DISTRIBUSI PROBABILITA

• Distribusi ?• Probabilitas ?

• Distribusi Probabilitas ?

• Distribusi = sebaran, pencaran, susunan data

• Probabilitas: a priori, p = f / (f + u)

a Posteriori = rasio outcome dengan jumlah exsperimen, hasil

dari data secara empiris

Distribusi probabilitas adalah deskripsi/gambaran probabilitas

terjadinya setiap nilai dalam sutu populasi dari percobaan.

Douglas et al, mendefinisikan Probability DistributionProbability Distribution is A listing of all possible outcomes of an experiment and the corresponding probability.

Contoh:Melantunkan satu mata uang logam yang dilakukan tiga kali

• Ruang sampel (sample space) ?• Bila yang diinginkan adalah yang muncul muka

(depan), berapa titik sampel ?• Apa yang termasuk variabel independen

(peubah acak)?• Berapa probabilitas bila yang terjadi adalah 2

kali yang muncul muka uang?• Tentukan distribusi probabilitasnya!

• S ={BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM,

MMB, MMM}

• {BBB, (BBM,BMB,MBB), (BMM,MBM,MMB),

MMM} = 0,1,2,3 (empat titik sampel)

• Peubah acak (Variabel independen), banyak

bagian muka uang yang muncul bila satu mata

uang di lantunkan tiga kali adalh 0, 1, 2 ,3

• p = 3/8

Distribusi probabilitas

Banyak sisi muka yang muncul (M)

(x)

Frekuensi Probabilitas

0123

1331

1/83/83/81/8

Jumlah 8 1

Latihan 1:Bila dua dadu di lantunkan satu kali

Tentukan !

• Ruang sampel (sample space) ?

• Bila yang diinginkan adalah mata dadu yang muncul berjumlah 4

berapa titik sampel ?

• Apa yang termasuk variabel independen (peubah acak)?

• Berapa probabilitas bila yang terjadi adalah mata dadu berjumlah 9?

• Tentukan distribusi probabilitasnya!

Latihan 2:Carilah rumus distribusi probabilitas untuk jumlah muka yang muncul bila satu mata uang dilantunkan empat kali

Tipe Distribusi Probabilitas

• Distribusi Diskrit, Apabila variabel yang diukur hanya

dapat menjalani nilai-nilai tertentu, seperti bilangan bulat

0, 1, 2, 3 ,,,, (outcome yang tertentu)

• Distribusi Binomial

• Distribusi Poisson

• Distribusi Hipergeometrik

• Distribusi kontinu, apabila variabel yang diukur

dinyatakan dalam sekala kontinu, 0 ≤ x ≤ k.

• Distribusi Normal

Distribusi Probabilitas Kumulatif

• Bila p (x) adalah probabilitas kejadian variabel acak X, maka maka untuk setiap x yang mungkin adalah

• P (x) ≥ 0 p(x) =1• P (X=x) = p(x)

MAKA DIST. PROBABILITAS KUMULATIF F(X) = p (X ≤ x) = p (a)

a ≤ x

Pada contoh 1

Distribusi kumultaif adalah

Banyak sisi muka yang muncul (M)

(x)

Frekuensi ProbabilitasP (x)

Kum. Dist. ProbF (x)

0123

1331

1/83/83/81/8

1/84/87/81

Hitung distribusi kumultif untuk latihan 1 !

Distribusi Probabilitas diskrit

A.Distribusi Binomial Suatu eksperimen, atau setaip usaha dengan dua

kemungkinan hasil sukses atau gagal. Eksperimen semacam ini dinamakan eksperimen bernoulli, apabila probabilitas sukses pada setiap eksperimen tetap, misalnya p, maka banyaknya sukses x dalam eksperimen Bernoulli berdistribusi Binomial

p(x) = (n, x) px (1-p)n-x

Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan sebagai berikut:

1. Percobaan/eksperimen terdiri dari n yang berulang

2. Setiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan dengan sukses atau gagal

3. Probabilitas sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha yang berikutnya

4. Tiap usaha bebas dengan usaha yang lainnya.

Pada contoh 1Melantunkan uang logam tiga kali, lantunan sukses bila diperoleh satu kali bagian belakang uang yang muncul

S ={BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM}

p(x) = (n, x) px (1-p)n-x

P(B) = n!/ B!(n-B)!. PB. (1-P)n-b

P (B=1) = (3.2.1)/(1).(2.1) .(1/2)(1/2)3-1

= 3. ½. ¼ = 3/8

Discrete Probability DistributionDiscrete Probability Distribution

The sum of the probabilities of the various outcomes is 1.00.

The outcomes are mutually exclusive. The probability of a particular outcome is between 0

and 1.00.

MeanMean The long-run average value of

the random variable

The central location of the data

)]([ xxP

Also referred to as its expected value, E(X), in a probability distribution

VarianceVariance

Measures the amount of spread

(variation) of a distribution

Denoted by the Greek letter s2

(sigma squared)

Standard deviation is the square root of s2.

)]()[( 22 xPx

EX:Dan Desch, owner of College Painters, studied his records for the past 20 weeks and reports the following number of houses painted per week

# housesPainted

# of weeks Percent of weeks

10 5 20 (5/20)11 6 30 (6/20)12 7 35 (7/20)13 2 10 (2/20)

Total percent 100 (20/20)

Solve a problem !

P hysics

# houses painted

(x)

ProbabilityP(x)

x*P(x)

10 .25 2.5

11 .30 3.3

12 .35 4.2

13 .10 1.3

11.3

)]([ xxP

Mean number of houses painted per week

# houses painted

(x)

Probability

P(x)(x- (x-

(x-P(x)

10 .25 10-11.3 1.69 .423

11 .30 11-11.3 .09 .027

12 .35 12-11.3 .49 .171

13 .10 13-11.3 2.89 .289

.910

Variance in the number of houses painted per week )]()[( 22 xPx

Binomial Probability DistributionBinomial Probability Distribution

xnxxnCxP )1()(

n is the number of trials x is the number of observed successes

p is the probability of success on each trial

xnC n!x!(n-x)!

EX binomial:The Alabama Department of Labor reports that 20% of the workforce in Mobile is unemployed and interviewed 14 workers.What is the probability that exactly three are unemployed?

ANS:

551.000....172.250.)80(.)20(....)80(.)20(.)3( 014

1414113

314

CCxP

2501.)0859)(.0080)(.364(

)20.1()20(.)3( 113314

CP

At least three are unemployed

contionuedcontionued

The probability at least one is unemployed?

956.044.1)20.1()20(.1

)0(1)1(140

014

C

PxP

Mean of the Binomial DistributionMean of the Binomial Distribution

n

)1(2 n

Variance of the Binomial DistributionVariance of the Binomial Distribution

In EX Binomial:

• Recall that p =.2 and n =14

m = np = 14(.2) = 2.8

s2 = n p(1- p ) = (14)(.2)(.8) =2.24

latihan

1.According to recent information published in the Florence Sun Times 36 percent of the households in the United States have one TV set, 47 percent have 2 sets, 15 percent have 3 sets, and 2 percent have 4 sets.

a.What is the mean number of sets per household?b. What is the variance of the number of sets per household?

2. For a particular group of taxpayers, 25 percent of the returns are audited. Six taxpayers are randomly selected from the group. a. What is the probability two are audited? b. What is the probability two or more are audited? c. What is the mean number of audited? d. What is the variance of audited?