Distribuciones de frecuencias

Toma de datos: Es la obtención de una colección de los mismos que no han sido ordenados numéricamente.

Ejemplo: Conjunto de alturas de 100 estudiantes, sacados de unalista alfabética de una Universidad.

Ordenación: Es una colocación de los datos numéricos tomados,en orden creciente o decreciente de magnitud.

Ejemplo:32 , 45, 100, 120 , 145, 186, 198, 200 ( ordenación creciente ) 200, 198, 186, 145, 120, 100, 45, 32 ( ordenación decreciente)

Al recoger información se obtiene un gran número de datos,que conviene presentar en forma resumida en una tabla llamada distribución de frecuencias.

Frecuencia absoluta: es el número de veces que se repite un valorde la variable.

Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas, en la asignatura de Matemática, por un grupo de 30 alumnos: 7 – 3 – 5 – 4 – 3 – 4 – 5 – 6 – 5 – 7 – 3 – 2 – 6 – 5 – 4 – 6 – 3 - 4 – 5 – 2 - 7 – 4 – 5 – 7 – 6 – 5 – 4 – 2 –3 - 1

Variable Estadística Frecuencia absoluta

Calificación Nº de alumnos

1 1

2 3

3 5

4 6

5 7

6 4

7 4

Frecuencia acumulada hasta un valor determinado: es el número de observaciones menor o igual al valor considerado. Se obtiene sumando sucesivamente las frecuencias absolutas.

Ejemplo:

3047

2646

2275

1564

953

432

111

-------------Nº de alumnosCalificación

Frecuencia acumuladaFrecuencia absolutaVariable estadística

Frecuencia relativa: es el cuociente entre la frecuencia absolutay el número total de individuos de la muestra

Variable estadística Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

Calificación Nº de alumnos -----------

1 1 1 / 30

2 3 3 / 30

3 5 5 / 30

4 6 6 / 30

5 7 7 / 30

6 4 4 / 30

7 4 4 / 30

NOTA: La suma de las frecuencias relativas es igual a 1Ej. 1 / 30 + 3 / 30 + 5 / 30 + 6 / 30 + 7 / 30 + 4 / 30 + 4 / 30 = 30 / 30 = 1

Frecuencia relativa porcentual: Es la frecuencia relativa expresada en porcentajes.

Variable estadística

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa porcentual

Calificación Nº de alumnos -----------

1 1 ( 1 / 30 ) • 100

2 3 ( 3 / 30 ) • 100

3 5 ( 5 / 30 ) • 100

4 6 ( 6 / 30 ) • 100

5 7 ( 7 / 30 ) • 100

6 4 ( 4 / 30 ) • 100

7 4 ( 4 / 30 ) • 100

NOTA: La suma de las frecuencias relativas porcentuales es el 100%

Ejercicios

Los siguientes datos son las calificaciones de un grupo de 27 alumnos en la asignatura de matemática: 5 6 5 7 4 2 3 5 4 6 7 5 4 6 5 4 5 6 4 3 4 6 7 5 4 5 6

a) Construya una tabla de distribución de frecuenciasb) ¿Cuántos alumnos tienen nota inferior a 5? c) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota 4? d) ¿Cuántos alumnos tiene nota 6? e) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene nota superior o igual a 4?

RespuestaCalificación frecuencia Frecuencia

acumuladaFrecuencia relativa

Frec. relat. porcentual

2 1 1 1 / 27 = 0,037 3,7

3 2 3 2 / 27 = 0,074 7,4

4 7 10 7 / 27 = 0,259 25,9

5 8 18 8 / 27 = 0,296 29,6

6 6 24 6 / 27 = 0,222 22,2

7 3 27 3 / 27 = 0,111 11,1

b) 10 alumnos tienen nota inferior a 5,0c) El 25,9% de los alumnos tiene nota 4,0d) 6 alumnos tienen nota 6,0 e) El 88,8% de los alumnos tiene nota igual o superior a 4,0

Una encuesta realizada a alumnos de Cuarto Medio acerca de su futura profesión, indica lo siguiente:

Variable

profesión

F. absoluta

Nº de alumnos

Ingeniería 10

Medicina 6

Economía 12

Periodismo 8

Derecho 5

Arquitectura 9

Otras 10

a) Completar la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?c) ¿Cuál es la profesión que tiene mayor preferencia?d) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere arquitectura?e) ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere medicina?

Respuesta

Profesión Frecuencia F. acumulada F. relativa F. relat. %

Ingeniería 10 10 10 / 60 = 0,166 16,6

Medicina 6 16 6 / 60 = 0,100 10,0

Economía 12 28 12 / 60 = 0,200 20,0

Periodismo 8 36 8 / 60 = 0,133 13,3

Derecho 5 41 5 / 60 = 0,083 8.3

Arquitectura 9 50 9 / 60 = 0,150 15,0

Otros 10 60 10 / 60 = 0,166 16,6

b) 60 alumnos fueron encuestados c) Economía es la profesión con mayor frecuenciad) El 15% de los alumnos prefiere Arquitecturae) El 10% de los alumnos prefiere Medicina

En una muestra de 40 familias, el número de hijos se distribuye según la tabla:

Variable F. absoluta

Nº de hijos Nº de familias

1 2

2 8

3 12

4 14

5 3

6 1

a) Completa la tabla con frecuencia acumulada, relativa y relativa porcentual.b) ¿Cuántas familias tienen menos de 4 hijos?c) ¿Cuántas familias tienen 5 hijos?d) ¿Cuál es la frecuencia relativa de las familias que tienen 2 hijos? e) ¿Qué porcentaje de familias tiene 6 hijos?f) ¿Qué fracción representan las familias con 2 hijos?g) ¿Qué fracción representan las familias con 4 hijos?

RespuestaNº hijos Frecuencia F. acumulada F, relativa Frec. Relat. %

1 2 2 2 / 40 = 0,05 5

2 8 10 8 / 40 = 0,20 20

3 12 22 12 / 40 = 0,30 30

4 14 36 14 / 40 = 0,35 35

5 3 39 3 / 40 = 0,075 7,5

6 1 40 1 / 40 = 0,025 2,5

b) 22 familias tienen menos de 4 hijos c) 3 familias tienen 5 hijos d) La frecuencia relativa de familias con 2 hijos es de 0,20 e) El 2,5% de las familias tiene 6 hijosf) 1 / 5 de las familias tienen 2 hijosg) 7 / 20 de las familias tienen 4 hijos

Distribución de frecuencias con datos agrupados

Rango: Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de ellos.

Ejemplo: Si la estatura del alumno más alto de un curso es 1,92 m y la del menor es 1,68 m, entonces el rango de estos datos es: 1,92 m – 1,68 m = 0,24 m = 24 cm.

Clases o intervalos : En la ordenación de datos muy numerosos, es usual presentarlos agrupados y ordenados en clases o categorías.

Ejemplo: En un grupo de 50 alumnos se registraron los siguientes puntajes en una prueba:

61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87

Para ordenarlos y agruparlos, se establecen los intervalos que se usarán, determinando el rango de los datos.

Dato mayor: 88 Dato menor: 61 Rango: 88 – 61 = 27

De acuerdo con el rango y teniendo en cuenta la cantidad de datos, se forman los intervalos.

Si quisiéramos formar 6 intervalos, se tiene que dividir el rangocon la cantidad deseada.27 : 6 = 4, 5 se aproxima a 5 ( amplitud aparente del intervalo)

Intervalo de puntajes Frecuencias

60 – 64 5

65 – 69 5

70 – 74 8

57 – 79 12

80 – 84 16

85 – 89 4

El intervalo 60 – 64 es unsímbolo para representara la clase respectiva

Los valores 60 y 64 sonlos límites aparentes dela clase.

Los límites reales de una clase se obtienen calculando el promedio entre el límite aparente superior de una clase y el límite aparente inferior de la clase siguiente.

Ejemplo: Calcular los límites reales de la clase 70 – 74

Lri = 2

7069 =

2

139 = 69,5 Límite real inferior

Lrs = 2

7574 =

2

149 = 75,5 Límite real superior

Tamaño o amplitud de una clase: Corresponde a la diferencia entre su límite real superior y el límite real inferior. Ejemplo: 75,5 – 69,5 = 5 Su amplitud es igual a 5

NOTA: Todas las clases tienen igual tamaño.

Marca de clase: Es el punto medio de un intervalo de clase.

Ejemplo.

7270 – 74

6765 – 69

6260 – 64

Marca de claseIntervalo

Frecuencia total: Es la suma de las frecuencias absolutas de todas las clases.

Ejemplo:

1011 -15

116 – 10

121 – 5

FrecuenciaIntervalo

Frecuencia total 12 + 11 + 10 = 33

Ejercicios

61 76 66 77 70 83 88 63 77 67 68 72 82 78 74 84 63 76 84 78 75 72 75 83 80 7379 83 75 67 72 83 83 84 84 67 71 87 8077 64 77 82 83 85 79 72 83 83 87

Dado los siguientes puntajes, determinar:

a) Determinar seis intervalos b) Determinar el límite real superior e inferior de cada clasec) Determinar la marca de clase de cada intervalod) Determinar la frecuencia absoluta

RespuestaSe debe determinar el rango: Pje mayor – Pje menor: 88 – 61 = 27

Luego, 27 : 6 = 4,5 se aproxima a 5 la amplitud del intervalo

Intervalo Lri - Lrs Marca de clase Frecuencia

60 – 64 59,5 – 64,5 62 5

65 – 69 64,5 – 69,5 67 5

70 – 74 69,5 – 74,5 72 8

75 – 79 74,5 – 79,5 77 12

80 – 84 79,5 – 84,5 82 16

85 – 89 84,5 – 89,5 87 4

Ordena los siguientes datos de menor a mayor y calcula su rango: 3,22 2,92 3,01 4,48 5,06 4,31 2,98 3,07

Respuesta: Ordenado: 2,92 2,98 3,01 3,07 3,22 4,31 4,48 5,06Rango: 5,06 – 2,92 = 2,14

La siguiente distribución de frecuencias corresponde a los salarios de los empleados de una fábrica:

Salarios ( $ ) Frecuencia

50.000 – 54.999 7

55.000 – 59.999 18

60.000 – 64.999 32

65.000 – 69.999 45

70.000 – 74.999 52

75.000 – 79.999 28

80.000 – 84.999 16

85.000 – 89.999 8

a) Calcula los límites reales del tercer intervalo

Respuesta: Lri = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2

Lrs = 64.999 + 65.000 = 64.999,5 2

b) Calcula el tamaño de los intervalos

Respuesta: Lrs – Lri = amplitud 64.999,5 - 59.999,5 = 5000

c) Determina el límite aparente inferior del séptimo intervalo

Respuesta: [80.000 – 84.999] Límite aparente inferior: 80.000

d) Determina el límite real superior del segundo intervalo

Respuesta: [55.000 – 59.999] Lrs = 59.999 + 60.000 = 59.999,5 2

e) Escribe en orden la marca de claseRespuesta:

87.499,585.000 – 89.999

82.499,580.000 – 84.999

77.499,575.000 – 79.999

72.499,570.000 – 74.999

67.499,565.000 – 69.999

62.499,560.000 – 64.999

57.499,555.000 – 59.999

52.499,550.000 – 54.999

Marca de claseSalarios ( $ )

f) Determina la frecuencia acumulada.

20685.000 – 89.999

19880.000 – 84.999

18275.000 – 79.999

15470.000 – 74.999

10265.000 – 69.999

5760.000 – 64.999

2555.000 – 59.999

750.000 – 54.999

FrecuenciaSalarios ( $ )

Respuesta:

acum

g) Determinar la frecuencia relativa

8 / 206 = 0,03885.000 – 89.999

16 / 206 = 0,07780.000 – 84.999

28 / 206 = 0,13575.000 – 79.999

52 / 206 = 0,25270.000 – 74.999

45 / 206 = 0,21865.000 – 69.999

32 / 206 = 0,15560.000 – 64.999

18 / 206 = 0,08755.000 – 59.999

7 / 206 = 0,03350.000 – 54.999

Frecuencia relativaSalarios ( $ )

Respuesta:

h) Determinar la frecuencia relativa porcentual

3,885.000 – 89.999

7,780.000 – 84.999

13,575.000 – 79.999

25,270.000 – 74.999

21,865.000 – 69.999

15,560.000 – 64.999

8.755.000 – 59.999

3,350.000 – 54.999

Frecuencia relativaSalarios ( $ )

Respuesta:

%

Ejercicio

Después de medir las alturas de 40 alumnos de un curso, resultaron los siguientes valores de la variable:

154 178 150 166 182 175 163 175 150 162 155 155 161 165 160 159 160 168 165 162 163 155 157 161 162 155 167 164 162 158 158 163 166 167 156 164 170 176 172 160

a) Determina el rango

Respuesta: 182 - 150 = 32

b) Determina 8 intervalos:

Respuesta: El rango es 32. Luego, 32 : 7= 4,5 (5 amplitud )

Intervalo150 – 154

155 – 159

160 – 164

165 – 169

170 – 174

175 – 179

180 – 184

c) Determinar la frecuencia

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

1

4

2

7

14

8

4

Frecuencia

d) Determinar la marca de clase de los intervalos

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

182

177

172

167

162

157

152

M de C e) Determinar el límite real inferior del tercer intervalo

Respuesta: Lri = 159 + 160 = 159,5 2

f) Determinar el límite real superior del quinto intervalo

Respuesta: Lrs = 174 + 175 = 174,5 2

g) Determinar la frecuencia acumulada

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

40

39

35

33

26

12

4

F. acumh) Determinar la frecuencia relativa porcentual

Respuesta:

180 – 184

175 – 179

170 – 174

165 – 169

160 – 164

155 – 159

150 – 154

Intervalo

2,5

10

5

17,5

35

20

10

F. Relat %

i) ¿Cuántos alumnos miden menos de 160 ?

Respuesta: 12 alumnos miden menos de 160

j) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 170 y 174 ?Respuesta: El 5% de los alumnos miden entre 170 y 174k) ¿Qué porcentaje de alumnos mide entre 160 y 174 ?

Respuesta: El 57,5 % de los alumnos mide entre 160 y 174l) ¿Cuál es la frecuencia total ?Respuesta: n = 40m) ¿Cuál es la amplitud del intervalo ?Respuesta: c = Lrs – Lri = 159,5 - 154,5 = 5