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Distribution d’échantillonnage
1Cours Statistiques
Chapitre 1
© Khaled Jabeur 2012
Cours Statistiques 2
Plan
1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
connue)
4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
inconnue)
6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 3
Plan
1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
connue)
4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
inconnue)
6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 4
Échantillonnage : Terminologie
Une population se définit comme un ensemble d’éléments (individus, entreprises, dossiers, projets, …) qui ont des caractéristiques communes. On note par N la taille de la population.
Un échantillon est tout sous-ensemble de la population. On note par n la taille de l’échantillon.
Un caractère ou une variable statistique c’est l’aspect que l’on désire étudier chez un individu.
Cours Statistiques 5
Échantillonnage : Terminologie
Pour recueillir des informations concernant les caractéristiques d’une population, on dispose de deux méthodes :
1. La méthode exhaustive ou recensement où chaque individu de la population est étudié selon le (ou les) caractère(s) étudié(s).
2. La méthode des sondages ou échantillonnage qui conduit à n’examiner qu’une fraction de la population, c’est-à-dire un échantillon.
Cours Statistiques 6
Échantillonnage : Définition et objectif
Définition 1 L’échantillonnage est le processus par lequel une portion de la population (ou un échantillon) est sélectionnée afin d’étudier les caractéristiques d’une population entière.
Objectif de l’échantillonnageL’échantillonnage a pour objectif de tirer des conclusions sur les caractéristiques d’une population à partir des données d’un échantillon. Il est donc essentiel de choisir avec soin l’échantillon de façon à ce qu’il représente fidèlement la population visée.
Cours Statistiques 7
Échantillonnage : Raisons d’être
On effectue l’échantillonnage essentiellement pour les raisons suivantes :
1. Lorsque la population est infinie
2. Par souci d’économie de coût
3. Si le test est destructif
4. Obtenir l’information le plus rapidement possible
5. …
Cours Statistiques 8
Échantillonnage : Méthodes
Les méthodes d’échantillonnage peuvent être regroupées en deux grandes catégories :
1. L’échantillonnage non aléatoire (ou non probabiliste) : L’analyste utilise son expérience et ses connaissances personnelles pour choisir parmi les unités de la population celles qui feront partie de l’échantillon et qui, à son avis, représentent adéquatement la population.
2. L’échantillonnage aléatoire (ou probabiliste) : Obtenu par l’intermédiaire d’un mécanisme probabiliste, de sorte que l’on connaisse à l’avance la probabilité (non nulle) qu’une unité quelconque de la population soit incluse dans l’échantillon.
Cours Statistiques 9
Échantillonnage : Méthode
L’échantillonnage aléatoire simple
Définition : C’est un échantillon choisit de telle sorte que chaque unité de la population ait la même probabilité d’être sélectionnée dans l’échantillon et que chaque échantillon de même taille tiré de la population ait la même probabilité d’être choisi.
Cours Statistiques 10
Échantillon aléatoire simple
Cours Statistiques 11
Échantillon aléatoire simple
Cours Statistiques 12
Échantillon aléatoire simple
Cours Statistiques 13
Échantillon aléatoire simple
Cours Statistiques 14
Plan
1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
connue)
4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
inconnue)
6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 15
Statistiques et distribution d’échantillonnage
Cours Statistiques 16
Statistiques et distribution d’échantillonnage
Distribution d’échantillonnagePuisque les Xi sont des variables aléatoires, toute statistique est aussi une variable aléatoire et on s'intéresse a sa distribution de probabilité, appelée distribution échantillonnage.
empiriques
Cours Statistiques 17
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue)
4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
inconnue)
6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 18
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
X
Cours Statistiques 19
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
20
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
Cours Statistiques
Solution
1 1
1 2 3 6 8 11( ) ( ) 6
5
N N
X i i ii i
E X x P X x xN
2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) 6 10.8N
X i ii
Var X E X E X x P X x
( ) 6 ( ) XE X E X 210.8
( ) 5.42
XVar Xn
21
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
Cours Statistiques
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Distribution d’échantillonnage de la moyenne
Cours Statistiques
Exemple 1
Supposons que les tailles des individus dans une population suivent une distribution normale de moyenne μ = 170 cm et de variance σ2 = 25 cm. On tire avec remise un échantillon de taille 25 de cette population. Quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 172 cm ?
Réponse : )25170 2,N(X )1
25
25170
n
2
,N(X
0.0232)P(Z1170-172
P(Z172)XP( )
23
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
Cours Statistiques
Exemple 2
Supposons que les tailles des individus dans une population de moyenne μ = 185 cm et de variance σ2 inconnue. On tire avec remise un échantillon de taille 36 de cette population. Sachant que la variance de cet échantillon s2 = 40, quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 187 cm ?
Réponse :
)185 2,N(X )11.136
40185
n
s2
,N(X
0.0291.897)P(Z1.0541
185-187P(Z187)XP( )
Cours Statistiques 24
Distribution d’échantillonnage de la variance
1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue)
4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
inconnue)
6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 25
Distribution d’échantillonnage de la variance
Cours Statistiques 26
Distribution d’échantillonnage de la variance
Densité de probabilité de la loi de khi-deux
Cours Statistiques 27
Distribution d’échantillonnage de la variance
1. La v.a. associée à la loi de khi-deux est une v.a. continue, notée
2. La distribution de khi-deux possède une asymétrie positive.
3. La distribution de khi-deux ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté.
4. Lorsque k augmente, la distribution de khi-deux tend vers une distribution normale.
2
Quelques propriétés de la loi de khi-deux
Cours Statistiques 28
Distribution d’échantillonnage de la variance
Cours Statistiques 29
Distribution d’échantillonnage de la variance
Calcul des probabilités dans la distribution khi-deux
1. Si alors quelle est la valeur de la probabilité suivante :
2. À l’aide de la table de khi-deux trouver c dans les trois cas suivants :
215Y
71.095.0)( 24 ccP
21.2301.0)( 210 ccP
805.842
53.9008.7905.0)( 2
65
ccP
25.0)25.18( YP
Définition
Cours Statistiques 30
Distribution d’échantillonnage de la variance
Cours Statistiques 31
Distribution d’échantillonnage de la varianceDistribution d’échantillonnage de la variance
2S
Cours Statistiques 32
Distribution d’échantillonnage de la variance
Cours Statistiques 33
Distribution d’échantillonnage de la variance
2 2( ) 10.8 ( ) XE S Var X
Cours Statistiques 34
Distribution d’échantillonnage de la variance
Cours Statistiques 35
Distribution d’échantillonnage de la variance
Un échantillon de taille 51 est sélectionné de cette population. Quelle est la probabilité que la variance échantillonnale S2 soit d’au plus égale 112.66.
Réponse :2 2 2
50
(51 1) (51 1)( 112.66) ( 112.66 ) ( 56.33) 0.75
100 100P S P S P
Cours Statistiques 36
Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue)
1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
connue)
4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
inconnue)
6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 37
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 38
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 39
Densité de probabilité de la loi de Student
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 40
1. La v.a. associée à la loi de Student t est une v.a. continue, notée Tk
2. La distribution de Student t est symétrique par rapport à l’origine et un peu plus aplatie que la normale centrée réduite N(0, 1).
3. La distribution de Student t ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté.
Quelques propriétés de la loi de Student
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 41
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 42
).21( dtT
0.2528 )6864,0( TP
0.05 )721,1( TP
Calcul des probabilités dans la distribution de Student
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 43
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 44
Distribution d’échantillonnage de la moyenne
(2 inconnue)
Cours Statistiques 45
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
1. Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage2. Statistiques et distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
connue)
4. Distribution d’échantillonnage de la variance5. Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2
inconnue)
6. Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 46
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 47
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 48
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Densité de probabilité de la loi de Fisher
Cours Statistiques 49
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 50
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 51
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 52
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 53
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 54
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances
Cours Statistiques 55
Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances