1

Distribucioni i mostrave dhe

intervalet e besueshmërisë për

mesatare aritmetike dhe proporcion

te populimit

Ligjërata e shtatë

Distribucioni i mostrave dhe intervalet e

besueshmërisë për mesatare aritmetike dhe

proporcion

2

Qëllimet

Pas kësaj ore të ligjëratave ju duhet të jeni në gjendje që të :

Defioni dhe konstruktoni distribucionin e mostrave të mesatareve të mostrave.

Spjegoni Teoremën Qendrore Kufitare.

Llogaritni intervalin e besimit për mesatare dhe proporcione të tërësisë së përgjithshme.

Përcaktoni madhësinë e mostrës për mesataren aritmetike

2

3

Procesi i nxjerrjes së

konkluzioneve nga mostra

Populacioni

Mostra

Statistikat

e mostrës

Vlerësimet

& Testet

Xm, Pm

4

Gabimi i rastësishëm i mostrës

Statistikat e mostrës përdoren për të vlerësuar

Parametrat e Populacionit

p.sh: X është një vlerësim për mesataren e

populacionit, μ

Probleme:

Mostra të ndryshme ofrojnë vlerësime të

ndryshme të parametrave të populacionit

Rezultatet e mostrës kanë variabilitet

potencial, dhe për këtë ekziston gabimi i

mostrës.

X

3

5

Llogaritja e gabimit të mostrës

Gabimi i rastësishëm i mostrës:

Dallimi në mes të vlerës (statistikës) të

llogaritur nga mostra dhe vlerës

korresponduese (parametrit) të llogaritur nga

populacioni.

Shembull: (për mesatare)

ku:

Gabimi i mostres x - μ

x mesatarja e mostres

μ mesatarja e populacionit

6

Rishikim

Mesatarja e populacionit: Mesatarja e mostrës:

N

xμ i

ku:

μ = Mesatarja e populacionit

x = Mesatarja e mostrës

xi = Vlerat në populacion ose mostër.

N = madhësia e populacionit

n = madhësia e mostrës

n

xx

i

4

7

Shembull

Nëse mesatarja e populacionit është μ

= 98.6 shakllë dhe mostra prej n = 5

elemente me mesatare aritmetike

= 99.2 shkallë , atëherë gabimi i

mostrës është

x μ 99.2 98.6 0.6 shkalle

x

8

Gabimet e mostrës

Mostrat e ndryshme do të kenë gabime të ndryshme të mostrës.

Gabimi i mostrës mund të jetë negativ dhe pozitiv

( mund të jetë më e vogël ose më e madhe se μ)

Gabimi i pritur i mostrës do të zvogëlohet me

rritjen e madhësisë së mostrës.

x

5

9

Distribucioni i mostrës/Sampling distribucioni

Distribucioni i mostrës është

distribucion i të gjitha vlerave të

mundshme të statistikave për

një mostër të dhënë, të

zgjedhur nga populacioni.

10

Krijimi i distribucionit të mesatareve artimetike të mostrës

Supozojmë se kemi një populacion …

Madhësia e populacionit N=4

Variabla e rastësishme, x,

është mosha e individëve

Vlerat për x: 18, 20,

22, 24 (vjet)

A B C D

6

11

0.3

0.2

0.1

0 18 20 22 24

A B C D

Distribuimi uniform/ i njëtrajtshëm

P(x)

x

(vazhdim)

Treguesit përmbledhës për distribucionin e populacionit:

Krijimi i distribucionit të mostrës

214

24222018

N

xμ i

2.236N

μ)(xσ

2

i

12

1-rë

Vrojtimi i 2të

Vroj 18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

16 mostra të

mundshme (mostra

me përsëritje)

Tani marrim në konsiderim të gjitha

mostrat e mundshme me madhësi n=2

1-rë Vrojtimi i 2-të

Vroj. 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

(vazhdim)

Krijimi i distribucionit të mostrës

16 mesatare

të mostrave

7

13

1rë Vrojtimi i 2-të

Vroj 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

Distribucioni samping i të gjitha mesatareve të

mostrës

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

P(x)

x

Distribucioni i mesatareve të

mostrës

16 Mesatare të mostrës

_

Krijimi i distribucionit të mostrës (vazhdim)

(jo më i njëtrajtshëm)

14

Treguesit përmbledhës të distribucionit

sampling (të mesatareve të mostrës):

Krijimi i distribucionit të mostrave (vazhdim)

2116

24211918

N

xμ i

x

1.5816

21)-(2421)-(1921)-(18

N

)μx(σ

222

2

xi

x

8

15

Krahasimi i distribucionit të populacionit dhe distribucionit të mostrave

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3 P(x)

x 18 20 22 24

A B C D

0

.1

.2

.3

Popullimi N = 4

P(x)

x _

2.236σ 21μ

Distribucioni i mesatareve të mostrës

n = 2

21 1.58X X

16

Distribucioni i mesatareve të mostrës:

Gabimi standard i mesatares

Mostra të ndryshme me madhësi të njëjtë dhe nga

popullimi i njëjtë do të kenë mesatare të ndryshme.

Variabiliteti i mesatares nga një mostër në tjetrën matet

me Gabimin Standard të mesatares: (Ky supozim vlen për mostra me përsëritje dhe pa përsëritje

nga një populacioni pa fund/pa kufi)

Me rritjen e numrit të elementeve në mostër gabimi

standard i mesatares zvogëlohet.

n

σσ

X

9

17

Nëse populacioni është normal

Nëse populacioni është normal me

mesatare μ dhe devijim standard σ,

distribucioni i mostrave të mesatareve

gjithashtu ka shpërndarje normale me

dhe

x

μμx

n

σσx

18

Kur Populacioni është Normal

Mesatarja aritmetike

Variacioni

Mostra me përsëritje

Distribucioni i populacionit

Distribucioni sampling

X

Xn

X50

X

4

5X

n

16

2.5X

n

50

10

10

19

Kur populacioni nuk është normal

Mesatarja aritmetike

Variacioni

Mostra me përsëritje

Distribucioni i populacionit

Distribucioni sampling

X

Xn

X50

X

4

5X

n

30

1.8X

n

50

10

20

Nëse populacioni nuk është normal

Mund të aplikojmë Teoremën Qendrore Kufitare

Edhe nëse populacioni nuk është normal ,

…mesataret e mostrës nga populacioni do të jenë

përafërsisht normale nëse madhësia e mostrës është

më e madhe

…dhe distribucioni i mesatareve të mostrës do të ketë

dhe

μμx

n

σσx

11

21

n↑

Teorema Qendrore Kufitare

Me rritjen e

madhësisë

së

mostrës…

Distribucioni i

mesatareve të

mostrës bëhet

pothuajse

normal si

forma e

populacionit.

x

22

Distribucioni i populacionit

Distribucioni i mostrës

(bëhet normal me rritjen e n)

Mesatarja aritmetike

Variacioni

(Mostra me përsëritje)

x

x

Mostra

më e

madhe

Mostra më e

vogël

Nëse populacioni nuk është normal (vazhdim)

Vetitë e distribucionit

të mesatareve:

μμx

n

σσx

xμ

μ

12

23

Sa është mjaft e madhe mostra?

Për shumicën e distribucioneve , n ≥ 30

do të jap distribucion të mesatareve gati

normal.

Për distribucionet gati simetrike, n ≥ 15

Për distribucionin e populacionit normal,

distribucioni i mostrave të mesatareve

gjithmonë ka shpërndarje normale.

Intervalet e besueshmërisë

për mesatare aritmetike dhe

proporcione/strukturë

24

13

25

Parametrat e populacionit vlerësohen me interval besimi

Vlerësimi i parametrave

të populacionit...

Me statistika të

Mostrës

Mesatarja

Proporcioni p

Varianca s 2

Dallimet 1 2 1 2

2

X

X X

p

26

Procesi i vlerësimit të intervalit

të besimit

Mesatarja, ,

është e

panjohur

Populacioni Mostra e rastësshme

Unë jam

95% i

sigurt/konfi

dent se

është në

mes të 40 &

60.

Mesatarja

X = 50

14

27

Vlerësimi i intervalit të besimit

Siguron një gamë të vlerave.

Merr në konsiderim variacionet në statistikat e mostrës nga një mostër në tjetrën

Bazohet në vrojtimet nga një mostër

Jep informata rreth afërsisë së parametrave të panjohur të populacionit.

Jepet në kuptimin e nivelit të konfidencës/besueshmërisë

Kurr 100% i sigurt

28

Elementet e vlerësimit të

intervalit të besimit

Intervali i besimit

Statistikat e

mostrës

Kufiri i konfidencës

/besueshmërisë (I ulëti)

Kufiri i konfidencës

/besueshmërisë (I lartë)

Probabiliteti se parametri i populacionit

gjindet diku brenda intervalit të besimit

15

Intervalet e besueshmërisë për

mesatare aritmetike

Intervali i besimit të mesatares aritmetike-

ndërtmi:

1. Pikënisje është vlerësimi pikësor, pra

mesatarja e zgjedhjes;

Gjindet gabimi mesatar i zgjedhjes për

mesataren

Caktohet siguria apo probabiliteti sipas

nivelit të cilit intervali i besimit mund të

zgjerohet apo të ngushtohet 29

xn

Intervalet e besueshmërisë për mesatare

aritmetike

Gjatë ndërtimit të intervalit të besimit

ndeshemi me dy situata:

Kur dihet devijimi standard i popullimit

Kur nuk dihet devijimi standard i

popullimit

30

16

31

Gabimi standard i mesatareve të mostrës

Gabimi standard i mesatareve të mostrës

është gabimi standard i distribucionit të

mostrave të mesatareve aritmetike.

Llogaritet përmes :

është simboli për gabimin standard të

mesatareve të mostrës.

është devijimi standard i populacionit.

n- është madhësia e mostrës

xn

x

8-16

32

Gabimi standard i mesatareve të mostrës

Nëse është i panjohur dhe

,devijimi standard i mostrës i shënuar me

shfrytëzohet për të vlerësuar përafërsisht

devijimin standard të populacionit.

Formula për gabimin standard të

mesatares merr këtë formë:

n30

x

ss

n

8-17

Xs

17

33

Intervali i besueshmërisë së mesatares

aritmetike të populcionit në përgjithësi

Në përgjithësi , intervali i besueshmërisë për mesatare

aritmetike të populacionit llogaritet me formulën vijuese:

X Z osen

X Z X Zn n

8-19

Intervali i besueshmërisë së mesatares aritmetike të

populcionit në përgjithësi

34

X Z X Zn n

X - Mesatarja e mostres

Z -Variabla e standardizuar-për nivelin e dhënë të

signifikancës

n

- Gabimi standard i mesatares aritmetike

- Mesatarja aritmetike e popullimit

18

35

Intervalet e besueshmërisë për

mesatare aritmetike

90% e Mostrave

95% Mostrave

99% Mostrave

x _

nZXZX

X

X

XXXX 58.2645.1645.158.2

XX 96.196.1

36

Probabilitetin që parametri i panjohur i populacionit gjindet në mes të intervalit të besueshmërisë.

Niveli i konfidencës/besueshmërisë

Niveli i

Besueshmerise/konfiden

ces

Vlerat korresponduese të Z

(për të dy anët e lakores

normale)

90% 1.645

95% 1.96

98% 2.33

99% 2.58

19

37

Vlerësimi i intervalit

Një interval i vlerësimit tregon vargun

brenda të cilit ka gjasë të gjendet

parametri i populacionit.

Intervali brenda të cilit pritet të gjendet

parametri i populacionit quhet interval i

besueshmërisë.

Dy intervale të besueshmërisë që

shfrytëzohen më së shumti janë 95% dhe

the 99%.

8-14

38

Shembull 1.

Dekani i shkollës së biznesit dëshiron të vlerëson

numrin mesatar të orëve që një student punon

gjatë javës. Mostra prej 49 studentëve ka treguar

mesataren për 24 orë brenda javës me devijim

standard 4 orë.

Pika e vlerësimit është 24 orë (mesatarja e

mostrës).

Cili është intervali i besueshmërisë me 95% për

numrin mesatar të orëve të punës gjatë javës të

studentëve të shkollës së biznesit?

8-20

20

39

SHEMBULL 1 vazhdim

Duke shfrytëzuar 95% intervali i besueshmërisë

për mesataren e populacionit kemi:

Përfundimet e intervalit të besimit janë kufijtë e

besueshmërisë .

Kufiri i ulët i besueshmërisë është 22.88 orë dhe

Kufiri i lartë i besueshmërisë është 25.12 orë.

24 1.96(4 / 7) 22.88 25.12gjer te

8-21

40

Vlerësimi i intervalit

Intervali i besueshmërisë 95% nënkupton se 95% e intervaleve të konstruktuara do të përmbajë parametrin e vlerësuar të populacionit, ose 95% e mesatareve të mostrave për një mostër me madhësi të caktuar do të gjindet brenda 1.96 devijime standarde për mesataren aritmetike të supozuar të populacionit.

Intervali i besueshmërisë 99% nënkupton se 99% e mesatareve të mostrës për madhësi të caktuar të mostrës do të jetë në mes të 2.58 devijime standarde për mesataren e supozuar të populacionit.

8-15

21

Intervali i besueshmërisë për

mesataren e populimit

95% Internali i besueshmerise per mesataren e populimit :

1.96 , 1.96

zakonisht shkruhet

1.96

x xn n

xn

Lakorja standarde normale

I.B

P(-1.96 z 1.96) =0.95

Fusha =

Fusha =

Fusha =

22

Shembull 60, 30.4, 1.6

95% Intervali i besueshmerise per

1.630.4 1.96

60

30.4 .405

(29.995,30.805)

Ne jemi 95% konfident se intervali

prej 29.995 deri te 30.805 permban

vleren e mesatares aritmetike te populimit

n x

98% Intervali i besueshmërisë

2.33 , 2.33

E shkruar zakonisht

2.33

Per

x xn n

xn

23

Lakorja standarde normale

Fusha =

Fusha = Fusha =

46

Intervalet e besueshmërisë 99% për

mestaren e populacionit ( µ )

Për 99% kur n≥30, intervali i

besueshmërisë për mesataren e

populacionit ( µ ) është:

2.58mXn

8-18

24

Intervalet e besueshmërisë për proporcionin e

populacionit. Teoria dhe procedura e përcaktimit të

intervalit të besimit për proporcione është

e njejte sikurse te intervali i mesatares

aritmetike.

Pika e vlerësimit për proorcinin e

popullimit gjindet duke vënë në raport

numrin e rasteve të volitshme me numrin

përgjithshëm në mostër.

47

48

Intervalet e besueshmërisë për

proporcionin e populacionit.

8-22

Intervali i besueshmërisë për proporcionin

e populacionit vlerësohet përmes :

ose pp z

p pp z p zp

25

Intervalet e besueshmërisë për proporcionin e

populacionit.

49

p pp z p zp

p - Proporcioni i mostrës

- Variabla e standardizuar për nivelin e dhënë të

besueshmërisë

- Gabimi standard i proporcionit

p - Proporcioni i popullimit

p

Z

50

Gabimi standard i proporcionit.

8-22

1

p

p q

n

p proporconi i mostres

mp

n

q p

n numri i elementevenemoster

m numri i rastevetevolitshme

26

51

SHEMBULL

Nga 900 konsumatorë , 414 kanë deklaruar se janë të kënaqur me produktin e ri. Përcaktoni intervalin e besimit të proporcionit të populacionit me koeficient të probabilitetit 99% .

(0.46)(0.54)0.46 2.58 ose 0.46 0.04128

900

0,41872 0,50128

41,872% 50,128%

p

p

8-23

4140,46, 0.54

900

mp q

n

Faktori korrigjues i populacionit të

fundëm- te mesatarja Populacioni që e ka kufirin e sipërm të fiksuar /të

ditur, thuhet se është populacon i fundëm.

Për populacionin e fundëm, ku numri total i

objekteve është N dhe madhësia e mostrës është

n, duhet të bëhet përshtatja e gabimit standard

të mesatareve të mostrës dhe të proporconeve:

Gabimi standard i mesatareve të

mostrës:

xn

N n

N

1

8-24

Faktori

korrigjues

27

Faktori korrigjues i populacionit të fundëm-

te proporcionet

8-25

Gabimi standard i proporcioneve të mostrës:

Kjo përshtatje quhet Faktori korrigjues i

populacionit të fundëm.

Vërejtje: Nëse n/N < 0.05, faktori korrigjues i

popullimit të fundëm injorohet./nuk përdoret

(1 )

1p

p p N n

n N

Faktori

korrigjues

Shembull

8-26

Duke marrë në konsiderim të dhënat nga shembulli I

pare konstruktoni intervalin e besueshmërisë për

mesatare artimetike me nivel të konfidencës 95%

për numrin mesatar të sudentëve brenda javës nëse

në kampus ka 500 studentë.

Meqë n/N = 49/500 = 0.098>0.05, dhe populacioni

është i fundëm N=500, ne duhet të përdorim

faktorin korrigjues të populaconit të fundëm.

24 1964

49

500 49

500 122 9352 250648

. ( )( ) [ . , . ]

28

55

Zgjedhja e madhësisë së mostrës

Janë tre faktorë që determinojnë madhësinë

e mostrës:

Shkalla e zgjedhur e besueshmërisë; Kjo

zakonisht është 0.95 ose 0.99, por mund të jetë

çfardo niveli.

Gabimi maksimal i lejuar; Duhet të vendoset

për këtë. Është gabimi maksimal që mund të

tolerohet në një nivel të dhënë të

besueshmërisë.

Variacioni në populacion. Matet me devijimin

standard (Natyrisht, populacioni me variacion më

të vogël kërkon mostra më të vogla)

8-27

56

Zgjedhja e madhësisë së mostrës për mesatare

aritmetike

Madhësia e mostrës për mesatare: Formula e

përshtatshme për llogaritjen e madhësisë së

mostrës është:

ku : E- gabimi i lejuar,

Z -është vlera që është e lidhur me shkallën e

zgjedhur të besueshmërisë dhe

S - devijimi i mostrës nga anketa pilot.

2Z S

nE

8-28

29

Shembull

Një grup i konsumatorëve dëshiron të vlerësojë

hargjmet mesatare të rrymës elektrike për një famillje

në muajin korrik. Bazuar në studimet e mëhershme

devijimi standard është vlerësuar të jetë $20. Me nivel

të signifikancës prej 99% , me gabimin maksimal të

lejuar prej $5.00. Sa duhet të jetë e madhe mostra?

Zgjidhje

8-29

2 22,58 20

1075

Z Sn

E

Madhësia e mostrës për proporcione

8-30

Formula për përcaktimin e madhësisë së

mostrës në rastin e proporcioneve është:

p- është proporcioni i vlerësuar i bazuar në përvojën

e kaluar ose nga anketa pilot;

Z – është vlera e lidhur me shkallën e

besueshmërisë së zgjedhur;

E – maksimumi i gabimit të lejuar që mund të toleroj

hulumtuesi.

n p pZ

E

( )1

2

30

Shembull Një klub për kafshë shtëpiake dëshiron të

vlerësojë proporcionin e fëmijëve që kanë qen

në shtëpi. Nëse klubi dëshiron që vlerësimi të

jetë në mes 3% të proporcionit të populacionit

sa fëmijë duhet të përfshihen në mostër?

Supozojmë se niveli i signifikancës është 95%

dhe se klubi ka vlerësuar se 30% e fëmijëve

kanë qen në shtëpi.

8-31

2 21.96

(1 ) (0,3 0.7) 8970.03

Zn p p

E

Konceptet kyçe Distribucioni i mostrave

Distribucioni i mesatareve të mostrës

Gabimi i rastësishëm i mostrës

Mesatarja e mesatareve të mostrës

Devijimi (gabimi ) standard i mesatareve të

mostrës;

Pika e vlerësimit të parametrave të populacionit

Intervali i besimit për mesatare dhe proporcion të

populacionit

Vlerësimi madhësisë së mostrës për mesatare

dhe proporcion

60