INVESTIGACION DE OPERACIONES

Evidencia de aprendizaje. Solucin a problemas de programacin lineal Instrucciones: I) Resuelve los siguientes ejercicios

Ejercicio 1 Considera el siguiente problema.

1.- Utiliza el mtodo de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el mtodo simplex e identifica la solucin BF inicial (artificial) correspondiente. Tambin identifica la variable bsica entrante inicial y la variable bsica que sale. Pasar restricciones a forma estndar agregando segn sea el caso variable de holgura y artificial, y la funcin objetivo se iguala a Zero por lo tanto queda de la siguiente manera

PRIMERA TABLA BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Rengln 1Z-2-5-30MM0

Rengln 2R11-21-11020

Rengln 3R224100150

De aqu se deriva la primera solucin inicial

Debemos volver Zero las M de nuestra funcin objetivo, multiplicando por M los valores del Rengln 2 al resultado le sumamos el valor del Rengln 1 y de estas operaciones obtenemos los valores de nuestra funcin objetivo para obtener la siguiente tabla.BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Rengln 1Z-M-22M-5-M-3M0M-20M

Rengln 2R11-21-11020

Rengln 3R224100150

De la misma forma se realizan las operaciones solo que ahora involucramos al Rengln 1 y 3 para obtener nuestra funcin objetivo para la siguiente tabla.BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Rengln 1Z-3M-2-2M-5-2M-3M00-70M

Rengln 2R11-21-11020

Rengln 3R224100150

2.- Aplica el mtodo simplex paso a paso para resolver el problema. La variable de entrada ser X1 y tomaremos la variable de salida R1 que contiene un pivote = 1BASEX1X2X3S1R1R1SolRazn

Z-3M-2-2M-5-2M-3M00

R11-21-1102020

R22410015025

Volvemos Zero los valores de columna pivote, para esto empezamos multiplicando por 3M+2

Enseguida multiplicamos -2 para continuar

De estos resultados obtendremos la siguiente tabla en la cual X2 entra y R2 sale.BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z0-8M-9M-1-2M-23M+20-10M+40

X11-21-11020

R208-12-2110

Realizamos las siguientes operaciones8M+9 (R3)+(R1)

Continuamos con la siguiente operacin2 (R3) + (R2)

Con los resultados obtenidos de las operaciones formamos la tabla siguiente.BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z00-1.080.25M-0.251.0851.25

X1100.75-0.50.50.2522.5

X201-0.120.25-0.250.131.25

BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z2.8300-1.17M+1.17M+1.83115

X31.3301-0.670.670.3330

X201-0.120.25-0.250.125

BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z4700MM+3150

X324100150

S11601-1130

3.-Utiliza el mtodo de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solucin BF inicial (artificial) correspondiente. Tambin identifica la variable bsica entrante inicial y la variable bsica que sale.4.- Aplica la fase 1 paso a paso. 5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.

FASE 1 MINIMIZAR

BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z0000-1-10

R11-21-11020

R224100150

Realizamos la siguiente operacin para obtener el nuevo valor de nuestra funcin objetivoZ + [1*R1+1*R2]BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z322-10070

R11-21-11020

R224100150

Para convertir a Zero los valores de la columna pivote debemos realizar las siguiente operacinNZ = R1 * -3 + ZNR2 = R1 * -2 + R2As obtenemos la siguiente tabla donde la variable de entrada es X1 y la de salida X1.BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z08-12-3010

X11-21-11020

R208-12-2110

Variable de entrada X2Variable de salida R2Para convertir celda pivote a 1 lo multiplicaremos por 1/8. Adems convertiremos a Zero los nmeros 8 y -2 de nuestra columna pivote mediante las siguientes operaciones.NZ = R2 * -8 + ZNX1 = R2 * 2 + X1BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z0000-1-10

X110-1/245/2

X201-1/8-1/41/85/4

En este resultado se observa la inexistencia de variables artificiales y nuestra solucin se refleja en Zero por lo que damos por terminado la fase 1 y de esta manera nuestra BF inicial seria este resultado.6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. Utilizaremos la solucin factible de nuestra primera fase con la funcin objetivo original, en donde se eliminaran las columnas que hayan albergado a las variables artificiales y nuestra tabla quedara como sigue.

BASEX1X2X3S1Sol

Z00000

X110-1/245/2

X201-1/85/4

Usando el mtodo para maximizar una funcin objetivo obtenemos que la variable de entrada seria X2 y la de salida x2, realizando la siguiente operacin obtendremos la tablaNZ = R3 * 5 + ZBASEX1X2X3S1Sol

Z-20-29/85/425/4

X110-1/245/2

X201-1/85/4

La variable que entra ser X3 y la saliente es X1.Mediante las siguientes operaciones obtendremos la siguiente tabla.Pivote * 4/3NZ = X1 * 29/8 + ZNX2 = X1 * 1/8 + X2BASEX1X2X3S1Sol

Z17/600-7/6115

X34/301-2/330

X21/6101/65

As tenemos que la variable que entra es S1 y la que sale es X2.Mediante las siguientes operaciones obtendremos la siguiente tablaPivote *6NZ = Z + X2 * 7/6NX3 = X3 +X2 *2/3

BASEX1X2X3S1Sol

Z47/600150

X322/31050

S2110130

Ya que no contamos con valores negativos en nuestra funcin objetivo terminan las iteraciones y obtenemos como resultadoSOLUCION PTIMA

7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. Cules de estas soluciones son factibles slo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cules son factibles para el problema real? En los pasos 2 y 6 sern factibles solo para el problema real y tan solo el paso 4 ser factible para un problema artificial.8.-Utiliza un paquete de software basado en el mtodo simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografa encontrars sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

Ejercicio 2 Considera el siguiente problema.

1.- Utiliza el mtodo de la gran M para aplicar el mtodo simplex paso a paso a fin de resolver el problema. Pasar restricciones a forma estndar agregando segn sea el caso variable de holgura y artificial, y la funcin objetivo se iguala a Zero por lo tanto queda de la siguiente manera

PRIMERA TABLA donde podemos apreciar la primera solucin bsica de inicio.BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Rengln 1Z-3-2-40-M-M0

Rengln 2R12130106

Rengln 3R2335-101120

Con la siguiente operacin obtendremos la nueva funcin objetivo:NZ = Z + [M + R1 + M * R2]BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z-3+5M-2+4M-4+8M-M00126M

R12130106

R2335-101120

La variable de entrada ser X3 y la de salida ser R1.Mediante la realizacin de las siguientes operaciones podremos obtener la siguiente tabla.Pivote * 1/3NZ = pivote * 4-8M + ZNR2 = pivote * -5 + R2 BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z-1/3-1/3M-2/3+4/3M0-M4/3-8/3M08-110M

X32/31/3101/302

R2-1/34/30-1-5/31110

De nueva cuenta tenemos que la variable de entrada ser X2 y en la de salida tomaremos R2.Mediante las siguientes operaciones debemos obtener la siguiente tabla.Pivote * 3NZ = Z + PIVOTE * 2/3 4/3MNR2 = R2 PIVOTE * -4/3

BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z1-3M02-4M-M2-32/9M012-118M

X22130106

R2-30-4-1-31102

Al observar los resultados en la tabla nos damos cuenta que ya no queda ningn resultado positivo que pudiera servir como variable entrante y an queda un numero positivo en la solucin por lo que se toma por determinar que el problema no tiene solucin.2.- Emplea el mtodo de las dos fases para aplicar el mtodo simplex paso a paso y resolver el problema.

FASE 1 MINIMIZAR

BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z0000-1-10

R12130106

R2335-101120

Para obtener la nueva funcin objetivo y la siguiente tabla realizamos la siguiente operacinZ + [1 * R1 +9 1 * R2]

BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z548-100126

R12130106

R2335-101120

En funcin de estos resultados nuestra variable entrante ser X3 la que sale R1Con las siguientes operaciones debemos obtener la nueva tabla.Pivote * 1/3NZ = Z + PIVOTE * -8NR2 = R2 + PIVOTE * -5BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z-1/34/30-1-8/30280/3

X32/31/3101/302

R21/34/30-1-5/31-1200

Ahora tendremos una variable de entrada X2 y una variable de salida X3Y al realizar las siguientes operaciones obtendremos la tabla final, que alberga un resultado.NZ = Z + pivote * -4/3NR2 = R2 + pivote * -4/3BASEX1X2X3S1R1R1Sol

Z-30-4-1-40356/3

X22130106

R2-30-4-1-31-1208

Debido a que el valor mnimo de nuestra suma es positivo esta ecuacin no tiene solucin factible.3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. Cules de esta soluciones son factibles slo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cules son factibles para el problema real? Paso 1: Factibilidad para el problema realPaso 2: En la fase primaria solo resulto factible para una solucin artificial, mientras que en la fase 2 si se refleja como factible para un problema real.4.- Utiliza un paquete de software basado en el mtodo simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografa encontrars sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

REFERENCIAShttps://www.youtube.com/watch?v=lgh1aANj0qEhttps://www.youtube.com/watch?v=zrBrb2Vyk5U