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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL

INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

REFRACTOMETRIATEMA : DISEÑO CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO.

DOCENTE :PEDRO GAMARRA.

ASIGNATURA :METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

CICLO :VIII

INTEGRANTES : CORDOVA RODAS, Jonathan A. MORENO SÁNCHEZ, Sully Rubí. VILLACA TERRONES, Walter A.

DISEÑO CUADRADO LATINO (DCL)

INTRODUCCIÓN

Ya vimos que el diseño de bloques al azar, era el diseño apropiado cuando se

conocía de antemano alguna fuente de variabilidad adicional entre las unidades

experimentales. ¿Pero qué pasa si se sabe de dos fuentes de variabilidad adicional que

afectan el material experimental?

Supongamos que se tiene un experimento agrícola donde las

unidades experimentales son parcelas, pero estas parcelas están ubicadas en

diferentes tipos de suelo y además tienen diferentes valores de pH., uno podría pensar

en realizar un diseño de bloques al azar usando cualquiera de estas dos

características: realizando bloques de acuerdo a los diferentes valores de pH o

bloques que consideren los diferentes tipos de suelo. Otra alternativa, que como ya se

habrán imaginado es la más adecuada, es hacer un “doble bloqueo”, o sea bloques en

dos direcciones o en sus dos criterios de clasificación, a los que se llamara bloques por

fila y bloques por columna, que consideren las dos fuentes de variación, a este tipo de

diseño se le denomina Cuadrado Latino, donde se tiene un conjunto de “t” tratamientos y

“t2” unidades experimentales, que son agrupadas por dos fuentes de variabilidad.

El DCL es un agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y

columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que

en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un

diseño cuadrado latino.

Este diseño es una ampliación del diseño de bloques, el cuadro latino permite la

comparación de los tratamientos cuando están sujetos simultáneamente a dos conjuntos

de bloques. Un conjunto de bloques se asignan a las filas del cuadrado latino, el otro

conjunto de bloques se asignan a las columnas del cuadrado. Luego los tratamientos,

generalmente representados con letras latinas, se asignan al azar en cada celda de las

intersecciones filas- columnas bajo la única condición de que cada tratamiento aparezca

una vez y sólo una vez en cada fila y en cada columna. Éste diseño adolece de la

condición de que el número de bloques de cada conjunto debe ser igual al número de

tratamientos.

El diseño de cuadrados latinos tuvo sus orígenes en experimentos agrícolas, donde

se tenían parcelas de terreno con gradientes de fertilidad en dos direcciones, tal

como aparece en el siguiente gráfico.

Gradiente 1

Gradiente 2 Bloques “Fila”

1

2

3

4

1 2 3 4

Bloques “Columna”

Para un diseño de cuadrados latinos “t*t”, se tienen “t” tratamientos que se asignan

aleatoriamente a “t2” unidades experimentales, de tal manera que cada tratamiento

aparece una sola vez en cada “fila” y en cada “columna”, a cada tratamiento se le

designa con una letra latina: A, B, C, etcétera, de ahí el nombre de cuadrado latino.

En el ejemplo de los gradientes de fertilidad, se podría evaluar entonces el efecto de

cuatro tratamientos (A; B; C; D), que podrían estar dispuestos de la siguiente manera:

A B C D

B C D A

C D A B

D A B C

CA RAC TE RÍS TICAS :

Los DCL se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la

fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma.

En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de

tratamientos.

Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de

cada fila y dentro de cada columna.

El número de filas = número de columnas = número de tratamientos.

Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se

procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación

estándar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están

en función del cuadrado medio del error experimental.

MODE LO ES TAD ÍS TICO .

Cada observación del experimento es expresado como una relación lineal de los

efectos involucrados (tratamiento, fila y columna), así:

Y ij(k) = µ + F i + C j +τ (k) + errorij(k)

i,j,k=1,2,...,n

µ = efecto medio (parámetro del modelo)

F i = efecto de la fila i

C j = efecto de la columna j

τ (k) = efecto del tratamiento k

errorij(k) = error experimental de la u.e. i,j

Yij(k) = Observación en la unidad experimental

El subíndice (k) indica que tratamiento k fue aplicado en la u.e.

El modelo está compuesto por n2 ecuaciones, una para cada

ES T I MAC I Ó N D E PA R ÁME TR OS .

El número de parámetros a estimar es igual a 3n+1 y la estimación puede resolverse por

mínimos cuadrados del error, máxima verosimilitud u otro método, en nuestro caso se

utilizara el método de mínimos cuadrados del error.

La función a minimizar es:

La solución constituye el conjunto de estimadores de los parámetros del modelo, dado

por:

( µˆ , Fˆ i ,Cˆ j ,τˆk ) para i,j,k = 1,2,...,n

El sistema de ecuaciones que darán solución constituyen las ecuaciones normales, para

tener una única solución, se agregan al sistema las siguientes restricciones:

∑ Fˆ i = 0 ; ∑ Cˆ j = 0 ; ∑τˆi = 0

La solución son los estimadores mínimos cuadráticos:

y el error en cada u.e. es:

SUMA S D E CUAD RADO S

A partir del modelo estimado, la suma de cuadrados del total es descompuesto en

suma de cuadrados de tratamientos, filas, columnas y error experimental:

VEN T AJAS

Si se conocen dos fuentes de variabilidad de las unidades experimentales y se

puede hacer un “bloqueo” en dos direcciones, se va a poder hacer una

comparación más precisa de los tratamientos (se tiene más potencia) pues la

variación debida a las filas y las columnas es removida del error

experimental.

Es fácil de analizar, comparado con el diseño de bloques al azar, sólo se

requiere de una suma de cuadrados adicional.

Cuando se tienen cuadrados pequeños (lo que implica pocos grados de

libertad para el error experimental) se pueden utilizar varios de estos

cuadrados de poco tamaño y realizar un análisis combinado de los mismos en

algo que se llama cuadrados latinos repetidos.

DE S VEN T AJAS

El número de tratamientos, filas y columnas debe ser igual, a veces es difícil

encontrar unidades experimentales que permitan armar los bloques

homogéneos en las dos direcciones, más aún, si el número de tratamientos es

grande.

Los diseños pequeños tienen pocos grados de libertad para la estimación del

error experimental y a medida que el tamaño del diseño aumenta, es posible

que no se tenga homogeneidad al interior de cada bloque.

No es un diseño adecuado si existe interacción entre los efectos de fila,

columna y tratamientos.

MODELO ADITIVO LINEAL

Dónde:

: Unidad experimental observado por efecto del i-ésimo tratamiento, en la j-ésima

fila y k-ésima columna.

μ : Es el efecto de la media general.

τ i : Es el efecto del i-ésimo tratamiento.

: Es el efecto de la j-ésima fila.

: Es el efecto de la k-ésima columna.

Es el efecto del error experimental en el i-ésimo tratamiento, j-ésima fila y k-

ésima columna.

t : Es el número de tratamientos, numero de filas y columnas.

FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS

Para tratamientos Para filas Para columnas

: :

: Al menos un :

NIVEL DE SIGNIFICANCIA

= 5%, 1%

Análisis de Varianza

Fuentes de

Variación

(FV)

Suma de

Cuadrados

(SC)

Grados de

Libertad

(gl)

Cuadrados

Medios

(CM)

Estadístico de

prueba

(Fc)

Tratamientos

Filas

Columnas

Error

experimental

Total

EJERCICIO DE DCL

Se realizó un experimento para observar el rendimiento en kilogramos por parcela de  5

variedades de garbanzo (A, B, C, D) en el cual se tuvo que utilizar el diseño cuadrado latino.

Las filas fueron definidas como niveles de riego y las columnas como fertilidad del suelo.

http://www.ugr.es/~bioestad/guiaspss/practica7/ArchivosAdjuntos/GrecoLatinos.pdf

http://tarwi.lamolina.edu.pe/~fmendiburu/index-filer/academic/design/Latino.pdf

DISEÑO GRECOLATINO

INTRODUCCIÓN

El modelo en cuadrado greco-latino se puede considerar como una extensión del

cuadrado latino en el que se incluye una tercera variable de control o variable de

bloque. En este modelo, como en el diseño en cuadrado latino, todos los

factores deben tener el mismo número de niveles K y el número de observaciones

necesarias sigue siendo K 2. Este diseño es, por tanto, una fracción del diseño

completo en bloques aleatorizados con un factor principal y 3 factores secundarios

que requeriría K 4 observaciones.

Los cuadrados greco-latinos se obtienen por superposición de dos cuadrados latinos

del mismo orden y ortogonales entre sí, uno de los cuadrados con letras latinas el otro

con letras griegas.