Distribusi Maxwell-Boltzman.docx

8/11/2019 Distribusi Maxwell-Boltzman.docx

1/13

DISTRIBUSI KECEPATAN DAN LAJU MENURUT MAXWELL

Fungsi Distribusi Laju Menurut Maxwell.Telah kita ketahui dari bahasan yang lalu bahwa gerak molekul adalah

acak, sehingga dalam gerakannya molekul mempunyai peluang untuk kekiri

dan kekanan sama. Bila arah tersebut kita beri X, Y, Z, maka akan kita

dapatkan peluang-peluang untuk arah tersebut. Ambil misalkan untuk arah X.

Dalam hal ini peluang molekul mempunyai kecepatan dengan komponen X

antara v x dan v x + dv x adalah f(v x) dv x, dengan f(v x) adalah fungsi distribusi

komponen kecepatan arah X. Jelaslah sekarang bahwa f(v x) dv x mempunyaipengertian sebagai peluang dengan

1).( x x dvv f ... (1.1)

Jika demikian mempunyai pengertian apa yang berikut ini:

x xv dvv f N dN x ).(. ? OK, yaitu:= banyaknya molekul yang bergerak dengan kecepatan antara v x dan

vx + dv x . Begitu pula yang berikut:

y yv dvv f N dN y ).(. = banyaknya molekul yang bergerak dengan kecepatan antara v y dan

vy + dv y .

z z v dvv f N dN z ).(. = banyaknya molekul yang bergerak dengan kecepatan antara v z dan

vz + dv z .

y y x xvv dvv f dvv f N dN

y x).().(.

Sekarang anda dapat menuliskan bentuk persamaan untuk z y x vvv

dN , yaitu:

z z y y x xvvv dvv f dvv f dvv f N dN

z y x).().().(.

z y x vvvdN z y x z y x dvdvdvv f v f v f N ..).().().(. ... (1.2)

= banyaknya molekul yang mempunyai kecepatan pada komponen-

komponen: X, yaitu antara v x dan v x + dv x

Y, yaitu antara v y dan vy + dv y

Z, yaitu antara v z dan vz + dv z


2/13

Coba sekarang anda perhatikan gambar 3.1 berikut:vz

dv z

vz z y x vvdNv

vyvy

vx

dv y

vx dv x Gambar 3.1: Koordinat kecepatan

Kerapatan molekul dalam elemen volume dv x dv y dv z dapat dituliskan sebagai

z y x vvv

Bagaimana bentuk persamaan rapat molekul ( ) selanjutnya ? OK, yaitu

akan berbentuk: z y x

vvv

dvdvdvdN z y x

z y x

z y x z y x

dvdvdv

dvdvdvv f v f v f N

..

..).().().(.

)().().(. z y x v f v f v f N ... (1.3)

Gunakan fungsi: ),,( z y x vvv , sehingga diperoleh:

z z

y y

x x dvvdvvdvvd

= y z y x x z y x dvv f v f v f N dvv f v f v f N ).().().(.).().().(. ''

z z y x dvv f v f v f N ).().().(. '

)().().(.

).().().(.

)().().(.

).().().(. ''

z y x

y z y x

z y x

x z y x

v f v f v f N

dvv f v f v f N

v f v f v f N

dvv f v f v f N d

)().().(.

).().().(. '

z y x

z z y x

v f v f v f N

dvv f v f v f N


3/13

= z z

z y

y

y x

x

x dvv f v f

dvv f

v f dv

v f v f

)()(

)(

)(

)(

)( '''

Diketahui bahwa, molekul bergerak ke segala arah dengan peluang yang

sama, sehingga adalah konstan di kulit bola. Yang berarti d = 0.

Atau: d

= z z

z y

y

y x

x

x dvv f v f

dvv f

v f dv

v f v f

)()(

)(

)(

)()( '

''

= 0

Begitu pula: 0... z z y y x x dvvdvvdvv untuk z y x vvv ,, konstan.

Dengan menggunakan metode undetermined multiplier Lagrange, yaitu

dengan menambah parameter bebas, dan tidak sama dengan nol, akandiperoleh hubungan sebagai berikut:

0..)()(

..)(

)(..

)()( '

''

z z

z

z y y

y

y x x

x

x dvvv f v f

dvvv f

v f dvv

v f v f

Dalam hal ini:

0.)()(

0.)()(

0.)()(

'

'

'

z z z

z

y y y

y

x x x

x

dvvv f v f

dvvv f v f

dvvv f v f

Dari 0.)()('

x x

x

x dvvv f v f

Atau 0.)()('

x x

x vv f v f

,

Selanjutnya dapat kita tuliskan :

x x

x vv f v f .

)()('

x x

x

x

vv f vd vdf

.)()()(

x x x

x dvvv f vdf

..)()(

x x x

x dvvv f vdf ..)( )(


4/13

cvv f x x .ln.21

)(.ln 2

2.21

.)( xv

x eC v f

... (1.4)

C dapat kita cari dengan normalisasi sebagai berikut:

1).( x x dvv f

1..2.

21

x

v

dveC x

12/

.

C atau

2C

Sehingga sekarang:

2.21

.2

)( xv

x ev f

... (1.5)

Persamaan 3.5 disebut fungsi distribusi komponen kecepatan arah X.

Dengan cara yang sama akan kita peroleh pula:

2.21

.2

)( yv

y ev f

... (1.6)

Persamaan 3.6 disebut fungsi distribusi komponen kecepatan arah Y.

2.21

.2

)( z v

z ev f

... (1.7)

Persamaan 3.7 disebut fungsi distribusi komponen kecepatan arah Z.

Dari fungsi distribusi ketiga komponen ini selanjutnya akan diperoleh:

2)2/1(2/3

2

24)( vev f v

... (1.8)

2)2/1(2/3 2

24)( ve

kT

mv f

vkT m

... (1.9)

(Disebut fungsi distribusi laju menurut Maxwell).

Diperoleh pula: m

kT v

8 ... (1.10)

Buktikan ketiga persamaan: 3.8, 3.9, dan 3.10 diatas!

3.2. Lepasnya Molekul dari Lubang Bejana.

A A F(v)V N)(v f


5/13

Gambar 3.2: Bejana berlubang berisi gas.

Definisi:

Banyaknya molekul yang keluar dari bejana karena menumbuk lubang seluas

A yang lajunya v dan v + dv dalam waktu dt adalah= fluks x luas x waktu.

dt dAdvv f vV N

dN v ..).(.41

dt Advv f vV N

..).(.41

vv dN dN '

dvv F N dN v ).(''

... (1.11)

N = banyaknya molekul dalam bejanaN= banyaknya molekul diluar bejana.

F(v) = fungsi distribusi laju molekul di luar bejana

Molekul-molekul yang ada diluar bejana berasal dari molekul-molekul yang

lepas. Jadi dapat ditulis:

dt Advv f vV

N dvv F N ..).(.

4).('

00' ..).(.

4).( dt Advv f v

V N dvv F N

dt AvV

N N ...

4)

21

(' dt AvV ..24

Sehingga :dt Avdt Advv f v

dvv F ..2..).(.

).(

vdvv f v

dvv F 2

.).(.).(

Dengan persamaan 3.9 dan 3.10, selanjutnya dapat dituliskan:

dvv F ).(

2/1

22/12/3

82

.2

4.2

mkT

dvvekT

mvv

kT m

2/1

2/12/13

82

224

2

mkT

dvekT

mkT

mv

vkT m


6/13

dvekT kT

mmkT

mv vkT m 2.

22/13

8..2.

.4.4

dvekT

m

kT

mv vkT m 2.

23

4

.

.4

.4

dveT k vm vkT

m 2.2

22

32

.4

dvev

kT m vkT

m 2.2

32

4

Sehingga di peroleh:2.

232

4)(

vkT m

ev

kT m

v F

... (1.12)

dan 2vvrms

Gunakan: dvv F vv ..0

22

= dvev

kT m

vv

kT m 2

2

0

322

4.

= dvevkT m vkT

m 22

0

52

41

Dari tabel matematik : 305 12

adxe x ax

322

22

2

141

kT mT k

mv 3

33

22

2 .841

mT k

T k m

2v mkT .2

... (1.13)

Didapat:

mkT

vrms.2

... (1.14)


7/13

STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN

1. Anggapan Dasar Dalam statistik Maxwell-Boltzmann:

Partikel-partikel dalam sebuah sistem dianggap terbedakan.

Tidak ada batasan dalam banyaknya partikel yang dapat mengisi keadaan energi

yang sama.

Setiap keadaan energi dapat diisi beberapa partikel.

Diantara partikel terjadi gaya antar aksi hanya ketika bertumbukan (berinteraksi

lemah atau kuasi bebas).

2. Distribusi Partikel dalam Keadaan Energi.

Tinjau sistem 4 partikel terbedakan mempunyai dua tingkat energi yang non

degenerasi (masing-masing tingkat hanya mempunyai satu keadaan). Keadaan makro

yang mungkin adalah:

Keadaan makro ke I II III IV V

N2 0 1 2 3 4

N1 4 3 2 1 0

Bila sekarang ke 4 partikel tersebut diberi nama a, b, c, d. Tentukan berapa banyak

keadaan mikro pada tiap keadaan makro tersebut ?

Jawabnya adalah:

Untuk N 1 = 4 dan N 2 = 0

N2

N1 A b c d

Untuk N 1 =3, dan N 2 = 1

N2 d c b a


8/13

N1 a b c a b d a c d b c d

Untuk: N 1 =2, dan N 2 = 2

N2 Cd bd bc ad ac ab

N1 Ab ac ad bc bd cd

Untuk N 1 =1, dan N 2 =3

N2 bcd acd abd abc

N1 a b c d

Untuk N 1 = 0, dan N 2 = 4

N2 abcd

N1

Dari ke 5 kejadian tersebut, nampak banyaknya keadaan mikro untuk keadaan makro

adalah sebagai berikut:

Keadaan makro ke I II III IV V

Jumlah keadaan mikro 1 4 6 4 1

Bagaimana angka-angka dalam keadaan mikr o ter sebut diperol eh ?

Jika partikel-partikel terdistribusi sedemikian sehingga ada N j partikel tiap tingkat

energi, maka bobot konfigurasi diperoleh dari banyaknya cara untuk menghasilkan

konfigurasi N partikel dalam sistem tersebut. Angka-angka tersebut merupakan

banyaknya cara memilih N partikel pada tingkat energi.

N = total partikel dan N j = jumlah partikel pada tingkat energi j.


9/13

Banyaknya cara memilih N 1 partikel pada tingkat pertama dari total N partikel adalah:

Banyaknya cara = .!!!

11 N N N N

... (6.1)

Begitu pula Banyaknya cara memilih N 2 partikel pada tingkat ke 2 dari total N partikel

adalah dipilih dari partikel sisa (N-N 1), sehingga

Banyaknya cara =

.!!.!

212

1

N N N N N N

... (6.2)

Total banyak cara pemilihan partikel untuk tingkat pertama dan kedua adalah:

= .!!!

11 N N N N

.!!.!

212

1

N N N N N N

= .!!!!

2121 N N N N N N

=!!

!

21 N N N

Jika hanya ada tiga tingkat, dimana N 3 = N N1 N2 , maka total banyak cara

pemilihan konfigurasi dengan N 1, N 2, N 3, adalah:

Banyak cara = !!!!

321 N N N N

... (6.3)

Secara umum untuk n tingkat energi, banyaknya cara pemilihan konfigurasinya

adalah:

Banyak cara =!....!.........!!

!

321 n N N N N N

... (6.4)

Sekarang tinjau satu tingkat energi ke j dengan j g = 2 dan N j = 3 (partikel

terbedakan). Berapa banyak cara pengisian konfigurasi ?

Jawabnya:

Banyak cara = j N

j g = 2 3 = 8. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:Abc


10/13

Ab c

Ac b

Bc a

A bc

B ac

C ab

abc

Total cara penyusunan N partikel ke dalam n tingkat energi dengan distribusi:

N1 partikel di tingkat 1 dengan g 1



...................................................

Nn partikel di tingkat n dengan g n

Adalah:

n N j

N N N

n

g g g g N N N N

N W .........

!!......!!!

321321

321


11/13

Total cara penyusunan N partikel kedalam n tingkat energi = peluang termodinamik.

Yaitu:

!!

j

N j

j N g N W

j

... (6.5)

dengann

j j N N

1

W juga menyatakan banyaknya keadaan mikro dalam sebuah keadaan makro.


12/13

Benarkah peluang konfigurasi maksimum sangat besar ?

Yang menjadi pertanyaan kita adalah benarkah probabilitas dengan konfigurasi maksimum

memiliki nilai yang sangat besar daripada konfigurasi lainnya. Jika ya, berarti kita dapat

menggunakan persamaan (2.13) bahwa nilai rata-rata sifat assembli sama dengan nilai padakonfigurasi maksimum. Namun, jika tidak maka penyederhanaan yang kita impikan tidak

terwujud. Pada bagian ini kita akan perlihatkan bahwa probabilitas konfigurasi maksimum

benar-benar memiliki nilai yang jauh lebih besar daripada konfigurasi lainnya.

Mari kita uraikan ln W dengan deret Taylor di sekitar ln W maks

ln W = ln W maks + | n s ++

ns

nq + ... (2.14)

Karena W hanya fungsi variabel n 1 saja maka,

= (2.15)

Dengan adalah delta Kronecker. Dengan demikian, kita dapatkan bentuk

aproksimasi untuk ln W sebagai berikut :

ln W = ln W maks +

| n s

+ n s n q + ...= ln W maks + | n s + | + ...

(2.16)

Pada titik maksimum terpenuhi

| n s = 0 (2.17)

Sehingga,

ln W = ln W maks + | + ... (2.18) Dengan menggunakan persamaan (2.7) kita akan dapatkan:

( )


13/13

= ( ) = = Atau

(2.19) Dengan demikian persamaan (2.18) dapat ditulis menjadiln W ln W maks = + ...ln = - (2.20) Jika kita asumsikan bahwa untuk semua nilai s penyimpangan jumlah sistem pada tiap

kelompok energi terhadap jumlah sistem dalam konfigurasi maksimum sama maka

Sehingga diperoleh

ln = - ln = - atau

(2.21)

Sebagai ilustrasi, misalkan rasio deviasi jumlah sistem pada tiap-tiap kelompok energi

terhadap jumlah pada konfigurasi maksimum adalah = . Ini adalah rasio penyimpangan yang sangat kecil. Jumlah sistem dalam suatu assembli seorde dengan

bilangan Avogadro, atau N . Dengan nilai ini maka

Jadi, dengan rasio deviasi kali konfigurasi maksimum, probabilitas peluangkonfigurasi tersebut hampir nol. Hal ini membuktikan bahwa nilai sifat assembli pada

konfigurasi maksimum sama dengan nilai rata-rata sifat assembli.

Documents

Distribusi Maxwell-Boltzman.docx