DIPLOMOVÁ PRÁCAdiplom.utc.sk/wan/2327.pdf · Žilinská univerzita Diplomová práca KOA - PRAT Fakulta: Strojnícka Katedra: Obrábania a automatizácie Vedúci DP: Doc. Ing. Fedor

ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE

STROJNÍCKA FAKULTA

KATEDRA OBRÁBANIA A AUTOMATIZÁCIE

DIPLOMOVÁ PRÁCA

PRAT/125-2008 MARTIN MORAVČÍK

Žilinská univerzita Diplomová práca KOA - PRAT

ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE STROJNÍCKA FAKULTA Katedra obrábania a automatizácie Školský rok: 2007 - 2008

ZADANIE DIPLOMOVEJ PRÁCE

pre: Martin Moravčík

študijný odbor: Prístrojová, regulačná a automatizačná technika Téma diplomovej práce:

Školský model tepelnej sústavy Pokyny pre vypracovanie:

1. rozvedenie zadania, výber alternatívy a popis zariadenia 2. Súčasný stav poznania, rešerš literatúry 3. Návrh jednotlivých častí modelu 4. Teoretická časť práce 5. Návrh regulácie sústavy, prehľad možných úloh 6. Dosiahnuté teoretické a experimentálne výsledky práce 7. Zhodnotenie výsledkov práce, prínosy, uplatnenie v praxi 8. Návrh ďalšieho pokračovania a záver

Rozsah pôvodnej správy: 30 ÷ 50 strán podľa pokynov na vypracovanie Zoznam odbornej literatúry:

Teória automatizovaného riadenia

Identifikácia sústav

Technická dokumentácia (manuály) k programovacím prostrediam. Vedúci diplomovej práce: Doc. Ing. Fedor Kállay PhD. Dátum odovzdania diplomovej práce: 20. 5. 2008 V Žiline 25. 4. 2008 doc. Ing. Stanislav Turek, PhD.

vedúci katedry


Fakulta: Strojnícka Katedra: Obrábania a automatizácie Vedúci DP: Doc. Ing. Fedor Kállay PhD.

ANOTAČNÝ ZÁZNAM - DIPLOMOVÁ PRÁCA Školský rok 2007/2008

Meno priezvisko: Martin Moravčík

Názov práce: Školský model tepelnej sústavy

Počet strán: 59 Počet obrázkov: 36 Počet tabuliek: 6

Počet grafov: 7 Počet príloh: 7 Počet použitej literatúry: 5

Kľúčové slová: Impulzná regulácia, model tepelnej sústavy, regulátor, identifikácia sústavy

Anotácia:

Práca sa zaoberá návrhom a identifikáciou modelovej sústavy, ktorá je flexibilne

modifikovateľná pre navodenie rôznych stavov nastavajúcich v reálnych sústavách. Návrhom

impulzného regulátora, ktorý ma za úlohu udržiavať teplotu v predpísanom regulačnom

pásme.

Annotation:

This diploma work is dealing with identification of modeling system, which can be flexibly

modification for making different situation which can occur in real systems. Designs of

impulse regulator have to keep the regulated temperature in specified regulation area.


MIESTOPRÍSAŽNÉ PREHLÁSENIE

Miestoprísažne prehlasujem, že som celú diplomovú prácu, vrátane všetkých príloh

vypracoval samostatne s použitím uvedenej literatúry.

V Žiline 24.5.2008 ………………………….

vlastnoručný podpis


Obsah:

1. Úvod .......................................................................................................................................5

2. Analýza dynamických systémov..........................................................................................6

2.1. Matematický popis dynamických systémov ................................................................6

2.2. Klasifikácia dynamických systémov ............................................................................6

2.3. Vnútorný a vonkajší opis systémov..............................................................................8

2.4. Matematicko-fyzikálna analýza ...................................................................................9

3. Analýza lineárnych systémov v časovej oblasti................................................................11

3.1. Odozva systému na obecný signál, konvolúcia .........................................................13

3.2. Diferenciálne rovnice...................................................................................................15

3.2.1. Laplaceova transformácia ...................................................................................16

3.3. Obrazový prenos..........................................................................................................18

3.3.1. Definícia obrazového prenosu, vlastností, póly, nuly, rád astatizmu ..............18

3.3.2. Odozva sústavy 1. rádu, sériové zaradenie sústav 1. rádu................................20

3.3.3. Sústava 2. rádu s prenosom .................................................................................21

3.3.4. Systémy s dopravným oneskorením....................................................................27

3.3.5. Model dynamického systému s poruchovou veličinou ......................................28

3.4. Frekvenčný prenos ......................................................................................................29

3.4.1. Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine............................................30

4. Regulátory – základy, dynamické vlastnosti....................................................................33

5. Stabilita regulačného obvodu ............................................................................................40

6. Snímače teploty ...................................................................................................................43

6.1. Elektrické teplomery ...................................................................................................43

6.1.1. Odporové snímače ................................................................................................43

7. Popis rozhrania DDE .........................................................................................................45

7.1. Protokol DDE...............................................................................................................46

8. Návrh, popis a možnosti regulácie modelovej sústavy ....................................................47

9. Identifikácia modelovej sústavy z prechodovej charakteristiky ....................................49

10. Návrh impulznej regulácie...............................................................................................52

10.1. Návrh PID regulátora ...............................................................................................58

10.2. Zmena regulačného algoritmu .................................................................................58

11. Záver ..................................................................................................................................59

Použitá literatúra


Zoznam príloh


Zoznam použitých skratiek a symbolov

δ(t) – diracov jednotkový impulz

A(s), B(s), C(s) – polynómy

ai, bj, ck – koeficienty diferenciálnej rovnice

API – aplikačný programový interface

C – merná tepelná kapacita

d – hrúbka steny nádoby

d(t) – poruchová veličina

DDE – dynamická výmena dát

E – energia

e=w-y – regulačná odchýlka

F(s) – obrazový prenos

G(jω) – frekvenčný prenos

g(t) – váhová veličina

g0(t) – váhová funkcia

GR – prenos regulátora

GS – prenos regulovanej sústavy

H(s) – Laplaceov obraz prechodovej

h(t) – prechodová funkcia

hSE – súčiniteľ prestupu tepla na vnútornej strane konštrukcie

hSI – súčiniteľ prestupu tepla na vonkajšej strane konštrukcie

I/O – vstup/výstup

K – zosilnenie sústavy

K = b0 / a0 – zosilnenie sústavy

M – hmotnosť

n + r – rád sústavy

n + r > m – podmienka fyzikálnej realizovateľnosti

ØTCH – priemerná doba chladnutia

ØTOH – priemerná doba ohrevu

ØtOH – priemerná teplota ohrevu

P – príkon

PID – proporcionálne integračno derivačný člen


pp – pásmo proporcionality

PT100 – tepelný snímač

Qstr – tepelná strata

r – rád astatizmu

R – odpor

r0 – zosilnenie

S – plocha

si – póly systému

t – teplota

T = 1/ ωn – násobná časová konštanta

TBj = -1/sBj – časové konštanty čitateľa obrazového prenosu

TCP/IP – Transport control protocol/internet protocol

Td – dopravné oneskorenie

TICH – dĺžka impulzu pre chladnutie

TIO – dĺžka impulzu pre ohrev

tk – maximá prechodovej funkcie

TK – empiricky získaná tepelná korekcia

tmax – čas v ktorom nastáva maximálne prekmitnutie

Tn – doba nábehu

Tp – doba prechodu

tpo – požadovaná šírka regulačného pásma

Tref – referenčná teplota

Tu – doba prieťahu

TVO – teplota vypnutia ohrevu

u – akčná veličina

U – súčiniteľ prestupu tepla

u(t) – vstupná veličina

u0 – amplitúda vstupného signálu

v – porucha

V – objem

w – riadiaca veličina

y(t) – výstupná veličina

α – tlmenie sústavy

δ(t)=d1(t)/dt – derivácia diracovho impulzu


δT – impulzná šírka

∆t – diferencia teplôt

∆T=TN-TR – diferencia nameranej a požadovanej teploty

η – účinnosť ohrevu

λ – súčiniteľ tepelnej vodivosti vrstvy

ξ – pomerné tlmenie

τ – čas potrebný pre ohrev

τi = -1 / si – časové konštanty sústavy

ωn – prirodzená uhlová frekvencia


5

1. Úvod

Témou tejto diplomovej prace je navrhnúť školský model tepelnej sústavy. Sústava ma

za úlohu simulovať rôzne stavy, ktoré nastavajú v reálnych podmienkach. Je navrhnutá tak,

aby s minimálnymi úpravami mohla vytvárať nové úlohy regulácie.

Model je tvorený 3 hlavnými vetvami. Regulácia je zabezpečovaná pomocou SLC 500

automatu firmy Allen Bredley.

Regulačnou úlohou tejto prace je udržovať regulovanú teplotu v predpísanom

regulačnom pásme pomocou impulznej regulácie. Princíp regulácie spočíva vo vytvorení

regulačných impulzov pre predpísané teploty. Dĺžky impulzov a ich závislosti získame

následnou analýzou nameraných hodnôt teploty. Zber údajov je riešení pomocou rozhrania

DDE, ktoré nám zabezpečuje prenos a zálohu údajov medzi RSlinx a Microsoft Excel.

Po analýze nameraných hodnôt získame obrazový prenos sústavy a následne

vytvoríme závislosti pre výpočet dĺžok regulačných impulzov. Získané závislosti

pretransformujeme do regulačného algoritmu ktorý je vytvorený v programovacom prostredí

RSlogix 500.

Následná regulácia a jej zobrazovanie je riešené cez vizualizačné prostredie

RSview32.

Ďalšie možnosti regulačných úloh pre túto sústavu sú regulácia teploty vody, ktorá je

zabezpečovaná reguláciou otáčok obehového čerpadla a regulácia výšky hladiny pomocou

tlakového snímača. Keďže sústava je modulárna možnosti iných spôsobov regulácie sú možné

iba nepatrným zásahom do sústavy.


6

2. Analýza dynamických systémov

2.1. Matematický popis dynamických systémov

Analýza a syntéza dynamických systémov sa realizuje pomocou matematického

modelu. Dynamické vlastnosti reálnych a priemyslových systémov so všetkými väzbami a

interakciami dá len ťažko vyjadriť matematickým modelom, ktorý by bol dostatočne obecný a

použiteľný v praxi.

Zavádza sa preto najskôr zjednodušujúce predpoklady, ktoré umožnia vytvoriť

zjednodušený fyzikálni model. Matematický model sa potom odvodzuje z fyzikálnych

zákonov aplikovaných na tento fyzikálny model alebo pomocou metód identifikácie na

základe merania vstupov a výstupov skúmaného dynamického systému.

2.2. Klasifikácia dynamických systémov

Reálny dynamický systém má hmoty a média rozložené v priestore, ktoré môžu byť vo

vzájomnej interakcii. Hmoty a média tvoria kontinua. Tak napr. teleso elektrického ohrievača,

ktorého hmota je rozložená v priestore v tvare valca alebo skrutkovice.

Fyzikálne modely je možné rozdeliť do dvoch skupín podľa nasledujúcich hľadísk:

a) hmoty a média tvoria kontinua rozložené v priestore. Hovoríme potom o systémoch

s rozloženými parametrami.

b) hmoty a média sú koncentrované do myslených bodov. Hovoríme potom o

systémoch s koncentrovanými parametrami.

Vlastnosti dynamických systémov s rozloženými parametrami popisujú parciálne

diferenciálne rovnice. Potom považujeme prietokový ohrievač za systém s rozloženými

parametrami, uvažujeme priebehy teplotných polí ako v objeme kvapaliny, tak i v

ohrievacom telese. Bilancia energie sa potom vykonáva na každom elemente objemu

kvapaliny a ohrievacieho telesa.


7

Vlastnosti dynamických systémov s koncentrovanými parametrami popisujú obyčajné

diferenciálne rovnice.

Obr.2.2.1. Systém s koncentrovanými parametrami

Podobne prietokový ohrievač na obr.1 môžeme pokladať za systém s koncentrovanými

parametrami, ak budeme predpokladať, že teplota vody je v celom objeme rovnaká. Tento

predpoklad je zrovnateľný s predpokladom, že hmota kvapaliny sa koncentruje do jedného

bodu o danej teplote, ktorá však je časovo premenná. Obdobne predpokladáme, že teplota v

tepelnom telese je taktiež rovnaká, čo odpovedá koncentrácii hmoty tepelného telesa do

jedného bodu. Potom aplikujeme makroskopickú bilanciu energie na tieto dva "hmotné body",

ktoré sú vo vzájomnej interakcii.

Obecný systém s koncentrovanými parametrami pre neizotermické systémy je

schematicky znázornená obr.2.2.1. Vstupom sú média v rovine 1 a privádzané teplo Q.

Výstupom je médium v rovine 2 a mechanická práca W konaná na okolí. Teplota média

medzi rovinami 1-2 sa berie v celom objemu ako rovnaká, ale časove premenná. Je zrejme, že

pokiaľ budeme "riadiť" výstupy, to je parametre výstupného média a mechanickú prácu

vykonávanú na okolí parametre vstupného média a privádzané teplo Q, potom rozloženie

teplotných, tlakový, rýchlostných polí nie je z hľadiska vlastného riadenia výstupných

parametrov významné a pre účely riadenia a regulácie a zanedbáva.

[W]

Studená voda

Ohriata voda

Θoh m

Θi [kg/s]

Θout


8

Obr.2.2.2. Neizotermický systém s koncentrovanými parametrami

Vzťahy medzi podmienkami na vstupe a výstupe médií a energiami je v

neizotermických systémoch popísaní makroskopickou bilanciou hmoty, hybnosti a

energie. Presne vzaté, sú všetky technologické systémy s rozloženými parametrami.

Z hľadiska riadenia a regulácie týchto systémov, postačuje spravidla uvažovať tieto systémy

ako systémy s koncentrovanými parametrami.

2.3. Vnútorný a vonkajší opis systémov

Lineárny dynamický systém s jedným vstupom u(t) a jedným výstupom y(t) je

schematicky zobrazený na obr.2.3.1. V anglosaskej literatúre sú tieto systémy označované

skratkou SISO (Simple input-simple output).

Obr.2.3.1. lineárny dynamický systém

Zo základných predmetov automatickej regulácie je známe, že matematický popis

dynamických systémov možno rozdeliť na dve základné skupiny - na vonkajší a vnútorný

popis dynamického systému.

• Vonkajší opis systému je vyjadrenie dynamických vlastností systému

pomocou relácii medzi vstupnou a výstupnou veličinou. Tento popis

W

2

1

Vstupná veličina

Výstupná velčina

u(t) y(t) SYSTÉM Stav systému

X(t)

Q


9

neposkytuje informáciu o vnútorných stavoch systému. Meraním vstupnej

a výstupnej veličiny môžeme získať iba vonkajší popis systému.

• Vnútorný popis systému chápeme ako reláciu medzi vstupnou veličinou u(t),

stavom systému x(t) a výstupnou veličinou y(t). Hovoríme potom o stavových

rovniciach systému.

Relácia medzi vstupom a výstupom môže byť vyjadrená:

- diferenciálnou rovnicou

- obrazovým prenosom F(s)

- impulznou prechodovou funkciou g(t)

- prechodovou funkciou h(t)

- frekvenčným prenosom F(iω)

- frekvenčnou charakteristikou.

2.4. Matematicko-fyzikálna analýza

Z matematicko-fyzikálnej analýzy dynamických systémov pri aplikácií makroskopických

bilancií hmoty a energie dostávame spravidla sústavu lineárnych rovníc prvého rádu, teda

priamo stavový popis. Každá stavová veličina potom predstavuje konkrétnu fyzikálnu

veličinu a štruktúra stavových rovníc potom vypovedá o vzájomných väzbách medzi

stavovými – fyzikálnymi veličinami. Ukážeme to na nasledujúcom príklade ohrevu vody v

prietokovom ohrievači.

Dynamickú sústavu na Obr.2.4.1. tvorí prietokový ohrievač PO. Vstupnou veličinou je výkon

P vyhrievacej špirály VS. Výstupnou veličinou je teplota vody T meraná senzorom teploty

ST.


10

Obr.2.4.1. Dynamická sústava PO

Pre účely matematicko-fyzikálne budeme uvažovať so zjednodušenou sústavou podľa

Obr.2.4.2 a vychádzame z podmienok: dokonalej tepelnej izolácie, konštantného prítoku a

objemu vody v ohrievači, premiešavaní vody, teplota vody Tout a teplota ohrievača Th nezávisí

na priestorových súradniciach (Tout = Tout(t), Th = Th(t)).

V – objem vody v ohrievači

ρ – merná hustota vody

M – množstvo pretekajúcej vody

Vh – objem ohrievacieho telesa

Obr.2.4.2 Matematicko-fyzikálna analýza

TIN … teplota vody na vstupe

TOUT … teplota vody na výstupe

TOUT M

V c ρ

α S

TIN

P~Up

iP

Vh ch ρh

Izolácia

Miešanie

UT~T

TOUT M

T V c ρ

α S

TIN

P~Up

iP

Vh ch ρh

ST


11

S … teplozmenná plocha tepelného telesa

ch … merné špecifické teplo tepelného telesa

ρh … merná hustota tepelného telesa

α … koeficient prestupu tepla

ρ … merná hustota vody

c … merné špecifické teplo v.

3. Analýza lineárnych systémov v časovej oblasti

Analýzou lineárnych dynamických systémov rozumieme určovanie ich dynamických a

statických vlastností. Radíme sem predovšetkým dynamické chovanie systémov na

definovaný vstupný signál, odozvy na obecný vstupný signál, problémy stability, vplyv

parametrov obvodu na stabilitu a jeho odozvu. Pre ďalší výklad bude uvažovaný dynamický

časovo invariantní systém (regulovaná sústava) so vstupmi a výstupmi podľa obr. 3.1.

Obr.3.1. Dynamicky časovo invariantný systém

Vstupnou veličinou je signál u(t), výstupnou veličinou systému je y(t). Signál d(t) predstavuje

poruchovú veličinu. Definujme vstupní signály jednotkový skok a Diracov impulz.

1) Jednotkový skok je definovaný na obr.3.2.

1)(1)( == ttu pre 0≥t

= 0 pre 0<t

Obr.3.2. Jednotkový skok

u(t) y(t)

d(t)

Dynamický systém

1

0

u(t)

t


12

Odozva sústavy na jednotkový skok je prechodová funkcia h(t), alebo v grafickej podobe

prechodová charakteristika.

2) Diracov impulz (jednotkový impulz)

Jednotkový – Diracov – impulz je idealizovaná funkcia, fyzikálne nerealizovateľná. Diracov impulz

má v čase menšom než 0 a v čase väčšom než 0 nulovú hodnotu. V čase t = 0 sa veľkosť impulzu blíži

∞, jeho šírka sa blíži 0. Plocha impulzu sa rovná 1. Diracov impulz vznikne deriváciou jednotkového

skoku:

Obr.3.3a.

( ) ( )dt

tdt

1=δ (1).

Výsledok súhlasí s údajom zo slovníka transformácie. Diracov impulz je len

teoretickým signálom. Vzhľadom k zotrvačnosti skutočných derivačných členov ich nemožno

realizovať.

Význam zavedenia dynamických charakteristík impulznej váhovej a prechodovej

funkcie a im odpovedajúcich signálov nespočíva len v zrovnávaní odoziev jednotlivých

systémov na uvedené signály, ale umožňuje riešenie základného problému analýzy, ktorý

spočíva v nájdení odozvy systému na všeobecný vstupný signál. [3]


13

3.1. Odozva systému na obecný signál, konvolúcia

Použitím váhovej funkcie k výpočtu odozvy systému na obecnú vstupnú funkciu u(t)

patrí k najstarším postupom. Samozrejme, použitie impulzu šírky δT → 0 je technicky

nemožné. Preto sa Diracov impulz aproximuje pulzom konečnej šírky δT a výškou

impulzu vid obr.3.1.1. Plocha tohto impulzu potom bude S v T v = ·δ a pretože je systém

lineárny, je odozva na impulz plochy Sv úmerná váhovej funkcií g(t) s koeficientom úmernosti

Sv . Platí teda ( ) ( )tgStg vv .=

Obr.3.1.1 Impulz plochy Sv


14

Obr.3.1.2. Nahradenie spojitého signálu u(t) postupnosťou impulzov δT

Predpokladajme, že je daná váhová funkcia g(t) dynamického systému a priebeh

vstupného signálu u(t) vid obr.3.1.2 pre ktorý platí predpoklad, že pre t < 0 je u(t) = 0.

Základná myšlienka uvažovaného postupu spočíva v tom, že priebeh vstupného

signálu u(t) sa rozdelí na N rovnakých časových intervalov δT . Tím sa aproximuje vstupný

signál postupností impulzov konštantnej šírky Tδ a výšky u( τi) vid obr. 3.1.2, ktoré sú ale

posunuté vzhľadom k počiatku o časový úsek Tii δτ .= pre i = 0,1,2,…,N.

V čase t sa zúčastňuje i-tý impulz na výstup sústavy veľkosti ( )tyiδ , ktorá je daná

súčinom plochy impulzu Si = δT .u( τi) a posunuté váhové funkcie g(t- τi)

( ) ( ) ( ) ( )iiii tguTtgSty ττδτδ −=−= ..1 (2).

Celkový účinok všetkých impulzov od i=0 až N-1 je rovný súčtu všetkých čiastkových

odoziev δyi(t) a platí

( ) ( ) ( ) ( )∑∑−

=

−

=

−==1

0

1

0

..n

iii

n

ii Ttgutyty δττδ (3).


15

Pre limitný prípad, keď N → ∞ a δT → 0 a čas je rovný t=N.δT, potom sumy

prechádzajú na integrály a platí

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττδττδδ

dtguTtgutyty i

tN

iii

N

ii

TN

−=−== ∫∑∑−

=

−

=→∞→

...0

1

0

1

00,lim . (4).

Tento integrál sa nazýva konvolutným integrálom a určuje výstup systému y(t) pri známej

váhovej funkcii g(t) a danej vstupnej funkcii u(t) pri nulových počiatočných podmienkach. Je

možné ukázať, že platí rovnosť

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ dgtudtgutgtutytt

∫∫ −=−==00

. . (5).

3.2. Diferenciálne rovnice

Uvažujme dynamický t-invariantný systém (regulovanú sústavu) s jedným vstupom a jedným výstupom podľa obr.3.2.1a.

Obr.3.2.1. dynamický t-invariantný systém

Výstup systému y(t) je potom možno popísať obyčajnou diferenciálnou rovnicou

s konštantnými koeficientami

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ubububyayayay mm

nn

n0

110

11

11 ...... +++=++++ −

− , pre m ≤ n, (6).

alebo pre systém so vstupujúcou poruchou d(t) potom platí rovnica

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dcdcdcybububyayayay mcmc

mm

nn

n0

110

110

11

11 ......... +++++++=++++ −

− pre

m, mc ≤ n (7).

kde je u(t) vstupná (akčná) veličina,

y(t) výstupná (regulovaná ) veličina,

d(t) poruchová veličina,

ai, bj, ck sú koeficienty diferenciálnej rovnice

Pripomíname len, že riešenie rovnice (6) je dané súčtom homogénneho

a partikulárneho riešenia

PH yyy += ,

kde je yH homogénne riešenie, yP partikulárne riešenie. Homogénne rovnice k (6) je


16

( ) ( ) ( ) 0... 01

11

1 =++++ −− yayayay n

nn (8).

ich charakteristická rovnica, ak hľadáme riešenie vo tvare tey λ= , je polynóm v λ a

je rovný

0... 011

1 =++++ −− aaa n

nn λλλ (9).

Charakteristická rovnica má n - koreňov, ktoré môžu byť reálne rôzne, reálne násobné,

komplexne združené a komplexne združené násobné. Tomu potom zodpovedá i homogénne

riešenie, ktoré je v tvare pre

1) Korene reálne rôzne ( ) ntn

ttH eCeCeCty λλλ +++= ...2

22

1

2) Korene reálne, i-ty koreň násobnosti k

( ) ( )( ) ntn

kkiii

itttH eCtCCCeeCeCty λλλλ ++++++++= −

− ......... 1121

22

11

3) Korene komplexne združené ppp iωαλ +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCiCtCtCty nnpppH λωαλλ exp...exp...expexp 2211 ++++++=

Homogénne riešenie obsahuje n -konštánt Ck , ktoré sa musia určiť z počiatočných

podmienok ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,...,0,0 11 −nyyy . Počiatočné podmienky teda predstavujú distribúciu

vlastnej energie systému.

Partikulárny integrál sa určí odhadom partikulárneho riešenia pri špeciálnom tvare

pravej strany, variacou konštánt alebo inými vhodnými metódami. Partikulárny integrál, ktorý

predstavuje účinok akčnej alebo poruchovej veličiny, reprezentuje distribúciu vonkajšej

energie. V teórii automatickej regulácie sa pre riešenie diferenciálnych rovníc využíva

prevažné vlastnosti Laplaceovy transformácie.

3.2.1. Laplaceova transformácia

Definícia Laplaceovej transformácie

Laplaceova transformácia patrí do skupiny integrálnych transformácii a je základným

matematickým aparátom v teórii lineárnej regulácie a riadenia. Používa sa predovšetkým pre

riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi tento postup potom

následne umožňuje:


17

- nájdenie homogénneho a partikulárneho riešenia v jednom kroku,

- prevádza diferenciálne rovnice na algebraické rovnice, ich riešenie v s-

rovine je už známe a jednoduché,

- umožňuje zaviesť obrazový prenos, blokovú algebru, frekvenčný

prenos atd., čo potom nachádza široké uplatnenie v analýze a syntéze

riadenia

Definičné vzťahy Laplaceovej transformácie

( ){ } ( ) ( )∫∞

− ==0

sYdtetytyL st (10).

kde je y(t) je obecne komplexná funkcia reálnych zmien t, ktorá splňuje nasledujúce

podmienky

a) je po častiach spojitá pre t ≥ 0

b) y(t) = 0 pre t < 0

c) y(t) je exponenciálneho rádu. Funkcia reálne premenná t sa nazýva exponenciálneho

rádu, ak existuje také reálne číslo "c" (index rastu), že platí ( ) 0lim =−

∞→

ct

t

ety

s je komplexne premenná

Y(s) je Laplaceov obraz – komplexnej funkcie premennej s

Definičný vzťah inverznej (spätnej) Laplaceovej transformácie

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]Kss

ststic

ic

esYrestysYLdsesYi

ty=

−∞+

∞−

∑∫ ==== 1

2

1

π (11).

kde je i imaginárna jednotka, pre ktorú platí 12 −=i ,

c index rastu

Y(s) je Laplaceov obraz – komplexnej funkcie premennej s

Vo väčšine aplikácii je funkcia y(t) reálna funkcia premennej t. Pre výpočet L - obrazu

sa spravidla nepoužíva definiční integrál (10) ale využíva sa vlastností L transformácií alebo

sa pracuje so slovníkom L - transformácie. Podobne výpočet predmetu z obrazu nie je

spravidla nutné riešiť definičným integrálom inverznej transformácie (11), ale využíva sa

rozklad na parciálne zlomky.


18

3.3. Obrazový prenos

V automatickej regulácii pre vyjadrenie dynamických vlastností systému sa

najčastejšie používa vonkajšieho popisu systému vo forme obrazového prenosu. Obrazový

prenos umožňuje zavedenie blokovej algebry, aplikácii kritérií stability, jednoduchý výpočet

odoziev sústav atd.

3.3.1. Definícia obrazového prenosu, vlastností, póly, nuly, rád

astatizmu

Obrazový prenos je možno definovať dvoma spôsobmi

• ako Laplaceov obraz výstupnej veličiny ku Laplaceouvmu obrazu vstupnej veličiny

pri nulových počiatočných podmienkach zľava

• ako Laplaceov obraz impulznej prechodovej (váhové) funkcie.

Uvažujme dynamický systém, ktorý je popísaný diferenciálnou rovnicou (6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ubububyayayay mm

nn

n0

110

11

11 ...... +++=++++ −

− , pre m ≤ n,

potom, ak spravíme L- transformáciu ľavej a pravej strany diferenciálnej rovnice pri nulových

počiatočných podmienkach, dostaneme

( )( ) ( ) ( )....... 011

1011

1 sUbsbsbsbasasassY mm

mm

nn

n ++++=++++ −−

−−

Podľa definície obrazového prenosu je tento rovný

( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )sUsFsYsU

sY

asasas

bsbsbsbsF

nn

n

mm

mm .

...

...

011

1

011

1 =→=++++

++++=

−−

−− (12).

kde je F(s) obrazový prenos,

( ) 011

1 ... asasassA nn

n ++++= −− polynóm menovateľa stupňa nA =∂ ,

( ) 011

1 ... bsbsbsbsB mm

mm ++++= −

− polynóm čitateľa stupňa mB =∂ ,

Y(s) je L – obraz výstupnej veličiny y(t),

U(s) je L - obraz vstupnej veličiny u(t).


19

Vlastnosti obrazového prenosu zhrnieme bez dôkazov do nasledujúcich bodov:

1. Obrazový prenos nezávisí na budiacej funkcii ani počiatočných podmienkach, ktoré

podľa definície musia byť nulové

2. Je racionálnou lomenou funkciou komplexne premennej s reálnymi koeficientami

3. Popisuje dynamické vlastnosti len časove invariantných systémov, ktoré nemenia

svoje parametre v čase.

Obrazový prenos je možno obecne ešte vyjadriť vo tvare

( )( )

,...

...

011

1

01

asasass

bsbsbsF

nn

nr

mm

++++

+++=

−−

(13).

Kde n + r je rád sústavy (systému),

r je rád astatizmu,

n + r > m je podmienka fyzikálnej realizovateľnosti

Polynóm v menovateli obrazového prenosu sa nazýva charakteristický polynóm a

jeho korene sa nazývajú póly systému (sústavy). Charakteristický polynóm je možno

vyjadriť v tvare súčinu koreňových činiteľov, tj.

( ) ( )( ) ( ),...... 2101 nrn

nr sssssssasasas −−−=+++

kde si, pre ;,...,2,1 ai = a rnaa sss +++ === ...21 sú póly systému.

Korene polynómu v čitateli obrazového prenosu sa nazývajú nuly systému. Polynóm

v čitateli môžeme taktiež vyjadriť ako súčin koreňových činiteľov, tj.

( )( ) ( )BmBBmm

m ssssssbbsbsb −−−=+++ ...... 2101

kde sBj pre j = 1, 2, …, m sú nuly systému.

Ak Vyjadríme obrazový prenos pomocou pólov a núl dostaneme

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )nnr

BmBBm

ssssssas

ssssssbsF

−−−

−−−=

...

...

21

21 (14).

Je zrejmé, že dynamické vlastnosti lineárneho dynamického systému sú jednoznačne

určené pólmi a nulami systému spolu s pomerom koeficientov pri najväčších mocnín v čitateli

a menovateli. Póly a nuly sa zobrazujú v komplexnej rovine s - rovine. Ak sú všetky póly

a nuly reálne, môžeme obrazový prenos vyjadriť v tvare

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )K

sTsTsTs

sTsTsTsF

nr

BmBB

+++

+++=

1...11

1...11

21

21 (15).


20

Kde τi = -1 / si sú časové konštanty sústavy

TBj = -1/sBj sú časové konštanty čitateľa obrazového prenosu

K = b0 / a0 je zosilnenie sústavy

Rád astatizmu je významná charakteristika dynamického systému a označuje

násobnosť nulového pólu t → ∞ . Pre r = 0 hovoríme o statickom systéme, pre r ≥ 1 sa

dynamický systém označuje ako systém astatický. Astatický systém má vždy integračný

charakter, pretože operátorom násobení rs/1 zodpovedá v časové oblasti r - násobnej

integrácii. Prechodová funkcia pre t → ∞ sa asymptoticky blíži k mocninovej funkcii rtC.

teda k priamke, parabole atd.

3.3.2. Odozva sústavy 1. rádu, sériové zaradenie sústav 1. rádu

Z matematicky - fyzikálnej analýzy sústav prvého rádu (RC – členy, hladina v nádrži s

voľným výtokom atd.) je zrejme, že sústavy prvého rádu majú len jeden akumulátor energie

(kapacita kondenzátoru, kapacita nádrže atd.).

Diferenciálne rovnice, obrazový prenos je

( ) ( ) ( ),/

/

10

1000

11 sU

aas

absYubyaya

+=→=+ ( )

101

0

+=

+=

s

K

asa

bsF

τ, (16).

kde je K = b0 / a0 ... zosilnenie sústavy, τ = a1 / a2 časová konštanta.

Prechodová funkcia je rovná

( )

−−=

−−= tKt

a

a

a

bth .

1exp1.exp1

0

1

0

0

τ (17).

Dynamické systémy 1.rádu sa v regulačnej technike označujú ako PT1 bloky (členy),

kde označuje: P…zosilnenie bloku, T…časovú konštantu a 1…násobnosť časovej konštanty.

Sériovým zaradením dvoch členov prvého rádu je celkový počet akumulátorov energie

dvojnásobný. Tok energie predstavuje orientovaný graf, ktorý prechádza členom 1 na člen 2,

vid obr. 3.3.2.1. To znamená, že výška hladiny h2(t) neovplyvňuje hladiny h1(t). Inými

slovami, nedochádza k vzájomnému prelievaniu energie medzi nádržami.


21

Obr.3.3.2.1. Sériové zaradenie nádrží

Sériové zaradenie p- bloku sa rovnakou časovou konštantou dáva výsledný prenos

( )( ) ( )

,/1

/

1 P

P

P s

K

s

KsF

τ

τ

τ +=

+= (18).

ktorý má p- násobný pól -1/τ , kde τ je časová konštanta a K je výsledné zosilnenie.

3.3.3. Sústava 2. rádu s prenosom

( )( )22

2

2.

nn

n

ssKsF

ωξω

ω

++= (19).

Ak Dochádza k prelievaniu energie z jedného akumulátoru do druhého (ako napr. v

elektrickom RLC obvode alebo v prípade prepojených nádob potrubím vid. obr. 3.3.3.1),

potom nie je možné dynamické vlastnosti systému vyjadriť sériovým zapojením dvoch členov

prvého rádu, ale je nutné je vyjadriť obrazovým prenosom druhého rádu s komplexne

združenými koreňmi v tvare

( ) ,2

0

qpss

bsF

++= (20).

Obr.3.3.3.1 Sústava druhého rádu tvorená prepojenými nádobami


22

kde kvadratický trojčlen s2 + ps + q =0 má komplexne združené korene.

Parametre (b0, p, q) obrazového prenosu (20) neposkytujú bezprostredne informácie o

rýchlosti, tlmení a zosilnení systému. Preto sa v regulačnej technike využíva obrazového

prenosu v tvare

( )( ) ( ) ( ) ( ) 121/2/

1

2.

2222

2

++=

++=

++=

TsTs

K

ssK

ssKsF

nnnn

n

ξωξωωξω

ω (21).

Kde ωn je prirodzená uhlová frekvencia

ξ je pomerné tlmenie

K je zosilnenie sústavy

T = 1/ ωn je násobná časová konštanta

Aby sme získali informácie a predstavu o dynamických vlastnostiach systému, ktoré

sú popísané pomocou obrazového prenosu (21), vypočítame jeho prechodovú funkciu.

Prechodová funkcia a ich vlastnosti.

Laplaceov obraz prechodovej funkcie sústavy 2. rádu (21) je

( )( )22

2

2.

nn

n

sssKsH

ωξω

ω

++=

Korene menovateľa L – obrazu prechodovej funkcie je možné vyjadriť v tvare

a) s3 = 0

b) ( )

12

442 222

2,1 −±−=−±−

= ξωξωωξωξω

nnnnns

Póly s1,2 obecne môžu byť reálne rôzne, reálne násobné, komplexné v závislosti na

pomernom tlmení ξ. Je zrejme, že pre -1 < ξ < 1 sú póly komplexne združené a teda platí

,1. 22,1 ωαξωξω iis nn +=−±−=

Kde nξωα −= ... je tlmenie sústavy

21 ξωω −= n je vlastná kruhová frekvencia


23

Obr.3.3.3.2 Póly v s – rovine

Umiestnenie pólov v Gaussovej rovine je na obr.3.3.3.2.

Prechodovú funkciu -1 < ξ < 1 je možné vyjadriť v tvare

( )( ) ( )

−−−

−

−−=

2

2

2 1.1cos.

1

exp1

ξ

ξξω

ξ

ξωarctgt

tKth n

n (22).

Vcelku obecne sa ξ môže meniť od -∞ do +∞. V tab.

Tab. 3.3.3.1

Pomerné

tlmenie

Póly Klasifikácia

0 < ξ < 1 22,1 1 ξωξω −±−= nn is 0<nξω− Tlmený (kmitavý)

ξ = 1 ns ω−=2,1 Aperiodický

ξ = 0 nis ω±=2,1 Netlmený (konštantná amplitúda)

ξ > 1 22,1 1 ξωξω −±−= nns Pretlmený

-1 < ξ < 0 22,1 1 ξωξω −±+= nn is 0>nξω− Kmitavý (rastúca amplitúda)


24

Prechodová charakteristika (22) závisí na troch parametroch: pomernom tlmení ξ,

prirodzenej frekvencii ωn a na zosilnenie K. Priebeh prechodovej charakteristiky pre rôzne

hodnoty ξ je na obr.3.3.3.3.V s – rovine sa zobrazujú póly a nuly. Ich vplyv na dynamiku

sústavy je demonštrovaný na obr3.3.3.4a,b,c.

Obr.3.3.3.3 Prechodová charakteristika sústavy 2 rádu pre rôzne ξ

Vplyv koreňov na dynamiku sústavy

Vplyv komplexne združených pólov na dynamiku sústavy je zrejmý z obr.3.3.3.4a,b,c.

Na obr3.3.3.4a je zobrazený účinok pólov na dynamiku odozvy ak je konštantná reálna

záporná časť α a meníme iω. Na obr.3.3.3.4b sú póly volené tak, že je konštantný iω a mení

sa záporná reálna časť α.

Obr.3.3.3.4a Póly: α = -0,5; ω = 1, ω = 2, ω =3 a im zodpovedajúce prechodové funkcie


25

Obr.3.3.3.4b Póly Im s = i, α = −0,25; − 0,5; − 0,75 a im zodpovedajúce prechodové funkcie

Na obr.3.3.3.4c sú zobrazené póly tak, že sa zväčšuje ako reálna tak i imaginárna časť koreňa.

Tomu zodpovedajú i priebehy prechodovej charakteristiky.

Obr.3.3.3.4c Komplexne združené korene s1, s2, s3 a im zodpovedajúce prechodové funkcie.

Charakteristické znaky prechodovej charakteristiky

Perióda kmitu prechodovej funkcie (0 < ξ < 1) je

21

222

ξω

π

ω

ππω

−=⇒=

nT

Prechodová funkcia na medzi aperiodicity má násobné korene s1,2 = -ωn, je nekmitavá

a má tvar

( ) ( ) ( )[ ]ttKth nn ωω −+−= exp11


26

Maximálne prekmitnutie prechodovej funkcie systému (0 < ξ < 1) je

−−+=

2max1

exp1ξ

ξπKh

Čas tmax v ktorom nastáva maximálne prekmitnutie (0 < ξ < 1) je

2max1 ξω

π

−=

n

t

Maxima prechodovej funkcie nastávajú v časoch (0 < ξ < 1)

( ),...2,1,0,

1

122

=−

+= k

kt

n

kξω

π

Perióda kmitu, maximálne zmeny prechodovej funkcie a časy tmax, tk sú v prechodovej

charakteristike zakreslené na obr. 3.3.3.5

Obr.3.3.3.5 Prechodová charakteristika

Obrazový prenos s komplexným pólom a nulou.

Ak uvažujeme jeden komplexný pól a jednu komplexnú nulu, potom obrazový prenos

má tvar

( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]121...11

121...112

121

221

+++++

+++++=

τξττττ

ξ

sssss

sTsTsTsTsTKsF BBBmBB (23).

kde komplexne združenému pólu sc = - ac ± i ωc zodpovedá člen 1


27

[(τs)2 + 2ξτs + 1], kde 0 ≤ ξ ≤ 1 a komplexne združenej nule člen (TB

2s2 + 2ξsTB + 1).

Je zrejmé, že obrazový prenos (23) je možno rozšíriť na ľubovoľný počet komplexne

združených pólov a núl. Pripomenieme si, že násobné komplexné póly dynamického systému

technicky môžu vzniknúť sériovým radením blokov s rovnakými komplexne združenými

koreňmi.

3.3.4. Systémy s dopravným oneskorením

V systémoch s konečnou rýchlosťou šírenia signálu sa často vyskytuje tzv. dopravné

oneskorenie. Systém reaguje na zmenu vstupnej veličiny až po určitej dobe, ktorú nazývame

dopravným oneskorením a označujeme symbolom Td.

Dopravné oneskorenie Td [sec], sa pre všetky uvedené sústavy prejaví ako časový

posun odozvy o Td sekúnd vid obr.3.3.4.1. L – obraz funkcie posunutej vpravo o Td sa určí

podľa vety o posunutí . Platí

( ) ( ){ } ( ) ,.1* STddd esYTtTtyL −=−−

Kde Td ...je posun vpravo

Obr.3.3.4.1 Odozva sústavy s dopravným oneskorením

Predpokladajme, že dynamický systém bez dopravného oneskorenia je popísaný

obrazovým prenosom F0(s) , jeho váhová funkcia je g0(t) . Potom váhová funkcia systému


28

s dopravným oneskorením Td je váhová funkcia g0(t) posunutá o Td vpravo. Podľa Vety

o posunutí určíme obrazový prenos sústavy s dopravným oneskorením ako L – obraz

posunutej váhovej funkcie g(t-Td).

Platí

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ,.1. 0sTd

dd esFTtTtgLsFsG −=−−== (24).

kde je F0(s) obrazový prenos bez dopravného oneskorenia

Td dopravné oneskorenie [sec], s …je komplexne premenná.

S je komplexne premenná.

Diferenciálna rovnica systému s dopravným oneskorením má tvar

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )mdd

nn TtubTtubtyatyatyA −++−=+++ 0001 ...... (25).

Obrazový prenos pre sústavu s dopravným oneskorením Td a s rádom astatizmu r pri

reálnych koreňoch má tvar

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )sTd

rBmBB e

ssss

sTsTsTKsF −

+++

+++=

121

21

1...11

1...11

τττ (26).

Ak uvažujeme komplexní pól a nulu, potom obrazový prenos je

( )( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]sTd

r

BBBmBB essssss

sTsTsTsTsTKsF −

+++++

+++++=

121...11

121...112

121

221

τξττττ

ξ (27).

3.3.5. Model dynamického systému s poruchovou veličinou

Uvažujme dynamický systém s poruchovou veličinou podľa obr.3.2.1b, ktorý je

popísaný diferenciálnou rovnicou

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dcdcdcubububyayayay mcmc

mm

nn

n0

110

110

11

11 ......... +++++++=++++ −

− pre

., nmcm ≤ (28).

Obraz výstupu je potom rovný

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sDsFsUsFsDsA

sCsU

sA

sBsY du +=+= (29).

Pričom polynómy A(s), B(s), C(s) a obrazové prenosy Fu(s), Fd(s) sú rovné

( ) ( )011

1 ... asasassA nn

n ++++= −−

( ) ( )011

1 ... bsbsbsbsB mm

mm ++++= −

−

( ) ( )011

1 ... cscscscsC mcmc

mcmc ++++= −

−


29

( ) ( )( )

,sA

sBsFu = ( ) ( )

( )sA

sCsFd = (30).

Štruktúra modelu dynamického systému s účinkom poruchovej veličiny je na obr. 3.3.5.1.

Obr.3.3.5.1 Model dynamického systému s poruchou d(t)

Obrazový prenos Fd(s) aproximuje dynamické účinky poruchovej veličiny d(t)

vzhľadom k výstupnej regulovanej veličine y(t).

Obrazový prenos Fu(s) aproximuje dynamické účinky akčnej veličiny u(t) vzhladom

k výstupnej regulovanej veličine y(t). [1]

3.4. Frekvenčný prenos

Frekvenčný prenos získame tak, že na vstup systému privedieme harmonický signál.

Typickým harmonickým signálom je sínusový priebeh

( ) tutu ωsin0= (31).

u0 – amplitúda vstupného signálu

ω – uhlová frekvencia

Na výstupe systému dostaneme podľa obr. 3.4.1 (po doznení prechodového javu) znovu sínusový

signál pravda s inou amplitúdou, rovnakou uhlovou frekvenciou a fázovo proti vstupnému signálu

posunutý

( ) ( )ϕω += tyty sin0 (32).


30

Obr.3.4.1

Výhodnejšie sa ale javí vyjadriť vstupnú i výstupnú funkciu v komplexnom tvare

( ) tjeutu ω0= ; ( ) ( )ϕω += tjeyty 0 (33).

To sú v komplexnej rovine vektory, ktoré sa otáčajú uhlovou rýchlosťou ω. Pomer

týchto vektorov nám definuje frekvenčný prenos

( ) ( )( )

( )ω

ω

ϕω

ω j

tj

tj

eu

y

eu

ey

tu

tyjG

0

0

0

0 ===+

(34).

kde y0/u0 je pomer amplitúd a ϕ je fázové posunutie.

( )( )( ) 01

01

...

...

ajaja

bjbjbjG

nn

mm

+++

+++

ωω

ωωω (35).

Zavedením frekvenčného prenosu má veľký praktický význam pre riešení regulačných

problémov. Frekvenčný prenos je základom pre používanie frekvenčných metód. Znázornený

frekvenčného prenosu v tvare frekvenčných charakteristík nám umožní riešiť otázky stability

regulačných obvodov, kvalitu regulácie i syntézu regulačných obvodov. Taktiež je možné

používať experimentálne zistené a namerané frekvenčné charakteristiky.

3.4.1. Frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine

Frekvenčná charakteristika je grafické vyjadrenie frekvenčného prenosu G(jω) v

komplexnej rovine, keď za uhľovú frekvenciu ω dosadzujeme hodnoty 0 až ∞.

Na základe tejto definície môžeme frekvenčnú charakteristiku zostrojiť ako je

naznačene na obr.3.4.1.1


31

Obr.3.4.1.1 frekvenčnú charakteristiku

Avšak pri praktickom zostrojovaní frekvenčnej charakteristiky si frekvenčný prenos

G(jω) ešte v obecnom tvare (pred dosadením hodnôt ω) upravíme na zložkový tvar

komplexného čísla (rozšírením zlomku číslom komplexne združeným k menovateli

( ) ( ) ( )ωωω jGjjGjG ImRe += (36).

Zostavíme si tabuľku, kde k zvoleným hodnotám ω na kalkulačke počítame hodnotu

Re a Im a podľa tejto tabuľky potom frekvenčnú charakteristiku skonštruujeme.

Ešte je možný a často používaný spôsob konštrukcie frekvenčnej charakteristiky z

exponenciálneho tvaru komplexného čísla. Z matematiky vieme, že komplexné číslo a+jb

môžeme vyjadriť v zložkovom alebo goniometrickom alebo exponenciálnom tvare (obr.

3.4.1.2)

( ) ααα jeAjAjba .sincos =+=+ kde 22 baA += a a

barctg=α

Prevod goniometrického na exponenciálny tvar je podľa Eulerovho vzťahu

αα sincos je ja += . Upravíme si teda frekvenčný prenos G(jω) na exponenciálny tvar

( ) ( ) ( )ωϕωω jeAjG .= (37).

exponenciálny tvar

goniometrický tvar

zložkový tvar


32

spočítame do tabuľky hodnoty A a ϕ pre zvolené hodnoty ω a z tejto tabuľky skonštruujeme

frekvenčnú charakteristiku.

Postup pri experimentálnom zisťovaní frekvenčnej charakteristiky je zhruba tento:

• na vstup systému privedieme sínusový signál (generátor sínusových kmitov) s určitou

frekvenciou tuu ωsin0= obr.3.4.1.2

obr.3.4.1.2

• zapisujeme priebeh výstupného signálu (osciloskop, zapisovač), až sa na výstupe

ustáli sínusové kmity ( )ϕω += tyy sin0

• zo záznamu vstupného a výstupného signálu určíme pomer amplitúd y0/u0 a fázový

posun φ

• z definície frekvenčného prenosu ( )( )

ω

ω

ϕω

ω j

tj

tj

eu

y

eu

eyjG

0

0

0

0 ==+

dostaneme jeden bod

frekvenčnej charakteristiky podľa obr.3.4.1.3

• zmeníme frekvenciu ω vstupného signálu a postup opakujeme pre získanie dalšieho

bodu charakteristiky.

Orb.3.4.1.3

meraný

meraný objekt


33

4. Regulátory – základy, dynamické vlastnosti

Regulátor je zariadenie, ktoré vykonáva reguláciu, čiže ktoré prostredníctvom akčnej

veličiny pôsobí na regulovanú sústavu tak, aby sa regulovaná veličina udržiavala na

predpísanej hodnote (vo zvláštnych prípadoch to nemusí byť konštantná hodnota) a regulačná

odchýlka bola nulová alebo čo najmenšia. Podľa obr. 4.1 sa regulačný obvod skladá z

regulovanej sústavy a regulátora. Všetky členy tohto obvodu s výnimkou regulovanej sústavy

teda zahrnujeme pod pojem regulátor. U väčšiny priemyslových regulácii ho vyrába

špecializovaný výrobca, iný ako je výrobca regulovanej sústavy. Preto v týchto priemyslových

reguláciách býva výrazne odlíšený od regulovanej sústavy.

Obr.4.1 regulačný obvod

Vplyvom poruchy v dôjde k zmene regulovanej veličiny, ktorá sa odchýli od

požadované hodnoty, ktorá je nastavená prostredníctvom riadiacej veličiny w. Ak nie je zhoda

medzi riadiacou veličinou w a regulovanou veličinou y. Vznikne regulačná odchýlka e=w-y.

A práve tuto odstraňuje regulátor svojím zásahom do regulovanej sústavy prostredníctvom

akčnej veličiny u. Vplyvom toho, že v obvode je záporná spätná väzba, je zásah regulátora

takéhoto charakteru, že pôsobí zmenšovaním regulačnej odchýlky. A pokiaľ je regulačná

odchýlka nulová, je regulátor bez funkcie, na jeho vstupe je nula.

Klasické rozdelenie regulátorov bolo na regulátory direktné (priame) a indirektné

(nepriame). Direktné regulátory nepotrebovali k svojej činnosti pomocnú energiu a všetku

energiu potrebnú k svojej činnosti odoberali z regulovanej sústavy. Príkladom je regulátor

hladiny, uvedený na obr.3.2.

regulovaná sústava

regulátor

u

v y

w e=w-y


34

Obr.4.2 regulátor hladiny

Sila plaváku tu stačila k prestaveniu regulačného ventilu. Ako direktný regulátor

funguje ihlový ventil pri regulácii hladiny v karburátore. Ale najznámejším direktným

regulátorom bol dnes už klasický Wattov regulátor otáčok, používaný skoršie u parných

strojov. Direktné regulátory sa až na malé výnimky dnes už nepoužívajú. Boli síce

jednoduché a spoľahlivé, ale ich regulačné dynamické vlastnosti neboli dobré.

Dnes používané indirektné regulátory vyžadujú vždy pomocný zdroj energie. A pravé

podľa tejto pomocnej energie je konštrukčne delíme na regulátory pneumatické, hydraulické

a elektrické.

Najpoužívanejšie sú elektrické regulátory, ktoré využívajú k napájaniu elektrickú

energiu. Väčšinou sú to elektronické zariadenia (operačné zosilňovače), len akčné členy sú

elektromechanické (servo–motory, elektromagnety). Najväčšou výhodou elektronických

regulátorov sú dobré regulačné vlastnosti, malé rozmery a malá hmotnosť, vysoká energetická

účinnosť, čistý a bezhlučná prevádzka, relatívne nízka cena. Nevýhodou je väčšia zložitosť,

ktorá komplikuje opravy. So zavedením integrovaných obvodov a ďalších moderných

súčiastok vzrástla i spoľahlivosť týchto systémov. Dnes nemajú konkurenciu v ostatných

typoch regulátorov.

Podľa priebehu výstupného signálu sa regulátory delia na spojité a nespojité. Spojité

regulátory pracujú so spojitými signálmi. Hlavnými stavebnými prvkami sú operačné

zosilňovače. Kvalita regulácie je veľmi dobrá, návrh regulácie je pomerne ľahký. Sú

základom regulačnej techniky. Nespojité regulátory pracujú s nespojitými signálmi. Dnes do

riadiaca veličina

akčná veličina


35

popredia vystupujú diskrétne regulátory, ktorých výstup je postupnosť numerických hodnôt –

sú to číslicové počítače vo funkcií regulátorov. Do nespojitých regulátorov zaradujeme i

regulátory dvojpolohové – charakter nespojitosti je tú pravda že trochu iný, ako u diskrétnych

regulátorov.

Taktiež sa uvažuje s delením regulátorov na lineárne a nelineárne. Rozhodujúcim

prvkom je tu statická charakteristika.

Regulátor nie je jeden prvok. Skladá sa z niekoľko prvkov, ako bude viditeľné z obr.

3.3. Základom sú tri prvky zapojené v sérii a to merací člen (tiež senzor, snímač), ústredný

člen a akčný člen (pohon, servo–motor).

Obr.4.3. regulátor

Meracím členom zisťujeme skutočnú hodnotu regulovanej veličiny, prevádzame ju na

elektrické napätie (u elektrických regulátorov) a vytvárame regulačnú odchýlku. Merací člen

sa skladá zo snímača s prevodníkom, z prevodníkov riadiacej veličiny a z porovnávacieho

členu.

Snímač zisťuje časový priebeh regulovanej veličiny. Podľa toho, akú fyzikálnu

veličinu regulujeme, volíme druh snímača. Aby sme docielili dobrú reguláciu, musíme voliť

vhodný snímač aj jeho umiestnenie v regulovanej sústave. U snímača nás zaujíma hlavne jeho

presnosť, lebo regulačný obvod nemôže regulovať presnejšie, ako je presnosť snímače.

Výstupom snímača je signál úmerný regulovanej veličine, ktorý je inej fyzikálnej povahy

regulovaná sústava

regulačný orgán

pohon ústredný člen

snímač a prevodník

prevodník

merací člen

y

Ich prenos zahrnieme do prenosu sústavy

Prenos snímača zahrnieme do prenosu sústavy

G(s)≡•

1

w y

w e u

akční člen


36

(preto hovorme snímač s prevodníkom – regulovaná veličina je snímačom prevedená, a to

najčastejšie na elektrické napätie alebo prúd, tlak vzduchu alebo oleja).

Porovnávací člen prevádza odčítavanie výstupného signálu zo snímača od signálu

žiadanej hodnoty regulovanej veličiny a takto vytvorený rozdiel je regulačná odchýlka.

Ústredný člen regulátora spracúva regulačnú odchýlku. Regulačnú odchýlku môže

zosilňovať, integrovať a derivovať. Označuje sa často ako regulátor v užšom slova zmysle a

často tým pádom pod pojmom regulátor myslíme len ústredný člen. Ústredný člen má

rozhodujúci vplyv na regulačný pochod. Jeho vlastnosti môžeme voliť a práve pri návrhu

regulátora hľadáme taký ústredný člen s takými parametrami, ktoré nám zaistia vyhovujúce

vlastnosti celého obvodu. Ak sa budeme v ďalej zaoberať dynamickými vlastnosťami

regulátora, budeme sa zaoberať výhradne dynamickými vlastnosťami ústredného členu.

Akční člen regulátora sa skladá z pohonu a regulačného orgánu. Regulačný orgán je

už často považovaný za súčasť regulovanej sústavy. Pohon alebo niekedy tiež servo–motor

dodáva energiu regulačnému orgánu, mení jeho polohu, natočenie, otvorenie apod. Regulačný

orgán priamo ovláda akčnú veličinu. Medzi regulačné orgány zahrnujeme rôzne ventily,

klapky, posuvné členy apod. U regulačného orgánu požadujeme lineárnu závislosť medzi

polohou pohonu a akčnou veličinou.

Z funkcie regulátora vyplýva, že úlohou snímača s prevodníkom a prevodníka pre

riadiacu veličinu je previesť obe veličiny y, w na rovnakú fyzikálnu veličinu (u elektrických

regulátorov na elektrické napätie), aby sa v porovnávacom člene mohol realizovať ich rozdiel.

Pretože žiadne iné požiadavky na tieto členy nekladieme, bude vhodné, keď ich prenos bude

približne rovný jednej. To ide obvykle ľahko splniť pri prevodníku pre riadiacu veličinu. V

prípade snímača je to obťažné, snímače mávajú charakter proporcionálneho členu s

omeškaním niekedy aj vyššieho rádu. Aby sme mohli blokové schémy regulačného obvodu

zjednodušiť (obr. 4.4), zahrnujeme prenos snímača do prenosu regulovanej sústavy. Rovnako

je to s prenosom pohonu i regulačného orgánu, pokiaľ sa ich prenos neblíži k jednotke a nie je

zanedbateľný (vzhľadom k malým časovým konštantám).

Obr.4.4. bloková schéma regulačného obvodu


37

Niektoré pohony však majú integračný charakter a potom výrazne menia charakter

regulovanej sústavy.

Teraz sa budeme zaoberať dynamickými vlastnosťami regulátora, presnejšie povedané

dynamickými vlastnosťami ústredného člena regulátora. Podľa obr. 3.5 je vstupom regulátora

regulačná odchýlka (jej časový priebeh) e(t) a výstupom akčná veličina u(t).

Obr.3.5.

Regulátor môže regulačnú odchýlku zosilňovať, integrovať a derivovať.

Najjednoduchší prípad je obyčajné zosilňovanie – regulátor je jednoduchý zosilňovač. V

tomto prípade je akčná veličina úmerná regulačnej odchýlke.

eru 0= (38).

Takýto regulátor sa nazýva proporcionálny alebo P regulátor.

Častým prípadom regulátora je taktiež taký, keď akčná veličina je úmerná integrálu

regulačnej odchýlky.

∫−= edtru 1 (39).

Potom ide o integračný alebo I regulátor.

Technická realizácia nie je možná u regulátora, kde by akčná veličina bola úmerná

derivácii regulačnej odchýlky (pretože by došlo k rozpojeniu regulačného obvodu v

ustálenom stave)

eru ′= 1 (40).

a to by bol prípad regulátora derivačného alebo D regulátora.

Kombináciou týchto základných typov vzniknú ďalšie regulátory. Regulátor

proporcionálne--integračný alebo PI regulátor má akčnú veličinu úmernú ako regulačnej

odchýlke, tak jej integrálu, pričom vplyv tohto alebo iného sa dá zväčšiť alebo zmenšiť

voľbou konštánt

∫−+= edtreru 10 (41).


38

Podobne regulátor proporcionálne--derivačný alebo PD regulátor má akčnú

veličinu úmernú regulačnej odchýlke a jej derivácii

ereru ′+= 10 (42).

a konečne regulátor proporcionálne–integračne–derivačný alebo PID regulátor má akčnú

veličinu úmernú regulačnej odchýlke, jeho integrálu a jej derivácii

∫ ′++= − eredtreru 110 (43).

PID je vzhľadom k predchádzajúcim typom obecným typom regulátora a na ostatné sa

môžeme pozerať tak, že niektoré z konštánt r0

, r-1

alebo r1

sú rovné nule.

Regulátor o rovnici (43) je avšak ideálny PID regulátor. U každého skutočného regulátora sa

uplatňujú rôzne oneskorenia spôsobené zotrvačnosťou, pasívnymi odpormi, kapacitou apod.

To znamená, že sa na ľavej strane diferenciálnej rovnice ešte objavia oneskorujúce členy

∫ ′++=+′+′′+ − eredtreruuTuT 11012... (44).

To je rovnica skutočného PID regulátora. Hydraulické a pneumatické regulátory majú

oneskorujúce konštanty T1, T

2, … značne väčšie. Naproti tomu elektronické regulátory majú

tieto konštanty T1, T

2, …zanedbateľné a svojím charakterom sa blížia k ideálnemu regulátoru.

Prenos ideálneho PID regulátora je z rovnice (45)

( ) ( )( )

srs

rr

sE

sUsGR 1

10 ++== − (45).

a skutočného PID regulátora z rovnice (44)

( ) ( )( ) ...1 2

21

11

0

+++

++==

−

sTsT

srs

rr

sE

sUsGR (46).

Konštanty r0

,r-1

a r1

v rovniciach regulátorov určujú vplyv jednotlivé zložky (proporcionálne,

integračné alebo derivačné) na tvorbu výslednej akčnej veličiny. V regulátoroch sú

nastaviteľné a dajú sa nastaviť tak, aby výsledná regulácia splňovala to, čo od nej očakávame.

Častejšie sa však udávajú v inom tvare. Prenos ideálneho PID regulátoru (45) si vyjadríme

vytknutím r0

v inom tvare


39

(47).

Tu je r0

bezrozmerná proporcionálna konštanta, nazývaná zosilnenie regulátora, u bežných

regulátorov nastaviteľná v rozmedzí cca 0,5 až 50. Ti

je integrační konštanta regulátora

majúca rozmer sekundy a nastaviteľná v rozmedzí cca 0 až 1800 s, rovnako ako Td

, čo je

derivačná časová konštanta regulátora. U priemyselných prevedeniach regulátorov sa teda

dajú nastavovať tieto konštanty, hovorí sa im nastaviteľné parametre regulátorov a ich

hodnotu môžeme odčítať na stupniciach alebo displejoch regulátorov.

Miesto zosilnenia r0

sa často používa termín pásmo proporcionality, ktoré je udávané

v percentách. Udáva, o koľko percent z celého rozsahu sa musí zmeniť vstupný signál

regulátora, aby sa výstup zmenil v celom rozsahu. Vzťah medzi pásmom proporcionality pp a

zosilnením r0

je

100.1

0rpp = [%] (48).

( )

++=

++=++=

−

− sTsT

rsr

r

sr

rrsr

s

rrsG d

iR

11

11 0

0

1

1

001

10

Derivačná časová konštanta Td [s]

Integračná časová konštanta Ti [s] Zosilnenie r0 [-]


40

Tab. 4.1.

Ty

p

Rovnica prenos

( )sGR

Prechodová

charakteristika

Frekvenčná

charakteristika

P eru 0= 0r

I ∫−= edtru 1 s

r 1−

D eru ′= 1 sr1

PI ∫−+= edtreru 10 s

rr 1

0−+

PD ereru ′+= 10 srr 10 +

PI

D ∫ ′++= − eredtreru 110 sr

s

rr 1

10 ++ −

5. Stabilita regulačného obvodu

Stabilita je základná a nevyhnuteľná podmienka správnej funkcie regulačného obvodu. Definícia: Regulačný obvod je stabilný, pokiaľ po svojom vychýlení z rovnovážneho stavu a odstránení

vzruchu, ktorý vychýlenie spôsobil, je schopný sa ustáliť v rovnovážnom stave. Nový

rovnovážny stav nemusí byť s pôvodným rovnovážnym stavom totožný.

Stabilita je teda schopnosť regulačného obvodu, aby sa jeho regulovaná veličina y

(respektíve jej prechodná zložka yhom

(t) – to je zložka, ktorá charakterizuje vlastné kmity


41

regulačného obvodu – nie tie, čo sú mu zvonku vnútené) ustálila na pôvodnej hodnote po

vychýlení poruchovou veličinou alebo na novej hodnote pri vychýlení riadiacou veličinou.

Priebeh prechodnej zložky regulovanej veličiny yhom

(t) pri stabilnom, nestabilnom a

obvode na hranici stability je na obr. 3.57. Medzní stav, pri ktorom yhom

(t) kmitá kmity

o konštantnej

stabilný obvod obvod na hranici stability nestabilný obvod

obr.5.1. Priebeh prechodnej zložky regulovanej veličiny yhom

(t)

amplitúde, sa nazýva hranica stability.

Regulačný obvod musí byť vždy a za každú cenu stabilný. Zatiaľ čo parametre

regulovanej sústavy sú dané jej konštrukciou a nemôžeme je teda meniť, môžeme meniť

parametre regulátora, prípadne voliť iný vhodnejší typ regulátora tak, aby sa dosiahlo

stabilného regulačného obvodu.

Majme jednoduchý regulačný obvod podľa obr. 5.2. Jeho prenos riadenia a prenos

poruchy je daný rovnicami (49) a (50), ktoré si navyše zavedieme ako podiel obecných

polynómov

Obr.5.2.

( ) ( )( )

( )( ) 01

01

0

0

...

...

1 asasa

bsbsb

sG

sG

sW

sYsG

nn

mm

w+++

+++=

+== (49).

( ) ( )( )

( )( ) 01

01

0

0

...

...

1 asasa

cscsc

sG

sG

sV

sYsG

nn

mm

w+++

+++=

+== (50).


42

Ak položíme menovateľ prenosu riadenie alebo poruchy (sú vždy rovnaké) rovný nule,

dostávame charakteristickú rovnicu regulačného obvodu

( ) 01 0 =+ sG (51).

0... 01 =+++ asasa nn (52).

Regulačný obvod je stabilný, ak všetky korene s1

, s2

, ….. sn

charakteristickej rovnice (51)

respektíve (52) sú záporné čísla a v prípade komplexných koreňov majú tieto korene zápornú

reálnu časť.

Regulačný obvod je stabilný, ak má všetky korene charakteristickej rovnice záporne

reálnej časti alebo ležia v ľavej komplexnej polrovine (obr. 5.3).

Obr.5.3.

V prípade, že niektorý z koreňov leží na imaginárnej osi a žiadny neleží v pravej

komplexnej polrovine, je obvod na hranici stability.

Rovnica (51) nie je v podstate charakteristická rovnica, ale ta sa z nej úpravou ľahko

získa. Praktický postup pri zostavení charakteristickej rovnice je nasledujúci: Prenos

rozpojeného obvodu, ktorý ako vieme je súčinom prenosu sústavy a prenosu regulátora a my

si ho vyjadríme v tvare podielu polynómu

( ) ( ) ( ) ( )( )sN

sMsGsGsG sR == .0 (53).

Potom môžeme napísať

( ) ( )( )

( ) ( )( )

011 0 =+

=+=+sN

sNsM

sN

sMsG (54). [2]

Korene charakteristickej rovnice stabilného obvodu


43

6. Snímače teploty

Teplota je veličina charakterizujúca teplotný stav telies. Je priamoúmerná strednej

kinetickej energii molekúl látky. Najnižšia dosiahnuteľná teplota – absolútna nula T0 je

definovaná ako teplota, pri ktorej dochádza k zastaveniu pohybu. Základnou jednotkou

termodynamickej teploty T je Kelvin „K“. V praxi sa používa i teplota Celsiova t s jednotkou

„˚C“. Vzťah medzi oboma veličinami je definovaný rovnicou:

t=T-T0 [˚C], (55)

kde T0=273,15K.

Obe jednotky (˚C, K) je možné použiť pre vyjadrenie teplotného rozdielu, pričom

platí:

∆t=∆T [˚C, K] (56)

Na meranie teploty sa používajú teplomery, ktoré sa rozdeľujú podľa kontaktu

s meranou látkou na:

• dotykové teplomery

- elektrické (odporové, termoelektrické, ...)

- dilatačné (sklenené, tlakové, dvojkovové, ...)

- špeciálne (kryštálové, teplomerné farby, tekuté kryštály, ...)

• bezdotykové teplomery

- pyrometre (jasové, radiačné, fotoelektrické, ...)

- termovízia

- infrafotografia

6.1. Elektrické teplomery

6.1.1. Odporové snímače

Odporové snímače využívajú princíp zmeny elektrického odporu vplyvom zmeny

teploty. Základnou požiadavkou kladenou na materiál snímačov je čo najväčší a stály teplotný

súčiniteľ odporu a čo najväčší merný odpor. Najčastejšie sa používajú kovové a polovodičové

materiály.


44

6.1.1.1. Kovové odporové snímače

Pri konštrukcii odporového článku sa používajú predovšetkým čisté kovy (Pt, Ni, Ag,

Au, ...), ktoré nesmú reagovať s izolačným alebo ochranným krytom. Musia byť vylúčené

akékoľvek chemické či fyzikálne javy, ktoré by mohli ovplyvniť stálosť odporu pri

konštantnej teplote. Použitý materiál by nemal vykazovať zmenu teplotného súčiniteľa

odporu a časom (starnutie) a hysteréziu.

Platina sa pre svoje vlastnosti (chemická stálosť, vysoká teplota tavenia a vysoká

čistota) používa sa ako etalónový teplomer pre rozmedzie teplôt – 259,34 ÷ 630,74˚C.

Závislosť odporu na teplote pre rozsah 0 ÷ 630˚C je daný vzťahom:

( )( )320 1001 ttCBtAtRRt −+++= (57)

keď C – konštanta (-4.10-12 ˚C-1)

Konštanty A, B, C sú závislé na čistote a štruktúrnom stave platiny a sú určené

normami príslušných štátov. Dané konštanty sú dané pomerom 0

100

R

R, ktorý zodpovedá

99,93% čistote platiny:

389,10

100 =R

R (58)

Obr.6.1.1.1.1 Prevodové charakteristiky odporových snímačov


45

Obr.6.1.1.1.2. Platinový odporový snímač Pt100 [4]

7. Popis rozhrania DDE

Niekoľko metód výmeny dát medzi aplikáciami poskytuje operačný systém Microsoft

Windows. Jednou z nich je použitie komunikačného protokolu DDE (Dynamic Data

Exchange – dynamická výmena dát). DDE protokol je skupina správ a inštrukcií, ktoré

s posielané medzi aplikáciami zdieľajúcimi dáta a na výmenu informácií používaj zdieľanú

pamäť.

DDE má širokú škálu použitia, ako napríklad čítanie dát v reálnom čase pri riadení

technologických procesov, aktualizácia databáz atď. V našom prípade využívame DDE na

zber dát z PLC automatu, ktoré neskôr využívame pri návrhu regulácie.


46

7.1. Protokol DDE

DDE komunikácia je založená na platforme API, ktorá je obsiahnutá v systéme

Windows.

Obr. 7.1.1 Spôsob komunikácie [5]


47

8. Návrh, popis a možnosti regulácie modelovej sústavy

Modelová sústava je navrhnutá tak, aby mohla simulovať viacero možných stavov,

ktoré môžu nastať v reálnych podmienkach pri regulácii skutočných technologických

procesov.

Simulované procesy nastavajúce v modelovej sústave sú regulované pomocou PLC

automatu od firmy Allen Bradley modelovej rady SLC 500.

Sústava sa skladá z troch častí (viď príloha). Prvá časť obsahuje tepelnú vetvu, ktorá

obsahuje prietokové ohrievacie teleso, čerpadlo, tepelný snímač PT100 a cirkulačnú nádobu,

ktorá je opatrená napúšťacím ventilom so studenou vodou a výpustným ventilom.

Regulácia spočíva v kontinuálnom snímaní teploty, ktorá je vstupnou hodnotou pre

riadiaci algoritmus ten potom spracováva a následné vyhodnocuje namerané hodnoty, ktoré

transformuje na riadiaci signál ovládajúci otáčky obehového čerpadla.

Druhá časť obsahuje taktiež tepelnú vetvu, ktorá sa skladá zo zdroja tepla (kotla),

obehového čerpadla, cirkulačnej nádoby, chladiča, dvoch tepelných snímačov PT100, troch

zásobníkových nádob opatrených napúšťacím a vypúšťacím ventilom a jedným špeciálnym

napúšťacím ventilom. Regulačná úloha je postavená na regulácii teploty vody v cirkulačnej

nádobe v ktorej je ponorený chladič napojený na zdroj tepelnej energie (kotol) a samotnej

regulácii teploty kotla. Obeh vody medzi chladičom a kotlom je zabezpečený obehovým

čerpadlom. Riadiaci algoritmus má dve časti jedna z nich sa stará o stálu reguláciu teploty

kotla. Druhá časť reguluje teplotu v cirkulačnej nádobe. Keďže sa jedná o tepelnú vetvu

vstupnou hodnotou regulačného algoritmu je teplota meraná na kotly a cirkulačnej nádobe.

Pre kotol je výstupom z regulačného algoritmu riadiaci signál spínajúci ohrev vody. Pre

cirkulačnú nádobu je viac možností regulácie. Môžeme ju regulovať tým istým spôsobom ako

pri regulácii prietokového ohrievača, alebo je možnosť regulácie pomocou riadiacich ventilov

pripúšťaním studenej a teplej kvapaliny do nádoby.

Tretia časť je zameraná na reguláciu výšky hladiny v cirkulačnej nádobe s chladičom.

Skladá sa z cirkulačnej nádoby, troch zásobníkových nádob opatrených napúšťacím

a vypúšťacím ventilom, špeciálnym vypúšťacím ventilom a čerpadlom odčerpávajúcim

prebytočnú kvapalinu. Regulácia spočíva v snímaní výšky hladiny, ktorá je vstupnou

veličinou pre riadiaci algoritmus, ten podľa výšky hladiny nastavuje počet otáčok čerpadla

čím reguluje hladinu.


48

Keďže modelová sústava bola navrhovaná ako flexibilná je tu možnosť jednoduchými

zásahmi ju modifikovať a tým vytvárať nové možnosti regulácie.

Táto práca sa zamerala na reguláciu teploty kotla pomocou impulznej regulácie.


49

9. Identifikácia modelovej sústavy z prechodovej charakteristiky

Pri identifikácii modelovej sústavy vychádzame z nameraných hodnôt výstupného

signálu, ktoré sme získali ako odozvu na jednotkový skok.

Postup pri meraní modelu:

- ustálime model a na jeho vstup privedieme jednotkový skok.

- zo získaných hodnôt výstupnej veličiny zostrojíme prechodovú charakteristiku

modelovej sústavy

Prechodovú charakteristiku zidealizujeme a neuvažujeme periodické odozvy sústavy.

Na vstup ustálenej sústavy privedieme jednotkový skok

Jednotkový skok

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-12 38 88 138 188 238

t

u(t

)

Jednotkový skok

Graf 9.1 Jednotkový skok

- meraním získame hodnoty, pomocou ktorých zostrojíme graf prechodovej funkcie sústavy

- z nameraných hodnôt určíme inflexný bod prechodovej charakteristiky - týmto bodom vedieme dotyčnicu - po zostrojení dotyčnice môžeme odčítať jednotlivé časové konštanty Td,

Tu, Tn - z týchto časových konštánt za pomoci vzorcov vypočítavame koeficienty

regulátora


50

Prechodová charakteristika

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 50 100 150 200

čas [s]

Te

plo

ta [

°C]

Prechodová charakteristika dotyčnica počiatocná teplota referenčná teplota

Graf 9.2 Priebeh prechodovej charakteristiky

Tab.9.1 Odčítané konštanty

Tp 67,71

Tu 13,81

Tn 53,9

Ts 50,6

Td 8

k0 48,8

Tu doba prieťahu

Tn doba nábehu

Tp doba prechodu

aproximujeme pomocou vzorca

( )( )

sT

n

S uesT

ksF −

+=

1 (59)


51

Potom pre náš prípad získame vzťah pre obrazový prenos sústavy

( )( )

ses

sF 81,13

19,53

8,48 −

+=

Pre výpočet hodnôt regulátora pomocou empirických vzorcov uvažujeme sústavu 1 rádu

s dopravným oneskorením.

Prechodová charakteristika

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 50 100 150 200 250

Prechodová charakteristika 1 rádu s dopravným oneskorením

Graf 9.3 Priebeh prechodovej charakteristiky 1 radu


52

10. Návrh impulznej regulácie

Impulzná regulácia vychádza z experimentálne nameraných hodnôt teploty v závislosti

na čase. Na získanie hodnôt použijeme jednoduchý program vytvorený v RSlogix 500, ktorý

obsahuje porovnávaciu inštrukciu Less. Na výstupe sústavy odčítavame hodnoty teplôt

v závislosti na čase.

Tref=70°C

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

čas [s]

tep

lota

[°C

]

Graf 10.1 Priebeh teplôt pri referenčnej teplote 70°C

Z nameraných hodnôt odčítame dobu ohrevu a dobu chladnutia. Tieto hodnoty

zapíšeme do nasledujúcej tabuľky (xx) a vytvoríme ich aritmetický priemer .

Tab. 10.1 Namerané hodnoty doby ohrevu a chladnutia pre Tref=70°C, V=1,5L

teplota

[°C]

doba ohrevu

[s]

doba chladnutia

[s]

3,1 7 210

3,2 7 278

2,6 5 230

2,2 4 218

2,2 5 197

Ø2,66 Ø5,6 Ø226,6


53

Doba ohrevu a chladnutia sústavy

69,5

70

70,5

71

71,5

72

72,5

73

73,5

0 50 100 150 200

čas [s]

tep

lota

[°C

]

Graf 10.2 Detailný pohľad na dĺžku doby ohrevu a doby chladnutia

Pre presnejšiu reguláciu vypočítame tepelné straty. Uvažujeme kotol ako ideálne

valcové teleso. Objem vody je 1,5L a požadovaná teplota ohrevu je 70°C.

Obsah stratovej plochy je:

087807513,0061261056,0026546457,0...2..2 2 =+=+=+= vrrSSS plp ππ [m2]

Výpočet súčiniteľu prestupu tepla

045485512,0

07,0

1

35,0

10.45,2

13,0

1

111

13

=

++

=

++

=−

SeSi h

d

h

U

λ

[W/m2.K]

Súčiniteľ prestupu tepla na vnútornej strane konštrukcie

SiSi R

h1

= pre zvislú konštrukciu je RSi=0,13 [m2.K/W]

SeSe R

h1

= pre letné obdobie je RSe=0,07 [W/m2.K]

d hrúbka steny nádoby d=2,45.10-3 [m]

λ súčiniteľ tepelnej vodivosti vrstvy λ=0,35 pre plast


54

Výpočet tepelnej straty prestupu tepla cez stenu pre referenčnú teplotu 70°C

1957011,049.087807513,0.045485512,0.. ==∆= tSUQstr [W]

Merná tepelná kapacita vody

Kkg

Jc

.4186=

Jednotkové odvodenie prepočtu mernej tepelnej kapacity z J na Wh

3600

..3600.3600..

hWJJsWJsW

s

JW =⇒=⇒=⇒=

Merná tepelná kapacita

Kkg

hW

Kkg

hWcWh .

.163,1

.

.

3600

4186==

Potrebná energia

( )21.. ttcmE Wh −= [W.h] (60)

Príkon kotla

τη

EP .

1= [W] (61)

Pre regulovanú sústavu volím ∆T=2°C čo je šírka pásma regulácie.

Potom výpočet doby ohrevu vody z teploty 69°C na teplotu 71°C

( )[ ]( )

[ ]( )

002214684,01957011,098,0.10.2,2

2.163,1.5,1

.

..3

12 =−

=−

−=

Str

Wh

QP

ttcm

ητ [h] => 7,98 [s]

m - hmotnosť vody [kg]

τ - čas potrebný pre ohrev [h]

η - účinnosť ohrevu pre elektrickú energiu je 0,98

t1 - teplota vstupnej vody [K]

t2 - teplota výstupnej vody [K]

Z výpočtu vyplýva veľmi malá tepelná strata, ktorú nemusíme v ďalšom návrhu uvažovať.

Rozdiel medzi vypočítanou a nameranou dobou ohrevu je značný z toho vyplýva nelineárny

výkon tepelnej špirály. Preto v ďalšom návrhu uvažujeme len s nameranými hodnotami.


55

Tabuľka 10.2 nastavovacích parametrov pre impulzný regulátor

Tref=70°C, V=1,5L

Teplota vypínania ohrevu

[°C]

Dĺžka impulzu ohrevu

[s]

Dĺžka impulzu chladnutia

[s]

66,9 4,21 170

Tref=70°C, V=1L

64,9 3 147

Tref=70°C, V=0,5L

63,7 1,59 72

Tref=60°C, V=1,5L

58,8 4,39 274

Tref=60°C, V=1L

54 3,25 201

Tref=60°C, V=0,5L

52,4 1,45 118

Tref=50°C, V=1,5L

47,3 4,44 460

Tref=50°C, V=1L

43,7 2,5 301

Tref=50°C, V=0,5L

41,3 1,5 184

Výpočet dĺžky regulačného impulzu

pre ohrev pre chladnutie

21,42.66,2

6,5.

Øt

Ø

OH

=== poOH

IO tT

T s 1702.66,2

6,226.

Øt

Ø

OH

=== poCH

ICH tT

T s

TIO – dĺžka impulzu ohrevu [s]

TICH – dĺžka impulzu chladnutia [s]

ØTOH – priemerná doba ohrevu [s]

ØTCH – priemerná doba chladnutia [s]

ØtOH – priemerná teplota ohrevu [°C]

tpo – požadovaná šírka regulačného pásma [°C]


56

Výpočet teploty vypínania ohrevu

( ) ( ) 9,66221,370 =−+−=−+∆−= KpoRVO TTTTT °C

TVO – teplota vypnutia ohrevu [°C]

∆T=TN-TR – diferencia nameranej a požadovanej teploty [°C]

Tpo – požadovaná šírka regulačného pásma 2°C

TK – empiricky získaná tepelná korekcia 2°C

Tref=70°C

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

čas [s]

tep

lota

[°C

]

Graf 10.3 regulačný priebeh pre Tref=70°C

Zo získaného priebehu regulovanej teploty je jednoznačne vidno postupná kumulácia

chyby, ktorá ma za následok exponenciálne zvyšovanie regulačnej odchýlky.


57

Zvolili sme si šírku regulačného pásma o šírke ±1°C.

Priebeh regulačnej odchýlky

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 2 4 6 8 10 12 14

počet impulzov

reg

ulačn

á o

ch

ýlk

a [

°C]

Graf 10.4 priebeh regulačnej odchýlky

S prihliadnutím na predchádzajúci spôsob regulácie navrhujem ďalšie spôsoby

regulácie:

– pomocou PID regulátora

– zmenou regulačného algoritmu

Úlohou tejto práce bolo navrhnúť impulzný regulátor preto ďalšie spôsoby regulácie

len načrtneme.


58

10.1. Návrh PID regulátora

Pre návrh PID regulátora vychádzame identifikácie modelovej sústavy z prechodovej

charakteristiky. Sústavu uvažujeme ako sústavu 1 rádu s dopravným oneskorením.

Pre návrh regulátora použijeme nasledovné empirické vzorce:

Regulátor P: d

SRS T

TKKk == .0 ;

PI: d

S

T

Tk .8,00 = ; I

d

I TT

T⇒= 3 ;

PD: d

S

T

Tk

.2,10 = ; D

d

D TT

T⇒= 25,0 ;

PID: d

S

T

Tk .2,10 = ; I

d

I TT

T⇒= 2 ; D

d

D TT

T⇒= 42,0 ;

Tab. 10.1.1Nastavovacie parametre pre PID regulátor

k0 TI TD

Regulátor P 6,325 – –

Regulátor PI 5,06 24 –

Regulátor PD 7,59 – 2

Regulátor PID 7,59 16 3,36

10.2. Zmena regulačného algoritmu

Ďalšia možnosť ako dosiahnuť požadovanú úroveň regulovanej teploty je zmena

regulačného algoritmu. Podstata zmeny spočíva v nepatrnom zásahu do algoritmu namiesto

časovača, ktorý zabezpečuje počítanie doby chladnutia, nahradíme ho porovnávacou funkciou

Less, ktorá nám zabezpečí odfiltrovanie kumulácie chyby spôsobujúcej nárast regulovanej

teploty.


59

11. Záver

Úlohou tejto diplomovej práce bolo navrhnúť školský model tepelnej sústavy a jej

spôsoby regulácie. Model má za úlohu simulovať stavy nastavajúce v reálnych sústavách.

Výhodou modelu je jeho modifikovateľnosť, pričom minimálnym zásahom dokážeme zmeniť

simulačné podmienky čím rozšírime možnosti regulácie pre tento model.

Regulácia je zabezpečovaná pomocou premysleného automatu SLC500 od firmy

Allen Bradley so softwarom RSlogix 500 a jeho následná vizualizácia cez software

RSview32, ktorý nám umožňuje zasahovať do regulačného procesu v reálnom čase, pričom

jeho interaktívnosť nám umožní priamo sledovať zmeny vo vizualizačnom okne.

Obmedzeniami softwaru RSlogix 500 a RSview32 je neschopnosť ukladania dát získavaných

meraním v reálnom čase, čo malo za následok nutnosť použitia rozhrania DDE pre

medziaplikačnú výmenu dát medzi RSlinx a Microsoft excel, kde bola následne vykonávaná

identifikácia sústavy.

Z nameraných hodnôt sme následne získali vzťahy na výpočet dĺžok impulzov pre

impulznú reguláciu teploty. Z dôvodu nelineárneho výkonu tepelného telesa nie je možná

regulácia v takejto podobe, preto ďalej v práci popisujem ďalšie možnosti regulácie, ktoré

budú schopné filtrovať kumulácie chýb vznikajúcich v sústave.

Možnosti regulácie školského modelu tepelnej sústavy sú široké a postačujúce pre

simuláciu stavov vznikajúcich v reálnych podmienkach.


60

Použitá literatúra

[1] Osvald Modrlák: ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ. Studijní materiály http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/modrlak/pdf/tar1_ads.pdf [2] Ján Murgaš: Teória automatického riadenia http://www.kasr.elf.stuba.sk/index.php?go=studij_mat&lang=sk [3] Jaroslav Balátě: Automatické řízení. 2. prep. vyd. Praha: BEN - technická literatúra, 2004. ISBN 80-7300-148-9 [4] Andrea Halasová: Snímače teploty. http://www.kod.vslib.cz/info_predmety/STE/mereni_teploty.pdf [5] Michal Bednár: Nelineárna regulácia teploty s využitím rozhrania pre dynamickú výmenu dát. Žilina: SjF ZU, 2004. 37s. Diplomová práca


61

Ďakujem vedúcemu diplomovej práce Doc. Ing. Fedorovi Kállayovi, PhD. za cenné

rady a informácie, ktoré mi dal v priebehu spracovávania diplomovej práce. Dalej chcem poďakovať Ing. Anna Príkopovej, PhD. za cenné rady a pozornosť, ktorú mi pri vypracovávaní diplomovej práci venovala.


62

Zoznam príloh Príloha č.1 – Výpis komunikačného programu v jazyku Visual Basic

Príloha č.2 – Výpis programu regulácie pre riadiaci systém SLC 500

Príloha č.3 – Technologická schéma sústavy

Príloha č.4 – Bloková schéma sústavy

Príloha č.5 – Prehlaď nameraných priebehov pre rôzne teploty

Príloha č.6 – Vizualizácia sústavy

Príloha č.7 – CD


63

Príloha č.1 – Výpis komunikačného programu v jazyku Visual Basic


1

Dim i As Integer

Dim Zap As Integer

Private Sub opakuj()

Worksheets("1").Activate

Cells.Item(1500, 2).Value = Cells.Item(2, 4).Value

For i = 1 To 1499

Cells.Item(i, 2).Value = Cells.Item(i + 1, 2).Value

Next i

End Sub

Private Sub CommandButton1_Click()

Zap = 1

graf

End Sub

Public Sub WaitForXSeconds(intSeconds As Integer)

Dim datTime As Date

datTime = DateAdd("s", intSeconds, Now)

Do

DoEvents

Loop Until Now >= datTime

End Sub


Zap = 0

graf

End Sub


For i = 1 To 1500

Cells.Item(i, 2).Value = 0

Next i

End Sub


2

Private Sub graf()

Do While Zap = 1

WaitForXSeconds (1)

opakuj

Loop

End Sub

Private Sub Worksheet_Activate()

Zap = 0

End Sub

Private Sub Worksheet_SelectionChange(ByVal Target As Range)

End Sub


1

Príloha č.2 – Výpis programu regulácie pre riadiaci systém SLC 500


1


2


3


4


5


6

Príloha č.3 – Technologická schéma sústavy


7

Príloha č.4 – Bloková schéma sústavy


8

Príloha č. 5 – Prehľad nameraných priebehov pre rôzne teploty


9

Príloha č.6 – Vizualizácia sústavy


10

Príloha č.7 – CD

Documents

DIPLOMOVÁ PRÁCAdiplom.utc.sk/wan/2327.pdf · Žilinská univerzita Diplomová práca KOA - PRAT Fakulta: Strojnícka Katedra: Obrábania a automatizácie Vedúci DP: Doc. Ing. Fedor