저 시-비 리- 경 지 2.0 한민

는 아래 조건 르는 경 에 한하여 게

l 저 물 복제, 포, 전송, 전시, 공연 송할 수 습니다.

다 과 같 조건 라야 합니다:

l 하는, 저 물 나 포 경 , 저 물에 적 된 허락조건 명확하게 나타내어야 합니다.

l 저 터 허가를 면 러한 조건들 적 되지 않습니다.

저 에 른 리는 내 에 하여 향 지 않습니다.

것 허락규약(Legal Code) 해하 쉽게 약한 것 니다.

Disclaimer

저 시. 하는 원저 를 시하여야 합니다.

비 리. 하는 저 물 리 목적 할 수 없습니다.

경 지. 하는 저 물 개 , 형 또는 가공할 수 없습니다.

학 사학 문

문 상황에 내재

집합 분할 식에 대한 연

2014 2월

울대학 대학원

수 학 과

주 미

문 상황에 내재

집합 분할 식에 대한 연

지도 수 김 령

문 학 사 학 문 로 출함

2013 10월

울대학 대학원

수 학 과

주 미

주미 사 학 문 함

2013 12월

원 상 ( )

부 원 경 화 ( )

원 김 령 ( )

-i-

국 초

문 상황에 내재

집합 분할 식에 대한 연

행 등 수학과 교육 과정에는 집합의 분할 구조가 내재되어 있는

문제들이 많이 있으며,이러한 문제들은 집합의 분할 에서 통합 으

로 생각해 볼 수 있다.그러나 문제에 내재된 집합의 분할 구조를 보는

것은 고등수학 인 사고로서 학생들이 학습할 수 있는 능력 이상의 것임

을 기존의 연구들로부터 알 수 있다.이러한 이유로 행 교육과정에서

는 분할 개념을 직 도입하지 않고 암묵 으로만 다루고 있다.

하지만 집합의 분할 구조를 보는 능력은 수학에서의 통합 안목을

길러주는 것뿐만 아니라 실생활에서도 복잡한 구조를 체계 으로 볼 수

있게 하므로, 인이 갖추어야할 유용한 사고능력이라 할 수 있다.이

러한 에 기반을 둔 본 연구는 상 을 받아들일 수 있는 학생들

이 문제에 내재된 구조를 통해 문제들을 통합 으로 보도록 하는 근

방식이 가능하고 한 의미가 있는지 알아보았다.

연구문제 해결을 하여 고등학생 4명을 상으로 사례연구를 실시하

다.특정한 집합의 분할 구조를 인식한 후,그 구조를 이용하여 새로운

집합의 분할 구조를 보게 하는 것이 학생들의 수학 내 연결성을 증진

시키는지 알아보았다.그 결과로,문제해결에 있어 그 문제에 내재된 집

합의 분할 구조를 인식하여 습득하게 하면,그것에 기반을 두어 연구에

참여한 학생들이 집합의 분할 구조가 내재된 다른 수학 문제들을 통합

인 안목을 갖고 해결하면서 수학 내 연결성 신장하는 것을 볼 수 있었

다.

주요어 : 집합 분할, 수학 연결

학 번 : 2008-21610

-ii-

-iii-

목 차

국 초 ············································································································· ⅰ

목차 ····················································································································· ⅲ

표 목차 ··············································································································· ⅴ

그림 목차 ··········································································································· ⅵ

Ⅰ. ··················································································· 1

1. 연구 목 및 필요 ······························································· 1

2. 연구 ······················································································· 5

Ⅱ. 이 배경 ··································································· 6

1. 집합 분할 ················································································· 6

2. 집합 분할 구조 인식 어 움 ··········································10

3. 다이어그램 사용과 집합 분할 구조 나타내 ················ 17

4. 수학 연결 ··············································································21

Ⅲ. 연구방법 및 차 ······················································· 28

1. 연구 방법 ·················································································· 28

2. 연구 차 ·················································································· 29

2.1 연구 계 ····················································································· 29

2.2 연구 참여자 ···················································································30

2.3 연구 일 ····················································································· 33

3. 과 계 ····················································································34

4. 자료수집 및 분 방법 ····························································39

4.1 자료 수집 과 ··········································································· 39

4.2 자료 분 방법 ··········································································· 43

4.3 타당도 신뢰도 ········································································· 44

-iv-

Ⅳ. 연구결과 ······································································· 45

1. 집합 분할 구조 지도 ·························································· 45

1.1 학생 1과 2 지도 과 ·························································· 45

1.2 학생 3과 4 지도 과 ·························································· 48

2. 1차 인 뷰 결과 분 및 논 ············································ 50

3. 추가 인 뷰 결과 분 및 논 ·········································· 63

4. 2차 인 뷰 결과 분 및 논 ············································ 65

Ⅴ. 결 ··············································································· 74

1. 요약 ···························································································· 74

2. 및 언 ············································································ 77

참고 헌 ················································································ 79

Abstract ·················································································85

-v-

표 목 차

<표 Ⅱ-1> 두 가지 기호 체계의 비교··············································· 18

<표 Ⅱ-2> 1989년 NCTM의 수학 연결성에 한 규 ······················ 22

<표 Ⅱ-3> 2000년 NCTM의 수학 연결성에 한 규 ····················· 23

<표 Ⅲ-1> 연구 일정·········································································· 34

-vi-

그 림 목 차

[그림 Ⅱ-1] 집합의 분할······································································ 6

[그림 Ⅲ-1] 부등식의 역 문제의 분할 구조································ 38

[그림 Ⅲ-2] 집합의 분할 구조·························································· 41

[그림 Ⅲ-3] 수직선에서의 집합의 분할 구조·································· 42

[그림 Ⅳ-1] 학생 1이 집합의 분할 구조 지도시 제시한 문제의 구조

·······················································································45

[그림 Ⅳ-2] 학생 2가 집합의 분할 구조 지도시 제시한 문제의 구조

·······················································································45

[그림 Ⅳ-3] 댓값을 포함하는 문제에서의 집합의 분할·············· 47

[그림 Ⅳ-4] 학생 3이 집합의 분할 구조 지도시 제시한 문제의 구조

·······················································································48

[그림 Ⅳ-5] 학생 4가 분할 구조시 제시한 문제의 구조················ 48

[그림 Ⅳ-6] 학생 1이 1차 인터뷰에서 제시한 풀이 과정·············· 51

[그림 Ⅳ-7] 학생 2가 1차 인터뷰에서 제시한 풀이 과정·············· 53

[그림 Ⅳ-8] 학생 3이 제시한 체집합··········································· 56

[그림 Ⅳ-9] 학생 4가 제시한 체집합 ·········································· 56

[그림 Ⅳ-10] 학생 4가 제시한 수직선 다이어그램························ 57

[그림 Ⅳ-11] 학생 2가 추가 인터뷰에서 제시한 풀이··················· 64

[그림 Ⅳ-12] 학생 4가 2차 인터뷰에서 제시한 풀이····················· 67

[그림 Ⅳ-13] 학생 3이 2차 인터뷰에서 제시한 평면의 분할········ 68

-1-

Ⅰ.

1. 연구 목 및 필요

사회가 복잡해짐에 따라 효율 인 분할의 필요성이 더욱 부각되고 있다.

규모가 매우 큰 집단을 다룰 수 있는 크기로 목 에 따라 분할하는 것을 주

변에서 흔히 볼 수 있다.학교,학교의 학 ,한 국가의 행정구역,사상의학,

내신 등 ,신용 등 , 액형,성씨(姓氏),회사의 부서 등은 실생활에서 볼

수 있는 분할의 표 인 이다.어떤 상의 집합을 목 에 맞게 분할하여

생각하면,분할되어진 부분집합 별로 보아도 되므로 상 체를 일일이 보

지 않아도 되어 효율성과 명확성이 증진된다.

이 듯 실생활에서 필수 인 집합의 분할은 수학 으로 어떤 집합 에

서의 동치 계에 의한 동치류로의 분할로 해석될 수 있다.동치류의 표

는 분수인데, 를 들어

,

,

,

,

은 실제로 특수한 동치 계

에 의한 동치류로서 집합이다.이들이 모두

과 같다고 하는 것은 동치류의

성질과

을 표원으로 취하기로 한 약속에 의해서이다.

어떤 집합을 분할하는 동치류들은 그 집합 에서의 특정한 동치 계에

의해 얻어진다.동치 계란 반사 , 칭 ,추이 인 이항 계를 말한다.

모든 삼각형들의 집합 에서의 ‘닮음’ 계,어떤 그래 의 꼭짓 들의

집합 에서의 ‘연결되어 있음’ 계,실수의 집합에서의 ‘등호’ 계와

같은 것들이 동치 계의 표 인 라고 할 수 있다.동치 계는 수학

인 상을 ‘같다’고 볼 수 있는 기 을 제시해 으로써 수학 사고의

발 을 가능하게 한다. 를 들면, 치벡터,분수,삼각형의 합동 등의

개념은 같은 동치류에 속한 원소들을 같게 보는 것으로부터 시작된다.

동치류로 체를 분할하고 하나의 동치류에 속하는 원소들을 ‘같다’고 보

는 것은 수학 으로 매우 요하다.실제로 수학에서 ‘같다’라는 용어는

-2-

정말로 같은 ‘등호(equal)'로서가 아니라 동치류에 속한다는 것으로서 ‘같

다’의 의미로 많이 쓰이고 있다.

한 동치류는 그 상이 되는 체집합을 서로소이고 공집합이 아닌

부분집합으로 분할한다.그리고 어떤 집합의 모든 분할은 그 집합 의

동치 계를 형성한다.따라서 어떤 집합 에서 그것이 분할된 것을 보

는 것은 동치류를 볼 수 있게 해주고,동치류로 분할한 기 인 동치 계

에 해 생각해볼 수 있는 단 가 된다.뿐만 아니라 체 상이 동치

류들로 분할된 것을 인식하게 되면, 체 인 구조를 볼 수 있게 되어

수학 사고가 명확해지므로 학생들에게 집합의 분할 구조를 악할 수

있는 능력을 심어 필요가 있다.

반면,집합의 분할 구조는 Piaget(1975a)의 형식 조작 단계의 사고

력을 요하기 때문에 다수의 학생들이 받아들이고 이해하기에는 어려움이

따른다.실제로 Ausubel(1968)의 연구는 오직 학생의 15%,고등학생의

13.2%, 학생의 22%인 소수의 학생들만이 형식 조작 수 에 도달할

수 있음을 밝히고 있다.이와 같이 문제에 내재된 집합의 분할 구조를

보는 것은 고등수학 인 사고로서 학생들이 학습할 수 있는 능력 이상의

것이므로 행 교육과정에서는 분할 개념을 직 도입하지 않고 암묵

으로만 다루고 있다.

행 등 수학과 교육 과정에서 집합의 분할 구조가 내재된 문제를

다루는 주제로는 댓값을 포함하는 방정식,부등식,함수를 들 수 있다.

이외에 경우의 수, 를 만족하는 부등식의 역,고

차 부등식에도 집합의 분할 구조가 내재되어 있다.이 게 집합의 분할

구조가 내재되어 높은 수 에서 보면 유사한 문제 해결 과정을 갖고 있

음에도 불구하고,주제마다 분할하는 상인 체 집합이 다르기 때문에

각 주제마다 그것을 다루는 문제에 내재된 집합의 분할 구조를 찾는 것

이 쉽지 않다.따라서 학생들은 각 주제별 집합의 분할이 내재된 문제를

할 때마다 새로운 략을 용하고 있다고 생각하기 쉽다. 를 들어,

경우의 수를 구하는 문제에서 체집합은 체 경우들의 집합인 자연수

의 부분집합이며, 댓값을 포함하는 방정식,부등식,고차부등식 문제에

-3-

서 체집합은 실수의 집합이다.그리고 댓값을 포함하는 함수 문제와

를 만족하는 부등식의 역을 찾는 문제에서 체

집합은 -평면이 된다.앞서 언 했듯이 이러한 문제들에 한 지도는

개별 인 문제풀이 방식으로 이루어지고 있는데,각 문제에서 체집합

을 악하고,그것을 당한 기 에 의해 분할하는 구조를 발견하게 한

다면 문제 풀이를 통합 으로 볼 수 있는 핵심 아이디어를 제공할 수 있

다.

김수미(2004)에 의하면 통합 으로 사고하는 것은 이 에 학습한 개별

인 내용을 새로운 시각에서 바라볼 수 있는 기회를 제공함으로써,수

학에 한 흥미와 수학 안목을 형성하도록 하고,수학 원리나 개념

을 학습할 때 타 개념과의 련성을 탐색하기 때문에 계 이해를 도

모할 수 있게 하며,하나의 에서 바라보는 안목을 통해 각 개념간의

유기 계를 자연스럽게 습득하게 한다.이 게 통합 으로 사고하는

것은 수학 개념과 개념을 연결하고, 체를 들여다보는 학습을 가능하

게 하므로 수학 개념들 사이에 존재하는 계를 얻을 수 있다(양성 ,

이환철,2012).따라서 집합의 분할 구조를 구심 으로 분할 구조가 내재

된 각 주제의 문제들을 보도록 하는 것은 문제들 간의 계를 악하고

연결 지을 수 있게 함으로써 수학 내 연결성을 신장시킬 수 있는 하나

의 소재가 된다.

이러한 집합의 분할 구조를 지도하기 해서는 다이어그램(diagram)

과 같은 시각 표 을 이용하는 것이 도움이 된다.집합의 분할 구조는

추상 인 구조이며,Dreyfus(1991)는 추상화하고자 하는 구체 인 성질

들은 특정 표상들과 연결되어 있는 경우가 많고,추상화와 표상 사이의

상호 보완성은 교수학 으로 이용될 수 있다고 하 다. 한 시각 인

표 을 이용하는 것은 문제의 구조를 드러나게 하므로(Skemp,1986),문

제에 합한 다이어그램을 그리는 것은 분할하는 상을 다르게 갖는 각

주제의 문제에서 집합의 분할 구조를 악하는데 도움을 수 있다.따

라서 집합의 분할 구조를 지도할 때,각 문제 상황에 합한 다이어그램

을 그림으로써 학생들이 문제 상황에 내재된 집합의 분할 구조를 구체화

하여 인식할 수 있도록 해야 한다.

-4-

집합의 분할 구조를 보는 능력은 수학에서의 통합 안목을 길러주는

것뿐만 아니라 실생활에서도 복잡한 구조를 체계 으로 볼 수 있게 하므

로, 인이 갖추어야할 유용한 사고능력이라 할 수 있다.그러나 앞서

언 하 듯이,문제 상황에 내재된 집합의 분할 구조를 볼 수 있는 학생

들은 제한 이며 이 구조를 모든 학생들이 보아야 하는 것도 아니다.

Vinner(1983)는 학생에 따라 가르치는 수학의 내용이 달라야 하며,이것

은 한 학습 조건 아래 한 교수법을 통해서만 추구될 수 있다고

하 다.따라서 상 을 이해할 수 있는 학생들에게 집합의 분할 구

조를 제시하는 것은 그 학생들이 수학을 이해하고 수학 인 안목을 형성

할 수 있는 기회가 될 수 있다.이러한 에 기반을 둔 본 연구는 상

을 받아들일 수 있는 학생들에게 집합의 분할 구조를 제시하고

이를 인식하여 습득하게 한 뒤,그 구조를 심으로 문제들을 보았을 때,

통합 인 안목을 갖고 수학 내 연결성을 증진시킬 수 있는지 그 효과

를 알아보고자 한다.

구체 으로 각 장에서 다룰 내용을 요약하면 다음과 같다.

서론에 이어,Ⅱ장에서는 이론 배경을 살펴본다.수학에서의 집합의

분할을 소개하고,집합의 분할 구조를 인식하는 것의 어려움,다이어그램

을 사용하여 집합의 분할 구조를 나타내는 것과 수학 연결성에 한

선행 연구를 각각 살펴본다.

Ⅲ장에서는 본 연구에서 진행할 연구 방법 차를 살펴본다. 체

인 연구 설계를 제시하고 연구 참여자 표집방법,조사도구와 자료

수집 방법에 하여 각각 살펴본다.

Ⅳ장에서는 본 연구의 결과를 살펴본다.집합의 분할 구조 지도 과정

과 1차,2차 인터뷰 결과와 결과 분석 논의를 각각 살펴본다.

Ⅴ장에서는 본 연구의 결론을 제시하고 향후 연구를 한 제언을 한

뒤 본 논문을 마무리하고자 한다.

-5-

2. 연구

본 연구의 연구문제는 다음과 같다.

연구문제 1.집합의 분할 구조를 인식하는 것이 집합의 분할 구조가

내재된 새로운 문제를 해결하는데 어떠한 향을 미치는가?

연구문제 2.집합의 분할 구조를 인식하는 것이 수학 내 연결성을

신장시키는데 도움이 되는가?

-6-

Ⅱ. 이 배경

본 연구를 설계하고 수행하기 한 핵심 인 배경으로 첫째,집합의

분할을 수학 으로 살펴보았다.집합의 분할은 본 연구의 토 가 되는

개념으로 반 인 연구 설계의 바탕이 되었다.둘째,문제 상황에서 집

합의 분할 구조를 악하는 것의 어려움을 살펴보았다.셋째,외 표

에 한 연구들을 살펴 으로써 문제 상황에 합한 다이어그램을 그리

는 것이 집합의 분할 구조를 인식하는데 도움이 된다는 것을 확인하

다.넷째,수학 연결성에 한 연구들을 살펴보고 서로 다른 수학 역

에서 집합의 분할 구조를 인식하는 것이 수학 연결성을 신장시키는 방

안이 됨을 확인하 다.

한 의 모든 선행 연구들은 연구문제 분석을 한 바탕이 되었다.

1. 집합 분할

집합 (≠∅)의 분할(partition)는 의 부분집합들의 모임으로

{ ∈} 이며, ∈일 때 ≠∅, ≠일 때 ∩ ∅,

∈

를 만족하는 것이다.즉,집합 를 공집합이 아닌 서로소인

부분집합들로 “쪼개어”놓은 것이 의 분할이다.더욱 정확하게,집합

의 분할은 서로소이고,공집합이 아니며,합집합이 인,의 부분집합

의 모음이다.

[그림 Ⅱ-1]집합의 분할(Rosen,2004)

-7-

어떤 집합의 분할도 그 집합 의 특정한 동치 계(equivalence

relation)의 동치류(equivalenceclass)이며, 한 역으로 어떤 집합에 정

의된 동치 계의 동치류들은 그 집합을 분할한다.이에 해 자세히 알

아보기 해,먼 계(relation)부터 살펴보자.

계는 두 집합의 카테시안 곱의 부분집합으로,특정 조건을 만족하

는 집합이다.이에 한 정의는 다음과 같다.

<정의> 집합 (≠∅,≠∅)에 하여 카테시안 곱(Cartesian

Product)×를 체집합으로 하고,명제함수 의 진리집합을

이라 할 때,집합 을 에서 로의 계(relation)라고 정의한다.

이러한 계 칭 ,반사 , 추이 인 계를 동치 계

(equivalencerelation)라고 한다.동치 계는 어떤 면에서 유사한 상을

련짓는데 사용될 수 있는 성질을 갖고 있다(Rosen,2004).

<정의> 집합 (≠∅) 에 정의된 계 이 다음 세 조건을 만족

시킬 때,이 계를 의 동치 계(equivalencerelation)라고 한다.

E.1: 이다. (반사율,reflectivelaw)

E.2: 이면 이다. ( 칭률,symmetriclaw)

E.3:, 이면, 이다. (추이율,transitivelaw)

동치 계에 의해 련된 두 원소를 동치(equivalent)라 한다(동치 계

가 칭 이므로 이 정의는 이치에 맞다).동치 계는 반사 이므로 동

치 계에 있는 모든 원소는 자신과 동치이다. 한,동치 계는 추이

이므로 와 가 동치이고 와 가 동치이면 와 가 동치이다(Rosen,

2004). 한,동치인 원소들은 모두 같은 동치류에 속한다.동치류는 동

치인 원소들을 모아놓은 집합으로 그 정의는 다음과 같다.

<정의> 을 집합 (≠∅)에 한 동치 계라 할 때,의 원소 와

-8-

련된 모든 원소의 집합을 의 동치류(equivalenceclass)라 부르고 이

것을 로 나타낸다.즉,

∈ ∈

로 표 한다.

만약,∈이면 를 이 동치류의 표(representative)라 부른다.동

치류의 어떤 원소도 이 동치류의 표가 될 수 있다.즉,동치류의 표

로 선택되기 해 어떤 원소가 특별해야 하는 것은 아니다.

다음 정리는 두 원소의 동치류가 같거나 서로소임을 보이는 정리로

서,성립한다는 것이 밝 져 있다.

<정리> 집합 (≠∅) 에 동치 계 이 정의되어 있을 때,다음은

동등하다.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)∩≠∅

정리를 이용하면,동치 계의 동치류는 집합을 서로소이고 공이

아닌 부분집합으로 분할한다는 것을 알 수 있다.다음으로 동치 계가

어떻게 집합을 분할하는지 알아보자.

<정리> 을 집합 (≠∅)에 한 동치 계라 하자.그러면,의 동

치류는 의 분할을 형성한다.

<증명> 을 집합 에 한 동치 계라 하자.집합 의 원소 는 그

자신의 동치류에 속해있기 때문에,의 동치류의 합집합이 체가 된

다.다른 말로,∈

이다. ,앞의 정리로부터 동치류는 같거나

서로소이다.즉,≠ 이면 ∩ ∅.

이를 통해 의 동치류가 를 서로소인 부분집합으로 나 다는 것을

-9-

알 수 있고,이는 곧,의 분할을 형성함을 보일 수 있다.

어떤 집합의 동치 계의 동치류는 집합의 분할을 형성한다는 것을 보

았다.이 분할의 부분집합들은 동치류이다.역으로,어떤 집합의 모든 분

할은 그 집합 의 동치 계를 형성할 수 있다.이 계에 하여 두 원

소가 동치라는 것은 그 원소들이 분할의 같은 부분집합에 속해있다는 것

과 동등하다.다음은 이에 한 정리와 그 증명 과정이다.

<정리> 집합 (≠∅)의 분할 { ∈}에 해,동치류로서 집합

,∈ 를 갖는 동치 계 이 있다.

<증명> { ∈}를 의 분할이라 하자.을 에서의 계로,분할

에서 같은 부분집합 에 속하는 으로 구성된다고 하자.

이 동치 계임을 보이기 해 이 반사 , 칭 ,추이 이라는 것을

보이자.

는 그 자신과 같은 부분집합에 속해있기 때문에 모든 ∈에 해

∈ 이므로 이 반사 이다. ∈ 이면,와 는 분할의 같

은 부분집합에 속해 있다는 것이므로, ∈ 도 역시 그 다.그러

므로 R이 칭 이다. ∈와 ∈ 이면,와 는 분할의 같은

부분집합 에 속해있고,와 는 분할의 같은 부분집합 에 속해

있다.분할의 부분집합들은 서로소이지만,는 와 에 속해있으므로,

이다.와 는 분할의 같은 부분집합에 속해있으므로 ∈

이므로,이 추이 이다.따라서 이 동치 계이다.의 동치류는

련된 원소를 포함하는 의 부분집합으로 구성되고,의 정의에 의해

이들은 분할의 부분집합이다.

이 정리와 앞선 정리에 의해 집합 (≠∅) 의 하나의 동치 계

에 의해 의 분할이 하나 만들어지고, 한 역으로,집합 의 하나의

분할에 따라 의 동치 계를 하나 얻을 수 있음을 알 수 있다.

-10-

2. 집합의 분할 구조 인식의 어려움

학생들이 문제 상황에서 그 문제에 내재된 집합을 분할하려면 먼

체집합을 악하여야한다.문제 상황에서 체집합은 사고의 상으로

고려하는 범 를 의미하는데,학생들은 문제를 해결할 때 체집합을 생

각해 본 경험이 별로 없다.집합 단원을 학습할 때 체집합이라는 개념

을 학습했지만,집합 단원의 문제들은 체 집합이 무엇인지 명시하거나

체집합이 내재되어있더라도 학생들이 체집합을 악할 필요가 없기

때문에 학생들은 스스로 체집합을 악하는 경험을 집합 단원에서 한

이 없다.뿐만 아니라 이경화 외(2002)가 함수를 포함한 학교수학의

주요 내용은 더 이상 집합론 과 서술 방식에 의존하지 않으며,그

결과 집합 단원은 다른 단원과 그다지 연계되지 않는 단편 인 내용을

다루고 있는 것으로 보이게 되었다고 언 한 것처럼 집합 단원에서의 내

용이 다른 단원과 연계되어 다루어지지 않는 경향이 있어 학생들은 집합

이외의 단원에서는 집합을 사고의 수단으로 생각해본 이 거의 없다.

따라서 체집합을 떠올려서 사고하고자 하는 상의 범 를 명확히 한

뒤 문제를 해결해 본 경험을 학생들이 거의 한 이 없다고 할 수 있다.

한편,분할의 상이 되는 체집합은 주로 조건제시법에 의해 표 이

되어야한다.주어진 집합을 상으로 생각하거나 조건제시법으로 제시된

집합을 구성하는 활동을 집합 단원에서 하 지만,앞의 단락에서 언 하

듯이 집합 단원에서의 내용이 다른 단원과 연계되어 다루어지지 않는

경향이 있어 조건제시법에 의한 집합의 표 에 익숙하지 않다.게다가

조건제시법으로 집합을 표 할 때 문자1)를 하게 사용하여야 하는데,

수식 변수 변수 아 어

공식 A=LW A, L, W 양에 한

정식 미지수

항등식 sin cos tan 실수

수 질 ∙

산술 하는 도

함수식 독립변수, 종 변수

1) Usiskin(1988) 수식 각 에 사 고 는 변수 다양한 미를 다 과 같 제시하고 다.

-11-

학생들이 이에 해 어려움을 가지고 있다는 것은 이미 많은 선행연구

(Wagner,1983;김남희,1992;채은주,1995;김남희,1997;송욱빈,2003;

양혜진,2003;임만석,2007;이 권,이 세,2008;이정문,2010등)에서

지 되어왔다.

체집합을 악한 후에는 그것을 분할하기 해 문제 상황에 맞고 효

율 인 기 을 세워야한다.기 을 어떻게 세우더라도 체집합을 분할

할 수 있지만,분할되어진 집합이 문제 해결에 도움이 되기 해서는 각

문제 상황에 맞는 기 을 세워야 한다. 를 들면, 부등식

≥를 만족하는 해를 구하는 문제를 집합의 분할을 이용하

여 해결할 때, 체집합 ℝ을 와 을 기 으로 쪼개어 ℝ ∪

≤∪ ≥로 나타내는 것은 ℝ의 한 분할이지만,부분집

합 의 원소 는 는 이 되어 을 가 되게

하고,도 되게 하므로 문제 상황에 맞지 않는다.

한, 무 많은 부분집합으로 분할하지 않도록 하는 효율 인 기

을 생각해내는 것도 쉽지 않다. 를 들면,부터 까지 개의 숫자를

한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수 에서 의 배수의

개수를 구하는 문제를 생각해보자.이 문제에서 체집합은 부터 까지

숫자를 한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수 의 배

수들의 집합이다.이 집합을 문제 상황에 맞게 분할하는 방법은 여러 개

있을 수 있다.

자연수가 의 배수가 되기 해서는 각 자리 수의 합이 의 배수가

되어야 한다는 것을 이용하여 각 자리 수의 합을 기 으로 분할하는 방

법이 있을 수 있다.그러면 각 자리 자연수의 합이 ,,,,,,

,가 되는 집합으로 분할하게 된다. 는 이러한 유형의 문제에서

흔히 쓰이는 백의 자리에 오는 숫자를 기 으로 경우를 나 수 있는데,

백의 자리의 수가 이 되는 수들의 집합,백의 자리의 수가 가 되는 수

들의 집합,…,백의 자리의 수가 가 되는 수들의 집합으로 경우를 나

어 나머지 두 자릿수만 생각하도록 할 수도 있다.그러나 이러한 분할

은 아홉 가지 이상의 경우나 기를 하여야 한다.

-12-

그런데,이 문제에서 분할의 기 을 다르게 세운다면,네 가지 경우로

분할하는 것이 가능하다.먼 ,0부터 9까지의 자연수의 집합을 3으로 나

나머지가 0,1,2인 집합을 각각 ,,라 하자.이제 각 자리

수의 합이 3의 배수가 되도록 ,,에서 하게 원소를 선택하

는 방법을 생각하여보면,다음의 네 가지 경우 밖에 없음을 알 수 있다.

,, 의 한 집합을 택하여 그것에서 세 개의 수를 택하거나,

,, 각각에서 한 개의 원소를 택하는 경우이다.이는 이 의 여

덟 가지 혹은 아홉 가지 이상으로 분할하는 것보다 훨씬 효율 인 분할

이라 할 수 있다.그러나 이러한 효율 인 분할은 풍부한 수학 인 경험

과 지식뿐만 아니라 수학 감각이 있어야 가능하기 때문에 학생들에게

쉽지 않다.

문자와 기호를 히 사용하여 분할의 기 을 나타내야하는 경우도

지 않다.다음에 주어진 수열 과 의 공통항을 구하는 문제가

그러한 의 하나이다.

:,,,,, …

:,,,,, …

수열 의 일반항 은 이며, 의 일반항 은

이다.수열 에서 수열 과 공통인 항들은 수열 의

일반항과 같은 형태인 (∈ℕ)로 나타내어질 수 있는 수들이다.

따라서 공통항을 구하려면 의 일반항 을 (≤≤)

꼴로 바꾸어야 한다.이를 해 경우를 나 어 생각해보아야 하는 상

이 (∈ℕ)이므로,의 값으로 가능한 모든 자연수의 집합 ℕ이 고려해

야하는 체집합이 된다.이제 을 (≤ ≤)꼴로 바꾸려

면 ℕ을 3으로 나 나머지를 기 으로 분할하여야한다.이 때,‘이

일 때’,‘이 일 때’,‘이 일 때’로 분할의 기 을 서술하는

것은 학생들에게 쉽지 않은 과정이다.이와 같은 기 을 세우고 서술하

-13-

려면,3으로 나 나머지가 0인 수들의 집합,1인 수들의 집합,2인 수들

의 집합에서 공통 인 성질을 악하고 그것을 일반 으로 나타내어야

한다.이 과정에서 문자와 기호를 하게 사용할 수 있는 능력이 필요

하다.

앞의 에서와 같이 분할의 기 이 되는 것이 바로 조건이며,분할의

조건은 같은 부분집합에 속하는 원소들이 만족하는 공통인 성질이다.즉,

분할의 조건은 집합의 각 원소들이 만족하는 필요충분조건이며 조건제시

법으로 나타낸 집합 표 ⋅⋅에서 뒤에 치한다. 를 들어,원소나

열법으로 표 된 집합 ⋯ ⋯ 을 조건제시법으로 표

하려면 각 원소 가 만족하는 필요충분조건인 (은 정수)을 생각

해 내어 수로 나타낸다.

이 때 패턴의 규칙을 악하고 그 규칙을 변수를 써서 나타내는 과정

을 일반화 과정으로 볼 수 있다.이러한 일반화는 수학의 여러 역에서

사실상 핵심으로 다루어지고 있으며(Mason,1996), 등학교에서 등학

교까지의 교과서 반에 걸쳐서 나타난다. 를 들면 등 수 에서 공

통의 규칙을 발견하여 비형식 으로 표 하는 것이나 등 수 에서 변

수인 문자를 사용하여 수에 한 교환,분배,결합 법칙을 나타내거나,

여러 가지 공식을 일반 으로 표 하는 것 등 그 는 수없이 많이 찾아

볼 수 있다.

그러나 학교 수학의 학습에서 학생들은 일반화된 식에서 변수에 값을

입시키는 과정인 특수화를 주로 경험하는 반면,구체 인 상황을 변수

로 구성하여 일반화된 식을 구성해내는 과정인 일반화를 경험하는 경우

는 많지 않으므로(김남희 외,2006),특수한 경우의 사례로부터 문자를

사용하여 일반화 하는 것은 학생들에게 쉽지 않은 과정임을 알 수 있다.

뿐만 아니라 일반화는 변수로 사용되는 문자에 의해 형식화되기 때문

에,일반화에 한 학습은 변수 개념의 정 측면,즉 다가이름

(polyvalentname)이라는 변수의 본질에 한 이해에 바탕을 이루고

있다(김남희 외,2006).그러나 앞서 언 하 듯이 부분의 학생들은 변

수의 개념이나 문자식을 이해하지 못하고,변수의 사용에 어려움을 겪고

-14-

있다.김남희(1992)는 변수의 변역이 연산의 집합이거나 계의 집합일

때 학생들이 변수를 나타내는 기호를 바르게 인식하지 못하며,모조 변

수의 개념이 내면화되어 있지 못함을 지 하 다. 한 김남희(1997)는

변수 개념에 한 인지 장애의 유형을 네 가지로 제시하 는데,학생

들은 변수 기호에 한 임의성 이해가 부족하며, 부분의 학생들이 변

수가 나타내는 상의 범 를 제한시키는 것으로 보았고,학생들은 변수

가 포함하고 있는 수식을 완결되지 않은 식으로 인식하며,변수가 특

정한 상을 신하는 것으로 이해하고 있다고 하 다.임만석(2007)은

학생들이 변수 개념의 임의성 개념을 이해하지 못하고 문장제 문제를

수학 언어로 환하는데 미숙함을 보이고 있다고 지 하 으며,이

권,이 세(2008)는 학생들이 문자를 사용한 식의 계산 능력은 뛰어나지

만 변수의 다양한 의미에 한 해석 능력이 부족함을 보 다.

집합을 조건제시법으로 표 하기 해서는 패턴을 인지하는 것뿐만

아니라 인지된 패턴을 기호로 표 할 수 있는 능력이 요하고,조건을

쓰는 여러 가지 유형과 방법들을 이해해야 한다.그러나 패턴 활동에서

규칙을 찾아 일반화하고 그것을 수학 으로 표 하는 부분에서 학생들이

어려움을 느끼고 있으며(강 ,2007),학생들이 변수의 사용에 어려움

을 겪고 있다는 것으로부터 분할의 조건을 조건제시법으로 나타내는 것

은 학생들에게 쉽지 않은 과정임을 알 수 있다.

이상에서 살펴본 바와 같이 체집합을 찾고,문제 상황에 맞는 효율

인 분할의 기 을 세우고,문자와 기호를 사용하여 체집합과 분할의

기 을 조건 제시법으로 나타내는 것은 학생들에게 쉽지 않은 과정이다.

이처럼 하나의 개별 인 문제 상황에서 체집합을 찾고 이를 분할하

는 것이 학생들에게 쉽지 않은 과정일 뿐만 아니라 여러 다른 주제의 문

제에서 집합의 분할을 악하는 것은 집합의 분할을 구조로 인식하는 한

단계 더 높은 수 의 사고를 요한다.

Dubinsky(1991)는 과정이 상화(encapsulation)되어 정신 상을

형성한다고 하 다.집합의 분할 구조는 하나의 정신 인 상이므로,학

생들이 분할 구조를 얻는 것을 집합을 분할하는 과정을 상화하는 것으

-15-

로 생각해 볼 수 있다.Dubinsky는 상화는 역동 인 과정을 정 인

상으로 바꾸는 것으로,수학에서는 가장 요하지만 학생들에게는 가

장 어려운 구성의 라고 하 다. 한 Harel(1985)에 의하면, 상화하

는 것을 개념 실체의 형성 과정으로 볼 수 있고,개념 실체의 구성

은 수학 지식의 ‘수직 (vertical)'성장을 야기한다.따라서 집합의 분

할을 구조로 인식하는 것은 사고의 비약이 요구되는 고등 수학 인 사고

과정임을 알 수 있다.뿐만 아니라 집합의 분할을 구조로 인식한 이후,

그 구조를 여러 상황의 수학 문제에서 악하는 것은 추상 차원의 의

미를 구체 상황으로 이시켜야 하므로 이 한 학생들에게는 매우 어

려운 사고과정이다.

따라서 추상 인 집합의 분할 구조를 인식하고 이를 구체 인 문제

상황에서 볼 수 있는 학생들은 고등 수학 인 사고가 가능한 일부의 학

생들이다.추상 인 구조를 이해하려면 Piaget(1975a)의 인지 발달 단계

형식 조작 단계에 도달해 있어야 한다.즉,인지 성장과 논리 인

발달이 이루어져있는 학생들만이 고등 수학 인 사고를 할 수 있는 토

가 마련되었다고 볼 수 있다.

상 을 받아들일 수 있는 일부의 학생들에게 집합의 분할을 지

도하여,학생들이 그 구조를 인식하게 되었을 때 얻을 수 있는 장 들이

있다.먼 ,집합의 분할 구조를 인식하는 것은 학생들이 문제에서 체

집합을 생각하여 사고 상의 범 를 명확히 하고, 체의 경우를 빠짐

없이 보는 안목을 가질 수 있게 한다.

한,집합의 분할 구조를 인식하는 것은 이 에는 련지을 수 없었

던 문제들을 그 구조를 심으로 연결하여 통합 으로 볼 수 있게 한다.

경우의 수를 구하는 문제, 댓값을 포함하는 방정식,부등식,함수 문제

와 를 만족하는 부등식의 역을 찾는 문제는 모두

집합의 분할 구조가 내재되어 있어 높은 에서 보면 같은 방식으로

해결되는 문제들이지만, 재의 학교 수학 내에서 학생들은 이 문제의

풀이 과정을 개별 으로 인식할 뿐 이들을 련지을 수 없다.그러나 각

문제 상황에 내재된 집합의 분할 구조를 악하게 되면,이 에는 서로

-16-

다르게 인식되던 문제 해결 과정들이 체 집합을 분할하는 에서 하

나로 통합되어 인식된다.이를 통해 그 동안 련성을 찾아볼 수 없었던

서로 다른 주제의 문제들을 통합 인 안목에서 볼 수 있게 되어 수학 내

인 연결성을 획득할 수 있다.뿐만 아니라 이 에는 풀어본 이 없는

새로운 문제가 주어지더라도 문제 상황에 내재된 집합의 분할 구조를 인

식하게 되면,문제 해결의 핵심 아이디어를 얻어 문제 해결에 도움이 될

수 있다.

Vinner(1983)는 ‘만인을 한 수학을 믿지 않는다’라고 하면서,학생

의 능력에 따라 가르치는 수학의 내용이 달라야 한다고 하 다.집합의

분할 구조를 인식하는 것은 고등 수학 인 사고과정을 요하므로 문제 상

황에 내재된 분할 구조를 볼 수 있는 학생들은 제한 이며,이 구조를

모든 학생들이 보아야 하는 것도 아니다.하지만 상 을 이해할 수

있는 일부의 학생들에게 그 구조를 지도하는 것은 이를 이해할 수 있는

학생들에게 수학을 학습할 수 있는 새로운 기회를 제공해 다고 볼 수

있다.

-17-

3. 다이어그램 사용과 집합 분할 구조 나타내

표 (representation)은 다른 어떤 것을 상징하는 형태(Goldin,2002

Kaput,1985)를 말하며,정보를 소통하고 이해를 하는데 유용한 도구로

서 리 이해되고 있다. 를 들어 다이어그램(diagram),상징 인 표 ,

그림,단어,그래 ,숫자,도표 등은 모두 수학 개념의 외 표

(externalrepresentations)에 해당한다.NCTM(2000)에서는 표 을 수

학 개념이나 계를 특정한 형태에 담는 행동과 그 형태 자체를 동시

에 지칭하는 ‘과정과 결과’로 보았다. 한 학생들이 수학 인 아이디어

를 조직,기록,소통하기 해서 표 을 창조,사용하고,문제 해결을

해 수학 표 을 선택, 용,번역하며, 상을 모델링하고 해석하기

해 표 을 사용할 것을 권장하고 있다.Stylianou(2011)의 연구에서는 학

생들이 문제를 해결할 때 표 을 이해,기록,탐구,검사 도구로 사용하

고 있으며,표 은 활동의 정 인 ‘결과’로서 다루어지거나 문제해결에

있어서 동 인 ‘과정’으로 작용한다고 보았다.

NCTM에서 문제해결을 해 수학 표 을 사용하는 것을 권장하고

있듯이 문제풀이 과정에서 다이어그램과 같은 시각 인 표 은 매우

요하다.이는 Booth & Thomas(2000),Diezamnn & English(2001),

Novick& Hurley(2001)등 다수의 연구에서 나타나고 있다.Polya(1945)

는 그림이나 다이어그램과 같은 시각 표 들을 문제풀이 과정에 걸쳐

어떻게 사용해야 하는지에 한 조언들을 제시하면서,이것들이 문제풀

이에서 필수 인 요소라 주장했다.Polya뿐만 아니라 Schoenfeld(1985)

도 분석단계와 탐구단계에서 다이어그램과 같은 보조 요소들을 도입할

것을 제안했다. 한 시각화와 련하여,Skemp(1986)는 <표 Ⅱ-1>과

같이 수학에서 이용되는 기호 체계를 언어- 수 기호와 시각 기호

로 나 어 비교했다.Skemp에 따르면 시각 기호는 통합 이고 구조를

명시하며 동시에 직 이다.따라서 시각 기호를 사용하는 것은 언어

- 수 기호보다 문제에 내재된 구조를 발견하기 용이하다는 것을 알

수 있다.

-18-

언어- 수적 체계 시각적 체계

- 수 같 공간적 태 무 한

질 상한다.

- 사 통 쉽다.

- 적 집단적 사고를 한다.

- 적 사항 보여준다.

- 순 적

- 리적

- 양, 치 같 공간 질

상한다.

- 사 통 어렵다.

- 적 개별적 사고를 한다.

- 통합적 조를 보여준다.

- 동시적

- 직 적

<표Ⅱ-1>두 가지 기호 체계의 비교 Skemp(1997)

Dreyfus(1991)와 Kautschitsch(1988)의 연구에서 찾아볼 수 있듯이

시각화는 추상화에 도움이 된다.Kautschitsch는 시각 인 방법으로 추

상화를 돕는 방법에 한 조사 연구를 통해 역동 이고 시각 인 과정을

이용하면 그 활동 과정에 한 유추가 일어나기 때문에 추상화에 도움이

된다고 하 다.Dreyfus도 시각 이미지는 보통 총체 이고 구조 특

징들을 강조하므로 한 시각 이미지가 발견될 수 있다면,학생들이

추상화를 하는데 도움이 될 것이라고 하 다.

시각화는 정신 표상을 만드는 하나의 과정으로 시각화를 이용한 구

체화의 필요성은 여러 연구에서 드러나고 있다.아인슈타인은 아다마르

에게 다음과 같은 편지를 썼다.

구어든 문어든,말이나 언어는 나의 사고 과정에서 어떤 역할도 하지 않는

것 같다.사고의 요소인 심리 구성은 자유롭게 재생될 수도 있고 결합될 수도

있는 다소 분명한 표시나 어떤 그림으로 이루어진다.(Hadamad,1945.p.82)

아인슈타인뿐만 아니라 형식주의 인 입장을 강조한 Hilbert(1900)도

“부등식 를 나타낼 때 수직선상에 세 을 은 그림을 이용하

여 ‘사이’개념을 나타내지 않는 사람이 어디 있을까?“라고 하면서 구체

화로부터 감을 얻는다는 것을 보여주었다. 한 Tall& Chin(2002)은

형이 있는지의 여부에 따라 각 개념은 질 으로 다른 인식의 단 로

-19-

발 한다고 하면서,학생들이 수학을 학습할 때뿐만 아니라 수학자들이

수학을 할 때에도 역시 구체화된 마음에서부터 형식 인 사고가 나타난

다고 하 다.Tall& Chin에 의하면,집합의 분할은 단순한 형을 가지

고 있기 때문에 집합이 부분집합으로 쪼개진 다이어그램(diagram)을 통

해 집합의 분할을 구체화할 수 있다.

시각 기호 다이어그램은 문제의 구조를 표 하는 역할을 수행한

다.다이어그램은 공간 구조에 정보를 나타내는 시각 인 표 이며

(Diezmann& English,2001),구조 인 표 이다.다이어그램에서는 표

면 인 세부사항들은 요하지 않지만(Vekiri,2002),반드시 상황 요소

들과 그것들의 구조가 나타나야 하고,성공 인 사용을 해서는 이러한

규약들을 학습하고 이해해야만 한다(Diezmann& English,2001).따라서

다이어그램을 이용해 문제를 해결할 때,다이어그램을 무 자세히 나타

내어서는 안 되고 문제 상황의 구조가 드러나도록 해야 한다.

다이어그램을 통해 문제의 구조를 나타내고,볼 수 있기 때문에 다이

어그램을 사용하는 능력은 수학 사고와 문제 풀이에서 강력한 도구가

된다.Diezmann(2005)은 다이어그램을 사용하는 것이 문제 풀이에서 세

가지 핵심 인 인지 이 들을 갖는다고 주장하 다.첫째,다이어그램

은 문제 구조를 개념화하는데 기여하며,둘째,다이어그램은 추론을 만드

는 지식 표 체계로,지식 생성의 능력이 있다.이와 련하여

English(1996)는 다이어그램을 통해 구조 응 계를 지닌 동형 문제

들의 구조를 표 할 수 있다고 하 다.셋째,다이어그램은 언어 추론

과 상호보완 이면서 동시에 그와 다른 시각 추론에 도움을 다

(Diezmann,2005).Diezmann의 연구를 통해 다이어그램으로 나타내는

것이 집합의 분할 구조가 내재된 문제를 해결할 때,내재된 문제의 구조

를 볼 수 있게 해주어 문제풀이의 유용한 도구가 된다는 것을 알 수 있

다.

문제에서 학생들이 문제를 쉽게 해결할 수 있도록 다이어그램을 직

제시해주는 방식도 문제풀이에서 역시 요하다. Zhang &

Norman(1994)에 의하면 외 인 표 들은 인지 활동을 안내하고 제한

-20-

하는 역할을 한다.그 기 때문에 학습자의 입장에서는,다이어그램과 같

은 외 표 이 있는 과제와 없는 과제는 비록 그것이 동일한 추상 구

조를 지녔다 해도 서로 다른 과제로 느껴질 수 있다. 한 Pantziaraet

al.(2009)의 연구에 의하면 비정형문제에서 다이어그램을 제시하는 것이

다이어그램이 없는 동형의 문제를 풀 때 어려움을 느 던 학생들에게 매

우 큰 도움이 됨을 알 수 있다.따라서 문제의 추상 인 구조를 쉽게 볼

수 없는 학생들에게 다이어그램을 제시해주는 것이 문제를 보다 쉽게 인

지하고 해결할 수 있게 하는 보조 인 역할을 한다는 것을 알 수 있다.

다이어그램을 사용하는 것은 문제풀이에 매우 유용하지만,모든 학생

들이 다이어그램을 사용해 문제를 성공 으로 해결하는 것은 아니다.

일부 학생들은 문제의 구조를 보지 못하거나 문제 풀이 과정에서 다이어

그램을 익숙하게 사용하지 못한다(Booth & Thomas, 2000).

Novick(1988)에 의하면 문제 상황에서 다이어그램을 사용하는 것은 유사

한 구조를 보는( 보 문제 해결자들에게는 어려운 일인)학생들의 능력

에 달려 있다. 보 문제 해결자들은 문제의 표면 특징에 주목하는 경

향이 있기 때문에,표면 으로는 달라 보이는 문제들 간의 구조 유사

성을 발견하는데 종종 어려움을 겪는다.따라서 문제를 해결할 때 문제

에 내재된 구조보다도 각 문제의 풀이에만 을 두고 학습을 한 학생

들은 문제 풀이의 핵심이 되는 다이어그램을 찾아내기 어려울 수 있다.

다이어그램의 사용은 수학 문제 풀이에 있어 효율성을 높이기 해

제안되어 온 가장 효과 인 략들 하나(Hembree,1992)로서 학생들

이 다이어그램 사용의 요성을 깨닫고,문제에 합한 다이어그램을 만

들어내고 주어진 다이어그램을 해석할 수 있는 능력을 배양하는 것이 필

요하다.NCTM(2000)에서 밝히고 있듯이 ‘다이어그램을 그리고 사용할

수 있는 능력(diagrammaticliteracy)’은 학생들의 수학 발 을 한

필수 인 요소이다.Pantziaraetal.(2009)에서는 다이어그램을 그리고

사용할 수 있는 능력은 모든 학생들이 타고난 능력이 아니며,이는 개발

될 필요가 있다고 보았다.따라서 교사들은 학생들에게 주어진 다이어그

램을 사용하는 기회 뿐 아니라 문제 풀이 상황에서 다이어그램을 활동

-21-

으로 만들고 사용하는 것을 포함한 그들 고유의 풀이 략을 만들어 내

거나 찾을 수 있는 기회도 역시 제공해야 한다고 주장한다.

Dufour-Janvier,Bednarz& Belanger(1987)역시 학생들이 다이어그램

사용 능력을 배양하기 해서는 교과서에 다이어그램이 많이 제시되어야

하며,교사 한 다이어그램을 자주 사용해야 한다는 것을 언 하고 있

다.

Zhang(1997)은 그의 연구에서 외 인 표 은 문제에서 인지 인 활

동을 안내하고 제한하며,때로는 인지 인 행동을 결정하기도 한다고 하

다.집합의 분할이 내재된 문제에서 집합의 분할 구조를 나타내는 외

표 인 다이어그램을 주는 것은 추상 인 구조를 구체화하는 것과 연

결 된다.본 연구에서는 선행연구들이 주는 시사 을 바탕으로 문제의

상황에 맞는 다이어그램을 그리는 것을 통해 집합의 분할 구조를 구체화

할 수 있는 과정으로 연구를 설계하 다.

4.수학 연결성

Skemp(1976)는 잘 연계된 개념에 바탕을 둔 사고는 새로운 상황에서

사용될 때 훨씬 쉽게 응용될 수 있으며,Schoenfeld(1988)는 학생들이 새

로운 지식을 기존의 지식에 의미 있게 연결할 때 기억하거나 용하는

것이 더 쉽고 잘 이해된다고 하 다. 한 Hilbert& Carpenter(1992)는

수학 개념을 이해했다는 것은 아이디어,사실 는 차들 사이의 연

결을 만드는 것이라고 하 다.이와 같이 수학을 학습 할 때,각 개념을

연결할 수 있도록 하는 것은 수학을 이해하는데 도움이 된다.

NCTM(1989)에서는 연결성 규 (ConnectionsStandard)을 제시하고,

수학 연결성을 통하여 수학과 수학을,수학과 다른 교과과정을,수학과

일상생활을 연결하는 것이 학교 수학의 요한 목표라고 주장하 다.

한 유치원에서부터 고등학교까지를 세 개의 범주로 나 어, 학년에

-22-

K-4

(연결 짓는 제공)

‧ 개 적 지식과 절차적 지식 련지 수 어야 한다.

‧ 다양한 개 나 절차 상 로 련지 수 어야 한다.

‧ 수학에 다른 내 들 사 계를 식할 수 어야 한다.

‧ 다른 과정 역에 수학 사 할 수 어야 한다.

‧ 매 상생 에 수학 사 할 수 어야 한다.

5-8

(수학적 연결 에 한 탐 )

‧ 수학 통합 전체로 볼 수 어야 한다.

‧ 그래픽, 수적, 물리적, 수적, 언어적 는 상 통해 문제

를 탐 하고 결과를 술할 수 어야 한다.

‧ 수학적 아 어를 해하 해 다른 수학적 아 어를 사 할

수 어야 한다.

‧ 미술, 악, 심리학, 과학 경제학과 같 타 학문 양 문제를

해결하 해 수학적 사고 적 할 수 어야 한다.

‧ 문 사 에 수학 역할 평가할 수 어야 한다.

9-12

(다양한 수학적 내 사 연결과 상 과 각 내 )

‧ 같 개 동치 상 식할 수 어야 한다.

‧ 한 상에 절차를 동치 상에 절차 연결시킬 수 어야

한다.

‧ 수학적 내 사 연결 하고 미할 수 어야 한다.

‧ 수학과 다른 학문 사 연결 하고 미할 수 어야 한다.

하여 수학 연결성에 한 규 을 <표 Ⅱ-2>와 같이 제시하 다.

<표 Ⅱ-2>1989년 NCTM의 수학 연결성에 한 규 (구 조 외,2004)

NCTM(2000)에서는 유치원부터 12학년까지의 학교수학을 한 규

가운데 ‘연결성’규 을 제시하고,이를 K-2학년,3-5학년,6-8학년,9-12

학년으로 나 어 보다 구체 인 내용과 ,그리고 교사의 역할을 설명

하 다.그 내용은 <표 Ⅱ-3>같다.

-23-

K 12학

연결

규준

‧ 수학적 아 어 간 연결 식하고 할 수 다.

‧ 수학적 아 어가 로 어떻게 연결 어 는지 해하고,

각각 아 어에 하여 전체를 산 할 수 다.

‧ 수학 상 에 수학 식하고 할 수 다.

K-2학‧ 학생들 경험 통해 학습한 직 적, 식적 수학과 학생

들 학 에 학습한 수학 사 연결 다.

3-5학

‧ 수학적 아 어 연결 새로운 아 어를 전에 숙고

해 보았 아 어 결합시키는 것 포함 다. 아 어가

얼마나 연결 는가에 라 그들 해력과 새로운 아

어를 리하는 능력 달라진다.

6-8학

‧ 수학적 로 사고한다는 미에는 연결 찾고, 수학적 로

해하 하여 연결 하는 것 포함 다. 연결

없 학생들 무 많 고립 개 과 능 우고 암

해야 한다. 연결 갖 어지 행지식 에 새로운 해를

할 수 다.

9-12학

‧ 로 다른 역 수학 사 연결 해할 수 ,

수학 통합 전체로 보게 다. 미 알고 는 수학 개

로 새로운 수학 개 할 학생들 다양한 수학

역 사 연결 식하게 다.

‧ 다른 학문 야 특히 연과학, 사 과학과 연결 해

하는 것 수학적 힘 신 에 도움 다.

<표 Ⅱ-3>2000년 NCTM의 수학 연결성에 한 규 (류희찬 외,2008)

NCTM(2000)에서는 학생들이 수학 사고를 연결할 수 있을 때,학

생들의 이해는 깊어지고 더 오래 지속된다고 하 다. 한 학생들이 서

로 다른 역의 수학 사이의 연결성을 이해할 수 있을 때,수학을 통합

된 체로 보게 된다고 언 하면서,수학이라는 학문 내의 연결성에

해 생각할 필요성이 있다는 것을 부각시키고 있다.NCTM(2000)에서는

연결성의 유형을 다음과 같이 세 가지로 정리하고 있다.

-24-

첫째,다양한 수학 개념과 생각 사이의 연결성

둘째,교과의 긴 성을 논증하는 다양한 역들 안에서의 는 역들

사이의 연결성

셋째,수학과 타 교과와의 연결성

NCTM(2000)에서 제시한 수학 연결성의 유형을 두 가지 으로

분류해보면 첫째,둘째 유형에 해당하는 연결성은 수학 아이디어들 사

이의 연결성이며,셋째 유형에 해당하는 것은 수학과 다른 분야와의 연

결성이다. 자를 ‘수학 내 연결성’후자를 ‘수학 외 연결성’이라 한

다.수학 외 연결성으로는 다른 교육과정 역에서 수학 사용하기,매

일의 일상생활에서 수학 사용하기, 술․음악․심리학․과학․경제 등

다른 분야의 문제들을 해결하기 해 수학 사고와 모델링 용하기가

있으며,수학 내 연결성으로는 개념 지식과 차 지식 연결하기,

수학 주제들 간에 연결의 가치를 사용하고 평가하기,같은 개념에 한

동등한 표 인식하기,수학을 일 된 체로 보는 것을 제시하고 있다.

최근 수학 연결성을 고려한 교수-학습 개에 한 심이 높아지

면서 수학 내 연결성의 의미를 강조한 연구들이 많이 이루어지고 있

다.먼 ,수학 연결성의 의미를 강조하여 수학과 교육과정 내용을 개

선해야 한다는 연구로는 신성균 외(2005)의 수학과 교육과정 개선 방안

연구를 들 수 있다.신성균 외는 내용 요소의 학년 간 연계성이 떨어지

고,내용 역 구분 방식에 따라 련 내용이 강제 으로 분리되어 기술

됨으로써 학습 연계성이 고려되지 못하는 문제 이 발생하고 있다고 지

하 다.따라서 학생의 인지 발달 수 을 고려하고, 련 내용 학습의

효율성과 학생들의 이해를 해 학습량 내용의 난이도를 조정하고,

학습 내용 사이의 연계성을 강화하는 것이 필요하다고 하 다. 한 윤

진,박선용,김서령,이 하(2009)는 수학과 교육과정(내용)개선을

한 에서 행렬과 그래 단원의 연계성 측면을 고려한 교수-학습 계

열을 제안하 다. 한 교육과학기술부(2008,2011)는 개정 교육과정에서

학년 간,학교 간,교과 간의 연계성을 강화하고 연 된 내용은 하

-25-

게 련지어 학습할 수 있도록 함으로써 학습 효과를 높일 수 있게 하

다고 논의하고 있다.

한,수학 내 연결성에 한 연구는 부분 수학 내용 부분에서

연결성을 악하고 그 지도 방안을 탐색하는 연구들로 최지 (2005),허

은숙(2005),정 우 외(2011),황석근,윤정호(2011),양성 ,이환철(2012)

등의 연구가 있다.

최지 (2005)은 ‘함수와 상 도의 수학 연결성 증 방안’연구에서

일차함수와 상 계,좌표평면과 상 도의 내용 상호 련성을 살펴

보고 학교 교사들이 이것의 연결성을 어떻게 인식하고 있는지 알아보

았으며,일차함수와 상 도의 연결성을 고려한 지도 방안을 제시하 다.

허은숙(2005)은 ‘고등학교에서 선형 수 개념지도에 한 연구’에서

고등학교에서 지도하고 있는 연립일차방정식과 행렬,벡터,이차곡선,일

차변환 개념의 본질 인 연결성을 선형 수의 역사 발생과 선형 수에

한 교수학 분석을 통해 고찰하 다.

정 우 외(2011)는 ‘수학 연결성을 고려한 수 체계의 지도에 한

연구’에서 재교육 학생들을 상으로 수 체계와 방정식의 해법 개념을

연결성을 고려하여 지도하는 교재를 개발하고,이를 교수 실험하여 그

효용성을 분석하 다.

황석근,윤정호(2011)는 ‘수학 연결성을 고려한 연속확률분포단원의

지도방안 연구’에서 연속확률분포 단원에서 확률 도함수의 도입과 연속

확률변수의 기댓값을 정의하는데 간값 정리,정 분의 정리,정 분과

무한 수의 계에 한 개념을 연결시키고,정규분포의 표 화를 치환

분법과 연결시키는 지도방안을 마련하 다.

양성 ,이환철(2012)은 ‘수학 내 연결성의 형식 측면에 한 연

구’에서 수학 내 ‧외 연결성이 형식 측면에서 유사성과 비경계성

을 가진다고 보고,Berlin& White(1995)의 수학 외 연결성의 연구에

서 밝힌 원리를 분석하여,수학 내 연결성의 형식 측면의 원리를 정

의하 다.수학 내 연결성의 원리로 계열성,공유성,연계성,조직성,

통합성을 제시하 으며,이러한 내 연결성에 한 원리들은 특정한 문

-26-

제 상황에서 개별 으로 작용하는 것이 아니라 복 이고 복합 으로

작용한다고 하 다.다음은 수학 내 연결성에 해 양성 ,이환철이

제시한 형식 측면의 원리와 그에 한 구체 인 사례이다.

첫째,계열성(Sequenced)은 단원들이 서로 연 되기 해 재배치되고

계열화되는 것을 의미한다.즉,개별 인 단원 역들은 그 로 유지되고

유사한 개념들이 계획 으로 가르쳐진다.타원에서 기울기 이 주어진

선의 방정식 ±을 설명하는 경우에 있어,원에서의

선의 방정식 ±을 일반화와 특수화의 사고를 이용하여

설명하는 것이 그 가 된다.

둘째,공유성(Shared)은 두 개의 단원에서 계획된 교수가 교육되고,

이 때 복되는 개념과 아이디어들이 조직 요소로 등장하는 것을 의미한

다. 를 들면 산술평균과 기하평균은 부등식의 개념과 수열에서의

등차 항과 등비 항의 개념에 복되는 개념과 아이디어들이 존재하므

로 서로의 조직요소로 연결하여 이해하는 것이 이에 해당한다.

셋째,연계성(Webbed)은 다양한 단원의 학습 내용들이 하나의 개념

을 심으로 재구성됨으로써 체를 망할 수 있는 범 한 시야를 갖

게 되는 것을 의미한다. 를 들어 행렬을 함수의 개념과 연계하여 지도

하는 것은 칭변환과 회 변환을 비롯한 일차변환에 한 함수 개념

에 보다 쉽게 근할 수 있으며,행렬의 곱셈이 교환법칙이 성립하지 않

음을 함수의 합성이 교환법칙이 성립하지 않는다는 것과 연계하여 설명

할 수 있다.

넷째,조직성(Threaded)은 하나의 개념이자 문제 상황에 하여 다양

한 근 방식으로 이해를 함으로써 문제 상황을 조직 으로 이해하고

이가 진되도록 하는 것을 의미한다. 를 들어,다음과 같은 이원이차

연립방정식을 수 근을 통해 해를 구하는 것뿐만 아니라 구한 해의

집합론 의미를 이해하고,기하 ‧시각 의미를 해석하는 것이다.

-27-

다섯째,통합성(Integrated)은 내 연결성에서 하나의 수학 개념에

하여 두 개 이상의 단원에서 개념을 재해석할 수 있다는 것을 의미한

다. 를 들어,‘미 분과 통계 기본’ 는 ‘분과 통계’에서 이항정리

⋯ 와 고등학교 1학년 ‘수학’에서 원소의 개

수가 개인 집합의 부분집합의 개수가 개임을 연결하는 것이다.

지 까지 살펴본 연결성에 한 연구를 바탕으로,수학 개념을 지도할

때에는 이 에 배웠던 개념과 새로운 개념을 연결하여 지도하는 것이 학

습의 효과를 높일 수 있다는 것을 알 수 있다.집합의 분할은 양성 ,이

환철(2012)이 제시한 ‘연계성(Webbed)’ 에서 다른 주제의 문제들을

연결할 수 있는 좋은 소재이다.따라서 본 연구에서는 분할 구조가 내재

된 각 주제의 문제들을 집합의 분할 구조를 구심 아이디어로 통합 으로

살펴 으로써 수학 내 연결성이 이루어지는 하나의 사례를 보이고자

한다.

-28-

Ⅲ. 연구방법 및 차

1. 연구 방법

본 연구는 상 을 받아들일 수 있는 학생들에게 집합의 분할 구

조를 제시하고 이를 인식하여 습득하게 한 뒤,분할 구조가 내재된 문제

들을 그 구조를 심으로 통합 으로 볼 수 있는지 알아보는 것을 목

으로 한다.이때,본 연구의 목 을 효과 으로 살펴보기 해서는 학생

들의 인식의 변화를 깊이 있게 찰해야하므로 개별 인터뷰를 자료 수집

방법으로 선택하여 질 연구를 하 다.특히 본 연구는 상 을 이

해할 수 있는 몇몇의 학생들을 상으로 사례에 한 심층 분석을 목

으로 하므로 질 연구 사례 연구에 해당한다.

질 사례 연구는 단일 사례의 독특성과 복잡성에 한 연구로 요

한 상황들 속에서 사례가 개되는 방식에 해 이해하고자 하는 것이

다.사례연구는 체 인 묘사와 설명에 을 맞추며(Merriam,2005)

사례 연구의 연구자는 어떤 로그램,사건,행동,과정,한 명 이상의 개

인을 심층 으로 탐구한다.여기서 사례는 시간과 활동에 의해 제한되어

있고 연구자는 지속되는 시간 동안 다양한 자료수집 차를 통하여 상세

한 정보를 수집한다(Stake,1995).이 때,질 사례 연구에서 주요한 특

징은 연구의 목 과 사례를 한정하는 것으로 Smith(1978)는 이를 ‘제한

된 체계(boundedsystem)로서의 사례’라고 하 다.사례는 그 주 에 경

계가 있는 한 가지 일,하나의 요소,하나의 단 로 볼 수 있다.사례연

구는 ‘맥락 속에서의 해석(Cronbach,1975)’이라고 불리면서 하나의 상

는 요소(사례)에 집 하고,연구자는 상에 해서 특징을 이루는

요한 요소들 사이의 상호작용을 밝 내는데 목 을 둔다.

본 연구에서는 다음과 같은 이유로 사례연구방법을 선택하 다.첫째,

사례 연구는 해당 연구가 많지 않은 교육 분야에 있어서 기 인 정보

를 찾아낼 때 유용하다(Merriam,2005).지 까지의 연구 학생들에게

-29-

집합의 분할 구조와 같은 상 개념을 먼 제시하는 것과 련된 연구

는 시도된 바가 없다.따라서 이러한 근이 의미가 있을지에 해 알아

보기 한 연구를 시도하고 이 분야의 기 인 정보를 제공하고자 한

다.둘째,사례 연구는 어떤 상에 한 몇 가지 사례를 집 이고 심

층 으로 조사하는데 하므로(Lecompte& Goetz,1981)연구 참여

학생들이 집합의 분할 구조를 인식하고 통찰력을 갖게 되는지를 심층

으로 살펴볼 수 있다.학생들의 인지발달을 고려할 때 집합의 분할 구조

를 인지할 수 있는 학생은 극히 제한 이며,모든 학생들이 집합의 분할

구조를 보아야 하는 것이 아니다.따라서 이해 수 이 형식 수 단계

에 이를 것으로 보여 지는 소수의 학생을 상으로 연구하는 것이 합

하다.셋째,개별 인터뷰를 통해 연구를 진행할 때,연구 상을 규모

로 표집 하기에는 실 인 어려움이 따른다.따라서 목 에 합한 소

수의 연구자들을 상으로 개별 인터뷰를 통한 심층 인 연구를 하 다.

본 연구에서는 연구자와의 자연스러운 화를 통하여 학생들이 집합

의 분할 구조를 인식하고 있는지 여부와 지식을 표면화하는 과정을 분석

하 다.

2. 연구 차

2.1 연구 계

본 연구에서는 다음과 같이 연구 설계를 하 다.

첫째,집합의 분할 구조를 이해할 수 있는 학생으로 연구 참여자를

선정하 다.집합의 분할 구조와 같은 추상 인 구조를 이해할 수 있는

학생은 Piaget의 ‘형식 수 ’에 도달한 학생이다.수학 성 이 우수하

며,평소 수학 내용을 잘 이해하는 학생을 형식 수 에 도달한 학생이

라 단하고,고등학교 1,2학년 학생 연구 참여자를 선정하 다.

-30-

둘째,학생들이 집합의 분할 구조를 인식하도록 지도하 다.먼 ,학

생들에게 집합의 분할이 내재된 특정한 문제를 풀어보도록 한 뒤,연구

자가 수식과 다이어그램을 이용하여 집합의 분할 구조를 설명하고,학생

들이 주어진 문제에서 그 구조를 악할 수 있도록 하 다.

분할 구조를 지도할 때 연구 상 학생들을 두 그룹으로 나 어 서로

다른 주제의 문제를 통해 그 구조를 인식하도록 하 다.학생들이 재

학습하고 있는 수학 내용과 유사한 역의 문제에서 집합의 분할을 보다

쉽게 악할 수 있을 것으로 단하고,학생들이 학습하고 있는 수학 내

용과 유사한 주제의 문제를 제시하 다.1학년 학생들은 인터뷰가 진행

될 당시 ‘수학’교과의 함수 단원을 학습하면서, 댓값을 포함하는 함수

문제를 응용문제로 학습하고 있었고,2학년 학생들은 ‘미 분과 통계 기

본’교과의 확률 단원에서,이항정리까지 학습을 마친 상태 다.따라서

각 학년별로 댓값을 포함하는 부등식 문제와 경우의 수 문제를 제시하

고,그 문제를 통해 집합을 분할하는 구조를 악하도록 하 다.

셋째,집합의 분할 구조를 지도한 이후에,추가 인터뷰를 포함하여 총

세 차례의 인터뷰가 이루어졌다.먼 ,1차 인터뷰에서는 집합의 분할 구

조를 인식하는 것이 그 구조가 내재된 새로운 문제를 해결하는데 어떠한

향을 미치는지 알아보기 한 인터뷰를 진행하 다.처음 연구를 설계

할 당시에는 고려되지 않았지만 1차 인터뷰 후 일주일 뒤,학생 2,3,4

를 상으로 추가 인터뷰를 실시하 다.2차 인터뷰에서는 학생들이 수

학 연결성을 가지고 분할 구조가 내재된 다른 주제의 문제들을 볼 수

있는지 확인하 다.

2.2 연구 참여자

본 연구는 연구 의도에 합한 연구 상을 선정하는 “의도 표본

(purpose sampling)"에 입각하여 연구 참여자를 선정하 다(조용환,

-31-

1999;Merriam,1998).Piaget(1975a)는 인식론의 문제는 지능 발달의 문

제와 분리하여 생각할 수 없고,주체의 쉐마(schema) 는 상과 과정

의 그 어느 것도 직 찰하는 것은 불가능하며,이는 학생들을 찰해

서 추론할 수밖에 없다고 하 다.이를 통해 추상 인 구조를 인식할 수

있는 학생들은 인지 인 능력이 뛰어난 학생이어야 하지만 이를 구별할

수 있는 뚜렷한 기 이 있는 것이 아니며,그런 학생들을 구별하기 해

서는 찰에 의해 추론할 수밖에 없다는 것을 알 수 있다.따라서 평소

수업시간에 수학을 이해하는 능력이 뛰어나고,수학 성 이 우수한 학생

들이 문제 상황에서 집합의 분할 구조를 악할 수 있을 것이라 단하

고,학생들의 수학 성 과 수학 이해도를 고려하여 연구 참여자를 선

정하 다.연구 참여자는 D 고등학교에 재학 인 1,2학년 학생 각

학년별로 두 명씩 총 네 명을 선정하 다.연구 참여자 선정을 해,구

두로 모집 공고를 내고,자발 으로 참여 의지를 보이는 학생들 성

과 수학 이해도를 고려하여 선정하 다.학생들의 수학 이해도를 반

하기 해 담당 수학 선생님의 의견을 참고로 하 다.

연구 참여 학생들이 재학 인 D 고등학교는 연구자가 재직하고 있

는 학교이며,인문 계열의 인재 양성을 목 으로 하는 경기도 소재 특수

목 고등학교이다.이 학교의 학생들은 반 으로 학습 능력이 우수하

고,학생들 체의 50% 이상은 국연합평가 수학 역의 성 이 2

등 이내로 수학 성 도 우수한 편이다.D고등학교는 인문 계열 인재

양성을 목 으로 하므로,교육과정에 수학,수학Ⅰ,미 분과 통계기본,

수학연습Ⅰ이 편성되어 있고,수능 수학 역 B형의 시험과목인 수학Ⅱ,

분과 통계,기하와 벡터는 편성되어 있지 않다.따라서 2학년 학생들의

경우 국연합평가에 응시할 때,거의 부분의 학생들이 수학A 역에

응시하고 있다.

연구 참여 학생 학생 1과 학생 2는 1학년 학생으로(인터뷰 당시),

6월 국연합학력평가 결과 수학 역에서 2등 을 받은 상 권 학생

들이다.학생 1은 연구자의 학 에서 수업을 받고 있는 학생으로,과묵하

고 진 한 성격이지만 수업 시간에 항상 극 으로 답하면서 교사와

-32-

상호작용 하는 학생이다. 한 수학 문제를 해결할 때에는 교사의 풀이

를 모방하여 해결하기 보다는 자기 나름의 방법을 생각하여 창의 으로

풀어보려고 노력하며,수학 인 감각과 직 능력이 뛰어나 어려운 문제

가 주어졌을 때,‘아!’하고 통찰하여 쉽게 해결하는 모습을 보인다.학생

2는 다소 소심하고 내향 인 성격을 갖고 있지만 말을 조리 있게 잘하는

학생이다.학생 2도 연구자의 학 에서 수업을 받는 학생으로 수업시간

에 태도가 바르고,자기주도 학습 능력이 뛰어나 스스로 계획을 세워

서 성실하게 수학을 학습하는 학생이다.모의고사 성 이 내신 성 보

다 더 높게 나오며,단순한 문제보다는 사고형 문제를 선호하고,사고형

문제가 출제되었을 때 문제를 더 잘 해결한다.학생 1과 2모두 연구가

진행되는 시 에서 수학 교과의 한 학기 분량 정도 선행학습이 이루어진

상태 다.수학 담당 교사로서 학생들을 가까이에서 지켜본 결과 학생 1

과 2모두 수학을 이해하는 능력이 우수하고,수학 학습 능력이 뛰어난

학생으로 연구 참여 학생으로 합하다고 단하여 선정하 다.

연구 참여자로 선정된 학생 3과 4는 2학년 학생으로(인터뷰 당시),학

생 3은 6월 국연합평가 결과 수학 역에서 1등 을 받은 상 권 학생

이고,학생 4는 2등 을 받은 상 권 학생이다.학생 3은 수학을 좋아

하고 수학 공부를 할 때 그 개념과 원리를 먼 이해하려고 노력하며,

인문 계열 학생이지만 수학 련 서 을 즐겨 읽는 등 수학을 깊이 있게

학습하는 학생이다.학생 3은 연구자가 담당 교사로 있는 수학 동아리의

학생으로,복잡한 경시 회 문제를 해결할 때 특수화 략을 사용하여

문제 풀이의 아이디어를 얻는 등 수학 인 감각이 있는 학생이다.수학

동아리 활동의 일환으로 수학 멘토로 활동하면서,방과 후에는 멘티 학

생의 수학 학습을 돕고 있다. 한 학생 3은 극 인 성격으로 학생회

활동을 하고 있으며,논리 으로 자기 생각을 조리 있게 표 한다.학생

4는 연구자가 직 지도한 경험이 없는 학생이지만,담당 수학 선생님과

의 면담을 통해 학생의 특성을 악할 수 있었다.학생 4는 수학 반장을

하면서 매 수업 시간 5분 에 교무실로 찾아와 선생님의 지시 사항을

듣고,수학 학습 기자재를 설치하는 책임감이 강하고 성실한 학생이다.

-33-

수학에 한 심이 많고 수학을 열심히 학습하는 학생으로,2학년에 진

학하면서 수학 성 이 많이 올라 수학에 한 자신감을 갖고,수학 학습

에 박차를 가하고 있는 학생이다.학생 4도 담당 수학선생님의 의견으로

는 수학 이해력이 좋은 학생이다.학생 3,4모두 수학 이해력이 뛰어

난 학생으로 연구 참여자로 합하다고 단하여 선정하 다.학생 3과

4는 수학 A 역을 선택하는 학생으로 연구가 진행되던 시 에 미 분

과 통계 기본 교과 내용까지 선행학습이 이루어진 상태 다.

2.3 연구 일

본 연구는 먼 주제를 선정한 후 문헌 연구를 바탕으로 연구를 설계

하 다.조사 도구가 합한지 알아보기 해 2학년 최상 권 학생을

상으로 비 인터뷰를 실시하고 그 결과를 바탕으로 과제를 선정하 다.

그 후 구두로 연구 참여자를 모집하 고,연구 참여자를 상으로 인터

뷰 연구를 진행하 다.먼 학생들이 집합의 분할 구조를 인식하도록

연구자가 개별 으로 지도한 후 세 차례의 인터뷰가 이루어졌다.먼 1

차 인터뷰는 집합의 분할 구조를 인식한 이후에 이루어졌고,1차 인터뷰

일주일 뒤에는 추가 인 인터뷰가 이루어졌다.1차 인터뷰가 이루어진

후 한 달 뒤 2차 인터뷰가 진행되었다.이후 자료 분석 해석을 하고

연구 결과를 정리하여 논문을 작성하 다.인터뷰 연구는 D고등학교 동

아리실에서 진행되었고,인터뷰마다 문제 풀이,풀이 과정에 한 설명과

소감에 한 인터뷰가 이루어졌고,심층 인 사고의 분석을 해 학생별

로 30분 이상이 소요되었다.연구 일정을 정리하면 <표 Ⅲ-1>과 같다.

-34-

․ 다 등식 어라.

날짜 연구 내용

2012.09. 연구 주제 설정2012.09.~11. 문헌 연구

2012.11.셋째 주 비 인터뷰2012.11.넷째 주 연구 참여자 선정

2012.12.첫째 주집합의 분할 구조 지도

1차 인터뷰

2012.12.둘째 주 1차 추가 인터뷰2012.12.넷째 주 2차 인터뷰

2013.01. 자료 분석 해석

2013.02. 결과 정리2013.03~2013.05. 논문 작성

<표 Ⅲ-1>연구 일정

3. 과 계

본 연구에서는 두 가지 다른 특정한 문제를 통해 학생들이 집합의 분

할을 인지하도록 한 뒤,집합의 분할 구조가 내재된 새로운 문제를 제시

하고,그 구조를 이용하여 문제를 해결할 수 있는지 찰하 다.이를

해 두 가지 서로 다른 주제의 과제를 선정하 다.먼 고등학교 1학년

학생들을 상으로 집합의 분할 구조를 발견할 수 있는지 확인하기 해

다음과 같이 댓값을 포함하는 부등식 문제를 선정하 다.

댓값을 포함하는 문제에는 집합의 분할 구조가 명확하게 드러나기

때문에 학생들이 그 구조를 인식하기 쉬울 것으로 단하여 선정하 다.

댓값을 포함하는 문제를 풀 때에는 경우를 나 어서 문제를 해결하며,

보통 댓값 안의 식을 0으로 만드는 수를 기 으로 가장 효율 인 경우

-35-

< 스칼의 삼각형 공식 문제 >

C CC (단,≤≤)

풀이)서로 다른n개의 상 에서 r개를 뽑는 경우는 특정한 상

를 포함하는 경우와 포함하지 않는 경우로 나 수 있다.

(ⅰ)를 포함하는 경우의 수는 이미 뽑힌 를 제외한 나머지

(n-1)개 에서 (r-1)개를 뽑는 경우의 수와 같으므로

이다.

나 기를 한다.즉,실수 체의 집합을 일정한 기 ( 댓값 기호 안의

식을 0이 되게 하는 수)에 의해 분할한 뒤,각 부분집합에서 식을 만족

하는 역을 구하고 그 결과들을 합하여 체 식을 만족하는 해를 구한

다. 댓값을 포함하는 문제는 방정식,부등식,함수에서 볼 수 있는데,

이 방정식 문제는 무 단순하기 때문에 배제하 고, 댓값을 포함

하는 함수 문제는 평면을 분할하고,분할한 역에서 함수의 그래 를

그려야 하므로,집합의 분할 구조를 처음 근하는 주제로는 다소 어려

울 것으로 단되어, 한 어려움을 가진 댓값을 포함하는 부등식

문제를 선정하 다.

2학년 학생들에게는 경우의 수 문제를 제시하 다.경우의 수를 구하

는 문제에도 체 집합을 분할하는 구조가 잘 드러난다.경우의 수를 한

번에 구하기 어려울 때, 체를 부분으로 나 어 각 부분에서 경우의 수

를 구하고,나 에 이를 합하여 체 경우의 수를 구한다.즉,가능한 경

우 체의 집합을 체 집합으로 보고,각 경우를 체 집합을 분할한

부분집합으로 보면 집합을 분할하는 구조가 드러난다.경우의 수 문제에

서는 조합 증명 문제 학생들에게 익숙한 스칼의 삼각형 공식 문

제를 선정하 다.이 문제는 체 경우를 분할하여 생각하는 것이 문제

풀이의 핵심 아이디어가 된다.문제를 증명과 함께 제시했을 때 학생들

이 이를 읽고 집합의 분할 구조를 악할 수 있는지 확인해보고자 하

다.

-36-

․ 계단을 오르는데 한 걸음에 한 칸 는 두 칸씩 오른다.8칸의 계

단을 오르는 방법의 수는?

(ⅱ)를 포함하지 않는 경우의 수는 를 제외한 (n-1)개 에서

r개를 뽑는 경우의 수이므로 이다.

따라서 (ⅰ),(ⅱ)의 경우의 수를 합하면 다음이 성립한다.

C CC

2학년 학생들이 집합의 분할 구조를 보다 확실히 악할 수 있도록

하기 해 경우의 수 문제를 한 문제 더 제시하 다.학생들이 증명을

읽고,증명 과정에서 집합의 분할 구조를 찾아본 뒤,이를 이용해 다른

주제의 문제를 해결하기는 다소 어려울 것으로 단되었다.따라서 다음

과 같은 문제를 제시하고 학생들이 스스로 집합의 분할 구조를 이용하여

문제를 해결할 수 있는지 확인해보았다.

이 문제는 집합의 분할을 이용하면 쉽게 해결되는 문제이다.8칸의

계단을 오르는 방법의 집합을 체 집합으로 보고,이를 첫 걸음에 한

칸 올라가는 방법의 집합과 첫 걸음에 두 칸 올라가는 방법의 집합으로

분할하면, 화식을 만들어서 문제를 해결할 수 있다.이때,집합의 분할

이 문제 풀이의 핵심 아이디어가 된다.그러나 이 문제에서는 분할의 기

을 찾는 것이 쉽지 않으므로 학생들에게 체집합을 악하도록 한 뒤

학생들이 문제에서 분할을 악하지 못하면 아래와 같은 풀이를 제시하

고 풀이에서 그 구조를 찾아보도록 하 다.비록,분할하는 기 을 찾기

어려운 문제이지만,이 문제를 통해 집합의 분할 구조가 문제 풀이에서

구체 으로 어떻게 쓰이는지 악할 수 있으므로 선정하 다.

-37-

․ 다음 삼차부등식 을 풀어라.

) 개의 계단을 오르는 방법의 총 수를 이라 하자.첫 걸음에

한 칸을 오르면 나머지 개의 계단을 오르는 방법의 수는 ,

첫 걸음에 두 칸을 오르면 나머지 개의 계단을 오르는 방법의

수는 이다.따라서 (단,≥일 때)이다.

이므로

∴ 이다.

․ 다음 오차부등식 을 풀어라.

다음으로 1차 인터뷰에서는 1,2학년 학생 모두에게 아래와 같은 삼

차부등식 문제를 제시하 다.

이 문제를 제시함으로써 학생들이 새로운 문제를 해결할 때,문제에

내재된 집합의 분할 구조를 발견하고,이를 이용하여 문제를 해결할 수

있는지 알아보고자 하 다.삼차부등식을 풀이하는 것은 고등학교 1학년

교육과정과 고등학교 2학년 인문 계열 교육과정 밖의 내용이다.따라서

학생들이 이 에 다루어 보지 않은 문제이므로 학생들에게 제시할 새로

운 문제로 합한 문항이라고 단되었다.

1차 인터뷰 후 일주일 뒤 이루어진 추가 인터뷰에서 학생 2에게 아래

와 같은 오차부등식 문제를 제시하 다.오차부등식 문제는 삼차부등식

문제를 해결할 때와 유사한 방식으로 풀리는 문제이지만,삼차부등식 보

다는 풀이가 조 더 복잡한 문제이다.문제에 내재된 집합의 분할 구조

를 이용하는 것은 복잡한 문제를 해결할 때 더 유용하게 인식된다.따라

서 분할 구조를 이용하여 문제를 해결하는 것의 유용성을 느낄 수 있는

지 확인하기에 오차부등식 문제가 합한 문항이라 단되어 선정하

다.

-38-

․ 다음을 만족하는 부등식의 역을 나타내어라.

마지막으로 학생들이 집합의 분할 구조를 인식한 후 4주 뒤에 이루어

진 2차 인터뷰에서는 아래와 같은 부등식의 역 문제를 제시하 다.

이 문제는 풀이 과정에서 [그림 Ⅲ-1]처럼 원과 직선의 그래 를 그

려서 평면을 분할하는 문제이다.이 문제는 그림을 그려서 문제를 해결

하므로 집합의 분할 구조가 시각화되어 나타나지만,많은 학생들이 한

을 입하고 엇갈린 역을 색칠하는 알고리즘에 의해 해결하고 있다.

따라서 집합의 분할 구조를 인식한 후 4주가 지난 뒤,이 문제를 제시하

는 것은 학생들이 집합의 분할 구조 에서 생각할 수 있게 되었는지

알아보기에 합하며, 한 이 문제는 이 에 살펴보았던 문제들과는

체집합을 다르게 갖는 문제로,이 에 살펴본 문제들과 연결시켜 볼 수

있는지 확인하기에 합하다고 단되었다.

[그림 Ⅲ-1]부등식의 역 문제의 분할 구조

-39-

4. 자료 수집 및 분 방법

4.1 자료 수집 과

본 연구에서는 2012년 12월에 D고등학교에 재학 인 연구 참여 학

생 4명을 상으로 인터뷰를 통한 질 사례연구를 실시하 다.인터뷰

를 하는 과정에서 학생들의 문제 풀이를 찰하면서 연구자가 기입한

찰 노트,학생들의 문제 풀이,인터뷰 자료를 통하여 다양한 방법으로 자

료를 수집하 다.

인터뷰는 1차,2차 두 차례 진행하 고 필요에 의해 1차 인터뷰와 2

차 인터뷰 사이에 추가 인터뷰를 진행하 다.인터뷰는 방과 후 시간에

반 구조화된 개별 인터뷰 형태로 이루어졌으며,개인별 인터뷰 횟수는

학생 1은 2회,나머지 학생은 3회 진행하 다.인터뷰는 연구 참여자의

동의 아래 녹음되었고,분석을 해 모두 사하 다.연구 참여자 4명

3명은 연구자에게 수업을 듣거나 동아리 활동을 하면서 연구자와 친

감이 형성되어 있었다.인터뷰를 진행하는 동안 자연스럽고 자율 인

분 기가 형성되었으며 학생들은 자유롭게 자신의 의견을 말할 수 있었

다.

연구 참여 학생을 상으로 인터뷰를 하기에 앞서 조사 도구와 자료

수집 방법의 타당성을 확인하기 하여 비 인터뷰를 진행하 다. 비

인터뷰는 고등학교 2학년 학생인 학생 A를 상으로 이루어졌다.학생

A는 수학 성 이 최상 권인 학생으로 연구 참여 학생인 학생 1,2,3,4

와는 다른 학생이다.수학 성 이 최상 권 학생을 상으로 비 인터

뷰를 진행하 기 때문에 조사 도구를 모두 용할 수 있었고,학생들이

무엇을 알고 무엇을 모르는지 효율 으로 확인해볼 수 있었다.즉,학생

A가 모르는 내용은 다른 학생들도 모를 것이라고 단할 수 있었고,학

생 A가 어렵게 느끼는 것은 다른 학생들도 어렵게 느낀다고 단할 수

있었다. 비 인터뷰 과정에서 나타난 문제 은 다음과 같으며,본 인터

뷰에서는 이를 수정,보완하 다.

-40-

먼 , 스칼의 삼각형 공식 문제를 증명해보도록 하 다.학생 A는

우변의 식을 정리하여 좌변과 같아짐을 보임으로써 증명할 수 있었다.

이후 학생 A에게 집합의 분할을 알려 뒤, 체의 경우를 분할하는 것

을 이용하여 문제를 증명해 보도록 하 다.하지만 이를 증명의 아이디

어로 이용하지 못하 다.이를 통해 학생들 스스로 집합의 분할을 이용

하여 스칼의 삼각형 공식 문제를 증명하는 것은 무리임을 알 수 있었

다.따라서 본 인터뷰에서는 학생들에게 스칼의 삼각형 문제를 직

증명하도록 하지 않고, 체의 경우를 나 어 조합 으로 증명한 풀이를

제시하 다.그 이후에 학생들이 풀이를 읽고 집합의 분할 구조를 발견

해보도록 하 다.

다음으로 학생 A에게 삼차부등식 문제를 해결하도록 하 다.학생 A

는 삼차함수의 그래 를 그리고 이를 이용하여 삼차부등식 문제를 풀었

다.학생 A는 이미 ‘미 분과 통계 기본 교과’에서 삼차 함수를 학습하

기 때문에 삼차 부등식 문제를 삼차 함수의 그래 를 이용하여 해결하

다.그러나 그래 를 사용하지 않는 방식으로 삼차부등식 문제를 풀어보

도록 했을 때에는 문제를 해결할 수 없었다.이를 통해 그래 를 이용하

지 않고 삼차부등식 문제를 풀어보도록 하는 것은 학생들에게 새로운 상

황임을 알 수 있었다. 한,학생 A에게 집합의 분할 구조를 인식하게

한 이후에 이루어진 인터뷰에서 학생 A는 스스로 삼차부등식 문제에 집

합의 분할 구조가 내재되어 있음을 통찰할 수 없었다.최상 권인 학생

이 새로운 문제 상황에서 집합의 분할 구조를 스스로 인지할 수 없었기

때문에,연구 참여 학생들도 삼차부등식 문제에 집합의 분할 구조가 내

재되어 있음을 스스로 찾기 어려울 것으로 보 다.이를 바탕으로 본 인

터뷰에서는 삼차 부등식 문제에 집합의 분할 구조가 내재되어 있음을 먼

알려주고,문제에 내재된 집합의 분할 구조를 악할 수 있도록 연구

자가 히 개입하여 발문 하는 것이 필요함을 알 수 있었다.

비 인터뷰 이후 이루어진 본 인터뷰 과정은 다음과 같다.

-41-

집합 (≠∅)의 분할 는 의 부분집합들의 모임으로

{ ∈}이며, ∈일 때 ≠∅, ≠일 때 ∩ ∅,

∈

를 만족하는 것이다.

4.1.1 집합 분할 구조 지도

․ 1학년 학생들에게 댓값을 포함하는 부등식 문제를 풀어보게 한

뒤,문제해결 과정에서 경우를 나 것을 집합과 련지어 설명해보게

한다.

․ 2학년 학생들에게 스칼의 삼각형 공식을 조합 으로 증명한 증

명 과정을 제시하고,학생들이 이를 읽고 집합과 련지어 설명해보게

한다.

․1,2학년 학생들에게 집합의 분할을 설명한다.

-집합 의 분할은 집합 를 공집합이 아닌 서로소인 부분집합들

로 ‘쪼개어’놓은 것이며,더욱 정확하게,집합 의 분할은 서로소이

고,공집합이 아니며,합집합이 인,의 부분집합의 모임임을 알려

다.

-집합의 분할을 아래와 같은 수식과 [그림 Ⅲ-2]와 같은 다이어그

램을 제시하여 학생들이 집합의 분할 구조를 보다 명확하게 인식하

고 구체화 할 수 있도록 하 다.

[그림 Ⅲ-2]집합의 분할 구조

․ 특정한 문제에서 집합의 분할 구조를 생각해보도록 한다.

전체집합 S

-42-

- 체집합을 분할한 것으로 문제를 볼 수 있는지 발문한다. 한

문제에서 체 상은 무엇인지,그것을 분할한 부분집합은 무엇인

지,분할의 기 이 무엇인지 발문한다.이 게 발문함으로써 학생들

이 집합의 분할 구조를 악할 수 있도록 한다.

․ 2학년 학생들에게 경우의 수 문제를 한 문제 더 제시하고 집합의

분할 구조를 인식하고 있는지 확인해본다.제시한 문제를 분할 구조를

이용하여 풀어보도록 하고 이 때,그 구조를 이용하여 문제를 해결하지

못했을 경우 연구자가 개입하여 조력자로서의 역할을 한다.

․1학년 학생들이 댓값을 포함하는 부등식 문제에서 체집합이 실

수 체의 집합임을 알고,이를 수직선상에 나타낼 수 있도록 유도한다.

아래와 같은 [그림 Ⅲ-3]을 제시하고, 체집합에 따라 그에 합한 다

이어그램으로 표 할 수 있음을 알 수 있도록 한다.

[그림 Ⅲ-3]수직선에서의 집합의 분할 구조

4.1.2 1차 인 뷰

․ 삼차부등식 문제를 제시하고 집합의 분할 구조를 이용하여 문제를

풀도록 한다.

․ 학생 스스로 문제를 해결하기 어려워하면, 한 발문을 통해

체집합을 생각하고,문제에 합한 다이어그램을 그려서 분할을 나타낼

수 있도록 한다.

-43-

4.1.3 추가 인 뷰

․ 학생 2에게 오차부등식 문제를 제시하고,어떤 방식으로 문제를

해결하는지 살펴 으로써 문제에 내재된 분할 구조를 이용하는 것의 유

용성을 깨달을 수 있는지 확인한다.

․ 학생 3,4에게 댓값을 포함하는 부등식 문제를 제시하고 문제에

서 집합의 분할 구조를 악할 수 있는지 확인한다.

4.1.4 2차 인 뷰

․ 부등식의 역 문제를 제시하고,집합의 분할 구조 에서 문제

를 이해하는지 확인한다.

․ 여러 수학 문제에 집합의 분할 구조가 내재되어 있고,서로 다른

문제들이 집합의 분할이라는 하나의 구심 아이디어로 해결된다는 것을

인식했을 때,학생들이 통합 으로 사고할 수 있는 안목을 갖게 되는지

확인한다.

․이 에 살펴본 다른 문제들과 수학 연결성을 가지고 문제를 볼

수 있는지 인터뷰 한다.

4.2 자료 분 방법

본 연구의 자료는 학생의 문제 풀이 과정을 지켜보며 연구자가 메모

한 노트,학생 활동지,음성 일로 두 차례에 걸쳐 분석이 이루어졌다.

먼 ,인터뷰 녹음 내용 사본을 여러 번 읽으며 학생들이 집합의 분할

구조를 인식하는 상태에 한 반 인 이해를 추구하 다.이 과정에서

는 학생들의 인터뷰 내용을 바탕으로 학생들이 어떠한 상태에 있는지를

-44-

이해하고 떠오르는 범주를 얻고자 노력하 다.

두 번째 단계에서는 처음 단계의 분석을 통해 얻은 범주들로 인터뷰

사 자료를 조직하는 코딩 작업을 진행하 다. 한 일주일이 지난 뒤

다시 코딩을 하여 처음 코딩한 자료와 일치하는지 조해보고 분석의 자

료로 삼았다.각 범주들 사이의 계를 고려하여 연구 참여 학생들의 인

식에 한 해석을 도출할 수 있었다.

4.3 타당도 신뢰도

연구에 있어서 연구 문제를 검증한 방법이 얼마나 타당하고 믿을만한

것인지 확인하는 과정은 요한 요소이므로 연구의 타당도와 신뢰도를

검증하는 차가 필수 이다(Stake,1995;Yin,2003).이에 본 연구의 자

료 수집과 분석 과정에서 타당도와 신뢰도를 높이고자 다양한 략을 사

용하 다.

첫째,다양한 자료 수집을 통하여 내 타당도를 높이고자 하 다.서

로 다른 자료를 상호 보완 으로 사용하여 자료의 질 인 해석을 가능하

게 하 다.연구자와 연구 참여자는 신뢰감과 친 감이 형성되어 있는

상태 기 때문에 질 인 자료의 수집에 도움이 되었다.

둘째,연구 참여자 검토 방법을 사용하 다.연구 참여자 검토는 “자

료와 그것의 일차 인 해석을 자료로 이끌어내고 면담한 연구 참여자들

과 타당성을 논의하는 것(Merriam,1998,p.204)”으로서 본 연구에서는

연구 참여자를 분석에 참여시켜 연구자의 해석을 같이 검토하고 확인하

다.

셋째,동료 연구자 검토(peerfeedback)방법을 사용하 다.동료 연구

자 검토는 결과가 나타날 때 그 결과에 하여 다른 동료 연구자들에게

의견을 구하는 방식으로 이루어졌다.동료 연구자들에게 조언을 구하고

그 결과를 반 하 다.이를 통하여 연구자의 주 해석에 의한 오류

를 바로 잡을 수 있었다.

-45-

[그림 Ⅳ-1] 학생 1 집합 할

조 지도 시 제시한 문제 조

[그림Ⅳ-2] 학생 2가 집합

할 조 지도 시 제시한 문제

조

Ⅳ. 연구결과

1. 집합 분할 구조 지도

1.1 학생 1과 2 지도 과

댓값을 포함하는 부등식 문제를 제시하고 학생들이 이 문제에서 집

합의 분할을 인식할 수 있도록 지도하 다.먼 문제를 풀고 집합과

련지어 문제의 구조를 설명해보도록 하 다.학생들은 값의 범 에 따

라 경우를 나 어 문제를 해결하 고,두 학생 모두 경우를 나 상이

실수 체임을 인식할 수 있었다.그러나 경우 나 것을 집합과 련

지어 보도록 했을 때,학생 1과 2는 체집합을 분할한 구조를 나타내지

못하 다.다음은 학생 1과 2가 문제의 구조를 표 한 다이어그램이다.

학생 1은 풀이과정에서 나 각 경우를 부분집합으로 나타내지 못하

고,학생 2는 각 경우를 부분집합으로 나타내었지만, 체집합을 표

하지 못하 다.이를 통해 학생들은 문제 상황을 집합을 이용하여 표

해 본 이 없고, 체집합을 분할한 구조를 악하지 못하고 있음을 알

수 있다.특히,학생 2는 체집합을 표 하지 못한 것으로부터 체를

생각하는 사고가 결여되어 있음을 알 수 있다.

-46-

학생들의 재 상태를 검한 이후,연구자는 댓값을 포함하는 부

등식 문제를 통해 학생들이 집합의 분할을 인식할 수 있도록 지도하

다.지도과정에서 학생들이 체집합을 생각할 수 있도록 연구자는 체

집합이 무엇인지, 체집합을 악한 이후에는 체집합을 몇 개의 부분

집합으로 나 었는지 발문하 다.

연구자:문제에서 경우를 나 어서 문제를 풀었잖아.이제 경우 나 것을

집합으로 생각을 해볼 거야.그러면 나 어진 체 상이 무엇이지?우리가

무엇을 나 거지?

학생 1:?

연구자:?

학생 1:네

연구자:우리가 라고 말하는 것의 체 범 는 무엇이지?

학생 1:의 범 ?응........(잠시 머뭇거리다가)그니까 실수?

연구자:그래.그것을 집합으로 생각해보자. 체집합은 뭐가 될까?

학생 1:실수

연구자:그래. 체 집합은 실수의 집합이야.우리가 실수 체의 집합을 쪼

개어 본거지?

학생 1:음.......네.

연구자:몇 개로 쪼갠 거지?

학생 1:세 등분?

학생들은 문제를 해결하기 해 를 나 었고,의 값이 될 수 있는

범 가 실수 체임을 곧 악할 수 있었다.그러나 학생들의 표정과 어

투를 통해 체집합을 생각해 본 경험이 별로 없었다는 것을 알 수 있

다.

학생들이 체를 분할한 이미지를 확실히 볼 수 있도록 체 집합을

그리고 이를 세로선으로 자른 다이어그램을 제시하 다.이후,다이어그

램의 각 부분집합에 집합 기호를 이용하여 분할의 조건을 고 댓값을

포함하는 부등식 문제와 집합의 분할을 연 지어 설명하 다.이 때 제

시한 다이어그램은 [그림 Ⅳ-3]과 같다.

-47-

[그림 Ⅳ-3] 절 값 포함하는 문제에 집합 할

한 집합을 분할한 구조는 체집합에 따라 다른 모습의 다이어그램

으로 나타낼 수 있고,실수처럼 순서가 있는 상은 수직선을 그려서 그

개념이미지를 나타낼 수 있음을 [그림 Ⅲ-3]과 같은 다이어그램을 통해

지도하 다.

연구자:우리 보통 실수 체를 어디에 나타내지?

학생 1:음…….수직선?

연구자:그래.수직선 에 실수를 나타낼 수 있지?우리 이 체집합을 쪼

갠 것을 수직선 에서 보자.([그림 Ⅲ-3]을 그린다)

학생 1:와!(감탄한다)

마지막으로,집합의 분할은 제 집합을 겹치지 않게 나 다는 것을

확실히 인지할 수 있도록 수식을 이용해 수학 으로 설명해주었다.

문제를 풀기 해 경우를 나 것이 실수 체의 집합을 분할한 것과

같다는 것을 알려주자 학생 1은 감탄하며 고개를 끄덕 다.반면,학생 2

는 설명을 듣는 동안 학생 1과는 조 으로 감탄을 하거나 놀라지 않

고,“네”라고 짧게 답하 다.이는 두 학생이 반응하는 성향의 차이일

뿐,이해도의 차이를 나타내는 것이 아님을 학생들의 평소 수업 태도로

부터 유추할 수 있었다.그리고 인터뷰를 통해 두 학생 모두 이 에는

집합을 분할하는 시각에서 이 문제를 생각해본 이 없었다는 것을 알

수 있었다.

-48-

[그림 Ⅳ-4] 학생 3 집합

할 조 지도 시 제시한 문제

조

[그림 Ⅳ-5] 학생 4가

할 조 지도 시 제시한

문제 조

1.2 학생 3과 4 지도 과

경우의 수 문제를 제시하고 이 문제에서 집합의 분할 구조를 발견할

수 있도록 지도하 다. 스칼의 삼각형 공식 문제를 조합 으로 증명한

풀이를 주고 집합과 련지어 이야기해보도록 했을 때,학생 3은 체

집합을 둘로 나 어 집합을 분할한 구조를 찾았다.학생 4도 여집합을

이용해 체 집합을 분할한 구조를 찾을 수 있었다.다음은 학생 3과 4

가 스칼의 삼각형 문제의 구조를 나타낸 다이어그램이다.

이후 학생들이 집합의 분할을 인식할 수 있도록 하기 한 연구자의

지도가 이어졌다.학생들에게 집합의 분할 구조를 설명하는 과정은 댓

값 문제에서와 유사하게 이루어졌다.먼 학생들이 그린 다이어그램을

바탕으로 체집합을 겹치지 않게 ‘쪼개는’구조를 집합을 분할한다고 설

명하 다.이후에 댓값 문제에서 분할 구조를 지도할 때 그렸던 [그림

Ⅳ-3]을 그리고 학생들에게 집합의 분할 구조를 다시 한 번 각인시켜 주

었다.단,세기 문제에서 집합의 분할 구조를 근하는 것이므로,[그림

Ⅲ-3]과 같은 수직선 다이어그램은 제시하지 않았다. 한 수식으로 집

합의 분할을 나타냄으로써 논리 인 기호를 이용해 학생들이 집합의 분

할을 인식할 수 있도록 하 다.

학생들이 집합의 분할 구조를 악하고 있는지 확인하기 해,같은

구조가 내재되어 있는 다른 세기 문제인 ‘계단 문제’에서 이와 같은 구조

-49-

를 찾을 수 있는지 살펴보았다.계단 문제를 풀 때 학생 3은 체집합을

찾고,기 을 세워서 체집합을 부분집합으로 분할하 다.학생 3은 집

합을 이용하여 생각하는 것이 익숙하지 않았기 때문에 체집합,부분집

합과 같은 용어를 사용하기 보다는 ‘경우’라는 단어를 사용하여 부분집합

의 아이디어를 나타내었다.이 때,연구자는 ‘집합’이라는 용어를 사용하

여 학생의 단어를 교정해 으로써 학생이 이를 수정하고,집합을 떠올릴

수 있도록 하 다.다음은 그 인터뷰 내용이다.

연구자: 체가 무엇일지 생각해보자.

학생 3: 체는요.8칸의 계단을 오르는 방법이에요.

연구자:그래.그럼 무엇이 체 집합이지?

학생 3:8칸의 계단을 오르는 방법이 체집합이에요.여기서 지 집합

라고 생각을 한 게…….한 칸 아니면 두 칸씩 오른다고 생각을 했으니까요.

한 칸씩만 오르는 게 있을 거고.두 칸씩만 오르는 경우가 있을 거고.아니

면 둘 다 포함해서 오르는 경우가 있잖아요.그 걸 다 합해주면 되지 않을까

요?

연구자:집합을 이용해서 이야기하면?

학생 3:한 칸씩만 오르는 집합,두 칸씩만 오르는 집합,아니면 둘 다 포함

해서 오르는 집합이 있을 수 있어요.

연구자: 체를 그 게 나 수 있니?

학생 3:네.아니면 한 칸을 두 번 올라가는 집합,네 번 올라가는 집합,이

런 식으로 나 어 볼 수도 있어요.

학생 4는 ‘계단 문제’를 풀면서 체집합을 인지하 지만 이를 부분집

합으로 분할하는 기 을 찾는데 어려움을 보 다.다음은 이에 한 인

터뷰 내용이다.

학생 4:그 경우를 어떻게 따져야할지 감이 안와요.

연구자: 체집합은 뭐지?

학생 4:여덟 칸의 계단을 오르는 방법

연구자:그걸 어떻게 분할할 수 있을까?

학생 4:어떤 한 계단을 올라갔을 때…….한 칸을 올라갈 때랑 두 칸을 올

-50-

라갈 때로 나 어줘요.(한 칸씩 오르는 경우,두 칸씩 오르는 경우라고

는다.)

(1분 정도 고민한 뒤)모르겠어요.한 칸씩 올라가다가 두 칸씩 올라갈 수도

있는 거고.딱히 정해진 게 아닌 것 같아서…….

경우의 수가 무 다양하게 나오는 것 같아서 잘 모르겠어요.

집합의 분할 구조가 내재되어 있고,이를 이용해 문제를 풀어야 한다

는 것을 알고 있다고 하더라도 분할의 기 을 세우기 해서는 풍부한

수학 인 경험과 수학 감각이 필요하다.따라서 분할의 기 ,특히 효

율 인 기 을 세우는 것은 학생들에게 쉽지 않은 과정이다.학생 3은

‘계단 문제’에서 체집합을 분할한 구조를 찾을 수 있었지만,효율 인

분할을 하지 못하 다.학생 4는 분할의 기 을 찾지 못하 고,따라서

집합의 분할 구조를 스스로 발견할 수 없었다.그러나 체집합을 분할

하여 화식으로 푼 풀이를 보여주었더니, 체집합과 부분집합을 찾아

정확하게 답하 다.이를 통해 학생 4도 집합의 분할 구조를 확실히 인

식하고 있음을 알 수 있었다.

2. 1차 인 뷰 결과 분 및 논

집합의 분할이라는 추상 인 구조를 학생들에게 제시하고,이를 바탕

으로 새로운 문제인 삼차부등식 문제를 풀어보도록 하 다.학생 1은 집

합의 분할 구조를 이용하여 삼차부등식 문제를 해결할 수 있었다.

다음은 삼차부등식 문제를 학생 1에게 제시했을 때,학생이 보인 반

응과 그 풀이 과정이다.

연구자:이 에 이런 문제 풀어본 있니?

학생 1:아니요

연구자:방 살펴본 집합의 분할 구조를 이용해서 문제를 풀어보자.

학생 1:(30 정도 고민함)어!(놀라며)나눠야겠죠?

-51-

[그림 Ⅳ-6] 학생 1 1차 뷰에 제시한 과정

삼차부등식 문제를 풀어보도록 했을 때,학생 1은 잠시 고민하다가

무언가를 발견했다는 듯이 놀라면서 “나 어야겠죠.”라고 말한 뒤,수직

선을 그리고 이를 분할하 다.학생 1은 실수 체를 ,,를 기 으

로 네 개의 구간으로 나 고,각 구간에서 부등식의 일차항 인수의 부호

가 양이 되는지를 단하여 범 를 구하 다.이처럼 실수 체를 동치

류로 쪼개어 보게 되면,실수 체에 해 부등식을 만족하는 범 를 생

각해 볼 수 있어 부등식을 푸는데 유용하게 사용될 수 있다.그러나 이

에 다루어보지 못한 문제에서 집합의 분할을 찾기 해서는 분할 과정

을 상화(encapsulation)하여 구조로 인식하고,문제에서 그 구조를 통

찰할 수 있어야 한다.Harel(1985)에 의하면, 상화 하는 것은 개념

실체의 형성 과정으로 볼 수 있고,개념 실체의 구성은 수학 지식의

‘수직 ’인 성장을 야기한다.따라서 집합의 분할을 구조로 인식하는 것

은 사고의 비약이 요구되는 고등 수학 인 사고 과정으로 이는 일반 인

고등학생들에게 매우 어려운 과정이다.연구 참여자로 선발한 학생들은

수학 이해력이 뛰어난 학생들이었고,그 학생 1은 수학 인 감각과

직 능력을 두루 갖추고 있는 우수한 학생이었기 때문에 삼차부등식 문

제에서 분할 구조를 발견하는 것이 가능하 다.학생 1은 분할의 을

이용하여 스스로 삼차부등식 문제를 해결할 수 있었다.이를 통해,분할

을 주는 것은,수학 인 능력이 뛰어난 일부의 학생이 그 구조가 내

재된 새로운 문제를 푸는데 도움을 수 있다는 것을 알 수 있다.그러

-52-

나 학생 1은 부등식을 만족하는 구간을 악한 뒤에도 습 으로 구간

의 왼쪽에 등호를 붙여 ≤ or≥와 같이 은 뒤,정확한 범

를 구하는 과정에서 어려움을 보 다.이와 같이 분할을 통해 문제 해

결의 실마리를 얻은 이후에도,등호를 고려하여 분할의 결과를 서술하는

것은 학생들에게 쉽지 않다는 것을 알 수 있다.

학생 1을 제외한 나머지 학생들은 삼차부등식 문제에서 집합의 분할

구조를 스스로 발견할 수 없었다.이를 통해 학생 2,3,4는 높은 차원에

서 분할 구조를 인식하는 사고의 비약이 일어나지 않았음을 알 수 있다.

한,추상 인 구조를 인식했다고 하더라도 그 구조를 개별 인 문제

상황에 용하는 것은 그 의미를 구체 상황으로 이시켜야 하는 어려

운 사고과정이다.게다가 풀이과정을 모르는 새로운 문제 상황으로 그

구조를 이 시키는 것은 학생들에게 쉽지 않은 과정임을 확인할 수 있

다.

높은 수 에서 집합의 분할 구조를 악하여 서로 다른 문제에서 그

구조를 인식하는 것이 어려운 사고과정인 것뿐만 아니라,하나의 개별

인 문제 상황에서 집합을 분할하는 것도 학생들에게 쉽지 않은 과정이

다.이는 연구자의 안내로 삼차부등식 문제에 내재된 분할 구조를 인식

한 후 학생 4와 나 인터뷰 내용에 잘 드러난다.학생 4는 문제 상황에

서 체집합을 찾고,그것을 분할하는 기 을 찾는 것은 쉽지 않으며,이

것들을 찾는 연습이 필요하다고 하 다.다음은 이에 한 인터뷰 내용

이다.

학생 4:그런데 이거는 연습이 필요한 것 같아요.하루아침에 갑자기 이

게 하라고 하면 잘 못할 것 같아요.

연구자:이 게 하는 거?

학생 4:분할하는 거.이게 훨씬 쉽긴 쉬운데

연구자:훨씬 쉬워?

학생 4:네.문제 풀 때 쉽게 풀게 해주는 것 같은데 이 문제에서 구하고자

하는 체가 무엇이고 어떻게 나 어야 할지를 바로 알 수 없는 것 같아요.

더 보고 찾아야 할 것 같아요.제가 찾는 연습을 해야 할 것 같아요.

-53-

[그림 Ⅳ-7] 학생 2가 1차 뷰에 제시한 과정

삼차부등식 문제를 풀어보도록 했을 때,학생 3과 4는 삼차함수의 그

래 를 이용하여 문제를 해결하려고 하 다.학생들은 수직선을 그리고

그 에 ,,를 표시한 뒤 그래 를 그렸다.연구자는 그래 를

이용하지 않고 집합의 분할을 이용하여 문제를 해결해보도록 하 고,학

생들이 그 뜻을 분명히 이해할 수 있도록 다음과 같이 발문하 다.

연구자:아까 우리가 체집합을 찾고 그것을 나 어서 경우의 수 문제들을

풀어 봤잖아.이번에는 이 문제를 체집합을 분할하는 아이디어를 가지고

풀어보자.문제에서 체집합을 먼 찾아보고,그 다음에 그것을 한번 어떤

기 에 의해 나 어볼까?

그러나 학생들은 실수 체의 집합을 분할하는 에서 문제를 보지

못하고,각 일차항 인수의 부호를 따져서 문제를 풀어보려고 하 다.학

생 3과 4는 각 일차항 인수의 부호가 양,음이 되는 경우를 나열하다가

고려해야 할 경우가 많아지자 문제를 끝까지 해결하지 못하 다.이후에

연구자가 집합의 분할 구조를 생각해 보도록 다시 발문하자,학생들은

생각을 환하고,문제에서 집합의 분할 구조를 서서히 인식하 다.

학생 2도 각 일차항 인수의 부호를 따져서 문제를 해결하고자 하 다.

그러나 학생 2의 경우에는 이 풀이 방법으로 삼차부등식 문제를 해결할

수 있었다.다음은 학생 2의 풀이이다.

-54-

연구자는 학생 2가 문제를 풀 때 체집합과 부분집합을 생각해 보도

록 조언했지만,학생 2는 처음에 풀기 해 생각했던 풀이를 고집하고

그 방법으로 문제를 해결하 다.연구자는 학생 2가 집합의 분할 구조를

인식할 수 있도록 댓값을 포함하는 부등식 문제를 통해 다시 한 번 그

구조를 설명하 다.그 후 학생 2는 실수 집합을 분할하는 방식으로 스

스로 삼차부등식 문제를 해결할 수 있었다.다음은 학생 2와 나 인터

뷰 내용이다.

연구자:이 게 풀어보니까 어때?

학생 2:이걸( 댓값이 들어간 부등식 문제)풀고 나서 선생님이 두 번째

것을 풀어보라고 하셨을 때는 어떻게 풀지?했어요.그러니까 이거( 댓값이

들어간 문제)랑 좀 많이 달라가지고 어떻게 나눠야할지 몰랐는데..그래서

그때는 그냥 부호로 풀었는데…….

다시 보니까 이런 방법도 있구나 했어요.

( 략)

학생 2:여기( 댓값 문제)는 러스로 되어 있고 여기(삼차부등식 문제)는

곱셈으로 되어 있어서 이거( 댓값이 들어간 문제)는 댓값만 풀어내면 그

만인데 여기(삼차부등식 문제)는 다르다고 생각한 것 같아요.

학생 2는 집합의 분할 구조를 인식했던 문제와 다른 주제의 문제에서

분할 구조를 발견할 수 없었다.이를 통해 문제에 내재된 집합의 분할

구조를 악하는 것,특히 처음 보는 문제 상황에서 그 구조를 발견하는

것은 쉽지 않다는 것을 알 수 있다.학생 2는 분할 구조를 이용하여 문

제를 해결하는 신 자신이 알고 있던 풀이 방법을 확장하고 이를 용

하여 문제를 해결하 다.연구자가 분할 구조를 생각해보도록 발문하

지만,새로운 방법으로 사고하려고 하기보다는 기존의 사고를 그 로 유

지,확장하고자 하는 성향을 강하게 보 다.이는 선행학습이 후행 학습

을 방해하는 것으로 순행간섭(ProactiveInterhibition)으로 해석될 수 있

다.학생 2는 평소 성실한 학생으로 사 지식이 견고하게 형성되어 있어

순행간섭이 나타났다고 볼 수 있다.학생 2는 기존의 알고리즘에 젖어

-55-

있었기 때문에 유연하게 사고할 수 없었고,삼차부등식 문제를 다른

에서 보도록 하기 해서는 연구자의 보다 극 인 안내가 필요하

다.

연구자의 도움으로 학생 2는 집합의 분할 구조를 이용하여 삼차부등

식 문제를 해결할 수 있었지만,이를 통해 학생 2가 높은 수 에서 분할

구조를 악하고 있다고 단정 지을 수는 없다. 댓값을 포함하는 부등

식 문제와 삼차부등식 문제는 체집합이 실수의 집합으로 동일하고,

체집합을 효율 으로 분할하는 기 이 유사하다.뿐만 아니라 문제 상황

에서 분할 구조를 구체화하기 해 사용했던 수직선 다이어그램이 삼차

부등식 문제를 해결할 때에도 그 로 용될 수 있다.따라서 연구자의

극 인 개입 이후,학생 2가 분할 구조를 이용하여 문제를 해결한 것

은 그 구조를 통찰한 것이라기보다는 문제 상황의 유사성을 발견하고,

분할 알고리즘을 용한 것으로 볼 수 있다.집합의 분할 구조를 악하

더라도 그것의 의미를 제 로 악하고 있는가하는 것은 다른 문제로

볼 수 있다.

학생 2는 집합의 분할을 이용하여 삼차부등식 문제를 풀어본 이후에

도 이 에 학습했던 일차항 인수의 부호를 이용한 풀이를 선호하 다.

다음은 이에 한 학생 2의 인터뷰 내용이다.

학생 2:음…….이 문제만 가지고 서는 어떤 것으로 풀어야할지 어떤 것

이 더 요한지 잘 모르겠어요.그니까 이 범 를 나 어서 푸는 풀이하고

제가 먼 풀었던 부호를 따지는 풀이하고 이 문제만 서는 잘 모르겠어요.

혹시 더 어려운 문제가 있어서 그걸 풀었을 때 이것을 이용한다면 그때는

이런 풀이를 사용하는데…….

학생 2는 집합의 분할 구조를 이용하는 것을 기존의 풀이보다 유용하

게 인식하지 못하고 있었다.이를 통해 학생 스스로 분할 구조를 이용하

는 것의 유용성을 깨닫게 할 수 있는지 확인해보기 한 추가 인 인터

뷰가 필요함을 알 수 있다.

-56-

[그림 Ⅳ-8]학생 3 제

시한 전체집합

[그림 Ⅳ-9]학생 4가 제시

한 전체집합

학생 3과 4는 집합의 분할을 이용해 삼차부등식 문제를 풀어보도록

했을 때,그 구조를 이용하여 문제를 해결하지 못하 다.이에 연구자는

학생들이 문제에 내재된 집합의 분할 구조를 악할 수 있도록 먼

체 집합이 무엇인지 생각해보도록 하 다.학생들은 분할의 체 상이

실수임을 비교 쉽게 악할 수 있었다.다음은 이에 한 학생 3과의

인터뷰 내용이다.

연구자:여기서 체 상은 뭐지?

학생 3:요.

연구자:는 뭐지?

학생 3:실수요.

구체화를 하는 것은 추상 인 집합의 분할 구조를 인식하는데 도움이

되므로(Diezmann,2005)학생들이 구체화하여 분할 구조를 인식하도록

체 집합인 실수의 집합을 그림으로 나타내 보게 하 다.다음은 학생

3과 4가 그린 다이어그램이다.

학생 3과 4는 체 집합을 나타내는 그림으로 둥근 다이어그램을 그

렸다.Zhang& Norman(1994)이 지 하 듯이 외 인 표 은 인지 활

동을 안내하고 제한하는 역할을 하므로,학생들은 다이어그램을 그리고

자신이 그린 다이어그램에 한정하여 사고를 하게 된다.학생 3과 4는 실

수의 순서성을 반 하지 못한 둥근 다이어그램을 그림으로써 문제를 해

결할 수 있는 핵심 인 아이디어를 얻을 수 없었다.

-57-

[그림 Ⅳ-10] 학생 4가 제시한 수직

다 어그램

학생 3은 체 집합이 실수의 집합임을 악한 이후에도 각 일차항

인수의 부호를 따져서 경우를 나 어 보려고 시도하 다.학생 4도 체

집합을 실수로 생각한 이후에 분할 구조를 악하지 못하고,삼차식을

개하여 문제를 풀어보려고 하 다.이에 연구자는 학생 3,4가 방향을

잡고,문제에서 집합의 분할 구조를 악할 수 있도록 수직선을 그려보

도록 하 다.

연구자가 수직선을 그리도록 안내하자 학생들은 문제 해결의 아이디

어를 얻고,실수 집합을 네 개의 구간으로 분할하여 문제를 해결할 수

있었다.학생 3과 4는 미 분과 통계기본 교과에서 삼차함수를 학습하

고 그 과정에서 삼차함수의 그래 를 그려본 경험이 있다. 한 삼차부

등식 문제를 제시했을 때,처음에 수직선을 그리고 그 그래 를 그려보

려고 시도하 다.이로서 학생들은 수직선을 그리고 난 뒤 축을 분할하

는 삼차함수의 그래 를 개념이미지로 떠올렸으며,이것이 분할 구조를

구체화하는데 도움을 주었다는 것을 알 수 있다.다음은 이에 한 학생

4의 인터뷰 내용과 학생이 문제를 해결하는 과정에서 그린 수직선 다이

어그램이다.

연구자:그림으로 그릴 때 우리 보통 실수를 어디에 표시하지?

학생 4:수직선이요.

연구자:그럼 수직선을 그려서 생각해볼까?

학생 4:(수직선을 그린다)

연구자:그러면 이 그림에서 체집합은 뭐지?

학생 4:실수요.아!수직선 체!

연구자:그러면 체 집합을 부분집합으로 쪼개보자.

(학생 4는 1분 정도 고민을 한 뒤,수직선상에 ,,를 그리고 각 구간

을 나 다.)

-58-

학생 3과 4는 연구자의 도움을 바탕으로 집합의 분할을 이용하여 삼

차부등식 문제를 해결할 수 있었다.그러나 이 에 집합의 분할을 인식

했던 문제와 체집합이 다른 문제 상황에서 그 구조를 인식하는 것은

쉽지 않다는 것을 학생 3과의 인터뷰를 통해 알 수 있다.학생 3은 경우

의 수 문제에서 인식한 집합의 분할과 삼차부등식 문제에서 인식한 집합

의 분할을 비슷하지만 같다고 말하기는 힘들다고 표 하 다.다음은 이

에 한 인터뷰 내용이다.

학생 3:그거랑 상당히 비슷한 것 같은데?

연구자:어떤 거랑?

학생 3:쪼개는 거랑(삼차부등식 문제에서 집합의 분할).아까 그 쪼개는 거

랑(경우의 수 문제에서의 집합의 분할).그런데 같다고는 말하기 힘든 것 같

아요.

연구자:어떤 이 다른데?

　 학생 3:처음에 쪼갠다는 것은 경우의 수를 어떤 한 조건을 놓고 아니다 맞

다라고 쪼갰잖아요.그런데 이것 같은 경우는 2가 아니고 2가 맞다 보다는 2

보다 크다 2보다 작다 그런 개념이니까 이게 수를...뭐라고 해야 되지?경우

를 쪼개는거 하고 이 수 체를 범 를 나 다라고 악했어요. 는 쪼갠

다기보다는.......어떻게 보면 쪼갠다고 표 할 수도 있겠지만 느끼기에는 약간

의 차이가 있는 것 같아요.

음...이건 부등식과 경우의 수의 차이라고 생각해요.

분할을 인식한 문제와 체집합을 다르게 갖는 문제에서 학생들은

체집합을 악하고,문제 상황에 맞게 분할되어진 그림을 그림으로써 문

제에 내재된 집합의 분할 구조를 찾을 수 있었다. 이를 통해

Skemp(1986)가 언 하 듯이,시각 으로 표 하는 것이 문제의 통합

인 구조를 볼 수 있게 해 다는 것을 확인할 수 있다.

그러나 학생들은 문제 상황에 따라 문제에 한 집합의 분할 구조

를 스스로 나타낼 수 없었다.이는 Novick(1988)이 문제 상황에서 다이

어그램을 사용하는 것은 유사한 구조를 보는 학생들의 능력에 달려 있으

며, 보 문제 해결자들은 문제의 표면 인 특징에 주목하는 경향이 있

-59-

기 때문에,표면 으로 달라 보이는 문제들 간의 구조 유사성을 악

하는데 어려움을 겪는다고 한 것과 일치한다.뿐만 아니라 학생들은 집

합의 분할 구조에 해 문제 상황에 따라 다양한 개념이미지가 존재한다

는 것을 인식하기 어려워하 다.다음은 이에 한 학생 3의 인터뷰 내

용이다.

학생3: 희가 처음 이미지를 그릴 때 이 게 크게 해서 벤다이어그램을 그

리고 이것을 쭉쭉 나눠서 이걸로 이미지를 그렸잖아요.그런데 그걸 갑자기

수직선에 용하려니까 이 그 큰 둥그 고 큰 이미지가 있다가 갑자기 수직

인 이미지가 오니까 이거를 체 부분을 이 게 나 다고 조 떠올리기

가 힘들었던 것 같아요.

한 인터뷰를 통해 분할의 기 을 찾는 것이 쉽지 않았다는 것을 알

수 있다.학생 4는 분류를 어떻게 해야 할지 생각을 할 수 없었다고 표

함으로써 새로운 문제에서 동치류를 보는 것이 쉽지 않으며,분할의

에서 생각하기 어려웠다는 것을 알 수 있다.학생 3은 체집합을

먼 생각한 이후 이를 분할하는 한 기 을 찾지 못하고,식 자체에

집 하여 부등식의 값이 양수가 되는 경우를 따져보려고 하 다.다음은

이에 한 인터뷰 내용이다.

<학생 4와의 인터뷰>

연구자:처음에 어떻게 근해야 하는 것 같아?

학생 4: 체를 보고 분류를 해가지고..분류하는 걸 못 찾겠어요.분류만 하

면 다 끝나는 일인데..

연구자:여기서는 무엇을 기 으로 분류했니?

학생 4:가 그러니까 이 식이 이 되는 지 을 찾아가지고 구간을 나눴어

요.

연구자:구간 나 는 것은 어려웠니?

학생 4:음...어려웠다기보다 생각을 아 못했어요.

-60-

<학생 3과의 인터뷰>

학생 3:이거를 부분으로 쪼개서요?지 체는 이 식을 만족하는 이구

요..그니까 실수. 걸 만족하려면....어떻게 나 죠?

( 략)

학생 3:이 게 쪼개면 좋을 것 같아요.

연구자:어떻게?

학생 3:어.여러 개로 쪼개지긴 하는데...

이게 보다 크려면 이 앞에 곱해진게 보다 크고( ) 얘도

보다 크고( )그리고 얘가 0보다 크고( )얘가 보다 크고

( )아니면 둘 다 보다 작고( , 는

, 등등)......아 무 많은데..

이후,연구자는 학생 3이 실수 체의 집합을 생각해보도록 조언하

다.그러자 학생 3은 비교 쉽게 효율 인 분할의 기 을 악할 수 있

었다.이를 통해,문제 상황에서 체집합을 악하도록 하는 것이 학생

들이 분할을 생각하고 그 기 을 떠올리는데 도움이 된다는 것을 알 수

있다.다음은 이에 한 인터뷰 내용이다.

연구자: 체 집합은 잖아.는 무엇이었지?

학생 3:실수요.

연구자:그 체집합을 부분집합으로 나 자.어떻게 나 수 있을까?

학생 3:(거의 곧바로)일단 하고 하고 이요.그 게 쪼개놓고 이 사이

에 있을 때 만족 하는지 보고 여기 있을 때 만족하는지 보고...

한 인터뷰 과정에서 학생 3과 4는 실수 집합을 분할한 각 구간을

동치류로 인식하고 있음을 알 수 있었다.학생 4는 ,,를 구간이

나 어질 수 있는 값이라고 표 하면서 ,,를 기 으로 분할된 구

간이 동치류를 나타냄을 알 수 있었다. 체집합을 분할한 이후 학생 3

은 각 구간을 표하는 수 ,

,,을 식에 입해 본 뒤 부등식

을 만족하는 범 를 찾아내었다.구간을 표하는 수가 부등식을 만족하

-61-

는지를 따져서 그 구간 체가 식을 만족하지 여부를 단하는 것을 통

해,학생 3은 동치류와 동치류의 표원을 생각했다는 것을 알 수 있다.

이 게 동치류를 보고,동치류의 표원을 취하여 생각하는 것은 학교

수학에서 직 으로 다루지 않은 내용이지만,이는 학교 수학에 내재되

어 암묵 으로 다루어져 왔기 때문에 학생들에게 비교 익숙한 사고임

을 알 수 있다.

연구자의 안내로 학생들이 분할 구조를 이용하여 삼차부등식 문제를

해결하게 됨으로써 보다 일반 인 수학 인 계를 악하게 되었고,이

는 학생들이 집합의 분할 구조를 인식했기 때문에 가능했다고 볼 수 있

다.

그러나 집합의 분할을 이용해 문제를 해결할 때,분할의 기 을 어떻

게 세우는지에 따라 문제해결의 복잡성이 달라질 수 있다.기 을 어떻

게 세우더라도 체집합을 분할할 수 있지만,분할되어진 집합이 문제

해결에 도움이 되기 해서는 각 문제 상황에 맞는 기 을 세워야 한다.

를 들면,부등식 를 풀기 해 실수 체의 집합을

∪≥와 같이 분할하는 것은,문제 해결에 도움이 되지

않는다.뿐만 아니라 문제 상황에 맞는 기 을 세우더라도 그 기 이

무 많은 부분집합으로 분할하지 않도록 하는 효율 인 기 을 세워야 이

를 문제 해결에 이용할 수 있다.그러나 새로운 문제 상황에서 동치류를

악하고,이를 바탕으로 효율 인 분할의 기 을 세우는 것은 보통의

고등학생들에게는 매우 어려운 사고 과정을 필요로 한다.인터뷰 실험

결과에서도 분할의 개념 이해가 삼차부등식 문제풀이에 직 으로 도움

이 되는 것은 수학을 체 으로 보고,높은 차원의 사고를 할 수 있는

단 한 명의 학생뿐이었다.

따라서 학생들이 실수 체의 집합을 분할하는 방법으로 삼차부등식

문제를 풀어 으로써,집합의 분할을 문제 해결 방법으로 생각하기 보다

는 문제를 보는 다른 근 방식으로 생각해 볼 수 있었다는 것에 더

큰 의미를 둘 수 있다.학생 2는 기존의 일차항 인수의 부호를 이용한

방법으로,학생 3,4는 삼차 함수를 이용하여 부등식 문제를 풀 수 있었

-62-

지만,이 문제를 집합의 분할 구조를 이용하여 다시 풀어 으로써 새로

운 에서 사고할 수 있었다.다음은 이에 한 학생 2의 인터뷰 내용

이다.

학생 2:이 문제를 이 게 풀었다는 것에 해서 같은 개념을 다른 문제에

바 문제에 용한다는게 아 이 게 풀 수도 있구나 하는 생각이 들었어요.

새로워보 어요.

이 게 문제를 새로운 에서 고찰함으로써 수학 연결성,특히

양성 ,이환철(2012)의 수학 내 연결성의 형식 측면 조직성

(Threaded)측면에서 삼차부등식의 풀이를 볼 수 있게 되었다.조직성은

하나의 개념이자 문제 상황에 하여 다양한 근 방식으로 이해를 함으

로써 문제 상황을 조직 으로 이해하고 이가 진되도록 하는 것을 의

미한다(양성 ,이환철,2012).뿐만 아니라 학생 3,4는 새로운 문제 상

황에서 체집합을 분할하여 으로써,집합의 분할이 체의 경우를 빠

짐없이 모두 생각해 볼 수 있게 해 다는 것을 이해할 수 있었다.이는

다음의 인터뷰 내용에 잘 나타난다.

연구자:그러면 아까 그렸던 체 집합을 쪼개는 아이디어와 지 수직선을

나 아이디어와 같니?

학생 4:네.수직선이 실수이고 이게 체집합이고 각 구간이 이 게 체를

하나하나( 체의 부분집합을 가리키며)나 어주는 것 같아요.

( 략)

연구자: 체를 분할한다는 아이디어가 도움이 니?

학생 4:네 훨씬

이 게 나 니까 빠짐없이 더 쉽게 풀었던 것 같아요.

( 략)

학생 4:이게 더 깔끔해요.뭐라고 해야 되지?

진짜 빠트리는 것 없이 문제를 쉽게 근할 수 있게 해주는 것 같아요.

-63-

3. 추가 인 뷰 결과 분 및 논

1차 인터뷰 이후 일주일이 지난 뒤 추가 인터뷰에서 학생 2가 집합의

분할 구조를 이용하는 것의 유용성을 스스로 깨달을 수 있는지 알아보았

다.인터뷰에서는 먼 ,학생 2가 일주일 에 풀었던 삼차부등식 문제의

풀이([그림 Ⅳ-7])를 보여주고,모든 경우를 나열하여 은 풀이가 효율

이지 못했음을 깨우치도록 하 다.이에 한 인터뷰 내용은 다음과

같다.

연구자:(삼차 부등식을 경우나 기로 풀었던 문제 풀이를 다시 보면서)지

난번에는 경우를 나 어서 풀었었는데,이 1번 경우를 보면,

이지만, 이잖아.랑 이랑 뭐가 더 크지?

학생 2: 이 더 커요.

연구자:그런데 이면서 일 수 있나?

학생 2:(한참 있다가)음…….아니요.그럴 수는 없어요.

연구자:여기도(두 번째 경우도) 이잖아……. 랑 랑 어떤 게

더 크지?

학생 2:가요.

연구자:그치?그런데 여기는 인데, 이지?

학생 2:어...말이 안되네요....(1번 경우와 2번 경우를 가리키며)이거 이건

엑스인 경우.

그 후 학생 2에게 오차부등식 문제를 풀어보도록 하 다.학생 2는

오차부등식 문제를 보고 곧바로 “나 어서 풀어야겠다”라고 말하면서

집합의 분할 구조를 이용해 문제를 해결하 다.다음은 학생 2의 인터뷰

내용과 오차부등식 문제의 풀이([그림 Ⅳ-11])이다.

학생 2:아!(무언가를 깨달았다는 듯이)이해가 될 것 같아요.

연구자:뭔데?

학생 2:확실히 이 게 나오니까요.이게 경우의 수가 얼마나 많이 나와야

-64-

[그림 Ⅳ-11] 학생 2가 가 뷰에 제시한

하는지 갑자기 생각났어요.불편할 것 같아요.생각해보니까

연구자:그래?

학생 2:아 무 오래 걸릴 것 같아요. 역을 나눠서 해야겠어요.

학생 2는 오차부등식 문제를 풀면서 집합의 분할 구조를 이용하는 것

이 유용함을 인식할 수 있었다.분할은 경우나 기를 나타낸 것이며,고

차부등식 문제와 같이 경우나 기가 복잡한 문제의 경우 실수 체의 집

합이 쪼개진 것을 보게 되면 경우나 기의 서술이 쉬워진다.따라서 오

차부등식 문제와 같이 보다 복잡한 문제를 해결할 때,분할을 하는 것이

모든 경우를 다 생각해 볼 수 있으며,이에 분할 구조가 더 유용하게 인

-65-

식된다는 것을 알 수 있다.다음은 이에 한 학생의 인터뷰 내용이다.

학생 2:선생님들이 맨날 그러시는데요…….우리가 쉬운 것을 풀 때는

요…….왜 이것을 써야하는지 잘 모르는데 어려운 심화문제 풀 때에는 그것

을 써야지만 쉽게 이해하는 그런 문제 있잖아요.갑자기…….이게 그거랑

비슷한 것 같아요.

학생 3,4에게 댓값을 포함하는 부등식 문제(학생 1,2에게 집합의

분할을 지도할 때 사용했던 문제)를 제시하고 분할 구조를 이용하여 문

제를 풀어보도록 하 다.학생 3,4는 체집합을 실수의 집합으로 갖는

삼차 부등식 문제에서 분할의 구조를 구체화하기 힘들어 하 지만,제시

된 문제에서 체집합이 실수의 집합임을 쉽게 악하고,수직선 다이어

그램을 그려 분할 구조를 나타낼 수 있었다.이를 통해 학생 3,4는 체

집합을 실수로 갖는 문제에서 분할 구조를 악할 수 있음을 알 수 있

다.

4.2차 인터뷰 결과 분 및 논

2차 인터뷰에서는 학생들에게 부등식의 역 문제를 풀어보도록 한

뒤,그 문제를 집합의 분할 에서 볼 수 있는지 알아보았다.이를

해 체 집합이 무엇인지, 체집합을 분할한 것으로 어떻게 볼 수 있는

지 인터뷰하 다.이후에는 집합의 분할 구조를 인식하는 것이 그 구조

가 내재된 문제들을 통합 인 에서 볼 수 있게 하는지 알아보았다.

부등식의 역 문제를 풀어보도록 했을 때,학생 1은 한 을 입하

는 방법으로 문제를 풀었다.먼 좌표평면에 원과 직선을 그리고,

을 주어진 식에 입하 다. 을 입한 식의 값이 부등식을 만족하

자 그 을 포함하는 역과 그와 맞닿아 있지 않은 역을 색칠하고 답

-66-

을 구하 다.다음은 학생 1의 인터뷰 내용이다.

연구자:　어떻게 풀었는지 설명해볼래?

학생 1:　 음…….이게 그 함수의 그래 잖아요.각각（두 식 ,

)을 함수라고 두면 (좌표평면에 그린 원과 직선을 가리키며)이게 그 함

수의 그래 잖아요…….어떻게 설명해야할지 모르겠어요.잠시만요.

(3분 정도 고민한다)

학생 1:아!…….이게…….만약 이 게( )된다면

요…….어떻게 돼야 하지?그……. 러스가 되어야하니까…….첫 번째 경

우 이 게 ( 를 으면서) 되거나

( 를 으면서)둘 다 이게 방향성이 반 일 때잖아

요.이거(첫 번째 경우)일 때의 역과 이거(두 번째 경우)일 때 역을 합치

면 답이 이게(색칠한 역을 가리키며)되요.

학생 1은 신속하게 문제를 풀었지만 풀이한 것을 설명해보도록 하자

3분 정도 고민한 뒤,풀이 방법을 설명할 수 있었다.학생 1이 원과 직선

을 그리고 와 를 은 뒤,

그림에서 주어진 식을 만족하는 부분을 찾아 색칠한 것을 통해 학생 1은

평면이 각 호 안의 식의 부호에 따라 인 부분,

인 부분, 인 부분,

인 부분의 네 부분으로 분할된 것을 정확히 인지

하고 있음을 알 수 있다.이를 통해 비록 생각하는데 시간이 걸렸지만,

학생 1은 분할하는 상과 그것이 어떻게 분할되는지를 인식하고 집합의

분할 에서 문제를 해석하고 있음을 확인할 수 있다.

학생 2와 4는 부등식의 역 문제를 각 호안의 식의 부호를 생각

하여 해결하 다. 체 식의 부호가 양수가 되는 경우를 각 호 안의

식의 부호가 모두 양수일 때와 모두 음수일 때로 나 고,원과 직선 그

림을 그린 뒤 해당하는 역을 색칠하 다.인터뷰를 통해 학생 2는 이

의 풀이 방법이 기억이 나지 않아서 이와 같은 방법으로 문제를 풀었

음을 알 수 있다.학생 2는 부등식을 만족하는 조건을 고 원과 직선을

-67-

[그림 Ⅳ-12] 학생 4가 2차 뷰에 제시한

그려 해당 역을 색칠하 다.이를 통해 학생 2도 부등식의 역 문제

에서 집합의 분할 구조를 생각하고 있으며,분할하는 상이 무엇인지,

그것이 어떻게 분할되는지 인식하고 있음을 알 수 있다.

학생 4는 인터뷰 결과 한 을 이용한 풀이 방법을 기억하고 있었지

만,문제를 다르게 풀어 보았다는 것을 알 수 있었다.학생 4가 부등식의

역 구하는 문제를 다른 방식으로 보게 된 것은 1차 인터뷰에서 집합의

분할을 악한 이후,문제를 보는 시각에 변화가 생긴 것으로 볼 수 있

다.즉,학생 4는 이 에는 차 으로 한 을 입하는 방식으로 문제

를 풀었지만,이제는 소 분할의 개념을 갖고 분할의 기 을 생각하면

서 풀이를 하게 되었다.다음은 이에 한 학생 4의 문제 풀이와 인터뷰

내용이다.

연구자:네가 이번에 시도한 방법은 뭐야?

학생 4:한 번 두 식의 범 를 나 어가지고..

러스랑 마이 스랑 나 어 서 구해보려고 했어요.

연구자: 에도 이 게 봤었어?

학생 4:아니요.

연구자:지 은 이 게 생각해 본거야?

-68-

[그림 Ⅳ-13] 학생 3 2차

뷰에 제시한 평 할

학생 4:네.

연구자:원래는 이거 어떻게 풀었니?

학생 4:원래는 이거 그냥 한 입해가지고 풀었었어요.

학생 3은 한 을 입하여 해결했던 풀이 방법을 기억해내고

을 입하여 문제를 풀었다.이후에 집합의 분할 구조를 찾아보도

록 하자 체집합과 그것이 분할된 부분집합을 찾을 수 있었다.다음은

학생 3이 그린 다이어그램과 학생이 집합의 분할 구조를 인식하고 있음

을 나타내주는 인터뷰 내용이다.

학생 3:이게 체인데요.

연구자:이게 뭐지?

학생 3:실수요.아니 좌표라고 해야 하나?

연구자:그래 좌표평면.평면.

학생 3:네.그게 체에요.그래가지고 이 게 나뉘잖아요?

연구자:어떻게?

학생 3:이게 원 바깥에 있고 안쪽에 있고 그게 두 가지에요.그리고 이게

가르는 게(직선)원 밖에 있으면서 직선 에 있는 거는 같이 보구요.그러

니까 네 가지로 쪼개지네요.(네 개의 역에 1,2,3,4로 번호를 붙인다.)

-69-

부등식의 역 문제를 집합의 분할 구조로 생각해 보는 인터뷰에서

학생 1,2,3,4모두는 분할의 기 을 알고 집합의 분할 구조를 볼 수

있었다.집합의 분할의 기 은 계(relation)를 정의 할 때의 조건명제인

에 해당하며,같은 부분집합에 속하는 원소들이 만족하는 공통인

성질이고 이것이 곧 분할의 조건이다.분할의 기 을 알고 있다는 것은

부등식을 만족하는 역을 칠할 때,무엇 때문에 그 역을 칠하는지를

정확하게 인지하고 있는 것을 의미한다.학생 1,2,4가 부등식의 역을

구하는 문제의 풀이를 부호를 고려하여 설명한 것은 분할의 조건에 충족

하고자 노력한 것으로 볼 수 있다.

학생들은 평면 에서 집합의 분할 구조를 볼 수 있었다.학생들이

연구자와 함께 집합의 분할 구조에 해 생각해보기 이 에도 평면을 분

할하는 에서 이 문제를 생각해 본 이 있었는지 알아보기 한 인

터뷰를 실시하 다.다음은 이에 한 인터뷰 내용이다.

<학생 1의 인터뷰>

연구자:(학생이 집합의 분할을 써 놓은 그림을 보면서)평소에도 이 게

평면 체의 집합을 분할한 것으로 생각하고 있었니?

학생 1:아니요.평소에는 그런 거 생각 안하고 있었죠.평소에는 그냥 한

넣어서 그냥 했죠.

<학생 3의 인터뷰>

학생 3:　아마 제가 이거를 문제를 주실 때 이 개념(집합의 분할)을 알려주

시고 문제를 주셨잖아요.그래서 제가 이거를 나눴을 거 요.아마도.

그 지 않았다면 이거 하나(나 어진 각 역)를 집합으로 볼 생각은 못했을

거 요.

연구자:집합의 분할을 보기 에도 나 어서 풀었었니?

학생 3:나 는 건 다 알고 있었죠.선생님들이 다 알려주시니까.

연구자:그냥 나 었다는 거지 그럼?

학생 3:네.그냥 기계 으로.이 문제가 나온다 하면 기계 으로 그래 그

리고 문제다 그러면 기계 으로 범 나 고,뭐 그런 식이었어요.

-70-

인터뷰 결과 학생들이 이 에는 집합의 분할 시각으로 문제를 본

이 없었다는 것을 알 수 있다.학생 1은 한 을 입하여 해당 역을

찾았고,그 풀이 과정을 의식하지 않고 자동화하여 사용하고 있었다.

한 학생 3은 부등식의 역 문제를 풀 때,평면 체를 나 어서 푼다는

것은 의식하고 있었지만 이는 문제를 푸는 하나의 알고리즘이었을 뿐,

체 집합을 분할하여 보는 하나의 구조로서 인식하지는 못하 다.학생

1과 학생 3의 인터뷰를 통해 이 의 인터뷰에서 집합의 분할 개념을 함

께 생각해 본 것이 학생들이 새로운 시각으로 부등식의 역 문제를 보

게 하는데 향을 주었음을 알 수 있다.

학생 1,2는 분할의 상을 실수로 갖는 문제와 -평면으로 갖는 문

제에서 집합의 분할 구조가 내재되어 있음을 살펴보았고,학생 3,4는 분

할의 상을 자연수 집합의 부분집합,실수,-평면으로 갖는 문제에

내재된 집합의 분할 구조를 살펴보았다.이 게 학생들이 서로 다른 주

제의 문제에서 집합의 분할 구조를 악한 뒤,그 구조가 내재된 문제들

을 통합 으로 볼 수 있게 되었는지 확인해보기 해 소감을 묻는 인터

뷰를 실시하 다.

학생 1은 집합의 분할 구조는 그 구조가 내재된 문제에서 문제 풀이

의 원리를 이해할 수 있게 설명해 다고 하면서,집합의 분할 구조를

통해 계 으로 이해할 수 있게 되었다는 것을 표 하 다.다음은 학

생 1의 인터뷰 내용이다.

연구자:이 게 집합으로 보니까 어때?

학생 1:훨씬 쉽죠.

연구자:훨씬 쉬워?

학생 1:확실히 이 게(이 에 생각 없이 나 어서 풀었던 풀이)하면 뭔가

공식화된 기분이잖아요.그런데 이 게(집합의 분할을 생각하고 하는 풀이)

하면 뭐랄까 머릿속에 좀 더 체계 으로 정리된 그런 느낌이랄까요?그니까

왜 이 게 되는지 그 원리를 이해할 수 있게 설명할 수 있는 것 같아요.

-71-

학생 2는 같은 개념이 여러 문제에 리 쓰이고 응용될 수 있다는

것을 알게 되었다고 하 다.이는 여러 다른 문제에 집합의 분할 구조가

내재되어 있는 것을 본 후 통합 으로 사고하게 되었으며,구조를 보는

것의 유용성을 알게 되었음을 뜻한다. 한 이 에는 수학 문제를 풀 때

유형과 같은 것을 생각하지 않고 풀었으나,이제는 문제에 사용될 수 있

는 개념이나 원리를 생각하고 용해 보아야겠다고 하 다.이를 통해

문제에 내재된 분할 구조를 으로써 이 의 수학 학습 방법을 반성하고

계 인 이해를 도모할 수 있는 방향으로 학습의 방향을 바로잡는 계기

가 되었음을 알 수 있다.다음은 이에 한 학생 2의 인터뷰 내용이다.

학생 2:어…….그니까 하나의 원리가요.이 게 다양한 부분에서 같은 개

념을 가지고 리 쓰이고 응용될 수도 있다는 것을 새삼 느 어요.

( 략)

학생 2:네……. …….네……. 충 감이 잡혔어요.

연구자:뭐가 감이 잡 ?

학생 2:수학 공부를 어떻게 해야 할지…….

연구자:어떻게 해야 할 것 같은데?

학생 2:그러니까 문제를 풀 때요 그냥.유형이나 뭐 그런 거 생각 안하

고…….그런 거 생각 안하고 어떻게든 풀려고만 해서 풀었는데…….이제는

그 게 하면 안 될 것 같아요.

여기서 뭘 써야 할지 가장 쉽게 쓸 수 있는 것을 찾아서…….개념이나 그런

걸 찾아서…… 거기에다 용시켜야 할 것 같아요.

연구자:응.문제를 그냥 풀기 보다는?

학생 2:그게 오히려 나 에는 더 빨리 풀 수 있을 것 같아요.더 잘 풀 수

도 있고.

학생 3은 여러 다른 주제의 문제에 같은 구조가 내재되어 있음을 이

해할 수 있었고,여러 문제들을 같은 구조를 갖는다는 것으로 하나로 통

합해서 보니 훨씬 더 이해하기 쉽다는 반응을 보 다. 한 서로 다른

방법이었던 개별 인 문제풀이를 집합의 분할로 생각하게 되면서 하나의

방법이 되었다고 표 함으로써 이 에는 련지을 수 없었던 문제들을

-72-

집합의 분할 구조를 심으로 연결하여 통합 으로 볼 수 있게 되었음을

알 수 있다.이는 김수미(2004)가 통합 사고의 특성으로 제시한 각 자

료의 특수성을 버리고 가장 근본이 되는 공통 인 것을 탐색하고,자료

들을 보다 넓은 ,보다 높은 에서 고찰하며,자료들을 이산 인

상태로 두지 않고 하나의 에서 종합,정리한다는 것과 일맥상통한다.

다음은 학생 3의 인터뷰 내용이다.

연구자:이 게 보니까 어때?

학생 3:그걸 집합으로 그러니까 한 가지 개념 가지고 다른 것들을 풀 수 있

었잖아요.그러니까 제가 지 까지 푸는 방법은 계단 올라가는 문제하고(경

우의 수 문제),삼차부등식 문제를 푸는 방법하고 부등식의 역하고는 다

달랐는데 집합이라는 것을 가지고 오면 그 에는 같다는 거죠.그래가지고

좀 뭔가 그려지는 것 같아요.머릿속에…….

연구자:무엇이?

학생 3:쭉쭉쭉 연결 되는 게.

그러니까 뭐라고 해야 하지? .연결이 되요.(여러 가지들이 하나로 묶이

는 것을 손으로 표 하면서)하나로 이 게.

연구자:하나로 연결이 된다?

학생 3:네.이 에는 다양한 방법이었는데 지 은 하나의 방법이 되었잖아

요.이 게 집합으로.좀 크기는 하지만,좀 범 하기는 하지만 그래도요.

공통 이 있으니까.도움 많이 될 것 같아요.

인터뷰를 통해 학생 4는 다른 역의 문제를 같은 방법을 이용해 풀

수 있었던 것을 언 하 고,이를 통해 학생 4역시 집합의 분할을 이용

해 다른 문제들을 통합 으로 보고 연결할 수 있게 되었음을 알 수 있

다.특히 집합의 분할은 체를 빠지지 않게 나 수 있게 해 다고 이

야기 한 것을 통해 모든 경우를 다 생각할 수 있게 해주는 방법으로 분

할의 유용성을 인식하고 있었다.다음은 학생 4의 인터뷰 내용이다.

학생 4:일 성 있게 문제가 다 다른 역인데 같은 방법으로 풀 수 있는

게 무 신기해요.그리고 이 방법이 뭐라고 해야 되지?실수 없이 문제를

-73-

풀 수 있게 해주는 것 같아요.

연구자:어떤 실수?

학생 4:그러니까 체를 부분으로 나 면서 빠지지 않게..어떤 이 체를

만약에 두 부분으로 나 다고 하면 모든 부분이 이 두 부분 밖에 없으니까

이거 아니면 이거니까 생각해주기가 편해진 것 같아요.빠트리지 않고.

인터뷰 결과,분할 구조를 인식하기 이 에 학생들은 집합을 분할하

는 시각에서 문제를 생각해본 이 없었고,서로 다른 주제의 문제들을

연결해 보지 못했다는 것을 알 수 있다.그러나 문제에 내재된 분할 구

조를 악한 이후에는 그 구조가 내재된 문제들을 통합 인 안목으로 볼

수 있게 되었다.이로서 다양한 단원의 학습 내용들이 하나의 구조를

심으로 재구성되어 학생들은 체를 망할 수 있는 범 한 시각을 갖

게 되었다.이를 통해,양성 ,이환철(2012)의 연구에서 밝힌 ‘수학 내

연결성의 형식 측면’ 연계성(Webbed)측면에서 수학 내 연결성

이 신장되었음을 알 수 있다.

-74-

Ⅴ. 결

1. 요약

오늘날 사회가 복잡해짐에 따라 규모가 큰 집단을 효율 으로 분할하는

것을 주변에서 흔히 볼 수 있다.이러한 집합의 분할은 수학 으로는 어떤

집합 에서의 동치 계에 의한 동치류로의 분할로 해석될 수 있다.어떤 집

합을 분할하는 동치류들은 그 집합 에서의 특정한 동치 계에 의해 얻어진

다.동치 계는 수학 인 상을 ‘같다’고 볼 수 있는 기 을 제시해 으

로써 수학 사고의 발 을 가능하게 한다. 한 어떤 집합의 모든 분할

은 그 집합 의 동치 계를 형성한다.따라서 어떤 집합 에서 그것이

분할된 것을 악하는 것은 동치류를 볼 수 있게 하고,동치류로 분할한

기 인 동치 계에 해 생각해볼 수 있게 한다.뿐만 아니라 체 상

이 동치류로 분할된 것을 인식하게 되면, 체 인 구조를 볼 수 있게

되어 수학 사고가 명확해진다.

행 등 수학과 교육 과정에서는 동치 계가 많이 쓰이고 있지만

실 인 어려움으로 학생들에게 이를 제시하지 않고 있다. 한 문제에

내재된 집합의 분할 구조를 보는 것은 고등수학 인 사고로서 부분의

학생들이 학습할 수 있는 능력 이상의 것이므로 분할 개념을 직 도입

하지 않고 암묵 으로만 다루고 있다.집합의 분할 구조가 내재되어 있

는 문제들은 높은 수 에서 보면 유사한 문제 해결 과정을 갖고 있지만

그것을 다루는 문제에 내재된 구조를 찾는 것이 쉽지 않기 때문에 학생

들은 각 주제별로 집합의 분할이 내재된 문제들을 련짓지 못하고 개별

으로 생각하기 쉽다.그런데 개별 으로 지도되고 있는 문제에서 집합

의 분할 구조를 발견하게 하는 것은 그 구조가 내재된 문제들을 통합

인 에서 볼 수 있게 한다.통합 으로 사고하는 것은 이 에 학습한

개별 인 내용을 새로운 시각에서 바라볼 수 있는 기회를 제공함으로써,

수학에 한 흥미와 수학 안목을 형성하고, 계 이해를 도모할 수

있다(김수미,2004). 한 통합 으로 사고하여 문제들 간의 계를 악

-75-

함으로써 수학 내 연결성을 신장시킬 수 있다.

따라서 본 논문에서는 집합의 분할이라는 추상 인 구조를 제시하는

것이 일부 상 을 받아들일 수 있는 학생들에게 수학 학습의 새로

운 기회를 제공해 것으로 보고,학생들이 문제에 내재된 집합의 분할

구조를 인식하고 이를 바탕으로 분할 구조가 내재된 문제들을 보는 것이

학생들이 수학을 보는 에 어떠한 향을 미치는지 알아보기 해 다

음과 같은 연구문제를 선정하 다.

연구문제 1.집합의 분할 구조를 인식하는 것이 집합의 분할 구조가

내재된 새로운 문제를 해결하는데 어떠한 향을 미치는가?

연구문제 2.집합의 분할 구조를 인식하는 것이 수학 내 연결성을

신장시키는데 도움이 되는가?

이후, 의 연구문제를 해결하기 하여 경기도 소재 D 고등학교에

재학 인 네 명의 학생을 상으로 질 사례 연구를 실시하 다.먼 ,

추상 인 구조를 인식할 수 있을 것으로 보이는 수학 이해력이 뛰어난

학생들을 연구 참여 학생으로 선정하고, 등 수학과 교육과정에서 집합

의 분할 구조가 내재된 문제들을 선별한 뒤,학생들이 이 에 해본 문

제를 바탕으로 집합의 분할 구조를 인식하도록 지도하 다.이 때, 체

집합이 무엇인지 발문하 고,문제에서 체집합을 분할한 구조를 찾아

보도록 하 으며,집합의 분할 구조를 시각 으로 표 함으로써 학생들

이 집합의 분할 이미지를 구체화하여 갖게 하 다.그 후,이 에 다루어

본 이 없는 문제를 집합의 분할 구조를 바탕으로 해결하는지 으로써

집합의 분할 구조를 인식하는 것이 새로운 문제를 해결하는데 어떠한

향을 미치는지 알아보고자 하 다. 한 다른 주제의 수학 문제에서도

집합의 분할 구조가 내재되어 있음을 인식하는지 확인하고,집합의 분할

구조를 인식한 후 분할 구조가 내재된 문제를 통합 인 안목에서 보게

되어 수학 내 연결성을 갖게 되는지 알아보았다.이를 통해 다음과 같

이 의 연구문제를 해결할 수 있었다.

-76-

연구문제 1과 련하여,집합의 분할 구조를 인식하는 것은 높은 차

원의 수학 사고가 가능한 학생들이 그 구조가 내재된 새로운 문제를

해결하는데 도움이 될 수 있다는 것을 알 수 있다.새로운 문제인 삼차

부등식 문제에서 집합의 분할 구조를 발견할 수 있었던 것은 단 한명의

학생뿐이었다.학생 1은 집합의 분할 구조를 높은 차원에서 인식하고 삼

차부등식 문제에서 그 구조를 통찰하여 스스로 문제를 해결하 다.그러

나 학생 1을 제외한 나머지 학생들은 삼차부등식 문제에서 집합의 분할

구조를 발견할 수 없었다.문제에 내재된 분할 구조를 발견하는 것은 고

등 수학 인 사고를 요하므로 사고의 비약이 일어나야 하지만,이것은

학생들에게 쉽지 않은 사고 과정임을 알 수 있다.학생 2,3,4는 문제에

내재된 집합의 분할 구조를 찾는데 어려움을 보 지만,연구자의 도움으

로 수직선 다이어그램을 그려서 그 구조를 구체화하여 인식할 수 있었

다. 한,학생 2는 오차부등식 문제를,학생 3,4는 삼차부등식 문제를

체를 분할하는 에서 살펴본 뒤,분할 개념이 모든 경우를 다 생각

할 수 있게 하므로 유용하다는 것을 인식할 수 있었다.

연구문제 2와 련하여,학생들은 집합의 분할 구조를 인식한 후,그

구조를 심으로 문제들을 통합 으로 볼 수 있게 되어 수학 내 연결

성이 신장되었음을 알 수 있다.집합의 분할 구조를 인식하기 에 학생

들은 그 구조가 내재된 문제들을 개별 인 문제로만 악하여 이들을

련지을 수 없었고,집합의 분할이 시각화되어 있는 부등식의 역 문제

를 해결할 때에도 분할하는 에서 문제를 생각해 볼 수 없었다.그러

나 서로 다른 주제의 문제에서 집합의 분할 구조를 악해 으로써,그

구조가 내재된 문제들을 통합 으로 보고 이들을 연결 지을 수 있었다.

한,연구 과정에서 서로 다른 주제의 문제에서 분할 구조를 악하는

것은 쉽지 않으며,그 구조를 악하기 해서는 문제 상황에 맞는 다이

어그램을 그리는 것이 도움이 된다는 것을 알 수 있었다.

-77-

2. 및 언

이 에서는 지 까지 이 연구를 수행하면서 얻은 결과들을 토 로

그 의의를 확인하고 향후 연구 과제를 제안해보고자 한다.

본 연구에서는 지 까지 시도된 이 없는 집합의 분할 구조라는 상

을 이를 받아들일 수 있는 일부의 학생들에게 지도하 고,이러

한 근 방식이 어떠한 효과를 갖는지 알아보았다.연구를 통해 집합의

분할 구조를 제시하는 것은 일부의 학생들에게 이 과는 다른 방식으로

수학을 학습할 수 있는 새로운 기회를 수 있음을 확인하 다.학생들

은 집합의 분할 구조를 인식한 이후에 그 구조가 내재된 문제들을 하나

의 통합 인 안목으로 보게 되었고,개별 인 문제풀이로만 생각했던 서

로 다른 역의 문제들을 연결할 수 있게 되었다.이로서 본 연구는 상

을 이해할 수 있는 일부의 학생들을 지도할 수 있는 새로운 지도

방식과 그 소재를 제시하 다는데 그 의의가 있다.

본 연구에서는 집합의 분할이 내재된 문제에서 학생들이 그 구조를

인식할 수 있는지 알아보았다.이를 해,분할 구조가 내재된 여러 다른

주제의 문제들을 제시하고 문제에서 그 구조를 악해보도록 하 다.이

때,학생들에게 문제에 분할 구조가 내재되어있음을 먼 알려 뒤 이

를 발견해보도록 하 다.분할 구조가 내재되어 있다는 것을 알려주지

않더라도 학생들이 문제에서 스스로 그 구조를 발견할 수 있는지 알아보

지 못한 것은 연구의 한계 이다.

본 연구를 시작으로 고등 수학 인 수학 내용 학교 수학 내용과

연계하여 지도할 수 있는 다양한 소재를 찾아보고,그 내용을 상

을 받아들일 수 있는 학생들에게 제시했을 때 어떠한 효과를 얻을 수 있

는지 연구해 볼 것을 제안한다.

-79-

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Abstract

Research on students’ perception

of the structure of a partition of a set

underlying in mathematical problemsPark, Ju Mi

Major Advisor: Kim, Suh Ryung

Department of Mathematics Education

The Graduate School

Seoul National University

There are many mathematical problems which have a partition of

a set as an underlying structure, and these types of problems in

the mathematics curriculum can be integrated into one category

from the point of view of partition structures.

Not a few studies indicate that recognizing and describing the

structure of a partition of a set underlying in mathematical

problems requires advanced mathematical thinking, and as a

matter of fact, is beyond the scope of most students ability. For

these reasons, recognizing the structure of a partition of a set is

not taught directly but explored obliquely in the mathematics

curriculum.

But grasping the structure of a partition of a set is a useful

thinking ability for people living in the 21st century since it

improves not only integrated insight in mathematics but also the

ability to analyze complex structures systematically in real life.

Based on this point of view, this research explores whether it is

possible to teach the students who have shown capability of

understanding higher concepts, the ability of grasping the

structure of a partition of a set underlying in mathematical

problems so that they take a unified approach in solving problems

in which the structure of a partition of a set is underlying.

To explore the research questions, a case study of four high

school students was undertaken. The students were guided to the

structure of a partition of a set underlying in a new problem

after being made aware of the structure of a particular partition

of a set to see whether this activity enhanced their capability of

connecting mathematical concepts.

The students who participated in the case study showed that

they could solve problems in which the structure of a partition of

a set is underlying from integrated perspective and enhanced the

ability of connecting mathematical concepts once they learned

how to grasp the structure of a partition of a set in problems.

key words: partitions of sets, mathematical connectivity

Student Number : 2008-21610