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El cálculo diferencial / Adriana Engler ... [et al.]. - 2a ed . - Santa Fe : Ediciones UNL, 2019.Libro digital, PDF - (Cátedra)
Archivo Digital: descarga y onlineISBN 978-987-749-136-4
1. Cálculo Diferencial. 2. Matemática. I. Engler, Adriana.CDD 515.3
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© Adriana Engler, Daniela Müller,Silvia Vrancken, Marcela Hecklein, 2020.
© , 2020
Coordinación editorialMaría Alejandra Sedrán Coordinación diseñoAlina HillProducción generalEdiciones UNL
—[email protected]/editorial
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hdl.handle.net/11185/2300
Rector Enrique Mammarella Director de Planeamiento y Gestión Académica Daniel CombaDirectora Ediciones UNL Ivana Tosti
El Cálculo Diferencial
Adriana Engler
Daniela Müller
Silvia Vrancken
Marcela Hecklein
A mi mamá, siempre conmigo A mi papá, Telmo y
mis hermanos, Víctor y Nadia por su amor Adriana
A la memoria de Chuchi, mi madre
A mis hijos, María, Magdalena y Martín Daniela
A Fernando, Melina y Roberto
Silvia
A Carlos y Martín Marcela
Prólogo
No existe fenómeno en la naturaleza o en la sociedad que escape al fenómeno del cambio. Podemos encontrar numerosos ejemplos a nuestro alrededor: la población de un país cambia a través del tiempo, la temperatura ambiental cambia durante el año, el área de un cuadrado varía con la longitud del lado, entre otros. Dado que vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que transcurre el tiempo, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. También, la población de un país varía con el correr del tiempo y esta variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes. La velocidad de una partícula que se mueve es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Los físicos también se interesan, por ejemplo, en la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo (lo que se conoce como potencia). Los químicos, que estudian una reacción química, se interesan en la razón de cambio en la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (llamada velocidad de reacción). Un fabricante que produce x toneladas de acero por día se interesa en la razón de cambio del costo de esa producción con respecto a x (lo que se conoce como costo marginal). Un biólogo se interesa en la razón de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo. El cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e incluso en las ciencias sociales.
La matemática de la antigüedad fue preponderantemente estática. La exploración de distintos movimientos y el surgimiento de la noción de cambio fueron aspectos para los que la matemática no estuvo preparada sino después de mucho tiempo.
El cálculo es la matemática del cambio, de la variación, de la transformación. Está formado por dos partes muy vinculadas entre sí: el cálculo diferencial y el cálculo integral.
El cálculo diferencial estudia principalmente la forma y rapidez con que se producen los cambios y tiene distintas aplicaciones que incluyen el trazado de curvas y la optimización de funciones.
El estudio de la variación lleva a construir uno de los conceptos más importantes del cálculo: la derivada. Su desarrollo como tasa de variación o como razón de cambio tiene numerosas aplicaciones. Una de las más trabajadas y simples es la velocidad, razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Resultan también importantes, la tasa de crecimiento de una población de bacterias, la tasa de variación de una reacción química (velocidad de reacción), la razón con la que aumenta la velocidad con la que fluye la sangre según la distancia a la pared de un vaso sanguíneo y la razón con la que se propaga un rumor.
Una de las expectativas de logro de esta propuesta es utilizar el concepto de derivada de funciones en el análisis de la resolución de problemas.
Es importante que los lectores logren interpretar el concepto de derivada en diferentes ámbitos, como la geometría y la física y utilicen la información que ésta provee sobre la función para resolver problemas. También deberían poder advertir que el cálculo infinitesimal es una herramienta poderosa para el análisis del comportamiento de las variables involucradas y, por lo tanto, de gran potencial descriptivo de problemas concretos. La conexión entre la expresión
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analítica de una función y su representación gráfica se utiliza para manipular los procesos de cambio.
Buscamos destacar las ideas más importantes del cálculo diferencial, su potencia, sus conexiones y sus aplicaciones.
Si se enseña el cálculo con la rigurosidad y el formalismo como lo enfrentaron y desarrollaron originalmente Newton y Leibniz en el siglo XVII, o Cauchy, en el siglo XIX, seguramente no se alcanzarían a comprender las ideas fundamentales. Aceptamos como suficientemente clara la idea intuitiva de muchos conceptos considerando que constituyen la base de un desarrollo más riguroso de las leyes y procedimientos. Este nos parece un camino adecuado para iniciarlos en el Cálculo Diferencial. Consideramos que es adecuado y una buena motivación para quienes deciden avanzar en los fundamentos teóricos. Aunque no realicemos la demostración de algunos teoremas y propiedades mostramos su utilidad en la demostración de otras, o sus aplicaciones o su interpretación.
Relacionamos la teoría y la práctica (y las aplicaciones) organizando la enseñanza a partir de algunos problemas importantes, tratando de promover un enfoque constructivista del aprendizaje. CARACTERÍSTICAS DE LA OBRA
A lo largo de la misma se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos:
• Los nuevos conceptos se presentan por medio de ejemplos que generan la necesidad de desarrollar nuevas técnicas.
• Un enfoque donde se desarrolla el concepto matemático para después reforzarlo con las aplicaciones.
• Un especial énfasis en la comunicación verbal de los conceptos matemáticos mediante la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje matemático y viceversa.
• Un cuidado especial en las explicaciones de los conceptos más difíciles teniendo en cuenta la necesidad de aplicar distintos caminos según el grado de dificultad. Se trata de guiar el proceso de pensamiento del alumno hacia la meta propuesta, trabajar en forma intuitiva una idea para formalizarla luego tratando de salvar todos los obstáculos.
• Presentación de la teoría con rigurosidad y precisión. En muchos casos, a fin de ganar en claridad, se presentan discusiones intuitivas informales.
• Motivación del alumno a través de valorar la necesidad de saber matemática para, mediante la resolución de problemas, enfrentarse a la futura vida profesional.
• Una gran cantidad y amplia variedad de aplicaciones y problemas para que los estudiantes asuman la utilización de todos los contenidos matemáticos que están aprendiendo.
• Utilización de representaciones gráficas convencidas de que quienes se enfrentan por primera vez a grandes desafíos matemáticos tienen dificultades y, sin embargo, el uso de los gráficos logra un efecto muy importante en la construcción del conocimiento.
• Uso del lenguaje gráfico, numérico y algebraico de manera indistinta.
• Diversas actividades de reflexión mediante el planteo de desafíos que actúan como disparadores para el análisis de una situación determinada que luego se formaliza.
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• El planteo de “aprendizaje por descubrimiento” para propiciar el surgimiento de los nuevos contenidos y la construcción de los conocimientos necesarios para los nuevos tópicos. En esta sección se anticipan resultados que se van a desarrollar y se busca el reconocimiento de patrones.
ORGANIZACIÓN DE LA OBRA
En el desarrollo de los capítulos se incluyen las explicaciones teóricas con abundantes ejemplos y desarrollo de aplicaciones en el campo de la física, ingeniería, biología, economía, ciencias sociales, ecología, química, administración y ciencias naturales. Se presenta una gran cantidad de ejemplos y problemas resueltos a fin de que el alumno observe distintos detalles que aparecen en los mismos y que constituyen su quehacer matemático. Están considerados de manera gradual, según las dificultades. En primer lugar aparecen ejemplos rutinarios para adquirir destrezas, principalmente desde el punto de vista de la operatoria y, en un paso posterior, los de mayor dificultad.
En los mismos se presentan además:
• Ejercicios de aplicación del nuevo concepto desarrollado. Aparecen todas las respuestas de manera inmediata a fin de fijar los contenidos y poder avanzar con el desarrollo del tema.
• Ejercicios integradores de un tema. Están organizados según los diferentes temas que se presentan en cada capítulo. Se incluyen las respuestas de todos al final del libro.
• Ejercicios de repaso de cada uno de los capítulos. Se incluyen guías que reúnen numerosos ejercicios cuyas respuestas figuran al final del libro.
• Problemas de aplicación. Se incluyen problemas de aplicación de los diferentes contenidos. Los mismos están organizados por temas y por capítulo. Las respuestas se enuncian al final del libro.
• Autoevaluaciones y pruebas de opción múltiple para que, según los diferentes temas y capítulos el lector compruebe cómo avanza en la adquisición de los conocimientos y logre la seguridad de que ha alcanzado un buen grado de dominio de los diferentes temas desarrollados. Están integradas por novedosos enunciados y las respuestas se encuentran al final del libro.
• Guías de estudio referidas a límite, continuidad y estudio de funciones. En el desarrollo de las mismas se hace hincapié en las representaciones gráficas mediante el uso del programa Funciones para Windows versión 2.7.61 como herramienta fundamental para la elaboración de conclusiones.
Como reflexión final compartimos un párrafo que el Dr. Santaló escribió en 1993 en su libro Matemática I. Iniciación a la creatividad que dice "Como los alumnos de hoy no son los mismos que los de ayer y las necesidades para poder actuar eficazmente en el mundo actual tampoco son las mismas, es natural que la educación matemática deba estar en continua evolución y que los educadores deban ir ajustando sin pausa la forma y el fondo de sus enseñanzas, para mantener a la escuela acorde a la calle de manera que el alumno no encuentre demasiada discontinuidad entre lo que oye en el aula y lo que encuentre y ve en su casa y en la calle.”
LAS AUTORAS
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Agradecimientos
Desde el año 2005, cuando presentamos con muchas expectativas
nuestro primer trabajo con relación al cálculo recibimos numerosas muestras de
aliento, sugerencias, comentarios y opiniones que nos motivaron a seguir
trabajando, estudiando, discutiendo, debatiendo, descubriendo nuevas formas
de enseñar, escribiendo... Hoy, "El Cálculo Diferencial – Segunda Edición" es
una realidad que nos implica un nuevo desafío.
Este libro, preparado especialmente para nuestros alumnos, surge de las
experiencias obtenidas del trabajo continuo durante más de veinte años en el
aula universitaria y de compartir el camino de enseñar y aprender matemática.
Por esto, expresamos un especial agradecimiento a ellos, que con todos sus
comentarios, inquietudes, aportes, sugerencias y, por qué no, quejas,
contribuyeron a mejorar nuestros primeros apuntes de cátedra y nuestro primer
trabajo.
También, queremos formular nuestro profundo agradecimiento a las
autoridades de la Universidad Nacional del Litoral por permitir que sus docentes
publiquen sus obras y, en especial, a las autoridades de la Facultad de Ciencias
Agrarias por su aliento y apoyo permanentes.
Nuestro especial reconocimiento a la profesora Nelly Vázquez de Tapia
por sus comentarios y por acompañarnos en nuestros emprendimientos.
No podemos dejar de agradecer a nuestros colegas, amigos, graduados y
a todas aquellas personas que de una u otra manera nos ayudaron y alentaron a
continuar con esta tarea docente.
Las críticas, observaciones, comentarios y sugerencias minuciosas y
apasionadas de María Inés nos permitieron mejorar la presentación de los
contenidos tanto en lo académico como en su diseño.
Gracias Daniel y Natalia por acompañarnos.
Manifestamos especialmente un sincero y enorme "muchas gracias" a
nuestras familias por su paciencia, la espera y la comprensión por tantas horas
de ausencia.
Por último, nuestro profundo agradecimiento a las autoridades y personal
del Centro de Publicaciones de la Universidad Nacional del Litoral por la
confianza, el interés y la colaboración que recibimos para poder cumplir con
nuestro objetivo: la producción de un texto de cátedra.
Adriana, Daniela, Silvia y Marcela
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Contenido
1. NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL 1.1 Un poco de historia y el nacimiento del cálculo ......... 16
1.2 Números reales y la recta real .......................................... 18
Ejercicios Integradores ............................................................. 33
Prueba de Opción Múltiple ....................................................... 34
Autoevaluación ......................................................................... 35
Ejercicios de Repaso .................................................................. 35
2. LÍMITE DE FUNCIONES 2.1 Noción intuitiva de límite ................................................... 38
2.2 Definición de límite de una función y propiedades ........................................................................... 44
Ejercicios Integradores ............................................................. 55
2.3 Límites infinitos y límites en el infinito .......................... 56
2.4 Límites indeterminados ...................................................... 69
Ejercicios Integradores ............................................................. 79
Problemas de Aplicación .......................................................... 79
Prueba de Opción Múltiple ....................................................... 81
Autoevaluación ......................................................................... 85
Ejercicios de Repaso .................................................................. 86
3. FUNCIÓN CONTINUA 3.1 Continuidad de una función en un punto ...................... 92
3.2 Función continua en un intervalo .................................. 102
Ejercicios Integradores ........................................................... 108
3.3 Teoremas de las funciones continuas ........................ 109
Ejercicios Integradores ........................................................... 114
Problemas de Aplicación ........................................................ 115
Prueba de Opción Múltiple ..................................................... 116
Autoevaluación ....................................................................... 117
Guía de Estudio .......................................................................... 118
Ejercicios de Repaso ................................................................ 121
4. EL CONCEPTO DE DERIVADA 4.1 Razones de cambio ........................................................... 126
4.2 El problema de la recta tangente a una curva ............ 143
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4.3 Relación entre razón de cambio promedio, razón de cambio instantánea, recta secante y recta tangente ..................................................................... 147
Ejercicios Integradores ........................................................... 152
4.4 Concepto de derivada ....................................................... 153
4.5 Función derivada ............................................................... 154
4.6 Derivadas laterales ............................................................ 164
4.7 Derivabilidad y continuidad ............................................ 164
4.8 Derivabilidad de una función en un intervalo ............ 168
Ejercicios Integradores ........................................................... 172
Problemas de Aplicación ........................................................ 173
Prueba de Opción Múltiple ..................................................... 175
Autoevaluación ....................................................................... 176
Ejercicios de Repaso ................................................................ 177
5. CÁLCULO DE DERIVADAS 5.1 Reglas de derivación ........................................................ 180
5.2 Derivación implícita ........................................................... 196
5.3 Razones de cambio relacionadas .................................. 200
Ejercicios Integradores ........................................................... 205
5.4 Derivadas de orden superior .......................................... 207
Problemas de Aplicación ....................................................... 211
Prueba de Opción Múltiple ..................................................... 214
Autoevaluación ....................................................................... 214
Ejercicios de Repaso ................................................................ 215
6. ESTUDIO DE FUNCIONES 6.1 Valores extremos de una función .................................. 220
6.2 Función creciente y decreciente .................................... 234
6.3 Determinación de extremos relativos ........................... 241
6.4 Concavidad .......................................................................... 250
6.5 Criterio de la segunda derivada para la determinación de extremos relativos ........................... 263
6.6 Asíntotas .............................................................................. 266
6.7 Estudio de funciones ........................................................ 274
Ejercicios Integradores ........................................................... 281
Problemas de Aplicación ........................................................ 283
Prueba de Opción Múltiple ..................................................... 288
Autoevaluación ....................................................................... 290
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Guía de Estudio ......................................................................... 290
Ejercicios de Repaso ................................................................ 296
7. APLICACIONES DE LA DERIVADA 7.1 Teoremas del valor intermedio ...................................... 300
7.2 Límites indeterminados y la regla de L’Hopital ......... 309
Ejercicios Integradores ........................................................... 318
7.3 Antiderivada ........................................................................ 318
7.4 Aproximaciones ................................................................. 321
Diferenciales ....................................................................... 322
Aproximaciones lineales .................................................. 326
Aproximaciones polinomiales......................................... 327
Ejercicios Integradores ........................................................... 337
Prueba de Opción Múltiple ..................................................... 337
Autoevaluación ....................................................................... 338
Ejercicios de Repaso ................................................................ 339
RESPUESTAS ............................................................................................. 341
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 361
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
43"
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El Cálculo Diferencial
44"
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El Cálculo Diferencial
45"
Kpvgtxcnq"cdkgtvq"Gu"gn"eqplwpvq"fg""nqu""pûogtqu""tgcngu"eqortgpfkfqu"gpvtg"c"{"d0""*c."d+"="}z"1"c"<"z"<"dÄ"
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"Kpvgtxcnq"ugokcdkgtvq"c"fgtgejc"*q"ugokegttcfq"c"k|swkgtfc+"
Gu"gn"eqplwpvq"fg"pûogtqu" tgcngu" hqtocfq"rqt"c"{" nqu"pûogtqu"eqortgpfkfqu"gpvtg"c"{"d0"]c."d+"="}"z"1"c"≤"z"<"dÄ
"Kpvgtxcnqu"kphkpkvqu"
"""""""]c."∞+"="}"z"1"z"≥"cÄ" " " """"""""""""""""*c."∞+"="}"z"1"z">"cÄ"
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"Glgornq0""Kpvgtrtgvg"itâhkecogpvg"nqu"kpvgtxcnqu<"c+"]−4."5_"" d+"*3."6+"" e+"*2."7_"" f+"]3."∞+" g+"*−∞."5+"" " "c+"Gn"kpvgtxcnq"]−4."5_"eqortgpfg"vqfqu"nqu"pûogtqu"tgcngu"gpvtg"−4"{"50"Eqoq"gu"egttcfq"kpenw{g"nqu"gzvtgoqu0""Uw"tgrtgugpvcekôp"itâhkec"gu<"
"
" " "d+"Gn" kpvgtxcnq" *3." 6+" eqttgurqpfg"c" vqfqu" nqu" pûogtqu" tgcngu" gpvtg" 3" {" 60"Gu"cdkgtvq"rwgu"pq"kpenw{g"c"nqu"gzvtgoqu0""Itâhkecogpvg<"
""e+"Gn"kpvgtxcnq"*2."7_""eqortgpfg"vqfqu"nqu"pûogtqu"tgcngu"gpvtg"2"{"7"kpenw{gpfq"gn" gzvtgoq" 70" Ug" vtcvc" fg" wp" kpvgtxcnq" ugokcdkgtvq" c" k|swkgtfc" q" dkgp"ugokegttcfq"c"fgtgejc0""Uw"itâhkec"gu<"
"
El Cálculo Diferencial
46"
f+"Gn"kpvgtxcnq"]3."∞+"gu"kphkpkvq"{"eqortgpfg"vqfqu"nqu"pûogtqu"tgcngu"oc{qtgu"q"kiwcngu"c"30""
Itâhkecogpvg<"
""g+"Gn"kpvgtxcnq"*−∞."5+"gu"kphkpkvq"{"eqortgpfg"vqfqu"nqu"pûogtqu"tgcngu"ogpqtgu"swg"50""Uw"itâhkec"gu<"
""C"oqfq"fg"tguwogp<"Pqodtg"fgn"kpvgtxcnq"
Pqvcekôp""eqplwpvkuvc"
Pqvcekôp"fg"kpvgtxcnqu"
Tgrtgugpvcekôp"itâhkec"
Cdkgtvq" }z"1"c"<"z"<"dÄ" *c."d+""
Ugokegttcfq"c"fgtgejc"
}z"1"c"<"z"≤"dÄ" *c."d_""
Ugokegttcfq"c"k|swkgtfc"
}"z"1""c"≤"z"<"dÄ ]c."d+""
Egttcfq" }"z"1"c"≤"z"≤"dÄ" ]c."d_""
Kphkpkvq"cdkgtvq"c"k|swkgtfc"
}"z"1"z">"cÄ" *c."∞+""
Kphkpkvq"egttcfq"c"k|swkgtfc"
}"z"1"z"≥"cÄ" ]c."∞+""
Kphkpkvq"cdkgtvq"c"fgtgejc"
}"z"1"z"<"dÄ""
*−∞."d+" "
Kphkpkvq"egttcfq"c"fgtgejc"
}"z"1"z"≤"dÄ" *−∞."d_"
"
Kphkpkvq" T" *−∞."∞+" "
""GLGTEKEKQU""3+"Guetkdc"eqoq"kpvgtxcnq"gn"eqplwpvq"fghkpkfq"uqdtg"nc"tgevc"tgcn0"
c+"" " " " " " d+"
" "e+""""""""""""""""""""""""""""""" " " f+""
" "
El Cálculo Diferencial
47"
g+""""""""""""""""""""""" " " " h+"
""""""" "4+" Guetkdc." uk" gu" rqukdng." eqoq" kpvgtxcnq" q" wpkôp" fg" kpvgtxcnqu" nqu" ukiwkgpvgu"eqplwpvqu"fg"pûogtqu"tgcngu<"" c+"C"="}"z"1"7"<"z"<";Ä" """ " d+"D"="}"z"1"−3"≤"z"≤"5Ä" """"" e+"E"="}"z"1"z"<"−4"∨"z">"4Ä"" " f+"F"="}"z"1"−6"<"z"<"4"∧"z"≠"−3Ä" "5+"Guetkdc"gp"pqvcekôp"eqplwpvkuvc"nqu"ukiwkgpvgu"kpvgtxcnqu"fg"pûogtqu"tgcngu<"
" c+" ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛5"".
6
7" " " d+"*−∞."−3_" " " e+"*−9."−4_" "
" f+" ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞".5
6" " " g+" ⎟
⎠
⎞⎢⎣
⎡−4
3".
4
7" " " h+"]6.";_"
"TGURWGUVCU"3+c+"]"−5."4_"""""""""d+"]6.":+""""""" e+"*−∞."−4+"""f+"*−7."4+""" g+"]3."∞+" "h+"*−4."6_"4+c+"*7".";+" """""""d+"]⁄3."5_" e+"*−∞."−4+"∪"*4."∞+" f+"*−6."−3+"∪*⁄3."4+"""
5+c+ ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ << 5z
6
7"1"z d+"}"z"1"z"≤"−3Ä" " e+"}"z"1"−9"<""z""≤""−4Ä"
f+"⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
5
6z"1"z " """"""" " g+"
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <≤−
4
3z
4
7"1"z h+"}"z"1"6""≤""z""≤"";Ä"
"
"Xcnqt"cduqnwvq"Gp"nc"ukiwkgpvg"itâhkec."nqu"pûogtqu"−5"{"5"tgrtgugpvcp"ncu"eqqtfgpcfcu"fg"fqu"rwpvqu"fkuvkpvqu"gp"nc"tgevc"pwoêtkec0"Ukp"godctiq."codqu"guvâp"ukvwcfqu"c"nc"okuoc"fkuvcpekc"fgn"20""
"Gn" rwpvq" eqttgurqpfkgpvg" c" −5" guvâ" ukvwcfq" c" nc" k|swkgtfc" fgn" 2" c" nc" okuoc"fkuvcpekc" swg" gn" rwpvq" eqttgurqpfkgpvg" c" 5" swg" ug" gpewgpvtc" ukvwcfq" c" nc"fgtgejc0""Guvq"ug"kpfkec"eqp"nc"pqvcekôp"xcnqt"cduqnwvq<""
⏐−5⏐="5<"xcnqt"cduqnwvq"fg"−5"gu"50""
" " ⏐5⏐="5<"xcnqt"cduqnwvq"fg"5"gu"50"
El Cálculo Diferencial
48"
Uk" c" gu" wp" pûogtq" tgcn" gpvqpegu" c" gu" nc" eqqtfgpcfc" q" cduekuc" fgn" rwpvq" C"uqdtg" nc" tgevc" tgcn" q" pwoêtkec0"Gn" uîodqnq"⏐c⏐" kpfkec" gn" pûogtq" fg" wpkfcfgu"gpvtg"gn"rwpvq"C"{"gn"qtkigp0"Gn"pûogtq"⏐c⏐."pq"pgicvkxq."ug"nncoc"xcnqt"cduqnwvq"fg"c0"""
"Rctc"wp"pûogtq"rqukvkxq"c"tguwnvc"swg"uw"xcnqt"cduqnwvq"eqkpekfg"eqp"ên"okgpvtcu"swg" uk" gn" pûogtq" gu" pgicvkxq" uw" xcnqt" cduqnwvq" gu" gn" qrwguvq" fg" c0" Cfgoâu"eqoq"2"gu"gn"qtkigp"gu"gxkfgpvg"swg"⏐2⏐"="20""Fgufg" gn" rwpvq" fg" xkuvc" igqoêvtkeq" gn" xcnqt" cduqnwvq" fg" wp" pûogtq" gu" nc"fkuvcpekc"gpvtg"gn"rwpvq"{"gn"qtkigp0""Fgufg"gn"rwpvq"fg"xkuvc"cnigdtckeq."ug"fghkpg"gn"xcnqt"cduqnwvq"fg"wp"pûogtq"fg"
nc"ukiwkgpvg"ocpgtc<""⏐c⏐= ⎩⎨⎧−
≥2>c""""uk""c2c""""uk"""c"""
"Gn"xcnqt"cduqnwvq"fg"vqfq"pûogtq"tgcn"gu"wp"pûogtq"pq"pgicvkxq0"
Gp"uîodqnqu<"" 2"c"<T""c ≥∈∀ """
"
Rtqrkgfcfgu"fgn"xcnqt"cduqnwvq"•" ⏐c0d⏐"="⏐c⏐0⏐d⏐."∀"c"∈"T."∀"d"∈"T"
•" ""d"
"c""d
c" = ."∀"c"∈"T."∀"d"∈"T"∧"d"≠"2"
•" ⏐c"-"d⏐"≤"⏐c⏐-⏐d⏐."∀"c"∈"T."∀"d"∈"T"*fgukiwcnfcf"vtkcpiwnct+"•" ∀c"<"⏐c⏐"="⏐−c⏐"
"
El Cálculo Diferencial
Distancia entre dos puntos El concepto de valor absoluto permite definir la distancia entre dos puntos
cualesquiera de la recta real. Por ejemplo, la distancia entre los puntos de
abscisas 3 y 8, es 5.
Esta distancia se obtiene al restar las coordenadas de los puntos: 8 − 3 = 5.
Utilizando valor absoluto ⏐8 − 3⏐ = 5. Como ⏐3 − 8⏐ también es 5, se concluye
que no importa el orden en el que se realice la resta.
De la misma manera si se desea determinar la distancia entre los puntos de
abscisas −2 y 5:
⏐5 − (−2)⏐ = ⏐5 + 2⏐ = ⏐7⏐ = 7
⏐ −2 − 5)⏐ = ⏐−7⏐ = 7
Para calcular la distancia entre dos puntos ubicados a la izquierda del origen, se
obtiene:
⏐−3−(−2)⏐ = ⏐−3+2⏐ = ⏐−1⏐ = 1
⏐−2−(−3)⏐ = ⏐−2+3⏐ = ⏐1⏐ = 1
Definición. Sean a y b las coordenadas o abscisas de los puntos A y B sobre la
recta real. La distancia entre ellos está dada por d(A, B) = ⏐a − b⏐ = ⏐b − a⏐
Se puede observar que la distancia entre el origen O y el punto A está dada por:
d(A, 0) = ⏐a − 0⏐ = ⏐0 − a⏐ = ⏐a⏐
El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definiciones
importantes en el estudio del Cálculo. Se resolverán ecuaciones e inecuaciones
en las que interviene dicho concepto.
Ejemplos. Determine él o los valores de x que verifican cada igualdad o
desigualdad:
27
El Cálculo Diferencial
• ⏐x⏐ = 3
Desde el punto de vista geométrico ⏐x⏐ = 3 significa que la distancia del o los
valores de x al cero debe ser tres. De aquí resulta que las soluciones de esta
ecuación son x = 3 y x = −3.
S = {3 ; –3}
•⏐x⏐ < 3
En este ejemplo se deben considerar todos los números que distan del origen
menos de tres unidades.
La solución de la inecuación son todos los números reales entre −3 y 3, es decir,
−3 < x < 3.
Resulta el intervalo abierto (−3, 3).
S = {x / −3 < x < 3} = (−3, 3)
• ⏐x⏐ ≤ 3
Los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos los que se encuentran
a una distancia del cero menor o igual a tres. Por lo tanto el conjunto solución
está formado por –3, 3 y todos los números reales comprendidos entre ellos.
Resulta el intervalo cerrado [−3, 3].
S = { x / −3 ≤ x ≤ 3} = [−3, 3]
•⏐x⏐ > 3
Realizando el mismo análisis que en los ejemplos anteriores, resulta que los
valores de x que verifican la desigualdad son aquellos que están a más de 3
unidades del origen. La solución es el conjunto de los números reales mayores
que 3 o menores que −3. La solución se puede escribir como unión de dos
intervalos abiertos: (−∞, −3) ∪ (3, ∞).
S = { x / x < −3 ó x > 3} = (−∞, −3) ∪ (3, ∞).
• ⏐x⏐ ≥ 3
La solución es el conjunto de números reales mayores o iguales que 3 ó
menores o iguales que −3.
Así, ⏐x⏐ ≥ 3 ⇔ x ≤ −3 ó x ≥ 3.
Utilizando la notación de intervalos podemos escribir (−∞, −3] ∪ [3, ∞).
S = { x / x ≤ −3 ó x ≥ 3} = (−∞, −3] ∪ [3, ∞)
28
El Cálculo Diferencial
Resumiendo todas las situaciones en un mismo gráfico resulta:
De estos ejemplos se deducen las siguientes propiedades:
Propiedad 1. Sea k ∈ R tal que k > 0, ⏐a⏐= k ⇔ a = k ó a = −k.
Propiedad 2. ⏐a⏐ < k ⇔ −k < a < k
Esta propiedad también es válida al considerar la desigualdad “≤ “
⏐a⏐≤ k ⇔ −k ≤ a ≤ k
Propiedad 3. ⏐a⏐ > k ⇔ a < −k ó a > k
También vale para “≥“
⏐a⏐≥ k ⇔ a ≤ −k ó a ≥ k.
Ejemplos. Resuelva las siguientes igualdades y desigualdades.
• ⏐x − 2⏐ = 8
Por propiedad 1 puede ocurrir que x − 2 = 8 ó x − 2 = −8 y resulta que x = 10
ó x = −6.
Desde el punto de vista geométrico los
puntos de abscisas 10 y −6 están
ubicados a 8 unidades de 2.
• ⏐x − 3⏐≤ 7
Teniendo en cuenta la propiedad 2:
−7 ≤ x − 3 ≤ 7 ⇒ −7 + 3 ≤ x ≤ 7 + 3 ⇒ −4 ≤ x ≤ 10
La solución es el intervalo cerrado [−4, 10]. Geométricamente representa el
conjunto de puntos de la recta cuya distancia a 3 es menor o igual que 7.
• ⏐x + 4⏐ > 5
29
El Cálculo Diferencial
Según la propiedad 3 resulta: x + 4 > 5 ó x + 4 < −5
x > 1 ó x < −9
Geométricamente representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia a
−4 es mayor que 5. La solución está representada por la unión de los intervalos
abiertos: (−∞, −9) ∪ (1,∞).
• 0 <⏐x − 5⏐< 3
Debemos encontrar los valores de x que verifican al mismo tiempo⏐x − 5⏐< 3 y
⏐x − 5⏐> 0.
La primera desigualdad implica:
− 3 < x − 5 < 3 ⇒ − 3 + 5 < x < 3 + 5 ⇒ 2 < x < 8
Además se debe verificar que 0 < ⏐x − 5⏐. Como el valor absoluto es siempre
positivo o nulo, los únicos valores de x que no verifican la desigualdad anterior
son los que anulan ⏐x − 5⏐.
Resolver⏐x − 5⏐> 0 es equivalente a resolver ⏐x − 5⏐ ≠ 0, de donde, x ≠ 5.
La solución es la unión de dos intervalos (2, 5) ∪ (5, 8). Geométricamente
representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia al 5 es menor que 3
pero distinta a 0.
Ejemplo. Sea el conjunto C = {x / x ∈ R ∧ ⏐3x − (x − 6)⏐≤ 5}. Grafíquelo e
indique el intervalo que determina.
Aplicando la propiedad ⏐a⏐ < k ⇔ −k < a < k y resolviendo se obtiene:
−5 ≤ 3x − (x − 6) ≤ 5 ⇒ −5 ≤ 3x − x + 6 ≤ 5 ⇒ −5 ≤ 2x + 6 ≤ 5 ⇒
−5 − 6 ≤ 2x ≤ 5 − 6 ⇒ −11 ≤ 2x ≤ −1 ⇒ 2
1 x
2
11−≤≤−
La solución es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre
2
11− y
2
1− , incluidos los extremos que representa el intervalo cerrado
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−2
1 ,
2
11.
Su gráfica es:
Ejemplo. Sea el conjunto F = {x / x ∈ R ∧ ⏐3x − (m − x)⏐< 3}. Determine el valor
de m para que resulte el conjunto de todos los números reales que están a
menos de 4
3 unidades de distancia de −
2
1.
30
El Cálculo Diferencial
Representando gráficamente todos los valores de x que están a menos de 4
3
unidades de distancia de −2
1 resulta el intervalo ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−4
1 ,
4
5, o sea
4
1x
4
5<<− .
Para encontrar el valor de m, se resuelve la desigualdad:
⏐3x − m + x⏐< 3 ⇒ ⏐4x − m⏐< 3
Sacando factor común 4 y aplicando las propiedades del valor absoluto:
34
mx4 <− ⇒
4
3
4
mx <−
Por lo tanto 2
1
4
m−= ⇒ m = −2.
O también: ⏐3x − m + x⏐< 3 ⇒ ⏐4x − m⏐< 3 ⇒ −3 < 4x − m < 3 ⇒
⇒ 4
m3x
4
m3 +<<
+−
Por lo tanto debe verificarse 4
m3 +− =
4
5− y
4
m3 + =
4
1.
Resolviendo la primera se obtiene:
4
m3 +− =
4
5− ⇒ −3 + m = − 5 ⇒ m = −5 + 3 ⇒ m = −2.
Este valor de m verifica la otra igualdad, por lo tanto para que el conjunto F
represente el conjunto pedido, m = −2.
Ejemplo. Sea el conjunto D = {x / x ∈ R ∧ 0 <⏐(x − 1).2 − x⏐< 4}. Grafíquelo e
indique el o los intervalos que determina.
Si 0 <⏐(x − 1).2 − x⏐< 4 ⇒ 0 <⏐2x – 2 – x⏐< 4 ⇒ 0 <⏐x – 2⏐< 4.
Para resolver esta desigualdad se debe tener en cuenta que ⏐x − 2⏐< 4 y a la
vez ⏐x − 2⏐> 0. De acuerdo a la propiedad 2 de valor absoluto resulta:
⏐x − 2⏐< 4 ⇒ −4 < x −2 < 4 ⇒ −4 + 2 < x < 4 + 2 ⇒ −2 < x < 6
La desigualdad ⏐x − 2⏐> 0 se verifica para todo valor real de x excepto para el
que la diferencia x − 2 es nula.
La inecuación ⏐x − 2⏐> 0 es equivalente a x − 2 ≠ 0.
La solución es el conjunto de los números reales excepto el valor 2 (x ≠ 2).
Teniendo en cuenta las soluciones obtenidas de ambas desigualdades, se
puede decir que el conjunto solución está formado por todos los números reales
comprendidos entre –2 y 6 excepto 2 que se puede expresar como la unión de
dos intervalos, (−2, 2) ∪ (2, 6).
31
El Cálculo Diferencial
Ejemplo. Encuentre el valor de m de manera tal que la desigualdad
0 < ⏐x + 2m⏐ < −8m tenga como solución a (–3, 1) ∪ (1, 5).
Los números reales pertenecientes a (–3, 1) ∪ (1, 5) son los que verifican
−3 < x < 5 y x ≠ 1.
La expresión ⏐x + 2m⏐ < −8m se verifica para todos los valores de x que están a
una distancia menor que −8m de −2m. Por lo tanto −2m = 1 y −8m = 4, de
donde resulta m = 2
1− .
También se puede encontrar el valor de m resolviendo la desigualdad dada.
A partir de⏐x + 2m⏐ < −8m se obtiene:
8m < x + 2m < −8m ⇒ 8m − 2m < x < −8m − 2m ⇒ 6m < x < −10m
Además, de la expresión ⏐x + 2m⏐ > 0, se deduce: x + 2m ≠ 0 ⇒ x ≠ −2m
Comparando las desigualdades, se debe cumplir que: 6m = −3 y −10m = 5, de
donde m = 2
1− .
Se verifica además que para m = 2
1− el valor de x resulta distinto de 1.
EJERCICIOS 1) Usando el concepto de valor absoluto defina cada intervalo (o par de
intervalos) sobre la recta real:
a) b)
c) d)
2) Escriba como intervalo o unión de intervalos las siguientes expresiones.
Interprete gráficamente.
a) ⏐x + 1⏐ ≤ 3 b) ⏐x − 1⏐ ≥ 2
c) 0 < ⏐x − 2⏐ < 5 d) ⏐x⏐ < 4
3) Escriba los siguientes intervalos o unión de intervalos como desigualdades
utilizando notación de valor absoluto. Represente sobre la recta real.
a) (4, 10) b) (−7, −5) ∪ (−5, −3)
c) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2
9,44,
2
7 d) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
4
5,
4
11
RESPUESTAS 1)a) ⏐x − 1⏐ < 3 b) ⏐x⏐ ≥ 1 c) 0 < ⏐x − 5⏐ < 2 d) ⏐x + 1⏐ > 2
2)a) [−4, 2] b) (−∞,−1] ∪ [3, ∞)
32
El Cálculo Diferencial
c) (−3, 2) ∪ (2, 7) d) (−4, 4)
3)a) | x – 7 | < 3 b) 0 < | x + 5 | < 2
c) 2
14x0 <−< d)
4
32x <+
EJERCICIOS INTEGRADORES 1.2 NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL
1) Use el concepto de valor absoluto para definir cada intervalo (o par de
intervalos) sobre la recta real.
a) b)
c) d)
e) Todos los números que distan por lo menos 8 unidades del 5.
f) Todos los números que distan a lo sumo 5 unidades del 11.
2) Complete el siguiente cuadro:
Notación Conjuntista
Intervalo
Gráfica
a ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤
2
5x/x
b (−2, 1]
c ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <−
2
12x/x
d
3) Escriba como intervalo los conjuntos:
a) { }53x2 / xS <−= b) { }31x / xE >−=
4) Encuentre el valor de m para que los valores de x que verifican |2(x + m)| < 5
pertenezcan al intervalo (−4, 1).
5) Halle el valor positivo de a de manera tal que los valores de x que verifican
|ax − 8| < 2 representen todos los números que se encuentran a menos de una
unidad de distancia de 4.
33
El Cálculo Diferencial
PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE 1) La notación conjuntista del intervalo (–2, 1] es:
a) {x/ x > –2 ∨ x ≤ 1} b) {x/ x ≥ –2 ∧ x < 1}
c) {x/ x > –2 ∧ x ≤ 1} d) {x/ –2 < x < 1}
2) El intervalo real (–2, ∞) puede escribirse:
a) {x/ x < –2} b) {x/ x > –2} c) {x/ x ≤ –2} d) {x/⏐x⏐> –2}
3) El conjunto {x/⏐x⏐< 5} corresponde al intervalo:
a) [–5, 5] b) (–5, 5)
c) (–∞, –5) ∪ (5, ∞) d) (–5, 5]
4) Un intervalo semiabierto a izquierda es:
a) (–2, 3] b) (–2, 3) c) [–2, 3) d) [–2, 3]
5) La interpretación gráfica del intervalo real {x/ −1 ≤ x < 3} es: a) b)
c) d)
6) La solución de la inecuación ⏐x – 2⏐ ≤ 3 es el conjunto de los números reales
x tales que:
a) –5 ≤ x ≤ 1 b) x ≤ –1 ∨ x ≥ 5
c) –1 ≤ x ≤ 5 d) x < –1 ∨ x > 5
7) La expresión ⏐x − 2⏐ < 3 indica todos lo números reales que se encuentran a:
a) más de 3 unidades del 2 en la recta numérica
b) menos de 2 unidades del 3 en la recta numérica
c) menos de 3 unidades del 2 en la recta numérica
d) más de 2 unidades del 3 en la recta numérica
8) La expresión ⏐x + 5⏐ > 2 indica todos lo números reales que se encuentran a:
a) menos de 2 unidades del −5 en la recta numérica
b) más de 2 unidades del −5 en la recta numérica
c) más de 5 unidades del 2 en la recta numérica
d) menos de 5 unidades del 2 en la recta numérica
9) El conjunto A = {x/ 2 < x < 6 ∧ x ≠ 4} se puede escribir como:
a) ⏐x − 4⏐ < 2 b) 0 < ⏐x − 4⏐ < 2
c) 0 < ⏐x − 2⏐ < 4 d) 0 < ⏐x + 4⏐ < 2
10) El conjunto B = {x/ 1 < x ≤ 5} se puede expresar:
a) [1, 5] b) (1, 5) c) [1, 5) d) (1, 5]
11) La gráfica dada representa:
a) (−2,4) b) [−2, 4] c) (−2, 1) ∪ (1, 4) d) (−2, 4]
12) Para que la expresión ⏐x + a⏐ < m represente el intervalo (−2, 8) debe ser:
a) a = 3; m = 5 b) a = −3; m = 5
c) a = 5; m = 3 d) a = −5; m = 3
34
El Cálculo Diferencial
13) La gráfica representa:
a) (−2, 1) ∪ (1, 4] b) (−2, 1] ∪ (1, 4) c) (−2, 1) ∪ (1, 4) d) (−2, 4)
14) La gráfica del conjunto solución de la desigualdad ⏐4x + 2⏐ ≥ 10 es:
a) b)
c) d)
15) La notación conjuntista de ⏐x − b⏐ < k es:
a) {x/ b − k ≤ x ≤ b + k} b) {x/ b − k < x < b + k}
c) {x/ x/ b − k < x ≤ b + k } d) {x/ k − b ≤ x ≤ k + b} 16) La gráfica representa:
a) todos los números reales que se encuentran a menos de 3 unidades
del 1
b) todos los números reales que se encuentran a más de 3 unidades del 1
c) todos los números reales que se encuentran a 3 o menos de 3
unidades del 1
d) todos los números reales que se encuentran a 3 o más de 3 unidades
del 1
AUTOEVALUACIÓN 1) Escriba como intervalo los siguientes conjuntos de números reales:
a) A = {x / −1 < x < 5} b) B = {x / ⏐x + 1⏐ ≤ 4}
c) C = {x / −1 < x < 5 ∧ x ≠ 2} d) D = {x / ⏐x − 1⏐ > 4}
e) E = {x / x2 + 2x > 3} f) F = {x / x
2 + 2x ≤ 3}
2) Encuentre el valor de k (k > 1) de modo que la expresión ⏐kx − (x + 1)⏐ < 3
represente el intervalo (−2, 4).
3) Sea el conjunto A = {x / x ∈ R ∧ ⏐2.(1+ x) + m⏐ ≤ 3} . Determine el valor de m
para que represente el intervalo [−2 , 1]. 4)a) Utilice el concepto de valor absoluto para expresar simbólicamente “todos
los números reales que distan como mínimo 3 unidades del −2.”
b) Halle todos los valores de x reales que verifican esta afirmación.
c) Escriba la solución en notación conjuntista y como intervalo. 5)a) Exprese en lenguaje coloquial la expresión ⏐x − 4⏐ < 5.
b) Escriba la solución en notación conjuntista y como intervalo. EJERCICIOS DE REPASO
1) Exprese en notación conjuntista e interprete gráficamente sobre la recta real
los siguientes intervalos:
35
El Cálculo Diferencial
a) [ ]4 ,3 b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−2
7 1, c) ( −4, −1) d) [2, ∞) e) (−∞, −4)
2) Escriba como intervalo o unión de intervalos los siguientes conjuntos de
números reales:
a) A = {x / 2 ≤ x ≤ 4} b) B = {x / x > −1 ∧ x ≤ 3}
c) C = {x / −7 ≤ x < −2} d) D = {x/ −1 < x < 3}
e) F = {x / −3 < x < 1 ∧ x ≠ −1} f) G = {x / −3 < x < −1}
g) H = {x / ⏐x − 2⏐ < 5} h) M = {x / ⏐x + 2⏐≤ 3}
i) N = { x / 0 < ⏐x − 3⏐ < 1} j) P = {x / 0 < ⏐x + 4⏐ < 2}
k) O = {x / x2 − 4x + 2 < 2} l) Q = {x / x
2 − 4x + 2 > 2}
3) Halle los valores de x que verifican 0 < ⏐2(x − 3⏐ < 6. Escriba el resultado
como intervalo.
4) Determine los valores de x que satisfacen 0 < ⏐2x + 1⏐ < 1. 5) Calcule el valor de k > 0, de manera tal que la solución de
⏐3 + (2kx + 1) − kx⏐< 3 resulte el conjunto de todos los números reales que
están a menos de 2
3 unidades de –2.
6) Complete:
Notación Conjuntista Intervalo Gráfica
a) {x/ −1 ≤ x < 4}
b) (5, 9)
c) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<− 22
1x /x
d) (−2, 1) ∪ (1, 4)
e)
36
El Cálculo Diferencial
2. LÍMITE DE FUNCIONES
2.1 Noción intuitiva de límite.
2.2 Definición de límite de una función y propiedades.
2.3 Límites infinitos y límites en el infinito.
2.4 Límites indeterminados.
“Tal es la ventaja de un lenguaje bien construido que simplifique la notación que a menudo se convierte en una fuente de profundas teorías.”
P. S. Laplace
El Cálculo Diferencial
El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y
es imprescindible para dar solución a problemas tales como:
• calcular la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes.
• hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en
un punto determinado de la misma.
• determinar el área limitada por una curva.
Con el desarrollo de los diferentes contenidos nos proponemos como objetivos:
• Comprender la noción intuitiva de límite.
• Visualizar, a partir de la representación gráfica de una función, la existencia o
no del límite.
• Definir límite. • Calcular límites aplicando métodos algebraicos. • Aplicar las propiedades de los límites en el cálculo de los mismos. • Hallar límites infinitos. El concepto de límite se presenta primero de manera intuitiva y luego
formalmente.
2.1 Noción intuitiva de límite Actividad de reflexión.
Dada la función f : R → R / f(x) = x2 − 3x. Complete la siguiente tabla calculando
las imágenes de los valores de x considerados menores y mayores que −1.
x −1,01 −1,001 −1,0001 ... −1 … −0,9999 −0,999 −0,99
f(x) ... ...
¿Qué puede observar? Represente gráficamente la función dada. A partir de los
resultados de la tabla y del análisis de la gráfica, analice el comportamiento de
la función cuando x se aproxima a −1.
¿Es posible calcular el valor de la función directamente en x = −1 y evitar la
construcción de la tabla?
Se observa que cuando x se aproxima a −1 por valores menores que él, los
valores de la función se aproximan a 4. De la misma manera, cuando se eligen
valores de x que se aproximan a −1 por valores mayores que él, la función se
aproxima a 4.
Los valores de la función están próximos a 4 para valores de x suficientemente
cercanos a −1. No interesa el valor de la función cuando x es igual a –1.
38
El Cálculo Diferencial
Este comportamiento de la función
puede observarse gráficamente:
Todo lo anterior puede expresarse de la siguiente manera: “el límite de la
función (x2 − 3x) es 4 cuando x tiende a −1.”
Simbólicamente: ( ) 4x3xlím 2
1x=−
−→.
En este ejemplo se puede calcular la imagen de la función en x = −1.
f(−1) = (−1)2
− 3.(−1) = 4, valor que coincide con el límite, pero esto no sucede
para todas las funciones.
Actividad de reflexión.
Sea la función f(x) = 1x
3x3 2
−−
cuyo dominio es D = {x / x ∈ R ∧ x ≠ 1}. ¿A qué
valor se acerca f(x) cuando x se aproxima a 1?
Complete las siguientes tablas y corrobore lo hallado observando la
representación gráfica de la función.
x < 1 x > 1
x f(x) x f(x)
0,9 1,1
0,95 1,05
0,99 1,01
0,995 1,005
0,999 1,001
Si completó las tablas seguramente pudo observar que cuando x se acerca a 1
por derecha o izquierda, los valores de la función se aproximan a seis
(tienden a 6).
Esto se expresa de la siguiente manera: = 6 y se lee: "límite de la
función f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 6”.
)x(flím1x→
39
El Cálculo Diferencial
La función no está definida en x = 1, pero sin embargo, cuando x toma valores
cada vez más próximos a uno, tanto por izquierda como por derecha, el valor al
que tiende la función es seis.
¿Coinciden estas observaciones con sus respuestas? ¿Lo puede corroborar
gráficamente?
Definición. El límite de la función f(x) cuando x tiende al número real “a” es igual
al número real L si al aproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha,
siendo x ≠ a, resulta que f(x) se aproxima o incluso es igual a L. Se
escribe: Lf(x)límax
=→
.
La frase “por la izquierda y por la derecha” de la definición anterior es muy
importante. La notación se utiliza para indicar el límite lateral por
derecha y expresa el valor al que se aproxima f(x) cuando x tiende a a tomando
valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha. La
notación se utiliza para indicar el límite lateral por izquierda y expresa
el valor al que se aproxima f(x) cuando x tiende a a tomando valores menores
que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
)f(xlím
a x+→
)f(xlím
a x −→
Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y ser
iguales.
En la función analizada:
• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda se
llama límite lateral por izquierda. Simbólicamente se escribe: = 6. )x(flím1 x−→
• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la derecha se llama
límite lateral por derecha. Simbólicamente se escribe: = 6. )x(flím
1 x +→
• Como ambos límites laterales son iguales se expresa: = 6. )x(flím1x→
Recuerde. Una función puede tener límite en un punto y no estar definida en ese
punto. Nota. La definición de límite es intuitiva y no es precisa. La frase “se aproxima”
no tiene un significado concreto, sino que depende del contexto. Para un
mecánico que fabrica un pistón, cerca puede significar milésimas de centímetro.
Para un astrónomo que estudia galaxias, cerca puede significar años luz. Sin
embargo la definición estudiada resulta suficiente para evaluar límites de
funciones específicas.
40
El Cálculo Diferencial
Ejemplo. Sea la función f : R → R definida por f(x) = . Grafíquela y
determine los límites cuando x → 0
⎪⎩
⎪⎨⎧
>=
−
0 x si 1
0 xsi 0
0 < xsi 1
+ y x → 0
− . Extraiga conclusiones.
Observando la gráfica se concluye que:
• cuando x se acerca a 0 por derecha, es decir, por valores mayores que él, las
imágenes tienden a 1.
Entonces: 1)x(flím0x
=+→
.
• si x se acerca a 0 por números
menores que él, es decir, por izquierda,
las imágenes tienden a −1.
Entonces = −1. f(x) lím0x −→
Como los límites laterales son distintos, no existe el límite de f(x) para x → 0.
Ejemplo. Sea la función g : R − {2} → R / x → . Grafique la
función, halle los límites cuando x → 2
⎩⎨⎧
>−<−
2 xsix 3
2 xsi 1x
+ , x → 2
− y extraiga conclusiones.
La gráfica de la función es:
Cuando x se aproxima a 2 por valores
menores, es decir por la izquierda, lo
que corresponde al primer tramo de la
función, las imágenes tienden a 1.
Entonces: ( ) 11xlím2x
=−−→
Cuando x se aproxima a 2 por valores mayores, es decir por la derecha, lo que
corresponde al segundo tramo de la función, las imágenes también tienden a 1.
Entonces: ( ) 1x3lím2x
=−+→
Como los límites laterales existen y son iguales .1)x(glím2x
=→
Ejemplo. Sea la función h : R → R / h(x) = . Grafique la
función y determine la imagen del 1 y los límites cuando x → 1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=<−
1 xsi 22x
1 xsi 3
1 xsi x1 2
+ y x → 1
−.
En la gráfica se observa que la imagen del 1 es 3, es decir, h(1) = 3.
Observando la gráfica, a medida que x se aproxima a 1 por la izquierda, la
función se acerca a 0. Lo mismo ocurre cuando x se acerca a 1 por derecha.
41
El Cálculo Diferencial
Luego, ( ) 0x1lím 2
1x
=−−→
y ( ) 02x2lím1x
=−+→
.
Como los límites laterales existen y son
iguales, se concluye que: . 0)x(hlím1x
=→
Ejemplo. Sea la función m : R → R / m(x) = . Grafique la
función y halle la imagen del 3 y los límites cuando x → 3
⎩⎨⎧
>≤+
3 xsi 5
3 xsix 2
+ y x → 3
−.
La imagen de 3 es: m(3) = 2 + 3 = 5.
Observando la gráfica, cuando x se
aproxima a 3 por izquierda, las
imágenes tienden a 5. Lo mismo
ocurre cuando x se acerca a 3 por
derecha.
Entonces, 5)x(mlím3x
=−→
y 5)x(mlím3x
=+→
Como los límites laterales existen y son iguales, se concluye que . 5)x(mlím3x
=→
Resumen. El límite de una función en un punto puede o no existir. Si existe, su
valor es independiente de lo que ocurre con la función en el punto. En las
siguientes tablas se analizan distintas situaciones:
• L)x(flímax
=→
• la función no está definida en a,
a ∉ Df
• L)x(flím
ax=
→
• la función está definida en a, existe
f(a).
• )a(f)x(flímax
≠→
42
El Cálculo Diferencial
• L)x(flímax
=→
• la función está definida en a, existe
f(a).
• )a(f)x(flímax
=→
En estos ejemplos se observa que el
límite de la función f(x) cuando x tiende
a “a” es el número L indepen-
dientemente del comportamiento de la
función en el punto.
• no existe )x(flím
ax→
• la función está definida en a,
existe f(a) = −
L
• no existe )x(flím
ax→
• la función no está definida en a,
a ∉ Df.
• no existe )x(flímax→
• la función está definida en a, existe
f(a).
En estos ejemplos se observa que a
medida que x se aproxima a “a” por
izquierda y por derecha los valores de
f(x) no se aproximan a un mismo valor
determinado. Independientemente del
comportamiento de la función en el
punto, no existe el límite de f(x) cuando
x tiende a “a”.
43
El Cálculo Diferencial
Actividades de reflexión.
1) Con respecto a la afirmación: “Se puede pensar en el límite de f(x) cuando x
se acerca hacia a, como si fuera f(a)”. Critíquela. ¿Qué significa? ¿Hay algo
confuso en ella? Rescríbala de manera de describir de mejor manera lo que es
el límite.
2) Compare la afirmación del ejercicio anterior con la siguiente: “El límite es una
predicción de lo que será f(a)”.
3) Analice a través de sus gráficas funciones donde se resuman las siguientes
situaciones: el límite de una función en un punto puede o no existir; si existe, su
valor es independiente de lo que ocurre con la función en el punto.
EJERCICIO
Observe las funciones definidas gráficamente y calcule, si existen, los límites
pedidos para cada una:
a) b) c)
)x(flím2x +→
)x(glím1x +→
)x(hlím3x +−→
)x(flím2x −→
)x(glím1x −→
)x(hlím3x −−→
)x(flím2x→
)x(glím1x→
)x(hlím3x −→
RESPUESTAS a) 3 =
+→)x(flím
2x
=−→
)x(flím2x
1 no existe )x(flím2x→
b) 3 =+→
)x(glím1x
=−→
)x(glím1x
3 =→
)x(glím1x
3
c) =+−→
)x(hlím3x
4 =−−→
)x(hlím3x
2 no existe )x(hlím3x −→
2.2 Definición de límite de una función y propiedades Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo
en el que, dada la función f(x) = 1x
3x3 2
−−
con dominio D = {x / x ∈ R ∧ x ≠ 1}, se
obtuvo que = 6. )x(flím1x→
44
El Cálculo Diferencial
Para profundizar el significado de la expresión f(x) tiende a 6 cuando x tiende a
1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6.
Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas
encabezadas por: 6f(x) y 1x −− .
x < 1 x > 1
x f(x) 1x − 6)x(f − x f(x) 1x − 6)x(f −
0,9 5,7 0,1 0,3 1,1 6,3 0,1 0,3
0,95 5,85 0,05 0,15 1,05 6,15 0,05 0,15
0,99 5,97 0,01 0,03 1,01 6,03 0,01 0,03
0,995 5,985 0,005 0,015 1,005 6,015 0,005 0,015
0,999 5,997 0,001 0,003 1,001 6,003 0,001 0,003
Observando las tablas surge que cuando la función f(x) difiere de 6 en ±0,3, x
difiere de 1 en ±0,1, y cuando la función difiere de 6 en ±0,003, x difiere de 1 en
±0,001. Esto puede expresarse de otro modo diciendo que los valores de f
pueden hacerse tan próximos a 6 como se quiera, tomando x suficientemente
próximo a 1.
Más precisamente, puede hacerse el valor absoluto de la diferencia 6)x(f −
tan pequeño como se quiera, tomando suficientemente pequeño el valor
absoluto de la diferencia, 1x − .
Por ejemplo, si se desea que 6)x(f − < 0,45 se debe tener en cuenta:
6)x(f − = 61x
)1x()1x(36
1x
)1x(36
1x
3x3 22
−−
+−=−
−−
=−−
−
6)x(f − = 1x 3 )1x(3 3x3 63x3 −=−=−=−+
6)x(f − = 3 1x 45,0 1x −⇒<− < 0,15
De esta manera, para que 6)x(f − < 0,45 bastará con tomar:
15,0 1x <− siendo x ≠ 1.
Así se ha probado que 45,0 6)x(f <− siempre que 15,0 1x 1x <−∧≠ ; o
bien, expresado de otra manera:
)45,06 ; 45,06()x(f +−∈ siempre que 0,15)+1 ; 0,151(x 1 x −∈∧≠ .
Resulta útil visualizar gráficamente esta situación. Para ello, se debe tener en
cuenta que, si x ≠ 1, x − 1 ≠ 0 ⇒ f(x) = 3x31x
)1x)(1x(3
1x
3x3 2
+=−
+−=
−−
.
De esta manera, la gráfica de la función f(x) = 1x
3x3 2
−−
es la recta y = 3x + 3
excluido el punto (1, 4) pues la función no está definida para x = 1.
Observamos que 6 – 0,45 < f(x) < 6 + 0,45 cuando 1 – 0,15 < x < 1 + 0,15
siendo x ≠ 1.
45
El Cálculo Diferencial
La parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales x = 0,85 y x = 1,15
también queda encerrada entre las rectas horizontales y = 5,55 e y = 6,45.
El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para ⏐f(x) − 6⏐.
A esos valores (positivos) se los llama, en forma genérica, ε (épsilon) y para
cada uno de ellos se obtiene un valor δ (delta) también positivo, tal que
6 − ε < f(x) < 6+ ε siempre que 1 − δ < x < 1+ δ, x ≠ 1.
Utilizando notación de distancia: ⏐f(x) − 6⏐ < ε siempre que⏐x−1⏐ < δ y x ≠ 1
o en forma equivalente: f(x) ∈ (6 − ε, 6 + ε) siempre que x ∈ (1 − δ, 1 + δ), x ≠ 1
El significado geométrico de la
expresión = 6 analizada
puede interpretarse de la siguiente
manera: dado el par de rectas
horizontales y = 6 − ε e y = 6 + ε,
ε > 0, existe un par de rectas
verticales x = 1 − δ y x = 1 + δ, δ > 0,
tal que la parte de la gráfica de f que
está encerrada entre las rectas
verticales también queda encerrada
entre las rectas horizontales.
)x(flím1x→
Definición de límite En estos momentos estamos en condiciones de pensar en una definición formal
de límite. Revisemos lo desarrollado hasta ahora.
Sea f una función y a un número real. No se exige que f esté definida en a pero
sí en valores cercanos a “a” tanto por izquierda como por derecha (esto nos
46
El Cálculo Diferencial
garantiza que podamos hablar de f(x) para todos los valores de x ≠ a que están
suficientemente próximos a ”a”.
Sabemos que decir que L)x(flímax
=→
significa que podemos hacer que f(x) esté
tan próximo a L como queramos eligiendo x lo suficientemente cerca de a, pero
x ≠ a. Esto es, según vimos:
Enunciado informal
⏐f(x) − L⏐ puede hacerse
arbitrariamente pequeño
Enunciado considerando ε, δ
Para cada ε > 0 que se pueda elegir,
⏐f(x) − L ⏐ puede hacerse menor que ε
siempre que siempre que
⏐x − a⏐ sea suficientemente pequeño
pero distinto de cero.
⏐x − a⏐ verifique la desigualdad
0 < ⏐x − a⏐ < δ para un δ
suficientemente pequeño.
Teniendo en cuenta lo enunciado podemos ahora formular la definición de límite:
Sea f una función definida en un intervalo que contiene a “a”, excepto
posiblemente, en el propio a. Decimos que L)x(flímax
=→
si dado ε > 0 (por
pequeño que sea), existe δ > 0 tal que ⏐f(x) − L⏐ < ε para 0 < ⏐x − a⏐ < δ.
o bien:
Sea f una función definida en un intervalo que contiene a “a”, excepto
posiblemente, en el propio a. Decimos que L)x(flímax
=→
si dado ε > 0 (por
pequeño que sea), existe δ > 0 tal que ⏐f(x) − L⏐ < ε siempre que x ≠ a y
⏐x − a⏐ < δ.
En general, el valor de δ que verifica la condición de la definición depende del
valor de ε elegido previamente. Esto significa que, para cada ε que se elige,
existe un δ que le corresponde.
⇑ ⇑ ⇑ ⇑
para cada ε > 0existe un δ > 0
tal que ⏐f(x) − L ⏐< ε
siempre que
0 < ⏐x − a⏐ < δ
47
El Cálculo Diferencial
La definición establece que los valores de la función y = f(x) se aproximan al
límite L conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre
f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente
cerca de a pero no igual a “a”.
Límites laterales Como se ha visto, para que exista el límite de una función, deben existir los
límites laterales y coincidir. Definimos ahora límites laterales considerando ε y δ.
Límite lateral por izquierda Sea f una función definida al menos para valores de x menores que a.
Decimos que si dado −
−→= L)x(flím
ax
ε > 0, existe δ > 0 tal que ε<− − L f(x)
siempre que a − δ < x < a .
Límite lateral por derecha Sea f una función definida al menos para valores de x mayores que a. Decimos
que si dado ε > 0, existe δ > 0 tal que+
+→= L)x(flím
ax
ε<− +L f(x) siempre que
a < x < a + δ .
48
El Cálculo Diferencial
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6;"
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El Cálculo Diferencial
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eenîo+z*hnîoczcz
==→→
"
""
e+" Gn" nîokvg" ewcpfq" z"→" c" fg" wpc" hwpekôp" rqnkpqokcn" r*z+." gu" kiwcn" " cn" xcnqt"pwoêtkeq""fgn""rqnkpqokq"rctc"z"="c0""Gu"fgekt." +c*r+z*rnîo
cz=
→0"
( ) p3p3p
3p
2p3p3p
3p
2cz
ccc"000"ccccczc"000"zczc"nîo ++++=++++ −−
−−
→"
"
Glgornq0"Ecnewng"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
c+" znîo7z→" " " d+" 9nîo
6z→" " e+" ( )33zz4znîo 45
4z−+−
→"
"c+" znîo
7z→="7"fg"cewgtfq"c"nc"rtkogtc"rtqrkgfcf0" "
d+" 9nîo6z→
="9"vgpkgpfq"gp"ewgpvc"nc"ugiwpfc"rtqrkgfcf0"
e+"Guvg"nîokvg"ug"ecnewnc"fg"cewgtfq"c"nc"vgtegtc"rtqrkgfcf<"
( )33zz4znîo 45
4z−+−
→"="4
5"−"404"-"4
4"−"33"=":"−"6"-"6"−"33"="−5"
"
Glgornq0" Ugc" nc" hwpekôp" h" <" T"→" T" 1" z"→"⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤<−
≤−
5""""zuk"""""""""""6
5z3"""uk""""""4z
3"""""zuk4z"""""3
0" Ecnewng" nqu"
ukiwkgpvgu"nîokvgu"{"eqortwgdg"itâhkecogpvg<"c+" +z*hnîo
3z −→"" d+" +z*hnîo
3z +→"" e+" +z*hnîo
3z→"
f+" +z*hnîo5z −→
"" g+" +z*hnîo5z +→
"h+" +z*hnîo 5z→
"
"Vtcvâpfqug""fg"wpc"hwpekôp"fghkpkfc"rqt"vtcoqu."rctc""ecnewnct"ecfc"wpq""fg"nqu"""
El Cálculo Diferencial
"
73"
nîokvgu."fgdg" vgpgtug"gp"ewgpvc"gn" vtcoq"gp"gn"swg"guvâ" kpenwkfq"gn"xcnqt"gp"gn"ewcn"ug"ecnewnc"gn"nîokvg0"c+"Ewcpfq"z"ug"crtqzkoc"c"3"rqt" k|swkgtfc."fgdg" vgpgtug"gp"ewgpvc"gn"rtkogt"vtcoq."gu"fgekt<" ( ) 33043z43nîo
3z−=−=−
−→"
d+"Ewcpfq"z"ug"crtqzkoc"c"3"rqt"fgtgejc."fgdg"vgpgtug"gp"ewgpvc"gn"ugiwpfq"vtcoq."gu"fgekt<" ( ) 3434znîo
3z−=−=−
+→"
e+"Nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"qdvgpkfqu"gp"*c+"{"*d+"uqp"kiwcngu."gpvqpegu"gn"nîokvg"fg"h*z+"rctc"z"vgpfkgpfq"c"3"gzkuvg"{"gu"−30"Rqt"nq"vcpvq<" "3+z*hnîo
3z−=
→"
f+"Ewcpfq"z"ug"crtqzkoc"c"5"rqt"k|swkgtfc."fgdg"vgpgtug"gp"ewgpvc"gn"ugiwpfq"vtcoq."gu"fgekt<" ( ) 3454znîo
5z=−=−
−→"
g+"Ewcpfq"z"ug"crtqzkoc"c"5"rqt"fgtgejc."ug"vkgpg"gp"ewgpvc"gn"vgtegt"vtcoq."gu"fgekt< 66nîo
5z=
+→"
h+"Eqoq"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"gzkuvgp"rgtq"uqp"fkuvkpvqu"pq"gzkuvg"gn"nîokvg"fg"h*z+"rctc"z"vgpfkgpfq"c"50"Nqu" nîokvgu" ecnewncfqu" cpcnîvkecogpvg"ug" rwgfgp" eqortqdct" qdugtxcpfq" nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp<""
""Nîokvg"fg"hwpekqpgu"vtcuegpfgpvgu"Nqu" nîokvgu" fg"owejcu" hwpekqpgu" cnigdtckecu" ug" rwgfgp" ecnewnct"ogfkcpvg" nc"
uwuvkvwekôp" fktgevc." gu" fgekt" +0c*h+z*hnîocz
=→
Ncu" hwpekqpgu" vtkiqpqoêvtkecu." ncu"
gzrqpgpekcngu" {" nqictîvokecu" vcodkêp" vkgpgp" guvc" rtqrkgfcf0" Gpwpekcoqu"cniwpcu"fg"gnncu"vgpkgpfq"gp"ewgpvc"swg"c"gu"wp"pûogtq"tgcn"gp"gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"fcfc0""
3+ c"ugpz"ugpnîocz
=→
" 4+ c"equz"quenîocz
=→
"" 5+ c"viz"vinîocz
=→
"
6+ c"nqiz"qinnîocz
=→
"" 7+ c"npz"pnnîocz
=→
"" " 8+ cz
cz3232nîo =
→"
9+ cz
czggnîo =
→"
"ınigdtc"fg"nîokvgu"
Uk" 3cz
N+z*hnîo =→
"{" 4cz
N+z*inîo =→
"fqpfg"N3"∈"T."N4"∈"T"gpvqpegu<"
"
El Cálculo Diferencial
"
74"
3+" [ ] 43czczcz
NN+z*inîo+z*hnîo+z*i+z*hnîo +=+=+→→→
"""
4+" [ ] 43czczcz
NN+z*inîo+z*hnîo+z*i+z*hnîo −=−=−→→→
"""
5+"" 3czcz
N"0e+z*hnîo0e+z*h0enîo ==→→
."e"∈"T"
6+""" [ ] 43czczcz
N0N+z*inîo"0"+z*hnîo+z*i+0z*hnîo =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
→→→"
7+""4
3
cz
cz
cz N
N
+z*inîo
+z*hnîo
+z*i+z*h
nîo ==→
→
→."uk"N4"≠"2""
8+" [ ] p3
p"
cz
p
czN+z*hnîo"+z*hnîo =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
→→"uk"" p
3N "gu"wp"pûogtq"tgcn0"
"
9+" [ ] 4N3
4N3
+z*icz
nîo
cz
+z*i
czN"""uk"".N+z*hnîo+z*hnîo =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= →
→→"gu"wp"pûogtq"tgcn0"
"
Pqvc0"Fgdgoqu"vgpgt"gp"ewgpvc"swg"+z*i+z*h
nîocz→
"pq"gzkuvg"uk"N3"≠"2"{"N4"="20"
"
Pqvc0" Ncu" rtqrkgfcfgu" cpvgtkqtgu" pqu" rgtokvgp" cugiwtct" swg" gzkuvgp" nîokvgu"+z*hnîo
cz→swg" rwgfgp" ugt" gxcnwcfqu" ecnewncpfq" h*c+." gu" fgekt" uwuvkvw{gpfq"
fktgevcogpvg" z" rqt" c" gp" nc" gzrtgukôp" fg" nc" hwpekôp" cûp" ewcpfq" h*z+" gu" wpc"eqodkpcekôp"cnigdtckec"fg"hwpekqpgu"rctc"ncu"ewcngu"guvâ"fghkpkfc"h*c+0""Glgornq0"Tguwgnxc"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
c+" +zz*npnîo 4
3z+
→" " " d+" ( )z5
4z5"znîo −
→" " e+" "z+ugp034*nîo
4z
−π→
"
f+" 4
6zz0znîo
→" " " g+"
z32znîo
6
4z
−→
" " h+""z
54
5zznîo
→"
"Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"gn"ânigdtc"fg"nqu"nîokvgu"{"ncu"fkhgtgpvgu"rtqrkgfcfgu<"
c+" 33233npznîoznpnîo+zz*npnîo 44
3z3z
4
3z=+=+=+=+
→→→"""⇒""" 3+zz*npnîo 4
3z=+
→"
d+" ( ) 3;:5"45nîoznîo5""z"nîo 45z
4z
5
4z
z5
4z−=−=−=−=−
→→→""
Rqt"nq"vcpvq<" ( ) 35"znîo z5
4z−=−
→"
e+" ( ) 3430344
ugp034z"ugpnîo034z"ugp034nîo
4z
4z
−=−=π−=−=−π→π→
"""""
"
El Cálculo Diferencial
"
75"
Rqt"nq"vcpvq<" ( ) 34"zugp034nîo
4z
−=−π→
"
f+" ( ) 543804606znîo0znîoz0znîo 44
6z6z
4
6z====
→→→""""⇒""" 54z0znîo 4
6z=
→"
g+"( )
548
4324
znîo
32nîoznîo
znîo
32znîo
z32znîo
6
4z
4z
6
4z
4z
6
4z6
4z==−=
−=
−=−
→
→→
→
→
→""""
Rqt"nq"vcpvq<""" 5z32znîo
6
4z=−
→0"Gu"rqukdng"tguqnxgt"guvg"nîokvg"rwgu" 2znîo
4z≠
→0"
h+" ;5znîoznîoznîo 4z"
5znîo0
54
5z
z54"
5znîo
5z
z54
5z==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= →
→→
→→" ⇒""" ;znîo
z54
5z=
→"
"Nîokvg"fg"hwpekqpgu"eqorwguvcu"[c"xkoqu"swg"nqu" nîokvgu"fg"owejcu"hwpekqpgu"ug"rwgfgp"ecnewnct"ogfkcpvg" nc"uwuvkvwekôp" fktgevc0" Uk" cpcnk|coqu" eôoq" vtcdclct" eqp" hwpekqpgu" eqorwguvcu"guvctgoqu"gp"eqpfkekqpgu"fg"ecnewnct"oc{qt"ecpvkfcf"fg"nîokvgu0"""
Glgornq0"Ecnewng" ( )64
4z3znîo −
→0"
"
Nc"hwpekôp" ( )64 3z − "tguwnvc"fg"nc"eqorqukekôp"*hqi+*z+"fg"ncu"hwpekqpgu"h*z+"="z6""
{"i*z+"="z4"−30"Rctc"ecnewnct"gn"nîokvg"ug"rwgfg"rtqegfgt"fg"nc"ukiwkgpvg"ocpgtc<"
•" uk"z"→"4"gpvqpegu"*z4"−3+"→"5."
•" uk"*z4"−3+"→"5"gpvqpegu" ( )64 3z − "→":3."
Rqt"nq"vcpvq<"" ( )64
4z3znîo −
→"=":30"
Qdugtxcoqu"swg" ( ) 53znîo+z*inîo 4
4z4z=−=
→→""{"" :3znîo+z*hnîo 6
5z5z==
→→0"
"Glgornq0"Ecnewng" +3z4np*nîo
5z+
→0""
"Nc"hwpekôp"np*4z"-"3+"tguwnvc"fg"nc"eqorqukekôp"fg"i*z+"="4z"-"3""{""h*z+"="npz0""Uk"z"→"5"gpvqpegu"*4z"-"3+"→"90"Uk"*4z"-"3+"→"9"gpvqpegu""np*4z"-"3+"→"np9"Rqt"nq"vcpvq<" 9np+3z4np*nîo
5z=+
→0"
Rqfgoqu"gpwpekct"gn"ukiwkgpvg"vgqtgoc0"
Uk"h*z+"{"i*z+"uqp"fqu"hwpekqpgu"vcngu"swg" N+z*inîocz
=→
"{" +N*h+z*hnîoNz
=→
""
"
El Cálculo Diferencial
"
76"
gpvqpegu" ( ) +N*h+z*inîohi*z+h"nîo+z+*hqi*nîoczczcz
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
→→→0"
"
Glgornq<"Jcnng 32z5nîo4z
+−−→
0"
"
Nc"hwpekôp" 32z5 +− "tguwnvc"fg"eqorqpgt"i*z+"=" 32z5 +− "eqp" z+z*h = 0"
Eqoq" ( ) 3832+40*532z5nîo4z
=+−−=+−−→
."tguwnvc"swg""
63832z5nîo4z
==+−−→
0"
""GLGTEKEKQU""3+"Jcnng"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
" c+" :nîo4z→" " " d+" z4nîo
5z −→" " " e+" z4znîo 4
3z−
→" "
" f+" ( )5zznîo4z
+−→
" " g+"5z4z""nîo
6z +−+
→" " h+" 7z5nîo
2z+−
→"
4+"Ucdkgpfq"swg" ( )43zhnîo
ez=
→"{" ( )
65zinîo
ez=
→."ecnewng<"
" c+" ( ) ( )zizhnîoez
+→
" " d+" ( ) ( )zizhnîoez
−→
" " e+" ( ) ( )zi4zh5nîoez
+→
"
" f+" ( ) ( )zi0zhnîoez→
" " g+"( )( )zizh
nîoez→
" " " h+" ( )[ ] ( )ziezzhnîo
→"
5+"Fgvgtokpg"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
" c+" 7
5z7z;nîo +
→" " d+" ( ) 34
3zzz5nîo
−
→− " " e+" 5z:
2zgnîo +
→"
6+" Ugc"nc"hwpekôp"h*z+"="⎩⎨⎧
≥+
2""zuk""""""z
2>""zuk"""4z5 ."ecnewng."uk"gzkuvg<"
c+ +z*hnîo2z +→
" " " d+ +z*hnîo2z −→
"" " e+ +z*hnîo2z→
""
7+" Ugc"i*z+"="⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠+−4""zuk""""""""""""""""""""":
4""zuk""""4z5z 45"."gpewgpvtg."uk"gzkuvg<""
c+" +z*inîo4z +→
" " d+ +z*inîo4z −→
"" " e+ +z*inîo4z→
"
"TGURWGUVCU"3+c+":"" d+"−8" " e+"−3" " f+"−4" " g+"−8" " h+"7"
4+c+"67 " d+"
63− " e+"5"" " f+"
:5 " " g+"
54 " " h+"2.7;68"
"
El Cálculo Diferencial
"
77"
5+c+"4"" d+"43 " " e+"g
5" " "
6+c+"2"" d+"4" " e+"Pq"gzkuvg"7+c+"−4" d+"−4" " e+"−4"""GLGTEKEKQU" " KPVGITCFQTGU"N¯OKVG"403"PQEKłP" KPVWKVKXC"FG"N¯OKVG0"404"FGHKPKEKłP"FG"N¯OKVG"FG"WPC"HWPEKłP"["RTQRKGFCFGU""" "3+""Uk" 4+z*hnîo
ez=
→""{"" 5+z*inîo
ez=
→"."jcnng<"
" c+ [ ]i*z+70h*z+"nîoez
−→
"" " d++z*i04
+z*hnîoez→
"
4+"Rctc"ecfc"wpc"fg"ncu"ukiwkgpvgu"itâhkecu"fg"hwpekqpgu."fgvgtokpg"uk"gzkuvg"q"pq" gn" nîokvg" rctc" z" vgpfkgpfq" c" 40" Lwuvkhkswg" nc" tgurwguvc0" Gp" ecuq" fg" gzkuvkt."jcnng"gn"xcnqt0"
c+" " " " " " d+""" "
" "e+" " " " " " f+"
" "
5+"Fcfc"nc"hwpekôp"h"<"T"→""T"1"h*z+"="⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+<≤−
<−−
5""zuk""""34z5z2""uk""""""3z
2""zuk""""3z""itchkswg"{"fgvgtokpg<"
" c+ +z*hnîo2z −→
" " " d+ +z*hnîo2z +→
"" " e+" +z*hnîo2z→
" " "
El Cálculo Diferencial
"
78"
f+ +z*hnîo5z −→
"" " g+ +z*hnîo5z +→
" " " h+" +z*hnîo5z→
" " "
6+"Fghkpc"itâhkecogpvg"wpc"hwpekôp"h<"]−5."7_"→"T""vcn"swg<"h*−3+"="h*3+"="h*6+"="5.""3+z*h"nîo
4z=
−→"{" "5+z*h"nîo
4z=
+→0"
"
"
405"Nîokvgu"kphkpkvqu"{"nîokvgu"gp"gn"kphkpkvq""Nîokvgu"kphkpkvqu"Cpcnk|coqu."c"rctvkt"fg"uw"itâhkec."nc"gzkuvgpekc"fg"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
c+"z3nîo
2z→" " " " " d+"
3z3nîo
3z −−
→""
e+" ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
→3
z
3nîo
42z" " " " f+"
42z z
3nîo −→
""
"c+
•" uk"z"→"2-"nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"etgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
•" uk"z"→"2−" nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"
fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
Qdugtxcoqu"swg"z3nîo
2z→"pq"gzkuvg0"
d+
"•" uk"z"→"3-"nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
•" uk"z"→"3−" nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"
etgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
Gn"3z3nîo
3z −−
→"pq"gzkuvg0"
"Ncu"fqu"tcocu"fg"nc"ewtxc"ug"cegtecp"ecfc"xg|"oâu"cn"glg"{"c"ogfkfc"swg"z"ug"crtqzkoc"c"egtq0"Rctc"guvc"itâhkec"nc"tgevc"z"="2"gu"cuîpvqvc"xgtvkecn0"
"Ncu"fqu"tcocu"fg"nc"ewtxc"ug"cegtecp"ecfc" xg|" oâu" c" nc" tgevc" z" =" 3" c"ogfkfc" swg" z" ug" crtqzkoc" c" gug"xcnqt0"Rctc"guvc"itâhkec"fkejc"tgevc"gu"cuîpvqvc"xgtvkecn0""
El Cálculo Diferencial
"
79"
e+
"
•" uk"z"→"2-"nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"etgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
•" uk"z"→"2−" nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"
etgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
Pq"gzkuvg"" ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
→3
z
3nîo
42z0"
f+"
""
•" uk"z"→"2-"nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
•" uk"z"→"2−" nqu"xcnqtgu"fg"nc"hwpekôp"
fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg0"
Eqpenwkoqu"swg"42z z
3nîo −→
"pq"gzkuvg0"
"Nc"tgevc"z"="2"gu"cuîpvqvc"xgtvkecn0"
"Nc"tgevc"z"="2"gu"cuîpvqvc"xgtvkecn0"
"Gn" eqorqtvcokgpvq" fg" guvcu" hwpekqpgu" pq" rwgfg" fguetkdktug" eqp" nc" kfgc" {" gn"eqpegrvq"fg"nîokvg"swg"ug"jc"guvwfkcfq"jcuvc"cjqtc0"""
Cpcnk|cpfq."rqt"glgornq.""nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"{"="z3 ."ug"qdugtxc"swg"ewcpfq"
z"→" 2-." nqu"xcnqtgu"fg" h" etgegp"oâu"cnnâ"fg" vqfq" vqrg0"Fgekoqu"swg"pq" vkgpg"nîokvg"ewcpfq"z"→"2-0"Ukp"godctiq"tguwnvc"eqpxgpkgpvg"fgekt"swg"h*z+" vkgpfg"c"
-∞"ewcpfq"z"→"2-0""Guvc"chktocekôp"ug"guetkdg" +∞==+→+→ z3nîo+z*hnîo
2z2z0"
Guvq" pq" ukipkhkec" swg" gn" nîokvg" gzkuvg" pk" swg" -∞" gu" wp" pûogtq" tgcn." ukpq" swg"gzrtguc" swg" nc" hwpekôp" ug" jceg" vcp" itcpfg" eqoq" ug" fgugg" vqocpfq" z"
uwhkekgpvgogpvg" egtecpq" c" egtq0" Cn" gzrtguct +∞=+→ z
3nîo2z
" vgpgoqu" oâu"
kphqtocekôp" swg" cn" eqpukfgtct" swg"z
3nîo2z +→
" " pq" gzkuvg0" Gp" gn" rtkogt" ecuq.""
cfgoâu"fg" kpfkect"swg"gn" nîokvg"pq"gzkuvg"guvcoqu"fkekgpfq"rqt"swê"pq"gzkuvg"tgcnogpvg" {" cenctcpfq" cniwpqu" fgvcnngu" gp" tgncekôp" cn" eqorqtvcokgpvq" fg" nc"hwpekôp0"""Pqvc0"Eqp" vqfq" nq"cpcnk|cfq"rqfgoqu"eqpenwkt"swg"ewcpfq"ug" tghkgtg"c" nîokvgu"kphkpkvqu"gp"tgcnkfcf"pq"uqp"nîokvgu"ukpq"swg"rtqrqtekqpcp"uîodqnqu"{"wp"ngpiwclg""""
El Cálculo Diferencial
"
7:"
ûvkngu" rctc" fguetkdkt" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" hwpekqpgu" ew{qu" xcnqtgu" ug" jcegp"ctdkvtctkcogpvg"itcpfgu"*rqukvkxqu"q"pgicvkxqu+0"Tgewgtfg"swg"uk"gn"fgpqokpcfqt"vkgpfg"jcekc"egtq"{"gn"pwogtcfqt"pq."ug"rwgfg"fgvgtokpct"uk"gn" nîokvg" vkgpfg"jcekc"-∞"q"jcekc"−∞."cpcnk|cpfq"eqp"ewkfcfq" nqu"ukipqu"fg"nqu"hcevqtgu0""
Tguwogp0"
"
Ukodônkecogpvg"ug"guetkdg<""
Itâhkecogpvg<""
+∞=→
+z*hnîocz
" rctc" kpfkect" swg" nqu"
xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" etgegp"kpfghkpkfcogpvg"*ukp" vqrg+"ewcpfq"z"ug" cegtec" c" ›cfi" rqt" k|swkgtfc" {" rqt"fgtgejc0""""""" "
−∞=→
+z*hnîocz
" rctc" kpfkect" swg" nqu"
xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg"*ukp" vqrg+"ewcpfq"z"ug" crtqzkoc" c" ›cfi" rqt" xcnqtgu"ogpqtgu"{"oc{qtgu"swg"ên0""
"+∞=
−→+z*hnîo
cz"rctc" kpfkect"swg" nqu"
xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" etgegp"kpfghkpkfcogpvg" ewcpfq" z" ug"crtqzkoc"c"›cfi"rqt"xcnqtgu"ogpqtgu"swg"ên0""
−∞=+→
+z*hnîocz
"rctc" kpfkect"swg"nqu"
xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg"ewcpfq"z"ug"cegtec"c"›cfi"rqt"xcnqtgu"oc{qtgu"swg"ên0" "
El Cálculo Diferencial
"
7;"
−∞=−→
+z*hnîocz
"rctc" kpfkect"swg"nqu"
xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg"ewcpfq"z"ug"cegtec"c"›cfi"rqt"xcnqtgu"ogpqtgu"swg"ên0""
+∞=+→
+z*hnîocz
"rctc" kpfkect"swg" nqu"
xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" etgegp"kpfghkpkfcogpvg"ewcpfq"z"ug"cegtec"c"›cfi"rqt"xcnqtgu"oc{qtgu"swg"ên0"
""Glgornq0"Cpcnk|cpfq"nc"itâhkec"swg"hkiwtc"c"eqpvkpwcekôp."ug"rwgfg"qdugtxct"swg"
+∞=+→
+z*hnîocz
""""{"" +∞=−→
+z*hnîocz
0"
"Uk" ug" vtc|c" nc" tgevc" jqtk|qpvcn" fg"qtfgpcfc"P."vcp"itcpfg"eqoq"ug"swkgtc."swgfcp"fgvgtokpcfqu"fqu"rwpvqu"uqdtg"
nc"itâhkec" *c3."P+"{" *c4."P+" vcn"swg"rctc"
ewcnswkgt" z" ∈" *c3." c4+" nqu" tgurgevkxqu"xcnqtgu"fg"h*z+"uwrgtcp"c"P0"Fg"guvc"ocpgtc."cn"crtqzkoctug"z"c"›cfi"rqt"k|swkgtfc"q"rqt"fgtgejc."ug"qdvkgpgp"qtfgpcfcu" swg" uwrgtcp" ewcnswkgt" xcnqt"tgcn"rtgguvcdngekfq0"
"Fgn"cpânkuku"fg"nqu"glgornqu"ug"hqtocnk|c"nc"fghkpkekôp"fg"nc"pqekôp"fg"nîokvg"fg"wpc"hwpekôp"swg"vkgpfg"c"-∞"ô"c"−∞"ewcpfq"nc"xctkcdng"vkgpfg"c"wp"pûogtq"hkpkvq0""Fghkpkekôp0" Ugc" wpc" hwpekôp" fghkpkfc" rctc" vqfq" pûogtq" tgcn" fg" wp" kpvgtxcnq"cdkgtvq" swg" eqpvkgpg" c" ›cfi." ucnxq" rqukdngogpvg" gp" ›cfi0" Nc" gzrtgukôp""
+∞=→
+z*hnîoc"z
"ukipkhkec""swg""rctc""vqfq"pûogtq""P">"2."gzkuvg"wp"δ">"2"vcn"swg"
h*z+">"P"ukgortg"swg"2"<⏐z"− c⏐"<"δ0""Fgn"okuoq"oqfq." −∞=
→+z*hnîo
c"z"ukipkhkec"swg"rctc"vqfq"pûogtq"P"<"2."gzkuvg"wp"
δ">"2""cn"swg"h*z+"<"P"ukgortg"swg"2"<⏐z"− c⏐"<"δ0"""Rctc""fghkpkt"gn""nîokvg"kphkpkvq""rqt"nc""k|swkgtfc.""fgdg"uwuvkvwkt""2"<⏐z"− c⏐"<"δ""rqt"""c"− δ"< z"<"c."{""rctc""fghkpkt"gn""nîokvg""kphkpkvq"rqt""nc""fgtgejc."dcuvc"eqp""uwuvkvwkt""2"<⏐z"− c⏐"<"δ""rqt"c">"z">"c"-"δ0"""
El Cálculo Diferencial
Ejemplo. Determine los siguientes límites:
a) 9x
5xlím2
3x −−
+→ b)
9x
5xlím2
3x −−
−→ c)
9x
5xlím23x −−
→
a) Cuando x se aproxima a 3 por derecha (es decir que x está cerca de 3 pero
es mayor que 3), el numerador es un número negativo, el denominador es un
número positivo pequeño y de este modo la expresión 9x
5x
2 −
− es un número
negativo grande. Así, de manera intuitiva se ve que el límite es −∞.
9x
5xlím2
3x −−
+→ = −∞
b) Cuando x se aproxima a 3 por izquierda (es decir, x es cercano a 3 pero
menor que 3), el numerador es un número negativo, el denominador es un
número negativo pequeño y, por lo tanto, la expresión 9x
5x
2 −
− es un número
positivo grande. Luego, el límite es +∞.
9x
5xlím2
3x −−
−→= +∞
c) Como los límites laterales no son iguales, el límite para x →3 no existe.
Límites en el infinito Discuta el comportamiento de las funciones definidas gráficamente cuando x
crece indefinidamente y cuando x decrece indefinidamente.
• Si x crece indefinidamente la
función f(x) se acerca a 0.
• Si x decrece indefinidamente,
los valores de la función se
acercan a 0.
La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función.
60
El Cálculo Diferencial
"
83"
"
•" Uk" z" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" nc"hwpekôp"h*z+"ug"cegtec"c"40"
•" Uk" z" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg."nqu" xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" ug"cegtecp"c"40"
"Nc" tgevc" {" =" 4" gu" cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"fg"nc"hwpekôp0"
"
•" Uk" z" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" nc"hwpekôp"h*z+"ug"cegtec"c"40"
•" Uk" z" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg."nqu" xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" ug"cegtecp"c""−40"
"Ncu" tgevcu" {" =" 4" g" {" =" −4" uqp"cuîpvqvcu" jqtk|qpvcngu" fg" nc"hwpekôp0"
"
•" Uk" z" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" nc"hwpekôp"h*z+"ug"crtqzkoc"c"40"
•" Uk" z" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg."nqu" xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" ug"crtqzkocp"c""−30"
"Ncu" tgevcu" {" =" 4" g" {" =" −3" uqp"cuîpvqvcu" jqtk|qpvcngu" fg" nc"hwpekôp0"
"
Gp"gn"rtkogt"glgornq"guetkdkoqu" 2z3nîo
z3nîo
zz=−=−
−∞→+∞→0"
Tgeqtfgoqu" swg"∞" pq" tgrtgugpvc" wp" pûogtq0" Nc" gzrtgukôp" cpvgtkqt" gzrtguc"swg"gn"nîokvg"fg"h*z+"ewcpfq"z"etgeg"q"fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg"gu"egtq0"""
El Cálculo Diferencial
"
84"
Gn" eqorqtvcokgpvq" fg" hwpekqpgu" swg" ug" crtqzkocp" c" wp" pûogtq" ewcpfq" nc"xctkcdng"etgeg"q"fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg"*gu"fgekt."z"→"-∞"q"z"→"−∞+"ug"kpfkec"fg"nc"ukiwkgpvg"ocpgtc<""Ukodônkecogpvg"ug"guetkdg" Itâhkecogpvg<""
N+z*hnîoz
=+∞→
"rctc"kpfkect"swg"nc"
hwpekôp" vkgpfg" c" N" ewcpfq" nqu"xcnqtgu" fg" z" etgegp"kpfghkpkfcogpvg0""
""
N+z*hnîoz
=−∞→
"rctc"kpfkect"swg"nc"
hwpekôp" vkgpfg" c" N" ewcpfq" nqu"xcnqtgu" fg" z" fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg0""
""Glgornq0"Cpcnk|cpfq"nc"itâhkec"swg"hkiwtc"c"eqpvkpwcekôp."ug"rwgfg"qdugtxct"swg"
N+z*hnîoz
=+∞→
"
""
"
Ug" vtc|c" nc" tgevc" xgtvkecn" fg"cduekuc"O." vcp"itcpfg"eqoq"ug"fgugg0""Ug"qdugtxc"swg"rctc"wp"pûogtq"
rqukvkxq" ε." gzkuvg" wp" pûogtq"rqukvkxq" O." vcn" swg" rctc"ewcnswkgt"z"@"O." nqu"tgurgevkxqu"xcnqtgu" fg" h" guvctâp" gpvtg" ncu"
tgevcu"jqtk|qpvcngu""{"="N"-"ε""g"{"="N"−"ε0"
"Hqtocnk|cpfq"nc"fghkpkekôp"fg"nîokvg"fg"wpc"hwpekôp"swg"vkgpfg"c"wp"pûogtq"hkpkvq"ewcpfq"nc"xctkcdng"kpfgrgpfkgpvg"vkgpfg"c"-∞"ô"c"−∞."tguwnvc<""Fghkpkekôp0" Ugc" N" wp" pûogtq" tgcn0" Nc" gzrtgukôp "N+z*hnîo
z=
+∞→ukipkhkec" swg"
rctc"ecfc"ε"@"2."gzkuvg"wp"O"@"2"vcn"swg"⎜h*z+"−"N⎜">"ε""ukgortg"swg"z"@"O0"""
El Cálculo Diferencial
"
85"
Fgn" okuoq"oqfq." nc" gzrtgukôp" N+z*hnîoz
=−∞→
" ukipkhkec" " swg" rctc" ecfc" ε" @" 2."
gzkuvg"wp""O">"2""vcn"swg"⎜h*z+"−"N⎜">"ε""ukgortg"swg"z">"O0""Pqvc0" Ncu" rtqrkgfcfgu" tghgtkfcu" cn" ânigdtc" fg" nîokvgu" xânkfcu" uk" ›z"→" cfi" ug"eworngp"vcodkêp"uk"›z"→"-∞fi"{"›z"→"⁄∞fi0""
Glgornq0"Ecnewng" ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
∞→ z35nîo
z0"
"
Ewcpfq" z" vqoc" xcnqtgu" itcpfgu."z3 " gu" rgswgòq0" Vqocpfq" z" uwhkekgpvgogpvg"
itcpfg."z3 " rwgfg" jcegtug" vcp" rgswgòq" eqoq" swgtcoqu0" Rqt" nq" vcpvq"
2z3nîo
z=
∞→0"Rqt"qvtc"rctvg" 55nîo
z=
∞→"{"rqt"nq"vcpvq"gn"nîokvg"fg"nc"fkhgtgpekc"gu"nc"
fkhgtgpekc"fg"nqu"nîokvgu" ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
∞→ z35nîo
z"="5"⁄"2"="50"
"Rtqdngoc"
Ug" rtq{gevc" swg" fgpvtq" fg" v" còqu." nc" rqdncekôp" fg" ekgtvq" rwgdnq" ugtâ""""""
r*v+"="3v842+
− "okngu"fg"rgtuqpcu0"ÀSwê"ug"gurgtc"swg"uwegfc"eqp" nc"
rqdncekôp"c"ogfkfc"swg"gn"vkgorq"vtcpuewttg"kpfghkpkfcogpvgA"""Rctc" fgvgtokpct" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" nc" hwpekôp" ewcpfq" gn" vkgorq" vtcpuewttg"
kpfghkpkfcogpvg."ecnewncoqu"gn"nîokvg ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+−
+∞→ 3v842nîo
v0"
Ewcpfq"v"→-∞."vcodkêp"v"-3→"-∞"{."rqt"nq"vcpvq."3v8+
→"20"
Gp" eqpugewgpekc" ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
+−
+∞→ 3v842nîo
v" =" 420" Guvq" gzrtguc" swg" c" ogfkfc" swg" gn"
vkgorq"vtcpuewttg."nc"rqdncekôp"vkgpfg"c"guvcdknk|ctug"gp"42"222"rgtuqpcu0""Nîokvgu"kphkpkvqu"gp"gn"kphkpkvq"Owejcu" hwpekqpgu" pq" vkgpfgp" c" wp" nîokvg" hkpkvq" ewcpfq" z" etgeg" q" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0" Rqt" glgornq." pkpiwpc" hwpekôp" rqnkpqokcn" vkgpg" nîokvg" hkpkvq"ewcpfq"z"vkgpfg"c"kphkpkvq0"Gp" nc" ukiwkgpvg" vcdnc" ug"rtgugpvc" gn" cpânkuku" fgn" eqorqtvcokgpvq" fg" hwpekqpgu"swg" etgegp" q" fgetgegp" kpfghkpkfcogpvg" ewcpfq" nc" xctkcdng" vcodkêp" etgeg" q"fgetgeg"ukp"vqrg0"
El Cálculo Diferencial
86"
"
"•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
"•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
"•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
"•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
"Guvcu" hwpekqpgu"rtgugpvcp"eqorqtvcokgpvqu"swg"pq"rwgfgp"fguetkdktug"eqp" nc"kfgc" {" gn" eqpegrvq" fg" nîokvg" guvwfkcfq0" Rqt" nq" vcpvq." fgdg" gzvgpfgtug" fkejq"eqpegrvq"rctc"kpvgtrtgvct"{"ukodqnk|ct"guvcu"ukvwcekqpgu0""""Ukodônkecogpvg"ug"guetkdg<" Itâhkecogpvg<"
−∞=+∞→
+z*hnîoz
" rctc" kpfkect" swg" nc" hwpekôp"
fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg"ewcpfq"nc"xctkcdng"etgeg"kpfghkpkfcogpvg"
"
El Cálculo Diferencial
87"
+∞=−∞→
+z*hnîoz
" rctc" kpfkect" swg" nc" hwpekôp"
etgeg" kpfghkpkfcogpvg" ewcpfq" nc" xctkcdng"fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"
"
−∞=−∞→
+z*hnîoz
" rctc" kpfkect" swg" nc" hwpekôp"
fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg"ewcpfq"nc"xctkcdng"fgetgeg0"
"
+∞=+∞→
+z*hnîoz
" rctc" kpfkect" swg" nc" hwpekôp"
etgeg" kpfghkpkfcogpvg" ewcpfq" nc" xctkcdng"etgeg0"
"Tgeqtfgoqu" swg" gp" ewcnswkgtc" fg" nqu" nîokvgu +∞=
+∞→+z*hnîo
z." −∞=
+∞→+z*hnîo
z."
+∞=−∞→
+z*hnîoz
."" −∞=−∞→
+z*hnîoz
."gu"korqtvcpvg"vgpgt"gp"ewgpvc"swg"-∞"q"−∞"pq"
uqp"pûogtqu0"Gp"guvqu"ecuqu"ug"fkeg"swg"gn"nîokvg"pq"gzkuvg0"Rqt" glgornq." nc" gzrtgukôp +∞=
+∞→+z*hnîo
z" ukipkhkec" swg" uk" z"→" -∞" ." h*z+" etgeg"
kpfghkpkfcogpvg0""Ncu" fghkpkekqpgu" ukiwkgpvgu" fguetkdgp" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" hwpekqpgu" gp" gn"kphkpkvq0"""Fghkpkekôp0" Ugc" h" wpc" hwpekôp" fghkpkfc" cn" ogpqu" gp" gn" kpvgtxcnq" *c." ∞+0" Nc"gzrtgukôp" " +∞=
+∞→+z*hnîo
z" ukipkhkec" swg" rctc" ecfc" pûogtq" P" @" 2." gzkuvg" wp"
eqttgurqpfkgpvg"O"@"2"vcn"swg"h*z+"@"P"ukgortg"swg"z"@"O0""Guvq" ukipkhkec" swg" uk" z" gu" rqukvkxq" {" itcpfg." uw" eqttgurqpfkgpvg" kocigp" h*z+"vcodkêp"gu"rqukvkxc"{"itcpfg0""Fghkpkekôp0" Ugc" h" wpc" hwpekôp" fghkpkfc" cn" ogpqu" gp" gn" kpvgtxcnq" *c." ∞+0" Nc"gzrtgukôp" " −∞=
+∞→+z*hnîo
z" ukipkhkec" swg" rctc" ecfc" pûogtq" P" >" 2." gzkuvg" wp"
eqttgurqpfkgpvg"O"@"2"vcn"swg"h*z+">"P"ukgortg"swg"z"@"O0"""Fg" nc" okuoc" ocpgtc" ug" fghkpgp" nqu" gpwpekcfqu" rctc" ncu" gzrtgukqpgu"
+∞=−∞→
+z*hnîoz
"{" −∞=−∞→
+z*hnîoz
0"
El Cálculo Diferencial
88"
Glgornq0"Fkuewvc""gn""eqorqtvcokgpvq"fg"nc""hwpekôp"{"=" 4z63 5 + "rctc"z"→"-∞"{"
rctc"z"→"−∞0"Itchkswg0"""
Ewcpfq" "z"→"-∞."z5"→"-∞" "{."rqt" nq"
vcpvq." 4z6
3 5 + "→"-∞""0""
Ug"rwgfg"guetkdkt<"
+∞=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+∞→4z
63nîo 5
z"
Ewcpfq""z"→"⁄"∞."z5"→"⁄"∞""{."rqt"nq"
vcpvq." 4z63 5 + "→"⁄∞"0"
Nwgiq −∞=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−∞→4z
63nîo 5
z"
""Nîokvg"fg"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"gp"gn"kphkpkvq"Gn"nîokvg"fg"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"gp"gn"kphkpkvq."gu"kiwcn"cn"nîokvg"fgn"vêtokpq"fg"oc{qt"itcfq0"Fcfc"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"fg"itcfq"p"@"2.""
r*z+"="c2zp"-"c3"z
p−3"-"c4zp−4"-"000-"cp."ug"eworng +z*rnîo
z ∞→"=" ( )p2
zzcnîo
∞→"
"Rctc"fgoquvtct"guvc"chktocekôp"guetkdkoqu<"
r*z+"="c2zp"-"c3"z
p−3"-"c4zp−4"-"000-"cp"=" ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
pp
443
2z
c000
z
c
z
cc 0"z
p""
Gpvqpegu +z*rnîoz ∞→
"= p
pp
443
2z
z"0"z
c000
z
c
z
ccnîo ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
∞→""
Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"gn"ânigdtc"fg"nîokvgu"tguwnvc<"
p
pp
443
2z
z"0"z
c000
z
c
z
ccnîo ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
∞→= p
zpp
443
2z
znîo"0"z
c000
z
c
z
ccnîo
∞→∞→ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++ "
Eqoq" ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
∞→ pp
443
2z z
c000
z
c
z
ccnîo ="c2""rqfgoqu"cugiwtct"swg<"
+z*rnîoz ∞→
"="c2p
zznîo
∞→=" ( )p2z
zcnîo∞→
"
""
Glgornq0"Jcnng" ( )56
zzz45nîo +−−
∞→0"
"
El Cálculo Diferencial
89"
Rqt"nq"cpcnk|cfq"cpvgtkqtogpvg" ( )56
zzz45nîo +−−
∞→=" ( )6z
z4nîo −∞→
="−∞0"
"
Glgornq0"Fgvgtokpg" ( )z4znîo 5
z−
∞→0"
"
Rqt"nc"rtqrkgfcf"xkuvc. ( )z4znîo 5
z−
∞→"=" 5
zznîo
∞→0"Fcfq"swg"gn"itcfq"fg"nc"rqvgpekc"
gu"korct."fgdgoqu"cpcnk|ct"swê"rcuc"ewcpfq""z"→"-∞"{"ewcpfq""z"→"−∞0""
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+∞→z4znîo 5
z=" 5
zznîo
+∞→="-∞"
"
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
−∞→z4znîo 5
z=" 5
zznîo
−∞→="−∞"
"Pqvc0" Gp" gn" ewcftq" ukiwkgpvg" ug" owguvtcp" ncu" fkuvkpvcu" rqukdknkfcfgu" eqp"tgurgevq"cn"nîokvg"gp"gn"kphkpkvq"fg"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn0""•" Uk"gn"eqghkekgpvg"rtkpekrcn"fg"r*z+"gu"rqukvkxq<"
" "
+∞=+∞→
+z*rnîoz
" {" −∞=−∞→
+z*rnîoz
." uk"
r*z+"gu"fg"itcfq"korct0"
+∞=+∞→
+z*rnîoz
" {" +∞=−∞→
+z*rnîoz
." uk"
r*z+"gu"fg"itcfq"rct0""•" Uk"gn"eqghkekgpvg"rtkpekrcn"gu"pgicvkxq<"
" "" −∞=
+∞→+z*rnîo
z" {" +∞=
−∞→+z*rnîo
z." uk"
r*z+"gu"fg"itcfq"korct0"
−∞=+∞→
+z*rnîoz
" {" −∞=−∞→
+z*rnîoz
." uk"
r*z+"gu"fg"itcfq"rct0"
El Cálculo Diferencial
8:"
Pqvc0" Fgvgtokpct" uk" wpc" hwpekôp" vkgpg" q" pq" nîokvg" gp" gn" kphkpkvq" gu" ûvkn" rctc"cpcnk|ct"gn"eqorqtvcokgpvq"cukpvôvkeq"fg"uw"itâhkec0""""GLGTEKEKQU""3+"Qdugtxg"ncu"hwpekqpgu"fghkpkfcu"itâhkecogpvg"{"ecnewng"nqu"nîokvgu"kpfkecfqu<" c+
"
+z*onîo5z +→
"
+z*onîo5z −→
"
+z*onîo5z→
"
"
""""""d+
+z*rnîo3z +−→
"
+z*rnîo3z −−→
"
+z*rnîo3z −→
"
"
"""""e+"
"
+z*snîoz +∞→
" " " " " "
+z*snîoz −∞→
"
"
4+"Jcnng"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
" c+"3z
znîo4
3z −+→" " d+"
3z
znîo4
3z −−→""""""""""""""""e+" ( )57
zz5znîo −
−∞→ "
f+"z3nîo
2z +→" " " g+"
z3nîo
2z −→"""""""""""""""""""""""h+" ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−
+∞→
56
zzzznîo ""
"
El Cálculo Diferencial
8;"
i+"38z
z5nîo4
6z −
−−→
"" " j+"38z
z5nîo4
6z −
−+→
" """"""""""k+ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
+∞→
54
zz6zz4nîo
"TGURWGUVCU"3+c+ =
+→+z*onîo
5z-∞.""" =
−→+z*onîo
5z"-∞.""" =
→+z*onîo
5z-∞"
d+" =+−→
+z*rnko3z
−∞." =−−→
+z*rnîo3z
-∞." +z*rnîo3z −→
"pq"gzkuvg" " "
e+ =+∞→
+z*snîoz
"4" " =−∞→
+z*snîoz
"−4"
4+c+"-∞" d+"−∞"" e+"−∞" " f+"-∞"" g+"−∞" " "h+"-∞" " i+"-∞""" j+−∞" " k+"−∞" ""
"406"Nîokvgu"kpfgvgtokpcfqu"
Gp"owejcu"qecukqpgu"ug"rtgugpvc"gn"eânewnq"fg"nîokvgu"fg"eqekgpvgu."fkhgtgpekcu"{"rtqfwevqu"fg"hwpekqpgu"gp"nqu"swg"cn"tggornc|ct"nc"xctkcdng"rqt"gn"xcnqt"cn"ewcn"
vkgpfg" ug" igpgtcp" kpfgvgtokpcekqpgu" fgn" vkrq" ∞−∞∞∞∞ ""."0"2""."".
22 0" Gn" tguwnvcfq"
fg" guvqu" nîokvgu" pq" rwgfg" cpvkekrctug" {" gn" okuoq" rwgfg" ugt" egtq."∞." −∞." wp"pûogtq" hkpkvq" fkhgtgpvg" fg" egtq." q" dkgp" rwgfg" pq" gzkuvkt0" Rctc" tguqnxgtnqu." ug"tgcnk|cp" rtqegfkokgpvqu" cnigdtckequ" cfgewcfqu" swg" rgtokvcp" ucnxct" nc"kpfgvgtokpcekôp0"""
Nc"kpfgvgtokpcekôp"2
2"
Rctc" ucnxct" kpfgvgtokpcekqpgu" fg" guvg" vkrq." gu" rqukdng" tgfwekt" gn" eqekgpvg"rncpvgcfq"c"qvtq"ew{q"fgpqokpcfqt"pq"ugc"egtq"hcevqtk|cpfq"gn"pwogtcfqt"{1"q"gn"fgpqokpcfqt."ecpegncpfq"nwgiq"nqu"hcevqtgu"eqowpgu0"Gp"qvtcu"qecukqpgu."gu"rqukdng"etgct"wp"hcevqt"eqoûp"ownvkrnkecpfq"gn"pwogtcfqt"{"gn"fgpqokpcfqt"rqt"nc"gzrtgukôp"eqplwicfc"fg"nc"swg"ug"rtgugpvc"gp"wpq"fg"gnnqu0""
Glgornq0"Jcnng5z
;znîo
4
5z −−
→0"
"
Cn" uwuvkvwkt." tguwnvc" ( ) 2";z"nîo 4
5z=−
→" " {" 2"+5z*"nîo
5z=−
→" nq" swg" igpgtc" wpc"
kpfgvgtokpcekôp"fgn"vkrq 2
20"
Ukp" godctiq." eqoq" 5z+5z*
+5z+*5z*
5z
;z4+=
−−+
=−−
" uk" z" ≠" 5." tguwnvc" swg" nc"
hwpekôp"5z
;z4
−−
"eqkpekfg"eqp"nc"hwpekôp"*z"-"5+"ucnxq"gp"z"="50""
"
El Cálculo Diferencial
92"
Eqoq" kpvgtguc" cpcnk|ct" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" nc" hwpekôp" rctc" xcnqtgu" fg" z"rtôzkoqu" c" 5" *rqt" k|swkgtfc" {" rqt" fgtgejc+." gu" rqukdng" fgvgtokpct" gn"
eqorqtvcokgpvq"fg"5z
;z4
−−
"cpcnk|cpfq"gn"fg"nc"hwpekôp"*z"-"5+0"
Rqt"nq"vcpvq"rwgfg"fgektug"swg" 8+5z*nîo5z
;znîo
5z
4
5z=+=
−−
→→0"
"
Pqvc0"Cn"ukornkhkect"nc"gzrtgukôp"5z
;z4
−−
"tguwnvc"swg"nc"hwpekôp"eqkpekfg"eqp"z"-"5"
gzegrvq" gp" z" =" 50" Rqfgoqu" fgekt" swg" ncu" fqu" gzrtgukqpgu" uqp" kiwcngu" rctc"vqfqu" nqu"xcnqtgu"fqpfg"guvâp"fghkpkfcu0"Nc"fkhgtgpekc"gpvtg"gnncu"gu"swg"z"="5"
pq" rgtvgpgeg" cn" fqokpkq" fg"5z
;z4
−−
" rgtq" uî" cn" fqokpkq" fg" z" -" 50" Rwguvq" swg""
+z*hnîo5z→
"kipqtc""gn"xcnqt"swg"h"vqoc"gp"z"="5."guq"pq"kpvgtguc0"Fgufg"gn"rwpvq"fg"
xkuvc"fgn"nîokvg"gp"5"gucu"hwpekqpgu"uî"uqp"kiwcngu0""
Glgornq0"Fgvgtokpg"gn"4z4
3:z34z8nîo
4
3z −−+
→0"
"Cn"uwuvkvwkt"nc"xctkcdng"rqt"3."vcpvq"gn"pwogtcfqt"eqoq"gn"fgpqokpcfqt"ug"cpwncp"
{"ug"igpgtc"nc"kpfgvgtokpcekôp"2
20""Ug"hcevqtk|cp"gn"pwogtcfqt"{"gn"fgpqokpcfqt"
{."rctc"z"≠"3."ug"ukornkhkecp"nqu"hcevqtgu"eqowpgu<"
34+5"30*5+5z*"5nîo+3z0*4
+3z+0*5z0*8nîo
4z4
3:z34z8nîo
3z3z
4
3z=+=+=
−−+
=−
−+→→→
" "
"
Glgornq0"Fgvgtokpg"gn"43v
5vnîo5v −+
−→
0"
"
Tggornc|cpfq"nc"xctkcdng"rqt"5"ug"qdvkgpg"nc"kpfgvgtokpcekôp"2
20"Rctc"tguqnxgt"
guvg" nîokvg." ug" tcekqpcnk|c" gn" fgpqokpcfqt" ownvkrnkecpfq" gn" pwogtcfqt" {" gn"fgpqokpcfqt"rqt"nc"gzrtgukôp"eqplwicfc"fg"nc"fgn"fgpqokpcfqt"{"tguwnvc<"
( )=
−++−
=−+
++−=
++
++
−+
−→→→ 5v
+43v+0*5v*nîo
43v
+43v+0*5v*nîo
43v
43v043v
5vnîo
5v445v5v"
( ) =+=++=++=→
4443543vnîo5v
6"""
"
Glgornq0"Ecnewng"gn"nîokvg"( )55z 5z
z5nîo
−
−→
0"
El Cálculo Diferencial
Al sustituir, resulta ( ) 0 x3 lím3x
=−→
y lo que genera una
indeterminación del tipo
0 )3x( lím 3
3x=−
→
0
0.
( )33x 3x
x3lím
−
−→
= ( )
−∞=−
−=
−
−−→→ 23x33x )3x(
1lím
3x
)3x(lím
Si x → 3, el denominador tiende a cero. Si x se aproxima a 3 por derecha o por
izquierda, en cualquiera de los casos el denominador es positivo por estar
elevado al cuadrado. Como el numerador negativo (−1), el límite es −∞.
EJERCICIOS 1) Calcule los siguientes límites:
a) 3x
3x2xlím
2
3x +−+
−→ b)
2x
2xlím
2x −
−+→
c)1x
1xlím
4
1x −−
→
d) 15x3
25xlím
2
5x +−
−→ e)
4x
35xlím
4x −−+
→
2) Sea f(x) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+
−≠+−
4 xsi 3k
4 xsi 4x
16x2
a) Halle . )x(flím4x −→
b) Encuentre k de modo que f(−4) = . )x(flím4x −→
RESPUESTAS
1)a) −4 b) 0 c) 4 d) 3
10− e)
6
1
2)a) −8 b) −11
La indeterminación ∞∞
Se analizará el límite en el infinito de funciones racionales, es decir, del cociente
de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece
indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función
polinomial de grado n ≥ 1 cuando x tiende a +∞ ó a −∞ es + ∞ ó −∞, por lo que el
límite del cociente es una forma indeterminada del tipo ∞∞ .
Para resolver límites de este tipo, se divide el numerador y el denominador de la
función dada por xn, siendo n el mayor de los grados de las funciones
71
El Cálculo Diferencial
polinomiales (podemos suponer x ≠ 0, ya que estamos interesados en valores
grandes de x). Luego se aplican las propiedades de los límites.
Ejemplo. Halle 3xx
1xx3xlím
3
423
x −+
++++∞→
.
Por ser el límite de una función racional, es una indeterminación del tipo ∞∞ .
Como la función dada es el cociente de una función polinomial de grado 4 y otra
de grado 3, se divide el numerador y el denominador por x4.
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
=−+
++++∞→+∞→
44
3
4
44
4
4
2
4
3
x3
423
x
x
3
x
x
x
x
x
1
x
x
x
x3
x
x
lím3xx
1xx3xlím
=
} } }
{ { {
+∞=−+
+++
→
→→→
+→
→→→
+∞→
44 344 21
444 8444 76
0
0
4
00
3
1
0
4
0
2
0
x
x
3
x
1
x
1x
11
x
3
x
1
lím
En el ejemplo dado, el grado de la función polinomial del numerador es mayor
que el grado de la función del denominador y se obtiene en este caso ∞.
Ejemplo. Calcule2x2x5
1x3xlím
3
23
x −+
−++∞→
.
Este límite es indeterminado y surge del cociente de dos funciones polinomiales
de grado tres. Se dividen el numerador y denominador por x3:
} }
{ {
5
1
x
2
x
25
x
1
x
31
lím
x
2
x
x2
x
x5
x
1
x
x3
x
x
lím2x2x5
1x3xlím
0
3
0
2
0
3
0
x
333
3
33
2
3
3
x3
23
x=
−+
−+=
−+
−+=
−+
−+
→→
→→
+∞→+∞→+∞→.
Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de
dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtiene como resultado el
cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de cada una.
72
El Cálculo Diferencial
Ejemplo. Determine x4x5x
3x2x3lím
34
2
x ++
−++∞→
.
Para salvar la indeterminación que surge, se divide el numerador y denominador
por x4:
01
0
x
4
x
51
x
3
x
2
x
3
lím
x
x4
x
x5
x
x
x
3
x
x2
x
x3
límx4x5x
3x2x3lím
3
432
x
44
3
4
4
444
2
x34
2
x==
++
−+=
++
−+=
++
−++∞→+∞→+∞→
.
En este ejemplo, el grado de la función polinomial del numerador es menor que
el de la del denominador y se obtiene como resultado cero.
Al calcular)x(q
)x(plím
x ∞→ , donde p(x) y q(x) son dos funciones polinomiales, se
obtiene:
a) el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de la función
polinomial del numerador y la del denominador, si ambas tiene el mismo grado.
b) +∞ ó –∞ si el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el
de la del denominador.
c) 0 si el grado de la función polinomial del numerador es menor que el de la del
denominador.
Problema
Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se bombea al tanque
salmuera que contiene 30 gramos de sal por litro de agua, a razón de
25min
l. La concentración de sal después de t minutos es: C(t) =
t200
t30
+
(en l
grs).
a) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la concentración sea de
10 l
grs?
b) ¿Qué sucede con la concentración cuando el tiempo transcurre
indefinidamente?
a) Para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la concentración sea
de 10 l
grs, se debe igualar la concentración a 10.
10 = t200
t30
+ ⇒ 2000 + 10t = 30t ⇒ 20t = 2000 ⇒ t = 100
Es decir, a los 100 minutos la concentración será de 10l
grs.
73
El Cálculo Diferencial
b) Para analizar el comportamiento de la concentración cuando el tiempo
transcurre indefinidamente, se debe encontrar el límite cuando t → +∞, es decir
t200
t30lím
t ++∞→. Como es un cociente de dos funciones polinomiales, se dividen el
numerador y el denominador por t y se obtiene:
30
1t
200
30lím
t
t
t
200t
t30
límt200
t30lím
ttt=
+=
+=
+ +∞→+∞→+∞→
Cuando t →+∞ la concentración tiende a 30 l
.grs.
EJERCICIO
Calcule los siguientes límites:
a) 5x2
1x3lím
x −+
+∞→ b)
3x
x67lím
5
x +−
+∞→ c)
1x3
x4lím
4
4
x +
−+∞→
d) 1x
x23lím
2
x +−
+∞→ e)
8xx
x4lím
23x ++
++∞→
f) 9x
xlím
2x −−∞→
RESPUESTAS
a) 2
3 b) −∞ c)
3
1− d) −∞ e) 0 f) 0
La indeterminación 0.∞ Para salvar una indeterminación de este tipo, se pueden realizar distintos
procedimientos algebraicos. Algunos de ellos se desarrollan en los siguientes
ejemplos.
Ejemplo. Halle 3x
1).9x6x(lím 2
3x +++
−→
Cuando x → –3, x2 + 6x + 9 → 0 y ∞→
+ 3x
1, por lo tanto el límite es una
indeterminación del tipo 0.∞.
Sin embargo, 3x3x
1.)3x(
3x
1).9x6x( 22 +=
++=
+++ si x ≠ −3.
Por lo tanto: ( ) 03xlím3x
1).9x6x(lím
3x
2
3x=+=
+++
−→−→
Ejemplo. Calcule ( ) ( )x3eccos. x3senlím0x→
74
El Cálculo Diferencial
Como ( ) 0 x3senlím0x
=→
y ( ) ∞=→
x3eccoslím0x
, resulta que
( ) ( )x3eccos. x3senlím0x→
es una indeterminación 0.∞.
En este caso ( ) ( )x3eccos. x3senlím0x→
= ( ) ( ) 11límx3sen
1. x3senlím
0x0x==
→→, si x ≠ 0.
Ejemplo. Halle 4x
1).2x(lím
22x −
−−→
Como 0)2x(lím2x
=−−→
y −∞=−−→ 4x
1lím
22x
, el límite pedido es una forma
indeterminada 0.∞.
Sin embargo, 2x
1
)2x).(2x(
1).2x(
4x
1).2x(
2 +=
+−−=
−− si x ≠ 2.
Por lo tanto: 4
1
2x
1lím
4x
1).2x(lím
2x2
2x
=+
=−
−−→−→
.
EJERCICIO
Calcule los siguientes límites:
a) 23
0x xx
1. xlím
++→ b) xcos. tgxlím
2x
π→
c) 5x
1. 5xlím
5x −−
+→
RESPUESTAS a) +∞ b) 1 c) +∞
La indeterminación ∞ − ∞ Los procedimientos algebraicos para salvar una indeterminación de este tipo, se
desarrollan en los siguientes ejemplos.
Ejemplo. Determine el ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−+→ 2x
1
4x
1 lím
22x
.
Al reemplazar la variable por 2 resulta ∞ − ∞, que es una indeterminación.
Resolviendo la diferencia se obtiene:
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−+→ 2x
1
4x
1 lím
22x )2x).(2x(
x1lím
)2x).(2x(
)2x(1lím
2x2x −+−−
=−+
+−+→+→
= −∞
75
El Cálculo Diferencial
Cuando x se aproxima a 2 por derecha, el numerador tiende a –3 y el
denominador a 0 por valores mayores que él. Por lo tanto, la expresión resulta
negativa y el límite es −∞.
Ejemplo. Calcule ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
π→
tgxxcos
1lím
2x
Como ∞=π→ xcos
1lím
2x
y ∞=π→
tgxlím
2x
, el límite pedido es una indeterminación
de la forma ∞ − ∞.
La expresión xcos
senx1
xcos
senx
xcos
1tgx
xcos
1 −=−=−
Por lo tanto:
=++−
=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
π→
π→
π→ senx1
senx1.
xcos
senx1lím
xcos
senx1límtgx
xcos
1lím
2x
2x
2x
02
0
senx1
xcoslím
)senx1.(xcos
xcoslím
)senx1.(xcos
xsen1lím
2x
2
2x
2
2x
==+
=+
=+
−=
π→
π→
π→
EJERCICIO
Halle los siguientes límites:
a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−→ 9x
2
3x
1 lím
23x
b) ( )gxcotecxcoslím0x
−→
c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+→ x
1
x
1 lím
30x
d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−+→ 1x
5
1x
1 lím
21 x
RESPUESTA a) −∞ b) 0 c) +∞ d) −∞
Un límite importante
Se puede demostrar que 1x
senxlím
0x=
→
Al evaluar el numerador y el denominador en x = 0, se obtiene la
indeterminación 00 . Para resolverlo, no pueden utilizarse las técnicas vistas
anteriormente, pero sin embargo, el x
senxlím
0x→ existe y vale 1.
76
El Cálculo Diferencial
99
Ugc"wp"âpiwnq"ew{c"ogfkfc"gp"tcfkcpgu"ugc"z."2">"z">"4
π0"
Qdugtxcpfq"nc"itâhkec"tguwnvc<""ugp"z">"z">"vi"z"
Eqoq"ugp"z"≠" 2." fkxkfkgpfq"rqt" ugp"z"ug"qdvkgpg<"
"ugpz
viz
ugpz
z
ugpz
ugpz<< ""
"
Fcfq"swg"zequ
3ugpz
zequ
ugpz
ugpz
viz== <
tguwnvc<"""3">"zequ
3
ugpz
z< "
"
Rqt"nq"vcpvq<" zequz
ugpz3 >> """"⇒" 3
z
ugpzzequ << """"""""""""
Uk"ug"jceg"vgpfgt"z"c"egtq." 32equzequnîo2z
==→
"{"cn"guvct"z
ugpz"eqortgpfkfq"
gpvtg"fqu"gzrtgukqpgu"swg"vkgpfgp"c"3"ewcpfq"z"→"2."vcodkêp"fgdgtâ"vgpfgt"c"30"
Rqt"nq"vcpvq<" 3z
ugpznîo2z
=→
0"
Rctc" swg" guvc" fgoquvtcekôp" rwgfc" igpgtcnk|ctug" hcnvc" cpcnk|ct" swê" gu" nq" swg"qewttg"rctc"xcnqtgu"pgicvkxqu"fg"z0""Ug"fgukipc"eqp"*−z+"c"nqu"xcnqtgu"pgicvkxqu"fg"z0"Eqoq"ugpz"gu"wpc"hwpekôp"korct."ugp*−z+"="−ugpz0"Rqt"nq"vcpvq<""
z
ugpznîo
z
ugpznîo
z
+z*ugpnîo
2z2z2z →→→=
−−
=−
−"" ⇒"" 3
z
ugpznîo
z
+z*ugpnîo
2z2z==
−−
→→"
"
Pqvc0"Gn"eqekgpvg"z
ugpz"gu" vcpvq"oâu"egtecpq"c"3"ewcpvq"oâu"rtôzkoq"c"2"ug"
eqpukfgtg"gn"xcnqt"fg"z0"""
Guvq" rgtokvg" igqoêvtkecogpvg" kpvgtrtgvct" swg" rctc" ogfkfcu" fg" cteq" ow{"rgswgòcu."uwu"eqttgurqpfkgpvgu"xcnqtgu"fg"ugp"z"uqp"crtqzkocfcogpvg"kiwcngu"c"z0"
"
Glgornq0""Jcnng"z8
+z4*ugpnîo2z→
0" "
Cn" gxcnwct" pwogtcfqt" {" fgpqokpcfqt" gp" egtq." tguwnvc" nc" kpfgvgtokpcekôp"2
20"
Rctc"tguqnxgt"guvg"nîokvg."ug"vtcvc"fg"guetkdkt"gn"eqekgpvg"fg"ocpgtc"vcn"fg"rqfgt"
crnkect"gn"vgqtgoc"cpvgtkqt<"z4
+z4*ugp05
3
z8
+z4*ugp= "
El Cálculo Diferencial
Por propiedad de límite, x2
)x2(senlím.
3
1
x2
)x2(sen.
3
1lím
0x0x →→=
Además, si x → 0, 2x también tiende a cero y por lo tanto:
1x2
)x2(senlím
x2
)x2(senlím
0x20x==
→→
En consecuencia, 3
11.
3
1
x2
)x2(senlím.
3
1
x6
)x2(senlím
0x0x===
→→
Ejemplo. Calcule ( )t
t2tg5lím
0t→.
Sustituyendo la variable por 0 resulta una indeterminación del tipo 0
0 .
Utilizando la identidad t cos
t sent tg = es posible transformar el cociente de manera
tal de poder aplicar el teorema anterior.
Por lo tanto:
( )( )( ) ( )
( ) ( )( )
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
→→→→ t
2t sen.
2t cos
5lím
t . 2t cos
2t sen.5lím
t
2t cos
t2sen.5
límt
2t tg 5lím
0t0t0t0t
= ( )( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→→ t
2t senlím.
2t cos
5lím
0t0t
Hallando el primer límite ( ) ( ) 51
5
0 cos
5
2.0 cos
5
2t cos
5lím
0t====⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→
En el segundo límite multiplicamos y dividimos por 2 y teniendo en cuenta que si
t → 0 también 2t → 0 resulta que: ( ) ( )
21.22t
2t senlím.2
2t
2t sen2lím
0t20t===⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛→→
Entonces: ( )
t
2t tg 5lím
0t→ ( )( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
→→ t
2t senlím.
2t cos
5lím
0t0t = 5.2 = 10
Ejemplo. Halle9x
)3x(senlím
23x −
−→
.
Reemplazando la variable por el valor al cual tiende resulta la indeterminación
0
0. Aplicando diferencia de cuadrados en el denominador y teniendo en cuenta
que si x tiende a 3 entonces x − 3 tiende a 0 resulta:
6
1
33
1.1
3x
1.
3x
)3x(senlím
)3x).(3x(
)3x(senlím
9x
)3x(senlím
3x3x23x=
+=
+−−
=+−
−=
−
−→→→
78
El Cálculo Diferencial
EJERCICIO Resuelva los siguientes límites:
a) ( )t
t4senlím
0t→ b)
x
tgx5lím
0x→ c) ( )t3sen
t2lím
0t→
d) ( )( )x5sen
x2senlím
0x→ e)
8x2
)2x(senlím
22x −
−→
f) x2
xcos1lím
2
0x
−→
RESPUESTA
a) 4 b) 5 c) 3
2 d)
5
2 e)
8
1 f) 0
EJERCICIOS INTEGRADORES 2.3 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO. 2.4 LÍMITES INDETERMINADOS 1) Defina gráficamente una función g : R → R tal que: ,
y g(0) = 2.
−∞=+→
)x(glím0x
)x(glím0x
+∞=−→
2) Calcule los siguientes límites:
a) 3x
3xlím
3x −
−+→
b) ( )( )x2sen
x3senlím
0x→ c)
1x5
x3xlím
4
23
x −
−+∞→
d) ecxcos1
gxcot lím
0x −→ e)
3x
6xxlím
2
3x −−−
→ f)
16x
)4x(senlím
24x −
−→
g) 1n
3n2nlím
2
n +++
+∞→ h)
1x
1
1x
1lím
21x −
+−+→
i) 6nn
n4n4nlím
2
23
2n −−
++−→
3) Halle los valores de a y b de modo que:
5xa2
3x5xblím
41x
axalím
3
23
x
2
1x
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
−−
=+−
+∞→
−→.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1) La cantidad de una droga en la corriente sanguínea t horas después de
inyectada intramuscularmente está dada por la función f(t) = 1t
t 10
2 +. Al pasar el
tiempo, ¿cuál es la cantidad límite de droga en sangre? 2) En un experimento biológico, la población de una colonia de bacterias (en
79
El Cálculo Diferencial
:2"
"
oknnqpgu+"fgurwêu"fg"z"fîcu"guvâ"fcfc"rqt<"z4g:4
6{
−+= ""0"
" c+"ÀEwân"gu"nc"rqdncekôp"kpkekcn"fg"nc"eqnqpkcA"" d+"Tguqnxkgpfq "{nîo
z +∞→."ug"qdvkgpg"kphqtocekôp"cegtec"fg"uk"nc"rqdncekôp"
etgeg"kpfghkpkfcogpvg"q"vkgpfg"c"guvcdknk|ctug"gp"cniûp"xcnqt"hklq0"ÀEwân"fg"guvcu"ukvwcekqpgu"qewttgA"5+" Nc" Hgfgtcekôp" fg" ec|c" fg" ekgtvq" guvcfq" kpvtqfweg" 72" ekgtxqu" gp" wpc"fgvgtokpcfc" tgikôp0" Ug" etgg" swg" gn" pûogtq" fg" ekgtxqu" etgegtâ" ukiwkgpfq" gn"
oqfgnq<"" "v26.23
+v57*32+v*P
++
= ."fqpfg"v"gu"gn"vkgorq"gp"còqu0""
c+"Ecnewng"gn"pûogtq"fg"cpkocngu"swg"jcdtâ"nwgiq"fg"7"{"32"còqu0"d+"ÀC"swê"xcnqt"vgpfgtâ"nc"rqdncekôp"ewcpfq"v"vkgpfg"c"kphkpkvqA"
6+" Wp" ewnvkxq" fg" dcevgtkcu" etgeg" ukiwkgpfq" nc" ng{"v6.2g47.23
47.3{
−+= " fqpfg" gn"
vkgorq"v"≥"2"ug"okfg"gp"jqtcu"{"gn"rguq"fgn"ewnvkxq"gp"itcoqu0"" c+"Fgvgtokpg"gn"rguq"fgn"ewnvkxq"vtcpuewttkfqu"82"okpwvqu0"" d+" ÀEwân" ugtâ" gn" rguq" fgn" okuoq" ewcpfq" gn" pûogtq" fg" jqtcu" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"7+" Gp" wpc" cecfgokc" fg" ogecpqitchîc." gn" pûogtq" ogfkq" fg" rcncdtcu" P" rqt"okpwvq" guetkvcu" nwgiq" fg" v" ugocpcu" fg" ngeekqpgu" rtâevkecu." guvâ" fcfq" rqt"
v34.2g6.73
379+v*P
−+= 0"
" c+" Ecnewng" gn" pûogtq"ogfkq" fg" rcncdtcu" rqt"okpwvq" swg" rwgfg" guetkdkt"wpc"rgtuqpc"nwgiq"fg"jcdgt"tgekdkfq"ngeekqpgu"fwtcpvg"32"ugocpcu0"" d+" Fgvgtokpg" gn" pûogtq" ogfkq" fg" rcncdtcu" rqt" okpwvq" swg" rwgfgp"guetkdktug"ewcpfq"nc"ecpvkfcf"ugocpcu"etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"8+"Nqu" kpigpkgtqu" kpfwuvtkcngu"jcp"guvwfkcfq"wp" vtcdclq"rctvkewnct"gp"wpc" nîpgc"
fg" oqpvclg0" Nc" hwpekôp" {" =" h*v+" = v"5.2g:2342 −− " gu" nc" hwpekôp" fg" nc" ewtxc" fg"crtgpfk|clg"swg"fguetkdg"gn"pûogtq"fg"wpkfcfgu" vgtokpcfcu"rqt"jqtc"rctc"wp"gorngcfq"pqtocn"fg"cewgtfq"cn"pûogtq"fg"jqtcu"fg"gzrgtkgpekc"v"swg"ên"vkgpg"gp"uw"vtcdclq0"" c+"Jcnng"gn" pûogtq"fg"wpkfcfgu"swg"rwgfg" vgtokpct"wp"gorngcfq"gp"gn"oqogpvq"swg"kpitguc"c"guc"gortguc"{"nwgiq"fg"uw"rtkogt"jqtc"fg"gzrgtkgpekc0"" d+"ÀEwâpvcu"wpkfcfgu"rwgfg"vgtokpct"wp"gorngcfq"ewcpfq"gn"pûogtq"fg"jqtcu"fg"gzrgtkgpekc"gp"nc"hâdtkec"etgeg"kpfghkpkfcogpvgA"9+" Wpc" kpuvkvwekôp" guvâ" rncpgcpfq" wpc" ecorcòc" rctc" tgecwfct" hqpfqu0" Rqt"gzrgtkgpekc" ug" ucdg" swg" nqu" crqtvgu" vqvcngu" uqp" hwpekôp" fg" nc" fwtcekôp" fg" nc"ecorcòc0"Gp"wpc"ekwfcf"ug"jc"fgvgtokpcfq"guvc"hwpekôp"tgurwguvc"swg"gzrtguc"gn" rqtegpvclg" fg" nc" rqdncekôp"T" *gzrtgucfq" gp" htceekôp" fgekocn+" swg" jctâ" wp"fqpcvkxq" gp" hwpekôp" fgn" pûogtq" fg" fîcu" v" fg" nc" ecorcòc0" Nc" gzrtgukôp" fg" nc"
okuoc"gu"" ( )0"g3""0"9.2T v27.2−−= "
" "
El Cálculo Diferencial
:3"
c+"ÀSwê"rqtegpvclg"fg"nc"rqdncekôp"jctâ"wp"fqpcvkxq"c"nqu"32"fîcu"fg"jcdgtug"kpkekcfq"nc"ecorcòc"{"nwgiq"fg"42"fîcuA"" d+" Ecnewng" gn" rqtegpvclg" fg" nc" rqdncekôp" swg" jcdtâ" eqpvtkdwkfq" eqp" nc"kpuvkvwekôp"uk"nc"ecorcòc"rwdnkekvctkc"eqpvkpûc"rqt"vkgorq"kpfghkpkfq0":+" Wp" dcpeq" qhtgeg" wpc" vctlgvc" fg" etêfkvq0" Rqt" fcvqu" qdvgpkfqu" c" nq" nctiq" fgn"vkgorq."jcp"fgvgtokpcfq"swg"gn"rqtegpvclg"fg"eqdtcp|c"fg"ncu"swg"ug"qvqticp"gp" wp" ogu" ewcnswkgtc" gu" hwpekôp" fgn" vkgorq" vtcpuewttkfq" fgurwêu" fg"
eqpegfgtncu0"Guvc"hwpekôp"gu"R"="h*v+"=" ( )v2:.253""0;.2 −− ."fqpfg"R"gu"gn"rqtegpvclg"
fg" ewgpvcu" *gzrtgucfq" gp" htceekôp" fgekocn+" rqt" eqdtct" v" ogugu" fgurwêu" fg"qvqtict"nc"vctlgvc0"" c+"ÀSwê"rqtegpvclg"ug"gurgtc"eqdtct"nwgiq"fg"4"oguguA"À["fg"7"oguguA"" d+" Uk" gn" pûogtq" fg" ogugu" vtcpuewttkfqu" fgufg" gn" qvqticokgpvq" fg" nc"vctlgvc" etgeg" kpfghkpkfcogpvg." fgvgtokpg" gn" rqtegpvclg" fg" ncu" okuocu" swg" ug"gurgtc"eqdtct0";+" Gn" vglkfq" xkxq" uônq" rwgfg" ugt" gzekvcfq" rqt" wpc" eqttkgpvg" gnêevtkec" uk" êuvc"cnecp|c"q"gzegfg"wp"ekgtvq"xcnqt"swg"ug"fgukipc"eqp"x0"Guvg"xcnqt"x"fgrgpfg"fg"
nc"fwtcekôp"v"fg"nc"eqttkgpvg0"Nc"ng{"fg"Ygkuu"guvcdngeg"swg"x"=" "dv
c+ fqpfg"c"{"
d"uqp"eqpuvcpvgu"rqukvkxcu0"Cpcnkeg"gn"eqorqtvcokgpvq"fg"x"ewcpfq<"" c+"v"ug"crtqzkoc"c"egtq0"" d+"v"vkgpfg"c"kphkpkvq0""
"RTWGDC"FG"QREKłP"OðNVKRNG"""
3+"Gn"xcnqt"fgz48
3"nîo
5z −+→"gu<"
" c+"∞" " d+"-∞"" e+"−∞" " f+"2"
4+"Gn"xcnqt"fg"6z
4z"nîo4
4z −
+−→
"gu<"
" c+"−∞" " d+"-∞"" e+"∞" " f+"2"
5+"Gn"xcnqt"fg"nc"eqpuvcpvg"c"rctc"swg"8zcz
z4z4z7nîo
45
54
z −+
−++∞→
""ugc"3"gu<"
" c+"7" " d+"−4" " e+"4
3− " f+"2"
6+"Gn"xcnqt"fg"3z
z3nîo3z −
−→
"gu<"
" c+"−4" " d+"4" " e+"-∞" " f+""−∞"
7+"Ugc"nc"hwpekôp"h"<"T"→"T"1"z"→"⎪⎩
⎪⎨⎧
≥<≤−
<
6"""zuk"""""""4"""6z2"""ukz""""5
2"""zuk""""z"""""""gpvqpegu"gn"nîokvg"rctc"z"
vgpfkgpfq"c"6"gu<"""
El Cálculo Diferencial
:4"
" c+"-∞" " d+"pq"gzkuvg" " e+"−3" " f+"4"8+"Ugc"nc"hwpekôp"{"="h*z+"fcfc"itâhkecogpvg0"Gpvqpegu<"
"c+"Pq"gzkuvgp +z*hnîo
2z→"{" +z*hnîo
5z→""" d+" 3+z*hnîo
5z=
→"""{ 5+z*hnîo
2z=
+→"
e+" 5+z*hnîo2z
=−→
"{"h*5+"="3" " f+" 2+z*hnîo8z
=→
"""{ 5+z*hnîo2z
=+→
"
9+"Ugc"nc"hwpekôp"h"<"T"→"T"1"z"→"⎪⎩
⎪⎨⎧
>=<+
3"""""zuk"""""""""7"""3""""zuk""""""""""5""3""""zukcz""""50"Rctc"swg"gzkuvc"gn"nîokvg"
rctc"z"vgpfkgpfq"c"3."gn"xcnqt"fg"c"fgdg"ugt<"c+"5" " d+"7" " e+"4" " f+"9"
:+"Ugc"nc"hwpekôp"h*z+"="z
3− "gpvqpegu<"
" c+" +∞=+→
+z*hnîo2z
"{" −∞=−→
+z*hnîo2z
" d+ −∞=+→
+z*hnîo2z
"{ +∞=−→
+z*hnîo2z
"
" e+" −∞=+→
+z*hnîo2z
"{ −∞=−→
+z*hnîo2z
" f+" +∞=+→
+z*hnîo2z
"{ +∞=−→
+z*hnîo2z
"
;+"Uk"r*z+"gu"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"fg"itcfq"6"{"s*z+"gu"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"
fg"itcfq"8"gpvqpegu"+z*s
+z*rnîoz +∞→
"gu<"
" c+"3" " " d+"2" " " e+"-∞" " " f+"8
6"
32+"Fcfcu"ncu"hwpekqpgu"rqnkpqokcngu"h*z+"="5z4"-"6"""{"""i*z+"="7z
5"-"4."gn""
+z*h
+z*inîo2z→
"gu<"
" c+"2" " " d+"-∞"" " e+"4" " " f+"4
3"
33+"Uk" 6+z*hnîo
4
3z
=→
""{"" 7+z*inîo
4
3z
=→
"gpvqpegu"+z*h
+z*inîo
4
3z→
"gu<"
c+"6
7" " " d+"
7
6" " " e+"42" " " f+"3"
34+"Uk"" 49+z*hnîo2z
=→
""{"""5
3+z*inîo
2z=
→"gpvqpegu"" [ ] +z*i
2z+z*hnîo
→"gu<"
"
El Cálculo Diferencial
:5"
" c+"49" " " d+"5" " " e+"";" " " f+"pq"gzkuvg"35+"Uk"e"gu"wpc"eqpuvcpvg" enîo
cz→"gu<"
" c+"e" " " d+"c" " " e+"2" " " f+"pq"gzkuvg"36+"Uk" 5+z*hnîo
cz=
→"{" 7+z*inîo
cz=
→"gpvqpegu" [ ]+z*i4+z*hnîo
cz+
→"gu<"
" c+37" " " d+"−9" " " e+":" " " f+"35"37+"Nc"hwpekôp"h*z+"vkgpg"nîokvg"ewcpfq"z"→"c"uk<"" c+"h*z+"guvâ"fghkpkfc"gp"z"="c" d+" +z*hnîo+z*hnîo
czcz −→+→= " "
" e+" +c*h+z*hnîocz
=→
" " " f+""gzkuvgp +z*hnîo{"+z*hnîoczcz −→+→
""
38+"Uk" O+z*inîoez
=→
"gpvqpegu" [ ]O+z*inîoez
−→
"gu<"
" c+"O" " " d+"e" " " e+"2" " " f+"pq"gzkuvg"39+"Gn"nîokvg"fg"nc"hwpekôp"fcfc"itâhkecogpvg"ewcpfq"z"→"2"gu<"
" c+"3" " " d+"5" " " e+"−3" " " f+"pq"gzkuvg"3:+" ÀGp" ewân" fg" ncu" ukiwkgpvgu" itâhkecu" h*c+" pq" guvâ" fghkpkfc" rgtq" gzkuvg"
+z*hnîocz→
A"
" c+" " " " " d+"
e+" " " " " f+""
3;+" ÀGp" ewân" fg" ncu" ukiwkgpvgu" itâhkecu" h*c+" guvâ" fghkpkfc" rgtq" pq" gzkuvg"+z*hnîo
cz→A"
El Cálculo Diferencial
:6"
c+" " " " " d+"
" "e+" " " " " f+"
" "
42+"Fcfc"nc"hwpekôp"h*z+"="⎪⎩
⎪⎨⎧
>−=
<+
4"""""zukz"""""64"""""zuk"""""""7"""4""""zuk"""""3z."gn" +z*hnîo
4z −→"gu<"
c+"5" " " d+"7"" " " e+"4" " " f+"pq"gzkuvg"43+"Qdugtxcpfq" nc" itâhkec" fg" {"=" h*z+."gn" +z*hnîo
4z +→"gu<"
""""""""""c+"5"" " d+"3""""""""""""e+"−4" " f+"pq"gzkuvg"
"44+"Qdugtxcpfq" nc" itâhkec" fg" {"=" h*z+."gn" +z*hnîo
4z −→"gu<"
"""""""""""c+"5"" " d+"3"""""""""""e+"−4" " f+"pq"gzkuvg"
"
El Cálculo Diferencial
:7"
45+"Qdugtxcpfq" nc" itâhkec" fg" {"=" h*z+."gn" +z*hnîo
3z +−→"gu<"
"""""""""""c+"3" " d+"5"""""""""""e+"−3" " f+"pq"gzkuvg"""
46+"Qdugtxcpfq" nc" itâhkec" fg" {"=" h*z+."gn" +z*hnîo
3z −−→"gu<"
"""""""""""c+"3" " d+"5" """""""""""e+"−3" " f+"pq"gzkuvg"
"
"CWVQGXCNWCEKłP""
3+"Itchkswg"nc"hwpekôp"j<"T"→"T"1"j"*z+"=⎪⎩
⎪⎨
⎧ +
5"@"z"uk"""""""""6
5"?"z"uk"""""""""4
5">"z"uk""""3z
""{"ecnewng<"
c+" +z*jnîo5z −→
"d+" +z*jnîo5z +→
" e+" +z*jnîo5z→
"" f+"j*5+"
4+"Fcfc"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"{"="h*z+"jcnng<""
""c+ +z*hnîo
4z +−→"" " d+ +z*hnîo
4z −−→""" " e+" +z*hnîo
4z −→"
f+ +z*hnîo2z +→
"" " g+ +z*hnîo2z −→
""" " h+ +z*hnîo2z→
"
El Cálculo Diferencial
:8"
i+ +z*hnîo5z −→
"" " j+ +z*hnîo5z +→
""" " k+ +z*hnîo5z→
"
l+ +z*hnîoz −∞→
"""" m+"h*−4+"""" " " n+"h*2+"""" o+"h*5+"
5+"Ecnewng"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
c+"z5
44znîo2z
−+→
" " d+"6z
+4z*ugp5nîo
44z −
+−→
" "
e+"3w
5w8w5nîo
4
3w −+−
→" " f+"
3z
8nîoz +
−−∞→
"
6+"Jcnng"gn"xcnqt"fg"c"rctc"swg" 6z
3nîo
4cz−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
→0"
7+"Uwrqpic"swg"gn"vcocòq"fg"wp"cpkocn"rgswgòq."v"fîcu"fgurwêu"fg"pcekfq"gu"
j*v+"="v:.20;3
522
+"oknîogvtqu0""
c+"ÀEwân"gu"gn"vcocòq"fgn"cpkocn"cn"pcegtA""d+"ÀEwân"gu"gn"vcocòq"oâzkoq"fgn"cpkocnA"
""GLGTEKEKQU"FG"TGRCUQ""
3+"Fcfc"h*z+"kpfkswg"uk"uqp"xgtfcfgtcu"q"hcnucu"ncu"chktocekqpgu0"Lwuvkhkswg0"" c+"Uk" ( ) NzhN+z*hnîo 2
2zz=⇒=
→"
" d+"Uk ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇔∃⇒=∃∧=∃
→−→+→43
2zz4
2zz3
2zzNN+z*hnîoN+z*hnîoN+z*hnîo ""
" e+"Uk" ( ) +z*hnîov+z*hnîou+z*hnîo=vzh2zz
2zz2zz2
→−→+→∃⇒=∃∧== "
"" f+"Uk" ( )2zh "pq"guvâ"fghkpkfc"gpvqpegu"gn" +z*hnîo2zz→
"pq"gzkuvg0"
" g+"Uk"h*z+"gu"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"gpvqpegu" ( )22zz
zh+z*hnîo =→
"""
4+"Ecnewng"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
" c+"4z
6z"nîo4
2z −−
→" " " " " d+"
456
45
2z z7zz
z4z"nîo
+−
+→
" "
" e+"3z
6z4znîo
5
4
2z −
−−→
" " " " f+"4z
4z"nîo4z −
−→
" " "
" g+"( )( )
6z8z9
z7505z4nîo
4z +−
−−∞→
" " " " h+" ( )3z0z
3z4nîoz −
−∞→
"
" i+"cz
cznîo
66
cz −−
→" " " " " j+
z
4z4nîo2z
−+→
" ""
El Cálculo Diferencial
:9"
" k+"z
3zz3nîo
4
2z
−++→
"""""""""" " " l+"cz
3
cz
z4nîo
44cz −−
−→" "
" m+"44
6
2z3z5
;znîo
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
+→
"" " " " n+"32z6
3z4znîo
4
5
z −
−+∞→
"
" o+" z3znîo 4
z−+
∞→" " " " p+"
3ugpz
3zugp"nîo
4
4z −
−π
→" " "
" ò+"izeqv3
viz3"nîo
6z −
−π
→" " " " " q+"
3zugp
6zugp6"nîo
4
6
4z −
−π
→" "
" r+"zequ3
znîo
4
2z −→" " " " " s+
( )( )z9ugp
z4ugpnîo2z→
"
" t+"viz3
zequugpz"nîo
6z −
−π
→" " " " u+
( )z
64znîo
4
2z
−+→
"" "
" v+"zequ
izeqvnîo
4z
π→
" " " " " w+"6z
+4z*ugpnîo
44z −
−→
" " "
" x+"z
ugpz3ugpz3nîo2z
−−+→
" " " y+" izeqv0znîo2z→
" "
" z+"3zequ
3zequnîo
4
2z −−
→" " " " " {+"
3z
3znîo
3z +
+−→
"
5+"Fgvgtokpg"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu"
" c+"( )
j
zjznîo
44
2j
−+→
" " d+"( ) ( )
j
z7z4jz7jz4nîo
44
2j
−−+++→
"
6+"Rctc"ecfc"wpc"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu."jcnng"( )
j
+z*hjzhnîo2j
−+→
" """""""""""""""""""""""
" c+"h*z+"="6"−"z" " " " d+"h*z+"="4z"-"5" " "
" e+"h*z+"="z4"−"5" " " " f+"h*z+"="z
4-"z"-"3"
7+"Fcfc"h*v+"="5v−7""{"i*v+"="8v
−;"."ecnewng<"
" c+" +v*hnîo2v→
" " " d+" +v*inîo3v→
" " " e+" +v*inîov ∞→
" " "
" f+"+v*h
+v*inîo2v→
"" " " g+" +v*i+0v*hnîov ∞→
"" " h+" +v*i7
3+v*h
;
3nîov
+∞→
"
"8+"Ugc"nc"hwpekôp"{"="h*z+"fghkpkfc"rqt"gn"ukiwkgpvg"itâhkeq<"
El Cálculo Diferencial
::"
" " "Fgvgtokpg<"
c+" +z*h"nîo3z +→
"" d+" +z*h"nîo3z −→
"" e+" +z*h"nîo3z→
" " f+" +z*h"nîoz ∞→
"
" "g+" +z*h"nîo
4z −−→" h+" +z*h"nîo
4z +−→" i+" +z*h"nîo
4z −→"" j+ +z*h"nîo
z −∞→"
k+" +z*h"nîo3z +−→
"" l+" +z*h"nîo3z −−→
"" m+" +z*h"nîo3z −→
" "
9+"Fcfc"nc"hwpekôp"{"="h*z+"fghkpkfc""itâhkecogpvg"jcnng<"" c+ +z*h"nîo
2z +→" " d+" +z*h"nîo
2z −→"" e+" +z*h"nîo
5z −→" f+ +z*h"nîo
z ∞→" "
g+" +z*h"nîo3z −−→
" h+" +z*h"nîo3z +−→
" i+" +z*h"nîo 6z −
→"" j+ +z*h"nîo
- 6z→
""
k+" +z*h"nîo6z→
" " l+" +z*h"nîo8z −→
" " m+" +z*h"nîo8z +→
"" n+" +z*h"nîo8z→
"
":+"Fghkpc"itâhkecogpvg"wpc"hwpekôp"h<"]2."8_"→"T"vcn"swg"h*2+"="h*4+"="h*6+"="h*8+"="4"{"swg" "3+z*h"nîo
4z=
−→"{" "5+z*h"nîo
4z
=+→
0"
El Cálculo Diferencial
9)i) Grafique la función f: R → R :
2x si x 0
f(x) x si 0<x<1
2 si x 1
⎧ ≤⎪= ⎨⎪ ≥⎩
ii) Calcule:
a) b) c) d) f(0) )x(f lím-
0x→)x(f lím
0x+→
)x(f lím0x→
e) f) g) h) f(1) )x(f lím1x −→
)x(f lím1x+→
)x(f lím1x→
10) Determine el valor de k, sabiendo que existe el límite para x → x0.
a) b) 4 xen
4 xsi k5x
4< xsi 23x
f(x) 0 =⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+
+= 1 xen
1> xsi kx
1 xsi 3xk
f(x) 02
−=⎪⎩
⎪⎨⎧
−+
−≤−=
11) Grafique:
a) Una función f(x) que no esté definida en x = x0 y exista el . )x(fxx
lím
0→
b) Una función f(x) que esté definida en x = x0, exista el , exista
el y ambos límites sean diferentes.
)x(fxx
lím
0−→
)x(fxx
lím
0+→
c) Una función f(x) que esté definida x = x0 pero que el límite sea infinito.
89
El Cálculo Diferencial
"""""""
50"HWPEKłP"EQPVKPWC"""503"Eqpvkpwkfcf"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"rwpvq0""504"Hwpekôp"eqpvkpwc"gp"wp"kpvgtxcnq0"" " "505"Vgqtgocu"fg"ncu""hwpekqpgu"eqpvkpwcu0"""""""""""""""""""""""
›Gu"xgtfcf"swg"wp"ocvgoâvkeq"swg"pq" vgpic"cniq"fg"rqgvc"pwpec"ugtâ"wp"ocvgoâvkeq"rgthgevq0fi"
"" " """ " """"""""""""""""H0"Ygktuvtcuu""""""
El Cálculo Diferencial
;4"
Gp"nc"pcvwtcng|c"{"gp"pwguvtc"xkfc"fkctkc"crctgegp"pwogtququ"hgpôogpqu"swg"vkgpgp"wp"eqorqtvcokgpvq"eqpvkpwq0"Rqt"glgornq."gn"etgekokgpvq"fg"wpc"rncpvc"gu"eqpvkpwq."gn"fgurnc|cokgpvq"fg"wp"xgjîewnq"q"gn"xqnwogp"fgn"ciwc"swg"hnw{g"fg" wp" tgekrkgpvg0" Rgtq" vcodkêp" ug" rtgugpvcp" fkueqpvkpwkfcfgu" gp" owejcu"ukvwcekqpgu."eqoq"ncu"eqttkgpvgu"gnêevtkecu0"Owejqu" rtqeguqu" hîukequ" uqp" eqpvkpwqu." vcpvqu" swg" fwtcpvg" nqu" ukinqu" ZXKKK" {"ZKZ" c" rqequ" ug" ngu" qewttkô" dwuect" qvtq" vkrq" fg" eqorqtvcokgpvq0" Tgekêp"cntgfgfqt"fg"3;42"fguewdtkgtqp"swg"nqu"âvqoqu"swg"xkdtcp"gp"wpc"oqnêewnc"fg"jkftôigpq"rwgfgp"queknct"uônq"gp"pkxgngu"fg"gpgtiîc"fkuetgvqu"{"swg"nqu"âvqoqu"cn" ugt" ecngpvcfqu." gokvgp" nw|" gp" htgewgpekcu" fkuetgvcu" {" pq" gp" gurgevtqu"eqpvkpwqu0"Eqoq"tguwnvcfq"fg"guvqu"fguewdtkokgpvqu"{"fcfq"swg"gp"kphqtoâvkec"{"gp"guvcfîuvkec"jcegp"wp"kpvgpuq"wuq"fg"hwpekqpgu"fkuetgvcu."nc"eqpvkpwkfcf"jc"cfswktkfq"wpc"itcp"korqtvcpekc0"Kpvwkvkxcogpvg" ug" rwgfg" rgpuct" gp" wpc" hwpekôp" eqpvkpwc" gp" wp" rwpvq" uk" ug"rwgfg"fkdwlct" uw" itâhkec" egtec"fgn" rwpvq" ukp" ngxcpvct" gn" nârk|"fgn" rcrgn0"Fg" nc"okuoc"ocpgtc."ug"rwgfg"fgekt"swg"wpc"hwpekôp"gu"fkueqpvkpwc"gp"wp"rwpvq."uk"ug"fgdg"ngxcpvct"gn"nârk|"fgn"rcrgn"rctc"qdvgpgt"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"c"codqu"ncfqu"fgn"rwpvq"kpfkecfq0"Nc"fghkpkekôp"ocvgoâvkec"fg" eqpvkpwkfcf" tgurqpfg"cn" ukipkhkecfq"fg" nc"rcncdtc"eqpvkpwkfcf"gp"gn"ngpiwclg"eqvkfkcpq0"Ug"rwgfg"rgpuct"swg"wp"rtqeguq"eqpvkpwq"vkgpg"nwict"itcfwcnogpvg."ukp"kpvgttwrekqpgu"pk"ecodkqu"cdtwrvqu0"Gp"gn"fgucttqnnq"fg"guvg"ecrîvwnq"pqu"rtqrqpgoqu"eqoq"qdlgvkxq"fgvgtokpct" nc"eqpvkpwkfcf"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"rwpvq"{"gp"wp"kpvgtxcnq"eqpqekfc"uw"gzrtgukôp"cpcnîvkec"{"c"rctvkt"fg"uw"itâhkec0""
503"Eqpvkpwkfcf"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"rwpvq"Ugcp"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu"fghkpkfcu"cpcnîvkec"{"itâhkecogpvg<"h"<"T"−}−4Ä"→"T"" " " " " ""i"<"T""→"T""
""""""""""""""z"→"4z
6z4
+−
"" " " " """"""""z"→"⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
−≠+−
4""""zuk"""""""""4
4""""zuk""""4z
6z4
"
"
"
"
El Cálculo Diferencial
;5"
j"<"T""→"T"" " " " " " """"o"<"T""→"T""
""""""z"→"⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
−≠+−
4""""zuk"""""""""6
4"""""zuk""4z
6z4
" " " """"""""""z"→"z"−4
"Ncu"hwpekqpgu"h"{"i"uqp"fkueqpvkpwcu"gp"z"="−4""okgpvtcu""swg""ncu""hwpekqpgu""j"{"o""uqp""eqpvkpwcu""gp"z"="−40"Fgn"cpânkuku"fg"guvcu"hwpekqpgu"tguwnvc"swg<"•" Nc" hwpekôp" {"=" h*z+" pq"guvâ"fghkpkfc"gp" z"= −40"Gn" nîokvg"fg"{"=" h*z+" " gu"−6"
ewcpfq""z"→"−40"•" Nc"hwpekôp"{"="i*z+"guvâ"fghkpkfc"gp"z"= ⁄4"fg"ocpgtc"vcn"swg"i*−4+"="−40"Gn"
nîokvg"fg"{"="i*z+"gu"kiwcn"c"−6"ewcpfq""z"→"−4""{"rwgfg"qdugtxctug"swg"gn"tguwnvcfq"fg"guvg"nîokvg"pq"eqkpekfg"eqp"gn"xcnqt"fg"nc"hwpekôp"gp"gn"rwpvq."gu"fgekt<"i*−4+"≠"⁄60"
•" Nc" hwpekôp"{"="j*z+"guvâ"fghkpkfc"gp"z"= −4"{c"swg"j*−4+"="−60"Gn" nîokvg"fg"j*z+"gu"−6"ewcpfq"z"→"−4"{"eqkpekfg"eqp"gn"xcnqt"fg"nc"hwpekôp"gp"z"= −40"
•" Ncu"hwpekôp"{"="o*z+""guvâ""fghkpkfc""gp"z"= −4"fcfq"swg"o*−4+"="−60"Gn"nîokvg"fg"o*z+"gu"−6"ewcpfq""z"→"−4"{"eqkpekfg"eqp"gn"xcnqt"fg"nc"hwpekôp"gp"z"= −40"
"Fghkpkekôp"30"Wpc"hwpekôp"{"="h*z+"gu"eqpvkpwc"gp"z"="c"uk" +c*h+z*hnîo
cz=
→0"
Uk"nc"hwpekôp"{"="h*z+"pq"gu"eqpvkpwc"gp"z"="c."ug"fkeg"swg"gu"fkueqpvkpwc"gp"c"q"swg"vkgpg"wpc"fkueqpvkpwkfcf"gp"c0""
Fghkpkekôp"40"Ug"fkeg"swg"nc"hwpekôp"{"="h*z+"gu"wpc"hwpekôp"eqpvkpwc"gp"z"= c"uk"ug"eworngp"ncu"ukiwkgpvgu"eqpfkekqpgu<"" " " c+"gzkuvg"h*c+0"Gu"fgekt."c"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"fg"h0"" " " d+"gzkuvg" +z*hnîo
cz→"
" " " e+" +c*h+z*hnîocz
=→
"
"Uk"cniwpc"fg"guvcu"eqpfkekqpgu"pq"ug"eworng"ug"fkeg"swg" h"gu"fkueqpvkpwc"gp""""""z"="c0"""
El Cálculo Diferencial
;6"
Glgornq0" Fcfcu" ncu" ukiwkgpvgu" itâhkecu" fg" hwpekqpgu" fkueqpvkpwcu" gp" z" =" 7."gpwpekg" {" gzrtgug" ukodônkecogpvg" nc" ecwuc" rqt" nc" ewcn" ug" rtqfweg" nc"fkueqpvkpwkfcf"gp"fkejq"xcnqt0"c+" " " " " " """d+"
e+" " " " " " """f+"
c+"Nc"fkueqpvkpwkfcf"ug"rtqfweg"rqtswg"nc"hwpekôp"pq"guvâ"fghkpkfc"gp"z"="7."guvq"ukipkhkec"swg"gn"xcnqt"7"guvâ"gzenwkfq"fgn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"{"gzkuvg"gn"nîokvg"ewcpfq"z"vkgpfg"c"7"{"fkejq"nîokvg"xcng"60""
d+"Gzkuvg"nc"kocigp"fg"7"{"vcodkêp"gzkuvg"gn"nîokvg"fg"nc"hwpekôp"ewcpfq"z"vkgpfg"c"7"rgtq"codqu"uqp"fkuvkpvqu0"
⎪⎭
⎪⎬⎫
==
→6+z*hnîo
3+7*h
7z
""h*7+"≠" +z*hnîo7z→
"
e+"Nc"fkueqpvkpwkfcf"ug"rtqfweg"rqtswg"gp"z"="7"fqpfg" nc"itâhkec"rtgugpvc"wp"ucnvq"hkpkvq0"Gzkuvgp"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"ewcpfq"z"vkgpfg"c"7"rgtq"uqp"fkuvkpvqu0"
3+z*hnîo7z
=−→
" " " " 5+z*hnîo7z
=+→
"
Gp"eqpugewgpekc."pq"gzkuvg"gn"nîokvg"fg"{"="h*z+"ewcpfq"z"→"70"Ukp"godctiq"gzkuvg"nc"kocigp"fg"7"{"gu"5."gu"fgekt."h*7+"="50"
f+" Nc" itâhkec" rtgugpvc" gp" guvg" ecuq" wpc" fkueqpvkpwkfcf" gp" z" =" 70" Ewcpfq" z"vkgpfg"c"7"rqt"fgtgejc"nc"hwpekôp"fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg"{"ewcpfq"z"vkgpfg"c"7"rqt"k|swkgtfc"nc"hwpekôp"etgeg"kpfghkpkfcogpvg0""Gn"ucnvq"gu"kphkpkvq0"
El Cálculo Diferencial
Simbólicamente: +∞=−→
)x(flím5x
y −∞=+→
)x(flím5x
.
No existe el límite de y = f(x) cuando x → 5. Además se observa que no está
definida la función en x = 5, es decir, 5 no pertenece al dominio de la función.
Ejemplo. Analice la continuidad de f(x) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−
−−
3 xsi 1
3 xsi 3x
3x2x2
en x = 3.
Según la ley de la función f(3) = 1.
Además, ( )( ) ( ) 41xlím
3x
3x1xlím
3x
3x2xlím)x(flím
3x3x
2
3x3x=+=
−−+
=−
−−=
→→→→.
Pero ( )3f)x(flím3x
≠→
, por lo que la función no es continua en x = 3.
Ejemplo. Sea la función f : R → R / x → . Determine los
valores de a y b para que resulte continua en x = 2 y en x = 5. Para dichos
valores grafique la función.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+≤<+
≤+
5x si bx16
5x2 si 1x
2x si ax2
Para que la función sea continua en x = 2 debe verificarse que . )2(f)x(flím2x
=→
Para que el límite exista, deben existir los límites laterales y ser
iguales: ⇒ 22 + a = 3 ⇒ a = −1. ( 1xlímaxlím
2x
2
2x
+=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+→−→)
Luego, para a = −1 se cumple que )2(f)x(flím2x
=→
= 3, por lo que la función es
continua en x = 2.
Analizando de manera similar la continuidad en x = 5, se determina que b = −2.
Para dichos valores, la función
resulta
f : R → R /
x → ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−≤<+
≤−
5x si x216
5x2 si 1x
2x si 1x2
Su gráfica es:
Teorema. Si f y g son funciones continuas en x = a entonces las siguientes
funciones también resultan continuas en a: • la suma f + g,
• la diferencia f − g,
• el producto c.f, donde c es una constante,
95
El Cálculo Diferencial
• el producto f.g,
• el cociente g
f siempre que g(a) ≠ 0.
Teorema.
Toda función polinomial pn(x) na es
una función continua en todo su dominio, es decir en todo número re
=
al.
∑=
−−− ++++=
n
1i1n
1n1
n0
ini xa...xaxaxa
Teorema. Toda función racional fraccionaria o cociente de funciones
polinomiales es continua, excepto en los puntos que anulan el denominador, es
decir, si f(x) = )x(q
)x(p
m
n entonces f es continua para todo valor de x, excepto
en los que qm(x) = 0. Toda función racional es continua en todo su dominio.
Ejemplo. La función p(x) = x
2x3 3 − es continua para todos los números reales
excepto el cero, es decir, en el conjunto R − {0}.
Ejemplo. Determine la continuidad de las siguientes funciones:
a) b) 32 xx2x7)x(m +−=3x
5x)x(t
2
++
= c) senx.x)x(g =
a) La función m(x) es continua para todo número real pues es una función
polinomial.
b) La función t(x) es una función racional, por lo tanto, es continua en todo
número real excepto en aquellos donde se anule el denominador. En este caso
(x+3) se anula en x = −3. Por lo tanto, t(x) es continua en R −{−3}.
c) La función g(x) es el producto de dos funciones continuas para todo número
real, y = x e y = senx. Luego, la función g(x) es continua para todo número real.
Nota. La mayoría de las funciones conocidas (polinomiales, racionales,
potencias, raíces, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas) son continuas
en todo número en su dominio.
Teorema. Si la función f es continua en x = a y la función g es continua en f(a),
entonces la función compuesta g o f es continua en a.
Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = . 1 2x35 −
La expresión y = resulta de la composición de las funciones f(x) = 5x y
g(x) = 3x2 −1.
1 2x35 −
96
El Cálculo Diferencial
(fog)(x) = f[g(x)] = f(3x2 −1) = 1 2x35 −
Las funciones f(x) y g(x) son funciones continuas en todos los números reales,
por lo tanto, y = es continua para todo número real. 1 2x35 −
Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = ln(2x − 3).
La función y = ln(2x − 3) resulta de la composición de las funciones f(x) = lnx que
es continua en todos los números reales positivos y g(x) = 2x − 3 que es
continua en todos los números reales.
La composición (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x − 3) = ln (2x − 3) resulta continua para
todos los valores reales tales que 2x − 3 > 0.
Luego, la función es continua en A =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
2
3x/x .
Sintetizando.
• Se dice que una función f es continua en x = a si y solo si )a(f)x(flímax
=→
• ¿En qué puntos no es continua una función?
a) en los puntos cuyas abscisas no pertenecen al dominio.
b) en todos los puntos de abscisa x = a en los que ocurre alguna de
estas situaciones:
• no existe )x(flímax→
• existe el límite de la función en x = a pero no coincide con el valor
de la función en x = a.
Tipos de discontinuidades
Las discontinuidades se clasifican en:
a) Evitables: en este caso no se cumple la condición (a) de la definición de
continuidad, es decir existe el límite finito L de f(x) en x = a pero f(x) no está
definida en a. La función puede modificarse adoptando como f(a) el valor L
correspondiente, convirtiéndose así en una función continua en x = a.
También se clasifica como evitable la discontinuidad en la que no se cumple la
condición (c) de la definición de continuidad, es decir, existen f(a) y ,
pero no coinciden. En este caso, puede salvarse la discontinuidad tomando
como valor de la función el resultado del límite.
)x(flímax→
b) Discontinuidad de salto: existen los límites laterales pero son distintos.
c) Discontinuidad infinita: al menos uno de los límites laterales no existe.
97
El Cálculo Diferencial
;:"
Glgornq0" Fcfcu" ncu" ukiwkgpvgu" itâhkecu" fg" hwpekqpgu" fkueqpvkpwcu" gp" z" =" 7."kpfkswg"gn"vkrq"fg"fkueqpvkpwkfcf"gp"ecfc"ecuq0"c+" " " " " " """"d+""
" "e+""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""f+"
" "
c+"Gn"nîokvg"fg"{"="h*z+"rctc"z"vgpfkgpfq"c"7"gzkuvg"{"gu"6."rgtq"7"pq"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp0"Ug"vtcvc"fg"wp"fkueqpvkpwkfcf"gxkvcdng"gp"z"="70""d+"Cn"kiwcn"swg"gp"*c+"gn"nîokvg"rctc"z"→"7"gzkuvg"{"gu"6"rgtq"pq"eqkpekfg"eqp"nc"kocigp"fg"7."swg"gu"30"Ug"vtcvc"fg"wpc"fkueqpvkpwkfcf"gxkvcdng0""e+"Qdugtxcpfq" nc" itâhkec" ug" fgfweg" swg" 3+z*hnîo
7z=
−→" {" 5+z*hnîo
7z=
+→0"Eqoq"
nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"gzkuvgp"rgtq"uqp"fkuvkpvqu"gu"wpc"fkueqpvkpwkfcf"fg"ucnvq0""f+"Nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"pq"gzkuvgp"rwgu" +∞=
−→+z*hnîo
7z""""{" −∞=
+→+z*hnîo
7z0""
Nc"hwpekôp"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"kphkpkvc"gp"z"="70""
Glgornq0"Fcfc"nc"hwpekôp"i"<"T"→"T"1"z"→"⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+<≤−−
−<−
5z"""uk""""""""4z5z4"uk"""""""3z4
4z"""uk""""""z5 4
""kpfkswg."uwu"
rwpvqu"fg"fkueqpvkpwkfcf."uk"gzkuvgp."{"encukhîswgnqu0""
El Cálculo Diferencial
;;"
Nqu"rqukdngu"rwpvqu"fg"fkueqpvkpwkfcf"uqp"z"="−4"{"z"="5."{c"swg"gp"nqu"fgoâu"rwpvqu" i*z+" gu" eqpvkpwc." fgdkfq" c" swg" ncu" ng{gu" swg" fghkpgp" ecfc" vtcoq" uqp"hwpekqpgu"rqnkpqokcngu0"
Gp"z"="−4<" ( )44z
z5nîo −−−→
="5"−"*−4+4"="−3"""{""" ( )3z4nîo
4z−
+−→ ="40*−4+"−"3"="−"70"
Nqu" nîokvgu" ncvgtcngu"gzkuvgp"rgtq"uqp"fkuvkpvqu."rqt" nq" vcpvq."pq"gzkuvg"gn" nîokvg"ewcpfq"z"vkgpfg"c"−40"Nc"hwpekôp"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"fg"ucnvq"gp"z"="−40"Gp"z"="5<" ( )3z4nîo
5z−
−→="405"−"3"="7"""{""" ( )4znîo
5z+
+→ ="5"-"4"=""70"Nqu"nîokvgu"
ncvgtcngu"gzkuvgp"{"uqp"kiwcngu."rqt"nq"vcpvq."gn"nîokvg"ewcpfq"z"vkgpfg"c"5"gu"70"Nc"kocigp"fg"5"vcodkêp"gu"7."gp"eqpugewgpekc."nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"z"="50""Guvg"cpânkuku"rwgfg"xkuwcnk|ctug"itâhkecogpvg<""
"
Glgornq0"Itchkswg"nc"hwpekôp"o"<"T"→"T"1"o*z+"=⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
<−
4z""""uk""""z47
4z"""""uk"""""""""""""5
4z""""uk""""""""3z
" "{" cpcnkeg"
uw"eqpvkpwkfcf"gp"z"="40"""
C" rctvkt" fg" nc" itâhkec" ug" qdugtxc"swg"o*4+"="50"Ecnewncpfq"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu<""
( ) 33znîo+z*onîo4z4z
=−=−→−→
""{"
( ) 3z47nîo+z*onîo4z4z
=−=−→+→
"
Eqoq"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"gzkuvgp"{" uqp" kiwcngu." gpvqpegu"
3+z*onîo4z
=→
"
Nwgiq +z*onîo4z→
"≠"o*4+0"
"""
El Cálculo Diferencial
322"
Rqt"nq"vcpvq."nc"hwpekôp"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"gxkvcdng"gp"z"="40"Ug"rwgfg"xqnxgt"c"fghkpkt"nc"hwpekôp"rctc"swg"tguwnvg"eqpvkpwc"gp"z"="40"Rctc"gnnq"ug"ng"cukipc"eqoq"kocigp"fg"4"gn"tguwnvcfq"fgn"nîokvg."gu"fgekt<"
o,<"T"→"T"1"o,*z+"=⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
<−
4z""""uk""""z47
4z"""""uk"""""""""""""3
4z""""uk""""""""3z
"
Nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" tgfghkpkfc"tguwnvc<""
""
Glgornq0"Cpcnkeg"nc"eqpvkpwkfcf"fg"nc"hwpekôp"h*z+"="4z
6z4
−−
0"
"Rqt"ugt"wp"eqekgpvg"fg"hwpekqpgu"rqnkpqokcngu"nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"rctc"vqfq"xcnqt"tgcn"fg"z."gzegrvq"gp"z"="4"{c"swg"guvg"xcnqt"cpwnc"gn"fgpqokpcfqt0""
•" h*4+"="2
2
44
644=
−−
"*kpfgvgtokpcfq+0"Rqt"nq"vcpvq."gp"z"="4"nc"hwpekôp"pq"guvâ"
fghkpkfc0""
•" ( )( ) ( ) 64znîo4z
4z4znîo
4z
6znîo+z*hnîo
4z4z
4
4z4z=+=
−−+
=−−
=→→→→
0"
"Eqoq"gzkuvg" gn" nîokvg" rgtq" nc" hwpekôp"pq"guvâ" fghkpkfc"gp" z"=" 4." rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"gxkvcdng"gp"fkejq"rwpvq0""Gu"rqukdng"tgfghkpktnc"rctc"swg"tguwnvg"eqpvkpwc0"Rctc"gnnq"ug"ng"cukipc"c"z"="4"."
gn"xcnqt"fgn"nîokvg0"Tguwnvc<"h*z+"=" """"4"""z"uk"""""""""""""""6
4"""zuk""""""4z
6z4
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−−
0"
"Cevkxkfcf"fg"tghngzkôp0"ÀEwângu"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu"uqp"eqpvkpwcuA"
•" Nc"cnvwtc"fg"wp"qdlgvq"swg"ecg0"
•" Nc"xgnqekfcf"fg"wp"qdlgvq0"
•" Nc"ecpvkfcf"fg"fkpgtq"gp"wpc"ewgpvc"dcpectkc0"
•" Nc"htgewgpekc"ectfîcec"fg"wpc"rgtuqpc0"
•" Gn"equvq"fg"gpxîq"fg"eqttgurqpfgpekc"fg"cewgtfq"cn"rguq0""Cswgnncu" swg" rtgugpvcp" fkueqpvkpwkfcfgu." Àewân" gu" uw" ukipkhkecfq" gp" nc" xkfc"tgcnA"""
El Cálculo Diferencial
323"
GLGTEKEKQU""
3+"Cpcnkeg"nc"eqpvkpwkfcf"fg"ncu"hwpekqpgu"fghkpkfcu"itâhkecogpvg"gp"z = z20""" c+" " " " " """d+ "
" "e+" " " " " """f+
g+" " " " " """h+
4+"Cpcnkeg"nc"eqpvkpwkfcf"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu"rctc"ecfc"pûogtq"tgcn0"Gp"ecuq"fg"ugt"fkueqpvkpwcu"gp"cniûp"rwpvq." tgfghîpcncu"ewcpfq"ugc"rqukdng"rctc"swg"tguwnvgp"eqpvkpwcu0"
" c+"j*z+"="7z
47z4
−−
" " " " d+"h*z+"="
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
≠−−
4""""z"uk"""""""""34""
4"""zuk"""""4z
:z5
" "
" e+"h*z+"="⎩⎨⎧−
≤+−3@"zuk""""""""""3
3"zuk"""4z5" " f+"i*z+"="
⎩⎨⎧
≥−+−
4"zuk"""3z5
4>"zuk"""4z"
"
El Cálculo Diferencial
324"
TGURWGUVCU"
3+c+" Hwpekôp" eqpvkpwc" gp" vqfq" rwpvq" gzegrvq" gp" z" =" z2" fqpfg" rtgugpvc" wpc"
fkueqpvkpwkfcf"gxkvcdng."{c"swg"h*z2+"pq"guvâ"fghkpkfc0"
d+" Hwpekôp" eqpvkpwc" gp" vqfq" rwpvq" gzegrvq" gp" z" =" z2" fqpfg" rtgugpvc" wpc"fkueqpvkpwkfcf"fg"ucnvq."{c"swg"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"uqp"fkuvkpvqu0"
e+" Hwpekôp" eqpvkpwc" gp" vqfq" rwpvq" gzegrvq" gp" z" =" z2" fqpfg" rtgugpvc" wpc"fkueqpvkpwkfcf" kphkpkvc." {c" swg" ewcpfq" z" vkgpfg" c" gug" xcnqt" nc" hwpekôp" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"f+"Hwpekôp"eqpvkpwc"gp"vqfq"rwpvq0"
g+ Hwpekôp" eqpvkpwc" gp" vqfq" rwpvq" gzegrvq" gp" z" =" z2" fqpfg" rtgugpvc" wpc"fkueqpvkpwkfcf" kphkpkvc." {c" swg" ewcpfq" z" vkgpfg" c" gug" xcnqt" rqt" fgtgejc." nc"hwpekôp"etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"Gu"fgekt."cn"ogpqu"wpq"fg"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"pq"gzkuvg0"
h+" Hwpekôp" eqpvkpwc" gp" vqfq" rwpvq" gzegrvq" gp" z" =" z2" fqpfg" rtgugpvc" wpc"fkueqpvkpwkfcf"gxkvcdng."{c"swg"ewcpfq"z"vkgpfg"c"gug"xcnqt"gn"nîokvg"gzkuvg"rgtq"
gu"fkuvkpvq"c"nc"kocigp"gp"z20"
4+c+"Fkueqpvkpwc"gxkvcdng"gp"z"="7"."rctc"swg"tguwnvg"eqpvkpwc"ug"tgfghkpg<""
j*z+"="
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
≠−−
7""""z"uk"""""""""32""
7"""zuk""7z
47z4
"
d+"Eqpvkpwc"gp"vqfq"rwpvq0" " "e+"Eqpvkpwc"gp"vqfq"rwpvq0" "f+"Nc"hwpekôp"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"fg"ucnvq"gp"z"="4."gp"vqfqu"nqu"qvtqu"xcnqtgu"gu"eqpvkpwc0""
"
504"Hwpekôp"eqpvkpwc"gp"wp"kpvgtxcnq""Eqpvkpwkfcf"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"kpvgtxcnq"cdkgtvq"
Wpc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"wp"kpvgtxcnq"cdkgtvq"q"wpkôp"fg"kpvgtxcnqu"cdkgtvqu"uk"gu"eqpvkpwc"gp"ecfc"rwpvq"fg"gug"eqplwpvq0"Fgekoqu"swg"h*z+"gu"eqpvkpwc"gp"*c."d+"uî"{"uônq"uî"h*z+"gu"eqpvkpwc"∀"z"∈"*c."d+0""
Glgornq0"Cpcnkeg"nc"eqpvkpwkfcf"fg"nc"hwpekôp"j*z+"=3z
3z4 −
−"gp"gn"kpvgtxcnq"*⁄3."3+0"
"Rqt" ugt" wpc" hwpekôp" tcekqpcn." nc" hwpekôp" gu" eqpvkpwc" gp" ecfc" pûogtq" tgcn"gzegrvq"nqu"swg"cpwncp"gn"fgpqokpcfqt."z"="3"{"z"="−30"Eqoq"guqu"xcnqtgu"pq"rgtvgpgegp"cn"kpvgtxcnq."nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"gn"kpvgtxcnq"*⁄3.3+0""""""
El Cálculo Diferencial
Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) =1x
1x
2 −
− en el intervalo (–2, 2).
Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = 1
y x = −1.
• En x = 1
La función no está definida en este punto.
2
1
1x
1lím
)1x).(1x(
1xlím
1x
1xlím
1x1x2
1x
=+
=−+
−=
−
−−→−→−→
De igual forma 2
1
1x
1xlím
21x
=−
−+→
de lo que se deduce que existe el límite de la
función cuando x tiende a 1 y es igual a 2
1.
Como f(x) no está definida en x = 1 pero existe el límite para x → 1, la función
presenta una discontinuidad evitable en x = 1.
• En x = −1
La función no está definida en este punto.
−∞=−
−−−→ 1x
1xlím
21x
y +∞=−
−+−→ 1x
1xlím
21x
Como no existe el límite para x → −1, la
función presenta una discontinuidad infinita
en x = −1.
La función es continua en (−2, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, 2).
Ejemplo. Determine el intervalo más grande (o unión de intervalos) en el que
cada función es continua:
a) h(x) = x3 − 3x b) f(x) =
2x
1
−
c) g(x) = log2 x d) m(x) =
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−−
2 x si 5
2 xsi 2x
4x2
103
El Cálculo Diferencial
a) La función h(x) = x3 − 3x es una función continua en cada número real por
tratarse de una función polinomial, por lo tanto es continua en (−∞, ∞).
b) La función f : R – {2} → R / f(x) = 2x
1
− es continua en todo su dominio de
definición, es decir en (−∞, 2) ∪ (2, ∞).
Su gráfica es:
c) La función g : R+ → R / g(x) = log
2x es continua en todo su dominio, es decir
en (0, ∞). Su gráfica es:
d) La función m: R → R / m(x) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−−
2 x si 5
2 xsi 2x
4x2
es continua en los intervalos
(−∞, 2) ∪ (2, ∞). Su gráfica es:
Continuidad de una función en un intervalo cerrado
La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de
analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el
intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como
104
El Cálculo Diferencial
tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b.
Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe
definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un
punto.
Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si
y es continua a la izquierda de a si )a(f)x(flímax
=+→
)a(f)x(flímax
=−→
.
Definición. Se dice que f(x) es continua en [a, b] sí y sólo sí
a) f(x) es continua en (a, b)
b) = f(a) (continua a la derecha de a) )x(flímax +→
c) f(x) = f(b) (continua a la izquierda de b) −→bx
lím
Ejemplo. Demuestre que la función f(x) = 2x9 − es continua en [–3, 3].
La función f(x) = 2x9 − resulta de la composición de las funciones y = 9 – x2
con xy = . La primera es una función polinomial, definida para todo número
real y la segunda es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los
números reales no negativos. Por lo tanto, el dominio de f(x) es el conjunto de
todos los números reales tales que 9 – x2 ≥ 0, o sea, todos los números reales
pertenecientes al intervalo cerrado [–3, 3].
En la gráfica puede observarse que la
función f(x) es continua en cada
número real perteneciente al intervalo
abierto (−3, 3).
Además: )3(f0x9lím)x(flím2
3x3x
−==−=+−→+−→
)3(f0x9lím)x(flím 2
3x3x
==−=−→−→
Esto implica que la función es continua a la derecha de –3 y es continua a la
izquierda de 3. En consecuencia, f(x) = 2x9 − es continua en [–3, 3].
105
El Cálculo Diferencial
Ejemplo. Analice la continuidad de la función g(x) = . ⎩⎨⎧
≤≤−<≤−−+2x1 si x27
1x1 si 1x2x2
En primer lugar se analizará si la función es continua en el intervalo abierto
(–1, 2) y luego qué sucede en los extremos. Como cada tramo que define g(x)
es una función polinomial, el único valor posible de discontinuidad es x = 1.
g(1) = 7 − 2.1 = 5
2)x(glím1x
=−→
y 5)x(glím1x
=+→
Los límites laterales existen pero son distintos. Por
lo tanto, no existe el límite en x = 1.
La función no es continua en x = 1.
2)1(g)x(glím1x
−=−=+−→
. La función resulta continua
a la derecha de x = −1.
3)2(g)x(glím2x
==−→
. La función resulta continua a
la izquierda de x = 2.
La función es continua en [–1, 1) y en [1, 2].
Gráficamente se puede resumir lo planteado de la siguiente manera:
La función es continua en [a, b].
La función es continua en (a, b] .
La función es continua en [a, b).
La función es continua en [a, c] y en (c, b].
106
El Cálculo Diferencial
La función es continua en (a, b).
roblemaP erza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a La fu
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧ < Rr si GMr
≥ Rr si r
GMR
2
3, donde M una distancia r del centro del planeta es: F(r) =
es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional, ¿es
F una función continua?
l primer tramo corresponde a una función de primer grado, por lo tanto, es
tramo también es continuo ya que r ≠ 0.
E
continua.
El segundo
Analizamos la continuidad de F(r) en r = R:
• F(R) = 2R
GM
23Rr R
GM
R
GMrlím =
−→ y
22Rr R
GM
r
GMlím =
+→. Como los límites laterales existen y
son iguales se puede asegurar que el límite existe, es decir,2
Rr R
GM)r(Flím =
→.
•
• Como 2Rr R
unción es continua.
GM)r(Flím =
→ = F(r) la función es continua en r = R.
En consecuencia la f
oblema
Pr nción que describe el radio (en metros) del flujo circular de petróleo La fu
que se derrama por una fisura de un tanque luego de t minutos está dada
por: r(t) = . Analice su continuidad y grafique r(t). ⎩⎨
>−
2t si 2t16
⎧ ≤≤+ 2t0 si 9t4 2
ada tramo de la función es continuo ya que está definido por una expresión C
polinomial. Analizaremos la continuidad en el punto donde cambia la definición,
t = 2, y luego si la función es continua a la derecha de t = 0.
107
El Cálculo Diferencial
En t = 2 se cumple:
• r(2) = 4.22 + 9 = 25
• ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + = 25 ;
−→9t4lím
2
2t
( )2t16lím2t
−+→
= 30.
Como los límites laterales existen pero son
distintos, la función presenta una
discontinuidad de salto en t = 2.
Para t = 0 se observa:
• r(0) = 4.02 + 9 = 9
• ( )9t4lím 2
0t
++→
= 9
La función es continua a la derecha de t = 0.
Luego, la función es continua en [0, 2] y en (2, ∞).
EJERCICIO
Indique los intervalos donde las siguientes funciones son continuas.
a) f(x) = x3 + 2x − 7 b) g(x) =
x
x9 2−
c) h(x) = ln (x2 − 1) d) 3x)x(i −=
RESPUESTAS a) Es continua en todos los números reales, o sea, en (−∞, ∞).
b) Es continua en R − {0}, o sea en (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
c) Es continua en (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
d) Es continua en [3, ∞).
EJERCICIOS INTEGRADORES 3.1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO – 3.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO 1) Observe la siguiente gráfica, responda y analice su continuidad:
108
El Cálculo Diferencial
a) f(−4) b) c) d) )x(flím4x −−→
)x(flím4x +−→
)x(flím4x −→
e) f(2) f) g) h) )x(flím2x −→
)x(flím2x +→
)x(flím2x→
2) Estudie la continuidad de la función. Si presenta discontinuidades indique de
qué tipo y en qué puntos.
3) Halle el valor de k de modo que la función dada resulte continua.
a) g : R → R / t → b) h : R → R / x →
2t si 1tk
2t si 2
2t si tk 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=−<
1> xsik3+5x
1 xsi x 1)k(
⎩⎨⎧ ≤−
4) Dada la función f : R → R / x → grafíquela y analice
su continuidad.
2x si 5x
2x1 si 3
1 xsi 2x2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−≤<−−−≤
5) Sea la función m(x) = 2x
1
+. Analice su continuidad en [−3, 1] y en [ 0, 3].
3.3 Teoremas de las funciones continuas Las funciones que son continuas en un intervalo cerrado tienen ciertas
propiedades especiales que se enuncian a continuación:
Teorema de la conservación del signo Si f(x) es continua en x = a y f(a) > 0, existe un intervalo abierto tal que f(x) > 0,
∀x ∈ (a − δ, a + δ).
Actividad de reflexión.
A)i) Realice los pasos que se detallan a continuación para definir gráficamente
una función y = f(x). a) Grafique un sistema de ejes coordenados cartesianos.
b) Sobre el eje x elija dos valores a y b, con a < b.
c) Sobre el eje y determine los valores f(a) y f(b).
d) Marque los puntos ( )( )af,a y ( )( )bf,b .
109
El Cálculo Diferencial
e) Sobre el eje y determine un valor k que se encuentre entre f(a) y f(b).
f) Grafique la recta y = k, paralela al eje x.
g) Grafique una función continua y = f(x) uniendo los puntos y
.
( )( )af,a
( )( )bf,b
h) La gráfica de la función y = f(x) , ¿interseca a la recta y = k?, ¿en
cuántos puntos?
ii) Repita la actividad (i) graficando otras funciones.
Según lo observado extraiga conclusiones.
B) Para el mismo caso que la situación (A), grafique una función desde
hasta pero que no interseque a la recta y = k.
( )( )af,a
( )( bf,b )¿Qué análisis puede hacer sobre la función?
De la actividad anterior se enuncia el siguiente teorema:
Teorema del valor intermedio Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] donde f(a) ≠ f(b)
y k es un número real cualquiera comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos
un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.
Desde el punto de vista geométrico, este teorema establece que la gráfica de
una función continua en un intervalo cerrado, debe intersecar al menos una vez
a cada recta de ecuación y = k, siendo f(a) < k < f(b).
110
El Cálculo Diferencial
333
Gp" gn" ukiwkgpvg" glgornq" ug" rtgugpvc" nc" korqtvcpekc" fg" nc" xgtkhkecekôp" fg" nc"eqpfkekôp"fg"eqpvkpwkfcf"fg" nc"hwpekôp"{"=" h*z+"gp"gn" kpvgtxcnq"]c."d_"rctc"rqfgt"ictcpvk|ct"nc"gzkuvgpekc"fgn"pûogtq"tgcn"e0"""
Glgornq0" "Ugc" nc" hwpekôp"h*z+"="⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤+
<≤−+
6z4""""""uk"""""7z4
34z3""""uk""""""""4z"ÀGu"rqukdng"crnkect"gn"
vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"gp"uw"fqokpkq"fg"fghkpkekôpA"Lwuvkhkswg0""Gn"fqokpkq"gu"gn"kpvgtxcnq"egttcfq"]−3."6_0"Cfgoâu."h*−3+"="3"{"h*6+"="90"Ecfc"vtcoq"gu"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"{"rqt"nq"vcpvq"ecfc"vtcoq"gu"eqpvkpwq"gp"gn"kpvgtxcnq"fcfq0"Fgdg"cpcnk|ctug"nc"eqpvkpwkfcf"fg"nc"hwpekôp"gp"z"="40"
6+4z*nîo4z
=+−→
"""{"" 87z4
3nîo4z
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+→0"
Eqoq"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"uqp"fkuvkpvqu."nc"hwpekôp"pq"gu"eqpvkpwc"gp"z"="4""{"rqt"nq"vcpvq"vcorqeq"gu"eqpvkpwc"gp"gn"kpvgtxcnq"egttcfq"]−3."6_0"Rqt"guvg"oqvkxq."pq"rwgfg"crnkectug"gn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq0""Gp" nc" itâhkec" ug" qdugtxc" swg" uk" " m" gu"ewcnswkgt"pûogtq" tgcn"eqortgpfkfq"gpvtg"6" *kpenwukxg+" {" 8." rqt" glgornq" " m"=" 7." pq"gzkuvg" pkpiûp" xcnqt" fg" e"rgtvgpgekgpvg"cn"kpvgtxcnq""""*−3."6+."vcn"swg"h*e+"="70"""
""Gn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"vcodkêp"tguwnvc"ûvkn"rctc"fgvgtokpct"nc"gzkuvgpekc"fg"tcîegu"fg"wpc"hwpekôp"eqpvkpwc"gp"wp"kpvgtxcnq"egttcfq0"Ugc"{"="h*z+"wpc"hwpekôp"eqpvkpwc"gp"gn"kpvgtxcnq"egttcfq"]c."d_"vcn"swg"h*c+"{"h*d+"vqocp" xcnqtgu" fg" ukipqu" eqpvtctkqu0"Gu"rqukdng"cukipctng"c" m"gn" xcnqt" egtq." {c"swg"egtq"guvâ"eqortgpfkfq"gpvtg"h*c+"{"h*d+."fg"ocpgtc"vcn"swg"gp"gn"kpvgtxcnq"*c."d+"gzkuvg"rqt" nq"ogpqu"wp"pûogtq" tgcn"e" vcn"swg" h*e+"="20"Fg"guvc"ocpgtc"rwgfg"eqpenwktug"swg"e"gu"wpc"tcî|"tgcn"fg"nc"hwpekôp"fcfc0"""Guvq"ug"gpwpekc"gp"gn"ukiwkgpvg"vgqtgoc<"
El Cálculo Diferencial
334
Vgqtgoc"fg"Dqn|cpq"Uk" {" =" h*z+" gu" wpc" hwpekôp" eqpvkpwc" gp" gn" kpvgtxcnq" egttcfq" ]c." d_" {" h*c+" {" h*d+"vkgpgp" ukipqu" qrwguvqu." gpvqpegu" gzkuvg" cn" ogpqu" wp" pûogtq" tgcn" " e"rgtvgpgekgpvg"cn"kpvgtxcnq"*c."d+"vcn"swg"h*e+"="2="gu"fgekt."e"gu"wpc"tcî|"fg"h*z+0"Ncu"ukiwkgpvgu"itâhkecu"rgtokvgp"knwuvtct"gn"vgqtgoc<""
"
Glgornq0"Ugc"nc"hwpekôp"i*z+"="( )
5z
z435 4
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0"Fgvgtokpg"uk"vkgpg"wpc"tcî|"tgcn"gp"gn"
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El Cálculo Diferencial
335
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El Cálculo Diferencial
336
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El Cálculo Diferencial
337
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El Cálculo Diferencial
338
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El Cálculo Diferencial
339
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
342
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El Cálculo Diferencial
343
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El Cálculo Diferencial
344
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El Cálculo Diferencial
345
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
"348
""Gn" eânewnq" fkhgtgpekcn" gu" nc" ocvgoâvkec" fgn" ecodkq." fg" nc" xctkcekôp." fg" nc"vtcpuhqtocekôp0" Pq" gzkuvg" hgpôogpq" gp" nc" pcvwtcng|c" q" gp" nc" uqekgfcf" swg"guecrg" cn" hgpôogpq" fgn" ecodkq0" Rqfgoqu" gpeqpvtct" pwogtququ" glgornqu" c"pwguvtq" cntgfgfqt<" nc" rqdncekôp" fg" wp" rcîu" ecodkc" c" vtcxêu" fgn" vkgorq." nc"vgorgtcvwtc" codkgpvcn" ecodkc" fwtcpvg" gn" còq." gn" âtgc" fg" wp" ewcftcfq" eqp" nc"nqpikvwf" fgn" ncfq." gve0" Gn" guvwfkq" fg" nc" xctkcekôp" nngxc" c" eqpuvtwkt" wpq" fg" nqu"eqpegrvqu"oâu"korqtvcpvgu"fgn"eânewnq<"nc"fgtkxcfc0"Gn"guvwfkq"fg"nc"fgtkxcfc"eqoq"vcuc"fg"xctkcekôp"q"eqoq"tc|ôp"fg"ecodkq"vkgpg"pwogtqucu"crnkecekqpgu0"Wpc"fg"ncu"oâu"eqpqekfcu"{"ukorngu."gu"nc"xgnqekfcf."tc|ôp"fg"ecodkq"fgn"fgurnc|cokgpvq"eqp"tgurgevq"cn"vkgorq0"Qvtcu"rwgfgp"ugt."nc" vcuc" fg" etgekokgpvq" fg" wpc" rqdncekôp" fg" dcevgtkcu" *ekgpekcu" pcvwtcngu+." nc"vcuc" fg" xctkcekôp" fg" wpc" tgceekôp" swîokec." xgnqekfcf" fg" tgceekôp" *ekgpekcu"pcvwtcngu+0"Gp"geqpqoîc"ug"jcdnc"fg" kpitguq"octikpcn."equvq"octikpcn."wvknkfcf"octikpcn." vqfqu"glgornqu"fg" vcucu"fg"xctkcekôp0"Qvtcu" tc|qpgu"fg"ecodkq"uqp"fgn" vtcdclq" eqp" tgurgevq" cn" vkgorq." rqvgpekc" *hîukec+." nc" tc|ôp" eqp" nc" swg"cwogpvc"nc"xgnqekfcf"eqp"nc"swg"hnw{g"nc"ucpitg"ugiûp"nc"fkuvcpekc"c"nc"rctgf"fg"wp"xcuq"ucpiwîpgq."nc"tc|ôp"eqp"nc"swg"ug"gurcteg"wp"twoqt0"Vqfqu" guvqu" glgornqu" uqp" ecuqu" gurgekcngu" fg" wp" eqpegrvq" ocvgoâvkeq<" nc"fgtkxcfc0"Nwgiq" fgn" cpânkuku" ewkfcfquq" fg" guvqu" eqpvgpkfqu." ug" gurgtc" swg" ecnewng"tc|qpgu" fg" ecodkq" rtqogfkq" {" tc|qpgu" fg" ecodkq" kpuvcpvâpgcu." swg" jcnng" nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"{"pqtocn"c"nc"itâhkec"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"rwpvq."swg" fgvgtokpg" nc" fgtkxcfc" fg" wpc" hwpekôp" gp" wp" rwpvq" ewcnswkgtc" {" swg"kpvgtrtgvg" hîukec" {"igqoêvtkecogpvg" nc"fgtkxcfc0"Vcodkêp." swg"jcnng" nc" hwpekôp"fgtkxcfc."cpcnkeg"nc"fgtkxcdknkfcf"fg"hwpekqpgu"{"crnkswg"gn"eqpegrvq"fg"fgtkxcfc"c"nc"tguqnwekôp"fg"rtqdngocu0"""603"Tc|qpgu"fg"ecodkq"Gn"eqpegrvq"fg"tc|ôp"fg"ecodkq"guvâ"rtgugpvg"gp"nc"xkfc"fkctkc."owejcu"xgegu"wvknk|cfq" ukp" fctng" wp" pqodtg" gurgeîhkeq" q" ukp" tghngzkqpct" uqdtg" ncu" ceekqpgu"tgcnk|cfcu0"Xkxkoqu"gp"wp"owpfq"hîukeq."uqekcn."rqnîvkeq."geqpôokeq."dkqnôikeq"{"tguwnvc" korqtvcpvg"rqfgt"fguetkdkt" {"ogfkt"guvqu"ecodkqu"c" vtcxêu"fg"oqfgnqu"ocvgoâvkequ0"Rqt"glgornq."wpc"rncpvc"etgeg"c"ogfkfc"swg"gn"vkgorq"vtcpuewttg."rwgfg"fgvgpgt"uw"etgekokgpvq"gp"cniûp" kpuvcpvg."rctc" nwgiq"xqnxgt"c"etgegt."q"rgtocpgegt"guvcekqpctkc0"Vcodkêp" nc"rqdncekôp"fg"wp"rcîu"xctîc"eqp"gn" eqttgt"fgn"vkgorq"{"nc"xctkcekôp"fgrgpfg"dâukecogpvg"fg"nc"ecpvkfcf"fg"pcekokgpvqu"{"fg"owgtvgu0"Gp" nqu" glgornqu" xgoqu" swg" gzkuvgp" xctkcekqpgu" fg" ncu" ecpvkfcfgu" swg" ug"tgncekqpcp<" cn" rcuct" gn" vkgorq." ecodkc"gn" vcocòq"fg"wpc"rncpvc." q"cn" rcuct"gn"vkgorq"ecodkc"nc"ecpvkfcf"fg"rqdncfqtgu"fg"wpc"nqecnkfcf0"Gu"korqtvcpvg"ogfkt"guvcu"xctkcekqpgu"{"gzrtguctncu"gp"pûogtqu"rwgu"fg"gnnqu"rqfgoqu"gzvtcgt"eqpenwukqpgu0"Guvq"pqu"rgtokvg"ucdgt."rqt"glgornq."gp"gn"ecuq"fg"eqpuwoq"fg"gpgtiîc"gnêevtkec"eqoq"hwpekôp"fgn" vkgorq."ewâpfq"ug"rtqfweg"wp" cwogpvq" tgrgpvkpq." nq" swg" kpfkec" nc" pgegukfcf" fg" cwogpvct" nc" ecrcekfcf"gnêevtkec=" uk" guvcoqu" cpcnk|cpfq" nc" gxqnwekôp" fg" wpc" gphgtogfcf" c" vtcxêu" fgn"
El Cálculo Diferencial
tiempo podremos saber cuándo se está propagando con mayor rapidez y así
reforzar las medidas sanitarias necesarias.
Analizaremos a través de ejemplos, cómo medir los cambios.
Aprendizaje por descubrimiento Actividad 1. Los datos de la siguiente tabla muestran los valores de la
temperatura T de cierto volumen de agua tomadas en los minutos t indicados:
Tiempo t en minutos 0 5 10 15 20 25
Temperatura T en oC 15 25,5 55,7 95 85 62
Complete las siguientes tablas:
t 0 5 10 15 20 25
cambio
5 − 0 = 5
cambio
cambio
cambio
cambio
T 15 25,5 55,7 95 85 62
cambio
25,5 −15 == 10,5
cambio
cambio
cambio
cambio
Intervalo de tiempo
[ti, tf]
Cambio de la temperatura
ΔT =Tf − Ti
Cambio de la temperatura con respecto al cambio del tiempo
tT
ΔΔ =
if
if
tt
TT
−−
De t = 0 a t = 5 10,5 5
5,10
05
155,25
05
T(0) T(5)=
−−
=−−
= min
Cº1,2
De t = 5 a t = 10
De t = 10 a t = 15
De t = 15 a t = 20
De t = 20 a t = 25
¿Qué significado tienen las mediciones hechas en cada columna de la tabla?
¿Qué expresa la razón del cambio de la temperatura con respecto al tiempo?
¿Es posible que algunos valores de la tercera columna sean positivos y otros
negativos? ¿Qué interpretación le da a esta situación?
El cambio se da cuando se pasa de un estado a otro, de un estado inicial a un
estado final. Por lo tanto, para medir el cambio de una variable basta restar su
valor en el estado final menos su valor en el estado inicial. Para la variable t el
cambio se mide por la diferencia tf − ti = Δt (Δ: delta), donde Δt representa el
cambio en el tiempo. Para la variable T el cambio se mide con Tf − Ti = ΔT,
donde ΔT es el cambio, aumento o disminución, de la temperatura.
Generalmente, cuando se habla de cambios, necesariamente se los relaciona
con otros cambios. En nuestro ejemplo interesa el cambio de la temperatura en
127
El Cálculo Diferencial
"34:
ekgtvq" kpvgtxcnq" fg" vkgorq." gu" fgekt." wp" ecodkq" fg" vgorgtcvwtc" tgurgevq" cn"ecodkq" fgn" vkgorq0" Pqu" rqfgoqu" rtgiwpvct<" Àeqp" swê" xgnqekfcf" ecodkc" nc"vgorgtcvwtcA"Rctc" rqfgt" eqpvguvct" guvc" rtgiwpvc" fgdgoqu" tgncekqpct" gn" ecodkq" fg"vgorgtcvwtc" tgurgevq" cn" ecodkq" fgn" vkgorq." gzrtgucpfq" nc" eqorctcekôp"ogfkcpvg"wp"eqekgpvg0"Qdugtxcoqu"nc"vcdnc"eqorngvc0""
Kpvgtxcnq"fg"vkgorq"
]vk."vh_"
Ecodkq"fg"nc"vgorgtcvwtc""
ΔV"=Vh"−"Vk"
Ecodkq"fg"nc"vgorgtcvwtc"eqp"tgurgevq"cn"ecodkq"fgn"vkgorq"
vV
ΔΔ =
kh
kh
vv
VV
−−
"
Fg"v""="2""c""v""="7" 32.7"77.32"="
okpE√3.4 "
"Fg"v""="7""c""v""="32" 52.4" ""74.52 "="
okpE√26.8 "
""Fg"v""="32"c""v""="37" 5;.5"75.5; "="
okpE√:8.9 "
""Fg"v""="37"c""v""="42" −32"7"32− "="
okpE√4− "
""Fg"v""="42"c""v""="47" −45"745− "="−
okpE√8.6 "
"Nc"tc|ôp"gpvtg"gn"ecodkq"fg" nc"vgorgtcvwtc"eqp"tgurgevq"cn"ecodkq"fgn"vkgorq"fc"eqoq"tguwnvcfq"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"eqp"nc"swg"ecodkc"nc"vgorgtcvwtc"eqp"tgurgevq"cn" vkgorq0"Rqt"glgornq."qdugtxcpfq"gn"rtkogtq"fg" nqu"eqekgpvgu."fgekt"
swg" nc" vgorgtcvwtc" ecodkô" eqp" wpc" xgnqekfcf" rtqogfkq" fg"okpE√3.4 " gp" gn"
kpvgtxcnq"fg"vkgorq"fg"v"="2"c"v"="7."ukipkhkec"swg"rqt"ecfc"okpwvq"vtcpuewttkfq"gp"fkejq"kpvgtxcnq."nc"vgorgtcvwtc"ecodkô"4.3√0"""
"Guvcu" tc|qpgu" ug" fgpqokpcp"tc|qpgu"fg"ecodkq"rtqogfkq0""Gp"nc"hkiwtc"ug"rwgfg"qdugtxct"nc"kpvgtrtgvcekôp"igqoêvtkec"fg"nqu" eânewnqu" tgcnk|cfqu" rctc"wpq"fg"nqu"kpvgtxcnqu0"
""Gp"gn"ewcftq"ug"owguvtc"gn"ukipkhkecfq"fg"ecfc"wpq"fg"nqu"eânewnqu"tgcnk|cfqu0""
El Cálculo Diferencial
"34;
Ecpvkfcf" v4"−"v3" V*v4+"−"V*v3+"34
34
vv
+v*V+v*V
−−
"
Ukipkhkecfq"Ecodkq"gp"gn"vkgorq"
Ecodkq"eqttgurqpfkgpvg""fg"nc"vgorgtcvwtc"
ewcpfq"gn"vkgorq"ecodkc"
fg"v"="v3"c"v"="v40"
Tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"fg"nc"vgorgtcvwtc"V"eqp"
tgurgevq"c"v"ewcpfq""ecodkc"
fg"v3"c"v40"
"Fghkpkekôp0" Fcfc" wpc" hwpekôp" {"=" h*z+." ug" nncoc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" *q"ogfkc+"fg"{"eqp"tgurgevq"c"z"gp"gn"kpvgtxcnq"]z3."z4_"cn"eqekgpvg"gpvtg"gn"ecodkq"
gp"gn"xcnqt"fg"{."Δ{"="h*z4+"−"h*z3+."{"nc"cornkvwf"fgn"kpvgtxcnq"Δz"="z4"−"z3."gp"gn"ewcn"qewttkô"gn"ecodkq0""Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"fg"{""="h*z+"eqp"tgurgevq"c"z"gp"gn"kpvgtxcnq"fcfq"
]z3."z4_""gu<"34
34
zz
+z*h+z*h
z{
−−
=ΔΔ
0"
"
Ecpvkfcf" z4"−"z3"="Δz" h*z4+"−"h*z3+"="Δh" zh
zz
+z*h+z*h
34
34
ΔΔ=
−−
"
Ukipkhkecfq"Ecodkq"gp"nc"xctkcdng"fg"
z"="z3"c"z"="z40
Ecodkq"eqttgurqpfkgpvg""fg"nc"hwpekôp"
ewcpfq"nc"xctkcdng"ecodkc"
fg"z"="z3"c"z"="z40"
Tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"fg"h*z+"eqp"tgurgevq"c"z"ewcpfq"z"
ecodkc"fg"z3"c"z40""Gp"nc"hkiwtc"ug"qdugtxcp"eôoq"ecodkcp"ncu"xctkcdngu"tgncekqpcfcu"rqt"ogfkq"fg"nc"ng{"h*z+<"
""
Fcfq"swg"Δz"="z4"−"z3."rqfgoqu"fgurglct"z4"="z3"-"Δz."{."Δ{"="h*z3"-"Δz+"−"h*z3+0""
Nc"fghkpkekôp"fg"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"tguwnvc<""z
+z*h+zz*h
z{ 33
Δ−Δ+
=ΔΔ
"
Igqoêvtkecogpvg<"
El Cálculo Diferencial
"352
Gp" nc" vcdnc" rwgfg" qdugtxctug" swg" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" fg" nc"vgorgtcvwtc"eqp"tgurgevq"cn"vkgorq"gu"rqukvkxc"gp"nqu"vtgu"rtkogtqu"kpvgtxcnqu"{"pgicvkxc" gp" nqu" ûnvkoqu" fqu0" Uk" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" gu" rqukvkxc." rqt"
glgornq"okpE√26.8 " gp" gn" kpvgtxcnq" fg" v" =" 7" c" v" =" 32." guvq" ukipkhkec" swg" nc"
vgorgtcvwtc"etgekô"fwtcpvg"gug"kpvgtxcnq"fg"vkgorq"c"tc|ôp"fg"8.26q"rqt"okpwvq0"
Uk" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" gu" pgicvkxc." rqt" glgornq" −okpE√8.6 " gp" gn"
kpvgtxcnq"fg"v"="42"c"v"="47."guvq"ukipkhkec"swg"nc"vgorgtcvwtc"gp"fkejq"kpvgtxcnq"fgetgekô"c"tc|ôp"fg"6.8q"rqt"okpwvq0""Gn"xcnqt"cduqnwvq"fg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"kpfkec"nc"tcrkfg|"fgn"ecodkq0"Gn"ukipq"kpfkec"uk"ug"rtqfwlq"wp"cwogpvq"q"wpc"fkuokpwekôp0""Fghkpkekôp0"Ug" nncoc" tcrkfg|"fg"ecodkq"ogfkc"cn"xcnqt"cduqnwvq"fg" nc"tc|ôp"fg"
ecodkq"rtqogfkq."q"ugc<""34
34
zz
+z*h+z*h
z{
−−
=ΔΔ
"q"dkgp"z
+z*h+zz*h
z{ 33
Δ−Δ+
=ΔΔ
0"
"Cevkxkfcf"40"Nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"j"*gp"lqwngu+"swg"ug"pgegukvc"rctc"eqpxgtvkt"wp"itcoq"fg"ciwc"gp"xcrqt"gu"hwpekôp"fg"nc"vgorgtcvwtc"v"*gp"qE+"fg"nc"cvoôuhgtc"
ugiûp" nc" ng{"59742v:+v*j +−= 0" Eqorngvg" nc" ukiwkgpvg" vcdnc." ecnewncpfq" nqu"
ecodkqu" fg" nc" ecpvkfcf" fg" ecnqt" {" ncu" tc|qpgu" fg" ecodkq" rtqogfkq" fg" nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"j"eqp"tgurgevq"c"nc"vgorgtcvwtc"v"fg"nc"cvoôuhgtc."rctc"2"≤"v"≤"82."gp"kpvgtxcnqu"fg"37"itcfqu"fg"cornkvwf0""
Kpvgtxcnqu"fg"vgorgtcvwtc*gp""qE+"
Δj"Ecodkq"fg"nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt*gp"lqwngu+"
vj
ΔΔ Ecodkq"fg"nc"ecpvkfcf"fg"
ecnqt"eqp"tgurgevq"c"nqu"ecodkqu"fg"nc"vgorgtcvwtc0"
2"≤"v"≤"37" " "37"≤"v"≤"52" " "52"≤"v"≤"67" " "67"≤"v"≤"82" "" "
"
El Cálculo Diferencial
¿Cómo se interpretan estos resultados?
Actividad 3. Un globo esférico se infla con un gas.
a) Encuentre la razón de cambio media del volumen con respecto al radio
cuando éste cambia de 2 m a 2,5 m y cuando cambia de 2,5 m a 3 m.
b) ¿Es posible calcular la variación del volumen cuándo el radio es exactamente
2,5m?
Se sugiere la confección de las siguientes tablas para responder al ítem b).
Intervalos
r
V
ΔΔ
Cambio del volumen con respecto al cambio del radio
2,5 ≤ t ≤ 2,6 ( ) ( )m
m7232969,811,0
17232969,8
5,26,2
2,5V2,6V 3==
−−
2,5 ≤ t ≤ 2,51
2,5 ≤ t ≤ 2,501
2,5 ≤ t ≤ 2,5001
2,5 ≤ t ≤ 2,50001
Intervalos
r
V
ΔΔ
Cambio del volumen con respecto al cambio del radio
2,4 ≤ t ≤ 2,5
2,49 ≤ t ≤ 2,5
2,499 ≤ t ≤ 2,5
2,4999 ≤ t ≤ 2,5
2,49999 ≤ t ≤ 2,5
¿Qué diferencia fundamental puede observar en las dos últimas actividades?
¿Por qué en el último problema se hace necesario calcular la razón de cambio
en un instante particular?
Si completamos la tabla de la actividad 2, podemos observar que la variación de
la cantidad de calor es igual a −40 joules en todos los intervalos, por eso la
razón de cambio promedio se mantiene constante para intervalos de 15o de
amplitud e igual a Cº
joules67,2
3
8
15
40−=−=− .
131
El Cálculo Diferencial
"354
""Ecnewncpfq" nc" tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gp" hqtoc"cpcnîvkec"c"rctvkt"fg" nc" ng{"swg"fghkpg"nc"hwpekôp."ug"qdvkgpg"nc"okuoc"eqpenwukôp0"Gp"ghgevq<"
Δj"="j*v4+"−"j*v3+"=" 5
9742v:
5
9742v: 34 +−−
+−=
59742v:9742v: 34 −++−
"
Δj"= ( )3434 vv
5:
5v:v:
−−=+−
"
Eqoq"Δv"="v4"−"v3."nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gu" =ΔΔvj
( )( )34
34
vv
vv5:
−
−−=
5:− 0""
Guvg"tguwnvcfq"kpfkec"swg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"ug"ocpvkgpg"eqpuvcpvg."kpfgrgpfkgpvgogpvg"fg"swê" kpvgtxcnq"fg" vgorgtcvwtc"ug" vtcvg0"Pq" korqtvc"swg"vcp"itcpfg"q"rgswgòq"ugc"Δv."nc"tc|ôp"gpvtg"gn"ecodkq"fg"ecpvkfcf"fg"ecnqt"{"gn"
ecodkq"fg"vgorgtcvwtc"ukgortg"gu"E√
lqwngu5:− 0"
"Nqu" ecodkqu" swg" qewttgp" gp" nc" pcvwtcng|c" q" gp" nc" uqekgfcf" vkgpgp" fkuvkpvqu"eqorqtvcokgpvqu0" Jc{" ecodkqu" swg" qewttgp" wpkhqtogogpvg." eqoq" gp" gn"glgornq"cpvgtkqt."okgpvtcu"swg"gzkuvgp"hgpôogpqu"swg"ecodkcp"c"ecfc"kpuvcpvg"{" qvtqu" gp" nqu" swg" nqu" ecodkqu" uqp" ow{" eqornglqu." eqoq" gu" gn" ecuq" fgn"oqxkokgpvq" fg" nqu" gngevtqpgu" q" gn" oqxkokgpvq" fg" ncu" oqnêewncu0" Wpc" fg" ncu"hwpekqpgu" fgn" eânewnq" eqpukuvg" gp" gpeqpvtct" ncu" ng{gu" swg" fguetkdgp" guqu"ecodkqu"rctc"rqfgtnqu"cuî"ogfkt"{"rtgfgekt0""
Gp"nc"cevkxkfcf"5."vgpkgpfq"gp"ewgpvc"swg"gn"xqnwogp"fg"nc"guhgtc"gu"X"="5t
56 π ."
nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"fgn"xqnwogp"eqp"tgurgevq"cn"tcfkq"gu34
34
tt
XX
t
X
−−
=ΔΔ
0"
Uk"gn"tcfkq"ecodkc"fg"4"o"c"4.7"o."qdvgpgoqu<""
=−−
=ΔΔ
34
34
tt
XX
tX
47.4
4567.4
56 55
−
π−π≈"85.::
oo5
0""
Nc" tc|ôp" rtqogfkq" fg" ecodkq" gp" guvg" kpvgtxcnq" gu" fg" 85.::oo5
." gu" fgekt" gn"
xqnwogp"ecodkc"85.::"o5"rqt"ecfc"ogvtq"swg"xctîc"gn"tcfkq0"
Uk"gn"tcfkq"ecodkc"fg"4.7o"c"5o."qdvgpgoqu<""
=−−
=ΔΔ
34
34
tt
XX
tX
7.45
7.4565
56 55
−
π−π≈";7.4;
oo5
0""
Nc" tc|ôp" rtqogfkq" fg" ecodkq" gp" guvg" kpvgtxcnq" gu" fg" ;7.4;oo5
." gu" fgekt" gn"
xqnwogp"ecodkc";7.4;"o5"rqt"ecfc"ogvtq"swg"xctîc"gn"tcfkq0"
Eqp" nc" tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"jgoqu"cpcnk|cfq" nc"xctkcekôp"rqt" kpvgtxcnqu"tgncvkxcogpvg"itcpfgu."rgtq"gp"nc"tgcnkfcf"nqu"ecodkqu"pq"uwegfgp"c"ucnvqu0"Gp"
El Cálculo Diferencial
"355
gn" glgornq." gn" xqnwogp" fgn" inqdq" xctîc" c" ecfc" kpuvcpvg." gp" hqtoc" eqpvkpwc" c"ogfkfc"swg"ug"xc" kphncpfq0"Gp" nc"itcp"oc{qtîc"fg" nqu" hgpôogpqu" hîukequ"{"fg"qvtqu" hgpôogpqu" guvwfkcfqu" rqt" qvtcu" fkuekrnkpcu." nqu" ecodkqu" uqp" eqpvkpwqu0"Guvq" swkgtg" fgekt" swg" ecodkcp" c" ecfc" kpuvcpvg0" Rctc" guvwfkct" hgpôogpqu" fg"guvg"vkrq"pq"cnecp|c"eqp"ecnewnct"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq0""Uk" nc" xgnqekfcf" fg" nqu" ecodkqu" q" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" gu" eqpuvcpvg."ecnewnctnc" rctc" ewcnswkgt" kpvgtxcnq" pqu" rgtokvg" ucdgt" nq" swg" uwegfg" gp" wp"kpuvcpvg"ewcnswkgtc0"""Gp"gn"glgornq"fcfq"fg" nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"j"*gp" lqwngu+"swg"ug"pgegukvc"rctc"eqpxgtvkt"wp"itcoq"fg"ciwc"gp"xcrqt."gp"hwpekôp"fg"nc"vgorgtcvwtc"v"*gp"qE+"fg"nc" cvoôuhgtc." qdvwxkoqu" swg" ncu" tc|qpgu" fg" ecodkq" rtqogfkq" ug" ocpvkgpgp"
eqpuvcpvgu"g"kiwcngu"c"E√
lqwngu5:− 0""
Eqoq"pq"fgrgpfg"fg"Δv"."rqfgoqu"rtgfgekt"ewân"ugtâ"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"fg"nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"gp" kpvgtxcnqu"fg"vgorgtcvwtc"fg"ewcnswkgt"cornkvwf"q" kpenwuq"rqfgoqu" ucdgt" ewân" gu" nc" xctkcekôp" fg" nc" ecpvkfcf" fg" ecnqt" rctc" wpc"vgorgtcvwtc" gp" rctvkewnct0" Rqt" glgornq." rqfgoqu" cugiwtct" swg" nc" tc|ôp" fg"ecodkq" fg" nc" ecpvkfcf" fg" ecnqt" ewcpfq" nc" vgorgtcvwtc" gu" fg" 6:√" ugtâ" fg"
E√lqwngu
5:− 0"
"Gp"nqu"ecuqu"gp"swg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"pq"gu"eqpuvcpvg."gn"eânewnq"gp"wp"kpuvcpvg"rctvkewnct"pq"gu"vcp"ugpeknnq0"Gp" gn" glgornq" fg" xctkcekôp" fgn" xqnwogp" fgn" inqdq." Àgu" rqukdng" ecnewnct" nc"xctkcekôp"fgn"xqnwogp"ewcpfq"gn"tcfkq"gu"gzcevcogpvg"4.7"oA""Uk"kpvgpvcoqu"ecnewnctnq"eqp"nc"hôtownc"fg"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"qdvgpgoqu<"
=−−
=ΔΔ
34
34
tt
XX
tX
7.47.4
7.4567.4
56 55
−
π−π"qdvgpgoqu"
22 0"Ug"nngic"c"guvq"fgdkfq"c"swg"
gn"kpuvcpvg"kpkekcn"eqkpekfg"eqp"gn"hkpcn0"Cpcnk|ctgoqu"swê"uwegfg"egtec"fg"t"="4.70"Nc" kfgc" kpvwkvkxc" gu" swg" uk" ug" vqocp" kpvgtxcnqu" ecfc" xg|" oâu" rgswgòqu." ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"rtqogfkq"ug"cegtecp"ecfc"xg|"oâu"c" nc" tc|ôp"fg"ecodkq"rctc"wp"xcnqt"fg"t"rctvkewnct."gp"guvg"ecuq."t"="4.70"Gp"nc"rtkogtc"vcdnc."ocpvgpkgpfq"t3"hklq."gp"4.7."fctgoqu"xcnqtgu"c"t4"fg"ocpgtc"
vcn"swg"Δt"ugc"ecfc"xg|"oâu"rgswgòq0""Gp"nc"ugiwpfc"vcdnc."pqu"cegtectgoqu"c"t"="4.7"rqt"xcnqtgu"ogpqtgu"swg"ên0"C"ogfkfc"swg"Δt"ug"jceg"ecfc"xg|"oâu"rgswgòq."ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"ogfkc"
ug"cegtecp."q"vkgpfgp"c"9:.75;:38oo5 ."swg"gu"gn"xcnqt"gzcevq"rctc"t"="4.7o0"
Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"fgn"xqnwogp"ewcpfq"gn"tcfkq"gu"fg"4.7o."gu"gn"nîokvg"fg"ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"rtqogfkq"ewcpfq"Δt"gu"kphkpkvcogpvg"rgswgòq."q"ugc"ewcpfq"
2t →Δ 0"Guvg"vkrq"fg"tc|ôp"ug"nncoc"tc|ôp"fg"ecodkq"kpuvcpvâpgc0"
El Cálculo Diferencial
Definición. Se llama razón de cambio instantánea de una función cuando x = x1
a: ( ) ( )
x
xfxxflím 11
0x Δ−Δ+
→Δ. También se puede escribir
x
ylím
0x ΔΔ
→Δ.
De aquí en adelante, para referirnos a la razón de cambio instantánea, lo
haremos diciendo simplemente razón de cambio.
Nota. Para simplificar la notación, se utiliza la letra h para designar al
incremento de la variable x. Es decir, h = Δx = x2 − x1. De esta manera la razón
de cambio promedio de una función f en el intervalo [x1, x2] está dado por
( ) ( )
h
x fhx f 11 −+y la razón de cambio instantánea de f en x = x1 está dado por
( ) ( )
h
x fhx f
0hlím 11 −+→
.
Problema
Un cuerpo se mueve sobre una línea recta de modo que la ley s(t) = 2t +
2 metros describe su posición después de t segundos. Determine la razón
media de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo transcurrido
durante los primeros 5 segundos, en intervalos de un segundo de
amplitud. ¿Cuál es la razón de cambio del desplazamiento a los dos
segundos de iniciado el movimiento?
La razón de cambio media está dada por ( ) ( )
12
12
tt
tsts
ts
−−
=ΔΔ .
Intervalo Razón de cambio
media
0 ≤ t ≤ 1 ( ) ( )
01
0s1s
−− = 2
segm
1 ≤ t ≤ 2 ( ) ( )
12
1s2s −−
= 2 segm
2 ≤ t ≤ 3 ( ) ( )
23
2s3s
−− = 2
segm
3 ≤ t ≤ 4 ( ) ( )
34
3s4s
−− = 2
segm
4 ≤ t ≤ 5 ( ) ( )
45
4s5s
−− = 2
segm
¿Cómo se interpretan estos
resultados?
Esto significa que la razón de cambio
media del desplazamiento con
respecto al tiempo es 2segm , es decir
que el móvil recorre 2 metros por cada
segundo transcurrido. Esta razón de
cambio media nos da la velocidad
promedio del móvil en cada intervalo.
En este ejemplo particular la velocidad
es constante, por lo tanto se trata de
un movimiento rectilíneo uniforme.
Otra forma de calcular la razón de cambio media, es trabajando con la ley que
define el movimiento.
134
El Cálculo Diferencial
"357
Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"swg"( ) ( )
34
34
vvvuvu
vu
−−
=ΔΔ ( ) ( )
j
vujvu 33 −+= "."ug"qdvkgpg<"
( ) ( )=
+−++=
ΔΔ
j
4v44jv4
v
u 33 =−−++
j
4v44j4v4 33 4j
j4= 0"
Guvg" tguwnvcfq" swg" ug" qdvkgpg" cn" vtcdclct" eqp" nc" gzrtgukôp" ocvgoâvkec" swg"fghkpg" gn" oqxkokgpvq." rgtokvg" cugiwtct" swg" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" ug"ocpvkgpg" eqpuvcpvg" {" gu" kpfgrgpfkgpvg" fg" nc" cornkvwf"fgn" kpvgtxcnq"fg" vkgorq"swg"ug"eqpukfgtg0"Vcodkêp"rqfgoqu"qdvgpgt"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"qdugtxcpfq"nc"itâhkec"fgn"fgurnc|cokgpvq"gp"hwpekôp"fgn"vkgorq<
Eqoq" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ug"ocpvkgpg" eqpuvcpvg." rctc"ewcnswkgt" xcnqt" fg" v." nc" tc|ôp"fg" ecodkq" c" nqu" 4" ugiwpfqu"
vcodkêp"gu"fg"4ugio 0""
Guvc" tc|ôp" fg" ecodkq" gu" nc"xgnqekfcf" kpuvcpvâpgc" fgn"oôxkn"c"nqu"fqu"ugiwpfqu0"
"Rtqdngoc"
Wp" ewgtrq" swg" gu" ncp|cfq" jcekc" cttkdc" ug" owgxg" fg" oqfq" swg" uw"
rqukekôp"fgurwêu"fg"v"ugiwpfqu"guvâ"fcfc"rqt"nc"ng{"u*v+"="−4v4"-"34v"-";"ogvtqu0" Fgvgtokpg" nc" tc|ôp" ogfkc" fg" ecodkq" fgn" fgurnc|cokgpvq" eqp"tgurgevq" cn" vkgorq" vtcpuewttkfq." fwtcpvg" nqu" rtkogtqu" 7" ugiwpfqu." gp"kpvgtxcnqu" fg" 3" ugiwpfq" fg" cornkvwf0" ÀEwân" gu" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" fgn"fgurnc|cokgpvq"c"nqu"4"ugiwpfqu"fg"kpkekcfq"gn"oqxkokgpvqA"
"
Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gu"( ) ( )
34
34
vvvuvu
vu
−−
=ΔΔ ."rqt"nq"vcpvq<"
Kpvgtxcnq" Tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"
2"≤"v"≤"3"( ) ( )
232u3u
−− ="32"
ugio "
3"≤"v"≤"4"( ) ( )
343u4u
−−
="8"ugio "
4"≤"v"≤"5"( ) ( )
454u5u
−− ="4"
ugio "
5"≤"v"≤"6"( ) ( )
565u6u
−− ="−4"
ugio "
6"≤"v"≤"7"( ) ( )
676u7u
−− ="−8"
ugio "
"
El Cálculo Diferencial
"358
Uk"vtcdclcoqu"gp"hqtoc"cpcnîvkec."nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gu<""
( ) ( ) ( ) ( ) ( )j
;v34v4;jv34jv4
j
vujvu
v
u 3433
4333 ++−−++++−
=−+
=ΔΔ
"
vu
ΔΔ
j
;v34v4;j34v34j4jv6v4 3433
43
43 −−++++−−−
= "
vu
ΔΔ ( )
34j4v6j
34j4v6j
j
j34j4jv63
34
3 +−−=+−−
=+−−
= "
Tggornc|cpfq" nqu"xcnqtgu"fg" v3"{"j"rqt" nqu"xcnqtgu"eqttgurqpfkgpvgu"gp"ecfc"kpvgtxcnq."qdvgpgoqu<"
Kpvgtxcnq"Tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"
−6v3"−"4j"-"34"
2"≤"v"≤"3" −602"−"403"-"34"="32"ugio "
3"≤"v"≤"4" −603"−"403"-"34"="8"ugio "
4"≤"v"≤"5" −604"−403"-"34"="4"ugio "
5"≤"v"≤"6" −605"−"403"-"34"="−4"ugio "
6"≤"v"≤"7" −606"−403"-"34"="−8"ugio "
"Gp" guvg" glgornq" qdugtxcoqu" swg" nc"tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkc." gu" fgekt." nc"xgnqekfcf" rtqogfkq." ecodkc" gp" ecfc"kpvgtxcnq0" Nqu" fcvqu" owguvtcp" swg" cn"rtkpekrkq"gn"ewgtrq" nngxô"wpc"xgnqekfcf"oc{qt"{"c"ogfkfc"swg"ug"cegtec"c"uw"cnvwtc"oâzkoc."nc"xgnqekfcf"fkuokpw{g0"ÀGu" rqukdng" swg" uw" xgnqekfcf" ug"cpwngA""Fgurwêu" fg" cnecp|ct" uw" cnvwtc"oâzkoc." gn" ewgtrq" dclc" *xgnqekfcf"rtqogfkq" pgicvkxc+." rtkogtq" eqp"ogpqt"{"nwgiq"eqp"oc{qt"tcrkfg|0" ""Rctc" ecnewnct" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" kpuvcpvâpgc" c" nqu" fqu" ugiwpfqu." fgdgoqu"ecnewnct"gn"nîokvg"fg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"ewcpfq"Δv"vkgpfg"c"egtq0"
( ) 34v634j4v6nîo 332v
+−=+−−→Δ
0" Tggornc|cpfq" v3" rqt" 4." qdvgpgoqu" swg" nc"
tc|ôp" fg" ecodkq" gu" 60" Gu" fgekt" swg" c" nqu" fqu" ugiwpfqu." nc" xgnqekfcf"
kpuvcpvâpgc"fgn"ewgtrq"gu"6ugio 0""
El Cálculo Diferencial
Si la función s(t) describe la posición de un objeto con respecto al tiempo
transcurrido t, dicha función recibe el nombre de función posición del objeto.
Como la velocidad promedio es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo
empleado, la razón de cambio promedio en el intervalo desde t1 hasta t1 + Δt
indica la velocidad promedio en ese intervalo.
Es decir, velocidad promedio: vp = ( ) ( )
t
tftts
tiempo
entodesplazami 11
Δ−Δ+
=
La velocidad promedio no siempre es útil para resolver ciertos problemas
físicos. Si observamos el velocímetro de un auto, la aguja no permanece inmóvil
mucho tiempo, es decir, la velocidad del auto va cambiando. El vehículo tiene
una velocidad definida en cada momento. Esta velocidad se llama velocidad
instantánea y es el límite de la velocidad promedio cuando Δt → 0.
Por lo tanto, velocidad instantánea: ( )( ) ( )
t
tfttflímv 11
0t1ti Δ−Δ+
=→Δ
.
Ejemplo. Sea f(t) el número de individuos de una población de animales o
plantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t1
y t2 es f = f(t1) − f(t2) de modo que la razón de cambio promedio, denominada
tasa promedio de crecimiento, durante el período t1 ≤ t ≤ t2 es,
Δ
tasa promedio de crecimiento: ( ) ( )
12
12
tt
tftf
t
f
−
−=
ΔΔ
La razón de cambio instantánea, tasa instantánea de crecimiento, se obtiene
haciendo que Δ t → 0 a partir de la tasa promedio,
tasa instantánea de crecimiento: t
flím
0t ΔΔ
→Δ
No existe seguridad de que el límite
exista ya que la función f(t) es una
función escalonada y, por lo tanto
discontinua, siempre que ocurre un
nacimiento o una muerte. Sin embargo,
podemos reemplazar la gráfica por una
curva suave de aproximación.
EJERCICIOS
1) Las gráficas muestran la posición de dos partículas que se mueven sobre una
línea recta de manera diferente, sabiendo que el espacio recorrido se mide en
metros y el tiempo en segundos.
137
El Cálculo Diferencial
"35:
c+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"nc"rctvîewnc"fg"nc"itâhkec"k+"ewâpfq"ug"owgxg"fg"nc"rqukekôp"R"c"nc"rqukekôp"SA"
d+"Gpewgpvtg"nc"gzrtgukôp"swg"rgtokvg"ecnewnct"nc"tc|ôp"ogfkc"fg"ecodkq"fgn"gurcekq"tgeqttkfq"eqp"tgurgevq"cn"vkgorq"rctc"nc"itâhkec"k+0"
e+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"fg"nc"rctvîewnc"fg"nc"itâhkec"k+"gp"ewcnswkgt"rwpvqA"f+"Qdvgpic"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"nc"rctvîewnc"fg"nc"itâhkec"kk+"ewcpfq"ug"
owgxg"fg"nc"rqukekôp"R"c"nc"rqukekôp"S."fg"S"c"T"{"fg"T"c"U0""4+"Fcfc"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"{"="h*z+."gpewgpvtg<"""""""""""c+"h*2+""d+"h*3+""e+"h*5+""f+"h*5+"−"h*3+"""""""""""g+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"2"c"30""""""""""""h+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"3"c"50""""""""""i+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"5"c"60""""""""""j+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"2"c"60"
"5+" Wpc" gphgtogtc" eqpvtqnc" nc" vgorgtcvwtc" fg" wp" rcekgpvg" {" tgikuvtc" nqu"tguwnvcfqu<"
Jqtcu" 37" 38" 39" 3:" 3;" 42" 43" 44" 45"Vgorgtcvwtc" 59" 59" 59.7" 5:" 5:.6" 5;" 5;.7" 5;" 5:"
c+"ÀEwân"gu"gn"ecodkq"fg"vgorgtcvwtc"gpvtg"ncu"38"{"ncu"39"jqtcu."ncu"3;"{"ncu"43."ncu"43"{"ncu"45"jqtcuA
d+"Vtceg"nc"ewtxc"fg"hkgdtg"fgn"rcekgpvg0"e+"Ecnewng"ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"gpvtg"ncu"37"{"ncu"45"jqtcu"gp"kpvgtxcnqu"
fg"wpc"jqtc0"f+"Eqorngvg"nc"vcdnc<"
Vgorgtcvwtc" Itâhkec" Tc|ôp"fg"ecodkq"Uwdg" Etgekgpvg" Rqukvkxc"Swgfc"kiwcn" " "Dclc" " "
El Cálculo Diferencial
4) La velocidad en t = 1 segundos de una partícula que se mueve sobre una
línea recta de acuerdo con la ley s(t) = 1,2t2, s en metros y t en segundos, se
expresa como segm4,2
tslím
0t=
ΔΔ
→Δ. Esta expresión significa:
a) En la cercanía de t = 1 la velocidad de la partícula es de segm4,2 .
b) La velocidad de la partícula en t = 1 es exactamente segm4,2 .
c) La sucesión de velocidades medias muy cerca de t = 1, tanto por
derecha como por izquierda, se aproximan mucho a 2,4, y no lo exceden.
5) La posición de una partícula (en metros) sobre una recta horizontal está
determinada por la función f(t) = −3t2 + 2t, t en segundos. Determine:
a) la velocidad promedio de la partícula durante el tercer segundo (es
decir, entre t = 2 y t = 3). Durante ese intervalo de tiempo, ¿la partícula avanza o
retrocede?
b) una fórmula que permita obtener la velocidad promedio de la partícula
entre t y t + Δt.
c) la velocidad instantánea de la partícula en t = 3. 6) Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad suburbana
será P(t) = 1t
620+
− miles de personas.
a) ¿Cuánto cambiará la población durante el segundo año? (de t = 1 a
t = 2). ¿La población sufrirá un aumento o una disminución?
b) ¿A qué razón cambiará la población durante el segundo año?
c) Obtenga una fórmula que permita obtener la razón de cambio
promedio de la población con respecto al tiempo.
d) Obtenga una fórmula que permita obtener la razón a la cual cambiará
la población, con respecto al tiempo, dentro de t años.
e) ¿A qué razón crecerá la población dentro de un año?
f) ¿A qué razón crecerá la población dentro de nueve años?
g) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo
plazo?
7) Caída libre: Si dejamos caer una piedra hacia la tierra desde una altura de 35
metros, los experimentos de la física han llevado a obtener como modelo del
espacio recorrido por la piedra en t segundos la fórmula: y(t) = 35 − 21 gt
2,
donde g = 9,8 2
seg
m es la aceleración de la gravedad.
a) Encuentre la posición de la piedra luego de 1 segundo de ser lanzada,
luego de 2 segundos y 2,5 segundos.
b) Calcule la velocidad media de la piedra para los intervalos de tiempo
[0, 1] y [1, 2].
c) Grafique y(t). Marque Δy y Δt para los intervalos de tiempo [0, 1] y
[1, 2]. ¿La piedra tiene siempre la misma velocidad? Explique.
139
El Cálculo Diferencial
"362
f+"ÀGp"swê"kpuvcpvg"nngic"nc"rkgftc"cn"uwgnqA"g+"Ecnewng"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"fg"nc"rkgftc"gp"v"="3"{"gp"v"="4.70"ÀSwê"
rqfgoqu"fgekt"fg"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"fg"nc"rkgftc"c"ogfkfc"swg"ug"cegtec"cn"uwgnqA"ÀEqkpekfg"guvc"eqpenwukôp"eqp"nc"kpvwkekôpA":+"Nc"itâhkec"owguvtc" nc"xctkcekôp"fg" nc"fkuvcpekc"u"*gp"ogvtqu+"swg"tgeqttg"wp"rtq{gevkn"tgurgevq"fgn"vkgorq"v"*gp"ugiwpfqu+0""
Cpcnk|cpfq"nc"itâhkec."guvkog<"c+"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fgn"rtq{gevkn"gpvtg"gn"rtkogt"{"ewctvq"ugiwpfq0"d+"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fgn"rtq{gevkn"gpvtg"gn"rtkogt"{"vgtegt"ugiwpfq0"e+"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fgn"rtq{gevkn"gpvtg"v"="3"{"v"="40"f+"nc"xgnqekfcf"fgn"rtq{gevkn"gzcevcogpvg"gp"v"="30"
;+"Gp"gzrgtkogpvqu"fg"ncdqtcvqtkq."ug"octeô"nc"tcî|"fg"wpc"rnâpvwnc"fg"ocî|"{"ug"vqoô"wpc"hqvqitchîc"eqpvkpwc"*eqp""gn""qdvwtcfqt"fg"nc"eâoctc"ukgortg"cdkgtvq."nc"rgnîewnc"cxcp|cpfq"{" nc" nw|"fêdkn"{"eqpuvcpvg+"swg"tgikuvtô"gn"etgekokgpvq"fg"nc"tcî|."qdvgpkgpfq" nc" kphqtocekôp"swg"ug" tgikuvtc"gp" nc"ukiwkgpvg" vcdnc" *nqu"fcvqu"uqp"crtqzkocfqu+<"
v"*jqtcu+" 2" 2.7" 3" 3.7" 4"Vcocòq"*gp"eo+" 5" 5.7" 6" 6.7" 7"
c+"Gpewgpvtg" nc" ng{"swg"tgncekqpc"gn"etgekokgpvq"fg" nc"tcî|"eqp"gn" vkgorq"vtcpuewttkfq0"Itchkswg0"ÀSwê"vkrq"fg"tgncekôp"gzkuvg"gpvtg"ncu"fqu"xctkcdnguA"
d+"Kpxguvkiwg"uk"jc{"cniûp"kpvgtxcnq"fg"vkgorq"gp"gn"ewcn"gn"etgekokgpvq"ug"fê"oâu"târkfcogpvg0"
e+"Ecnewng" nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"etgekokgpvq"gp" nqu" kpvgtxcnqu" ]3="3.7_"{"]3.7="4_0"
f+" Fgvgtokpg" nc" xgnqekfcf" kpuvcpvâpgc" fg" etgekokgpvq" fg" nc" tcî|" gp"ewcnswkgt"kpuvcpvg0"
g+"ÀSwê"tgncekôp"gzkuvg"gpvtg" nc"xctkcekôp" kpuvcpvâpgc"fg"etgekokgpvq"gp"ewcnswkgt"kpuvcpvg"v"{"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"ewcnswkgt"kpvgtxcnqA"
TGURWGUVCU"
3+c+"3.7ugio ="d+"C"rctvkt"fg"nc"itâhkec"ug"qdvkgpg"u*v+"=" v
45 ."fg"cjî"tguwnvc<""
"( ) ( ) ( )
45
vv
vv45
vv
v45v
45
vvvuvu
vu
34
34
34
34
34
34 =−
−=
−
−=
−−
=ΔΔ ="e+"3.7
ugio =""
""
El Cálculo Diferencial
"363
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El Cálculo Diferencial
promedio de la población con respecto al tiempo, cuando el tiempo cambia de t
a t + Δt, está dada por la expresión ( )( )1t.1tt6
++Δ+ miles de personas por año.
d) La razón a la cual cambiará la población, con respecto al tiempo, dentro de t
años es ( )21t
6
+ miles de personas por año. e) Dentro de un año la población
estará creciendo a razón de 1500 personas por año. f) Dentro de nueve años la
población estará creciendo a razón de 60 personas por año. g) La razón de
crecimiento a largo plazo tiende a cero. Es decir que con el tiempo, la población
tiende a estabilizarse.
7) a) y(1) = 30,1m; y(2) = 15,4m; y(2,5) = 4,375m
b) La velocidad media de la piedra para el intervalo [0, 1] es v = –4,9segm y la
velocidad media para el intervalo [1, 2] es v = –14,7segm .
c) La velocidad de la piedra cambia a
medida que transcurre el tiempo. Lo
podemos ver ya que recorre distancias
distintas en intervalos de igual amplitud.
d) La piedra llega al suelo
aproximadamente a los 2,67 segundos.
e) La velocidad instantánea de la piedra en
t = 1 es vi(1) = –9,8segm y en t = 2,5 es vi
(2,5) = –24,5segm .
A medida que la piedra se acerca al suelo su velocidad aumenta, se observa en
los valores calculados y coincide con lo que pensamos en forma intuitiva.
8)a) segm
31 ; b)
segm375,0 ; c)
segm4,0 ; d)
segm5,0
9)a) T(t) = 3 + t, es una función de primer grado.
b) En todos los intervalos de tiempo la raíz tiene
el mismo crecimiento. O sea que es constante.
c) La velocidad media en ambos intervalos es
1h
cm .
d) La velocidad de crecimiento es la misma en
cualquier instante, 1h
cm .
e) La velocidad de crecimiento en cualquier
instante y la velocidad media en cualquier
intervalo son iguales.
142
El Cálculo Diferencial
"365
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El Cálculo Diferencial
"366
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El Cálculo Diferencial
" 367"
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El Cálculo Diferencial
" 368"
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" "
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El Cálculo Diferencial
" 369"
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
" 372"
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( ) ( )"
j
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2j
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"
Tc|ôp"fg"ecodkq"kpuvcpvâpgc"fg"h"gp""
z"="z3"
Rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"itâhkec"fg"h"gp"
*z3."h*z3++0"
"Fghkpkekôp0" Ug" nncoc" tgevc" pqtocn"c" nc" itâhkec" fg" wpc" hwpekôp" gp" wp" rwpvq" c" nc"tgevc"rgtrgpfkewnct"c"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"gug"rwpvq0""Glgornq0"Fgvgtokpg"nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"{"pqtocn"c"nc"ewtxc"fghkpkfc"rqt"h*z+"="z4"−"5z"−"6"gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc"40""Nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"ewtxc"gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc"4"ug"ecnewnc"tguqnxkgpfq"gn"ukiwkgpvg"nîokvg<""
o"="( )
j
640546+j4*5j4nîo
j+4*h+j4*h
nîo
44
2j2j
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−+
=−+→→
"
o = =++−−−−++→ j
6866j58jj66nîo4
2j
( )3
j5j6j
nîo2j
=−+
→"""⇒"""o"="3"
"Nc" tgevc" vcpigpvg" vkgpg" rgpfkgpvg" 3" {" rcuc" rqt" gn" rwpvq" *4." h*4++" =" *4."−8+0" Uw"gewcekôp"gu<""v"<"{"−"*−8+"="30*z"−"4+""""⇒""""{"-"8"="z"−"4"""⇒""v"<""{"="z"−":0"Nc" tgevc" pqtocn" gu" rgtrgpfkewnct" c" nc" tgevc" vcpigpvg" gp" gn" okuoq" rwpvq0" Gp"eqpugewgpekc"uw"rgpfkgpvg"gu"−3"{"uw"gewcekôp"tguwnvc<"p"<"{"−"*−8+"="−30*z"−"4+""""⇒""""{"-"8"="−z"-"4"""⇒"""p"<""{"="−z"−"6"
""
El Cálculo Diferencial
" 373"
Glgornq<" Nc" hwpekôp" fghkpkfc" itâhkecogpvg" tgrtgugpvc" nc" ecpvkfcf" fg" rgtuqpcu"kphgevcfcu"eqp"wpc"gphgtogfcf"gp"ekgtvc"ekwfcf"fgurwêu"fg"v"ugocpcu0""c+" Vtceg" nc" tgevc" vcpigpvg" c" nc"ewtxc"gp"nqu"rwpvqu"fg"cduekucu"v"="3."v"="4."v"="5"{"v"="60"d+" Guvkog" ncu" tc|qpgu" fg"ecodkq" kpuvcpvâpgcu." q" ugc" ncu"vcucu" fg" xctkcekôp" fg" ecpvkfcf"fg" rgtuqpcu" kphgevcfcu." nwgiq"fg"3."4."5"{"6"ugocpcu0"
""c+"Gp"nqu"rwpvqu"rgfkfqu"ug"vtc|cp"ncu"tgevcu"vcpigpvgu<""
d+" Itâhkecogpvg" ncu" tc|qpgu" fg" ecodkq" kpuvcpvâpgcu" fgurwêu" fg" 3." 4." 5" {" 6"ugocpcu"tgrtgugpvcp"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"ewtxc"gp"v"="3.""v"="4."v"="5"{"v"="60 Gp"v"="3"{""v"="5"nc"vcpigpvg"gu"jqtk|qpvcn"rqt"nq"swg"nc"rgpfkgpvg"gu"egtq"{"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"gu"pwnc"gp"fkejqu"kpuvcpvgu0""
Gp" v" =" 4" {" v" =" 6" gu" rqukdng"guvkoct"gn" xcnqt"fg" nc"rgpfkgpvg"cpcnk|cpfq" nc" xctkcekôp"jqtk|qpvcn"{"xgtvkecn0""Gp" v" =" 4" nc" rgpfkgpvg" gu"crtqzkocfcogpvg"−322"{"gp""v"="6"gu"5220""
""Rqfgoqu"chktoct"swg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"gp"v"="4"gu"fg"−322"rgtuqpcu"kphgevcfcu"rqt"ugocpc"{"gp"v"="6"gu"fg"522"rgtuqpcu"rqt"ugocpc0"""GLGTEKEKQU""3+"Qdvgpic."c"rctvkt"fg"nc"itâhkec."nc"rgpfkgpvg"{"nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"ncu"ukiwkgpvgu"ewtxcu"gp"gn"rwpvq"kpfkecfq<"""""
El Cálculo Diferencial
" 374"
c+" " " " " " d+"
"4+"c+"Jcnng"nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"{"="z4"−"4"gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc"z"="30""""""d+"Tgrtgugpvg"nc"hwpekôp"{"nc"tgevc"qdvgpkfc0"""5+"Fgvgtokpg"nc"gewcekôp"fg"ncu"tgevcu"vcpigpvg"{"pqtocn"c"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"
z4{ = gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc"z"="40""
TGURWGUVCU"3+c+"Nc"rgpfkgpvg"gu"o"="5"{"nc"tgevc"vcpigpvg"{"="5z0""d+"Nc"rgpfkgpvg"gu"o"="2"{"nc"tgevc"vcpigpvg"{"="30""4+c+"t"v"<"{"="4z"−"5""""""""""
5+"t"v"< 4z43{ +−= "=""t"p"<"{"="4z"−"5"
d+"
"""GLGTEKEKQU" KPVGITCFQTGU" 603" TC\QPGU" FG" ECODKQ0" 604" GN"RTQDNGOC" FG" NC" TGEVC" VCPIGPVG" C" WPC" EWTXC0" 605" TGNCEKłP"GPVTG" TC\łP" FG" ECODKQ" RTQOGFKQ." TC\łP" FG" ECODKQ"KPUVCPVıPGC."TGEVC"UGECPVG"["TGEVC"VCPIGPVG""3+"Ugc"nc"hwpekôp"h*z+"="−z4"-"50"
c+"Jcnng"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"ewcpfq"z"ecodkc"fg"z2"="3"c"z3"="40"Fgvgtokpg"nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"ugecpvg"swg"wpg"nqu"rwpvqu"fg"cduekucu"z2"="3"{"z3"="40"ÀSwê"rwgfg"qdugtxctA"
"
El Cálculo Diferencial
b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica en x0 = 1. c) Grafique la función, la recta secante y la recta tangente.
2) Sea la función g(x) = x3
a) Encuentre la razón de cambio promedio de la función cuando x cambia
desde x0 = −3 a x1 = −2. Determine que dicha razón de cambio coincide con la
pendiente de la recta secante que une los puntos de abscisa x0 = −3 y x1 = −2. Halle la ecuación de la recta secante.
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en
el punto de abscisa x0 = −2. c) Grafique la función, la recta secante y la recta tangente.
3) Halle la razón de cambio media de la función dada en el intervalo indicado.
Calcule la razón instantánea de cambio en los extremos del intervalo [x0, x1].
Función Intervalo [x0, x1]
a) f(x) = −2x +3 [−2, −1]
b) f(x) = x2 − 1 [0, 1]
4) Determine la ecuación de la recta secante a cada una de las funciones del ejercicio anterior que une los extremos del intervalo considerado y la recta tangente en cada uno de los extremos del intervalo.
4.4 Concepto de derivada En las secciones anteriores se definió la razón de cambio instantánea como un
límite de la forma ( ) ( )
h
x fhx f lím 11
0h
−+
→. La razón de cambio instantánea tiene
numerosas aplicaciones en las ciencias naturales, sociales y en las ingenierías.
En economía, el costo marginal, ingreso marginal o beneficio marginal, en física,
velocidad (si la función original representa el espacio recorrido). En química, la
razón de cambio en la concentración de un reactivo con respecto al tiempo,
llamada velocidad de reacción. En biología, la razón de cambio de una colonia
de bacterias con respecto al tiempo.
También se analizó que ese límite da la pendiente de la recta tangente a una
curva de ecuación y = f(x) en un punto de abscisa x = x1.
Dada la frecuencia con que aparecen estos límites, se les asigna un nombre y
una notación especiales, surgiendo el concepto de derivada.
El concepto de derivada se origina a mediados del siglo XVII cuando el
matemático francés Pierre de Fermat (1601–1665) intentó obtener máximos y
mínimos de ciertas funciones.
Definición. Se llama derivada de la función y = f(x) en el punto de abscisa x = x1
y se indica con f '(x1) a f '(x1) = ( ) ( )
h
x fhx f lím 11
0h
−+→
, siempre que este límite
exista.
153
El Cálculo Diferencial
" 376"
Gn"pwogtcfqt"h*z3"-"j+"−" h*z3+"tgrtgugpvc"gn" kpetgogpvq"fg"nc"hwpekôp"cn"rcuct" nc"
xctkcdng"kpfgrgpfkgpvg"fg"z3"c""z3"-"j""{"ug"kpfkec""Δh"="h*z3"-"j+"−"h*z3+0"
Cpânqicogpvg" j" =" *z3"-" j+" −" z3" ="Δz" " tgrtgugpvc" gn" kpetgogpvq" fg" nc" xctkcdng"kpfgrgpfkgpvg0"
Vgpkgpfq" gp" ewgpvc" guvq." nc" fgtkxcfc" ug" rwgfg" kpfkect" h" )*z3+"= "zh"nîo
2z ΔΔ
→Δfqpfg"
"zh
ΔΔ tgekdg"gn"pqodtg"fg"eqekgpvg"kpetgogpvcn0"
""Rqt"nq"vcpvq."nc"fgtkxcfc"rwgfg"kpvgtrtgvctug"fg"xctkcu"ocpgtcu."fqu"fg"ncu"ewcngu"uqp<"c+"Nc"fgtkxcfc"fc"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"kpuvcpvâpgc"fg"{"="h*z+"eqp"tgurgevq"c"z0""d+"Nc"fgtkxcfc"fc"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"itâhkec"fg"h*z+"gp"ewcnswkgt"rwpvq0""
Uk" nc"fgtkxcfc"ug"gxcnûc"gp" z"=" z3." gpvqpegu" h" )*z3+" gu" nc"rgpfkgpvg"fg" nc" tgevc"vcpigpvg"c"nc"ewtxc"gp"gn"rwpvq"*z3."h*z3++0""
607"Hwpekôp"fgtkxcfc"Fcfc" wpc" hwpekôp" {" =" h*z+." uk" ug" ecnewnc" nc" fgtkxcfc" gp" ecfc" rwpvq" z" fg" uw"fqokpkq." gn" eqplwpvq"fg" xcnqtgu"qdvgpkfq." fghkpg"wpc" hwpekôp"fg"z"swg"ug" nncoc"hwpekôp"fgtkxcfc0""Fcfc" nc" hwpekôp"{"=" h*z+"ug" nncoc" hwpekôp"fgtkxcfc"fg"h"{"ug"ukodqnk|c"{)"="h")*z+"c"nc"hwpekôp"swg"c"ecfc"xcnqt"fg"z"ng"jceg"eqttgurqpfgt"uw"fgtkxcfc0"
Uk" ecodkcoqu" gp" nc" gewcekôp" cpvgtkqt" z3" rqt" nc"xctkcdng"z"ug"qdvkgpg<"" "
h")*z+"=j
+z*h+jz*hnîo2j
−+→
""ukgortg"swg"guvg"nîokvg"gzkuvc0"
Gn"fqokpkq"fg"h")"gu"gn"eqplwpvq"fg"pûogtqu"tgcngu"fgn"fqokpkq"fg"h"rctc"nqu"ewcngu"gzkuvg"gn"nîokvg"fgn"eqekgpvg"kpetgogpvcn0"""
Uk"h")*z+"gzkuvg."fgekoqu"swg"h"vkgpg"fgtkxcfc"q"swg"gu"fgtkxcdng"gp"z0""
El Cálculo Diferencial
" 377"
Gn"rtqeguq"rctc"qdvgpgt"nc"hwpekôp"h")"c"rctvkt"fg"nc"hwpekôp"h"ug"nncoc"fgtkxcekôp0""Pqvcekqpgu0""Wucpfq"nc"pqvcekôp"vtcfkekqpcn"fg"wpc"hwpekôp"{"="h*z+"fqpfg"z"gu"nc"xctkcdng" kpfgrgpfkgpvg" g" {" gu" nc" xctkcdng" fgrgpfkgpvg." cniwpcu" pqvcekqpgu"
eqowpgu"rctc"nc"fgtkxcfc"uqp<"{)"="h")*z"+"=zffh"
zff{" = ="Fzh*z+"
Gn" uîodqnq "zff{" swg" hwg" kpvtqfwekfq" rqt" gn"ocvgoâvkeq" cngoâp"Iqvvhtkgf"Yknjgno"
Ngkdpk|"*3868⁄3938+"pq"fgdg"eqpukfgtctug."rqt"cjqtc."eqoq"wpc"tc|ôp0"Tgekdg"gn"pqodtg"fg"pqvcekôp"fg"Ngkdpk|"{"vkgpg"nc"xgpvclc"fg"qhtgegt"wp"oqfq"ugpeknnq"fg"tgeqtfct"hôtowncu"korqtvcpvgu"fgn"eânewnq0""Nc"fghkpkekôp"fg"fgtkxcfc"wucpfq"nc"pqvcekôp"fg"Ngkdpk|"tguwnvc<""
"zff{" =" "
z{
"2z
nîoΔΔ
→Δ0"
Uk" fgugcoqu" ecnewnct" gn" xcnqt" fg" nc" fgtkxcfc" gp" wp" rwpvq" fg" cduekuc" z" =" z3.""wucoqu"nc"pqvcekôp<"
( )33zz"h"{ )) = q "
zf
f{"
3z""z = "
"Glgornq0" Fgvgtokpg" nc" fgtkxcfc" fg" ecfc" wpc" fg" ncu" ukiwkgpvgu" hwpekqpgu" {"fgvgtokpg"gn"fqokpkq"fg"codcu"hwpekqpgu0"
c+"h*z+"="5z4"-"3" "d+"i*z+"=z43 "" " " e+"o*z+"="5 z "
"
c+"Vgpkgpfq"gp"ewgpvc" nc"fghkpkekôp" h" )*z+"=j
+z*h+jz*hnîo2j
−+→
" ." nc"fgtkxcfc"fg" nc"
hwpekôp"fcfc"tguwnvc<""
h")*z+"="j
3z53+jz*5nîo
44
2j
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++
→"
h")*z+"=" ( )z8
jj5z8j
nîoj
3z53j5zj8z5nîo2j
444
2j=
+=−−+++
→→0"
Rqt"nq"vcpvq.""h")*z+"="8z0"Gn" fqokpkq" fg" nc" hwpekôp" h" {" gn" fg" uw" fgtkxcfc" gu" gn" eqplwpvq" fg" nqu" pûogtqu"tgcngu0"
d+"i)*z+"=z+jz*4
3nîoj
z+jz*4j
nîoj
z+jz*4+jz*z
nîoj
z43
+jz*43
nîoj2j2j2j +
−=+
−
=+
+−
=−
+→→→→
"
i)*z+"4z4
3−= 0"Gn"fqokpkq"fg" nc" hwpekôp"{"gn"fg"uw"fgtkxcfc"gu"gn"eqplwpvq"fg" nqu"
pûogtqu"tgcngu"gzegrvq"gn"20""
El Cálculo Diferencial
" 378"
e+"o)*z+"=""z5jz5
z5jz50
j
z5jz5nîo
j
z5jz5nîo
2j2j ++
++−+=
−+→→
"
o)*z+"=""" ( ) ( )( ) =
++
−+→ z5jz50j
z5jz5nîo
44
2j ( ) z4
5
z8
;
z5jz50j
j;nîo2j
==++→
Gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"o"gu"gn"eqplwpvq"+2T 0"Gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"fgtkxcfc"
gu"gn"eqplwpvq"T-0"
"
Rtqdngoc""Gpewgpvtg"nc"xgnqekfcf"eqp"swg"xctîc"gn"âtgc"fg"wp"eîtewnq"eqp"tgurgevq"cn"tcfkq."rctc"ewcnswkgt"xcnqt"fgn"tcfkq"{"gurgeîhkecogpvg"ewcpfq"gn"tcfkq"okfg"4"eo0"
"
Gn"âtgc"fg"wp"eîtewnq"gu"C"="h*t+"="πt4"0"C"ogfkfc"swg"gn"tcfkq"cwogpvc."gn"xcnqt"fgn"âtgc"vcodkêp"cwogpvc0"
Nc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp"C"="h*t+"="πt4"gu""
h")*t+"= ( )
jtjt
nîo44
2j
π−+π→
= j
tjtj4tnîo
444
2j
π−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++π
→ =
= j
tjtj4tnîo444
2j
π−π+π+π→
=( )
jjt4j
nîo2j
π+π→
= jt4nîo2j
π+π→
= 4πt0""
Rqt"nq"vcpvq."h")*t+ = 4πt0"Guvc"fgtkxcfc"kpfkec"nc"xgnqekfcf"eqp"swg"xctîc"gn"âtgc"fgn"eîtewnq"eqp"tgurgevq"cn"tcfkq."rctc"ewcnswkgt"xcnqt"fgn"tcfkq0"
Ewcpfq"gn"tcfkq"gu"fg"4"eo."h")*4+"= 4π .4 = 6π0"""Guvq"ukipkhkec"swg"ewcpfq"gn"tcfkq"gu"fg"4"eo."nc"vcuc"kpuvcpvâpgc"fg"xctkcekôp"fgn"
âtgc"fgn"eîtewnq"gu"6π"eo4"rqt"ecfc"eo"fg"xctkcekôp"fgn"tcfkq0""
"GLGTEKEKQU""3+"Ecnewng"nc"fgtkxcfc"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu0"
" c+"h*z+"="7" " d+"h*z+"="6z" " e+"h*z+"="3"−"z4" f+"h*z+"="3z
3−"
4+"Jcnng"nc"fgtkxcfc"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu"gp"gn"rwpvq"kpfkecfq0"
" c+"h*z+"="4z"−3" gp"z2"="3"
" d+"h*z+"="4z4"-"z" gp"z2"="−4"
" e+"h*z+"=" 5z − " gp"z2"="34"
5+"Cpcnkeg"rctc"swê"hwpekqpgu"ug"xgtkhkec"swg"uw"fgtkxcfc"gp"z"="z2"gu"pwnc0""""
El Cálculo Diferencial
a) b)
c) d)
4) ¿En qué gráficas se cumple que f '(x) < 0?
a) b) c) d)
5) Dada la gráfica de la función y = f(x), ordene
los siguientes números en forma creciente.
g'(–2), g'(–1,5), g'(–0,5), g'(1), g'(3)
Explique su razonamiento.
RESPUESTAS
1)a) f '(x) = 0 b) f '(x) = 4 c) f '(x) = −2x d) f '(x) = ( )21x
1
−−
2)a) 2 b) −7 c) 61
3) La derivada de la función en x = x0 es nula en a) y b).
4) f '(x) < 0 en b).
5) g'(–0,5); g'(–1,5); g'(1); g'(–2); g'(3). Trazando aproximadamente la recta
157
El Cálculo Diferencial
37:"
""vcpigpvg"c"nc"hwpekôp"gp"nqu"rwpvqu"rgfkfqu"ug"rwgfg"qdugtxct"uwu"rgpfkgpvgu"{"guvkoct"uwu"xcnqtgu0""""Cevkxkfcfgu"fg"tghngzkôp0"Ugc"u*v+"nc"hwpekôp"swg"fguetkdg"nc"rqukekôp"fg"wp"oôxkn"gp"ewcnswkgt"kpuvcpvg"v0"""
"3+" Uk" nc" itâhkec" gu" wpc" tgevc." *u*v+" =" ov" -" j+" gn" oqxkokgpvq" gu" tgevknîpgq" {"wpkhqtog0"Uw"xgnqekfcf"gu"eqpuvcpvg"{"xcng"o0"•" Uk" nc"tgevc"gu"jqtk|qpvcn"nc"rqukekôp"fgn"oôxkn"pq"xctîc0"Gn"oôxkn"guvâ"swkgvq."
uw"xgnqekfcf"gu"pwnc"*nc"rgpfkgpvg"xcng"egtq+0"•" Wpc" tgevc" fg" rgpfkgpvg" rqukvkxc" kpfkec" swg" gn" oôxkn" cxcp|c" *xgnqekfcf"
rqukvkxc+0"•" Uk" nc" rgpfkgpvg" gu" pgicvkxc." gn" oôxkn" tgvtqegfg" *xgnqekfcf" pgicvkxc+." eqp"
tgurgevq"cn"ugpvkfq"cfqrvcfq"rctc"gn"ecokpq0""
""4+"Uwrqpicoqu"swg"guvcoqu"gp"rtgugpekc"fg"wp"oqxkokgpvq"tgevknîpgq"xctkcfq"q" pq" wpkhqtog" *nc" xgnqekfcf" pq" gu" eqpuvcpvg+0" Nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" swg"fguetkdg"gug"oqxkokgpvq"gu."rqt"glgornq."nc"ewtxc<"
"Nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"ecfc"rwpvq"gu"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"gp"gn" kpuvcpvg" kpfkecfq" rqt" nc" cduekuc" fgn" rwpvq0" Uk" qdugtxcoqu" nc" hkiwtc." nc"
xgnqekfcf" kpuvcpvâpgc" gu" 2" gp" nqu" kpuvcpvgu" v4" {" v6=" gu" pgicvkxc" gp" ewcnswkgt"
kpuvcpvg" cpvgtkqt" c" v4" *rqt" glgornq" v3+" q" rquvgtkqt" c" v6" *v8+" {" gu" rqukvkxc" gp"
ewcnswkgt"kpuvcpvg"eqortgpfkfq"gpvtg"v4"{"v6"*rqt"glgornq"v5+0"Gn"oôxkn"guvcdc""
El Cálculo Diferencial
retrocediendo antes de t2, allí se detuvo para comenzar a avanzar hasta t4,
instante en el que se detuvo otra vez para comenzar a retroceder.
Cuando se estudia el movimiento rectilíneo puede considerarse que el objeto se
desplaza a lo largo de un eje de coordenadas. La posición del objeto desde el
origen en los ejes es una función del tiempo t y generalmente se representa
como s(t). La razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo es la
velocidad v(t) del objeto.
Expresada como derivada, la velocidad es v(t) = dtds , cuando esta derivada
existe.
• Si v(t) > 0, se dice que el objeto está avanzando y si v(t) < 0, está
retrocediendo.
• Si v(t) = 0 el objeto no avanza ni retrocede.
Podemos representar mediante un diagrama el movimiento rectilíneo.
En el caso en que v(t) ≥ 0 en un intervalo [t1, t2], el objeto se mueve en
dirección positiva, de modo que el desplazamiento s(t2) − s(t1) coincide con la
distancia recorrida por el objeto.
Si v(t) ≤ 0 en un intervalo [t1, t2], el objeto se mueve en dirección negativa y el
desplazamiento s(t2) − s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.
Si v(t) asume valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de
tiempo [t1, t2], el móvil se mueve hacia adelante y hacia atrás y para determinar
la distancia total recorrida deben sumarse las distancias recorridas en cada
sentido.
Problema La siguiente gráfica muestra la posición de un móvil durante un recorrido
de 15 minutos.
159
El Cálculo Diferencial
Esboce la gráfica de su correspondiente función velocidad (en min
km).
Desde cero hasta los tres minutos, la gráfica corresponde a un segmento de
recta y = mx + h. El movimiento es rectilíneo uniforme, significa que el móvil
tiene velocidad constante y como la pendiente es positiva, el móvil avanza, por
lo que la velocidad es positiva. Como recorrió 3 km en 3 minutos podemos decir
que la velocidad es 1minkm .
Desde los tres hasta los nueve minutos el móvil está quieto, ya que el espacio
recorrido no varía. La velocidad es nula.
Desde el minuto nueve hasta el quince, el móvil avanza nuevamente con un
movimiento rectilíneo y uniforme. El móvil recorre 3 km en 6 minutos y la
velocidad es 0,5 minkm .
Si representamos gráficamente las conclusiones anteriores:
No hay información sobre lo que ocurre en los extremos de los intervalos. La
gráfica es solo una de las posibles respuestas, la que corresponde a considerar
que el móvil se mueve hasta los 3 minutos, incluido el mismo, y desde los 9
minutos, también incluido ese instante.
Problema
La función representada gráficamente describe la velocidad en minkm de
un móvil durante un trayecto de 15 minutos. Esboce la gráfica de la
función que describe la posición en función del tiempo.
160
El Cálculo Diferencial
Desde cero hasta el minuto tres, el móvil se mueve con velocidad constante de
3minkm , por lo tanto avanza con un movimiento rectilíneo y uniforme. A los tres
minutos habrá recorrido 9 km. Desde los tres hasta los doce minutos, la
velocidad es nula, eso significa que el móvil está quieto. En los últimos tres
minutos la velocidad es negativa, por lo tanto el móvil retrocede, también con
movimiento rectilíneo y uniforme. Como el valor absoluto de la velocidad es 1
minkm , en los tres minutos el móvil retrocede 3 km.
Teniendo en cuenta esta información es posible bosquejar una gráfica que
describe la posición del móvil en función del tiempo. No hay información sobre la
posición inicial, así que la respuesta no es única. Considerando, por ejemplo,
que la posición inicial del móvil es s = 0, resulta:
Problema La posición de un objeto en movimiento rectilíneo variado está dada por la
función s(t) = t3 − 12t + 2, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.
a) Determine la velocidad del objeto en cada instante t.
b) Halle en qué instantes se detiene el móvil.
c) Analice su movimiento entre los instantes t = 0 y t = 3.
d) Encuentre la posición de la partícula en t = 0, t = 2 y t = 3 y dibuje un
diagrama que represente el movimiento de la partícula para 0 ≤ t ≤ 3.
e) Calcule la distancia total recorrida por la partícula en ese intervalo.
a) La velocidad con que se mueve el objeto en cada instante t está dada por la
derivada de la función que describe la posición del objeto:
v(t) = s'(t) =( ) ( )
h
2t12t2ht12h+t lím
h
s(t)h)+s(t lím
33
0h0h
−+−++−=
−→→
v(t) = s'(t) h
t12th12t12hth3ht3t lím33223
0h
+−−−+++=→
v(t) = s'(t) 12t312hth33t límh
h12hth3h3t lím222
0h
322
0h−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=−++=
→→
La velocidad del móvil en cada instante t del movimiento es v(t) = 3t2 − 12.
b) Si el móvil se detiene, su velocidad v(t) = 0.
Entonces: 3t2 − 12 = 0 ⇒ 3t
2 = 12 ⇒ t
2 = 4 ⇒ t = ±2
161
A los dos segundos de iniciado el movimiento, el objeto se detiene.
El Cálculo Diferencial
384"
""e+"Ucdgoqu"swg"gp"gn" kpuvcpvg" v"=" 4"gn"oôxkn" guvâ"fgvgpkfq0"Gp"ewcnswkgt"qvtq"kpuvcpvg"gn"oôxkn"cxcp|c"q"tgvtqegfg0""Uk" nc" xgnqekfcf" gu" rqukvkxc" gn" oôxkn" cxcp|c." uk" gu" pgicvkxc." tgvtqegfg0"Cpcnk|coqu"nqu"ukipqu"fg"x*v+"gp"nqu"kpvgtxcnqu"swg"fgvgtokpc"v"="40"""
Uk"ug"vkgpg"gp"ewgpvc"swg"x*v+"="5v4"−"34" ⇒ "x*v+"=""5*v"−4+"0"*v"-"4+", tguwnvc<""
" 2">"v">""4" "4">"v">"5"
5*v"−"4+" −" -"*v"-"4+" -" -"
X*v+"="5*v"−"4+"0"*v"-""4+ −" -""Gn"oôxkn"tgvtqegfg"ewcpfq"2">""v"">""4"{"cxcp|c"ewcpfq"4">"v">"50 "f+"Rctc"gpeqpvtct"nc"rqukekôp"fg"nc"rctvîewnc"gp"nqu"kpuvcpvgu"rgfkfqu."fgdgoqu"gxcnwct"u*v+"rctc"nqu"xcnqtgu"fg"v"fcfqu0""u*2+"="4."gp"v"="2"nc"rctvkewnct"ug"gpewgpvtc"fqu"ogvtqu"c"nc"fgtgejc"fgn"rwpvq"fg"tghgtgpekc"u"="20"u*4+" =" −36" {" u*5+" =" −90" Gn" tguwnvcfq" pgicvkxq" ukipkhkec" swg" nc" rqukekôp" fg" nc"rctvîewnc"gu"c"nc"k|swkgtfc"fgn"rwpvq"fg"tghgtgpekc"u"="20"""
g+" Rqt" nq" cpcnk|cfq" gp" nqu" kpekuqu" e+" {" f+." gn" qdlgvq" ug" owgxg" gp" fkuvkpvqu"ugpvkfqu." rqt" nq" swg" ug" fgdgp" ecnewnct" rqt" ugrctcfq" ncu" fkuvcpekcu" tgeqttkfcu"fwtcpvg"nqu"rgtîqfqu"[2."4]"{"[4."5]0"Gn"fgurnc|cokgpvq"fgn"qdlgvq"rctc"2"≤"v"≤"4"gu"u*4+"−"u*2+"?"−36"−4"?"−380"Guvg"tguwnvcfq" ukipkhkec" swg" gp" v" =" 4" gn" qdlgvq" ug" gpewgpvtc" 38" ogvtqu" oâu" c" nc"k|swkgtfc"swg"gp"v"="20"Nc"fkuvcpekc"tgeqttkfc"rqt"gn"qdlgvq"gp"gug"kpvgtxcnq"gu"38"ogvtqu0""Nc"fkuvcpekc"tgeqttkfc"rctc"4"≤"v"≤"5"eqkpekfg"eqp"gn"fgurnc|cokgpvq"{"gu<""u*5+"−"u*4+"="−9"−*−36+"="9"ogvtqu0""Nc"fkuvcpekc"vqvcn"tgeqttkfc"gp"nqu"rtkogtqu"vtgu"ugiwpfqu"gu"38"-"9"="45"ogvtqu0"""GLGTEKEKQU"
3+"Wp"qdlgvq"ug"fgurnc|c"fg" vcn"ocpgtc"swg"uw"rqukekôp" *gp"ogvtqu+"fgufg"gn"
kpkekq"fgn"oqxkokgpvq"guvâ"fcfc"rqt"u*v+"="v4"-"7v"gu"gn"vkgorq"gp"ugiwpfqu0"Jcnng"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"fwtcpvg"nc"rtkogtc"jqtc"{"nc"xgnqekfcf"c"nqu"32"ugiwpfqu0"4+"Ncu"hwpekqpgu"tgrtgugpvcfcu"itâhkecogpvg"fguetkdgp"nc"rqukekôp"fg"wp"oôxkn"
El Cálculo Diferencial
385"
gp" wp" vtc{gevq" fg" 7" okpwvqu0" Gudqeg" ncu" itâhkecu" fg" uwu" eqttgurqpfkgpvgu"
hwpekqpgu"xgnqekfcf"*gp"jmo +0"
c+" " " " " """"""" " d+"
5+"Ncu"hwpekqpgu"tgrtgugpvcfcu"itâhkecogpvg"tgrtgugpvcp"nc"xgnqekfcf"*gp"jmo +"
fwtcpvg" wp" vtc{gevq" fg" ekpeq" okpwvqu0" Gudqeg" ncu" itâhkecu" fg" ncu" hwpekqpgu"rqukekôp"eqttgurqpfkgpvgu0"c+" " " " " " " d+"
TGURWGUVCU"
3+"Nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"fwtcpvg" nc"rtkogt"jqtc"gu"5827ugio 0"Nc"xgnqekfcf"c"
nqu"32"ugiwpfqu"gu"fg"47ugio 0"
4+c+" " " " " " d+"
""
El Cálculo Diferencial
386"
5+c+" " " " " " d+" " " " " """"""
608"Fgtkxcfcu"ncvgtcngu
Cn"fghkpkt"fgtkxcfc"eqoq"gn"nîokvg"fgn"eqekgpvg"kpetgogpvcn."pq"ug"vwxq"gp"ewgpvc"uk"Δz"gu"rqukvkxq"q"pgicvkxq."rqt"nq"vcpvq"kpvgtrtgvcoqu"swg"nc"fghkpkekôp"gu"xânkfc"ewcnswkgtc" ugc" gn" kpetgogpvq0" Ukp" godctiq" cniwpcu" xgegu" gu" pgeguctkq"
gurgekhkect"uk"z"ug"crtqzkoc"c"z3" vqocpfq"xcnqtgu"ogpqtgu"q"oc{qtgu"swg"z30"Gu"rqukdng"fghkpkt"fqu"vkrqu"fg"fgtkxcfcu"ncvgtcngu."wpc"rqt"k|swkgtfc"{"qvtc"rqt"fgtgejc0"""
Fghkpkekôp0"Uk"nc"hwpekôp"h"guvâ"fghkpkfc"gp"z3."gpvqpegu"nc"fgtkxcfc"ncvgtcn"rqt"nc"
k|swkgtfc"fg"h"gp"z3."fgpqvcfc"rqt" ( )−3zh
) ."gu<""
( )−3zh
) = z{
nîo2z
ΔΔ
−→Δ
""⇔" ( )−3zh
) "= ( ) ( )
j
zhjzhnîo 33
2j
−+−→
"."uk"gzkuvg"gn"nîokvg0"
"Fghkpkekôp0"Uk"nc"hwpekôp"h"guvâ"fghkpkfc"gp"z3."gpvqpegu"nc"fgtkxcfc"ncvgtcn"rqt"nc"
fgtgejc"fg"h"gp"z3."fgpqvcfc"rqt" ( )+3zh
) "gu<""
( )+3zh
) ""=z{
nîo2z
ΔΔ
+→Δ
"⇔" ( )+3zh
) ""= ( ) ( )
j
zhjzhnîo 33
2j
−++→
"."uk"gzkuvg"gn"nîokvg0"
"
Uk"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"pq"uqp"kiwcngu"gp"z3"nc"fgtkxcfc"pq"gzkuvg"gp"z30"
609"Fgtkxcdknkfcf"{"eqpvkpwkfcf"Nc"fgtkxcdknkfcf"fg"wpc" hwpekôp"gp"wp"rwpvq"{" nc" eqpvkpwkfcf"fg" nc" hwpekôp"gp"fkejq"rwpvq"guvâp"tgncekqpcfcu0"Gp"nqu"ukiwkgpvgu"glgornqu"ug"rwgfg"qdugtxct"fkejc"tgncekôp0""
Glgornq0"Cpcnkeg"nc"fgtkxcdknkfcf"fg"nc"hwpekôp"h"<"T"→"T"1""h*z+"="⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤3""""zukz""""
3"""zuk"""z4
"
gp"z"="30""Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"z"="30
El Cálculo Diferencial
387"
Uk" eqpuvtwkoqu" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp"qdugtxcoqu"swg"gp"z"="3" ncu"fgtkxcfcu"rqt" k|swkgtfc" {" rqt" fgtgejc" uqp"fkuvkpvcu0" Ncu" rgpfkgpvgu" fg" ncu" tgevcu"vcpigpvgu" rqt" fgtgejc" {" rqt" k|swkgtfc"pq"vqocp"gn"okuoq"xcnqt0"Rqt"nq"vcpvq"nc"hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdng"gp"z"="30"""
""Cpcnîvkecogpvg"gu"rqukdng"nngict"c"ncu"okuocu"eqpenwukqpgu0"Eqoq" nc" hwpekôp"guvâ"fghkpkfc"rqt" vtcoqu"{"ecodkc"uw"gzrtgukôp"gp"z"="3."gp"gug"rwpvq"fgdgoqu"eqpukfgtct"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu0""
( ) ( ) ( )j
3j3nîo
j
3hj3hnîo+3*"h
4
2z2j
−+=
−+=
−→Δ−→
−) "
j3jj03043nîo+3*"h
44
2z
−++=−→Δ
−) =( )
4jj4j
nîo2z
=+
−→Δ
" "
Rqt"nq"vcpvq"" +3*"h −) ="40"Guvg"xcnqt"gu"nc"fgtkxcfc"ncvgtcn"rqt"k|swkgtfc"g"kpfkec"swg"nc"tgevc"vcpigpvg"rqt"k|swkgtfc"fg"3"vkgpg"rgpfkgpvg"40"Nc"fgtkxcfc"ncvgtcn"rqt"fgtgejc"gp"z"="3"ug"qdvkgpg"tguqnxkgpfq<"
( ) ( )3
j3j3nîo
j
3hj3hnîo+3*"h
2j2j=−+=
−+=
+→+→
+) "" ⇒" h")*3-+"="3"
Guvg"xcnqt"gu"nc"fgtkxcfc"ncvgtcn"rqt"fgtgejc"g"kpfkec"swg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"gp"z"="3"rqt"fgtgejc"vkgpg"rgpfkgpvg"30"Cn"pq"eqkpekfkt"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"eqpenwkoqu"swg"nc"hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdng"gp"z"="30"Nc"hwpekôp"fcfc"gu"eqpvkpwc"gp"z"="3"rgtq"pq"gu"fgtkxcdng"gp"fkejq"rwpvq0""
Glgornq0"Eqpukfgtg"nc"hwpekôp"h*z+"=" 5 z "{"cpcnkeg"nc"gzkuvgpekc"fg"nc"fgtkxcfc"gp"z"="20""
Nc"hwpekôp"h*z+"=" 5 z "gu"eqpvkpwc"rctc"vqfq"z"swg"rgtvgpgeg"c"T0"Uw"itâhkec"gu<"""
"Cn"kpvgpvct"vtc|ct"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z"="2."xgoqu"swg"uî"gzkuvg0""
El Cálculo Diferencial
Al ir trazando rectas secantes por
derecha y por izquierda de x = 0, estas
rectas se aproximan a una recta vertical
de ecuación x = 0, que coincide, en
este caso, con el eje de ordenadas.
Por lo tanto la función 3 xy = no es
derivable en x = 0.
En los ejemplos anteriores se puede observar que la continuidad no implica la
eorema. Si una función es derivable en x0 entonces es continua en x0.
ipótesis: f(x) es derivable en x0.
derivable en x0, existe f(x0) ya que esta hipótesis
garantiza la existencia de
derivabilidad en el punto. Sin embargo, la derivabilidad implica continuidad como
se demuestra en el siguiente teorema.
T
Simbólicamente: f(x) derivable ⇒ f(x) continua
H
Tesis: f(x) es continua en x0.
Demostración: Si y = f(x) es
( ) ( ) ( )h
xfhxf 00límx f0h
0−+
=' . →
Escribimos f(x0 + h) = f(x0 + h) − f(x0) + f(x0)
Si h ≠ 0 ⇒ f(x0 + h) =( ) ( )
166
( )00 fxfhxf −+
0xh.h
+
Si aplicamos límite a ambos miembros resulta:
( ) ( ) ( ) ( )00h0h
00 xfhxf+
−+=+
0h0
0hxflímhlím.
hlímhxflím
→→→→
Como
( ) ( ) ( )00h
000h
xflím0.x fhxflím→→
+=+ '
( ) ( )000h
xfxflím =→
, entonces: ( ) ( )000h
xfhxflím =+→
. Luego, y = f(x) es
continua en x = x0.
bservación. No vale el recíproco, es decir que una función sea continua en un
rrecíproco: si una función no es continua en un punto
O
punto no implica necesariamente que sea derivable (como se analizó en los
ejemplos anteriores).
Sí es válido el contra
entonces no es derivable en dicho punto.
El Cálculo Diferencial
389"
Glgornq0" Cpcnkeg" nc" fgtkxcdknkfcf" fg" nc"hwpekôp"fghkpkfc"itâhkecogpvg0"""Nc" hwpekôp" fghkpkfc" itâhkecogpvg" pq" gu"eqpvkpwc" gp" z" =" 4." rqt" nq" vcpvq" pq" gu"fgtkxcdng"gp"gug"rwpvq0""
"ÀGp"swê"rwpvqu"wpc"hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdngA"•" Uk" wpc" hwpekôp" pq" gu" eqpvkpwc" gp" wp" rwpvq" gpvqpegu" pq" gu" fgtkxcdng" gp"fkejq"rwpvq0"Wpc"hwpekôp"swg"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"*fg"ewcnswkgt"vkrq+"gp"wp"rwpvq."pq"gu"fgtkxcdng"gp"gug"rwpvq0"
•" Uk"nc"itâhkec"fg"wpc"hwpekôp"vkgpg"guswkpcu"q"rwpvqu"rkeq."nc"itâhkec"fg"h"pq"vkgpg"vcpigpvg"gp"guqu"rwpvqu"{c"swg"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"uqp"fkuvkpvcu0"
•" Wpc" vgtegtc"rqukdknkfcf"gu"swg" nc" ewtxc" vgpic" tgevc" vcpigpvg"gp"wp"rwpvq"rgtq"swg"ugc"xgtvkecn0"Gp"gug"ecuq"pq"gzkuvg"nc"fgtkxcfc"gp"gug"rwpvq0"
"Eqoq"tguwogp"ug"owguvtcp"cniwpqu"glgornqu"itâhkequ"fqpfg"nc"hwpekôp"pq"gu"
fgtkxcdng"gp"gn"rwpvq"z20"
"Nc" hwpekôp" pq" gu" eqpvkpwc" gp" z20" C"
rguct"fg"swg"z2"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"pq" gzkuvg" nc" vcpigpvg" gp" gug" rwpvq0"
Pq"gzkuvg"h")*z2+0"
"Uk"dkgp"gn"rwpvq"z2"∈"Fh
""nc"hwpekôp"pq"gu"eqpvkpwc"gp"ên0"Nc"itâhkec"pq"vkgpg"
tgevc"vcpigpvg"gp"*z2."h*z2++0""
Pq"gzkuvg"h")*z2+0"Uk"nc"hwpekôp"pq"gu"eqpvkpwc"gp"wp"rwpvq"z2""nc"hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdng"gp"gug"
rwpvq0"Pq"gzkuvg"h")*z2+0"
El Cálculo Diferencial
38:"
Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"z2"rgtq"pq"rtgugpvc" vcpigpvg" gp" gn" rwpvq" fg"
cduekuc" z20"Pq"gzkuvg" h" )*z2+" *gzkuvgp"ncu" fgtkxcfcu" ncvgtcngu" rqt" k|swkgtfc"
{" rqt" fgtgejc" gp" z2" rgtq" uqp"
fkuvkpvcu+0"Gp"z2"gzkuvg"wp"rwpvq"rkeq0"
Ug"rwgfg"qdugtxct"gp" nc"itâhkec"swg"nc" hwpekôp" vkgpg" vcpigpvg" xgtvkecn" gp"
gn" rwpvq" *z2." h*z2++0" Uw" rgpfkgpvg" pq"guvâ"fghkpkfc"{."rqt"nq"vcpvq."pq"gzkuvg"
h")*z2+0"Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"z20"Uk"wpc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"wp"rwpvq"z2"guvq"pq"cugiwtc"swg"ugc"
fgtkxcdng0""Wpc"hwpekôp"{"="h*z+"gu"fgtkxcdng"gp"ekgtvq"xcnqt"fg"z"uk"uw"itâhkec"gu"›uwcxgfi"gp"gn"rwpvq"eqttgurqpfkgpvg" *z."{+0"Gu"fgtkxcdng"uk"gp"fkejq"rwpvq" nc"itâhkec" vkgpg"wpc" vcpigpvg" dkgp" fghkpkfc" eqp" wpc" rgpfkgpvg" dkgp" fghkpkfc0" Rctc" swg" guvq"qewttc"nc"hwpekôp"fgdg"ugt"eqpvkpwc"gp"gn"rwpvq"{"fgdgp"gzkuvkt"{"ugt"kiwcngu"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"gp"fkejq"rwpvq0"Nc"ukiwkgpvg"itâhkec"eqttgurqpfg"c""wpc"hwpekôp""fgtkxcdng""gp"vqfq"uw"fqokpkq"gzegrvq"gp"z"="c."z"="d"{"z"="e0"
"
60:"Fgtkxcdknkfcf"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"kpvgtxcnq"
Ucdgoqu"swg"wpc"hwpekôp"gu"fgtkxcdng"gp"z"="z3"uk"h")*z3+"gzkuvg0"Wpc" hwpekôp" gu" fgtkxcdng" gp" wp" kpvgtxcnq" cdkgtvq" *hkpkvq" q" kphkpkvq+" uk" vkgpg"fgtkxcfc"gp"ecfc"rwpvq"fgn"kpvgtxcnq0"Wpc" hwpekôp" "gu"fgtkxcdng" "gp"wp" kpvgtxcnq"egttcfq" ]c."d_" uk" gu"fgtkxcdng"gp"gn"
El Cálculo Diferencial
intervalo abierto (a, b) y si los límitesh
)a(f)ha(flím
0h
−++
→ (derivada en a por
derecha) y h
)b(f)hb(flím
0h
−+−
→ (derivada en b por izquierda) existen.
Ejemplo: Dada la función
definida gráficamente, analice
la derivabilidad.
En x = 0 la función tiene un punto pico ya que las derivadas laterales son
distintas. La función no es derivable en x = 0.
En x = 3 la función es discontinua, por lo tanto no es derivable en ese punto.
En los demás valores del dominio la función es derivable, ya que es posible
trazar la tangente en cualquier punto y definir su pendiente.
Ejemplo. Analice la derivabilidad de f : R → R / x →
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>≤<−
≤−
6 xsi 14
6x4 si 165x
4 xsi3x x2
Cada tramo de la función está definida por una expresión polinomial. Esto
permite asegurar que la función es continua y derivable en todo su dominio,
excepto quizás en x = 4 y en x = 6.
También se puede probar que la función es continua en los puntos en los que
cambia la ley que define la función, es decir, en x = 4 y en x = 6.
Analicemos la derivabilidad en esos valores. Para ello es necesario analizar si
las derivadas laterales existen y son iguales. Recordemos que:
f ' = ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
1x( ) ( )
h
xfhxflím 11
0h
−+−→
y f ' = ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
1x( ) ( )
h
xfhxflím 11
0h
−++
→
Para x = 4 resulta: f ' =)4(− ( ) ( )
h
4fh4flím
0h
−+−
→
Teniendo en cuenta que f(4) = 42 – 3.4 = 4, obtenemos:
f ' = )4(− ( ) ( )
h
4h43h4lím
2
0h
−+−+−
→
169
El Cálculo Diferencial
392"
h") +6*−"=
j6j534jj06046nîo
44
2j
−−−++−
→ =
jjj7nîo4
2j
+−
→ "
h") +6*−"=
( )jj7j
nîo2j
+−
→ = 7j7nîo
2j
=+−
→ ⇒ h") +6*
−"= 70"
"
h") +6*+"=
( ) ( )j
6hj6hnîo2j
−++
→
h") +6*+"=
( )j
638j67nîo2j
−−++
→=
j638j742nîo
2j
−−++
→=
jj7nîo
2j+
→
h") +6*+"= 77nîo
2j
=+
→ ⇒ "h") +6*
+"="70"
Eqoq"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"uqp"kiwcngu."nc"hwpekôp"gu"fgtkxcdng"gp"z"="60""Rctc" z" =" 8." gn" xcnqt" fg" nc" hwpekôp" gu" h*8+" =" 708" ⁄" 38" =" 36" " {" ncu" fgtkxcfcu"ncvgtcngu<"
h") +8*−
= ( ) ( )j
8hj8hnîo2j
−+−
→ =
( )j
3638j87nîo2j
−−+−
→
h") +8*−
= 77nîojj7nîo
j3638j752nîo
2j2j2j
===−−+−
→−
→−
→.
"
h") +8*+
= ( ) ( ) ( )22nîo
j3880736
nîoj
8hj8hnîo
2j2j2j
==−−
=−+
+→
+→
+→
."
Fgdkfq" c"swg" ncu" fgtkxcfcu" ncvgtcngu" h" ) +8*−
=" 7" {" h" ) +8*+
=" 2" uqp"fkuvkpvcu." nc"
hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdng"gp"z"="80"Gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"fgtkxcfc"h")*z+"gu"T"−"}8Ä0""
Glgornq0"Ugc"h"<"T"→"T"1"z"→⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤
5z"""uk"""dcz
5z"""ukz """""""40"Fgvgtokpg"nqu"xcnqtgu"fg"c"{"d"
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El Cálculo Diferencial
393"
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El Cálculo Diferencial
394"
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El Cálculo Diferencial
395"
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3+"Wp"ewgtrq"swg"ecg"tgeqttg"wpc"fkuvcpekc"f"="h*v+"="38v4""rkgu"gp"v"ugiwpfqu0"" c+"Ecnewng"nqu"rkgu"swg"ecg"fwtcpvg"gn"ugiwpfq"ugiwpfq"*gu"fgekt."gp""gn"kpvgtxcnq"v"="3"c"v"="4+0"Qdvgpic"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"" d+"Tgcnkeg"nqu"okuoqu"eânewnqu"rctc"gn"kpvgtxcnq"v"="3"c"v"="3.70"" e+" Fg" " ocpgtc" " cpânqic." qdvgpic" " nc" " xgnqekfcf" " rtqogfkq" " rctc" " gn"kpvgtxcnq""fg""vkgorq"fg"v"="3"c"v"="3.3"="fg"v"="3"c"v"="3.23"{"nwgiq"rctc"gn"fg"v"="3"c"v"="3.2230"" f+" Ewcpvq"oâu" rgswgòq" gu" gn" kpvgtxcnq." oglqt" gu" nc" crtqzkocekôp" c" nc"xgtfcfgtc"xgnqekfcf"gp"gn"kpuvcpvg"v"="30"Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"nq"qdvgpkfq"gp"nqu"îvgou" cpvgtkqtgu." Àewân" gu" fkejc" xgnqekfcfA" Xgtkhkswg" gug" xcnqt" ecnewncpfq" nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"gp"v"="30"4+"Wp"qdlgvq"ug"fgurnc|c"fg"ocpgtc"vcn"swg"uw"rqukekôp"gu"u*v+"="4v4"-"4"ogvtqu"""""
El Cálculo Diferencial
396"
"fgurwêu"fg"v"ugiwpfqu0"" c+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"gn"kpvgtxcnq"4"≤"v"≤"5A"" d+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"gn"kpvgtxcnq"4"≤"v"≤"4.223A"" e+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"gn"kpvgtxcnq"4"≤"v"≤"4"-"jA"" f+"Fgvgtokpg"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"rctc"v"="40"5+"Gp"gn" còq"3;;6." wp"rwgdnq" vgpîc"37222"rgtuqpcu"{" etgekô"fg"cewgtfq"c" nc"
gzrtgukôp" P*v+" =" 37222" -" 47v4" fqpfg" gn" vkgorq" v" guvâ" ogfkfq" gp" còqu"rquvgtkqtgu"c"3;;60""" c+""Jcnng"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"etgekokgpvq"jcuvc"3;;;"0"" d+""Fgvgtokpg"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"fg"etgekokgpvq"gp"3;;90"6+"Wp"pgiqekq"guvâ"rtqurgtcpfq"fg"ocpgtc" vcn"swg"uw"dgpghkekq" vqvcn"fgurwêu"
fg"v"còqu"guvâ"fcfq"rqt"d*v+"="3222"v4"fônctgu0"" c+"ÀEwâpvq"rtqfwektâ"gn"pgiqekq"fwtcpvg"gn"vgtegt"còq"*gpvtg"v"="4"{"v"="5+A"" d+"ÀEwân""gu""uw""icpcpekc""rtqogfkq""fwtcpvg""gn""rtkogt""ugoguvtg""fgn""vgtegt""còq"*gpvtg""v"="4"{"v"="4.7+A"" e+"ÀEwân"gu"nc"icpcpekc"kpuvcpvâpgc"rctc"v"="4A""7+"Nc"rqdncekôp"fg"wpc"ekwfcf"etgeg"fg"ocpgtc"vcn"swg"nc"ecpvkfcf"fg"rgtuqpcu"
guvâ"fcfc"rqt"r"="h*v+"= 3v7422 + "wpc"xg|"vtcpuewttkfqu"fg"v"còqu0"
" c+"ÀEwâpvq"etgekô"fwtcpvg"gn"kpvgtxcnq"5"≤"v"≤"5.3A"" d+"ÀEwân"hwg"gn"etgekokgpvq"ogfkq"fwtcpvg"gn"kpvgtxcnq"5"≤"v"≤"5.3A"" e+"ÀEwân"hwg"uw"tc|ôp"fg"etgekokgpvq"kpuvcpvâpgq"ewcpfq"v"="5A""8+"Nc"ecpvkfcf"fg"ciwc"fg"wp"vcpswg."v"okpwvqu"fgurwêu"fg"swg"jc"gorg|cfq"c"
xcekctug."guvâ"fcfc"rqt""Y"="322*37"-"v+4"nkvtqu0"c+"ÀEqp"swê"tcrkfg|"ucng"gn"ciwc"c"nqu"fg"7"okpwvquA"d+" ÀEwân" gu" nc" tcrkfg|" rtqogfkq" eqp" nc" swg" hnw{g" gn" ciwc" fwtcpvg" nqu"rtkogtqu"7"okpwvquA"
9+" Ug" ncp|c" wpc" rgnqvc" cn" cktg" {" uw" cnvwtc" rwgfg" gzrtguctug" gp" hwpekôp" fgn"
vkgorq"ogfkcpvg" nc"hwpekôp""j*v+"="−38v4"-"34:v."fqpfg"j*v+"gu"nc"cnvwtc"ogfkfc"gp"rkgu"{"v"gu"gn"vkgorq"ogfkfq"gp"ugiwpfqu0""
c+"Ecnewng"nqu""rkgu"swg"tgeqttg"gp"gn"kpvgtxcnq""eqortgpfkfq"gpvtg"v"="4"{"""v"="60"Qdvgpic"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"
d+"Qdvgpic"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"nqu"7"rtkogtqu"ugiwpfqu"fg"tgeqttkfq0"" e+"Fgvgtokpg" nqu" ugiwpfqu"swg"fgoqtc"gp" ecgt" cn" uwgnq" {" nc" xgnqekfcf"eqp"swg"nc"rgnqvc"korcevc"eqpvtc"gn"okuoq0":+" Gp" gn" ukiwkgpvg" ewcftq" ug" rtgugpvcp" ncu" xgpvcu" cpwcngu" *gp" oknnqpgu" fg"fônctgu+"tgcnk|cfcu"rqt"wpc"gortguc"gpvtg"nqu"còqu"3;;5"{"3;;80"Còq" 3;;5" 3;;6" 3;;7" 3;;8"Xgpvcu"cpwcngu" &"72.:" &"77.6" &"7;.:" &"88.6"
Fgvgtokpg"gn"kpetgogpvq"rtqogfkq"fg"ncu"xgpvcu"gpvtg"3;;5"{"3;;7."gpvtg"3;;6"{"3;;7"{"gpvtg"3;;5"{"3;;80"
;+"Nc"hwpekôp"j"="h*v+"="4.7"v5"fguetkdg"nc"cnvwtc"j"*gp"okngu"fg"rkgu+"fg"wp"okukn"v"ugiwpfqu"fgurwêu"fg"jcdgt"ukfq"ncp|cfq."ukgpfq"2"≤"v"≤"520"
c+" Fgvgtokpg" nc" fkuvcpekc" tgeqttkfc" rqt" gn"okukn" gpvtg" gn" rtkogt" {" swkpvq"ugiwpfqu"rquvgtkqtgu"c"uw"ncp|cokgpvq"{"ecnewng"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"gp"fkejq""
El Cálculo Diferencial
397"
kpvgtxcnq0"""""""""""d+"Qdvgpic"nc"xgnqekfcf"swg"nngxcdc"c"nqu"ekpeq"ugiwpfqu"fg"jcdgt"ukfq"ncp|cfq0"""RTWGDC"FG"QREKłP"OðNVKRNG""
3+"Ugc"f*v+"="3:v4"-"46v."eqp"2"≤"v"≤"6."*gp"mknôogvtqu+"nc"fkuvcpekc"tgeqttkfc"rqt"wp"cwvqoôxkn"gp"v"jqtcu0"Nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"gp"nc"ugiwpfc"jqtc"fg"xkclg"gu<"
" c+"9:"mo" " d+"9:"jmo " " e+"342
jmo " " f+"82
jmo "
4+"Ugc"nc"hwpekôp"{"="z4"−";0"Nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z2"="3""gu<"
" c+"{"="4z"−"32" d+"{"="4z"-"32" e+"{"=" 32z43 − " f+"{"="−4z"−"32"
5+"Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"kpvgtxcnq"]c."d_"eqkpekfg"eqp<"
c+"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z"="c0"d+"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"ugecpvg"swg"wpg"nqu"rwpvqu"fg"cduekucu"z"="c"{"
z"="d0"e+"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z"="c0"f+"nc"tgevc"ugecpvg"swg"wpg"nqu"rwpvqu"fg"cduekucu"gp"z"="c"{"z"="d0"
6+"Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"kpuvcpvâpgc"gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc"z"="z2"gu<"
c+"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z"="z20"
d+"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"ugecpvg"gp""z"="z20"e+"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z"="z20"
f+"nc"tgevc"ugecpvg"gp"z"="z20"7+"Ekgtvq"ewnvkxq"fg"dcevgtkcu"etgeg"fg"ocpgtc"vcn"swg"nwgiq"fg"v"jqtcu"vkgpg"wpc"
ocuc"fg"O"= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +3v43 4
"itcoqu0"Nc"tc|ôp"fg"etgekokgpvq"kpuvcpvâpgq"gp"v"="4"gu<""
" c+"5"j0it" """d+"4"
j0it" """"e+"3"
j0it" """f+"pkpiwpq"fg"nqu"cpvgtkqtgu"
8+"Nc"hwpekôp"h"<"T"→"T"1"z"→"⎩⎨⎧
>≤+4""""zuk""""""""""7
4""""zuk4z""""3"gu<"
c+"eqpvkpwc"{"fgtkxcdng"gp"z2"="40"
d+"eqpvkpwc"rgtq"pq"fgtkxcdng"gp"z2"="40"
e+"fgtkxcdng"rgtq"pq"eqpvkpwc"gp"z2"="40"
f+"pk"eqpvkpwc"pk"fgtkxcdng"gp"z2"="40""""
"
El Cálculo Diferencial
398"
CWVQGXCNWCEKłP""
3+"Gp"nc"ukiwkgpvg"vcdnc"v"tgrtgugpvc"gn"vkgorq"gp"okpwvqu"{"e*v+"nc"eqpegpvtcekôp"
gzrtgucfc"gp"5eo
oi""fg"wp"hâtoceq"gp"gn"vqttgpvg"ucpiwîpgq0"
v" 2" 2.3" 2.4" 2.5" 2.6" 2.7" 2.8" 2.9" 2.:" 2.;" 3"E*v+" 2.:6" 2.:;" 2.;6" 2.;:" 3" 3" 2.;9" 2.;" 2.9;" 2.85" 2.6"Jcnng"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"gpvtg"2.7"{"3"okpwvq0"Kpvgtrtgvg"gn"tguwnvcfq0"4+"Wpc"grkfgokc"fg"itkrg"ug"guvâ"rtqrcicpfq"{"nqu"hwpekqpctkqu"fgn"okpkuvgtkq"fg"ucnwf"guvkocp"swg"gn"pûogtq"fg"rgtuqpcu"swg"ug"eqpvcikctâp"gu"wpc"hwpekôp"fgn"vkgorq"vtcpuewttkfq"fgufg"swg"ug"fgvgevô"nc"grkfgokc0""
Guvc"hwpekôp"gu"p"="h*v+"="522v5"−"42v
4"fqpfg"p"gu"gn"pûogtq"fg"rgtuqpcu"{"v"gu"
gn"vkgorq"ogfkfq"gp"fîcu."fqpfg"2"≤"v"≤"820"c+"ÀEwâpvcu"rgtuqpcu"ug"gurgtc"swg"ug"eqpvcikgp"cn"ecdq"fg"42"fîcuA"d+" ÀEwân" gu" nc" vcuc" rtqogfkq" swg" ug" gurgtc" c" swg" nc" grkfgokc" ug"
rtqrciwg"gpvtg"v"="32"{"v"="37A"e+"ÀEwân"gu" nc" vcuc" kpuvcpvâpgc"swg"ug"gurgtc"c"swg" nc"gphgtogfcf"ug"
rtqrciwg"cn"ecdq"fg"47"fîcuA"
5+"Fcfc"nc"hwpekôp"h*z+"="⎩⎨⎧
−≥−<−
3"""""zuk4z""""3"""""zuk""""3z
5<"
c+"Àgu"eqpvkpwc"gp"z"="−3A"d+"Àgu"fgtkxcdng"gp"z"="−3A"
Lwuvkhkswg"ncu"tgurwguvcu0"
6+"Fgvgtokpg"nqu"xcnqtgu"fg"c"{"d"vcngu"swg"nc"hwpekôp"h*z+"="⎩⎨⎧
≥+<3"""zuk""""dcz3"""zuk""""""""z4 ""
ugc"fgtkxcdng"gp"30"
7+"Gpewgpvtg" nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c" nc"ewtxc"{"="z5"−"7z"-"3"gp"gn"
rwpvq"R*3."−5+0"8+"Ug"ucdg"swg" nc" hwpekôp"{"="i*z+"fghkpkfc"itâhkecogpvg"ucvkuhceg"swg"
i)*5+" ="4
3." Àrwgfg" gpeqpvtct" nc"
gewcekôp"fg" nc" tgevc" vcpigpvg"c" nc"ewtxc"gp"z"="5A"Gp"ecuq"chktocvkxq."jânngnc0"
"9+"Wpc"rgtuqpc"xkclc"gp"cwvqoôxkn0"Nc"fkuvcpekc" tgeqttkfc"f" *gp"mknôogvtqu+"ug"
fguetkdg" " gp" " hwpekôp" " fgn" " vkgorq" " v" *gp"jqtcu+" " rqt" nc" ng{" "f*v+"=" 42v4"-"3:v."
fqpfg"""
El Cálculo Diferencial
399"
2"≤"v"≤"70"c+"Jcnng"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"gp"nc"rtkogtc"jqtc0"d+"Ecnewng"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"fwtcpvg"vqfq"gn"xkclg0"e+"Fgvgtokpg"nc"xgnqekfcf"fgn"cwvqoôxkn"c"ncu"vtgu"jqtcu0"
:+" Nc" hwpekôp" g*v+" =" v5" −" v
4" -" 3" gzrtguc" nc" rqukekôp" fg" wpc" rctvîewnc" swg" ug"
owgxg"c"nq"nctiq"fg"wpc"tgevc"gp"gn"okpwvq"v0"Fgvgtokpg"gn"okpwvq"v"∈"*2."5+"gp"gn"ewcn"nc"xgnqekfcf"eqkpekfg"eqp"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"[2."5]0";+"Gp"wp"ncdqtcvqtkq"ug"tgcnk|c"wp"gzrgtkogpvq"eqp"dcevgtkcu0"Fgurwêu"fg"v"jqtcu"nc"ecpvkfcf"fg"dcevgtkcu"gu"p"="h*v+0"
c+"ÀSwê"ukipkhkec"nc"gzrtgukôp"h*7+"=";82A"
d+"ÀSwê"ukipkhkec"nc"gzrtgukôp"h" )"*7+"="887A"ÀGp"swê"wpkfcf"ug"gzrtguc"guvg"tguwnvcfqA"""GLGTEKEKQU"FG"TGRCUQ"""
3+"Ugc"nc"hwpekôp"i*z+"="z4"−"4z0"c+"Jcnng"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"ewcpfq"z"ecodkc"fg"z2"="−3"c"z3"="40"d+" Fgvgtokpg" nc" gewcekôp" fg" nc" tgevc" ugecpvg" swg" wpg" nqu" rwpvqu" fg"
cduekucu"z2"="−3"{"z3"="40"e+"Qdvgpic"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"kpuvcpvâpgc"gp"z"="30"f+"Jcnng"nc"gewcekôp"g"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z"="30"
4+"Ugc"nc"hwpekôp"h*z+"="−z4"-"8z"−"70"Jcnng"nc"gewcekôp"fg"ncu"tgevcu"vcpigpvg"{"pqtocn"gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc"z"="60"
5+"Cpcnkeg"nc"fgtkxcdknkfcf"fg"nc"hwpekôp"o"<"[−6."4]"→"T"1"z"→"⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+
<
2""""zuk"""34z
2"""zuk"""""""""z
30"
6+"Fgvgtokpg"uk"nqu"ukiwkgpvgu"gpwpekcfqu"uqp"xgtfcfgtqu"q"hcnuqu0"Lwuvkhkswg"nc"tgurwguvc0"
c+"Uk"h")*z+"="i)*z+"rctc"vqfq"z."gpvqpegu"h*z+"="i*z+"rctc"vqfq"z0"d+"Uk"gzkuvg"h")*e+"gpvqpegu"h"gu"eqpvkpwc"gp"e0""
7+"Fgtkxg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu."crnkecpfq"nc"fghkpkekôp<"
" c+"j*z+"="z4"-"6z" " " " d+"h*z+"="z5"−"4z4"−"5" " "
" e+"t*z+"="5z4−
" " " " f+"6z44z5+z*i
+−= "
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" c+"h*z+"="5z"""gp"z2"="2" """d+"h*z+"=""z5""gp"z2"="−4""""e+"h*z+"=" z4 "gp""z2"="3"
9+"Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"nqu"itâhkequ"ukiwkgpvgu"tgurqpfc<"
" c+"Àgzkuvg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"rqt"k|swkgtfc"gp"z2A"
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" e+"Àgzkuvg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"gp"z2A"
El Cálculo Diferencial
39:"
" f+"gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"eqkpekfg"eqp"gn"fg"uw"fgtkxcfcA"Lwuvkhkswg0"" g+" fgvgtokpg" uk" gu" rqukdng." gn" ukipq" fg" nc" hwpekôp" fgtkxcfc" gp" vqfq" gn"kpvgtxcnq"fg"fghkpkekôp"fg"nc"hwpekôp0""" k+" " " " " " kk+"
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"
El Cálculo Diferencial
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703"Tgincu"fg"fgtkxcekôp0""704"Fgtkxcekôp"kornîekvc0""705"Tc|qpgu"fg"ecodkq"tgncekqpcfcu0""706"Fgtkxcfcu"fg"qtfgp"uwrgtkqt0""""""""""""""""""""
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" " " " Icnkngq"Icnkngk"""""""
El Cálculo Diferencial
5.1 Reglas de derivación Hemos visto la importancia de calcular la derivada de una función. Para cada
nuevo fenómeno que aparece y que queremos estudiar, tenemos una función
distinta que lo representa. Hasta ahora, cada vez que tuvimos que calcular una
derivada, aplicamos la definición. Esta tarea supone un trabajo enorme y no
muy interesante que se puede simplificar si encontramos reglas que nos
permitan deducir las funciones derivadas de las funciones dadas. Estas reglas
nos posibilitarán aplicar directamente la fórmula para el cálculo de la función
derivada sin necesidad de acudir a la definición.
Luego de la lectura y resolución de ejercicios, se espera que calcule la derivada
de funciones utilizando las reglas de derivación, que aplique la derivación
logarítmica en las funciones que corresponda y la regla de la cadena para
derivar funciones compuestas.
Derivada de la función constante Sea f(x) = k ; k ∈ R
f '(x) = 0 lím h
kk lím h
f(x)h)+f(x lím
0h0h0h →→→=−=
−= 0
La derivada de la función constante es la función nula.
Geométricamente se observa que cualquiera sea
x1 ∈ R, la gráfica de la recta tangente en el punto
de abscisa x1 coincide con el gráfico de f.
Como la tangente es paralela al eje x, la pendiente
es nula y se cumple que f '(x1) = 0.
Esto vale para todos los números reales y, por lo tanto, f '(x) = 0.
Si f(x) = k ⇒ f '(x) = 0, ∀x.
Derivada de la función identidad Sea la función identidad, f(x) = x.
f '(x) = 1 lím h
x h+ xlím h
f(x)h)+f(x lím
0h0h0h →→→=−=
− = 1 ⇒ f '(x) = 1.
Geométricamente se observa que cualquiera sea el
valor de x1 ∈ R, la recta tangente al gráfico de f en el
punto de abscisa x1 coincide con el gráfico de f.
Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de
la derivada, f '(x1) es la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función en el punto.
En este caso f '(x1) = 1 cualquiera sea x1 ∈ R.
Por lo tanto, si f(x) = x ⇒ f '(x) = 1, ∀x.
180
El Cálculo Diferencial
3:3"
"Fgtkxcfc"fg"wpc"uwoc"fg"hwpekqpgu"Ugcp" h*z+"{"i*z+"fqu" hwpekqpgu"fgtkxcdngu0"Uw"uwoc" tguwnvc"wpc"pwgxc" hwpekôp"H*z+"="h*z+"-"i*z+0"Fgugcoqu"ecnewnct"nc"fgtkxcfc"fg"H*z+0"""
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"H*z+""j+H*z"nîo2j
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"i*z+h*z+j+-i*z-j+-h*z"nîo2j
−−→
"
H)*z+"=" "j
"i*z+j+-i*z"nîo"-
j"h*z+j+-h*z"
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Gn" rtkogt" vêtokpq" fgn" ugiwpfq" okgodtq" gu" nc" fgtkxcfc" fg" nc" hwpekôp" h" {" gn"
ugiwpfq"vêtokpq"gu"nc"fgtkxcfc"fg"i."rqt"nq"vcpvq<""H)*z+"="h")*z+"-"i")*z+"Nc"fgtkxcfc"fg"wpc"uwoc"fg"hwpekqpgu"gu"kiwcn"c"nc"uwoc"fg"ncu"fgtkxcfcu"fg"fkejcu"hwpekqpgu0"Uk" h*z+" {" i*z+" uqp" hwpekqpgu" fkhgtgpekcdngu." gpvqpegu" uw" uwoc" {" =" h*z+" -" i*z+"vcodkêp"gu"fkhgtgpekcdng"{"tguwnvc"{)"="h")*z+"-"i")*z+0""Nc"tginc"ug"igpgtcnk|c"rctc"wpc"uwoc"cnigdtckec"fg"hwpekqpgu0""Fgtkxcfc"fgn"rtqfwevq"fg"wpc"eqpuvcpvg"rqt"wpc"hwpekôp"Ugc"""{"="m"0"h*z+"."m"∈"T0"
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Uk"{"="m"0"h*z+"."m"∈"T"⇒"{)"="m0"h")*z+""Fgtkxcfc"fg"wpc"eqodkpcekôp"nkpgcn"fg"hwpekqpgu""
Uk""{"=" "*z+)hm"""{)"""+z*hm k
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3kkk ∑∑ =⇒
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"H*z+""j+H*z"nîo2j
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H)*z+"= "j
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"
"
El Cálculo Diferencial
3:4"
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H)*z+"=" "j
"h*z+0i*z+j+-h*z+0i*z-j+-h*z+0i*zj+-j+0i*z-h*z"nîo2j
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H)*z+"=" [ ] [ ]"
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⎤⎢⎣
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⎤⎢⎣
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⎤⎢⎣
⎡ −" -" " "
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⎤⎢⎣
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⎤⎢⎣
⎡ −→
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H)*z+"="h")*z+0i*z+"-"h*z+0i)*z+"Rqt"nq"vcpvq."uk""h*z+"{""i*z+""uqp""hwpekqpgu"fkhgtgpekcdngu."gpvqpegu""uw"rtqfwevq"
{"="h*z+0i*z+"vcodkêp"gu"fkhgtgpekcdng"{"tguwnvc"{)"="h")*z+0i*z+"-"h*z+0i)*z+0""Gu"fgekt."nc"fgtkxcfc"fg"wp"rtqfwevq"fg"fqu"hwpekqpgu"gu"kiwcn"c"nc"fgtkxcfc"fg"nc"rtkogtc"rqt"nc"ugiwpfc"ukp"fgtkxct"oâu"nc"rtkogtc"ukp"fgtkxct"rqt"nc"fgtkxcfc"fg"nc"ugiwpfc0""Rctc"ukornkhkect."gu"eqoûp"wvknk|ct"nc"ukiwkgpvg"pqvcekôp<"
Uk"{"="w0x"gpvqpegu"{"="w)0x"-"w0x)"fqpfg"ug"gpvkgpfg"swg"w"{"x"uqp"ncu"hwpekqpgu"fgtkxcdngu"w"="h*z+"{"x"="i*z+0"Uk"vwxkêugoqu"gn"rtqfwevq"fg"xctkcu"hwpekqpgu<"
{"="h3*z+0h5*z+000hp*z+"q"ukorngogpvg"{"="w0x0y"0000|"*p"hwpekqpgu+."nc"fgtkxcfc"ugtîc<"
{)"="w)0x0y"000|"-"w0x)0y"000|"-"w0x0y)000|"-"0000000-"w0x0y"0000|)"Gp" nc"fgtkxcfc"crctgegtâp"p"uwocpfqu"fg"p" hcevqtgu"ecfc"wpq"fg"ocpgtc" vcn"swg"gp"ecfc"uwocpfq"crctgegtâ"wpc"fg"ncu"hwpekqpgu"fgtkxcfcu"{"ncu"tguvcpvgu"*p"−"3+"ukp"fgtkxct0""Fgtkxcfc"fg"wp"eqekgpvg"
Uk"h*z+"{"i*z+"uqp"fgtkxcdngu"{"i*z+"≠"2"."gpvqpegu"nc"fgtkxcfc"fg"{"=" "+z*i+z*hgu<""
{)"=" "+z*i
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"
El Cálculo Diferencial
3:5"
Gu"fgekt." nc"fgtkxcfc"fg"wp"eqekgpvg"fg"fqu" hwpekqpgu"gu" nc"fkhgtgpekc"gpvtg"gn"rtqfwevq" fg" nc" fgtkxcfc" fg" nc" rtkogtc" hwpekôp" rqt" nc" ugiwpfc" hwpekôp" {" gn"rtqfwevq"fg"nc"rtkogtc"hwpekôp"rqt"nc"fgtkxcfc"fg"nc"ugiwpfc."vqfq"fkxkfkfq"rqt"gn"ewcftcfq"fg"nc"ugiwpfc"hwpekôp0""
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"
El Cálculo Diferencial
3:6"
Glgornq0" Ecnewng." wucpfq" tgincu" rtâevkecu." nc" fgtkxcfc" fg" ecfc" wpc" fg" ncu"hwpekqpgu"fcfcu<"
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uw"fgtkxcfc"gu"nc"eqpuvcpvg"rqt"nc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp."*⁄8z+)"="−80""Gn"ugiwpfq"vêtokpq"gu"wpc"eqpuvcpvg"{"uw"fgtkxcfc"gu"egtq0""
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{)"="807z6"⁄"505z4"⁄"2"="52z6"⁄";z40""
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Rqt"nq"vcpvq<""{)"="2"−":z""⇒"{)"="⁄:z0""
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El Cálculo Diferencial
3:7"
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65
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z4
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45
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Glgornq0"Fcfc" nc" hwpekôp" h" <"T"−" }2Ä"→"T" 1" z"→"z3 ." kpfkswg" nqu"rwpvqu"gp" nqu"
ewcngu"nc"tgevc"vcpigpvg"gu"rctcngnc"c"nc"tgevc"{"-"6z"−"4"="20"Rctc"swg""nc""tgevc""vcpigpvg""c""nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp""ugc""rctcngnc""c""nc""tgevc"{"-"6z"−"4"="2."codcu"fgdgp"vgpgt"nc"okuoc"rgpfkgpvg."o"="⁄"60"""Nc" rgpfkgpvg" fg" nc" tgevc" vcpigpvg" c" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" gp" gn" rwpvq" fg"
cduekuc"z2"gu"nc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp"gxcnwcfc"gp"z2."gu"fgekt."o"="h")*z2+0""
Nc"fgtkxcfc"fg"h*z+"="z3 "gu""h")*z+"="
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342
−=− "⇒""42z6
3 = "⇒""z2"=" 43 ""rgtq"vcodkêp"""z2"="− 4
3 0""
El Cálculo Diferencial
3:8"
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rctcngncu"c"nc"tgevc"fcfc."wpc"gp"z2"=" 43 "{"nc"qvtc"gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc""−
43 0""
Rctc" fkejqu" xcnqtgu" jcnncoqu" ncu"qtfgpcfcu" uwuvkvw{gpfq" gp" nc" ng{" swg"
fghkpg" nc" hwpekôp<" 4
433
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⎝⎛ 4".43 { ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −− 4".43 uqp"rctcngncu"c"
nc" tgevc" {" -" 6z" −" 4" =" 20" Vqfq" rwgfg"qdugtxctug"gp"nc"itâhkec0"
""
Glgornq0"Gpewgpvtg" nqu"rwpvqu"fg" nc"itâhkec"fg"i*z+"="5z6"-"6z5"−"34z4"gp" nqu"swg"nc"tgevc"vcpigpvg"gu"jqtk|qpvcn0""Uk" nc" tgevc" vcpigpvg"gu"jqtk|qpvcn"uw"rgpfkgpvg"gu"pwnc0"Rqt" nq" vcpvq."fgdgoqu"
jcnnct"gn"xcnqt"fg"z2"vcn"swg"i)*z2+"="20""Eqoq"i")*z+"="34z5"-"34z4"−"46z."fgdg"ugt<""
2z46z34z34 242
52 =−+ "⇒"""34z20 ⎟
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
3;7"
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3 44
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El Cálculo Diferencial
3;8"
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El Cálculo Diferencial
" 3;9"
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
" 422"
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Ug"ucdg"swg" :fvf{
= 0"Eqoq"z0{"="37."uk"z"="3"tguwnvc"{"="370"
Uwuvkvw{gpfq"qdvgpgoqu< fvfz 037"-"30:"="2"""⇒""
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37:
fvfz −= 0"
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guvâ"xcekcpfq"c"wpc"vcuc"fg"8"okpo5
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tcfkq" okfg" 34"o0" Fgvgtokpg" nc" tcrkfg|" c" nc" swg" fkuokpw{g" gn" pkxgn" fgn"ciwc"ewcpfq"guvâ"c"wpc"rtqhwpfkfcf"fg"32"o0
"Fghkpcoqu" ncu" xctkcdngu" swg" kpvgtxkgpgp" gp" gn"rtqdngoc"{"tgcnkegoqu"nc"hkiwtc"fg"cpânkuku<"v<" ecpvkfcf" fg" okpwvqu" swg" jcp" vtcpuewttkfq" fgufg"swg"gn"ciwc"eqogp|ô"c"ucnkt"fgn"vcpswg0"j<"ecpvkfcf"fg"ogvtqu"fg"cnvwtc"fgn"pkxgn"fgn"ciwc"c"nqu"v"okpwvqu0"t<"nc"ecpvkfcf"fg"ogvtqu"fgn"tcfkq"fg"nc"uwrgthkekg"fgn"ciwc"c"nqu"v"okpwvqu0""
x<" ecpvkfcf" fg" o5" fg" ciwc" gp" gn" vcpswg" c" nqu" v"
okpwvqu0""
El Cálculo Diferencial
" 423"
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nc"cnvwtc"j"eqp"tgurgevq"cn"vkgorq"ewcpfq"nc"cnvwtc"gu"fg"32o."32jfv
fj
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Gp" ewcnswkgt" kpuvcpvg" gn" xqnwogp" fgn" ciwc" gp" gn" vcpswg" rwgfg" gzrtguctug" c"
vtcxêu"fg"nc"hôtownc"fgn"xqnwogp"fg"wp"eqpq<"x"="53 πt4j0"Ug"qdugtxc"swg"x."j"{"t"
uqp"hwpekqpgu"fg"v0"
Eqpqegoqufvfx {"fgugcoqu"ecnewnct"
fvfj 0"Pgegukvcoqu"rctc"gnnq"wpc"gewcekôp"
swg"kpxqnwetg"uqncogpvg"c"ncu"xctkcdngu"x"{"j0"Gp"rtkogt" nwict"fgdgoqu"gzrtguct" t"gp" hwpekôp"fg"j0"Fcfq"swg" nqu" vtkâpiwnqu"vkgpgp"uwu"âpiwnqu"tgurgevkxcogpvg"kiwcngu."tguwnvcp"ugoglcpvgu."rqt"nq"vcpvq"ug"
xgtkhkec"swg"uwu"ncfqu"uqp"rtqrqtekqpcngu."gu"fgekt"<"4634
jt = """fg"fqpfg""t"=" j
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343x π= ."fqpfg"x"{"j"uqp"hwpekqpgu"fg"v0"
Fgtkxcoqu"kornîekvcogpvg"tgurgevq"fg"v<"fvfjj5
343
fvfx 4π= ""⇒""
fvfjj
63
fvfx 4π=
Guvc"gewcekôp"ug"nncoc"fg"tc|qpgu"fg"ecodkq"tgncekqpcfcu."{c"swg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"fg"x"guvâ"nkicfc"c"nc"fg"j0"
Uwuvkvw{gpfq"fvfx "rqt"⁄8"{"fgurglcpfq"
fvfj "tguwnvc<"""
⁄8 = fvfjj
63 4π ⇒
4j
46fvfj
π−=
Rqt"nq"vcpvq" =−=−= ππ=
46.2
320
46fvfj
432j
⁄2.2986"
Gn" pkxgn" fg" ciwc" dclc" c" tc|ôp" fg" 2.2986"okpo ." gu" fgekt." 9.86"
okpeo ewcpfq" gn"
ciwc"guvâ"c"wpc"rtqhwpfkfcf"fg"32"o0""Rtqdngoc"
Wpc"guecngtc"fg"9"o"fg"nqpikvwf"guvâ"crq{cfc"gp"wpc"rctgf0"Uk"nc"dcug"
fg"nc"guecngtc"ug"ugrctc"fg"nc"rctgf"c"tc|ôp"fg"2.70ugi
o .""Àc"swê"tc|ôp"
guvâ"dclcpfq"uw"gzvtgoq"uwrgtkqt"ewcpfq"nc"dcug"fg"nc"guecngtc"guvâ"c"4"o"fg"nc"rctgfA"
"
El Cálculo Diferencial
" 424"
Fghkpkoqu"ncu"xctkcdngu<"v<"ecpvkfcf"fg"ugiwpfqu"swg"jcp"vtcpuewttkfq"fgufg"swg"eqokgp|c"c"fgunk|ctug"nc"guecngtc"0"z<" fkuvcpekc" *gp"ogvtqu+" fg" nc" dcug" fg" nc" guecngtc" c" nc"rctgf0"j<" cnvwtc" *gp" ogvtqu+" uqdtg" nc" rctgf" c" nc" swg" nngic" gn"gzvtgoq"uwrgtkqt"fg"nc"guecngtc0"g<"nqpikvwf"*gp"ogvtqu+"fg"nc"guecngtc0" "
Nc"gzrtgukôp"›nc"dcug"fg" nc"guecngtc"ug"cnglc"fg" nc"rctgf"c"tc|ôp"fg"2.7ugio
fi"
ukipkhkec" swg" nc" xgnqekfcf" eqp" nc" swg" ecodkc" nc" fkuvcpekc" gpvtg" nc" dcug" fg" nc"
guecngtc" eqp" nc" rctgf" eqp" tgurgevq" cn" vkgorq" gu" 2.7ugio ." gu" fgekt"
fvfz =" 2.70"
Fgdgoqu" ecnewnct" nc" xgnqekfcf" gp" swg" guvâ" dclcpfq" gn" gzvtgoq" uwrgtkqt" eqp"
tgurgevq"cn"vkgorq"v."gu"fgekt."fvfj ewcpfq"z"="40""
Gp" nc" hkiwtc" swgfc" fgvgtokpcfq" wp" vtkâpiwnq" tgevâpiwnq" rqt" nq" swg" gu" rqukdng"crnkect"gn"vgqtgoc"fg"Rkvâiqtcu0"Rqt"nq"vcpvq"ncu"xctkcdngu"swgfcp"tgncekqpcfcu""
rqt"nc"gewcekôp"g4""="z
4"-"j
40"
Ucdkgpfq"swg"g"="9."gpvqpegu"94""="z4"-"j
4""
Fgtkxcpfq"kornîekvcogpvg"eqp"tgurgevq"c"v<""2"="4zfvfz "-"4j
fvfj """"
Guvc"gewcekôp"ug"nncoc"gewcekôp"fg"tc|qpgu"fg"ecodkq"tgncekqpcfcu."{c"swg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"fg"j"guvâ"nkicfc"c"nc"fg"z0"
Fgurglcpfq"fvfj "qdvgpgoqu<"
fvfj "="
fvfz
jz− ""*3+"
Gp"nc"gzrtgukôp"94""="z
4"-"j
4."eqpukfgtcpfq"z"="4"ug"qdvkgpg<""
94""="4
4"-"j
4"""⇒""""j"=" 67 0"
Eqoq"fvfz ="2.7
0ugio ."j"= 67 o""{""z"="4"o"tggornc|cpfq"gp"*3+"tguwnvc<"""
fvfj "="
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o67
o4− """"""⇒""fvfj "="
ugio
67
3− """""""
"Gn"gzvtgoq"uwrgtkqt"fg" nc"guecngtc"fguekgpfg"c"tc|ôp"fg"ugio
67
3 *37"
ugieo + "
ewcpfq"nc"dcug"fg"nc"guecngtc"ug"gpewgpvtc"c"4"o"fg"nc"rctgf"{"ug"cnglc"c"tc|ôp"
fg"2.7ugio "*72"
ugieo +"fg"nc"okuoc0"
""Rtqdngoc"
Nc" gzrtgukôp" swg" fguetkdg" nc" fgocpfc" rctc" ekgtvq" vkrq" fg" ecokuc" guvâ"fcfc" rqt" 4rz" -" 87r" −" 6;72" =" 2." fqpfg" z" ekgpvqu" fg" ecokucu" uqp"fgocpfcfcu"rqt"ugocpc"ewcpfq"r"fônctgu"gu"gn"rtgekq"rqt"ecokuc0"Uk""""
El Cálculo Diferencial
" 425"
wpc"ecokuc"ug"xgpfg"c"&"52"guvc"ugocpc"{"gn"rtgekq"etgeg"c"wpc"vcuc"fg"&"2.42"rqt"ugocpc."ecnewng"nc"vcuc"fg"xctkcekôp"fg"nc"fgocpfc0"
"Fgvgtokpgoqu"ncu"xctkcdngu"fgn"rtqdngoc<"v<"vkgorq."gp"ugocpcu."fgufg"swg"gn"rtgekq"eqogp|ô"c"uwdkt0""z<"ekgpvqu"fg"ecokucu"fgocpfcfcu"rqt"ugocpc0"r<"rtgekq"*gp"fônctgu+"rqt"ecokuc0"
Gn"rtgekq"etgeg"c"wpc"vcuc"fg"&"2.42"rqt"ugocpc."gu"fgekt" 42.2fvfr
= 0"
Fgdgoqu"fgvgtokpct"fvfz 0"
Gn"oqfgnq"ocvgoâvkeq"swg"tgncekqpc"ncu"xctkcdngu"swg"fgrgpfgp"fg"v"guvâ"fcfq"rqt"4rz"-"87r"−"6;72"="2."fqpfg"r"{"z"uqp"hwpekqpgu"fg"v."ugiûp"guvâp"fghkpkfcu"gp"gn"gpwpekcfq"fgn"rtqdngoc0"Fgtkxcpfq"okgodtq"c"okgodtq"eqp"tgurgevq"c"v"tguwnvc<""
4fvfrz"-"4r
fvfz "-"87
fvfr
="2""""⇒""""*4z"-"87+fvfrz"-"4r
fvfz "="2"""
Fgurglcpfq"fvfz "qdvgpgoqu<"
r4fvfr+87z4*
fvfz
−−= "
Uk"gn"rtgekq"fg"wpc"ecokuc"gu"&"52."tggornc|coqu"gp"gn"oqfgnq"swg"tgncekqpc"ncu"fqu" xctkcdngu" z" {"r"rctc"qdvgpgt" nc" ecpvkfcf"fg"ecokucu"fgocpfcfcu"rqt"ugocpc"ewcpfq"gn"rtgekq"rqt"ecokuc"gu"fg"&"520"""Cuî.""40520z"-"87052"⁄"6;72"="2"⇒"82z"="5222""⇒""z"="720"
Eqpukfgtcpfq" 42.2fvfr
= ." r" =" 52" {" z" =" 72." tggornc|cpfq" gp" nc" gzrtgukôp"
qdvgpkfc"rctc"fvfz ."tguwnvc<"" 77.2
520442.2+0877204*
fvfz −=
−−= 0"
Guvq" kpfkec" swg" nc" fgocpfc" fg" ecokucu" fgetgeg" c" tc|ôp" fg" 77" ecokucu" rqt"ugocpc"ewcpfq"gn"rtgekq"rqt"ecokuc"gu"fg"&"520""Wp"rtqdngoc"fg"vcucu"fg"xctkcekôp"tgncekqpcfcu"gu"cswgn"swg"kpxqnwetc"vcucu"fg"xctkcekôp" fg" xctkcdngu" tgncekqpcfcu0" Gp" crnkecekqpgu" fgn" owpfq" tgcn" swg"kornkecp" vcucu" fg" xctkcekôp" tgncekqpcfcu." ncu" xctkcdngu" vkgpgp" wpc" tgncekôp"gurgeîhkec"rctc"xcnqtgu"fg"v."fqpfg"v"gu"wpc"ogfkfc"fg"vkgorq0"Gp"igpgtcn"guvc"xctkcekôp" ug" gzrtguc" ogfkcpvg" wpc" gewcekôp." nc" ewcn" tgrtgugpvc" wp" oqfgnq"ocvgoâvkeq0""
Uwigtgpekcu"rctc"tguqnxgt"wp"rtqdngoc"fg"vcucu"fg"xctkcekôp"tgncekqpcfcu0"3+"Ngc"ewkfcfqucogpvg"gn"rtqdngoc0"Uk"gu"rqukdng"tgcnkeg"wpc"hkiwtc0"4+"Fghkpc"ncu"xctkcdngu"fgn"rtqdngoc."eqogp|cpfq."rqt"glgornq."rqt"v"{"nwgiq"ncu"qvtcu"xctkcdngu"swg"fgdgp"kpfkect"uw"fgrgpfgpekc"fg"v0"5+"Guetkdc" nqu"fcvqu"eqpqekfqu"cegtec"fg"ncu"xctkcdngu"{"fg"uwu"fgtkxcfcu"eqp"tgurgevq"c"v0"5+"Fgvgtokpg"nq"swg"fgugc"jcnnct0""
El Cálculo Diferencial
" 426"
6+"Guetkdc" wpc" gewcekôp" swg" tgncekqpg" ncu" xctkcdngu" swg"fgrgpfgp"fg" v0"Guvc"gewcekôp"ugtâ"wp"oqfgnq"ocvgoâvkeq"fg"nc"ukvwcekôp0"7+"Fgtkxg"eqp"tgurgevq"c"v"nqu"fqu"okgodtqu"fg"nc"gewcekôp"qdvgpkfc"gp"gn"rcuq"cpvgtkqt"rctc"tgncekqpct"ncu"vcucu"fg"xctkcekôp"fg"ncu"xctkcdngu0"8+"Uwuvkvw{c"nqu"xcnqtgu"fg"ncu"ecpvkfcfgu"eqpqekfcu"gp"nc"gewcekôp"{"fgurglg"nc"ecpvkfcf"fgugcfc0"9+"Guetkdc"wpc"eqpenwukôp"swg"tgurqpfc"c"ncu"rtgiwpvcu"fgn"rtqdngoc0""Rtqdngoc"
Ug" cttqlc" wpc" rkgftc" gp" wp" guvcpswg" vtcpswknq." hqtoâpfqug" qpfcu"ektewnctgu"eqpeêpvtkecu"swg"ug"fkurgtucp0"Uk"gn"tcfkq"fg"nc"tgikôp"chgevcfc"
etgeg" c" wpc" vcuc" fg" 38"ugieo ." Àc" swê" vcuc" etgeg" gn" âtgc" fg" nc" tgikôp"
chgevcfc"ewcpfq"uw"tcfkq"gu"fg"6"eoA""Tgcnk|coqu"wpc"hkiwtc"fg"cpânkuku<"Fghkpkoqu"ncu"xctkcdngu"fgn"rtqdngoc<"v<"ecpvkfcf"fg"okpwvqu"vtcpuewttkfqu"fgufg"swg"nc"rkgftc"vqeô"gn"ciwc0"t<"tcfkq"fg"nc"tgikôp"chgevcfc0"C<"âtgc"fg"nc"tgikôp"chgevcfc0
Ug" ucdg" swg" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" fgn" tcfkq" eqp" tgurgevq" cn" vkgorq" v" gu" fg"
38ugieo ."q"ugc"
ugieo38
fvft = 0"
Fgugcoqu"jcnnct"c"swê"vcuc"etgeg"gn"âtgc"fg"nc"tgikôp"chgevcfc"ewcpfq"uw"tcfkq"
gu"fg"6"eo."gu"fgekt."fvfC "ewcpfq"t"="60"
Gn"oqfgnq"ocvgoâvkeq"swg"tgncekqpc"ncu"xctkcdngu"C"{"t"swg"fgrgpfgp"fg"v."guvâ"
fcfq"rqt"gn"âtgc"fgn"eîtewnq<"C"="πt40"
Fgtkxcpfq"okgodtq"c"okgodtq"eqp"tgurgevq"c"v"tguwnvc<"fvftt4
fvfC π= "0"
Uwuvkvw{gpfq"t"="6"eo""{""ugieo38
fvft = "gp"nc"gzrtgukôp"cpvgtkqt"qdvgpgoqu<""
fvftt4
fvfC π= """⇒"" 3806004
fvfC π= """⇒""" π= 34:
fvfC "
Gn"âtgc"fg"nc"tgikôp"chgevcfc"etgeg"c"wpc"tc|ôp"fg"34:π"ugieo
4
"ewcpfq"uw"tcfkq"
gu"fg"6"eo0"""GLGTEKEKQU"
3+"Ugcp"z"g"{"fqu"hwpekqpgu"fgtkxcdngu"fg"v"tgncekqpcfcu"rqt"nc"gzrtgukôp""""
El Cálculo Diferencial
" 427"
6z"-"7{"="80"Ucdkgpfq"swg" 4fvf{
= ."qdvgpic"fvfz 0""
4+"Ugcp"z"g"{"fqu"hwpekqpgu"fgtkxcdngu"fg"v"tgncekqpcfcu"rqt"nc"gzrtgukôp"
5ugpz"-"6equ{"="50"Ucdkgpfq"swg" 4fvf{
= ."qdvgpic"fvfz "gp" ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ππ
5".
80""
5+"Fgvgtokpg"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"itâhkec"fg";z4"-"{
4"=";"gp"gn"
rwpvq" ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ − :.53 0"Gpewgpvtg" nc"tgevc" vcpigpvg"{"tgrtgugpvg"codcu"ewtxcu"gp"gn"
okuoq"itâhkeq0"6+"Ug"guvâ"hqtocpfq"wpc"dqnc"fg"pkgxg"fg"oqfq"swg"uw"xqnwogp"ug"kpetgogpvc"
c"wpc"vcuc"fg"okpo6.45
0"Fgvgtokpg"nc"vcuc"c"nc"swg"gn"tcfkq"cwogpvc"ewcpfq"gn"
fkâogvtq" fg" nc" dqnc" gu" fg" 3.4"o0" " Tgewgtfg" swg" gn" xqnwogp" fg" nc" guhgtc" ug"
ecnewnc"eqp"nc"hôtownc"x"=5t
56 π 0"
"TGURWGUVCU" "
3+"47
fvfz −= "" " 4+"
5:
fvfz = "
5+"Nc"rgpfkgpvg"gu" 28.3:
5 ≈ 0""
Nc"gewcekôp"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"gu"{"="3.28z"⁄"5.3:0"
6+"okpo
57π
"
""""""
"""GLGTEKEKQU" KPVGITCFQTGU" 703" TGINCU" FG" FGTKXCEKłP0" 704"FGTKXCEKłP"KORN¯EKVC"0"705"TC\QPGU"FG"ECODKQ"TGNCEKQPCFCU""3+"Ecnewng"ncu"ukiwkgpvgu"fgtkxcfcu<"
" c+"{"="z4"−"7z5"-"6
vi π " " " " d+"{"=" zznp4z43 6
+− "
" e+"{"=" viz4z54npgz −+− "" " " f+"{"=" ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 4z3np "
" g+"{"=" zugpg5 4z6 +− " " " "" h+"{"="z
z4
g
g3+ "
El Cálculo Diferencial
g) y = (tgx)x h) y = ( ) 2
x5xcos
i) y = x2x
.cosx j) y = ln(5ex + 1)
2) Si a(2) = 1, b(2) = 10, c(2) = −2, a'(2) =2
1, b'(2) = 3 y c'(2) = 4, halle:
a) ( )2
'
cb.a
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ b) ( )( )( ) ( )2
'cb.ba ++
3) Dadas gráficamente las funciones f(x) y g(x) y sabiendo que u(x) = f(x).g(x) y
v(x) = )x(g
)x(f, encuentre, si existen:
a) u'(1) b) v'(5) c) u'(2)
4) Calcule los valores de n y m para que la función f(x) =
sea derivable en todos los números reales.
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−≤+−
1> xsi nxx
1 xsi mx5x2
2
5) En la gráfica, la recta es tangente a la
parábola. Encuentre el valor de b.
6) Halle los puntos de la gráfica de y = 1xxx31 23
−−+ donde la pendiente de
la recta tangente es −1.
206
El Cálculo Diferencial
" 429"
9+"Jcnng"gn"ô"nqu"rwpvqu"uqdtg"nc"itâhkec"fg"h*z+"="z5"−"z4"−"7z"-"4"fqpfg"nc"tgevc"vcpigpvg"ugc"rctcngnc"c"nc"tgevc"swg"rcuc"rqt"nqu"rwpvqu*−5."4+"{"*3."36+0":+"Fcfc"nc"hwpekôp"{"="−4z4"−"4z"-"6."jcnng"gn"rwpvq"gp"gn"ewcn"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"ewtxc"gu"rctcngnc"cn"glg"fg"cduekucu"{"nc"gewcekôp"fg"fkejc"vcpigpvg0"
;+" "Jcnng" nqu"rwpvqu"fg" nc"itâhkec"fg" nc" hwpekôp"{"="z5"−"5z"gp" nqu"swg" nc"tgevc"vcpigpvg"gu"jqtk|qpvcn0"Ecnewng"nc"gewcekôp"fg"ncu"vcpigpvgu0"Itchkswg0"32+"Fgtkxg"kornîekvcogpvg"ncu"hwpekqpgu"<"
c+"z4{4"⁄"4z"="5" " d+"z
4"⁄"{
4"="38"
33+"Uwrqpkgpfq"swg"z"g"{"uqp"hwpekqpgu"fgtkxcdngu"fg"v."jcnng"nq"rgfkfq"gp"ecfc"ecuq<"
c+"{"="z4"⁄"6z""="ecnewng"fvf{"ewcpfq"z"="6."ucdkgpfq"swg" 3
fvfz = 0"
d+"z4"-"{
4"=";""="ecnewng"
fvfz "ewcpfq"z"="4."ucdkgpfq"swg" 5
fvf{
−= 0"
""
706"Fgtkxcfcu"fg"qtfgp"uwrgtkqt"""Ugc" h*z+" wpc" hwpekôp"fgtkxcdng"gp"wp" ekgtvq" kpvgtxcnq" K0" Nc" hwpekôp"fgtkxcfc"ug"
fghkpg"fg"nc"ukiwkgpvg"ocpgtc<"h")*z+"= "j
h*z+j+-h*z"nîo2j
−→
."ukgortg"swg"guvg"nîokvg"
gzkuvc0"
Rncpvgcoqu"gn"nîokvg "j
*z+"hj+-*z"h"nîo
))2j
−→
0""
Uk"guvg"nîokvg"gzkuvg"gp"vqfqu"nqu"rwpvqu"fg"K"*q"cn"ogpqu"gp"wp"uwdeqplwpvq"fg"K+"
ug"fghkpg"wpc"pwgxc"hwpekôp"swg"gu"nc"fgtkxcfc"fg"h")*z+0""C"guvc"hwpekôp"ug"nc"nncoc"fgtkxcfc"ugiwpfc"fg"h*z+"{"ug"nc"ukodqnk|c"h"))*z+"q"{))"*vcodkêp"ug"nc"nncoc"fgtkxcfc"fg"ugiwpfq"qtfgp+0"
Ukodônkecogpvg<"h"))*z+"=" "j
*z+"hj+-*z"h"nîo
))2j
−→
"
Uk" nc"hwpekôp"h" ))*z+"cfokvg"fgtkxcfc."nc"pwgxc"hwpekôp"ug"nncoc"fgtkxcfc"vgtegtc"fg" h*z+" {" ug" kpfkec" h" )))*z+" q" {)))0" Fg" guvc"ocpgtc" ug" rwgfgp" ugiwkt" fghkpkgpfq"qvtcu" hwpekqpgu" fgtkxcfcu" fg" oc{qt" qtfgp." ncu" swg" tgekdgp" gn" pqodtg" fg"fgtkxcfcu"uwegukxcu"q"fgtkxcfcu"fg"qtfgp"uwrgtkqt0"Rctc"pq"jcegt"vcp"rgucfc"nc"pqvcekôp."c"rctvkt"fg"nc"ewctvc"fgtkxcfc"ug"wvknk|cp"cniwpcu"fg"ncu"pqvcekqpgu"ukiwkgpvgu<"
hkx*z+"."h
x*z+"."h
xk*z+".0000000""""q"dkgp""""""h
*6+*z+"."h
*7+*z+"."h
*8+*z+".0000000"
"Nc" ugiwpfc" hqtoc" gu" oâu" rtâevkec" {c" swg" rwgfg" wuctug" ewcpfq" ug" swkgtg"kpfkect"wp"qtfgp"fg"fgtkxcekôp"pq"gurgekhkecfq0"""
Ug"guetkdg""h"*p+*z+"{"ug"ngg"fgtkxcfc"p/êukoc"fg"h*z+0"
""
El Cálculo Diferencial
Ejemplo. Calcule las siguientes derivadas:
a) f ''(x) sabiendo que f '(x) = 3 x 2
b) f ''(x) sabiendo que f (x) = ln (3x − 1)
c) f '''(x) sabiendo que f '(x) = x8x31 2
+
a) Derivando f '(x) obtenemos f ''(x): f ''(x) =
'31
x 2⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= 3
21
3
1
x3
2x
3
1.2
−−=
b) f (x) = ln (3x − 1)
Derivando f(x) obtenemos: f '(x) = 1x3
33.1x3
1−
=−
Derivando nuevamente: f ''(x) = ( )21x3
9
−−
c) Derivando f '(x) obtenemos: f ''(x) = 8x32 +
Derivando nuevamente: f '''(x) = 32
EJERCICIO
Calcule:
a) f ''(x) sabiendo que f(x) = 3x2 − 5.
b) f ''(x) sabiendo que f '(x) = x4.
c) f iv
(x) sabiendo que f '''(x) = 2x + .
d) f iv
(x) sabiendo que f ''(x) = x2
3
+−−
.
RESPUESTAS
a) f ''(x) = 6 b) f ''(x) = 4x3 c) f
iv(x) =
2x2
1
+ d) f
iv(x) =
( )3x2
6
+−−
Aplicación Según vimos, la velocidad es la primera derivada de la función posición con
respecto al tiempo.
Si la función s(t) indica la posición del objeto en el instante t, la velocidad está
dada por v(t) = s'(t) = dtds .
La rapidez es el valor absoluto de la velocidad.
Rapidez = ⎜v(t) ⎜ = ⎜s'(t) ⎜ = dtds .
208
El Cálculo Diferencial
La aceleración se define como tiempo de intervalovelocidad la de variacióna = , es decir como la
razón de cambio de la velocidad. Si tenemos en cuenta esta definición y el
concepto de derivada, concluimos que la aceleración es la derivada de la
función velocidad y, por lo tanto, la segunda derivada de la función posición.
dt
sd(t)s
dt
dv(t)v)t(a
2
2
''' == == .
La aceleración mide que tan rápido gana o pierde rapidez un objeto.
Dado que la rapidez es el valor absoluto de la velocidad, se pueden presentar
distintas situaciones, como se muestra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo. La figura muestra la velocidad v(t) = s'(t) de una partícula que se
mueve sobre una recta coordenada.
Nota. Si durante cierto tiempo la aceleración se mantiene igual a cero es porque
la velocidad es constante (movimiento uniforme).
Si la aceleración es cero en un instante es porque la velocidad
momentáneamente no cambia (ese momento indica la transición entre ganar y
perder rapidez o viceversa).
Ejemplo. Un objeto se mueve horizontalmente de modo que su posición está
determinada por la expresión s(t) = t3 − 3t
2 − 9t + 5 , donde s se mide en metros,
t en segundos y t ≥ 0.
a) Encuentre la función aceleración.
b) Represente en un mismo sistema de coordenadas las funciones posición,
velocidad y aceleración.
c) ¿Cuándo aumenta la rapidez del objeto? ¿Cuándo disminuye?
209
El Cálculo Diferencial
a) La velocidad con que se mueve el objeto es la derivada de la función
posición: v(t) = s'(t) = 3t2 − 6t − 9
La aceleración del objeto es la derivada de la función velocidad:
a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t − 6
b) En la figura se representan gráficamente las funciones posición, velocidad y
aceleración con respecto al tiempo.
c) Para t < 1 el objeto está aumentando su rapidez, para 1 < t < 3 disminuye su
rapidez y para t > 3 nuevamente aumenta su rapidez. Problema
La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada
por s(t) =2
t1
t
+, t ≥ 0, donde t se mide en segundos y s en metros.
a) Determine la función que describe la velocidad de la partícula.
b) Halle la distancia total recorrida por la partícula para 0 ≤ t ≤ 3.
c) Encuentre el momento en el cual la aceleración es nula.
a) La velocidad es la primera derivada de la función que describe la posición:
v(t) = s'(t) = 2
2
2
22
2
t1
t1
t1
t2.tt1
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
b) Para calcular la distancia total recorrida por la partícula debemos analizar el
sentido del movimiento en el intervalo pedido.
v(t) = 0 ⇔ 1 − t2 = 0 ⇔ t = 1, t = −1
Luego, en t = 1 la velocidad se anula. En ese instante la partícula cambia el
sentido del desplazamiento.
210
El Cálculo Diferencial
Para 0 ≤ t < 1 es v(t) > 0 y el móvil avanza. Para 1 < t ≤ 3, v(t) < 0 y el móvil
retrocede.
El espacio recorrido en el intervalo (0, 1) es s(1) − s(0) = 0,5 metros.
El espacio recorrido en el intervalo (1, 3) es s(3) − s(1) = −0,2 metros.
El móvil avanzó 0,5 metros en el primer segundo y retrocedió 0,2 metros en los
dos últimos segundos. La distancia total recorrida durante los tres primeros
segundos es: 0,5 + 0,2 = 0,7 metros.
c) La función que describe la aceleración es la derivada de la función velocidad,
es decir la segunda derivada de la función que describe la posición.
a(t) = v'(t) = s''(t) = 4
2
222
2
t1
t2.t1.2.t1t1.t2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
= 3
2
3
t1
t6t2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−
La aceleración es nula si a(t) = 0.
32
3
t1
t6t2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
− = 0 ⇒ 2t3 − 6t = 0
⇒ t = 0, t = 3 , t = 3− .
Teniendo en cuenta el intervalo dado, la aceleración es nula al comienzo del
movimiento y luego de 3 segundos.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1) Una epidemia de gripe se está propagando y en el Ministerio de Salud han
estimado que el número de personas que se contagiarán es función del tiempo
transcurrido desde que se detectó la misma. La función es n = f(t) = 30t3 – 2t
2,
donde n es el número de personas y t el tiempo en días, siendo 0 ≤ t ≤ 60.
a) ¿Cuántas personas se espera que contraigan la enfermedad luego de
20 días? ¿Y al cabo de 40 días?
b) Obtenga la velocidad promedio que se espera que la epidemia se
propague entre los días 10 y 15 posteriores a la detección de la misma.
c) Calcule la velocidad con que se espera que la enfermedad se
propague a los 25 días.
2) En una fábrica de juguetes de madera se estimó que el número de piezas
que un empleado puede pintar x horas después de haber comenzado su labor a
las 8 de la mañana, está dado por la función y = 3x + 8x2 − x
3 si 0 ≤ x ≤ 4.
a) Determine el número de juguetes que un empleado pintará entre las 10
y las 12 de la mañana.
b) Calcule la cantidad promedio que puede pintar en esas dos horas.
c) ¿Con qué rapidez estará pintando a las 11 y a las 12 de la mañana?
3) Una inyección de x gramos de cierta droga resulta en una variación de la
presión arterial de d(x) = 0,5x3 − 4x milímetros de mercurio. Halle la sensibilidad
a 4 gramos de esta droga. (Nota: sensibilidad es la razón de cambio de la
presión arterial con respecto a la dosis suministrada).
211
El Cálculo Diferencial
" 434"
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El Cálculo Diferencial
" 435"
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El Cálculo Diferencial
" 436"
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El Cálculo Diferencial
" 437"
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El Cálculo Diferencial
" 438"
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El Cálculo Diferencial
" 439"
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
442
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El Cálculo Diferencial
443
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
Teorema del valor extremo Si y = f(x) es continua en el intervalo [a, b] se verifica que f(x) tiene un máximo M
y también un mínimo m en dicho intervalo.
Este teorema asegura que, en las condiciones establecidas, los valores máximo
y mínimo existen, pero no dice nada de cuáles serían los medios para
encontrarlos.
Analizamos algunos ejemplos gráficos.
f : [−2, 1] → R
x → x2
+ 2x + 2
La función es continua.
El intervalo [−2, 1] es cerrado.
f : (−2, 1) → R
x → x2 + 2x + 2
La función es continua.
El intervalo (−2, 1) es abierto.
f : [−2, 1] → R
x → ⎩⎨⎧
−=−≠++
1 x si 2 1 xsi 2x2x2
La función es discontinua.
El intervalo [−2, 1] es cerrado.
f : (−2, 1) → R
x → ⎩⎨⎧
−=−≠++
1 x si 2 1 xsi 2x2x2
La función es discontinua.
El intervalo (−2, 1) es abierto.
227
El Cálculo Diferencial
44:
Gp" guvqu" glgornqu" rwgfg" qdugtxctug" swg" uk" nc" hwpekôp" gu" eqpvkpwc" gp" wp"kpvgtxcnq"egttcfq."guvq"ictcpvk|c"nc"gzkuvgpekc"fg"wp"xcnqt"oâzkoq"{"fg"wp"xcnqt"oîpkoq"fg"nc"hwpekôp"gp"fkejq"kpvgtxcnq0""Uk"nc"hwpekôp"pq"gu"eqpvkpwc"q"gn"kpvgtxcnq"fg"fghkpkekôp"pq"gu"egttcfq."pq"rwgfg"eqpenwktug"nc"gzkuvgpekc"fg"wp"oâzkoq"{"wp"oîpkoq"fg"nc"hwpekôp0"""GLGTEKEKQ""Fgvgtokpg" uk" ncu" hwpekqpgu" fghkpkfcu" itâhkecogpvg" eworngp" ncu" jkrôvguku" fgn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"gzvtgoq"{"gpewgpvtg."uk"gzkuvgp."uwu"xcnqtgu"gzvtgoqu0""""""""""""c+""
"
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El Cálculo Diferencial
44;
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"Gn" vgqtgoc"cpvgtkqt"guvcdngeg"swg" nc"rtkogtc"fgtkxcfc"fg"wpc" hwpekôp"ukgortg"gu"egtq"gp"wp"rwpvq"fgn"fqokpkq"fqpfg"nc"hwpekôp"vkgpg"wp"gzvtgoq"tgncvkxq"{"nc"fgtkxcfc"guvâ"fghkpkfc0"""Rctc"rgpuct<"ÀSwê"qewttg"eqp"gn"tgeîrtqeqA"Nc"fgtkxcfc"pwnc"fg"nc"hwpekôp"Àog"ictcpvk|c"nc"gzkuvgpekc"fg"gzvtgoqu"tgncvkxqu"gp"gug"rwpvqA"Gn"tgeîrtqeq"pq"gu"ekgtvq."gu"fgekt.""nc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp"gp"wp"rwpvq"rwgfg"ugt"pwnc"{"ukp"godctiq"pq"jcdgt"gzvtgoqu"tgncvkxqu"gp"gug"rwpvq0""
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El Cálculo Diferencial
452
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c+"rwpvqu"fgn"fqokpkq"fqpfg"h")"gu"pwnc0"d+"rwpvqu"fgn"fqokpkq"fqpfg"h")"pq"guvâ"fghkpkfc0""Fghkpkekôp0"Ug"fgpqokpcp"rwpvqu"etîvkequ"fg"wpc"hwpekôp"h"c"cswgnnqu"xcnqtgu"fgn"fqokpkq"rctc"nqu"swg"nc"fgtkxcfc"ug"cpwnc"q"dkgp"pq"gzkuvg0"""""""""""
z"="e"gu"wp"rwpvq"etîvkeq"rqtswg"h")*e+"="2"
z"="e"gu"wp"rwpvq"etîvkeq"rqtswg"h")*e+"pq"guvâ"fghkpkfc0"
"Glgornq0"Fgvgtokpg"nqu"rwpvqu"etîvkequ"fg"ncu"hwpekqpgu"fghkpkfcu"itâhkecogpvg<"
El Cálculo Diferencial
453
Nqu"rwpvqu"etîvkequ"fg"nc"hwpekôp"{"="h*z+"uqp"z"="−4."z"="4"rwgu"gp"fkejqu"rwpvqu"nc"fgtkxcfc"pq"gzkuvg"{"z"="2"gp"gn"swg"nc"fgtkxcfc"gu"pwnc0"Nqu"fqu"rtkogtqu"uqp"oîpkoqu"tgncvkxqu"{"z"="2"gu"wp"oâzkoq"tgncvkxq0"Nqu"rwpvqu"etîvkequ"fg"nc"hwpekôp"{"="i*z+""uqp"z"="2"{"z"="4"fqpfg"nc"fgtkxcfc"gu"pwnc0" "Uk" dkgp"gp" z"=" 3" nc"fgtkxcfc"pq"gzkuvg." pq"gu"wp"rwpvq" etîvkeq." rwgu"pq"rgtvgpgeg"cn" fqokpkq"fg"fghkpkekôp"fg" nc" hwpekôp0"Gp" z"=" 2" nc" hwpekôp" vkgpg"wp"oâzkoq"tgncvkxq."gp"z"="4"nc"hwpekôp"vkgpg"wp"oîpkoq"tgncvkxq0"""Rctc" rgpuct<" ÀRqfgoqu" cugiwtct" swg" vqfq" rwpvq" etîvkeq" gu" rwpvq" oâzkoq" q"oîpkoqA""
Qdugtxcekôp0"Nqu"rwpvqu"fg"oâzkoq"q"oîpkoq"tgncvkxq"fgdgp"ugt"rwpvqu"etîvkequ"rgtq"pq"vqfq"rwpvq"etîvkeq"gu"rwpvq"oâzkoq"q"oîpkoq0""
"GLGTEKEKQ""Kpfkswg"nqu"rwpvqu"etîvkequ"gp"ecfc"wpc"fg"ncu"ukiwkgpvgu"itâhkecu0"Gzrnkswg"rqt"swê"nq"uqp0"c+" " " " d+" " " " e+"
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d+"z2"{"z3"uqp"rwpvqu"etîvkequ"rwgu"nc"rtkogtc"fgtkxcfc"pq"gzkuvg"gp"guqu"rwpvqu0"
e+"z2"gu"rwpvq"etîvkeq"rwgu" nc"rtkogtc"fgtkxcfc"gp"gug"rwpvq"pq"gzkuvg"{"z3"gu"rwpvq"etîvkeq"rwgu"nc"rtkogtc"fgtkxcfc"gu"pwnc0""
"ÀEôoq" jcnnct" gzvtgoqu" cduqnwvqu" fg" wpc" hwpekôp" eqpvkpwc" gp" wp"kpvgtxcnq"egttcfqA""Fg"cewgtfq"c"vqfq"nq"cpcnk|cfq."nqu"ûpkequ"rwpvqu"fgn"fqokpkq"gp"nqu"ewcngu"wpc"hwpekôp" rwgfg" vqoct" xcnqtgu" gzvtgoqu" uqp" nqu" rwpvqu" etîvkequ" {" nqu" rwpvqu"gzvtgoqu"fgn"fqokpkq0"
El Cálculo Diferencial
454
Guvq" uwikgtg" swg." rqt" nq" ogpqu." fgdgoqu" gorg|ct" c" dwuect" nqu" xcnqtgu"
gzvtgoqu"fg"{"="h*z+"gp"nqu"xcnqtgu"e"fgn"fqokpkq."fqpfg"h")*e+"="2"q"fqpfg"h")*e+"pq"gzkuvg."q"ugc"gp"nqu"rwpvqu"etîvkequ"fg"nc"hwpekôp0"""Rctc" jcnnct" nqu"oâzkoqu" {"oîpkoqu" cduqnwvqu" fg" wpc" hwpekôp" eqpvkpwc" gp" wp"kpvgtxcnq"egttcfq"]c."d_"fgdgoqu<"3+"Fgvgtokpct"nqu"rwpvqu"etîvkequ"fg"nc"hwpekôp0"4+" Gxcnwct" nc" hwpekôp" gp" vqfqu" nqu" rwpvqu" etîvkequ" {" rwpvqu" gzvtgoqu" fgn"kpvgtxcnq0"5+"Gn"oc{qt"fg" nqu" xcnqtgu"gpeqpvtcfqu"gu"gn"oâzkoq"cduqnwvq" {"gn"ogpqt." gn"oîpkoq"cduqnwvq0""Glgornq0" "Gpewgpvtg." uk" gzkuvgp." nqu" gzvtgoqu"cduqnwvqu"fg" nc" hwpekôp"fghkpkfc"
rqt"h*z+"="5
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384
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h*−4+"=" 325"""
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4
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El Cálculo Diferencial
455
Nc" fgtkxcfc" gu" j" )*z+" ="5
35
3
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4
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4
386 4.73;:"
Gn"xcnqt"oâzkoq"cduqnwvq"gu""4.73;:"{"nq" cnecp|c" gp" z" =" 6" {" gn" oîpkoq"cduqnwvq"gu"2"{"nq"cnecp|c"gp"z"="20""
""Rtqdngoc"
Wpc"eqorcòîc"cxgtkiwô"swg"nc"wvknkfcf"cpwcn"w."gzrtgucfc"gp"ekgpvqu"fg"fônctgu."gu"hwpekôp"fgn"pûogtq"fg"tgrtgugpvcpvgu"cukipcfqu"c"wp"fkuvtkvq"
fgvgtokpcfq0"Ug"ucdg"swg"w*z+"="−4z5"-"46z4"-";";;2z"-"4"222."fqpfg"32"≤"z"≤"920"ÀSwê"pûogtq"fg"tgrtgugpvcpvgu"rtqfwektâ"nc"wvknkfcf"oâzkoc"gp"gn"fkuvtkvq"{"ewân"gu"guc"wvknkfcfA"
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Wp" nciq" eqpvcokpcfq" eqp" dcevgtkcu" ug" vtcvc" eqp" wp" rtqfwevq" swîokeq"cpvkdcevgtkcn0"Fgurwêu"fg"v"fîcu."gn"pûogtq"p"fg"dcevgtkcu"rqt"oknknkvtq"fg"
ciwc"gu"crtqzkocfq"rqt"p*v+"= """5234
vnp
34
v42 +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− ."3"≤"v"≤"370"
c+"ÀEwâpfq"fwtcpvg"gug"rgtîqfq"ugtâ"oâzkoq"gn"pûogtq"fg"dcevgtkcuA"d+"ÀEwân"gu"gug"pûogtq"oâzkoq"fg"dcevgtkcuA"
El Cálculo Diferencial
456"
Tgeqtfgoqu"swg"uk"dkgp"p*v+"tgrtgugpvc"nc"ecpvkfcf"fg"dcevgtkcu."eqpukfgtcoqu"swg"gu"wpc"hwpekôp"eqpvkpwc"fg"ocpgtc"swg"ugc"fgtkxcdng"
c+"pfl*v+"=" ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −34
30
v
34
34
342 "⇒"p)*v+"= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
v3
343042 0"Guvc"fgtkxcfc"pq"gzkuvg"gp"v"="2"
{"ug"cpwnc"gp"v"="340"Eqoq" v"fgdg"rgtvgpgegt"cn" kpvgtxcnq" ]3."37_."gpvqpegu" v"="34"gu"gn"ûpkeq"rwpvq"etîvkeq0"Ecnewncpfq" nqu" xcnqtgu"fg" nc" hwpekôp"gp"gn"rwpvq"etîvkeq"{"gp" nqu"gzvtgoqu"fgn"kpvgtxcnq."ug"qdvkgpg<"""p*3+"=":3.58 "p*34+"="72"p*37+"="72.76"""Gn" oâzkoq" pûogtq" fg"dcevgtkcu" ug" gpewgpvtc"gn" rtkogt" fîc" {" gu"crtqzkocfcogpvg" :3"dcevgtkcu0""
""
804"Hwpekôp"etgekgpvg"{"fgetgekgpvg"Uk" ug" qdugtxc" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" {" =" h*z+" {" ug" nc" tgeqttg" fg" k|swkgtfc" c"fgtgejc"ug"rwgfg"xgt"swg"gp"cniwpqu"kpvgtxcnqu"fg"nc"xctkcdng"kpfgrgpfkgpvg"nc"hwpekôp"cwogpvc"uw"xcnqt"*›uwdgfi+"{"gp"qvtqu"fkuokpw{g"*›dclcfi+0""
""Nqu" vêtokpqu" etgekgpvg" {" fgetgekgpvg" rgtokvgp" fguetkdkt" gn" eqorqtvcokgpvq" fg"wpc"hwpekôp"cpcnk|cfc"fg"k|swkgtfc"c"fgtgejc"c"nq"nctiq"fg"uw"itâhkec0""Gp"guvg"ecuq"rqfgoqu"cugiwtct"swg<""•" nc"hwpekôp"etgeg"gp"nqu"kpvgtxcnqu"*⁄∞."c+."*d."e+"{"*f."∞+"""•" nc"hwpekôp"fgetgeg"gp"nqu"kpvgtxcnqu"*c."d+"{"*e."f+0""
El Cálculo Diferencial
457"
Fghkpkekôp0"Wpc"hwpekôp"gu"etgekgpvg"gp"wp"kpvgtxcnq"uk"rctc"fqu"xcnqtgu"z3"{"z4"
fgn"fqokpkq."uk"z3">"z4"""gpvqpegu"h*"z3+">"h*z4+0""
Fghkpkekôp0"Wpc"hwpekôp"gu"fgetgekgpvg"gp"wp"kpvgtxcnq"uk"rctc"fqu"xcnqtgu"z3"{"
z4"fgn"fqokpkq."uk"z3">"z4"""gpvqpegu"h*"z3+"@"h*z4+0""Nc"itâhkec"ukiwkgpvg"fguetkdg"gn"tgpfkokgpvq"t*v+"fg"nqu"gorngcfqu"fg"wpc"qhkekpc"fwtcpvg"gn"vwtpq"ocòcpc0"Nc"fwtcekôp"vqvcn"fgn"vwtpq"gu"fg"ekpeq"jqtcu"{"v"gu"gn"pûogtq"fg"jqtcu"vtcpuewttkfcu"fgufg"gn"kpkekq"fgn"okuoq0""
"
Nc" hqtoc" fg" nc" itâhkec" kpfkec" swg"fwtcpvg" ncu" fqu" rtkogtcu" jqtcu" gn"tgpfkokgpvq" cwogpvô" okgpvtcu" swg" c"rctvkt" fg" nc" vgtegtc" jqtc" fg" vtcdclq" {"jcuvc"hkpcnk|ct"nc"lqtpcfc."fkuokpw{ô0"
Owejcu"xgegu"gu"korqtvcpvg"rqfgt"fgvgtokpct"ewâpfq"wpc"hwpekôp"gu"etgekgpvg"
{" ewâpfq" fgetgekgpvg0" Xgtgoqu" eôoq." eqpqekfc" h*z+." uw" fgtkxcfc" h)" rwgfg"wvknk|ctug"rctc"qdvgpgt"guvc"kphqtocekôp0"""Crtgpfk|clg"rqt"fguewdtkokgpvq"Cevkxkfcf"30"
Còq"Rgtuqpcu"swg"xkxgp"rqt"
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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" c+"ug"fgvgtokpc"h")*z+."" d+"ug"ecnewncp"nqu"rwpvqu"etîvkequ."" e+"ug"cpcnk|c"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"c"codqu"ncfqu"fgn"rwpvq"etîvkeq0""Uwrqpkgpfq"swg"z"="e"gu"gn"ûpkeq"rwpvq"etîvkeq"gp"gn"kpvgtxcnq"*c."d+<""
Uk"h")"ecodkc"fg"pgicvkxc"c"rqukvkxc"gp"z"="e."h*e+"gu"wp"oîpkoq"tgncvkxq"fg"h0""
Uk"h")"ecodkc"fg"rqukvkxc"c"pgicvkxc"gp"z"="e."h*e+"gu"wp"oâzkoq"tgncvkxq"fg"h0"""""
El Cálculo Diferencial
466"
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Ukipq"
fg"h")*c+Ukipq"
fg"h")*d+ Itâhkec"
Oâzkoq"tgncvkxq"
-" −"
"
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−" -"
"
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-" -"
"
Pkpiûp"gzvtgoq"tgncvkxq"
−" −"
""
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Kpvgtxcnq" Ukipq"h")*z+" Eqpenwukôp"*⁄∞="⁄2.43+" -" h*z+"etgeg"*⁄2.43="3.77+" ⁄" h*z+"fgetgeg"*3.77="∞+" -" h*z+"etgeg"
"
El Cálculo Diferencial
467"
Nc""hwpekôp""vkgpg""wp""oâzkoq""tgncvkxq""gp""z""="⁄2.43""{""wp"oîpkoq"tgncvkxq"gp""z"="3.770"Gp"nc"itâhkec"ug"rwgfg"qdugtxct"nq"cpcnk|cfq"cpcnîvkecogpvg0""
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Glgornq0" Jcnng" gn" fqokpkq" fg" nc" hwpekôp" "3z
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4
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44
4
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El Cálculo Diferencial
468"
Kpvgtxcnq" Ukipq"h")*z+" Eqorqtvcokgpvq"fg"h*z+ Rwpvqu"gzvtgoqu"
*−∞."2+" -" etgeg"
*2."3+" −" fgetgeg"Oâzkoq"tgncvkxq"gp"z"="2"
O*2."−4+"*3."4+" −" fgetgeg"
*4."∞+" -" etgeg"Oîpkoq"tgncvkxq"gp"z"="4"
o*4."4+"
Qdugtxcpfq" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp"ug" rwgfg" eqortqdct" nq" cpcnk|cfq"cpcnîvkecogpvg0
Glgornq<"Gpewgpvtg" nqu"xcnqtgu"fg"c"{"d"rctc"swg" h*z+"="z5"-"dz"-"c" vgpic"wp"oîpkoq"tgncvkxq"gp"*4."5+0""Nc"kocigp"fg"z"="4"gu"50"Rctc"swg"ugc"wp"oîpkoq"tgncvkxq."nc"rtkogtc"fgtkxcfc"fgdg"ugt"egtq"gp"z"="4"{"nqu"ukipqu"fg"nc"okuoc"fgdgp"ecodkct"c"codqu"ncfqu"fg"fkejq"xcnqt0""
Fg"cswî"tguwnvc<⎩⎨⎧
==2+4*)"h5+4*h """⇒""
⎩⎨⎧
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4
5"""⇒"""
⎩⎨⎧
=+=++2d342cd47 "
"Tguqnxkgpfq"gn"ukuvgoc"tguwnvc"swg"d"="−34""{"""c"="3;0"Tggornc|cpfq"gp"nc"hwpekôp"qdvgpgoqu"h*z+"="z5"⁄"34"z"-"3;0"Ecnewncoqu"nc"rtkogtc"fgtkxcfc"{"cpcnk|ctgoqu"uk"vkgpg"wp"oîpkoq"tgncvkxq"gp""z"="40"h")*z+"="5z4"−"340"Ucdgoqu"swg"h")*4+"="20"Rqfgoqu"fgvgtokpct"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"c"k|swkgtfc"{"fgtgejc"fg""z"="4."rqt"glgornq"gp"z"="3"{"z"="50"Eqoq"h")*3+"="−;"{"h")*5+"="37"tguwnvc"swg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"ecodkc"fg"pgicvkxc"c"rqukvkxc"cn"rcuct"rqt"z"="40"Gzkuvg"wp"oîpkoq"tgncvkxq"gp"fkejq"rwpvq0""
Rtqdngoc"Wpc" ekgtvc" ftqic" ug" cfokpkuvtc" c" wp" rcekgpvg0" Gn" rqtegpvclg" fg"eqpegpvtcekôp"fg"nc"ftqic"gp"nc"ucpitg"v"jqtcu"fgurwêu"guvâ"fcfq"rqt"""
m*v+"="3v
v74 +
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"
El Cálculo Diferencial
469"
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"c+"Rctc"jcnnct"nqu"kpvgtxcnqu"gp"nqu"ewcngu"nc"hwpekôp"gu"etgekgpvg"cpcnk|ctgoqu"gn"ukipq" fg" nc" fgtkxcfc" rtkogtc0" Rctc" gnnq." rtkogtq" fgvgtokpcoqu" nqu" rwpvqu"
etîvkequ<""m")*v+"=" ( )( ) ( ) ( )44
4
44
44
44
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3v
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3v
v327v7
3v
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+
+−=
+
−+=
+
−+""
"Nc"fgtkxcfc"gzkuvg"rctc"vqfq"xcnqt"fg"v"{"ug"cpwnc"gp"v"="±"30"Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"swg"uqp"vqfqu"nqu"pûogtqu"tgcngu"oc{qtgu"q"kiwcngu"swg"egtq."gn"ûpkeq"rwpvq"etîvkeq"gu"v"="30"Fgvgtokpcoqu" nqu" kpvgtxcnqu" vgpkgpfq"gp"ewgpvc"gn"fqokpkq"{"gn"rwpvq"etîvkeq"{"cpcnk|coqu"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc0""
Kpvgtxcnq" Ukipq"m")*v+" Eqpenwukôp"
*2."3+" -" m*v+"etgeg"*3."5+" −" m*v+"fgetgeg"
"Gn" rqtegpvclg"fg" eqpegpvtcekôp"fg" nc"ftqic"gp" nc" ucpitg"etgeg"gp"gn" kpvgtxcnq"*2.3+."gu"fgekt."fwtcpvg"nc"rtkogtc"jqtc"fgufg"uw"cfokpkuvtcekôp0"
d+"Eqoq"m" )*v+"="2"gp"v"="3""{" " nc" hwpekôp"etgeg"jcuvc"v"="3"{" nwgiq"fgetgeg." nc"hwpekôp"vkgpg"wp"oâzkoq"tgncvkxq"gp"v"="30"
Nc"eqpegpvtcekôp"fg"ftqic"gp"nc"ucpitg"gp"gug"kpuvcpvg"gu"m*3+"="47 0"Cfgoâu."
m*2+"="2"{"m*5+"="3237 "="3.70
""
Nc"eqpegpvtcekôp"oâzkoc"fg"ftqic"gp"nc"ucpitg"ug"cnecp|c"wpc"jqtc"fgurwêu"fg"uw"cfokpkuvtcekôp"{"gu"4.7"'0""Glgornq0" Cpcnkeg" gn" etgekokgpvq" {" fgvgtokpg." uk" gzkuvgp." gzvtgoqu" tgncvkxqu" {"
cduqnwvqu"fg"nc"hwpekôp"h"<"]⁄"6."4_"→"T"1" z8z4
3z
5
6z
6
3+z*h 456 −++= 0""
"
Ecnewncoqu"h")*z+"{"jcnncoqu"nqu"rwpvqu"etîvkequ"fg"nc"hwpekôp0"Nc"fgtkxcfc"gu"h")*z+"="z5"-"6z4"-"z"−"8"Nc"hwpekôp"fgtkxcfc"guvâ"fghkpkfc"gp"vqfqu"nqu"tgcngu0"Ug"cpwnc"gp"z"="−5."z"="−4"{"z"="30"Guvqu"uqp"nqu"xcnqtgu"swg"eqttgurqpfgp"c"nqu"rwpvqu"etîvkequ0"Cpcnkegoqu"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"c"nc"fgtgejc"{"c"nc"k|swkgtfc"fg"guqu"xcnqtgu"rctc"qdvgpgt" nqu" kpvgtxcnqu"fg"etgekokgpvq"{"fgetgekokgpvq"{"gpeqpvtct"nqu"gzvtgoqu"tgncvkxqu0"""
El Cálculo Diferencial
46:"
Kpvgtxcnq" Ukipq"h")*z+ Eqorqtvcokgpvq"fg"h*z+ Rwpvqu"gzvtgoqu"
*−6."⁄5+" ⁄" fgetgeg"
*⁄5."⁄4+" +" etgeg"
*⁄4."3+" −" fgetgeg"*3."4+" -" etgeg"
Oîpkoq"tgncvkxq"gp"z"="⁄5"""Oâzkoq"tgncvkxq"gp"z"="⁄4"Oîpkoq"tgncvkxq"gp"z"="3"
"Rctc" ecnewnct" nqu" gzvtgoqu" cduqnwvqu" eqorctcoqu" ncu" koâigpgu" gp" nqu"gzvtgoqu"tgncvkxqu"{"gp"nqu"rwpvqu"gzvtgoqu"fgn"fqokpkq0"
h*⁄5+"=" 47.76
43= " " h*⁄4+"=" 5.9
5
44 )
≅ " " h*3+"=" 8;3.534
69 )
−≅− " "
h*⁄6+"=" 8.325
54 )
≅ " " h*4+"=" 8.65
36 )
≅ " " " " " " "
Gn" ogpqt" xcnqt" swg" vqoc" nc" hwpekôp" gp" gn" kpvgtxcnq" fg" fghkpkekôp" ]−6." 4_" gu"
8;3.5)
− 0"Rqt"nq"vcpvq"z"="3"gu"oîpkoq"tgncvkxq"{"cduqnwvq0"
Gn"oc{qt"xcnqt"swg"vqoc"nc"hwpekôp"gp"gn"kpvgtxcnq"gu" 8.32)
0"Rqt"nq"vcpvq."z"="⁄6"gu"oâzkoq"cduqnwvq0"Gp"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"ug"qdugtxc"nq"cpcnk|cfq0""
""GLGTEKEKQU""3+"ÀGp"swê"xcnqtgu"fgn"fqokpkq"nc"hwpekôp"fcfc"vkgpg"wp"gzvtgoq"tgncvkxqA"" c+" " " " " " " d+"
El Cálculo Diferencial
46;"
" e+" " " " " " " f+"
4+"Wucpfq"gn"etkvgtkq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc."gpewgpvtg"vqfqu"nqu"rwpvqu"etîvkequ"{"fgvgtokpg"uk"uqp"gzvtgoqu"tgncvkxqu"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu<"
" c+"h*z+"=" z54z5
4 5 − " " " " d+"h*z+"="−"*5z"−"4+6""
" e+"h*z+"=" 322z38z75
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+−+− "" " f+"h*z+"="5z
3
+"
5+" Gpewgpvtg." uk" gzkuvgp." nqu" gzvtgoqu" tgncvkxqu" {" cduqnwvqu" fg" ncu" ukiwkgpvgu"hwpekqpgu"gp"gn"kpvgtxcnq"swg"ug"kpfkec0"" Hwpekôp" Kpvgtxcnq"
c+" {"="−4z4"-"8z" ]2."5_"
d+" {"="z5"−"5z4" ]−3."5_""TGURWGUVCU"3+c+"z"="3."z"="−3"oîpkoqu"tgncvkxqu"{"z"="2"oâzkoq"tgncvkxq0"d+"Pq"vkgpg"gzvtgoqu0" " e+"z"="−4"oâzkoq"tgncvkxq."z"="4"oîpkoq"tgncvkxq0"f+"z"="−3"oîpkoq"tgncvkxq."z"="3"oâzkoq"tgncvkxq0"
4+c+" z" =" 6" {" z" =" −6" rwpvqu" etîvkequ=" ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −5
478.6 oîpkoq" tgncvkxq." ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−5
478.6 "
oâzkoq"tgncvkxq0" " " d+"z"="5
4rwpvq"etîvkeq=" ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛2.
5
4"oâzkoq"tgncvkxq0"
e+" z" =" 4" {" z" =" :" rwpvqu" etîvkequ=" ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
5
478.4 "oîpkoq" tgncvkxq=" ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
5
586.: "oâzkoq"
tgncvkxq0" " f+"Pq"vkgpg"rwpvqu"etîvkequ"pk"gzvtgoqu"tgncvkxqu0"
5+"c+" ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4
;".
4
5"oâzkoq"tgncvkxq"{"cduqnwvq="*2."2+"{"*5."2+"oîpkoqu"cduqnwvqu0"
d+" *2." 2+" oâzkoq" tgncvkxq" {" cduqnwvq=" *5." 2+" oâzkoq" cduqnwvq=" *4." −6+" oîpkoq"tgncvkxq"{"cduqnwvq="*−3."−6+"oîpkoq"cduqnwvq0""
""
El Cálculo Diferencial
472"
806"Eqpecxkfcf"[c"xkoqu"eôoq"wvknk|ct"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"rctc"fgvgtokpct"fôpfg"nc"hwpekôp" h*z+" gu" etgekgpvg" q" fgetgekgpvg" {" ewângu" uqp" uwu" gzvtgoqu" tgncvkxqu0"Guvqu" fcvqu" pqu" rgtokvgp" crtqzkoctpqu" c" nc" itâhkec" fg" nc" okuoc0" Nc"fgvgtokpcekôp" fg" gzvtgoqu" tgncvkxqu" {" cduqnwvqu." kpvgtxcnqu" fg" etgekokgpvq" {"fgetgekokgpvq" uqp"curgevqu"c" vgpgt"gp" ewgpvc"rgtq"pq"uwhkekgpvgu"rctc" nqitct"pwguvtq"qdlgvkxq0"Rqt"glgornq."uk"wpc"hwpekôp"{"="h*z+"gu"vcn"swg."gpvtg"nqu"rwpvqu"c"{"d"gu"etgekgpvg."vkgpg"wp"oâzkoq"tgncvkxq"gp"d"{"fgufg"d"jcuvc"e"fgetgeg."pq"rqftîcoqu"gurgekhkect"ewân"gu"nc"hqtoc"fg"nc"ewtxc0""Rqftîc"ugt<""
"Cpcnk|coqu" nc" ukiwkgpvg" ukvwcekôp<" nc" itâhkec"fguetkdg"gn" eqorqtvcokgpvq"fg" nc"hwpekôp" r*v+" swg" kpfkec" gn" pûogtq" fg" rkg|cu" swg" wp" qdtgtq" fg" wpc" hâdtkec" fg"twngocpgu"rwgfg"gpucodnct"vtcpuewttkfcu"v"jqtcu0"""
El Cálculo Diferencial
473"
"Ug" qdugtxc" swg" nc" itâhkec" gu" etgekgpvg" rgtq" uw" etgekokgpvq" c" nq" nctiq" fg" ncu"jqtcu" fg" vtcdclq" gu" fkhgtgpvg0" Cn" eqokgp|q" rqfgoqu" xgt" swg" nc" itâhkec" pq" gu"›vcp" kpenkpcfcfi" *qdugtxct" ncu" rgpfkgpvgu" fg" ncu" vcpigpvgu+0" Nc" kpenkpcekôp"cwogpvc" jcuvc" swg" nc" itâhkec" nngic"c" wp"rwpvq"fg"oâzkoc" kpenkpcekôp" {" nwgiq"eqokgp|c" c" fkuokpwkt" *qdugtxct" ncu" kpenkpcekqpgu" fg" ncu" tgevcu" vcpigpvgu+0"Fgufg" gn" ukipkhkecfq" fgn" rtqdngoc"rqfgoqu"fgekt" swg"cn" eqokgp|q" nc" vcuc"fg"rtqfweekôp"gu"dclc"{"xc"cwogpvcfq"c"ogfkfc"swg"gn" vtcdclcfqt" nqitc" nc" twvkpc"rctc" swg." fgurwêu" fg" nngict" c" uw" oâzkoc" ghkekgpekc." guvc" vcuc" eqokgpeg" c"fkuokpwkt"rqt"nc"hcvkic"swg"kornkec"nc"lqtpcfc"ncdqtcn0"""Rctc" rtgekuct" nc" hqtoc" fg" nc" ewtxc"pgegukvcoqu" eqpqegt"oâu"fcvqu0"Xgtgoqu"swg" nc" fgtkxcfc" ugiwpfc" vcodkêp" pqu" rtqrqtekqpc" kphqtocekôp" ûvkn" uqdtg" nc"itâhkec"fg"h0"
Ncu" itâhkecu" fg" ncu" hwpekqpgu" h*z+" =" z4" " {" i*z+" =" −z4" uqp" glgornqu" fg" wpc"rtqrkgfcf" fg" nc" itâhkec" fg" wpc" hwpekôp." nc" eqpecxkfcf0" Nc" itâhkec" fg" h" gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc"okgpvtcu"swg"nc"itâhkec"fg"i"gu"eôpecxc"jcekc"cdclq0""Gp" hqtoc" kpvwkvkxc"rqfgoqu"fgekt"swg"wpc"ewtxc"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc"uk"ug"fqdnc"jcekc"cttkdc"{"gu"eôpecxc"jcekc"cdclq"uk"ug"fqdnc"jcekc"cdclq0"Nqu"rwpvqu"gp"nqu"swg"ecodkc"nc"eqpecxkfcf"ug"nncocp"rwpvqu"fg"kphngzkôp0""
"
Nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" gu" eôpecxc" jcekc"cdclq"gp"gn"kpvgtxcnq"*−∞."2+"{"eôpecxc"jcekc"cttkdc"gp"gn"kpvgtxcnq"*2."∞+0"Gp"z"="2"vkgpg"wp"rwpvq"fg"kphngzkôp0"
"Cuî"eqoq"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"guvâ"tgncekqpcfq"eqp"gn"etgekokgpvq"{"fgetgekokgpvq"fg" nc" hwpekôp."gn"ukipq"fg" nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"guvâ" tgncekqpcfq"eqp"nc"eqpecxkfcf"fg"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp0""
El Cálculo Diferencial
474"
Fghkpkekôp0" Fgekoqu" swg" nc" itâhkec" fg" wpc" hwpekôp" fgtkxcdng" h*z+" gu" eôpecxc"
jcekc"cttkdc"gp"gn"kpvgtxcnq"*c."d+"uk"h")"gu"etgekgpvg"gp"fkejq"kpvgtxcnq0""Fghkpkekôp0" Fgekoqu" swg" nc" itâhkec" fg" wpc" hwpekôp" fgtkxcdng" h*z+" gu" eôpecxc"
jcekc"cdclq"gp"gn"kpvgtxcnq"*c."d+"uk"h")"gu"fgetgekgpvg"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"""Rwgfg"qdugtxctug"swg"nc"itâhkec"fg"wpc"hwpekôp"eôpecxc"jcekc"cttkdc"swgfc"rqt"gpekoc"fg"uwu"vcpigpvgu"{"nc"itâhkec"fg"wpc"hwpekôp"eôpecxc"jcekc"cdclq"swgfc"rqt"fgdclq"fg"uwu"vcpigpvgu0"""
" ""
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ug"rwgfg"fgvgtokpct"swg"h")"gu"etgekgpvg"q"fgetgekgpvgA""Fgdgoqu" vgpgt" gp" ewgpvc" swg." rctc" fgvgtokpct" nqu" kpvgtxcnqu" cdkgtvqu" gp" nqu"swg"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"h"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc"q"jcekc"cdclq."ug"pgegukvc"
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El Cálculo Diferencial
La concavidad de la función y = f(x)
cambia en un punto de inflexión.
Nota. Si la curva tiene una tangente
en el punto de inflexión, la gráfica
cruza la recta tangente en ese punto.
Determinación de los puntos de inflexión
Sea f(x) una función continua en un intervalo abierto y sea c un punto de ese
intervalo. Se dice que el punto (c, f(c)) es un punto de inflexión si en él la gráfica
de f pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.
En el intervalo (a, c) la gráfica de la función
es cóncava hacia abajo y en (c, b) es
cóncava hacia arriba. En x = c cambia la
concavidad, entonces en dicho valor existe
un punto de inflexión.
En x = c1 y x = c2 la gráfica de la
función tiene punto de inflexión.
253
El Cálculo Diferencial
Los posibles puntos de inflexión se encuentran en los valores del dominio para
los que la derivada segunda es cero o donde no existe.
Para determinar los puntos de inflexión debemos analizar el signo de la
derivada segunda de la función a ambos lados de los puntos donde esta
derivada es cero o no existe. Si el signo de la derivada segunda cambia de
positiva a negativa, o viceversa, eso implica que existe un punto de inflexión.
Resumiendo, para analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión de
la gráfica de una función debemos:
a) calcular la primera y la segunda derivada,
b) encontrar los puntos donde f ''(x) = 0 o donde no existe,
c) analizar el signo de f ''(x) a ambos lados de los puntos hallados en b).
Ejemplo. Analice la concavidad y los
puntos de inflexión de la gráfica de la
función definida gráficamente.
La gráfica es cóncava hacia arriba para los valores de x menores a 0 y es
cóncava hacia abajo para los valores de x mayores a 0. Como x = 0 pertenece
al dominio de la función y en ese punto cambia la concavidad, x = 0 es un punto
de inflexión.
Ejemplo. Analice la concavidad y los puntos de inflexión de la siguiente gráfica.
La gráfica es cóncava
hacia abajo en el
intervalo (–∞, 3) y
cóncava hacia arriba en
el intervalo (3, ∞) pero
no tiene puntos de
inflexión ya que x = 3
no pertenece al dominio
de la función.
254
El Cálculo Diferencial
477
Glgornq0"Guvwfkg" nc" eqpecxkfcf"fg" nc"itâhkec"fg" h*z+"=" z6"⁄"8z5"-"34z4"⁄":z"{"gpewgpvtg"nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp."uk"gzkuvgp0"" " " "
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"
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h*4+"="46"⁄"8045"-"34044"⁄":04"="2"Nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp"uqp"*3."−3+"{"*4."2+0"Gp" nc" itâhkec" ug" rwgfg" qdugtxct" nq" cpcnk|cfq"cpcnîvkecogpvg0"
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Cpcnk|coqu"gn"ukipq"fg"h"))"gp"nqu"kpvgtxcnqu"swg"swgfcp"fgvgtokpcfqu0"""
El Cálculo Diferencial
478
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"Nc"rctvîewnc"""ug"owgxg""jcekc""nc"fgtgejc"ukgortg""swg"u"cwogpvg."q"ugc"gp"nqu""
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6
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El Cálculo Diferencial
479
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Uk"u"))*v+"gu"rqukvkxc"nc"itâhkec"fg"u*v+"ugtâ"eôpecxc"jcekc"cttkdc"{"nc"cegngtcekôp"
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7"nc"ewtxc"vkgpg"wp"rwpvq"fg"kphngzkôp."nc"cegngtcekôp"ecodkc"fg"pgicvkxc"
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70"Nc"rctvîewnc"htgpc0"
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El Cálculo Diferencial
47:
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El Cálculo Diferencial
47;
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⎞⎜⎝
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4"". "{"eôpecxc"
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⎞⎜⎝
⎛ ∞".5
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⎠⎞
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⎞⎜⎝
⎛ −∞−5
4". " {"
eôpecxc"jcekc"cdclq"gp"gn"kpvgtxcnq" ⎟⎠
⎞⎜⎝
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"
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Glgornq0"Fcfc"nc"itâhkec"fg"h")*z+"cpcnkeg<"
El Cálculo Diferencial
482
c+"ÀGp"swê"kpvgtxcnqu"h*z+"gu"etgekgpvgA"ÀGp"swê"kpvgtxcnqu"h*z+"gu"fgetgekgpvgA"ÀVkgpg"h*z+"oâzkoqu"q"oîpkoqu"tgncvkxquA"Gp"ecuq"chktocvkxq."ÀewânguA"d+" ÀGp"swê" kpvgtxcnqu" h*z+"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdcA"À["eôpecxc"jcekc"cdclqA"ÀVkgpg"h*z+"rwpvqu"fg"kphngzkôpA"Gp"ecuq"chktocvkxq."ÀewânguA"e+"Dquswglg"wpc"rqukdng"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"h*z+0"
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Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h")" Etgekokgpvq" Gzvtgoq"tgncvkxq"
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*−4."2+" -" h"etgeg"
*2."5+" −" h"fgetgeg"
*5."∞+" -" h"etgeg"
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wpc"itâhkec0"Nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"gxcnwcfc"gp"z"="z2"gu"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"
vcpigpvg"gp"gug"rwpvq"fg"nc"itâhkec"fg"h")*z+0"Nc"itâhkec"fg"h")"vkgpg"vcpigpvg"jqtk|qpvcn"gp"z"="−3"{"gp"z"="40""Guvq"ukipkhkec"swg"h"))*−3+"="2"{"h"))*4+"="20""""Gp" ecfc" rwpvq" fg" nqu" kpvgtxcnqu" *−∞." −3+" {" *4."∞+" " nc" rgpfkgpvg" fg" nc" tgevc"vcpigpvg"c"h")"gu"rqukvkxc."gu"fgekt."h"))*z+"@"2."nc"itâhkec"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc"gp"guqu"kpvgtxcnqu0"""
El Cálculo Diferencial
483
Gp"ecfc"rwpvq"fgn"kpvgtxcnq"*−3."4+"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"gu"pgicvkxc."gu"fgekt."h""))*z+">"2."nwgiq"nc"itâhkec"gu"eôpecxc"jcekc"cdclq0""Nc"itâhkec"ecodkc"fg"eôpecxc"jcekc"cttkdc"c"eôpecxc"jcekc"cdclq"gp"z"="−3"{"gp"guvg" rwpvq" nc" fgtkxcfc" ugiwpfc" gu" egtq0" Rqt" nq" vcpvq" z" =" −3" gu" rwpvq" fg"kphngzkôp0"Nc"itâhkec"ecodkc"fg"eôpecxc"jcekc"cdclq"c"eôpecxc"jcekc"cttkdc"gp"z"="4"{"gp"guvg"rwpvq"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"gu"egtq0"Rqt"nq"vcpvq"z"="4"gu"rwpvq"fg"kphngzkôp0""""""
Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h"))" Eqpecxkfcf" "
*−∞.−3+" -" jcekc"cttkdc"
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Rtqdngoc"C"rctvkt"fg" nc"itâhkec"swg"owguvtc"nc" xgnqekfcf"gp" mo1j"fg"wp"cxkôp"fwtcpvg" uwu" rtkogtqu" 52" okpwvqu"fg" xwgnq." cpcnkeg" gn" eqorqtvc/okgpvq" fg" nc" hwpekôp" swg" fc" nc"fkuvcpekc"tgeqttkfc"rqt"gn"cxkôp"gp"52"okpwvqu0"Gudqeg"nc"itâhkec0""""
" ""Nncocoqu"x*v+"c"nc"hwpekôp"xgnqekfcf"{"f*v+"c"nc"hwpekôp"swg"fguetkdg"nc"fkuvcpekc"tgeqttkfc0"
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El Cálculo Diferencial
Para todo valor del dominio de v(t), la
pendiente de la recta tangente a la
gráfica de v(t) es positiva, es decir,
v' (t) = d'' (t) > 0.
La gráfica de d(t) es cóncava hacia arriba
para todo valor de t.
EJERCICIO
Dadas las gráficas de f '(x).
a) Determine los intervalos donde la función es creciente y decreciente.
Indique, si existen, los extremos relativos.
b) Encuentre los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y
cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión. c) Bosqueje una posible gráfica de f(x).
i) ii)
RESPUESTAS
a)i) Es creciente en (0, ∞) y decreciente en (−∞, 0), tiene un mínimo relativo en
x = 0.
ii) Es creciente en (0, 4) y decreciente en (−∞, 0) ∪ (4, ∞); la función tiene un
mínimo relativo en x = 0 y un máximo relativo en x = 4.
b)i) Como la pendiente de la recta tangente en cada punto es constante ( igual a
la pendiente positiva de la recta), f ''(x) es positiva, por lo tanto, f(x) es cóncava
hacia arriba en todo su dominio: (−∞, ∞). Como no hay cambios en la
concavidad la función no tiene puntos de inflexión.
ii) En cada punto del intervalo (−∞, 2) la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f '(x) es positiva, es decir, f ''(x) > 0, entonces en (−∞, 2) la función es
262
El Cálculo Diferencial
485
eôpecxc"jcekc"cttkdc0"Gp"ecfc"rwpvq"fgn"kpvgtxcnq"*4."∞+"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"tgevc"
vcpigpvg" gu" pgicvkxc." gu" fgekt." h" ''*z+" >" 2." gpvqpegu" gp" *4." ∞+" nc" hwpekôp" gu"eôpecxc"jcekc"cdclq0"Gp"eqpugewgpekc."gp"z"="4"jc{"wp"rwpvq"fg"kphngzkôp0"e+k+" " " " " " " kk+
" """
807"Etkvgtkq"fg" nc" ugiwpfc"fgtkxcfc"rctc" nc"fgvgtokpcekôp"fg"gzvtgoqu"tgncvkxqu""""""""""Nqu" oâzkoqu" tgncvkxqu" fg" wpc" hwpekôp" rgtvgpgegp" c" wp" kpvgtxcnq" fgn" fqokpkq"fqpfg"nc"eqpecxkfcf"fg" nc"hwpekôp"gu"jcekc"cdclq"{" nqu"oîpkoqu"tgncvkxqu"c"wp"kpvgtxcnq"fqpfg"nc"eqpecxkfcf"gu"jcekc"cttkdc0"
"
h")*e+"=""2"h" ))*z+">"2."rctc"vqfq"z"swg"rgtvgpgeg"c"wp"kpvgtxcnq"swg"eqpvkgpg"c"e0"h*z+"gu"eôpecxc"jcekc"cdclq0"""""""""""""""Gp"z"="e"gzkuvg"wp"oâzkoq"tgncvkxq. "
h")*e+"=""2"h" ))*z+"@"2."rctc"vqfq"z"swg"rgtvgpgeg"c"wp"kpvgtxcnq"swg"eqpvkgpg"c"e0"h*z+"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc0""Gp"z"="e"gzkuvg"wp"oîpkoq"tgncvkxq0
"Qdugtxcpfq"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"ug"qdvkgpg"wp"etkvgtkq"ow{"ukorng"rctc"gpeqpvtct"oâzkoqu"q"oîpkoqu"tgncvkxqu0""
Uk"h")*e+"="2"{"gzkuvg"wp"kpvgtxcnq"cdkgtvq"swg"eqpvkgpg"c""z"="e."gp"gn"swg"nc"itâhkec"fg"h"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc."gpvqpegu"h*e+"gu"wp"oîpkoq"tgncvkxq"fg"h0""
El Cálculo Diferencial
486
Cpânqicogpvg."uk"wpc"hwpekôp"h"gu"vcn"swg"h")*e+"="2"{"gzkuvg"wp"kpvgtxcnq"cdkgtvq"swg"eqpvkgpg"c"z"="e."gp"gn"swg"nc"itâhkec"fg"h"gu"eôpecxc"jcekc"cdclq."gpvqpegu"h*e+"gu"wp"oâzkoq"tgncvkxq"fg"h0"
Ugc"h"wpc"hwpekôp"swg"xgtkhkec"swg"h" )*e+"="2"{"vcn"swg"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"fg"h"gzkuvg"gp"wp"kpvgtxcnq"cdkgtvq"swg"eqpvkgpg"c"e<"
c+"Uk"h"))*e+">"2"⇒"gp"z"="e"jc{"wp"oâzkoq"tgncvkxq0"d+"Uk"h"))*e+"@"2"⇒"gp"z"="e"jc{"wp"oîpkoq"tgncvkxq0""Guvg" etkvgtkq" gu" eqpxgpkgpvg" uk" nc" fgtkxcfc" ugiwpfc" gu" hâekn" fg" ecnewnct" rwgu"eqoq"ug"jc"fkejq."uônq"gzkig"eqpqegt"gn"ukipq"gp"wp"rwpvq0"Pq"rwgfg"wuctug"uk"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"gu"fkhîekn"fg"jcnnct"q"uk"nc"hwpekôp"gngikfc"pq"vkgpg"fgtkxcfc"gp" gn" rwpvq0" Vcorqeq" rtqrqtekqpc" kphqtocekôp" uk" nc" fgtkxcfc" ugiwpfc" gzkuvg"rgtq"gu"pwnc"{"vcorqeq"tgurgevq"c"nqu"rwpvqu"fqpfg"h"pq"gzkuvg0""
ETKVGTKQ"FG"NC"UGIWPFC"FGTKXCFC"
Xcnqt"etîvkeq"
Ukipq"fg"nc"h"))*z+"gp"gn"xcnqt"etîvkeq"
Eqpenwukôp"
e" -"
"*e."h*e++"gu"wp"oîpkoq"tgncvkxq"
e" −"
"*e."h*e++"gu"wp"oâzkoq"tgncvkxq"
e" 2""
Pq"jc{"eqpenwukôp""
"Glgornq0"Gpewgpvtg."uk"gzkuvgp."nqu"gzvtgoqu"tgncvkxqu"fg"nc"hwpekôp"fghkpkfc"rqt<"
h*z+"="z5"⁄"4z4"-"z"wucpfq"gn"etkvgtkq"fg"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc0""""
El Cálculo Diferencial
487
Rctc"fgvgtokpct" nqu"gzvtgoqu"fg" nc" hwpekôp"wvknk|cpfq"gn"etkvgtkq"fg" nc"fgtkxcfc"ugiwpfc."fgdgoqu"ecnewnct"nc"rtkogtc"{"nc"ugiwpfc"fgtkxcfc0"
h")*z+"="5z4"⁄"6z"-"3""{"" h"))*z+""="8z"⁄"6"Dwuecoqu"nqu"xcnqtgu"fg"z"rctc"nqu"ewcngu"h")*z+"="2"{"cpcnk|coqu"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"gp"guqu"xcnqtgu0"
h")*z+"="2"⇔"5z4"⁄"6z"-"3"="2"⇔"z"="3"="5
3z = 0"
h"))*3+"@"2"⇒"gp"z"="3"gzkuvg"wp"oîpkoq"tgncvkxq<"*3."2+0"
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛5
3"h )) " ">"2"⇒"gp""
5
3z = "gzkuvg"wp"oâzkoq"tgncvkxq0""
Gn"xcnqt"oâzkoq"rctc"5
3z = "tguwnvc"{"="
49
6"0"
"
Rtqdngoc"
Nc" hwpekôp"e*z+"=" ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +54
z
z
422036 fguetkdg"gn"equvq"fg"eqodwuvkdng"fg"wp"
ecokôp" swg" tgcnk|c" wp" xkclg" c" z" mknôogvtqu" rqt" jqtc0" Gpewgpvtg" nc"xgnqekfcf"swg"rtqfwektâ"wp"equvq"vqvcn"oîpkoq"{"fgvgtokpg"fkejq"equvq0"
"
Dwuecoqu"gn"xcnqt"oîpkoq"fg"nc"hwpekôp"equvq."e*z+"=" ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
54
z
z
42236 ."wvknk|cpfq"
gn"etkvgtkq"fg"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc0"Fgdgoqu"vgpgt"gp"ewgpvc"swg"nc"hwpekôp"guvâ"fghkpkfc"rct"xcnqtgu"fg"z"oc{qtgu"
swg"egtq0"Ecnewncoqu"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"e")*z+"=" ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−54
3
z
42236
4"{"dwuecoqu"
nqu"rwpvqu"fqpfg"gu"egtq"{"fqpfg"pq"gzkuvg0""
e")*z+"="2"⇒" ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−54
3
z
42236
4"="2"""⇒"""
54
3
z
4224
+−
="2"""⇒"""4
4
z54
z8622 +−="2"
e")*z+"="2"⇒"⁄8622"-"z4"="2""⇒"z"="±":2""e")*z+"pq"gzkuvg"gp"z"="2""Fg" nqu" vtgu" rwpvqu" qdvgpkfqu" fgdgoqu" uônq" vgpgt" gp" ewgpvc" z" =" :2" swg"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp0"Ecnewncoqu"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"{"nc"gxcnwcoqu"gp"gug"xcnqt0"
e"))*z+"=" ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5z
62236 "⇒"e"))*:2+"@"2""
Rqt"nq"vcpvq"gp"z"=":2"nc"hwpekôp"vkgpg"wp"oîpkoq"tgncvkxq0"Ecnewncoqu"nc"kocigp"swg"ng"eqttgurqpfg."e*:2+"="920"
Gn"equvq"vqvcn"oîpkoq"gu"fg"&"92"{"ug"rtqfweg"uk"gn"ecokôp"xkclc"c":2"j
mo0"
El Cálculo Diferencial
488
GLGTEKEKQ""Gpewgpvtg" nqu"gzvtgoqu"tgncvkxqu"fg" ncu"ukiwkgpvgu" hwpekqpgu"wucpfq"gn"etkvgtkq"fg"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc<"
" c+"h*z+"="−6z4"-"8z"−"32" """d+"h*z+"="9"-"5z4"−"z5"""""""e+"h*z+"="4*z"-"6+4""TGURWGUVCU"
c+" ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
6
53.6
5"oâzkoq"tgncvkxq"
d+"*2."9+"oîpkoq"tgncvkxq."*4."33+"oâzkoq"tgncvkxq" "e+"*−6."2+"oîpkoq"tgncvkxq""
"808"Cuîpvqvcu""""""""""""Ncu"cuîpvqvcu"uqp"tgevcu"c"ncu"ewcngu"ug"crtqzkoc"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp0"Ncu"okuocu"c{wfcp"c"nc"tgrtgugpvcekôp"fg"nc"ewtxc0"Fkuvkpiwkoqu"vtgu"vkrqu<""•" xgtvkecngu"•" jqtk|qpvcngu""•" qdnkewcu0"
" ""Cuîpvqvc"xgtvkecn"Ncu" cuîpvqvcu" xgtvkecngu" uqp" tgevcu" vtc|cfcu" gp" nqu" rwpvqu" fg" fkueqpvkpwkfcf"kphkpkvc"fg"nc"hwpekôp0""Fghkpkekôp0"Nc"tgevc"fg"gewcekôp""z"="c"gu"wpc"cuîpvqvc"xgtvkecn"ewcpfq"cn"ogpqu"
wpq"fg"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu."ewcpfq"z→c−"q"z→c-."""gu"kphkpkvq0""Gu"fgekt<""uk" ⇒∞±=
±→"""+z*hnîo
cz""z"="c"gu"wpc"cuîpvqvc"xgtvkecn0
El Cálculo Diferencial
489
h*z+"→"+∞"ewcpfq"z"→"c−"
h*z+"→"+∞"ewcpfq"z"→"c-
" "
h*z+"→"−∞"ewcpfq"z"→"c−" h*z+"→"−∞"ewcpfq"z"→"c-""
Glgornq0"Cpcnkeg" nc" itâhkec" rctc"gpeqpvtct" nc" q" ncu" cuîpvqvcu"xgtvkecngu"
"Gp"nc"itâhkec"rqfgoqu"qdugtxct"swg"ewcpfq"z"ug"cegtec"c"3"rqt" k|swkgtfc."gu"fgekt" xcnqtgu"ogpqtgu"c"3." nc" hwpekôp" vqoc"xcnqtgu"ecfc"xg|"oâu"itcpfgu"gp"xcnqt" cduqnwvq" rgtq" pgicvkxqu0"Ewcpfq" z" ug" cegtec"c" 3" rqt" fgtgejc." gu" fgekt"xcnqtgu"oc{qtgu"c"3." nc" hwpekôp" vqoc"xcnqtgu"ecfc"xg|"oâu"itcpfgu"gp"xcnqt"cduqnwvq"rgtq"rqukvkxqu0"
−∞=−→
+z*hnîo3z
{ +∞=+→
+z*hnîo3z
""
"Nc" tgevc" z" =" 3" gu" cuîpvqvc"xgtvkecn"fg"nc"hwpekôp0"Tgrtgugpvcoqu"nc"hwpekôp"eqp"nc"cuîpvqvc" xgtvkecn" kpfkeâpfqnc" eqp"nîpgc"rwpvgcfc0""
"
El Cálculo Diferencial
48:
Glgornq0"Qdvgpic"nc"q"ncu"cuîpvqvcu"xgtvkecngu"fg"nc"hwpekôp""""{"="4z
;z4
+−
0" "
"Ncu"cuîpvqvcu"xgtvkecngu."uk" "gzkuvg"cniwpc."ug"gpewgpvtcp"gp" nqu"rwpvqu"gp" nqu"swg"nc"hwpekôp"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"kphkpkvc0""Fgdgoqu"ecnewnct"gn"nîokvg"ewcpfq"z"vkgpfg"c"gug"xcnqt0"
4z
;znîo
4
4z +−
+−→"="−"∞" "
4z
;znîo
4
4z +−
−−→"="-"∞" """
Gzkuvg"cuîpvqvc"xgtvkecn."gu"nc"tgevc"fg"gewcekôp""z"="−40"Nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"{"nc"cuîpvqvc"xgtvkecn"ug"owguvtcp"gp"nc"ukiwkgpvg"itâhkec<"
"""GLGTEKEKQU"
3+"Cpcnkeg"ncu"itâhkecu"rctc"gpeqpvtct."uk"gzkuvgp."ncu"cuîpvqvcu"xgtvkecngu"fg"ncu"hwpekqpgu"fcfcu<"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""c+
d+
4+"Jcnng"cpcnîvkecogpvg"ncu"cuîpvqvcu"xgtvkecngu"fg"ncu"hwpekqpgu"fcfcu."uk"gu"swg"gzkuvgp<"
c+"6z
5z{
4 −
+= " " d+"
4z
4zz{
4
+−+
= " " e+"z
4{ −= "
El Cálculo Diferencial
48;
TGURWGUVCU"3+c+"z"="−3" d+"z"="3" 4+c+"z"="−4."z"="4" ""d+"Pq"vkgpg"cuîpvqvc0" e+"z"="2""
Cuîpvqvc"jqtk|qpvcn""
Fghkpkekôp0"Nc" tgevc"fg"gewcekôp"{"=" d" gu" wpc"cuîpvqvc" jqtk|qpvcn"uk"
"d+z*hnîo""""{""""d+z*hnîozz
==+∞→−∞→
" "
"Rqfgoqu"fgekt<""•" uk" """m+z*hnîo
z⇒=
+∞→{"="m"gu"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"rqt"fgtgejc0"
"•" uk" """j+z*hnîo
z⇒=
−∞→{"="j"gu"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"rqt"k|swkgtfc0
"
Glgornq<" Cpcnkeg" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" rctc" gpeqpvtct" nc" q" ncu" cuîpvqvcu"jqtk|qpvcngu<""
C" ogfkfc" swg" z" vqoc" xcnqtgu"ecfc"xg|"oâu"itcpfgu"gp"xcnqt"cduqnwvq." {c" ugcp" rqukvkxqu" q"pgicvkxqu." nqu" xcnqtgu" fg" {" ug"cegtecp" q" vkgpfgp" c" −40"
4+z*hnîoz
−=−∞→
{ 4+z*hnîoz
−=+∞→
."
Nc"tgevc"{"="−4"gu"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"fg"nc"hwpekôp0"
Glgornq0" Fgvgtokpg" uk" ncu" hwpekqpgu" fcfcu" vkgpgp" cuîpvqvcu" jqtk|qpvcngu0" Gp"ecuq"chktocvkxq."jcnng"uw"gewcekôp0"
c+"h*z+"="3z
z4
4
+" " " " " d+"h*z+"="gz"
"
El Cálculo Diferencial
492
c+"Ecnewncoqu"gn"nîokvg"fg"nc"hwpekôp"ewcpfq"nc"xctkcdng"kpfgrgpfkgpvg"vkgpfg"c"kphkpkvq0"
33z
znîo
4
4
z=
++∞→"""{" 3
3z
znîo
4
4
z=
+−∞→0"Nc"tgevc"
{"="3"gu"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"fg"nc"hwpekôp0""" "
"
d+"Rctc"nc"hwpekôp"{"="gz<"
" +∞=+∞→
z
zgnîo 2gnîo z
z=
−∞→
Nc" tgevc" {" =" 2" gu" cuîpvqvc" jqtk|qpvcn" rqt"k|swkgtfc"fg"nc"hwpekôp0" "
"""GLGTEKEKQU"
3+"Fgvgtokpg"ncu"cuîpvqvcu"jqtk|qpvcngu"fg"ncu"hwpekqpgu"fghkpkfcu"itâhkecogpvg<"c+" " " " " " d+"
4+"Jcnng"cpcnîvkecogpvg"ncu"cuîpvqvcu"jqtk|qpvcngu"fg"ncu"hwpekqpgu"fcfcu."uk"gu"swg"gzkuvgp<"
c+"h*z+"="3z
37
4 +− """" d+"h*z+"="
3z
7z5z44
4
+
+−" """""""""e+"h*z+"="
4z
5z4 − "
"TGURWGUVCU"3+c+"{"="3" " "d+"{"="5"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"rqt"k|swkgtfc."{"="⁄5"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"rqt"fgtgejc0"4+c+"{"="7" d+"{"="4" e+"Pq"vkgpg"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn0"""
El Cálculo Diferencial
493
Cuîpvqvc"qdnkewc"
•" nc" tgevc" {" =" oz" -" j" " gu"cuîpvqvc" qdnkewc" rqt" nc"fgtgejc"fg" nc" hwpekôp" h"uk"
[ ] "2+joz*+z*hnîoz
=+−+∞→
"
""•" nc" tgevc" {" =" oz" -" j" gu"cuîpvqvc" qdnkewc" rqt" nc"k|swkgtfc"fg"nc"hwpekôp"h"uk"
[ ] "2+joz*+z*hnîoz
=+−∞−→
"
""Fghkpkekôp0"
•" {" =" oz" -" j" " " gu" cuîpvqvc" qdnkewc" rqt" nc" fgtgejc" uk" "oz
+z*hnîoz
=+∞→
{"
[ ] "joz+z*hnîoz
=−+∞→
"
•" {" =" oz" -" j" " gu" cuîpvqvc" qdnkewc" rqt" nc" k|swkgtfc" uk" "oz
+z*hnîoz
=−∞→
{"
[ ] "joz+z*hnîoz
=−−∞→
"
Ewcpfq"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"cuîpvqvc"qdnkewc"vqoc"gn"xcnqt"egtq."fkejc"cuîpvqvc"gu"jqtk|qpvcn0""Glgornq0" Cpcnkeg" nc" itâhkec"rctc" gpeqpvtct" nc" q" ncu"cuîpvqvcu"fg"nc"hwpekôp<"
"Nc"hwpekôp"vkgpg"wpc"cuîpvqvc"xgtvkecn"gp"z"="3"{"wpc"cuîpvqvc"qdnkewc"fg"gewcekôp"{"="z"-"30"
Glgornq0"Qdvgpic"nc"q"ncu"cuîpvqvcu"qdnkewcu"fg"nc"hwpekôp"""h*z+"="4z
;z4
+−
0" "
El Cálculo Diferencial
494
Ncu" cuîpvqvcu" qdnkewcu" uqp" tgevcu" fg" gewcekôp" {" =" oz" -" j." fqpfg" o" gu" nc"rgpfkgpvg" {" j" nc" qtfgpcfc"cn" qtkigp0"Rctc" gpeqpvtct" nc" rgpfkgpvg"o"fgdgoqu"
jcegt<""o"="z
+z*hnîo
""z ∞±→"=
z4z
;z
nîo
4
""z
+−
∞±→=
z4z
;znîo
4
4
""z +
−∞±→
"="3"
Nc" cuîpvqvc" qdnkewc" gzkuvg0" Rctc" gpeqpvtct" nc" qtfgpcfc" cn" qtkigp" fgdgoqu"ecnewnct"gn" [ ]oz+z*hnîo
""z−
∞±→0"
j"="⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+−
∞±→z03
4z
;znîo
4
""z=
4z
z4z;znîo
44
""z +−−−
∞±→"=
4z
;z4nîo"""z +
−−∞±→
"="⁄4"
Rqt" nq" vcpvq" nc" cuîpvqvc" qdnkewc" gu" nc"tgevc"fg"gewcekôp"""{"="z"⁄"40"Gp" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" rqfgoqu"qdugtxct"ncu"eqpenwukqpgu"qdvgpkfcu<""
""Glgornq<"Fgvgtokpg"gn"fqokpkq"{" ncu"gewcekqpgu"fg" ncu"cuîpvqvcu"fg" nc" hwpekôp""
h*z+"="z4
6z4 +0" "
"Gn"fqokpkq"gu"gn"eqplwpvq"fg"nqu"pûogtqu"tgcngu"gzegrvq"gn"egtq."F"="T"−"}2Ä0"Nc"rqukdng"cuîpvqvc"xgtvkecn"ug"gpewgpvtc"gp"z"="2."rwpvq"fg"fkueqpvkpwkfcf"fg"nc"hwpekôp0"Ecnewncoqu"gn"nîokvg"ewcpfq"z"→"20""
+∞=+
+→ z4
6znîo
4
2z.""""" −∞=
+−→ z4
6znîo
4
2z. Nc"cuîpvqvc"xgtvkecn"gu"nc"tgevc"z"="20"
"Rctc"fgvgtokpct"uk"gzkuvg"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn."rncpvgcoqu"gn"nîokvg"ewcpfq"z"→"∞0""
∞=
+
=+
∞±→∞±→4
44
4
""z
4
""z
z
z4z
6
z
z
nîoz4
6znîo 0"Pq"gzkuvg"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn0"
"Rctc"gpeqpvtct."uk"gu"swg"gzkuvg."nc"q"ncu"cuîpvqvcu"qdnkewcu."rncpvgcoqu"gn"nîokvg"
ewcpfq"z"→"∞"fg"z
+z*h."swg"gu"nc"rgpfkgpvg"fg"nc"okuoc0"
El Cálculo Diferencial
495
o"="4
3
z4
6znîoz
z4
6znîo
4
4
""z
4
""z=
+=
+∞±→∞±→
<
Nc"qtfgpcfc"cn"qtkigp"gu"gn"nîokvg"ewcpfq"z"→"∞"fg"*h*z+"−"oz+."gu"fgekt<"
j"=" 2z
4nîo
z4
z6znîoz
4
3
z4
6znîo
"z
44
""z
4
""z==
−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+∞±→∞±→∞±→
"
Nc"tgevc"fg"gewcekôp""{"=" z4
3"gu"nc"cuîpvqvc"qdnkewc"fg"nc"hwpekôp"h*z+"="
z4
6z4 +0"
"GLGTEKEKQU"
3+"Fgvgtokpg"ncu"cuîpvqvcu"qdnkewcu"fg"ncu"hwpekqpgu"fghkpkfcu"itâhkecogpvg<"" c+" " " " " " d+"
" "4+"Jcnng"cpcnîvkecogpvg"ncu"cuîpvqvcu"qdnkewcu"fg"ncu"hwpekqpgu"fcfcu."uk"gu"swg"gzkuvgp<"
c+"h*z+"="4z
5z4z4
+−−
" " d+"h*z+"="3z
z4 4
+" " e+"h*z+"="
5z
5z
−+
"
5+"Ncu"tgevcu"z"= 5."{"="−3."z"="3."z"="−3."{"="5."{"="z"-"9."{"="2"uqp"cuîpvqvcu"fg"wpc" q" oâu" fg" ncu" hwpekqpgu" tgrtgugpvcfcu" itâhkecogpvg0" Fgvgtokpg" ewân" q"ewângu" eqttgurqpfg" c" ecfc" itâhkec" {" gurgekhkswg" uk" uqp" cuîpvqvcu" xgtvkecngu."jqtk|qpvcngu"w"qdnkewcu0"" c+" " " " " " d+"
"
""
El Cálculo Diferencial
496
e+" " " " " " f+"
" "
6+"Ecnewng"ncu"cuîpvqvcu"fg"ecfc"wpc"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu<"
" c+"h*z+"=" 43z
z6
4+
+"" d+"h*z+"="
3z
7z5z44
4
+
+−" " e+"h*z+"="
6z
64 +
"
f+"h*z+"=4z
z3 4
+−
" " g+"h*z+"="4
4
z3
z63
−
−" " " h+"h*z+"="
z6
4z4 +"
"TGURWGUVCU"3+c+"{"="z"-"3" " d+"{"="z""""4+c+"{"="z"⁄"6" " d+"{"="4z"⁄"4"" e+"Pq"vkgpg"cuîpvqvc"qdnkewc0"5+c+" " {"=" 5" cuîpvqvc" jqtk|qpvcn=" "d+" z"=" −3" {" z" =" 3" cuîpvqvcu" xgtvkecngu." {"=" 2"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn="e+"z"="3"cuîpvqvc"xgtvkecn."{"="−3"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn="f+"z"="5"cuîpvqvc"xgtvkecn."{"=""z"-"9"cuîpvqvc"qdnkewc"6+c+" {" =" 4" cuîpvqvc" jqtk|qpvcn=" d+" {" =" 4" cuîpvqvc" jqtk|qpvcn=" e+" {" = 2" cuîpvqvc"jqtk|qpvcn="f+"z"="−4"cuîpvqvcu"xgtvkecn."{"= −z"-"4"cuîpvqvc"qdnkewc="g+"z"="3."z"="−3"
cuîpvqvcu"xgtvkecngu."{"="6"cuîpvqvc"jqtk|qpvcn="h+"z"="2"cuîpvqvc"xgtvkecn."{"=" z6
3"
cuîpvqvc"qdnkewc0""
"
809"Guvwfkq"fg"hwpekqpgu"""""""""""""""""""""""""""Rqt"guvwfkq"fg" hwpekôp"gpvgpfgoqu" nc" tgeqpuvtweekôp"fg" nc" hqtoc"eqorngvc"fg"uw"itâhkec."c"rctvkt"fg" nc"eqttgurqpfkgpvg""gzrtgukôp""cnigdtckec."ukp"pgegukfcf"fg" jcegt" vcdnc" fg" xcnqtgu0" Rctc" rqfgt" tgcnk|ctnq" pgegukvcoqu" kphqtocekôp"cfkekqpcn"uqdtg"ncu"ectcevgtîuvkecu"fg"nc"itâhkec0""Tguwogp"fg"nqu"rcuqu"c"ugiwkt"gp"wp"guvwfkq"fg"hwpekôp0"•" Fgvgtokpcekôp"fgn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp0"•" Kpvgtugeekôp"eqp"nqu"glgu"eqqtfgpcfqu0"•" Rctkfcf"{"cpânkuku"fg"ukogvtîcu0"•" Qdvgpekôp"fg"nqu"rwpvqu"fg"fkueqpvkpwkfcf0"•" Fgvgtokpcekôp"fg"ncu"gewcekqpgu"fg"ncu"cuîpvqvcu0""
El Cálculo Diferencial
497
•" Guvwfkq"fg"nqu"kpvgtxcnqu"fg"etgekokgpvq"{"fgetgekokgpvq"{"fgvgtokpcekôp"fg"gzvtgoqu"tgncvkxqu"*oâzkoqu"{1q"oîpkoqu+0"•" Guvwfkq"fg"nc"eqpecxkfcf"{"rwpvqu"fg"kphngzkôp0"•" Tgrtgugpvcekôp"itâhkec0""
Glgornq0"Tgcnkeg"gn"guvwfkq"eqorngvq"fg"nc"hwpekôp"{"="z
47z4 +0"
Ugiwktgoqu" nqu"rcuqu"gpwpekcfqu"cpvgtkqtogpvg"rctc"eqpvct" eqp" nqu" tgewtuqu"pgeguctkqu"rctc"tgcnk|ct"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp0"c+"Fqokpkq"fg"nc""hwpekôp"Nc"hwpekôp"gu"wp"eqekgpvg"fg"fqu"hwpekqpgu"rqnkpôokecu0"Rqt" nq"vcpvq"gn"fkxkuqt"pq"rwgfg"ugt"egtq0"Gn"fqokpkq"gu"gn"eqplwpvq"fg"nqu"pûogtqu"tgcngu"gzegrvq"gn"egtq0""F"="T"−"}2Ä"d+"Kpvgtugeekqpgu"eqp"nqu"glgu"eqqtfgpcfqu0"Rctc"gpeqpvtct"nc"kpvgtugeekôp"eqp"gn"glg"z"fgdgoqu"jcegt"{"="20"
Tggornc|cpfq" {" rqt" egtq" ug" qdvkgpg" 2z
47z4=
+." gewcekôp" swg" pq" vkgpg"
uqnwekôp"gp"gn"eqplwpvq"fg"nqu"pûogtqu"tgcngu0"Rqt"nq"vcpvq"pq"jc{"kpvgtugeekôp"eqp"gn"glg"fg"cduekucu0"Rctc" fgvgtokpct." uk" gu" swg" gzkuvg." gn" rwpvq" fg" kpvgtugeekôp" eqp" gn" glg" fg"qtfgpcfcu"fgdgoqu"tggornc|ct"z"="20"Eqoq"guvg"xcnqt"pq"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp."vcorqeq"gzkuvg"kpvgtugeekôp"eqp"gn"glg"fg"qtfgpcfcu0"e+"Rctkfcf"{"cpânkuku"fg"ukogvtîcu0"Tgeqtfgoqu"swg"wpc"hwpekôp"gu"rct"uk"h*−z+"="h*z+"{"gu"korct"uk"h*−z+"="−h*z+0"Fgvgtokpgoqu"h*−z+0"
h*−z+"="z
47z
z
47z 44 +−=
−+
="−h*z+""
Nc" hwpekôp" gu" korct" {" uw" itâhkec" ukoêvtkec" eqp" tgurgevq" cn" qtkigp" fg"eqqtfgpcfcu0"f+"Rwpvqu"fg"fkueqpvkpwkfcf"Nc"hwpekôp"gu"fkueqpvkpwc"gp""z"="2."fqpfg"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"kphkpkvc"{c"swg"
−∞=+
−→ z
47znîo
4
2z"""{""" +∞=
++→ z
47znîo
4
2z0"
g+"Cuîpvqvcu"Ugiûp"nq"cpcnk|cfq"gp"gn"rwpvq"cpvgtkqt"nc"hwpekôp"rtgugpvc"wpc"cuîpvqvc"xgtvkecn"fg"gewcekôp"z"="20"Xgcoqu" swê" uwegfg" eqp" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" nc" hwpekôp" ewcpfq" z" vkgpfg" c"kphkpkvq0"
−∞=+
−∞→ z
47znîo
4
z"{" +∞=
++∞→ z
47znîo
4
z0"
Nc"hwpekôp"pq"rtgugpvc"cuîpvqvcu"jqtk|qpvcngu0"Cpcnkegoqu"uk"gzkuvg"cuîpvqvc"qdnkewc0"
El Cálculo Diferencial
498
o"= 3z
47znîo
zz
47z
nîo4
4
"z
4
"z=
+=
+
∞±→∞±→""
j"= 2z
47nîo
z
z47znîoz3
z
47znîo
"z
44
"z
4
"z==
−+=−
+∞±→∞±→∞±→
0"
Nc"tgevc"{"="z"gu"cuîpvqvc"qdnkewc"fg"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp0"h+"Kpvgtxcnqu"fg"etgekokgpvq"{"fgetgekokgpvq"{"gzvtgoqu"tgncvkxqu."uk"gzkuvgp0"Wvknkegoqu"gn"etkvgtkq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc0""
h")"*z+"= ( )4
44
z
47zz4 +−""⇒""h")"*z+"="
4
4
z
47z −0""
Nqu"rwpvqu"etîvkequ"uqp""z"="7""{""z"="−7"fqpfg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"ug"cpwnc0""z" =" 2" gu" gn" xcnqt" fg" z" rctc" gn" ewcn" pq" gzkuvg" nc" rtkogtc" fgtkxcfc0" Öuvg" pq"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"{"rqt"gug"oqvkxq"pq"gu"wp"rwpvq"etîvkeq0"Fg"vqfqu" oqfqu" fgdg" vgpgtug" gp" ewgpvc" rctc" cpcnk|ct" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" nc"hwpekôp"c"codqu"ncfqu"fgn"okuoq0"""Eqp"guvqu"rwpvqu"ug"fgvgtokpcp"nqu"kpvgtxcnqu"{"ug"cpcnk|c"gp"ecfc"wpq"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc0"
Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h") Eqorqtvcokgpvq"fg"nc"hwpekôp"
*−∞."−7+" -" h"etgeg"
*−7."2+" −" h"fgetgeg"
*2."7+" −" h"fgetgeg"
*7."∞+" -" h"etgeg"Qdugtxcpfq" nc" vcdnc" rqfgoqu" eqpenwkt" swg" nc" hwpekôp" cnecp|c" wp" oâzkoq"tgncvkxq"gp"z"="−7"{"wp"oîpkoq"tgncvkxq"gp"z"="70""Nqu" rwpvqu" *−7." −32+" {" *7." 32+" uqp." tgurgevkxcogpvg." gn" oâzkoq" {" oîpkoq"tgncvkxqu"fg"nc"hwpekôp0"i+"Kpvgtxcnqu"fqpfg"nc"itâhkec"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc"{"eôpecxc"jcekc"cdclq"{"rwpvqu"fg"kphngzkôp."uk"nqu"jc{0"Ug"ecnewnc"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"fg"nc"hwpekôp0"
h"))"*z+"="56
45
z
72
z
z4"47zz4=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
0"Guvc"gzrtgukôp"pq"ug"cpwnc"gp"pkpiûp"rwpvq"
{"pq"gzkuvg"gp"z"="2."rqt"nq"vcpvq"hqtocoqu"nqu"kpvgtxcnqu"eqp"guvg"ûpkeq"xcnqt0"Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h")) Itâhkec"
*−∞."2+" −" eôpecxc"jcekc"cdclq"
*2."∞+" -" eôpecxc"jcekc"cttkdc"
Uk"dkgp"nc"itâhkec"ecodkc"fg"eqpecxkfcf"gp"z = 2."pq"gzkuvg"rwpvq"fg"kphngzkôp"{c"swg"gn"okuoq"pq"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp0"j+"Itâhkec"Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"vqfq"nq"cpcnk|cfq"ug"tgcnk|c"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp0"
El Cálculo Diferencial
499
"Rtqdngoc"
Ncu" hwpekqpgu" swg" fguetkdgp" ncu" tgncekqpgu" gpvtg" ecpvkfcfgu" fg" fqu"ctvîewnqu" swg" rwgfgp" ugt" rtqfwekfqu" rqt" nc" okuoc" oâswkpc" q" hâdtkec"tgekdgp"gn"pqodtg"fg"hwpekqpgu"fg"rtqfwevq/kpvgtecodkq0"Wpc" tghkpgtîc" fg" rgvtôngq" rwgfg" rtqfwekt" icuqnkpc." cegkvg" q" wpc"eqodkpcekôp" fg" nqu" fqu0" Nc" hwpekôp" fg" rtqfwevq/kpvgtecodkq" rctc"
icuqnkpc"z"{"cegkvg"{."gp"ekgpvqu"fg"nkvtqu"rqt"fîc"gu<"z4347
z47222"347{
+−
= 0"
c+"Itchkswg"nc"hwpekôp."tgcnk|cpfq"rtgxkcogpvg"gn"guvwfkq"fg"nc"okuoc0"d+" Guvkog" ncu" ecpvkfcfgu" oâzkocu" fg" ecfc" rtqfwevq" swg" rwgfgp" ugt"rtqfwekfcu0""
c+"Cpcnk|coqu"gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp0"Fcfq" swg" z" g" {" tgrtgugpvcp" ekgpvqu" fg" nkvtqu" fg" icuqnkpc" {" cegkvg."tgurgevkxcogpvg."pkpiwpc"fg"ncu"fqu"xctkcdngu"rwgfg"vqoct"xcnqtgu"pgicvkxqu0"Q" ugc" z"≥" 2" g" {"≥" 20" Rctc" jcnnct" nqu" xcnqtgu" fg" z" swg" ucvkuhcegp" nc" ugiwpfc"
fgukiwcnfcf"ug"cpcnk|c< 2z4347
z47222"347≥
+−
"
Rctc" tguqnxgt" guvc" kpgewcekôp" ug" fgvgtokpcp" nqu" egtqu" fgn" pwogtcfqt" {" fgn"fgpqokpcfqt"{" ug"guvwfkcp" nqu"ukipqu"fgn" eqekgpvg"gp" nqu" kpvgtxcnqu"swg"guqu"xcnqtgu"fgvgtokpcp0"347"222"−"47z"="2"⇒"z"="7222" ." 347"-"4z"="2"⇒"z"="−"84.7"Gn"ûnvkoq"xcnqt"pq"nq"vgpgoqu"gp"ewgpvc"rqtswg"z"fgdg"ugt"oc{qt"q"kiwcn"c"egtq0"
" *2."7222+" *7222."∞+"347"222"−"47z" -" −"347"-"4z" -" -"
z4347
z47222"347
+−
" -" −"
"Tguwnvc"{"@"2"gp"*2."7222+0"Gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"gu"gn"eqplwpvq"fg"pûogtqu"tgcngu"vcngu"swg""2"≤"z"≤"72220"""
El Cálculo Diferencial
49:
Kpvgtugeekqpgu"eqp"nqu"glgu"eqqtfgpcfqu0"
Rctc"jcnnct"nc"kpvgtugeekôp"eqp"gn"glg"z"jcegoqu"{"="2."qdvgpkgpfq"z"="72220"Uk" jcegoqu" z" =" 2" qdvgpgoqu" nc" kpvgtugeekôp" eqp" gn" glg" fg" qtfgpcfcu." swg"tguwnvc"{"="32220"Nqu"rwpvqu"fg"kpvgtugeekôp"eqp"nqu"glgu"eqqtfgpcfqu"uqp"*2."3222+"{"*7222."2+0"Cuîpvqvcu0"
Gn"ûpkeq"rwpvq"fg"fkueqpvkpwkfcf"fg"nc"hwpekôp"ug"rtgugpvc"gp"z"="−84.7"swg"pq"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq."rqt"nq"vcpvq"pq"jc{"cuîpvqvcu"xgtvkecngu0"Rctc" gpeqpvtct" ncu" cuîpvqvcu" jqtk|qpvcngu" ecnewncoqu" gn" nîokvg" fg" nc" hwpekôp"ewcpfq"z"vkgpfg"c"-"∞0"
4
47
z4347
z47222"347nîo"z
−=+
−∞+→
"
Eqoq"gp"gn"rtqdngoc"pkpiwpc"fg"ncu"xctkcdngu"rwgfg"cuwokt"xcnqtgu"pgicvkxqu."nc"hwpekôp"pq"vkgpg"cuîpvqvcu"jqtk|qpvcngu0"
Pq"gzkuvg"cuîpvqvc"qdnkewc"fcfq"swg"o"= 2z
z4347
z47222"347
nîo"z
=+−
∞+→0""
Etgekokgpvq"fg"nc"hwpekôp0"
( ) ( )( )4z4347
40z47222"347z4347047{)
+
−−+−= ="
( )4z4347
347"475{)
+
−= 0"
Guvc"gzrtgukôp"pq"ug"cpwnc"rctc"pkpiûp"xcnqt"fg"z"{"guvâ"fghkpkfc"gp"vqfqu"nqu"xcnqtgu" fgn" fqokpkq" rqt" nq" vcpvq" nc" hwpekôp" pq" vkgpg" rwpvqu" etîvkequ0" Rqfgoqu"
qdugtxct"swg"{)"gu"ukgortg"pgicvkxc."rqt"nq"vcpvq"nc"hwpekôp"fcfc"gu"fgetgekgpvg"gp"gn"fqokpkq"fghkpkfq"rctc"guvg"rtqdngoc0"Eqpecxkfcf0"
{"))*z+"=" ( )( )6z4347
40z4347040347"475
+
+"="
( )5z4347
722"234"3
+."gzrtgukôp"swg"pq"ug"cpwnc"{"swg"
guvâ"fghkpkfc"rctc" vqfqu" nqu"xcnqtgu"fgn"fqokpkq0"Cpcnk|cpfq"gn"ukipq"fg"{))*z+."gu" rqukvkxc" gp" gn" kpvgtxcnq" *2." 7222+." rqt" nq" vcpvq" nc" itâhkec" gu" eôpecxc" jcekc"cttkdc"gp"gn"fqokpkq"fgn"rtqdngoc0"Nc"itâhkec"gu<"
"
El Cálculo Diferencial
49;
d+"Gn"xcnqt"oâzkoq"fg"z"qewttg"ewcpfq"{"="2."rqt"nq"swg"nc"ecpvkfcf"oâzkoc"fg"icuqnkpc"swg"rwgfg"rtqfwekt"nc"tghkpgtîc"gu"722"222"nkvtqu"fg"eqodwuvkdng0"Nc" kpvgtugeekôp" eqp" gn" glg" {" fc" nc" ecpvkfcf" oâzkoc" fg" nkvtqu" fg" cegkvg" swg"rwgfgp"rtqfwektug."guvq"gu."322"222"nkvtqu0"""Crnkecekôp<"Equvq"g"kpitguq"gp"geqpqoîc"Gn" eânewnq" jc" eqpvtkdwkfq" gp" pwogtqucu" crnkecekqpgu" c" nc" Geqpqoîc0" Wpc" fg"gnncu"gu"nc"tgncekôp"swg"gzkuvg"gpvtg"gn"dgpghkekq."gn"kpitguq"{"gn"equvq0"Uwrqpicoqu"swg"t*z+"gu"gn" kpitguq"rqt"xgpfgt"z"wpkfcfgu."e*z+"gu"gn"equvq"fg"hcdtkect" z" wpkfcfgu." gpvqpegu" r*z+" =" t*z+" −" e*z+" gu" gn" dgpghkekq" fg" xgpfgt" z"wpkfcfgu0" Gn" kpitguq" {" gn" equvq"octikpcngu" fg" guvg" pkxgn" fg" rtqfweekôp" *fg" z"
wpkfcfgu+"uqp"fz
ft"{"fz
fe"tgurgevkxcogpvg0"Gzkuvg"wp"vgqtgoc"swg"cugiwtc"swg<"
Gn"dgpghkekq"oâzkoq"*uk" nq"jc{+"ug"qdvkgpg"gp"wp"pkxgn"fg"rtqfweekôp"vcn"swg"gn"
kpitguq"octikpcn"gu"kiwcn"cn"equvq"octikpcn0"Gu"fgekt"fz
fe
fz
ft= "q"t")*z+"="e")*z+0"""
Uwrqpicoqu"swg"t*z+"{"e*z+"uqp"fgtkxcdngu"rctc"vqfc"z"@"20"Uk"r*z+"="t*z+"−"e*z+"vkgpg"wp"oâzkoq."êuvg"ug"qdvkgpg"gp"wp"pkxgn"fg"rtqfweekôp"gp"gn"swg"r)"*z+"="20""Fcfq"swg"r")*z+"="t")*z+"−"e")*z+.""r")*z+"="2"kornkec"swg"t")*z+"−"e")*z+"="2."q"ugc""t")*z+"="e")*z+."nq"swg"fgowguvtc"gn"vgqtgoc0"Rqt" nq" vcpvq." vqfc" gortguc" swg" swkgtc" jcegt" rtq{geekqpgu" hkpcpekgtcu" fgdg"dwuect" nqu" pkxgngu" fg" rtqfweekôp" ew{qu" equvqu" octikpcngu" kiwcngp" cn" kpitguq"octikpcn0""Rtqdngoc"
Uwrqpicoqu"swg"nc"hwpekôp"t*z+"=" 45 z5
4z
8
3+− "tgrtgugpvc"gn"kpitguq"rqt"
xgpfgt"z"okngu"fg"wpkfcfgu"{"e*z+"=" zz5
3z
49
3 45 +− "owguvtc"gn"equvq"fg""
hcdtkect"z"okngu"fg"wpkfcfgu"gp"ekgtvc"gortguc0"c+"Tgcnkeg"gn"guvwfkq"fg"ncu"fqu"hwpekqpgu0"d+"ÀGzkuvg"cniûp"pkxgn"fg"rtqfweekôp"swg"oczkokeg"gn"dgpghkekq"qdvgpkfq"rqt"nc"gortgucA"e+"Dquswglg"uwu"itâhkecu"gp"wp"okuoq"ukuvgoc"ectvgukcpq0"
"
c+"Gn"fqokpkq"fg" nc"hwpekôp"uqp"vqfqu"nqu"tgcngu"rqukvkxqu"kpenwkfq"gn"egtq<" +2T 0"
Tgcnk|coqu"gn"guvwfkq"fg"nc"hwpekôp"kpitguq"t*z+"=" 45 z5
4z
8
3+− 0"Rctc"cpcnk|ct"
uw" etgekokgpvq" wvknk|ctgoqu" gn" etkvgtkq" fg" nc" fgtkxcfc" rtkogtc0" Dwuecoqu" nqu"
rwpvqu"etîvkequ"ecnewncpfq"nc"rtkogtc"fgtkxcfc.""t")*z+"=" z5
6z
4
3 4 +− 0"
"
El Cálculo Diferencial
Si r '(x) = 0 entonces x = 0 y x = 3
8. Formamos los intervalos considerando x > 0
pues representa cantidad de unidades.
Intervalo Signo r '(x) Crecimiento de r(x)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3
8 ,0 positivo crece
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞ ,3
8 negativo decrece
Analizamos la concavidad estudiando el signo de la derivada segunda.
r ''(x) =3
4x +− . Entonces r ''(x) = 0 si x =
3
4.
Intervalo Signo r ''(x) Concavidad
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3
4 ,0 positivo
cóncava hacia arriba
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞ ,3
4 negativo cóncava hacia abajo
Concluimos que x = 3
4 es la abscisa de un punto de inflexión de la gráfica de
r(x). Consideremos ahora la función costo c(x) = xx3
1x
27
1 23 +− .
c '(x) = 1x3
2x
9
1 2 +− .
Si c '(x) = 0 entonces x = 3 (raíz doble). Formamos los intervalos considerando
este punto crítico y teniendo en cuenta que x > 0 pues representa cantidad de
unidades.
Intervalo Signo c '(x) Crecimiento de c(x)
(0, 3) positivo crece
(3, ∞) positivo crece
La función no tiene extremos relativos.
Analizamos la concavidad estudiando el signo de la derivada segunda.
c ''(x) = 3
2x
9
2− . Si c '' (x) = 0 entonces x = 3.
Intervalo Signo c ''(x) Concavidad
(0, 3) negativo cóncava hacia abajo
(3, ∞) positivo cóncava hacia arriba
Luego, x = 3 es un punto de inflexión.
b) El teorema enunciado anteriormente asegura que el beneficio máximo (si lo
hay) se obtiene en un nivel de producción tal que el ingreso marginal es igual al
costo marginal. Es decir r '(x) = c '(x).
280
El Cálculo Diferencial
4:3
Rctc" fgvgtokpct" uk" gzkuvg" wp" pkxgn" fg" rtqfweekôp" swg" oczkokeg" gn" dgpghkekq"qdvgpkfq"rqt"nc"gortguc."ug"fgdgp"gpeqpvtct"nqu"xcnqtgu""fg""z""rctc"nqu""ewcngu"
t)*z+"="e")*z+0"
t")"*z+"=" z5
6z
4
3 4 +− "" {"" e")*z+"=" 3z5
4z
;
3 4 +− "
Uk"t")*z+"="e")*z+"gpvqpegu" z5
6z
4
3 4 +− "=" 3z5
4z
;
3 4 +− 0"
Citwrcpfq"ug"qdvkgpg"" 23z4z3:
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El Cálculo Diferencial
2) Dada la ley f(x) = 2x(x2 − 12):
a) Indique el dominio para que sea función.
b) Halle las intersecciones con el ejes coordenados.
c) Halle las ecuaciones de las asíntotas.
d) Analice el crecimiento y los extremos relativos.
e) Analice concavidad y puntos de inflexión.
f) Grafique.
3) Encuentre los extremos absolutos de la función f(x) = −x2 + 3x en [0, 3].
4) Defina gráficamente una función que cumpla las siguientes condiciones:
Df = [−3, 4], posea un mínimo absoluto en x = −3 y un máximo absoluto en x = 1;
f '(x) > 0, ∀ x ∈ (−3, 1) ∪ (3,4); f '(x) < 0, ∀ x ∈ (1, 3); f ''(x) < 0, ∀ x ∈ (−3, 2) y f
''(x) > 0, ∀ x ∈ (2, 4).
5) Encuentre las asíntotas a la función: f : R − {−1} → R / f(x) = 1x
5x52
+++x2
.
6) Dada la gráfica de la
función y = f(x), determine los
valores de x para los cuales:
a) f(x) crece;
b) f(x) decrece;
c) f(x) alcanza un máximo
relativo;
d) f(x) alcanza un mínimo
relativo;
e) la derivada es nula;
f) la derivada no existe.
7) Sea la función g(x) = ax3 + 2bx2 + 6x − 4. Sabiendo que en x = 1 y x = 3 tiene
extremos relativos, determine los valores de a y b. ¿Qué tipos de extremos son?
de f '(x). A partir de las mismas esboce la
a) b) c)
Justifique.
8) Las siguientes corresponden a gráficas
gráfica de f(x) (la respuesta no es única).
9) Analice las siguientes gráficas y determine:
a) dominio y conjunto de imágenes de cada función;
) las intersecciones con los ejes, si existen;
b
282
El Cálculo Diferencial
4:5
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El Cálculo Diferencial
4) La población de una cierta especie está dada por: N(t) = (2t + 40).(200 – t),
con 0 ≤ t ≤ 200, donde N(t) es el número de organismos después de t días.
a) Encuentre la velocidad instantánea de cambio de la población, a los 20
días.
b) ¿Cuándo la velocidad instantánea de cambio de la población será de
200 organismos por día?
c) ¿Cuándo la población dejará de crecer?
5) Un proyectil lanzado hacia arriba se mueve según la ley: y = 100 t – 5 t2
donde y es la altura en metros sobre el punto de partida y t es el tiempo
transcurrido en segundos después del lanzamiento. Halle la velocidad del
proyectil a los 2 segundos. En ese instante, ¿está todavía subiendo o bajando?
¿Durante cuántos segundos continuará subiendo? ¿A qué altura llegará?
6) La inyección de x gramos de cierta droga produce cambios en la presión
sanguínea dada por p(x) = 1,5 x2 – 0,2 x
3 donde p se mide en mm de mercurio.
¿Qué dosis producirá la máxima sensibilidad? (Nota: sensibilidad es la razón de
cambio de la presión arterial con respecto a la dosis suministrada)
7) Un rumor se propaga en una población de 1000 personas a una razón que es
proporcional al producto del número de los que lo conocen por el número de los
que no lo conocen. Si x es el número de enterados y R es la razón a la que se
propaga el rumor entonces: R = k.x.(1000 – x), siendo k > 0. Verifique que el
rumor se propaga más rápido en el instante en que 500 personas lo conocen.
8) La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 4
q80p
−=
donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad. ¿Para qué valor
de q habrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso mínimo? Indique para qué
valores de q se obtiene ese ingreso mínimo.
9) Después de una campaña publicitaria, las ventas de un producto
generalmente aumentan y luego comienzan a disminuir. A los t días de
finalizada la publicidad, las ventas diarias están dadas por la función f(t) = –3t2 +
36t + 102 unidades.
a) ¿A razón de cuántas unidades por día cambian las ventas a los 2 días
de haber finalizado la campaña?
b) ¿Cuándo están variando las ventas a razón de 12 unidades por día?
c) ¿Cuántos días después de haber finalizado la campaña se vende la
máxima cantidad de unidades?, ¿cuál es esa cantidad máxima?
d) ¿Cuántas unidades se venden en el momento en que finaliza la
campaña publicitaria?
10) Un grupo de biólogos estudió los ingresos nutritivos que se observaron en
ratas a las que se alimentó de acuerdo a una dieta que contenía un 10 % de
proteína. La proteína estaba formada por yema de huevo y harina de semillas
de algodón. Variando el porcentaje p de yema en la mezcla de proteínas el
grupo descubrió que el aumento de peso promedio (en gramos) de una rata en
un período era: 10p
900p160)p(f
+−−= 0 ≤ p ≤ 100. Calcule:
284
El Cálculo Diferencial
4:7
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El Cálculo Diferencial
18) Si una planta recibe una luz de intensidad x, la razón de fotosíntesis y(x)
medida en unidades adecuadas, está dada por y(x) = 150x − 25x2 para 1 ≤ x ≤
5. Encuentre los valores máximos y mínimos de la razón de fotosíntesis.
19) Para grupos de 80 o más personas una compañía de remises calcula el
precio por persona mediante la ley p(n) = 8 − 0,05.(n − 80) donde n es el
número de pasajeros. ¿Qué cantidad de personas dará a la compañía ingresos
máximos?
20) Un granjero desea cercar un terreno rectangular de 900 m2 de superficie. La
cerca tiene un costo de $15 el metro. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del
terreno de manera tal que se minimice el costo del cerco?. Calcule dicho costo
mínimo.
21) La función f(t) = at2 + bt + 4 describe la altura (en metros) de una pelota en
el tiempo t (en seg.). Halle los valores de a y b sabiendo que la pelota alcanza
una altura máxima de 40m a los 2
3 segundos de haber sido lanzada.
22) La reacción de dos drogas como función del tiempo (en horas) está dada
por: r1(t) = t.e− t
y r2(t) = t. . ¿Qué droga tiene reacción máxima mayor? 2t2e−
23) En cierto instante dos móviles cuyas trayectorias siguen, respectivamente,
las ecuaciones s(t) = t3 – 45t + 100 y e(t) = 3t
2 + 60t – 439 tienen la misma
velocidad. Halle cuál es ese instante y los valores de la velocidad y de la
aceleración en ese instante para cada uno de ellos.
24) La función g(x) = −x2 + 100x − 1600 describe la ganancia (en pesos) que se
obtiene al fabricar x artículos.
a) ¿Cuántos artículos hay que fabricar para que la ganancia sea una
función creciente?
b) ¿Cuántos artículos se tendrían que fabricar para que la ganancia sea
máxima y calcule a cuánto ascendería la misma? 25) Una compañía forestal planea desmontar cierta área de pinos después de
cierta cantidad de años. El número promedio de pies que se obtienen por árbol
en un cierto período de tiempo es igual a p(x) = 50 − 0,5x, donde x es el número
de árboles por hectárea, con 35 ≤ x ≤ 80 ¿Qué densidad de árboles debe
concentrarse con el objeto de maximizar la cantidad de madera por hectárea?
26) La función que describe, en cientos de dólares, el ingreso total por la venta
de un producto es i(x) = –3x2 + 200x, donde x es el número de unidades
vendidas (en cientos). Se sabe además que el costo total de producir x
unidades es c(x) = 2x2 – 150x + 5000, en cientos de dólares.
a) Determine la expresión que describe la función ganancia g(x).
b) ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse con el objeto de
maximizar la ganancia total?
c) ¿Cuál es la ganancia máxima?
27) Una sustancia se distribuye en forma continua en el intervalo [0, 5] del eje x,
medido en cm. La concentración está dada por la función c(x) = 3x − x3 , medida
286
El Cálculo Diferencial
4:9
gp"eo
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
4:;
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9+"Ugc"{"=" h*z+" wpc" hwpekôp"eqpvkpwc"{"fgtkxcdng"gp" nqu" tgcngu0"Uk" z"=" e"gu"wp"oâzkoq"tgncvkxq"fg"h*z+"gpvqpegu<"
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f+" gp" z" =" 2" jc{" wp" oâzkoq"tgncvkxq" fg" h*z+" {" z" =" 4." wp" oîpkoq"tgncvkxq"fg"h*z+""
";+"Nc" itâhkec" fcfc" eqttgurqpfg" c" nc" fgtkxcfc" ugiwpfc" fg" nc" hwpekôp" {"=" h*z+0"Gpvqpegu"rqfgoqu"fgekt"swg"nc"itâhkec"fg"h*z+"gu<"
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5z4 −
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El Cálculo Diferencial
4;2
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"
"
•"ukipqu"fg"h")."•"ukipqu"fg"h"))."•"etgekokgpvq"{"fgetgekokgpvq."•"eqpecxkfcf."•"cuîpvqvcu."•"gzvtgoqu"tgncvkxqu."•"rwpvqu"fg"kphngzkôp0""
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5+"Jcnng"ncu"cuîpvqvcu"fg"nc"hwpekôp"h*z+"="z4
6z4 +0"
6+"Gp"wp"rgswgòq"rqdncfq"ug"xcewpô"c"nqu"jcdkvcpvgu"rctc"gxkvct"gn"eqpvcikq"fg"wpc"gphgtogfcf0"Nc"ecpvkfcf"fg"eqpvcikcfqu"gp"hwpekôp"fgn"vkgorq"*ogfkfq"gp"
fîcu+"guvâ"fcfc"rqt"e*v+"="4v5"−"43v
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7+"Nc"gewcekôp"fg"oqxkokgpvq"fg"wp"cwvqoôxkn"gu"u*v+"="−6v5"-"54v
4"*gn"vkgorq"ug"
okfg" gp" jqtcu" {" gn" gurcekq" tgeqttkfq" gp" mknôogvtqu+0" Wpc" oqvq" ug" owgxg" c"
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mo0" Cn" ecdq" fg" fqu" jqtcu." Àswê" oôxkn" gu" oâu"
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El Cálculo Diferencial
Al realizar el estudio de una función, buscamos representarla o tener una idea
bastante aproximada de su aspecto a partir de la correspondiente expresión
algebraica y de cierta información adicional sobre las características de la
gráfica.
En estas actividades proponemos otro procedimiento. A partir de la gráfica de la
función, se analizarán cada una de las características de la función dada.
Podrá controlar las respuestas utilizando comandos propios del programa que
se encuentran en la ventana del gráfico, en el menú que se despliega al
presionar en la barra superior 1fu. Los mismos se indican en letra cursiva para
aquellos ítems en los que es posible. Algunos de ellos ya fueron analizados y
descriptos en la guía de estudio del capítulo 3.
Actividad 1. Represente gráficamente f(x) = ( )23 x3x21 + considerando en la
pantalla que corresponde a la entrada de datos, para ambos ejes: Origen –5 y
Final 5.
Observando la gráfica de la función, determine:
a) Dominio: .................................. Conjunto imagen: ........................................
b) Intersecciones con el eje x (ceros): ..............................................................
c) Intersección con el eje y (ordenada al origen): .............................................
d) Analice el comportamiento de la función:
cuando x → +∞ ..........................................
cuando x → −∞ ..........................................
e) Indique, si presenta, los puntos de discontinuidad ..................................
Si existen puntos de discontinuidad, analice el comportamiento de la
función cuando x se aproxima a esos puntos:
por izquierda ……… ……….………
por derecha ………. .…..……..……
f) Determine (en caso de existir):
Asíntotas verticales: …………… Asíntotas horizontales: ……………..
g) Calcule f '(x) = ……………………..
h) Analice el signo de la derivada primera en todo el dominio de la función
Seleccione Derivada en un punto… y en el cuadro de diálogo correspondiente
a x introduzca el valor de la abscisa del punto de la gráfica en el que desea
calcular la derivada. Utilizando los botones <−i o d−> puede obtener la derivada
en puntos próximos al anterior. Para cada punto considerado se visualiza en
color rojo la recta tangente a la gráfica en dicho punto.
i) Indique los valores de x que anulan la derivada primera o donde no
existe.………………………………………………………………………..…………
Los valores del dominio de una función donde la primera derivada se hace cero
o no existe, son los puntos críticos de la función dada.
j) Grafique la función derivada.
Seleccione Función derivada y obtendrá una gráfica en color verde
superpuesta a la anterior.
291
El Cálculo Diferencial
4;4
"""""""Qdugtxcpfq"guvc"itâhkec."eqorngvg<"Fqokpkq"fg"h")*z+"="””””””””00"Nc"hwpekôp"fgtkxcfc"ug"jceg"egtq"gp"z"="””””””””””"{"pq"gzkuvg"gp"z"="””””””””""
"""m+"Eqorctg"ncu"fqu"itâhkecu0"Eqpukfgtcpfq"nqu"kpvgtxcnqu"swg"fgvgtokpcp"nqu"rwpvqu"etîvkequ."eqorngvg"gn"ukiwkgpvg"ewcftq" kpfkecpfq"gn"ukipq"fg" nc"fgtkxcfc"rtkogtc"{"uk"gp"ecfc"kpvgtxcnq"nc"hwpekôp"gu"etgekgpvg"q"fgetgekgpvg<""
Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h")*z+""*itâhkec"xgtfg+"
Eqorqtvcokgpvq"fg"h*z+"*itâhkec"c|wn+"
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fgetgekgpvg"ugiûp"eqttgurqpfc."swgfcpfq"fgvgtokpcfqu"cfgoâu"nqu"gzvtgoqu"
fg"nqu"kpvgtxcnqu0"
"Rqt"nq"vcpvq."fg"cewgtfq"cn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc.""rwgfg"eqpenwkt"uqdtg"gn"etgekokgpvq"fg"nc"hwpekôp"swg<""Uk"nc"fgtkxcfc"fg"wpc"hwpekôp"gu"”00””””"gp"wp"kpvgtxcnq."nc"hwpekôp"fcfc"gu"””””””””"gp"fkejq"kpvgtxcnq0""Uk" nc"fgtkxcfc"fg"wpc"hwpekôp"gu"””000”””"gp"wp"kpvgtxcnq." nc"hwpekôp"fcfc"gu"””””””””"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"""n+"Fgvgtokpg"nqu"oâzkoqu"{1q"oîpkoqu"tgncvkxqu0""
Oîpkoq<"{"="”””000""gp"z"="””””""⇒""Oîpkoq"tgncvkxq"*””."””+"Oâzkoq<"{"="”””00""gp"z"?"””””""⇒""Oâzkoq"tgncvkxq"*””."””+"
Ugngeekqpg" ncu" qrekqpgu" Oâzkoqu" {" Oîpkoqu" fgn" ogpû" rctc" eqpvtqnct" uw"
tgurwguvc0""
o+"Ecnewng"h"))*z+"="””””””””00"p+"Itchkswg"nc"ugiwpfc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp0""
Ugngeekqpg" Ugiwpfc" fgtkxcfc" {" qdvgpftâ" wp" itâhkeq" gp" eqnqt" xgtfg"
uwrgtrwguvq"cn"fg"nc"hwpekôp"fcfc0"""
"""""""""Eqorngvg<"Fqokpkq"fg"h"))*z+"="””””””””00"Nc" ugiwpfc" fgtkxcfc" ug" jceg" egtq" gp" z" =" ””””””””0”””" {" pq"gzkuvg"gp"z"="””””""
Nqu"xcnqtgu"fgn"fqokpkq"fg"wpc"hwpekôp"fqpfg"nc"ugiwpfc"fgtkxcfc"ug"jceg"egtq"q"pq"gzkuvg."uqp"nqu"rqukdngu"rwpvqu"fg"kphngzkôp"fg"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"fcfc0"""q+"Eqorctg"ncu"fqu"itâhkecu0"Eqpukfgtcpfq"nqu"kpvgtxcnqu"swg"fgvgtokpcp"nqu"rqukdngu"rwpvqu"fg"kphngzkôp."eqorngvg"gn"ukiwkgpvg"ewcftq"kpfkecpfq"gn"ukipq""""
El Cálculo Diferencial
4;5
fg" nc" fgtkxcfc" ugiwpfc" {" uk" gp" ecfc" kpvgtxcnq" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp" gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc"q"jcekc"cdclq<""
Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h"))*z+"*itâhkec"xgtfg+"
Eqorqtvcokgpvq"fg"h*z+"*itâhkec"c|wn+"
*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "
"
Ugngeekqpg" Kpvgtxcnqu" fg" eqpecxkfcf" *rctc" nc" eqpecxkfcf" jcekc" cttkdc+" g"
Kpvgtxcnqu"fg"eqpxgzkfcf"*rctc"nc"eqpecxkfcf"jcekc"cdclq+0""Rqt"nq"vcpvq."fg"cewgtfq"cn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc."rwgfg"eqpenwkt"uqdtg"nc"eqpecxkfcf"fg"nc"itâhkec"swg<""Uk"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"fg"wpc"hwpekôp"gu"””””"gp"wp"kpvgtxcnq."nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"fcfc"gu"””””””0””””"gp"fkejq"kpvgtxcnq0""Uk"nc"fgtkxcfc"ugiwpfc"fg"wpc"hwpekôp"gu"””””"gp"wp"kpvgtxcnq."nc"itâhkec"fg"nc""hwpekôp"fcfc"gu"””””””00””””"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"""""""r+"Kpfkswg"nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp0""""""""""Gp"z"="”””"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"rtgugpvc"wp"rwpvq"fg"kphngzkôp0""Rqt"nq"vcpvq"gn"rwpvq"fg"kphngzkôp"gu"*””."””+"Ugngeekqpg""Rwpvqu"fg"kphngzkôp0"
"
Cevkxkfcf"40"Tgrtgugpvg"itâhkecogpvg"nc"hwpekôp"h*z+"="z6"-"8z5"-"34z4"-":z"-"3"eqpukfgtcpfq"gp"nc"rcpvcnnc"swg"eqttgurqpfg"c"nc"gpvtcfc"fg"fcvqu."rctc"gn"glg"z<"Qtkigp"⁄6"{"Hkpcn"4."{"rctc"gn"glg"{<"Qtkigp"⁄5"{"Hkpcn"60"Qdugtxcpfq"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp."fgvgtokpg<"c+"Fqokpkq<"0000000000000000000000000000000000"Eqplwpvq"kocigp<"0000000000000000000000000000000000000000"d+"Kpvgtugeekqpgu"eqp"gn"glg"z"*egtqu+<"00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"e+"Kpvgtugeekôp"eqp"gn"glg"{"*qtfgpcfc"cn"qtkigp+<"000000000000000000000000000000000000000000000"f+"Cpcnkeg"gn"eqorqtvcokgpvq"fg"nc"hwpekôp<"""" ""ewcpfq"z"→"-∞"000000000000000000000000000000000000000000""""""" ""ewcpfq"z"→"−∞"000000000000000000000000000000000000000000""g+"Kpfkswg."uk"rtgugpvc."nqu"rwpvqu"fg"fkueqpvkpwkfcf0"
""""""""Uk" gzkuvgp" rwpvqu" fg" fkueqpvkpwkfcf." cpcnkeg" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" nc"hwpekôp"ewcpfq"z"ug"crtqzkoc"c"guqu"rwpvqu<""""" ""rqt"k|swkgtfc"””””””0”””""""" ""rqt"fgtgejc"”””00”00””00””"h+"Fgvgtokpg"*gp"ecuq"fg"gzkuvkt+<""""Cuîpvqvcu"xgtvkecngu<"””””00”""""Cuîpvqvcu"jqtk|qpvcngu<"”0””””"
i+"Ecnewng"h")*z+"="””””””””00"j+"Cpcnkeg"gn"ukipq"fg"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"gp"vqfq"gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp0""k+"Kpfkswg"nqu"xcnqtgu"fg"z"swg"cpwncp"nc"fgtkxcfc"rtkogtc"q"fqpfg"pq"gzkuvg0"””””””””””””””””””””””””””””””0”""
"
"
El Cálculo Diferencial
4;6
l+"Itchkswg"nc"hwpekôp"fgtkxcfc0""
"""""""Eqorngvg<"Fqokpkq"fg"h")*z+"=""””””””””00"Nc"hwpekôp"fgtkxcfc"ug"jceg"egtq"gp"z"="””””””””””"{"pq"gzkuvg"gp"z"="””””””””""
"""m+"Eqorctg"ncu"fqu"itâhkecu0"Eqpukfgtcpfq"nqu"kpvgtxcnqu"swg"fgvgtokpcp"nqu"rwpvqu" etîvkequ." eqorngvg" gn" ukiwkgpvg" ewcftq" kpfkecpfq" gn" etgekokgpvq" q"fgetgekokgpvq"fg"nc"hwpekôp<""
Kpvgtxcnq"Ukipq"fg"h")*z+""*itâhkec"xgtfg+"
Eqorqtvcokgpvq"fg"h*z+"*itâhkec"c|wn+"
*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "
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Oîpkoq<""{"="”””000""gp"z"="””””"Oâzkoq<"{"="”””000""gp"z"?"””””"
o+"Ecnewng"h"))*z+"="””””””””00"p+"Itchkswg"nc"ugiwpfc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp0""
"""""""""Eqorngvg<""Fqokpkq"fg"h"))*z+"="””””””””00"Nc" ugiwpfc" fgtkxcfc" ug" jceg" egtq" gp" z" =" ””””””””0”””" {" pq"gzkuvg"gp"z"="””””"q+"Eqorctg"ncu"fqu"itâhkecu0"Eqpukfgtcpfq"nqu"kpvgtxcnqu"swg"fgvgtokpcp"nqu"rqukdngu" rwpvqu" fg" kphngzkôp." eqorngvg" gn" ukiwkgpvg" ewcftq" kpfkecpfq" nc"eqpecxkfcf"fg"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp<""
Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h"))*z+"*itâhkec"xgtfg+"
Eqorqtvcokgpvq"fg"h*z+"*itâhkec"c|wn+"
*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "
"
""""r+"Kpfkswg"nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp0""""""""""Gp"z"="””””””"nc"itâhkec"rtgugpvc""rwpvqu"fg"kphngzkôp0"""""""""""Nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp"uqp"*””."””+""{"""*””."””+""
Cevkxkfcf"50"Tgrtgugpvg"itâhkecogpvg"nc"hwpekôp"h*z+"="3z
z44
4
−"eqpukfgtcpfq"gp"nc"
rcpvcnnc"swg"eqttgurqpfg"c"nc"gpvtcfc"fg"fcvqu."rctc"gn"glg"z<"Qtkigp"⁄6"{"Hkpcn"6="rctc"gn"glg"{<"Qtkigp"⁄8"{"Hkpcn"80"""Qdugtxcpfq"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp."fgvgtokpg<"c+"Fqokpkq<"0000000000000000000000000000000000"Eqplwpvq"kocigp<"0000000000000000000000000000000000000000"d+"Kpvgtugeekqpgu"eqp"gn"glg"z"*egtqu+<"00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000""""
El Cálculo Diferencial
c) Intersección con el eje y (ordenada al origen): .............................................
d) Analice el comportamiento de la función:
cuando x → +∞ ..........................................
cuando x → −∞ ..........................................
e) Indique, si presenta, los puntos de discontinuidad ..................................
Si existen puntos de discontinuidad, analice el comportamiento de la
función cuando x se aproxima a esos puntos:
por izquierda ……….……….………
por derecha ………...…..……..……
Seleccione la opción Discontinuidades aisladas. ¿Qué obtiene?
¿Cómo interpreta el mensaje que aparece?
¿A qué corresponden las rectas de color rojo que quedan dibujadas?
f) Determine (en caso de existir):
Asíntotas verticales: …………….... Asíntotas horizontales: ….………..
g) Calcule f '(x) = ……………………..
h) Analice el signo de la derivada primera en todo el dominio de la función.
i) Indique los valores de x que anulan la derivada primera o donde no existe.
……………………………………………………………………………….
j) Grafique la función derivada.
Complete: Dominio de f '(x) = ……………………..
La función derivada se hace cero en x = ………………………… y no existe en
x = ……………………
k) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los
puntos críticos y los valores de x que no pertenecen al dominio, complete el
siguiente cuadro:
Intervalo Signo de f '(x) (gráfica verde)
Comportamiento de f(x) (gráfica azul)
( ……, …...)
( ……, …...)
( ……, …...)
( ……, …...)
l) Determine los máximos y/o mínimos relativos.
Mínimo: y = ………... en x = …………
Máximo: y = ……….. en x = …………
m) Calcule f ''(x) = ……………………..
n) Grafique la segunda derivada de la función.
Complete: Dominio de f ''(x) = ……………………..
La segunda derivada se hace cero en x = …………………….……… y no
existe en x = …………
o) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los
posibles puntos de inflexión, complete el siguiente cuadro indicando el signo
de la derivada segunda y si en cada intervalo la gráfica de la función es
cóncava hacia arriba o hacia abajo:
295
El Cálculo Diferencial
4;8
Kpvgtxcnq" Ukipq"fg"h"))*z+"*itâhkec"xgtfg+"
Eqorqtvcokgpvq"fg"h*z+"*itâhkec"c|wn+"
*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "
""""r+"Kpfkswg"nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp0""""""""""Gp"z"="””””””"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"rtgugpvc""rwpvqu"fg"kphngzkôp0"""""""""""Nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp"uqp"*””."””+""{"""*””."””+""Cevkxkfcf"60"Wp" hcdtkecpvg"xgpfg" ›zfi"ctvîewnqu"rqt"ugocpc"c"wp"rtgekq"wpkvctkq"r*z+"="52"⁄"2.3z" *gp"rguqu+0"Uk" nc" hwpekôp"e*z+"="8z"-"422" tgrtgugpvc"gn"equvq"vqvcn"fg"rtqfweekôp."fgvgtokpg<"c+"Gn"pûogtq"fg"ctvîewnqu"swg"fgdg"rtqfwekt"rctc"swg"gn"kpitguq"ugc"oâzkoq0"
ÀEwân"gu"fkejq"kpitguqA"d+"Fgvgtokpg" nc" icpcpekc"oâzkoc0" ÀSwê" ecpvkfcf"fg"ctvîewnqu" rqt" ugocpc"
fgdg"xgpfgt"rctc"qdvgpgt"fkejc"icpcpekcA""Cevkxkfcf"70"Ncu" hwpekqpgu"swg"tgrtgugpvcp"gn"equvq"g" kpitguq" vqvcn" *gp"rguqu+"rctc"wp"fgvgtokpcfq"ctvîewnq"s."guvâp"fcfcu"rqt<""
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ÀEwân"gu"nc"icpcpekc"oâzkocA"d+" Tgrtgugpvg" nc" hwpekôp" icpcpekc" {" eqttqdqtg" uw" tgrwguvc" cpvgtkqt" fg"
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swê"ocpgtc"rwgfg"ecnewnct"nc"ecpvkfcf"fg"ctvîewnqu"swg"oczkok|c"nc"icpcpekc0"""Cevkxkfcf" 80" Wpc" gortguc" swg" eqphgeekqpc" gpxcugu." fgdg" eqpuvtwkt" wpc" eclc"rctc"gn"ncp|cokgpvq"fg"wp"pwgxq"lwiq"fg"pctcplcu0""Gn" fkugòq" gu" gn" swg" ug" owguvtc" c"eqpvkpwcekôp"gp"gn"swg"ncu"ogfkfcu"ug"gzrtgucp"gp"eo0"ÀEwân"fgdg"ugt"gn"cnvq"fg" nc" eclc" rctc" swg." eqpugtxcpfq"fkejcu" rtqrqtekqpgu" gpvtg" uwu"ogfkfcu."eqpvgpic"nc"oâzkoc"ecpvkfcf"fg"lwiqA"
"""GLGTEKEKQU"FG"TGRCUQ"""3+"Fgvgtokpg"gn"fqokpkq"fg"fghkpkekôp"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu<"
" c+"h*z+"= 6z + " d+"h*z+"="4z
3"" " e+"h*z+"="
4z6
3
−""
"
El Cálculo Diferencial
d) f(x) = x
1x + e) f(x) = 4x
3 − 3x
4 f) f(x) =
6xx
4x4xx2
23
−+
+−−
2) Halle las ecuaciones de las asíntotas de las funciones:
a) f(x) = 6xx
4x4xx2
23
−+
+−− b) f(x) =
1x
x22 −
c) f(x) = 3x
8x2
−−
d) f(x) = x
1x +
e) f(x) = 2x
2x
−+
3) Para cada una de las siguientes funciones, determine puntos críticos,
intervalos de crecimiento y extremos relativos.
a) f(x) = 3x2 − 2x
3 b) f(x) = x
3 − 6x
2 + 9 c) f(x) = x
3 − 3x
d) f(x) = 4x3 − 3x
4 e) f(x) = x
x+ 1
f) f(x) = 2x
2x
−+
4) Analice la concavidad de las gráficas de las siguientes funciones y calcule los
puntos de inflexión:
a) f(x) = x3 − 6x
2 + 12x + 4 b) f(x) = 4x
3 − 3x
4
c) f(x) = x
1x + d) f(x) =
2x
2x
−+
5) Realice el estudio completo de las siguientes funciones y obtenga su gráfica:
a) f(x) = x
1x + b) f(x) = 4x
3 − 3x
4
6) En los siguientes gráficos correspondientes a y = f(x), indique: a) intervalos en los cuales la función es creciente,
b) intervalos en los cuales la función es decreciente,
c) valores del dominio donde la primera derivada es nula,
d) valores del dominio donde la primera derivada no existe,
e) valores del dominio que corresponden a extremos de la función.
i)
297
El Cálculo Diferencial
ii) iii)
7) Trace la gráfica de una función f(x) para la cual f(x), f ' (x) y f
'' (x) existan y
sean positivas para todo x.
8) Trace la gráfica de una función f : R → R que cumpla con las condiciones
dadas en cada caso:
a) f '(x) > 0 si x > x0; f '(x) < 0 si x < x0; f
''(x) < 0 ∀ x ∈ R;
b) f '(x) < 0 ∧ f
''(x) > 0 si x < x0; f '(x) > 0 y f
''(x) < 0 si x > x0;
c) f ''(x0) = 0; f
''(x) < 0 si x < x0; f ''(x) > 0 si x > x0;
d) f '(x0) no existe; f ''(x) > 0 si x < x0 ; f
'' (x) > 0 si x > x0;
9) Observando la gráfica de f '(x),
a) Determine los intervalos donde la función
es creciente y decreciente. Encuentre, si
existen, los extremos relativos.
b) Encuentre los intervalos donde la gráfica
de la función es cóncava hacia arriba,
cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión. c) Dibuje una posible gráfica de f(x).
10) Aplicando el criterio de la derivada segunda, calcule los extremos relativos
de las funciones:
a) f(x) = x4 − 4x
3 + 100 b) f(x) = 2x
2
1x
24 −−
c) f(x) = 4x3 − x
2 − 2x + 1 d) f(x) = x
3 + 6x
2 + 12x − 5
11) Halle los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones en los
intervalos indicados:
a) f(x) = 2x3 − 3x
2 − 12x + 1 en ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
2
5 ,2
b) f(x) = x4 − 2x
2 + 1 en [0, 2]
c) f(x) = x2 + 2x − 4 en [−4, 3]
298
El Cálculo Diferencial
"""""""
90"CRNKECEKQPGU"FG"NC"FGTKXCFC"""903"Vgqtgocu"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq0""904"Nîokvgu"kpfgvgtokpcfqu"{"nc"tginc"fg"N‚Jqrkvcn0"" "905"Cpvkfgtkxcfc0"" "906"Crtqzkocekqpgu0" """""""""""""""""""""""
›Pq"uê" nq"swg"{q" ng"rctg|ec"cn"owpfq."rgtq"cpvg"oî"okuoq"rctg|eq"jcdgt"ukfq"uônq"wp"owejcejq"swg"lwgic"gp"nc"rnc{c."fkxktvkêpfqug."gpvqpegu"eqoq"cjqtc."gp"gpeqpvtct"wp"iwklcttq"oâu" rwnkfq" q" wpc" eqpejc"oâu" rtgekquc" swg" nqu" qtfkpctkqu."okgpvtcu" swg" gn" itcp" qeêcpq" fg" nc" xgtfcf" rgtocpgeg"kpguetwvcdng"rctc"oî0fi"""""
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""Kucce"Pgyvqp"""""
El Cálculo Diferencial
En capítulos anteriores nos ocupamos de desarrollar el concepto de derivada, su interpretación como razón de cambio instantánea y habilidades operativas para poder calcular de manera eficiente derivadas de funciones . Analizamos el contenido geométrico de la derivada de una función como herramienta para realizar el estudio completo de diferentes funciones. Estudiamos además uno de los aspectos más importantes de nuestra vida cotidiana: la optimización. En este capítulo vamos a profundizar en el uso de la información geométrica que proporciona la derivada con el objeto de resolver algunos problemas interesantes. Analizaremos además algunos resultados generales sobre funciones derivables y sus implicaciones. Con el desarrollo de los diferentes contenidos nos proponemos cumplir con los
siguientes objetivos:
• Conocer los teoremas de las funciones derivables.
• Analizar la interpretación geométrica de los teoremas.
• Aplicar los teoremas en la resolución de ejercicios y problemas.
• Calcular límites aplicando la regla de L’Hopital.
• Definir diferencial de una función.
• Analizar la interpretación geométrica del diferencial de una función.
• Aplicar la aproximación lineal en la resolución de ejercicios.
• Comprender las aproximaciones polinomiales.
• Realizar aproximaciones de funciones aplicando la fórmula de Mac
Laurin o de Taylor.
7.1 Teoremas del valor intermedio Los teoremas del valor intermedio son importantes para demostrar otros
teoremas del Cálculo. Se refieren a determinadas propiedades de las funciones
continuas en un intervalo cerrado. Son teoremas existenciales dado que afirman
la existencia de un punto intermedio, aunque no expresen donde está dicho
punto. Veremos solamente los enunciados sin demostración.
Teorema de Rolle Sea f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que f(a) = f(b). Entonces
existe por lo menos un valor x0 tal que a < x0 < b y f '(x0) = 0.
Si bien no estudiaremos la demostración de este teorema, podemos realizar su
interpretación geométrica. Este teorema establece que si la gráfica de la función
es de un solo trazo continuo en [a, b], si existe la recta tangente en todo punto
de (a, b) y si f(a) = f(b), entonces en algún x0 ∈ (a, b) la recta tangente a la
gráfica de la función es horizontal.
La existencia de ese punto x0 no implica la unicidad, pueden existir otros puntos
donde la derivada sea nula.
Los siguientes gráficos ayudan a interpretar el teorema.
300
El Cálculo Diferencial
523
"
Ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"uqp"gugpekcngu0"Uk"fglctcp"fg"ewornktug."kpenwuq"gp"wp"uqnq"rwpvq."nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"rqftîc"pq"vgpgt"vcpigpvg"jqtk|qpvcn0"""Cevkxkfcf" fg" tghngzkôp0" Rtqrqpic" itâhkecu" fg" hwpekqpgu" swg" pq" eworncp" ncu"jkrôvguku"fgn" vgqtgoc"fg"Tqnng"{"swg"pq" vgpicp" vcpigpvg"jqtk|qpvcn"gp"pkpiûp"
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Glgornq0" ÀEwângu" fg" ncu" ukiwkgpvgu" hwpekqpgu" ucvkuhcegp" ncu" jkrôvguku" fgn"vgqtgoc"fg"TqnngA"Lwuvkhkswg"uwu"tgurwguvcu0"Gp"nqu"ecuqu"gp"swg"ug"eworncp."xgtkhkswg"gn"vgqtgoc0"Itchkswg0"
c+"h*z+"=" z4z4
3 5 − "gp"gn"kpvgtxcnq"]−4."2_0"
d+"i*z+"= 5
4
z ""gp"gn"kpvgtxcnq"]−3."3_0"
e+"j*z+"="⎩⎨⎧
≤−+=3>z4"""uk"""6z
3z"""""""""""uk"""""""""40"
f+"o*z+"="ugpz"gp"]2."4π_0"
c+" Nc" hwpekôp" h*z+" =" z4z4
3 5 − " gu" eqpvkpwc" gp" vqfqu" nqu" rwpvqu" fgn" kpvgtxcnq"
egttcfq"]−4."2_"{"fgtkxcdng"gp"gn"kpvgtxcnq"cdkgtvq"*−4."2+0"
El Cálculo Diferencial
524
Cfgoâu"h*−4+"="2"{"h*2+"="2."rqt"nq"vcpvq"nc"hwpekôp"ucvkuhceg"vqfcu"ncu"jkrôvguku0"Gn"vgqtgoc"fg"Tqnng"guvcdngeg"swg"h")*z+"fgdg"ugt"egtq"cn"ogpqu"gp"wp"rwpvq"fgn"kpvgtxcnq"*−4."2+0"
Gp"ghgevq<"h")"*z+"=" 4z4
5 4 − 0"
Uk" h" )*z+"="2"⇒" " 4z4
5 4 − "="2"" "⇒" " "5
6z"""""
5
6z4 ±=⇒= 0"Ug"fguectvc"gn"xcnqt"
5
6z = "fcfq"swg"pq"rgtvgpgeg"cn"kpvgtxcnq"*−4."2+0""""
Rqt"nq"vcpvq."h")*z+"ug"cpwnc"gp"5
6z −= "
swg"rgtvgpgeg"cn"kpvgtxcnq"*−4."2+0""
""
d+"i*z+"=" 5
4
z "gu"wpc"hwpekôp"eqpvkpwc"gp"gn"kpvgtxcnq"]−3."3_"0""Ug"xgtkhkec"cfgoâu"swg"h*−3+"="h*3+"="30"Pq"gu"fkhgtgpekcdng"gp"*−3."3+"fcfq"swg"""
h")*z+"="5
5
3
z
305
4z
5
4=
−"""pq"gzkuvg"gp"z"="20"
Rqt"nq"vcpvq"pq"eworng"eqp"ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"fg"Tqnng."pq"rwgfg"cugiwtctug" nc"
gzkuvgpekc" fg" wp" rwpvq" z2" gp" gn" kpvgtxcnq"
*−3."3+"rctc"gn"swg"h")*z2+"?"20""
"
e+"j*z+"="⎩⎨⎧
<≤−+=3z4""uk"""""6z
3""""""""""zuk"""""""""""4"
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ewcn"j")*z+"ugc"egtq0" "
"
El Cálculo Diferencial
d) m(x) = senx en [0, 2π]
La función es continua en el intervalo [0, 2π] y derivable en (0, 2π).
Además m(0) = m(2π), por lo tanto se verifican las hipótesis. Es decir que existe
por lo menos un punto del intervalo (0, 2π) en el cual m '(x) = 0.
En efecto m '(x) = cosx que, en el
intervalo dado, se anula en x = π2
y en
x = π2
3.
Teorema del valor intermedio de Lagrange
Si f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe al menos un valor
intermedio x0 en (a, b) tal que f '(x0) = ab
)a(f)b(f
−−
.
Puede observarse que las hipótesis son idénticas a las del teorema de Rolle,
excepto la que se refiere al valor de la función en los extremos del intervalo. En
el caso especial en que f(a) = f(b), se obtiene la conclusión de dicho teorema
según el cual f '(x0) = 0.
En términos geométricos, este teorema establece que existe al menos un punto
de la gráfica de abscisa x0 ∈ (a, b) para el que la recta tangente a la misma es
paralela a la recta que une los puntos de la gráfica de abscisas x = a y x = b.
303
El Cálculo Diferencial
526
Uk" qdugtxcoqu" gn" itâhkeq" cpvgtkqt" ug" qdugtxc" swg" nc" tgevc" swg" rcuc" rqt" nqu"
rwpvqu"*c." h*c++" "{" " *d." h*d++" vkgpg"rgpfkgpvg" "cd
+c*h+d*h
−−
"{" nc"tgevc"vcpigpvg"c" nc"
ewtxc"gp"z2" vkgpg"rgpfkgpvg" h" )*z2+0"Uk" ncu" tgevcu"uqp"rctcngncu." ncu"rgpfkgpvgu"
uqp"kiwcngu."gu"fgekt"" "cd
+c*h+d*h
−−
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Nc"gzkuvgpekc"fg"gug"rwpvq"z2"pq"kornkec"nc"wpkekfcf0""
Gp"gn"itâhkeq"ukiwkgpvg"ug"qdugtxc"swg"z2" "{"z3"uqp" nqu"rwpvqu"swg"xgtkhkecp"gn""vgqtgoc0""
""Glgornq0" Xgtkhkswg" swg" ncu" ukiwkgpvgu" hwpekqpgu" ucvkuhcegp" ncu" jkrôvguku" fgn"vgqtgoc" fgn" xcnqt" kpvgtogfkq" fg" Ncitcpig" {" jcnng" ên" q" nqu" xcnqtgu" fg" e" swg"
ucvkuhcegp"nc"gewcekôp" ( )e"hcd
+c*h+d*h )=−−
"gp"gn"kpvgtxcnq"fcfq<"
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d+"i*z+"=" 6
7
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e+"j*z+"="4 4z − "gp"]4."6_""
c+"h*z+"="z4"−5z"-"4""gp""]3."5_"Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"]3."5_"{"fgtkxcdng"gp"*3."5+0"
Fgdgoqu"gpeqpvtct"gn"xcnqt"fg"e"rctc"gn"ewcn"( ) ( )
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3h5h"h")*e+0"
Eqoq"h*5+"="4"{"h*3+"="2"gpvqpegu"h")*e+"="35
24
−−
""0"Nwgiq""h")*e+"="30"
Cfgoâu"h")*z+"="4z"−"5"""⇒"""h")*e+"="3"⇒"4e"−"5"="3"⇒"e"="40"Gn"xcnqt"fg"e"swg"ucvkuhceg"ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"fg"Ncitcpig"gu"e"="40""
d+"i*z+"=" 6
7
z =""]2."3_""
El Cálculo Diferencial
527
Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"]2."3_"{"fgtkxcdng"gp"*2."3+0"
Fgdgoqu"gpeqpvtct"gn"xcnqt"fg"e"rctc"gn"ewcn"( ) ( )
=−−23
2i3i"i")*e+0"
i*3+"="3"{"i*2+"="2."tggornc|cpfq"gp"nc"gewcekôp"cpvgtkqt"qdvgpgoqu<"
=−−23
23"i)"*e+"⇒""""i)"*e+"="30"
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3
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3
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3
7
6e
7
6e ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒= ""⇒""e"="2.62;80"
Guvg"xcnqt"fg"e"gu"gn"swg"ucvkuhceg"ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc0""
e+"Nc"hwpekôp" 4z4+z*j −= "gu"eqpvkpwc"gp"gn"kpvgtxcnq"]4."6_"{"fgtkxcdng"gp"gn"
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4
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"Eqtqnctkqu"fgn"vgqtgoc"
Eqtqnctkq"30"Uk"h")*z+"="2."∀"z"∈"*c."d+"gpvqpegu"nc"hwpekôp"h*z+"gu"eqpuvcpvg"gp"gn"kpvgtxcnq"]c."d_0""[c" jgoqu" xkuvq" swg" uk" wpc" hwpekôp" fkhgtgpekcdng" gu" eqpuvcpvg" gp" vqfqu" nqu"
rwpvqu"fg"wp"kpvgtxcnq."h")*z+"?"2"rctc"vqfq"xcnqt"z"fg"fkejq"kpvgtxcnq0"Gn"eqtqnctkq"gu"gn"tgeîrtqeq"fg"guvc"rtqrqukekôp0"""Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"{"nc"gzrtgukôp"
h")*z2+"?"cd
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−−
."kpvgpvg"fgoquvtct"guvg"eqtqnctkq0"
"
Eqtqnctkq" 40" Uk" fqu" hwpekqpgu" vkgpgp" nc" okuoc" fgtkxcfc" gp" vqfq" rwpvq" fg" wp"kpvgtxcnq."gpvqpegu"ncu"hwpekqpgu"fkhkgtgp"gp"wpc"eqpuvcpvg0""
Uk"h" )*z+"="i" )*z+"gp"vqfq"rwpvq"fg"wp"kpvgtxcnq."gpvqpegu"gzkuvg"wpc"eqpuvcpvg"e"vcn"swg"h*z+"="i*z+"-"e"rctc"vqfq"z"fg"gug"kpvgtxcnq0"""
El Cálculo Diferencial
528
Guvg"eqtqnctkq"guvcdngeg"swg"fqu"hwpekqpgu"rwgfgp"vgpgt"fgtkxcfcu"kfêpvkecu"gp"wp" kpvgtxcnq"uqnq"uk" nc"fkhgtgpekc"fg"uwu"xcnqtgu"gu"eqpuvcpvg"gp"vqfq"rwpvq"fg"fkejq"kpvgtxcnq0""Glgornq0"Jcnng"nc"hwpekôp"ew{c"fgtkxcfc"gu"i*z+"="5z0""
Wpc"hwpekôp"ew{c"fgtkxcfc"gu"i*z+"="5z"gu"h*z+"=" 4z4
5"rwgu""h")*z+"=" z40
4
5"="5z0""
Ug"eqortwgdc"hâeknogpvg"swg"vcodkêp"ewcnswkgt" hwpekôp"j*z+"=" ez4
5 4 + "gu"vcn"
swg"uw"fgtkxcfc"gu"i*z+"="5z0"Gp"ghgevq""j")*z+"=" 2z404
5+ "="5z0"Ncu"itâhkecu"fg"
hwpekqpgu"eqp"fgtkxcfc"kiwcn"c"5z"uqp"rctâdqncu"fg"nc"hqtoc"{"=" ez4
5 4 + 0"
"Rctc" cniwpqu" xcnqtgu" fg" e." ncu"itâhkecu" fg" ncu" hwpekqpgu" uqp" ncu"ukiwkgpvgu<""
" "Fgufg"gn"rwpvq"fg"xkuvc"igqoêvtkeq."gn"ugiwpfq"eqtqnctkq"fgn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq" guvcdngeg" swg" ncu" itâhkecu" fg" hwpekqpgu" eqp" fgtkxcfcu" kiwcngu"fkhkgtgp"rqt"wpc"vtcuncekôp"xgtvkecn0""Glgornq0"Jcnng"nc"hwpekôp"h*z+"ew{c"fgtkxcfc"gu"{"="equz"""{"uw"itâhkec"rcuc"rqt"gn"rwpvq"*3."4+0""
h")*z+"="equz"""⇒"""h*z+"="ugpz"-"e0"Eqoq" gn" rwpvq" *3." 4+" rgtvgpgeg" c" nc" itâhkec" fg" nc" hwpekôp." uwu" eqqtfgpcfcu"fgdgp"xgtkhkect"nc"gewcekôp0"Tggornc|cpfq<"4"="ugp3"-"e"""⇒""""e" 38.3≈ "
"Nc"hwpekôp"dwuecfc"gu<"h*z+"="ugpz"-"3.38""
El Cálculo Diferencial
529
Kpvgtrtgvcekôp"hîukec"fgn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"
Gn" ecodkq" rtqogfkq" fg" wpc" hwpekôp" h" gp" gn" kpvgtxcnq" ]c." d_" gu"cd
+c*h+d*h
−−
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ecodkq"kpuvcpvâpgq"gp"gn"kpuvcpvg"e"gu"h")*e+0"Gn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"guvcdngeg"swg"gp"cniûp"kpuvcpvg"e"gpvtg"c"{"d."nc"
xgnqekfcf" kpuvcpvâpgc" *tc|ôp" fg" ecodkq" kpuvcpvâpgc+." h" )*e+." gu" kiwcn" c" nc"
xgnqekfcf" rtqogfkq" *tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq+."cd
+c*h+d*h
−−
." uqdtg" vqfq" gn"
kpvgtxcnq0""Rtqdngoc"
Wp" cwvq" swg" rctvg" fgn" tgrquq" vctfc" :" ugiwpfqu" gp" tgeqttgt" 57"ogvtqu0"Gpewgpvtg"nc"xgnqekfcf"fgn"oôxkn"gp"wp"kpuvcpvg"rctvkewnct"fg"uw"tgeqttkfq0"
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El Cálculo Diferencial
52:
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5+c+" ez6z4
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2=−−
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"
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"
El Cálculo Diferencial
52;
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3"""{""""i*z+"="z4"-"70"
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35
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2 = ""⇒""" 8z52 = """⇒""" 52 8z = 0"
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d+"h*z+"="4z4"−"6z"{"i*z+"="z5"-"z"−"3"gp"gn"kpvgtxcnq"*2."4+0"
e+"h*z+"="ugpz"{"i*z+"="equz"gp"gn"kpvgtxcnq"*2."π+0""TGURWGUVCU"
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20""
Jgoqu"xkuvq"cniwpcu"hqtocu"fg"tguqnxgt"guvg"vkrq"fg"nîokvgu0""""
El Cálculo Diferencial
532
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+5z+*5z*nîo
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5z5z
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→→→0"
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swg"ug"rtgugpvcp"" "2""=""""=""3""=""""=""20""=""""=""2
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*z+)"hnîo
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*z+))"hnîo
*z+)"i
*z+)"hnîo
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El Cálculo Diferencial
533
""
"Gp"nc"rtkogtc"itâhkec"ug"owguvtcp"fqu"hwpekqpgu"fgtkxcdngu"h"{"i"swg"vkgpfgp"c"egtq"ewcpfq"z"vkgpfg"c"c0"Eqp"wp"cegtecokgpvq"jcekc"gn"rwpvq"*c."2+."ncu"itâhkecu"gorg|ctîcp"c"xgtug"ecuk"nkpgcngu0""
Uk" ncu" hwpekqpgu"uqp"gp" tgcnkfcf" nkpgcngu." h*z+"="o3*z"−"c+"{"i" *z+"="o4*z"−"c+."
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czo
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+z*)"hnîo
+z*i
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52z
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"
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6z
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*z+)"h= swg"vkgpfg"c"egtq"ewcpfq"z"vkgpfg"c"egtq0""
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4
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z
4
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kpfgvgtokpcekôp" fgn" vkrq"2
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3equznîo"
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"
El Cálculo Diferencial
534
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"8z
3equznîo
42z
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4
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z ∞+→"
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El Cálculo Diferencial
535
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4z8z7
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z45nîo
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7
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z ∞∞∞ +→+→+→== 0""
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z4nîoz ∞+→
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z
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"
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" c+"znpz
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" " " d+"4z6
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"
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cz=
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cz∞=
→gpvqpegu" gn" nîokvg" "h*z+0i*z+nîo
cz→" tguwnvc"
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3h*z+
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h*z+
3i*z+
0"
El Cálculo Diferencial
536
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0"q"2
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞∞
"
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2z +→" " d+" ( ) izeqv0znîo
zπ−
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z
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= ."qdvgpkgpfq"cuî"wpc"kpfgvgtokpcekôp"fgn"vkrq"∞∞0""
Crnkecpfq"nc"tginc"fg"N‚Jqrkvcn"ug"qdvkgpg<"
" 2z+*"nîo
z
3z
3
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z
3npz
nîo222 z
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J)N
z
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→→ ++0"
"
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kfgpvkfcf"vtkiqpqoêvtkec"eqvi"z"="z"vi
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( ) ( )z"vi
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z"vi
30znîo
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π→π→."qdvgpkgpfq"cuî"wpc"kpfgvgtokpcekôp"fgn"vkrq"
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Crnkecpfq"N‚Jqrkvcn<"( )
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J)N
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π−π→π→
"
"GLGTEKEKQ""Tguwgnxc"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu<"
" c+" ⎟⎠
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⎛+→ 4
znp0znîo
2z" """ d+ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ π∞→ zugp0znîo
z" " """
e+ z
34
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4z π→
"
"TGURWGUVCU"
c+"2" " d+"π" " e+"-∞" " f+""9
5"
"
El Cálculo Diferencial
537
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cz∞=
→" {" "i*z+nîo
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→." gpvqpegu"gn" nîokvg" [ ]"i*z+h*z+"nîo
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El Cálculo Diferencial
538
TGURWGUVCU"
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El Cálculo Diferencial
539
"
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El Cálculo Diferencial
53:
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3h6h
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5+"Fcfc"nc"hwpekôp"h*z+"="z
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3h6h
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"
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kpvgtxcnq"K"uk"H")*z+"="h*z+"rctc"vqfc"z"gp"K0"Wvknk|cpfq"ncu"tgincu"fg"fgtkxcekôp"gu"rqukdng"jcnnct"cpvkfgtkxcfcu"fg"wpc"hwpekôp"fcfc0""
Glgornq0" Fcfc" nc" hwpekôp" h*z+" =" z5." gu" ugpeknnq" fgfwekt." wvknk|cpfq" nc" tginc" fg"
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El Cálculo Diferencial
53;
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3 6 + "gu"wpc"cpvkfgtkxcfc"{c"swg"I")*z+"="z5"="h*z+0"
Ewcnswkgt"hwpekôp"fg"nc"hqtoc"J*z+"= ez6
3 6 + ."fqpfg"e"gu"wpc"eqpuvcpvg."gu"wpc"
cpvkfgtkxcfc"fg"h*z+0""Vgqtgoc0" Gzkuvgp" kphkpkvcu" cpvkfgtkxcfcu" fg" wpc" hwpekôp" fcfc" {" " fqu""ewcnguswkgtc""fg""gnncu""fkhkgtgp""gp""wpc"eqpuvcpvg0""Fgoquvtcekôp0" Uwtig" gp" hqtoc" kpogfkcvc" fgn" eqtqnctkq" 4" fgn" " vgqtgoc" fg"Ncitcpig0""
Uk"H*z+"{"I*z+"uqp"fqu"cpvkfgtkxcfcu"fg"h*z+"fgdg"ugt""H)*z+"="h*z+=""I")"*z+"="h*z+"Gpvqpegu" rqt" vgpgt" kiwcn" fgtkxcfc." codcu" " hwpekqpgu" " fkhkgtgp" " gp" " wpc"eqpuvcpvg."gu"fgekt<"I*z+"="H*z+"-"e0""Vcdnc"fg"hôtowncu"fg"cpvkfgtkxcekôp"
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h*z+-i*z+" H*z+"-"I*z+"-"e"
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z 3p
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nc"hwpekôp""h")*z+"="4z6"-5 z ⁄"7equz0"""
Fgdgoqu"gpeqpvtct"wpc"cpvkfgtkxcfc"fg" h" )*z+"="4z6"-5 z ⁄"7equz0"Wvknk|cpfq"ncu"hôtowncu"{"gn"vgqtgoc"fcfq"tguwnvc<"
h*z+"="" eugpz7
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57
z4
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4 4
57 +−+ 0"
El Cálculo Diferencial
542
Glgornq0" Nc" ugiwpfc" fgtkxcfc" fg" nc" hwpekôp" h*z+" gu" h" ))*z+" =" 8z" ⁄" 30" Jcnng" nc"hwpekôp"ucdkgpfq"swg"uw"itâhkec"rcuc"rqt"gn"rwpvq"R*4."3+"{"swg"gp"gug"rwpvq"nc"tgevc"vcpigpvg"gu"6z"⁄"{"⁄"3"="20""
C"rctvkt"fg"h"))*z+"="8z"⁄"3."ug"qdvkgpg"h")*z+"="5z4"⁄"z"-"e0""
Gp"z"="4."nc"tgevc"vcpigpvg"gu"{"="6z"⁄"3."q"ugc"h")*4+"="60"Tggornc|cpfq"gp"nc"gzrtgukôp"fg"h" )*z+"ug"qdvkgpg"h" )*4+"="5044"⁄"4"-"e"="6"⇒""32"-"e"="6"⇒"e"="⁄80"Nwgiq"h")*z+"="5z4"⁄"z"⁄"80""
Tgcnk|cpfq" gn" okuoq" rtqegfkokgpvq" c" rctvkt" fg" h" )*z+" ug" qdvkgpg" swg" wpc"
cpvkfgtkxcfc"gu""h*z+"=" ez8z4
3z 45 +−− 0""
"Fcfq" swg" nc" itâhkec" fg" h*z+" rcuc" rqt" gn" rwpvq" R*4." 3+." tggornc|cpfq" gp" nc"
gzrtgukôp"fg"h*z+"ug"qdvkgpg"h*4+"=" 3e40844
34 45 =+−− ⇒" 3e8 =+− ⇒"e"="90"
"
Nc"gzrtgukôp"tguwnvc"h*z+"=" 9z8z4
3z 45 +−− 0"
""GLGTEKEKQU"
3+"Fgvgtokpg"nc"hwpekôp"h*z+"vcn"swg<"
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4+" Nc" xgnqekfcf" fg" wpc" rctvîewnc" swg" ug" owgxg" gp" nîpgc" tgevc" ug" gzrtguc"
ogfkcpvg"nc"ng{"x*v+"="4gv"-"4v0"Gpewgpvtg"nc"gzrtgukôp"swg"fguetkdg"nc"rqukekôp"u"gp"gn"kpuvcpvg"v"ucdkgpfq"swg"gp"v"="2."u"="40""TGURWGUVCU"
3+"c+"h*z+"="5np"|z|"-"z"−3"⁄" 4z4
7 − "-"e"""
d+"h*z+"="9z"⁄" 4z4
3"-"e""" " " e+"h*z+"=" 3z
zzg
7np
7 −−− "-"e"
"4+"u*v+"="4gv"-"v4""
El Cálculo Diferencial
543"
906"Crtqzkocekqpgu""Gp"cniwpcu"qecukqpgu"gu" rqukdng" crtqzkoct" hwpekqpgu" eqp"qvtcu"oâu"ukorngu."eqp" ncu"swg"rwgfg"qdvgpgtug."rctc"ekgtvcu"crnkecekqpgu." nc"rtgekukôp"tgswgtkfc0""Ewcpfq" ug" tgcnk|c" wpc" gzrgtkgpekc." gp" igpgtcn" ug" tgncekqpcp" fqu" q" oâu"xctkcdngu0""
Eqpukfgtgoqu" nc"itâhkec"fg" nc" hwpekôp"
{"="z4"{" nc"fg"uw"tgevc" vcpigpvg"gp"gn"rwpvq"fg"cduekuc"z"="30"Rwgfg"qdugtxctug"swg"rctc"xcnqtgu"fg"z" egtecpqu" cn" rwpvq" fg" vcpigpekc." nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"guvâ"ow{"rtôzkoc"c" nc" fg" nc" tgevc0" Uk" ug" tgcnk|c" wp"cegtecokgpvq" fg" nc" itâhkec" gp" fkejq"rwpvq." nc" fkhgtgpekc" gpvtg" codcu" gu"ecuk" korgtegrvkdng" {" nc" itâhkec" fg" nc"hwpekôp" ug" rctgeg" ecfc" xg|"oâu" c" nc"fg"nc"tgevc"vcpigpvg0"""""" "
""Vgpkgpfq" gp" ewgpvc" guvq." rwgfg" rgpuctug" swg" rctc" xcnqtgu" fg" z" nq"uwhkekgpvgogpvg" rtôzkoqu" c" 3." nc" eqttgurqpfkgpvg" kocigp" swg" ug" qdvgpic" cn"tggornc|ct" gp" nc" tgevc" vcpigpvg" rwgfg" wvknk|ctug" rctc" crtqzkoct" gn" xgtfcfgtq"xcnqt"fg"nc"hwpekôp0"""Eqpukfgtgoqu" nc"itâhkec"fg"wpc" hwpekôp"fkhgtgpekcdng"{"=" h*z+" {" nc"fg"uw" tgevc"vcpigpvg"gp"gn"rwpvq"fg"eqqtfgpcfcu"*z2."h*z2++0"Guvc"tgevc"vkgpg"rgpfkgpvg"h")*z2+"fg"ocpgtc"vcn"swg"nc"gewcekôp"fg"nc"okuoc"gu<""""{"="h*z2+"-"h")*z2+0"*z"−"z2+"""Uk"c"z2"ug"ng"fc"wp"ekgtvq"kpetgogpvq"Δz"="j"{"rqt"nq"vcpvq"z"xctîc"fgufg"z2"jcuvc"
z2"-"j."uw"eqttgurqpfkgpvg" kocigp" h*z2"-"j+"rwgfg"crtqzkoctug"c" vtcxêu"fg" nc"kocigp"fg"guvg"rwpvq"gp"nc"tgevc."ukgortg"swg"j"ugc"rgswgòq0"
El Cálculo Diferencial
544"
""
Vcodkêp"rwgfg"qdugtxctug"swg"nc"xctkcekôp"fg"nc"hwpekôp"Δ{"=" h*z2"-"j+"−"h*z2+"
rwgfg" crtqzkoctug" rqt" nc" gzrtgukôp" h" '*z2+0j0" Rctc" xcnqtgu" rgswgòqu" fg" j"
tguwnvc"h*z2"-j+"−"h*z2+"≈"h '*z2+0j""""
Ncu"ecpvkfcfgu"" h*z2"-"j+"−" h*z2+" " "{" " " h" '*z2+0j"" "ug"fgpqokpcp"tgurgevkxcogpvg"kpetgogpvq"{"fkhgtgpekcn"fg"nc"hwpekôp"fcfc"{"="h*z+"{"ug"fgukipcp"fg"nc"ukiwkgpvg"
ocpgtc<""Δ{"="h*z2"-"j+"−"h*z2+"""{""f{"="h"'*z2+0j"""""Fkhgtgpekcngu"
Fghkpkekôp0"Ugc"{"="h*z+"wpc"hwpekôp"fgtkxcdng."gpvqpegu"gn"fkhgtgpekcn"fg"z."swg"ug"ukodqnk|c"fz."guvâ"fcfq"rqt"fz"="Δz"="j."fqpfg"z"gu"wp"pûogtq"fgn"fqokpkq"fg"h")"{"j"gu"wp"kpetgogpvq"ctdkvtctkq"fg"z0""
Gn"fkhgtgpekcn"fg"{."swg"ug"ukodqnk|c"f{."ug"fghkpg"rqt"f{"="h")*z+"0"fz0"
Uk"ug"fc"c"fz"wp"xcnqt"gurgeîhkeq"{"c"z"wp"xcnqt"fgvgtokpcfq"fgn"fqokpkq"fg"h."rqt"
glgornq"z2."gpvqpegu"gn"xcnqt"fg"f{"swgfc"fgvgtokpcfq0"Cuî."gn"fkhgtgpekcn"fg"nc"
hwpekôp"h"gp"z2."swg"ug"kpfkec"fh*z2+""gu"h")*z2+0fz"
Igqoêvtkecogpvg."gn"fkhgtgpekcn"fg"h*z+"gp"gn"rwpvq"z2"gu"kiwcn"cn"kpetgogpvq"fg"
nc"qtfgpcfc"gp"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"ewtxc"gp"z2"eqttgurqpfkgpvg"cn"kpetgogpvq"
Δz0""
Nc"gzrtgukôp"h")*z+"?fz
f{"owguvtc."jcuvc"guvg"oqogpvq."fqu"ocpgtcu"fkuvkpvcu"fg"
guetkdkt"nq"okuoq<"nc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp"{"="h*z+0""""
El Cálculo Diferencial
545"
Cn"fkxkfkt"codqu"okgodtqu"fg"nc"gewcekôp"f{"="h")*z+0fz""rqt"fz."ug"qdvkgpg""
( )fzfz0z"h
fz
f{ )= ."uk"fz"≠"20"
Fg"cswî<"h")*z+"?fz
f{0""
Guvc"gewcekôp"fkeg"swg"ewcpfq"fz"≠"2." nc"fgtkxcfc"ug"rwgfg"eqpukfgtct"eqoq"wp"eqekgpvg"fg"fkhgtgpekcngu0"""""
Cn" fghkpkt" gn" fkhgtgpekcn" fg" wpc" hwpekôp." nc" pqvcekôp" fg" Ngkdpk|."fz
f{." pq" uônq"
rctgeg"wpc"htceekôp."ukpq"swg"gu"wpc"htceekôp<"zfg"nfkhgtgpekc
"{fg"nfkhgtgpekc
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El Cálculo Diferencial
546"
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El Cálculo Diferencial
547"
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El Cálculo Diferencial
548"
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El Cálculo Diferencial
549"
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
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El Cálculo Diferencial
552"
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El Cálculo Diferencial
553"
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Gp"igpgtcn."gn"rqnkpqokq"fg"itcfq"p"fg"nc"hwpekôp"h*z+"="g4z"gu"fg"nc"hqtoc<""
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Ewcnswkgtc"fg"guvqu"rqnkpqokqu."rqt"glgornq"r5*z+."rwgfg"wvknk|ctug"rctc"ecnewnct"gn" xcnqt" fg" nc" hwpekôp" gp" wp" rwpvq" rtôzkoq" c" egtq" {c" swg" gp" wp" kpvgtxcnq"egpvtcfq" gp" egtq." nc" fkhgtgpekc" gpvtg" gn" xgtfcfgtq" xcnqt" fg" nc" hwpekôp" {" nc"
crtqzkocekôp"rqnkpqokcn"gu"rgswgòc0"Gu"fgekt."h*z+"≈"r5*z+0""
Fg"guvc"ocpgtc."rctc"crtqzkoct"gn"xcnqt"fg"nc"hwpekôp"h*z+"="g4z"gp"z"="2.47."ug"
tggornc|c"fkejq"xcnqt"gp"r5*z+"=54 z
5
6z4z43 +++ 0"Rqt"nq"vcpvq<"
h*2.47+"≈ 54 +47.2*5
6+47.2*"447.2043 +++ ""⇒""h*2.47+"≈ 53.867:
)
0"
""
El Cálculo Diferencial
554"
Glgornq0" "Fgvgtokpg" nqu" rqnkpqokqu"fg"Oce"Ncwtkp"jcuvc"gn" fg"itcfq"9." fg" nc"hwpekôp"h*z+"="ugp"z0""Ug"ecnewncp"gn"xcnqt"fg"nc"hwpekôp"{"gn"fg"uwu"uwegukxcu"fgtkxcfcu"gp"z"="20"h*z+"="ugp"z" " " " h*2+"="2"h")*z+"="equ"z"" " " h")*2+"="3"h"))*z+"="−ugp"z" " " h"))*2+"="2"h")))*z+"="−equ"z" " " h")))*2+"="−3"h"*kx+*z+"="ugp"z" " " h"
*kx+*2+"="2"
h"*x+*z+"="equ"z" " " h"
*x+*2+"="3"
Rwgfg"qdugtxctug"swg"gu"rqukdng"ugiwkt"fgtkxcpfq"kphkpkvcogpvg0"Crnkecpfq"nq"xkuvq"cpvgtkqtogpvg"ug"qdvkgpgp"nqu"ukiwkgpvgu"rqnkpqokqu<""
r3*z+"="2"-"3z"="z""
""
r5*z+"="54 z
#5
3z#4
2z32 −++ ."gu"fgekt."r5*z+ =
5z#5
3z − 0""
"Eqpukfgtcpfq"oâu"vêtokpqu"fgn"rqnkpqokq."tguwnvc<""
r7*z+"=7654 z
#7
3z#6
2z#5
3z#4
2z32 ++−++ "⇒""r7*z+"=
75 z#7
3z#5
3z +− "
El Cálculo Diferencial
555"
""Rctc"gn"rqnkpqokq"fg"itcfq"9<"
r9*z+"="987654z#9
3z#8
2z#7
3z#6
2z#5
3z#4
2z32 −+++−++ "
r9*z+"="975z#9
3z#7
3z#5
3z −+− "
""Hôtownc"fg"Vc{nqt""""""""""""""""""""""""""""Gp" ncu" hôtowncu"fg"Oce"Ncwtkp"fgucttqnncfcu." ncu"crtqzkocekqpgu"rqnkpqokcngu"guvâp" egpvtcfcu" gp" z" =" 20" Vcodkêp" rwgfgp" eqpukfgtctug" hôtowncu" cpânqicu"egpvtcfcu" gp" rwpvq" z" =" c" ewcnswkgtc." vgpkgpfq" gp" ewgpvc" ncu" eqpfkekqpgu"eqpukfgtcfcu"cpvgtkqtogpvg0"Gu"fgekt."swg"gn"xcnqt"fgn"rqnkpqokq"r*z+"{"gn"fg"uwu"p"rtkogtcu"fgtkxcfcu"ugcp"tgurgevkxcogpvg"kiwcngu"cn"xcnqt"fg"nc"hwpekôp"{"="h*z+"{"cn"fg"uwu"p"rtkogtcu"fgtkxcfcu"gp"z"="c0"Eqp"guvg"qdlgvkxq."eqpxkgpg"guetkdkt"gn"rqnkpqokq"fg"crtqzkocekôp"fg"itcfq"p"fg"nc"hqtoc<"""
rp*z+"="c2"-"c3*z"⁄"c+"-"c4*z"⁄"c+4"-"c5*z"⁄"c+
5"-"0000"-"cp*z"⁄"c+
p"""
Fg"guvc"ocpgtc."ncu"fgtkxcu"uwegukxcu"tguwnvcp<"
r")*z+"="c3"-"4c4*z"⁄"c+"-"5c5*z"⁄"c+4"-00000"-"pcp*z"⁄"c+
p⁄3""
r"))*z+"="4c4"-"50"4c5*z"⁄"c+"-00000"-"p*p"⁄"3+cp*z"⁄"c+p⁄4""
r")))*z+"="50"4c5"-00000"-"p*p"⁄"3+*p"⁄"4+cp*z"⁄"c+p⁄5""
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000"
r*p+*z+"="p*p"⁄"3+*p"⁄"4+"00000"30cp"
"
El Cálculo Diferencial
556"
Tggornc|cpfq"z"rqt"c."ug"qdvkgpg<"
r*c+"="c2="""r")*c+"="c3="""r"))*c+"="4c4="""r)))*c+"="5#c5="00000"="""r"*p+*c+"="p#"
Fcfq"swg"gn" xcnqt" fg" nc" hwpekôp" h*z+" {" nqu"fg"uwu"p"rtkogtcu"fgtkxcfcu"fgdgp"
eqkpekfkt"eqp"nqu"fg"rp*z+"gp"z"="c."ug"fgfweg"swg<""
c2"="h*c+="""c3"="h")*c+="""c4"=" 4#+"h c*))=""""c5"=" 5#
*c+h )))"="00000"="cp"=" p#
*c+h *p+"
"Uwuvkvw{gpfq" guvqu" xcnqtgu" gp" gn" rqnkpqokq" r*z+" eqpukfgtcfq." ug" qdvkgpg" gn"rqnkpqokq"fg"Vc{nqt"fg"itcfq"p"fg"nc"hwpekôp"{"="h*z+"egpvtcfq"gp"z"= c0"""Rqt"nq"vcpvq<"""
rp*z+"="( )
"p
c+"*z"p#
*c+ph""0"00"5c+"*z"
5#
*c+"h"4c+"*z""
4#
*c+"h""c+"*z""*c+""h""h*c+
)))))) −++−+−+−+ "
Guvg"rqnkpqokq"gu"rtôzkoq"c"nc"hwpekôp"h*z+"rctc"xcnqtgu"fg"z"egtecpqu"cn"rwpvq"c0"
Eqoq" h*z+" =" rp*z+" -" tp*z+." rctc" cswgnnqu" xcnqtgu" fg" z" gp" nqu" swg" gn" vêtokpq"
eqorngogpvctkq"tp*z+"gu"rgswgòq."gn"rqnkpqokq"rp*z+"fc"wp"xcnqt"crtqzkocfq"fg"
nc"hwpekôp"h*z+"gp"wp"kpvgtxcnq"fg"cornkvwf"rgswgòc"egpvtcfq"gp"z"="c0"Gu"fgekt."h*z+"≈"rp*z+0""Rqt"nq"vcpvq<""
h*z+"≈" "pc+"*z"p#
*c++p*h""0"0"0"0"5c+"*z"
5#
*c+)))"h"4c+"*z""
4#
*c+))"h""c+"*z""*c+")"h""h*c+ −++−+−+−+ "
q"dkgp"h*z+"≈"∑=
−p
2k
k+k*
+cz*#k
+c*h"
"
Glgornq0"Jcnng"nqu"rqnkpqokqu"fg"Vc{nqt"r3*z+."r4*z+."r5*z+"{"r6*z+"rctc"nc"hwpekôp"
h*z+"="np"z"egpvtcfqu"gp"z"="30"""""Fgucttqnncpfq"tgurgevq"c"c"="3."ug"qdvkgpg<"h*z+"="np"z" " " " h*3+"="2"
h")*z+"="z
3" " " " h")*3+"="3"
h"))*z+"="4z
3−" " " " h"))*3+"="−3"
h")))*z+"="5z
4"" " " h")))*3+"="4"
h"*kx+*z+"=
6z
8−"" " " h"
*kx+*3+"="−8"
"Nqu"rqnkpqokqu"fg"Vc{nqt"rgfkfqu"uqp<"""
El Cálculo Diferencial
557"
r3*z+"=" 3+"*z""*3+""h""h*3+ ) −+ """⇒"""r3*z+"="*z"⁄"3+"
r4*z+"="43+"*z""
4#
*3+))"h""3+"*z""*3+")"h""h*3+ −+−+ ""⇒"""r4*z+"="
4+3z*4
33+z* """" −−− "
r5*z+"="r4*z+"5c+"*z"
5#
*c+)))"h" −+ ""⇒"""r5*z+"="
54 +3z*5
3+3z*
4
33+z* """" −+−−− "
r6*z+"="r5*z+"6
3+"*z"6#
*3+*kx+"h" −+ """"
r6*z+"="654 +3z*
6
3+3z*
5
3+3z*
4
33+z* """"" −−−+−−− "
"Itâhkecogpvg<"
Rwgfg" qdugtxctug" swg" gp" ncu" rtqzkokfcfgu" fg" z" =" 3." ncu" itâhkecu" uqp"rtâevkecogpvg" kpfkuvkpiwkdngu" {"c"ogfkfc"swg"gn"itcfq"fgn"rqnkpqokq"cwogpvc."oglqt"gu"nc"crtqzkocekôp"fg"nc"hwpekôp"ogfkcpvg"fkejq"rqnkpqokq"gp"gug"rwpvq0""Rctc"ecnewnct"gn"xcnqt"fg"nc"hwpekôp"gp"wp"rwpvq"rtôzkoq"c"wpq."rwgfg"wvknk|ctug"
ewcnswkgtc"fg"nqu"rqnkpqokqu"qdvgpkfqu"{c"swg"h*z+"≈"rp*z+0""Rqt"glgornq."rctc"crtqzkoct"gn" xcnqt"fg" nc" hwpekôp" h*z+ =" npz"gp"z"="3.3"rwgfg"wvknk|ctug"gn"rqnkpqokq""
r5*z+" =" 54 +3z*5
3+3z*
4
33+z* """" −+−−− " {c" swg" cn" ugt" 3.3" rtôzkoq" c" z" = 3." ug"
xgtkhkec"swg"h*3.3+"≈"r5*3.3+0""
r5*3.3+"="54+33.3*
5
3+33.3*
4
33+3.3* """" −+−−− = 52.2;7
)
"
Rqt"nq"vcpvq."h*3.3+"≈" 52.2;7)
"
"""
El Cálculo Diferencial
558"
Glgornq0"Gpewgpvtg"gn"rqnkpqokq"fg"Vc{nqt"fg"itcfq"5"fg"h*z+"="4z"−"gz"egpvtcfq"gp"z"="30"
Gn"fgucttqnnq"fg"Vc{nqt"rctc"h*z+"gp"vqtpq"c"z"="3"gu"""""∑=
−p
2k
k+k*
+3z*#k
+3*h"
h*z+"="4z"−"gz"""" h*3+"="4"−"g"
h")*z+"="4"−"gz""""" h")*3+"="4"−"g"h"))*z+"="−"gz"""" h"))*3+"="−"g"h")))*z+"="−"gz"""" h")))*3+"="−"g""Gpvqpegu"tguwnvc<" " "
h*z+"≈""*4"−"g+"-"#3
+g4* −*z"−"3+"-"
#4
g−*z"−"3+4"-"
#5
g−*z"−"3+5"
"
h*z+"≈"*4"−"g+"-"*4"−"g+"*z"−3+"−"4
g"*z"−"3+4"−"
8
g*z"−"3+5"
"
"GLGTEKEKQU""
3+"Gpewgpvtg"gn"rqnkpqokq"fg"Vc{nqt"fg"itcfq"5"eqttgurqpfkgpvg"c"h*z+"="z
3"gp"
c"="30"4+"Ecnewng"nqu"ewcvtq"rtkogtqu"vêtokpqu"fgn"fgucttqnnq"fg"Vc{nqt"fg"h*z+"="np*5−z+"gp"vqtpq"c"z"="40"5+"Jcnng"nqu"ewcvtq"rtkogtqu"vêtokpqu"fgn"fgucttqnnq"fg"Oce"Ncwtkp"fg"nc"hwpekôp"
h*z+"="z4
3
−0"
6+"Fgvgtokpg" nqu" ewcvtq" rtkogtqu" vêtokpqu" fgn" fgucttqnnq" fg"Oce"Ncwtkp" fg" nc"
hwpekôp"h*z+"="4z4"−"5gz0""TGURWGUVCU"
3+"h*z+"≈" 54 +3z*38
7+3z*
:
5+3z*
4
33 −−−+−− "
4+"h*z+"≈" ( ) ( ) ( ) ( )654 4z6
34z
5
34z
4
34z −−−−−−−− ""
5+"h*z+"≈" 54 z38
3z
:
3z
6
3
4
3+++ " "
6+"h*z+"≈"−5"−"5z"-" 34z4"−"4
3z5"
"
""
El Cálculo Diferencial
559"
GLGTEKEKQU"KPVGITCFQTGU"906"CRTQZKOCEKQPGU""3+"Wucpfq"eânewnq"fkhgtgpekcn"jcnng"gn"xcnqt"crtqzkocfq"fg<""
" c+" 637 " " d+" 5 4: "
4+"Ecnewng"gn"xcnqt"crtqzkocfq"fg"h*z+"="z5"−"4""gp""z"="3.230"5+"Fgvgtokpg"nc"fkhgtgpekcn"fg"ncu"hwpekqpgu"fcfcu<"
" c+"{"="z5"−"6g4z"-"8"" d+"{"="z7
g
3z5 + " " e+"{"="np"*4z-3+"
6+"Fcfc"nc"ukiwkgpvg"itâhkec"qdvgpic"gn"xcnqt"fg"f{"g""Δ{"rctc"z"="3"{""Δz"="2.70"
"7+"Gpewgpvtg"nqu"ewcvtq"rtkogtqu"vêtokpqu"fgn"fgucttqnnq"fg"Vc{nqt"fg"nc"hwpekôp""h*z+"="np*z"−3+"gp"vqtpq"c"z"="40"
8+"Qdvgpic" nqu"ewcvtq"rtkogtqu"vêtokpqu"fgn"fgucttqnnq"fg"Vc{nqt"fg"{"="4z
3
−"
gp"rqvgpekcu"fg"*z"− 5+0"9+"Jcnng"nqu"ekpeq"rtkogtqu"vêtokpqu"fgn"fgucttqnnq"fg"Oce"Ncwtkp"fg"{"="g4z0"""RTWGDC"FG"QREKłP"OðNVKRNG""
3+"Uk"h*z+"="5"-"4z"−"z4."gn"xcnqt"fg"e"gp"*−4."6+"rctc"gn"swg"ug"xgtkhkec"gn"vgqtgoc"fg"Tqnng"gu<""
c+"2" " " d+"−3" " " e+"3""" " " f+"4"
4+"Ugc"h*z+"= 3z − "fghkpkfc"gp"]3."5_0"Gn"xcnqt"fg"e"fg"fkejq"kpvgtxcnq"rctc"gn"swg"ug"xgtkhkec"gn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"fg"Ncitcpig"gu<""
c+"4
3" " " d+"
4
5" " " e+" 4 "" " f+" 34 + "
5+"Nc"cduekuc"fgn"rwpvq"fg"nc"itâhkec"fg""{"?"npz""gp"gn"swg"nc"tgevc"vcpigpvg"gu"rctcngnc"c"nc"ewgtfc"swg"wpg"nqu"rwpvqu"C*3."2+"{"D*g."3+"gu<""
c+"3g
3
−" " d+"g" " " e+"g"-"3" " f+"g"−"3"
El Cálculo Diferencial
4) El valor de x0 que verifica el teorema del valor medio de Cauchy para la
función f(x) = 9x2 + y g(x) = x
2 + 1 en el intervalo [0, 4] es:
a) 7 b) 2 c) 3 d) 2,5
5) Resolviendo el 3
x
xsenx
0xlím
−→
, se obtiene:
a) 0 b) 6
1− c)
6
1 d) −6
6) El resultado de 2x
e
xlímx ∞→
es:
a) 0 b) 2
1 c) −
2
1 d) ∞
7) Calculando el xsenx
cosx1
0xlím
−−
+→, resulta:
a) 1 b) 0 c) −∞ d) +∞
8) Resolviendo el ( ) x2
1xxlím +
∞→, se obtiene:
a) 2 b) 0 c) ∞ d) 1
9) En el desarrollo de Mac Laurin de la función f(x) = , el término de grado
cuatro es:
2xe
a) 12x4 b) 2x
4 c)
2
x4
d) 24
x4
10) El término de grado tres en el desarrollo de Taylor alrededor de x = 3 para la
función f(x) = 1x + , es:
a) 33)(x
256
3− b) 3
3)(x512
1− c) 3
3)(x16
3− d) − 3
3)(x256
3−
AUTOEVALUACIÓN
1) Determine si la función f(x) = 1x
12 −
en [0, 2] satisface las hipótesis del valor
intermedio de Lagrange en el intervalo indicado. En caso afirmativo halle él o los
valores de c que tal teorema asegura que existen.
2) Indique si la función f(x) = x2 + 2x en [−3, 1] satisface las hipótesis del
teorema de Rolle en el intervalo indicado. En caso afirmativo halle él o los
valores de x0 que tal teorema asegura que existe.
3) Calcule los siguientes límites:
338
El Cálculo Diferencial
55;"
" c+z
4g4nîo
z7
2z
−→
"" " d+ +z4np*0znîo2z +→
" " e+" z
2z
+ugpz*nîo→
" "
6+"Jcnng"nqu"ekpeq"rtkogtqu"vêtokpqu"fgn"fgucttqnnq"fg"Oce"Ncwtkp"fg"i*z+"="g5z0"
7+"Gpewgpvtg"gn"xcnqt"crtqzkocfq"fg"h*z+"="z4"−"7"gp"gn"rwpvq"5.2230""
8+"Fgvgtokpg"wpc"hwpekôp"h*z+"vcn"swg"h")"*z+"=" zg5zz
4+− 0"
""GLGTEKEKQU"FG"TGRCUQ"""
3+" Ugc" nc" hwpekôp" h*z+" =" z4" -" 4z0" Eqortwgdg" swg" ucvkuhceg" ncu" jkrôvguku" fgn"vgqtgoc"fgn" xcnqt" kpvgtogfkq"fg"Ncitcpig"gp"gn" kpvgtxcnq" ]3."4_" {"fgvgtokpg"gn"
xcnqt"fg"z2"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"
4+"ÀRctc"swê"xcnqtgu"fg"c."d"{"e"nc"hwpekôp"h*z+"="⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤+−+
=
6"z5""uk"""""""""""":ze
5>z>3""uk""""3dz4cz
3""""""zuk""""""""""""""""""4
"
ucvkuhceg"ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"gp"gn"kpvgtxcnq"]3."6_A"
5+"Tguwgnxc"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu"crnkecpfq"nc"tginc"fg"N‚Jqrkvcn<"
" c+""z
ugpznîo2z→
" " d+ ππ −→ z
ugpznîoz
" " e+ znp5z
znp4z7nîoz +
++∞→
""""""
" f+ znp0znîo 4
2z +→" " g+"
z4
zequnîo
4z −ππ
→" " h+"
4z
5z
z z4g6
z5gnîo
+
++∞→
""
" i+"+z4*ugpz
+z4*ugpznîo2z −
+→
" j+"+3g*z
gz3nîo
z
z
2z −
−+→
"" " k+( )z
3ccnîo
zz
2z
+−→
""
" l+" ( )z4
z
zzgnîo +
+∞→ m+"
8zz
7
5z
3nîo
45z −−−
−→""n+"
z
znpnîoz +∞→
"
" o+" z
3
zznîo
+∞→" " p+"
znp
7nîo
z
z +∞→" " q+"
4
z
2z z
3gnîo
−→
" "
" r+"z4
5
z g
znîo
+∞→" " s+
3g
zznîo
z
46
z +
++∞→
t+"6z z
znpnîo
+∞→"" "
" u+" znp0znîo2z +→
"" " v+ z
3
z z
3nîo ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→" " w+
znp
3
4z4
3nîo3z
−−→
"
" x+""3g
3
z
3nîo
z2z −−
→"" y+ znp
c
2zznîo
+→" " z+" ( )z
3
2zz3nîo −
→"
6+"c+"Qdvgpic"gn"fgucttqnnq"fg"Vc{nqt"fg"h*z+"="equz"ugiûp"rqvgpekcu"fg"*z"−"4
π+0"
El Cálculo Diferencial
562"
" d+"Jcnng"gn"fgucttqnnq"fg"h*z+"="ugpz"gp"rqvgpekcu"fg"*z"−"6
π+0"
7+"Gpewgpvtg"gn"fgucttqnnq"fg"Oce"Ncwtkp"fg<"
" c+"h*z+"="gz""""""""" d+"h*z+"="ugp"z" " """"""" e+"h*z+"="np*3"-"z+"""""""""""""""""
El Cálculo Diferencial
341
Respuestas a: Ejercicios Integradores
Problemas de Aplicación Pruebas de Opción Múltiple
Autoevaluaciones Ejercicios de Repaso
CAPÍTULO 1: NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL EJERCICIOS INTEGRADORES 1.2 Números reales y la recta real (página 33) 1)a) x 3 b) x 2
c) x 4 2
d)x + 43 e)x 5 8
f)x 11 5
2)a) Intervalo:
2
5 ,
2
5,
b) Notación conjuntista:
1x2/x
c) Notación conjuntista:
Intervalo:
2
5 ,
2
3,
d) Notación conjuntista:
2x3/x ,
Intervalo: [3, 2),
3)a)(1,4)
b) 4,2 ,
4) 2
3m 5) a 2
PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 34) 1) c; 2) b; 3) b; 4) a; 5) b; 6) c; 7) c; 8) b; 9) b; 10) d; 11) a; 12) b; 13) c; 14) c;
15) b; 16) a
AUTOEVALUACIÓN (página 35) 1)a) (1, 5) b) 5, 3 c) (1, 2)(2, 5) d) (, 3)(5, )
e) (, 3)(1, ) f) 3, 1 2) k 2
3) m 1
4)a) x + 2 3
c) A x / x 5 x 1
A (, 51, )
5)a) Todos los números reales que
distan menos de 5 unidades del 4
en la recta numérica.
b) A x / 1 < x < 9 (1, 9)
EJERCICIOS DE REPASO (página 35)
1)a) {x/ 3 x 4}
b) {x/ 1 x 27 }
c) {x/ 4 x 1}
d) {x/ x 2}
El Cálculo Diferencial
342
e) {x/ x 4}
2)a) [2, 4]; b) (1,3]; c) [7, 2)
d) (1,3); e) (3, 1) (1,1)
f) (3, 1); g) (3, 7); h) [5,1]
i) (2, 3)(3,4); j) (6, 4)(4,2)
k) (0, 4); l) (, 0) (4, )
3) S (0, 3) (3, 6)
4)
0,
21
21,1S
5) k 2
6)a) Intervalo: [1, 4)
Gráfica:
b) Notación conjuntista:
{x/ 5 < x 9}
Gráfica:
c) Intervalo:
25,
23
Gráfica:
d) Notación conjuntista:
{x/ 0 x 1 3}
Gráfica:
e) Notación conjuntista:
{x/ 0 x + 2 3}
Intervalo: (5,2) (2,1)
CAPÍTULO 2: LÍMITE DE FUNCIONES EJERCICIOS INTEGRADORES 2.1 Noción intuitiva de límite – 2.2 Definición de límite de una función y propiedades (página 55)
1)a) 7; b) 3
1
2)a) No existe porque los límites
laterales son distintos (por izquierda
es 1 y por derecha, 3).; b) 1 ya
que los dos límites laterales son
iguales a ese valor.; c) No existe
porque los límites laterales son
distintos (por izquierda es 2 y por
derecha, 1).; d) 1 ya que los dos
límites laterales son iguales a ese
valor.
a) 1; b) 1; c) 1; d) 2; e) 7
f) No existe.
EJERCICIOS INTEGRADORES 2.3 Límites infinitos y límites en el infinito – 2.4 Límites indeterminados (página 79)
2)a) 32 ; b) 23
; c) 0; d) 1; e) 5;
f) 81
; g) +; h) + ; i) 0;
3) a 2, b 10
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 79) 1) 0
El Cálculo Diferencial
343
2)a) 0,4 millones 400 000
bacterias;
b) se estabiliza en 2 millones de
bacterias.
3)a) N(5) 166 ciervos; N(10) 250
ciervos; b) 750 ciervos.
4) a) 1,07g; b) 1,25 g
5)a) Aproximadamente 60 palabras/
minuto; b) 157 palabras/ minuto
6)a) 40 unidades, 60 unidades;
b) 120 unidades.
7)a) 27,54 %; 44,25 %; b) 70 %.
8)a) 14,51 %; 32 %; b) 90 %.
9)a) +; b) b
PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 81) 1) c; 2) a; 3) b; 4) a; 5) b; 6) d; 7) c; 8) b; 9) b; 10) d; 11) a; 12) b; 13) a; 14) d; 15) b; 16) c; 17) d; 18) d; 19) b; 20) a; 21) c; 22) a; 23) b; 24) a
AUTOEVALUACIÓN (página 85) 1)
a) 4 b) 4 c) 4 d) 2
2)a) , b) , c) no existe, d) 3, e) 1, f) no existe, g) 3, h) 3, i) 3,
j) 0, k) no existe, l) 3, m) 4
3)a) 26
1, b)
4
3 , c) 0, d) 0
4) a 21 , a
2
1
5)a) 30 mm, b) 300 mm
EJERCICIOS DE REPASO (página 86) 1)a) Falso. La existencia de límite
cuando x tiende a x0 no asegura la
existencia de la imagen en ese
punto.; b) Verdadero.
c) Falso. Si los límites laterales en
un punto son distintos el límite en
ese punto no existe.
d) Falso. La no existencia de la
imagen en x x0 no asegura la no
existencia de límite en dicho valor.
e) Verdadero.
2)a) 2; b) 5
2; c) 4; d) 22 ; e)
7
10
f) 0; g) 4a3; h)
22
1; i)
2
1; j)
a2
1
k) 9; l) +; m) 0; n) 2; ñ) 1; o) 8
p) 2; q) 7
2; r)
2
2 ; s) 4; t) 1
u) 4
1; v) 1; w) 1; x) 2; y) 0
3)a) 2x; b) 4x + 5
4)a) 1; b) 2; c) 2x; d) 2x + 1 5)a) +; b) 6; c) 0; d) +; e) 0; f) 0
6)a) 3; b) 2; c) No existe; d)
e) +; f) +; g) +; h) 0; i) 1; j) 1
k)1 7)a) 2; b) 3; c) 0; d) 0; e) 2; f) 2
El Cálculo Diferencial
344
g) +; h) ; i) No existe; j) 2
1
k) 2
1 ; l)
2
1
9)i)
ii)a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 1; f) 2
g) No existe; h) 2
10)a) k 6; b) k 2
CAPÍTULO 3: FUNCIÓN CONTINUA EJERCICIOS INTEGRADORES 3.1 Continuidad de una función en un punto – 3.2 Función continua en un intervalo (página 108) 1)a) 2; b) 2; c) 3; d) no existe; e) 2; f) 1; g)1; h) 1
La función es continua en todo
punto excepto en x 4 donde
presenta una discontinuidad de
salto y en x 2 donde presenta una
discontinuidad evitable. 2) Función continua en todo punto
excepto en x 1 donde presenta
una discontinuidad evitable.
En x 0 donde presenta una
discontinuidad infinita y en x 3 una
discontinuidad de salto.
3)a) 21k b) k 3
4)
Continua en todo punto excepto en
x 1 donde presenta una
discontinuidad de salto.
5) En [3, 1 es continua excepto en
x 2, donde presenta una
discontinuidad infinita y en [ 0, 3 es
continua.
EJERCICIOS INTEGRADORES 3.3 Teoremas de las funciones continuas (página 114) 2) Ninguna raíz.
3) No se puede asegurar que
presente una raíz real en el
intervalo [0, 4 pues no es continua
en dicho intervalo (teorema de
Bolzano).
4) Dos raíces como mínimo.
El Cálculo Diferencial
345
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 115)
1)a) c : R+ R /
x
400 xsi1,25x
400x150 si1,5x
150x0 si2x
b)
c) El costo de transportar una casa
móvil 130 km es de $ 260. El costo
de transportar una casa móvil 400
km es de $ 600.
d) Presenta discontinuidades de
salto en x 150 y en x 400.
2)a) A los tres minutos de ser
introducida la bacteria habrá 16 000
bacterias.
b) A los ocho minutos habrá 8 000
bacterias.
c) La colonia morirá a los nueve
minutos.
d)
e) Es continua en todo su dominio.
3)a) Al comienzo de la experiencia
la temperatura es de 25ºC. Indica la
ordenada al origen, es decir, la
intersección con el eje de
ordenadas pues es la imagen del
cero.
b) Después de 5 minutos, la
temperatura será de 100 ºC.
c)
Es continua en todo su dominio.
4)a)
Presenta discontinuidades de salto
en x 5 y en x 10.
b) f(2) 40.
En el instante 2 el inventario de la
compañía es de 40 000 unidades.
f(10) 60.
En el instante 10 el inventario de la
compañía es de 60 000 unidades.
El Cálculo Diferencial
346
PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 116) 1) c; 2) a; 3) c; 4) b; 5) a ; 6) b; 7) c; 8) c; 9) b; 10) c; 11) a; 12) a
AUTOEVALUACIÓN (página 117) 1)
a) 2, b) 1, c) 1, d) 1 Tiene una
discontinuidad evitable en x 0. Es
continua en R 0. 2) b 3
3) Existe )x(flím
ax ya que los límites
laterales son iguales.
La función será continua en x a
sólo si L1 L2 b
4) Dos raíces.
5) Ninguna raíz.
EJERCICIOS DE REPASO (página 121) 1)a) Falso. Si los límites laterales en
x x0 son iguales entre sí pueden o
no coincidir con la imagen en dicho
punto. b) Falso. Una función puede
ser continua en (a, b) pero
)a(f)x(flímax
o )b(f)x(flímbx
,
es decir, no sería continua en [a, b].
c) Verdadero. ;d) Falso. Si g es
continua en [a, b], g
1 es continua
sólo si g(x) 0, x[a, b]. 2)a) Discontinuidad evitable en
x 3.
m(x)
3 xsi 5
3 xsi f(x)
b) Discontinuidad de salto en x 0.
c) Discontinuidad infinita en x 0.
d) Discontinuidad de salto en x 1.
e) Continua en todo punto.
f) Discontinuidad infinita en x 0.
g) Discontinuidad de salto en u 1.
h) Continua en todo punto.
i) Discontinuidad de salto en x 2.
j) Discontinuidad evitable en x 3.
m(x)
3 xsi 6
13 xsi f(x)
Discontinuidad infinita en x 3.
3) a) Discontinuidad de salto en
x 0.
b) Continua en todo punto.
El Cálculo Diferencial
347
c) Continua en todo punto.
d) Discontinuidad de salto en x 2.
4)a) k 5; b) k 5; c) k 3;
d) k 5
1
5)a) a 1, b 1; b) a 3, b 4
c) a 3
1, b
3
2
6)a) Discontinuidad de salto en
x 3. Discontinuidad evitable en
x 0.
b) Discontinuidad infinita en x 2.
Discontinuidad de salto en x 1.
Discontinuidad evitable en x 3.
11) El mínimo número de raíces es
2.
12) El mínimo número de raíces es
4.
CAPÍTULO 4: EL CONCEPTO DE DERIVADA
EJERCICIOS INTEGRADORES 4.1 Razones de cambio 4.2 El problema de la recta tangente a una curva 4.3 Relación entre razón de cambio promedio, razón de cambio instantánea, recta secante y recta tangente (página 152) 1)a) La razón de cambio promedio de la función cuando x cambia de
x0 1 a x1 2 es 3. La ecuación
de la recta secante es y 3x + 5. La razón de cambio promedio coincide con la pendiente de la recta secante que une los puntos
abscisa x0 1 y x1 2. b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto
de abscisa x0 1 es y 2x + 4.
El Cálculo Diferencial
348
2)a) La razón de cambio promedio de la función cuando x cambia de
x0 3 a x1 2 es 19, que coincide con la pendiente de la recta secante que une los puntos
abscisa x0 3 y x1 2. La ecuación de la recta secante es y 19x + 30. b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto
x0 2 es y 12x + 16. c)
3) a) La razón de cambio media es
2, la razón de cambio instantánea
en x x0 es 2 y la razón de
cambio instantánea en x x1 es 2. b) La razón de cambio media es 1, la razón de cambio instantánea en
x x0 es y la razón de cambio
instantánea en x x1 es 2. 4)a) Las ecuaciones de la recta secante y de las rectas tangentes coinciden con la de la función debido a que se trata de una función de primer grado y por lo tanto su gráfica es una recta.
b) rs : y t 1 ; en x 0,
r t : y 1; en x 1, r t : y 2x 2
EJERCICIOS INTEGRADORES 4.4 Concepto de derivada 4.5 Función derivada 4.6 Derivadas laterales 4.7 Derivabilidad y continuidad 4.8 Derivabilidad de una función en un intervalo (página 172)
1)a) y' 2x 2 ; b) y' 5
2) f ' (x) > 0 si x (, b) (c, );
f ' (x) < 0 si x (b, c); f ' (x) 0 en
x b y en x c. 3)a) Existen las derivadas primeras
a la derecha y a la izquierda de x 1, pero son distintas. Por lo tanto no
existe la derivada en x 1. Lo mismo ocurre en x 6. b) En x 1 la función no es continua y por lo tanto no es
derivable en x 1.
4) La función es derivable en x 0.
En x 2 no es continua y por lo tanto no es derivable en x 2. 5) En x 2 la función no es continua y por lo tanto no es derivable. 6)a) la velocidad en cada instante
del movimiento es v(t) 2t 4; b) El móvil retrocede si 0 < t < 2 y avanza cuando 2 < t < 4.
El Cálculo Diferencial
349
c) s(0) 4m, s(1) 1m, s(2) 0m; d) 8m.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 173)
1)a) d 48 pies; vp 48 pies/s;
b) d 20 pies; vp 40 pies/s;
c) d 3,36 pies; vp 33,6 pies/s;
d 0,3216 pies; vp 32,16 pies/s;
d 0,032 pies; vp 32,01 pies/s;
d) vi 32 pies/s
2)a) vm 10 m/s;
b) vm 8,002 m/s;
c) vm (8 + 2h) m/s;
d) vi 8 m/s 3) a) 125 habitantes por año; b) 150 habitantes por año.
4)a) 5000 dólares; b) 4500 dólares/año; c) 4000 dólares/año. 5)a) 12 personas; b) 124 personas por año; c) 125 personas por año 6)a) 4000 l/m; b) 3500 l/m
7)a) 64 pies; vm 32 pies/s;
b) vm 48 pies/s;
c) 8 s; v 128 pies/s 8) 4,5 millones/año; 4,4 millones/año; 5,2 millones/año 9)a) 310 000 pies;
vm 77 500 pies/s;
b) v 187 500 pies/s. PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 175) 1) b; 2) a; 3) b; 4) a; 5) b; 6) b AUTOEVALUACIÓN (página 176)
1)
t
C1,2. La concentración del
fármaco en el torrente sanguíneo
disminuye a razón de 1,23
cm
mg por
minuto. 2)a) 2 392 000 personas
b) 142 000 personas por día
c) 561 500 personas por día.
3)a) Es continua en x 1 pues
2)1(f)x(flím1x
b) No es derivable en x 1 pues
las derivadas laterales existen pero
son distintas.
4) a 2, b 1.
5) y 2x 1
6) y 2
7x
2
1
7)a) 38 h
km, b) 118
h
km,
c) 138h
km.
8) 1,78 minutos
9)a) A las 5 horas de iniciado el
experimento hay 960 bacterias.
b) En t 5 horas la cantidad de
bacterias está aumentando a razón
de 665 bacterias por hora.
El Cálculo Diferencial
350
EJERCICIOS DE REPASO (página 177) 1)a) La razón de cambio media es
1; b) rs: y x + 2; c) En x 1, la razón de cambio instantánea es 0;
d) rt: y 1.
2) rt: y 2x + 11; rs: y 1x21
3) En x 0 la función no es continua y por lo tanto no es derivable. En cualquier otro punto del intervalo la función dada es derivable. 4)a) Falso, pues dos funciones que tienen la misma derivada pueden ser iguales o diferir en una constante.; b) Verdadero, pues derivabilidad implica continuidad.
5)a) h' (x) 2x + 4 ;
b) f '(x) 3x2
4x
c) r'(x) 23x
2
; d) g'(x)
24x2
16
6)a) f '(0) 3; b) f '(2) 12 ;
c) f '(1) 2 7)i) Existen las derivadas primeras de f(x) a la derecha y a izquierda de
x0 pero son distintas, por lo tanto no
existe la derivada en x0.
Df (a, b), Df ' (a, x0) (x0, b).
f '(x) 0 en (a, x0),
f '(x) 0 en (x0, b) ii) Existen las derivadas primeras de f(x) a la derecha y a la izquierda de x0 y son iguales, por lo tanto
existe la derivada en x0.
Df (a, b) Df '. La función f ' (x) 0 en (a, b)
iii) No es continua en x0, por lo tanto no es derivable en x0.
Df (a, b), Df ' (a, x0) (x0, b).
f '(x) 0 en (a, x0), f '(x) 0 en
(x0, b)
iv) Es derivable en x0.
Df [a, b) Df' ; f '(x) 0 en [a, b)
CAPÍTULO 5: CÁLCULO DE DERIVADAS
EJERCICIOS INTEGRADORES 5.1 Reglas de derivación - 5.2 Derivación implícita - 5.3 Razones de cambio relacionadas (página 205)
1)a) y' 2x 15x2
b) y' x2
1x2x2
3
c) y' xsec2x2
3e2x
d) y' x
x1 2
e) y' xcossenx2 e34x4
f) y' x
x2
e
1e
g) y' (tgx)x
xcos.senxxtgxln
h)
y' xtgxxcosln2xcosx52
x5
i) y' x2x
[2(1+lnx)cosx senx]
j) y' 1e5
e5x
x
2)a) 14; b) 105
3)a) u' (1) 0; b) v' (5) 32 ;
c) no existe u'(2)
4) m 2, n 1 5) b 8;
6) los puntos (0, 1) y
37 ,2
El Cálculo Diferencial
351
7) los puntos son: (2, 4) y
27122,
34
8) el punto es
29,
21
; la recta
tangente es y 29 .
9) los puntos son (1, 2) y (1, 2).
Las rectas: y 2, y 2.
10)a) yx
xy1
dx
dy2
2
; b) yx
dx
dy
11)a) 4dt
dy ; b)
2
53
dtdx
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 211) 1)a) 239 200 personas; 1 916 800 personas; b) 14 200 personas por día; c) 56 150 personas por día. 2)a) 46 piezas; b) 23 piezas por hora; c) 24 piezas por hora a las 11 de la mañana y 19 piezas por hora a las 12. 3) 20 mm mercurio/g
4)a) N0; b) 62 bacterias/hora
5) T ' (t) 16k ekt
6) 0,9 parasitados/habitantes 7) 31,5 grados/minuto. 8)
T'(t)
71t
13t2
t 1212t6t 5
2
9) 160 s
cm
10)a) 1 segundo;
b) v(1) 2s
cm; s(1) 2,5 cm
11) v(1) 11s
cm , v(4) 16
s
cm
12)a)
t
6ens
34)t(v ;
b) t 6 , t 12 décimas de segundos.
13)a) v0 160 pies/s;
b) v(2) 96 pies/s;
c) a(3) 32 pies/s2;
d) t 10 s; e) v 160 pies/s
14)a) 43t ; b) v
21
15) El precio de la canasta de naranjas disminuye a una tasa de $ 0,05 por día cuando la oferta diaria es de 5 000 canastas. 16) El costo aumenta a una tasa de $ 1020 por semana cuando la oferta es de 50 unidades. 17) La oferta crece a razón de 875 unidades por mes. 18) El área de la quemadura
decrece a razón de 0,1 cm2 por
día. 19) La sombra aumenta a razón de
0,47 .seg
m. Su sombra mide 3,79
metros. 20) El volumen aumenta a razón de
240 s
3cm
.
PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 214) 1) a; 2) a; 3) c; 4) c; 5) a; 6) b; 7) c; 8) c; 9) a
El Cálculo Diferencial
352
AUTOEVALUACIÓN (página 214)
1)a) f ' (x) x22
e4x2
9
b) f ' (x) 1x2x3.
x
1x2)x3ln(2
c) f ' (x) 24e3x
3
x
2x
2) m ' (2) 2
11
3) y x + 4
11
4) a 3, b 7
5)a) 5
12, b) 1
6)a) f '' (x) 4e2x
b) g ''' (x) 6 8cos(2x)
c) f(v)
(x) 0
7) 6,25 .seg
m
EJERCICIOS DE REPASO (página 215)
1)a) y' 4x3
+ 6x ;
b) y' 15x2
+ 2 2 x 25
c) y' 12x3
+ 18x2 + 10x + 4
d) y' (15x2 20x).(x
3 2x2)4
e) y'
25x4
x4
2
;
f) y'
233
x
2
x
1
g) y' x2
21 ; h) y'
3x
x2
;
i) y'
2x1x
2
j) y'
2xxln
x2.e
k) y' (6x 4).cos(3x2 4x + 5)
l) y' x2cos1
2
; m) y' 6cotg3x
n) y' 3.ln2.2tg3x
.sec2(3x);
o) y' 3ln.3.x22
x
p) y' x.sen3x ; q) y' 2xlnx 1
.lnx
r) y' 3x3x
.(1+ lnx) ;
s) y' (4 + 3lnx).ex.x
3x
t) y' x 2x+1
.
x1x2xln2 ;
2)a) 31 ; b) 86
3)a) 2 ; b) 4
4) f1 y g5; f2 y g3; f3 y g1; f4 y g4;
f5 y g2; f6 y g6
5)a) Falso ; b) Verdadero ; c) Verdadero 6)a) t : y 12x + 16,
n : y 649 x
121
b) t: y 13x 2, n: y 13
144 x131
c) t : y 94 x
91 , n : y
356 x9
d) t : y 4x + 2, n : y 2x41
t : y 4x 14, n : y 3x41
7)a)
47,
21V ; b) V(1, 1)
8)a) m y'
21 3 ;
b) m y' (2) 2
c) P(1, 0) ; d) Q
41,
2
3
9) f(2) 3, f ' (2) 1;
10) a 1, b 0, c 4
11)a)
313,2
b)
32,1 ;(3, 8)
El Cálculo Diferencial
353
12)a) 4
3x2dx
dy ; b) y3x
dx
dy 13)a)
31
dt
dy ; b) 3
dtdx
CAPÍTULO 6: ESTUDIO DE FUNCIONES
EJERCICIOS INTEGRADORES 6.7 Estudio de funciones (página 281) 1) a) D R {1} ; b) la función es
creciente en todo su dominio, no
posee extremos relativos;
c) no existen puntos de inflexión, es
cóncava hacia arriba en (, 1) y
cóncava hacia abajo en (1, );
d) x 1 asíntota vertical; y 1
asíntota horizontal; no existe
asíntota oblicua. 2) a) D R ; b) Intersecciones con
los ejes: P1(0, 0), P2 0 ,12 y
P3 0 ,12 ; c) No tiene asíntotas
pues es una función polinomial.
d) En (, 2) y (2, ) la función
crece; en (2, 2) la función decrece;
(2, 32) máximo relativo; (2, 32)
mínimo relativo; e) En (, 0) es
cóncava hacia abajo; en (0, ) es
cóncava hacia arriba; (0, 0) punto
de inflexión.
f)
3) mínimos absolutos (0, 0) y
(3, 0); máximo relativo y absoluto
4
9,
2
3.
4)
(la respuesta no es única) 5) x 1 asíntota vertical, y 2x + 3
asíntota oblicua.
6)a) crece (, 2) (1, 5) (8, )
b) decrece (2, 1) (5, 8)
d) máximo relativo en x 2 y x 5
d) mínimo relativo en x 1
e) f '(x) 0 en x 2, x 1 y x 5
f) f '(x) no existe en x 8
7) a 3
2, b 2;
3
4,1 máximo
relativo; (3, 4) mínimo relativo.
8)a)
b)
El Cálculo Diferencial
354
c)
9)i)a) D R{1},
CI (, 4][0, )
b) (0, 0); c) Asíntota vertical x 1,
asíntota oblicua y x1;
d) La función es creciente en
(, 2) (0, ) y decreciente en
(2, 1) (1, 0); el punto (2, 4)
es máximo relativo y el punto (0, 0)
es mínimo relativo;
e) La función es cóncava hacia
abajo en el intervalo (, 1) y
cóncava hacia arriba en el intervalo
(1, ). La función no tiene puntos
de inflexión.
ii)a) D R {1, 1}, CI R; b) (0, 0);
c) Asíntotas verticales x 1 y
x 1, asíntota horizontal y 0; d) La función es decreciente en todo
su dominio, no tiene por lo tanto
extremos relativos;
e) La función es cóncava hacia
abajo en (, 1)(0, 1) y cóncava
hacia arriba en el intervalo
(1, 0) (1, ). El punto (0, 0) es
punto de inflexión.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 283)
1)a) v(3) ;s
m4 v(8)
s
m6 ;
b) a los 3 segundos está subiendo y
a los 8 segundos está bajando;
c) comienza a descender a los 5
segundos. Se encuentra a 25 m
2)a) velocidad: f '(t) 3t2 – 12t + 9;
Aceleración: f '' (t) 6t – 12;
b) cuando t 0 la partícula está a
5m; c) La dirección de la partícula
cambia al segundo y a los tres
segundos;
d) La velocidad crece a partir de los
dos segundos y entre 0 y 2
segundos decrece
3) a) f ' (5) –0,0148 unidades por
día; f ' (15) 0,0032 unidades por
día b) está creciendo
4)a) v(20) 280 organismos/día;
b) t 40 días; c) t 90 días
5) v(2) 80 m/s; Está subiendo y
continuará subiendo 8 segundos
más. Llegará a 500 metros
6) 2,5 gramos
8) Ingreso máximo para q 40;
Ingreso mínimo para q 0 o q 80
9)a) 24 unidades/día; b) 4 días;
c) a los 6 días, 210 unidades;
d) 102 unidades
10)a) 110 g para 20 % de yema;
b) 51,81 g para p 100 % de yema
11) Para t 12 el valor máximo es
N 105
12) Dimensiones: 2 m x 4 m (uno de
los lados mayores contra la pared)
13)a) g(x) – 0,75 x2 + 15x – 25;
b) x 10 unidades; c) g(10) $ 50
14) El valor máximo de oxígeno se
alcanza a los 32 días y es 8048. El
valor mínimo es 2000 y se alcanza
a los 20 días. 15) 16 artículos; ganancia máxima
$ 2048
16)a) 4 millones de dólares;
b) Utilidad máxima $ 108,3 millones
17) cuadrado de lado l 15m
18) valor máximo 225 (se alcanza
para x 3); valor mínimo 125 (se
alcanza para x 1 y x 5)
El Cálculo Diferencial
355
19) 120 personas
20) cuadrado de lado l 30 m;
costo mínimo: $ 1 800.
21) a 16; b 48
22) la máxima reacción es de la
droga r1.
23) a los 7 segundos tienen la
misma velocidad (102s
m). En la
primera trayectoria la aceleración es
42 2
s
m y en la segunda, 6
2s
m.
24)a) se deben fabricar menos de
50 artículos;
b) la ganancia máxima es de $ 900
fabricando 50 artículos.
25) deberán concentrarse 50
árboles por hectárea.
26)a) g(x) –5x2 + 350x – 5000;
b) deberán producirse y venderse
35 cientos de unidades es decir
3500 unidades; c) la ganancia
máxima será 1125 cientos de
dólares, es decir, 112 500 dólares.
27) en x 1cm donde la
concentración es de 2 cm
mg.
28) base cuadrada de lado 4 m y
altura 2m.
29) ambos números son 32.
30) los números son 10 y 10.
31)a) 4,4 s
cm b) la altura máxima
es 0,987 cm en 0,45 segundos.
32) 122
s
m
33)a) 4s
m; –10
2s
m
b) 2,4 s; c) 34,8m
34)a) 35 s b) 2275 pies
35) 2
s
m
3
2
36) a) 100 peces
b)
PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 288) 1) b; 2) d; 3) a; 4) b; 5) d; 6) b; 7) b; 8) d; 9) b; 10) c.
AUTOEVALUACIÓN (página 290)
1) f'(x) > 0 en (,4) U (2, 1) U
(1, +); f'(x) < 0 en (4,2)
f '' (x) > 0 en (1, +),
f '' (x) < 0 en (,2) U (2, 1)
Creciente en (,4) U (2, +)
Decreciente en (4,2)
Cóncava hacia arriba en (1, +)
Cóncava hacia abajo en
(,2) U (2, 1)
Asíntota vertical en x 2
Extremo Mr (4, 2) Punto de
inflexión ( 1, 3)
2)a) a 3. Mínimo relativo en (0, 0);
máximo relativo en (2, 4); punto de
inflexión en (1, 2).
El Cálculo Diferencial
356
3) x 0 asíntota vertical; y x2
1
asíntota oblicua. No posee asíntota
horizontal.
4) A los dos días se produjo el
mayor número de contagios y fue
de 52 personas.
5) Al cabo de dos horas la moto es
más veloz.
EJERCICIOS DE REPASO (página 296) 1)a) D [4, ) ; b) D R {0};
c) D (2, 2); d) D R {0};
e) D R ; f) D R {3, 2} 2)a) Asíntota vertical: x 3.
Asíntota horizontal: no tiene.
Asíntota oblicua: y x 2
b) Asíntotas verticales: x 1, x 1.
Asíntota horizontal: y 0. No posee
asíntotas oblicuas.
c) Asíntota vertical: x 3. Asíntota
oblicua: y x + 3. No posee
asíntotas horizontales.
d) Asíntota vertical: x 0. Asíntota
oblicua: y x.
No posee asíntotas horizontales.
e) Asíntota vertical: x 2.
Asíntota horizontal: y 1.
No posee asíntotas oblicuas.
3)a) Puntos críticos: 0 y 1.
En (, 0) (1, ) decrece y crece
en (0, 1). Mínimo relativo (0, 0).
Máximo relativo (1, 1).
b) Puntos críticos: 0 y 4.
En (, 0) (4, ) crece y en (0, 4)
decrece. Máximo relativo (0, 9) y
mínimo relativo (4, 23).
c) Puntos críticos: 1 y 1.
En (, 1) (1, ) crece y
decrece en (1, 1). Máximo relativo
(1, 2) y mínimo relativo (1, 2).
d) Puntos críticos: 0 y 1. En (, 1) crece y en (1, ) decrece. Máximo
relativo (1, 1).
e) Puntos críticos: 1, 0 y 1.
En (, 1) (1, ) crece y decrece
en (1, 0) (0, 1). Máximo relativo
(1, 2) y mínimo relativo (1, 2).
f) Punto crítico: 2. No posee
extremos relativos. Es decreciente
en todo su dominio. 4)a) En (, 2) es cóncava hacia
abajo y en (2, ) es cóncava hacia
arriba. (2, 12) es el punto de
inflexión. b) En (, 0)
,3
2es
cóncava hacia abajo y en
3
2 ,0 es
cóncava hacia arriba; (0, 0) y
27
16 ,
3
2son los puntos de
inflexión.
c) En (, 0) es cóncava hacia
abajo y en (0, ) es cóncava hacia
arriba. No posee puntos de
inflexión. d) No posee puntos de inflexión. En
(, 2) es cóncava hacia abajo y en
(2, ) es cóncava hacia arriba.
El Cálculo Diferencial
357
5)a)
b)
6) i) a) (2,5; 0) (2, 4);
b) (; 2,5) (0, 2) (4, );
c) x 0 y x 2; d) x 2,5; x 1 y
x 4; e) Máximo relativo en x 0 y
mínimo relativo en x 2,5 y en
x 2.
ii)a) [1; 1) (2; 3);
b) (1; 2) (3; 3,5];
c) x 2 y x 3; d) x 1; e) máximo
relativo en x 1; mínimo relativo en
x 2; máximo relativo y absoluto en
x 3, mínimo absoluto en x 1.
iii)a) (0, 2); b) (2, 0) (2, 5);
c) x 1; d) x 0 y x 2;
e) mínimo relativo en x 0; mínimo
absoluto en x 5; máximo relativo y
absoluto en x 2. 9) La función es creciente en todo
su dominio, (, ); por lo tanto no
tiene extremos. En cada punto del
intervalo (, 0) la pendiente de la
recta tangente es negativa, es decir,
f '' (x) < 0, entonces en (, 0) la
función es cóncava hacia abajo. En
cada punto del intervalo (0, ) la
pendiente de la recta tangente es
positiva, es decir, f '' (x) > 0,
entonces en (0, ) la función es
cóncava hacia arriba. Como existe
un cambio de concavidad en x 0,
es un punto de inflexión.
10)a) (3, 73) mínimo relativo
b) (0, 2) máximo relativo;
16
33 ,
2
1
y
16
33 ,
2
1mínimos relativos.
c)
4
1 ,
2
1mínimo relativo y
27
38 ,
3
1máximo relativo.
d) No posee extremos relativos.
11)a) (2, 19) mínimo relativo y
absoluto; (1, 8) máximo relativo y
absoluto.
b) (2, 9) máximo absoluto;
(1, 0) mínimo relativo y absoluto.
c) (1, 5) mínimo relativo y
absoluto; (3, 11) máximo absoluto.
El Cálculo Diferencial
358
CAPÍTULO 7: APLICACIONES DE LA DERIVADA
EJERCICIOS INTEGRADORES 7.1 Teoremas del valor intermedio
7.2 Límites indeterminados y la regla de L’Hopital (página 318) 1)a)
seg
m3
03
09
03
)0(s)3(svm
b) s(t) es una función continua en
[0, 3] y derivable en (0, 3), por lo
tanto existe, por el teorema del
valor intermedio, un punto en el
intervalo (0, 3) en el que la
velocidad instantánea es igual a la
velocidad media. La velocidad
instantánea en un instante es la
derivada de la función s(t) evaluada
en dicho instante.
s '(x0) 0x6t2 2x0 + 6
Como s '(x0) 3 2x0 + 6 3
x0 2
3. La velocidad instantánea
es igual a la velocidad media a los
1,5 segundos.
2) No existe un número en el
intervalo (1, 4) perteneciente a los
números reales que verifique la
ecuación f '(c)
14
1f4f
. No
contradice el teorema del valor
intermedio ya que la función no es
continua ni derivable en x 3
perteneciente al intervalo [1, 4], por
lo tanto no se cumplen las hipótesis
del teorema.
3) c 2
4)a) ln3
5; b) 3; c) 0; d)
2
1; e) e; f) 0
EJERCICIOS INTEGRADORES 7.4 Aproximaciones (página 337)
1)a) 4 15 1,96875;
b) 3 28 3,03704
2) 0,97
3)a) dy (3x2 8e
2x) dx
b) dy dxe
x152x5
;
c) dy dx1x2
2
4) dy 1, y 1,25
5) ln(x1)
42x4
132x
3
122x
2
12x
6) 2x
1
1 (x3) + (x3)
2 (x3)3
7) e2x
1 + 2x +2x2 +
3
4x
3 +
3
2x
4
PRUEBAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 337) 1) c; 2) b; 3) d; 4) a; 5) b; 6) a; 7) c ; 8) d; 9) c; 10) b.
AUTOEVALUACIÓN (página 338) 1) f(x) no satisface las hipótesis del
teorema del valor intermedio de
Lagrange pues no es continua en
el intervalo.
2) Satisface las condiciones del
teorema de Rolle y x0 1.
3)a) 10 b) 0 c) 1
El Cálculo Diferencial
359
4) g(x)
1 + 3x + 432
x8
27x
2
9x
2
9
5) 4,006
6) f(x) 2lnx 2
x2
+ 3ex + c
EJERCICIOS DE REPASO (página 339) 1) La función es continua en [1, 2] y
derivable en (1, 2). 2
3x0
2) a –1, b 4 y c –2
3)a)1;b) 0; c) 5; d) 0; e) 2
1; f)
4
1;
g) 3; h) 2
1; i) ln
aa 1
; j) e2;
k) 5
1; l) 0; m) 1; n) ; o) ; p) 0;
q) 0; r) 0; s) 0; t) 1; u) ; v) 12
;
w) ea; x) e
1
4)a) 5
2x
120
13
2x
6
1
2x
b) 32
4x
12
2
4x
4
2
4x
2
2
2
2
5)a) ex 1 + x +
2
1x
2 +
6
1x
3
b) sen x x 6
1x
3 +
120
1 x
5
c) ln(1+x) x 2
1 x
2 +
3
1x
3
4
1x
4
El Cálculo Diferencial
Bibliografía
Altman, S.; Comparatore, C. y Kurzrok, L. (2001): Matemática 5:
Análisis 1, Buenos Aires,
Longseller.
Altman, S.; Comparatore, C. y Kurzrok, L. (2001): Matemática 6:
Análisis 2, Buenos Aires,
Longseller.
Anton, H. (1991): Cálculo y
Geometría Analítica, México,
Limusa.
Ayra, J. y Larner,R. (1992):
Matemáticas aplicadas a la
Administración, Economía, Ciencias
Biológicas y Sociales. Tercera
Edición, Méjico, Prentice Hall
Hispanoamericana.
Azcárate, C.; Bosch, D.; Casadevall, M. y Casellas, E. (1996): Cálculo Diferencial e
integral, España, Editorial Síntesis.
Baum, A.; Milles, S. y Schultz, H. (1992): Cálculo Aplicado, Limusa.
Berté, A. (2000): Matemática
dinámica, Buenos Aires, A-Z
Editora.
Bittinger, M. (2002): Cálculo. Para
Ciencias Económicas-
Administrativas. Séptima Edición,
Colombia, Addison Wesley.
Budnick, F. (1997): Matemáticas
Aplicadas para Administración,
Economía y Ciencias Sociales,
Tercera Edición, Méjico, Mc. Graw
Hill.
Cantoral Uriza, R. y Farfán Márquez, R. M. (2004): Desarrollo
conceptual del Cálculo, México,
Thomson.
Cantoral, R. (2000): El futuro del
Cálculo Infinitesimal – ICME – 8
Sevilla, España. Méjico, Grupo
Editorial Iberoamérica.
Castro Pérez, J. y González Nucamendi, A. (2002): Problemario
de matemáticas para administración
y economía, México, Thomson.
Cordero, F. y Solís, M. (1995): Las
gráficas de las funciones como una
argumentación al cálculo, Méjico,
Grupo Editorial Iberoamérica.
Douglas Faires, J. y De Franza, J. (2001): Precálculo, Segunda
Edición, Méjico, International
Thomson Editores.
Edwards, C. y Penney, D. (1994):
Cálculo con Geometría Analítica,
Cuarta Edición, México, Pearson -
Prentice Hall.
Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S. y Hecklein, M. (2005):
Funciones, Santa Fe, Ediciones
UNL.
Faires, D.; DeFranza, J. (2000):
Precálculo, Segunda Edición,
México, Thomson, Learning.
Farfán Márquez, R. (1997):
Ingeniería Didáctica: Un estudio de
la variación y el cambio, Méjico,
Grupo Editorial Iberoamérica.
Goldstein,L.; Lay, D. y Schneider,D. (1990): Cálculo y sus
Aplicaciones, Cuarta Edición,
México, Prentice Hall
Hispanoamericana.
Gómez, P. y Mesa, V. (editores)
(1995): Situaciones problemáticas
de precálculo. El estudio de
funciones a través de la exploración
con calculadoras gráficas, Bogotá,
Una Empresa Docente. Grupo
Editorial Iberoamérica.
Harshbarger, R.; Reynolds, J. (2005): Matemáticas Aplicadas a la
administración, economía y ciencias
sociales, Séptima Edición, México,
Mc Graw Hill.
Hoffman,L.; Bradley, G. (2001):
Cálculo para administración,
economía, ciencias biológicas y
361
El Cálculo Diferencial
sociales, Séptima Edición,
Colombia, Mc. Graw Hill.
Hughes–Hallet, D.; Gleason, A.; et
al. (2001): Cálculo, Segunda
Edición, Méjico, CECSA.
Kilpatrick, J.; Gómez, P. y Rico, L (1995): Educación Matemática,
Méjico, Grupo Editorial
Iberoamérica.
Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards, B. (1995): Cálculo y
Geometría Analítica, Volumen 1,
Quinta Edición, España, Mc. Graw
Hill.
Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards, B. (2006): Cálculo I,
Octava Edición, México, Mc. Graw
Hill.
Lial, M. y Hungerford, T. (2000):
Matemáticas para administración y
economía. En las ciencias sociales,
naturales y de administración,
México, Pearson Educación.
Nagle, R; Saff, E. y Snider, A. (2005): Ecuaciones Diferenciales y
problemas con valores en la
frontera, Cuarta Edición, México,
Pearson Educación.
Pita Ruiz, C. (1998): Cálculo de
una variable, Méjico, Prentice Hall
Hisponoamericana.
Purcell, E. y Varberg, D. (1993):
Cálculo con Geometría Analítica,
Sexta Edición, México, Prentice
Hall Hispanoamericana.
Purcell, E. y Varberg, D. (1993):
Cálculo Diferencial e Integral, Sexta
Edición, Méjico, Prentice Hall
Hispanoamericana.
Sadosky, M.; Guber, R. (2004):
Elementos de cálculo diferencial e
integral, Vigésimosegunda Edición,
Argentina, Librería y Editorial
Alsina.
Salas, Hille y Etgen. (2002):
Calculus. Una y varias variables.
Volumen I, 4ª Edición, Barcelona,
Editorial Reverté.
Simmons, G. (2002): Cálculo y
Geometría Analítica, Segunda
Edición, México, Mc Graw Hill.
Smith, R. y Minton, R. (2000):
Cálculo. Tomo 1, Colombia, Mc.
Graw Hill.
Stewart, J. (1999): Cálculo.
Conceptos y contextos, México,
International Thomson Publishing.
Stewart, J.; Redlin,L. y Watson,S. (2001): Precálculo, Tercera Edición,
México, Thomson Learning.
Sullivan, M. (1997): Precálculo,
Cuarta Edición, México, Pearson
Educación, Prentice Hall, Addison
Wesley.
Tan, S.T. (2002): Matemáticas para
administración y economía,
Segunda Edición, Méjico, Thomson
Learning.
Thomas, G. y Finney, R (1998):
Cálculo. Una variable, 9ª Edición,
Méjico, Pearson Educación,
Addison Wesley Longman.
Waner, S. y Costenoble, S. (2002):
Cálculo Aplicado, Segunda Edición,
México, Thomson Learning.
Wisniewski, P.M.; Gumeta Chávez, H. y López Saura, I. (2001): Problemario de cálculo
diferencial de una variable, México,
Thomson Learning.
Wrede, R.; Spiegel, M. (2004):
Cálculo Avanzado, Segunda
Edición, España, Mc Graw Hill.
362
El Cálculo Diferencial