1. División euclídea de polinomios.

La división euclídea de polinomios se llama así en honor al matemático griego Euclides, que inventó el algoritmo de la división que lleva su nombre, y que no es otro que el método que lleváis usando desde que aprendisteis a dividir números cuando erais pequeños. Actualizado a los polinomios, quedaría así:

i. Dejar en el dividendo los huecos correspondientes a los términos que faltan.ii. Dividir el primer término del numerador entre el primer término del denominador: este

es el primer término del conciente.iii. El producto de cada término del cociente por el denominador, cambiado de signo, se

coloca debajo del numerador, respetando los grados. Se suman, obteniendo un resto parcial.

iv. Volvemos a proceder hasta que el resto sea de grado menor que el denominador.

Ej:

2. División de polinomios usando la Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un sencillo procedimiento que nos permite obtener el cociente y el resto en las divisiones de polinomios en las que el divisor es un polinomio del tipo . Por ejemplo, , donde , ó bien , donde . Veamos cómo funciona usando un ejemplo: calcular la división . Vemos que se puede aplicar la regla de

Ruffini porque el divisor es . Los pasos son:i. Escribimos los coeficientes del polinomio, incluyendo un cero para los términos

que faltan.ii. Abajo a la izquierda colocamos el número a del divisor, en nuestro caso 3.iii. Bajamos el primer coeficiente, en nuestro caso el 1:

iv. Multiplicamos dicho coeficiente por el 3, colocamos el resultado debajo del siguiente coeficiente, y sumamos:

v. Repetimos el proceso hasta llegar al final:

vi. El resultado es un polinomio de un grado inferior al del dividendo, cuyos coeficientes son los resultantes de aplicar la regla de Ruffini hasta llegar al resto. En nuestro caso, el cociente es y el resto

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3. Factorización de polinomios.

Factorizar algo es expresarlo como producto de factores. En el caso de los polinomios, entenderemos por factorizar un polinomio, expresarlo como producto de factores del menor grado posible. En general, intentaremos que dichos factores sean de grado 1, pero en algunos casos tendremos con conformarnos con dejar algún factor de gado superior a 1. En cualquier caso, la suma de los grados de los factores conseguidos siempre tiene que ser igual al grado del polinomio original.

Para aprender a factorizar, antes tenemos que recordar lo que de pequeños llamábamos la prueba de la división:

Pues bien, dicha prueba también funciona con la división de polinomios. De modo que si tenemos una división de dos polinomios, , cuyo

cociente es y cuyo resto es , se cumple que:

Por tanto, si resulta que la división es exacta (de resto igual a cero), la igualdad anterior se transforma en:

Es decir, estamos expresando el dividendo como producto del divisor y el cociente. Fijémonos bien: acabamos de decir que hemos expresado el polinomio dividendo como producto de otros dos (divisor y cociente).... luego, ¿qué es lo que hemos hecho? Hemos factorizado el polinomio dividendo.

Como siempre, veamos un ejemplo para que quede más claro. Vamos a factorizar el polinomio . Si hacemos la división

por Ruffini, el resto es cero:

Es decir, podemos expresar como producto del divisor y el cociente:

Este sencillo proceso ya nos ha permitido expresar como producto de

dos factores, uno de grado 1 y otro de grado 3 (vemos que la suma de los grados es 4: el grado de ). Ahora bien, se nos plantean algunas dudas:

¿Cómo se yo de antemano que la división va a ser exacta y que voy a poder factorizar? La respuesta a esta pregunta es que los números con los que podremos hacer Ruffini, y va a salir resto cero siempre se hayan entre los divisores del término independiente. En nuestro ejemplo, el término independiente de era 6, con lo cual los números con los que había que

probar para hacer Ruffini tenían que estar entre el conjunto de divisores de 6: . Efectivamente, era el 1.

¿Y cómo se yo cual de los divisores del término independiente va a funcionar? Pues por ahora, la única solución es ir probando. El año que viene veremos un teorema llamado Teorema del Resto que nos permitirá afinar esto un poco más, pero por ahora, toca probar (empezando siempre por el más fácil, claro).Y por último, ¿la factorización de se queda ahí? La respuesta es no,

puesto que recordemos que hay que buscar los factores del grado más bajo posible, y seguro que el factor de grado 3 se puede descomponer en otros de grados más bajos. Efectivamente, si seguimos haciendo Ruffini con los divisores del término independiente, encontramos otros en los que el resto da cero. Efectivamente, funciona con el -1 y el -2:

Con lo cual podemos expresar el polinomio original , que era de grado

4, como producto de cuatro factores de grado 1:

Normalmente, se saca factor común cuando un coeficiente principal es distinto de 1: