DISTRITACIÓN ELECTORAL y

OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA

David RomeroInstituto de Matemáticas - UNAM

Cuernavaca, Morelos

COLOQUIO INTERNACIONAL DE DISTRITACIÓN ELECTORAL

México, D.F., 8-9 noviembre 2012

Michael Balinski• Programación entera (optimización combinatoria)• Matemáticas para las ciencias políticas

Tesis doctoral sobre Teoría matemática de votos

IFE

Aplicaciones de la Optimización Combinatoria• Ingeniería eléctrica, química, industrial• Finanzas• Transporte y distribución• Logística• Física

ANTECEDENTES

DISTRITACIÓN ELECTORAL

Criterios frecuentemente en conflicto mutuo:

• Representatividad

• Contigüidad

• Compacidad

• Accesibilidad (compacidad temporal)

• Integración territorial de comunidades indígenas

Explosión combinatoria → dificultad de obtener escenarios satisfactorios¿Computadoras? … no bastan → modelos y métodos matemáticos

Problema realProblema real

METODOLOGÍA

Ciencia, industria, finanzas, transporte, economía, etc.

Modelo matemáticoModelo matemático

Método de resoluciónMétodo de resolución

Implantación de la soluciónImplantación de la solución

Polinomiales

NP-completosProblemas

Optimización • Programación lineal, no-lineal, entera, dinámica• Redes y grafos

Simulación (estocástica, determinista)

exactoheurístico

Recocido simuladoBúsqueda tabúAlgoritmos genéticos

fuerza brutaotros

El problema• Subdividir las AGEBs en UPMs

Modelación• Grafo de adyacencia• Función objetivo

Método de resolución• Recocido simulado

Implantación computacional

EJEMPLO de APLICACIÓN (INEGI)

Determinar Unidades Primarias de Muestreo (UPM)

32 Entidades federativas

2443 municipios

más de 190 mil localidades rurales

17,288 AGEB rurales

4,028 Localidades urbanas40,089 AGEB urbanas

1’096,946 manzanas

vecindario

Calle alondra

Av Gina

Calle Lirio

Av Fermat

Calle Amistad

grafo de adyacencia de manzanas

MODELO. De la geometría a la combinatoria

vecindario

Calle alondra

Av Gina

Calle Lirio

Av Fermat

Calle Amistad

grafo de adyacencia de manzanas

MODELO. De la geometría a la combinatoria

• Procesar las AGEB de manera independiente y secuencial

• En cada AGEB encontrar una partición S = {U1, …, Um } que minimice la función objetivo Z(S )

y donde cada Uk sea conexa

Estrategia

Función objetivo (caso urbano)

Ak = área de manzanas en la UPM Uk

Ak = área de manzanas fuera de Uk y dentro del círculo mínimo que contiene a Uk

Vk = número de viviendas en

Uk

V = número “ideal” de

viviendas

m = número de UPMs en la

AGEB

-

m

kAA

Am

m

kVV

m kk

kk PPSZ1

12

1

21

1 1)(

No se conoce un método exacto y eficiente

Métodos heurísticos

Método de resolución

Recocido simulado (simulated annealing)

Cálculo de centros

Adyacencia entre manzanas mediante

Diagrama de Voronoi

Triangulación de Delaunay

Adyacencia de manzanas

Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el

grafo generamos particiones vecinas

S0

S1

Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el

grafo generamos particiones vecinas

S2

Particiones vecinasConsiderando las adyacencias dadas por el

grafo generamos particiones vecinas

...pasar de una partición a una partición vecina…

iteraciones

z

Método de Mejoras Sucesivas

Se utiliza el concepto de vecindad

Se cambia de una partición a otra vecina de acuerdo con las reglas del “recocido” (algoritmo)

Se tiene un criterio de paro(criterio)

El método de Recocido Simulado (simulated annealing)

IMPLANTACIÓN COMPUTACIONAL

GRACIAS

temperatura inicialto

factor de enfriamiento temperatura de congelación tc

tamaño del lote

1. Dados

2. Generar una solución inicial So => Z(So ) haciendo t = to (inicio de la temperatura)

mientras no haya equilibrio dinámico

generar solución S vecina de So

si Z( S ) < Z( So ) + t entonces

reducir la temperatura t = ×t

So = S (acepta nueva solución)

Mientras t tc (no hay congelación)

Algoritmo de Recocido Simulado

Soluciones aceptadas

z

= 10

Equilibrio dinámico

Recocido Simulado a temperatura fija