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Modelli viscoelastici e approccio allo studio della meccanica del movimento dei muscoli umani.Studio della biomeccanica umana tramite i modelli viscoelastici.Concetti di anatomia utili allo studio della meccanica dei muscoli.
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Viscoelasticità lineare
VISCOELASTICITA' LINEAREViscoelastici sono quei materiali con caratteristiche sia elastiche (di Hooke) che
viscose (Newtoniano). Questi sono infatti due casi estremi di un ampio spettro di
comportamenti.
Fenomeni viscoelastici caratteristici sono:
a). RILASSAMENTO (tensione a deformazione costante): quando un corpo è
rapidamente deformato e la deformazione è mantenuta costante la tensione indotta
nel corpo decresce nel tempo.
b). CREEP (deformazione a carico costante): quando un corpo è rapidamente posto
in tensione e la tensione è mantenuta costante il corpo continua a deformarsi.
c). ISTERESI: In un corpo sottoposto ad un carico ciclico, la relazione tensione-
deformazione per carichi crescenti è, in certa misura, diversa da quella per carichi
decrescenti.
Viscoelasticità lineare
� Limitandosi al caso monodimensionale, il comportamento viscoelastico dei materiali è spesso descritto mediante modelli meccanici, composti da combinazioni di molle lineari (prive di massa) con costanti elastiche Ei e di ammortizzatori viscosi con coefficienti di viscosità µ.
� Indichiamo con σ la forza e con ε la deformazione, ricordando che la deformazione risponde alla definizione ε = ∆l/l , rapporto tra l'allungamento e la lunghezza iniziale del corpo considerato.
� Nella viscoelasticità lineare sforzo e deformazione sono legati da una relazione del tipo:
0 1 2 0 1 2....... .......n n
n nn na a a a b b b bσ σ σ ε ε ε+ + + + = + + + +��
comportamento viscoelastico
comportamento lineare elastico
σ σσ
ε
E
fluido newtoniano
ε
σσ µ
solido viscoelastico
E σµ
σ
ε2ε1
µ
Modello di Maxwell
E
ε
σσ
µ
Modello di Voigt
ε2ε1E2
ε
E1
σσ
µ
Modello di Kelvin
Maxwell
La deformazione complessiva è la somma della deformazione della molla
e di quella dello smorzatore, cioè dell'elemento elastico e di quello viscoso.
Si ha quindi:
1 2
1 2
dtE
E
EE
σ σε ε ε
µ
σ σε ε ε
µ
σ σ εµ
= + = +
= + = +
+ =
∫�
� � �
��
rilassamento-1
t
ε (t)=1
0 0 0
0
integrando si ha:
( ) ( ) (0)
in cui si deve ricordare che la derivata della funzione a gradino
è l'impulso unitario (0).Si ha quindi:
s
E E Et t t
E E Et t t
Et
Ee e E e
de d d e E e d
d
e E
µ µ µ
τ τ τµ µ µ
µ
σ σ εµ
σ τ σ δ ττ
δ
σ σ
+ ==
= =
− =
∫ ∫ ∫
��
0e si assume 0 si ottiene:
Et
Ee µ
σ
σ−
=
=
rilassamento-2
t
E ( )
Et
t Ee µσ−
=
1
2 11 1
Et
Et
eE
e
µ
µ
σε
ε ε
−
−
= =
= − = −
t
1
2( ) 1
Et
t e µε−
= −
1( )
Et
t e µε−
=
creep
1
2
0
1( )
1( )
t
tE E
t d t t
σε
σ σε τ
µ µ µ
= =
= = =∫
t
ε1 (t)=1/E
t
ε2 (t)=1/µ*t
t
1 2
1 1t
Eε ε
µ+ = +
Voigt
1 2 Eσ σ σ ε µε= + = + �
Rilassamento *1( ) (0)E tσ µδ= +
t
E
* (0) Eσ µ δ= +
CREEP
0
0 0
1 11( ) 0 1( )*
1 1( ) 1( )* ( ) 1( )*
1 1 1( 1) ( 1) (1 )
E E Et t t
E E E Et tt t
E E E E Et t
E Et in cui e e t e
d de t e e d e d
dt d
e e e e eE E E
µ µ µ
τ τµ µ µ µ
τ τ τµ µ µ µ µ
ε ε ε ε εµ µ µ µ
ε ε τ τ τµ τ µ
µ µε ε
µ µ
− −
+ = = + =
= =
= − = − = −
∫ ∫
� �
creep
1
t
1/E
1( ) (1 )
E
t eE
τµε
−
= −
t
1( ) 1
Et
t e µσ−
= −
2( )
Et
t e µσ−
=
considerazioni
KELVIN
1 1 2 2 2 21 2
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
1 2 1 22 1 2
1 1 2 1
(1 )
(1 ) (1 )
E E
E E E
E E
E E
E EE E
E E E E
σ σ σ σ σ σ σ ε σ εε ε ε
µ µ µ
σ σε ε
µ µ
µ σ µσ ε µ ε ε ε
− − − −= + = + = + = +
+ = + +
+ = + + = + +
�� � � �� � �
��
�� �
1
1
1 2
2 1
2
costante di tempo del rilassamento a deformazione costante
(1 ) costante di tempo del creep a sforzo costante
si ottiene
( )
TE
ET
E E
T E T
ε
σ
ε σ
µ
µ
σ σ ε ε
=
= +
+ = + ��
2
2
20 0
0
1 1( 1( ) (0)) moltiplicando tutti i termini per
1 1( ) ( 1( ) (0) )
integrando si ha:
1( ) ( 1( ) (0)
t
T
t t t t t
T T T T T
t
t tT T T
TE t e
T T T
Tde e e E t e e
T dt T T
Tde d e E e d
d T T
ε
ε ε ε ε ε
ε ε ε
σ
ε ε σ
σ
ε ε σ
τ τ τ
σ
ε σ
σ σ δ
σ σ σ δ
σ τ σ τ τ δτ
+ = +
+ = = +
= = +
∫ ∫
�
�
0
0 2 2
0
2 2 0 2 1 2
0 1
)
( 1) 1 ( 1)
ponendo 0 :
( ) ( 1) 1 (1 ) ponendo (1 ) :
( ) ( )
tt
T
T T T
T T T
T
e d
T T Te E e E e
T T T
si ha
T T Tt E e e E e E E si ha
T T T
t e
ε
ε ε ε
ε ε ε
ε
τ τ τ
σ ε σ
ε σ ε
τ τ τ
σ σ σ
ε ε ε
τ
τ
σ σ
σ
σ α α
σ α α
− −
−
− = − + = − +
=
= − + = − − = = −
= +
∫
rilassamento
t
E2
E2+E1
RILASSAMENTO
creep
0 1
2
0 1
2 2
1( ) 1 (1 ) ( )
1 1(1 )
T TTt e e
E T
Tcon e
E E T
ε ε
τ τ
ε
σ
ε
σ
ε β β
β β
= − − = −
= = −
t
1/E2
2 1 2
1 1T
E T E E
ε
σ
=+
EQUIVALENZA
E2
ε
E1
σσ
µ
E3
ε2ε1
E2
ε
E1
σσ
µ
Spazio degli stati
X AX BI
U CX DI
= +
= +
�I = ε ε ε ε U = σ σ σ σ
X
1 1 2 1 2 1 12
1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2
( ) ( )
( ) ( )
E E I E EX I
E E E X E E I
σ ε ε εε
µ µ µ µ µ
σ ε ε ε
− −= = = = −
= − + = − + +
�
con X(0) = 0
Creep
I = σ σ σ σ U = ε ε ε ε X
1 2 2
1 2
1 2
1 1 2 1 2
1 1 1 2 1 1 1 22 2 2
1 1 1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 2
1 1 2 1 1
1
1 2 1 2
( )
( )
(1 ) (1 )
in altri termini:
(1 ) (1 )
1
E E
EU
E E
poichè E
E E E E E E E
E E E E E
E E E EX X I
E E E
EU X I
E E E E
σ ε ε ε
σ εε
σ µ ε ε ε
σ εε ε ε σ
µ µ µ µ
µ µ
= − +
+= =
+
= = −
+= − + = − − + +
+ +
= − − + ++
= ++ +
�
�
�
modelli generalizzati- Kelvin
modelli generalizzati - Maxwell
modelli generalizzati
modelli generalizzati
modello di boltzman
� La formulazione più generale sotto l’assunzione di linearità tra causa ed effetto è dovuta a Boltzman.Se la funzione σσσσ(t) è continua e differenziabile l’incremento di carico all’istante τ τ τ τ in un intervallo din un intervallo din un intervallo din un intervallo dττττèèèè (d((d((d((d(σ)σ)σ)σ)/d/d/d/dττττ)*d)*d)*d)*dττττ. Questo elemento produrr. Questo elemento produrr. Questo elemento produrr. Questo elemento produrràààà al tempo t > al tempo t > al tempo t > al tempo t > τ τ τ τ llll’’’’effetto:effetto:effetto:effetto:
dove c(t-ττττ) ) ) ) èèèè la funzione di creep, ciola funzione di creep, ciola funzione di creep, ciola funzione di creep, cioèèèè la risposta del materiale ad uno step la risposta del materiale ad uno step la risposta del materiale ad uno step la risposta del materiale ad uno step unitario. Se lunitario. Se lunitario. Se lunitario. Se l’’’’inizio dei tempi inizio dei tempi inizio dei tempi inizio dei tempi èèèè preso allpreso allpreso allpreso all’’’’inizio del moto e del carico si ha: inizio del moto e del carico si ha: inizio del moto e del carico si ha: inizio del moto e del carico si ha:
Boltzman
sollecitazioni armoniche
energia dissipatala massima energia dissipata si ha per:
Il muscolo scheletrico
Struttura
Struttura di attivazione del muscolo
Struttura delle fibre muscolari
Il sarcomero
Filamento
Struttura del sarcomero
Giunzione neuromuscolare
Contrazione
La contrazione
La contrazione
Impulso di eccitazione
Tetano
Caratteristica del muscolo
Fibre lente e veloci
Sinergia
Esperimenti di Hill
Relazione forza velocità
Modello di Hill
Forma adimensionale
Forma adimensionale
Forza-Lunghezza
Le costanti
Modello a tre elementi di Hill
Significato dei parametri
Il significato dei vari elementi
Equazioni di base
Le equazioni
Caratteristica di PE
Caratteristica di CE
���������� ���� �� ����
������� �� ����������
Equazioni
Schema a blocchi
Prova isotonica
Funzione di attivazione
Caratterizzazione di SE
Caratterizzazione di SE
Forza sviluppata dopo l’accorciamento
Funzione di trasferimento
Muscolo eccitato da forza esterna
Legge di spostamento in input
Appoggio monopodalico
Appoggio monopodalico
Appoggio monopodalico
Appoggio monopodalico
Cooperazione muscolare
Struttura del femore
Struttura di un giunto
Coefficienti d’attrito
Funzione dei muscoli per gruppi
Struttura degli arti inferiori
Ginocchio
Caratteristica di un legamento
Il problema della ridondanza
Le equazioni di equilibrio statico
, , ,
, , ,
, , ,
0
0
0
0
i j k
e x c x m xi j k
i j k
e y c y m yi j k
i j k
e z c z m zi j k
i j k
e e c c m m ni j m n
F F F
F F F
F F F
+ + =
+ + =
+ + =
× + × + × + =
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑r F r F r F M
Si tratta di 6 equazioni scalari, sufficienti per la determinazione di 6 parametri incogniti. In un caso piano
le equazioni si riducono a 3.
Ridondanza
� le incognite sono in generale in numero molto maggiore delle
equazioni disponibili a causa del fatto che in ogni giunto agiscono
una molteplicità di muscoli. Se ci riferiamo ad un sistema
equivalente nel piano potremo considerare invece che le singole
azioni muscolari il loro momento risultante insieme alle due
componenti delle azioni di contatto nel giunto. In questo caso il
sistema risulta determinato.
Equilibrio
statico
Un problema
ortopedico
Soluzione
Flessione frontale del ginocchio
Soltanto l’introduzione di qualche
elemento noto, come la forza esercitata
dal legamento collaterale laterale
permette di risolvere il problema. Ci si
può riferire ad esempio alla caratteristica
meccanica del legamento. Un’altra
possibilità è data dal principio dei lavori
virtuali.230 N
Modello della flessione nel piano frontale
F1
N
FM
b
c
a
FL
1( ( )* ( , ) )* ( )* 1* ( )* 0m
f t FM N a f t F b FL cϑ ϑ ϑ+ − + =�
L’effetto dinamico
� Nel caso precedente entra in gioco anche il
tempo necessario per attivare il muscolo,
dell’ordine di 20 ms. Se l’azione esterna
dovesse essere molto più rapida, l’unica
possibilità di reazione sarebbe data dal
legamento.
Uno schema logico del problema
LCS0
V0 C
LC=LC-∆
∆
∆MFL
∆�
∆L η S
∆�
F1 N
∫
Qualche
risultato
Effetto di una forza laterale sulle azioni di contatto
Effetto di un’azione orizzontale
Ottimizzazione delle
forze nei tendini della
mano
Metodi di ottimizzazione
1, 2 7 1 2 7
11 1 12 2 17 7
21 1 22 2 27 7
::
( ,....... ) .......
:
.........
( ......... )
0 1, 2,....,7
x
y
i
MINIMIZZARE
f F F F F F F
sotto lecondizioni di vincolo
b F b F b F M
b F b F b F M
F per i
= + + +
+ + + = −
− + + + = −
≥ =
Risultati
Funzione obbiettivo
� piu’ realisticamente la funzione obbiettivo può essere assunta come:
71 21, 2 7
2 2 7
( ,....... ) .......FF F
f F F FA A A
= + + +
Esempio
F1
N
FM
b
c
a
FL
minimizzare:
f = FM+FL
sotto le condizioni
FM*a + FL*c = F1*b – N*a
Ottimizzazione
� Si osservi che ponendo le incognite FM e FL rappresentate dalle lettere x1, x2 l’espressione:
� che intercetta l’asse x1 nel punto x1 = cost/a e l’asse x2 nel punto x2 =
cost/c. Anche l’equazione x1 + x2 = cost rappresenta una retta inclinata
di 135°rispetto all’asse x1. Una condizione ulteriore è che le forze muscolari e tendinee non possono essere negative, cioè di
compressione, e devono avere limiti imposti dalle caratteristiche di resistenza del materiale. Si ha quindi :
1 1,
2 2,
0
0
MAX
MAX
x x
x x
≤ ≤
≤ ≤
L’ottimizzazione come problema
geometrico
x1MAX
x2
x2MAX
x1+ x2= cost
ax1+ cx2= cost
x1
Il ginocchio con linprog
dati antropometrici
Proporzioni delle sezioni del corpo
Effetto delle forze d’inerzia
Effetto della variazione del
punto di contatto
nell’articolazione
Determinazione della forzadi contatto e della forza sul legamento patellare
Alcuni esercizi
Esercizi
esercizi
esercizi
esercizi
Struttura del materiale osseo
Struttura
del
materiale
osseo
Materiale ortotropo
Direzioni di
anisotropia
Caratteristiche dell’osso corticale
Sforzi di rottura
Sforzi-deformazioni
Dipendenza dalla densità
Contenuto di calcio
Fatica e creep
Fatica e creep
Danneggiamento del materiale osseo
Sensibilita’ alla velocità di applicazione del carico
Danneggiamento
Proprietà del’osso trabecolare
Effetto di “stress shielding”
Un semplice modello del materiale osseo
Dominio di snervamento
Proprietà anisotropiche dell’osso femorale corticale
Tendini e legamenti
Un modello micromeccanico dei tessuti a base di collagene
Proprietà strutturali dei legamenti
Proprietà di diversi fasci di fibre nel ACL
Relazione ipotetica tra età e modo di rottura
Effetti del ricovero e dell’immobilità
Tipi di matrice
Proprietà meccaniche della cartilagine articolare
Prova di compressione della cartilagine articolare
Prove sulla cartilagine articolare
Dipendenza dal contenuto d’acqua
Dipendenza della permeabilità
Struttura dei dischi intervertebrali
Meccanismo di carico per un disco
Confronto tra disco sano e deteriorato
Curve di creep
Risposta al creep per dischi sani e degenerati
Ernia discale
Tensione nel tendine patellare
Meccanica della caduta
Modello del braccio umano