Embed Size (px)
Citation preview
DIVIZIBILITATEA NUMERELOR ÎNTREGI
1.1 Relaţia de divizibilitate în Z
Definiţia 1.1.1: Un întreg n este divizor al unui întreg p dacă există un întreg q, astfel încât
p=nq.
În cazul în care există un qZ, spunem că n este un divizor al lui p şi p este un
multiplu de n. În acest caz mai spunem că p se împarte exact cu n sau că n îl divide pe p şi se
scriem:
np sau
p∶n
În caz contrar scriem:
n∤p (n nu divide pe p).
Relaţia de divizibilitate în mulţimea numerelor întregi este o relaţie binară, pe această
mulţime.
1.1.2 Proprietăţile relaţiei de divizibilitate
1. Relaţia de divizibilitate este reflexivă, adică, pentru orice pZ:
p=p1, deci
pp.
2. Relaţia de divizibilitate este antisimetrică, adică: dacă np şi pn, atunci n=p.
Avem: p=nq1 şi n=pq2, deci p=pq1q2, de unde 1=q1q2, deci: q1=q2=1.
3. Relaţia de divizibilitate este tranzitivă:
n|p, p|r ⇒ n|r
p=nq, r=pq1 ⇒ r=n(qq1)
4. Orice număr întreg divide pe zero.
0=n×0 ⇒ n|0
5. Zero nu este divizorul nici unui număr întreg p0.
Nu există: p=q×0 când p0.
6. Numerele 1 şi p sunt întotdeauna divizori ai lui p.
Numerele 1 şi p se numesc divizori improprii ai lui p, orice alt divizor n diferit de 1 se
numeşte divizor propriu.
Un număr întreg diferit de 1 care nu admite divizori proprii se numeşte număr
nedecompozabil. Un număr întreg care admite divizori proprii se numeşte număr compus.
1
7. Orice divizor al unui număr întreg p, diferit de zero, este cel mult egal cu p.
Generalitatea propoziţiei nu se restrânge în ceea ce priveşte relaţia de divizibilitate
dacă vom considera întregii pozitivi.
Dacă: p0 şi q0, avem q1 şi nqn, sau pn.
8. Dacă np şi nq, atunci oricare ar fi întregii x şi y, n(px+qy).
Dacă: n |p, n|q ⇒ p=hn şi q=kn
Avem:
px+qy=hnx+kny=n(kx+ky)
În particular: n|(p+q) şi n|(p–q).
1.1.3 Mulţimea divizorilor şi a multiplilor comuni a mai multor numere
Fie un număr finit de numere naturale a1,a2,…,ak. Valoarea absolută a unui număr
întreg este un număr pozitiv, iar din punctul de vedere al adunării şi înmulţirii nu se face
distincţie între numerele întregi pozitive şi numerele naturale. De aceea, pentru uşurinţă
folosim în acest paragraf numerele naturale.
Notăm cu D mulţimea divizorilor comuni ai acestor numere, prin M mulţimea
multiplilor comuni diferiţi de zero. Mulţimea D conţine cel puţin un element, numărul 1; este
o submulţime a lui N, nevidă. D este mărginită superior prin fiecare din numerele a1,a2,…,ak.
Există prin urmare în D un element d mai mare decât toate celelalte; numim acest element
c.m.m.d.c. al numerelor a1,a2,…,ak.
Mulţimea M a multiplilor comuni diferiţi de zero ai numerelor a1,a2,…,ak nu este vidă,
conţine cel puţin produsul a1,a2,…,ak. Această submulţime a lui N este mărginită inferior de
cel mai mare dintre numerele a1,a2,…,ak, prin urmare are un element m mai mic decât toate
celelalte, numim acest element c.m.m.m.c. al numerelor a1,a2,…,ak.
Dacă notăm cu A1 mulţimea divizorilor lui a1, cu A2 mulţimea divizorilor lui a2, …, cu
Ak mulţimea divizorilor lui ak, atunci avem: D=A1∩A2∩…∩Ak. Deoarece mulţimile A1, A2,, …
, Ak sunt finite şi intersecţia lor D este finită.
Dacă notăm cu A'1 mulţimea multiplilor lui a1, cu A'2 mulţimea multiplilor lui a2, …,
cu A'k mulţimea multiplilor lui ak, atunci avem: M= A’1∩A’2∩…∩A’k.
1.1.4 Ideale principale de numere întregi
Definiţia 1.1.4.1: O mulţime de numere întregi I, care se bucură de proprietăţile:
1) diferenţa dintre două elemente p şi p' a lui I este un element a lui I;
2) produsul dintre un element p a lui I cu un număr întreg h este un element a lui I,
2
se numeşte ideal al lui Z.
Observaţia 1.1.4.2: Mulţimea I0 care conţine numai elementul 0 este ideal. Mulţimea I1 care
conţine elementul 1 este idealul format din toate numerele întregi. Aceste două ideale se
numesc ideale improprii.
Pe lângă ideale improprii există şi ideale proprii, mulţimea multiplilor unui număr
întreg a formează idealul I(a), generat de elementul a, numit ideal principal.
1.1.5 Cel mai mare divizor comun al mai multor numere
Definiţia 1.1.5.1: Fie a1, a2, …, ak, k numere întregi pozitive date şi x1, x2, …, xk, k numere
întregi oarecare, numim idealul I(a1,a2,…,ak) generat de elementele a1, a2, …, ak, mulţimea I
a numerelor pozitive:
p=|x1a1+x2a2+…+xkak|.
Această mulţime I are următoarele proprietăţi:
1. I este o mulţime de numere întregi pozitive.
2. I conţine pe zero; este suficient să se ia:
x1=-a2; x2=a1; x3=x4=…xk=0.
3. Elementele diferite de 0 formează o submulţime a lui Z+, există deci un element d, care
este cel mai mic element diferit de zero din I.
4. Produsul dintre un element pI cu un număr întreg pozitiv h este un element al lui I.
Într-adevăr, dacă hZ+, avem:
hp=|hx1a1+hx2a2+…+hxkak|,
care este un element al lui I.
5. Valoarea absolută a diferenţei între două elemente p şi p' a lui I este un element al lui
I.
Dacă:
p=|x1a1+x2a2+…+xkak|, şi
p’=|x’1a1+x’2a2+…+x’kak|,
avem:
|p–p’|=|(x1 - x1’)a1+ (x2 – x2’)a2+…+(xk – xk’)ak|
sau
|p–p’|=|(x1 + x1’)a1+ (x2 + x2’)a2+…+(xk + xk’)ak|.
În ambele cazuri |p–p’| este un element al lui I.
Teorema 1.1.5.2: Orice element diferit de zero al lui I este un multiplu de d.
3
Demonstraţie: Fie p un element diferit de 0 din I. Deoarece d este cel mai mic dintre
elementele diferite de 0 ale lui I, avem pd. Identitatea împărţirii dintre p şi d ne dă:
p=dq+r, cu r<d.
Dar dq este un element al lui I (proprietatea 4). Numărul r=p-dq este, de asemenea, element al
lui I. Singurul element al lui I mai mic ca d este 0; avem deci:
p=dq.
Prin urmare, mulţimea I(a1,a2,…,ak) este un ideal egal cu I(d), care este un ideal principal.
I(a1,a2,…,ak)=I(d).
Consecinţe 1.1.5.3:
1. d este un divizor comun al numerelor a1, a2, …, ak. Fie i un element al mulţimii {1,2,3,
…,k}. Numărul ai este un element al lui I obţinut, dând numărului întreg xi valoarea +1 şi
tuturor celorlalţi întregi xi valoarea 0. Deci ai este un multiplu de d.
2. Orice divizor comun al numerelor a1, a2, …, ak este un divizor al lui d. Într-adevăr,
dacă un număr d1 divide fiecare din numerele a1, a2, …, ak, el va divide orice element p=|
x1a1+x2a2+…+xkak|, deci d1 divide şi pe cel mai mic element al lui I diferit de zero, care
este d.
3. Rezultă că dintre toţi divizorii comuni ai numerelor a1, a2, …, ak , numărul d este cel
mai mare şi îl numim cel mai mare divizor comun al numerelor a1, a2, …, ak.
1.1.6 Numere prime între ele
Definiţia 1.1.6.1: Spunem că numerle întregi a1, a2, …, ak sunt prime între ele dacă c.m.m.d.c.
al lor este 1.
Teoremă1.1.6.2: Dacă d este c.m.m.d.c. al numerelor a1, a2, …, ak, atunci numerele:
sunt prime între ele.
Dacă d este c.m.m.d.c. al numerelor a1, a2, …, ak există k numere întregi x1, x2, …, xk,
astfel ca:
|x1a1+x2a2+…+xkak|=d,
deducem că:
|x1a’1+x2a’2+…+xka’k|=1.
1.1.7 Aflarea celui mai mare divizor comun a două numere date
4
1.1.7.1 Algoritmul lui Euclid
C.m.m.d.c. a două numere a, b notat (a,b) este ultimul rest diferit de 0 al împărţirilor
succesive:
a=bq+r, 0rb;
b=rq1+r1, 0r1r;
r=r1q2+r2, 0r2r1;
……………………………
rP-2=rP-1qP+rp, 0rPrP-1;
rP-1=rPqP+1
Într-adevăr, orice divizor comun între a şi b este divizor comun între b şi r şi reciproc.
a=bq+r ⇒ r=a–bq
Deci, cel mai mare divizor comun între a şi b este c.m.m.d.c. între b şi r.
d=(a,b)=(b,r)=(r,r1)=…=rp
Acest procedeu de a găsi (a,b) prin cel mult b împărţiri succesive poartă numele de
algoritmul lui Euclid.
Teorema 1.1.7.2: (Bézout) Dacă d=(a,b), atunci există două numere naturale u şi v, astfel ca:
d=ua–vb sau d=vb–ua.
Demonstraţie: Am arătat că dI şi că este de forma: |x1a1+x2a2+…+xkak|, unde a1, a2, …, ak
sunt naturale, iar x1, x2, …, xk sunt numere întregi. Punând
x1=x, x2=y, a1=a, a2=b, a3=…=ak=0,
avem:
d=|xa+yb|
Cum d este mai mic decât a şi b sau cel mult egal cu unul dintre ele, pentru ca relaţia
d=|xa+yb| să aibă loc este necesar ca x şi y să fie de semne contrare. Luăm |x|=u şi |y|=v.
Egalitatea d=|xa+yb| implică una din următoarele egalităţi:
d=ua–vb sau
d=vb–ua .
Coeficienţii u şi v se pot calcula din aproape în aproape cu ajutorul relaţiilor algoritmului lui
Euclid. Din:
d=(a,b)=(b,r)=(r,r1)=…=rn
scoatem:
d=r2k=ua–vb şi
d=r2k+1=vb–ua
Teorema 1.1.7.3: Două numere naturale a şi b sunt prime între ele dacă şi numai dacă există
două numere întregi pozitive u şi v, astfel încât:
5
au+bv=1.
Demonstraţie:1=au–vb sau 1=vb–au. Conform teoremei precedente condiţia este necesară,
adică există două numere u şi v, astfel că:
(a,b)=1=au–bv sau (a,b)=1=bv–au.
Condiţia este suficientă, căci din d|a şi d|b ⇒ d|1, deci d=1. Dacă există o pereche de numere
întregi pozitive u şi v, astfel că bv–au=1, există de asemenea o pereche u1, v1 de numere
întregi pozitive, astfel că au1–bv1=1. Să luăm numărul natural n suficient de mare, astfel ca
întregii u1=nb–u şi v1=na–v să fie pozitivi. Atunci avem:
au1–bv1=a(nb–u)–b(na–v)=bv–au=1
Dacă există o pereche de numere întregi u şi v astfel ca au–bv=1, atunci există o
infinitate de perechi. Într-adevăr, oricare ar fi n N, numerele: u1=u+nb şi v1=v+na verifică
relaţia:
au1–bv1=a(u+nb)–b(v+na)=au–bv=1.
Consecinţa 1.1.7.4: Dacă un număr a este prim cu un număr b şi cu un număr c, este prim şi
cu produsul bc.
Demonstraţie: Dacă (a,b)=1 şi (a,c)=1,
avem:
au1–bv1=1
au2–cv2=1,
de unde:
bv1=au1–1
cv2=au2–1.
Înmulţind membru cu membru, obţinem:
bcv1v2=(au1–1)(au2–1)
Punem:
v1v2=U şi
au1u2 – u2 – u1=V.
Există două numere U şi V, astfel că:
(bc)U-aV=1.
Aceasta arată că bc şi a sunt prime între ele.
Teorema 1.1.7.5: (Gauss) Dacă numerele a şi b sunt prime între ele şi dacă a divide produsul
bc, atunci a divide pe c.
Demonstraţie: Dacă (a,b)=1, avem au–bv=1, de unde:
cau – cbv=c
a|cau şi a|cbv ⇒ a|(cau–cbv)
6
deci:
a|c.
Consecinţa 1.1.7.6: Dacă b|a şi c|a şi (b,c)=1, atunci bc|a.
Demonstraţie: Avem: bu–cv=1 sau abu – acv=a. Dar bc|abu şi bc|acu deci bc|a.
1.1.8 Cel mai mic multiplu comun a două numere
Notaţia 1.1.8.1: Notăm c.m.m.m.c. a două numere a şi b cu m=[a,b].
Teorema 1.1.8.2: Dacă (a,b)=d şi [a,b]=m, atunci avem: ab=md.
Demonstraţie: Într-adevăr: M=aq1=bq2 (M multiplu comun a lui a şi b), deci:
aq1=bq2 sau
, dar .
Rezultă:
,
deci:
.
Avem:
.
Când n=1, avem M=m, deci:
sau:
ab=md.
Teorema 1.1.8.3: Orice multiplu comun a k numere a1, a2, …, ak este multiplu a lui m.
Demonstraţie: Fie p un multiplu a numerelor a1, a2, …, ak şi m c.m.m.m.c. al lor. Există două
numere întregi q şi r, astfel ca:
p=mq+r, cu rm,
sau
p-mq=r, cu rm.
7
Dar p şi m sunt multipli comuni ai numerelor a1, a2, …, ak. Rezultă că numărul r este de
asemenea multiplu comun al celor k numere şi este mai mic ca m, c.m.m.m.c. al lor, r nu
poate fi decât 0. Deci:
p=mq.
1.1.9 Numere prime
Definiţia 1.1.9.1: Un număr natural p1 care admite doi şi numai doi divizori (pe 1 şi pe p),
se numeşte număr prim.
Definiţia 1.1.9.2: Orice număr natural p1 care admite şi alţi divizori în afară de 1 şi de p,
se numeşte număr compus.
Deci, numerele naturale se împart din punct de vedere al descompunerii lor în:
1. unitatea – cu un singur divizor;
2. numere prime – cu doi divizori;
3. numere compuse – cu mai mult de doi divizori.
Teorema1.1.9.3: Numerele prime sunt nedecompozabile.
Demonstraţie: Presupunem că numărul p este compus şi că am avea p=ab, cu a divizor
propriu. Rezultă că 1ap şi 1bp; relaţia p=ab arată că p(ab), conform definiţiei pa
sau pb, deci pa sau pb, ceea ce contrazice inegalităţile de mai sus. Deci: p=a sau p=b şi
a=1.
Teorema 1.1.9.4: Dacă un număr natural n este compus, cel mai mic divizor propriu este
nedecompozabil.
Demonstraţie: Fie D mulţimea divizorilor lui n diferiţi de 1. Această mulţime este o parte a
lui N; deci conţine un element d mai mic decât celelalte. Acest element este nedecompozabil.
Dacă d ar fi un număr compus ar admite un divizor d1 mai mic decât d. Acest divizor al lui d
ar fi şi un divizor al lui n mai mic ca d, ceea ce ar contrazice ipoteza că d este cel mai mic
divizor propriu al lui n.
Teorema 1.1.9.5: (Euclid) Mulţimea numerelor nedecompozabile nu este mărginită.
Demonstraţie: Să arătăm că oricare ar fi p număr nedecompozabil, există altul mai mare.
Considerăm numărul:
n=p!+1.
Cele două numere n şi p! sunt prime între ele, deoarece avem:
n-p!=1.
Numărul n nu se divide cu nici unul din numerele 2, 3, …, p, deoarece toate aceste numere
divid pe p!. Cu excepţia numărului 1, toţi divizorii lui n sunt mai mari ca p; cel mai mic dintre
8
aceşti divizori este nedecompozabil. Există deci, oricare ar fi p, numere nedecompozabile mai
mari ca p.
1.1.10 Descompunerea unui număr în factori primi
Teorema 1.1.10.1: Orice număr întreg mai mare decât 1 se descompune într-un produs de
factori primi.
Demonstraţie: Am arătat că orice număr compus n admite cel puţin un divizor prim a1 (cel
mai mic divizor propriu). Avem deci:
n=a1q1 cu q1n.
Dacă q1 este prim, n este un produs de doi factori primi. Dacă q1 nu este prim, admite cel puţin
un divizor prim pe a2; avem: q1=a2q2 cu q2q1, şi deducem: n=a1a2q2. Dacă q2 nu este prim,
admite pe a3 ca divizor prim , şi avem: n=a1a2a3q2 cu q3q2q1n. Efectuând această operaţie
atât cât este posibil, obţinem câturile q1, q2, q3, … aranjate în ordine descrescătoare. Mulţimea
acestor câturi este o submulţime a lui N. Deci va avea un element qk mai mic decât toate
celelalte. qk nu este zero, deoarece produsul n=a1a2…akqk nu este zero. qk nu este egal cu 1,
deoarece în egalitatea qk-1=qkak numărul nu este prim şi ak este prim. qk este prim (am
arătat că numerele prime sunt nedecompozabile şi reciproc), căci dacă nu ar fi prim, ar avea
un divizor prim ak+1; am avea: qk=ak-1qk+1 cu qk+1qk, iar numărul qk nu ar fi cel mai mic din
mulţimea q1, q2, q3, …qk. Notând cu ak+1 numărul prim qk, avem:
n=a1a2…akak+1.
Dacă numărul n este prim, avem: n=n1.
Descompunerea unui număr în factori primi se mai numeşte şi descompunerea
canonică a lui n şi în această descompunere unii factori pot fi egali, caz în care
descompunerea se reprezintă în felul următor:
n= ,
cu pi diferiţi şi ai numere naturale.
1.1.11 Unicitatea descompunerii în factori primi
Teorema 1.1.11.1: Orice număr natural n1 se descompune într-un produs unic de factori
primi.
Demonstraţie: Presupunem că am descompus pe n în două moduri diferite în factori primi:
9
n=
n= .
Un factor prim de la prima descompunere, p1, de exemplu, divide produsul: . Dacă
nu este egal cu nici unul din numerele q2, q3, …, qk este prim cu ele, deci este prim şi cu
produsul lor: ; urmează că p1 divide pe . Dar numerele p1 şi q1 sunt prime, rezultă
că p1=q1. Orice factor prim din prima descompunere este factor prim şi în cealaltă
descompunere. Dacă doi factori p1 şi q1, de exemplu ar fi de ordin de multiplicitate diferit,
adică dacă b1a1, atunci numărul întreg ar avea două descompuneri în factori primi:
n1= şi
n= ,
care n-ar conţine aceleaşi numere prime, fapt ce ar contrazice prima parte a teoremei.
Descompunerea în factori primi este deci unică.
1.1.12 Funcţii numerice
Orice aplicaţie a mulţimii numerelor întregi pozitive în mulţimea numerelor întregi
pozitive se numeşte funcţie numerică.
Se mai poate lua ca domeniu de definiţie mulţimea numerelor naturale, codomeniul
putând fi mulţimea numerelor reale sau complexe. În unele cazuri, chiar domeniul de definiţie
al funcţiei poate fi extins la alte mulţimi numerice, nu neapărat N.
În continuare vom da noţiuni asupra anumitor funcţii (aritmetice) numerice definite în
mulţimea numerelor naturale.
Funcţii importante în teoria numerelor sunt funcţiile multiplicative.
Definiţia 1.1.12.1: O funcţie numerică f(n) definită pe mulţimea numerelor naturale se
numeşte multiplicativă, dacă pentru orice pereche (m,n)=1 avem:
f(mn)=f(n)f(m).
Observaţia 1.1.12.3: Dacă nu se pune condiţia (m,n)=1, adică pentru orice (m,n), avem
f(mn)=f(n)f(m)
atunci funcţia f(n) este total multiplicativă sau multiplicativă în sens generalizat.
Teorema 1.1.12.2: Dacă f(n) este multiplicativă şi nu se anulează pentru toate valorile lui n,
atunci f(1)=1.
Demonstraţie: Avem: f(n0)≠0 şi f(n0)=f(n01)=f(n0)f(1).
10
Simplificând cu f(n0), rezultă 1=f(1).
Suma divizorilor numărului n inclusiv 1 şi n este dată de formula:
Fie:
descompunerea canonică a lui n într-un produs de factori primi.
Un divizor d al lui n este de forma: , cu 0biai, i=1,2,3,…,k.
Obţinem suma divizorilor lui n pe care o notăm cu , făcând produsul:
Termenii obţinuţi prin efectuarea produsului sunt divizorii distincţi ai lui n.
Înlocuind parantezele prin suma progresiilor geometrice respective, avem:
1.1.13 Numărul divizorilor
Dacă în produsul:
facem pe a1=a2=…=ak=0, obţinem numărul termenilor produsului P care este tocmai numărul
divizorilor lui n, inclusiv 1 şi n.
Notăm prin:
(n)=(a1+1)(a2+1)…(ak+1) numărul acestor divizori.
1.2 Inducţia matematică
1.2.1 Cercetarea prin inducţie
Urmărind studiul unui fenomen, începem de obicei prin a-i cerceta unele laturi
particulare, izolate. Din studierea situaţiilor particulare tragem adesea concluzii care au
valabilitate şi în cazuri care n-au fost cercetate efectiv. Trecerea de la particular la general se
numeşte inducţie.
În matematică, rezultatele inductive nu pot fi acceptate decât dacă sunt însoţite de o
demonstraţie.
11
1.2.2 Metoda inducţiei matematice
Pentru demonstrarea unor afirmaţii referitoare la numerele naturale, în matematică este
folosită o metodă de demonstraţie, numită inducţia completă sau inducţia matematică.
Această metodă are la bază principiul inducţiei matematice care poate fi formulat
astfel:
Teorema 1.2.2.1: Propoziţia P(n) este adevărată pentru orice număr natural n dacă sunt
verificate următoarele două condiţii:
1. Propoziţia P(a) este adevărată a N;
2. P(n) – adevărată implică P(n+1) – adevărată, pentru orice n a, adică presupunând
P(n) adevărată, rezultă P(n+1) adevărată, pentru orice n a, atunci P(n) este
adevărată, pentru orice număr natural n a.
Demonstraţie: Fie o propoziţie P(n) care satisface condiţiile 1 şi 2 din enunţul teoremei şi să
presupunem că există numere naturale n a pentru care P(n) este falsă. Să notăm cu m cel mai
mic număr natural pentru care P(m) este falsă. Evident, m a deoarece P(a) este adevărată
(condiţia 1). Fie p numărul natural anterior lui m (p=m-1 sau m=p+1).
Presupunerea făcută arată că P(m)=P(p+1) este falsă, iar P(p) este adevărată, deoarece
m este cel mai mic număr pentru care P(m) este falsă. Dar, din faptul că P(p) este adevărată,
rezultă că şi P(p+1) este adevărată (condiţia 2), adică P(m) este adevărată, în contradicţie cu
presupunerea că P(m) este falsă. Contradicţia obţinută arată că ipoteza că există numere
naturale n a pentru care P(n) este falsă este inacceptabilă.
Aşadar, propoziţia P(n) este adevărată pentru orice na.
O justificare a acestei metode este următoarea:
Să considerăm o propoziţie P(n) care este adevărată, de exemplu, pentru n=1 şi P(n)
P(n+1). Din faptul că P(1) este adevărată rezultă aplicând condiţia 2 că P(2) este adevărată,
P(2) fiind adevărată deducem aplicând condiţia 2 că P(3) este adevărată. În mod analog
deducem că P(4) şi P(5) etc. sunt adevărate.
Aşadar, metoda inducţiei complete prin cele două condiţii asigură transmiterea unei
proprietăţi de la un număr natural dat la toate numerele naturale următoare permiţându-ne să
tragem concluzia că proprietatea este adevărată pentru orice număr natural.
Vom arăta acum printr-un exemplu cum se aplică efectiv metoda inducţiei complete.
Exemplul 1.2.2.2: Să se arate că oricare ar fi numărul natural n este adevărată egalitatea:
1+2+3+...+n= .
Propoziţia P(n) este:
12
Pentru n=1 se obţine sau 1=1, propoziţie care este adevărată.
Înlocuind pe n cu n+1, obţinem propoziţia:
Verificarea condiţiilor:
Condiţia 1: P(1) este adevărată.
Condiţia 2: Să presupunem că P(n) este adevărată, adică să presupunem că egalitatea
1+2+3+...+n= este adevărată şi să arătăm că în această ipoteză şi P(n+1) este
adevărată, adică egalitatea:
1+2+3+...+n+(n+1)=
este adevărată. Pentru aceasta folosim proprietatea după care, dacă adunăm la ambii membri
ai unei egalităţi acelaşi număr, obţinem tot o egalitate adevărată. Să adunăm în ambii membri
ai egalităţii 1+2+3+...+n= , presupusă adevărată, numărul (n+1). Obţinem:
1+2+3+...+n+(n+1)= +(n+1),
iar de aici rezultă:
1+2+3+...+n+(n+1)=
de unde, dând factor comun pe (n+1) se obţine:
1+2+3+...+n+(n+1)= ,
adică tocmai egalitatea exprimată în propoziţia P(n+1). Deci P(n) P(n+1).
Egalitatea 1+2+3+...+n= este adevărată pentru orice n1.
1.3 Inegalităţi algebrice
1.3.1 Inegalitatea mediilor
13
Pentru a, b 0, notăm cu:
, media armonică a numerelor a şi b;
, media geometrică a numerelor a şi b;
, media aritmetică a numerelor a şi b;
, media pătratică a numerelor a şi b.
Atunci au loc inegalităţile:
min(a,b)H(a,b)G(a,b)A(a,b)Q(a,b)max(a,b)
sau:
,
relaţii cunoscute sub denumirea de inegalitatea mediilor.
Demonstraţie: Presupunem ab. Atunci prima inegalitate devine:
a(a+b)2ab ⇒ a2ab ⇒a(a-b)0,
ceea ce este evident. Are loc egalitate (a0) dacă a-b=0, adică pentru a=b.
A doua inegalitate se rescrie:
adevărat, fiind pătratul unui număr real. Avem egalitate dacă .
Inegalitatea se rescrie echivalent , ceea ce-i adevărat. Avem
egalitate dacă ceea ce dă a=b.
Inegalitatea prin ridicare la pătrat se rescrie echivalent
sau a2+b2-2ab0, adică (a–b)20, evident fiind pătratul unui umăr real. Se
obţine egalitate dacă a-b=0 sau a=b.
În fine inegalitatea prin ridicare la pătrat se scrie echivalent
sau a2b2 sau (a–b)(a+b)0 sau (a+b0) a–b0, ceea ce este adevărat. Avem egalitate dacă
a=b.
14
În mod asemănător se abordează cazul ab.
Analog se pot defini pentru n numere strict pozitive a1,a2,…,an:
- media armonică a numerelor a1,a2,…,an:
;
- media geometrică a numerelor a1,a2,…,an:
;
- media aritmetică a numerelor a1,a2,…,an:
;
- media pătratică a numerelor a1,a2,…,an:
.
Au loc inegalităţile:
min(a1,a2,…,an)H(a1,a2,…,an)G(a1,a2,…,an)A(a1,a2,…,an)Q(a1,a2,…,an)max(a1,a2,
…,an)
Avem egalitate dacă a1=a2=…=an.
1.3.2 Inegalitatea Cauchy – Buniakovski – Schwartz (C.B.S.).
Fiind date a1, a2, x1, x2 numere reale. Atunci are loc:
(x1a1+x2a2)2(x12+x2
2) (a12+a2
2).
Demonstraţie: Se arată uşor (prin calcul) că are loc următoarea egalitate (Lagrange):
(x12+x2
2) (a12+a2
2)=(x1a1+x2a2)2+(x1a2–a1x2)2.
Dacă în membrul drept se renunţă la ultimul termen pozitiv se obţine inegalitatea
dorită. Avem egalitate dacă termenul la care s-a renunţat este nul, adică dacă x1a2–a1x2=0.
Dacă a1, a20, de aici rezultă .
Observaţie: Dacă ai, xi, i= sunt numere reale, atunci are loc inegalitatea C.B.S.
,
cu egalitate dacă xiaj=xjai, ij, i, j= .
1.3.3 Inegalitatea lui Bernoulli
15
Dacă 0, r1, rQ, atunci (1+)r1+r .
Demonstraţie: Fie . Se aplică inegalitatea între media geometrică şi cea aritmetică
pentru numerele când avem:
.
De aici rezultă că , adică (1+)r1+r.
1.3.4 Inegalitatea lui Cebâşev
1. Dacă a1a2 şi b1b2 sau a1a2 şi b1b2, atunci:
(a1+a2)(b1+b2)2(a1b1+a2b2).
2. Dacă a1a2 şi b1b2 sau a1a2 şi b1b2, atunci:
(a1+a2)(b1+b2)2(a1b1+a2b2).
Demonstraţie: 1) Efectuăm calculele şi grupăm convenabil, obţinem (a2–a1)(b2–b1)0 ceea
ce-i evident.
2) Analog lui 1.
Observaţia 1.3.4.1: Inegalitatea lui Cebâşev se extinde la n-upluri de numere a1a2…an
şi b1b2…bn sau a1a2…an şi b1b2…bn (spunem că cele două n-upluri au
aceeaşi monotonie) când avem:
(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)n(a1b1+a2b2+…+anbn).
Dacă a1a2…an şi b1b2…bn sau a1a2…an şi b1b2…bn (deci n-upluri au
monotonii diferite), atunci:
(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)n(a1b1+a2b2+…+anbn).
1.3.5 Inegalitatea lui Minkowski
Dacă a1, a2, x1, x2R atunci
.
Demonstraţie: Inegalitatea este echivalentă cu cea obţinută prin ridicare la pătrat. Avem:
(a1–b1)2+(a2–b2)2 a12+a2
2+2
sau după efectuarea unor calcule
-ab-ab .
16
Dacă membrul stâng este negativ, atunci inegalitatea are loc deoarece membrul drept este
pozitiv. Dacă membrul stâng este pozitiv, atunci prin ridicare la pătrat obţinem:
(a1b1)2+2a1b1a2b2+(a2b2)2(a1b1)2+(a1b2)2+(a2b1)2+(a2b2)2 sau
0(a1b2 – a2b1)2,
ceea ce este adevărat. Avem egalitate dacă
.
Observaţia 1.3.5.1: Inegalitatea se extinde la numerele reale ai, bi, i= când:
.
1.3.6 Alte inegalităţi remarcabile
1. Dacă a1, a2R, atunci |a1|+|a2|
Demonstraţie: Inegalitatea este echivalentă cu cea obţinută prin ridicare la pătrat. Avem:
sau
02|a1|∙|a2|,
adevărat. Avem egalitate dacă a1=0 sau a2=0.
Observaţia 1.3.6.1: Pentru oricare numere reale a1,a2,…,an are loc inegalitatea:
|a1|+|a2|+…+|an|
2. Dacă a1, a2, b1, b2R, atunci
şi
.
3. Fie fracţiile ireductibile , atunci
.
Demonstraţie: Notăm , . Atunci:
mb1a1Mb1
mb2a2Mb2
.......................
mbnanMbn.
Adunând aceste inegalităţi, membru cu membru, rezultă:
17
m(b1+b2+…+bn)a1+a2+…+anM(b1+b2+…+bn),
iar de aici
.
Observaţia 1.3.6.2:
1. În particular pentru k1,k2,…,kn0, are loc inegalitatea:
.
2. Dacă în 1. se pune k1=k2=…=kn=1⇒ .
1.4 Aritmetica modulară
1.4.1 Congruenţe
Teorema 1.4.1.1: Fiind date două numere întregi a şi b, cu b diferit de zero, există două
numere întregi q şi r unic determinate, astfel încât a=bq+r, cu 0≤r≤b.
Numerele a şi b poartă numele de deîmpărţit şi împărţitor, iar q şi r de cât, respectiv rest.
În cazul în care r=0, spunem că b divide pe a.
Definiţia 1.4.1.2: Două numere întregi a şi b se numesc congruente modulo m, m fiind un
număr întreg diferit de zero, dacă prin aplicarea teoremei împărţirii întregi lui a şi m
obţinem acelaşi rest ca şi la aplicarea teoremei împărţirii întregi lui b şi m.
Notaţia 1.4.1.3: Se va nota a≡b(mod m) şi se va citi: a congruent cu b modulo m.
Exemplul 1.4.1.4: 136≡-46 (mod 13), deoarece
136=13∙10+6 şi -46=13∙(-4)+6.
Teorema 1.4.1.5: Două numere întregi a şi b se numesc congruente modulo m, m fiind un
număr întreg diferit de zero, dacă şi numai dacă m divide pe a-b.
Demonstraţie: Dacă a≡b (mod m), atunci avem:
a=mq1+r, b=mq2+r,
deci:
a-b=m (q1-q2) sau a-b=mt, unde q1-q2=t,
relaţie care arată că m divide pe a-b.
Reciproc, dacă:
m(a-b), adică a-b=mt,
care se mai poate scrie:
a=b+mt
şi dacă:
18
b=mq+r cu condiţia 0≤r≤m,
atunci:
a=mq+r+mt=m(q+t)+r,
deci a în împărţirea întreagă cu m dă acelaşi rest ca şi numărul întreg b. Deci există
echivalenţa logică:
a≡b (mod m) este echivalent cu m(a-b) .
Notaţia 1.4.1.6: Dacă două numere întregi m şi n nu sunt congruente modulo p se va nota:
m≢n (mod p).
Observaţia 1.4.1.7: Deoarece două numere întregi oarecare pot fi congruente modulo m sau
nu, relaţia de congruenţă este o relaţie binară, mai mult, ea este o relaţie de echivalenţă.
Într-adevăr ea este:
(i) reflexivă: a≡a (mod m);
(ii) simetrică: a≡b (mod m) b≡a (mod m). Aceste proprietăţi sunt evidente.
(iii) tranzitivă: a≡b (mod m) şi b≡c (mod m) a≡c (mod m).
Folosind proprietăţile relaţiei de divizibilitate, se obţine:
m(a-b) şi m(b-c) m[(a-b)+(b-c)] m(a-c)
.
1.4.2 Clase de resturi modulo m
Din cauză că relaţia de congruenţă pentru numere întregi, pentru fiecare modulo m,
este o relaţie de echivalenţă, putem forma clase de echivalenţă pe care le vom numi clase de
resturi.
Definiţia 1.4.2.1: O clasă de resturi este mulţimea numerelor întregi congruente modulo m
cu un număr întreg dat.
Notaţia 1.4.1.6: Clasa de resturi se notează cu Ca, unde a este un număr întreg care aparţine
clase, numit reprezentantul clasei.
Deoarece a≡r (mod m), unde r este restul împărţirii lui a la m, se poate lua ca
reprezentant al clasei de resturi Ca chiar restul r.
Observaţia 1.4.1.7: Numerele din două clase diferite Cr şi Cr nu sunt congruente modulo m.
Demonstraţie: Considerând r şi r chiar resturile, atunci dacă aCr şi bCr, se poate scrie:
a=mq1+r, b=mq2+r,
şi deci:
a-b=m(q1-q2)+r-r .
Deoarece 0≤ r≤m şi 0≤r≤m, va rezulta că m nu divide r-r şi deci nu divide nici pe a-b.
19
Observaţia 1.4.2.8: Două clase de resturi sunt egale dacă şi numai dacă reprezentanţii lor
sunt congruenţi, adică:
Ca≡Cb dacă şi numai dacă a≡b (mod m).
Regula 1.4.2.9: (Adunarea şi scăderea congruenţelor) Două congruenţe în raport cu acelaşi
modul se adună sau se scad membru cu membru.
(i) dacă a≡b (mod m) şi c≡d (mod m), atunci a+c≡b+d (mod m).
Dacă m(a-b) şi m(c-d), atunci m[(a-b)+(c-d)], adică m[(a+c)-(b+d)].
Regula adunării se poate generaliza pentru un număr finit de congruenţe.
(ii) dacă a≡b (mod m) şi c≡d (mod m), atunci a-c≡b-d (mod m).
Dacă m(a-b) şi m(c-d), atunci m[(a-b)-(c-d)], atunci m[(a-c)-(b-d).
(iii) a≡b+c (mod m) dacă şi numai dacă a-c≡b (mod m), deoarece m[a-(b+c)] exact
dacă m[(a-c)-b].
Adică se poate trece un termen dintr-un membru al congruenţei în celălalt cu semn
schimbat.
Regula 1.4.2.10: (Adunarea claselor de resturi) Suma a două clase de resturi Ca şi Cb este
clasa de resturi Ca+b , deci Ca+Cb=Ca+b.
Unicitatea sumei claselor de resturi rezultă din faptul că suma a două clase de resturi
este independentă de alegerea particulară a reprezentanţilor. Astfel dacă Ca=Ca şi Cb=Cb,
atunci Ca+b=Ca+b, deoarece din a≡a (mod m) şi b≡b (mod m) se deduce a+b=a+b (mod
m).
Pentru a cunoaşte sumele se pot alcătui tabele.
Exemplul 1.4.2.11: m=3 m=4
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
Se observă că fiecare linie respectiv coloană reprezintă o permutare circulară a
resturilor modulo m.
1.4.2.12 Proprietăţile adunării claselor de resturi
(i) Suma claselor de resturi este asociativă, deoarece adunarea întregilor are această
proprietate.
20
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Ca+(Cb+Cc)=(Ca+Cb)+Cc, adică
a+(b+c)≡(a+b)+c (mod m).
(ii) Suma claselor de resturi este comutativă, deoarece adunarea întregilor are
această proprietate.
Ca+Cb=Cb+Ca, adică
a+b≡b+a (mod m)
(iii) Elementul neutru la adunarea claselor de resturi este C0.
Ca+C0=Ca+0=Ca.
Observaţia 1.4.2.13: Ecuaţia Cb+Cx=Ca are soluţia Cx=Ca–b, deoarece: Cb+Ca–b=Ca.
Regula 1.4.2.14: (Înmulţirea congruenţelor) Două congruenţe în raport cu acelaşi modul se
pot înmulţi membru cu membru.
dacă mod m) şi c≡d (mod m), atunci ac≡bd (mod m).
dacă m(a-b) şi m(c-d), atunci mc(a-b)+b(c-d), adică m(ac-bd).
Observaţia 1.4.2.15: Această regulă se generalizează pentru un număr natural n. Astfel, din
congruenţele:
a1≡b1 (mod m) şi a2≡b2 (mod m) şi ... şi an≡bn (mod m)
se obţine:
a1a2...an≡b1b2...bn (mod m).
Cazuri particulare 1.4.2.16:
(i) a≡b (mod m) implică an≡bn (mod m).
(ii) a≡b (mod m) implică ac≡bc (mod m).
(iii) a≡b (mod m) implică ac≡bc (mod mc).
Regula 1.4.2.17: (Înmulţirea claselor de resturi) Produsul claselor de resturi Ca şi Cb este
clasa de resturi Cab ,deci Ca∙Cb=Cab.
este clasa de resturi Ca+b, deci Ca+Cb=Ca+b.
Unicitatea produsului claselor de resturi rezultă din faptul că produsul a două clase de
resturi este independent de alegerea particulară a reprezentanţilor. Astfel dacă Ca=Ca şi
Cb=Cb, Cab=Cab deoarece din a≡a (mod m) şi b≡b (mod m) se deduce a∙b=a∙b(mod m).
Pentru a cunoaşte produsele se pot alcătui tabele.
Exemplul 1.4.2.18: m = 3 m = 4
∙ 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
21
∙ 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
1.4.2.19 Proprietăţile înmulţirii claselor de resturi
(i) Înmulţirea claselor de resturi este asociativă, deoarece produsul întregilor are
această proprietate.
Ca(Cb∙Cc)=(Ca∙Cb)Cc, adică
a(b∙c)≡(a∙b)c (mod m)
(ii) Înmulţirea claselor de resturi este comutativă, deoarece produsul întregilor are
această proprietate.
Ca∙Cb=Cb∙Ca, adică
a∙b≡b∙a (mod m)
(iii) Elementul neutru la înmulţirea claselor de resturi este C1.
C1∙Ca=Ca.
(iv) Înmulţirea claselor de resturi este distributivă faţă de adunare, pentru că această
proprietate o au şi operaţiile respective cu numere întregi.
Ca(Cb+Cc)=CaCb+CaCc, adică
a(b+c)≡ab+ac (mod m).
Observaţia 1.4.2.20: Aceste proprietăţi ale operaţiilor de adunare şi înmulţire demonstrează
că mulţimea claselor de resturi pentru un modul m dat este inel comutativ cu element neutru
la înmulţire.
Teorema 1.4.2.21: Dacă într-o sumă cu coeficienţi întregi P= se
înlocuiesc numerele A,x1,x2,…,xn prin numerele A, x1, x2, ..., xn congruente modulo
m, atunci noua sumă P’= va fi congruentă modulo m cu P.
Demonstraţie: Din congruenţele:
A≡A (mod m), x1≡x1 (mod m), x2≡x2 (mod m), ... , xn≡xn (mod m)
se deduc şi următoarele:
Înmulţind congruenţele se obţine:
≡ (mod m).
Având câte o astfel de congruenţă pentru fiecare termen al sumei P şi făcând
suma lor, obţinem:
≡ (mod m).
1.4.3 Sisteme complete de resturi modulo m
22
Definiţia 1.4.3.1: Se numeşte sistem complet de resturi modulo m o mulţime de numere
întregi formate din reprezentanţii tuturor claselor de resturi modulo m, din fiecare clasă de
resturi fiind luat câte un reprezentant.
Dacă m≠0, atunci numărul elementelor dintr-un sistem complet de resturi modulo m
este egal cu m. Se pot lua ca reprezentanţi ai claselor de resturi modulo m numerele întregi
diferite două câte două, care au proprietatea 0≤m≤m, numărul lor este m.
În consecinţă, numărul claselor de resturi modulo m este egal cu m.
Un sistem complet de resturi modulo m , cu m≠0, este caracterizat prin următoarele
două proprietăţi:
1.4.3.2. Proprietăţi:
1. este format din m numere întregi;
2. diferenţa a două numere întregi oarecare din acest sistem nu se divide prin numărul
întreg m.
Ultima proprietate se justifică prin faptul că aceste numere întregi fac parte din clase
de resturi diferite şi deci nu sunt congruente modulo m.
Consecinţa 1.4.3.3: Dacă m este un număr întreg diferit de zero, atunci m numere întregi
consecutive formează un sistem complet de resturi modulo m.
Demonstraţie: Fie a+1, a+2, ..., a+m, m numere întregi consecutive. Diferenţa a două
numere oarecare a+i-(a+j)=i- j, unde i-j<m şi deci m nu poate divide i-j.
Teorema 1.4.3.4: Dacă x1, x2, ... ,x│m│ este un sistem complet de resturi modulo m şi dacă
(a,m)=1, atunci şi numerele ax1, ax2, ... , ax│m│ formează un sistem complet de resturi modulo
m.
Demonstraţie: Din ipoteză xi≢xj (mod m) şi (a,m)=1 ar însemna că xi≡xj (mod m), ceea ce ar
contrazice ipoteza. Deci m nu divide diferenţa axi-axj şi cum produsele sunt în număr de m,
constituie un sistem de resturi modulo m.
1.4.4 Sistem redus de resturi
Definiţia 1.4.4.1: Se numeşte sistem redus de resturi modulo m, o mulţime de numere întregi
formată din reprezentanţii tuturor claselor de resturi modulo m prime cu modulul, din fiecare
clasă de resturi fiind luat câte un singur reprezentant.
Teorema 1.4.4.2: Numerele întregi prime cu modulul m dintr-un sistem complet de resturi
modulo m este un sistem redus de resturi modulo m.
23
Fiecare număr întreg dintr-un sistem complet de resturi modulo m face parte dint-o
clasă de resturi modulo m şi numai din una singură şi dacă reţinem numerele întregi prime cu
modulul m dintr-un sistem complet de resturi modulo m, obţinem un sistem redus de resturi
modulo m.
Dacă se consideră sistemul complet de resturi modulo m format din 0, 1, 2, ... , m-1,
atunci numărul numerelor prime cu m şi mai mici decât el este dat de funcţia lui Euler, φ(m).
Astfel, dacă m= descompus în factori primi, atunci:
φ(m)= .
Exemplul 1.4.4.3: Dacă m=360=23∙32∙5, atunci:
φ(m)=(23-22)(32-3)(5-1)=4∙6∙4=96.
În cazul particular când p este un număr prim, atunci φ(m)=p-1.
Teorema 1.4.4.4: Dacă c1, c2, ... , cs unde s=φ(m) este un sistem redus de resturi modulo m,
iar a este un număr întreg prim cu m, atunci ac1, ac2, ... , acs este de asemenea un sistem
redus de resturi modulo m.
Demonstraţie: Fiecare număr aci, unde 1≤i≤s, reprezintă o clasă de resturi primă cu modulul
m, deoarece atât a cât şi ci sunt primi cu m. Două numere aci şi acj, unde 1≤ j≤ s, fac parte din
clase de resturi diferite, pentru că aci≡acj (mod m), prin împărţire cu a s-ar obţine ci≡cj (mod
m), ceea ce ar contrazice ipoteza cum că i≠j.
Teorema lui Euler 1.4.4.5: Pentru orice număr întreg a prim cu un număr întreg m avem
aφ(m) ≡1(mod m).
Demonstraţie: Dacă c1, c2, ... , cφ(m) un sistem redus de resturi modulo m. Atunci ac1, ac2, ... ,
acφ(m) este de asemenea un sistem redus de resturi modulo m, deoarece a este prim cu m. Între
numerele din aceste două şiruri se stabileşte o corespondenţă biunivocă prin asocierea lui aci
din şirul al doilea cu un număr ci din primul şir, făcând parte din aceeaşi clasă de resturi.
Vom avea deci aci≡ci(mod m).
Prin înmulţirea celor φ(m) congruenţe se obţine:
aφ(m)c1 c2 ... cφ(m)=c1 c2 ... cφ(m) (mod m)
având c1 c2 ... cφ(m)=c1 c2 ... cφ(m).
Împărţind cu acest produs se obţine formula pe care am vrut să o demonstrăm:
aφ(m)≡1 (mod m).
Teorema lui Fermat 1.4.4.6: Pentru orice număr întreg a care nu se divide cu un număr
prim p avem:
a│p│-1 ≡1 (mod p).
24
Demonstraţie: Pentru demonstraţie este suficient să facem în formula precedentă φ(m)=│p│-
1, p fiind un număr prim.
1.5 Ecuaţia diofantică
1.5.1 Diofant – „tatăl algebrei”.
Diofant, tatăl algebrei, este cel mai bine cunoscut pentru cartea sa Aritmetica, o
lucrare asupra ecuaţiilor algebrice şi despre teoria numerelor. Nimic important nu se ştie însă
despre viaţa lui şi există unele controverse relative la perioada în care el a trăit.
Diofant şi-a desfăşurat activitatea în marele oraş antic Alexandria. În timpul vieţii lui,
Alexandria era centrul universal al învăţământului matematic. Între 250 î.e.n. şi 350 e.n.,
Alexandria era în epoca de argint, cunoscută, de asemenea, ca epoca alexandriană târzie. În
toată această perioadă matematicienii au descoperit multe idei care au condus ulterior la
concepte matematice moderne. Argintul vine de la faptul că perioada la care ne referim
urmează celei numite ca era de aur, timp în care matematica s-a dezvoltat vertiginos. Era de
aur este considerată cea în jurul căreia a trăit marele Euclid. Matematica acestor timpuri a
influenţat-o mult pe cea contemporană.
Cu toate că epoca în care Diofant a trăit este în linii mari cunoscută, este extrem de
greu de specificat perioada exactă în care el a trăit. Deşi s-au făcut numeroase referiri la opera
lui Diofant, el însuşi a făcut extrem de puţine în ceea ce priveşte alţi matematicieni, acest
lucru făcând foarte anevoioasă precizarea anilor vieţii lui.
Diofant a citat definiţia unui număr poligonal din opera lui Hypsicle, care a trăit
înainte de 150 î.e.n., deci putem afirma că Diofant a trăit după această dată. Pe de altă parte,
Theon, de asemenea un matematician din Alexandria, l-a citat pe Diofant în anul 350 î.e.n..
Mulţi istorici apreciază aşadar că Diofant a fost în apogeul carierei sale în jurul anilor 250
î.e.n.. Cea mai mare parte a informaţiilor despre viaţa lui Diofant îşi au originea într-o colecţie
de şarade scrise de Metrodorus în jurul anilor 500 e.n.. Una dintre ele sună aşa:
“… copilăria i-a durat o şesime din viaţă; după o altă şeptime s-a
căsătorit; după o altă doisprezecime i-a crescut barba; fiul lui s-a născut
după alţi cinci ani şi a trăit jumătate cât a trăit Diofant; Diofant a murit
patru ani după ce i-a murit fiul”.
Dacă nu se cunoaşte mult despre viaţa lui Diofant, nu acelaşi lucru se poate spune
despre opera lui Aritmetica. Diofant a folosit abreviaţii atât pentru puterile numerelor cât şi
pentru relaţii şi operaţii. Acest lucru arată în mod clar că Aritmetica aparţine celui de-al doilea
stadiu de dezvoltare al algebrei. Înainte de Diofant, abrevierile pentru puteri, relaţii şi operaţii
25
nu au fost folosite. Introducând aceste prescurtări, Diofant şi-a ridicat opera deasupra
standardului calitativ al epocii alexandriene.
Aritmetica este o colecţie de 150 de probleme cu soluţii aproximative ale unor ecuaţii
determinate de grad cel mult trei şi conţinând totodată şi ecuaţii nedeterminate. Acestea din
urmă sunt legate de teoria numerelor.
De-a lungul timpurilor au existat mai multe cărţi Aritmetica. Sunt şase cărţi din care au
fost preluate cele 150 de probleme. Se crede că iniţial au existat 13 cărţi în colecţia
Aritmetica. Cele şapte cărţi sunt considerate pierdute şi se presupune că au pierit într-un
incendiu care a izbucnit la scurtă vreme după ce Diofant şi-a terminat opera.
(„O introducere în studiul ecuaţiilor diofantiene” – Titu Andreescu, Dorin Andrica)
1.5.2 Ecuaţii diofantiene.
Definiţia 1.5.2.1: O ecuaţie de forma
ax+by=c,
unde a, b, c sunt numere întregi, iar necunoscutele x şi y sunt de asemenea numere întregi, se
numeşte ecuaţie diofantică de gradul I.
Definiţia 1.5.2.2: Se numeşte soluţie a ecuaţiei diofantice
ax+by=c
orice pereche de numere întregi (x0,y0), astfel ca relaţia
ax0+by0=c
să fie adevărată.
A rezolva o ecuaţie diofantică înseamnă a-i găsi toate soluţiile.
Problema determinării numărului de soluţii diferite a unei ecuaţii diofantice este strâns
legată de teoria congruenţelor.
Într-adevăr, ecuaţia
ax=c-by
poate fi pusă în legătură cu congruenţa
ax≡c(mod b).
Prin urmare, pentru rezolvarea ecuaţiei:
ax+by=c
distingem trei cazuri:
1. Dacă (a,b)=1, atunci x este soluţia congruenţei ax≡c(mod b), adică x=x0+bh, iar:
26
2. Dacă (a,b)=d şi d nu divide pe c, ecuaţia este imposibilă, deoarece membrul întâi se
divide prin d, însă membrul al doilea nu se divide.
3. Dacă a=a1d, b=b1d cu (a,b)=1 şi c=c1d, atunci ecuaţia se poate simplifica prin d şi
obţinem a1x+b1y=c1, care am văzut că admite soluţia x=x0+bh şi y=y0-ah
Definiţia 1.5.2.3: O ecuaţie de forma:
(i) f(x1, x2, ... , xn)=0,
unde f este o funcţie de n variabile şi n≥2, se numeşte ecuaţie diofantiană.
Observaţia 1.5.2.4: Dacă f este o funcţie polinomială cu coeficienţi întregi, (i) poartă numele
de ecuaţie diofantiană algebrică.
Definiţia 1.5.2.5: Un n-uplu (x10,x2
0,…,xn0)Zn care satisface (i) se numeşte soluţie a ecuaţiei
(i).
Definiţia 1.5.2.6: O ecuaţie care are una sau mai multe soluţii se numeşte solvabilă.
27
