Discussione Grafica

7/21/2019 Discussione Grafica

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Problemi con discussione grafica

Un problema con discussione grafica consiste nel determinare le intersezioni tra un fascio di rette

(proprio o improprio) e una particolare funzione che viene assegnata dal problema (in genere una

parabola o una circonferenza, come nei casi che prenderemo in esame)

La differenza rispetto ad un sistema tradizionale consiste nella presenza di un parametro in una

delle equazioni del sistema che farà variare a seconda dei valori assunti le soluzioni generali del

sistema.

Il parametro di solito si trova nell’equazione della retta, dando origine come osservato in

precedenza ad un fascio di rette, è possibile però che esso si trovi nell’equazione della parabola o

della circonferenza, si avrà in quest’ultimo caso rispettivamente un fascio di parabole o un fascio di

circonferenze delle quali si dovranno determinare le intersezioni con una retta fissa.

Le soluzioni che si cercano sono rappresentate dalle intersezioni tra fascio dirette e

circonferenza/parabola al variare appunto dl parametro.

Di solito vi sono dei vincoli di segno per le variabili x e y che andranno tracciati subito per

eliminare le eventuali parti di piano che non siano interessate dallo studio del problema.

Osservazioni

Ricordiamo alcuni risultati sui fasci di rette, sulla parabola e sulla circonferenza.

Equazione della parabola cbxax y ++= 2

Vertice della parabola

∆

−−aa

bV

4;

2

Orientamento della parabola 0>a concavità verso l’alto;0<a concavità verso il basso.

Equazione della circonferenza 022 =++++ cbyax y x

Centro della circonferenza

−−2

;2

baC

Raggio della circonferenza

cba

r −

−+

−=

22

22



L’equazione della retta è del tipo qmx y += .

Sia dato il parametro k e i valori costanti per m e q, allora

Fascio di rette proprio qkx y +=

Fascio di rette improprio k mx y +=

Il fascio di rette proprio è tale che il parametro k agisce sul coefficiente della x determinando quindi

al suo variare il coefficiente angolare della retta, esso è formato da rette che passano tutte per uno

stesso punto, detto il centro del fascio.

Per determinare il centro (e quindi le infinite rette del fascio che passano per il centro) è sufficiente

dare due valori qualsiasi al parametro k . In questo modo si ottengono due rette del fascio che messe

a sistema danno come risultato il punto cercato.Esempio

033 =−− kx y

Scriviamo la retta in forma esplicita

33 += kx y

Poiché k agisce sul coefficiente della x (che quindi è variabile) abbiamo un fascio di rette proprio.

Per disegnarlo diamo due valori generici (a nostra scelta) a k .

Se 0=k otteniamo 3= y .Se 1=k otteniamo 33 += x y

Mettendo a sistema le equazioni delle rette così ottenute si ha:

+=

=

33

3

x y

y

+=

=

333

3

x

y

=

=

033

x y

=

=

3

0

y

x che rappresenta il centro del fascio di rette cercato.

Se disegniamo il fascio esso corrisponde a:



y

3

2

1

0

x

Il fascio di rette improprio è tale che il parametro k non agisce sul coefficiente della x ma soltanto

nel determinare il termine noto della retta quindi al suo variare il coefficiente angolare resta sempre

lo stesso, esso è formato da rette parallele tra loro.

Per determinare il fascio di rette basta assegnare a k un valore qualsiasi e tracciare nel piano la retta

così ottenuta (si devono determinare due punti qualsiasi per cui essa passa), la altre rette del fascio

si determinano tracciando rette parallele alla retta di riferimento disegnata.

Esempio

02 =−+ k x y

Scriviamo la retta in forma esplicita

k x y +−= 2

Poiché k non agisce sul coefficiente della x (che quindi è costante) abbiamo un fascio di rette

improprio.

Per disegnarlo diamo un valore generico (a nostra scelta) a k .

Se 0=k abbiamo x y 2−=

Per disegnarla diamo due valori generici (a nostra scelta) a x e troviamo i corrispondenti y.

Se 0= x otteniamo 0= y . (si poteva vedere già dalla forma dell’equazione della retta che passa per

l’origine, essendo il termine noto nullo)

Se 1= x otteniamo 2−= y

Pertanto la retta passa per i punti ( )0;0O e ( )2;1 −P . Tutte le altre rette del fascio sono parallele alla

retta trovata. Se disegniamo il fascio esso corrisponde a (la retta evidenziata è quella trovata

utilizzata come generatrice):



y

3

2

1

0 1 x

-1

-2

Osservazione

Se un fascio di rette è tale che il parametro agisce sia sul coefficiente angolare della retta e sul

termine noto, esso è un fascio di retto proprio.

Esempio

01243 =−+− k kx y è un fascio di rette proprio.

Vediamo ora di illustrare il metodo risolutivo per un problema con discussione grafica con un

esempio.

≥≤≤−

=−++

=+

0;21

034

422

y x

k ky x

y x

Passo 1: tracciare la circonferenza

La circonferenza 422 =+ y x ha centro nell’origine e ha raggio 2

y

(2,0) x



3;1−

Passo 2: tracciare le limitazioni

Si devono escludere ora quelle parti di piano che vengono escluse dai vincoli, per la x i valori

accettabili sono 21 ≤≤− x , mentre per la y vanno presi i valori tali che 0≥ y .

y

(2;0) x

Valori esclusi dalla limitazione 21 ≤≤− x

Valori esclusi dalla limitazione 0≥ y

La parte di circonferenza che dovrà essere considerata nell’esercizio pertanto è quella superiore che

non viene cancellata dalle limitazioni.

A tal scopo calcoliamo le intersezioni della circonferenza con i vincoli.

Intersezione circonferenza e asse x.

=

=+

0

422

y

y x

=

=

0

42

y

x

=

±=

0

2

y

x

=

=

0

2

y

x è la soluzione compatibile con i vincoli.

(si vede che questo punto è anche l’intersezione tra la circonferenza e il vincolo determinato dalla

retta 2= x )

Intersezione circonferenza e retta 1 −= x .

−=

=+

1

422

x

y x

−=

=+

1

41 2

x

y

−=

=

1

32

x

y

−=

±=

1

3

x

y

−=

=

1

3

x

y è la soluzione compatibile

con i vincoli

Passo 3: tracciare il fascio di rette

Scriviamo il fascio di rette in forma esplicita:



3;1−

( )3;4−

034 =−++ k ky x

43 −+−= k xky posto 0≠k possiamo ricavare la y dividendo per k tutti i termini.

k x

k y

43

1−+−=

Poiché il parametro k agisce sul coefficiente angolare della retta (cioè sul coefficiente della x), il

fascio è un fascio di rette proprio, pertanto dobbiamo determinare il centro assegnando due valori a

k e calcolando l’intersezione tra le rette così determinate (si scelgono valori tali che i calcoli

risultino semplici).

Se 1=k si ottiene 1−−= x y

Se 1−=k si ottiene 7+= x y

+=

−−=

71

x y x y

+=

−−=+

717

x y x x

+=

−=

782

x y x

=

−=

34

y x che rappresenta il centro del fascio.

Riportiamo quindi il fascio di rette nel grafico

y

(2;0) x

Come si vede vi sono alcune rette del fascio che intersecano la parte di circonferenza che dobbiamo

considerare una o due volte, più precisamente

dalla retta che passa per il punto ( )0;2 alla retta che passa per il punto 3;1− vi è una sola

intersezione;

dalla retta che passa per il punto 3;1− alla retta tangente la circonferenza vi sono due

intersezioni.



Passo 4: determinare i valori di k relativi alle intersezioni tra circonferenza e fascio di rette

Il nostro obiettivo è di determinare per quali k vi sia una sola soluzione per il problema e per quali k

invece ve ne siano due.

Per determinare i valori di k che cerchiamo procediamo come segue.

Per quanto riguarda i punti ( )0;2 e 3;1− poiché le rette del fascio vi passano imponiamo la

condizione di appartenenza (o di passaggio), cioè sostituiamo nell’equazione del fascio

034 =−++ k ky x le coordinate x e y dei punti precedentemente trovati.

( )0;2 034 =−++ k ky x 0342 =−+ k 63 −=− k 2=k

3;1− 034 =−++ k ky x 03431 =−++− k k 333 −=− k k

333 =− k k

333 =−k

33

3−

=k 33

33

33

3+

+⋅

−=k

39333

−

+=k

6333 +

=k

Per determinare il valore per la tangente si deve porre a sistema l’equazione della

circonferenza e del fascio ponendo poi la condizione di tangenza 0 =∆ .

=−++

=+

034

422

k ky x

y x

+−−=

=+

k ky x

y x

34

422

( )+−−=

=++−−

k ky x

yk ky

34

434 22

( ) 434 22 =++−− yk ky

042468916 22222 =−+−−+++ yk yk kyk yk

( ) ( ) 024912681 2222 =−++−++ k k k k yk y

Poniamo la condizione di tangenza 0 =∆

( ) ( )( )0249121468 2222 =−++−− k k k k k

0963648963648369664 2342432 =+−−+−−+− k k k k k k k k

0489620 2 =−+− k k

0489620 2 =+− k k

0122452 =+−

k k

521212

58412

56014412

2,1

±=

±=

−±=k

233 +

=k



Quindi

23,45

212121

≈+

=k

57,05 212122 ≈−

=k

Dobbiamo ora riportare i valori di k trovati nel grafico, pertanto non c’è problema ad attribuire alle

rette che passano per i punti ( )0;2 e 3;1− i corrispondenti valori di k , mentre dobbiamo

individuare quale sia il valore di k che corrisponde alla retta tangente nel nostro disegno. I valori

trovati in quest’ultimo caso sono due, infatti da un punto esterno ad una circonferenza si possono

condurre sempre due rette tangenti.

Osservazione

Per determinare il valore corretto del parametro relativo alla condizione di tangenza possiamo fare

alcune considerazioni che hanno carattere generale:

i valori del parametro crescono (o decrescono) quindi passano da valori più piccoli a valori

più grandi (passano da valori più grandi a valori più piccoli).

Se il fascio di rette ha la forma qkx y += (il parametro non è a denominatore), possiamo

individuare dei valori critici per il coefficiente angolare, infatti:

una retta parallela all’asse delle x ha coefficiente angolare nullo

una retta parallela all’asse delle y ha coefficiente angolare infinito

una retta che forma con l’asse delle x un angolo acuto ha coefficiente angolare positivo

una retta che forma con l’asse delle x un angolo ottuso ha coefficiente angolare negativo

E’ importante osservare che:

se una retta che tende all’asse delle y che formando con l’asse delle x un angolo ottuso ha

coefficiente angolare ∞− .

una retta che tende all’asse delle y che formando con l’asse delle x un angolo acuto ha

coefficiente angolare ∞+ .

Se il fascio di rette ha la forma q xk

y +=1

(il parametro è a denominatore), possiamo individuare

dei valori critici per il coefficiente angolare come in precedenza, scambiano i ruoli dell’asse delle x

e dell’asse delle y.

Altrimenti per individuare quale sia il valore corretto del parametro si sostituisce all’interno

dell’equazione del fascio di rette il valore stesso del parametro e poi si mette a sistema la rettaottenuta con la circonferenza (o qualsiasi altra funzione), in questo modo si determina il punto di



3;1−

( )3;4−

intersezione e poi analizzando il grafico si vede se il risultato ottenuto rappresenta la soluzione

cercata.

Torniamo quindi all’esercizio.

Poiché il fascio ha la formak

xk

y 431 −+−= , cioè il parametro è a denominatore e non vi sono

rette parallele all’asse x nelle soluzioni (lo si deduce dal grafico), riportiamo nel grafico i valori dik relativi ai punti ( )0;2 e ( )3;1− .

y

(2;0) x

Poiché il parametro per raggiungere la retta tangente riportata nel disegno varia da valori minori a

valori maggiori il coefficiente del parametro relativo alla tangente è5

21212 +=k .

I valori degli estremi sono compresi in quanto nei vincoli c’è l’uguaglianza. La soluzione

corrispondente alla tangente è doppia, pertanto deve essere sempre compresa nelle due soluzioni.

Quindi le soluzioni del problema sono:

1 soluzione per +

233

;2

2 soluzione per ++

521212

;2

33

Osservazione

Pertanto i punti da seguire nella soluzione di un problema a discussione grafica sono:

disegnare la conica

233 +

=k

2=k

521212 +

=k



disegnare le limitazioni e individuare le intersezioni con la funzione

tracciare il fascio di rette

determinare la posizione tra funzione e fascio di rette

individuare i valori del parametro in corrispondenza degli estremi e della tangente (se

necessario)

individuare correttamente il comportamento del parametro nel grafico nei rispettivi intervalli

individuare gli intervalli aventi 1 soluzione e quelli in cui vi sono 2 soluzioni

Osservazione: le rette generatrici

Nel caso di un fascio di rette proprio è possibile determinare il centro utilizzando due rette

particolari, le cosiddette generatrici, rette parallele agli assi cartesiani. Tale rette si determinano

come illustrato nell’esempio seguente.

Sia dato un fascio di rette proprio

( ) ( ) 02132 =−+−−+ k k x yk

Si devono isolare i termini che contengono il parametro k dai termini che non lo contengono:

02332 =−++−+ k x xk yky

( ) 023213 =+++−− x y x yk

Ora, rispetto al parametro k possiamo identificare il coefficiente di k : 13 −− x y e il temine noto

sempre rispetto a k : 232 ++ x y .

Le rette generatrici si ottengono risolvendo il sistema delle due equazioni che si ottiene uguagliando

a zero le espressioni del coefficiente di k e del rispettivo termine noto, nel nostro esempio allora:

=++

=−−

0232

013

x y

x y

=++

+=

0232

13

x y

x y

=+++

+=

02326

13

x x

x y

−=

+=

49

13

x

x y

−=

−=

3194

y

x

che rappresentano le rette generatrici del fascio e le coordinate del centro del fascio stesso.



Osservazione

E’ possibile inoltre valutare l’andamento dei valori del parametro analizzando il verso in cui cresce

o decresce il parametro stesso e individuare se esso assume valori infinitamente grandi entro alcune

parti di piano.

Nel caso in cui si abbia una situazione come in figura:

k =5

k = 7

k =-1

Il valore del parametro per la retta che corrisponde a k =5 cresce in senso antiorario verso la retta

con k =7, però poi proseguendo si trova la retta k =-1, cioè significa che tra la retta k =7 e k =-1 ci

deve essere un comportamento particolare per i valori di k , cioè essi cresceranno però per poter

giustificare il fatto che da k =7 si arrivi a k =-1 ci dovrà essere un salto, accade infatti che il

parametro assume valori crescenti da 5 a 7 sino a valori infinitamente grandi che chiameremo ∞+ ,

una volta giunto a ∞+ i valori di k ripartono da valori infinitamente grandi ma di segno negativo,

cioè riprendono da ∞− e crescono sino ad arrivare a -1.

Tale comportamento per il parametro si ha ogni volta che dati tre valori no è possibile giungere dal

primo la terzo in maniera dirette (cioè in modo sempre crescente oppure sempre decrescente).

Nel caso si avessero soltanto due rette e non fosse chiaro il comportamento del parametro tra loro è

sufficiente scegliere un punto compreso tra lo spazio delimitato dalle rette stesse, calcolare il valore

di k per tale retta e vedere quale sia la modalità con cui crescono o decrescono i valori del

parametro.

Concludiamo infine ricordando che ogni qual volta si abbiano valori infinitamente grandi, ciò

comporta che da una parte rispetto alla retta limite vi siano valori infinitamente grandi positivi,

mentre dall’altra vi siano valori infinitamente grandi ma di segno negativo.

Retta limite, in corrispondenza di

essa il parametro assume i valori

∞+ o ∞− a seconda del senso

rispetto al quale ci si avvicina che

dipende dalla natura del di rette

fascio assegnato.



Cioè se da una parte il parametro si avvicina a ∞+ , una volta raggiunto tale valore riparte da ∞−

vale anche il viceversa, cioè se il parametro si avvicina a ∞− , una volta raggiunto tale valore

riparte da ∞+ ).

Esercizio

≤≤

=+−

+−=

50

0

342

x

k x y

x x y

Passo 1: disegnare la parabola

Il vertice della parabola è ( )1;2 −V .

(facoltativo, per disegnare meglio la parabola)Le intersezioni della parabola con l’asse x sono date

da

=

+−=

0

342

y

x x y

=

=+−

0

0342

y

x x 1)

=

=

0

3

y

x 2)

=

=

0

1

y

x

Passo 2: tracciare le limitazioni

Le intersezioni con i vincoli sono date da

=

+−=

0

342

x

x x y

=

=

0

3

x

y

=

+−=

5

342

x

x x y

=

=

5

8

x

y

(0;3)

(5;8)

(2;-1)



Passo 3: tracciare il fascio di rette

0=+− k x y

k x y −=

è un fascio di rette improprio poiché il parametro non compare come coefficiente della x Diamo un valore al parametro, sia 0=k , otteniamo la retta

x y =

Che è la bisettrice del primo e terzo quadrante.

Dal disegno si ricava che:

sembra che la retta del fascio che passa per il punto (0;3) passi anche per il punto (5;8), si

deve verificare analiticamente imponendo le condizioni di passaggio; le rette del fascio che vanno dalla retta passante per i punti (0;3) e (5;8) alla retta tangente

intersecano la parabola due volte.

Passo 4: determinare i valori di k relativi alle intersezioni tra parabola e fascio di rette

Retta del fascio 0=+− k x y passante per (0;3)

03 =+ k 3−=k

Retta del fascio 0=+− k x y passante per (5;8)

058 =+− k 3−=k

(0;3)

(5;8)

(2;-1)



La retta del fascio che passa per (0;3), passa anche per il punto (5;8), pertanto ogni retta compresa

tra al retta precedente e la retta tangente interseca la parabola due volte.

Retta tangente

=+−

+−=

034

2

k x y x x y

−=

+−=

k x y

x x y 342

k x x x −=+− 342

0352 =−+− k x x

Imponiamo la condizione di tangenza 0 =∆

041225 =+− k 134 −=k

413

−=k

2 soluzioni −−∈ 3;4

13k .

(0;3)

(5;8)

(2;-1)

413

−=k

3−=k



Esercizio

≤≤

=+−

10

0122 2

x

kx x

Soluzione

≤≤

−=

=

10

122

2

x

kx y

x y

≤≤

−=

=

1021

2

x

kx y

x y

Il fascio di rette è un fascio proprio, infatti:

21

−= kx y

Calcoliamo il centro del fascio

0=k 21

−= y

1=k 21−= x y

−=

−=

21

21

x y

y

−=−

−=

21

21

21

x

y

=

−=

021

x

y

Pertanto il centro del fascio è il punto

−21

;0 .

Tracciamo le rette passanti per gli estremi che sono i punti ( )0;0 e ( )1;1 .

Punto ( )0;0



21

−= kx y 10 −= impossibile (probabile retta verticale, lo si deduce dal grafico)

Punto ( )1;1

21

−= kx y 21

1 −= k 23

=k

Calcoliamo ora al condizione di tangenza

−=

=

21

2

kx y

x y

212 −= kx x 0

212 =+− kx x

01222

=+− kx x 0=∆

022 =−k

2±=k

Dal grafico e dal segno positivo del coefficiente angolare del fascio di rette si deduce che il k che

corrisponde alla tangente è quello positivo, cioè 2=k .



Considerato che 41,12 ≈ e che 5,123

≈ , dal grafico si deduce che si hanno:

1 soluzione +∞∈ ;23

k

2 soluzioni ∈

23

;2k

Esercizio

≤≤

=−+

=+

30

04

922

x

k x y

y x

Soluzione

Il fascio di rette è un fascio improprio, infatti:

04 =−+ k x y

441 k

x y +−=

Diamo un valore a k e tracciamo una retta del fascio:

0=k x y4

1−=

x y41

−= è una retta che passa per l’origine, pertanto ci serve un altro valore per tracciare il grafico,

se 4= x 1−= y , quindi la retta passa per l’origine ( )0;0 e per il punto ( )1;4 − .

Gli estremi in cui la circonferenza interseca gli estremi sono i punti ( )3;0 e ( )0;3 .

Tracciamo le rette passanti per gli estremi.

Punto ( )3;0

441 k x y +−=

43 k = 12=k

Punto ( )3;0 −

441 k

x y +−= 4

3 k

=− 12−=k

Calcoliamo ora al condizione di tangenza

=−+

=+

04

922

k x y

y x



+−=

=+

k y x

y x

4

922

( ) 94 22 =++− yk y

09816 222 =−++− yk ky y

09817 22 =−+− k ky y

0=∆

( ) 091716 22 =−− k k

01531716 22 =+− k k

1532 =k 153±=k

37,12153 ≈=k 37,12153 −≈−=k Tracciando sul grafico le rette passanti per gli estremi, si deduce quale sia il valore di k che

corrisponde alla retta tangente e che sia compatibile con le limitazioni imposte.

Il valore cercato è 153=k in quanto i valori di k dalla retta passante per l’estremo ( )3;0 − e che

risalgono sino alla retta tangente sono valori crescenti.

Pertanto dal grafico si deduce che si ha:

1 soluzione [ [12;12−∈k

12=k

12−=k

153=k

153−=k



2 soluzioni 153;12∈k

Esercizio

<≤−≥

=−−+=+

22;0

031

22

y x

k kx y y x

Soluzione

Il fascio di rette è un fascio proprio, infatti:

3++−= k kx y

Calcoliamo il centro del fascio

0=k 3= y 1=k 31 ++−= x y 4+−= x y

+−=

=

4

3

x y

y

+−=

=

43

3

x

y

=

=

1

3

x

y

Pertanto il centro del fascio è il punto ( )3;1 .

Calcoliamo i valori di k per le rette passanti per i punti ( )2;0 − e ( )2;0 .

Punto ( )1;0 −

3++−= k kx y 31 +=− k 4−=k

Punto ( )1;0

3++−= k kx y 31 += k 2−=k

Retta tangente

++−=

=+

3

122

k kx y

y x

( )++−=

=++−+

3

13 22

k kx y

k kx x

( ) 13 22 =++−+ k kx x

016629 22222 =−+−−+++ k kx xk k xk x

( ) ( ) 086321 2222 =++++−+ k k k k xk x



Poniamo la condizione di tangenza 0 =∆

( ) ( )( )08613 2222 =+++−+ k k k k k

0868696 2342234 =−−−−−−++ k k k k k k k k

086 =−− k

86 −=k 34

−=k una sola tangente, mentre e tangenti condotte da un punto esterno ad una

circonferenza devono essere 2, riportando tutti i dati sul grafico abbiamo

Le rette che si ottengono per valori di k che vanno da -2 a -4 hanno pendenza positiva, poiché il

coefficiente del fascio di rette è k − si devono invertire le considerazioni sui segni, pertanto

all’avvicinarsi alla retta verticale che passa per il centro del fascio, il coefficiente angolare deve

crescere sino a ∞+ , per il – davanti a k nell’equazione del fascio allora k tende a ∞− .

Allora per i valori di k compresi tra -4 e -2 si ha una intersezione tra fascio e circonferenza.

Per i valori di k da -4 a meno infinito si hanno due intersezioni. Pertanto:

1 soluzione [ [2;4 −−∈k

2 soluzioni ] [4;−∞−∈k

4−=k 2−=k

34

. −=k

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