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dida

ttica

in re

tePolitecnico di Torino, maggio 2003

Dipartimento di Energetica

Fisica Tecnica AmbientaleParte II: trasporto di calore e di massa

G.V. Fracastoro

otto editore

ottoIPERTESTIQuesto file contiene elementi di ipertesto, segnalati mediante l'uso di oggetti colorati:

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ver. 1.0 13.05.03

PARTE IItrasporto di calore e di massa

WWW.POLITO.IT

Giovanni Vincenzo Fracastoro

Fisica Tecnica Ambientaleparte II - trasporto di calore e di massa

Prima edizione maggio 2003

vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuato, compresa lafotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata.

INDICE

1. Generalit sulla trasmissione del calore e conduzione 69

1.1. Conduzione e legge di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 69

1.2. Equazione generale della conduzione . . . . . . . . . . . 72

1.3. Condizioni al contorno e scambio termico misto . . . . 75

1.4. Parete piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.5. Parete cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.6. Transitori termici in sistemi a capacit termica concentrata 85

1.7. Alcuni problemi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2. Irraggiamento 95

2.1. Leggi del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.2. Caratteristiche radiative delle superfici reali . . . . . . . 98

2.3. Scambio termico per irraggiamento fra corpi neri . . . . 99

2.4. Scambio termico per irraggiamento fra superfici grigie . 101

3. Convezione 105

3.1. Regime di moto e viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.2. Concetto di strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.3. Analisi dimensionale per la convezione forzata . . . . . . 110

3.4. Convezione naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

67

4. Problemi termoigrometrici nelle pareti edilizie 1174.1. Scambio termico misto in intercapedini . . . . . . . . . 1174.2. Diagramma (T,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.3. Trasmissione del calore in pareti opache in presenza di .

radiazione solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4. Il problema della condensa superficiale . . . . . . . . . . 1224.5. Diffusione del vapore e condensa interstiziale . . . . . . 1244.6. Trasmissione del calore in pareti vetrate . . . . . . . . . 130

68

1. GENERALIT SULLA TRASMISSIONE DELCALORE E CONDUZIONE

La Parte della Fisica Tecnica che studia il trasferimento di calore allinterno diun corpo o fra corpi diversi detta Termocinetica o Trasmissione del Calore.

Per meglio comprendere lambito di studio della Termocinetica si pu dire cheessa inizia l dove finisce la Termodinamica. Questultima, infatti, ci consentedi calcolare lo stato termico che si raggiunge in condizioni di equilibrio, manon le leggi con cui si perviene a queste condizioni. Ad esempio, ci consentedi stimare la temperatura finale di due corpi messi a contatto, ma non lavelocit di evoluzione delle loro temperature. Questo appunto il compitodella Trasmissione del Calore.

Si gi detto che il calore energia in transito per differenza di temperatura;sebbene nei problemi reali sia abbastanza raro che si verifichino isolatamente,si distinguono tre modi fondamentali di trasmissione del calore: conduzione,irraggiamento e convezione. Inizieremo con la trattazione della conduzione,ma poich la distribuzione di temperatura allinterno di un corpo dipende daquello che avviene sul suo contorno, sar necessario fornire anche qualcheinformazione preliminare sulle altre modalit di scambio termico.

1.1. CONDUZIONE E LEGGE DI FOURIER

Nella conduzione lo scambio di energia termica avviene per scambio di energia

cinetica molecolare (fluidi e dielettrici) o per diffusione elettronica (metalli) senzascambio di materia, allinterno di un corpo. Si ricorda che, secondo la teoria cinetica,

la temperatura proporzionale allenergia cinetica molecolare media e lenergia

69

1. GENERALIT SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONE

interna di un corpo non altro che la somma delle energie cinetiche e potenziali delle

molecole che lo costituiscono.

Lesperienza insegna che il flusso di calore allinterno di un corpo non isotermo

avviene sempre dalle regioni a temperatura pi alta a quelle a temperatura pi bassa

(II Principio della Termodinamica), e che esso tanto pi intenso quanto pi grandeil gradiente di temperatura. Ci pu essere espresso in forma analitica attraverso la

legge di Fourier:

Q = ATx

1.1

dove:

Q = potenza o flusso termico, W

A = area della superficie di passaggio del flusso termico, m2

= conducibilit termica, W/(mK)

T = temperatura, K

x = lunghezza generica, m

Il segno meno imposto dal Secondo Principio della Termodinamica, poich il flusso

termico diretto nel verso delle temperature decrescenti, e quindi ha segno opposto algradiente termico. La conducibilit termica risulta definita anche dimensionalmente

attraverso la 1.1. Essa varia a seconda del tipo di sostanza, e in genere cresce con ladensit. I valori per alcuni materiali e sostanze di comune impiego in edilizia sono

riportati in tabella 1.1.

La conducibilit termica varia in funzione della temperatura. Essa cresce con

laumentare della temperatura per i gas e per i materiali isolanti: ad esempio, per

laria il gradiente di circa 0.5 % al C. Per i metalli molto puri essa diminuisce,

invece, al crescere della temperatura.

70

1. GENERALIT SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONETab. 1.1 Valori di conducibilit termica per alcune sostanze e materiali

di comune impiego nelledilizia.

Sostanza o materiale Conducibilit termica[W/(m K)]

FLUDI aria 0.024

acqua 0.554

ISOLANTI lana minerale, granuli 0.046

poliuretano 0.026

fibra di vetro 0.027

polistirene espanso 0.03-0.17

MATERIALI laterizi ordinari 0.72

DA laterizi faccia-vista 1.3

COSTRUZIONE calcestruzzo normale 1.2-2.0

calcestruzzo alleggerito 0.2-0.8

legno duro (quercia, acero) 0.16

legno tenero (abete, pino) 0.12

vetro 1.4

pietra (calcare, granito, marmo) 2.15-2.80

intonaco di cemento 0.72

intonaco di gesso 0.22-0.25

METALLI acciaio inox 13-15

acciaio 45-60

ferro 80

alluminio, lega di alluminio 170-237

rame 38571


Applicando il I Principio della Termodinamica a un cubetto elementare attraversato

da flussi termici conduttivi si ottiene, nellipotesi di conducibilit termica costante

nelle tre direzioni, lequazione generale della conduzione (vd. DIMOSTRAZIONE apag. 73):

2T

x2+

2T

y2+

2T

z2+

qi

=c

T

t1.2

o anche

2T +qi

=1

T

t1.2a

dove2 loperatore di Laplace e la diffusivit termica,

=

cspessore che separa due ambienti a temperatura diversa, il flusso termico pu essere

ragionevolmente considerato monodimensionale e ortogonale alla parete. In questo

caso la 1.2 si riduce a:La 1.1 unequazione differenziale alle derivate parziali integrabile soltanto in alcuni

casi particolari, ai quali si tenta di ricondurre i problemi reali. Ad esempio,

quando il corpo costituito da una parete piana di grandi dimensioni rispetto alloCoordinate rettangolari1.2. EQUAZIONE GENERALE DELLA CONDUZIONE2T

x2+

qi

=1

T

t

In assenza di generazione interna si ottiene:

2T

x2=

1

T

t1.3

Nel caso di flusso stazionario (T/t = 0) e in assenza di generazione interna si ottiene:

d2T

dx2= 0 1.4

72


DIMOSTRAZIONE

Applicando il Primo Principio della Termodinamica in forma di potenza:

XQ =

U

t

ad un solido elementare di materia avente lati dx, dy e dz e conducibilit x, y,

z (fig. 1.1) attraversato da un flusso ter mico conduttivo tr idimensionale e sede di un

flusso termico generato internamente, Qi si avr:

Qx + Qy + Qz + Qi = Qx+dx + Qy+dy + Qz+dz +U

t

Applicando la 1.1 si ottiene:

Qx = x dy dz Tx

Qy = y dx dz Ty

Qz = z dx dy Tz

Il flusso uscente lungo x sar:

Qx+dx = Qx +Q

xdx

e analogamente lungo y e z. La differenza fra i flussi termici sullo stesso asse d:

Qx+dx Qx = x

x

T

x

dx dy dz

Qy+dy Qy = y

y

T

y

dx dy dz

Qz+dz Qz = z

z

T

z

dx dy dz

A sua volta la variazione di energia interna ed il flusso generato internamente possono

essere espressi come:

U

t= c dx dy dz T

t

Qi = qi dx dy dz

dove:

73


Qx+dx

Qy+dy

Qz

Qy

Qx

y

z

dy

dz

dx

Fig. 1.1 Flussi di conduzione attraverso un solido elementare.

= massa volumica (kg/m3)

c = capacit termica massica (J/kgK)

qi = flusso generato per unit di volume (W/m3)

Si ottiene in questo modo lequazione generale della conduzione:

T

T

T

Txx

x+

yy

y+

zz

z+ qi = c

tD.1

Se la conducibilit termica costante nelle tre direzioni si ottiene:

2T

x2+

2T

y2+

2T

z2+

qi

=c

T

tD.2

Coordinate cilindriche

Adottando un sistema di coordinate cilindriche (r, , z), con un procedimentosimile a quello illustrato nella DIMOSTRAZIONE a pag.73 lequazione generale della

conduzione diviene:

1r2

2T

2+

2T

z2+

2T

r2+

1r

T

r+

qi

=1 Tt

1.5

che si riduce, nel caso di flusso monodimensionale radiale, stazionario e senza

generazione interna, a:xQz+dz74


dr2+

rdr

= 0 1.6

1.3. CONDIZIONI AL CONTORNO E SCAMBIO TERMICO MISTO

La soluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali come le 1.2- 1.6

permette di descrivere il campo termico allinterno di un corpo. Questo dipendetuttavia dalle condizioni termiche al contorno e, per i problemi che dipendono dal

tempo, iniziali.

Per esempio, la 1.4 ha come soluzione generale

T = a x + b

che indica come in una parete piana in regime stazionario il profilo di temperatura sia

lineare. Tuttavia, il valore delle due costanti a e b pu essere determinato soltanto

se sono definite due condizioni al contorno (ovvero, sulle due facce della parete). Lacondizione iniziale specifica invece i valori di temperatura in ogni punto del sistema

allistante iniziale.

Esistono tre tipi di condizione al contorno, che verranno di seguito esemplificate per

casi monodimensionali stazionari:

1 tipo - condizione di temperatura (o di Dirichlet)

2 tipo - condizione di flusso (o di Neumann)

3 tipo - condizione di temperatura e flusso (o di convezione)

Una condizione al contorno in cui il termine noto sia nullo viene detta omogenea.

Le condizioni al contorno del 1 tipo sono quelle in cui sul contorno del sistemain esame imposto e noto il valore della temperatura. Ad esempio, per un caso

monodimensionale:

T |x=x1 = T1 1.7d2T 1 dT75


Le condizioni al contorno del 2 tipo sono quelle in cui sul contorno del sistema

in esame noto il valore assunto dal flusso termico. Ad esempio, per un caso

monodimensionale:

Qx =x1

= A dTdx

x =x 1

= Q 1 1.8

Su un piano di simmetria del sistema si avr una condizione al contorno omogenea

perch sar nullo il gradiente di temperatura e dunque Q 1 = 0 .

sia la temperatura che il flusso termico:

Qx =x1

= A dTdx

x =x 1

= h A (T |x =x1 Ta)

1.9

in cui Ta la temperatura dellambiente (fluido e superfici) con cui viene scambiatocalore per convezione e irraggiamento e h il coefficiente di scambio termico liminareo adduttanza superficiale.

Per comprendere meglio il significato di h necessario analizzare pi nel dettaglio

scambiato dalla superficie per convezione con il fluido ( Qc ) e per irraggiamento conle superfici r ), come indicato in figura 1.2. circostanti ( Q

Qk = Qc + Qr 1.10

necessario dunque fornire alcune indicazioni preliminari sulle due forme con cuiavviene lo scambio termico per irraggiamento e convezione. Una trattazione pidettagliata verr fornita nei CAPITOLI 2 e 3.cio che avviene allinterfaccia fra la superficie del corpo e lambiente. Il calore che

proviene dallinterno del corpo per conduzione ( Qk ) uguale alla somma di quelloLe condizioni al contorno del 3 tipo sono le pi comuni nella pratica. Esse prevedono

che sul contorno del sistema siano fornite equazioni supplementari in cui compaionoIrraggiamento

Lirraggiamento il trasferimento di calore per propagazione di onde elettromagne-

tiche. Questa avviene alla velocit della luce, sotto forma di quanti di energia che sipropagano con leggi desumibili dalla teoria ondulatoria. Non vi bisogno di un mezzo

76


Qc

Qr

Qk

Fig. 1.2 Equilibrio dei flussi alla parete.

nel vuoto.

Nello scambio termico fra due corpi neri la potenza termica scambiata vale

Q = A1F12(T 41 T 42 ) 1.11

in cui la costante di Stefan-Boltzmann e F12 rappresenta il fattore di vista fra la

superficie 1 (di area A1) e la superficie 2. La 1.11 mostra come la potenza termicaemessa da un corpo sia funzione della quarta potenza della sua temperatura assoluta.

Una espressione analoga si pu ricavare per la potenza termica scambiata fra due

superfici grigie, cio due superfici che emettono una frazione della potenza emessa

a parit di altre condizioni dal corpo nero:

Q = A1F(T 41 T 42 ) 1.12

in cui F un fattore che tiene conto sia del fattore di vista che delle emissivit delle

due superfici. Se le temperature T1 e T2 non differiscono troppo, si pu linearizzare

lespressione precedente ponendo

hr = 4FT 3m 1.13per consentire la propagazione delle onde elettromagnetiche: esse si propagano anche77


in cui Tm la media aritmetica fra le due temperature e hr detto coefficiente discambio termico liminare per irraggiamento. Si ottiene immediatamente

Qr = hrA1(T1 T2) 1.14

Convezione

il meccanismo che regola la trasmissione del calore tra una superficie solida e unfluido. Si tratta di un meccanismo complesso in cui sono presenti diversi fenomeni

(conduzione, irraggiamento, accumulo termico, trasporto di massa): le particelledi fluido adiacenti alla parete scambiano calore con questultima per conduzione,

poich la velocit delle particelle stesse nulla sulla superficie. Quando poi leparticelle vengono trasportate verso regioni a temperatura diversa, esse si mescolano

Si usa distinguere tra convezione naturale e forzata. Nel primo caso la causa del motodelle particelle fluide sono i gradienti di densit indotti nel fluido dalle differenze di

temperatura, mentre nel secondo caso tale moto provocato da una azione esterna. In

entrambi i casi si soliti calcolare il flusso scambiato fra parete e fluido per mezzo

della seguente relazione (Legge di Newton):

Q = hcA (T1 Tf ) 1.15

in cui hc detto coefficiente di scambio termico liminare per convezione, e Tf latemperatura del fluido adiacente alla parete. Nel caso di convezione forzata hc dipende

essenzialmente dalla velocit relativa fra fluido e parete, mentre in convezione naturale

esso dipende da molti fattori, fra cui, come si vedr, la differenza di temperatura stessa.

Scambio termico liminareUna volta ricavate le equazioni 1.14 e 1.15, nel caso in cui la temperatura del fluidoe trasferiscono la loro energia e quantit di moto alle particelle di queste regioni.coincida praticamente con quella delle superfici viste dalla parete considerata (T2 Tf ) e divenga perci genericamente la temperatura dellambiente Ta, si pu tornareallequazione 1.9, che diviene:

78


dove h, detto coefficiente di scambio termico liminare o adduttanza superficiale, dato da:

h = hc + hr 1.17

Linverso del coefficiente h viene detto resistenza termica liminare.

1.4. PARETE PIANA

In questo paragrafo si analizza landamento della temperatura attraverso una parete

piana di spessore piccolo rispetto alle altre due dimensioni e si calcola il flusso

termico che la attraversa nella direzione dello spessore. Le ipotesi ricorrenti in questa

trattazione sono:

regime stazionario

geometria rettangolare

flusso monodimensionale

generazione interna nulla (qi = 0 )

Parete piana monostrato con condizioni al contorno del 1 tipo

Si abbia una parete piana (fig. 1.3) composta da un solo strato omogeneo di spessores e conducibilit termica ; sono inoltre imposte sulle due facce della parete valori

prefissati di temperatura. Occorre integrare lequazione differenziale 1.4 con le

T (0) = T1 T (s) = T2

Si ottiene landamento lineare:T = T1 T1 T2s

x 1.18seguenti condizioni al contorno:QkA

= dTdx

x=x1

= (hc + hr) (T1 Ta) = h (T1 Ta) 1.1679


T2

trasmesso:

Q = AT1 T2

s1.19

funzione di x1. La 1.19 viene spesso scritta come:

Q

A=

T1 T2R

1.19 ao anche:Q

A= C (T1 T2) 1.19 b

o infine:

Q =T1 T2

R1.19 c

1Infatti, se il flusso entrante in uno strato fosse diverso da quello uscente, per il Primo Principio

della Termodinamica lenergia interna e dunque la temperatura dello strato varierebbe nel

tempo.Si osservi che la 1.19 poteva essere ottenuta direttamente dalla 1.1, che in questo caso

una equazione differenziale a variabili separabili, facilmente integrabile poich Q nonDerivando la 1.18 e applicando la legge di Fourier si ottiene immediatamente il flusso0 s x

Fig. 1.3 Parete piana monostrato.T1

T80

1. GENERALIT SULLA TRASMISSIONE DEL CALORE E CONDUZIONEdove:

R = resistenza termica dello strato = s/C = conduttanza dello strato = /s = 1/R

R

= resistenza termica specifica dello strato = s/(A) = R/A

La 1.19.c mostra la perfetta analogia fra le leggi della conduzione (legge di Fourier) equelle dellelettromagnetismo (legge di Ohm):

I =VR

Q = TR

con le seguenti corrispondenze:

corrente elettrica (I) flusso termico Q

differenza di potenziale (V ) differenza di temperatura (T )

resistenza elettrica (R) resistenza termica specifica (R)

Parete piana multistrato con condizioni al contorno del 1 tipo

Sono note, come prima, le temperature sulle due facce estreme T1 e Tn+1. Si scrive

la 1.19 per ognuno degli n strati che costituiscono la parete (fig. 1.4).Q

A= 1 T1 T2

s1

Q

A= 2 T2 T3

s2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q

A= n Tn Tn+1

sn

Il flusso che attraversa i vari strati sempre lo stesso, per lipotesi di stazionariet. Per

cui, mettendo in evidenza le n differenze di temperatura e sommando, si ottiene:

Q

A=

T1 Tn+1n

j=1

sjj

=T1 Tn+1

nj=1

Rj

= C (T1 Tn+1) = T1 Tn+1R

1.20

81


1 2 3 n n+1

s1 s2 sn

1 2 n

T1T2

T3

Tn

Tn+1

T

Fig. 1.4 Parete multistrato.

essendo C la conduttanza, ed R la resistenza termica della parete multistrato:

1 n s n

R =

C=

j=1

j

j=

j=1

Rj

Pareti piane che separano ambienti a temperatura prefissata

In questo caso, assai frequente nella realt, si considerano pareti che separano ambienti

mantenuti a temperature diverse, ad esempio lambiente interno di un edificio e

lambiente esterno. Sono note le temperature dei due ambienti, ma non le temperature

superficiali n i flussi. Le condizioni al contorno che si impongono sono dunque del

3 tipo, ovvero:

Q

A

x=0

= dTdx

x=0

= hi (Ti T (0))

Q

A

x=s

= dTdx

x=s

= he (T (s) Te)82


dove hi e he sono i coefficienti di scambio termico liminare interno ed esterno e Ti e

Te le temperature (note) dei due ambienti interno ed esterno separati dalla parete. Siha dunque, essendo il flusso costante in ogni strato e ricordando la 1.20:

Q

A= hi (Ti T1)

Q

A=

T1 Tn+1n

j=1

sjj

Q

A= he (Tn+1 Te)

Sommando, come prima, le differenze di temperatura e semplificando si ottiene:

da cui:Q

= U (Ti Te) 1.21

A

dove U , detta trasmittanza termica o coefficiente di scambio termico globale, Q

A

1

hi+

nj=1

sjj

+1he

= Ti Tedata da:

U =

1

hi+

nj=1

sjj

+1he

1

1.22

1.5. PARETE CILINDRICA

Parete monostrato con condizioni al contorno del 1 tipo

Si abbia una parete cilindrica composta da un solo strato omogeneo di conducibilit

termica (fig. 1.5). Valgono le seguenti ipotesi:

regime stazionario

assenza di generazione interna

flusso monodimensionale (radiale).

83


r2r1

r

T2

T1

Fig. 1.5 Parete cilindrica monostrato (sezione trasversale).

Anche in questo caso possibile ricavare direttamente il flusso ponendo nella 1.1,

x = r e A = 2rL

T (r1) = T1

T (r2) = T2Si ottiene la potenza per unit di lunghezza:

Q

L= 2

T1 T2ln (r2/r1)

1.24

Alla stessa espressione si poteva giungere ricavando dalla 1.6 il profilo di temperatura

e successivamente applicando la legge di Fourier.

In modo del tutto analogo a quanto visto per la parete piana multistrato, per una parete

cilindrica formata da n strati concentrici si ottiene:

Q

L= 2 T1 Tn+1n

j=1

1j

ln rj+1rj

1.25Q

2rL= dT

dr1.23

e integrando con le seguenti condizioni al contorno:84


Pareti cilindriche che separano fluidi a temperatura prefissata

Procedendo in modo analogo a quanto fatto per la parete piana multistrato si ottiene il

flusso disperso per unit di lunghezza:

Q

L= 2 Ti Te

1rihi

+n

j=1

1j

ln rj+1rj +1

rehe

= UL (Ti Te) 1.26

Volendo esprimere il flusso disperso per unit di superficie, occorre distinguere il caso

in cui ci si riferisce alla superficie interna:

Q

Ai=

Ti Te1hi

+ rin

j=1

1j

ln rj+1rj +ri

rehe

= Ui (Ti Te) 1.27

da quello in cui ci si riferisce alla superficie esterna:

Q

Ae=

Ti Tere

rihi+ re

nj=1

1j

ln rj+1rj +1he

= Ue (Ti Te) 1.28

1.6. TRANSITORI TERMICI IN SISTEMI A CAPACIT TERMICA

pu variare nel tempo, mantenendosi per uguale in ogni punto (uniforme). Siosservi peraltro che se il corpo scambia calore attraverso il suo contorno deve esistereun gradiente termico al suo interno, come si vede da un semplice bilancio su una

superficie infinitesima del contorno dA :CONCENTRATA

Vengono detti sistemi a capacit termica concentrata quei corpi la cui temperaturaDalle 1.26 - 1.28 si ricavano le espressioni delle trasmittanze UL, Ui, Ue.h dA (T Ta) = dA Tn

dove

h = coefficiente di scambio termico liminare

85


T = temperatura del corpo

Ta= temperatura dellambiente

= conducibilit termica del corpo

n = normale alla superficie

Tuttavia il gradiente T/n diviene molto piccolo se grande rispetto ad h. In

pratica esso pu essere trascurato se vale la condizione:

Bi =h (V /A)

=

h L

=L/

1/h=

RintRest

< 0.1

Se si introduce un corpo avente Bi < 0.1 e temperatura iniziale T in un fluido a0

temperatura Ta < T0 e capacit termica infinita (fig. 1.6) nel tempo dt si ha dunque,dove

Bi il numero di Biot e V il volume del corpo.supponendo che il sistema sia nel complesso adiabatico:

dQ = cV dT = C dT 1.29

con

dQ = hA (T Ta) dt 1.30

dove:

= densit

c = calore specifico

C = capacit termica

h = coefficiente di scambio termico liminare

A = area della superficie di scambio

Le 1.29 - 1.30, risolte imponendo la condizione iniziale:

T (0) = T0

86


QT

T a

Fig. 1.6 Corpo a capacit termica concentrata inserito in un sistema a capacit

termica infinita.

forniscono:

T Ta = (T0 Ta) ehAt/C 1.31

Landamento della differenza di temperatura dunque esponenziale. La temperatura

=C

hA=

cV

hA detto costante di tempo del sistema e rappresenta il tempo necessario perch la

differenza di temperatura tra corpo e fluido si riduca del fattore 1/e (36.8 %). possibile dimostrare che esso coincide inoltre con il tempo in cui la temperatura del

corpo raggiungerebbe quella dellambiente se essa decadesse con legge lineare e con

pendenza pari a quella assunta allistante iniziale. Inoltre, tenendo presente che:

hA

Ct =

hL2

cL3t

=

hL

tL2

= Bi Fo

dove L la lunghezza caratteristica del corpo (ad esempio, L = Volume/AreaLaterale), la diffusivit termica e Fo = t/L2 il numero di Fourier (o tempoadimensionato), si pu scrivere:

= eBiFo 1.32raggiunta dal corpo al tempo t = varr ovviamente Ta. Il termine87


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20

Numero di Fourier, Fo

Tem

pera

tura

adi

men

sion

ata

Bi = 0.02

Bi = 0.04

Bi = 0.06

Bi = 0.08

Bi = 0.10

Fig. 1.7 Transitorio termico in un sistema a capacit concentrata.

in cui =T TT0 T

la temperatura adimensionata del corpo. Lequazione 1.32 illustrata in figura 1.7.

1.7. ALCUNI PROBLEMI PARTICOLARI

Pareti piane composite

Si consideri la parete di figura 1.8, composta di sezini a e b (con Ua < Ub) separatida un piano parallelo alla direzione del flusso. Si supponga che gli ambienti che essa

separa siano mantenuti rispettivamente alla temperatura Ti e Te, con Ti > Te. Il flusso

termico attraverso le aree Aa e Ab vale rispettivamente:

Qa = UaAa (Ti Te) = TRa

Qb = UbAb(T i T e) = TRb

88


a

b

Aa

Ab

Il flusso complessivamente uscente vale:

Q = Qa + Qb = T(

1Ra

+1Rb

)

Pertanto si ha:

Q =TReq

= Ueq Tessendo:

Req =(

1Ra

+1Rb

)11.33

la resistenza equivalente (Req < Rb < Ra ) e:

Ueq =AaUa + AbUb

Aa + Ab1.34

la trasmittanza equivalente (Ua < Ueq


a

bT2b

T1b

T1a

T2a

Ti

Te

Ta

Tb

Fig. 1.9 Andamento delle temperature in parete composita.

Alette di raffreddamento

Le alette di raffreddamento sono dispositivi che consentono di incrementare il flussotermico disperso verso lambiente circostante attraverso laumento della superficie

disperdente. Le alette possono essere piane, anulari o a spina. In questo paragrafo

si analizzer il comportamento di alette piane a sezione rettangolare (fig. 1.10) con leseguenti ipotesi:

regime stazionario

caratteristiche di scambio termico (conducibilit, coefficiente di scambiotermico liminare) indipendenti dalla temperatura

assenza di gradienti termici in direzione trasversale allaletta

Lultima ipotesi implica che lo spessore dellaletta sia molto piccolo rispetto alla sua

lunghezza.

Se si considerano inoltre costanti per lintera lunghezza L il perimetro p e larea Adella sezione trasversale, e trascurabile il flusso disperso dallestremit dellaletta, si

90


T

T0

a

Fig. 1.10 Aletta piana rettangolare.

ottiene (vedi DIMOSTRAZIONE a pag. 92 anche per il significato degli altri simboli) ilflusso disperso dallaletta:

dellambiente circostante.

Si pu poi introdurre il concetto di efficienza dellaletta, intesa come il rapporto fra ilflusso effettivamente disperso e quello massimo disperdibile. Questultimo il flusso

che verrebbe disperso se tutta laletta avesse una temperatura uniforme e pari a T0:

Qmax = p L h (T0 T)

per cui:

=Q

Qmax=

tanh(mL)mL

< 1 1.36

In figura 1.11 riportato landamento dellefficienza al variare del prodotto (mL).

Si pu inoltre valutare unaltra forma di efficienza , definita come il rapporto fra il

flusso effettivamente disperso e quello che sarebbe disperso se non vi fosse laletta:

Q0 = h A 0

Tale valore dovrebbe evidentemente essere superiore ad 1. Infatti:Q = Am (T0 T) tanh (mL) 1.35

dove T0 e T rappresentano rispettivamente la temperatura alla radice dellaletta eA

L91


0

0.1

0.2

0.4

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

mL

eff

Fig. 1.11 Efficienza di unaletta.

= m tanh(mL)

h=

p LA

=2 (a + )L

a 2 aLa

=2L

In genere, dunque tanto maggiore di quanto pi laletta lunga e sottile.

DIMOSTRAZIONE

Con le ipotesi sopra indicate il bilancio termico di un elementino di lunghezza dx

(fig. 1.12 ) d:

Qx = Qx+dx + dQc D.1

Essendo:

Qx = A dTdx

D.2

e

dQc = hp (T T) dx D.3in cui:

= conducibilit termica del materiale costituente laletta

A = area della sezione trasversale dellaletta0.30.5

0.6

icie

nza,

0.792


dQc

dx2

Ponendo:

m2 =hp

AD.5

e

= T T D.6

si ottiene:d2

dx2 m2 = 0 D.7

La D. 7 ammette la soluzione generale:

= M emx + N emx D.8

I valori delle costantiM edN possono essere ricavati imponendo le oppportune condi-

zioni al contorno. In tal modo si ricava il profilo di temperatura lungo laletta. Da questo,

integrando la D. 3 su tutta laletta o r icavando il flusso disperso alla radice dellaletta persi ottiene:

Ad2T

= hp (T T ) D.4T = temperatura dellaletta (funzione di x)

T= temperatura dellambienteh = coefficiente di scambio termico liminare

p = perimetro della sezione trasversaleFig. 1.12 Aletta piana rettangolare.dx

Qx Qx+dx93


mezzo della D. 2 si ottiene il flusso disperso. Ad esempio, supponendo trascurabile il

flusso disperso dallestremit dellaletta, il flusso disperso risulta:

Q = Am0 tanh (mL) D.994

2. IRRAGGIAMENTOLirraggiamento termico il fenomeno del trasporto di energia per pro-pagazione di onde elettromagnetiche; nei problemi termici la radiazioneelettromagnetica caratterizzata da lunghezze donda comprese, in genere,

tra 0.1 e 100 m (radiazione termica).

Quando la radiazione incide su un mezzo materiale essa viene riflessa,assorbita o trasmessa.

Se si indicano con , , le frazioni di energia assorbita, riflessa e trasmessa(fig. 2.1), note rispettivamente come fattore o coefficiente di assorbimento, diriflessione e di trasmissione, si deve avere:

+ + = 1 2.1

I coefficienti , , sono funzione sia della lunghezza donda dellaradiazione (in tal caso sono detti spettrali o monocromatici), sia del suoangolo dincidenza (direzionali). Quando essi sono riferiti alla radiazioneproveniente da tutto lo spettro essi sono detti integrali, quando sono riferiti

1

Fig. 2.1 Interazione della radiazione con un mezzo materiale.

95

2. IRRAGGIAMENTO

alla radiazione proveniente da tutto langolo solido visto dalla parete sonodetti emisferici. In ogni caso vale la 2.1.Per mezzi opachi = 0. Se, inoltre, = 0 a tutte le lunghezze donda, siha = 1 e il mezzo viene detto corpo nero, o radiatore integrale, o ancora

2.1. LEGGI DEL CORPO NERO

La potenza emessa per unit di superficie nellintervallo di lunghezza donda [, +

d] dal corpo nero ad una temperatura T detta potere emissivo monocromatico o

densit di flusso monocromatica, definita come:

En =2Qn

, W/(m2m)

A

Il potere emissivo monocromatico dato dallespressione, nota come legge di Planck,radiatore di Planck.ricavabile in base a considerazioni di termodinamica statistica applicata al gas di

fotoni:

En =C1 5

eC2/T 1 2.2

dove le costanti valgono C1 = 3.74 108 Wm4/m2 e C2 = 1, 44 104 mK.

Esso risulta funzione di e T , come indicato in figura 2.2.

Da tale figura si osserva che il valore massimo del potere emissivo monocromatico

aumenta e si sposta verso sinistra al crescere di T . Differenziando la 2.2 rispetto

alla lunghezza donda si vede che il luogo dei punti di massimo caratterizzato

dallequazione (nota come legge di Wien o dello spostamento):

max T = C3 2.3

con C3 = 2898 m K.

E di particolare interesse pratico determinare il potere emissivo integrale En:

En =

0

En d, W/m2

96

2. IRRAGGIAMENTO

0.0E+00

6.0E+07

8.0E+07

1.0E+08

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

Lunghezza d'onda,

Pot

eoc

rom

atic

o, W

/m2

T = 6000 KT = 5000 KT = 4000 K

m

Fig. 2.2 Potere emissivo monocromatico del corpo nero.

pervenne successivamente sulla base di considerazioni termodinamiche; per questo

motivo lequazione che la esprime nota come Legge di Stefan-Boltzmann1:

En = T 4 2.4

8 2 4con (costante di Stefan-Boltzmann), pari a 5.67 10 W/(m K ).

In alcuni problemi pu essere utile disporre di un metodo rapido per conoscere

la frazione di radiazione emessa dal corpo nero che si trova contenuta in una

determinata porzione dello spettro. Ci possibile introducendo il concetto di fattoredi radiazione f:

f =

0

En d T 4 2.5

Si dimostra che il valore di f in realt funzione soltanto del prodotto T , come

illustrato in fig. 2.3. Da tale diagramma si vede che oltre il 99 % della radiazione

1Da un punto di vista cronologico la legge di Stefan-Boltzmann precede la legge di Planck.Il suo valore fu ricavato per via sperimentale da Stefan, e da Boltzmann, che vi2.0E+07

4.0E+07

re e

mis

sivo

mon T = 3000 K1.2E+08

m 97

2. IRRAGGIAMENTO

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1000 10000 100000

Prodotto T ( m K)

f

Fig. 2.3 Fattore di radiazione.

emessa nellintervallo 1000 mK < T < 30000 mK e oltre il 90 % nellintervallo2000 mK < T < 20000 mK. A titolo di esempio, per un corpo nero a 3000 K il90 % della radiazione emessa fra 0.67 m e 6,7 m, mentre per un corpo nero a 300

K il 90 % della radiazione emessa fra 6,7 m e 67 m.

Se si vuole calcolare la frazione di radiazione visibile (0.4m < < 0.8m) emessa

dal Sole, che pu essere assimilato ad un corpo nero a circa 6000 K, sufficiente

svolgere il seguente calcolo:

fvis = f0.86000 f0.46000 0.61 0.14 = 0.47

Il 14 % sar pertanto radiazione ultravioletta ( < 0.4m) e il 39 % infrarossa( > 0.8m).

2.2. CARATTERISTICHE RADIATIVE DELLE SUPERFICI REALI

In un corpo opaco reale il fattore di riflessione sempre diverso da zero, quindi il

fattore di assorbimento minore di uno. Anche il potere emissivo monocromatico, inun corpo reale, una frazione, variabile con la lunghezza donda, del potere emissivo

98

2. IRRAGGIAMENTO

fattore di emissione monocromatico emisferico:

=E(T )En (T )

dove E(T ) il potere emissivo monocromatico del corpo.

La legge di Kirchhoff stabilisce che, quando un corpo in equilibrio termico, si deveavere:

= 2.6

Il fattore di emissione emisferico integrale dato da:

=E(T )En(T )

=E(T ) T 4

in cui:

E(T ) =

0

En d

Si definiscono grigie le superfici in cui il fattore di emissione non dipende dalla

lunghezza donda. In questo caso si ha:

= 2.3. SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA CORPI NERImonocromatico del corpo nero En , alla stessa temperatura T. Questa frazione dettaIrraggiamento fra due superfici nere

Per ricavare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra due superfici nere

necessario definire il fattore di vista (o di forma, o ancora di configurazione). Il fattoredi vista dalla superficie 1 alla superficie 2 (F12) rappresenta la frazione di radiazioneuscente dalla superficie 1 che raggiunge la superficie 2. Ovvero:

F12 =Q12

Q12.7

99

2. IRRAGGIAMENTO

Q12 = E1nA1F12 il flusso che da A1 raggiunge A2

Q21 = E2nA2F21 il flusso che da A2 raggiunge A1

Il flusso netto scambiato vale:

Q = En1 A1F12 En2 A2F21 2.8

Un caso particolare della 2.8 quello in cui T1 = T2. In questo caso En1 = En2 , ma

deve anche essere Q = 0 . Perci:

A1F12 = A2F21 2.9

La 2.9 una relazione puramente geometrica e pertanto deve valere sempre, indipen-

Q = A F (En En) = A F (T 4 T 4) 2.10

F12 =1A1

A1

A2

cos1 cos2 dA1dA2 r2 2.11

Irraggiamento fra n superfici nereNel caso in cui si debba valutare il flusso termico scambiato per irraggiamento fra ned riportato nella figura 2.4, a titolo desempio, per due superfici rettangolari

affacciate.1 12 1 2 1 12 1 2

in cui il fattore di vista dato da:dentemente dai valori assunti dalle temperature. Essa nota come teorema o relazione

di reciprocit. Lo scambio netto vale pertanto:E dunque:superfici nere il flusso netto uscente dalla superficie i-esima varr:

Qi = Eni Ai n

j=1

AjFjiEnj

che, utilizzando il teorema di reciprocit (AjFji = AiFij ) si riscrive come:

Qi = Ai (Eni n

j=1

FijEnj ) 2.12

100

2. IRRAGGIAMENTO

Rapporto Y

/L

0.01

0.1

1

0.1 10

F 12

5

0.1

1

2

0.5

101000

L

Y

X

1

Inoltre, se le n superfici nere costituiscono una cavit chiusa, vale la seguente

propriet:n

j=1

Fij = 1per cui la 2.12 pu essere riscritta cos:

Qi = Ai n

j=1

Fij (Eni Enj ) 2.13

Essendo note le temperature di tutte le n superfici, le n equazioni come la 2.13

permettono di calcolare immediatamente il flusso netto uscente dalle n superfici.

2.4. SCAMBIO TERMICO PER IRRAGGIAMENTO FRA SUPERFICI GRIGIE

Lo scambio termico fra superfici grigie presenta qualche ulteriore complessit rispetto

a quello fra superfici nere. Infatti, poich non tutto il flusso incidente su una superficie

viene assorbito, una parte di quello riflesso torner sulla superficie da cui proviene il

flusso incidente, verr solo in parte assorbito, e cos via.Rapporto X/L

Fig. 2.4 Fattore di vista fra due rettangoli uguali (XxY), allineati e paralleli a

distanza L.101

2. IRRAGGIAMENTO

Q = T 41 T 42

111A1 +

1A1F12 +

122A2

= FA1 (T 41 T 42

)2.14

avendo posto:

F =(

1 11

+1

F12+

A1A2

1 22

)12.15

facile dimostrare che per i corpi neri F = F12 e la 2.14 si riduce alla 2.10.

Valori di F per alcune geometrie particolari

Per due superfici piane, parallele e infinite si avr A1 = A2 e F12 = F21 = 1, ela 2.15 diverr:

F =(

11

+12

1)1

2.16

F = 1 2.17

Come gi visto nel CAPITOLO 1.3, nella soluzione analitica di problemi di irraggia-

mento spesso conveniente esprimere i flussi termici scambiati come funzione lineare

della differenza di temperatura:

Q = hr A1 (T1 T2)

Q = FA1(T 41 T 42

)= FA1

(T 21 + T

22

)(T1 T2) (T1 + T2)e ponendo:(

2 2)

3Questa relazione pu essere agevolmente desunta dalla 2.14, attraverso le propriet deiprodotti notevoli:Linearizzazione del flusso di irraggiamentoPer una superficie di area A1 contenuta in una cavit di area A2 >> A1, essendo

F12 = 1, la 2.15 diviene semplicemente:Si dimostra che il flusso termico scambiato fra due superfici grigie vale:( )hr = F T1 + T2 (T1 + T2) 4FTm 2.18

con Tm = (T1 + T2)/2.

102

2. IRRAGGIAMENTO

possibile dimostrare che lapprossimazione insita nella 2.18

T 21 + T22 2T 2m

tanto pi accettabile quanto pi prossime fra loro sono le temperature T1 e T2.

103

3. CONVEZIONE

La convezione lo scambio di calore fra una superficie ed un fluido, atemperatura diversa, che la lambisce. I fenomeni di scambio termico sonoconcentrati in un sottile strato adiacente alla parete (strato limite termico) econsistono nellinterazione fra conduzione (e in minor misura irraggiamento)e trasporto di energia associata al fluido in moto (in direzione anche diversa daquella principale del moto).A seconda che il moto relativo fra parete e fluido sia determinato da forzeesterne o sia provocato da variazioni di densit del fluido (dovute a loro voltaa differenze di temperatura) in presenza di un campo di forze di massa, laconvezione si dice rispettivamente forzata o naturale.Nel caso della convezione forzata, se le propriet del fluido possono essereconsiderate costanti (il che implica che esse siano indipendenti dalla tempe-ratura e che, nel caso di un gas, siano trascurabili le variazioni di pressione),il problema fluidodinamico e quello termico non si influenzano a vicenda epossono essere dunque affrontati separatamente.Al contrario, nella convezione naturale questa separazione della trattazionenon mai possibile perch il moto del fluido proprio determinato daigradienti di temperatura allinterno della massa fluida.In entrambi i casi, di convezione forzata o naturale, consuetudine esprimere ilflusso termico convettivo attraverso lespressione nota come legge di Newton:

Q = hcA (Ts Tf ) 3.1dove:

A = area di scambio, m2

hc = coefficiente di scambio termico liminare convettivo o adduttanzasuperficiale, W/(m2K)

105

3. CONVEZIONE

Ts = temperatura della superficie lambita dal fluido, C

Tf = temperatura del fluido C

La 3.1 solo apparentemente una relazione lineare, perch il coefficiente discambio termico liminare hc dipende, per la natura stessa del fenomeno fisico,da un grande numero di variabili, tra cui compare, insieme alle propriettermofisiche del fluido (calore specifico, densit, viscosit, conducibilittermica, etc.), e ad altre grandezze fisiche e geometriche che caratterizzano ilproblema (velocit relativa, forma della superficie, etc.), anche la temperatura.

Lobbiettivo degli studi sulla convezione appunto quello di determinare hc. possibile affrontare il problema dal punto di vista sperimentale o teorico.Nel primo caso opportuno far precedere la fase sperimentale da una analisidimensionale delle grandezze da cui dipende il problema (teorema di Buc-kingham o teorema ), che consenta di ridurre il numero di variabili. Questoprocedimento, che richiede lidentificazione a priori di tutte le variabili,consente di giungere a relazioni (nel caso pi semplice monomie) fra unristretto numero di parametri adimensionali. Gli esponenti e i coefficienti diqueste relazioni vengono poi determinati per via sperimentale.

Nel caso in cui il problema venga affrontato dal punto di vista puramenteteorico, il fluido viene in genere considerato come un mezzo continuo al quale possibile applicare le equazioni di conservazione della massa (continuit),della quantit di moto (equazioni di Navier-Stokes) e dellenergia. La soluzio-ne esatta di queste equazioni presenta difficolt matematiche insormontabili.Attraverso lintroduzione del concetto di strato limite (PARAGRAFO 3.2) possibile semplificare notevolmente sia le equazioni di Navier-Stokes chedellenergia, giungendo a soluzioni esatte per configurazioni particolarmentesemplici e per strato limite laminare.

Lo strato limite pu anche essere esaminato su scala macroscopica applicandole stesse equazioni di conservazione a una porzione finita di fluido (metodiintegrali) e ottenendo in tal modo soluzioni approssimate, ma spesso ancoraaccettabili nei problemi di ingegneria. In questo caso il problema pu essererisolto anche per strato limite turbolento.

In questultimo caso un procedimento matematico spesso adottato per risolve-re questo tipo di problemi consiste nello stabilire delle analogie fra trasportodi calore e di quantit di moto (analogia di Reynolds).

Nel seguito sono riportati alcuni richiami, necessariamente sintetici, di motodei fluidi.

106

3. CONVEZIONE

3.1. REGIME DI MOTO E VISCOSITSi deve a Reynolds (1883) la prima osservazione dellesistenza di due tipi fon-

damentali di moto dei fluidi, il moto laminare e quello turbolento. Il ben noto

esperimento da lui realizzato gli consent di visualizzare (attraverso liniezione diun liquido colorante) il flusso dacqua in un condotto, al variare della velocit. Perpiccole velocit la traccia di colorante rimane continua e ben definita; lassenza di

miscelamento di particelle di fluido evidenzia un campo di moto puramente assiale, e

il moto viene detto laminare.

Allaumentare della velocit la traccia del colorante tende a sfilacciarsi fino a

diffondersi su tutta la sezione del condotto; il rimescolamento delle particelle di

fluido evidenzia la presenza di fluttuazioni di velocit sia in direzione parallela che

perpendicolare alla direzione del moto, e il moto viene detto turbolento.

Per flusso turbolento, anche se il regime di moto stazionario le propriet del fluido in

un punto (velocit, pressione, temperatura, etc.) variano dunque nel tempo. Si tratta,tuttavia, di variazioni a valor medio temporale nullo. Perci sufficiente sostituire ai

valori istantanei delle propriet i loro valori medi, esprimendo le componenti fluttuanti

attraverso il loro valore quadratico medio.

Quando gli strati di fluido scorrono uno sopra laltro sono sottoposti a sforzitangenziali che sono bilanciati dagli effetti dissipativi interni al fluido, provocati dalla

sua viscosit. Come conseguenza di ci si osserva sperimentalmente la presenza di

un gradiente di velocit in direzione trasversale al moto. In un fluido newtoniano glisforzi tangenziali sono proporzionali in modo lineare al gradiente di velocit, e la

costante di proporzionalit detta viscosit dinamica :

= dudy

3.2

dove u la velocit nella direzione principale del moto e y la direzione

perpendicolare alla superficie su cui scorre il fluido.

107

3. CONVEZIONE

Ripetendo lesperimento di Reynolds con fluidi aventi propriet fisiche (viscosit,densit) e velocit diverse e in condotti aventi diametro diverso si osserva che latransizione dal moto laminare a quello turbolento si verifica sempre in corrispondenza

di uno stesso valore (2000-2500) di un insieme adimensionato di variabili, dettonumero di Reynolds, definito da:

Re = u D

=

u D

3.3

dove la viscosit cinematica. Per Re < 2000 il moto sar dunque laminare e per

Re > 2500 sar turbolento, qualunque siano i valori assunti singolarmente dalle varie

grandezze.

Un altro parametro particolarmente importante nello studio della convezione il

numero di Prandtl, definito come:

Pr = cp

=

3.4

in cui = cp/ la diffusivit termica, definita nel CAPITOLO 1.

uniforme, evidenziata formalmente dal fatto che per Pr 1 ( = ) la distribuzioneadimensionale della temperatura identica a quella delle velocit. In effetti per la

maggior parte dei gas Pr compreso fra 0.6 ed 1, mentre per i liquidi le variazioni

sono assai pi sensibili.3.2. CONCETTO DI STRATO LIMITEEsiste una analogia fra trasporto di massa e di calore in un campo di pressioniUna notevole semplificazione del problema la si ottiene introducendo il concetto di

strato limite. Tale concetto fu introdotto da Prandtl nel 1904 per studiare il moto di

un fluido adiacente ad una parete. Egli osserv che, ad una adeguata distanza dalla

parete, il moto del fluido non pi influenzato dalla presenza della parete e defin

perci strato limite della velocit quella regione di fluido, adiacente alla parete, in cui,

a causa degli sforzi viscosi, esistono degli apprezzabili gradienti di velocit. Detta x la

108

3. CONVEZIONE

x

y

T T TTs

t (x)

T T T Ts

Fig. 3.1 Strato limite termico su una lastra piana.

direzione principale del moto ed u la componente di velocit lungo x, lo spessore (x)

dello strato limite dinamico viene determinato imponendo che u(x, ) non differisca

dalla velocit nella regione indisturbata u per pi dell1%.

Analogamente, esiste uno strato limite termico in cui la temperatura varia da Ts

(temperatura della parete) a T (temperatura del fluido nella regione indisturbata).La regione di fluido non compresa nello strato limite termico si comporta dunque

come un pozzo termico, in grado di assorbire il calore proveniente dallo strato limite

senza modificare la propria temperatura.

Anche in questo caso, lo spessore t dello strato limite termico viene determinato

imponendo che la differenza di temperatura |T (x, t) Ts| sia pari al 99% delladifferenza di temperatura fra fluido nella zona indisturbata e parete |T Ts|

(fig. 3.1).

Se si rapporta il flusso termico scambiato per convezione attraverso lo strato limite:

Qc = hcA (Ts Tf )

con quello che sarebbe scambiato per pura conduzione attraverso lo strato limite:

Qk =

t(Ts Tf)

in cui la conducibilit termica del fluido, si ottiene:109

3. CONVEZIONE

Qc/Qk =ht

Se al posto dello spessore dello strato limite si riporta nellespressione precedente la

generica lunghezza caratteristica L, si ottiene lespressione del numero di Nusselt:

Nu =hL

3.5

3.3. ANALISI DIMENSIONALE PER LA CONVEZIONE FORZATA

Lesperienza insegna che il coefficiente di scambio termico per convezione forzata

dipende dalle seguenti variabili indipendenti:

hc = f(u, , , L, , cp) 3.6

dove:

= conducibilit termica

L = lunghezza caratteristica del problema (es.: diametro)

= massa volumica

cp = calore specificoSi hanno dunque 7 variabili (6 indipendenti) che dimensionalmente possono essereespresse attraverso le 4 dimensioni fondamentali M,L, T, (massa, lunghezza,u = velocit

= viscosit dinamicatempo e temperatura). Il teorema di Buckingham afferma che:

una relazione fra n variabili dipendenti ed indipendenti funzionedi m dimensioni fondamentali pu essere espressa attraverso unafunzione fra (nm) gruppi adimensionati.

La 3.6 dar dunque luogo ad una funzione di 7 4 = 3 gruppi adimensionati:

110

3. CONVEZIONE

f1(1, 2, 3) = 0

Si ipotizza una funzione monomia del tipo:

hc = A ua b c Ld m cnp 3.7

Essendo note le equazioni dimensionali delle 7 grandezze (tabella 3.1), si scrivono poile equazioni di congruenza dimensionale per le 4 dimensioni fondamentali.

M L T

Il sistema 3.7 di 4 equazioni in 6 incognite. Esprimendo a, b, c, d in funzione di m,n

si ottiene:a = mhc W/(m2K) kg/(s3K) 1 0 -3 -1u m/s m/s 0 1 -1 0 N s/m2 kg/(s m) 1 -1 -1 0 W/(m K) kgm/(s3K) 1 1 -3 -1D m m 0 1 0 0 kg/m3 kg/m3 1 -3 0 0cp J/(kg K) m2/(s2K) 0 2 -2 -1

Massa M : 1 = b + c + m

Lunghezza L : 0 = a b + c + d 3m + 2n

Tempo t : 3 = a b 3c 2n

Temperatura : 1 = c n

3.8

Tab. 3.1 Equazione dimensionale per le variabili del problema.

grandezza unit dimisura s.i.

unitfond. s.i.

equazionedimensionaleb = nm

c = 1 n

d = m 1

111

3. CONVEZIONE

hc = Au L cp = A L

da cui:

Moto turbolento completamente sviluppato allinterno diun condotto per fluido che si raffredda (equazione diDittus e Boelter)1

0.023 0.8 0.3

Moto turbolento completamente sviluppato allinternodi un condotto per fluido che si riscalda (equazione diDittus e Boelter)1

0.023 0.8 0.4

Fluido che scorre su una lastra piana indefinita perstrato limite laminare

0.664 0.5 0.33

Fluido che scorre su una lastra piana indefinita per5 2

0.036 0.8 0.33

strato limite turbolento(ReL > 10 ) Sostituendo nella 3.9 e raccogliendo i termini con uguale esponente si ottiene:

m nm 1n m1 m n(

uD)m ( cp)n Nu = ARem Pr n 3.9

opportuno sottolineare come nella 3.9 si sia giunti a due sole variabili indipendenti(Re e Pr), dalle sei che comparivano nella 3.6.

Per ricavare il valore del coefficiente A e degli esponenti m ed n che compaiono

nella 3.9 necessario ricorrere a tecniche sperimentali. In Tab. 3.2 si possono trovare

tali valori per alcune configurazioni ricorrenti.

Tab. 3.2 Valori delle costanti dellequazione 3.9 per alcune configura-zioni geometriche semplici.

Caso A m n1Le propriet del fluido vanno calcolate alla temperatura media del fluido.

2In questo caso la 3.9 fornisce il valore medio di Nu nel tratto L.

112

3. CONVEZIONE

Per alcuni fluidi di uso comune (aria, acqua) esistono delle correlazioni semplificatein cui si fornisce direttamente hc in funzione delle principali variabili indipendenti (la

3.4. CONVEZIONE NATURALE

Applicando lanalisi dimensionale alla convezione naturale, possibile ottenere:

Nu = f(Gr, Pr)

con Gr, numero di Grashof, definito da:

Gr =g T l3

23.10

dovehc = 3 + 2 uvelocit u e, a volte, una caratteristica dimensionale). Ad esempio, per aria che scorresu una parete si ha:T = differenza di temperatura fra fluido (T) e parete (T0)

L = lunghezza caratteristica

= coefficiente di dilatazione termica, pari a 1V

(V

T

)p

, ovvero 1/T per i

gas ideali, come laria

Le relazioni sono del tipo:

Nu = C (Pr Gr)m = C Ram 3.11

con

Ra = Gr Pr (numero di Rayleigh) 3.12

I numeri di Grashof e Prandtl vanno valutati alla cosiddetta temperatura di film Tf ,definita come:

Tf = (Ts + T)/2

113

3. CONVEZIONE

8 10 10 0.15 1/3

Piano orizzontale (flussodiscendente)

105 1011 0.58 1/5Quando il fluido aria possono essere utilizzate le equazioni semplificate riportate intabella 3.4.

Tab. 3.4 Espressioni semplificate di hc per l aria.

Configurazione Regime

laminare (104 < Ra < 109) turbolento (Ra > 109)

Piano o cilindro verticale hc = 1.42 (T/L)1/4 hc = 0.95 (T )1/3

Piano orizzontale (flussoascendente)

hc = 1.32 (T/L)1/4 hc = 1.43 (T )1/3Calcolo dello scambio termico per convezione naturale per alcuni casi particolari

I valori dei coefficienti C ed m dipendono dalla geometria del problema e dal valore

del numero di Rayleigh, come indicato nella tabella 3.3.

Tab. 3.3 Costanti C ed m da usare nella 3.11.

Geometria Ra C m

Piano o cilindro verticale 104 109 0.59 1/4

109 1013 0.10 1/3

Piano orizzontale (flusso ascendente) 2 104 8 106 0.54 1/46 11Piano orizzontale (flussodiscendente)

hc = 0.61 `T/L2

1/5

114

3. CONVEZIONE

u

Ts1

Ts2

Ta

T

Fig. 3.2 Campo termico e di velocit in una intercapedine.

Intercapedini daria

Il caso di intercapedini daria limitate da pareti molto frequente in edilizia. Nelleintercapedini si ha un doppio scambio termico convettivo parete calda-aria e aria-

parete fredda che produce il tipico campo di moto e di temperatura riportato in

figura 3.2.

Per le intercapedini si ricorre talvolta al concetto di conducibilit termica equivalente

e. Essa rappresenta il valore di conducibilit termica di un immaginario materiale

omogeneo inserito nellintercapedine tale per cui, a parit di temperatura delle due

facce, il flusso per conduzione risulterebbe pari a quello effettivamente trasmesso

attraverso lintercapedine per convezione naturale.

Si ha allora:

Q/A = hc (T1 T2) = e

(T1 T2) 3.13

dove = spessore dellintercapedine.0115

3. CONVEZIONE

I valori di e si ricavano attraverso il rapporto adimensionato:

Nu =hc

=

e

in cui Nu, numero di Nusselt calcolato per L = , rappresenta il rapporto fra il flusso

Tab. 3.5 Valori delle costanti dellequazione 3.14 per alcune geometriesemplici

Geometria Gr Pr L/ C m n

Verticale 6 103 2 105 11 42 0.197 -1/9 1/42 105 1.1 107 11 42 0.073 -1/9 1/3

Orizzontale 1700 7000 .......... 0.059 0 0.4

(flusso ascendente) 7000 3.2 105 .......... 0.212 0 1/4

> 3.2 105 .......... 0.061 0 1/3convettivo e quello che si avrebbe nel caso di pura conduzione. Esso dato da:

Nu = C (Gr Pr)n (L/)m 3.14

con:

Gr = numero di Grashof calcolato perL =

L = altezza o lunghezza dellintercapedine

C,m, n = coefficienti riportati nella tabella 3.5

Per numeri di Grashof inferiori a 2000 si assume e , ovvero Nu = 1. Cisignifica che non si innescano moti convettivi e il trasporto di calore avviene per pura

conduzione.116

4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETIEDILIZIE

4.1. SCAMBIO TERMICO MISTO IN INTERCAPEDINISi visto nel CAPITOLO 1 (eq. 1.21) come il flusso di calore trasmesso attraverso una

parete piana multistrato in regime stazionario sia dato dallespressione

QA

= U (Ti Te) 4.1

dove U, detta trasmittanza termica o coefficiente di scambio termico globale, data

da (CAPITOLO 1, eq. 1.22):

U =

1

hi+

nj=1

sjj

+1he

1

Tutti i termini fra parentesi rappresentano delle resistenze termiche. Esistono alcuni

componenti di parete la cui resistenza termica non pu essere determinata attraverso

il rapporto s/. Si tratta di intercapedini daria, blocchi di laterizio o cemento

alleggerito, etc. In questi casi si preferisce introdurre nella 1.22 direttamente la loro

resistenza termica, ovvero:

U =

1

hi+

nj=1

sjj

+

Rj+1he

1

4.2

Si esaminer ora in particolare il calcolo della resistenza termica delle in intercapedini

daria, comunemente impiegate in edilizia, sia nelle pareti opache che in quelle

117

4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIE

aria

T1 T2

irraggiamento

convezione

Ta

Fig. 4.1 Flussi termici in intercapedini.

vetrate. Nelle intercapedini si ha uno scambio termico per irraggiamento diretto fra

Q

A=

Q

Aconv

+Q

Arad

= hc (T1 T2) + hr (T1 T2) =

(hc + hr) (T1 T2) = T1 T2Rint

4.3

Lo studio dellirraggiamento fra le due facce di unintercapedine si pu ricondurre a

quello fra due superfici piane, parallele e infinite, analizzato nel CAPITOLO 2. Il flussoscambiato per unit di superficie vale in questo caso

(Q

A

)rad

= F(T 41 T 42

)= hr (T1 T2)

con

hr = 4 FT 3m =4T 3m

11

+ 12 1

Dalla fig. 4.2 si vede che il valore di hr dipende debolmente dalla temperatura media

delle due facce (in K), ma fortemente influenzato dalla loro emissivit.le due facce delle pareti, e uno scambio termico convettivo parete calda-aria e aria-

parete fredda (vedi fig. 4.1). Il flusso complessivamente scambiato nellintercapedinevale dunque: ( ) ( )118


0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000

coef

ficie

nte

radi

ativ

o h

r (W

/

Tm = 275 K

Tm = 290 K

F

Fig. 4.2 Coefficiente radiativo hr in intercapedini per vari valori di F e Tm.

Per quanto riguarda la convezione in intercapedini, essa stata analizzata nel

CAPITOLO 3. Si ha1.

Q/A = hc (T1 T2)

conhc =e

dove

= spessore dellintercapedine

e = conducibilit termica effettiva (o equivalente) dellintercapedine

La conducibilit termica effettiva dipende a sua volta in modo complesso dallo

spessore dellintercapedine, dalla differenza di temperatura e dalla lunghezza (altezza)

1Si noti che, contrariamente alla consuetudine, il flusso convettivo non viene assunto propor-

zionale alla differenza fra la temperatura di una faccia e dellaria, ma alla differenza fra le

temperature delle due facce.5.000

6.000

m2

K)119


0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1.400

1.600

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Differenza di temperatura fra le facce (C)

d = 2 cmd = 5 cm d = 8 cm

h c(W

/m2K

)

Fig. 4.3 Coefficiente convettivo hc in intercapedini al variare di differenza di

temperatura e spessore dellintercapedine (L = 3m).

dellintercapedine. In fig. 4.3 illustrata la dipendenza dalla differenza di temperatura

e dallo spessore dellintercapedine.

In definitiva le variabili da cui dipende la resistenza dellintercapedine sono:

lemissivit delle facce la differenza di temperatura fra le due facce

lo spessore dellintercapedine

laltezza dellintercapedine

In generale si pu dire che la resistenza dellintercapedine aumenta fortemente al

diminuire dellemissivit delle due facce e diminuisce debolmente allaumentare della

differenza di temperatura e al diminuire dellaltezza dellintercapedine. Ha invece un

andamento variabile al variare dello spessore: cresce fino a circa 6 cm, poi diminuisce

lentamente.

Per intercapedini in pareti opache o vetrate non trattate lemissivit delle due facce

circa uguale a 0.93-0.95, da cui risulta F = 0.87-0.90. Si pu assumere in tal caso

Rint = 0.18-0.19 m2K/W.120


TT

RRtotR0-x

Tx

Ti

Fig. 4.4 Diagramma (T, R).

Viceversa, quando si impiegano vetri speciali, denominati basso-emissivi, che con-

sentono di raggiungere valori di F = 0.10-0.20, si pu avere Rint = 0.4-0.5 m2K/W.

4.2. DIAGRAMMA (T,R)

La 4.1 pu essere riscritta, ricordando la 1.19a

Q

A=

Ti TeRtotLa formula mostra che in regime stazionario le differenze di temperatura sono

proporzionali alle resistenze termiche. La costante di proporzionalit proprio la

densit di flusso termico:

Ti Te =(Q/A

) Rtot 4.4

Riportando le temperature su un diagramma (T, R), come indicato in fig. 4.4 si ottieneuna retta che consente di determinare la temperatura in una sezione qualsiasi (x)

della struttura in funzione della generica resistenza termica Rox dallaria interna

alla sezione considerata.Te121


4.3. TRASMISSIONE DEL CALORE IN PARETI OPACHE IN PRESENZA DI

RADIAZIONE SOLARE

Si vuole calcolare il flusso trasmesso attraverso una parete multistrato di spessore s

e costituita da n strati, sulla cui faccia esterna incide un flusso termico radiativo diorigine solare. Siano Ti e Te le temperature dei due ambienti che essa separa. Si

tratta di un problema con condizioni al contorno del 3 tipo su entrambe le facce dellaparete. In particolare, sulla faccia esterna si avr:

Q

A

x=s

= he (Tn+1 Te) I

dove il fattore di assorbimento della parete e I lirradianza solare, espressa in

W/m2. Seguendo la procedura indicata nel PARAGRAFO 1.4 si ricava la differenza di

temperatura fra laria interna e la superficie esterna:

Q

A

n

j=1

sjj

+1hi

= Ti Tn+1

Aggiungendo a questa equazione la condizione al contorno sulla faccia esterna si

ottiene:

Q

A= U (Ti Te) U I

he= U (Ti Ts,a)

avendo chiamato temperatura sole-aria la quantit

Ts,a = Te +I

he4.5

4.4. IL PROBLEMA DELLA CONDENSA SUPERFICIALE

Quando la temperatura superficiale di una parete a contatto con laria interna scendeal di sotto della temperatura di rugiada si ha formazione di condensa. Se il fenomeno

ricorrente si creano condizioni favorevoli allo sviluppo di colonie fungine e muffe

122


Il problema si sintetizza nel confronto fra la temperatura superficiale

Tsi = Ti Uhi

(Ti Te)

e la temperatura di rugiada Tr dellaria interna, che a sua volta dipende, oltre che dalla

temperatura dellaria, dalla sua umidit relativa (vedi il CAPITOLO 4 della PARTEPRIMA). Per evitare la condensa superficiale occorre che sia:

Tsi > Tr

Tuttavia, poich la temperatura superficiale interna risente delle variazioni dellatemperatura esterna, pi conveniente effettuare il confronto utilizzando il concetto

di fattore di temperatura della parete:che deturpano laspetto della parete e creano un ambiente malsano per le persone che

vi risiedono2.f =Tsi TeTi Te 4.6

in quanto si dimostra facilmente che questo solo funzione delle caratteristiche di

resistenza termica della parete (Rtot) e dello strato liminare interno (Ri):

f =Tsi TeTi Te =

Tsi Te + Ti TiTi Te = 1

Ti TsiTi Te = 1

RiRtot

Occorre allora imporre che f sia superiore al valore massimo ammissibile fmax, dato

a sua volta da:

fmax =Tr TeTi Te

2Alcune muffe riescono a proliferare anche quando lumidit relativa locale inferiore al 100 %,

fino a valori prossimi all80%.

123


4.5. DIFFUSIONE DEL VAPORE E CONDENSA INTERSTIZIALE

La diffusione quel particolare fenomeno di trasporto di massa provocato su scala

microscopica da gradienti di concentrazione presenti allinterno di una miscela di

gas. Per concentrazione si intende il rapporto fra la quantit di sostanza di uno dei

componenti la miscela e il volume totale della miscela. La condensa interstiziale

un fenomeno che si verifica quando il vapore dacqua, nella sua diffusione attraverso

una parete, incontra zone a temperatura pi bassa della temperatura di saturazione del

vapore.Legge di FickSi abbia un volume contenente una miscela di gas a concentrazione non uniforme.

Attraverso una superficie immaginaria tracciata in modo da dividere il volume

occupato dalla miscela in due parti, passeranno, per mera agitazione molecolare, pi

molecole dal lato a concentrazione pi elevata a quello a concentrazione pi bassa che

non viceversa. Ne risulta un trasporto netto di massa nella direzione in cui il gradiente

di concentrazione minore di zero.

Lesperienza dimostra che la portata di diffusione proporzionale al gradiente della

concentrazione, secondo la legge, detta Legge di Fick, valida in regime stazionario:n

A= D C

x4.7

in cui

n = flusso di quantit di sostanza, kmoli/s

D = diffusivit, m2/s

C = concentrazione molare, in kmoli/m3, data da:

C =n

V

Si osservi la perfetta analogia fra la 4.7 e la legge di Fourier, scritta in funzione della

diffusivit termica = /cp , che ha le stesse dimensioni di D :

Q

A= T

x= ( cp T )

x

124


Diffusione del vapore acqueo attraverso una parete

Esaminiamo adesso il caso della diffusione del vapore acqueo attraverso un materiale

p V = nRT

molare si ricava

C =p

R T4.8

Sostituendo la 4.8 nella 4.7 si ha:

n

A= D

R T px

o anche, moltiplicando per la massa molecolare :

avendo definito permeabilit al vapore la quantit

=D

R T

Applicando la 4.9 ad una parete piana multistrato in regime stazionario per flussodi vapore monodimensionale, si ottiene, con procedimento del tutto analogo a

quello descritto per ricavare il flusso di calore per conduzione attraverso una paretem

A= D

R T

p

x= p

x4.9in cui p la pressione parziale del vapore nellaria. Dalla definizione di concentrazionepermeabile. Poich il vapore dacqua allo stato gassoso si pu, con qualche

approssimazione, applicare lequazione di stato dei gas ideali:multistrato (CAPITOLO 1.4):m

A= M (pi pe) 4.10

dove

M =(

1i

+ s

+

1e

)14.11

la permeanza al vapore della parete, che ha il suo analogo termico nella trasmittanza

termica U del CAPITOLO 1.4.

I termini riportati nella parentesi hanno le dimensioni di una resistenza alla diffusionedel vapore (Rv); in particolare i coefficienti dimensionati i e e forniscono lentit

125


della diffusione del vapore dallaria alla parete e viceversa. Il loro valore molto

elevato rispetto ai valori di /s dei principali materiali, per cui spesso si pu assumere

1/i = 1/e = 0

Pertanto la 4.5 pu essere riscritta come:

M =( s

)14.11 a

I valori di permeabilit di alcuni fra i materiali pi comunemente impiegati in edilizia

sono forniti in Tabella 4.1.

Tab. 4.1 Valori di permeabilit al vapor dacqua ().

Materiale (kg/s m Pa) Materiale (kg/s m Pa)

Aria 17.8 1011 Legno di pino 0.10 1011

Calcestruzzo da 2300kg/m3

0.5 1011 Muratura di mattonipieni e forati

2.0 1011

Calcestruzzo di pomi-ce da 280 kg/m3

5.9 1011 Fibra minerale(lastre)

3 15 1011

Calcestruzzo leggero 1.8 4.8 1011 Foglio di alluminio,vetro cellulare

0

Cartonfeltro bitumato 1.8 1014 Foglio di polietilene 0.2 0.5 1014Eternit 0.27 1011 Polistirolo espanso 0.4 0.8 1011Intonaco di gesso 2.9 1011 Polistirolo estruso 0.21 1011

Intonaco di malta dicemento

0.9 1011 PVC 0.8 1.7 1012

126


Tab. 4.1 Valori di permeabilit al vapor dacqua ().

Materiale (kg/s m Pa) Materiale (kg/s m Pa)

Intonaco di malta ecalce

1.8 1011 Resina epossidica inlastre rinforzate confibra di vetro

0.83 1015

Legno di faggio 0.05 1011 Vermiculite, perlite eargilla espansasciolta

17.8 1011

Diagramma di Glaser

Il diagramma di Glaser costituisce un utile strumento non soltanto per la verifica dei

rischi di condensa in una parete, ma anche per la correzione di tale inconveniente.

Essa ha la resistenza alla diffusione del vapore in ascisse e la pressione parziale di

vapore in ordinate. E dunque un diagramma (p,Rv) e gode delle stesse propriet di

cui gode il diagramma (T, R) descritto al PARAGRAFO 4.2.

Il procedimento di costruzione del diagramma consiste nei seguenti passi:

a. Si riportano in ascisse, in successione, i valori delle resistenze s/ alladiffusione del vapore degli strati costituenti la parete, dallinterno allesterno,

fino a raggiungere laria esterna (Rv,tot).

b. Si riportano i valori delle pressioni parziali del vapore interna (pi) ed esterna

(pe), rispettivamente in corrispondenza di Rv = 0 e Rv = Rv,tot.

c. Si traccia la retta che unisce i due punti cos ottenuti. Essa rappresenta

landamento delle pressioni parziali su ogni superficie attraversata dal flusso

di vapore. Infatti, analogamente alla 4.4, si ha

pe = pi mA

Rv,tot

d. Conoscendo le temperature in corrispondenza dei vari strati si ricavano le cor-

rispondenti pressioni di saturazione p (vedi tab. 4.2 e fig. 4.1 della PARTE I) esle si riportano sul diagramma di Glaser.

127

4. PROBLEMI TERMOIGROMETRICI NELLE PARETI EDILIZIETab. 4.2 Valori della pressione di saturazione dellacqua fra 20 C e

39C.

T (C) pvs(Pa) T (C) pvs(Pa) T (C) pvs(Pa) T (C) pvs(Pa)

-20 103 -5 402 10 1228 25 3169-19 114 -4 437 11 1312 26 3363-18 125 -3 476 12 1403 27 3567-17 137 -2 518 13 1498 28 3782-16 151 -1 563 14 1598 29 4008-15 165 0 611 15 1706 30 4246-14 181 1 657 16 1819 31 4496-13 199 2 706 17 1938 32 4759-12 217 3 758 18 2064 33 5035-11 238 4 814 19 2198 34 5324-10 260 5 873 20 2339 35 5628-9 284 6 935 21 2488 36 5947-8 310 7 1002 22 2645 37 6281-7 338 8 1073 23 2811 38 6632-6 369 9 1148 24 2985 39 7000pe

pi

psi

pse

RvRv,tot

p

Fig. 4.5 Diagramma di Glaser per una parete in cui non si manifestano fenomeni di

condensa.128


pe

pi

psi

pse

RvRv,2 Rv,1 Rv,tot

p1p2

p

Fig. 4.6 Profilo delle pressioni reali in presenza di condensazione.Se in nessun punto la pressione reale supera quella di saturazione si ha la situazione

di fig. 4.5.

In caso contrario si ha formazione di condensa allinterno della parete, evidenziata

dallarea tratteggiata (fig. 4.6). Tuttavia, in questo caso il profilo delle pressioni realicambia rispetto a quello ricavato con le considerazioni precedenti, poich la pressione

reale non pu mai superare la pressione di saturazione. Per ricavare il profilo di

pressione reale si deve tener conto del fatto che, poich parte della portata di vapore

condensa, la portata uscente sar minore di quella entrante.

Pertanto, devono essere rispettate le due condizioni:

portata costante quando p < ps (p

Rv= costante)

p ps in ogni sezione della parete

Landamento delle pressioni reali che soddisfa le precedenti condizioni quello in cui

la retta delle pressioni reali tangente alla curva di saturazione (tratti pip1 e p2pe)o coincide con essa (tratto p1 p2).129


pi

psi

Rv v

Rv,add pse

pe

p

Fig. 4.7 Correzione del problema della condensa interstiziale mediante resistenza

aggiuntiva (barriera al vapore).

La portata di vapore, ovvero la pendenza dp/dRv, sar costante nel tratto i 1,decrescente nel tratto 1 2 e di nuovo costante, ma inferiore a quella del tratto i 1,nel tratto 2 e.

La portata condensata varr dunque:(m

A

)cond

=(

m

A

)in

(

m

A

)out

=(

p

Rv

)i1

(

p

Rv

)2e

=pi p1Rv,1

p2 peRv,2Nel caso in cui si voglia correggere la stratigrafia della parete in modo da evitare la

formazione di condensa al suo interno, si pu ancora utilizzare il diagramma di Glaser.

Si traccia la retta partente da pe e tangente alla curva di saturazione fino a raggiungere

il valore pi, sulla sinistra dellasse (fig. 4.7). La distanza di tale punto dallasse prappresenta la resistenza Rv,add aggiuntiva che deve essere introdotta, attraverso una

opportuna barriera al vapore, per evitare rischi di condensa.

4.6. TRASMISSIONE DEL CALORE IN PARETI VETRATE

Nel caso di pareti vetrate, in presenza di radiazione solare, si ha un duplice fenomeno

di scambio termico, di cui si tiene conto separatamente. Vi un flusso termico per130


differenza di temperatura (trasmissione per conduzione, con condizioni al contornoradiativo-convettive) e un flusso termico entrante per effetto della radiazione solare.

Il flusso termico per differenza di temperatura sar dato, come in precedenza, dalla 4.1

(Q

A

)cond

= U (Ti Te)

Quello legato alla radiazione solare somma di due componenti, una di trasmissionediretta verso linterno, laltra dovuta allassorbimento e riemissione verso linterno

della radiazione (Q

A

)sol

= (sol + nsol) I 4.12

in cui

n = frazione riemessa verso linterno della quota assorbita

sol = fattore di assorbimento alla radiazione solare

sol = fattore di trasmissione alla radiazione solare

Spesso la quantit fra parentesi nella 4.12 viene detta fattore solare (g ) :g = + nsol131

Generalit sulla trasmissione del calore e conduzioneconduzione e legge di fourierequazione generale della conduzioneCoordinate rettangolariCoordinate cilindriche

condizioni al contorno e scambio termico misto IrraggiamentoConvezione Scambio termico liminare

parete piana Parete piana monostrato con condizioni al contorno del 1 tipoParete piana multistrato con condizioni al contorno del 1 tipoPareti piane che separano ambienti a temperatura prefissata

parete cilindrica Parete monostrato con condizioni al contorno del 1 tipoPareti cilindriche che separano fluidi a temperatura prefissata

transitori termici in sistemi a capacit termica concentrataalcuni problemi particolariPareti piane compositeAlette di raffreddamento

Irraggiamentoleggi del corpo nerocaratteristiche radiative delle superfici realiscambio termico per irraggiamento fra corpi neriIrraggiamento fra due superfici nereIrraggiamento fra n superfici nere

scambio termico per irraggiamento fra superfici grigieValori di F per alcune geometrie particolariLinearizzazione del flusso di irraggiamento

Convezioneregime di moto e viscositconcetto di strato limiteanalisi dimensionale per la convezione forzataconvezione naturaleCalcolo dello scambio termico per convezione naturale per alcuni casi particolariIntercapedini d'aria

Problemi termoigrometrici nelle pareti ediliziescambio termico misto in intercapedinidiagramma (t,r)trasmissione del calore in pareti opache in presenza di radiazione solareil problema della condensa superficialediffusione del vapore e condensa interstizialeLegge di FickDiffusione del vapore acqueo attraverso una pareteDiagramma di Glaser

trasmissione del calore in pareti vetrate

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