División de Polinomios II

Leccin 10: Divisin de Polinomios

Dra. Noem L. Ruiz Limardo

2009

Objetivos de la leccin

Al finalizar esta leccin los estudiantes:

Dividirn polinomios de dos o ms trminos por polinomios de uno y dos trminos.

Aplicarn el mtodo de la divisin larga al dividir por un binomio.

Aplicarn el mtodo de la divisin sinttica al dividir por un binomio del tipo (x- a).

Introduccin

La divisin de polinomios es muy til en muchas aplicaciones relativas a la economa, fsica e ingeniera, entre otras.

Entre estas aplicaciones se encuentran la teora de nmeros, el anlisis numrico, la teora de operadores, la teora de representacin de grupos y la mecnica cuntica, por citar algunas.

Introduccin Para dividir polinomios podemos aplicar varios

mtodos.

En esta leccin estudiaremos cmo se dividen polinomios de dos o ms trminos por polinomios de uno y dos trminos.

Estudiaremos el mtodo de la divisin larga y el mtodo de la divisin sinttica.

La divisin larga aplica a todo tipo de polinomio. La divisin sinttica aplica solo a unos casos particulares que discutiremos ms adelante.

Comprendiendo la Divisin

Comprendiendo la Divisin

La divisin es una operacin matemtica que consiste en saber cuntas veces un nmero (el divisor) est contenido en otro nmero (el dividendo).

Ejemplo: Cuando decimos 6 dividido por 2 (6 2),

queremos determinar cuntas veces est contenido el 2 dentro de 6.

En este ejemplo, el 2 es el divisor y el 6 es el dividendo.

DIVIDENDO = (DIVISOR COCIENTE) + RESIDUO

Componentes de la Divisin Los componentes de la divisin son los siguientes:

Dividendo

Divisor

Cociente

Residuo

Se le llama cociente al resultado de la divisin y residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el producto del cociente por el divisor.

La relacin existente entre estos componentes es la siguiente:

) Dividendo- (cociente x divisor)

Residuo

DivisorCociente

Relacin entre los Componentes de la Divisin

A veces es conveniente expresar la relacin de divisin anterior de otra manera.

Si dividimos cada lado de la ecuacin anterior por el divisor,


DIVISOR DIVISOR DIVISOR

Obtenemos la siguiente expresin:

Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.


DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUODIVISOR DIVISOR

1

1

Relacin entre los Grados de los Componentes de la Divisin

Al dividir polinomios encontramos que el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del

divisor.

As tambin, la divisin de polinomios asume que el grado del dividendo ser mayor o igual que el grado del divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendra exponentes negativos y entonces no sera un polinomio.

Esta relacin nos permite comparar con facilidad los grados de todos los componentes involucrados en la operacin.

Gradoresiduo < Gradodivisor Gradodivdendo

Formas de Expresar la Divisin

Existen tres formas de expresar la divisin:

Forma 1: a b, donde a es el dividendo y b es el divisor.

Forma 2: , donde a es el dividendo y b es el divisor.

Forma 3: , donde a es el dividendo y b es el divisor.

ab

b

a

La forma 2 se conoce como la forma de la casita de divisin. La forma 3 se conoce como la forma de fraccin.

Formas de Expresar la Divisin Es necesario que podamos intercambiar entre una

expresin y otra para poder entender mejor y llevar a cabo el proceso de divisin.

Por ejemplo: -En la expresin (x2 + 2x + 1) (x + 1) debemos saber que la expresin a la izquierda del signo de divisin (x2 + 2x + 1) es el dividendo y la que aparece a la derecha del mismo (x + 1) es el divisor.-Podemos expresar esa divisin de esta otra forma, en la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de divisin y el divisor se coloca fuera de la misma:

-Tambin, podemos expresar esa divisin de la siguiente manera:

121 2 xxx

1

122

x

xx

Ejemplo 1 Exprese la siguiente divisin usando la forma 2

(casita de divisin):

Cuando tenemos la forma de fraccin, el polinomio que est en el numerador es el dividendo y el que est en el denominador esel divisor.

En la forma 2 el dividendo es el trmino queva dentro de la casita de divisin y el divisor el que va fuera:

3

1272

x

xx

1273 2 xxx

Ejemplo 2 Exprese la siguiente divisin usando la forma 3

(forma de fraccin):

En la forma 1 el dividendo es el trmino que que est a la izquierda del smbolo de divisin y el divisor es el que est a la derecha:

En la forma 3 el dividendo es el trmino que va en el numerador y el divisor el que va en el denominador:

2

652

x

xx

)2()65( 2 xxx

Divisin de Polinomios por un Monomio

Divisin por un Monomio

Ejemplo 1: (16x5 8x4 + 5x3 2x2) 4x

Para dividir por un monomio es conveniente expresar la divisin de esta forma:

Observa que esto es una expresin racional, es decir, una fraccin con numerador y denominador.

En una expresin racional, el denominador es comn a todos los trminos del numerador, por lo tanto podemos re-escribir la expresin de la siguiente forma:

x

xxxx

4

25816 2345

x

x

x

x

x

x

x

x

4

2

4

5

4

8

4

16 2345

Contina en la prxima pantalla.

Divisin por un Monomio En una expresin como la anterior, donde tenemos

varios monomios divididos por otro monomio, aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada expresin:

Esto es, se dividen los coeficientes numricos que se puedan dividir y se restan los exponentes de las variables que tienen bases iguales.

Siempre se resta el exponente de la variable que est en el numerador menos el exponente de la variable que est en el denominador.

Si los coeficientes numricos no se pueden dividir, se dejan expresados tal como estn o se simplifican si tienen algn factor comn entre s.

x

x

x

x

x

x

x

x

4

2

4

5

4

8

4

16 2345

Divisin por un Monomio Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio

anterior tenemos:

xxxxx

x

x

x

x

x

x

x

2

1

4

524

4

2

4

5

4

8

4

16 2342345

Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio,

dividimos cada trmino del polinomio por el monomio, en

forma individual. Luego aplicamos las leyes de exponentes.

Ejemplo 2

Divide ( ) por 4x.

Escribimos en forma de fraccin y dividimos cada trmino del polinomio por el monomio 4x. Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:

4812 23 xxx

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

4

4

44

8

4

12

4

4812 2323

xxx

1

4

123 2

Ejemplo 3

Divide ( ) por

Escribimos en forma de fraccin y dividimos cada trmino del polinomio por el monomio . Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:

324354 538 yxyxyx

32

32

32

43

32

54

32

324354 538538

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxyxyx

538 22 xyyx

32yx

32yx

Divisin de Polinomios por un Binomio:

Mtodo de la Divisin Larga

Divisin por un binomio

Divide ( ) por ( ).

Cuando tenemos un polinomio dividido por un binomio aplicamos el mtodo de la divisin larga.

El mtodo de divisin larga es similar al proceso que utilizamos para dividir dos nmeros cardinales cualesquiera.

En la prxima pantalla repasaremos la divisin de nmeros cardinales.

852 xx 3x

Repaso de Divisin de Cardinales Si deseamos dividir (4565 25) utilizamos la casita de

divisin y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente manera:

Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.

Cociente

DividendoDivisor

Residuo

456525

182

-25

206

-200

65

-50

15


Divide ( ) por ( ) .852 xx 3x

853 2 xxx1. Se divide x2 y el resultado es x.

x

2. Se coloca el resultado x en el

cociente.

x

3. Se multiplica el cociente x por todo

el divisor (x+ 3) y se coloca debajo

del dividendo.

x2 + 3x

4. Ahora tendramos que restar:

(x2 + 5x) (x2 +3x). Veremos en la prxima pantalla.


Divide por .)85( 2 xx )3(x

853 2 xxx

x

6. Se efecta la suma del opuesto y se

baja el prximo trmino del

dividendo. Observa que el primer

trmino x2 y -x2 se eliminan.

-x2 + -3x

5. Recuerda que la resta de polinomios se

convierte en la suma del opuesto de

cada trmino del segundo polinomio:

(x2 + 5x) (x2 +3x) = (x2 + 5x) + (-x2 + -3x)

Observa que los signos del segundo

polinomio cambian al opuesto de lo que

eran y ahora se suma, y no se resta.

2x + 8

7. Se repite el proceso (pasos 1-6).

Veamos en la prxima pantalla.


Divide por .)85( 2 xx )3(x

853 2 xxx

x

11. Se efecta la suma del opuesto.

Observa que el primer trmino 2x

se elimina.

-x2 + -3x

2x + 8

8. Se divide 2x y el resultado es 2.

x

9. Se coloca el resultado + 2 en el

cociente.

10. Se multiplica el cociente +2 por todo el

divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se

coloca este resultado debajo del

anterior. Ahora tendramos que restar y

como restar equivale a sumar el

opuesto tendramos:

(2x + 8) (2x +6) = (2x + 8) + (-2x + -6)

+ 2

-2x + -6

12. Hemos finalizado el proceso ya que

no tenemos ningn otro trmino en el

dividendo que tengamos que bajar. El

resultado es (x + 2) con residuo 2.

2


Divide por .852 xx 3x

Podemos expresar esta divisin de la

siguiente manera:8532 xxx

x

-x2 + -3x

2x + 8

+ 2

-2x + -6

23

2)2(

3

852

xx

x

xx

Observa que el residuo 2 es una parte

fraccionaria del divisor.

Cociente Residuo

Ejemplo 2

Divide por .)8635( 234 xxxx )1(x

86351 234 xxxxx1. Se divide 5x4 y el resultado es 5x3.

x

2. Se coloca el resultado 5x3 en el

cociente.

5x3

3. Se multiplica el cociente 5x3 por todo

el divisor (x - 1) y se coloca debajo

del dividendo.

5x4 - 5x3

4. Ahora tendramos que restar:

(5x4 + x3) (5x4 5x3). Veremos en la prxima pantalla.

Continuacin de Ejemplo 2

Divide por .8635 234 xxxx 1x

86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6. Se efecta la suma del opuesto y se

baja el prximo trmino del

dividendo. Observa que el primer

trmino 5x4 y -5x4 se eliminan.

5. Recuerda que la resta de polinomios se

convierte en la suma del opuesto de cada

trmino del segundo polinomio:

(5x4 + x3) (5x4 5x3) = (5x4 + x3) + (-5x4 + 5x3)

7. Se repite el proceso (pasos 1-6).

Veamos en la prxima pantalla.

6x3 3x2



86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6x3 3x2

8. Se divide 6x3 y el resultado es 6x2.

x

9. Se coloca el resultado + 6x2 en el

cociente.

10.Se multiplica el cociente + 6x2 por todo el

divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 6x2. Se coloca este resultado debajo del anterior.

Ahora tendramos que restar y como restar

equivale a sumar el opuesto tendramos:

(6x3 3x2) (6x3 6x2) = (6x3 3x2) + (-6x3 + 6x2)

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

11. Se eliminan los primeros trminos

6x3 y -6x3 y el resultado es 3x2 .

12. Se baja el prximo trmino -6x.



86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6x3 3x2

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

13. Se repite el proceso de dividir,

luego multiplicar, luego restar,

finalmente bajar el prximo y

ltimo trmino.

-3x2 + 3x

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3

- 11

Observa que cuando se ha

bajado el ltimo trmino del

dividendo y se ha obtenido el

residuo correspondiente a ste,

el proceso de divisin finaliza.

Este ser el resultado final.



86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6x3 3x2

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

-3x2 + 3x

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3

- 11

Podemos expresar esta divisin de la

siguiente manera:

1

11)3365(

1

8635 23234

xxxx

x

xxxx

Observa que el residuo -11 es una

parte fraccionaria del divisor.

Cociente Residuo

Reflexin

Cuando se aplica la divisin larga hay dos reglas que hay que considerar antes de proceder a dividir.

El dividendo y el divisor tienen que estar ordenados en forma descendente de acuerdo al grado mayor de una de las variables.

Si faltara alguna potencia de la variable en el dividendo, hay que reservar este espacio con un cero. Esto significa que hay 0x 0x2 0x3, dependiende de la potencia que falte.

Ejemplo 3:

En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor estn ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo faltan las potencias de x2 y x1 por tanto, tenemos que reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO.

Dividimos 125x3 por 5x y tenemos 25x2.

80012525 23 xxxx

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2


Continuacin Ejemplo 3:

Luego multiplicamos 25x2 por todo el divisor (5x -2) y tenemos:

Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y tenemos:

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2

125x3 50x2

80012525 23 xxxx

25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x


Observa que si no

hubiramos reservado el

espacio de la potencia

de x2 , no hubiramos

podido sumar ya que los

trminos no hubieran

sido semejantes.


Volvemos a dividir, esta vez, 50x2 por 5x que nos da 10x. Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x 2). Finalmente sumamos el opuesto y bajamos el prximo trmino.

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x


+ 10x

-50x2 + 20x

20x 8


No hemos terminado de dividir ya que aunque se baj el ltimo trmino, todava no hemos obtenido el residuo.

Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego multiplicamos 4 por el divisor (5x 2) y sumamos el opuesto. El resultado obtenido es el residuo.

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x

+ 10x

-50x2 + 20x

20x 8

+ 4

-20x + 8

0 Residuo

Ejemplo 4:

Se ilustra el proceso para dividir:

El resultado es:

2

59 24

x

xx

50902 234 xxxxx-x4 + 2x3

2x3 9x2

-2x3 + 4x2

-5x2 + 0x

5x2 10x

-10x 5

Residuo

10x 20

x3 + 2x2 5x 10

25

2

251052 23

xxxx

Divisin de Polinomios por Binomios de la forma (x a):

Mtodo de la Divisin Sinttica

Divisin Sinttica

La divisin sinttica es un proceso de divisin sintetizado o resumido.

Esto implica que es un proceso ms corto, lo nico que solo aplica cuando el divisor tiene la forma (x a), o sea el coeficiente de x es 1.

La divisin sinttica se conoce tambin por el Mtodo de Ruffini.

Para entender mejor este mtodo observa la prxima pantalla.

Divisin Sinttica

Compara la columna de la izquierda con la de la derecha. Qu observas?

La columna a la izquierda ilustra el mtodo de divisin larga. La columna a la derecha ilustra el mismo proceso, excepto que solo aparecen los coeficientes, no aparecen las variables.

853 2 xxx

x

-x2 + -3x

2x + 8

+ 2

-2x + -6

2

85131

1

-1 + -3

2 + 8

+ 2

-2 + -6

2

Divisin Sinttica Veamos otro ejemplo

Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el primer trmino tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente es igual al coeficiente del primer trmino del dividendo, excepto por el signo opuesto.

7342 23 xxxx

4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x

11x + 7

-11x + 22

29

7134

4

-4 + 8

5 + 1

+ 5 + 11

-5 + 10

11 + 7

-11 + 22

29

1 2


Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros trminos cuando se van a sumar.

7342 23 xxxx

4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x

11x + 7

-11x + 22

29

1 2 7134

4

-4 + 8

5 + 1

+ 5 + 11

-5 + 10

11 + 7

-11 + 22

29

4


Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener tambin si en vez de sumar el opuesto se divide por el opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en vez de restar.

7342 23 xxxx

4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x

11x + 7

-11x + 22

29

7134

4

-4 + 8

5 + 1

+ 5 + 11

-5 + 10

11 + 7

-11 + 22

29

1 2

Reflexin

En la divisin sinttica se sintetiza el proceso de divisin larga al tomar en consideracin las observaciones anteriores.

Ilustraremos el proceso de divisin sinttica usando el mismo ejercicio anterior.

Veamos en la prxima pantalla:

2

734 23

x

xxx

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

Aqu se colocan los coeficientes del

dividendo en orden descendente. Si falta

alguna potencia de la variable, se reserva el

espacio con un cero

Este es el smbolo que se usa para representar la

divisin sinttica


Se coloca esta lnea para separar los coeficientes de

la suma

Aqu se escribe el opuesto del segundo

coeficiente del divisor.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

1 El proceso comienza

siempre bajando el

primer trmino.

2. Luego se multiplica el

primer coeficiente por el

coeficiente que

representa el divisor y se

coloca debajo del

segundo trmino del

dividendo.

3. Se suman los

segundos coeficientes.

4. Se repite el paso 2 y 3

pero con el nuevo

coeficiente hallado.

4 5 11 29

8 10 22

5. Colocamos una lnea

para separar el residuo

del cociente.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

4 5 11 29

8 10 22

RESIDUO

COCIENTE

Observa que al dividir por un divisor de

grado 1 (x-a), se producir un cociente de

grado uno menos que el grado del

dividendo. Esto es, si el dividendo es de

grado 3, el cociente ser de grado 2.

Grado 3

Grado 1

Es por esto que podemos

construir el cociente

asignando a los

coeficientes encontrados,

comenzando con la

variable en un grado

menos que el grado del

dividendo. Las dems

potencias de las variables

quedarn en forma

descendente.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

4 5 11 29

8 10 22

2

29)1154(

2

734 223

xxx

x

xxx

4x2 + 5x+ 11Grado 1

Grado 2

Grado 0

Como el residuo es parte

fraccionaria del divisor tenemos que

29 representa: 29

x - 2

Grado 3

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2

306 23

x

xxx

+ 2

Colocamos el opuesto del

coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer

coeficiente.

1

Multiplicamos el

coeficiente por el divisor y

lo colocamos debajo del

segundo coeficiente.

2

8

Sumamos los

segundos

coeficientes

Repetimos el

proceso de

multiplicar y sumar

hasta obtener el

residuo.

16

15

30

0

RESIDUOCOCIENTE

Comenzamos colocando

los coeficientes del

dividendo asegurndonos

que las variables estn

en orden descendente.

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2

306 23

x

xxx

+ 2

1

2

8

16

15

30

0

x2 + 8x+ 15Grado 1

Grado 2

Grado 0

RESIDUO

1580)158(2

306 2223

xxxxx

xxx

Cociente + Residuo

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3

572 23

x

xx

-3

Colocamos el opuesto del

coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer

coeficiente.

2

Multiplicamos el

coeficiente por el divisor y

lo colocamos debajo del

segundo coeficiente.

-6

1

Sumamos los

segundos

coeficientes

Repetimos el

proceso de

multiplicar y sumar

hasta obtener el

residuo.

-3

-3

9

4

RESIDUOCOCIENTE

Colocamos los

coeficientes del dividendo

en orden descendente.

Como falta la potencia x,

reservamos el espacio

con un cero

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3

572 23

x

xx

-3

2

-6

1

-3

-3

9

4

COCIENTE

32 2 xx

RESIDUO

3

4

x

3

4)32(

3

572 223

xxx

x

xx

Ejemplo 4:

1 0 0 0 -1

1

14

x

x

+1

1

1

1

-1

1

1

1

1

0

COCIENTE

123 xxx

RESIDUO

1

0

x

)1(1

1 234

xxxx

x

Ejercicios de Prctica

Instrucciones

En tu libreta, realiza los ejercicios a continuacin.

Luego, haz clic para ver resultados.


Divide los polinomios a continuacin.

2

256

6

361824

x

xxx 634 34 xx

2

247

5

152045

y

yyy

)2()221432( 222334 babababa

349 25 yy

11716 22 abba



7x)3()2110(2 xxx

)4()168( 2 aaa

)42()1464( 23 yyy

)2()652( 2234 xxxxx

4

32)2(

aa

42

6)22( 2

yyy

2

123)92(

2

2

x

xxx



1

4)1( 2

xxx)1()522(

23 xxxx

)4()1911( 2 aaa

)3()18253( 24 xxx

)2()16( 4 yy

4

47)7(

aa

)6293( 23 xxx

)842( 23 yyy

Documents

División de Polinomios II