Upload
thyago-vasconcelos
View
46
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
CHAPTER 4
DIRECT NUMERICALINTEGRATION METHODS
536
��� ����������
��������������� ���� �������������� ���� ����������� �� ����� ������� ��� ������
����������������� ��������� ����������� ������� ���������� ������������� ����������� ���
����� ������� �������������� ��������� ���� ������������� ��������������� ��
��� ������� �� ��������� ������ ������������������������������ ����������� ��
����������� ��������� ��!������� ��������� ������ ��������������������������������
������"������������ �������������������� ����������� ����������������������� ������������������
� ������������ ∆� �������#�� ���������� ������������ ������ ∆� �������������������������� ���������������� ������������ �� ��� ����������� � ��� ������������������������� ��������� ���
���� �������������������������� �� �� � ���� ������������� ��������� �� �� �� �� �� ���
����� ������������ ������∆� �$ �������������������������������������������������������� ��������� ������ ��������
������� ���������� ����� �������������������������������!�������������� ��������
�������������� �������� ����� �������� ���� �������� ���������������� ��������������
����������� �������
��� ���������������������� � ���
������ ���������� ����������������������� �������������������� ��������������������
����� ������ ����� �������� ���������� ���� ������%
�� �� �� � ��� � � �+ + = �&�'�
����������� ���������������������� ��� ������� ����������������(�������������������������(
� �� � � �� � ��� � ����������������� ������������ ����������� ��������������
4.2.1 Finite Difference Method
$���������������������� ��&�'���������������� ��� ��������� ����������� ������� ��� �
�������� ���� ��� ������ ������ �� � �� �� �� ���� �������� � ����� �� �� ��� ������ ���
����������� ����������� �� � � ����������������� ��� �� �������������� �� ���� ����� � � ���
���� �������������������������� ����� ����������������)� ���������� ���������� �
����������� ����������&�'��� ������������������ ����� ���� ������� ��������������������
���� �� ���� ���������� ��������� �������� �� ���������������������������������������
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 537
����������� ������������ ����������� ���������������������� ������� ���� ���� �= ∆ �����
� �����* � �� ������� ���� ������������ ����� ��������� �����������������������������
� ������������ ���� ������������������������� ��� �����������
$ �������������������������������� ����� ���������� ���� ��������� ����* � ���
������ ������ ���� � �� ���� � ���� ����� ���� �������� ������������� � ������ ��� ��
�� ������ �������� ������� �� �� ���� � ���� �� �� ��� ���� ��� ��� � � �"���� &�'��+� ���
������ ��������� ��������� ���������,��������� �� �� ��� � � + −' '� � �������������
�� ���
x(t)
Xi-2Xi-1
i – 1 i – 2 i i + 1 i + 2 i + 3
h h h h
Xi
Xi+1
Xi+2
Xi+3
x(t)
t0 ti–2 ti–1 ti ti+1 ti+2 ti+3
�t = h
Fig. 4.1
� � ���
��
� + = + + + + …'-
.
- /� �� ��� ��&�-�
� � ���
��
� − = − + − + …'-
.
- /� �� ��� ��&�.�
����� � � � � = =� ��� ������� ������� � � � = − =+' ∆ ��0����*� ������������������� ���� �
�������� ��1����&�.������&�-����������
� � ���
� � = −+ −'
-' ' ���&�&�
!��� ��1�����&�.��� ���&�-���������
�� � ���
� � � = − +− +'
-- ' ' ���&�2�
!������������� ������ ��������� ���������� �������������������� ����� �����
������������������������������������������������� ���������� ���������� ������3� ���
4�����������
538 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
4.2.2 Central Difference Method
5������������ �������������� ������������� ���1����&�'������������������������ ��
�������������� ������� �= ∆ ������������ ������� ���� ���������������������� ���
� � � � � ��� � � � � � �= = = =6 6 6� �
����������������������� ������������ ��� �������7������������������������������
����������������� ����∆��� = τ π8 �������τ �������� �������������������������$��∆� ������������������������ � ∆��� �������������������� ���������������������� ���� �����������
������� �� ������ ���������������������������� ����*��������� �������� ��
��������� ����� � �������9������������������������������������������������� t∆ ������
��� � ������������ ���������� ∆��� � ��� ����� ����� � ���� ����� ��������!� ����� ���� ������ ��� �
����� ≤ τ 8 �'6 �#��������� ��1�����&�2��� ���&�&���� ��� �� ���� �������������� �1����&�'����
������������ �������
�� � �
��
� �
��� �
+ − + −− +RST
UVW+
−RSTUVW + =' '
-
' '-
-� �∆ ∆�&�/�
����� � � � = � � �� ��� � � = � � ��#��� ��1����&�/���� �+'������
��
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�� � + −=
+
RS||
T||
UV||
W||
−RST
UVW+ −RST
UVW+
LNM
OQP'
-
- - '
'
-
-
-
� �
� �: ;
� �
∆ ∆∆ ∆ ∆
�&�<�
���������* � ������������ ���������
������������������� �������������� �+'���� ������������������ ��1����&�<��������* �
��������������������� ���� � � � −' �� ���������� ��� �� ������� ���3�����������������
��1����&�<������������������ �����������������������������������������#� ������������
����'����� �� �1����&�<����������� ���������������������� ���
����� �� �1����&�/�������� ���
���� �����������* � ����� �� �������� ������ ��������9��������� ������������
�'�������
��� ���
='�������������������� ������� ���� �������� �����������������
��� �� ��� �
������������� ���������� ������������ ������������ ���)�������������������−'��� ���
���� ������1�����&�&��� ���&�2������������"�������������������������� ���� �������������� �����
���� ����������� �� �� � � �� �1����&�'�����������
�� > � � � ?��
� � �� ��� � �= = − −'6 ���&�@�
�������������='������� ����� ������������������� ���1�����&�&��� ���&�2������A�6�
� � � ��
�� � �− = − +'
-
-∆ ∆
�� �
�� ���&�B�
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 539
4.2.3 Runge-Kutta Method
$ �����3� ���4������������� ���� ����� ���� � �� �+∆ �������� ���������� ����������������
��������������� �� �� ���������� ����� ��� �������������������������� ����� �∆� �
� ����������� ������∆� ������������������������������ �� �� ������C�∆���� ��������∆� �������������������� ������������� ���������������������������� ��������� ����������
����3� ���4������������������������ ��� �������������� ���������� �� ������������
��� ��������� �����������������������!�������������� ��������������������� ���������$
����3� ���4������������������ ����������� ����������� ��������������������������
��������� ���+ ����� ���������� ����������� � �� ������ ������������ ������������
���� �� �1����&�'���1����� ��&�'���� ���������� ���
�� > � � � ? � � � � ���
� � �� �� � � � �= − − ='�&�'6�
0������� ��� � � �' -= =� � � ��1����&�'6���� ���������������������� ������������
������ �%
�� �' -=
� � � ��� � � � �- ' -= �&�''�
0������ � �
� �� �
� �� �
� �
� �= RST
UVW'
-
� � � ��
� � � �� �
� � � �= RST
UVW-
' -
��������� ������ ���������������� ������� ���������������� �� � ����������������� ��
������� ����������������3� ���4�������������������������������������������� ��
����������
� � � � � � + = + + + +' ' - . &
'
/- -> ?
����� � �� � � ' = � � �
� �� � � � � - '
'
-
'
-= + +� � �
� �� � � � � . -
'
-
'
-= + +� � � �&�'-�
� � � �� � � � & . '
'
-= + +� � �
!�����������3� ���4��������������� �������������������� �����������������
� ������������ ������������������������� ����������������� �������������������������
���� ������� ��������������������������� ������������������& ��#� �����������
���3� ���4��������������� �� �������������������� ����������������������������� ��
540 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
�������������� ������� ���������� ���� ������������� ������������������ ���������� ������
�� ��� ���� ��������������� ����� ����������� �� ��� ������������������������� �����
���*���������������������������������������������������������� ���������� ��� �
����� � ����� �������������� ������������3� ���4����������� ��������������� ��� �� ��
������������������������ ����������� ��
��� ��������������������� � ���
������ ������������������� ������� ����������������������������������������
��
> ? : ��; > ? : � ; > ? : ; : � �;� � � � � � � �+ + = ��&�'.�
����� > ?� > ?� > ?� � �� � ���� ���������� ����� �� � �� ����� ������������ �� ���� �������� �
> ��?� > � ?� > ?� � �� � � ���� �� ������������� �� ��������� � ������������ �� ������� ������������
: � �;� � � ��� ���� ���� ������ #������ �������� ������ � ������ �� �������� ��� ���������� �
������ ��������� ����������� �������������������� ������� ��"����� ����� ����
���������������� > ?� > ? > ?� � �� � ����� ���� �� ���������� ������������� �� ��� ���
��� �� ���� � ������ ����������������������� ��������� ����� �� �� �� ����� ����
�������� ��������������������� ������� ������ ��������� ������� ��"���������� ��
������ ������� ������� ����� ����������������������� ����������������� ������
���� ������ �������������� �������� � ������ ���������� ����������)������ �� ���
����� ��� �� ��������� ������� �������� ��������� ������ ������������� �����
����� ����
$ ���������� ������ ��������������������������� ������� ����� ���������������
������������� ���� ������������� � ����������������9� �� ������ ��� ���������� ���
��� ���� ������������ ������ �� ����� �������� ���������������� ����� �����
� ���� ��������������������� ������������������������0���������������������� �����
��������������� ������������ ������ ������%�� �������� ��������������������$ �� �� ������
�������� ���� ��� ������ ���������� � ������� � � ���������������������� ���������� �
���������� ������������ ����������� �� $ �� � ����������������� ���������� ��������� ����
���� ������������������ ������� ��� ���������������� ��������������������������������
� ������������ ��
$ ����������� �� ������������ ��������� ������ ������������������������� ���� �
�� ����� ������ ����������� �������������� �������� ��������������������� ������
������������ ��� ����!�������������� ������������������������ ����� ����������������
��� ���������������� � ������� ������������ ������� ���� �� ���� ������ ���������� ��������
������ ����������7����������� ����������3� ���4���������������������������� �����
����)���������� ��������9���*�0������ ��D�*�#���������������������������������������
��������� ��������� ����������������������� ��� ����������� �������������������������
�����
��� ��������� �����
!���� �� ��� ������� � � � � � ������� ������� �� ���� ��� ������ ������� ��� � ������� �
���������������������� ���������������������� ������������ ����������� �
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 541
4.4.1 Central Difference Method
����������� � �������� �� ���� ����� �� �� �� ���� ������ �� ������������� �� �����������
� �� �����������������+ ����������������� ������������������������ �� �"����&�-��!�����
������������������� ������∆� ��������������������� ���
��� �
�
++=
−'
-
'
∆��������&�'&�
� � ��� �
�
−−=
−'
-
'
∆�����&�'2�
xi–1 xi xi+1
�t �t
Fig 4.2
������������� ���
����A�
� �� �
�
+ −−'
-
'
-
∆�&�'/�
#��������� �� ��+
'
-
�� �� ��− '
-
��������1�����&�'&��� ���&�'2��� ��1����&�'/���������
��� �A�1
∆�-���
C'�=�-�
�C��
='� �&�'<�
���������� ����������� ������� ���������� �������������������� �����������
�������� �� ������������������ ����
: � ;�� �A�'
-∆��>:�
�C∆�;�=�:��=∆�;? �&�'@�
: �� ; >: ; : ; : ;?��
�� � �� � � � � �= − ++ −∆ ∆ ∆-
- ��&�'B�
#��������� �� : � ; : �� ;� �� �� � ����1�����&�'@��� ���&�'B���������������� ��1����&�'.�����
���
> ? : ; : ;� � �� � �+ =∆ ��&�-6�
�����> ?� ������������������������� ��� ��> ?�� ��������������������������������� ���
> ? > ? > ?��
���=
' '
--∆ ∆�&�-'�
> ? : ; �> ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;� � ��
� ��
��� �� � � � �= − − − − −
- ' '
-- -∆ ∆ ∆ ∆ �&�--�
542 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
!�������� �+ ∆ ���������������� ���: ;�� �+∆ ��� ������������������� ��1����&�-6���� �����
����������� ����������� ���������� ����������� ���������������� ����������������� : ;�� �+∆
� ��1���� �&�'@�� � �� �&�'B���9��� ����� ���� ��������� � �� : ;�� �+∆ � � ������ : ;�� �� �� : ;�� �− ∆ �
)� ����� ���������� ���������� ���������∆� ����������������� ������������ ������������&�'�������7������������� ������ ������������������������� ������ �� ������������
��������
!�������������� ������� ���������� ��������
��� $ ������ �������� �%
'� "������� ����>�?�������>�?��� ������� ��>�?���������
-� $ ������7��:�6;� : � ;�6 ��� �� : �� ;�6 �
.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ����%
�6�A�
' '
--
'- ' - 6 .
-∆ ∆��
�� � �
�( ( (= = = �
&��+��������� : ; : ; : � ; : �� ;�� � � � � ��− = − +∆ ∆6 6 . 6
2� "��������������������� � � � � � �= +6 '> ? > ?�
/� ��� �����7�� > ? % > ? > ?> ?> ?� � � � � �=
��� "���������������%
'� +������������������������������������ �%
: ; : ; �> ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;� � � � � � � � � � �� � � �= − − − − −- 6 ' ∆
-� #���������������� ����������� � �+ ∆ �%� � � �� � �: ;+ =∆
.� +��������� : � ; : �� ;� �� � ����������%
: � ; � : ; : ;�� � � �� � � � �= − −− +' ∆ ∆
: �� ; �: ; : ; : ;�� � � � �� � � � � �= − +− +6 -∆ ∆
����������� ���� ������������������������������∆�- ��! ������ ��� ������
�� �� ����������������� ���������� ���������������������� ������ ������������������
��������������∆� ����������� ������������������∆��� ��������������������������������������� ����
�������������������ω�� ������
∆��≤�∆����≤�
-
ω��
����&�-.�
$�������������������� ������ �∆��� ������� ������ ����� ����������� � �������� ����
������ �� ��� ���� �������� � ������ � �� � �� ��� � � ���� ������� ���� ����*�� ���
�� �������� ������������ �������� �����
4.4.2 Two-Cycle Iteration with Trapezoidal Rule
���������� ������� ����� ������������� �������� ������ ���� ���������
> ? : �� ; : ; > ? : ; > ? : � ;� � � � � � �� � � �∆ ∆ ∆ ∆= − − �&�-&�
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 543
���� � ���� ��� � � ���� ���������� � ������������ ��� ��� ������������� �������� �� ���
����� ������� ������� ���������������� ������%
"�������������������%
: � ; : �� ;∆ ∆ ∆� � �� � �= − �&�-2�
"���������������%
: � ; : �� ; : � ;∆ ∆ ∆∆ ∆� � � �� � � � �= −− −- �&�-/�
: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�-<�
: ; >: �� ; : � ;?∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'
-���&�-@�
0������������ ����������� ��: � ; : ;∆ ∆� �� �� � ����1�����&�-/��� ���&�-@��� ��1����&�-&�
������� ������ ���� ���� �������������� ����
: �� ; > ? �: ; > ? : ; > ? : � ;�∆ ∆ ∆ ∆� � � � � � �� � � �= − −−' �&�-B�
������������ ��������������� ����������������������������� �������������
: �� ; : �� ; : �� ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�.6�
$ �������� �������� ������������� ���� ���� ���������������� ��������������� ����
��� �����
: � ; �: �� ; : �� ;�∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'
-�&�.'�
: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆ �&�.-�
: ; �: � ; : � ;�∆ ∆ ∆� � � �� � � �= +−'
-�&�..�
"� ��������������� ���� : � ; : ;∆ ∆� �� �� � �� �1�����&�.'��� ���&�..������������������ �
1��� �&�-B�� �� ������� ���� ��� � ���� ��� � � ������������� ������������ ��� ������ � �1��
�&�.6��������������������������� ������������������������� ����������������� �����������
���������7���� �������&�-�
��������
!������������� ���������������� ����������7��������
'��"������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������
-��$ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� �
.��#���������������� ∆ ��� ���������������������������������� ���������������� ������%
: � ; : �� ;∆ ∆ ∆� � �� � �= −
&��"���������������%
: � ; : �� ; : � ;∆ ∆ ∆∆ ∆� � � �� � � � �= −− −-
: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆
: ; �: � ; : � ;�∆ ∆∆�
�� �� � � �= −−
-
544 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
2��+������ : �� ; : � ;∆� �� �� � ��������� �%
: �� ; > ? �: ; > ? : ; > ? : � ;�∆ ∆ ∆ ∆� � � � � � �� � � �= − −−'
: �� ; : �� ; : �� ;� � �� � � �= +−∆ ∆/��#�� �������� ������%
: � ; �: �� ; : �� ;�∆ ∆∆�
�� �� � � �= +−
-
�: � ; : � ; : � ;� � �� � � �= +−∆ ∆
: ; �: � ; : � ;�∆ ∆∆�
�� �� � � �= +−
-
<��+������ :�� ;∆�� �� ������2���� �� :
� ;� : � ; : ;∆ ∆� � �� � �� � ���������/�
@��"� ������������� :�� ;�� ���������2����� �� :
�� ; : �� ;� �� �� � ∆ ���������<�
4.4.3 Fourth Order Runge-Kutta Method
$ �������������3� ���4���������������������������� ����������� �����1����&�'.����
� ������� ����������������������������������������������� ���� ���������������������
���� * � ��:�;����� �����
:�;�A�: ;
: � ;
�
�
RSTUVW �&�.&�
E�� ��1����&�..���1���&�'.���� ���������� ���
: �� ;� �A�=�>�?='�>�?�:F;�=�>�?='�>�?�: � ;� �C�>�?='�:����; �&�.2�
E�� ��������� ����
: �; : �;� �= �&�./�
������� ����1�����&�.2��� ���&�./�
: �;: � ;
: ��;
>6?
> ? > ?
> ?
> ? > ?
: ;
: � ; > ? : � �;�
�
� � �
�
� �
�
� � � �=RS|T|
UV|W|
=−LNM
OQP −LNM
OQPRST
UVW+RST
UVW− − −' ' '
6�&�.<�
: �; > ? : ; : G � �;� � � � �= + �&�.@�
������� : �; : � � �;� � � �= �&�.B�
$ �����3� ���4������������� ���� ����� ���: ;�� �+∆ �������� ������:��;�� �������
������������������������ �� �� ���������� ����� ��� �����������������������������
����∆����� ����������� ������∆������������������������������� �� �� ������C�∆���� �������∆�������������������������� ���������� �� �������������������������� ��������������
���������� ������������������������������ ����������������
:���∆�;�A�:��;�C�∆����'
�C���-�C���
.�C� �
&� �&�&6�
�������������� �� ����� ��� ���� ���'���
-���
.��� ���
&������������ ����������������������
��������� ������ ������ ���H� ��H� �
��∆���#������������������������������� �������
��������� �����������3� ���4������ ������������� �� ��������������������������� �
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 545
:���C∆��;�A�:��;�C�
∆�/�>�
'�C�-�
-�C�-�
.�C��
&? �&�&'�
� ������
�'�A�������
��
�-�A�����C�
∆�-���
��C��
'�∆�-�
�.�A�����C�
∆�-���
��C��
-�∆�-�
�&�A�����C�∆����
��C��
.∆�� �&�&-�
����3� ���4����������������� ��������������������� �������������������������
����������������������������� ��� �������������7���� ������� ����������������� ������� �
� ���� ��� ���������� �� ���� � ������� � ��� ���� ������������ �� ���� ��� te �� ���
��������3� ���4�����������������������
���A���∆��2 �&�&.�
����������� ��� ������������� ��� � ��������� ����������������������������������3� ���
4������������� ������� ���������������� �������� ����������������������������������
��� ��������� ������������������� �� ��
��� ��������� �����
$ �� � ��������������������������� ��������� ��������� ������������������ ������� �
� ���������������� �������������������������������� ������������ ��
4.5.1 Houbolt Method
����)�������������������� ���������� ������� ������������� �������� ���������������
������������������ � ��� �� �� � �������� ���� ����������������� �����*���������� ����
���������� �������������������7���� ���������� ����������� �����"����&�.��0�
� ����� ���� ������ ����� ������������ ������ ���� ��� ����������� �� ������ ���� ����� �
������ ���� �������� ��%
xt–2 t� xt– t� xt xt+ t�
�t �t �t
Fig. 4.3
� � ���
��
�� � � � � � � � �= − + −− + + +∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆
� �� ���
- .
- /�&�&&�
546 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
� � � ��
��
�� � � � � � � � � �− + + + += − + −∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆� � �
� ���
� ����-
-
-
-
/
- .
�&�&2�
� � � ��
��
�� � � � � � � � � �− + + + += − + −-
- .
..
-
.
/∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆∆ ∆
� � � � � �� � � ��� �&�&/�
#��� ��1�����&�&&�����&�&/���� �� �� �� � � �+ +∆ ∆� � �������
�� � ���
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
- 2 &- - �&�&<�
� � ���
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
/'' '@ B - - �&�&@�
���������� ����������� �����)��������������������������� ���
: �� ; > : ; : ; : ; : ;?��
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
- 2 &- - �&�&B�
: � ; > : ; : ; : ; : ;?��
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
/'' '@ B - - �&�26�
0������������ �� ����� ����� �� �� : �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� � � ��� �&�&B��� �� �&�26��� ������
���������� ���&�'.���������
� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�2'�
����� � ��������������������������� �� ��: ;�� �+∆ ���������������������������
�> ? > ? > ? > ?��
��� �= + +
- ''
/-∆ ∆ �&�2-�
: ; : ; � > ? > ?� : ;� ��
��� �� � � � �+ += + +∆ ∆ ∆ ∆
2 .-
− + + +− −� > ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;& .
-
' '
.- - -∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆�
��� �
��
�� �� � � � ��&�2.�
9��� ����� ���� ����������������� ���� ����� �� C� ∆�� ��1��� �&�2'�� �������� � � �� �� �� �������� ���:�
��C�∆�;��"��������� ������������������������ ����������� ������ ��������$����
������ ��������������������� ����������� ���������� �� C� ∆��������� ���������������� ���:�
�C∆�;�� ��&�26��� ���&�&B���������������!����������* ��������������
�=∆���� �����-∆����� �������
�� ������� ���:��C∆�;��#� ����������� ��������������������������� �� : ; : ;� �� � � �− −∆ ∆� � - �
� ��������������������� ���������� ������������� ������� ���������∆ ∆� �� � - ���������*��
���������� ����������� ��� ���������� ���� ������� ����� ������� ������ �� ���
���������� ��������������������������������������������������������������� �����)����
���������������7���� �������&�.��!������������� ��������� �����)������������ ������
&�.�� �������� ���������� ���������� �������&�-�������������� �������������� �������� ��
��������������������������������� ����� �+∆ �������������� �+∆ ����������������������������
�������� �����������������C�∆��� �� ���������������� ������� ���������� �����������������
��������������������������� ��∆�� �� �� ��� ����������������������������� ���������� ��
������ ���������� ���������
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 547
���������
!������������� �)����������
��� $ ������+������� �%
'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������
-� $ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �
.� #���������������� ∆��� ������������� ������ �� ��� ��%
��
���
��
�� � �
�6 - ' - - . & 6 2
.- ''
/
2 .-
-= = = = = − = −
∆ ∆ ∆ ∆( ( ( ( ( (
��
��
/6
<.
- B= =( �
&� E���������������� �������������������� ���������� ��������������������
: ; : ;� �� �∆ ∆� � -�
2� +������������������������ �������� %
� � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '
/� ��� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=
��� "���������������%
'� +��������������������������������������C�∆�%
: ; : ; > ? � : ; : ; : ;�� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= + + +∆ ∆ ∆ ∆- & / -
+ + +− −> ? � : ; : ; : ;�� � � � � � �� � � � �. 2 < -∆ ∆
-� #���������������� �������������C ∆�
� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆
.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%
: � ; : ; : ; : ; : ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= − − −∆ ∆ ∆ ∆' . 2 < -
: � ; : ; : ; : ; : ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= − − −∆ ∆ ∆ ∆6 - & / -
4.5.2 Wilson Theta Method
�������� ��������������������������������������� ���������������������� �����������
���� ��� �����������3���� ����"����&�&��������������� ������������������� ������������
������ � ��A� ∆�� ������� � � � + = +θ θ∆ ������� θ ≥ '�6��0��������� �������� �� ���������� ��
* � ������������ �������������
$��τ �������� ������� �������������� ���� ����C�θ∆� (0 ≤ τ ≤ θ∆�)����� ��������� ���������
��C�θ∆��������� ����������������
�� �� � �� �� �� ��� �� � � � �+ += + −τ θ∆
τθ∆
�&�2&�
548 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
Xt
..Xt+ t�
..Xt+ t�
..
t
t + t� t + t�
Fig. 4.4
#����������� ������ ���1����&�2&����������������� ��� ����� ���� ��� �� �+ +τ τ� � %
� � �� � �� �� �� � ��� �� � � � � �+ += + + −τ θ∆τ τ
θ∆
-
-�&�22�
� � � ��� �� � � � � � �+ += + + + −τ θ∆τ τ
τθ∆
� �� � �� �� �'
- /
-.
��&�2/�
#��������� ��τ A θ∆��� �����������1�����&�22��� ���&�2/���������� ���������� ��� ������ ���� �� � ������������ ��C θ∆��%
� � � �� �� �� ��� �� � � � � �+ += + +θ∆ θ∆
θ∆-
�&�2<�
� � � ��
� �� � � � � � �+ += + + +θ∆ θ∆θ∆θ
� � �� �� �- -
/-
∆�&�2@�
#��� ��1�����&�2<��� ���&�2@���� �� �� �� � � �+ +θ∆ θ∆� � � �������� �� �+θ∆ ��������
�� � � � � � � �� ���
� ��� �� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ θ∆
/ /-
- -∆
� � � � ����� � �
��� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ∆
θ∆.-
-�&�2B�
���������� ����������� ��������� ��������������������� ����� ���
: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��
� ��� �� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ θ∆
/ /-
- -∆�&�/6�
: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��
� � ���� � � � � � �+ += − − −θ∆ θ∆θ∆
θ∆.-
-�&�/'�
���������1����&�'.����������τ + ∆�������� �������� ������������� ������������� �
��������� �����������C�∆���#� ������������ �������� ���������� ����I�������������������������������
> ? : �� ; > ? : � ; > ? : ; : ;� � � � � � �� � � � � � � �+ + + ++ + =θ∆ θ∆ θ∆ θ∆ �&�/-�
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 549
����� : ; : ; �: ; : ;�� � � � �� � � � � �+ += + −θ∆ θ∆θ∆ �
0������������ ������� ����� ���� : �� ; : � ;� �� � � �+ +θ∆ θ∆� � ����1����&�/6��� ���&�/'�����
������������� ��1���&�/-���������
� � �� � � �: ; : ;+ +=θ∆ ∆ �&�/.�
���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���
> ? > ? > ? > ?��
��� �= + +
/ .- -θ θ∆∆
�&�/&�
: ; : ; � > ? > ?� : ;� ��
��� �� � � � �+ += + +θ∆ θ∆ θ θ∆
/ .- -∆
+ + + +� > ? > ?� : � ; � > ? > ?� : �� ;/
- --θ∆
θ∆�� � � �
�� �� � ��&�/2�
��������� ���1����&�/.��������:��Cθ∆�;������������� �������������� ����������� ������
�� ������������ ��������������� ���������������� ����������� ������������C�∆��
: �� ; �: ; : ;� : � ; � � : �� ;��
� ��� �� � � � � � �+ += − − + −∆ ∆ ∆
/ /'
.- - -θ θ θθ∆ �&�//�
: � ; : � ; �: �� ; : �� ;�� ��
� �� � � � � �+ += + −∆ ∆∆-
�&�/<�
: ; : ; �: � ; : �� ; : �� ;�� � � ��
� �� � � � � � �+ += + + −∆ ∆∆∆ -
/- �&�/@�
��� � θ� A� '�6�� ���������� ������� �� ���� �� ������������ � ������������������ ��
� � ���� ���������������� ����� ���������������� �θ ≥�'�.<��� ������������θ�A�'�&������� ������� �� ����� ��������������$������������� ��������� �������������� ���������
��� ��������� ����� � ��� �� � ����� ���������������∆ C ∆��� �������������������� ���������
������� ������������������������������ ��������� �������������������� �� �������&�&�
���������
!������������� ����� ������������
��� $ ������+������� �%
'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������
-� $ ������7�� : ; : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �
.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ���θ�A�'�&������%
��
��� � �
��
��
�6 - ' - ' . &
62
-/ --
-= = = = = = −� �
( ( ( ( ( (θ∆ θ∆
θ∆θ θ
� ���
�/ < @
-
'.
- /= − = =
θ( (
∆ ∆
&����"����������������� �������� %� � � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '
2����� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=
550 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
��� "���������������%
'� +��������������������������������������C�∆�%
: ; : ; �: ; : ;� > ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � � � � � �� � � � � � � � �+ += + − + + +θ∆ θ ∆ 6 - -
+ + +> ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � �� �' ' .-
-� �#���������������� �������������C�θ ∆��%
� � �� � � �: ; : ;+ +=θ∆ θ∆
.� +���������� : ;� : � ; : ��;� � �� � �����������C�∆�� %
: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − + +∆ & 2 /θ∆
: � ; : � ; �: �� ; : �� ;�� � � � �� � � � � �+ += + +∆ ∆<
: ; : ; : � ; �: �� ; : �� ;�� � � � � � �� � � � � � �+ += + + +∆ ∆∆ @ -
4.5.3 Newmark Beta Method
����9����*�0����� ������ �������������������� ������������� �������������������
�������� ����������� ����� ��� ����������������������� � and � ��������� ������������
�������� ������� ���������������������� ���������������������������� ����� ���
��������� ������������ ���������� ���
� � >� � �� �� ?� � � �� �� � � � � �+ += + − +∆ ∆ ∆' α �&�/B�
� � � � � � �� � � � � � �+ += + + − +LNM
OQP∆ ∆∆ ∆� � � �� ��
'
-
-β β �&�<6�
������������� � and � � ���������������������������� �� ����� ��������������� �
���������� �������� ���������� ��������� ������∆����������� � and � ������� ������� ����
������� � ������ ���������� ���������������� � � �A'8/�� �� � A'8-��1���� �&�/B��� �� �&�<6�
���� ���������� ������������ ���������������� ������������ ������ ��θ�A�'�� �����
����������� �� A�'8-�� ��� A�6��������������� ����� ��� ��� ���������� ������� �����������
� ������ ∆� ��$�� � A'8-�� �� � A�'8@��������������� ����� ��� ������������� � ����� ���� �� �
��� ���� ������ ���� �+∆ � � � ������������� ���� ����� � ������ ∆������ � � A'8-�� �� � A�'8&�� ����
���� ����������������� ������������������� ����� ��� ��� ������ ���������������
� �� �� � 8� �� � �+ +∆ - �������� ���������� ����������������9����*�0�������������
: �� ; �: ; : ;� : � ; � � : �� ;��
� ��� �� � � � � � �+ += − − − −∆ ∆
' ' '
-'
-β∆ β∆ β �&�<'�
: � ; �: ; : ;� : � ; : �� ;��
� � � � �� � � � � � �+ += − − −FHG
IKJ − −
FHG
IKJ∆ ∆ ∆'
'-
'β∆
αβ
αβ �&�<-�
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 551
1����� � �&�'.�� �� ������������ ������ ��� ����� � ������������ ������������� �
��������� ���������� ��C�∆������������������������ ������� ����� ���� : �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� �
���1�����&�<'��� ���&�<-����������������� ��1����&�'.���������
� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�<.�
���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���
> ? > ? > ? > ?��
��� �= + +
'-β∆
αβ∆ �&�<&�
: ; : ; � � > ? � � > ? : �� ;� � � � � �� � � � �+ += + − + −LNM
OQP∆ ∆ ∆'
-'
-'
βαβ
+ + −LNM
OQP
''
β∆αβ�
� � ��> ? � � > ? : � ;
+ +LNM
OQP
'-β∆
αβ∆�
��� ��> ? > ? : ; �&�<2�
#���� ���1����&�<.�������� : ;�� �+∆ �������������� �������������� ���&�<'��� ���&�<-���
��������� �������������� ��� ����������������������C�∆���J ������������������9����*
0���������������������� ����������������������������� ������� ��������� ������� � �
���� �������������������������α β α≥ ≥ +'
-
'
&
'
-
-� � � � ��"����������α β= ='
-
'
&� � ���������
������ ���� ��������� ���������� ������������ ������������������� ���������$����
��������� ���� ��������� �����β = '
-������������������������ ��� ������������ ��
�� � �β − '
-��$�� 0� = ���� ������������� ��������(������� �������������� ������������ ����� �
������������� ����������������$ �����*�������� ������ � ������������� �'
-�����������
����� ������ ��������������������������� ��������������� ������ �����������������
� ��� ������������"������������������������������ ��������� ������������� ����
����������������� �����������*��������������� ���������������������������������� �
����9����*�0����� ������ �������������� �� �������&�2�
���������
!������������� �9����*�0���������
��� $ ������+������� �%
'� "������� ����>�?�������>�?�� ������� ��>�?��������
-� $ ������7�� : ;� : � ; : �� ;� � �6 6 6� � �
.� #����������������∆������������α�� ��β��� ������������� ������ �� ��� ���β�≥�6�2(�α�≥�6�-2�6�2�C�β�-
552 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
��
���
�� � �6 - ' - . . &
' ' '
-
'
-' '= = = = = − = −
βα
β∆ β∆ β βαβ� �
( ( ( ( ( (∆
��
� � � �2 / <-
- '= −FHG
IKJ = − =∆ ∆α
ββ β∆( � �(
&� "����������������� �������� %
� � � � � �= + +> ? > ? > ?6 '
2� ��� �����7�� > ?% > ? > ?> ?> ?� � � � � �=
��� "���������������%
'� +��������������������������������������C�∆�%
: ; : ; > ? � : ; : � ; : � ; : �� ;�� � � � � � � � � � �� � � � � � � �+ += + + + +∆ ∆ 6 - - .
+ + +> ? � : ; : � ; : �� ;�� � � � � � �� � �' & 2
-� #���������������� ����������� ��C∆�
� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆
.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%
: �� ; �: ; : ;� : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − − −∆ ∆6 - .
: � ; �: ; : ; : � ; : �� ;� � � � � � � �� � � � � � �+ += − − −∆ ∆' & 2
4.5.4 Park Stiffly Stable Method
����D�*�#�������#���������������� ������������������������� ���� ����� ����������
��������������� ������ � ����E�� ������ ������� ��� ������������ ����������� ��
��������������������������� �����D�*�#�������#�����������%
� > ?��
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
/'' '@ B - - �&�</�
� > ?��
� � �� � � � � � �+ + −= − +∆ ∆ ∆∆'
-- & �&�<<�
������ ������� ��� ����&�</��� ���&�<<�������
� >. ���
� � �� � � � � � �+ + −= − +∆ ∆ ∆∆'
&&
+ − + −+ − −'
'-'' '@ B - -∆ ∆ ∆ ∆
�� � � �� � � � � � �� � ��&�<@�
� � ���
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
/'6 '2 / - �&�<B�
#������������������������ ��������
�� � � � � � ���
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
/'6 '2 / - �&�@6�
DIRECT NUMERICAL INTEGRATION METHODS 553
���������� ����������� �����D�*�#�������������������� ���
: �� ; > : � ; : � ; : � ; : � ;?��
� � � �� � � � � � � � �+ + − −= − + −∆ ∆ ∆ ∆∆'
/'6 '2 / - �&�@'�
{ } { } { } { } { }[ ]t2t��tt��t��t XX6X15X10t6
1X ∆−−++ −+−
∆=� �&�@-�
��� � ����� 1��� �&�'.�� �� ���� � ����� � �� ���� ���������� ���� ���������� � �
��������� ������������C�∆���0������������ ������� ����� ����: �� ; : � ;� �� � � �+ +∆ ∆� � �����&�@'�
� ���&�@-����������������� ���&�'.���������
� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆ �&�@.�
���������������������������� � � �� �������������������������: ;�� �+∆ �������� ���
> ? > ? > ? > ?��
��� �= − +
'66
./
'6
/-∆ ∆ �&�@&�
: ; > ? : � ; > ? : � ; > ? : � ;��� �
�� �
�� �� � � � � � �+ − −= − +∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
'2
/
' '
/-
�+ + − + −� > ? > ?� : ; � > ? > ?� : ;'26
./
'2
/
'6
/
'- -∆ ∆ ∆ ∆ ∆�
��� �
��
�� �� � �
�+ + −� > ? > ?� : ;'
./
'
/- -∆ ∆ ∆�
��� �� � �&�@2�
��������� ���1���&�@.��������:��C∆�;�������������� �������������� �1���&�@-��������
������������������������: �� ;�� �+∆ ������� ����� ����������������1���&�@'���9��������� �����D�*
#���������������������������������� ���:��C∆�;���������������������� ���� ��������������� ��
��=�∆��� ����=�-∆������������ ���������� ���������� ���������∆��� ��-∆������������������ ����������� ���������������*������������� ����������� ����������������������������
�D�*�#�������������������������� ������ ������ �������� �� �������&�/������������������
�������������������� ������������������������ ���� ���������������������������
�����������
��������
!������������� �D�*�#�������������������
��� $ ������+������� �%
'� "������� ����>�?�������>�?��� ������� ��>�?��������
-� $ ������7�� : ;� : � ;� : �� ;� � �6 6 6� � �
.� #����������������∆��� ������������� ������ �� ��� ��%
�6�A�'6
/
'2
/
' '
/' - .∆ ∆ ∆ ∆��
��
��
�( ( (= − = = −
&� "����������������� �������� %
� � � � � �= − +6-
6> ? > ? > ?
2� ��� �����7��> ?% > ?� � �A�>�?�>�?�>�?�
554 MATLAB FOR MECHANICAL ENGINEERS
��� "���������������%
'� +��������������������������������������C�∆�%
: ; � : � ; : � ; : � ; : ; : ;� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � �+ − − −= − − − − −∆ ∆ ∆ ∆' - . - 6 ' 6 -
+ − + +− − −� � � � � � � � � �� � � � � � �.-
- ' - . -: ;� > ? � : ; : ; : ;� > ?∆ ∆ ∆
-� #���������������� �������������C ∆�
� � �� � � �: ; : ;+ +=∆ ∆
.� +��������� : � ; : ��;� �� � �����������C�∆�%
: � ;� �� �+ =∆ 6 �:��C∆�;�C��'�:��;�C��
-�:�
�=∆�;�C��.�:��=-∆�;
: �� ; : � ; : � ; : � ; : � ;� � � � � � � � �� � � � � � � � �+ + − −= + + +∆ ∆ ∆ ∆6 ' - . -
��� �����
$ � ����� ���������������������� �������� ���������� �������� � ������ �������� �� ���
����� ������� �������������������� ����������� ����� ��� ���������������������������
����������� ����������� ������� ��������������������������������������������������
������������� �������� � ������ �������� �� �� ��� �� ����� ��� ��� � ��������!� ����
�������� ���������� ������ ��������������� ����� ���������������� �������������������
� ������ ���������� ����������������� �������� ����� ����������������������������
� ������� �������� ����� �� ���������� ���������� ��������� � ������ ������ ����7����� ���
� ����������3� ���4������������� �����������������������)���������������� ������
�������9����*�0����������� ������D�*�#����������������������!�������� ��������������
�������� � ������ �������� ��� ���������������� ��������� ������� ���� �� ����� ����
�������
��������������������� � ������ ������������� ������� �� �� ����� ����������
������� �������� ����������������������������� ���������
��� ��������������� ���� ������ � ����������
������������� ���������������������� �!�� ���� ��"!�� �"����������� ���������
� �#���� �����������
�����A��$�% �
�
&�$−
FHG
IKJ
π
'���������!!�'"� ���(��$�)�&�*��
$)���� �*���)�&�+"*���)�$,-����.��� �+�)�%��.�,����
��! ���������� ��!�������� ���!����������������������)�$�����/���,�0������������!� �������
����� ,��������∆��)�%*�$,%�� �$,1����� ��� ���������������� !������������
������������ ����������������������������������������� ������� ���� ��7������
����� ���!�5!0���������� ������������� ������������
% INITIAL VALUES