Diszkrét Matematika II folytatás – Készítette: Cselyuszka Alexandra

Titokmegosztási-eljárás, Kronecker-eljárás, Véges Testek

(231.) Ismertessen egy titokmegosztási eljárást.

Titokmegosztás (281. oldal)

A Large- interpoláció titokmegosztásra is felhasználható:

Legyen + ,

Tegyük fel, hogy egy + titkot részre akarunk szétosztani úgy, hogy

bármelyik részből a titok visszaállítható legyen, de kevesebből semmi információt ne lehessen kapni a titokról.

Válasszunk egy, a maximális lehetséges értéknél (és nél is ) nagyobb prímet

és véletlen + együtthatókat, majd számítsuk ki a

p feletti

polinom értékeit az

helyeken. Ezen -k a titokrészek: bármelyik titokrészből a polinom

megkapható

Lange-interpolációval, így adódik a konstans tag, azaz a titok, de kevesebb részből könnyen láthatóan nem.

(232.) Ismertesse a Kronecker-eljárást.

Kronecker-eljárás (282.oldal)

Ha egy végtelen Gauss-gyűrű, amelyben rendelkezésünkre áll egy eljárás, amellyel akármelyik elem osztóit meg tudjuk határozni, valamint

vannak eljárások a műveletek elvégzésére, akkor egy

polinomnak meghatározhatjuk az irreducibilis faktorait.

Ha akkor bármely -re így

Legyen az hányadosteste.

Választva különböző elemet ben,

bármely -beli értékekhez Lagrange-interpolációval

meghatározhatjuk azt az egyetlen polinomot, amelyre és azaz

Ha és osztja et, akkor megtaláltuk egy osztóját, és helyett a hányadossal folytatjuk.

Ha -val indulunk, és egyesével növeljük et, akkor csak irreducibilis

polinomosztókat fogunk találni. Ha -ig nem találtunk osztót,

akkor irreducibilis.

(233.) Fogalmazza meg a véges testek alaptételét.

Véges testek alaptétele

Bármely ( prím +) prímhatványra a elemű véges testek izomorfak.

Megjegyzések:

Bármely elemű prím hatványra van elemű véges test.

Mivel a tétel szerint lényegében csak egy elemű véges test van, beszélhetünk

a elemű véges testről.

Jelölés q

Ha prím akkor q= q

(234.) Hogyan kaphatunk véges testeket? Írjon le olyan eljárást amely minden

véges testet megad.

Tétel.

Legyen egy elemű véges test.

Egy feletti -ed fokú irreducibilis polinom

akkor és csak akkor osztja

-et, ha

Racionális törtfüggvények, Parciális törtekre bontás,

Többhatározatlanú polinomok.

(235.) Definiálja a racionális függvényeket. Racionális törtfüggvények (292.old)

Ha integritási tartomány, akkor is,

így képezhetjük a hányadostestét;

ezt –el jelöljük, és az elemeit feletti racionális függvényeknek nevezzük

(236.) Fogalmazza meg a parciális törtekre bontás tételét 1/g alakú racionális függvényre.

Parciális törtekre bontás(292)

Legyen

test

legalább elsőfokú páronként relatív prím polinomok

Ekkor léteznek olyan polinomok, amelyekkel (a hányadostestben)

.

A tételt az integrálásnál használjuk illetve feletti polinomokra

(237.) Fogalmazza meg a parciális törtekre bontás tételét f/g alakú racionális

függvényre két alakban.

Következmény:

Ha , akkor léteznek olyan polinomok amelyekkel

.

Következmény:

Az előző következményben kapott előállítás felírható

alakban is, ahol , és

(238.) Fogalmazza meg a parciális törtekre bontás tételét u/vk alakú racionális függvényre.

Megjegyzés:

Ha a polinomokat a

nek irreducibilis polinomok szorzataként történő előállításából kaptuk,

akkor az előző következményben szereplő törtek k alakúak ahol

k Ezek a törtek felírhatók

alakban, ahol ha

(239.) Definiálja a többhatározatlanú polinom fogalmát.

Legyen

gyűrű

Az feletti - határozatlanú polinomok gyűrűjét definiáljuk n szerinti rekurzióval:

ha legyen

Az egyhatározatlanú polinomok gyűrűjét már definiáltuk.

Ha , akkor legyen

Azaz az n határozatlanú polinomok olyan polinomjai –nek amelyek

együtthatói az határozatlanok polinomjai.

Az helyett használhatjuk az jelölést is.

(240.) Hogyan azonosíthatjuk a gyűrű elemeit bizonyos többhatározatlanú polinomokkal? Hogy hívjuk ezeket a polinomokat?

Az elemhez hozzárendelve azt az polinomot, amelyre

és egyébként , akkor az

egy olyan leképezését kapunk a polinom gyűrűjébe, amely

monomorfizmus

értékkészletének elemei konstans polinomok és

R elemeivel azonosíthatjuk.

(241.) Definiálja többhatározatlanú polinom együtthatóit tagjainak multifokát és fokát.

Egy többhatározatlanú polinom egy

tagjának az együtthatója

( ) a multifoka, és

a foka.

(242.) Definiálja a többhatározatlanú monom fogalmát.

Az

tagot monomnak nevezzük.

(243.) Definiálja többhatározatlanú polinom fokát. Milyen megállapodások mellett egyértelmű egy többhatározatlanú polinom felírása?

Az határozatlanú polinomok jelölésére a hagyományos

felírást fogjuk használni.

Egyértelművé válik a felírás, ha kikötjük, hogy minimális legyen, és minden -nél

nem magasabb fokú tag – egyszer – szerepeljen.

Ez a minimális a polinom foka,

jelölése:

Megjegyzés: Egy másik lehetőség a felírás egyértelművé tételére, hogy minden nulla

együtthatójú tagot elhagyunk.

(244.) Definiálja a többhatározatlanú lineáris polinomokat.

A többhatározatlanú, legfeljebb elsőfokú polinomok a lineáris polinomok.

(245.) Hogyan írhatjuk fel két többhatározatlanú polinom összegének illetve

szorzatának az együtthatóit?

A definícióból adódik, hogy az összeadás és szorzás tagonként történik: ha

egy másik polinom, akkor az összegük az

polinom, szorzatuk pedig a polinom, amelyre

Megjegyzés:

Ha legfeljebb -ed fokú, legfeljebb ed fokú, akkor legfeljebb -ed

fokú.

(246.) Milyen esetben lesz a többhatározatlanú polinomok gyűrűje nullosztómentes?

Ha az gyűrű nullosztómentes, akkor az gyűrű is nullosztómentes.

(247.) Mit mondhatunk két többhatározatlanú polinom szorzatának a fokáról?

Ha legfeljebb -ed fokú, legfeljebb ed fokú, akkor legfeljebb -ed

fokú.

Ha az gyűrű nullosztómentes, akkor az gyűrű is nullosztómentes,

és két polinom szorzatának a foka, a fokok összege.

(248.) Milyen esetben lesz a többhatározatlanú polinomok gyűrűje Gauss-gyűrű? Fogalmazza meg az állítást.

Tétel: Ha egy Gauss-gyűrű, , akkor is Gauss-gyűrű.

Kódolás: Kommunikáció és Kódolás, Forráskódolás

(249.) Definiálja a gyakoriság és a relatív gyakoriság fogalmát. (9.1.1-302)

Tegyük fel, hogy egy információforrás nagyszámú, összesen üzenetet bocsát ki.

Az összes ténylegesen előforduló különböző üzenet legyen N+

Ha az üzenet -szer fordul elő, akkor azt mondjuk, hogy

a gyakorisága ,

relatív gyakorisága pedig .

Megjegyzés:

A szám -est az üzenetek eloszlásának nevezzük.

Nyilván .

(250.) Definiálja egyedi üzenet információtartalmát. Mi a bit? (9.1.1-302)

Az üzenet egyedi információtartalmának célszerű definíciója:

ahol egy 1-nél nagyobb valós szám.

A logaritmus alapja az információ egységét határozza meg.

Amennyiben az alap 2 , akkor az információ egysége a bit, és

ilyenkor helyett egyszerűen írunk.

(251.) Definiálja az eloszlás és az entrópia fogalmát. (9.1.1-302)

Általánosabban, egy tagú eloszlás egy pozitív valós számokból álló sorozat, amelyre

. Az eloszlás entrópiáját a

összefüggéssel értelmezzük, amely csak az üzenetek eloszlásától függ, de a tartalmuktól nem.

(252.) Adja meg a pontos felső korlátot eloszlás entrópiájára. Mikor teljesül egyenlőség?

9.1.3 Tétel

Bármilyen eloszláshoz tartozó entrópiára

és egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha

Az elemű eloszlás átlagos információtartalmának maximuma tehát bit. Az

-től független hányados a relatív entrópia.

(253.) Mi a forráskódolás? Mik a részei?

Üzenetkódolás és a gazdaságos kódolást együttesen forráskódolásnak nevezik.

Üzenetkódolás:

Az üzenetet valamilyen karakterkészlet elemeiből alkotott sorozattal adjuk meg

Egy kódolandó üzenetet meghatározott módon felbontunk egymáshoz csatlakozó, előre rögzített olyan elemi részekre, hogy minden üzenetet előálljon ilyen elemi részek egymás után fűzésével, de egyetlen üzenetet se lehessen kétféleképpen felbontani ezekre az elemi részekre.

Az ilyen részeknek megadjuk a kódját, és a teljes üzenetet úgy kódoljuk, hogy az előbbi részek kódját egymás után írjuk.

A kódoláshoz megadjuk az elemi részek kódját, amelyeket egy szótár tartalmaz, és ezek segítségével kódoljuk az üzeneteket. Az ilyen kódolást betűnkénti kódolásnak nevezzük.

A betűket gyakran számokká kódoljuk.

Gazdaságos kódolás:

Az egyes üzenetek különböző gyakorisággal fordulnak elő.

Célszerű a gyakrabban előforduló üzeneteket rövidebb kóddal megadni.

Egy ilyen kódolás tömörítést végez, amelynek során csökkentjük az eredeti jelsorozatban meglévő redundanciát.

A redundancia vagy más néven a terjengősség azt jelenti, hogy a mondanivalónkat lényegesen hosszabban fejezzük ki, mint amennyire szükséges lenne.

(254.) Rajzolja fel az üzenetátvitel részletes sémáját. (305.old)

(255.) Ismertesse a betűnkénti kódolást.(306)

Tegyük fel hogy egy üzenet véges, és a végét érzékeljük

A betűnkénti kódolás során, az eredeti üzenetet meghatározott módon egymáshoz átfedés nélkül csatlakozó részekre bontjuk

Egy-egy ilyen részt egy szótár alapján kódoljuk, és az így kapott kódokat az eredeti sorrendnek megfelelően egymáshoz láncoljuk.

(256.) Definiálja a prefix infix és szuffix fogalmát.(307)

Legyen az A ábécénél felírt három szó.

Ekkor prefixe (vagy előtagja) és szuffixe (vagy utótagja) az szónak ,

pedig infixe (vagy belső tagja) -nak.

(257.) Ismertesse a kód és a kódfa kapcsolatát.(9.2.4)

A betűnkénti kódolás szemléletesen és egyértelműen adható meg egy irányított fa

segítségével. Ezt a fát, kódfának nevezzük.

(258.) Definiálja a prefix egyenlete és vesszős kódot. Mi a kapcsolatuk?(9.2.5)

Tegyük fel, hogy az injektív: leképezés

Értékkészlete prefixmentes részhalmaza.

Ekkor a által meghatározott

betűnkénti kódolást prefix kódolásnak

nevezzük.

Egy prefix kód nyilván felbontható.

(Megjegyzés: A prefixmentes kód elnevezés is használatos, mivel a dekódolás

prefixmentességén múlik.)

Egy betűnkénti kód egyenletes kód, vagy fix hosszúságú kód, ha a betűk kódjainak

hossza azonos.

Mivel egy ilyen kód nyilván prefix, ezért felbontható,így mindig van felbontható kód.

Egy betűnkénti kód vesszős kód, ha van olyan szó, vagy vessző, hogy minden

kódszónak szuffixe, de egyetlen kódszó sem áll elő alakban nem üres szóval.

Egy vesszős kód prefix kód.

(259.) Adjon példát nem dekódolható kódra. (308-9.2.6)(4)

Legyen

,

és

.

Ekkor

,

tehát ez a kód nem dekódolható, bár injektív, nem.

(260.) Adjon példát fejthető de nem prefix kódra. (308-9.2.6)(5)

Legyen

,

és

.

Ez a kód egyértelműen megfejhető, tehát injektív, de nem prefix kód.

(261.) Fogalmazza meg a McMillen-egyenlőtlenséget tartalmazó tételt.(310.old)

Legyen és két ábécé,

B elemeinek a száma és injektív leképezés.

Ha a által meghatározott betűnkénti kódolás felbontható,

akkor jelöléssel

Fordítva, ha olyan pozitív egész számok hogy akkor van az

-nak a elemeivel való olyan felbontható, sőt prefix kódolása, hogy az betű

kódjának hossza .

(262.) Definiálja az átlagos szóhosszúság és az optimális kód fogalmát.(9.2.14)

Legyen:

a kódolandó ábécé,

a betűk eloszlása,

egy betűnkénti kódolás, az kódjának hossza.

Ekkor a kód átlagos szóhosszúsága.

Ha adott elemszámú ábécével és eloszlással egy felbontható betűnkénti kód Átlagos szóhosszúsága minimális, akkor optimális kódnak nevezzük.

(263.) Van-e mindig optimális kód betűnkénti kódolásnál? (9.2.14)

A valós számok egy részhalmazában nem feltétlenül van minimális elem.

Válasszunk azonban egy tetszőleges felbontható kódot, és legyen ennek átlagos

szóhosszúsága .

Mivel esetén a kód nem lehet optimális, elég azon kódokat tekintenünk,

amelyekre , ha

Ilyen kód csak véges sok van, így van köztük minimális hosszúságú.

(264.) Fogalmazza meg Shannon tételét zajmentes csatornára. (9.2.15)

Legyen

a kódolandó ábécé,

a betűk eloszlása,

egy betűnkénti kódolás, kód átlagos szóhosszúsága. elemeinek a száma .

Ha a betűnkénti kódolás felbontható, akkor , ahol az eloszlás entrópiája

(265.) Ismertesse egy optimális kód kódfájának tulajdonságait.

Az előző tétel jelöléseivel legyen . Tekintsük egy optimális prefix kódot és a

kódfáját, és legyen a kódszavak hosszának maximuma .

Ekkor:

(1) ha akkor

(2) a kódfában csak az -edik szinten lehet csonka csúcs, és még a csonka csúcsokból is legalább két él indul ki.

Továbbá:

(3) van olyan optimális prefix kód, amelynek kódfájában legfeljebb egy csonka csúcs van;

(4) egy optimális prefix kód kódfájában pontosan akkor nincs csonka csúcs, ha

azaz,

ha pedig egy csonka csúcs van, akkor annak kifokára azaz

(5) …

(6) Legyen az -elemű kódábécével megadott , a eloszláshoz tartozó optimális prefix kód,amelynek a kódfájában nincs csonka csúcs.

Ha , és valamely -re a pozitív valós

számokra továbbá:

akkor

ahol a B különböző elemei, a

„finomított” eloszláshoz tartozó optimális prefix kód.

(266.) Fogalmazza meg azt a három állítást amelynek alapján optimális kód konstruálható.(9.2.17)

Az előző tétel jelöléseivel legyen . Tekintsük egy optimális prefix kódot és a

kódfáját, és legyen a kódszavak hosszának maximuma .

Ekkor:

(1) ha akkor

(2) a kódfában csak az -edik szinten lehet csonka csúcs, és még a csonka csúcsokból is legalább két él indul ki.

Továbbá:

(5) ha , akkor egybetűs kódszavakat választva optimális prefix kódot kapunk;

(267.) Írja le hogyan konstruálunk Huffman-kódot.(9.2.18)

Optimális kódot ad az úgynevezett Huffman-kód, amelyet az előző tétel (4)-(6) pontjai alapján tudunk megszerkeszteni.

Rendezzük a relatív gyakoriságok csökkenő sorrendjében a betűket, majd osszuk el

-t –gyel, és legyen a maradék plusz 2

Első lépésben helyettesítsük a sorozat utolsó betűjét egy újabb betűvel, amelyhez az elhagyott betűk relatív gyakoriságainak az összegét rendeljük, és az így kapott gyakoriságoknak megfelelően helyezzük el az új betűt a sorozatba.

Ezek után ismételjük meg az előző redukciót, de most már minden lépésben

betűvel csökkentve a kódolandó halmazt, mígnem már csak betű marad.

Most a redukált ábécé legfeljebb betűt tartalmaz, és ha volt redukció, akkor

pontosan betűt. ezeket a kódoló ábécé elemeivel kódoljuk, majd a redukciónak megfelelően visszafelé haladva, az ott összevont betűk kódját, az összevonásként kapott betű már meglévő kódjának a kódoló ábécékülönböző betűivel való kiegészítésével kapjuk.

(268.) Írja le mit érhetünk el a kódolandó ábécé kiterjesztésével.(9.2.31)

Egyszerű módon el tudjuk érni, hogy egy felbontható kódban az egy betűre jutó átlagos szóhosszúság tetszőlegesen megközelítse az entrópia értékét, azaz az elméleti szóhatárt.

(269.) Ismertesse a szótárkódok alapgondolatát.(9.2.34)

A szótárkódok alapgondolata, hogy egy szótárt használjuk fel a kódolásra, amelynek értelmezési tartománya tartalmazza A-t, azaz a kódolandó ábécét.

A szótár lehet állandó (statikus) vagy változó (dinamikus).

Hibakorlátózó kódolás

(270.) Ismertesse a paritásbites kódot.

Legyen például az üzenethalmaz az bites bináris jelsorozatok halmaza, és

egészítsük ki ezeket a jelsorozatokat egy -edik bittel, az úgynevezett paritásbittel:

Amennyiben egy üzenetben az esek száma páratlan, akkor írjuk a bitsorozat végére

egy -t, míg ellenkező esetben egy -et (vagy fordítva, de egy adott kódban mindig ugyanazon szabály szerint)

Az így kiegészített, bites szavak mindegyikében páratlan sok -es van.

Ha most egy ilyen kódszót elküldünk, és a vevőhöz olyan szó érkezik, amelyben az egyesek száma páros, akkor biztos, hogy hiba történt az átvitel során.

Ha viszont az egyesek száma páratlan, akkor úgy kell tekintenünk (de nem állítanunk), hogy nem történt hiba.

(271.) Definiálja a -hibajelző és pontosan -hibajelző kód fogalmát.

Egy kód -hibajelző, ha minden olyan esetben jelez, amikor egy elküldött kódszó

legfeljebb helyen változik meg.

A kód pontosan - hibajelző, ha -hibajelző, de nem hibajelző, azaz van olyan

hiba, amelyet a kód nem jelez.

(272.) Definiálja kód távolságát és súlyát.

A kód távolsága, a különböző kód szópárok távolságainak minimuma,

ahol a kódszavak halmaza, röviden a kód.

Ha a kódábécé egy additív Abel-csoport, akkor a kód súlya nem nulla

kódszavak súlyainak minimuma.

(Ha van nem nulla szó, azaz a csoport nem egyelemű)

Megjegyzés:

A kódábécé két egyforma hosszú szavának, -nak és -nek a Hamming-távolsága,

, az azonos pozícióban lévő különböző jegyek száma,

Ha a kódábécé egy additív Abel-csoport, akkor a kódábécé egy szavának a Hamming-súlya a nullától különböző jegyeinek a száma. **A megjegyzés valószínűleg nem kell, de a vizsgán úgy is számonkérik.

(273.) Mi a kapcsolat a kód távolsága és hibajelző képessége között?

Legyen a kód távolsága A bevezetett távolságfogalommal egy kód akkor és csak

akkor hibajelző, ha és akkor és csak akkor

pontosan hibajelző, ha

Tehát: Nagyobb távolság nagyobb hibajelző képességet jelent.

(274.) Ismertesse a minimális távolságú dekódolást. 9.3.6

Minimális távolságú dekódolásnak nevezzük azt a dekódolást, ahol

a hibajavítást adó döntési függvényt, amely a döntési hiba

-, azaz az, hogy a beérkezett jelsorozathoz nem a ténylegesen beérkezett jelsorozatot rendeljük-

a lehető legkisebb.

**ez nem saját kidolgozás, más jegyzetéből írtam

(275.) Definiálja a -hibajavító és pontosan -hibajavító kód fogalmát 9.3.7

Egy kód hibajavító, ha minden olyan esetben helyesen javít, amikor egy elküldött

kódszó legfeljebb helyen változik meg.

A kód pontosan hibajavító, ha hibajavító , de nem -hibajavító, azaz van

olyan hibával érkező üzenet, amelyet a kód helytelenül javít, vagy nem javít.

(276.) Mi a kapcsolat a kód távolsága és hibajavító képessége között? 9.3.7

Egy távolságú kód minimális távolságú dekódolással minden

-re hibajavító, és pontosan hibajavító

(278.) Ismertesse a kétdimenziós paritásellenőrzést.9.3.10

A Paritásbites kód segítségével könnyen tudjuk egy minimális távolságú

dekódolással -hibajavító kódot konstruálni.

Legyenek az üzenetek bites szavak és tegyük fel, hogy üzenetünk van.

Egészítsünk ki minden kódszót egy paritásbittel például páratlan paritásúvá, majd

ilyen kódszóból alkossunk egy blokkot.

Írjuk egymás alá a blokk bites kódszavait, és most az egy-egy oszlopban álló

-bites sorozatokat egészítsük ki egy-egy paritásbittel például páros paritásuvá.

Az így kapott bites szóval kiegészítve a blokkot kapjuk az eredeti üzenet kódját.

(279.) Mi a Hamming-korlát?(9.3.11)

Ha egy elemű ábécé bizonyos hosszú szavaiból álló kód hibajavító, akkor

bármely két kódszóra a tőlük legfeljebb távolságra lévő szavak halmazai diszjunktak.

Mivel egy kódszótól távolságra pontosan szó van, azt kapjuk, hogy:

Ez a Hamming-korlát a kódszavak számára adott nél.

Ha egyenlőség teljesül, akkor a kódot tökéletesnek nevezzük.

(280.) Mi a Singleton-korlát? (9.3.12)

Ha egy elemű ábécé hosszú szavaiból álló kód távolsága , akkor minden

kódszóból elhagyva betűt (ugyanarról a helyről), még mindig

különböznek a kódszavak, de csak hosszúak.

Innen a kódszavak számára azt kapjuk, hogy , másként

ez a Singleton-korlát.

(281.) Mi az MDS-kód és miért hívják így? (9.3.12)

Singleton-korlátnál ha az egyenlőség fennáll, a kódot maximális távolságú szeparábilis kódnak, MDS kódnak nevezzük.

Ekkor , ahol

A szeparábilis (elválasztható) kód elnevezést az indokolja, hogy

(bármely) rögzített helyen álló betűket elhagyva a kódszavakból,

Különböző szó marad, ezért a kódolást végezhetjük úgy, hogy az üzenetet leképezzük ezekre a szavakra, majd az

adott helyeken kiegészítjük ellenőrző betűkkel, így az ellenőrző betűk elválaszthatók a kódoló betűkből.

282.) Definiálja a lineáris kód fogalmát és a kapcsolódó jelöléseket.

Ha véges test, akkor a elemeiből alkotott rendezett esek a komponensenkénti összeadással, valamint az

es minden elemének ugyanazzal az elemmel való szorzásával egy

-feletti dimenziós lineáris teret alkotnak.

Ennek a térnek bármely altere egy lineáris kód.

Ha az altér dimenziós, a kód távolsága , és a test elemeinek a száma , akkor az

ilye kódot kódnak nevezzük.

Ha nem lényeges a , illetve megadása, akkor elhagyható a jelölésből.

(283.) Definiálja a generátormátrix ellenőrző mátrix és a szindróma fogalmát.

A véges test feletti lineáris kódnál célszerű a kódolást egy -t -re

képező (Kölcsönösen egyértelmű) lineáris leképezésnek választani, ahol a

kódszavak dimenziós altere.

Ezt a leképezést mátrixával jellemezhetjük, ez a kódolás generátormátrixa.

Egy, a szokásos bázisban vett mátrix pontosan akkor generátormátrix, ha az oszlopai

bázist alkotnak a kódszavak terében. A hibajavításra használható egy (tetszőleges)

szürjektív lineáris leképezés, amelynek magja ; egy ilyen

leképezést ellenőrző leképezésnek mátrixát a kód egy ellenőrző mátrixának

nevezzük.

Ha , akkor a -hez tartozó vektor, a szindróma (magyarul

hibajellemző).

(284.) Ismertesse a szindróma-dekódolást. 9.3.15

A véges test feletti lineáris kódnál célszerű a kódolást egy -t -re

képező (Kölcsönösen egyértelmű) lineáris leképezésnek választani, ahol a

kódszavak dimenziós altere.

ha , tekintsük a halmaz egy olyan rögzített vektorát,

amelynek súlya az adott mellékosztályban minimális.

Ezeket az vektorokat mellékosztály-vezetőknek fogjuk nevezni.

Ha egy kódszó, a vett szó, a hiba, és ha ,

tehát ha a hiba minimális távolságú dekódolással javítható, akkor

,így és ugyanabban a mellékosztályban vannak.

A mellékosztályvezető választása miatt , ahonnan

.

De , így a különbség kódszó, tehát így a

hibát kijavítottuk.

(285.) Ismertesse a Fano-kódot.

Fano- sík felhasználható hibajavító kód konstruálására.

Megszámozva a pontokat 1-től 7-ig , a kódszavak az egyenesekhez tartoznak:

Olyan bitsorozatok, amelyekben az adott egyenesre illeszkedő pontoknak megfelelő

bitek egyesek, a többi nulla, illetve ezek egyesekre komplemensei.

(286.) Ismertesse a polinomkódokat.

Lineáris kódnál a hosszú kódolandó szavak tekinthetők q feletti, -nál

alacsonyabb fokú polinomnak is, a betűket nullától indexelve.

Ha a kódolást úgy végezzük, hogy ezt a polinomot beszorozzuk egy rögzített

ed fokú polinommal ( ), akkor lineáris kódot, és kódolást kapunk,

hosszú kódszavakkal, mivel a leképezés kölcsönösem

egyértelmű.

Az ilyen típusú lineáris kódolást polinomkódolásnak nevezzük, a kód

generátorpolinomja, a kódszavak a többszörösei.

(287.) Ismertesse a CRC-t.

Egyszerű csak hiba jelzésére használatos 2 feletti polinomkódok az úgynevezett

CRC, vagyis Cyclic Redundancy Check, „ciklikus ellenőrzés” kódok.

A kódolás a polinomoknál leírt

Megjegyezés:

2 felett

(és minden q felett, amelyre char( q)=2 (azaz amelyre kettő hatvány))

(288.) Adja meg Reed-Solomon-kód esetén a kódolást.9.3.25

Legyen egy tetszőleges véges test, alkossák az ábécét ennek elemei,

a elemszámát jelölje .

Legyen egy elemének multiplikatív rendje .

(Nyilván általában -t úgy választjuk, hogy legyen.)

Ekkor az elemek páronként különböznek, és mindegyik gyöke a

polinomnak, ezért megadják ezen polinom összes gyökét. Így

Legyen

és

.

Ez a polinom egy fölötti, ed fokú főpolinom, és nyilván osztója a polinomnak.

A mint generátor polinom által megadott polinomkód a (vagy az ) által

generált Reed-Solomon-kód

(289.) Adjon meg Reed-Solomon-kód esetén egy ellenőrző mátrixot.

Tekintsük a kódpolinomok halmazának egy elemét. Mivel osztója -nek,

minden gyöke gyöke nek is, vagyis , ha .

Az akkor és csak akkor eleme a kódnak, ha valamennyi gyöke egyben

-nak is gyöke, vagyis ha minden -re

Így a mátrix egy ellenőrző mátrix.

(290.) Definiálja a hibahelypolinomot és a hibaértékpolinomot. 356

Legyen adott egy Reed-Solomon-kód,

a kód generátor polinomjai,

a hibavektor

ekkor az úgynevezett hibahelypolinom.

Ennek ismeretében a hibák helye meghatározható:

Megkeressük, hogy mely -k gyökei -nek, és

ezen megadják a hibák helyét.

Ekkor az úgynevezett hibaérték-polinom,

ahol , ha

(291.) Hogyan történik a hibahelypolinom és a hibaértékpolinom ismeretében a ReedSolomon-kód dekódolása?

Ha a hibaérték polinomot ( t) is ismerjük akkor a hiba javítható is, mert

rögzített esetén akkor és csak akkor nem nulla ha , ezért

, így

(292.) Fogalmazza meg a tételt amely lehetővé teszi a hibahelypolinom és a hibaértékpolinom meghatározását.9.3.27

Legyen a szindrómához tartozó polinom. Az előző pont jelöléseivel, tegyük fel

hogy a hibahelyek száma, azaz fokszáma legfeljebb

(ami azzal ekvivalens, hogy kisebb, mint azaz hibajavítás egyáltalán

végezhető). Alkalmazzuk a bővített euklideszi algoritmust az és

polinomokra.

Az ottani jelölésekkel legyen a legkisebb index, amelyre ,

és legyen . Ekkor és