Discrete 15 29

Содержание15 Выборка. Сочетания с повторениями и без повторений.................................................................216 Перестановки с повторениями и без повторений. Полиномиальная формула.............................417 Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов...........................................................518 Принцип включений и исключений..................................................................................................619 Задачи о распределениях. Случаи T и U...........................................................................................820 Задачи о распределениях. Случаи V и W.........................................................................................921 Обобщённый арифметический треугольник. Теорема о связи между обобщённым арифметическим треугольником порядка m и m- ичной системой счисления. Число "счастливых" автобусных билетов.......................................................................................................1022 Свойства обобщённых коэффициентов..........................................................................................1223 Рекуррентные соотношения. Лемма о линейной комбинации. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай действительных корней............................................................................1324 Рекуррентные соотношения. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней. Однородное линейное рекуррентное соотношение k-го порядка с постоянными коэффициентами....................................................................................................................................1625 Функции k-значной логики. Теорема о количестве функций k-значной логики, зависящих от n аргументов. Основные функции k-значной логики............................................................................1926 Функциональная полнота. Теорема о функциональной полноте класса Поста .........................2327 Общие принципы построения формальных теорий. Классическое исчисление высказываний L. Формулы, аксиомы, правило MP.....................................................................................................2528 Доказательство теоремы A→A. Теорема о дедукции...................................................................2729 Следствие теоремы о дедукции. Транзитивность импликации и правило сечения...................30

1

15 Выборка. Сочетания с повторениями и без повторений

Процедуры выбора:

1 Выбор с возвращением 2 Выбор без возвращения

ai, 1∈A

ai, 2∈A

⋯

ai, k∈A

ai, 1∈A

a i, 2∈A ∖ {ai ,1}

⋯

ai, k∈A ∖{ai, 1 ,ai, 2 , ... ,ai ,k−1}

Запись полученная по одной из процедур выбора называется выборкой.

[ai ,1 ,ai ,2 , ... ai ,k]

Выборка называется неупорядоченной выборкой или сочетанием из n

элементов по k, если две записи, отличающиеся только порядком следования

символов считаем одинаковыми.

Сочетания без повторений - неупорядоченная выборка, сделанная по второй

процедуре выбора.

Cnk ,nk - Биномиальный коэффициент. Число сочетаний без повторений из n

элементов по k меньше числа размещений из n элементов по k в k ! раз, так как

перестановка местами выбранных k предметов не даёт нового сочетания, а

переставить k предметов можно только k ! способами.

Сnk=

Ank

k !=

n!k ! n−k!

2

Сочетание с повторениями - неупорядоченная выборка, сделанная по первой

процедуре выбора.

Cnk

Каждому сочетанию с повторениями из n элементов по k соответствует

перестановка k неразличимых точек и n−1 неразличимой между собой перегородки

(количество точек, лежащих левее первой перегородки указывает на кратность a1 ,

между первой и второй на кратность a2 и так далее).

Pk ,n−1=nk−1!k ! n−1 !

=Cnk−1k

=Cnk−1n−1

Cnk=Cnk−1

k

3

16 Перестановки с повторениями и без повторений. Полиномиальная формула

Перестановка без повторений - размещение без повторений из n элементов по

n . Pn=Pn=n!

Перестановка с повторениями

Пусть у нас имеется

n1 - элементов 1-го типа;

n2 - элементов 2-го типа, и далее;

Тогда nk - элементов k-го типа, причём элементы каждого типа неразличимы

между собой. Переставляя эти предметы между собой будем иметь перестановки с

повторениями.

Pn1,n2,.. ,nk=n1n2..nk!

n1 !n2 ! ..nk ! - перестановка с повторениями, где

n1 ,n2 , .. ,nk - полиномиальные коэффициенты. Сначала мы считаем, что все

элементы разные, но так как предметы 1-го типа неразличимы, а переставить n1

можно n1 ! способами, то количество перестановок будет в n1 ! раз меньше общего

числа перестановок. Аналогично с n2, n3, .. ,nk .

Полиномиальная формула.

x1x2..xmn= ∑

k i∈ℕ0

k 1k2..k m=n

Pk1, k2,.. ,kmx1k1 x2

k2 .. xmkm

,

Pk1,k2, .. ,km =n!

k1 !k2 ! ..km !

4

17 Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов

axn=∑k=0

n

Cnk ak xn−k - формула бинома Ньютона

Свойства биномиальных коэффициентов.

Сn0=Cn

n=1

Cn1=Cn

n−1=n

Cnk=Cn

n−k, Cn

n−k=

n!n−k !n−nk !

=n!

n−k !k !=Cn

k

Cn0Cn

1..Cnn=2n

Cn0−Cn

1...−1nCnn=0

Cn1k =Cn

kCnk−1 ,

n!k ! n−k !

n!

k−1! n−k1!=

n! n−k1 n!kk ! n−k1!

=n! n−k1k k ! n1−k!

=

=n!n1k !n1−k!

=n1!k ! n1−k !

=Cn1k

5

18 Принцип включений и исключений

Пусть имеем N некоторых предметов и 1,2, .. ,n - свойства предметов.

N1,3 ,4 - количество предметов, которые обладают свойствами 1, 4 и не

обладают свойством 3.

Формула включений и исключений.

N1 ,2 , .. ,n=N−N1−..−NnN1,2 ...Nn−1 ,n−N1,2,3

−1nN1,2, .. ,n

Доказательство:

1. n=1 , N1=N−N1 , верно

2. Допустим

N1 ,2 , .. ,k=N−N1−..−NkN1,2 ..−1nN1,2, ..k

3. Докажем справедливость для n=k1

N1 ,2 , .. ,k ,k1=Nk1−N1,k1−..−Nk ,k1N1,2,k1

−1nN1,2, .. ,k1

N1 ,2 , .. ,k ,k1=N1 ,2 , .. ,k−N1 ,2 , .. ,k ,k1

N1 ,2 , .. ,n=N−N1 −..−NnN1,2...Nn−1 ,n −

−N1,2,3..−1nN1,2,.. ,n

Формула доказана.

Задачи о смещениях

Перестановки с n предметами, за которыми зафиксированы первоначальные

позиции.

6

Dn - количество перестановок предметов, когда ни один из них не стоит на

первоначальной позиции.

Dn= n!общее количество

перестановок

− Cn1n−1!

число выборов 1−го предмета ,сохраняя позицию

... −1nCnn

число выборов n предметов ,

сохраняя позицию

Dn=n! 1−11!

12!−...−1n

1n!≈

n!e

Dn ,k=Cnk Dn−k - количество перестановок предметов, когда k из них сохраняют

свою позицию.

Dn ,k=n!

k !n−k !n−k ! 1−

11!

12!−...−1n

n−kn−k !

≈n!

k !e

7

19 Задачи о распределениях. Случаи T и U

Случай T. Распределение неразличимых шаров по различимым ящикам.

Введём k−1 перегородку. Левее первой - количество шаров в первом ящике,

между первой и второй - количество шаров во втором ящике, и так далее. Очевидно,

что любому способу распределения n неразличимых шаров по k различным

ящикам, соответствует n неразличимых точек и k−1 перегородка. Количество

таких перестановок: Pn,k−1=nk−1!n !k−1 !

=Cnk−1k−1

T n,k =Cnk−1k−1

В случае когда ни один из ящиков не пуст T∗n,k , задача сводится к

нахождению, сколькими способами можно из n−1 позиций выбрать k−1

расстановок перегородок.

T∗n,k =Cn−1k−1

Случай U. Распределение различимых шаров по различимым ящикам.

Un,k=k×k×..×kn раз

=kn

В случае, когда ни один из ящиков не пуст, количество распределений равно

U∗n,k = kn

общее число способов

− Ck1k−1n

число способоввыбораодногопустого ящика

Ck2 k−2n

число способоввыборадвухпустых ящиков

.. −1k−1Ckk−1

числоспособоввыбора

n−1 пустых ящиков

Числа Стирлинга 2-го рода

8

20 Задачи о распределениях. Случаи V и W

Cлучай V. Распределение различимых шаров по неразличимым ящикам.

V∗n,k=U∗ n ,k

k ! - так как перестановка k ящиков местами в случае V∗ не

даёт нового способа распределения, а переставить ящики можно k способами.

V n ,k= V∗ n ,kнет пустых ящиков

V∗ n ,k−1один ящик пуст

..V∗n,1

Случай W. Распределение неразличимых шаров по неразличимым ящикам.

W n,k= W∗n,kнет пустых ящиков

W∗ n ,k−1один пустой ящик

..W∗ n ,1

W∗n ,k=W n−k ,k

9

21 Обобщённый арифметический треугольник. Теорема о связи между обобщённым арифметическим треугольником порядка m и m- ичной системой счисления. Число "счастливых" автобусных билетов

k 0 1 2 ⋯ m-2 m-1 m ⋯

n

1 1 1 1 ⋯ 1 1 0 ⋯

2 1 2 3 ⋯ m-1 m m-1 ⋯

3 1 3 6 ⋯ m12

m⋯ ⋯ ⋯

Сmn,k - арифметические коэффициенты.

Сm1,k =0, если km−1 ; Сm 1,k=1, если k≤m−1

Cmn,k ={Cmn−1,kCmn−1,k−1..Cmn−1,0, если k≤m−1Cmn−1,kCmn−1,k−1..Cmn−1,k−m1, если km−1

Теорема о связи между обобщённым арифметическим треугольником

порядка m и m-ичной системы счисления

Сmn,k равен количеству n-разрядных чисел в m-ичной системе счисления,

сумма которых равна k, причём допускаются записи, начинающиеся с 0.


обозначим это количество за Bmn,k

Bm1,k ={1, если k≤m−10, если km−1

10

Bmn,k ={Bmn−1,kBmn−1,k−1..Bmn−1,0, если k≤m−1Bmn−1,kBmn−1,k−1..Bmn−1,k−m1, если km−1

Cmn,k =Bmn,k

Счастливые билеты.

Пусть имеется номер из одних нулей, 000000 - самая малая комбинация, 999999 -

самая большая комбинация.

C103,k ,k∈{0,1,2,.., 27}

Всего способов C103,k2

L - число всех счастливых билетов;

L=C103,02C103,12C103,22..C103,132×2=55252

=55252

1000000≈

118

- вероятность "счастливого" билета.

Второй способ: каждому счастливому билету можно поставить в соответствие билет

с суммой цифр 27. С106,27=55252

11

22 Свойства обобщённых коэффициентов

1. С2n,k =Cnk

2. Cmn,k =Cm n,nm−1−k , доказательство:

a1a2..an=k

m−1−a1m−1−a2..m−1−an=nm−1−k

3. Cmn,0Cmn,1..Cmn,nm−1=mk - общее количество различных

чисел

4. Зафиксируем первые i разрядов. Пусть сумма первых i разрядов равна S .

Сmn,k = ∑s=0

m−1i

Cmi ,sCmn−i ,k−s - формула разложения по первым

разрядам.

5. Формула разложения по нулевым разрядам.

Сmn,k =∑s=0

n

CnsCm−1n−s,k−ns

S - количество нулевых разрядов;

Cns

- количество способов выбора позиции для S нулей;

Cm−1 n−s,k−ns - все числа уменьшили на единицу.

12

23 Рекуррентные соотношения. Лемма о линейной комбинации. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай действительных корней

Рекуррентным соотношением k-ого порядка называется соотношение,

позволяющее вычислить каждый член последовательности начиная с k+1, через k

предыдущих членов этой последовательности. Решением рекуррентного соотношения

называется последовательность, которая при подстановке в это отношение

превращается в верное равенство.

Общим решением рекуррентного соотношения k-го порядка называется

решение, содержащее k произвольных постоянных, путём подбора которых можно

удовлетворить любые начальные условия.

Линейным однородным рекуррентным соотношением 2 порядка с

постоянными коэффициентами (ЛОРС2ППК) называется соотношение вида:

f n2=p f n1q f n , p, q−const

Решения ЛОРС2ППК ищутся в виде xn :

xn2=pxn1qxn

x2=pxq

x2−px−q=0 - характеристическое уравнение ЛОРС2ППК.

Лемма о линейной комбинации решений ЛОРС2ППК.

Если последовательности f n ,gn - решения некоторого соотношения, то

hn=A f nBgn - так же решение этого соотношения. Доказательство:

13

{f n2=p f n1q f n |×Agn2=pgn1qgn |×B

A f n2Bgn2=A p f n1A qf nBp gn1Bq gn=pA f n1Bgn1qAf nBgn=phn1qhn

Теорема об общем виде решения ЛОРС2ППК.

Пусть имеем некоторое ЛОРС2ППК, составим характеристическое уравнение:

x2−px−q=0

В случае, если D0 , x1≠x2 , x1, x2∈ℝ :

С1 x1nC2x2

n - решение.

Покажем, что для любых констант A,B можно подобрать значения C1 и C2 ,

чтобы:

f 0=A

f 1=B

{C1C2=AC1 x1C2 x2=B

=∣1 1x1 x2

∣=x2−x1≠0

В случае, если D=0 , x1=x2 , x2∈ℝ :

f n=x1n C1nC2

2 x1=p

14

x12=−q

f n2=2x1 f n1−x12 f n=x1

n2 C1n C2

Покажем, что для любых констант A ,B можно подобрать значения C1 и C2 ,

чтобы:

f 0=A

f 1=B

{C1=AC1 x1C2 x2=B

=∣1 0x1 x1

∣=x1≠0

15

24 Рекуррентные соотношения. Теорема об общем решении однородного линейного рекуррентного соотношения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней. Однородное линейное рекуррентное соотношение k-го порядка с постоянными коэффициентами

Рекуррентным соотношением k-ого порядка называется соотношение,

позволяющее вычислить каждый член последовательности начиная с k+1, через k

предыдущих членов этой последовательности. Решением рекуррентного соотношения

называется последовательность, которая при подстановке в это отношение

превращается в верное равенство.

Общим решением рекуррентного соотношения k-го порядка называется

решение, содержащее k произвольных постоянных, путём подбора которых можно

удовлетворить любые начальные условия.

Линейным однородным рекуррентным соотношением 2 порядка с

постоянными коэффициентами (ЛОРС2ППК) называется соотношение вида:

f n2=p f n1q f n , p, q−const

Решения ЛОРС2ППК ищутся в виде xn :

xn2=p xn1q xn

x2=pxq

x2−px−q=0 - характеристическое уравнение ЛОРС2ППК.

Теорема о виде общего решения ЛОРС2ППК.

Пусть имеем некоторое ЛОРС2ППК, составим характеристическое уравнение:

x2−px−q=0

В случае, если D0 , x1,2=r cos±isin

16

f n=rn C1 cosC2 sin

x1=r cosi sin

x2=r cos−i sin

x1n=rn cosnisinn

x2n=rn cosn−isinn

x1nx2

n

2=rncosn

x1n−x2

n

2i=rnsinn

C1rn cosnC2rnsinn=rnC1 cosnC2sinn

Покажем, что ∀ A, B:∃C1,C2 :

f 0=A

f 1=B

{C1=ArC1cosr C2sin=B

=∣ 1 0r cos r sin∣=r sin

Линейным однородным рекуррентным соотношением k-ого порядка с

постоянными коэффициентами (ЛОРСkППК) называется соотношение вида:

f nk =a1 f nk−1a2 f nk−2..ak f n

xk−a1 xk−1−a2xk−2−..−ak=0 - характеристическое уравнение соотношения.

17

Теорема о виде общего решения ЛОРСkППК.

Пусть имеется некоторое ЛОРСkППК, решим его характеристическое уравнение.

1. x1∈ℝ , x1n C1nC2..nm−1Cm

2. x1,2=2cos± isin

rncos C1nC2..nm−1Cmsin D1nD2..nm−1Dm

18

25 Функции k-значной логики. Теорема о количестве функций k-значной логики, зависящих от n аргументов. Основные функции k-значной логики

Ek={0,1,.. ,k}

f :EknEk - функция k-значной логики;

Pk - множество всех функций k-значной логики;

Pkn

- множество всех функций k-значной логики от n переменных;

x1 x2 ⋯ xn f

0 0 ⋯ 0 a1

0 0 ⋯ 1 a2

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0 0 ⋯ k−1 ak

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

k−1 k−1 ⋯ k−1 akn

Теорема о количестве различных функций k-значной логики от n переменных.

∣Pkn∣=kkn


Каждая функция k-значной логики однозначно определяется вектором своих

значений - вектором размерности k, каждая координата которого может принимать k

различных значений. Тогда общее количество всевозможных векторов такого вида

будет равно k×k×..×k

kn

=k kn

.

19

Основные функции k-значной логики.

1. f x=C - константа;

2. x=x1modk - отрицание Поста;

3. ~x=k−1−xmodk - отрицание Лукасевича;

4. x⋅y modk - умножение по модулю k;

5. x∧y=min{x , y} - конъюнкция;

6. x∨y=max{x ,y} - дизъюнкция;

7. xy modk - сложение по модулю k;

8. x−y modk - разность по модулю k;

x−y={x−y , еслиx≥ykx−y , еслиxy

9. x∸ y - усечённая разность;

10. jix={1, x=i0, x≠i

- характеристическая функция I типа (рода);

11. Jix ={k−1, x=i0, x≠i

- характеристическая функция II типа (рода);

12. Vk x ,y=x∨y - функция Вебба.

20

Таблица функций n переменных k-значной логики для n=2,k=3

x y x ~y x⋅y x∧y x∨y xy x−y x∸ y j1 x J1y Vk x ,y

0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 1 1 2 0 0 0 2

0 2 1 0 0 0 2 2 1 0 0 2 0

1 0 2 2 0 0 1 1 1 1 1 0 2

1 1 2 1 1 1 1 2 0 0 1 0 2

1 2 2 0 2 1 2 0 2 0 1 2 0

2 0 0 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0

2 1 0 1 1 1 2 0 1 1 0 0 0

2 2 0 0 2 2 2 1 0 0 0 2 0

Докажем справедливость законов де Моргана:

~x∧y =~x ∨~y

1. x≤y

~x∧y =~ x=k−1−x

~x∨~y=k−1−x∨k−1−y=k−1−x

2. xy

~x∧y=~ y=k−1−y

~x∨~y=k−1−x∨k−1−y=k−1−y

~x∨y =~x ∧~y

1. x≤y

x∨y=min{x ,y}=y

~x∨y=~ y=k−1−y

~x∧~y=k−1−x∧k−1−y=min{k−1−x ,k−1−y}=k−1−y

21

2. xy

~x∨y =~ x=k−1−x

~x∧~y=k−1−x∧k−1−y=k−1−x

~~x=x

~~x=~k−1−x=k−1−k1x=x

x∧y=~~ x∨~y

22

26 Функциональная полнота. Теорема о функциональной полноте класса Поста {¬ ,∨}

Теорема о представлении функций k-значной логики в первой форме.

Для каждой функции k-значной логики справедлива формула:

f x1, x2, .. , xn= ∨a1, a2, .., an

Ja1x1∧Ja2

x2∧..∧Janxn∧f a1,a2,. . ,an


f b1,b2, .. ,bn=0∨0∨..∨Jb1b1∧Jb2

b1 ∧..∧Jbnbn ∧f b1,b2, .. ,bn∨0∨..∨0=

=k−1∧k−1∧..∧k−1∧f b1,b2, .. ,bn=f b1,b2,. . ,bn

Cистема функций называется функционально полной, если любая функция k-

значной логики может быть представлена в виде суперпозиции функций этой системы.

1. Pk

2. {0,1, .. , k−1, J0 x ,J1x , .. , Jk x,∧ ,∨}

Теорема о функциональной полноте класса Поста {¬ ,∨} .

Класс {¬ ,∨} - функционально полный.


1. Построим константу

max{x ,x, x,..}=k−1

При каждом фиксированном х получим полный набор констант.

23

2. Получим Jix

Покажем, что Jix =1max{x}

i≠k−1

1. x≠i

1max{x}=k−1−i

=1k−1=0

Jix =0

2. x=i

1max{x}i=k−1

=1k−2=k−1

Jix=k−1

3. Получим min

fs ,ix={s, x=i0, x≠ i}

fs ,ix=s1max k−1−s, Jix

Покажем, что любую функцию одной переменной можно представить через fs ,ix .

gx=max{fg0,0 x , fg1 ,1x , .. , fgk−1 ,k−1 x}

gb=max {fg0, 0b, fg1, 1b , .. , fgk−1 ,k−1 b}=fgb,b b=gb

~x=max{fk−1,0x, fk−2,0x, .. , f0,k−1x}

x∧y=~~x ∨~y

24

27 Общие принципы построения формальных теорий. Классическое исчисление высказываний L. Формулы, аксиомы, правило MP

1. Алфавит - множество символов;

2. Формулы - множество правильно построенных предложений из символов

алфавита;

3. Аксиомы - некоторое подмножество формул;

4. Правило вывода - правило, позволяющее из одних формул получать другие.

Правилом вывода GA1, A2, .. ,An−1 ,B называется n-местное отношение на

множестве формул. Если A1,A2, .. , An−1 ,B вступают в это отношение, то говорят, что

B непосредственно выводится из A1,A2, .. , An−1 и записывают это в виде:

A1, A2, .. ,An−1

BG или A1,A2, .. , An−1⊢

G

B .

Формула называется теоремой формальной теории, если существует

последовательность B1, B2, .. ,Bm−1 ,Bm=B , каждый член которой либо аксиома, либо

получен по некоторому правилу вывода из предыдущих членов последовательности.

Пишут ⊢B .

Говорят, что формула B выводима из множества гипотез Г и пишут Г⊢B ,

если существует последовательность B1, B2, .. ,Bm−1 ,Bm=B , каждый член которой

либо одна из формул списка Г , либо аксиома, либо получена по правилу вывода из

некоторых предыдущих членов последовательности.

L - классическое исчисление высказываний.

25

1. Алфавит: Bi ,A , ,¬ , ( , )

2. Формулу определим индуктивно

1. Bi ,A - формулы;

2. Если A ,B - формулы, то ¬A , AB - формулы;

3. Других формул нет.

Замечание: самые внешние круглые скобки будет опускать.

3. Введём 3 схемы аксиом

1. ABA

2. ABCABAC

3. ¬A¬B¬BAB

Аксиомой по данной схеме аксиом называется формула, полученная из схемы

аксиом подстановкой на место переменных в эту схему аксиом других формул.

4. Правило MP (Modus ponens)

AB ,AB

MP

26

28 Доказательство теоремы A→A. Теорема о дедукции

Теорема ⊢AA


B1 : A B CA AA A - по II схеме аксиом.

B1 : AAAAAAAAA

B2 :AAAA - аксиома по I схеме A BA AA

B3 :AAAAA - по MP, применённому к B1, B2

B4 :AAA - аксиома по I схеме A BA A

B5 :AA - по MP к B3,B4

Теорема доказана.

Теорема о дедукции.

Г , A⊢B⇔Г⊢ AB

1. Г⊢ AB⇒Г , A⊢B

A1, .. ,Bm−1 , AB

B1, .. ,Bm−1 , AB, A ,B - по MP к предыдущим

2. Г , A⊢B⇒Г⊢ AB

B1, B2,.. ,Bm−1 ,B

27

.. , AB1, .. ,AB2, .. ,ABi−1 , .. , ABi, .. , AB

Покажем, что можно сделать вставки так, что AB - вывод из списка Г .

Покажем по методу математической индукции.

1. Проверим, возможны ли вставки перед AB1

◦ B1 - аксиома из формул из Г

B1AB1аксиомапо Г

,B1, AB1поMPкпредыдущему

◦ B1=A ,AA

Вставки 4 формулы из доказательства ⊢AA

2. Допустим, что все вставки до ABi−1 сделаны

3. Докажем, что можно сделать вставку перед формулой ABi

... , AB

B1, B2, .. ,Bi−1 ,Bi, .. ,Bm=B

◦ Bi - аксиома или гипотеза из Г

BiABiаксиомапо Iсхеме

, Bi, ABiMPизпред.

◦ Bi=A , AA

Вставка состоит из 4 формулы из доказательства ⊢AA

◦ Bk=BjBi,Bj , k , j i

...,ABjBi, .. , ABi

ABjBiABjABiаксиома поII схеме

28

ABjABiпоMPкформулам

, ABiпоMPк формулам

На основании метода математической индукции утверждаем, что ∀ i можно

сделать вставки, в том числе и для i=m . То есть можно получить вывод формулы

AB из множества гипотез Г .

29

29 Следствие теоремы о дедукции. Транзитивность импликации и правило сечения

Транзитивность импликации.

AB,BC ⊢ AC


1. AB - гипотеза;

2. BC - гипотеза;

3. A - гипотеза;

4. B (по MP к 1 и 3)

5. C (по MP к 2,4)

AB,BCГ

,A⊢C

Г , A⊢C - применим теорему о дедукции;

6. AB,BC ⊢ AC

Правило сечения.

ABC,B⊢AC

1. ABC - гипотеза;

2. B - гипотеза;

3. A - гипотеза;

4. BC (по MP к 1, 3)

5. С (по MP к 2,4)

30

ABCГ

,A⊢C

6. ABC,B⊢AC по теореме о дедукции.

31

Documents

Discrete 15 29