DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS

•U N I F O R M ( S E R A G A M )

•B E R N O U L L I

•B I N O M I A L

•P O I S S O N

•M U L T I N O M I A L

•H I P E R G E O M E T R I K

•G E O M E T R I K

•B I N O M I A L N E G A T I F

MA 4085 Pengantar Statistika 26 Februari 2013 Utriweni Mukhaiyar

DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM)

Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x1, x2, …, xk) memiliki peluang yang

sama.

Distribusi peluang X :

Rataan :

Variansi :

2

1 2

1( ) , , ,..., kP X x x x x x

k

1

1 k

i

i

xk

22

1

1 k

i

i

xk

BUKTI :

MEAN DAN VARIANSI UNTUK P.A DISTRIBUSI

SERAGAM.

3

1 1 1

1[ ] ( ) ,

k k k

ii i i

i i i

xE X x P X x x

k k

Berdasarkan definisi ekspektasi,

2 2 22

1 1

1( )

k k

i i i

i i

E X x P X x xk

CONTOH 1

Pelantunan sebuah dadu.

4

1( ) , 1,2,3,4,5,6

6P X x x

1 2 3 4 5 63,5

6

2 2 2 2 2 22 21 2 3 4 5 6

3.56

15.17 12.25 2.92

0.16

0.165

0.17

0.175

0.18

1 2 3 4 5 6P

(X=

x)

x

PERCOBAAN BERNOULLI

Percobaan terdiri dari 1 usaha

Peluang sukses p

Peluang gagal 1-p

Misalkan

1, jika terjadi sukses

0, jika terjadi tidak sukses (gagal)X

5

Usaha Gagal

Sukses

DISTRIBUSI BERNOULLI

X berdistribusi Bernoulli,

Rataan : E[X] = µx = p

Variansi : Var(X)= x2 = p(1-p)

1(1 ) , 0,1( ) ( ; )

0 ,

x xp p xP X x ber x p

x lainnya

6

PERCOBAAN BINOMIAL

n usaha yang berulang.

Tiap usaha memberi hasil yang dapat

dikelompokkan menjadi sukses atau gagal.

Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu

ke yang berikutnya.

Tiap usaha saling bebas.

7

DISTRIBUSI BINOMIAL

Distribusi binomial, parameter n dan p

Notasi X ~ B(n,p)

8

o Rataan : E[X] = µx = np

o Variansi : var(X)= X2 = np(1-p)

!

!( )!

n n

x x n xuntuk x = 0,1, … , n

F.m.p:

Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-2) … 1

( ) ( ; , ) (1 )x n xn

P X x b x n p p px

CONTOH 2

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?

9

JAWAB

Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya

penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’.

Maka X~B(5, 0.7)

E D I T E D 2 0 1 1 B Y U M 10

Yang ingin dicari adalah P(X 3).

P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

3 2 4 1 5 05 5 5

0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.33 4 5

5! 5! 5!(0,343)(0,09) (0,240)(0,30) (0,168)(1)

2!3! 1!4! 0!5!

0,309 0,360 0,168 0,837

PERCOBAAN POISSON

Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.

Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan

Binomial)

Panjang selang waktu

Luas daerah/area

Contoh :

- Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di

US

- Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter

panjang sungai “A”

11

PROSES POISSON

Selang waktu atau daerahnya saling bebas.

Peluang pada Proses Poisson tergantung pada

selang waktu dan besarnya daerah.

Peluang untuk selang yang pendek atau daerah

yang sempit dapat diabaikan.

12

DISTRIBUSI POISSON

o Rataan : E[X] = X = t

o Variansi : var(X)= X2 = t

13

( ) , 0,1,2,...

!

xte tP X x x

x

Peubah acak X berdistribusi Poisson

X~P(t)

F.m.p :

e = tetapan Euler (2.71828…)

CONTOH 3

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.

a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu.

b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan.

14

JAWAB

15

Jenis kasus

•Kasus Diskrit

•Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah

•Distribusi Poisson

Satuan

•Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya

•Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1

•Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4

Parameter distribusi

•Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4

•Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7

•Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7) , dengan rata-rata = t = (7/4)(4) = 7

Pertanyaan

a.

•t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

•t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

Pertanyaan

b.

•t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka = ....

•t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka = ....

...

( ) , 0,1,2,...

!

xte tP X x x

x

16

Ingat definisi:

sehingga

0 1 23,5 3,5 3,50,5

( 2) 1 2

1 0 1 2

3,5 3,5 3,51

0! 1! 2!

1 0.030 0,106 0,370 0,494

t

P X P X

P X P X P X

e e e

a.

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta

badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata

banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.

HUBUNGAN DISTRIBUSI BERNOULLI,

BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL

17

Distribusi Bernoulli

X ~ Ber (1, p)

Distribusi Poisson

X ~ POI (t)

= np = np(1- p)

Distribusi Binomial

X ~ Bin (n, p)

n >1

n >>>, p <<<

Distribusi Normal

X ~ N(μ, σ2)

μ = np, σ2 = np(1- p)

Misalkan p.a X

n >>>

n >>> DLP

μ = , σ2 =

BEBERAPA DISTRIBUSI DISKRIT LAINNYA

Distribusi Multinomial

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Binomial Negatif

Distribusi Geometri

18

DISTRIBUSI MULTINOMIAL

Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil

E1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusi

peluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan

banyak terjadinya E1, E2, …, Ek dalam n usaha bebas ialah,

19

1 2

1 1 2 2 1 2

1 2

( , ,..., ) p p p, ,...,

kxx x

k k k

k

nP X x X x X x

x x x

dengan,

1 1

dan 1k k

i i

i i

x n p

Percobaan Binomial menjadi

Multinomial jika setiap

percobaan memiliki lebih dari

dua kemungkinan hasil.

CONTOH 4

Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota

menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-

turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9

perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3

orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang

dengan kereta.

Jawab:

Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan

transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil

pribadi, dan kereta.

20

3 3 1 2

1 2 3 4

5

9( 3, 3, 1, 2) 0.4 0.2 0.3 0.1

3,3,1,2

9!0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0,038702

3!3!1!2!

P X X X X

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

X ~ h(N, n, k)

X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang

diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses

dan N-k bernama gagal.

21

( ) ( ; , , ) , 0,1,2,...,

k N k

x n xP X x h x N n k x n

N

n

Rataan :

nk

N

Variansi :

2 11

N n k kn

N N N

CONTOH 5

Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung

mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara

acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10

gedung mempunyai kode pelanggaran!

Jawab :

Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode

pelanggaran.

X ~ h(50, 10, 12)

22

12 38

220 126202563 7( 3) (3;50,10,12) 0.2703

50 10272278170

10

P X h

KAITANNYA DENGAN DISTRIBUSI BINOMIAL

Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.

Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

23

DISTRIBUSI GEOMETRIK

X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)

X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama

dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang

sukses p dan gagal (1-p).

24

Rataan :

1

p

Variansi :

2

2

1 p

p

1( ) ( ; ) (1 ) , 1,2,...xP X x g x p p p x

CONTOH 6

Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan

sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan

tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu

sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa

hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang

dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil

pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan

patahan pertama!

Jawab :

X ~ Geom(0.2)

25

2( 3) (3;0.2) 0.2(0.8) 0.128P X g

DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF

Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-

peubah acak Geometrik.

X = Y1 + Y2 + ... + Yk

dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-

masing berdistribusi Geom(p).

26

1( ) *( ; , ) (1 ) , , 1, 2...

1

k x kx

P X x b x k p p p x k k kk

X ~ b*(k, p)

X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari

usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

k

p 2

2

(1 )k p

p

Rataan : Variansi :

CONTOH 7

Perhatikan Contoh 6.

Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung

peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama!

Jawab :

27

3 57

( 8) *(8;3,0.2) (0.2) (0.8) 0.055052

P X b

REFERENSI

Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.

Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

28