃ t∈R∋ ' ¿ {3=1+2 t ¿ {2=2 ¿¿¿

C∈ r⇔∃ t∈ R∋ ' ¿ {−1=1+2 t ¿ {2=2 ¿ ¿¿E10 – Verificare che le rette r ed r’ di S3, aventi equazioni rispettive

r :¿ {x=1+2 t ¿ { y=2¿ ¿¿ ed

r ':¿ {x=2−2 t ¿ { y=0 ¿ ¿¿sono parallele.

439


Soluzione

La retta r, avente parametri direttori {ℓ=2 ¿ {m=0 ¿¿¿¿

, è parallela al vettore v⃗=2 i⃗−3 k⃗ ;

La retta r’, avente parametri direttori {ℓ '=−2¿ {m'=0 ¿ ¿¿¿

, è parallela al vettore v⃗ '=−2 i⃗+3 k⃗ .

Poiché ll '

= nn '

=−1ed m=m'=0⟹ r ∥r ' . Infatti, si osservi che v⃗ = (-1)∙v⃗ '.

E11 – Stabilire la posizione reciproca delle rette r ed r’ di S3, aventi rispettivamente


r :¿ {x=1+2 t ¿ { y=2¿ ¿¿ ed

r ':¿ {x=−1+t ¿ { y=2−t ¿ ¿¿.

Soluzione

La r è parallela al vettore v = (2,0,-3), la retta r’ è parallela al vettore v’ = (1,-1,1).

Poiché v // v’ , ne segue che r // r’: di conseguenza, le rette r ed r’ sono incidenti o

sghembe.

Affinché le rette siano incidenti dovrà esistere un punto P(x,y,z) appartenente sia ad r sia

ad r’ ⇔∃ t , t '∈R∋ ' ¿ {x=1+2 t ¿ {y=2¿ ¿¿

Quindi, il sistema di condizioni è compatibile e le due rette sono incidenti.

E12 – Scrivere le equazioni parametriche del piano passante per A(1,2,3) e parallelo ai

vettori v = 2 i⃗−3 k⃗ e w = i⃗+ j⃗+k⃗ di V3(O).

Soluzione

Le equazioni parametriche sono: {x=1+2 t+u ¿ { y=2+u ¿ ¿¿¿

E13 – Dati i punti A(1,2,-3), B(2,1,1) e C(2,2,2), scrivere le equazioni parametriche del

piano α passante per A, B, C.

Soluzione

Il piano passante per A,B,C è il piano passante per A, parallelo ai vettori AB e AC.

440


Calcoliamo i vettori v⃗= A⃗B e w⃗= A⃗C :

v⃗=i⃗− j⃗+4 k⃗=(1 ,−1,4 )w⃗=i⃗+5 k⃗=(1,0,5)

Quindi il piano richiesto ha equazioni parametriche:

{x=xA+v xt+wxu=1+t+u ¿ { y= yA+v y t+wy u=2−t ¿ ¿¿¿E14 – Scrivere l’equazione cartesiana del piano α passante per A(1,2,3) e perpendicolare

al vettore v = 2 i⃗+ j⃗−3 k⃗ .

Soluzione

L’equazione del piano α è:

2(x-1) + 1(y-2) - 3(z-3) = 0 ⇔2 x+ y−3 z+5=0⇔2 x+ y−3 z=−5 .

E15 – Si considerino i piani α, β, γ aventi, rispettivamente, equazione cartesiana

α: 2x + y - 3z = - 5, β: x + y + z = 1, γ: -2x – y + 3z = -1.

Stabilire la posizione reciproca di α, β e γ.

Soluzione

a) I piani α e β sono perpendicolari a v = (2,1,-3) e w = (1,1,1).

Poiché v // w ⇒α // β . Inoltre, poiché

rang(2 1 −31 1 1 )=rang (2 1 −3 −5

1 1 1 1 )=2⇒ i piani α e β sono incidenti nella retta di

equazioni cartesiane

{2 x+ y−3 z=−5 ¿¿¿¿.

b) I piani α e γ sono perpendicolari a v = (2,1,-3) e w = (-2,-1,3).

Poiché v // w ⇒α // γ . Inoltre, poiché

rang( 2 1 −3−2 −1 3 )=1∧rang( 2 1 −3 −5

−2 −1 3 −1 )=2⇒ i piani α e non hanno punti

comuni e sono, quindi, paralleli e distinti.

c) Poiché β è incidente il piano α, allora β è incidente anche il piano γ // α.

E16 – Sia α un piano di equazione 2x + y - 3z = - 5 e siano r’,r’’,r’’’ tre rette di equazioni

parametriche

441


r’: {x=−1+t ¿ {y= t ¿¿¿¿

r’’: {x=t ¿ { y=2+ t ¿¿¿¿

r’’’: {x=−1+t ¿ {y=−3+t ¿ ¿¿¿

.

Verificare che:

a) r’ è una retta incidente il piano α;

b) r’’ è una retta parallela ad α ⇔r ''∩α=∅

;

c) r’’’ ⊆α

Soluzione

a) Per stabilire la posizione di r’ ed α, occorre stabilire se esistono punti di r’ che

appartengono ad α. Se P è un generico punto di r’, P(t-1,t,1-t), esso appartiene ad α se

le sue coordinate soddisfano l’equazione di α.

Facendo i calcoli si ottiene: 2(t-1) + t - 3(1-t) = - 5 ⇒6 t=0⇒ t=0 .

Dunque, esiste un unico punto di intersezione P(-1,0,1): la retta è incidente il piano α.

b) Consideriamo, ora, la retta r’’. Procedendo in modo analogo, tenuto conto che il

generico punto P di r’’ ha coordinate P(t,t+2,t+1), si ha:

2t + t +2 -3(t+1) = 0 ⇒3 t−3 t−1=0⇔−1=0 : impossibile.

Dunque, non esistono punti comuni: la retta r’’ è parallela al piano α.

c) Concludiamo esaminando la posizione relativa di α ed r’’’. Procedendo come sopra,

tenuto conto che il generico punto P di r’’’ ha coordinate P(t-1,t-3,t), si ha:

2(t-1) +1(t-3) – 3t = - 5 ⇔2 t−2+t−3−3 t=−5⇔−5=−5 ,∀ t∈ R

Quindi, poiché ogni punto di r’’’ appartiene ad α, è

r '''⊆ α .E17 – Nello spazio S3, si considerino i punto A(1,1,0), B(1,0,1), C(0,1,1): calcolare il piano

passante per A,B,C.

Soluzione

Poiché i vettori A⃗B=− j⃗+k⃗ e A⃗C=−i⃗+k⃗ non sono paralleli, i tre punti A,B,C non sono

allineati e quindi esiste ed è unico il piano α che li contiene.

Se P(x,y,z) è il generico punto di α, l’equazione cartesiana è:

442


|x−1 y−1 z

0 −1 1−1 0 1

|=0⇒(x−1)(−1)−( y−1 )+z (−1)=0⇒−x− y−z+2=0⇔ x+ y+z=2

E18 – Scrivere le equazioni cartesiane della retta r avente equazioni parametriche

{x=1+2 t ¿ { y=2 ¿¿¿¿.

Soluzione

Le equazioni cartesiane si ottengono eliminando il parametro t. Nel nostro caso:

{x=1+2 t ¿ { y=2 ¿¿¿¿.

E19 – Data la retta r di equazioni cartesiane {2 x+ y−3 z=−5 ¿¿¿¿

, calcolare le sue equazioni

parametriche.

Soluzione

Per ottenere le equazioni parametriche di r, bisogna introdurre un parametro ponendo una

delle incognite uguale al parametro t.

Nel nostro caso, ponendo y = t, il sistema diventa:

{2 x+t .−3 z=−5 ¿ { y=t ¿ ¿¿¿

⇒¿{x=−45t−2

5 ¿ { y=t ¿ ¿¿{x=−45t−2

5 ¿ { y=t ¿ ¿¿¿

E20 – Dato il piano α: – 2x – y + 3z = -1 e la retta r: {2 x+ y−3 z=−5 ¿¿¿¿

, stabilire la posizione

reciproca di α ed r.

Soluzione

Consideriamo il sistema di equazioni formato da r e da α:

443


{2 x+ y−3 z=−5 ¿ {x+ y+z=1 ¿ ¿¿¿e siano

A = ( 2 1 −3

1 1 1−2 −1 3 )

e A’ = ¿¿le matrici associate.

Sappiamo che:

r⊆α⇔rang ( A )=rang (A ' )=2

r //α⇔ rang( A )=2∧rang( A ' )=3

r∩α={P }⇔ rang( A )=rang (A ')=3

Nel nostro caso:

a12,12 =

|2 11 1

|=2−1=1≠0⇒a123 ,123=|2 1 −31 1 1

−2 −1 3|

2 11 1

−2 −1=(6−2+3)−(6−2+3)=0

⇒ rang( A )=2 .

a’123,124 =

|2 1 −51 1 1

−2 −1 −1|

2 11 1

−2 −1=(−2−2+5 )−(10−2−1 )=1−7=−6≠0⇒

⇒ rang( A ' )=3 .

Si deduce che r∩α=∅ : r è parallela ad α.

E21 – Date le rette r: {2 x+ y−3 z=−5 ¿¿¿¿

ed r’: {3 x− y+3 z=2 ¿¿¿¿

, stabilire la loro posizione

reciproca.

Soluzione

Consideriamo il sistema di equazioni formato da r e da r’:

444


{2 x+ y−3 z=−5 ¿ {x+ y+z=1 ¿ {3 x− y+3 z=2¿ ¿ ¿¿e siano

A = (2 1 −31 1 +13 −1 31 −1 1

) e A’ =

(2 1 −3 −51 1 1 13 −1 3 21 −1 1 1

)le matrici associate.

Sappiamo che:

r≡r '⇔ rang( A )=rang (A ' )=2

r // r '⇔rang (A )=2∧rang (A ' )=3

r∩r '= {P }⇔rang (A )=rang( A ' )=3

r ed r’ sono sghembe ⇔rang ( A )=3∧rang( A ' )=4

Nel nostro caso:

a123,1123 =

|2 1 −31 1 +13 −1 3

|2 11 13 −1

=(6+3+3)−(−9−2+3 )=12+8=20≠0⇒rang (A )=3 ;

a’1234,1234 =

|

2 1 −3 −51 1 1 13 −1 3 21 −1 1 1

|=

(sottraendo dalla riga 2 la riga 1 e sommando alla riga 3 e

alla riga 4 la riga 1)

=|

2 1 −3 −5−1 0 4 65 0 0 −33 0 −2 −4

|

= (risolvendo rispetto alla 2 colonna) =

−|−1 4 65 0 −33 0 −4

|=+|5 −33 −4

|=−20+9=−11≠0⇒ rang( A ' )=4.

445


Pertanto, poiché rang(A) = 3 e rang(A’) = 4, le due rette sono sghembe.

Distanze

E22 – Dati il punto P0(1,2,3) e il piano α di equazione 3x -2y – z = 0, calcolare la distanza

di P0 da α.

Soluzione

Applicando la formula della distanza di un punto da un pino, si ha:

d (P0 ,α )=|ax0+by0+cz0+d|

√a2+b2+c2=

|3−4−3|√9+4+1

= 4√14 .

E23 – Dati il punto P0(1,2,3) e la retta r di equazioni parametriche {x=3+t ¿ {y=t−2 ¿ ¿¿¿

, calcolare la

distanza di P0 da r.

Soluzione

Applichiamo la definizione di distanza di un punto da una retta. Per questo, dobbiamo

calcolare:

1. il piano α passante per P0 e perpendicolare ad r;

2. calcolare l’intersezione di α con r, H=α∩r ;

3. calcolare P0H = d(P0,r).

Imponiamo nell’ordine le tre condizioni.

1. Un vettore parallelo ad r è v = (1,1,2) le cui componenti sono i parametri direttori di

r.

Di conseguenza, il piano α passante per P0(1,2,3) e perpendicolare ad r ha equazione

cartesiana

1(x-1) + 1(y-2) + 2(z-3) = 0 ⇔ x+ y+2 z−9=0⇔ x+ y+2 z=9

2. Calcoliamo H=α∩r :

{x=3+t ¿ {y=t−2¿ { z=2 t−3 ¿¿¿¿446


⇒6 t=9−1+6⇒ t=146

=73 .

Quindi il punto H ha coordinate {x=3+ 73=16

3; y= 7

3−2=1

3; z=14

3−3=5

3}.

3. d(P0,r) = PH

= √(

163

−1)2+(13−2)2+(

53−3)2=√210

9=√70

3.

E24 – Nello spazio S3, si considerino i piani:

α: x + y + z = 1 α’: x – y + 2z = -1 α’’: -x + y - 2z = -1.

Dire fra quali di essi è possibile calcolare la distanza della quale si chiede la misura.

Soluzione

Consideriamo i piani α e α’. Poiché rang(1 1 11 −1 2 )=2

, i piani sono incidenti: la

nozione di distanza fra di essi non è definita.

Consideriamo, ora, i piani α e α’’. Poiché rang( 1 1 1−1 1 −2 )=2

, i piani sono incidenti:

la nozione di distanza fra di essi non è definita.

Infine, consideriamo i piani α’ e α’’. Poiché

rang( 1 −1 2−1 1 −2 )=1

risulta

α’ // α’’.

In tal caso:

d (α ',α '')= |d−d '|

√a2+b2+c2=

|1+1|√1+1+4

= 2√6 .

E25 – Si consideri la retta r di equazioni parametriche {x=3+t ¿ {y=t−2 ¿ ¿¿¿

e il piano α di equazione

3x + y - 2z = 0. Calcolare la distanza di r da α.

Soluzione

447


La retta r ha parametri direttori (l,m.n) = (1,1,2), il piano α ha parametri di giacitura (a,b,c)

= (3,1,-2). Poiché

aℓ+bm+cn=3⋅1+1⋅1+(−2)⋅2=4−4=0risulta r // α.

In tal caso, scelto un punto qualsiasi P0∈ r ,P0(3,-2,-3) ottenuto per t = 0, si ha:

d(r,α) = d(P0,α) =

|3⋅3+1(−2)−2(−3 )|√9+1+4

=13√14 .

E26 - Si consideri la retta r di equazioni cartesiane {x+ y−z=4 ¿ ¿¿¿

e il piano α di equazione

3x - y - 2z = 0. Calcolare la distanza di r da α.

Soluzione

Preliminarmente, verifichiamo che la retta r è parallela al piano α. I parametri direttori di r

sono i minori estratti della matrice

presi con segno alterno:

Poiché

la retta r è parallela al piano α.

Calcoliamo la distanza di r da α e per questo scegliamo un punto qualsiasi di r, ad

esempio P0(5,0,1) ottenuto dalla equazioni di r per y = 0.

Applicando la formula della distanza di un punto da un piano, si ottiene:

E27 – In S3 sia fissato un sistema di riferimento O i⃗ j⃗ k⃗ e si considerino le due rette r ed r’ di


r: {x=3+t ¿ {y=t−2 ¿ ¿¿¿

r’: {x=1+t ¿ { y=2+t ¿¿¿¿

.

Calcolare d(r,r’).

Soluzione

448


Le rette r ed r’ sono parallele perché entrambe parallele al vettore

v⃗=ℓ i⃗+m j⃗+n k⃗=i⃗+ j⃗+2 k⃗ .Per calcolare la distanza d(r,r’), procediamo come segue.

Sia P’0(1,2,3)∈ r '

, ottenuto per t = 0;

Sia α(P’0, ┴ r). Esso ha equazione:

ℓ ( x−1)+m( y−2)+n( z−3 ))=0⇔ x−1+ y−2+2( z−3 )=0⇒ x+ y+2 z=9

Sia H

=α∩r⇔3+t+t−2−6+4 t=9⇒6 t=14⇒ t=73⇒Halignl {x=3+ 7

3=16

3 ¿ {y=73−2=1

3 ¿ ¿¿¿

Quindi:

d(r,r’) = d(P’0,H) = √(163

−1)2+( 13−2)2+( 5

3−3)2=√(13

3 )2+(−5

3 )2+(−4

3 )2=

=√1699

+259

+169

=√21036

=√709

=√703 .

E28 – Date le rette di equazioni parametriche

r: {x=3+t ¿ {y=t−2¿ ¿¿¿

ed r’: {x=−t ¿ {y=t−2¿ ¿¿¿

,

1. Verificare che r ed r’ sono sghembe

2. Calcolare la distanza d(r,r’)

3. Calcolare la retta di minima distanza fra r ed r’.

Soluzione

1. La retta r passa per il punto P(3,-2,-3) ed è parallela al vettore v⃗=(1,1,2 )

;

la retta r’ passa per il punto P’(0,-2,1) ed è parallela al vettore v⃗ '=(−1,1,2) .

Poiché v⃗ // v⃗ '⇒ r // r’.

449


Ne segue che r ed r’ sono o incidenti o sghembe.

Se P(x,y,z) è il punto comune ad r ed r’ deve aversi simultaneamente:

P∈ r :¿ {x=3+ t ¿ { y=t−2 ¿ ¿¿

e P∈ r ':{x=−t ' ¿ {y=t '−2¿ ¿¿ ¿

e quindi:

{3+t=−t ' ¿ {t−2=t '−2¿ ¿¿¿.

Poiché tale sistema è impossibile, le due rette non sono incidenti e, quindi, sono

sghembe.

2. Calcoliamo la loro distanza. A tal fine, dobbiamo determinare due punti R ed R’

appartenenti, rispettivamente, ad r ed r’ tali che il vettore sia perpendicolare ad

r ed r’.

Poiché R(t+3,t-2,2t-3) ed R’(-t’,t’-2,2t’+1), si ha che

v⃗=R⃗R'=( t+3+t ',t−2−t '+2,2 t−3−2t '−1 )=( t+t '+3 , t−t ',2 t−2 t '−4 ) .

Imponiamo che sia perpendicolare ad r ed r’:

R⃗R'

┴ v⃗r⇒ ( t+ t '+3 , t−t ', 2t−2t '−4 )⋅(1,1,2)=0⇒t+t '+3+ t−t '+4 t−4 t '−8=0⇒

⇒6 t−4 t '=5 (1)

R⃗R'

┴ v⃗r '⇒ ( t+ t '+3 , t−t ', 2t−2t '−4 )⋅(−1,1,2)=0⇒−t−t '−3+t−t '+4 t−4 t '−8=0⇒

⇒4 t−6 t '=11 (2)

Ponendo a sistema le due equazioni, si ha:

{6 t−4 t '=5 ¿¿¿¿.

La distanza delle due rette sghembe è:

d (r , r ' )=RR'=√(−2710

+4310

)2+(−4410

+3610

)2=√165 .

3. La retta di minima distanza è la retta s passante per R ed R’, s = (R,R’).

450


Applicando la formula della retta per due punti, si ha:

{x=xR+(x R '−xR )t=2310 ¿ {y= y R+( yR '− yR )t=−27

10−16

10t ¿¿¿¿

Angolo fra rette e piani

E29 – Calcolare gli angoli formati dalle rette r ed r’ aventi equazioni parametriche

r: {x=3+t ¿ {y=−2+t ¿ ¿¿¿

r’: {x=3+2 t ¿ { y=−2+t ¿¿¿¿

Soluzione

La retta r è parallela al vettore

v⃗=i⃗+ j⃗+2 k⃗=(1,1,2) ,

la retta r’ è parallela al vettore

v⃗ '=2 i⃗+ j⃗−2 k⃗=(2,1 ,−2 ).

Poiché v⃗ // v⃗ '⇒ r // r’. Calcoliamo gli angoli formati da r ed r’:

cos (r r̂ ' )= |v⃗⋅v⃗ '||v⃗|⋅|v⃗ '|

=|(1,1,2)(2,1 ,−2 )|√1+1+4⋅√4+1+4

=|2+1−4|√6√9

= 13√6

⇒

ϑ=arccos( 13√6

) e

ϑ '=π−arccos( 13√6

).

E30 - Calcolare l’angolo formato dalla retta r e dal piano α, dove

r: {x=3+t ¿ {y=−2+t ¿ ¿¿¿

ed α: x + y + z = 0.

Soluzione

Un vettore parallelo ad r è v⃗=i⃗+ j⃗+2 k⃗=(1,1,2) , mentre un vettore perpendicolare ad α è

v⃗ '=i⃗+ j⃗+k⃗=(1,1,1 ). Gli angoli formati da r ed α sono:

451


1.

ϑ=π2− v⃗ ^⃗v '⇒ sen (ϑ )=sen( π

2− v⃗ ^⃗v ' )=cos( v⃗ ^⃗v ' )=|⃗v⋅v⃗ '|

|v⃗||⃗v '|⇒

ϑ=arcsin ( v⃗ ^⃗v ' )=arcsin (|v⃗⋅⃗v '||v⃗||v⃗ '|

)=arcsin (|1+1+2|

√1+1+4√1+1+1)=arcsin ( 4

√18).

2.

ϑ '=π−ϑ=π−arsin ( 4√18

) .

E31 - Siano α ed α’ due piani di equazione rispettivamente

α: x + 2y – z = 1 ed α’: 3x – y - z = 0.

Calcolare l’angolo formato da α ed α’.

Soluzione

Due vettori perpendicolari ad α ed α’ sono rispettivamente

v⃗α=i⃗+2 j⃗− k⃗=(1,2 ,−1) e v⃗α '=3 i⃗− j⃗+k⃗=(3 ,−1,−1) .Poiché

v⃗α⋅⃗vα '=(1,2 ,−1 )⋅(3 ,−1 ,−1)=3−2+1=2

,

|⃗vα|=√1+4+1=√6

,

|⃗vα '|=√9+1+1=√11

,

gli angoli formati dai due piani sono:

ϑ=arccos( 2√66

) e

ϑ '=π−ϑ=π−arccos ( 2√66

).

Problemi variE32 – Determinare I parametri λ e µ in modo che il punto P(3,λ,µ) sia allineato con

P1(1,2,1) e P2(2,3,-1).

Soluzione

La condizione di allineamento di P con P1 e P2 è che P∈ r (P1 ,P2 ) , dove r ha equazione:

452


|x y z1 2 12 3 −1

|=0.

Di conseguenza,

P∈r⇒|3 λ μ1 2 12 3 −1

|=0⇒3(−5)−λ(−3 )+μ (−1 )=0⇒3 λ−μ−15=0

⇒μ=3 λ−15 .

Ad esempio, per λ=0 è µ = -15 e P(3,0,-15).

E33 – Determinare il parametro h in modo che il punto P(1,2 – h,h) sia complanare con

P1(1,0,0), P2(0,2,0), P3(0,0,3).

Svolgimento

La condizione di complanarità di P con P1(1,0,0), P2(0,2,0), P3(0,0,3) è che P∈α(P1 , P2 , P3 )

avente equazione

|

x y z 11 0 0 10 2 0 10 0 3 1

|=0⇒|

1 2−h h 11 0 0 10 2 0 10 0 3 1

|=0⇒

(sottraendo la colonna 4 dalla colonna 1)

|

0 2−h h 10 0 0 1

−1 2 0 1−1 0 3 1

|=0⇒

(risolvendo rispetto alla 2a riga)

|0 2−h h

−1 2 0−1 0 3

|=0⇒

(sottraendo la 3a riga dalla 2a)

|0 2−h h0 2 −3

−1 0 3|=0⇒(−1)|2−h h

2 −3|=0⇒

⇒2h+3 (2−h )=0⇒−h+6=0⇒h=6 .

Il punto P(1,-4,6).

E34 – Determinare le equazioni parametriche e l’equazione cartesiana del piano α

passante per A(1,1,1) e parallelo ai vettori v⃗1 (2 ,−1,1)e v⃗2(1,0,1) .Soluzione

Il piano α è il luogo dei punti P tali che

A⃗P=h v⃗1+k v⃗2⇔ ( x−1 , y−1 , z−1)=(2h ,−h ,h)+(k ,0 , k )=(2h+k ,−h ,h+k )⇒

453


{x−1=2h+k ¿ {y−1=−h ¿ ¿¿¿(equazioni parametriche di α)

L’equazione cartesiana si può ottenere in due modi:

1. Eliminando h e k dal sistema precedente.

2. Imponendo che i vettori AP, v1, v2 siano linearmente dipendenti ovvero imponendo che

|x−1 y−1 z−1

2 −1 11 0 1

|=0⇒( x−1)(−1)−( y−1 )(2−1)+( z−1)=0⇒−x+1− y+1+z−1=0

⇒ x+ y−z−1=0 (equazione cartesiana di α)

E35 – Determinare le equazioni parametriche e l’equazione cartesiana del piano α

passante per A(-1,0,1), B(2,1,0) e parallelo al vettore v(0,1,1).

Soluzione

Il piano α è il luogo dei punti P(x,y,z) ∋ ' A⃗P=h A⃗B+k v⃗⇔

( x+1, y , z−1)=h(2+1,1−0,0−1)+k (0,1,1)⇒( x+1 , y , z−1)=(3h ,h ,−h)+( 0 , k , k )⇒

⇒( x+1, y , z−1)=(3h ,h+k ,−h+k )⇒¿ {x+1=3h ¿ { y=h+k ¿¿¿

Sono queste le equazioni parametriche di α.

Calcoliamo l’equazione cartesiana di α, imponendo che i vettori

AP = (x+1,y,z-1), AB = (3,1,-1), v(0,1,1) sono L.D.

|x+1 y z−1

3 1 −10 1 1

|=0⇒( x+1)⋅2− y⋅3+( z−1)⋅3=0⇒2 x−3 y+3 z−1=0

È questa l’equazione cartesiana di α.

E36 – Determinare l’equazione cartesiana del piano α passante per i tre punti A(1,2,-1),

B(0,1,2), C(-2,3,1).

Soluzione

Il piano α è il luogo geometrico dei punti P(x,y,z) tale che

A⃗P=h A⃗B+k A⃗C⇔ A⃗P , A⃗B , A⃗C sono L.D.

⇔|x−1 y−2 z+10−1 1−2 2+1

−2−1 3−2 1+1|=0⇒

454


⇒

|x−1 y−2 z+1−1 −1 3−3 1 2

|=0⇒( x−1 )(−5)−( y−2 )(−2+9)+(z+1 )(−1−3)=0⇒

⇒−5 x+5−7 y+14−4 z−4=0⇒−5x−7 y−4 z+15=0⇒5 x+7 y+4 z−15=0 .

E37 – Determinare l’equazione del piano α passante per il punto P(2,1,3) e parallelo al

piano β: x - 2y + z = 0.

Soluzione

Poiché il piano α // β, i parametri di giacitura devono essere proporzionali, in particolare

uguali:

a = 1, b = -2, c = 1.

Quindi il piano α deve avere equazione

x - 2y + z + d = 0.

Imponendo l’ulteriore condizione che α passi per P, si ha:

2 – 2 + 3 + d = 0 ⇒d=−3⇒α : x−2 y+z−3=0 .

E38 – Determinare l’equazione cartesiana del piano passante per il punto P 0(1,1,1) e

parallelo alle rette r:{x− y+z=0¿ ¿¿¿

ed r’:{−x+2 y+1=0 ¿ ¿¿¿

.

Soluzione

I parametri direttori di r sono:

ℓ=|−1 1−1 −1

|=1+1=2 ;m=−|1 12 −1

|=2+1=3 ;n=|1 −12 −1

|=−1+2=1.

I parametri direttori di r’ sono:

ℓ '=|2 00 1

|=2;m'=−|−1 03 1

|=1n '=|−1 23 0

|=−6.

Quindi, il piano α è il piano per P0(1,1,1) e parallelo ai vettori v⃗ (2,3,1 )e v⃗ ' (2,1,−6 ). La sua

equazione è:

|x−1 y−1 z−1

2 3 12 1 −6

|=0⇒19 x−14 y+4 z−9=0.

E39 – Determinare l’equazione cartesiana del piano α passante per il punto P 0(1,-2,1) e

perpendicolare alla retta passante per i punti P1(2,3,1) e P2(3,-2,4).

Soluzione

La retta P1P2 ha parametri direttori

455


ℓ=3−2=1 , m=−2−3=−5 , n=4−1=3 .

Di conseguenza, il piano α passante per P0(1,-2,1) e perpendicolare a P1P2 ha equazione

1(x-1) - 5(y+2) + 3(z-1) = 0 ⇔ x−5 y+3 z−14=0 .

E40 – Determinare l’equazione del piano passante per P0(1,0,-1) e perpendicolare alla

retta r di equazioni

{x=z−1 ¿ ¿¿¿Soluzione

I parametri direttori della retta r sono (1,-2,1) e questi sono anche i coefficienti del piano

che ha equazione:

(x-1) -2(y-0) +(z+1) = 0 ⇔ x−2 y+z=0 .

E41 – Determinare le equazioni cartesiane della retta r’ proiezione ortogonale delle retta r

di equazioni {x=z−1 ¿ ¿¿¿

sul piano α di equazione 3x – y – z - 2 = 0.

Soluzione

La retta r’ è l’intersezione del piano α con il piano β passante per r e perpendicolare ad α:

calcoliamo β.

Poiché β passa per r: {x−z+1=0 ¿ ¿¿¿

, β appartiene al fascio di piani passanti per r.

L’equazione del fascio è:

a (x−z+1 )+b( y+z+1)=0⇔ax+by+(b−a )z+( a+b )=0

Ora imponiamo che β sia perpendicolare ad α ⇔a(+3 )+b(−1)+(b−a)(−1)=0⇔

4 a−2b=0⇔2a−b=0⇒ b=2a .

Sostituendo nell’equazione del fascio si ha:

ax+2ay+az+3a=0⇔x+2 y+z+3=0

Di conseguenza, le equazioni di r’ = α∩β sono: {3 x− y−z−2=0 ¿ ¿¿¿

.

E42 – Scrivere l’equazione cartesiana del piano β passante per P0(2,-1,3), parallelo alla

retta r: {x=3 z+1¿ ¿¿¿

e perpendicolare al piano α: 2x – 3y + 4z -1 = 0.

Soluzione

Il generico piano passante per P0(2,-1,3) ha equazione

456


β: a(x-2) + b(y+1) + c(z-3) = 0 ⇔ax+by+cz−2a+b−3c=0 .

I parametri direttori di r sono (3,-1,1).

Poiché β // r ⇔aℓ+bm+cn=0⇔3 a−b+c=0 ;

poiché β ┴ α ⇔aa'+bb '+cc '=0⇔2a−3b+4 c=0 .

Risolvendo il sistema formato dalle due condizioni, si ha:

{3a−b+c=0 ¿¿¿¿Dunque, il piano β ha equazione:

ax + 10ay +7az – 2a + 10a – 21a = 0 ⇔ x+10 y+7 z−13=0 .

E43 – Determinare la retta r’’ passante per l’origine e perpendicolare alle rette:

r: {4 x−2 y+z=0 ¿¿¿¿

, r’: {2 x− y−z=0¿ ¿¿¿

.

Soluzione

I parametri direttori di r sono:

ℓ r=|−2 1−2 0

|=2 ; mr=−|4 11 0

|=1 ; nr=|4 −21 −2

|=−6 .

I parametri direttori di r’ sono:

ℓ r '=|−1 −11 −2

|=3 ; mr '=−|2 −11 −2

|=3 ; nr '=|2 −11 1

|=3 .

Poiché r’’ deve essere perpendicolare ad r ed r’, detti (ℓ ,m ,n) i suoi parametri direttori,

deve risultare:

{ℓℓr+mmr+nnr=0¿ ¿¿¿

Per n = 1, si ha ℓ=7 ed m = - 8; dunque la retta r’’ passante per O e avente parametri

direttori (7,- 8,1) ha equazioni parametriche

r’’: {x=7 t ¿ { y=−8 t ¿¿ ¿¿

E44 – Nel piano π di equazione x – y + z = 0, sono dati i punti P(0,1,1) e Q(1,1,0).

Calcolare le equazioni cartesiane della retta r passante per R(1,-1,1) e parallela alla retta

PQ.

Soluzione

457


La retta s passante per P(0,1,1) e per Q(1,1,0) ha parametri direttori

{ℓ=x2−x1=1−0=1¿ {m= y2−y1=1−1=0 ¿¿¿¿.

Di conseguenza, la retta r // s ha parametri direttori proporzionali e, in particolare, uguali ai

parametri di r e poiché r passa per R(1,-1,1), le sue equazioni parametriche sono:

{x=1+t ¿ { y=−1¿ ¿¿¿Eliminando il parametro t si ottengono le equazioni cartesiane di r:

{t=x−1 ¿ {y=−1¿ ¿¿¿.

E45 – Determinare l’equazione del piano π passante per i punti O(0,0,0), A(3,0,1) e

B(3,2,0).

Soluzione

Se indichiamo con P(x,y,z) il punto generico di π, l’equazione cartesiana di π è:

|x−0 y−0 z−03−0 0−0 1−03−0 2−0 0−0

|=0⇔|x y z3 0 13 2 0

|=0⇒ x (−2 )− y (−3)+z (6 )=0⇒−2 x+3 y+6 z=0 .

E46 – Verificare che i punti P(1,2,1), Q(2,1,0), R(-1,0,-1) ed S(0,0,-1) sono complanari e,

in caso affermativo, calcolare l’equazione del piano che li contiene.

Soluzione

P,Q,R,S sono complanari se i tre vettori PQ, PR, PS sono complanari ⇔ P⃗Q , P⃗R , P⃗S sono

L.D. ⇔ il determinante formato dalle loro componenti è nullo.

Calcoliamo le componenti dei tre vettori:

P⃗Q=(2−1,1−2,0−1 )=(1 ,−1,−1);

P⃗R=(−1−1,0−2 ,−1−1 )=(−2 ,−2,−2);

P⃗S=(0−1,0−2,−1−1 )=(−1 ,−2 ,−2).Di conseguenza:

458


|1 −1 −1

−2 −2 −2−1 −2 −2

|=1|−2 −2−2 −2

|+1|−2 −2−1 −2

|−1|−2 −2−1 −2

|=0+4−2+2−4=0.

Dunque, i quattro punti sono complanari: per calcolare l’equazione del piano che li

contiene, basta scegliere tre dei quattro punti assegnati, ad esempio P,Q ed R.

Detto T(x,y,z) il generico punto del piano, utilizzando l’equazione del piano per tre punti, si

ha:

|x−1 y−2 z−1

1 −1 −1−2 −2 −2

|=0⇒( x−1)(2−2)−( y−2 )(−2−2)+(z−1)(−2−2 )=0⇒

⇒4 ( y−2)−4 ( z−1)=0⇒4 y−4 z−4=0⇒ y−z−1=0 .

E47 – Sia π il piano di equazione x + y + z = 0 e siano r ed s le rette di equazione

r:{ y=0¿ ¿¿¿

s: {x=0 ¿ ¿¿¿

.

Determinare:

a) il piano π’ contenente r e parallelo ad s

b) il piano π’’ contenente s e parallelo ad r

c) la retta t di π incidente sia la retta r che la retta s.

Soluzione

Preliminarmente, calcoliamo i parametri direttori di

r:{ y=0¿ ¿¿¿

avente matrice dei coefficienti (0 1 01 0 −1 )

e i parametri direttori di

s: {x=0 ¿ ¿¿¿

avente matrice dei coefficienti

(1 0 00 2 −1 )

.

I parametri sono:

459


ℓ r=|1 00 −1

|=−1, mr=−|0 0

1 −1|=0

, nr=|0 1

1 0|=−1

;

ℓ s=|0 02 −1

|=0, ms=−|1 0

0 −1|=1

, ns=|1 0

0 2|=2

.

a) Calcoliamo il piano π’ passante per r e parallelo ad s. Tale piano appartiene al fascio di

piani passante per r e avente equazione

π’: x−z+ky=0⇔ x+ky−z=0 .

Imponiamo che π’ sia parallelo alla retta s:

aℓ=bm+cn=0⇔0+k−2=0⇒ k=2⇒π ': x+2 y−z=0 .

b) Calcoliamo il piano π’’ contenente s e parallelo ad r. Si procede in modo analogo al

caso a).

Il fascio di piani passante per s è π '':hx+2 y−z−1=0 .

Imponiamo che π’’ sia parallelo ad r:

aℓ+bm+cn=0⇔−h+2⋅0−1(−1 )=0⇒h=1⇒ π '': x+2 y−z−1=0

c) Calcoliamo la retta t di π incidente r ed s. Per questo, calcoliamo:

P=π∩ralignl {x+ y+z=0 ¿ { y=0 ¿ ¿¿¿Q=π∩salignl {x+ y+ z=0 ¿ {x=0¿ ¿¿¿

.

Quindi, la retta t è la retta passante per P e Q.

Poiché i parametri direttori sono:

ℓ t=xQ−xP=0

mt= yQ− yP=13

nt=zQ−zP=−13

la retta t ha equazioni parametriche

460


{x=0 ¿ {y=13t ¿ ¿¿¿

ed equazioni cartesiane

{x=0 ¿ ¿¿¿E48 – Determinare:

a) la retta t passante per P(1,2,0) perpendicolare alla retta r:{x−z+1=0 ¿ ¿¿¿

e incidente la

retta s: {x− y=0 ¿¿¿¿

;

b) l’angolo θ fra t ed s;

c) la distanza di P’(0,1,3) dal piano individuato da t ed s;

d) verificare che le rette r ed s sono sghembe.

Soluzione

1) La matrice dei coefficienti della retta r è:

(1 0 −10 1 2 )

;

i parametri direttori di r sono:

ℓ r=|0 −11 2

|=1 , mr=−|1 −10 2

|=−2 ,

nr=|1 00 1

|=1.

La matrice dei coefficienti della retta s è:

(1 −1 00 0 1 )

I parametri direttori di s sono:

ℓ s=|−1 0

0 1|=−1 , ms=−|1 0

0 1|=−1,

ns=|1 −1

0 0|=0

.

461


La retta t richiesta è la retta di intersezione fra il piano π passante per P e perpendicolare

ad r e il piano π’ passante per P e contenete la retta s:

π (P ,⊥ r ) , π ' (P , s⊆ π ')⇒ t=π∩π '

Calcoliamo l’equazione di π, ax + by + cz + d = 0.

Poiché π⊥ r⇔

aℓ= bm

= cn⇒a=ℓr=1 , b=mr=−2 , c=nr=1

.

Di conseguenza, l’equazione del piano π è:

(x – 1) - 2(y – 2) + (z-0) = 0 ⇔ x−2 y+z+3=0 .

Calcoliamo, ora, l’equazione del piano π’.

Poiché tale piano appartiene al fascio di piani passanti per s, esso avrà equazione

x – y + k(z + 1) = 0

Imponendo che P(1,2,0)∈π '⇒1−2+k=0⇒ k=1⇒π ': x− y+z+1=0 .

Pertanto:

t=π∩π ':¿ {x−2 y+ z+3=0 ¿ ¿¿.

I parametri direttori di t sono:

ℓ t=|−2 1−1 1

|=−1 , mt=−|1 11 1

|=0 ,

nt=|1 −21 −1

|=−1+2=1.

2) Calcoliamo l’angolo fra t ed s.

Poiché t ha parametri direttori (-1,0,1) ed s ha parametri direttori (-1,-1,0), si ha:

cos (ϑ )=ℓℓ '+mm'+nn'√ℓ2+m2+n2√ℓ '2+m '2+n' 2

= 1+0+0√1+0+1√1+1+0

= 1√2√2

=12⇒

⇒ϑ= π3∧ϑ '=π−π

3=2

3π .

3) Il piano contenente t ed s è il piano π’ di equazione x – y + z + 1 = 0.

La distanza di P’(0,1,3) da π’ è:

d (P ',π ' )=|a ' x '+b ' y '+c ' z '+d '|

√a '2+b' 2+c '2=

|0−1+3+1|√1+1+1

= 3√3

=√3.

4) Verifichiamo che le rette r ed s sono sghembe.

Poiché i parametri direttori di r, (1,-2,1) e di s, (-1,-1,0) non sono proporzionali, le rette r

ed s non sono parallele: r ed s sono o incidenti o sghembe.

Studiamo allora il sistema:

462


{x−z+1=0 ¿ { y+2 z−2=0 ¿ {x− y=0 ¿ ¿¿¿il sistema è impossibile, le rette non

sono incidenti, esse sono sghembe.

Alternativamente, considerata la matrice

poiché

E49 – Determinare le equazioni cartesiane della retta r passante per P(2,0,-1) e

parallela ai piani π: x + y - 3z + 2 = 0 e π’: x + 2z -1 = 0. Determinare, inoltre, le

coordinate del punto P’ proiezione ortogonale di P sul piano π.

Soluzione

Sia r la retta di parametri direttori (l,m,n). Imponendo che r sia parallela ai piani π e π’,

si ha:

{al+bm+cn=0 ¿ ¿¿¿ r ha parametri direttori:

(-2n,5n,n) = (-2,5,1).

Di conseguenza, le equazioni parametriche di r sono: {x=2−2t ¿ {y=5t ¿ ¿¿¿

.

Eliminando il parametro t dalle equazioni parametriche, si ha:

463


{t=2−x2 ¿ {t= y

5 ¿¿¿¿.

Calcoliamo, ora, le coordinate di P’, proiezione di P(2,0,-1) su π: x+y -3z+2=0.

La retta per P perpendicolare a π ha parametri direttori (1,1,-3); ne segue che la retta

per P perpendicolare a π ha equazioni parametriche:

{x=2+t ¿ { y=t ¿¿¿¿Di conseguenza, il punto P’ è dato dall’intersezione di tale retta con il piano π:

{x=2+t ¿ { y= t ¿ {z=−1−3 t ¿ ¿¿¿E50 – Scrivere l’equazione dei piani π, π’, π’’ contenenti la retta

r: {x+ y−2 z=0 ¿ ¿¿¿

e paralleli, rispettivamente, agli assi x, y, z.

Soluzione

Il generico piano contenente la retta r appartiene al fascio di piani di equazione

x + y – 2z + k(2x – y – z – 2) = 0 ⇔(1+2k ) x+(1−k ) y−(2+k ) z−2k=0 .(1)

1) Poiché l’asse x ha parametri direttori (1,0,0), il piano π è parallelo ad x se

(1+2k) + (1-k)∙0 –(2+k)∙0 = 0 ⇔1+2k=0⇒k=−1

2 .

Sostituendo tale valore nella (1), si ha che π: 3y - 3z +2 = 0.

2) Analogamente, osservato che l’asse y ha parametri direttori (0,1,0), si ha che il

piano π’ contenente la retta r e parallelo ad y ha equazione

π’: 3x – 3z – 2 = 0.

464


3) Infine, osservato che l’asse z ha parametri direttori (0,0,1), si ha che il piano π’’

contenente la retta r e parallelo a z ha equazione

π’’: 3x – 3y – 4 = 0.

E51 – Siano π : x− y+ z−1=0 e π ':2x− y+2 z=0 due piani dello spazio euclideo e sia

P(1,2,1) : calcolare le equazioni della retta r passante per P e parallela ai piani π e π '

e la distanza di P da π ' .

Soluzione

Siano (ℓ ,m ,n) i parametri direttori della retta r. Imponendo la condizione di

parallelismo ai piani π : x− y+ z−1=0 e π ':2x− y+2 z=0 , si ha:

{ℓ−m+n=0 ¿ ¿¿¿Dunque, r ha parametri direttori (ℓ ,0 ,−ℓ )=(1,0 ,−1 ) e le sue equazioni parametriche

sono:

{x=1+t ¿ { y=2 ¿ ¿¿¿Le equazioni cartesiane di r sono:

{x=1+t ¿ { y=2 ¿ ¿¿¿.

La distanza di P da π ' è:

d (P ,π ' )=|2−2+2|√4+1+4

=23 .

E52 – Dati i punti A(-1,0,1), B(2,1,0) e C(0,-2,1) dello spazio euclideo,

1) Determinare l’equazione del piano π che li contiene,

2) La distanza dell’origine da π ,

3) L’equazione della retta per l’origine, parallela a π e perpendicolare alla retta s di

equazioni {x+z=1¿ ¿¿¿

.

Soluzione

1. L’equazione del piano passante per A, B, C è:

465


I parametri di giacitura del piano sono: a = 2, b = 1, c = 7.

2. La distanza dell’origine da è:

3. I parametri direttori della retta s sono i minori estratti della matrice

presi con segno alternato:

.

Poiché r // :

,

e poiché

.

Risolvendo il sistema, si ha:

Per e, quindi, l’equazione della retta retta r passante per O , parallela

al piano e perpendicolare alla retta s è:

.

E53 – Nello spazio S3, nel quale è fissato un riferimento cartesiano R(O,x,y,z), sono dati la

retta rh di equazioni

e il piano di equazione x + y + z + 1 = 0. Determinare i valori di h per cui risulta:

1. rh incidente il piano e, in tal caso calcolare l’angolo da essi formato;

466


2. rh parallela al piano e, in tal caso, determinare la distanza d(rh, ) fra di loro.

Soluzione

1. Calcoliamo le equazioni cartesiane della retta rh.

Ponendo a sistema le equazioni di r e di , si ha:

La matrice dei coefficienti è

la matrice completa è

Per il teorema di Rouchè – Capelli, il sistema è determinato e la retta è incidente il

piano se rang(A) = rang(A’) = 3, ovvero se . Calcoliamo:

Pertanto, r è incidente pe ogni .

Calcoliamo l’angolo fra la retta e il piano. Se indichiamo con un vettore

perpendicolare al piano e con un vettore direttore della retta r, si ha:

Dunque:

2. Per h = 0, la retta r è parallela al piano . In tal caso, preso il punto P di r avente

coordinate (1,1,0), si ha:

467


.

E54 – Nello spazio cartesiano (S3, RC(=O,x,y,z)), si considerino le rette r ed s di equazioni

ed .

(1) Verificare che r ed s sono sghembe.

(2) Calcolare l’angolo che esse formano.

(3) Calcolare la loro distanza.

(4) Calcolare la retta di minima distanza.

Soluzione

(1) Un vettore direttore di r è , un vettore direttore di s è :

poiché // r // s e, quindi, le rette r ed s sono incidenti o sghembe.

Esse sono incidenti se esiste un punto

Il sistema è impossibile: le rette non sono incidenti e, dunque, sono sghembe.

(2) L’angolo di due rette sghembe è uguale all’angolo formato da due vettori paralleli alle

rette r ed s:

(3) Calcoliamo la distanza di r da s.

Siano due punti tali che .

Le componenti del vettore sono (t’ - 1 - t, 1 + 2t’ - t, 2 + t’ + 1 + t) = (t’ – t - 1, 2t’ – t + 1,

t’ + t + 3). Imponendo la condizione di perpendicolarità, si ha:

468


Di conseguenza:

.

(4) La retta di minima distanza è la retta PQ: calcoliamo la sua equazione:

I parametri direttori di PQ sono:

e le equazioni parametriche sono:

E55 – Nello spazio S3 sono dati il punto P(1,1,1) e la retta r di equazioni

1. Determinare l’equazione del piano passante per P e perpendicolare ad r.

2. Determinare le equazioni delle rette passanti per P, incidenti la retta r e che formano

con r un angolo di 45°.

Soluzione

1. Se ax + by + cz + d = 0 è l’equazione del piano , un vettore perpendicolare ad

ha parametri direttori (a,b,c). Di conseguenza, poiché

e, dunque, l’equazione di è del tipo

x – y + 2z + d = 0.

Imponendo il passaggio per P(1,1,1), si ha:

1 – 1 +2 + d = 0 .

469


2. Poiché la retta s deve passare per P ed essere incidente la retta r, s appartiene al

piano passante per P e contenente r: calcoliamo il generico piano passante per r.

Poiché le equazioni cartesiane di r sono:

l’equazione del fascio di piani passanti per r è:

.

Imponendo l’ulteriore condizione che il piano passi per P(1,1,1), si ha:

.

D’altro canto, poiché la retta s è contenuta nel piano , la retta s ha parametri direttori

Imponendo che l’angolo fra s ed r sia 45°, si ha:

.

Pertanto, le rette richieste sono due:

E56 – Nello spazio euclideo S3, nel quale è fissato un riferimento cartesiano ortogonale

RC(O,x,y,z), sono assegnate le rette r ed s di equazioni rispettive

.

a) Calcolare la retta t passante per il punto P0(1,2,0), perpendicolare ad r e incidente la

retta s;

b) calcolare l’angolo che la retta t forma con la retta s;

c) calcolare la distanza del punto P(0,1,3) dal piano individuato da t e s;

d) verificare che le rette r ed s sono sghembe;

470


e) calcolare la distanza e la retta di minima distanza di r e s.

Soluzione

Preliminarmente, calcoliamo i parametri direttori delle rette r e s.

La matrice dei coefficienti delle equazioni di r è

e i parametri direttori sono

Analogamente, la matrice dei coefficienti delle equazioni di s è

e i parametri direttori sono

(a) La retta t è l’intersezione del piano passante per il punto P0(1,2,0) e

perpendicolare ad r con il piano ’ passante per P0(1,2,0) e contenente la retta s.

Poiché è perpendicolare ad r, i parametri di giacitura di sono i parametri direttori di r:

a = l = 1, b = m = -2, c = n = 1.

e, quindi, l’equazione di è

Ora calcoliamo il piano ’ passante per P0(1,2,0), contenente la retta s.

Poiché tale piano contiene la retta s, esso appartiene al fascio di piani che ha s come

sostegno e equazione

Inoltre, poiché ’ deve passare per il punto P0, imponendo la condizione di appartenenza

di P0 a ’, si ha

e l’equazione del piano ’ è

x – y + z + 1 = 0.

Quindi, le equazioni cartesiane di t sono:

471


e i parametri direttori sono:

(b)

(c)

Il piano che contiene le rette s e t è il piano ’ di equazione x – y + z + 1 = 0. Quindi, la

distanza del punto P(0,1,3) dal piano ’ è

(d) Sia

la matrice formata dai coefficienti di r e di s. Poiché

le due rette r e s sono sghembe.

(e) Le rette r e s hanno equazioni parametriche:

;

i parametri direttpri di r sono: l = 1, m = -2, n = 1, i parametri direttori di s sono : l’ = 1, m’ =

1, n’ = 0.

Inoltre, il generico punto di r è P(-1+ t, 2 - 2t, t) e il generico punto di s è P’( t’, t’,-1).

Imponiamo che il vettore =(-1+t-t’,2-2t-t’,t+1) sia perpendicolare ad r ed s:

472


Ne segue che:

Infine, calcoliamo la retta PP’ (retta di minima distanza): essa è la retta che passa per

ed ha vettore direttore

Le sue equazioni sono:

E57 - Nello spazio euclideo S3, nel quale è fissato un riferimento cartesiano ortogonale

RC(O,x,y,z), sono la retta r di equazioni

e il piano di equazione x + y – z - 1 = 0.

(a) Determinare per quale valore di h la retta r è parallela al piano e, in tal caso,

calcolare la distanza della retta r dal piano ;

(b) dire per quali valori di h la retta r è incidente il piano e, in tal caso, calcolare l’angolo

che r forma con .

Soluzione

(a) I parametri direttori della retta r sono

i parametri di giacitura del piano sono

a = 1, b = 1, c = -1.

La retta r è parallela al piano se

In tal caso, la retta r ha equazioni

473


.

La distanza della retta r dal piano è, per definizione, la distanza uguale che hanno i punti

di r da ; scelto il punto P(1,1,0) di r, si ha:

(b) La retta r è incidente il piano

In tal caso, detto , si ha:

E58 - Nello spazio S3, nel quale è fissato un riferimento cartesiano ortogonale RC(Oxyz),

sono dati il punto P(1,0,0) e la retta r di equazioni parametriche

Calcolare:

(a) Il piano passante per il punto P e perpendicolare alla retta r;

(b) Le rette passanti per il punto P, incidenti la retta r e che formano con essa un angolo di

60°.

Soluzione

(a) I parametri direttori di r sono

quindi, il piano , passante per P(1,0,0) e perpendicolare ad r, ha equazione

(b) Le rette passanti per P e incidenti il la retta r sono contenute nel piano passante per

P e contenente la retta r. Calcoliamo, come primo passo, le equazioni cartesiane della

retta r:

474


Poiché contiente la retta r, esso è uno dei piani del fascio avente per sostegno r, la cui

equazione è

Imponendo che P appartenga a , si ha:

Quindi, il piano ha equazione

.

Poiché un vettore perpendicolare al piano è

il generico vettore parallelo al piano , perpendicolare a , è

.

Quindi, la generica retta s di , passante per P(1,0,0) e complanare con r, ha equazioni:

Infine, imponiamo che la retta s formi con r un angolo di 60°. Si ha:

Le soluzioni sono:

le equazioni delle rette richieste sono:

475

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