Distribusi Gamma, Eksponensial, Beta, Weibull,

EDUNEX ITB

1

Program Studi MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Distribusi Kontinu Khusus

Distribusi Gamma, Eksponensial, Beta, Weibull,

serta 𝝌𝟐, 𝒕, 𝐝𝐚𝐧 𝑭

Dr. Utriweni Mukhaiyar

MA3181 Teori Peluang

Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA – ITB

EDUNEX ITB

2

Distribusi Gamma• Observasi kontinu dan selalu non-negatif sering dianggap

mengikuti distribusi gamma dengan parameter bentuk>0 dan parameter skala β>0.

• Notasi X ~ Gamma(,)• f.k.p, untuk 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 :

𝑓(𝑥) = ൞

1

𝛤(𝛼)𝛽𝛼𝑥𝛼−1𝑒− Τ𝑥 𝛽 ,0 < 𝑥 < ∞

0 , 𝑥 lainnya

• () disebut fungsi gammadengan (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika > 1

• E[X] = dan Var(X) = 2

• Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu• Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi

kuadrat, Weibull, dan Erlang


Grafik fungsi peluang X ~ Gamma(k,θ).Sumber: wikipedia

EDUNEX ITB

3

Contoh

• Banyak eksperimen Biologi yang melibatkan partikel radioaktif. Misal suatupartikel radioaktif melewati suatu counter mengikuti proses Poisson denganrerata 4 partikel per millisecond. Hitung peluang bahwa tidak lebih 2 millisecond waktu berlalu bahwa sudah ada 3 partikel yang melewati counter tersebut.

Analisis Kasus:• Misal N : banyak partikel radioaktif melewati suatu counter. Maka 𝑁~𝑃𝑂𝐼(4).• Misalkan X : waktu yang diperlukan untuk suatu partikel melewati counter

• X ~ Gamma( , ), dengan 𝛼 = 3 dan 𝛽 =1

𝜆=

1

4= 0,25.

• Ditanya: 𝑃(𝑋 ≤ 2)

Page 3

EDUNEX ITB

4

Jawab

MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu Page 4

EDUNEX ITB

5

5

• Keluarga distribusi gamma (1, 1/)

• Notasi: X ~ Exp ()

• f.k.p

,0( )

0 , lainnya

xe xf x

x

− =

• E[X] = 1/

• Var(X) = 1/ 2

• Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan

Distribusi Eksponensial

Sumber: wikipedia

EDUNEX ITB

6

ContohSeorang asisten lab diminta memperhatikan perilaku seekor ikan jenistertentu yang diberi suatu serum. Perilaku yang diperhatikan adalahwaktu antar kemunculan ikan ke permukaan air. Misalkan waktu yang diperlukan seekor ikan untuk muncul ke permukaan setelahkemunculannya terakhir mengikuti distribusi eksponensial, denganrataan 10 menit/kemunculan.

6

Bila ikan telah muncul di permukan di saat asisten sedang mengantuksehingga tidak melihatnya, carilah peluangnya bahwa asisten tersebutharus menunggu kemunculan ikan tersebut:

a. lebih dari 10 menit

b. antara 10 sampai 20 menit

Jawab

Misalkan X : waktu antar kemunculan ikan di permukaanDik. X ~ exp(1/10) sehingga

Tapi lama kemunculan ikan setara dengan waktu menunggu.Jadi,a.

b.

1 /10

10( ) xf x e−=

7

10

/101

100

( 10) 1 ( 10)

1 1 0,368 0,632x

P X P X

e dx−

= −

= − = − =

20

1 /10

10

10

(10 20) 0,233− = =xP X e dx

EDUNEX ITB

8

Latihan

Umur suatu komponen elektronik peralatan penelitian Biologiberdistribusi eksponensial dengan tingkat kegagalan 𝛽 = 2. Seratus alatdipasang pada sistem yang berlainan. Tentukan,

a. model distribusi banyaknya alat yang rusak pada tahun pertama

b. peluang paling banyak 5 gagal pada tahun pertama


Distribusi Beta

• Mis. p.a. 𝑋~𝐵(𝛼, 𝛽), dengan 𝛼, 𝛽 merupakan parameter bentuk.

• Untuk 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0, fungsi kepadatan peluang 𝑋:

𝑓 𝑥 =1

𝐵 𝛼, 𝛽𝑥𝛼−1 1 − 𝑥 𝛽−1, 𝑥 ∈ (0, 1)

dengan fungsi Beta, 𝐵 𝛼, 𝛽 = 01𝑥𝛼−1 1 − 𝑥 𝛽−1 𝑑𝑥

• Sifat fungsi Beta : 𝐵 𝛼, 𝛽 =Γ 𝛼 Γ 𝛽

Γ 𝛼+𝛽

• Momen ke-𝑘 dari p.a. 𝑋 : 𝐸 𝑋𝑘 =𝐵 𝑘+𝛼,𝛽

𝐵 𝛼,𝛽=

Γ 𝑘+𝛼 Γ 𝛼+𝛽

Γ 𝑘+𝛼+𝛽 Γ 𝛼

9


Karakteristik Distribusi Beta

Sumber: https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#

10/13/2021 10


• Rerata : 𝐸 𝑋 =𝛼

𝛼+𝛽

• Variansi : 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =𝛼𝛽

𝛼+𝛽 2(𝛼+𝛽+1)

• Skewness : 𝛾1 =2 𝛽−𝛼 𝛼+𝛽+1

𝛼+𝛽+2 𝛼𝛽

• Kurtosis :

𝛾2 =6 𝛼 − 𝛽 2 𝛼 + 𝛽 + 1 − 𝛼𝛽(𝛼 + 𝛽 + 2)

𝛼𝛽(𝛼 + 𝛽 + 2) 𝛼 + 𝛽 + 3

• F.p.m :

𝑀𝑋 𝑠 = 1 + σ𝑘=1∞ ς𝑟=0

𝑘−1 𝛼+𝑟

𝛼+𝛽+𝑟

𝑠𝑘

𝑘!

Distribusi Weibull

• Mis. p.a. 𝑋~𝑊(𝛽, 𝜎), dengan 𝛼, 𝛽 merupakan parameter bentuk.

• Untuk 𝛽 > 0 𝜎 > 0, fungsi kepadatan peluang 𝑋:

𝑓 𝑥 =1

𝐵 𝛼, 𝛽𝑥𝛼−1 1 − 𝑥 𝛽−1, 𝑥 ∈ (0, 1)

dengan fungsi Beta, 𝐵 𝛼, 𝛽 = 01𝑥𝛼−1 1 − 𝑥 𝛽−1 𝑑𝑥

• Sifat fungsi Beta : 𝐵 𝛼, 𝛽 =Γ 𝛼 Γ 𝛽

Γ 𝛼+𝛽

• Momen ke-𝑘 dari p.a. 𝑋 : 𝐸 𝑋𝑘 =𝐵 𝑘+𝛼,𝛽

𝐵 𝛼,𝛽=

Γ 𝑘+𝛼 Γ 𝛼+𝛽

Γ 𝑘+𝛼+𝛽 Γ 𝛼

11


EDUNEX ITB

12

Distribusi Chi-Square

• X ~ χ2(r)

• Kasus distribusi Gamma dengan =r/2 dan β=2,

• Dengan f.p.m untuk t < ½,

𝑀 𝑡 = 1 − 2𝑡−

𝑟

2

• = = r

• σ2 = 2 = 2r

Page 12

𝑓(𝑥) = ൞

1

𝛤(r/2)2𝑟/2𝑥r2−1𝑒− Τ𝑥 2 ,0 < 𝑥 < ∞

0 , 𝑥 lainnya

EDUNEX ITB

13

Distribusi - t

• Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

diberikan oleh,

Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat kebebasan .

=

ZT

V

( )( )

( )

( )1 221 2

1 ,2

th t t

− + +

= + −

EDUNEX ITB

14

Distribusi F

• Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-masing berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak,

• Diberikan oleh,

Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat kebebasan 1 dan 2.

1

2

UF

V

=

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 1

1 2

2 2 1

1 2 1 2

2

1 2 1 2

2, 0

2 2 1 2

fh f f

f

−

+

+ = +

EDUNEX ITB

15

Referensi

Kaps, M. and Lamberson. W.R., 2004, Biostatistics for Animal Science , Oxfordshire: Cabi Publishing

Rosner, Bernard., 2016, Fundamental of Biostatistics 8th ed., Boston: Cencage Learning

Walpole, R.E., et.al, 2012, Probability & Statistics for Engineers & Scientists, 9th Ed., Boston: Prentice Hall.


Documents

Distribusi Gamma, Eksponensial, Beta, Weibull,