DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOREs una distribución continua de probabilidad de gran aplicación en la inferencia estadística, fundamentalmente en la contrastación de la igualdad de varianzas de dos o más poblaciones normales, y, fundamentalmente en el análisis de la varianza.

Esta es técnica que permite detectar la existencia o inexistencia de diferencias significativas entre muestras diferentes que se utiliza en todos aquellos casos en los que se quiere investigar la relevancia de un factor en el desarrollo y naturaleza de una característica.

La estadística F se define como la razón de dos variables aleatorias chi-cuadrado independientes dividida cada una entre su respectivo número de grados de libertad

La distribución se plantea partiendo de la siguiente manera:

X → X m2 (chi2 con “m” grados de libertad)

Y → Y n2 (chi2 con “n” grados de libertad)

Donde F:

F=

XmYn

Es decir: Fm,n

La función de densidad de una F se obtiene a partir de función de densidad conjunta X y Y, donde para todo valor de x>0, es decir todos los valores será positivos.

f ( x )=mm2 . n

n2 . .(m+n

2)

m2n2

• La distribución de la variable aleatoria esta dada por:

• La media y la varianzas de la distribución F son:

• La variable aleatoria F es no negativa, y la distribución tiene un sesgo hacia la derecha. La distribución F tiene una apariencia muy similar a la distribución chi-cuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parámetros proporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribución.

LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

• A medida que aumenta los grados de libertad existe tendencia hacia una normal.

• Objeto de la distribución F en la inferencia:

Comparar la variabilidad debida a diferentes fuentes.

Si tenemos:

s12 es la varianza de una muestra de tamaño N1 extraída de una población normal de varianza δ12.

s22 es la varianza de una muestra de tamaño N2 extraída de una población normal de varianza δ22.

Población normal Independientes entre si

F=

s12δ12

s22δ22

F (N 1−1) ,(N 2−1)

En particular si las dos varianzas poblacionales (δ12, δ22¿son iguales:

F=s12s22

F (N 1−1) ,(N 2−1)

Ejemplo:

• Si s12 y s2

2 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaños n1=10 y n2 =20, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre P(s1

2/s22 2.42).

• Solución:

• Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador está la población uno y en el denominador la población dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19.

• Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no están, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedaría: