LINEARNI MODEL PROIZVODNJE

(8.3.2017)

Doc. dr. sc. Tunjo Perić

SADRŽAJ

Pojam i značenje optimizacije proizvodnje, optimizacija

proizvodnog programa

Optimizacija proizvodnje u uvjetima globalizacije i povećane

konkurentnosti

Uvod u optimizaciju proizvodnog programa metodom

linearnog programiranja

Grafičko rješavanje modela linearnog programiranja

2

1. Pojam i značenje optimizacije proizvodnje

U proizvodnim organizacijama proizvodnja je osnovna,

najvažnija i najsloženija faza procesa reprodukcije.

Značenje proizvodnje ogleda se u sljedećem:

Rezultat proizvodnje materijalna su dobra bez kojih ne može opstati

niti jedno društvo;

U fazi proizvodnje stvara se upotrebna vrijednost, vrijednost i

novostvorena vrijednost;

U proizvodnji je angažiran veliki dio sredstava i radne snage poduzeća.

Za pripremu i sam proces proizvodnje vezani su određeni

problemi, među kojima se ističu:

3

1. Određivanje optimalnog proizvodnog programa,

2. Odabir optimalnih tehnoloških varijanti,

3. Određivanje najpovoljnije smjese sirovina,

4. Optimalno krojenje materijala,

5. Određivanje liste ukupno potrebnih količina pojedinih

proizvodnih čimbenika za slučaj poznate strukture i

kvantitativnih pokazatelja proizvodnog programa,

6. Najpovoljnije opterećenje strojeva,

7. Određivanje optimalnog unutarnjeg transporta,

8. Najpovoljniji raspored radnika na radnim zadacima i sl.

Rješavanje navedenih proizvodnih problema u industrijskim

poduzećima kontinuirani je proces i zahtijeva primjenu

suvremenih matematičkih modela i metoda.

4

Pod optimizacijom proizvodnje podrazumijeva se proces

organizacije upravljanja koji osigurava dostizanje

najboljeg stanja s ekonomskog stajališta ili maksimalno

moguće približavanje tom stanju.

Značenje optimizacije proizvodnje proizlazi iz objektivnih

ekonomskih zakona robne proizvodnje, koji pretpostavljaju

maksimalnu efektivnost iskorištenja svih resursa.

Pri rješavanju navedenih proizvodnih problema koriste se

metode jednokriterijskog i višekriterijskog linearnog i

nelinearnog programiranja, metode asignacije, metode

simulacije, teorija zaliha, dinamičko programiranje, teorija

repova čekanja i sl.

5

Pod pojmom proizvodnog programa podrazumijevamo skup određenih vrsta proizvoda koje poduzeće proizvodi ili planira proizvoditi u izvjesnom vremenskom razdoblju te strukturu obujma njihove proizvodnje.

Optimalni proizvodni program vrlo je dinamična pojava i može se ostvariti samo stalnim nastojanjem da se prema zahtjevima tržišta do najveće moguće mjere iskoriste vlastita sredstva, odnosno proizvodne, financijske i kadrovske mogućnosti poduzeća.

Proizvodni program industrijskog poduzeća bitno se odražava na značenje, mjesto i položaj poduzeća na tržištu, a zatim i na ostvarenje rezultata poslovanja poduzeća.

Položaj poduzeća na tržištu putem proizvodnog programa naročito se pokazuje kroz količinu i vrijednost prodaje, politiku prema kupcima, kanale distribucije i politiku cijena.

6

Najvišu kvalitetu imat će proizvodni program koji poduzeću

osigurava najvišu razinu rezultata poslovanja izraženu

ekonomskim parametrima. Takav proizvodni program

predstavlja, u stvari, optimalni proizvodni program poduzeća

za određeni period.

2. Optimizacija proizvodnje u uvjetima globalizacije i

povećane konkurentnosti

Racionalni sustav planiranja proizvodnje ne može se ostvariti

bez primjene matematičkih metoda. Primjena matematičkih

metoda dovodi do optimalnog plana proizvodnje.

Planiranje uz pomoć matematičkih metoda ima sljedeće

prednosti:

7

Ciljevi se mogu formulirati tako da neposredno izražavaju interese

poduzeća i društva,

Ciljevi se mogu izraziti jednostavnim jezikom matematike,

Cijeli proces planiranja se pojednostavljuje,

Uz pomoć računala moguća je primjena sustava za potporu

odlučivanju.

Posljednjih dvadesetak godina gospodarsku aktivnost prati

proces globalizacije, pod kojim podrazumijevamo

okrupnjavanje poduzeća u gotovo svim granama

gospodarstva.

Okrupnjavanje poduzeća provodi se: a) preuzimanjem manjih

poduzeća od strane velikih multinacionalnih korporacija, b)

otvaranjem filijala velikih multinacionalnih korporacija u

gotovo svim zemljama svijeta, te c) seljenjem proizvodnje u

zemlje Dalekog istoka, zbog niže cijene radne snage.

8

Ovaj proces omogućile su političke promjene u bivšim

socijalističkim zemljama i Kini te snažni razvoj

informacijske tehnike i tehnologije.

Ovo ima za posljedicu povećanu konkurenciju u gotovo

svim proizvodnim granama.

Iz toga proizlazi logičan zaključak da poduzeća koja žele

opstati na tržištu i dalje se razvijati, moraju maksimalno

racionalizirati svoje poslovanje.

Primjena matematičkih metoda optimizacije trebala bi

poduzećima pomoći da lakše prevladaju povećane probleme

prouzročene globalizacijom i povećanjem konkurencije.

9

3. Optimizacija proizvodnog programa linearnim

programiranjem

Linearno programiranje

• Linearno programiranje predstavlja metodu određivanja

optimalnog rješenja problema odlučivanja kod kojih su relacije

između varijabli u funkciji cilja i skupu ograničenja linearne.

Optimalno rješenje je “najbolje” rješenje iz skupa dopustivih

rješenja u skladu sa usvojenim kriterijem za koje funkcija cilja

doseže ekstremnu vrijednost - maksimum ili minimum.

10

Matematička formulacija problema linearnog

programiranja (LP) sastoji se u tome da je potrebno naći

takav skup vrijednosti varijabli iz područja

dopustivih rješenja S, koji je određen sustavom linearnih

nejednadžbi / jednadžbi, za koje funkcija cilja doseže

maksimalnu (minimalnu) vrijednost.

Pod naprijed navedenim uvjetima, za pronađeni skup

vrijednosti varijabli kažemo da predstavljaju optimalno

rješenje.

Model linearnog programiranja

Model koji je definiran linearnom funkcijom cilja s n varijabli

1 2, ,..., nx x x

11

(1)

i sustavom od m linearnih nejednadžbi / jednadžbi na tom

skupu varijabli zajedno s n ograničenja nenegativnosti varijabli

(2)

naziva se model linearnog programiranja ili linearni model.

1 1 2 2max/ min ... n nz c x c x c x

11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

1,1 1 1,2 2 1, 1

...

...

...

n n

k k kn n k

k k k n n k

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

1 1 2 2

1,1 1 1,2 2 1, 1

1 1 2 2

1 2

...

...

...

, ,..., 0

l l ln n l

l l l n n l

m m mn n m

n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

x x x

12

U modelu (1) – (2) upotrijebljene su sljedeće oznake:

xj – varijable odlučivanja ili strukturne varijable;

z – funkcija cilja ili funkcija kriterija (engl. objective

function);

cj – koeficijent (parametar) funkcije cilja po jedinici j-te

varijable;

aij - strukturni koeficijenti u ograničenjima (količina i-tog

ograničenja potrebna za jedinicu j-te varijable);

bi – vrijednost ograničenja;

i = 1,...,m; j=1,...,n.

Prema tome, osnovni elementi gore opisanog matematičkog

modela jesu:

Funkcija cilja i

Skup ograničenja.13

Upotrebom operatora zbrajanja model definiran relacijama

(1) i (2) može se napisati u obliku:

pri ograničenjima (p.o.)

1

max/ minn

j j

j

z c x

1

1

1

, 1,...,

, 1,...,

, 1,...,

0, 1,..., .

n

ij j i

j

n

ij j i

j

n

ij j i

j

j

a x b i k

a x b i k l

a x b i l m

x j n

14

Naprijed definirani model možemo napisati i u matričnom

obliku.

Sadržina linearnog modela

Problemi poslovnog odlučivanja koji se rješavaju metodama

LP izražavaju se kroz sljedeće komponente:

Alternativne aktivnosti,

Funkciju cilja i

Ograničenja.

Prema tome, model LP definiran je skupom varijabli

, funkcijom cilja i skupom ograničenja. 1 2, ,..., nx x x

15

Varijable u linearnom modelu

Rješenje modela LP predstavljaju vrijednosti varijabli za koje

funkcija cilja doseže svoju ekstremnu vrijednost.

Definirane se varijable predstavljaju u n-dimenzionalnom

vektorskom prostoru Rn vektorom

Varijable odlučivanja odražavaju alternativne načine za

postizanje cilja.

Varijable u linearnom modelu nose naziv strukturne varijable

ili varijable originala (primala), odnosno varijable odlučivanja

(decision variables).

U modelu optimizacije proizvodnog programa varijablama

su izražene količine proizvoda koje se proizvode ili mogu

proizvoditi u promatranom periodu.

1 2 ... .T

nx x x x

16

Funkcija cilja

Pri optimiranju proizvodnog programa kao funkcija cilja može

se pojaviti maksimizacija: dobiti, obujma proizvodnje,

iskorištenja kapaciteta, ukupnog prihoda i sl.

Također, kao funkcija cilja može se pojaviti minimizacija

ukupnih troškova.

Funkcija cilja se matematički definira kao:

gdje je cj koeficijent funkcije cilja po jedinici j-te varijable,

npr. dobit po jedinici proizvoda ili troškovi proizvodnje po

jedinici proizvoda.

Prema tome, funkcija cilja linearnog modela je linearna

funkcija s n varijabli za koju je potrebno odrediti ekstremnu

vrijednost (maksimum ili minimum) na skupu dopustivih

rješenja definiranih skupom ograničenja.

1 1 2 2max/ min ... ,n nz c x c x c x

17

Skup ograničenja modela

U skupu ograničenja se pojavljuju iste varijable kao i u

funkciji cilja.

Skup ograničenja definira u n-dimenzionalnom prostoru Rn

domenu ili skup dopustivih (mogućih) rješenja S.

Ograničavajući uvjeti linearnog modela definirani su sustavom

od m linearnih nejednadžbi/jednadžbi modela, tako da sustav

(2) može biti:

Proturječan (ne postoji skup dopustivih rješenja)

Nije proturječan, ali je skup S neograničen (postoji mogućnost

određivanja optimalnog rješenja ako je funkcija cilja ograničena u

neograničenom području) i

Nije proturječan i skup S je ograničen (ima rješenje).

18

U n-dimenzionalnom vektorskom prostoru Rn, poseban slučaj

linearne zavisnosti jest hiperravnina dana jednadžbom

Ova hiperravnina dijeli vektorski prostor Rn na vektorske

poluprostore

Razmotrimo skup dopustivih rješenja s geometrijskog

stajališta.

Promatrajući n-dimenzionalni prostor Rn kao vektorski, svako

ograničenje tipa nejednakosti manje ili jednako, odnosno veće

ili jednako definira skup točaka jednog

poluprostora, uključujući i granične točke poluprostora.

1

, 1,2,..., .n

ij j i

j

a x b i m

1 1

i .n n

ij j i ij j i

j j

a x b a x b

1 2( , ,..., )nx x x

19

U dvodimenzionalnoj ravnini ograničenja tipa nejednakosti

definiraju odgovarajuću poluravninu uključujući i

točke na graničnom pravcu.

Ograničenja tipa jednakosti sadrže samo točke koje se

nalaze na hiperravnini n-dimenzionalnog vektorskog prostora,

odnosno u dvodimenzionalnoj ravnini samo točke koje se

nalaze na pravcu.

S obzirom da linearni model ima m ograničenja, to će

svako od njih definirati po jedan poluprostor ili

hiperravninu, odnosno u dvodimenzionalnom prostoru

jednu poluravninu ili pravac.

Skup dopustivih rješenja S dobije se kao presjek skupova

točaka svih poluprostora, odnosno hiperravnina (u

dvodimenzionalnom prostoru presjek poluravnina i pravaca)

definiranih sustavom ograničenja (2).

( ili )

20

Promatrajmo dvije točke x1 i x2 skupa dopustivih rješenja S.

Ma koja točka dužine koja spaja točke x1 i x2 je linearna

kombinacija točaka x1 i x2 izražena u obliku

Ako se uključi uvjet da je , onda se ova linearna

kombinacija naziva konveksnom kombinacijom dviju

točaka.

Konveksni skup točaka predstavlja onaj skup točaka koji pored

svoje bilo koje dvije točke x1 i x2 sadrži i sve točke segmenta

(dužine) koji povezuje točke x1 i x2. Takav konveksni skup

točaka, za razliku od konkavnog može se predstaviti

konveksnim poliedrom.

Skup dopustivih rješenja S u linearnom modelu

udovoljava osobinama konveksnog skupa točaka.

Na konveksnom skupu razlikuju se dvije vrste točaka:

ekstremne i neekstremne.

1 2(1 ) .x x x

0 1

21

Za bilo koji konveksni skup S, točka P u S je ekstremna

točka ako svaki linijski segment koji spaja dvije točke iz

skupa S, a leži potpuno u S i sadrži točku P, ima P kao krajnju

točku tog linijskog segmenta.

Konveksni skup se naziva konveksnim poliedrom ako je

ograničen i ako mu je broj ekstremnih točaka (tjemena)

konačan.

Skup dopustivih rješenja (konveksni poliedar) ne daje odgovor

na pitanje izbora optimalnog rješenja, već ga daje linearna

forma (1) (funkcija cilja) koja ekstremnu vrijednost

(maksimum ili minimum) doseže u ekstremnoj točki

konveksnog poliedra.

Funkcija cilja u prostoru Rn je predstavljena skupom

paralelnih hiperravnina (u dvodimenzionalnom prostoru

skupom paralelnih pravaca). Ovo ćemo detaljnije obrazložiti

kod grafičke interpretacije LP.22

Prema tome, matematički oblik ograničenja može biti

definiran jednadžbama i nejednadžbama oblika manje ili

jednako te veće ili jednako.

Ograničavajući su uvjeti najčešće definirani fiksnim

količinama određenih resursa.

Pod pojmom resursi shvaćaju se svi proizvodni i

neproizvodni čimbenici koji se mogu kvantificirati (kapaciteti

strojeva, novčana sredstva, radna snaga, prostor, raspoloživi

repromaterijal i sl.).

Iskorištenost resursa ne može prelaziti definirane granice

(količine resursa), pa se u matematičkom smislu izražavaju

nejednadžbama oblika manje ili jednako.

Tako se i-to ograničenje može napisati u obliku:

1 1 2 2 ...i i in n ia x a x a x b

23

gdje su:

aij - strukturni ili tehnički koeficijenti u i-tom ograničenju, a definiraju

količinu i-tog resursa potrebnu za jedinicu j-te varijable, i

bi – slobodni koeficijent u i-tom ograničenju, a predstavlja raspoloživu

količinu i-tog resursa.

Ograničenja matematički izražena kao nejednadžbe oblika

veće ili jednako odnose se na određene minimalne zahtjeve,

kao što su: Minimalna proizvodnja,

Minimalni biološki zahtjevi,

Minimalne zalihe,

Minimalno korištenje resursa i sl.

Ograničenja izražena u obliku jednadžbi proizlaze iz

specifičnih zahtjeva, kao što su: Potpuna iskorištenost kapaciteta,

Struktura proizvodnog programa koja iznosi 100 % ili 1 i sl.

24

Postoji još i ograničenje koje se odnosi na zahtjev za

nenegativnošću varijabli, tj. , s obzirom da se odnose na

određene ekonomske veličine, koje ne mogu biti negativne.

Osnovne pretpostavke linearnog modela

Model linearnog programiranja zadovoljava sljedeće

pretpostavke:

Linearnost funkcije cilja i skupa ograničenja,

Diskretnost procesa odnosno varijabli po kojem vrijednost jedne

varijable nema utjecaja na strukturne koeficijente, koeficijente u

funkciji cilja i druge varijable,

Izvjesnost, što znači da su svi koeficijenti u funkciji cilja i skupu

ograničenja unaprijed određeni i zadržavaju svoju konstantnost tijekom

vremena,

0jx

25

Proporcionalnost procesa u modelu , po kojem postoji

proporcionalni odnos između inputa i outputa u modelu. Npr.

ako je dobit po jedinici proizvoda 10 kuna, onda je dobit od 50

jedinica proizvoda jednaka kuna.

Aditivnost procesa u modelu, po kojem su svi koeficijenti u

funkciji cilja izraženi na način da ukupna vrijednost funkcije

cilja bude jednaka zbroju vrijednosti ostvarenih od pojedinih

varijabli. Također, svi strukturni koeficijenti jednog

ograničenja trebaju biti tako definirani kako bi se osiguralo

sumiranje pojedinačnih utrošaka ograničenja po pojedinim

varijablama.

Proizvoljna djeljivost procesa po kojoj varijable mogu

primiti proizvoljne realne vrijednosti, tj. varijable su

kontinuirane.

Konačan broj varijabli i ograničenja.26

50 10 500

Linearni model optimizacije proizvodnog programa

Proizvodni program predstavlja skup svih proizvoda koje

jedno poduzeće nudi na tržištu.

Pored asortimana, u fazi proizvodnog planiranja potrebno je

odrediti i količine pojedinih proizvoda iz asortimana koje

poduzeće planira proizvoditi u određenom periodu.

Osnovni cilj LP u području proizvodnog planiranja jest

određivanje optimalnog proizvodnog programa.

Optimalnim se proizvodnim programom određuju vrste i

količine proizvoda koje će se proizvoditi u određenom periodu

uz najpovoljnije korištenje raspoloživih resursa ostvarujući

najbolji poslovni rezultat.

Mnogobrojna su ograničenja koja se mogu pojaviti pri

optimizaciji proizvodnog programa. 27

Ograničenja se najčešće odnose na raspoložive resurse

(sirovine, strojeve, radnu snagu, financijska sredstva i sl.) i

tržišna ograničenja (mogućnosti nabave i prodaje).

Kao funkcija cilja obično se javlja maksimizacija dobiti ili

ukupnog prihoda, odnosno minimizacija ukupnih troškova

poslovanja.

Opći, standardni i kanonski oblik modela LP

Postoje dva osnovna tipa linearnih modela, i to za:

Maksimum i

Minimum.

Na osnovi oblika matematičkih izraza za ograničenja

razlikujemo:

28

Standardni,

Kanonski i

Opći.

Standardni oblik ima sljedeće karakteristike:

Kod linearnog modela za maksimum sva ograničenja su izražena

nejednadžbama oblika manje ili jednako,

Kod linearnog modela za minimum sva ograničenja su izražena

nejednadžbama oblika veće ili jednako.

Kod kanonskog oblika su sva ograničenja izražena u formi

jednadžbi, kako kod problema za maksimum, tako i kod

problema za minimum.

Opći oblik linearnog modela za maksimum i minimum sadrži

kombinaciju formi ograničenja manje ili jednako, jednako i

veće ili jednako.

29

Standardni oblik linearnog modela za maksimum je

sljedeći:

p.o.

(3)

U matričnoj formi standardni oblik (3) može se napisati kao:

(3a)

gdje su

1

maxn

j j

j

z c x

1

, 1,...,

0 1,...,

n

ij j i

j

j

a x b i m

x j n

max

p.o.

0,

z cx

Ax b

x

1 2 ... ,T

nc c c c

1

2,

n

x

xx

x

1

2,

m

b

bb

b

30

Standardni oblik linearnog modela za minimum je:

(4)

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

1

1

min

p.o. , 1,...,

0, 1,...,

n

j j

j

n

ij j i

j

j

z c x

a x b i m

x j n

31

Kanonski oblik linearnog modela za maksimum glasi:

(5)

Kanonski oblik linearnog modela za minimum identičan je

kanonskom obliku linearnog modela za maksimum samo što

se u funkciji cilja riječ “max” zamjenjuje riječju “min”.

Opći oblik linearnog modela dat je relacijama (1) i (2), s tim

što mora sadržavati najmanje dvije forme ograničenja.

1

1

max

p.o. , 1,...,

0, 1,..., .

n

j j

j

n

ij j i

j

j

z c x

a x b i m

x j n

32

Standardni oblik za maksimum transformira se u kanonski

pretvaranjem sustava ograničenja nejednadžbi manje ili

jednako u jednadžbe tako da se na lijevim stranama

ograničenja dodaju varijable koje se nazivaju dopunske ili

izravnavajuće varijable

Koeficijenti u funkciji cilja za dopunske varijable jednaki su

nuli. Prema tome, nakon uvođenja dopunskih varijabli dobiva

se sljedeći model u kanonskom obliku:

(6)

( ).is

1

1

max

p.o. , 1,...,

0, 0, 1,..., , 1,2,..., .

n

j j

j

n

ij j i i

j

j i

z c x

a x s b i m

x s j n i m

33

Standardni oblik za minimum transformira se u kanonski

pretvaranjem sustava ograničenja veće ili jednako u jednadžbe

tako da se na lijevim stranama ograničenja oduzimaju varijable

viška (surplus) , s koeficijentima u funkciji cilja jednakim

nuli, a dodaju se umjetne varijable (ai) s koeficijentom M u

funkciji cilja (M je nespecificirano veliki broj). Nakon

uvođenja dopunskih varijabli kanonski oblik modela izgleda

ovako:

(7)

Prevođenje na kanonski oblik potrebno je kad se model LP

rješava simpleks metodom.

( )ie

1 1

1

min

p.o. , 1,...,

0, , 0, 1,..., , 1,..., .

n m

j j i

j i

n

ij j i i i

j

j i i

z c x Ma

a x e a b i m

x e a j n i m

34

Transformacija općeg oblika linearnog modela za

maksimum u standardni oblik vrši se na sljedeći način:

Ograničenja oblika jednadžbi pretvaraju se u dvije nejednadžbe, jednu

oblika manje ili jednako, a drugu oblika veće ili jednako. Potom se

nejednadžbe oblika veće ili jednako pomnože s (-1), tj.

Ograničenja oblika veće ili jednako množe se s (–1), odnosno

1 1

1

1 1

/ ( 1)

n n

ij j i ij j in

j j

ij j i n nj

ij j i ij j i

j j

a x b a x b

a x b

a x b a x b

1 1

/ ( 1) .n n

ij j i ij j i

j j

a x b a x b

35

Prethodnim operacijama sva su ograničenja izražena

nejednadžbama oblika manje ili jednako, što je

karakteristika linearnog modela u standardnom obliku.

Transformacija općeg modela za minimum u standardni oblik

vrši se na sličan način, samo što se s (–1) množe ograničenja

oblika manje ili jednako, te se na taj način dobivaju sva

ograničenja oblika veće ili jednako, što je karakteristika

standardnog oblika modela za minimum.

Pretvaranje općeg u standardni oblik posebno je važno

kod rješavanja problema LP upotrebom duala.

Transformacija općeg u kanonski oblik vrši se tako da se

dopunske varijable kod ograničenja oblika manje ili jednako

dodaju lijevoj strani, a kod ograničenja veće ili jednako

oduzimaju od lijeve strane nejednadžbe.

36

Metode za rješavanje problema LP

Postoje dvije osnovne grupe metoda pomoću kojih se mogu

rješavati problemi linearnog programiranja:

Simpleks metoda – opća metoda za rješavanje svih problema LP,

Metode prilagođene rješavanju specijalnih vrsta problema, kao što

su transportni problem, problem raspoređivanja (asignacije).

Simpleks metoda predstavlja opći algoritam pomoću kojeg se

rješavaju svi oblici modela LP, kao i značajne grupe problema

koje se mogu prevesti na linearne modele (višekriterijalni

problemi, nelinearni modeli i sl.).

Za potpunije razumijevanje sadržine linearnih modela i

postupka njihovog rješavanja simpleks metodom, u

dvodimenzionalnom prostoru ćemo prikazati grafičku

interpretaciju postupka rješavanja problema LP.

37

Grafičko rješavanje problema LP

Grafički se mogu rješavati linearni modeli sa dvije varijable.

Neka se promatra model sa dvije varijable u obliku:

(8)

p.o.

(9)

1 1 2 2max/ min z c x c x

11 1 12 2 1

1 1 2 2

1,1 1 1,2 2 1

1 1 2 2

1,1 1 1,2 2 1

1 1 2

k k k

k k k

l l l

l l l

m m

a x a x b

a x a x b

a x a x b

a x a x b

a x a x b

a x a

2

1 2

, 0

mx b

x x

38

Sustav nejednadžbi / jednadžbi (9) ima rješenje ako je sustav

suglasan, tj. ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene

matrice (koeficijenti uz varijable i slobodni članovi u

ograničenjima).

Rješenje sustava (9) u ravnini može se predstaviti kao:

poluravnina (a), zatvoreni poligon (b) i pravac ili dužina.

Slika 1. Moguća rješenja sustava nejednadžbi / jednadžbi

39

S S S

Skup točaka S dobiven rješavanjem sustava (9) naziva se skup

dopustivih rješenja. Taj skup je konveksan.

U skupu S se mogu uočiti ekstremne točke (tjemena poligona)

među kojima se nalazi optimalno rješenje.

Linearna forma (8) predstavlja familiju paralelnih pravaca

pošto koeficijent smjera –c1/c2 ne zavisi od varijable z.

Rješenje problema se sastoji u određivanju onog pravca koji

sa skupom S ima bar jednu zajedničku točku, a u kojoj

linearna forma (8) doseže maksimalnu/minimalnu vrijednost.

Ta točka predstavlja optimalno rješenje modela.

Najprije ćemo unutar skupa dopustivih rješenja naći jednu

točku (x1, x2) i izračunati vrijednost z0 (x1, x2) te nacrtati pravac

c1x1 + c2x2 = z0, koji predstavlja isoprofitnu liniju (kod

problema minimuma predstavlja isotroškovnu liniju).

Isoprofitna linija pokazuje kombinacije varijabli x1 i x2 koje

osiguravaju konstantnu vrijednost funkcije z na razini z0.

40

Ima beskonačno mnogo isoprofitnih linija koje su sve

međusobno paralelne, jer sve one imaju konstantan koeficijent

smjera – c1/c2.

Veća vrijednost z0 doseže se na točkama skupa dopustivih

rješenja koje su udaljenije od ishodišta koordinatnog sustava, a

najveća vrijednost z0 doseže se na najudaljenijoj točki

konveksnog skupa.

U slučaju da su oba koeficijenta u funkciji cilja veća od nule

maksimalna se vrijednost funkcije cilja doseže u najudaljenijoj

točki (točkama) presjeka z i skupa S, dok se minimalna

vrijednost doseže u najbližoj točki ishodištu koordinatnog

sustava.

41

U slučaju kad je jedan od koeficijenata c1, c2 negativan onda se

maksimalna vrijednost linearne forme doseže pomicanjem

pravca z duž osi kojoj odgovara varijabla s pozitivnim

koeficijentom, dok se minimalna vrijednost doseže

pomicanjem pravca z duž osi kojoj odgovara varijabla s

negativnim koeficijentom.

Ilustrativni primjer

Jedno poduzeće proizvodi dvije vrste radnih stolova – radni

stolovi tipa A i radni stolovi tipa B. Za proizvodnju jednog

radnog stola tipa A potrebno je 2 sata rada radnika na sječenju,

1 sat rada radnika na oblikovanju i 3 sata rada radnika na

završnoj obradi, dok je za proizvodnju jednog radnog stola tipa

B potrebno 2 sata rada radnika na sječenju, 2 sata rada radnika

na oblikovanju i 1 sat rada radnika na završnoj obradi. 42

Poduzeće svaki dan ima na raspolaganju 140 sati rada radnika

na sječenju, 120 sati rada radnika na oblikovanju i 150 sati

rada radnika na završnoj obradi.

Koliko dnevno treba proizvesti radnih stolova tipa A, a koliko

radnih stolova tipa B da bi ukupni profit poduzeća bio

maksimalan, ako poduzeće ostvaruje profit od 10 $ po radnom

stolu tipa A, odnosno 8 $ po radnom stolu tipa B?

Rješenje:

Varijable odlučivanja:

x1 – broj radnih stolova tipa A,

x2 – broj radnih stolova tipa B.

Funkcija cilja:

Max z = 10 x1 + 8 x2

43

Ograničenja:

Najprije ćemo grafički predstaviti sve nejednadžbe

ograničenja, a to je najjednostavnije napraviti uzimajući

jednakosti umjesto nejednakosti, kako bi se mogli grafički

predstaviti pravci koji odgovaraju ograničenjima.

Potom se u prvom kvadrantu koordinatnog sustava nacrtaju

dužine koje odgovaraju jednadžbama.

Nakon toga se strelicom označi smisao nejednakosti.

Kao rezultat toga formira se skup dopustivih rješenja.

1 2

1 2

1 2

1 2

2 2 140

2 120

3 150

, 0.

x x

x x

x x

x x

44

150

6070

50

50 70 120 x1

x2

0

45

Na nacrtani graf treba unijeti

ograničenja tipa jednakosti, a

potom funkciju cilja u obliku

familije pravaca.

150

6070

50

50 70 120

2x1+2x2=140

x1

x2

0

Pravac prikazujemo samo u prvom kvadrantu gdje su

obje varijable pozitivne. Također, i preostala dva

pravca ćemo prikazati samo u prvom kvadrantu.

U ovom slučaju strelica

okrenuta u lijevo znači da se

radi o nejednadžbi oblika manje

ili jednako

46

150

6070

50

50 70 120

2x1+2x2=140

x1+2x2=120

x1

x2

0

47

150

6070

50

50 70 120

2x1+2x2=140

x1+2x2=120

x1

x2

0

3x1+x2=150

48

Nenegativnost varijabli x1 i x2 prikazana je strelicama. Kao presjek svih poluravnina

svih 5 ograničenja dobili smo skup S. S je skup dopustivih rješenja našeg problema.

150

6070

50

50 70 120

2x1+2x2=140

x1+2x2=120

x1

x2

0

3x1+x2=150

S

49

150

6070

50

50 70 120

2x1+2x2=140

x1+2x2=120

x1

x2

0

3x1+x2=150

S

Nacrtajmo pravac 10x1 + 8x2 = z0

Uzmimo da je z0 = 200, pa imamo 10x1 + 8x2 = 200. Odavde je x2 = 25 – x1.

50

10

8

150

6070

50

50 70 120

2x1+2x2=140

x1+2x2=120

x1

x2

0

3x1+x2=150

S

Pravac ćemo najlakše nacrtati ako nađemo vrijednost za x2 kad

je x1 = 0 (to je 25) i vrijednost za x1 kad je x2 = 0 (to je 20).

Pravac povučemo kroz točke (0, 25) i (20, 0).

Možemo npr. nacrtati i pravac 10x1 + 8x2 = 300, da vidimo gdje

je pozicioniran pravac kad se povećava vrijednost z0.51

150

6070

50

50 70 120

2x1+2x2=140

x1+2x2=120

x1

x2

0

3x1+x2=150

S10x1+8x2=200

Ako formiramo familiju pravaca paralelnih pravcu 10x1 + 8x2 = z0, uočit ćemo

da je taj pravac najviše udaljen od ishodišta koordinatnog sustava u točki F,

koja je prema tome točka gdje funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu

vrijednost.

F

E

GH

52

Pravac 10x1 + 8x2 = 300

paralelan je pravcu 10x1 +

8x2 = 200, a udaljeniji je od

ishodišta koordinatnog

sustava, a to znači da se

pozicija tog pravca mijenja

s povećanjem vrijednosti za

z0 tako da se veća vrijednost

z0 ostvaruje ako je pravac

više udaljen od ishodišta

koordinatnog sustava.

Maksimalna vrijednost za z

ostvaruje se na

najudaljenijoj točki (od

ishodišta koordinatnog

sustava) skupa dopustivih

rješenja.

Vrijednosti funkcije cilja u točkama E, F, G i H su sljedeće:

E(50, 0) = 500 $

F(40, 30) = 640 $

G(20, 50) = 600 $

H(0,60) = 480 $

Vrijednosti varijabli u točkama E, F, G i H nalazimo

rješavanjem sustava jednadžbi kojim je definirana dana točka

(svaka od tih točaka je nastala kao presjek dvaju pravaca).

Npr. točka F je presječna točka pravaca:

2x1+2x2=140

3x1+ x2=150.

Rješenje ovog sustava je x1=40 i x2=30 za koje funkcija

cilja ostvaruje svoju maksimalnu vrijednost.

53