DISEÑO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO …

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DISEÑO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL PARA EL LABORATORIO DE AUTOMÁTICA DE LA EIEE DE

UNIVALLE

GUSTAVO ADOLFO CORTÉS CARDONA

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA PROGRAMA DE POSGRADOS EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

MAESTRÍA EN INGENIERÍA ÉNFASIS EN AUTOMÁTICA SANTIAGO DE CALI

2017

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DISEÑO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL PARA EL LABORATORIO DE AUTOMÁTICA DE LA EIEE DE

UNIVALLE

GUSTAVO ADOLFO CORTÉS CARDONA

Trabajo de Grado Modalidad Profundización para optar al título de Magíster en Ingeniería – Énfasis en Automática

Director MSc. José Tomas Buitrago Molina

Ingeniero Mecánico

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA PROGRAMA DE POSGRADOS EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

MAESTRÍA EN INGENIERÍA ÉNFASIS EN AUTOMÁTICA SANTIAGO DE CALI

2017

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Nota de Aceptación:

_____________________________________

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_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

Firma del Director

_____________________________________

Firma del Evaluador

_____________________________________

Firma del Evaluador

Santiago de Cali, Junio de 2017

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DEDICATORIA

Inicialmente deseo dedicarle este trabajo especial a todas las personas que siempre

creyeron en mi capacidad, capacidad que tenemos todos, es grato saber la fuerza

y determinación que poseemos cuando queremos alcanzar algo.

A Dios por estar pendiente en todos los momentos de mi vida, iluminándome el

camino, siendo mi fortaleza en cada paso de mi vida, con su protección y bendición

me ayudo a serle frente a todos los problemas.

A mis padres por infundir en mí la lucha y el deseo de superación, resaltando el

apoyo en los momentos de duda, dificultad y felicidad.

A mi esposa Leslie Andrea por creer en mí y a mi hija Laura Gabriela por su ternura,

por estar conmigo en los momentos de alegría y tristeza; por su actitud de apoyo y

comprensión.

5

AGRADECIMIENTOS

El presente trabajo de grado inicialmente me gustaría agradecerte a ti Dios por

bendecirme para llegar hasta donde he llegado, porque hiciste realidad este sueño

anhelado.

A mi director de tesis, MSc. José Tomás Buitrago Molina por su esfuerzo y

dedicación, quien, con sus conocimientos, su experiencia, su paciencia y su

motivación ha logrado en mí que pueda terminar mis estudios con éxito.

De igual manera agradecer al PhD. Manuel Camargo por su visión crítica de muchos

aspectos cotidianos de la vida, por su rectitud en su profesión como docente, por

sus consejos, que ayudan a formarte como persona e investigador.

Son muchas las personas que han formado parte de mi vida profesional, a las que

me encantaría agradecerles su amistad, consejos, apoyo, ánimo y compañía en los

momentos más difíciles de mi vida. Algunas están aquí conmigo y otras en mis

recuerdos y en mi corazón, sin importar en donde estén quiero darles las gracias

por formar parte de mí, por todo lo que me han brindado y por todas sus bendiciones.

Para ellos, muchas gracias y que Dios los bendiga.

6

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

ABSTRACT ........................................................................................................... 15

KEYWORDS ...................................................................................................... 15

RESUMEN ............................................................................................................ 16

PALABRAS CLAVE ........................................................................................... 16

0. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 17

1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ................................................................. 19

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ....................................................... 19

1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .......................................................... 21

1.3. SISTEMATIZACIÓN DEL PROBLEMA .................................................... 21

2. OBJETIVOS .................................................................................................... 22

2.1. OBJETIVO GENERAL .............................................................................. 22

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................... 22

3. ALCANCE ....................................................................................................... 23

4. JUSTIFICACIÓN ............................................................................................. 25

7

5. MARCO REFERENCIAL ................................................................................ 27

5.1. MARCO HISTÓRICO ............................................................................... 27

5.1.1. Modelamiento y simulación de un sistema con doble péndulo invertido 27

5.1.2. Diseño y manufactura de un péndulo doble para realizar pruebas de estabilidad y control ........................................................................................ 27

5.1.3. Simulación del movimiento de un péndulo doble en un medio viscoso 28

5.1.4. Modelamiento, diseño y simulación de un sistema de control para un sistema de péndulo doble invertido (SPDI) ..................................................... 28

5.1.5. Diseño e implementación de un péndulo invertido sobre un carro móvil para el laboratorio de mecatrónica de la FIMCP aplicando estrategias de control proporcional integral derivativo (PID) .................................................. 29

5.1.6. Dinámica de un péndulo sobre móvil: simulación y experimento ...... 29

5.1.7. Diseño de un sistema péndulo invertido, sobre plataforma LEGO Mindstorms NXT, controlado mediante MATLAB ........................................... 30

5.1.8. Modelado, control y simulación de un sistema péndulo invertido sobre base móvil ....................................................................................................... 30

5.1.9. Diseño e implementación de un péndulo invertido sobre un carro aplicando estrategias de control basado en LMI ............................................. 31

5.1.10. Integración del hardware de un péndulo invertido ............................. 31

5.1.11. Control de un péndulo invertido simple por métodos de realimentación de estados ...................................................................................................... 32

5.1.12. El péndulo invertido: un desafío para el control no lineal ................... 32

5.2. MARCO TEÓRICO ................................................................................... 33

5.2.1. Péndulo doble .................................................................................... 33

5.2.2. Modelo matemático ........................................................................... 34

5.2.3. Método de Euler – Lagrange ............................................................. 35

5.2.4. Jacobiano .......................................................................................... 39

8

5.2.5. Control automático ............................................................................. 41

5.2.6. Controlador por realimentación de estados ....................................... 42

5.2.7. Observador o estimación de estados ................................................ 43

5.2.8. Regulador óptimo cuadrático o LQR .................................................. 46

5.2.9. Estimador óptimo cuadrático o LQE .................................................. 46

5.2.10. Controlador óptimo gaussiano o LQG ............................................... 47

5.3. MARCO CONCEPTUAL ........................................................................... 50

6. PROTOTIPO VIRTUAL EN 3D DEL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL ..................................................................................................... 53

6.1. VISTA ISOMÉTRICA DEL PENDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL ....... 54

6.2. VISTA EXPLOSIONADA .......................................................................... 55

6.3. PISTA DEL CARRO MÓVIL ..................................................................... 56

6.4. ESTRUCTURA ......................................................................................... 57

6.5. CARRO MÓVIL......................................................................................... 58

6.6. ESLABÓN 1 .............................................................................................. 59

6.7. ESLABÓN 2 .............................................................................................. 60

6.8. CHUMACERA .......................................................................................... 61

6.9. TORNILLO CHUMACERA ........................................................................ 62

6.10. CAJA DE DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS ........................................... 63

7. MODELO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL ...... 64

7.1. PARÁMETROS DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL ............... 64

7.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO MEDIANTE LA FUNCIÓN DE LAGRANGE ....................................................................................................... 65

7.3. ECUACIONES DE EULER – LAGRANGE ............................................... 67

9

8. SIMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL EN SIMULINK DE MATLAB ........................................................ 69

8.1. VARIABLES DE ESTADO ........................................................................ 69

8.2. ORGANIZACIÓN DE LAS ECUACIONES PARA LA SIMULACIÓN ........ 70

8.3. PARÁMETROS PARA LA SIMULACIÓN ................................................. 73

8.4. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL MODELO MATEMÁTICO ..................... 73

9. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL ............................. 76

9.1. CASOS ESTABLES .................................................................................. 76

9.1.1. Caso 1. Punto de equilibrio Eq_1 ...................................................... 77




9.2. CASOS INESTABLES .............................................................................. 81

10. DISEÑO DE CONTROLADORES PARA EL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL ................................................................................ 83

10.1. LINEALIZACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO...................................... 83

10.2. CONTROLABILIDAD DEL MODELO LINEALIZADO EN SS DEL SISTEMA DE PÉNDULO DOBLE LINEAL ......................................................... 88

10.3. OBSERVABILIDAD DEL MODELO LINEALIZADO EN SS DEL SISTEMA DE PÉNDULO DOBLE LINEAL ......................................................... 89

10.4. ESTABILIDAD DEL MODELO LINEALIZADO EN SS DEL SISTEMA DE PÉNDULO DOBLE LINEAL ......................................................................... 90

10.5. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS ........ 91

10.6. DISEÑO DEL OBSERVADOR DE ESTADOS .......................................... 92

10.7. DISEÑO DEL CONTROLADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO Ó LQR ........... 94

10.8. DISEÑO DEL OBSERVADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO Ó LQE .............. 96

10.9. DISEÑO DEL CONTROLADOR CUADRÁTICO GAUSSIANO Ó LQG .... 98

10

11. SIMULACIÓN DE CONTROLADORES PARA EL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL EN SIMULINK DE MATLAB ............... 101

11.1. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON REALIMENTACIÓN DE ESTADOS .................................................................................................. 101

11.2. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON CONTROL POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS CON OBSERVADOR .............................. 102

11.3. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON CONTROL LQR ........ 103

11.4. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON LQR + LQE ............... 104

11.5. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON CONTROL LQG ........ 105

12. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO DEL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL CON LOS CONTROLADORES ......... 106

12.1. RESPUESTA CON REALIMENTACIÓN DE ESTADOS ........................ 107

12.2. RESPUESTA CON REALIMENTACIÓN DE ESTADOS CON OBSERVADOR ................................................................................................ 108

12.3. RESPUESTA CON LQR ......................................................................... 109

12.4. RESPUESTA CON LQR + LQE ............................................................ 110

12.5. RESPUESTA CON LQG ........................................................................ 111

13. CONCLUSIONES ......................................................................................... 112

14. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................. 114

ANEXOS ............................................................................................................. 117

ANEXO A. PLANOS DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL................ 118

ANEXO B. CÓDIGO DE MATLAB PARA EL MODELO MATEMÁTICO .......... 126

ANEXO C. CÓDIGO DE MATLAB PARA LOS CONTROLADORES ............... 129

ANEXO D. PRESUPUESTO PARA LA FUTURA CONSTRUCCIÓN DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL ......................................................... 134

11

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Prototipo virtual de péndulo invertido doble lineal .................................. 24

Figura 2. Diseño mecánico del péndulo doble sobre un carro móvil ..................... 24

Figura 3. Péndulo doble ........................................................................................ 33

Figura 4. Control Por Realimentación de Estados ................................................. 42

Figura 5. Observador de Estados .......................................................................... 44

Figura 6. Vista isométrica del prototipo virtual en 3D ............................................ 54

Figura 7. Vista explosionada del prototipo virtual en 3D ....................................... 55

Figura 8. Pista, riel o carril del carro móvil ............................................................ 56

Figura 9. Estructura del sistema del péndulo doble lineal ..................................... 57

Figura 10. Carro o base móvil del péndulo doble .................................................. 58

Figura 11. Primer eslabón o brazo del péndulo doble ........................................... 59

Figura 12. Segundo eslabón o brazo del péndulo doble ....................................... 60

Figura 13. Chumacera o pivote móvil del péndulo doble ....................................... 61

Figura 14. Tornillo de la chumacera ...................................................................... 62

Figura 15. Caja de dispositivos electrónicos y/o de control del péndulo doble ...... 63

Figura 16. Representación esquemática del péndulo invertido doble ................... 65

Figura 17. Pantalla de Inicio de MatLab R2015a ................................................... 69

Figura 18. Diagrama de bloques del modelo matemático en SimuLink ................. 74

Figura 19. Puntos de equilibrio del péndulo doble ................................................. 76

Figura 20. Respuesta en punto de Eq_1 ............................................................... 77




Figura 24. Respuesta a θ1=180° y θ2=170° ........................................................... 81

Figura 25. Respuesta a θ1=170° y θ2=180° ........................................................... 82

Figura 26. Diagrama de polos y ceros del modelo linealizado en SS .................... 90

Figura 27.Diagrama de bloques del sistema con Pole Placement en SimuLink .. 101

Figura 28. Diagrama de bloques del estimador de estados en SimuLink ............ 102

12

Figura 29. Diagrama de bloques del controlador por realimentación de estados con estimador de estados en SimuLink ..................................................................... 102

Figura 30. Diagrama de bloques del sistema con LQR en SimuLink .................. 103

Figura 31. Diagrama de bloques del estimador óptimo o LQE en SimuLink ....... 104

Figura 32. Diagrama de bloques del regulador óptimo LQR con estimador óptimo LQE en SimuLink ................................................................................................ 104

Figura 33. Diagrama de bloques del sistema con LQG en SimuLink .................. 105

Figura 34. Respuesta de θ1 con Pole Placement ................................................ 107

Figura 35. Respuesta de θ2 con Pole Placement ................................................ 107

Figura 36. Respuesta de X con Pole Placement ................................................. 107

Figura 37. Señal de control con Pole Placement ................................................. 107

Figura 38. Respuesta de θ1 con Regulador+Estimador ...................................... 108

Figura 39. Respuesta de θ2 con Regulador+Estimador ...................................... 108

Figura 40. Respuesta de X con Regulador+Estimador ....................................... 108

Figura 41. Señal de Control con Regulador+Estimador ...................................... 108

Figura 42. Respuesta de θ1 con LQR .................................................................. 109

Figura 43. Respuesta de θ2 con LQR .................................................................. 109

Figura 44. Respuesta de X con LQR ................................................................... 109

Figura 45. Señal de control con LQR .................................................................. 109

Figura 46. Respuesta de θ1 con LQR+LQE......................................................... 110

Figura 47. Respuesta de θ2 con LQR+LQE......................................................... 110

Figura 48. Respuesta de X con LQR+LQE ......................................................... 110

Figura 49. Señal de control con LQR+LQE ......................................................... 110

Figura 50. Respuesta de θ1 con LQG .................................................................. 111

Figura 51. Respuesta de θ2 con LQG .................................................................. 111

Figura 52. Respuesta de X con LQG .................................................................. 111

Figura 53. Señal de control con LQG .................................................................. 111

13

LISTA DE ECUACIONES

Pág.

Ecuación 1. Definición de lagrangiano .................................................................. 37

Ecuación 2. Forma del lagrangiano ....................................................................... 37

Ecuación 3. Ecuación de Euler – Lagrange .......................................................... 38

Ecuación 4. Función de disipación de Rayleigh .................................................... 38

Ecuación 5. Definición de matriz jacobiana ........................................................... 40

Ecuación 6. Energía Cinética del Péndulo Doble Lineal ....................................... 65

Ecuación 7. Energía Potencial del Péndulo Doble Lineal ...................................... 65

Ecuación 8. Lagrangiano del péndulo invertido doble lineal .................................. 66

Ecuación 9. Ecuaciones de Euler – Lagrange general .......................................... 67

Ecuación 10. Ecuaciones de Euler – Lagrange del Péndulo Doble Lineal ............ 67

Ecuación 11. Ecuación de Euler – Lagrange con respecto a 1θ ............................ 67

Ecuación 12. Ecuación de Euler – Lagrange con respecto a 2θ ........................... 67

Ecuación 13. Ecuación de Euler – Lagrange con respecto a X ........................... 67

Ecuación 14. Despeje de 1θ

•• ................................................................................. 70


•• ................................................................................. 71

Ecuación 16. Despeje de X••

................................................................................. 71

Ecuación 17. 1 1 1 2 2 en términos de , , , ,X Xθ θ θ θ θ

•• • • • ...................................................... 71


•• • • • ...................................................... 72

Ecuación 19. 1 1 2 2 en términos de , , , ,X X Xθ θ θ θ

•• • • • ...................................................... 72

14

Ecuación 20. Matriz A linealizada del modelo en SS del péndulo doble lineal ...... 84

Ecuación 21. Matriz B linealizada del modelo en SS del péndulo doble lineal ...... 85

Ecuación 22. Matrices A, B, C y D del modelo linealizado en SS ......................... 86

Ecuación 23. Modelo matemático en espacio de estados ..................................... 87

Ecuación 24. Modelo linealizado en SS del péndulo doble lineal .......................... 87

Ecuación 25. Matriz de controlabilidad del modelo linealizado en SS ................... 88

Ecuación 26. Matriz de observabilidad del modelo linealizado en SS ................... 89

Ecuación 27. Polos del modelo linealizado en SS ................................................. 90

Ecuación 28. Ganancias de realimentación de estados ........................................ 92

Ecuación 29. Ganancias de estimación de estados .............................................. 94

Ecuación 30. Función de coste cuadrático para el LQR ........................................ 95

Ecuación 31. Parámetro R (peso acción de control) del LQR ............................... 95

Ecuación 32. Parámetro Q (Peso variables de estado) del LQR ........................... 95

Ecuación 33. Vector K_lqr de ganancias del LQR................................................. 96

Ecuación 34. Polos de lazo cerrado con LQR ....................................................... 96

Ecuación 35. Parámetro Re (peso señal estimada) del LQE ................................ 97

Ecuación 36. Parámetro Qe (Peso variables de estado) del LQE ......................... 97

Ecuación 37. Vector K_lqe de ganancias del LQE ................................................ 97

Ecuación 38. Parámetro R1 (peso acción de control) del LQG ............................. 98

Ecuación 39. Parámetro Q1 (peso variables de estado) del LQG ......................... 98

Ecuación 40. Parámetros Qn y Rn (peso ruidos de entrada y salida) del LQG ..... 99

Ecuación 41. Parámetros QXU y QWV (Pesos Totales) del LQG ......................... 99

15

ABSTRACT

In the following research, it analyze a system widely used in control engineering,

because of its high nonlinearity, the inverted pendulum, and in this case, a linear

double inverted pendulum or on a mobile car, where it realize a virtual prototype in

3D in SolidWorks CAD software, it find the equations that govern the movement of

the system using the Lagrangian, obtaining a nonlinear system through the Euler-

Lagrange equations, then it continue to linearize the model, obtaining a linear system

in space Of states around the values of the states in their inverted position, through

the Jacobian matrix, and review features of the system as stability, controllability and

observability.

Taking the linearized model, it then proceed to design different controllers by state

feedback, state estimation, and optimal controllers such as LQR, LQE (or Kalman

Filter) and LQG, in order to maintain the linear double pendulum system in its

inverted position, and then perform the implementation of such controllers using the

Matlab Simulink toolbox, where it can analyze and check the results obtained by the

different modern control strategies and techniques used.

KEYWORDS

Inverted pendulum, double pendulum, double inverted pendulum, double linear

inverted pendulum, Euler-Lagrange method, mathematical model, linearization, pole

assignment, Kalman filter, LQR, LQE, LQG, virtual prototype, Lagrangian, Jacobian,

SolidWorks, MatLab , SimuLink.

16

RESUMEN

En el siguiente trabajo de investigación, se analiza un sistema muy utilizado en

ingeniería de control, por su alta no linealidad, el péndulo invertido, y en este caso,

un péndulo invertido doble lineal o sobre un carro móvil, donde se realiza un

prototipo virtual en 3D en el software CAD de SolidWorks, se hallan las ecuaciones

que rigen el movimiento del sistema utilizando el Lagrangiano, obteniendo un

sistema no lineal mediante las ecuaciones de Euler–Lagrange, luego se prosigue a

linealizar el modelo, consiguiendo un sistema lineal en espacio de estados alrededor

de los valores de los estados en su posición invertida, a través de la matriz

jacobiana, y se revisan características del sistema como estabilidad, controlabilidad

y observabilidad.

Teniendo el modelo linealizado, se procede luego a diseñar diferentes controladores

por realimentación de estados, estimación de estados, y controladores óptimos

como LQR, LQE (ó Filtro de Kalman) y LQG, para poder mantener el sistema de

péndulo doble lineal en su posición invertida, para luego realizar la implementación

de dichos controladores utilizando el toolbox SimuLink de MatLab, donde se pueden

analizar y comprobar los resultados obtenidos por las diferentes estrategias y

técnicas de control moderno empleadas.

PALABRAS CLAVE

Péndulo invertido, péndulo doble, péndulo invertido doble, péndulo invertido doble

lineal, método de Euler–Lagrange, modelo matemático, linealización, asignación de

polos, filtro de Kalman, LQR, LQE, LQG, prototipo virtual, lagrangiano, jacobiano,

SolidWorks, MatLab, SimuLink.

17

0. INTRODUCCIÓN

Los sistemas físicos no lineales han sido recientemente objeto de un activo interés

por parte de muchos investigadores y diseñadores en áreas tan diversas como

control de aviones y naves espaciales, robótica, control de procesos e ingeniería

biomédica.

Para la presente investigación se utilizó como objeto de estudio uno de esos

sistemas físicos no lineales, un sistema electromecánico ampliamente utilizado y

estudiado a través del tiempo: El péndulo invertido, pero en este caso un péndulo

invertido doble lineal o montado sobre un carro móvil. Este sistema es muy útil para

el análisis experimental de técnicas de control avanzadas debido a que posee

ciertas características: es altamente no lineal, inestable, multivariable, subactuado,

y además de ello posee un grado de libertad más, el movimiento del segundo

péndulo, para poder controlar por medio del mismo actuador, el motor acoplado al

carro móvil.

Los sistemas subactuados son un asunto de gran interés para la teoría de control

moderna debido a que resulta imposible tener un control directo sobre los grados

de libertad no actuados, haciéndose necesario realizar el control de éstos a través

de los actuadores restantes. Los sistemas subactuados incluyen fallos en los

actuadores, ausencia de los mismos por consideraciones de diseño, exceso de

peso, reducción de costos, etc.

18

En la siguiente investigación se realizó un prototipo virtual en 3D, mediante la ayuda

de un software CAD como SolidWorks, donde se muestra su estructura física, y

cada uno de los elementos que componen el sistema, para su futura construcción,

con cada una de las piezas, con sus respectivos planos y cotas, además de la

presentación del ensamble general en vista isométrica y una vista explosionada

para visualizar la ubicación de cada una de los elementos.

Después se halló un modelo matemático que representa la dinámica del movimiento

del péndulo invertido doble lineal, haciendo uso de las ecuaciones de Euler –

Lagrange, logrando observar las no linealidades del sistema. Luego se hizo la

comprobación del modelo en el toolbox SimuLink de MatLab. Seguidamente se

procedió a linealizar el modelo alrededor de los valores en su posición invertida,

aplicando la herramienta matemática de matriz jacobiana, para obtener un modelo

matemático linealizado en espacio de estados.

Posteriormente, se procedió a diseñar diferentes estrategias de control moderno

para mantener el péndulo doble lineal en la posición invertida, haciendo uso del

Controladores por realimentación de estados, estimadores de estados, y

controladores óptimos como el regulador lineal cuadrático o LQR, el estimador lineal

cuadrático o LQE y el Regulador Lineal Cuadrático Gaussiano o LQG; por último se

verifico el funcionamiento de los controladores, igualmente por medio de simulación

con diagramas de bloques del modelo matemático no lineal con las distintas

técnicas de control moderno utilizadas.

19

1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En el Laboratorio de Automática de la Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

– EIEE, de la Universidad del Valle – UNIVALLE, hay pocos sistemas, procesos y/o

plantas donde los estudiantes puedan realizar sus prácticas de laboratorio de

asignaturas de los programas de pregrado, tales como Sistemas Automáticos de

Control, Fundamentos de Control de Sistemas Lineales, Análisis de Compensación

de Sistemas Lineales, Sistemas Electromecánicos, Automatización y Control,

Principios de Mecatrónica y de materias de posgrado, como Sistemas de Control I,

Sistemas de Control II, Prodúctica, Control de Procesos, Optimización de Sistemas

Dinámicos, Sistemas de Control Robusto, Teoría de Sistemas de Control, Sistemas

No Lineales, Modelado e Identificación de Sistemas Dinámicos, Sistemas

Dinámicos, Teoría de Control, entre otras.

Para ello, se necesita el modelado y el diseño de un sistema de control, donde se

puedan efectuar actividades que involucren las teorías de control lineal y no lineal,

un sistema un poco complejo, y no tan sencillo, como el motor de corriente continua,

o un tanque para control de nivel, o un cilindro para control de presión, entre otros

sistemas, y nace la idea de realizar el diseño y la simulación, para su futura

implementación y construcción de un sistema tipo péndulo lineal o sobre un carro

móvil.

20

Adicional a lo anterior, fuera de ser bastante complejo tratar el sistema con un solo

péndulo, es decir un sistema de péndulo simple, se desea agregarle otro péndulo al

extremo final de este, el sistema de péndulo doble, lo que aumenta la complejidad

del problema de control, porque se genera otro grado de libertad, sin aumentar la

cantidad de actuadores al sistema.

La dificultad ahora radica en la presentación de un preliminar físico del prototipo del

péndulo doble lineal, hallar las ecuaciones que rigen ese sistema físico, determinar

estrategias de control para mantener el péndulo doble lineal en su posición invertida,

y realizar las respectivas simulaciones tanto del modelo matemático del sistema,

como del sistema con su controlador.

Los programas de pregrado beneficiados con este proyecto son Ingeniería Eléctrica,

Ingeniería Electrónica, Ingeniería Mecánica y Tecnología Electrónica, y los de

posgrado, tales como Especialización en Automatización Industrial, Maestría en

Ingeniería con énfasis en Automática, Maestría en Ingeniería con énfasis en

Electrónica, Maestría en Ingeniería con énfasis en Eléctrica, Maestría en Ingeniería

con énfasis en Mecánica, Maestría en Ingeniería con énfasis en Aeroespacial e

inclusive el Doctorado en Ingeniería con Énfasis en Eléctrica y Electrónica.

En resumen, los estudiantes de la EIEE, incluidos los del PPIEE, e inclusive los de

la EIME – Escuela de Ingeniería Mecánica de UNIVALLE que son favorecidos son

los que cursen asignaturas de las áreas de control y automatización, y que vayan a

realizar sus prácticas en el Laboratorio de Automática.

21

1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿Cómo diseñar, simular y controlar un péndulo doble lineal para mantenerlo estable

en su posición invertida utilizando técnicas de control aplicadas a sistemas no

lineales, para mejorar la dotación del Laboratorio de Automática de la Escuela de

Ingeniería Eléctrica y Electrónica – EIEE – de la Universidad del Valle – UNIVALLE,

y que los estudiantes tengan más plantas y módulos para realizar prácticas de

sistemas de control lineal y no lineal?

1.3. SISTEMATIZACIÓN DEL PROBLEMA

• ¿En qué software de diseño CAD 3D se puede mostrar un preliminar del

prototipo virtual del sistema de péndulo invertido doble lineal?

• ¿Qué modelo matemático se puede emplear para describir el comportamiento

del sistema de péndulo invertido doble lineal?

• ¿Cómo verificar el correcto funcionamiento del modelo matemático del sistema

de péndulo invertido doble lineal mediante la simulación en el paquete

MatLab?

• ¿Cómo encontrar y diseñar estrategias de control adecuadas para poder

mantener el sistema de péndulo doble lineal en su posición invertida?

• ¿De qué manera se puede simular el controlador para el sistema de péndulo

invertido doble lineal y comprobar su funcionamiento?

22

2. OBJETIVOS

2.1. OBJETIVO GENERAL

Diseñar, simular y controlar un péndulo doble lineal para mantenerlo estable en su

posición invertida utilizando técnicas de control aplicadas a sistemas no lineales,

para mejorar la dotación del Laboratorio de Automática de la Escuela de Ingeniería

Eléctrica y Electrónica – EIEE – de la Universidad del Valle – UNIVALLE.

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Realizar un prototipo virtual en 3D del sistema de péndulo invertido doble lineal

en el software de diseño CAD SolidWorks.

• Desarrollar el modelo matemático del sistema de péndulo invertido doble

lineal.

• Verificar el modelo matemático del sistema de péndulo invertido doble lineal

mediante la simulación en el software MatLab.

• Diseñar estrategias de control para el sistema de péndulo invertido doble lineal

para mantenerlo en su posición invertida.

• Simular los controladores para el sistema de péndulo invertido doble lineal

mediante el software matemático y de simulación MatLab a través de sus

diferentes ToolBoxes.

23

3. ALCANCE

En este trabajo de investigación se puede apreciar lo siguiente:

• Prototipo virtual en 3D en el software CAD SolidWorks del modelo físico del

péndulo invertido doble lineal, como el de la Figura 1, para que su futura

construcción quede como el diseño mecánico de la Figura 2.

• Modelo matemático del sistema mecánico del péndulo invertido doble lineal.

• Simulación del modelo matemático del sistema de péndulo invertido doble

lineal en MatLab.

• Diseño de estrategias de control del sistema de péndulo invertido doble lineal

o sobre un carro móvil.

• Simulación de los controladores para el sistema de péndulo invertido doble

mediante el software MatLab a través de diferentes ToolBoxes.

24

Figura 1. Prototipo virtual de péndulo invertido doble lineal

Fuente. MatWorks. MatLab R2015a

Figura 2. Diseño mecánico del péndulo doble sobre un carro móvil

Fuente. Escuela Superior de Ingenieros – Tecnum. Universidad de Navarra

25

4. JUSTIFICACIÓN

Los péndulos invertidos son una familia de artefactos que constituyen un banco de

pruebas muy completo e interesante para la ingeniería de control. El problema con

el péndulo encima de un carro móvil, a la hora de plantear problemas globales reside

en que el recorrido del carro está acotado, por lo que si se alcanza uno de los

extremos del soporte horizontal el sistema deja de funcionar.

Los sistemas sub-actuados (el péndulo invertido doble sobre un carro móvil es uno

de ellos), son sistemas cuyo número de grados de libertad es mayor que el número

de actuadores. Ejemplos de este tipo de sistemas son los robots construidos por

barras y uniones articuladas pasivas y activas, por lo tanto el desarrollo de

mecanismos que puedan realizar tareas complejas con un número reducido de

actuadores es un asunto de gran interés, puesto que representa reducción de peso

y de costos.

El problema abarca una gran variedad de aspectos de ingeniería, dentro de los

cuales se encuentran estudios en sistemas de control, procesamiento digital de

señales, dinámica de sistemas y sistemas en tiempo real, apropiados para la

aplicación de conocimientos en el área del control y la automatización industrial.

26

Este proyecto está enmarcado en una de las líneas de investigación, como lo es la

de educación en ingeniería, y específicamente en educación en control, del GICI –

Grupo de Investigación en Control Industrial, perteneciente a la EIEE – Escuela de

Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UNIVALLE – Universidad del Valle. El GICI

está en la categoría A1 de la clasificación de Colciencias.

El aporte para los estudiantes de la Universidad del Valle es importante puesto que

el sistema permitirá la implementación de controladores lineales y no lineales,

incluyendo en estos últimos, controladores de última generación, por ejemplo,

controladores basados en lógica difusa y redes neuronales. Además les permitirá a

los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Universidad

del Valle iniciarse en el estudio de los sistemas de control no lineales, los cuales

poseen muchísimas aplicaciones tales como el control de helicópteros, aviones,

satélites, cohetes, procesos industriales e innumerables sistemas no lineales de

gran importancia para la humanidad.

El costo del desarrollo es muy económico comparado con otras plantas elaboradas

por empresas como Quanser, Googol Technology, ECP Systems, Enfield

Technologies, Inteco, entre otras, siendo muy conveniente porque permitirá

replicarlo en el caso de que fuera necesario (para un laboratorio docente de

robótica, por ejemplo).

27

5. MARCO REFERENCIAL

5.1. MARCO HISTÓRICO

5.1.1. Modelamiento y simulación de un sistema con doble péndulo invertido

Escrito por García A. Ronald J. y Ortiz C. Jhon D., para la Escuela Superior

Politécnica del Litoral – Facultad de Ingeniería en Electricidad y Computación en el

año 2015. En ese trabajo se modela el comportamiento dinámico de un péndulo

doble invertido, a partir de las ecuaciones matemáticas que describen el

comportamiento del sistema. Posteriormente para visualizar el comportamiento del

sistema y realizar un análisis detallado, utilizaron las herramientas como Matlab,

OpenModelica y Scilab para poder simularlos.

5.1.2. Diseño y manufactura de un péndulo doble para realizar pruebas de

estabilidad y control

Escrito por Castillo R. José A. y Cortez B. Jorge C., para Instituto Politécnico

Nacional, en el año 2013. En el presente trabajo se plantea la propuesta de diseño

y manufactura de un péndulo doble para poder llevar a cabo pruebas e

investigaciones de estabilidad y control mediante técnicas avanzadas. Se basa en

cuatro principales puntos, definición del problema del diseño, identificación de los

requerimientos del diseño, fijación de las metas de diseño y los criterios de

evaluación en el desarrollo del diseño.

28

5.1.3. Simulación del movimiento de un péndulo doble en un medio viscoso

Redactado por E. Maraz y O. Burgoa, en la Revista Bolivariana de Física en el 2014.

En ese artículo se presenta las ecuaciones de movimiento de un péndulo doble con

una resistencia proporcional a la velocidad usando el formalismo lagrangiano (este

sistema de péndulo doble se simula con el lenguaje “yabasic”). Se resuelve dichas

ecuaciones utilizando el método numérico de Runge-Kutta; como resultado se

calcula el coeficiente de resistencia del medio mediante datos experimentales

tomando como referencia un péndulo simple.

5.1.4. Modelamiento, diseño y simulación de un sistema de control para un

sistema de péndulo doble invertido (SPDI)

Escrito por Velandia P. German, profesor de la Universidad Autónoma de Colombia,

en el año 2007. En el artículo se presenta el modelamiento matemático, el diseño y

la simulación de un sistema de control para un sistema de péndulo doble invertido,

(SPDI), de modo que pueda mantenerse en la posición vertical invertida ante

posibles perturbaciones. El modelamiento matemático se fundamenta en las

ecuaciones de Euler-Lagrange encontradas especificando el lagrangiano como la

diferencia de la energía cinética y la energía potencial del sistema de péndulo doble

invertido montado en un carrito que se desplaza en un riel horizontal, obteniendo un

sistema de tres ecuaciones diferenciales de segundo orden, que se transforma a un

formato de seis ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La estrategia

de control seguida ha sido la de un sistema de control óptimo que minimiza un

funcional de costo cuadrático probando un regulador lineal cuadrático (LQR). La

simulación presenta un adecuado desempeño para el sistema de LQR, alrededor

del punto de operación del sistema: posición vertical invertida del péndulo doble;

ante desviaciones de dicha posición. La simulación igual presenta un

comportamiento tanto del modelo linealizado, como del modelo no lineal totalmente

aceptable.

29

5.1.5. Diseño e implementación de un péndulo invertido sobre un carro móvil

para el laboratorio de mecatrónica de la FIMCP aplicando estrategias de

control proporcional integral derivativo (PID)

Escrito por Roca G. Jorge L., para la Escuela Superior Politécnica del Litoral –

Facultad de Ingeniería de Electricidad y Computación, en el año 2015. En ese

informe se documenta el desarrollo, diseño e implementación de las estrategias de

control proporcional derivativo para un equipo de péndulo invertido simple aplicado

a su auto-levantamiento y mantenimiento de posición vertical en equilibrio inestable.

La metodología que se siguió fue en primer lugar el estudio y análisis del equipo

para representarlo con un modelo matemático y simularlo, luego se hizo la selección

de una estrategia de control y el diseño, simulación e implementación del

controlador del equipo. Tanto para la simulación como para el control se hizo uso

de software matemático y herramientas gráficas de programación.

5.1.6. Dinámica de un péndulo sobre móvil: simulación y experimento

Escrito por Munguía Horacio, Armenta Abril, Gutiérrez Sergio, en la revista

EPISTEMUS, en el año 2013. En ese trabajo se muestra un conjunto de resultados

que permiten abordar el problema de la estabilización robusta de una familia de

sistemas lineales positivos. Se describen dos nuevas aplicaciones en la teoría de

control positivo para sistemas comportamentales y se muestra la aplicación de un

teorema de robustez para tales sistemas. Se observa un péndulo simple colgado de

un poste que se encuentra fijo sobre una plataforma, esta plataforma (el carro) es

móvil y se puede deslizar sobre una superficie sin fricción en la dirección del eje x y

sin desplazamiento vertical.

30

5.1.7. Diseño de un sistema péndulo invertido, sobre plataforma LEGO

Mindstorms NXT, controlado mediante MATLAB

Redactado por Martínez Fernando, Guerrero Cindy, Pérez José, para la Revista

Tecnura, en el año 2012. En el artículo se muestra el diseño de un sistema péndulo

invertido, sobre la plataforma LEGO MINDSTORMS NXT, así como el diseño y la

implementación del controlador correspondiente. Como punto de partida se realiza

la medición de parámetros físicos necesarios para el modelamiento del sistema en

espacio de estados. Adicionalmente, el modelo es identificado por medio de

algoritmos genéticos empleando MatLab, donde la adquisición de datos de los

sensores y el servomotor se realizan con el toolbox RWTH - Mindstorms NXT. Luego

se diseña un controlador usando el método de ubicación de polos, para ser

posteriormente implementado en Simulink, entorno desde el cual se ejecuta

Embeded Coder Robot NXT toolbox, encargado de la conversión, compilación y

transferencia al bloque NXT del controlador. Como resultado se tiene el diseño de

una planta física con un kit armable y el diseño e implementación de un controlador

viable para dicha planta.

5.1.8. Modelado, control y simulación de un sistema péndulo invertido sobre

base móvil

Este artículo fue elaborado por Romero G., Sánchez J., Reyes F., Michua A.,

Calderón B., de la Universidad Autónoma de Puebla, en el 2009. El fin de ese

artículo consiste en lograr el modelo dinámico de un péndulo invertido sobre base

móvil empleando la metodología de Euler-Lagrange y aplicar una estructura de

control PD usando el método de moldeo de energía. Además, realizan la simulación

del modelo dinámico y el control en dos plataformas de simulación.

31

5.1.9. Diseño e implementación de un péndulo invertido sobre un

carro aplicando estrategias de control basado en LMI

Publicado por Rodríguez, Oscar O., Cely, Helvert, y Riaño, Jeiler, en la Revista

Colombiana de Tecnologías de Avanzada, en el año 2012. El artículo presenta el

diseño e implementación de un prototipo de péndulo invertido sobre un carro,

aplicando dos estrategias de control, una para “swing up” y la otra para

estabilización en el punto de equilibrio inestable a partir de desigualdades

matriciales lineales (LMI´s). El prototipo está compuesto por un pivote o varilla que

gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación situada sobre un

carro, el cual se mueve sobre una cremallera rectilínea horizontal manejado por un

motor DC. El diseño de los controladores se implementa sobre el prototipo

construido con el fin de analizar las características del controlador y determinar las

diferencias de los resultados obtenidos en la simulación.

5.1.10. Integración del hardware de un péndulo invertido

Publicado por Ramírez L. y Zuluaga C., de la Universidad Pontificia Bolivariana, en

el 2011. En el artículo se presenta un proceso de construcción de la etapa de

hardware del sistema de control de un péndulo invertido, compuesto por una varilla

apoyada sobre una base móvil que se mueve a lo largo de una plataforma lineal. La

etapa de hardware comprende el diseño de una interfaz donde se integran los

componentes que conforman el sistema, como son, los sensores, el actuador y los

dispositivos de adquisición de datos, facilitando la manipulación remota y la

aplicación de diferentes pruebas de control sobre el mismo. La comunicación se

gestiona mediante una interfaz gráfica a través de los dispositivos de adquisición de

datos, desde donde se podrá manipular el sistema, permitiendo la aplicación de la

etapa de software.

32

5.1.11. Control de un péndulo invertido simple por métodos de realimentación

de estados

Escrito por Sanabria C. y Hernández O., para la Revista Tecnura en el 2009, en ese

texto se presenta un modelo por medio de dinámica de Lagrange de un péndulo

invertido simple, que es controlado con las técnicas de realimentación de estados

tipo regulador y servomecanismo. Se observan los diseños de los controladores y

de un observador de estado usado en el funcionamiento práctico de la planta IP02

de la compañía Quanser. La comprobación de los diseños se realiza por medio del

software SimuLink de MatLab, por lo cual se implementan en la planta mencionada.

5.1.12. El péndulo invertido: un desafío para el control no lineal

Publicado por F. Gordillo J. Aracil, en la Revista Iberoamericana de Automática e

Informática Industrial (RIAI), en el año 2005. En ese artículo se presenta una

revisión de algunos métodos de diseño y análisis de sistemas de control no lineales,

empleando el péndulo invertido como sistema de referencia. En ese ingenio se

conjuga una sencilla estructura muy fácil de modelar matemáticamente, con una

notable complejidad a la hora de diseñar su control. Además, constituye un ejemplo

notable de la doble problemática local y global en su comportamiento. Se revisan

algunos controladores empleados convencionalmente y se propone una solución al

problema del swing up con estabilización, para la que se emplean diferentes

métodos, como el moldeo de energía y el forwarding.

33

5.2. MARCO TEÓRICO

5.2.1. Péndulo doble

El Péndulo doble es un sistema físico de dos osciladores acoplados, y está formado por dos péndulos simples de longitudes l1 y l2, de los que cuelgan partículas de masas m1 y m2. En unos momentos determinados t, las barras forman ángulos θ1 y θ2, 1 como se puede observar en la Figura 3.

Figura 3. Péndulo doble

Fuente. Curso Interactivo de Física por Internet. Universidad del País Vasco

En general, un péndulo doble o doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del superior. Normalmente se sobreentiende que se refiere a un doble péndulo plano, con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico.

1 Universidad del Pais Vasco, UPV/EHU 2013

34

5.2.2. Modelo matemático

Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no-matemático.

En términos generales, en todo modelo matemático se pueden determinar 3 fases:

• Construcción del modelo. Transformación del objeto no-matemático en lenguaje matemático.

• Análisis del modelo. Estudio del modelo matemático. • Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio

matemático al objeto inicial no-matemático.

El éxito o fracaso de estos modelos es un reflejo de la precisión con que dicho modelo matemático representa al objeto inicial y no de la exactitud con que las matemáticas analizan el modelo.

Algunos modelos son buenos para algunas cosas y malos para otras. Por ejemplo, el modelo matemático de la mecánica newtoniana puede, hoy en día, usarse para predecir muchos sucesos con precisión a pesar de que la teoría de la relatividad de Einstein (otro modelo matemático) nos dice que éste es inexacto.2

Para efectuar el análisis de un sistema, es necesario obtener un modelo matemático que lo represente. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.

Es necesario comentar que el modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único, debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso.

Estas diferentes representaciones no se contradicen. Ambas contienen información complementaria por lo que se debe encontrar aquella que proporcione la información de interés para cada problema en particular.

Dentro de este contexto, por lo general se emplea la representación en "variables de estado" aunque no por ello el método de "relación entrada-salida" deja de ser interesante a pesar de proporcionar menor información de la planta.3

2 Univesitat Oberta de Catalunya 3 Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

35

Para uniformizar criterios respecto a las denominaciones que reciben los elementos que conforman un sistema de control es necesario tener en mente las siguientes definiciones:

Planta: Cualquier objeto físico que ha de ser controlado.

Proceso: Operación o secuencia de operaciones, caracterizada por un conjunto de cambios graduales que llevan a un resultado o estado final a partir de un estado inicial.

Sistema: Combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen un objetivo determinado.

Perturbación: Es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema.

Servomecanismo: Sistema de control realimentado cuya salida es una posición mecánica.

5.2.3. Método de Euler – Lagrange

Las ecuaciones de Lagrange (también conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange, o simplemente de ecuaciones de Euler) permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de las partículas, pero no se trata, de ningún modo, de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.

En algunos casos, la utilización de leyes físicas para encontrar modelos dinámicos como la segunda ley de Newton, no es un problema sencillo y, en vez de resolverlos el problema, puede crear otro que eventualmente es más complicado que el inicial.4

Las ecuaciones de Euler - Lagrange son útiles además para:

• Simulación en computadora. • Diseño de controladores. • Evaluación de la estructura mecánica

4 Sistemas de Control en Tiempo Continuo y Discreto. Editorial Digital – Tecnológico de Monterrey. Hugo Gustavo González Hernández

36

Coordenadas generalizadas

Son el conjunto de coordenadas independientes necesarias para describir el movimiento del sistema, las denominaremos

iq para 1,...i n= .

Parámetros de las ecuaciones

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes:

T - Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas de las partículas.

V - Energía potencial total del sistema: suma de las energías potenciales de las partículas.

iq - Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa

mediante una coordenada generalizada.

iq•

- Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas.

iQ - Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta definirlas, pues

se considera únicamente el caso conservativo que simplifica las ecuaciones.

Función de Lagrange

Es una función que relaciona la energía cinética y la energía potencial del sistema. También se conoce como lagrangiano.

En física, un lagrangiano es una función escalar a partir de la cual se puede obtener la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema dinámico. De hecho, en física moderna el lagrangiano se considera el operador más fundamental que describe un sistema físico.

37

El término lleva el nombre del astrónomo y matemático italo-francés Joseph Louis de Lagrange. El concepto de un lagrangiano se introdujo en una reformulación de la mecánica clásica introducida por Lagrange, conocida como mecánica lagrangiana, en 1788. Esta reformulación fue necesaria con el fin de explorar la mecánica en sistemas alternativos de las coordenadas cartesianas, como las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, para las que la mecánica de Newton no era conveniente.

El formalismo lagrangiano permite alcanzar tanto las leyes de Newton como las ecuaciones de Maxwell, los cuales pueden ser derivados como las ecuaciones de Euler-Lagrange de un lagrangiano clásico. Igualmente la forma del lagrangiano determina las propiedades básicas del sistema en teoría cuántica de campos.

La mecánica de Lagrange tiene su origen como una formulación de la mecánica clásica. Es una formulación alternativa a la mecánica hamiltoniana. Se define el lagrangiano de un sistema de partículas como la diferencia entre su energía cinética Ec y su energía potencial Ep:

c pL E E T V= − = −

Ecuación 1. Definición de lagrangiano

T es la energía cinética del sistema Ec y V es la energía potencial Ep. Normalmente, el Lagrangiano es de la forma:

(q , , )i iL L q t

•=

Ecuación 2. Forma del lagrangiano

Históricamente, el formalismo lagrangiano surgió dentro de la mecánica clásica para sistemas con un número finito de grados de libertad. Este lagrangiano permitía escribir las ecuaciones de movimiento de un sistema totalmente general que tenía restricciones de movimiento o era no-inercial de modo muy sencillo.

Más tarde el concepto se generalizó a sistemas con un número no finito de grados de libertad como los medios continuos o los campos físicos. Más tarde el concepto pudo generalizarse también a la mecánica cuántica, particularmente en la teoría cuántica de campos.

38

Ecuaciones de Euler – Lagrange

Una vez calculado el Lagrangiano del sistema, la ecuación de Lagrange para sistemas conservativos (sistemas donde no hay disipación de energía) es:

0d L L

dt qq•

∂ ∂ − = ∂∂

Ecuación 3. Ecuación de Euler – Lagrange

Función de disipación de Rayleigh

Al considerar disipación de energía en forma de un amortiguador viscoso, se utiliza la función de Rayleigh:

2 2 2

1 1 2 2

1(b b ....b )

2r rD q q q

• • •= + +

Ecuación 4. Función de disipación de Rayleigh

Planteada aquí para r amortiguadores viscosos, cada uno con un coeficiente de fricción

ib , para 1,...ri = .

Entonces, para sistemas disipativos, la ecuación de Lagrange- Euler queda de esta forma:

0d L L

dt qq•

∂ ∂ − = ∂∂

39

Sistemas Forzados

Las ecuaciones anteriores se plantean para sistemas autónomos (no forzados), pero si se tiene una fuerza externa al sistema, podemos tomar la siguiente ecuación de Lagrange-Euler:

d L L D

dt qq q

τ• •

∂ ∂ ∂ − + = ∂∂ ∂

Esta ecuación es la más general y más utilizada en sistemas dinámicos.

5.2.4. Jacobiano

En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente se habla más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aun tratándose del mismo objeto matemático.5

5 Glosario Matemático, Universitat de Barcelona

40

Ecuación 5. Definición de matriz jacobiana

Determinante jacobiano

Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En

este caso la matriz jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante,

conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.

El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el

comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible

cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto

del determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen

cerca de p.

41

5.2.5. Control automático

Es una rama de la ingeniería que se ocupa del control de un proceso en un estado

determinado.

Su estudio y aplicación ha contribuido al reconocimiento universal de sus ventajas

y beneficios asociados al ámbito industrial, que es donde tiene una de sus mayores

aplicaciones debido a la necesidad de controlar un gran número de variables,

sumado esto a la creciente complejidad de los sistemas. El control automático de

procesos se usa fundamentalmente porque reduce el costo asociado a la

generación de bienes y servicios, incrementa la calidad y volúmenes de producción

de una planta industrial entre otros beneficios asociados con su aplicación.

De una manera informal, el problema de control consiste en seleccionar, de un

conjunto específico o arbitrario de elementos (o parámetros, configuraciones,

funciones, etc), aquellos que, aplicados a un sistema fijo, hagan que este se

comporte de una manera predeterminada.

El principio de todo sistema de control automático es la aplicación del concepto de

realimentación o feedback (medición tomada desde el proceso que entrega

información del estado actual de la variable que se desea controlar) cuya

característica especial es la de mantener al controlador central informado del estado

de las variables para generar acciones correctivas cuando así sea necesario. Este

mismo principio se aplica en campos tan diversos como el control de procesos

químicos, control de hornos en la fabricación del acero, control de máquinas

herramientas, control de variables a nivel médico e incluso en el control de

trayectoria de un proyectil militar.6

6 Asociación de la Industria Eléctrica-Electrónica de Chile, AIE 2013

42

5.2.6. Controlador por realimentación de estados

Iniciamos considerando el caso SISO y el esquema de control por realimentación de estado de la Figura 4.

Figura 4. Control Por Realimentación de Estados

Fuente. Curso Teoría de Sistemas Lineales. Unicauca.

Una propiedad esencial del sistema en la realimentación de estado es la controlabilidad, y la primera observación importante es que la controlabilidad es invariante con respecto a la realimentación de estado.

La realimentación de estado nos permite colocar los polos del sistema de lazo cerrado en cualquier posición, y que la ganancia de estado se puede calcular por sustitución directa7.

La f.t. posee polos en las nuevas posiciones deseadas. No obstante, los ceros del sistema son los mismos que en el sistema de lazo abierto.

La realimentación de estado puede asignar arbitrariamente los polos del sistema. No obstante, no tiene efecto sobre los ceros del sistema.

La condición de controlabilidad no solo es suficiente sino necesaria para colocar todos los polos de A−BK en las posiciones deseadas.

7 Teoría de Sistemas Lineales. FeedBack. Universidad del Cauca.

43

Una noción útil en control que es más débil que la controlabilidad es la estabilizabilidad.

La realimentación de estados puede mover los polos de una planta pero no tiene ningún efecto sobre los ceros. Esta propiedad explica por qué la realimentación de estados puede alterar la propiedad de observabilidad, ya que uno o más polos pueden ubicarse mediante realimentación para cancelar ceros del sistema, lo que vuelve esos modos inobservables.

Técnica de ubicación o de asignación de polos. Se supone que todas las variables de estado son medibles y que están disponibles para su realimentación. Sé demostrara que, si el sistema considerado es de estado completamente controlable, los polos del sistema en el lazo cerrado se pueden colocar en cualquier posición deseada mediante una realimentación del estado a través de una adecuada matriz de ganancias de la realimentación del estado8.

La técnica de diseño empieza con la determinación de los polos de un lazo cerrado deseados a partir de la respuesta transitoria y/o las especificaciones de la respuesta en frecuencia, tales como la velocidad, la razón de amortiguamiento, o ancho de la banda, al igual que los requisitos en estado estacionario.

5.2.7. Observador o estimación de estados

Un observador es un sistema dinámico que estima los estados de la planta basado en la medida de sus entradas y salidas9.

Si el sistema es observable, los estados se pueden estimar mediante un observador.

8 Ingeniería de Control Moderna. 5ª Edición. Katsuhiko Ogata. 2010. 9 Teoría de Sistemas Lineales. Observadores. Universidad del Cauca.

44

Figura 5. Observador de Estados

Una mejor estructura de observador incluye una corrección del error por realimentación.

45

Con un diseño apropiado de la matriz de ganancia L, se puede ajustar al observador para que entregue un estimado del estado que convergirá asintóticamente al valor real del estado.

Si el sistema es observable, se puede escoger la ganancia L para que asigne arbitrariamente los polos de A – LC.

La propiedad de independencia entre el control y la estimación del estado se llama Principio de separación, el diseño de la realimentación de estado y del estimador de estado se pueden realizar independientemente. Los polos del sistema de lazo cerrado son los determinados por la ley de realimentación y no se afectan por el uso de un estimador de estados. Los polos del observador no se afectan por la ley de realimentación.

46

5.2.8. Regulador óptimo cuadrático o LQR

Considere el sistema de espacio de estados

Y el criterio de desempeño, , donde Q es no definida negativamente y R es definida positiva. Entonces el control óptimo que minimiza (J) está dado por la ley lineal de realimentación estado10,

y donde P es la única solución definida positiva de la matriz Ecuación Algebraica de Riccati (EAR),

5.2.9. Estimador óptimo cuadrático o LQE

El problema del observador óptimo LQ es dual al problema de realimentación de estado LQ. No obstante, los observadores óptimos LQ tienen una interpretación estocástica, en el sentido en que son óptimos estimando el estado en presencia de ruidos Gaussianos corrompiendo las medidas de las salidas y el estado11.

Suponga que introducimos procesos de ruido al estado y salida, w y v, de modo que

10 Teoría de Sistemas Lineales. Regulador Óptimo. Universidad del Cauca. 11 Teoría de Sistemas Lineales. Estimador Óptimo. Universidad del Cauca.

47

Las señales w y v son procesos Gaussianos estocásticos de media cero no correlacionados en el tiempo y el uno al otro.

5.2.10. Controlador óptimo gaussiano o LQG

Recordemos que el problema LQR considera el sistema de espacio de estado

Y el criterio de desempeño

Donde Q es no negativa definida y R es definida positiva. Entonces el control que minimiza J está dado por la ley de realimentación lineal.

48

Y donde P es la única solución definida positiva a la EAR.

El control LQG es el controlador óptimo obtenido como la combinación de una ganancia de realimentación de estado LQR con realimentación desde los estimados a partir de un estimador de estado óptimo LQE.

El principio de separación nos permite diseñar una ganancia de realimentación LQR y el LQE independientemente.

El principio de separación dice que si tenemos una planta dada por

Y deseamos diseñar un controlador para minimizar

49

Entonces la solución óptima se obtiene combinando la ganancia de realimentación óptima LQ y el observador LQ dados arriba. Recuerde también de la asignación de polos que los polos de lazo cerrado se obtienen en los polos de A-BK y A-LC.

El controlador combinado incluyendo un LQR (regulador óptimo lineal cuadrático) y un LQE (estimador óptimo lineal cuadrático) se denomina usualmente controlador lineal cuadrático gaussiano (LQG).

LQG se puede usar como una herramienta simple para obtener un controlador ball-park con un desempeño razonable. Como con la asignación de polos, la planta debe aumentarse si se desean características como acción integral

50

5.3. MARCO CONCEPTUAL

• Control automático: Se ocupa del control de un proceso en un estado

determinado, estudia el comportamiento de los sistemas dinámicos,

tratándolos como cajas o bloques con una entrada y una salida. En general, la

entrada al sistema es una señal analógica o digital que se capta en algún punto

del sistema. Los bloques intermedios representan las diversas acciones

perturbadoras que afectan a la señal, como rozamientos en los actuadores,

así como el efecto de los elementos de control interpuestos, los reguladores.

Estos efectos se suelen representar mediante las funciones matemáticas que

los describen, llamadas funciones de transferencia. La salida del sistema se

llama señal controlada y corresponde al valor de la señal tras actuar sobre ella

las anteriores funciones de transferencia. Cuando una o más de las variables

de salida de un sistema tienen que seguir el valor de una referencia que

cambia con el tiempo, se necesita interponer un controlador que manipule los

valores de las señales de entrada al sistema hasta obtener el valor deseado

de salida.

• MatLab: La plataforma de MATLAB está optimizada para resolver problemas

de ingeniería y científicos. El lenguaje de MATLAB, basado en matrices, es la

forma más natural del mundo para expresar las matemáticas computacionales.

Los gráficos integrados facilitan la visualización de los datos y la obtención de

información a partir de ellos. Una vasta biblioteca de toolboxes preinstaladas

le permiten empezar a trabajar inmediatamente con algoritmos esenciales para

su dominio. El entorno de escritorio invita a experimentar, explorar y descubrir.

Todas estas herramientas y prestaciones de MATLAB están probadas y

diseñadas rigurosamente para trabajar juntas.

51

• Método de Euler – Lagrange: Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las

condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un

extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en

relación con el principio de mínima acción, aunque también aparecen en teoría

clásica de campos (electromagnetismo, teoría general de la relatividad).

• Modelo matemático: Es uno de los tipos de modelos científicos que emplea

algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones

sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre

variables de las operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas

complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad.

• Péndulo: Cuerpo sólido que, desde una posición de equilibrio determinada por

un punto fijo del que está suspendido situado por encima de su centro de

gravedad, puede oscilar libremente, primero hacia un lado y luego hacia el

contrario.

• Péndulo doble: es un sistema compuesto por dos péndulos, con el segundo

colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de

dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del

superior.

• Péndulo invertido: Es un sistema mecánico clásico para probar nuevas ideas

en la disciplina del control. Tiene la ventaja de ser, por un lado, un mecanismo

relativamente sencillo, y por el otro, un sistema que contiene puntos inestables.

• Prototipo virtual: Es el máximo exponente del software de CAD, ya que se

pueden modificar y someter a cálculos.

52

• Sistema físico: Es un agregado de objetos o entidades materiales entre cuyas

partes existe una conexión o interacción o un modelo matemático de tipo

causal.

• SolidWorks: Es un software CAD (diseño asistido por computador) para

modelado mecánico en 3D, desarrollado en la actualidad por SolidWorks Corp.

El programa permite modelar piezas y conjuntos y extraer de ellos tanto planos

técnicos como otro tipo de información necesaria para la producción.

53

6. PROTOTIPO VIRTUAL EN 3D DEL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

El prototipo virtual en 3D se realizó en el software CAD SolidWorks de la empresa

Dassault Systemes, mediante el prototipo se quiere mostrar cómo sería el diseño

físicamente para su futura implementación.

Inicialmente se puede observar en la Figura 6, una vista preliminar en isométrico,

de cómo quedaría el sistema de péndulo doble lineal, después de su

implementación y construcción física.

Además, se muestra en la Figura 7, una vista explosionada con sus principales

componentes mecánicos, para saber cómo es su posible ensamblaje, además de

cada una de las piezas que componen el sistema en general con sus respectivos

planos y cotas. (Ver ANEXO A)

54

6.1. VISTA ISOMÉTRICA DEL PENDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

Figura 6. Vista isométrica del prototipo virtual en 3D

55

6.2. VISTA EXPLOSIONADA

Figura 7. Vista explosionada del prototipo virtual en 3D

56

6.3. PISTA DEL CARRO MÓVIL

Figura 8. Pista, riel o carril del carro móvil

57

6.4. ESTRUCTURA

Figura 9. Estructura del sistema del péndulo doble lineal

58

6.5. CARRO MÓVIL

Figura 10. Carro o base móvil del péndulo doble

59

6.6. ESLABÓN 1

Figura 11. Primer eslabón o brazo del péndulo doble

60

6.7. ESLABÓN 2

Figura 12. Segundo eslabón o brazo del péndulo doble

61

6.8. CHUMACERA

Figura 13. Chumacera o pivote móvil del péndulo doble

62

6.9. TORNILLO CHUMACERA

Figura 14. Tornillo de la chumacera

63

6.10. CAJA DE DISPOSITIVOS ELECTRÓNICOS

Figura 15. Caja de dispositivos electrónicos y/o de control del péndulo doble

64

7. MODELO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

7.1. PARÁMETROS DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

En la Figura 16, se pueden observar los diferentes parámetros del sistema de péndulo invertido doble lineal, de acuerdo a su ubicación geométrica.

0 1 2

1 1 1

2 2 2

1

distancia entre el pivote O y el pivote O

distancia entre el pivote O y el centro de masa C del primer eslabón

distancia entre el pivote O y el centro de masa C del segundo eslab

ng

n

u

ó

á

L

L

L

θ

→→→

→ 1 1

2 2 2

1

1 1 1

2 2 2

1

á

coordenada horizontal de O

, coordenadas ho

lo entre el eje y el segmento O C

ngulo entre el

rizontal y vertical de C

, coordenadas

eje y el segmen

horizontal y ve

to O C

rtical de C

X Y

X

I

y

y

X

Y

θ →

→→

→

( )

,2

1,2

0

momentos de inercia rotacional de los eslabones con respecto al centro de masa

masa de los eslabones

masa del soporte móvil

aceleración de la gravedad

cm

M

M

g

→→

→→

65

Figura 16. Representación esquemática del péndulo invertido doble

7.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO MEDIANTE LA FUNCIÓN DE LAGRANGE

Teniendo como referencia la función de Lagrange o Lagrangiano, la cual dice que:

L K V= −

Se procede a hallar las energías cinéticas y potencial del sistema de péndulo doble lineal, y se tiene que:

( ) ( )2 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2

0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1

2 2 2 2 2

cm cmK M X M X Y I M X Y Iθ θ = + + + + + + ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

Ecuación 6. Energía Cinética del Péndulo Doble Lineal

1 1 2 2V M gY M gY= +

Ecuación 7. Energía Potencial del Péndulo Doble Lineal

66

De acuerdo con la geometría definida en la Figura 16, se tiene:

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 0 1 2 2 2 0 1 1 2 2 2

2 0 1 2 2 2 0 1 1 2 2 2

cos

cos

cos cos

cos cos

X X L sen X X L

Y L Y L sen

X X L sen L sen X X L L

Y L L Y L sen L sen

θ θ θθ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ

= + ⇒ = +

= ⇒ = −

= + + ⇒ = + +

= + ⇒ = − −

ɺɺ ɺ

ɺɺ

ɺ ɺɺ ɺ

ɺ ɺɺ

De esta manera, las ecuaciones para la energía cinética y potencial del péndulo doble queda de la siguiente forma:

( ) ( )( )

( ) ( )

2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2

0 1 2 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2

1 1 2 0 1 1 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 1

2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 12 1 2 2 1

1 1 2

1 1 1( )

2 2 2

cos cos cos( )

1 1 1cos cos cos

2 2 2

cos c

cm cmK M M M X I M L M L I M L

M L M L X M L X M L L

K MX I I A A X B

V T T

θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ

= + + + + + + +

+ + + + −

= + + + + + −

= +

ɺ ɺɺ

ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ

2osθ

Obteniendo así, el lagrangiano para el sistema del péndulo invertido doble lineal

( ) ( ) [ ]2 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 12 1 2 2 1 1 1 2 2

1 1 1cos cos cos cos cos

2 2 2L MX I I A A X B T Tθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = + + + + + − − +

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ

Ecuación 8. Lagrangiano del péndulo invertido doble lineal

Donde se han definido los siguientes parámetros, para poder simplificar aún más las ecuaciones:

0 1 2

( ) 2 2

1 1 1 1 2 0

( ) 2

2 2 2 2

1 1 1 2 0

2 2 2

12 2 0 2

0 2 0

1 1 1 0

2 2 2

cm

cm

M M M M

I I M L M L

I I M L

A M L M L

A M L

B M L L

T M L g

T M L g T

T M L g

= + +

= + +

= += +==

== +=

67

7.3. ECUACIONES DE EULER – LAGRANGE

1 2({ , }) { , , }nc

d L LF q q con q X

dt q qθ θ

∂ ∂ − = ∈ ∂ ∂ ɺ

ɺ

Ecuación 9. Ecuaciones de Euler – Lagrange general

( )

( )

1 1 1 1 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 2 2 1 1

2 2 2 2 12 1 2 1 2 2 2 2 12 1 2 2 1 2

1 1 1 2 2 2 3

cos cos( ) ( )

cos cos( ) ( )

cos cos c

dI A X B A X T sen B sen F

dt

dI A X B A X T sen B sen F

dt

dMX A A F F

dt

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ


θ θ θ θ

+ + − + − − − =

+ + − − + + − =

+ + − =

ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ

Ecuación 10. Ecuaciones de Euler – Lagrange del Péndulo Doble Lineal

Resolviendo se tiene que las ecuaciones de movimiento del sistema son:

21 1 12 2 1 2 1 1 1 1 12 2 1 2 1cos( ) cos ( )I B A X T sen B sen Fθ θ θ θ θ θ θ θ θ+ − + = − − +ɺɺɺɺ ɺɺ ɺ

Ecuación 11. Ecuación de Euler – Lagrange con respecto a 1θ

22 2 12 2 1 1 2 2 2 2 12 2 1 1 2cos( ) cos ( )I B A X T sen B sen Fθ θ θ θ θ θ θ θ θ+ − + = + − +ɺɺɺɺ ɺɺ ɺ

Ecuación 12. Ecuación de Euler – Lagrange con respecto a 2θ

2 21 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3cos cos cA A MX A sen A sen F Fθ θ θ θ θ θ θ θ+ + = + + +ɺɺɺɺ ɺɺ ɺ ɺ

Ecuación 13. Ecuación de Euler – Lagrange con respecto a X

68

Donde Fc determina el forzamiento externo (fuerza de control) sobre el movimiento de los eslabones y 1,2,3 1,2,3 ({ , })F F q q= ɺ representan fuerzas no conservativas en el

sistema (fricción, amortiguamiento, perturbaciones, etc). Definiendo:

( )( )

1 12 2 1 1 1

12 2 1 2 2 2

1 1 2 2

1 1

1 2 2

12 2 1

2 12 2 1

1 1 2 2

1

2

3

cos( ) cos

cos( ) cos

cos cos

0

0 0

0 0

0

qq

nc

I B A

I B I A

A A M

T sen

T sen

B sen

B sen

A sen A sen

F

F

F

θ θ θ

θ θ θ

θ θ

θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ

− = −

=

− − = −

=

M

M

F

2 (2)1 2

0

0c

c

qq nc c

F

Q P

=

+ + +=ɺɺ

F

I M M F F

(2) 2 2 21 2 1 2, ,Sabiendo que ( ) , y ,( )T TXQ P Xθ θ θ θ= = ɺɺ ɺ

Con esta división, cada término de izquierda a derecha representa respectivamente, los efectos inerciales, efectos gravitatorios, efectos Coriolis, no conservativos y el control.

69

8. SIMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL EN SIMULINK DE MATLAB

Para llevar a cabo la simulación del modelo matemático del péndulo invertido doble lineal, se utilizó la versión de MatLab R2015a (8.5.0.197613) de 64 bits, la cual nos muestra una pantalla de inicio como la Figura 17.

Figura 17. Pantalla de Inicio de MatLab R2015a

8.1. VARIABLES DE ESTADO

Sabiendo que las variables de interés del sistema son: 1 1 2 2, , , , ,X Xθ θ θ θ

• • •, las

variables de estado escogidas son:

1 1

2 1

3 2

4 2

5

6

X

X

X

X

X X

X X

U Fc

θ

θθ

θ

•

•

•

=

==

==

==

70

Y entonces las derivadas de las variables de estado serían:

1 1 2

2 1

3 2 4

4 2

5 6

6

X X

X

X X

X

X X X

X X

θ

θ

θ

θ

• •

• ••

• •

• ••

• •

• ••

= =

=

= =

=

= =

=

8.2. ORGANIZACIÓN DE LAS ECUACIONES PARA LA SIMULACIÓN

Despreciando las fuerzas no conservativas, como fricción, amortiguamiento, perturbaciones, etc, es decir, haciendo:

1

2

3

0

0

0

nc

F

F F

F

= =

Y despejando 1θ

•• de la Ecuación 11, se tiene:

2

1 1 12 2 1 2 12 2 1 2 1 11

1

( ) cos( ) cosT sen B sen B A X

I

θ θ θ θ θ θ θ θθ• •• ••

•• − − − − −=


••

71

Se despeja 2θ

•• de la Ecuación 12, se obtiene:

( ) ( )212 2 12 2 1 1 12 2 1 2 2

2

2

cos cosT sen B sen B A X

I

θ θ θ θ θ θ θ θθ

• •• •••• + − − − −

=


••

Y por último se despeja X••

de la Ecuación 12, y se tiene:

( ) ( )212 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1

2 2

cos

cos

T sen B sen I BX

A

θ θ θ θ θ θ θ θθ

• •• •••• + − − − −

=

Ecuación 16. Despeje de X••

Despejando 1 2, , Xθ θ

•• •• ••, y dejando en términos de

1 1 2 2, , , ,X Xθ θ θ θ• • •

, que son las

variables de estado de interés se tiene:

2 2 2

1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 1 2 1

2 2

2 2

12 2 1 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 2 1 1

2 12 1 2 1 2 2

(2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 cos( ) 4 cos( )

2 ( ) 2 ( ) 2 ( 3 ) 4 ( )

2 cos( 2 )

A T sen A T sen A T sen A B Fc A FcI

B MT sen A B sen A B sen I MT sen

A B Fc A A T s


θ θ θ θ θ θ θ θθ θ

••

• •

= + − + + − + +

+ − + − − −− + 1 2 1 2 2 1 2 12 2 1 2

2 2 2 2

2 211 2 1 1 12 1 2 1 2 2 2 1 2 12 2 2 1 2

2 2

2

1 2 12 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 )

2 (2 ) 2 (2 2 ) 2 ( ) 4 ( )

2 (2 ) 2 ( )) / (2(

en A A T sen B MT sen

A I sen B M sen A A I sen B I M sen

A A B sen A A I sen A I

θ θ θ θ θ θ


θ θ θ θ θ

• • • •

• •

− − + − − +

− − − − − − −

+ + 2 2

2 1 12 1 2 12 1 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 12 1 1 2 12 2

1 2 12 1 2

2

cos(2 ) cos(2 ) cos(2 2 ) cos(2 ) cos(2 )

cos(2 2 )))

A I B M A A B I I M

A I A I B M A A B A A B

A A B

θ θ θ θ θ θθ θ

+ + − − +

+ + − − − −−


•• • • •

72

2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 2 2 1 2

2 2

2 2

12 1 2 1 12 1 1 2 1 12 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2

2

( ( ) ( (2 )) / 2 ( (2 )) / 2 cos( ) 2 cos( )

( ) ( ) ( 3 ) 2 ( ) ( (2 )) / 2

A

A T sen A T sen A T sen A B Fc A FcI

B MT sen A B sen A B sen I MT sen A A T sen



••

• •

= + + − − − + +

− − + − − − +

+2 2

2 2

1 2 2 1 12 1 2 12 2 1 2 1 2 1 1 2

2 2 2

12 1 1 2 1 2 1 1 1 2 12 1 1 1 2 1 2 12 2 1

2

2

1 2 1 1 1 2 1

(2 ) cos(2 ) (2 2 ) ( (2 )) / 2

(2 ) ( ) 2 ( ) (2 )

( )) / (

I sen A B Fc B M sen A A T sen

B MT sen A A I sen B I M sen A A B sen

A A I sen A

θ θ θ θ θ θ θ θ θ


θ θ θ

• •

• • •

•

− − + − − − +

− + − + − − +

+ 2 2 2 2

2 2 1 12 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2

2

12 1 2 1 2 12 1 1 2 12 2 1 2 12 1 2

2 cos(2 ) cos(2 )

cos(2 2 ) cos(2 ) cos(2 ) cos(2 2 ))

I A I B M A A B I I M A I A I

B M A A B A A B A A B

θ θθ θ θ θ θ θ

+ + − − + + +

− − − − −


•• • • •

2 2

1 2 12 12 1 2 1 12 2 1 2 12 1 1

1 12 2 2 2 12 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2

2 2

2 2

1 12 1 1 2 2 12 2 1 2 1 12 2 1

(4 2 2 cos(2 2 ) (2 ) (2 )

(2 ) (2 ) 2 (2 ) 2 (2 )

2 (3 2 ) 2 (2 3 ) (2

X FcI I B Fc B Fc A B T sen A B T sen

A B T sen A B T sen A I T sen A I T sen

A B sen A B sen A B T sen

θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

••

• •

= − − − − + + ++ − − −

− + − −2

2 2

2 2

2 12 1 1 2 1 12 1 1 2 12 2 2 2 12 1 1 1 2

2 2 2 2

1 12 2 2 1 2 2 12 1 1 1 1 12 2 2 2 1 1 2 1 1

2

2

2 1 2 2 2 1 2

2 )

(2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 )

2 (2 ) 2 ( ) 2 ( ) 4 ( )

4 ( )) / (2(

A B T sen A B sen A B sen A B I sen

A B I sen A B I sen A B I sen A I I sen

A I I sen A I A

θ



θ θ

• • •

• • • •

•

− +

− − − + − −

− + + + +

+ 2 2 2

2 1 12 1 2 12 1 2 1 2 1

2 2

2 1 2 12 1 2 1 2 12 1 1 2 12 2

1 2 12 1 2

2 cos(2 )

cos(2 ) cos(2 2 ) cos(2 ) cos(2 )

cos(2 2 )))

I B M A A B I I M A I

A I B M A A B A A B

A A B

θθ θ θ θ θ

θ θ

+ − − + +

+ − − − −−

Ecuación 19. 1 1 2 2 en términos de , , , ,X X Xθ θ θ θ

•• • • •

73

8.3. PARÁMETROS PARA LA SIMULACIÓN Ya teniendo las ecuaciones despejadas, se proceden a evaluar las constantes, las cuales de acuerdo al prototipo en 3D para la construcción en aluminio son:

0 1 2

0

1

2

( )1

( )2

( ) 2 21 1 1 1 2 0

( ) 22 2 2 2

1 1 1 2 0

2 2 2

12 2 0 2

1 1 1 2 0

2

9.81 /

0 (0.63 0.31) 0.94

1 1.36

2 1.317

0.5

0.25

0.24

0.0272

0.0244

( )

cm

cm

cm

cm

g m s

M kg kg

M kg

M kg

M M M M

L m

L m

L m

I

I

I I M L M L

I I M L

A M L M L

A M L

B M L L

T M L M L g

T

=

= + =

=

=

= + +

=

=

=

=

=

= + +

= +

= +

=

=

= +

2 2M L g=

8.4. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL MODELO MATEMÁTICO

Para la simulación en el ToolBox Simulink del software MatLab, se ingresan las ecuaciones correspondientes a las aceleraciones o segundas derivadas de las posiciones

1 2, , Xθ θ , con respecto a las velocidades o primeras derivadas y a las

mismas posiciones, en cada uno de los bloques de funciones, los cuales se hallan en el Library Browser, y se integran para así obtener las velocidades y las posiciones respectivamente, y de esta manera se obtiene un diagrama de bloques del modelo matemático del sistema de péndulo invertido doble lineal.

74

Las variables que se utilizan para representar el modelo son:

1

1

1

2

2

2

Para el primer grado de libertad:

1

1

1

Para el segundo grado de libertad:

2

2

2

Para el tercer grado de libertad:

teta dotdot

teta dot

teta

teta dotdot

teta dot

teta

X xdotdot

X xdot

X x

θ

θθ

θ

θθ

••

•

••

•

••

•

→

→→

→

→→

→

→→

Figura 18. Diagrama de bloques del modelo matemático en SimuLink

75

Donde:

1 1 1

12 2

3 2 3

24 4

5

6

5

No aparecen al solucionar

el sistema

X

X

X

X

X X

X X

U Fc

θ µ

θ µθ µ

θ µ

µ

•

•

•

= →

= →= →

= →= →

= →= →

Las variables de estado X5 y X6, como se puede apreciar no aparecen al solucionar el modelo, ya que la posición lineal del carro X, se convierte en una especie de variable de manipulación para poder controlar las posiciones angulares θ1 y θ2.

76

9. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

Para poder realizar el análisis y la comprobación del modelo matemático del péndulo invertido doble lineal obtenido, primero se analizó el péndulo en sus posiciones de equilibrio o “estables”, y luego se procede a analizar puntos de inestabilidad, cercanos a los estables.

9.1. CASOS ESTABLES

Se puede observar en la Figura 19, que el sistema de péndulo doble lineal, posee cuatro puntos de equilibrio.

Figura 19. Puntos de equilibrio del péndulo doble

77

9.1.1. Caso 1. Punto de equilibrio Eq_1

Se puede observar que las posiciones angulares θ1 y θ2, permanecen estables en

180°, y la posición del carro x permanece estable en 50 cm, por ende las velocidades

permanecen en 0.

Figura 20. Respuesta en punto de Eq_1

78


Se puede observar que las posiciones angulares θ1 y θ2, permanecen estables en

180° y 0° respectivamente, y la posición del carro x permanece estable esta vez en

70 cm, por lo cual las velocidades permanecen en 0.


79


Se puede observar que los posiciones angulares θ1 y θ2, permanecen estables en

0° ambas, y la posición del carro x permanece estable ahora en 10 cm, por ello las

velocidades se mantienen en 0.


80


Se puede observar que los posiciones angulares θ1 y θ2, permanecen estables en

0° y 180° respectivamente, y la posición del carro x permanece estable en el

momento en 90 cm, por ello las velocidades se mantienen en 0.


81

9.2. CASOS INESTABLES

Para revisar la respuesta inestable, se tomaron puntos cercanos a los puntos de

equilibrio.

Se puede observar que en el caso en que θ1=180°, y θ2=170°, el sistema se vuelve

inestable.

Figura 24. Respuesta a θ1=180° y θ2=170°

82

Se puede observar que en el caso en que θ1=170°, y θ2=180°, el sistema se vuelve

inestable.

Figura 25. Respuesta a θ1=170° y θ2=180°

83

10. DISEÑO DE CONTROLADORES PARA EL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

10.1. LINEALIZACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO

Para la linealización del modelo matemático del péndulo invertido doble lineal se utilizó la matriz jacobiana, la cual contiene las derivadas parciales de las funciones, con respecto a cada una de las variables de estado del sistema, que son las posiciones y las velocidades de los 3 grados de libertad del péndulo doble lineal.

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6

(0)

4 4 4 4

1 2 3

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0)

f f f f f f

x x x x x x

f f f f f f

x x x x x x

f f f f f f

x x x x x xJf

f f f f

x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

4 4

4 5 6

5 5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

1 2 3 4 5 6

(0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

f f

x x

f f f f f f

x x x x x x

f f f f f f

x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

84

Para hallar la matriz A linealizada, se obtuvo la matriz jacobiana de X•

, realizando

las derivadas parciales de 1 2 3 4 5 6, , , , ,X X X X X X

• • • • • •, con respecto a las variables de

estado 1 2 3 4 5 6, , , , ,X X X X X X , que son las posiciones y velocidades de los 3 grados

de libertad del sistema de péndulo doble lineal.

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

3 3 3 3 3

1 2 3 4 5

(0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0

[ , ]linealizada

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X

X X X X XA Jacobian X X

• • • • • •

• • • • • •

• • • • •

•

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= =

3

6

4 4 4 4 4 4

1 2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

1 2 3 4 5 6

) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

X

X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

•

• • • • • •

• • • • • •

• • • • • •

∂∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0 1 0 0 0 0

101.1600 0 -31.2053 0 0 0

0 0 0 1 0 0

-98.5780 0 73.0966 0 0 0

0 0 0 0 0 1

-19.3115 0 2.2268 0 0 0

linealizadaA

=

Ecuación 20. Matriz A linealizada del modelo en SS del péndulo doble lineal

85

Para hallar la matriz B linealizada, se obtuvo la matriz jacobiana de X•

, realizando

las derivadas parciales de 1 2 3 4 5 6, , , , ,X X X X X X

• • • • • •, con respecto a la entrada U, que

en este caso es la fuerza de control FC, del sistema de péndulo doble lineal.

1

2

3

(0)

4

5

6

(0)

(0)

(0)

[ , ]

(0)

(0)

(0)

0

-1.9715

0

0.7181

0

0.7580

linealizada

linealizada

X

U

X

U

X

UB Jacobian X U

X

U

X

U

X

U

B

•

•

•

•

•

•

•

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ = = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

=

Ecuación 21. Matriz B linealizada del modelo en SS del péndulo doble lineal

86

De esta manera se obtiene el modelo matemático, linealizado alrededor de

1 1 2 20, 0, 0, 0θ θ θ θ• •

= = = = , que son los valores de los parámetros en la posición

invertida del péndulo doble lineal.

0 1 0 0 0 0

101.1600 0 -31.2053 0 0 0

0 0 0 1 0 0

-98.5780 0 73.0966 0 0 0

0 0 0 0 0 1

-19.3115 0 2.2268 0 0 0

linealizadaA

=

0

-1.9715

0

0.7181

0

0.7580

linealizadaB

=

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

C

=

0

0

0

0

0

0

D

=

Ecuación 22. Matrices A, B, C y D del modelo linealizado en SS

87

Entonces el modelo matemático en espacio de estados del péndulo invertido doble lineal es:

x Ax Bu

y Cx Du

•= += +

Ecuación 23. Modelo matemático en espacio de estados

1

1

22

3 3

44

5

56

6

0 1 0 0 0 0 0

101.1600 0 -31.2053 0 0 0 -1.9715

0 0 0 1 0 0 0

-98.5780 0 73.0966 0 0 0 0.7181

0 0 0 0 0 1 0

-19.3115 0 2.2268 0 0 0 0.7580

X

XX

X

X X

XX

X

X X

X

•

•

•

•

•

•

= +

1

2

3

4

5

6

1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

U

X

X

Xy U

X

X

X

= +

Ecuación 24. Modelo linealizado en SS del péndulo doble lineal

88

10.2. CONTROLABILIDAD DEL MODELO LINEALIZADO EN SS DEL SISTEMA DE PÉNDULO DOBLE LINEAL

La matriz de controlabilidad del modelo linealizado del sistema de péndulo doble lineal está dada por:

2 3 4 5

0,0000 1,9715 0,0000 221,8479 0,0000 30144,8934

1,9715 0,0000 221,8479 0,0000 30144,8934 0,0000

0,0000 0,7181 0,0000 246,8408 0,0000 39912,5295

0,7181 0,0000 246,8408 0,0000 39912,5295 0,0000

0

Co B AB A B A B A B A B

Co

=

=

− − −− − −

,0000 0,7580 0,0000 39,6720 0,0000 4833,8744

0,7580 0,0000 39,6720 0,0000 4833,8744 0,0000

Ecuación 25. Matriz de controlabilidad del modelo linealizado en SS

El rango de la matriz de controlabilidad Co es 6, como es de rango completo, eso quiere decir que el sistema es completamente controlable.

89

10.3. OBSERVABILIDAD DEL MODELO LINEALIZADO EN SS DEL SISTEMA DE PÉNDULO DOBLE LINEAL

La matriz de observabilidad del modelo linealizado del sistema de péndulo doble lineal está dada por:

2 3 4 5T

Ob C CA CA CA CA CA =

1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000

0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,000

Ob =

0 0,0000 0,0000 1,0000

101,1600 0,0000 31,2053 0,0000 0,0000 0,0000

98,5780 0,0000 73,0966 0,0000 0,0000 0,0000

19,3115 0,0000 2,2268 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 101,1600 0,0000 31,2053 0,0000 0,0000

0,0000 98,5780 0,0000 73,0

−−−

−− 966 0,0000 0,0000

0,0000 19,3115 0,0000 2, 2268 0,0000 0,0000

13309,5132 0,0000 5437,7351 0,0000 0,0000 0,0000

17177,8617 0,0000 8419,2662 0,0000 0,0000 0,0000

2173,0634 0,0000 765,3903 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 13309,5132 0

−−

−−

,0000 5437,7351 0,0000 0,0000

0,0000 17177,8617 0,0000 8419,2662 0,0000 0,0000

0,0000 2173,0634 0,0000 765,3903 0,0000 0,0000

−

−−

Ecuación 26. Matriz de observabilidad del modelo linealizado en SS

El rango de la matriz de observabilidad Ob es 6, como es de rango completo, eso quiere decir que el sistema es completamente observable.

90

10.4. ESTABILIDAD DEL MODELO LINEALIZADO EN SS DEL SISTEMA DE PÉNDULO DOBLE LINEAL

Para conocer la estabilidad, se hallan los polos del modelo linealizado en espacio de estados del sistema de péndulo invertido doble lineal.

[ ]0 0 12,01 5,47 12,01 5,47Polos − −=

Ecuación 27. Polos del modelo linealizado en SS

Figura 26. Diagrama de polos y ceros del modelo linealizado en SS

De acuerdo a los polos de la Ecuación 27, y al diagrama de polos y ceros mostrado en la Figura 26, se puede observar que el sistema es inestable, ya que dos de los seis polos tienen parte real positiva, es decir se encuentran en el semiplano derecho del plano complejo, y otros dos están en el límite de la inestabilidad, por estar en todo el eje Imaginario.

91

10.5. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS

Para mantener el sistema de péndulo doble lineal en su posición invertida, se utiliza la técnica de control por asignación de polos o “Pole Placement”, la cual es una estrategia de control moderno en espacio de estados basada en la realimentación de estados.

Como el sistema es completamente controlable, quiere decir que todos los estados son medibles, entonces se puede aplicar la técnica de control por realimentación de estados sin ningún inconveniente.

Para el diseño de este controlador adicional a las matrices A y B del modelo matemático del sistema del péndulo doble lineal en espacio de estados, se requiere la localización los polos deseados en lazo cerrado.

Para ello, el método más utilizado es elegir tales polos basándose en la experiencia que se tiene del diseño mediante el lugar de las raíces, colocando un par de polos dominantes en lazo cerrado y eligiendo los otros polos de forma que estén suficientemente alejados a la izquierda de los polos dominantes en lazo cerrado.

Entonces se plantea un sistema del mismo orden del sistema de péndulo doble lineal, la cual es de orden 6, definiendo para ello 3 plantas de orden 2.

1 1

2 2

3 3

0,7 0,5

1 6

1 12

n

n

n

ρ ω

ρ ω

ρ ω

= =

= =

= =

92

22 231 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

0,5 6 122(0,7)(0,5) 0,5 2(1)(6) 6 2(1 1

_

)( 2_

)

nn ndeseada

n n n n n n

deseada

G REs s s s s s

G REs s s s s s

ωω ω

ρ ω ω ρ ω ω ρ ω ω

= ⋅ ⋅ + + + + + +

= ⋅ ⋅ + + + + + 2

2 2 2

6 5 4 3 2

12

0,25 36 1440,7 0,25 12 36 24 144

129636,7 493,4 2929 7115 4277 1 6

_

_29

deseada

deseada

G REs s s s s s

G REs s s s s s

+

= ⋅ ⋅ + + + + + +

= + + + + + +

Obteniendo de esta manera los polos deseados del Sistema, así:

-12.0000 + 0.0000i

-12.0000 - 0.0000i

-6.0000 + 0.0000i

-6.0000 - 0.0000i

-0.3500 + 0.3571i

-0.3500 - 0. 7 i

_

35

_

1

Polos Deseados RE

=

De esta manera se halla el vector Kr de ganancias de realimentación de estados, por el método de Asignación de Polos, dando como resultado:

[ ]-241.5882 -5.4841 265.3958 32.2680 1.0855 3.5822Kr =

Ecuación 28. Ganancias de realimentación de estados

10.6. DISEÑO DEL OBSERVADOR DE ESTADOS

Para mantener el sistema de péndulo doble lineal en su posición invertida, en el caso que no se puedan medir todas las variables de estado, se hace uso de un observador de estados, para poder estimar esos estados o esas variables, en este caso que no hay sensores para medirlas, como lo son las velocidades de cada uno de los grados de libertad.

93

Como el sistema es completamente observable, quiere decir que todos los estados se pueden estimar, entonces se puede aplicar un estimador de estados sin ningún inconveniente.

Para el diseño de este observador adicional a las matrices A y C del modelo matemático del sistema del péndulo doble lineal en espacio de estados, se requiere la localización los polos deseados en lazo cerrado, que deben ser mínimo 5 veces más rápidos que los del controlador por asignación de polos.

Entonces se plantea un sistema del mismo orden del sistema de péndulo doble lineal, la cual es de orden 6, definiendo para ello 3 plantas de orden 2, pero los polos 5 veces más alejados hacia la parte izquierda, que los del controlador por realimentación de estados.

11 11

21 21

31 31

0,7 2,5

1 30

1 60

n

n

n

ρ ω

ρ ω

ρ ω

= =

= =

= =

22 23111 21

2 2 2 2 2 211 11 11 21 21 21 31 31 31

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2,5 302(0,7)(2,5) 2,5 2(1)

_

_(30) 30

nn ndeseada

n n n n n n

deseada

G OEs s s s s s

G OEs s s s

ωω ω

ρ ω ω ρ ω ω ρ ω ω

= ⋅ ⋅ + + + + + +

= ⋅ ⋅ + + + +

2

2 2

2 2 2

6 5 4 3 2

602(1)(60) 60

6,25 900 36003,5 6,25 60 900 120 3600

20250000183,5 12336,25 366075 4447125 13365000 2025000

_0

_deseada

deseada

s s

G OEs s s s s s

G OEs s s s s s

+ +

= ⋅ ⋅ + + + + + +

=+ + + + + +

94

Obteniendo de esta manera los polos deseados del sistema, así:

-60.0000 + 0.0000i

-60.0000 + 0.0000i

-30.0000 + 0.0000i

-30.0000 + 0.0000i

-1.7500 + 1.7854i

-1.7500 - 1. 5 i

_

78

_

4

Polos Deseados OE

=

De esta manera se halla el vector Ke de ganancias de estimación de estados, por el mismo método que se utilizó para la asignación de polos, dando como resultado:

42,96 29,62 0

173,33 721,56 0

15,50 50,54 0

117,52 410,11 0

0 0 90

19,31 2,23 1800

Ke

=

−

−

−

−

−

Ecuación 29. Ganancias de estimación de estados

10.7. DISEÑO DEL CONTROLADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO Ó LQR

Para mantener el sistema de péndulo doble lineal en su posición invertida, se utiliza la técnica de control cuadrático lineal o LQR, la cual es una estrategia de control optimo moderno basada en la realimentación de estados.

95

Como se revisó que el sistema es completamente controlable, quiere decir que todos los estados son medibles, entonces se puede aplicar la técnica de control LQR sin ningún inconveniente, ya que es un controlador óptimo basado en la realimentación de estados.

Para obtener la matriz de ganancia de realimentación de estados K_lqr, se utiliza el control óptimo LQR. Este regulador calcula la matriz de ganancia óptima tal que la ley de realimentación de estado u(t) = −Kx(t) minimiza la función de coste:

0( ) ( 2 )T T TJ U X QX U RU X NU dt

∞= + +∫

Ecuación 30. Función de coste cuadrático para el LQR

Los parámetros del diseño del regulador LQ son las matrices de peso Q y R. Q se utiliza como pesos de penalización para los estados y R para penalizar la señal de control.

Las matrices de diseño utilizadas para los experimentos son:

5R =

Ecuación 31. Parámetro R (peso acción de control) del LQR

10 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 10 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 10 0

0 0 0 0 0 1

Q

=

Ecuación 32. Parámetro Q (Peso variables de estado) del LQR

96

Con estos parámetros de diseño, el vector K_lqr de ganancias de realimentación de estados es: [ ]-233.7479 -5.4605 253.2928 30.7654 1.4142 4.0082_K lqr =

Ecuación 33. Vector K_lqr de ganancias del LQR

Con el controlador LQR, los polos de lazo cerrado quedan en:

-12.5397 + 0.0000i

-11.4838 + 0.0000i

-5.7429 + 0.0000i

-5.2325 + 0.0000i

-0.4491 + 0.4341i

-0.4491 - 0.4341i

LQRP

=

Ecuación 34. Polos de lazo cerrado con LQR

10.8. DISEÑO DEL OBSERVADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO Ó LQE

Para mantener el sistema de péndulo doble lineal en su posición invertida, en el caso que no se puedan medir todas las variables de estado, se hace uso de un estimador de estados óptimo o LQE, para poder estimar esos estados o esas variables en este caso que no hay sensores para medirlas, como lo son las velocidades de cada uno de los grados de libertad.

Como el sistema es completamente observable, quiere decir que todos los estados se pueden estimar, entonces se puede aplicar un estimador LQE sin ningún inconveniente, ya que es un observador óptimo basado en la estimación de estados.

97

Los parámetros del diseño del estimador LQE son las matrices de peso Qe y Re. Qe se utiliza como pesos de penalización para los estados y R para penalizar la señal estimada.


5 0 0

Re 0 5 0

0 0 5

=

Ecuación 35. Parámetro Re (peso señal estimada) del LQE

50 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 50 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 50 0

0 0 0 0 0 1

Qe

=

Ecuación 36. Parámetro Qe (Peso variables de estado) del LQE

Con estos parámetros de diseño, el vector K_lqe de ganancias de estimación de estados es:

42,96 29,62 0

173,33 721,56 0

15,50 50,54 0

117,52 410,11 0

0 0 900

19,31 2, 23 18000

_K lqe

=

−−

−−

−

Ecuación 37. Vector K_lqe de ganancias del LQE

98

10.9. DISEÑO DEL CONTROLADOR CUADRÁTICO GAUSSIANO Ó LQG

Otra de las estrategias para mantener el sistema de péndulo doble lineal en su posición invertida, es la técnica de control óptimo cuadrático gaussiano o LQG, el cual es un controlador optimo moderno basado en la realimentación de estados en combinación con estimación de estados.

Como se revisó que el sistema es completamente controlable, quiere decir que todos los estados son medibles, y además que es completamente observable, lo cual indica que los estados que no se pueden medir se pueden estimar, entonces se puede aplicar la técnica combinada de control óptimo por realimentación de estados y estimación de estados sin ningún problema.

Al igual que el LQR, los parámetros del diseño del regulador LQG son las matrices de peso QXU y QWV. Para ello necesitamos de las mismas matrices de pesos Q y R, que se utilizaron para el LQR. Ahora Q1 se utiliza como pesos de penalización para los estados y R1 para penalizar la señal de control.


1 5R =

Ecuación 38. Parámetro R1 (peso acción de control) del LQG

10 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 10 0 0 01

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 10 0

0 0 0 0 0 1

Q

=

Ecuación 39. Parámetro Q1 (peso variables de estado) del LQG

99

Adicional, se necesitan unas matrices de pesos para los disturbios de entrada y salida del sistema, denominados también ruidos blanco gaussianos, de ahí el nombre del controlador LQG.

50 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 50 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 50 0

0 0 0 0 0 1

5 0 0

0 5 0

0 0 5

Qn

Rn

=

=

Ecuación 40. Parámetros Qn y Rn (peso ruidos de entrada y salida) del LQG

Teniendo todas las matrices de peso Q1, R1, Qn y Rn, se dispone a hallar las matrices QXU y QWV.

10 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 10 0 0 0 01 0

0 0 0 1 0 0 00 1

0 0 0 0 10 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 5

50 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 50 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 00

0 0 0 0 50 0 0 0 00

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 5 0 0

0 0 0 0 0 0 0 5 0

0 0 0 0 0 0 0 0 5

QQXU

R

QnQWV

Rn

= =

= =

Ecuación 41. Parámetros QXU y QWV (Pesos Totales) del LQG

100

Con estos parámetros de diseño, el regulador LQG queda de la siguiente forma:

1

2

3

4

5

6

17,3 1,0 7, 2 0,0 2,8 0,0

534,7 10,8 569,6 60,7 31,4 7,9

7,2 0,0 17,8 1,0 0,6 0,0

223,9 3,9 289, 2 22,1 21,0 2,9

2,8 0,0 0,6 0,0 3,9 1,0

192,5 4,1 202,0 23,3 7,6 3,

_e

_e

0

_e

_e

_e

_e

X

X

X

X

X

X

•

•

•

•

•

•

−− −

− −− −

=

− −− −

− − −

−

[ ]

1

2

3

4

5

6

1

2

3

17,3 7, 2 2,8

175,0 101,5 28,6

7, 2 17,8 0,6

154,7 180, 4 20,0

2,8 0,6 3,9

34,6 12,3 6,6

233,7 5,5 253,3 3

_e

_e

_e

_e

_e

_e

_e

_e

_0,8 1, 4 4,

e0

X

X

XU

X

X

X

X

X

Xy

X

+

− −− −

−−

−−

− − − −

= [ ]4

5

6

_e

_e

_

0 0

e

0 U

X

X

+

101

11. SIMULACIÓN DE CONTROLADORES PARA EL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL EN SIMULINK DE MATLAB

Igualmente para verificar el correcto funcionamiento de los controladores por Pole Placement, Estimador de Estados, LQR, LQE y LQG para el péndulo invertido doble lineal, se utilizó la versión de MatLab R2015a (8.5.0.197613) de 64 bits.

11.1. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON REALIMENTACIÓN DE ESTADOS

El diagrama de bloques implementado del sistema con Pole Placement en SimuLink, se muestra en la Figura 27.

Figura 27.Diagrama de bloques del sistema con Pole Placement en SimuLink

102

11.2. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON CONTROL POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS CON OBSERVADOR

Figura 28. Diagrama de bloques del estimador de estados en SimuLink

Figura 29. Diagrama de bloques del controlador por realimentación de estados con estimador de estados en SimuLink

103

11.3. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON CONTROL LQR

El diagrama de bloques implementado del sistema con el LQR en SimuLink, se muestra en la Figura 30.

Figura 30. Diagrama de bloques del sistema con LQR en SimuLink

104

11.4. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON LQR + LQE

Figura 31. Diagrama de bloques del estimador óptimo o LQE en SimuLink

Figura 32. Diagrama de bloques del regulador óptimo LQR con estimador óptimo LQE en SimuLink

105

11.5. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON CONTROL LQG

El diagrama de bloques implementado del sistema con el LQG en SimuLink, se muestra en la Figura 33. Diagrama de bloques del sistema con LQG en SimuLink.

Figura 33. Diagrama de bloques del sistema con LQG en SimuLink

106

12. ANÁLISIS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO DEL SISTEMA DE PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL CON LOS CONTROLADORES

Se analizan las respuestas de los tres grados de libertad θ1, θ2 y X, y de la señal de control, de cada uno de los controladores implementados en SimuLink. Se puede observar que la implementación de los 5 controladores, son capaces de llevar el péndulo doble lineal de nuevo a su posición invertida, pero ante pequeños cambios alrededor de su punto de operación. El control por Pole Placement es que mejor rango de operación tiene, entre -25° y +25°, y con tiempos de estabilización de 5 segundos, como se puede verificar en Figura 34, Figura 35 y Figura 36. El regulador con observador, trabaja entre -7° y +7°, con unos tiempos de estabilidad de θ1 y θ2, en torno a los 4 segundos, como se confirma en Figura 38, Figura 39 y Figura 40.

El controlador LQR opera máximo entre -10° y +10°, y con unos tiempos de estabilización de θ1 y θ2, alrededor de 4 segundos, como se puede observar en

Figura 42, Figura 43, y

Figura 44.

El controlador LQG opera máximo para desviaciones entre -6° y +6°, siendo este rango de control muy pequeño comparado con los otros, y con unos tiempos de estabilización de θ1, y θ2 de 2 segundos, como se puede corroborar en Figura 50, Figura 51 y Figura 52.

107

12.1. RESPUESTA CON REALIMENTACIÓN DE ESTADOS

Figura 34. Respuesta de θ1 con Pole Placement

Figura 35. Respuesta de θ2 con Pole Placement

Figura 36. Respuesta de X con Pole Placement

Figura 37. Señal de control con Pole Placement

108

12.2. RESPUESTA CON REALIMENTACIÓN DE ESTADOS + OBSERVADOR

Figura 38. Respuesta de θ1 con Regulador+Estimador

Figura 39. Respuesta de θ2 con Regulador+Estimador

Figura 40. Respuesta de X con Regulador+Estimador

Figura 41. Señal de Control con Regulador+Estimador

109

12.3. RESPUESTA CON LQR

Figura 42. Respuesta de θ1 con LQR

Figura 43. Respuesta de θ2 con LQR

Figura 44. Respuesta de X con LQR

Figura 45. Señal de control con LQR

110

12.4. RESPUESTA CON LQR + LQE

Figura 46. Respuesta de θ1 con LQR+LQE

Figura 47. Respuesta de θ2 con LQR+LQE

Figura 48. Respuesta de X con LQR+LQE

Figura 49. Señal de control con LQR+LQE

111

12.5. RESPUESTA CON LQG

Figura 50. Respuesta de θ1 con LQG

Figura 51. Respuesta de θ2 con LQG

Figura 52. Respuesta de X con LQG

Figura 53. Señal de control con LQG

112

13. CONCLUSIONES

Se realizó el prototipo virtual en 3D del sistema de péndulo invertido doble lineal en

el software de diseño CAD SolidWorks, obteniendo unas vistas isométricas y unos

planos de cada una de las piezas que componen el sistema, además de un

ensamblaje total de todo el mecanismo.

Se desarrolló el modelo matemático del sistema de péndulo invertido doble lineal,

mediante las ecuaciones de Euler – Lagrange, obteniendo un modelo no lineal,

como era de suponerse para un sistema inestable de este tipo, luego se linealizó el

modelo a través de la matriz jacobiana, y se expresó el modelo en espacio de

estados.

Se comprobó el modelo matemático del sistema de péndulo invertido doble lineal

mediante las respuestas de las gráficas obtenidas de las variables θ1, θ2 y X en la

simulación del ToolBox SimuLink del software MatLab, donde se pudo observar la

estabilidad en los puntos de equilibrio, pero apenas se alejaba de esos puntos, el

sistema empezaba a oscilar hasta convertirse en un sistema caótico.

113

Se diseñaron varios controladores, como uno por pole placement, un observador de

estados, un regulador óptimo LQR, un estimador óptimo LQE y un regulador óptimo

gaussiano LQG, para el sistema de péndulo doble lineal y lograr mantenerlo en su

posición invertida, logrando la estabilización a cero de las variables θ1, θ2 y X, para

poderlo conservar en su posición invertida.

Se verifico el efecto de los diferentes controladores por realimentación de estados,

por estimación de estados, por regulador óptimo LQR, por estimador óptimo LQE, y

por regulador óptimo gaussiano LQG, a través de la simulación en SimuLink de

Matlab, junto con el modelo no lineal del sistema del péndulo doble lineal, alrededor

del punto de linealización.

114

14. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] OGATA. Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. Quinta Edición. Editorial

Prentice Hall. 2010. Madrid, España.

[2] BOLTON, William. Ingeniería de Control. Segunda Edición. Editorial

Alfaomega. 2001. México D.F., México.

[3] KUO, Benjamin. Sistemas de Control Automático. Séptima Edición. Editorial

Prentice Hall. 1996. Juárez, México.

[4] DORF, Richard C. & BISHOP, Robert H. Sistemas de Control Moderno.

Décima Edición. Editorial Prentice Hall. 2005.

[5] SMITH, Carlos A. & CORRIPIO, Armando B. Control Automático de Procesos:

Teoría y Practica. Editorial Limusa. 1997. España.

[6] SANCHEZ, José Acedo. Instrumentación y Control Avanzado de Procesos.

Ediciones Diaz de Santos. 2006. España.

115

[7] OLLERO Baturone, Anibal. Robótica: Manipuladores y Robots Moviles.

Editorial Alfamomega Marcombo. 2007. Barcelona, España.

[8] CRAIG. John J. Robótica. Tercera Edición. Editorial Prentice Hall. 2006.

México D.F., México.

[9] BARRIENTOS, Antonio & Otros. Fundamentos de Robótica. Segunda Edición.

Editorial Mc Graw Hill. 2007. Madrid, España.Furuta K., M. Yamakita, S.

Kobayashi and M. Nishimura, "A New Inverted Pendulum apparatus for

education in Advances in Control Education" IFAC 1991 pp 191-196.

[10] Furuta K., M. Yamakita, S. Kobayashi and M. Nishimura, "A New Inverted

Pendulum apparatus for education in Advances in Control Education" IFAC

1991 pp 191-196.

[11] Valera, A., Vallés, M., Tornero, J. (2001) “Real Time Robot Control

Implementation with Matlab/Simulink”, Telematics Applicaction in Automation

and Robotics, Ed. Pergamon, ISBN 0 08 043856 3.

[12] Slotine, J.J., Li, W. Applied Nonlinear Control. Englewood Cliffs, New Jersey :

Prentice Hall, 1991. 461p.

116

[13] SARABIA Ortiz, Daniel; DE PRADA Moraga, César y Otros. Control Predictivo

De Un Sistema Híbrido. Dpto. De Ingeniería De Sistemas Y Automática.

Universidad De Valladolid, Facultad De Ciencias C/ Real De Burgos S/N,

47011 Valladolid, España.

[14] K.J. Astrom and K. Furuta. Swinging up a pendulum by energy control.

Automatica, 36(2):287–295, February 2000.

117

ANEXOS

118

ANEXO A. PLANOS DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

119

120

121

122

123

124

125

126

ANEXO B. CÓDIGO DE MATLAB PARA EL MODELO MATEMÁTICO

syms Fc M T1 T2 B12 A1 A2 I1 I2 teta1 teta2 teta2dot teta1dot teta1dotdot

teta2dotdot xdotdot

%xdotdot=(T2*sin(teta2)+B12*sin(teta2-teta1)*teta1dot^2-I2*teta2dotdot-

B12*cos(teta2-teta1)*teta1dotdot)/(A2*cos(teta2));

%teta1dotdot = (T1*sin(teta1)-B12*sin(teta2-teta1)*teta2dot^2-

B12*cos(teta2-teta1)*teta2dotdot-A1*cos(teta1)*xdotdot)/I1;

xdotdotsubs=subs((T2*sin(teta2)+B12*sin(teta2-teta1)*teta1dot^2-

I2*teta2dotdot- B12*cos(teta2-teta1)*teta1dotdot) /

(A2*cos(teta2)),teta1dotdot,(T1*sin(teta1)-B12*sin(teta2-

teta1)*teta2dot^2 - B12*cos(teta2-teta1)*teta2dotdot-

A1*cos(teta1)*xdotdot) / I1);

teta1dotdotsubs = subs((T1*sin(teta1)-B12*sin(teta2-teta1)*teta2dot^2-

B12*cos(teta2-teta1)*teta2dotdot-

A1*cos(teta1)*xdotdot)/I1,xdotdot,(T2*sin(teta2)+B12*sin(teta2-

teta1)*teta1dot^2-I2*teta2dotdot-B12*cos(teta2-

teta1)*teta1dotdot)/(A2*cos(teta2)));

syms xdotdot teta1dotdot

teta1dotdottemp = teta1dotdotsubs-teta1dotdot;

xtemp = xdotdotsubs-xdotdot;

xdotdot_desp = solve('- xdotdot - (B12*sin(teta1 - teta2)*teta1dot^2 +

I2*teta2dotdot - T2*sin(teta2) + (B12*cos(teta1 - teta2)*(B12*sin(teta1 -

teta2)*teta2dot^2 + T1*sin(teta1) - B12*teta2dotdot*cos(teta1 - teta2) -

A1*xdotdot*cos(teta1)))/I1)/(A2*cos(teta2))=0',xdotdot)

%xdotdot_desp=(B12*sin(teta1 - teta2)*teta1dot^2 + I2*teta2dotdot -

T2*sin(teta2) + (B12*cos(teta1 - teta2)*(B12*sin(teta1 -

teta2)*teta2dot^2 + T1*sin(teta1) - B12*teta2dotdot*cos(teta1 -

teta2)))/I1)/(A2*cos(teta2)*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1))

teta1dotdot_desp = solve('(B12*sin(teta1 - teta2)*teta2dot^2 +

T1*sin(teta1) - B12*teta2dotdot*cos(teta1 - teta2) +

(A1*cos(teta1)*(B12*sin(teta1 - teta2)*teta1dot^2 + I2*teta2dotdot -

T2*sin(teta2) + B12*teta1dotdot*cos(teta1 - teta2)))/(A2*cos(teta2)))/I1

- teta1dotdot=0',teta1dotdot)

127

%teta1dotdot_desp=-(B12*sin(teta1 - teta2)*teta2dot^2 + T1*sin(teta1) -

B12*teta2dotdot*cos(teta1 - teta2) + (A1*cos(teta1)*(B12*sin(teta1 -

teta2)*teta1dot^2 + I2*teta2dotdot -

T2*sin(teta2)))/(A2*cos(teta2)))/(I1*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1))

teta2dotdot_desp = solve('A1*cos(teta1)*(-(B12*sin(teta1 -

teta2)*teta2dot^2 + T1*sin(teta1) - B12*teta2dotdot*cos(teta1 - teta2) +



teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) -

1)))+A2*cos(teta2)*teta2dotdot+M*((B12*sin(teta1 - teta2)*teta1dot^2 +

I2*teta2dotdot - T2*sin(teta2) + (B12*cos(teta1 - teta2)*(B12*sin(teta1 -



teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)))-A1*sin(teta1)*teta1dot^2-

A2*sin(teta2)*teta2dot^2-Fc=0',teta2dotdot)

pretty(teta2dotdot_desp)

teta2dotdot_S = simplify(teta2dotdot_desp)

pretty(teta2dotdot_S)

teta1dotdottemp = subs(-(B12*sin(teta1 - teta2)*teta2dot^2 +

T1*sin(teta1) - B12*teta2dotdot*cos(teta1 - teta2) +



teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)),teta2dotdot,(Fc +

A1*teta1dot^2*sin(teta1) + A2*teta2dot^2*sin(teta2) +

(A1*cos(teta1)*(B12*sin(teta1 - teta2)*teta2dot^2 + T1*sin(teta1) -

(A1*cos(teta1)*(T2*sin(teta2) - B12*teta1dot^2*sin(teta1 -

teta2)))/(A2*cos(teta2))))/(I1*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)) - (M*(B12*sin(teta1 -

teta2)*teta1dot^2 - T2*sin(teta2) + (B12*cos(teta1 -

teta2)*(B12*sin(teta1 - teta2)*teta2dot^2 +

T1*sin(teta1)))/I1))/(A2*cos(teta2)*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)))/(A2*cos(teta2) + (M*(I2 -

(B12^2*cos(teta1 - teta2)^2)/I1))/(A2*cos(teta2)*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)) +

(A1*cos(teta1)*(B12*cos(teta1 - teta2) -

(A1*I2*cos(teta1))/(A2*cos(teta2))))/(I1*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1))))

teta1dotdot_S = simplify(teta1dotdottemp)

pretty(teta1dotdot_S)

128

xdotdottemp = subs((B12*sin(teta1 - teta2)*teta1dot^2 + I2*teta2dotdot -

T2*sin(teta2) + (B12*cos(teta1 - teta2)*(B12*sin(teta1 -



teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)),teta2dotdot,(Fc +

A1*teta1dot^2*sin(teta1) + A2*teta2dot^2*sin(teta2) +

(A1*cos(teta1)*(B12*sin(teta1 - teta2)*teta2dot^2 + T1*sin(teta1) -

(A1*cos(teta1)*(T2*sin(teta2) - B12*teta1dot^2*sin(teta1 -

teta2)))/(A2*cos(teta2))))/(I1*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)) - (M*(B12*sin(teta1 -

teta2)*teta1dot^2 - T2*sin(teta2) + (B12*cos(teta1 -

teta2)*(B12*sin(teta1 - teta2)*teta2dot^2 +

T1*sin(teta1)))/I1))/(A2*cos(teta2)*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)))/(A2*cos(teta2) + (M*(I2 -

(B12^2*cos(teta1 - teta2)^2)/I1))/(A2*cos(teta2)*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1)) +

(A1*cos(teta1)*(B12*cos(teta1 - teta2) -

(A1*I2*cos(teta1))/(A2*cos(teta2))))/(I1*((A1*B12*cos(teta1 -

teta2)*cos(teta1))/(A2*I1*cos(teta2)) - 1))))

xdotdot_S = simplify(xdotdottemp)

pretty(xdotdot_S)

129

ANEXO C. CÓDIGO DE MATLAB PARA LOS CONTROLADORES

%% Linealización del Modelo No Lineal

syms teta1 teta1dot teta2 teta2dot x xdot A1 A2 T1 T2 B12 I1 I2 M Fc

As = jacobian([teta1dot; (2*A2^2*T1*sin(teta1) + A2^2*T1*sin(teta1 -

2*teta2) + A2^2*T1*sin(teta1 + 2*teta2) - 2*A2*B12*Fc*cos(teta1) +

4*A1*Fc*I2*cos(teta1) + 2*B12*M*T2*sin(teta1) +

2*A2^2*B12*teta2dot^2*sin(teta1 - teta2) +

2*A2^2*B12*teta2dot^2*sin(teta1 - 3*teta2) - 4*I2*M*T1*sin(teta1) -

2*A2*B12*Fc*cos(teta1 - 2*teta2) + A1*A2*T2*sin(teta1 - 2*teta2) -

A1*A2*T2*sin(teta1 + 2*teta2) - 2*B12*M*T2*sin(teta1 - 2*teta2) +

2*A1^2*I2*teta1dot^2*sin(2*teta1) - 2*B12^2*M*teta1dot^2*sin(2*teta1 -

2*teta2) - 2*A1*A2*I2*teta2dot^2*sin(teta1 - teta2) -

4*B12*I2*M*teta2dot^2*sin(teta1 - teta2) -

2*A1*A2*B12*teta1dot^2*sin(2*teta2) + 2*A1*A2*I2*teta2dot^2*sin(teta1 +

teta2))/(2*(A1^2*I2 + A2^2*I1 + B12^2*M - A1*A2*B12 - 2*I1*I2*M +

A1^2*I2*cos(2*teta1) + A2^2*I1*cos(2*teta2) + B12^2*M*cos(2*teta1 -

2*teta2) - A1*A2*B12*cos(2*teta1) - A1*A2*B12*cos(2*teta2) -

A1*A2*B12*cos(2*teta1 - 2*teta2)));teta2dot;(A1^2*T2*sin(teta2) +

(A1^2*T2*sin(2*teta1 + teta2))/2 - (A1^2*T2*sin(2*teta1 - teta2))/2 -

A1*B12*Fc*cos(teta2) + 2*A2*Fc*I1*cos(teta2) + B12*M*T1*sin(teta2) -

A1^2*B12*teta1dot^2*sin(teta1 - teta2) + A1^2*B12*teta1dot^2*sin(teta2 -

3*teta1) - 2*I1*M*T2*sin(teta2) - (A1*A2*T1*sin(2*teta1 + teta2))/2 +

A2^2*I1*teta2dot^2*sin(2*teta2) - A1*B12*Fc*cos(2*teta1 - teta2) +

B12^2*M*teta2dot^2*sin(2*teta1 - 2*teta2) - (A1*A2*T1*sin(2*teta1 -

teta2))/2 + B12*M*T1*sin(2*teta1 - teta2) + A1*A2*I1*teta1dot^2*sin(teta1

- teta2) + 2*B12*I1*M*teta1dot^2*sin(teta1 - teta2) -

A1*A2*B12*teta2dot^2*sin(2*teta1) + A1*A2*I1*teta1dot^2*sin(teta1 +

teta2))/(A1^2*I2 + A2^2*I1 + B12^2*M - A1*A2*B12 - 2*I1*I2*M +



A1*A2*B12*cos(2*teta1 - 2*teta2));xdot;-(4*Fc*I1*I2 - 2*B12^2*Fc -

2*B12^2*Fc*cos(2*teta1 - 2*teta2) + A1*B12*T2*sin(2*teta1) +

A2*B12*T1*sin(2*teta1) + A1*B12*T2*sin(2*teta2) + A2*B12*T1*sin(2*teta2)

- 2*A1*I2*T1*sin(2*teta1) - 2*A2*I1*T2*sin(2*teta2) -

2*A1*B12^2*teta1dot^2*sin(3*teta1 - 2*teta2) +

2*A2*B12^2*teta2dot^2*sin(2*teta1 - 3*teta2) - A1*B12*T2*sin(2*teta1 -

2*teta2) + A2*B12*T1*sin(2*teta1 - 2*teta2) -

2*A1*B12^2*teta1dot^2*sin(teta1) - 2*A2*B12^2*teta2dot^2*sin(teta2) +

2*A2*B12*I1*teta1dot^2*sin(teta1 - 2*teta2) -

2*A1*B12*I2*teta2dot^2*sin(2*teta1 - teta2) +

2*A2*B12*I1*teta1dot^2*sin(teta1) + 2*A1*B12*I2*teta2dot^2*sin(teta2) +

4*A1*I1*I2*teta1dot^2*sin(teta1) +

4*A2*I1*I2*teta2dot^2*sin(teta2))/(2*(A1^2*I2 + A2^2*I1 + B12^2*M -

A1*A2*B12 - 2*I1*I2*M + A1^2*I2*cos(2*teta1) + A2^2*I1*cos(2*teta2) +

B12^2*M*cos(2*teta1 - 2*teta2) - A1*A2*B12*cos(2*teta1) -

A1*A2*B12*cos(2*teta2) - A1*A2*B12*cos(2*teta1 - 2*teta2)))],[teta1,

teta1dot, teta2, teta2dot, x, xdot]);

130

Bs = jacobian([teta1dot; (2*A2^2*T1*sin(teta1) + A2^2*T1*sin(teta1 -

2*teta2) + A2^2*T1*sin(teta1 + 2*teta2) - 2*A2*B12*Fc*cos(teta1) +

4*A1*Fc*I2*cos(teta1) + 2*B12*M*T2*sin(teta1) +

2*A2^2*B12*teta2dot^2*sin(teta1 - teta2) +

2*A2^2*B12*teta2dot^2*sin(teta1 - 3*teta2) - 4*I2*M*T1*sin(teta1) -

2*A2*B12*Fc*cos(teta1 - 2*teta2) + A1*A2*T2*sin(teta1 - 2*teta2) -

A1*A2*T2*sin(teta1 + 2*teta2) - 2*B12*M*T2*sin(teta1 - 2*teta2) +

2*A1^2*I2*teta1dot^2*sin(2*teta1) - 2*B12^2*M*teta1dot^2*sin(2*teta1 -

2*teta2) - 2*A1*A2*I2*teta2dot^2*sin(teta1 - teta2) -

4*B12*I2*M*teta2dot^2*sin(teta1 - teta2) -

2*A1*A2*B12*teta1dot^2*sin(2*teta2) + 2*A1*A2*I2*teta2dot^2*sin(teta1 +

teta2))/(2*(A1^2*I2 + A2^2*I1 + B12^2*M - A1*A2*B12 - 2*I1*I2*M +



A1*A2*B12*cos(2*teta1 - 2*teta2)));teta2dot;(A1^2*T2*sin(teta2) +

(A1^2*T2*sin(2*teta1 + teta2))/2 - (A1^2*T2*sin(2*teta1 - teta2))/2 -

A1*B12*Fc*cos(teta2) + 2*A2*Fc*I1*cos(teta2) + B12*M*T1*sin(teta2) -

A1^2*B12*teta1dot^2*sin(teta1 - teta2) + A1^2*B12*teta1dot^2*sin(teta2 -

3*teta1) - 2*I1*M*T2*sin(teta2) - (A1*A2*T1*sin(2*teta1 + teta2))/2 +

A2^2*I1*teta2dot^2*sin(2*teta2) - A1*B12*Fc*cos(2*teta1 - teta2) +

B12^2*M*teta2dot^2*sin(2*teta1 - 2*teta2) - (A1*A2*T1*sin(2*teta1 -

teta2))/2 + B12*M*T1*sin(2*teta1 - teta2) + A1*A2*I1*teta1dot^2*sin(teta1

- teta2) + 2*B12*I1*M*teta1dot^2*sin(teta1 - teta2) -

A1*A2*B12*teta2dot^2*sin(2*teta1) + A1*A2*I1*teta1dot^2*sin(teta1 +

teta2))/(A1^2*I2 + A2^2*I1 + B12^2*M - A1*A2*B12 - 2*I1*I2*M +



A1*A2*B12*cos(2*teta1 - 2*teta2));xdot;-(4*Fc*I1*I2 - 2*B12^2*Fc -

2*B12^2*Fc*cos(2*teta1 - 2*teta2) + A1*B12*T2*sin(2*teta1) +

A2*B12*T1*sin(2*teta1) + A1*B12*T2*sin(2*teta2) + A2*B12*T1*sin(2*teta2)

- 2*A1*I2*T1*sin(2*teta1) - 2*A2*I1*T2*sin(2*teta2) -

2*A1*B12^2*teta1dot^2*sin(3*teta1 - 2*teta2) +

2*A2*B12^2*teta2dot^2*sin(2*teta1 - 3*teta2) - A1*B12*T2*sin(2*teta1 -

2*teta2) + A2*B12*T1*sin(2*teta1 - 2*teta2) -

2*A1*B12^2*teta1dot^2*sin(teta1) - 2*A2*B12^2*teta2dot^2*sin(teta2) +

2*A2*B12*I1*teta1dot^2*sin(teta1 - 2*teta2) -

2*A1*B12*I2*teta2dot^2*sin(2*teta1 - teta2) +

2*A2*B12*I1*teta1dot^2*sin(teta1) + 2*A1*B12*I2*teta2dot^2*sin(teta2) +

4*A1*I1*I2*teta1dot^2*sin(teta1) +

4*A2*I1*I2*teta2dot^2*sin(teta2))/(2*(A1^2*I2 + A2^2*I1 + B12^2*M -

A1*A2*B12 - 2*I1*I2*M + A1^2*I2*cos(2*teta1) + A2^2*I1*cos(2*teta2) +

B12^2*M*cos(2*teta1 - 2*teta2) - A1*A2*B12*cos(2*teta1) -

A1*A2*B12*cos(2*teta2) - A1*A2*B12*cos(2*teta1 - 2*teta2)))],[Fc]);

131

%% Parámetros del modelo

g = 9.81; M0 = 0.63+0.31; M1 = 1.36; M2 = 1.317; M = M0+M1+M2; L0 = 0.5; L1 = 0.25; L2 = 0.24; I1CM = 0.0272; I2CM = 0.0244; I1 = I1CM+M1*L1^2+M2*L0^2; I2 = I2CM+M2*L2^2; A1 = M1*L1+M2*L0; A2 = M2*L2; B12 = M2*L0*L2; T1 = (M1*L1+M2*L0)*g; T2 = M2*L2*g;

_________________________________________________________________________

%% Punto de Linealización

teta1=0;teta1dot=0;teta2=0;teta2dot=0; Fc=0;

A = subs(As); B = subs(Bs); C = [1 0 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 1 0]; %Salidas solo posiciones D = zeros(3,1);

A = double(A); B = double(B);

G = ss(A,B,C,D); %Modelo Linealizado del Sistema en SS

_________________________________________________________________________

%% Características del sistema

rangoCtr = rank(ctrb(A,B)); %Calcula el rango de la matriz de

Controlabilidad. Como la matriz de Controlabilidad es de rango completo

el sistema es completamente controlable.

rangoObs = rank(obsv(A,C)); %Calcula el rango de la matriz de

Observabilidad. Como la matriz de Observabilidad es de rango completo el

sistema es completamente observable.

[GPolos, GCeros] = pzmap(G); %Polos y Ceros del Sistema

132

%% Diseño del Controlador por Realimentación de Estados

%Polos Deseados de Realimentación de Estados rho1 = 0.7; wn1= 0.5; rho2 = 1; wn2 = 6; rho3 = 1; wn3 = 12;

s = tf('s');

dinamicaDeseada_RE = (wn1^2/(s^2+2*rho1*wn1*s+wn1^2))*

(wn2^2/(s^2+2*rho2*wn2*s+wn2^2))*(wn3^2/(s^2+2*rho3*wn3*s+wn3^2)); PolosDeseados_RE = pole(dinamicaDeseada_RE);

% Cálculo de ganancias de Realimentación

Kr = place(A,B,PolosDeseados_RE); % Calculo de las ganancias de

Realimentacion de estados para ubicar los polos de lazo cerrado, en los

polos deseados usando Pole Placement.

G_re=ss(A-B*Kr,B,C,[]);

[G_re_Polos, G_re_Ceros] = pzmap(G_re); %Polos y ceros del Sistema

Realimentado con REALIMENTACION DE ESTADOS

_________________________________________________________________________

%% Diseño del Observador de Estados

%Polos Deseados de Observador de Estados rho11 = 0.7; wn11= 2.5; rho21 = 1; wn21 = 30; rho31 = 1; wn31 = 60;

s = tf('s');

dinamicaDeseada_OE =

(wn11^2/(s^2+2*rho11*wn11*s+wn11^2))*(wn21^2/(s^2+2*rho21*wn21*s+wn21^2))

*(wn31^2/(s^2+2*rho31*wn31*s+wn31^2)); PolosDeseados_OE = pole(dinamicaDeseada_OE);

% Cálculo de Ganancias de Estimación

Ke = place (A',C',PolosDeseados_OE)';

133

%% Diseño del Controlador LQR

Q = diag([10 1 10 1 10 1]); R = 5;

K_lqr = lqr(A,B,Q,R,zeros(6,1));

G_lqr=ss(A-B*K_lqr,B,C,[]); %Representacion SS Sistema Realimentado con

LQR [G_lqr_Polos, G_lqr_Ceros] = pzmap(G_lqr); %Polos y ceros del Sistema

Realimentado con LQR _________________________________________________________________________

%% Diseño de Observador LQE (Filtro Kalman)

Qe = diag([50 1 50 1 50 1]); Re = 5*eye(size(C,1));

K_lqe = lqr(A',C',Qe,Re,zeros(6,3))';

[Pe,eig,Fe1] = care(A',C',Qe,Re); %Solución de la Ecuación Algebraica de

Riccati, Pe = Solución, eig = Valores Propios, Fe1 = Matriz de Ganancia

de Estimacion Optima Fe = (Pe*C')/(Re); _________________________________________________________________________

%% Diseño del Controlador LQG

% Matrices de pesos para la entrada y los estados

Q1 = diag([10 1 10 1 10 1]); R1 = 5;

% Matrices de pesos para los disturbios de entrada y salida de la planta

Qn = diag([50 1 50 1 50 1]); Rn = 5*eye(size(C,1));

% Matrices Qxu y Qwv

QXU = blkdiag(Q1,R1); QWV = blkdiag(Qn,Rn);

% Cálculo de controlador LQG

KLQG = lqg(G,QXU,QWV);

134

ANEXO D. PRESUPUESTO PARA LA FUTURA CONSTRUCCIÓN DEL PÉNDULO INVERTIDO DOBLE LINEAL

En el presupuesto de Materiales para su futura implementación física se da un

estimado.

Estos se detallan a continuación:

MATERIALES UNIDADES COSTO UNITARIO COSTO TOTAL

Estructura Mecánica 1 $1’000.000 $1’000.000

Motor Eléctrico DC 1 unidad $300.000 $300.000

Encoders Incrementales 3 unidades $400.000 $1’200.000

Drive 1 $300.000 $300.000

Sistema de Adquisición

de Datos

1 $300.000 $300.000

TOTAL $3’100.000

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DISEÑO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO …