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DINÂMICA DE ESTRUTURAS RETICULADAS SOB CARGAS
MÓVEIS PELO MtTODO DAS MATRIZES DE TRANSFERENCIA
MARS1LIO DE ALENCAR SÁ LEITÃO
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDE
RAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PA
RA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE F,M CTtNCIAS M.Sc.
Aprovada por:
V' PAULO ALCÂNTARA GOMES
Presidente
FERNANDO LUIZ LOBO B. CARNEIRO
FERNANDES VILLAÇA
CARLOS HENRIQUE HOLCK
Rio de Janeiro - Brasi i
AGOSTO - 19 79
I
LEITÃO, Marsilio de Alencar Sá
Dinâmica de Estruturas Reticuladas sob car
gas Móveis pelo Método das Matrizes de Transf~
rência. [Rio de Janeiro] 1979.
VII, 162 p., 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., En
genharia Civil, 1979).
Tese - Universidade Federal do Rio de Janei
ro. COPPE/UFRJ
1. Dinâmica de Estruturas. I. COPPE/UFRJ.
II. Titulo (Série)
II
Dedicação
À minha mae
À minha esposa
III
AGRADECIMENTOS
Ao professor Paulo Alcântara Gomes pela sugestão e
orientação do tema.
Ao professor Fernando Luiz Lobo Barbosa Carneiro p~
ia orientação acadêmica durante o curso.
A todo o corpo docente da COPPE pelos ensinamentos
recebidos.
À direção do Departamento de Engenharia Civil da U
niversidade Federai de Pernambuco por toda ajuda e incentivo
que nos concedeu para que concluíssemos nosso curso e o traba
lho de tese.
IV
SINOPSE
O objetivo deste trabalho ii obter coeficientes de im
pacto para estruturas reticuladas submetidas a cargas móveis,
tomando como base o mitodo das matrizes de transferincia.
São apresentados os conceitos do mitodo utilizado,os
processos de obtenção das matrizes requeridas pelo mesmo, um
programa automático em linguagem Fortran desenvolvido para es
ta análise e o manual de utilização do mesmo.
O programa foi desenvolvido para o computador
Burroughs 6700 do Núcleo de Computação Eletrônica da UFRJ.
V
ABSTRACT
The aim of this work is to compute impact
coefficients for structures subjected to moving loads
using the Method of Transfer Matrices.
This study presents the concepts of the method
used, the process used to evaluate the required matrices,
an automatic Fortran Program developed for this analyses
and its user's manual. Are too presented some exemples
of application,
The program was developed for Burroughs 6700
computer of the Eletronics Computational Center of UFRJ.
VI
ÍNDICE
Pdg.
CAPÍTULO I - Introdução.., .............. "........................... 1
CAPÍTULO II - O método das Matrizes de Transferência...... 5
II.1 - Vetor de Estado........................... 5
II. 2 - Matriz de Transferência................... ?
II. 3 - Generalização da Matriz de Transferênaia. . 7
II.4 - Matriz Fronteira .......................... 10
CAPÍTULO III - Desenvolvimento do Método .................. 12
III.1 - Considerações Gerais ..•••.•..••.•..•.• , ... 12
III.2 - Obtenção da Matriz de Transferênaia ••.... 13
III.2.1 - Processos Existentes .•..•........ 13
III. 2. 2 - ApliCaçdo do Processo Esaolhida.. 14
III.3 - Obtenção da Matriz Fronteira ............. 27
III.J.1 - Generalidades .................... 27
III.3.2 - Ausência de Descontinuidades ..... 30
III.3.3 - Cargas nas Juntas ..•............. 31
III .. 3. 4 - Deformações Impostas............. 32
III. 3. 5 - Apoios Elásticos .. ,.............. 33
III. 3. 6 - Ramificações• ....... ,............ 35
III. 3. 7 - Liberações Generalizadas......... 39
III.3.8 - Massas Concentradas em Vibração .. 4J
III. 4 - A Análise da Estrutura................... 46
III. 4 .1 - Generalidades.................... 46
III.4.2 - O Sistema de Equações ••••• , ...... 48
III.4.3 - Análise Estátiaa ••••• , ••••••••... 50
III.4.4 - Andlise das Vibrações Livres .•... 51
VII
Pág.
III. 4. 5 - Análise das Vibrações Forçadas...... 54
III.4.6 - Cálculo dos Coeficientes de Impacto. 63
CAP 1TU LO IV - O Programa Au tomá ti ao •• ••••.••.• ,. • , . . . • . . . . . . 67
IV.1 - Considerações Gerais, ••••.••••.••.....•..... 67
IV.2 - Fluxograma Geral e Subrotinas •••••.•........ 68
IV.2.1 - Tratamento de Dados ..•.••.•••.•.•.... 68
IV.2.2 - Análise Estática •••••••.••.••..•..... 70
IV.2.3 - Vibrações Livres .•..•................ 73
IV.2.4 - Análise Dinâmica e Coeficientes de
Impacto. . . . . • . . • . . . . . • • . . . . . • . . • . • . . . 7 5
IV. 2. 5 - Mensagens de Erro das Subrotinas . •• · · 7 8
IV. 3 - Estrutura dos Dados ..••••.....•.. ,........... 80
IV.3.1 - Considerações Gerais ••••.•...•.•..... 80
IV.3.2 - Fluxograma de Entrada de Dados••••··· 82
IV.3.3 - Cartões de Contrôle •..••..•••••...... 84
IV.3.4 - Cartões de Identifiaaçào ••.•••.•••... 85
IV. 3. 5 - Cartões de Definiçào Geral,.•· •• ··•·· 86
IV. 3. 6 - Cartões de Definiçào dos Elementos... 8.9
IV. 4 - Listagem do Programa .............. ,.......... 91
CAPITULO V - Exemplos e Conclusões ......................... 1 31
ANEXOS: ....•..•.. •. •. •. • ••• •. • • ••• • • •.' • ••.••••. ••' •. • ...... 152
A.1 -Notações Utilizadas•••···············--······ 152
A. 2 - Bib liogPafia ............ , .... , , , .......... ·- .. · · .. •· .. ,, · · · · · · 1t9
CAPÍTULO I - Introdução
O objetivo deste trabalho é o de apresentar um pr~
grama automático capaz de analisar uma estrutura reticulada a
porticada, fornecendo-nos coeficientes de impacto para a mesma
quando sobre ela se deslocar uma carga concentrada com veloci
dade constante. Trata-se assim de uma análise dinâmica com a
consideração de cargas m3veis.
Como a estrutura é constituida de barras as quais
estão dispostas sequencialmente, procuramos utilizar no traba
lho um método que aproveitasse essa caracteristica. Optamos en
tão pelo método das matrizes de transferência.
Desde há muito largamente utilizado na Fisica, êle
foi introduzido no cálculo estrutural há aproximadamente três
décadas e meia e hoje já começa a ter ampliado o seu campo de
aplicação. Os primeiros trabalhos apresentados devem-se a Falk
(1) e (2) e Fuhrke CJ); logo a seguir aparecem trabalhos de
Pestel ou deste em colaboração com Falk, dos quais foi gerado
o livro "Matrix Algebra in Elastomechanics" que consta de nos
sa bibliografia. Mais recentemente então começaram a apare
cer trabalhos de pesquisa com a aplicação do método a proble
mas especificas.
Desses apresentamos alguns: (4), C5), (6), C?) ,
( 8), (9) e U O J •
Em têrmos nacionais temos o trabalho de Eldon Lon
de Mello "Análise de Estruturas Reticuladas pelo Método das Ma
1
trizes de Transferência", o qual também consta de nossa biblio
grafia.
A vantagem principal do método é trabalhar com ma
trizes de pequenas dimensões e, através de produtos das mes
mas, reduzir o problema ao estudo de uma Única "barra represe!:_
tativa da estrutura"
Estabelecendo-se as condições de equil{brio e com
patibilidade nos apoios extremos chega-se a um sistema de equ~
ções de pequenas dimensões e fácil solução. Uma vez resolvido
o sistema, percorre-se toda a estrutura barra por barra seque!:_
cialmente a partir de um extremo, obtendo~se uma análise deta~
lhada da mesma.
Um resumo teórico do método é apresentado no capí
tulo II, e no cap{tulo III fazemos um estudo detalhado da a
plicação do método ao nosso caso espec{fico, Mostramos a{ co~
mo obter as matrizes de transferência e fronteira usadas pelo
mesmo e a maneira pela qual é abordada a estrutura nas várias
fases da análise.
No cap{tulo IV fazemos a apresentação do programa
automático e do manual de utilização do mesmo, Exemplos eªº!:.
alusões- são apresentados no capitulo V, segu·indo-se os anexos
com a lista de simbolos utilizados e a bibliografia consultada..
UJ Falk, S.
"Die Berechnung des beliebig ge::,ttltzten Durcnlauftrélgers
nach dem Reduktions-verfahren" - Ingenieur Arcniv, v, 24,
pp 216/232, Berlin, 1956.
2
C2l Falk, s.
"Die BereoFmung 8ffener RahmentraguJerke naoh dem
Reduktionsverfahren" - Ingenieur Arohiv, v. 26, pp 61/80,
1958.
( 3) Fuhrke
"Bestimmung Von RahmensohuJingungen mit Hilfe des
Matrizenkalkflls" - Ingenieur Arohiv, v. 24, pp 27 /42,Be::._
lin, 1956.
(4) Munshi, R.K.
"Vibration Analysis of Planar Frames" - Dissertation
Abstraots, v. 30: 3(B), Ph. D. Thesis, Oklahoma State
Univ., 1968.
(5) "Beams on Disorete, Nonlinear Elastio Supports" - Journal
of the s·truoture Division, ASCE, v, 95, n9 ST11, Nov,
1969, pp 2335/2351.
(61 Tuma, J.J. and Alberti, G.
"Statio Parameters of Beam on Elas tio Foundations" -
Publ's, Int'l Assoo. for Bridge & Struot. Engrg.,v,30-1,
1970, pp 247/264,
[7) Pultar, M.
"Solution of Simple Canonical Folded Plates by Transfer
Matrioes" - BulZ. Int. Assoo. for Shell Struotures, n944,
Dec. 1970, pp 39/42.
CB) Yosàida, H, and Imoto, Y.
"Ine lastic Lateral Buck ling of J/estrained Beams" - J, Engrg.
Mech. Div., ASCE, v. 99 n9 ST2, April 1973, pp 343/366.
(9) Lianw, T.C. and Leung, K.W. (Univ. of Hong Kong)
"Torsion Analysis of Core Wall Structures by Transfer
Matrix Method" - The Structural Engineer, v. 53, n9 4,
April 1975, pp 184/194.
CIO) Yoshida, H; Nethercot, D.A. & Trahair, N.S. (J(anazawa
Univ. Japanl
"Analysis of Lateral Buckling of Continuous Beams" -
IABSE Periodicals 2/1977, May 1977, IABSE Proceedings
p- 3/77 pp 14 ,
4
CAPÍTULO II - O Método das Matrizes de Transferência
No método das matrizes de transferência os três ele
mentos básicos são o vetor de estado,a matriz de transferência
e a matriz fronteira.
II.1 - Vetor de Estado
Numa estrutura tem-se em uma junta ou numa secçao
qualquer de uma barra~um igual número de ações e deslocamentos
associados. Se a estrutura é considerada no espaço tem-se pois
seis açoes (A) e seis deslocamentos (D). Ver figura 2. 1.
Se dispusermos esses doze elementos num vetor, tere
mos o vetor de estado do ponto.
{V} = . {D, A}
O vetor sera referido ao sistema local de eixos
(XM. YM. ZM) quando se tratar de uma seaçao de uma barra (fig
2.1) e ao sistema global (Xs, Ys, Zs) quando se tratar de uma
junta (fig. 2. 2).
As notações { V } • e J
{ V } . •· representam respecJ, o
tivamente o vetor de estado da junta "j" e o vetor de
da secção "j" da barra "i"
estado
5
6
fig. 2 .1
Ys
k
fig. 2.2
II.2 - Matriz de Transferência
A matriz de transferência é o operador que nos pe~
mite determinar o vetor de estado em uma secçao "k" de uma
barra "i" em função do vetor de estado conhecido em uma sec
-çao "j" da mesma barra.
Denominamos rTl . este operador e temos: - -1,
{ V }k · = rTl · { V } • • ,1.- --1.,. J,'l,
C2.1)
onde [T]i e uma matriz quadrada, denominada matriz de trans
ferência da barra "i", cuja ordem é igual ao n~mero de ele-
mentos no vetor de estado.
Os elementos de [T]i sao funções das caracter{~
ticas geométricas e mecânicas da barra como veremos adiante,
no capítulo III.
II.3 - Generalização da Matriz de Transferência
Na figura 2.3 mostramos uma sucessao de "n,, bar
ras sem descontinuidades na passagem de cada uma para a se-
guin te. Nestas condições podemos garantir que:
( 2. 2)
=·{v}k2 , ( 2. 3)
7
{ V } . = J,n {v}kn-1 , ( 2. 4)
mas a eq. 2.1 permite escrever:
. { V }k 1 = [T]l . Í V } . 1 , J,
( 2 • .5)
{ V } . 2 J, e 2. 6 J
{ V } . 1 J,n-( 2. 7)
{ V } k = [T] { V } . ,n n J~n
( 2. 8)
Tendo-se em conta a equaçoes (2.2) a (2.4) e fazendo-se as
substituições sucessivas das equaçoes (2.51 a (2.8), cada
uma da. posterior, chega-se ao resultado:
Se supusermos agora estas "n" barras formando uma parte "i"
de uma estrutura delimitada pelos n5s extremos "j"
poderemos escrever (fig. 2.3):
{ V } . 1 J,
{ V } . . J, 1,
{ V }k ,n { V }k . , 1,
, e consequentemente
{ V } • • J, 1,
e "k"
(2.9)
8
onde
(2.10)
Conclui-se pois que a matriz de transferência do trecho "i"
da estrutura será obtida pelo produto das matrizes de trans
ferência das barras que a compoem.
( 1 J ! 21. J
1 k 2
( 31 k
j
( 41 ! n-11 ( nl. J
3 k j tr-1 k
fig. 2.3
9
n
!n+11 k
II.4 - Matriz Fronteira
Num aaso mais geral a hipótese iniaial do item an
terior não sera v5lida; pode-se ter v5rios tipos de desaonti
nuidades entre aada barra e a seguinte. Com isso as equações
(2.2) a (2.4) perdem sua validade e devem ser substituidas
por equações de aompatibilidade as quais podem ser expressas
de duas maneiras:
1) = . { VF } l + . { V } k l-1 , (2.11)
onde · { VF} l e denominado vetor fronteira da secçao "l"
2) . { V } . , J, (,
(2.12)
onde [F] l é denominada matriz fronteira da secção "l ",
e e uma matriz quadrada de ordem igual ao n~mero de elemen
tos dos vetores de estado.
Adotamos neste trabalho a forma (2) porque envolve
apenas produtos de matrizes da mesma ordem.
to de
Suponhamos um trecho "i" de uma estrutura campo~
"n" barras. Substituindo as equações do tipo (2.12)
nas equações (2.5) a (2.8) e relaaionando-as entre si, cheg~
mos ao resultado:
10
11
mas, lembrando que:
{ V } . 1 = { V } . . e J, J, 1,
{ V } K .. = { V }k . temos ,n , 1,
{ V }k . rTl · { V } . . (2.13) , 1, - -1, J, 1,
onde
C2.14)
CAPÍTULO III - Desenvolvimento do Método
III.1 - Considerações Gerais
A apliaação do método das matrizes de transferên
cia a uma estrutura requer que partamos de um extremo da mes
ma, seguindo um aaminho preestabelecido, até um outro extremo
também fixado.
Esse aaminho é denominado aaminho prinaipal, sendo
as demais partes da estrutura aonsideradas ramifiaações domes
mo, apareaendo aomo desaontinuidades nos nós onde aom êle se
aoneatam.
Nosso trabalho estuda estruturas retiauladas pla-
nas aomo por exemplo a da fig. 3.1. Nesta estrutura tomaria-
mos aomo aaminho prinaipal o peraurso A E CD E F, sendo as
partes CG e DH aonsideradas ramifiaações
B C D E ---------~--------~--------~
A G H F
fig. 3.1
12
O carregamento aplicado~ estrutura consiste em uma carga
concentrada vertical se deslocando com velocidade constante
ao longo do trecho horizontal do caminho principal.
O estudo do comportamento dinâmico de uma estrutu
ra pelo método das matrizes de transferência, visando a ob
tenção de coeficientes de impacto, requer inevitavelmente a
sua resolução inúmeras vezes, resultando na repetição desne
cessaria de muitos passos. Para melhorar o desempenho dom{
todo, dividimos então o caminho principal em três partes,que
denominamos respectivamente de caminho principal inicial, ca
minho principal intermediaria e caminho principal final.
Essas partes correspondem, na mesma ordem aos tre-
chos AB, BE e
exemplo da figura
EF do caminho principal, se tomarmos o
3.1. As matrizes de transferência dessas
partes são obtidas separadamente e armazenadas, evitando a
repetição dos calculas a cada passagem pelas mesmas. Além
disso podemos· subdividir o caminho principal intermediaria em
partes e trata-las também separadamente. No exemplo dado es
sas partes seriam os trechos BC, CD e DE.
III.2 - Obtenção da Matriz de Transferência
III.2.1 - Processos Existentes
Podemos obter as matrizes de transferência das b4r
ras de três maneiras diferentes:
13
al Pela integração da equaçao diferenaial do elemento estrutu
ral
b) Com a apliaação da.s equações da Resistência dos Materiais
al A partir da matriz de rigidez do elemento.
Vamos apliaar em nosso desenvolvimento a.s equaçoes da Resistên
aia dos Materiais, por serem mais simples e objetivas.
III.2.2 - Apliaação do Proaesso Esaolhido
O vetor de estado numa seação qualquer de uma barra de pórtiao
no espaço e dado por:
1 V} = . { X, Y, z, q,, e , e , N, Q , Q , Mt, M , M , 1} y z y z y z
ou
. {V}= {D, A, 1 } (fig. 3.2)
O déeimo-teraeiro elemento, unitário, é usado para compatibili
zar o vetor de estado aom a.s matrizes fronteira e de transferênaia,na.s quai.s
apareaerão uma linha e aoluna adiaionais, devidas respeativamente aos aarre
gamentos apliaados nos nós e nos vãos da estrutura.
j~-~--~~--'--------;. k X,N
fig. 3.2
14
A segui'r apresentamos o desenvolvimento ge:raal para
obtenção dos elementos do veto:r> de estado do no "k" de uma
barra em função dos elementos do vetor do nó "J" da mesma.
Isto acarreta naturalmente a geração da matriz de transferên
cia da barra.
Suponhamos inicialmente a barra sujeita ao carrega
mento da fig. 3. 3 .
y
a
j
z
M RZ
X
fig. 3.3
k X
1 5
As condiç5es de equilíbrio da estatica nos d5o:
a) Qsy + Qjy + p + IX Py (;t) dzt = o y
o
Qsy = - Q. - p - [ P/>i do JY y
b)M +M. -Q .. x-P(x-a)+M sz JZ JY y ez
M = sz
M. + Q • x + P Cx-a) JZ JY y
Os deslocamentos associados
c) M sz
= EJ- dx z
-sao:
M ez
ou
3. 1)
ou
e i. 21
e SZ B. JZ
= 1
EJ z
M. + Q. x + P Cx-a) + JZ JY Y
, donde:
2 2 Cx-aJ ·x X P,,(x-a)
e = e. M. + -- Qjy + M + SZ JZ EJ JZ 2EJ ez EJ z z 2KJz z
1 6
1 + --
dl
EJ z
dy
r o
- M
ys
rr o o
= e dx sz
dy y Y. = s J
( x-a) + __J_ ez EJ EJ z z
= Y. + e. X -J JZ
r ~;, 2 X M. + X
EJ JZ 2EJ z
o
[[ p y ( x) x dx 2 J dx
2 3 X M. X Q. + +--
2EJ JZ 6EJ2
JY z
2 ,:, r r r - M Cx-a) 3 + Py Cx) x dx
ez 2EJ2 o o o
( J. J)
2
Q. + p ( x-a) + JY y 2EJ 2 z
ou
p ( x-a)~ + y 6EJ z
( J. 4)
Considerando agora o esforço normal e a deformação axial asso
ciada, de acordo com a fig. J.4, vem:
Equação de equilíbrio
e) N + N. + N , j".r,!& o ou s J e
o
N - - N. N r,,x!d, ( J. 5) s J e
o
Pela lei de Hooke, a deformação axial vale:
17
dll ; sdx ; 0 dx ; E
N s
EA X
Dal podemos escrever:
dx
f/ J: d,• x, - Xj º 1:
X -
2 n(x)dx
N s
EA X
dx + a LlT x ou,
+ allTx +
C3. 6)
Para o esforça Q2
e sua deformação associada Z, podemos
obter de imediato as expressões, através de permutação clcli
ca dos eixos y e z, como se segue, de acordo com a fig. 3.5
y
.õ.T,o<
•
n (X l k X X
2 fig. 3.4
18
1 9
y
X
M ey s
j / k X il /
/ /
/ /
/ /
fig. 3.5
g) Qsz - Qjz - p rv,c,; dx (3. 7 1 z
o
rx
h) M = M. + Q. X + p Cx-a) M + J 0
p 2 Cx lx dx (3.8) S2 JY JZ z ey,
2 2
i) e = e . X M. X Qjz + p (x-a)
+ sy JY - EJ JY + 2EJ z 2EJ y y y
(x-a) 1 r rxpz(x}:x 2
- M EJ + EJ dx (3.9) ey
y y o !o
2 3
j) z = z . + e. X M. X Q. + X - 2EJ + 6EJ s J JY JY JZ y y
2 r r rp,,,J. 3 Mey(x-a) + p (x-a) 1
dx 3
(3.10) 6EJ 2EJ +
EJ z y y y
o o o
Para a oonsideração do momento torsor e sua rotação asS"oo·ia
da, temos pela fig. 3.6:
k) M + M + M +
\
rxmdx = o ts tj te ou
) o
= - U.111
Sabemos entretanto que:
dq, = dx , donde:
l) 1:d• • •, - •; • )',,,;, (-M,; - ",, - mxi d, ,, o
M -te (3 .1 21
De posse dessas doze equaçoes, seis de des looamentos· e seis d.e
esforços·, podemos obter a matriz de transferênoia das barras,
relacionando o vetor de estado na abscissa "x" oom o vetor
de estado no extremo "j". Entretanto nos interessa partiou
larmente relacionar OS" vetores de estado dos extremos da bar
ra. Fazendo então x=l nas expreS"soes (3.11 a (3.121 e re-
20
y
a s
m k X
X
fig. 3.6
escrevendo-as sob forma matricial, vamos obter o sistema de e
quaçoes:
r D !
,- -TDD TDA TDC D
A ; TAn TAA TAC A
1 o o 1 1 k,i - _J j,i (3.13)
onde as submatrizes destacadas terão as composições abaixo:
21
2.2
- l 1
-.1 o o o o o
o .1 o o o o
o o 1 o o o
o o o 1 o o (3.13-A)
o o o o 1 o
o o o o o 1
- -
(3.13-B)
í 1
1 -
-i o o o o o EA X
o i 3
o o o -i' 6EJ 2EJ z z
o o i3 o i' o 6EJ 2EJ y y
(3.13-C)
o o o -i o o GJX
o o -i 2 o -i 1
o 2EJ EJ y y
o i' o o o -i 2EJ
2 1 l EJ
1
z
- -
23
- --e 1 o o o o .o
o -1 o o o o
o o -1 o o o
o o o -1 o o (3,13-D)
o o -z o -.1 o
o 1
o o o o -1 -
-Ne U-a) 1 j re(e)a.' EA + at:.TZ EAX X
o
P (.Z-a) 3 (Z-a) 2 j j z
- M 1 py(x)xdx
3
y 6EJ ez 2EJ + EJ z z z ) o
p C Z-a) 3
- M (Z-a) 2 1
1 1 / Z 3 z 6EJ ey 2EJ + EJ
p2
(x)xdx y y y
{TDC} ; o
M (Z-a) - mZ 2
te GJ 2EJ X X
2 j [p,(e)ed,' p CZ-a) - M
rz-a) 1 + z 2EJ ey EJ EJ
y y y
P {Z-a) 2 - M
(Z-a) 1 j l 'p (e)ed,' y 2EJ EJ + EJ ez z z z ) y
o ·, (3.13-E)
- N Jl nCxldx
1 e
o
- p - JlpyCxldx y o
- p - J l p z (x) dx z o
{ :r AC} = J - M - ml r te
- M + p e l-a) + Jl p z Cxldx ey z o
- M + P Cl-a) + Jlpy(x)dx
J
(3.13-F) ez y o
Entz•etanto esta matriz foi gerada no sistema local de eixos
coordenados e precisamos obtê-la com relação aos eixos glo
bais da estrutura.
Primeiramente obtem-se a matriz três por três de rotação para
o caso tridimensional. No caso mais geral, temos:
24
,- -
e e e X y z
-cxc1/1os S-C
2_s:en8 -e e .aos S+c y Z X
senS
lc 2 + e 2 lc 2+C 2 aosS / e 2 + e 2
X z X z X z
C C senS-.C aosS .e .e senS+C aosS X y Z
_/ e y Z X
2+C 2 senB lc 2 + e 2 X z lc 2 + e 2
X z X z - -
onde:
Cx, Cy e C2
são os aossenos diretores do eixo loaal xM em
relação aos eixos globais (fig. 3.7).
S i o ângulo entre o eixo yM e o plano vertiaal que aontêm
os eixos e ou seja: define a orientação dos eixos
prinaipais da barra.
Quando devido a orientação da barra no espaço, o ã!'.!.
gula S for de dif{ail determinação, usa-se obtê-lo atravês
das coordenadas ( x AS' Y AS'' z AS), em relação ao sistema g lo
bal, de um ponto A contido no plano xM YM
Neste aaso tem-se:
sen S = e aos S =
/ x~s + z~s
A matriz total de rotação tem a forma:
-e y
2·5
2 "6
'(
/ / i / ZAS 1 / -r··-~ - ---- /
.Y -----1/ !As.... - -= - - - - ----------
/
fig. 3.7
r [Rj 1 1 -
o o J
o [RJ o o
o o [R] o
o o o [R] - -
A matriz de transferência rotacionada sera obtida então pela
-expressao:
(3.14)
III.3 - Obtenção da Matriz Fronteira
III.3.1 - Generalidades
A matriz fronteira é definida diretamente em rela
çao ao sistema global e tem a finalidade de relacionar os ve-
tores de estado das extremidades das barras que se conectam
em um no. Deverá portanto levar em consideração todas as po~
s{veis descontinuidades que existam nos esforços ou deslocamen
tos, quando se ultrapassar o n6. Na figura 3.8, duas barras
se conectam em um n6, e podemos escrever:
. { V } . ·+1 J, 1, , ou particionando as matrizes:
27
- -
D i FDD FDA FDC D
1 A = FAD FAA FAC A
1 o o 1
- - k,i
Os vetores · {F DC} e ·{FAC } constituem o que denominamos de
vetor de cargas da matriz fronteira.
~-2
M
-
I
~z M
fig. 3.8
k
28
Desenvolvendo {3.J5l, chegamos a;
{D} . . 1 J,1,+ {A }k . +
• 1, (3.16)
(3.17)
Essas serão as equaçoes basicas para o estudo dos casos que se
seguirão.
Como os dois vetores· de estado envolvidos em C3.15l referem-se
ãs extremidades das barras, consequentemente os vetores das a
ções atuantes na junta serão
- { A } . ·+1 J. 1,
e
Se denominarmos simplesmente de {A}, qualquer outro vetor de
ações atuantes na junta. poderemos escrever a equação geral de
equil{brio na mesma.
:..{ A } . • l - { A } k • + { A } ; { O } J,1.-+ ,1..-
• ou
{A} .• l + {A}k. {A} J, 1,.+ , 1.,
Dai obtem-se o vetor de ações procurado. · {A} . . _1
. J. 1,+
equaçoes de equil{brio dos casos seguintes já serao
na forma obtida acima.
Todas as
escritas
29
III.3.2 - Ausência de Descontinuidades
Neste caso escrevemos:
{D} .. 1=.{D}k. J, 1,..+ , 1,..
{A} .• l + {A}k. = {O} J, 1,..+ , 1,..
Comparando (3.16) e (3.18) concluimos de imediato:
~Dizj = [r]
~D,J = [º]
{F DC} = ' o } t
Comparando (3.17) e (3.19) concluimos tamb[m:
~ Aizj = [O]
~A.J=-[r]
Consequentemente a equaçao (3.151 toma a forma:
[ D )
A =
1 . . 1 J,1,+ '
-I
o
o -
-o o
-I o
o 1
-
3,0
(3.18)
(3.19)
III.3.3 - Cargas nas Juntas
Suponhamos que na junta i+l esteja aplicado um ve
tor de cargas {P}i+l (fig. 3.9)
A equaç;o de equillbrio neste caso e:
{A} j, i+l + {A} k, i = . { p} i+l
{A}j,i+l = -{A}k,i + {p}i+l (3. 20)
Comparando as equaçoes (3.17) e (3.20), concluimos:
A equaçao (3.15) toma a forma:
--D I o o D
A = o -I p A
o o 1 ,_ -1 j,i+l 1
k,i
31
III.3.4 - Deformações Impostas
Se impusermos à junta i+l um vetor de deformações
{ td.·+1' (fig. 3.10), . { ld. ·1· ;{ li , li , ó ,li , li , li } . l " 1,+ X y Z . XX yy ZZ 1,+
e escrevermos a equaç;o de compatibilidade:
(3.21)
poderemos concluir por comparaçao entre (3.16) e (3.21), que
A equaçao (3.15) sera ent;o escrita:
' D
-li 1 I o D
= A o -I p • A
1 o o 1 1 j,i+l - - k,i
Ys
p
--~/,
zz
fig. 3.9
p XX
k
32
i+1 :+<.--•
fig.3.10
III.3.5 - Apoios Elásticos
k
Em uma junta provida de apoios elásticos (fig.3.11),
as reaçoes
deslocamentos
{D} Dz, Dxx' } .
Se denominarmos de
de mola dos apoios, poderemos escrever a equação:
· {R}; - [x] ·{D}, onde [x] é uma matriz diagonal.
34
-K o o o o o X
o K o o o o y
o K z o o o
o o o K o o XX
o o o o K o yy
o o o o o K zz
A equação de equil'Íbrio neste aaso e:
{A} .. 1+.{A}k. J,t.+ ,1,
{ R } , ou
{A}. ·+1; {R}- {A}k. 'd J,t. ,t., ou ai,n a
{ A } . . 1 J, 1,+ ; - [K] {D }k . - . {A }k .
., '2., ., '2., (3. 22)
Comparando (3.17) e (3.22) aonaluimos que
[?Azz] ; - [K] e podemos esarever a equação (3.15) na forma
D I o /', D
< A -K -I p A
1 j, i+l
o o 1 J l
l 1 L ) k • , 1,
• 3 -- Rx Rxx - - ' ~- ' ' ' J
~ j~
~z k
xs
fig. 3.11
III.3.6 - Ramificações
Nossas ramificações sao trechos da estrutura que po
derão ser constituidos de várias barras e cuja ligação de apoio
poderá ser de qualquer tipo.
Ela será abordada segundo a sequência normal do me-
todo das matrizes de transferência, partindo do nó de apoio
(que chamaremos ponto Cl at5 encontrar o nó de conexão com o
caminho principal Cque chamaremos ponto B 1. Usando as ma-
trizes de transferência das barras já rot~cionadas para o sis
tema global teremos- um sis·tema de equações na forma:
35
, ou particionando
-TRJ TRl TR2
' A ; TR3 TR4 TRA
o o 1 L
Mas num apoio de pórtico no espaço há sempre seis componentes
que, ou são nulas, ou podem ser relacionadas a outras.
Deste modo po,demos· reduzir em seis unidades o número de colu
nas da matriz ~;ii] e o número de e Zemen tos do vetor de esta
do em C.
Tomando o exemplo da figura 3.12, vamos então desprezar as
submatrizes [:'R] e os deslocamen
tos {D} do vetor de estado em e.
Ficaremos com:
~a
- -
.~
TR2 TRD
TR4 TRA nB t e o 1
L
B
e
fig.3.12
36
Desenvolvendo o sistema, ~em:
. f } ,D E
{ } = 1r"1 { } ÍT } A B [Ri) A C + RA
Como nao estamos· considerando carregamentos atuando nas rami
ficações, temos:
Eliminando , { A } C entre as equaçoes acima chegamos a expre~
-sao:
ou
(3.24) , com
Esse procedimento sempre é possível desde que grupemos de mo
do conveniente respectivamente as colunas da matriz de trans
ferência e os elementos do vetor de estado não eliminados.
Tomando a fig. 3.13 podemos escrever a equação de equil{brio
no nó i+1:
{ A } j • i+ 1 + { A } k, i = • ou
. {A} .. 1 +·{A}k. = J, 1.,+ , 1,.
Mas a equaçao de compatibi.lidade no nó i+-1 nos diz que:
31
, donde podemos escrever:
{A} .. 1 + {A}k .. J,t-+ - .,i. [s]{D}k,i , ou
{A} . . 1 J, 1,+
{ A ) k . - [ S] { D }k . ., 'l, , 1.,.
(3.25)
Comparando (3. 1?) e (3. 25) vem:
[?Aaj = - [s]
Com isto a equaçao (3.15) toma a forma:
- -D I o /:i D
A = -K-S -I p A '
o o 1 J -1 j,i+1
1 k,i
Poder{amos inclusive ter mais de uma ramificação por no, bas
tando para isto aplicarmos o processo repetidamente para cada
ramificação. Superpondo os resultados ter{amos
{ A } k • , 1,
, ou
. { A } • • 1
+ { A } k • = - [s] . { D } k . J,t-+ J1.,. .,t-
, com
l [s] = ,:
i=1
38
i+1 i+ 1 j
----,-----k I j k
1 1
B
e
fig. 3.13
III.3.7 - Liberações Generalizadas
No método das matrizes de transferênaia, a introduçào
de liberações nào é um problema simples; isto se de1)e ao fato
de essas liberações serem introduzidas relati1)amente ao siste
ma global e nào ao loaal aomo em outros aasos.
Basiaamente podemos abordar o problema de dois modos
diferentes:
a) Pelo proaesso da eliminaçào
Com este proaesso trabalha-se aom as matrizes de
transferênaia e os J)etores de estado respeativamente aom sua
ordem e seu numero de aomponentes inalterados. Entretanto e
neaessário, sempre que se enaontrar uma liberação, fazer um re
arranjo total na matriz de transferênaia e no vetor de estado,
para le1)á-la em aonsideraçào. Isto naturalmente aaarreta uma
sofistiaaçào de programaçâo e um trabalho aomputi:wional adiaio
nal exaessi1)os.
39
bl Pela redução de ordem das matrizes
Este processo só é aplicável quando ao longo de to
da a estrutura, todas as- Juntas com liberaç5es- contenham sem
pre um número constante destas.
Supondo que esse número seja "K" e que a ordem
das matrizes de transfeência e o número de componentes dos ve
tores de estado seja ,,n", pode-se passar a trabalhar em toda
a estrutura com vetores de Cn-2K) componentes e matrizes de
ordem (n-2K) x Cn-2K). É bom entretanto lembrar que a exigê'!2_
eia inicial retira do processo a generalidade.
Pelos motivos anteriormente citados, resolvemos en
tão utilizar um processo aproximado, mas que é geral, simples
de aplicar em matrizes de transferência e que dá resultados
bem aproximados.
O processo consiste em substituir a Junta por uma
barra (fig. 3.14), impondo-lhe duas condiç5es:
V Ter comprimento infinitamente pequeno
.2) Ter inércia infinitamente pequena
i+ 1 --------------------------j k j k
j p k i + 1
j k j k
fig. 3.14
40
Se escrevermos o sistema que relaciona os vetores de estado
dos extremos "j" e "k" da barra "p,, ., tePemos:
onde as submatrizes sao definidas do mesmo modo que em (3.13-A)
a (3.13-D).
Assumindo a primeira condição, com o comprimento de "p" ten-
dendo para zero, teriamas anulados todos os elementos nao uni
tários das submatrizes, ficando com o sistema:
iIJolfvl raFl Glj,p
cuja matriz pode ser interpretada como uma matriz fronteira
no caso de nao haverem descontinuidades,
Entretanto é preciso anular os esforços correspondentes as li
berações feitas. Usando a segunda condição vemos que,para ca
da liberação efetuada um elemento da diagonal de E'vA] nao
se anula, mas cresce infinitamente. Por exemplo, se liberar-
mos a rotação em relação ao eixo "y ri ., e , precisaremos anu y
lar o momento correspondente M y
nos vetores de estado.
Recorrendo &s matrizes (3.13-A) e (3.13-C), podemos escrever:
e . JY
z2 2EJ
y M
y , ou
41
desprezando o termo quadr&tico,
ekj -· e . l M Dai ; - EJ vem:
JY y y
-reky - e. 1 l M ; JY o ; ;
EJ 00 ;
Yyy y l y
EJ y
Naturalmente infinito s·ignifica um numero muito grande e zero
um número muito pequeno. Para um computador que trabalha com
12 algarismos significativos, zero seria 1 0- 1 3 e infinito
seria 1013
Com isto nossa matriz ~ DA] fica com a forma:
~'-~'-j_·--~~- o
-
o
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
o o o o Yyy o
o o o o o o '- -
Procedendo anàlogamente em relação a outras liberações, novos
elementos deste tipo apareceriam na diagonal.
Encarando agora a nossa matriz como uma matriz fronteira na
forma da equação (3.15), teremos o sistema:
4,2
4.3
D ' -
FDC -1 FDD FDA D
A = FAD FAA FAC A
o o 1 - -
1 j,i+1 1
k,i , visto que
.
D D D D
A , = A r e
l~-
= A
l 1 k,p
1 Jj,i+1 l 1 k,i e onde , J,P
no caso mais geral:
- -yx o o o o o
o Yy o o o o
o o yz o o o
o o o yxx o o = [ y] = [,,]
o o o o Yyy o
o o o o o Yzz
- -
Agora a equaçao (3.15) toma a forma:
( D - -
I y Í',
, . D
A = -K-S -I p A
o o 1 - -1
j, i+l 1 k,i
III.3. 8 - Massas Concentradas em Vibração
Na fase da análise dinâmica, mais uma descontinuida
de aparece, quando consideramos as massas discretas em vibra
çao. Surgem então esforços dinâmicos em função do quadrado da
frequência de vibração (fig. 3.15}
, onde
Al = M w2 D1
A2 = M w2 D2
A3 = M w2 D3
A4 = I w2 D4 X
A5 = I w2 D5 y
A6 = I w2 D6 z
y l ºs· As
D2,A2
i+1
k
X
fig.3.15
44
Sob forma matricial temos:
- 1 -MW 2 o o o o o
o MW2 o o o o
o o MW 2 o o o [v] = o o o I W2 o o
X
o o o o I W2 o y
Lº o o o o I f/ 2
z -
As equaçoes de compatibilidade e equil{brio na junta i+l sao
respectivamente:
{ D } . ·+1 J, 1,
-{ A } . . 1 J, 1,+
{ D }k . , 1,
.:.{A}k . . {A} .3 t, ;::;: w
. { A }k i - [vJ ,
, ou
{ D }k . , 1,
Comparando (3.17) e (3.26), concluimos que:
(3.26)
[?Azil =-[v] e pode-se escrever a equaçao (3.15) na forma:
D
~ y /', - D 1
A = f K:S ~v -I p .A
1 . j, i+l o 1 J 1 k, i
45
III.4 - A Análise da Estrutura
III.4.1 - Generalidades
A nossa análise visando o cálculo de coeficientes de
impacto, se compoe de quatro partes como veremos adiante.
Todas as partes fundamentalmente se baseiam em per
correr a estrutura, conforme descrevemos em II.1.
Uma vez subdividido o caminho principal em trechos
faz-se uso da equaçao 2.14 para obter as matrizes de transfe
rência dos mesmos.
As matrizes são obtidas levando desde já em conta o
fato de que, na análise dinâmica os elementos das mesmas sao
funções da frequência de vibração. Com isto, para cada elemen
to são obtidos e armazenados todos os coeficientes dos têrmos
que o comporao em função das potências da frequência.
Do mesmo modo são obtidas e armazenadas as matrizes
fronteira dos nós que conectam os trechos considerados.
Pode-se então relacionar os vetores de estado dos ex
tremos do caminho principal através de uma equação do tipo da
equação 2.13. Se tomarmos o exemplo da figura 3 .. 1 teremost
onde:
(3.28)
[T] = tF], [!AfFJ. E'M3]. l!R2]. l?M2]. ~R1]. [!M1J. l!:r&l. ~IJ
46
As matrizes aaima sao:
a) Matrizes de transferênaia
[T] - Do aaminho prinaipal
[TF]- Do aaminho prinaipal final
[TM]- Do aaminho prinaipal intermediário
[TI]- Do aaminho prinaipal iniaial
b) Matrizes fronteira
[FIM] - Do no que aoneata os aaminhos prinaipais iniaial
e intermediário.
[FMFJ - Do nó que aoneata os aaminhos prinaipais interme
diário e final.
[FR1] - Do nó onde se aoneata a primeira ramifiaação.
[FR2] - Do no onde se aoneata a segunda ramifiaação.
A equaçao matriaial (3.27) representa um sistema de
equaçoes algébriaas que uma vez resolvido fornece os vetores
de estado dos extremos da estrutura. Uma vez estes aonheai-
dos peraorre-se novamente a estrutura, agora barra por barra,
obtendo-se os vetores de estado em todos os nós.
47
III.4.2 - O Sistema de Equações
O sistema de equaçoes obtido, na forma da equaçao
(3.27) pode ser flicilmente resolvido para as condições de con
torno dos apoios extremos-.
Nossos vetores de estado têm treze componentes, se?!_
do a décima-terceira unitária; mas em se tratando de juntasde
extremidade existem seis componentes nulas ou conhecidas en-
tre as doze primeiras. Com isto a matriz do nosso sistema se
reduz à ordem ?x?, sendo as sete colunas selecionadas a par~
tir da lista de restrições do apoio inicial do caminho princi
pal e as sete linhas selecionadas a partir da lista de restri
ções do apoio final do mesmo.
1--tl 1
t21
t31
t41
t51
t61
o ~
O sistema então encontrado pode ser escrito:
t 12 t13 tl 4 tl 5
t22. t23 t24 t25
t32 t33 t34 t35
t42 t43 t44 t45
t52 t53 t54 t55
t62 t63 t64 t65
o o o o
t 16 tlc
t26 t2c
t36 t3c
t46 t4c
t56 t5c
t66 t6c
o 1
--
- 1
o
o
o
o
o
o
1
e podemos reduzir sua ordem para 6x6, fazendo:
4 '8
- -tll t12 t13 tl 4
1 \s t16
t21 t22. t23 t2.4 t t 2.5. .2.6
r V 1 \ tl a o
t o v2 2a
t31 t32 t33 t34 t35 t36 v3 + t3a o =
ou
t41 t42 t43 t44 t45 t46 v4 t4a o
t51 t52 t53 t54 t55 t 5.6 v5 t5a o
t61 t62 t63 t64 t65 t66 v6 t 6a o
~ - J 1
donde:
_! = - [T] { T }
a
Com isto se obtém o vetor de estado do apoio iniaial Cnó 1) e,
retornando ao sistema de equações iniaial podemos
o do nó final.
determinar
Os vetores de estado dos demais nos sao obtidos per
aorrendo-se a estrutura barra a barra.
49
III.4.3 - Análise Estática
O objetivo nesta parte é obter os valores dos máxi
mos estáticos na estrutura e determinar os pontos em que iles
ocorrem. O procedimento e simples e eonsi'ste em colocar o car
regamento S'UCessivamente em cada junta do trecho a ser perco:!:_
rido, resolvendo toda a estrutura para cada uma dessas posi-
-
J çoes
5 6 8 9 10 11 12 13 .
4 18 14
3 19 15
2 20 16
21 17 ', ,, ,, / , , ,
fig. 3.16 Na figura acima, no caso mais geral, resolveriamos
a estrutura nove vezes com a carga localizada respectivamente
nas juntas de número 5 a 13. Localizada diretamente sobre a
junta a carga aparece no método como uma descontinuidade,
utilizada na geração da matriz fronteira da mesma junta.
-e e
A sequincia de operações necessárias na análise es
tática compreende exatamente os t5picos já analisados anteri
ormente neste Capitulo e no anterior.
Podemos então passo a passo ir selecionando os valo
res máximos procurados. Naturalmente será tanto melhor ore-
sultado final, quanto maior for a discretização utilizada pa-
ra a estrutura.
III.4.4 - Análú,e das Vibrações Livres
Nesta parte o objetivo é obter as frequências natu-
rais de vibração da estrutura. Visando a uniformidade do tra
balho, procuramos utilizar apenas os recursos do método das
matrizes de transferência.
A solução do problema de autovalores resulta sempre
em se procurar valores da frequência que anulam um determina~
te obtido do sistema de equações da estrutura com a aplicação
das condições de apoio da mesma.
Utilizando a estrutura discretizada em massas pont~
ais sempre localizadas nas juntas, fazemos com que os efeitos
dessas massas em vibração atuem como descontinuidades nas mes
mas, participando da geração dae matrizes fronteira.
Para estruturas simples ae frequências podem ser ·en
con tradas com certa facilidade, nQtando-e.,e porém que o aumento
da complexidade traz dificuldadee anal{ticas proibitivas.
No exemplo abaixo, com a aplicação da equação (2.13)
temos:
51
1 m 2 o EJ 1 EJ 2
k
fig.3.17
Considerando apenas os esforços Me V e suas defo~
maçoes associadas, todas as matrizes serão 4X4 Montando-as
e efetuando as operações matriciais chega-se ao sistema de e
quações que, com as condições de contôrno referentes aos apoios
extremos, fornece finalmente o determinante.
1 p2
l( 2 + p2
+ 2 6)
= o
1
~' kl
3 (2 p' l p2 kl 3 4 p2
I + 12) 1 + 6 --C- + 36) EJ EJ 3
onde p2 mW 2 l 3
= EJ
Da{ obtem-se:
2
w = EJ 7 m,
3 + 8Kl 3 /EJ
l + ?Kl /12EJ
Com o cresci~ento do número de massas discretas have
ra uma tendênci·a dos- elementos da matriz do sistema a se torna
rem polinomios de grau 2n, onde "n" e o núme~o de missas Pº!!
tuais. Levando-se isto em conta e tambilm o fato de no caso
mais geral o determinante ser de ordem maior que a do exemplo,
tem-se uma idéia da complexidade do problema.
Em vista disso é frequentemente mais aconselhável a
dotar um processo numérico para resolução do problema.
O processo consiste em dar valores numéricos a fre
quência incrementando-a passo a passo e, seguindo a sequência
normal do método das matrizes de transferência, montar o sist~
ma e obter o determinante já em forma numérica a cada passo,
Uma mudança no sinal do mesmo significa a vizinhança
de uma frequência natural. Voltando ao passo anterior, diminu
indo o incremento e repetindo-se o processo consegue-se restrin
gira amplitude do intervalo. Finalmente uma interpolação nos
dá uma boa aproximação da frequência procurada.
LÕgicamente o processo nos fornece os autovalores em
ordem crescente a partir do fundamental. No nosso trabalhou-
tilizamos sempre no máximo cinco aütovalores.
53
III.4.5 - Análise das Vibrações Forçadas
Nesta parte, a análise dinâmica propriamente dita,!:±.
samos uma variante do método da superposição modal, visando u
ma melhor adaptação ao método das matrizes de transferência.
Procuramos trabalhar com os autovalores encontrados
na parte anterior, sem que seja preciso obter os corresponden
tes autovetores. Para isto analisamos a estrutura separadame~
te para cada autovalor, e superpomos os resultados,
Esta análise visa obter os valores dinâmicos máximos
que ocorrem nos" mesmos pontos e direções em que ocorreram os
máximos estáticos.
O carregamento vai se deslocar sobre a estrutura com
uma velo cidade constante mas que pode assumir quatro valores d!:_
ferentes calculados em função do período fundamental,
l I =
V PF 2 onde as letras significam:
v - velocidade
l - comprimento de uma barra pré-"escolhida
PF - período fundamntal
I - parâmetro que pode variar de 1 a 4
O efeito dinâmico do movimento é introduzido através
dos vetores de carga das matrizes fronteira dos nós extremos da
barra q"ue es"tiver sendo percorrida,
A carga ao se movimentar faz variar as açoes equiv!
54
lentes de extremo da barra [fig. 3 .18 l.
As· equações que regem essa variação sao obtidas da
maneira abaixo:
y 1-1
1 lp ~ ~ ~-~-------~---~-----~
/}, 1 '' X //_,.'·----------~~~
// p1
x=v.t ·1 P3 ., ~z
l
fig. 3.18
Supondo deslocamentos virtuais nodais · {u}. no in-1. ,
terior da barra "i II vão surgir des loeamentos · { uI }i , tais
que
(3.29)
onde:
lª11(x) ª12(x) a 13 (.x) ª14Cx)
[a] = l "" e,; ª22 (xl ª23(xl ª24(x} , sendo:
55
56
ª11 CxJ 1 Sx 2 2x 3
= - T'2 + V--
ª1 2 CxJ 2x 2
+ x3
= X - T2 l
ª1s Cx) s·x 2 2x 3
= -z-,- - rr
ª1 4 (x) x2 x3
= - r + V
a 21 (x J = 6x
+ 6x 2
- p: T3
ª22(x) = 1 4x +
Sx 2
- yr-l
a 23 Cx) 6x 6x 2
= T2 - V
ª24Cxl 2x Sx 2
= - + T2 l
O vetor das aargas externas -e { p 1
of , e deve haver equivalên-
aia dos trabalhos virtuais deste aom o das forças nodais equi_
valentes
(S.SO)
Usando (3.29) e (3.30) chegamos a:
(S. S1)
Efetuando o produto e usando as expressoes dos elementos de
[a] já conhecidas, temos:
pl 1 ·3x 2 2x 3
- -,- + z3 l . { pi} ; ; p
p2 2x 2 ·3x 3 X - -- + T l
P3 3x 2 2x 3
-l2 l 3
p4 x2 x' + ?! l
)
Como a velocidade e constante, temos x ;v.t, donde finalme~
te:
P 1 Ct) 1 3v 2t 2
+ 2v 3 t 3
- l2 l 3
p P 2 CtJ
vt - 2v 2t 2 + v 3 t 3
l ~
(3.32) P3 (t)
3v 2t 2 2v 3 t 3
l l
P4 Ct) v2t2 v 3 t 3
+ ~
l l
57
Para obter a~ expressoes dos deslocamentos associa
dos correspondentes, usamos· então as integrais de DuhameZ. A
obtenção dessas integrais parte da suposição de que um esfor
ço qualquer PCt) de variação geral, (fig. 3.19), atuando s:,:
bre uma estrutura, pode ser analisado como uma série de im-
pulsos. O incremento de deslocamento 6x para um tempo
t(t > T}, devido ao impulso I = P(T)6T aplicado no tempo ~
é dado por
6x = P(Tl~T sen W(t-T) MW ,
de modo que para a série de impulsos resulta:
X 1
MW P(T) sen WCt-T)dT ,
que e a expressao da integral de Duhamel.
P(tl
o
fig. 3.19
(3.33)
t
58
Como as equaçoes dos· esforços no nosso· aaso sao polinomiais, as
integrais (J.331 se subdividem em paraelas de fáail resolução,
que sao os aasos abaixo:
a) Função aonstante
P(tJ
Po 1---------
t
D(t} 1 p o
= Mw·-V(l - aos Wt)
b) Função linear do tempo
P< tl
PCtJ =•.t
D(t} = 1 MW
sen Wt) w
fig.3.20
(3.34)
fig.3.21
t
(3.35)
59
c) Função quadr&tica do tempo:
P(tl
PCtl=b.t2
D(t) = 1 b (t2 + 2cosWt MW W w2
d) Função cúbica do tempo:
P< t l
D(tl = 1 MW
3 P(t J=c,t
t
t
2 ) "?
Bt l w2
fig.3.22
(3.36)
fig.3.23
(3.37)
Assim os des.Zocamentos Di(t) associados a Pi(t) ttm as ex
pressoes:
6()
r 1 ~
2 ·2,:,osWt ~) D1 Ctl = [1 - cosWtl - 3v Ct2 + + MW Wl 2 1,!2 1,! 2
2 3 . 3 B·s·enWt 6t 1 1 + -2._(t + Wl 3 w' w2 J
C:3.38)
1
~ senNt) 2v 2 2 2cosWt 2 D2 (t) MW Ct - -- Ct + w2 -) + w Wl w2
v' 3 6senWt 6t) l (3.39) + --Ct +
w' Wl 2 w2
1 ~v2 2 2cosWt 2 2v 3 3 (3.40) D
3(t)
MW wz:,Ct + w7J + Wl' Ct + w
+ 6senWt _ 6t) J W' w2
1 ~v2 2 2cos Wt ~) 3 3 (3.41) D4 (t) = -Ct + + _v_Ct + Mfl Wl w2 w2 Wl
+ 6senWt - §_j;_) J f,/l f12
A Val'iação do tempo é feita atl'avés de inol'ementos
constantes constituidos pol' uma fl'ação do pel'{odo fundamental,
Com o tempo atual, obtem-se os valol'es numél'icos dos
esfol'ços e. dos deslocamentos que, convenientemente dispostos,
vão constituir os vetol'es de cal'ga instantâneos das matl'izes
61
fronteira do elemento considerado.
A cada incremento de tempo tôda a estrutura é resol
vida, sendo encontrados e armazenados os valores dinâmicos de
sejados. Sempre que o carregamento transpõe um nó situando-se
sobre a barra seguinte, a contagem dos tempos é reiniciada to
mando-se como valores iniciais para os esforços e deslocamen
tos, os resultados obtidos pela resolução da estrutura no exa
to instante em que o carregamento transpõe o no, Isto signifi_
ca que o referencial dos tempos e sempre fixado em relação ao
início da barra sobre a qual se encontra o carregamento,
Para uma mesma velocidade adotada, todo o processo e
repetido em separado para cada um dos autovalores, sendo então
superpostos os resultados. Com isto se obtem linhas de influ
ência dinâmicas para os pontos analisados com as quais se pode
calcular os coeficientes de impacto correspondentes à velocida
de adotada.
O mesmo procedimento é seguido para as demais veloci
dades, de maneira que se tem também uma idíiia da variação dos
coeficientes de impacto com este parâmetro.
62
III,4.6 - Cálaulo dos Coefiaientes de Impaato
Pela análise já descrita, aonlíecemos os valores dos
máximos estáticos bem como os pontos e direções em que ocor-
rem. Conlíecemos· também os máximos valores dinâmicos que oco~
rem nos mesmos pontos e direções quando o aarregamento sedes
loca a veloaidade constante.
Podemos então, para cada velocidade, calaular os va
lares dos coeficientes de impacto aorrespondentes.
Várias assoaiações e instituições apresentam fórmu
las para cálculo de coeficientes de impacto em estruturas su
jeitas a cargas móveis. Apresentamos a seguir algumas das
mais importantes:
a) RILEM - The Internacional Union of Testing and Research
Laboratories for Materials and Struatures.
= O, 4 Q l + 1 + 0,2l + 1 onde:
Q - coeficiente de impacto
l - comprimento do vão aonsiderado, em metros,
GT -Carga permanente total no vão aonsiderado.
P ~ Carga móvel total no váa
6.3
bl AREA - American Railway Engineering Association.
Q ; 1 oo 3l 2
s + 40 - 1.600 para l < 80 ft
Q ; 1 O O + 16 + 60 O s Z-30 para Z > 80 ft
onde:
Q - percentagem aditiva para as oargas
l - comprimento do vao em pes
s - distânoia em plJs entre as vigas longitudinais.
Como no nosso caso só há uma viga, a distância s
infinita e a primeira parcela das expressões desaparice,
c) AASHO - Amerioan Association of State Highway Officials
Q ; 50 < O. 30 l + 125
onde:
Q - peroentagem aditiva para as tensões estáticas
-e
l - oomprimento do vao oonsiderado, em pes, A expressão foi
desenvolvida baseando-se em um valor máximo de 400 pes
para l.
d) DIN-1072, Norma Alemã
Q; 1,4 - 0,008 l > 1, O , onde
64
Q - Coefiaiente de impaato
l - aompri'mento do vao em metros. Vale notar que o aompri
mento máximo admitido pela expressão é l = 50m
e) ABNT - NB2/1961 - CÕ.laulo e Exeaução de Pontes de Conareto
A1'mado
e.1) Em elementos de pontes rodoviárias-
Q = 1,4 - 0,007 l > 1.0
e.2) Em elementos de pontes ferroviárias
Q = 0,001(1600 - 60 ~ + 2,25ll > 1,20
onde:
Q aoefiaiente de impaato
l - aomp1'imento do vao em metros.
De um modo ge1'al podemos ent1'etanto dize!' que os ao
efiaientes de impaato va1'iam numa faixa de J,10 a J,75,
quando ap liaamos· essas exp1'es·sóes-.
Uma obse1'Vação impo1'tante é que em nenhuma das ex
p1'essóes ap1'esentadas- apa1'eae a veloaidade de des-loaamento
do aa1'1'egamento; é de se supor que tenha sido adotada uma
faixa no1'mal de veloaidades, ent1'e 60 e 80 Km/h,
No aap-Ítu lo de Exemp Zos· e Conalusóes p1'oau1'a1'emos fa
ze1' um 1'elaaionamento ent1'e nos-s-os- 1'es-ultados- e os que ob-
65
temoB das expressoes aci~a. embora a maioria delas nos diva
lores do coeficientes de impacto para aB cargas, enquanto que
nós calculamos coeficientes para esforços e deslocamentos, Em
estruturas lineares, iBto i possfvel, embora de maneira apro
ximada.
66
CAP!TULO IV - O Programa Automático
IV. 1 - Considerações Gerais
Segundo o que foi descrito nos capítulos II e III,
procuramos desenvolver um programa automático para a análise
de nosso tipo de problema.
O programa foi implementado em linguagem Fortran no
computador Burroughs B6700, podendo entretanto ser facilmen
te adaptado a outra máquina através de pequenas modificações.
67
IV,2 ~ Fluxograma Geral e Subrotinas Utilizadas.
IV.2.1 - Tratamento de dados
1 N !CIO
LÁSTICOS
GERACÃO DOS
ARQUIVOS DE
JUNTAS E BAR-RAS
MONTAGEM DAS
MATRIZES DE
ROTACÃO '
68
Subrotinas Utilizadas
1 - ITEBT : verifica a validade dos códigos dos cartões de
dados.
2 - CABP
3 - CONCA
4 - CONCB
5 - PEDE
6 - PEDJ
7 - PEJR
8 - PEJL
9 - PEVR
10 -COMPR
imprime os cabeçalhos nas listagens
testa consistincia de dados gerais da estrutura
e emite mensagens de êrro, conforme relação a
nexa.
testa consistência de dados dos elementos e emi
te mensagens de êrro conforme relação anexa.
gera os arquivos de barras.
gera os arquivos de juntas.
assinala juntas com ramificações.
assinala juntas com liberações.
monta os vetores de rotação das barras.
calcula comprimentos das barras e grava
res de rotação.
veto-
69
IV.2.2 - Analise Estatica
MATR. OE TRANSF.
DAS PARTES DA
ESTRUTURA
MATRIZES
FRONTEIRA DAS
l'tAMIFICAC6'ES •
CARREGAMENTO
ASSUMltJ 00
P OSI CÕES .
-----COEF. DOS
ELEM. DAS
MATRIZES
VETORES OE CAR
}---------~ GA DAS MATRIZES
N
FRONTEIRA
R ES OLUCÃO . DA
ESTRUTURA
PESQUISA DOS
MÁXIMOS
ESTÁTICOS
70
Subrotinas Utilizadas
1 - TRANS
2 - FRONT
J - MLTP
4 - INERC
5 - LEDIS
6 - GEMAT
7 - IGUAL
8 - INVER
monta matriz de transferência das barras no sis
tema global.
gera matriz fronteira das juntas para qualquer
descontinuidade.
efetua multiplicação de matrizes.
verifica se a inércia ;J constante ou variável no
trecho de estrutura considerado,
retira do disco os coeficientes dos elementos
das matrizes de transferência armazenados.
com os coeficientes lidos por LEDIS, gera as m~
trizes de transferência de acordo com a frequên
cia atual.
faz a matriz do segundo parâmetro igual a do prf
meiro.
inverte matrizes de qualquer ordem bem como qua!
quer sub-matriz das mesmas, utilizando o método
da partição.
71
9 - CONAP: aplica condiçàes de contôrno da estrutura as ma
trizes da mesma.
10 - CPARA pesquisa vetor de mS.ximos estS.ticos da estrutura.
72
IV,2.3 ~ Vibrações Livres
INCREMENTANDO ...--~
A FREQUÊNCIA
MATR. DE TRANSF.
DAS PARTES DA
ESTRUTURA
OBTENÇÃO DO
SISTEMA DE
E QUACÕES .
N
MAZENADOS
1
1
1 _________ _J
s
N
7.3
s
74
Subrotinas Utilizadas
1 - MLTP jd menoionada
2 - IGUAL idem
3 - LEDIS idem
4 - GEMAT idem
5 - CONAP idem
6 - DETER oaloula determinantes pelo Matado do Pivot.
IV. 2. 4 - Análise Dinâmica e cálculo dos Coeficientes de Impa~
to
CÁLCULO 00
PER(ooo
FUNDAMENTAL
CALCULO
DAS
VELOCIDADES
VALORES DA
VELOCIDADE
VALORES DAS
FREQUÊNCIAS
BARRA
CARREGADA
POSICÃO
DA CARGA
75
CÁLCULO OOS
~~~~~~~~~~~~~~___j VALORES
CÁLCULO OOS
VALORES
1 N IC IAI S
CALCULO DOS
COEF I CIENi E S
OE IMPACTO
RESULTADOS
N
N
DINÂMICOS
PESQUISA
MÁXIMOS
DINÂMICOS
76
Subrotinas Utilizadas
1 - MLTP : já menoionada
2 - FRONT idem
3 - TRANS idem
4 - INERC idem
5 - LEDIS: idem
6 - GEMAT idem
7 - IGUAL idem
8 - INVER idem
9 - CONAP idem
10 - CPARA idem
11 - VECAR: gera vetores de oarga dinâmiaos- para as matrizes
fronteira.
12 - DINAM: gera linhas de influênaia dinâmioas para os pon
tos e s-tudados.
7?
IV,2.5 - Mensagens de Erro das Subrotinas CONCA e CONCB
Sempre que essas subrotinas deteatam um erro nos da
dos em um aartão, o mesmo é impresso e é dada uma das mensa
gens que se seguem:
1 - Conteúdo de aampo exaedendo Limite máximo.
2 - Número de barras omisso, inválido ou exaedendo Limite.
3 - Número de ramifiaações omisso ou inválido.
4 - Número de aampos nos aartões /NBR, /NRI ou /NRF nao
aorresponde ao aartão //NR, ou algum aampo nesses aar
tões é inválido ou exaede Limites.
5 - Código de inéraia omisso, inválido ou fora de espeaifia~
-çao.
6 - Numeração de junta omissa, inválida ou exaedendo Limite,
7 - Campo no aartão /PIN omisso, inválido ou exaedendo limi
te.
8 - Campo no aargao /PME omisso, inválido ou exaedendo Li
mite.
9 - Campo no aartão /PFI omisso, inválido ou exaedendo li
mite.
78
10 - Coordenada de junta ou rigidez de apoio elástico omissa,
inválida ou excedendo limites.
11 - Áreas de secçao, momentos de in5rcia ou módulo de elas
ticidade omissos, inválidos ou excedendo limites.
12 - Intervalo de numeraçao dado em cartão de definição de e
lemento exoede o valor 6.
79
IV.3 - Estrutura dos Dados
IV.3.1 - Considerações Gerais
A entrada de dados para o programa é feita com a u
tilização de cartões de controle, além de três outros tipos
de cartões, que aonstituem os bloaos a seguir:
1 - Cartões de Identifiaação
2 - Cartões de Definição Geral
3 - Cartões de Definição dos Elementos
A leitura dos aartões deve obedeaer a esta ordem g~
ral, embora para aada bloao êlea possam estar em ordem qual
quer, omitidos ou repetidos aonfoi•me o aaso.
Cada cartão é identifiaado por um código mnemôniao
de quatro caracteres a aomeçar da primeira aoluna. A quinta
coluna é utilizada 7ara aomplementar o aódigo com o aaracter
,,.=,, ~ quando neaessário.
Nos Lay-outs dos cartões convencionamos denominar
por I e R respeativamente, as variáveis inteiras e reais.
Alguns códigos usam as variáveis Il, I2 e T3, que
terão a{ o mesmo signifiaado das três variáveis da dealara
çao DO da linguagem FORTRAN, ou seja: os valores dos campos
que se seguem no aartão, deverão ser us a.dO's para todas as ba~
ras ou juntas auja numeração variar ent1•e Il e I2, a inter-
80
valos I3. Entretanto, no nosBO trabcí ho sempre eonsidera1•e
mos I3 ; 1, ou seja: sd utilizaremos os reeurs·os deste ear
tão para elementos de numeração seqi:eneiaZ.
A exeeçãO dor. eartões de eontrôle ., todos os que se
iniciam eom "* 11, se referem às juntas.
B1
IV.3.2 - Floxograma de Entrada de Dados
1 N I CIO
IEST
IDENTIFICACÃO 1--..! DA '
ESTRUTURA
'*
DEFINIÇÃO GERAL DA ESTRUTURA
'*
82
/ ES T
DEFINIÇÃO DOS
ELEMENTOS
'*
/ IMP
/ EXE
8.3
/ FIM
CALL EXI T
IV,3,3 - Cartões de ContrÕZe
-( , ) / EST --{ 2 ) '* --( 3 ) / EXE
( 4 ) /IMP
-( 5 ) / FIM
U) - Inicio da leitura de dados- da estrutura, ou de uma no-
va: estrutura.
(2) - Final de um bloao de cartões.
(3) - Inicio da analise da estrutura
[4) - Comando para impressão dos vetores de rota;ão das bar
ras (_opcional I.
(51 - Final da analise.
8 4
IV. 3. 4 - Ca:r>tÕés de Identificação
1 5 80
1 CÓDIGO 1 1
1 80
1 CARTÃO COMENTÁRIO
1
Os ca:rotões de identificação são opcionais e se usa~
dos devem se:r> seguidos de um ca:rotão· comentá:roio,
Os códigos usados podem se:r> //Cl, //C2 e //C3, p~
dendo se:r> usados simultâneamente, po:roém sem :r>epetições. O
conteúdo dos cartões comentá:roio se:roá imp:r>esso no cabeçalho.
8 ,p
IV,3.5 - Cartões de Definição Geral
u.)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(?)
(8)
C9)
(1 O)
(11)
U2J
U3)
( 14)
(15)
U6l
(1?)
U8)
///N
/PIN
/PME
/PFI
//NB
/NBR
/NBI
/NRF
/INE
*LRR
*LRE
•LRD
*•LX
•*LY
**LZ.
•LXX.
•LXY
•LZZ
I
I I
I I
I I
I
I
I I
I I
I .
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I
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I I I I
I I I I .
I I I I
I I I I
I I I I
I I I I
I I I I
I I I I
I I I I
I I I I
I I I I
86
... .I 1 1
... I
-
... r\
... I
... I
... .I
... I
... I
U l - Número de barras na estrutura
C2l - Dados da estrutura principal inicial
Número de barras
NÓ inicial
- Barra inicial
(3) - Dados da estrutura principal intermedi&ria
- Número de barras
- NÓ inicial
- Barra inicial
(4) - Dados da estrutura principal final
- Número de barras
- NÓ inicial
- Barra inicial
- NÓ final
- Barra final
C5) - Número de ramificações
(6) - Número de barras nas ramificaçeos
C7) - Dados- das ramificações
- NÓ inicial
Barra inicial
(8) - Dados das ramificações
NÓ final
- Barra final
81
(9) - Define a variação da inircia na estrutura
I = 11 Toda ela com inircia constante
I = 21 Estrutura principal intermediária
variável
I = 22 - Toda ela com inircia variável
UO)- Lista de restriçoes do apoio da ramificação
I = 1
I = O
Direção fixa
Direção livre
-com inercia
(11)- Lista de restriçoes do apoio da esquerda da estrutura
(Idem, item 101
(12)- Lista de restrições do apoio da direita da estrutura
(Idem, item 10)
(13)- Juntas com liberação na direção 1
(14)- Idem, direção 2
(15)- Idem, direção 3
(16)- Idem, direção 4
(17)- Idem, direção 5
(18)- Idem, direção 6
88
IV.3.6 - Cartões de Definição dos Elementos
(1)
(E)
( 2)
(El
( 3)
(E)
(4)
(El
(_5)
(E)
(6)
(E)
*~*X
~**y··
. ***z. Idem·
**KX.
**}ª" úKZ .
,)(XX
..xxr·
.KZZ ·
Idem·
//AX //AX //IX
//IY
//IZ
Idem
///E
'///G Idem·
//KP
//YP
//ZP·
Idem
-
=
=
=
-
=
. I1 I2 R R ...
. I1 I2 R R ... I1 · · I2 R R . ..
. I1. I2 R
I1 I2 R R . .. . I1. I2 R R ...
I1. I2 R R ... I1. I2 R R ... I1. I2 R R ... I1. I2 R R ... I1. I2 R
I1 . I2 R R ... I1 I2 R ... D I2 R ·R ... I1 . I2 ·R R ... I1 I2 ·R R ... I1. I2 w I1 I2 R R ... I1. I2 R R ... I1 . I2 R
I1 I2 R R ... I1. I2 R R ... I1 I2 R R ... I1 I2 R
8 [/
R
R
R
R
R
R
R
·R
R ..
R
R
·R
R
R
R
R
.B
.B
R
CJ. l - Coordenadas das juntas
(2) - Rigidezes de mola dos apoios elastiaos
(3) - Ârea da secçao transversal das barras
(4) - Momentos de inircia da secçao transversal das barras
(5) - M5dulos de elastiaidade do material
(6) - Coordenadas de um ponto P para o calculo do ângulo a,
na geração dos· vetores de rotação das barras
Os numeras Il e I2 limitam o intervalo de numera
-çao dos elementos, barras ou juntas, a q·ue se refere cada
aartão. A diferença I2 - Il não pode ultrapassar o valor
6, de modo que cada cartão aontim dados referentes, no maxi~
mo, a seis elementos, Como a variavel I3 i sempre suben~
tendida igual a 1, esses seis elementos terão que ser de nu
-meraçao sequencial.
Quando os dados forem iguais para uma ael'ta sequt:1:_
aia de elementos, podem-se usar as formas espe ai ais CEl dos
cartões.
90
JV.4 - Listagem do Programa
HAR~lLIO CE ALi~CA~ SA LEITAJ T[5t. MSC • CCPPE/U•RJ • i::. CIV!L t:STf<UTURA~ • 1979
at•••SUBHJTINAS UTIL:ZACAS
JUd"JUTlNE OIN~r(JI,IR,1I,JJ,~VIl
-~--,sueR~T1h4 PAR• GERAR LINHAS D[ INFLUE~CIA CINA~rc,s NLS ···=·~~~TU~ OE ,A.IMOS [STAT1c,s
IMPLIC!T ~EAL•d CA-H,O•Zl
91
u l ME ,l ~ I,,: N C P • lC l 6 \i , 2 2 l, D O ( 1 5 l , O I C 2 l • O T < 6 l •CM ( 3 l • O r FC 2 7 l, D/' T( 2 O l, IH •R l 12 1, E S Q l 1 2 l, l ~E P C 2 l, L C A~ C 4 l , ><FC 5 l, M ,\( O ( 4 C O, 1 < l
DIHE~SICN rASbA(2Dll,CbS1L20J,Od52C20l,U8S3(20l,RC9l,TC13,l3l,VEEC • l S ) , V[ C 1 3 , 3 l, V V :J I C 12 l • R A~ l F" { ó l HEAL•d PA~O,MASSA Ir,TU,E'l RAM IF CUM~w~ CP•l,OU,DI,CT,D~,D~F,D~T,DIR,E~Q,M-~0,~ASSA,CBS1,0tiS2,0BS3 C,1Hl"i.;>l R, r. vE1:., vf., ~ver CuM~CN IN~R,ltAe,MF,PA"I~ I• UI•l >*lR+JJ J:VUJ!,31 IF (.iJ•Ih•l lS0.100,50
50 HAXUCI,J>~,AXCC I,JJ+VVDICal+VEECJl !fC~VIJlOll,110,100
100 VVOI<Jl•VVDI<Jl+VEE(Jl 110 R!::TUP.N
: Ili f)
e e e
'9 2
C~•~c~su~~úTlnA GU( l~PRl~E e
lJS t..t.BECALHdS
e e
10 1
106 107 lo o 104 10 3
102 10 5
IMPLlÇ!l "EAL2j CA•H,ú•ll DI Mr.lj:,Ic•!l CP~lC ló9,c2 >, OOl 15 J,')l( 2l, Qf(E, >,CM( 3 >,O~F(27>.01' T(20), OI
•R(12J,r~Ql12>,I~Ehl2J,LCAtl~J,MF(5J,MAIDC400,12J D[Mt~~!LN ,AS~A(2011,LtiSllZOJ,0bS2(20),08S3C20l,R(9>,f(l3,lll,V[[l
• l 3 J. V ( ( 1 3 , J J. V V J I C 12 >, R J, M I f C ó J Rt~~~j HA•C,MA~Sh lNTt:.úER R,~IF ~ÜM~QN CP•t,cc.s1,or,uM,~PF,OMT,OIR,ESJ,MAXO,MASSA,08Sl,OAS2,0Bb3 ~JMMuN R,T,VE~,~t,~VOI COM~CN IN~R,LCA~,MF,RAM!F w fi I fE < 5, 1 o l
10 FUR,~Tf 1 1 1 ,//~C, 1 DINAMICA OE ES[RUTURAS R[f!CULAOAS SOB CARG~ • MLVEL "ELO',l5X,'MiT(Oú DA~ MATRIZfS OE TRA~SFERE~CIA')
OU /O I"'l ,i. IFlLCABCIJ•!l20,20,70
20 &JT,c30,4U,S0,60J,I rn WR ITEC 5, L; l 35 FüHMATC5X, 1 CQfPE/UFRJ • t11G[Nt,/.RIA CIVIL• ESTRUTURAS• 1975' J
.;üTJ 7f1 40 wRITECS,4:JCB~l
GOT:., 7/l 45 FOR~ATC5X,20A4l so writrEC5,4:>G!:i~2
;,JT,i 70 60 wRiiECS,4:llB~3 70 CU~T!NUE
w.:lITECS,31ll .\,' d O • ;l R .~A T( 1 X , 4 O { '= * ' J J
R!::TU~N E ~"D
IMPLICIT •EAL•d CA•ri,Ll•l> AB~D 1-=üAt~ C XI DIMtNSI•li CP•l(l69,22l,OJl15l,JICZl,DTCb>,D~(3J,D~F(27>,D~Tl20l,Di
•RC 12>,FSQ( l2l,I~""RC2l,L1..Af:C41,MF(5l,MAXJC4C0,12J DlM~hS[~~ "AS~A(~011,VP5ll20J,D~~21201,UBS3C20l,RC9J,TC13,13J,VEEC
• 1 3 J , \/ i:: C 1 3 , 3 J , V V 'l 1 ( 12 l , R A"' ! F C 6 J INTtGE'i fi,lM iF RçAL•d N~IC,M•SS~ CDM~O~ CP~l,9ü,JI,CT,C~,D•F,DMT,OIR,E~J,~AXO,~-SSA,08Sl,OB52,03S3 CliMM<,N H, f, VE[, Vt:, ~VOl CLMM0N !N~R,LL~B,MF,RAMIF !Ef.:(l N: 0 OJ 100 i\=1,~C~liP I F C A 8,:, C ~ O ( i< > l • l O O O O, l 1(1 l., l O 2, l O 2 JcDu<I\ l !FlJll03, LCr4,18~ l F ( J• iH.X I l C 7, L r, 1 O 3 ~" N + 1 CQNTINUE. !F CIIJ103, 10 3, 10~ IER-:IC'1D t?ETURN IER•l 11t TU~N E '• i)
e. e
SUBRwúTIN~ PEVK(INC,CX,CY,CZ,DXP,OYP,OlP,R,OM} e C••=••SU~RQT!kA QUE FAZ A MGhTAGEM OG VETOR DE RGTAC~D e
100
101
10 3
102
104
106 105
IMPLICIT ~~AL•8 <A•H,O•ZI SQRHXJ•O~l.RT(X l ATAN{lO=OITAN{XJ OIMENSI0N ~<9l,JMl3l 0M(2J,.0. DO 100 !• 1, 9 R<I J•O, OM(lJcSQRT<t~•Ci•CY•CY•CZ•CZl CX•C)UOt'iC l J CY•CY/0M(1J C Z•Cl/OM C 1 J QeSQRTCCX•C~+CZ•CZJ IFlQ•0.001 J 101,101,102 R (2 l•CY RC4Jc•CY RC 9 l•l, I F C I NO l 1 O 5 , 1 O 5, 1 O 3 ~QcSQRT(OXF•OÃP+DZP•OZPl COSA••OXP•C Y/SQ sr NA•DZP/SQ R('J••CY•CCSA RC6J•5INA RC 7 J•CY*S li-A RC9J•C',SA GiHG 106 RCll•CX R { 2 l"C V RC3l .. CZ RC4Js•CX•CY/Q R < 5 l=Q R<6J2•CY•CZ/<J R<7 J••CZ/G RC9JcCX/Q !f(lNOll0:,105,104 YPG•RC4J•OXP+R<S>•CYP+RC6J•OZP ZPG•RC7l•OXP+R(eJ•OYP•Rl9J•DZP SQ=SQRT<YFG•YPG+ZPG•ZPGl CO 54.,YPG/ ~ ~ SINAuZPli/S~ R(4)c<•CX•CY•CQSA•CZ•S1~4J/Q RC5l•il•C0SA R<6>=<•CY•CZ•C0SA+CX•Sl~AJ/Q R(7J•CCX•C1•S1N~·t2•CGSAl/Q RC8J••Q•SitiA R(9Ja(CY•CZ•S1NA+CX~C0SAJ/Q 0MC2J•ATA~<~l~A/CDSAJ•57.2957795 RE T URN ENO
93
e e
e
94
SUBROUT!NE COMPRCPEVR,NUMc,IJUN,IclAR,ICP,DX,DY,DZ,OXP,DYP,DZF,N,MT •>
C••==2SUBROT1NA GUE LE ORDENADAS E G~AVA COMPRIMENTOS C••=•sE VETORES OE í-i'JT,.CA(: e
e e
OOUáLE PRECISIUN CF~l,DO,CI,OT,OM,DMf,OMT,DlR,ESQ,OBSl,08S2,08S3,R •, T ,. VE(, v-:, V VD l, D X, O Y ! O Z, O XP z O Y P, O lP, ~, Y, Z, X J, Y J, 2 J
i.lll'IEli:,!ON CPWl< 169,2.c:>,D01l:i>,IJH2>,0TC6>.0MC3l,Of'!f(27>,DHT(20l,DI •RC12),fSQtl2J,!NERC2),LCAt<4J,Mf(5l,MAX0(400,12) DIHE~SfGN ~AS5AC201J,ÜB51120l,D8S2C20J,0BS3(20>,RC9>,TC13,13l,VEE<
413>,VE(13,!),VVüI(l2l,RAM1f(6),MT(5) REAL•8 ~A~0,MA5SA INTEGER RA~If COHHON CP~l,OC,DI,CT,D~.o,r,o~T.DIR,ESQ,HAXD,MASSA,OBSl,OBS2,0BS3 COHMON R,T,V(l,VE,VVO! COHMON INtR,LCAB,Hf,RAHIF If<N•4l3,f:,6
6 X•DMf(lJ Y•OMFC2) Z=0Mf(3} GOTO 5
5 IC••l GOTO tl
3 REAü(l2'IJUNlMF,X,Y,Z Hf(l)mN Mf(2)i=l WRif~(l2'IJUNlMF,X,Y,l IC=O
õ ICT•NUMB+IEAR•l DC 40 l•ItAR,ICT K= I +1 !(JaK '( J• y ZJ•l REAO(ll'I>HT,OMT,R,DM HTCl>=N IH C2J•I•I~AR+l RE A D ( 12' K J ~ f, x, Y, Z HfCl>=N Mfl2J•K•ItAR+l+!C WRITE(l2 1 ~JMF,X,Y,2 DX•X•J(J DY•Y•YJ OZmZ•ZJ IF<MTCSJll0,20,10
10 ICP•l OXP»üMTC9J•XJ
si~:8~tir~~=tj GOTO 30
20 ICP•O
• FúI OACG PONTO PARA CALCULO • DA ROTACAO
30 CALL PEVRCICP,DX,OY,DZ,OXP,GYP,OZP,R,DH> ~RITECll'IlMT,D~T,R,DM
40 CONTINUE RETURN El>lO
e e e
SUBHOUTINE !NvER(l,N,NL,NC,NPJ
C SUB~UTINA GER>L P~RA !~VERTER MATRIZE5 PELO METCOO DA ?ARTICAO e e e e e e
N • 8ROE~ LJA MATP.IZ TOTAL NP • ROE~ DA SuBMATRIZ A INVERTEk NL • LI~H~ uNOE CC~ECA A SUBMATRIZ NC ~ COLU~A ONOE CCMECA A SUB~ATRIZ
IMPLIClT HEAL•d <A•H,O•ZJ A8Sl0r:0AtSCXJ DIMtN&IDN ACN,NJ,G(13J,H(l3J,V{l3J INTEGER OlF,R,V PEO•l.O(•Oe DO 2S i•l,N
25 V<lJ11I Nf•p,oNP•l I J&O
23 !FCABS(AChl+IJ,NCll•FEQJ20,20,26 20 IJ=IJ•l
GOTO 23 26 IF<IJJ30,30,27 27 K~P=NC+NN
Ou 211 I•NC,KCP NLL=NL• IJ TRANS•AlNL,!J A(NL,I>•AlNLL,I J
28 A<NLL,Il•T~AN5 KRANS•V<NL J VCNLJo:V(NLL l V { "LL >•rrn li~ s
30 A ( NL,NC J•l, 0/1,( NL,~C l DO 110 ~ .. l. NN OIF•..,L•NC KC=NC+M KL=IILHI NLl•'IL•M•l NCl=NC+M•l DO 60 Is:NL,NLl &(Il•O.O 00 60 J•NC, NCl L•J•D!F
6 O G ( I J• (; ( I l + A <I, J h AC L, K C J I\LL"'KL
65 ºªº·º 00 70 J=NC,NCl La J+OIF
70 D•O+A(KL,Jl•G<Ll 73 E•A<IIL,KCJ•O
WRI Ti:':(5,/ JE !FlhBS<E>•PEQJ75,75,80
75 KLL•I\LL+l WRiiECS,/ JKLL
77 DG 78 R•Nt,KCP TRAltSmA(Kl,Rl A( KL,RlcAC KLL,il J
78 A(KLL,RJ•TRA~S KRAIIS=V<KL l V(KLJsV(KLL l V(KLLl•KR~~S GOTO bS
ao A(KL,KC)•l.0/t 00 !lS I=NL,NLl
65 A<I•KCl••G<I>•~<KL,KCJ DO 90 J•NC,NCl
~l JJo 0i~Nl, NLl
L=I•D!f 90 HCJJcH(Jl+A(KL,Ll•A<I,JJ
DO 100 Jc~C,NCl 100 A(KL,J)••H<Jl•A(KL,KC)
DO 110 I•~L,Nll DO 110 J•hC,NCl
110 A(l,JJ•A(I,JJ•G(IhACKL,JJ 111 00 130 I•l,N
J•I+l IF<J•NJ113,1!3,130
113 IfCVCI>•VIJlllHl,115,115 115 00 120 R=~L ,KL
95
e e e
120
130
135
140
TRANS•ACR,I l A<R,IJ11A<~,Jl A CR,Jl•TR,HS
KRA"IS•V{ I l VCI)•VCJ) V(J >•KRANS KTR•l CONTINUE IFCKTR>l!~,140,135 KTR•O GOTíJ 111 RE TURN (NO
SUBROUT!N~ INERCCK,Ll
96
C•••s~SUBROTINA QUE V~RIFI~A L ASSINALA C•••••OU VARIAVEL NU TRlCHU CG~SIOfRAOO
SE A INERCIA E CONSTANTE
e IHPLICIT REAL•d CA•H,0•2> 01 IH>iSiüN C Pwl( 169,22 >, CD( t 5 l,O I< 2), OT C 6 >, O M( 3 >,Dlff ( 27 l ,O~ T(20 >, O!
•RC12>,~SQC12l,INERC2l,LCAf.l4l,MFC5l,M~~DC400,12J,KEYC2l DIHlNSlDN MASSA(201J,0HS1l20l,DBS2C20>,DBS3(20J,RC9l,TC13,13l,VEE(
1113l,VE(l3,3J,VVOIC12l,RAM!FC6l INH.GER RA~IF REAL•8 MA,D,HASSA COMMON CPwl,OO,Ol,OT,úM,O~F,OMT,DIR,E~Q,HA)D,MASSA,OBSl,OBS2,0B~3 COMMON R,T,VEE,Vt,VVDI COMMUN !NER,LC~B,MF,RAMIF !:>O 5 I•l,2
5 Kt::Yl!>•O IF<INER(lJ•llS0,10,50
10 IFCINERCll+l~lRC2J•2J20,80,20 20 KEY(2J•1
GOTO 80 50 IfC!N(R(ll+INlR(2)•3)80,70,ao 70 K E Y O>• 1
80 100
200 210
300 310 320 330
GOT(; eo GOT0(100,200,300JK L•O GOTO 330 IFCIIEYC ll•l >320,210,320 Ls l GOTO BO IfCKEYC2J•ll320,310,320 GOTú 210 L•O RE T URN ENO
97
e SUBriQUTlN~ FR(NTCTT,MT,~,INF,!Nú,INVER,M>
e C••••=SUBROTINA PARA ~ONTAGEM DA MATRIZ FRONTEIRA NOS VARIOS CASCS e E e e E e
~ e
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e.
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e e
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10
20
30
;8 óll
70 110
90
100
110
120
130
140
150
160
170
INFal • !Nfc2 • INF63 • IhF:a4 •
MJTRIL füLINC~IAL CP~l ESIATICA Bu DINAMICA MATRil 13 X 13 l,iUMERICA EST. OU I~. P/ JUNTAS CÜMU~S H~TAil 13 X 13 NU~ERIÇA ESTATICA P/ JUNTA C/ SECUNDARIA MtSMO C~SO ANTEHluR PuREM D!NAMICO
t'Nf•5 • Nf•6 •
M~TR!L 13 X 13 NUMER!CA ESTATICA P/ JUNTA C/ RAMlfICACAD Mi:SMO CASO ANTERI~R PCREM DINAMICO
IMPLICIT ~EAL•8 <A•H,O•Zl DIME~SION CPwlC169,22l,00{15>,0I(2),0TC6),DMC3l,DMfC27l,DNTC20),0!
•Rll2l,tSQC12l,l~ERC2l,LCAeC4J,MFC5l,MAXD<400,l~l DJMENS!ON MAS5A{201l,OBSll20l,OBS2C20J,OBS3C20J,RC9l,T(t3,l!J,VEE<
•l~),VE<13,!l,VVOIC12>,RAHif<6l,TT(13,13l,VC6l REAL•8 MT(l3,l3l,H,S5A,MAJD INH.GER R,'MIF COMMUN CPwl,DD,DI,DT,OH,DMF,DMT,DlR,ESQ,MAXC,MASSA,0BS1,0BS2,0BS3 COMHON R,1,VEE,VE,~VGI COMMúN INER,LCAE,Mf,RAMIF
Oü lOJ:1,13 00 10 K•l,13 TT <J,11>=0 TT<J,JJal DO 20 J•7,12 TT <J,J)a• l 1F<HF(4)l~0,50,30
DO "º J•l,6 K•J+6 TT<~,J~c·O~FCJt3> IF (MF< lle0,B0,EO
DO 70 Jc:l,E K•J+6 TT <J,l\):aO~F CJ+9l 00 90 J•l,E K= J tl5
IT (J,13 )aJHF(I\) f<INDlll0,110,100
TT Cb,13 >••l
GOTDC120,140,150,150,220,220lINF
88 130 !al,13 130 J11 l, 13
K=<I•l>•l3+ 1 CP1tUK, U:Tf<1,J > CPwl(79,2JaHASSA(Ml CP W H 9 } , 2 J 11 HA 5 S A ( M > CPW1Cl07,2l•HAS5AC~) CPldU21,2l=O CPWlC135,2 )GO CP~1Cl49,2l•O GOTO 250 TTC7,llaTTC7,lltW•~•HASSA(MJ TTCd,2)aTTCd,2l+W•~•HASSAC~l TT(9,3l•TT<9,3l+W•~•MASSACHl TTC10,4l•TT<l0,4J+O TTlll,Sl•TTCll,5)+0 TT<l2,6l•TTC12,6l+P GüTô 250
DO 160 I• l, 6
HT(l,I>•MíC!,!>•l CALL INVE~CHT,13,1,7,6) 00 l ,jO I• 1, 6 DJ 170 Jto 7, 12
V(J•6)•HTlI,J>
MT<I,J)110
• PARTE CCMUM A TODAS AS MATRIZES FRUNTE!~A
- APOIO~ ELASTICOS
• LIBERACOC:S
• DEFORHACJES !rPOSTAS
• PARTES NAO COMUNS SEGUNDO !NF
• G~RA CPW1SEGUiNOO T POR LINHA
• H,\TR. 13Xl3 NUHER. CA.SO COMU~
• MATRIZ 13X13 NUHERICA ESTAT!CA • OU OINAHICA C/ESTRUT. SECUNO.
• O~TENCAO OE CCl•Il
• MULT. CE C2 INV. POR CCl•I>
• RESULTAOJ NO ~ULTIPLICA~OO
e e
e e
e e
e e
e
DO 180 J•l,6 DO 180 ~•1,E
160 MTCI,J•f,)al'T(l,J•bl+V(K l•MTlK,J)
º8 203 1=7,12 D 19 Ja:l,12 V(J•6)•1"TíI,J>
190 IH<l,J>cO
DU 200 Jm7,12 DO 200 K•7,12
200 HTCI,J>=MTCI,J)+VC~•6>•HT(K•6,Jl
00 210 I=7,12 00 210 J•l,6
210 TTCI,J>•TT<l,Jl•HTC!,J)+MTCI,J+6l IfCINf•3>250,250,140
220 CALL INVERCHT,13,1,1,6> DO 230 I•l,6 DO 230 J•1,6 DO 230 K• t.6
• MULTIPLICACAO OE C4 PELC R[SULTAOC ANTERIOR
• C4 X RESULT. ANTERiüfi
• RESPOSTA EM C4
98
• C3 + RESULT. ANTER. ACRESCENT. - ,. rc 13X13>
• MATRIZ 13Xl3 NUMERIC• E~TAT!CA • OU OINANICA CUH RAMifIC~CAD
2 30 M T C ! , J + 6) • M T< I, J + 6 l + M T C I +!:, li l • M TC K, J > NA POS. CORRESP. A C2
00 240 I.,7, 12 00 240 J•l ,6
• RESULT.
C • RE3ULT. ACRESCENT. A TC13,13>
e e e
240 TT(!,Jl•TíC!,JJ•HT<I•6,J+él If<INf•5>2:0,250,140
250 RETURN END
SUSROUTINE IGUALCSMAT1,S~AT2>
C••••2SU8RDTINA QUE FAZ > SEGUNDA MATRIZ IGU~L A PRI~EIRA e
e e e SU8RUUTINE DETERCA,N,DA>
C ESfj SUBROTIN~ CALCULA DETERMINANTES PELO METOOC DO PIVOT e IMPLIC!T HEAL•d <A•H,O•Zl A 8 S l )(): DA E S ( X í DIMENS!!JN ACN,Nl DA•l DO 105 Kc l, N• l LmK PEQ•l.E-oe IFCABSCAC~,Kll•FEQlS,5,35
5 Lc L • l If(ASSCA(L,Kll•PEQll0,10,25
10 !FCL•NJS,1~,15 15 WR I TE< 5, 20 > 20 fORMATC 10,, 'MATRIZ SINGlJL~R • OA•0. 1 l
RE TURN 25 DA••DA
00 30 J=K,~ TRAhS=A (K, J l A{K,Jl=A(l,Kl
30 A<L,Kl"TR~~S 35 DO 100 I•~+l,h
DO 90 J=K+l,N 98 ACI,JlmACI,JJ•ACK,~l•A<l,~l/AC~,Kl 10 CONTINUE 105 B"ªB"*A<K,~l
A• A•A<N,~ l WR I TE<S, 110 lDil
99
110 FORMAT(lHl,'DlTERMINANTE DA ~ATRIZ •A• 1 ,//,lOX,•OA •',El0.2) RE TURN
e e e
ENO
SUBROUTINE CPARA<A,B,Ml
C•••••SU8RDT!NA QUE ATUALIZA G ~ETCR D6S 41XI40S (VEJ e
l~~\l~JiA=,~~~8 (A•H,G•Zl DIH[NSIJN AC13,3l,E<l3l DO 100 Izl,13 lf <A8SCAC !,2) J•ABS <tHI l l 120,100,100
20 A<I,2la8<ll A<I,ll•H
100 CONTINUE RE TURN END
100
e e
SU8RUUi!Ni MLTPCCP,l,CP~2,T,F,R,V,INMl e CasmsaSUBR~T!~A FARPA MuLTIPLICACAC OE MATRilES t;uS VARIOS C~SüS e e e e e e
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100
11 O
120
200
21!0 290
300
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1~~=i: ~~EBHJe n~~,Rl6cF,~~R cPw2: AE!Htf: i= ~Pkl INM•3 • P~CDUTO OE CPWl PLR CPW2 • RESIJLT. Et; CPWl INM•4 • PFC0Ul8 DE Cf•l PGR l • RESULT. EM CPkl INM•S - PRCDUf Df. T P(IR Y • RESULT. EM V 1MPLIC!T rEAL•8 (A•H,O•Z) D I Mt: NSI ü N C Pw lC 169, 22 >,CP• 2 < l & 9, 2 2 >, H 13, 1 3 >, f C 13, 1 3), R ( 13 • 13 l, CP C
•13,2l,V{13l GüTG<l00,200,300,400,450lINM
INM•l 88 110 1• 1, 1 3
110 J•l,13 RCI,Jl•O DO 120 I• l. 13 00 120 J•l,13 00 120 K•I.13 RCI,Jl•R<I,Jl•TCI,~>•FCK,Jl GOTO 600
!NM• 2 00 290 I•t,13 DO 298 J=l,13 DO 29 L• 1, 22 DO 290 Ksl, 13 M•CI•ll•l3•J N• (K•l l•l3+J !f(CPW2(N,Lll280,2S0,280 CP~lCM,Ll•CPWl<~,Ll+T<I,KJ•CPw2(N,Ll CONTINUE GOTO 500
DO 390 LL•l,13 ou 310 JJ•l,1.3
MH•<LL•l>•l3+JJ DO 310 KK• 1,2 CP(JJ,KKJ•CPwl(~H,~K) CPkl(HM,KK )cQ
DO 390 l=l,13 DO 390 !I=l,2 !L•l•II LLL•22+!L 00 390 L•l,LLL U\cL+I l•l DO 390 tl•l,13 M•CLL•U•l3+! N• <~-1 J•l 3+ ! If <CP~2CN,i., )3'30, 350,3/lO
- tNM•3
- TR~NSFERENC!A DOS BLOCOS
• MULT. FROPRIAMENTE OITA
cr~
380 CP~l<M,LKl=CPidCM,LKl•Cf( ~,II >•CPW2CN,Ll 390 CONTINUE
400
410
420
450 460
470
480
'500
GO rc soo DO 420 !•1,13 DO 410 J•l,13 Mm{1•1l•l3+J Ou 410 K-wl,2 CPCJ,~J=Cf~l<M,~) CPWlOt,1\l•O DO 420 IJa!,13 N•<I•ll•l3+IJ DO 420 L•l,2 DO 420 Kcl,13 CP~l<N,Ll•CPkt(N,LJ+CPCK,LJ•Tl~,!J) Gf,Tl, 500
DO 460 1•1,13 CP<I,ll•O ,H, 470 I•l,13 DO 470 J•l,13 CPCl,ll•CPCI,ll+T<l,J>•VCJl DO 4,;0 !ml,13 V<I>•CPlI,1> Gü TO 560 00 550 I•l,169 00 550 J• b 22
550 560
570 600
CPW2<I, JJ:O DO 570 !•1,13 DO 570 J=l,2 CP <t,JJ•O RE TURN END
e e
SUBRüUTlNE CCN4FCM,LRR,L,11Tll e C••••cSUBfiOT!NA ,uE AFL!CA CGhD!CCE5 C•••••RAMIFICAC~C A MATRIZ DA ~iS"A e
e e
to e 20 22
e 25
40
50
55
e 60
70 80
e 84
85
88 e 1:19
90
iMPLICIT fEAL•d <A•H,G•2l OIMENSION LRRl61,~(l3,13J,LC&l INTEGER P REAL•8 M DO 221,.1,E
IFCL~R(!J•lJl0,20,10
L ( I l= I
CiJTU 22 L C 1 Jz I • 6 CONTINU~
Oú 50 Ic l, 5 If<L<lJ•L(!+lJJ:0,50,40 N= 1 TR•L<IJ :. < I >• L C I + 1 l L<IHJcTR CONTINUE If(Nl60,&0,55 N=O GOTú 25
00 80 I•l,E N• L {l l DO 70 K•l,13 H < li, I J• M < 1\ , N) CONTINUE
1F<11r1-11e4,89,e4 DO 88 t•l,6 Na L C I J Dú dS K•l ,6 MCI,l\leMCh,Kl tHI,13J••l<N,13) CONTINUE
DO 90 1•7,12 DO 90 Jcl,13 '4CJ.X>•O kETURN E.NO
101
UE CúNTURNO 00 APOIO DA
• llfIXOl/OCLIVRE)
• FORMACAG DC VETOR DOS NL~ERUS
• DAS COLUNAS QUE PERMANECEM
• OROENACAD O~ VETOR
• REARRU~. DAS LINHAS ACI•A
• ZERAGEM DA PARTE DIPE!T~
e e e SUBROUTINE GE~~T<M,~l
102
C•••••SUBROTlNA QUE "OMTA ~ATRil 13Xl5 üE PARTES OA ESTRUTURA USA~OL C•••••O CCNTEUD( OE CPWl E A FRiQUENCil e
e e
IHPL!CTT ~EAL•6 <A•H,C•Zl D I ME: NS Í O N CP~ 1 C l 6 9 ,2 2 l, C O ( 15 l, C l C 2 l, OT < 6 l, O M C 3 l .o li FC 2 7) , D M T < 2 O l, D I
•RC12l,ESQC12l,!~ER(2l,LtAtC4l,~Fl5l,MAXOC400,12J,M(l3~13J DlHENSICN MAS~AL20ll,C6Sl120l,0BS2C20J,0BS!<20J,R{9l,TC13,l3l,VEE<
"1 3 >, V E< l 3, 3 >, V V OI ( 12 l, FUI MI f C 6 l INTEGER RA~IF REALwd MA~D,M,M~SS~ COMMUN CP~l,Dú,OI,OT,OM,D~F,DMT,DIR,ES~,MAXO,MASSA,OBSl,0BS2,08~3 COMHJN R,f,VE~,VE,VVD1 COMMON INtF,LCAB,Mf,RAMIF DO 20 I•l,13 DO 20 J•l,13 ic;cCI•l>•l3+~ AWa:0 IF CwHS, 15, 5
S DO 10 L•Z,22 AW:Aw•CPW1CK,Ll•W••<2•CL•lll
10 CPWlCK,LJ•O 1S 1H!,JJ::CP~l<K,l l+A~ 20 CPWl<K, lJ•O
RE TURN END
C SUBriOUTINt CO~CdC!O,INC,ltR,MAX,ICODl
C•••••SUBROTINA FARA TESTAR CLN~ISTENCIA DE DADOS DOS ELE~ENTCS e
101
104 103
102
100
10 i
109 1 O!!
IHPLICIT FEAL~d (A•H,O•Zl ABS(XJ•IJAES ex) O! MENSION CP• iC 169 ,22 l, 00 L l 5 J, D!( 2>, OTC 6 J, OMC 3 hDt<F< 27>, DM TCZOl, DI
•RC12J,ES~C12l,INERC2l,LCAtC4l,MFCí>,MAXOC400,l~J O r ME NS I U Ili ~'AS ~ ,1( 2 O I l , G 8 S l < 2 O l , O tl S d 2 O l , ü B S 3 C 2 O h R C 9 > , T< 1 3 , 1 3 l , V E E<
t 1 3 ) • VE ( 1 3, } l, V \1 D I ( 12 l, R ~ M l F ( 6 ) INTEGER RAMIF
!6A~S~ ~~=v:a!~~1.or.o,,o,F,OMT,DIR,ESQ,MAXD,MASSA,0BS1,0es2.oas3 COHHON R,T,VEt,VE,~VDI COMMON INêF,LCAe,MF,RAMIF IE R•O
lcr'180 K• l, 2 !F CABS(O! (K > l•lOOO.HOl, 102,102 J• o I( li) lf(J)103, 103,104 !FCJ•MAXJIC0,100,103 !ERcICOD RE:TtJRN IER=l RE TURN CONTINUE J• O !C 2 l •D l C 1) IF ClD.EQ.' 'lGOTü 107 !D=•=• GOTO !Ot, INC•l !F<J•5)10t,10b,109 I E R•l 5 Rf. TURN EN l)
e e e e
103
SU&iUUT!Nf VECA~(TEH,W,VEL,II,X~l
C==••=SUBROTlNA GUE GERA OS VETORES DE CA~GA OINAMICOS NCS EXT~EMCS DA C•••=•BARk4 CA~rEGAú~ PA"A USG ~AS ~tTR!ZlS FRO~TElR-C
e Csss:aCALCULO DC! E~FCRCCS e
e C•s•s•CALCULD OCS DESLOC~ME~TCS e
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~5=~:~~~fif!1, O lo:OLOC 1C f, ME ,li, TEM) •DLOC3 (e!, l'!E,w, TEM> •DLCC4{ C 1, HE, W,TEM> D2•0L0~2<A,ME,~,TEkJ+DLGC3<B2,ME,N,T[Ml+OLCC4<C2,ME,W,TEM) 03cOLUC3<t3,MO,w,TEHl+DLOC4(C3,MO,W,TEM> 04sOLüC3<E4,MG,k,T[Ml+DLOC4<C4,MD,W,TEM>
C•••••MONT•GEM DCS VETORES D[ SAIDA e
ESQ<2>=ül ESQ(6l•02 ESQ<8>.,Pl ES'1<12>•P2 0Ifi<2>•D3 OI R<6 >=04
8IRtd>•F3 IR<12):p4
8ETuRN e.NO
e e e SUBROUT!Nt TRANSCXLl
C•••••SUBRílTINA QUE M~NTA A C•••=aNO 5ISTEMA GLOti4L e
HPTriIZ DE TRA~SFERE~CIA DE BARRA
IMPLIC!T REAL•J <A•H,ú•ll
104
DIMENSION CPIH( 169,22 >, CO< 15 l,fJI<2>, DT<6J,CHC 3l,OMFC27>,0MT(20>, OI •R(l2J,•SQC12l,INEP.C2),LCAbC4J,MFCSJ,MA(0(4fi0,12J
OIMENSlON ~A5SAC201J,OH51{20J,OBS2C20J,08S3<20J,RC9J,T(13,13J,VEEC ,; 13 J, VE C 1 3 • 3 ) , V V D I ( 12 ) , R /1 MI F ( 6 l, A< 1 O J
REAL•6 MA~O,MASSA
f~,1!,Rc~Cl!~c.01,cr,cM,OMF,oMr,orR,ESQ,MAXD,MASSA,oss1,oes2.oas3 COMMON R,T,VEE,VE,VVDI COMMUH INER,LC~8,MF,RAMIF
C•••••MATRIZ TRA~SF(~ENlIA ~ISTEMA LOCAL 00 10 J•l,13 DO 1011=1,13
10 TCJ,IIJ•O. TC13,13J•l. A(l)••XL/DHTCll/OHT(5) AC3J••Xl/OMT(3J/DMT(5J A(4l••XL/O~T(4J/OMT(5l AC2J••XL/D~T(2J/DMTC6) A< 5 J111XL,.A ( 4 )/2. A< 6Js•XL•AC5l/3, A< 7 l•XL•A < 3 U2. AC9l••Xl•AC7ll3. A< 8l••A<7 J A<lOl••A(~J
C•••••SISTEMA GLCBAL T(l,Sl•<R<4>*RC9J•R(5)•RC7ll*XL T{ l,6JmCR<4 l•R< 9 >-~C6J•R< 7 l >*XL f C 2, 6 >• C R C 5 l•i< < ç J • R C 6 l .. fl < 8 J ) * X L T(2,4Jc:•T< l,Sl T t 3,4J••T t 1,6 > T C 3,Sl••TC 2 ,6 l T C 10,6>••1 e 1,5> Te 10,9>••T e 1,b> T( 11,7>=•T C 10,8) TC11,9)••f(Z,6l T C 12, 7 l •• 1 < 1 O, 9 l T < 12, 8 l •• 1 ( 11, 9 l 00 20 J•l,3 JA"J•3 JB•Jt6 JC•J+9 00 20 K= l, ! 101•11+3 KB=IH6 IIC•l\+9 TCJ,KJ•R<JJ•R<Kl+R(JAl-RCKAl+R(JBl~RCKBl T(J,•B>=RCJ)ekC">~ACll+fiC~A>•R<JAJ•A(6l+RCJBJ•R<KE>•A<9> T<J,I\Cl•R<JAl•RCKB>•A\SJ+R(KAl~R<JBl•A<BJ TCJA,l\ij)a~CJAl•A<KBl•A<7>•RCKAl•R<JBl•A<lOl TCJA,IICJ•~(JJ•RCll)•AC2l+RCJA>•R<KA>•AC3l+R(JBl•RCIIBl•A<4) T < J A, I\A l • T ( J, 11 l T (Jd,118 }a•T CJ,K >
20 T(JC,KCl••T(J,K> 11 RE TURN
E.NO
e e e
SUHRDUT!NE PEUJ(NV,INC>
105
C••c•~SUBR0TINA ,ut G~AVA OS GADOS RELATIVOS AS JUNTAS e IMPLICIT ~EAL~d <A•H,O•ZJ O!MtNSiuN CPW1{159,22>,DDL151,DI<2>,0T(6J,CMC3l,DMFC27),DMT(20>,DI
• R ( 1 2 1, E :5 íH 1 2) • I N E R (2 l, L C A 1: ( 4 1, M FC 5), MA (O< 4 O o. 12 > D!MENSIQN MA5SAC201l,08Sll201,0BS2C20J,OBS3C20),RC9J,T(13,13l,VEE<
•l~l,VE(13,3J,VV0IC12J,RAMIF<6J !NTEGER RA~IF REAL•8 MA~D,MASSA COMHON CP~l,OO,Dl,OT,GM,DMF,OMT,DIR,E5Q,MAXD,MASSA,OBS1,0BS2,0B&3 e o H~ON R, r. VEE, V(.~ VO! COMMON INE~,Ll~B,Mf,RAMIF Nl•Ul<ll N2•0!C2J K• O
10 20
100
DO 100 I=~l,N2 K•l•K•INC REA002'I JMF,DMF IFCNV•3>20,20,10 •ff (4 J•l DMF OIV >=O T ( li J HR!TE<l2'1lMF,O~f I N C•II
e e e
RE TURN END
SUBRDUTINE PED9CI,INC,MTI
C•••••SU8ROTINA QUE GRAVA CS DACCS RELATIVOS AS EARRAS e IMPLlCIT ~EAL•6 <A•H,G•Zl DIMENSION CP~1Cl69,22J,U0ll5l,DI<2l,OT(6J,0H(3J,DMFC27l,OHT(20J,0I
~R l 12 J., E S Q ( 1 2 l, I ~E R ( 2 l, L C ~ b < 4 J, M FC 5 >, MA :(O C 4 O O, 1 2 > • MT C 5 l OI MEN~lON HASS4C 20 ll, CBS 1l 20 >, 11852(20 >.OBS3 (20 >,R(9 l, T< 13, l 3 J ,V[E(
• 13 l, Vt. ( l 3, 3 J, V \1 OI C l 2 J, R ,Hli f C & ) INTEGE'< RAM If REAL•8 HAXO,MASSA CBMM8N CP~l,OO,DI,OT,O~,O~f,OMT,O!R,ESQ,MA)D,MASSA,08S1,0BS2,0B~3 C MM N R,1,VEE.,VE,VVDI COMNON !NêR,LtAc,MF,RAMIF Nla:DIC1> N2=0IC2l Km O NV•I-9 00 100 J=-~l,N2 K•l+ll•It,C REAO(ll 1 JJ~I6GHT IF<~V•6J10, ,20
10 HTC3J•l GOT030
20 HT(5)•1 30 OMTC!'iVl•Dl{lll
WRiíECll'JlHT,ú~T 100 CONTINUE
l N C• K RETURN E NO
106
e e
SUSHOUT!NE PEJLCNV,N> e C•••=•SUBROTINA PARA ASS!~ALAR JUNTAS CdM LIBERACOES e
e e e
IMPLlCIT ~EAL•d <A•H,U•L> DIMENSION CP~1Cl69,22l,CD<!Sl,OI(2l,DF(6l,OM(3l,OMF<27l,DMT(20l,0I
•R(l2J,ESQC12l,INER<2l,LCAe<4l,Mf(Sl,MAXOC400,12> DIMi~SIQN MAS~AC201l,CBSll20l,ObS2C20),0853(20l,RC9l,TC13,l3J,VEE<
•13J.VE(l3,3l,VV3!<12l,RAMIFC&l • !NTJ:.:GER R~I' IF REAL•8 MAXD,MASSA CBMMQN CPw1,ou,or,or 2 c~.orr,oMT,Diq,EsQ,MA~O,HASSA,oss1,oes2,oss3 C MHuN R,T,VEl,vE,VVU1 CUHMON INEn,LCAB,MF,RAMIF DO 40 !•l,h J•OO<I l REAOC12'JlMf,üMF Mi (SJ•l
30 OMFCNVl•l,E+lS 40 WRifEC12'JJMF,OMF
RE TURN ENO
SUBHDUT!Nl P[JRCNJ
C•••••SUBHuTINA FARA ASS!~ALAR JUNTAS CCM RAMIFICACOES e
IMPL!CIT FEAL•~ <A•H,O•Z> OIMENSIUN CPWl( 169,22 >,COC 15l,OlC2l, OT(& l,0M(3 l,OMF(27 l,OMH20l, DI
•R(l2J,ESQ<12J,I~ER<2l,LCAb(4l,MF(Sl,MAIOC400,12) OJMENS1DN HA554C201>,0BSl<20l,0dS2C20l,08S!IZOJ,R<9l,T(l3,l!l,VEEC
"1 ~ >, VE ( 1 3, ! ) , V V O! C 12 l, R iH-1 I F ( 6 l REAL•6 MAXD,MA~SA INTEGER R~MIF COHMON CP~l,Cü,OI,CT,C~,O~F,OHT,OIR,ESQ,MAXO,MASSA,OBS1,0HS2,08S3 COMMON R,l,VEE,VE,~VC! COMMJN !NtR,LCAB,Mf,RAMIF 00 10 I,.t,h J• I•l K• 3i-J•5 LcRAMIF(K l REAO<l2'L llff MF C 31•1
10 WRliEC12' L JMF RE T URN ENO
107
e C•••••PROGKAHA ~RI~CIPAL e C•••••DEFl~ICAD OE CJ~STANTES E VARI•VEIS
IMPL!CIT ~EAL•6 (A•H,O•Zl
e
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ABS( OcDAt:S (X J SORTCX)"'1)SQRT(Xl S!r,,(XJ:aDS H O J COS(O•DCCS lX l ATA~(Xl•D•TANCXJ • SIO,<X,Yl•05I6NCX,YJ , DI l'lt.NSI ON CPIH{ 159 ,22 l, CP .. 2 ( 169, 22 l, 00( 15 J • or ( 2 >, DTC 6 ),0 M( 3 >, orn ( 1
•2l,ESij{l2J,f<l5,13J,FS<13,l3l,FH<13,13),INER<2l,INO!C(23>,KC0<4l,L •RE(6),LRO(~l,LRR(ól,LC~e<~l,L~C6J,MFC5l,MAG(l3l,HAG1C13J,M~XD(400, •12 J,OM!:G< 2v J,UBS l ( 20 J,ü8S2 (20 J,C,:;S 3< 20 >,p IN IC( 3 J, PMEOI< 24) ,FF INA C 5 •>•P-CT<õ,qJ,R(9J,F.EC13,13J,TC13,13l,VEEC13l,VEC13,3J,VAR<l3l,VAS<l •3J,VVDrC12l,O~FC27),MTC5l,OMT(20l,ZZCb,6J DIMENSION KDE1{24l,KOE2C92>,KCE3C76>,KOE4<6l,KOE5C8> DIHENSION LRRl<El,LRR2C6J,LRR3<6l,LRR4CGJ,LRR5C6l,LRR6(6l,LRR7{6l OIMENSION FRllll,l3l,FR2C13,!3l,F~3(!3,13>,FR4C13,13J,fR5Cl3,13l,F
•R6<13,13l
INTEGE~ CG~T,FINIC,P~EDI,FF!NA,HAMIFC36J,SECUNC6J,CPW3<1E9,5l IHTEGER BSEC,tlRAM
REAL•6 IPACTC12,Zl,MASSAC2QlJ,MAXO,MtC13,l3J,M2(13,13J,M3Cl3,13l,M •4(13,13l,~5\l~,13J,M6(13,13l,M7Cl3,13J,M6C13,13J,M9(13,13J,M10(13, • l 3 >, H l l( 1 3, l 3 l, ~ l 2 ( l 3, 1 3 l , H 1 3 C 13, 1 3J .• M 14 { l 3, .l3 l, H 15 ( l 3, 1 3 J , M 1 6 { 1 3, •13J,M17(1!,13>,Hld(13,13>,M1Sl13,l3l,M20C13,13J,H21C13,13J,~22(13, •13 ),1423( 13, 13 >, ~ASS
CDMHON CP~l,OD,DI,OT,Dr,O~F,OMT,DlR,ESQ,MAXO,HASSA,OBSl,08S2,0BS3 Cúl1HUN R.T,VEL,VE,~vor COMHON I~E~,L,AB,MF,RAMif EXTERNAL fEVR,!NVER
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DATA KDE41'1','I','H','P','l','E','X','E'/
O ATA 1\0 E S / '/',' E 1, 'S 1
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C•••••ENTRAOA DE 0Aú0S • DEFlhICAO ELASTICA E GEC~ETRICA DA ESTRUTURA e C••~•~INICIALIZACAC OE VARIAV(!S e e e
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NJUN= O ü!J 10 I,.1,5 MF<r>=O
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RAMifICACOES
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FIXC • VALOR 1
LIVRE • VALOR O
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í)l.i 30 Io:1,4 30 LCAl:lCI>•2
LCAtHl)lfl CALL C.\8P
108
C•c•••IüENTIFlCACAü OA LtTRUTLR~ e
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WRITEC5,50JKOú 50 F0RM~TC/1~,4All
!=O 00 70 J•l ,21,~ K•J+3 != I + 1 !FCITESTCKOE1,J,K,K0D,lll70,60,70
60 GOTOC35,80,90,l00,110,1131,I 70 CO NT !NUE 75 WRITEC5,7EJK0U 76 FORH4TC//20X,•CODIGG (C'4Al'll JN~ALIDO OU FALTA CARTAO l•',111
CALL EX!T eo REA0C8,83lC8Sl
HRITEC5,8EJOB~l 83 FORM,H( 20A 4) 86 FORMATC1X,20A4J
LÇAt!C2 l•l GOTO 35
90 REAOC8,83JCBS2
100
110 115 116
WRI TE C5,8E J08:i2 LCAl:IC3Jml GOTO 35 READC8,B3JC8S3 WR ITEC5,8E lOB:d LC.lil:l(ltl•l GOHi 35 WnITEC5,llEJKOu,IO,(DO(Kl,K•1,N) FURMATC1X,4Al,~1,15F5.0J li)TO 120
CarcaaOEFIMICAO GERAL DA ESTRUTURA e
e
e
lld CALL CAilP HLH•O
120 REAOl8,l30JKOD,I0iOD 130 FúRMATC4Al,Al,1:F5.0)
Nt. HaNLH + 1 IFCNLH•60J135,135,133
133 CALL CABP NL H•O
135 I•O DO 150 J• l.69,4 I\SJ•3 I• I +1 If<ITEST(XDE2,J,K,KOD,lll150,140,150
140 !NOICCI)•l GOTOC160,170,ld0,1S0,200,210,220,230,240,250,260,270,271,2S0,290,3
•OO, HO, 310,310,310,310, 310,3201, I 150 CONTINUE
160
162
164
165
168
170
172 173
174 175 176
GUTC 75
CALL CCNCA<l,200,IER,2,NJ IFCIERJ1&2,162,330 NBAR•OO\ll NJ=NBAR+t WRITEC5,1E4JKúD,ODC1 l FüRNAT(lX,4Al,lM,2F5.0) 00 ló6 l• 1, NJ l'I R I n:: < 12' I l MF , D~ F DO 168 !:1l,NB11R W R I TE ( 11 ' I J M T, O~ T, R, D M üOT..: 120
CALL CONC!C3,200tIER,10,NJ IflIER>17~,172,350 l F C N• 3 > 17 3, 17 4, 1 7 3 IER•lO iiüTO 75 ou 175 !•l,f'I
~Ã~tli~J21i~kJo,<oGCI>,!•l,N) úOTü 120
• CARTAO 11/N
• CARTAO /P!N
109
e - CARTAO /PME 1110 CALL CONCAC3,200,!ER,11,N1
If(IERll82,162,330 ld2 IFCN•3)163,184,1~3 163 IEfi=ll
GOTü 75 l ll 4 KP Mt•KP ME+ 1
NPH•IIPME•3 IPM•,~PM•2 00 185 I• 1, 3 IZ=J:>IPM•l
165 PHEOI<IZ>•O,HI> NP l'liiJ•KPHE GO Tü 17& e - CART AO /Pf I
190 CALL CONCACS,200,IER,12,Nl !f(lER>l92,192,330
192 !F o,•5H93, 194, l9 3 193 lC k•l2
GOTO 75 194 00 195 I•l, N 195 PfINI\(! )•OC<l l
GOTO 176 e - CARTAC //NS 200 CALL CONCACl,200,IER,3,N>
IF<IER>202,202,l3U 202 SECUH(l >•CD ll J
WRITE<5,lE4lftüD,DDCll ·GOTO 120
e - CAR T AC /NtlS 210 NSEC•SECU~ClJ
CALL CONCACNS~C,50,IEfi,4,hl IftlERlZ12,212,330
212 If<NSEC•~J214,216,214 214 15 ~-s G O 330 216 D() 215 !• 1, N
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130
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•D> DA P~!..,I, iiEL~C Aú ~,., ,F3, l, l/, 15X,'FO"-T.'.i' ,2 x, 1 IMPACTO' ,2;i., 'üIRO::CAü .. ' ) oo 4015 r~r.~•l fiKI fi:.l5,4010J\i',cT <i,JJ,J21,3 J
4010 F JRr.•.TC //, l é~,F 3.o ... x.Ft. 3,5X,F3.0) 4fll5 CIJI\TíNUS 4020 c;,1dPWf.
C.ALL i::OT [NU
CAPÍTULO V ,- Exemplos_ e Conclusões
V.1 - Introdução
Utilizando o programa dsscrito no capitulo IV, apr~
sentamos a seguir os exemplos estudados, Em cada um diles a
estruturai pe~corrida por uma carga concentrada com velocida
de constante.
Esta velocidade i fixada indiretamente atravis da
atribuição de valores à relação PF/,, onde PF i o per-iodo
fundamental e T o tempo gasto pela carga para atravessar um
trecho pri-fixado da estrutura.
Para uma determinada velocidade, a relação entre o
máximo valor dinâmico e o máximo valor estático, para um de
terminado esfôrço ou deslocamento, fornece,-nos o chamado coe
ficiente de impacto. Esses valores são apresentados para as
várias velocidades adotadas, e constituem o resultado final
de nosso estudo.
1 31
132
V,2 - Exemplos
V.2.1 - Exemplo 1
p X :V t
-----;-
X
4 5 6 7 8 9
~ ~ 1 1
3 ª" 0,75 m 11
b: 0,9 m 0,6 l :3b:2,7m
2 12
13
l :6a :4,5 m
L 1
Do esquema antePioP podemos escPeVeP:
1 Ml = M13 = 2
onde:
·ª2 = --- b g
1 a + 2
a.
Mi - massa concentPada no nd "i"
c1 ~ peso poP metPo de peça hoPizontal
c2 - peso poP metpo de peça VePtical
PaPa este exemplo mostPamos a seguiP a "Listagem
paPa consis tencia II que sempPe é _emitida pelo pPogPama, e tam
bém a listagem opci·onal dos vetoPes de Potação das baPPas,
133
OI~AMICA or ~SlRUTURAS RETICULADAS SUE CARGA MDVEL PELO METOOO OIS M!T~!ZES DE TRANSFEfiENC[A COPPE/UFRJ • ENGtNHlnIA CIVIL• L!TRUTURAS • 1975
=~=•=~Q~=•=·t=•=•=·~~~•~•=«~•=•~•N=~=*~~~~t~~~~=-=~=-=•=~=-=~=•~~·=~=~~•=•=~:~~~~•=• /EST
//Cl TESt OE ~ESTRADD - ~~R5!LIL OE ALCNCJS S~ L(ITAü //C2 PRl~EIHC ExEMFLO
/11
1.
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1 1 -• 1 3. 13.
l. !, •
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l ., '- . o. (l • º· o.
12 au MA!~ CARlCES N•O FORAM UfIL[ZAUUS NESTA OEFINICAO
DINA"IC) U[ ~STRUTUR3S NlTlCULAOA~ SUB C~RG• MOV[L PELO HEJGDO DAS HHr.IZI'::; DE fHANSFr.RUi\:U COPPE/UFRJ • E~GLNH;~I~ CIVIL• E51RUTURAS • 1575 TESE D~ MtST~-na • ~AR5IL!~ UE ALE~CAR SA LEIT~ü PRlHEIRC liEMPLU ..... ,(., 1. , .. o. o()
••·11,(::: LO. .l 3. it. 50 ·•••X • 9. () .. ? 5 1 • S O 2.25 3 , O O -· ..,,.,td -1, "• o. o() O .. ~i-0 1 • no 2.,0 **'.it'f:. s. 9. 2. 7 O
-~"""' lO, 1 3. 2. 70 l • d o 0,90 (J • o o W'lntl~ l • J. (). o o 'lilli/W/_::t:1 6, lo. (i. 00 ,u,+L.:. 11, l 3. 1), 00 //AX"' 1. b, • 70ú00000iZ""Ó 1 //AX" 7, l 2. • 7 r,000000 .,~o 1 li li:..= 1, t. ,21tl(l(l(l00[•07 //li:.."' l. 12. • 21000 0001:•0 7 li/(;_ ... 1. 6. • B o·, 00000 f.+0 6 li /Ü = 7, 12. • íl(li ()011()()(+0 6 l I Il" 1. 6. , ti. :iíi3 ooo ,~o 2 li Il= 7, !Z. • !4:,él.3000i:"02 11r·, .. 1. 6. • ll~BOOO,:•OJ IIIY= 7, 12. • )_ lldH!OO:~O 3 //IX= 1, l::i. • l Si' 27 Ollüi.'.~fl 2 //IX'" 7, 1 2 • • 15/27000[•02
'*
3. 7 5
9 OU MAIS CARICES ~AU FORAM UIILIZAOOS NESfA OEF[N!CAO
ESíRUTURA Pfi!~CIPAL INIC!F~
tlARfiÁ COMi'f,
l 2 3
o. 9 O O o. 900 O, \IGO
Bl:T .~.
O, O Oü o. ao o o.nou (],()1)0 o. noo O. GO O
L!ST4GEM PJRA CONFERENCIA
R C C 1 ., 9 ) )
1,000 0.000 ~1.000 0,000 1.000 0,00() H[,000 O,ílOO l. o o o o. coo -1 .. 000 G,000
o. O 00 0,0110 o. 000
0.000 O. 00 O 0,000
o. o o o º·ººº o. o o o
l , O 00 l. 000 l, O 00
DI~AMIC~ UE F~TRUfURAS RETICULADA~ SOB CARGA MDVEL ~rLU MET~OD DAS Hlf~IZ[S UL líl~N3FaRENCIA CCPPE/UFílJ - c~J(,tl\\H4R1A crvrL ... Z~TRUTUR/\S..., l979 Tt~E DC: Mt~TR,,\Dú u M,HS!L!O OE 1\LliM::1,,, ~~. LCl.T,H! PRlMElhC ~X\,:dPI..(.
E. 5 TR U 'f U R A P H r, C 1 P A 1. í· [D!,\ • P ;l, R 1 E 1 Ll5TAGEM FASA CUIIFERENCIA
ll/lR!l A COMPr. H F T li H C ( l , 9) ) ,1
. .4 O. 7 o o. 00(: l, 00 O 0.000 o. 000 O. 00 O 1,000 0.000 o o. 7 o º·ººº 1.000 o.oou 0.(l(l(l n.oou 1. 000 t) • o (l(l -6 o. '1 n o. noo l. coo o. 000 º·ººº O, GOQ 1.000 O, O 00 7 O, 7 o o. {1(lt) 1. íHHl O. (Hlil o. 00() o. 000 1, ()00 0,(J()(J é º· "( o o. noo 1. co n 0.000 º·ººº º·ººº 1.000 o. 000 9 e .. r o G. n O O 1. e oo 011 ººº' o. o o o O, 00 O 1.000 0,000
0.000 O. GOG 0,000 O, OOll O, 00 O o. 000 O , 00 O O.OOà º·ººº o. 000 O. 0() O o. 000
1 • O O O 1.000 l. 000 1.000 1.000 1.1100
1
1
i .1
lSTRUTURA P~HCIPAI. t HHL L!ST~GEM PARA LCNFERENCIA
b/lkRA C CM i-' F, d!'"Ti, H C C l ' 9) )
10 o. 9 üO º·ººº O. 000 - l. 00 O o. 000 l, 00 O 0.000 o. O 00 O, 00 O o. ao o 1,000 l l o. 9 o n (J • (l (Hl O .JHl O -1.000 o. ()0(1 1.000 u.ooo (1,000 0.000 O,OílU 1.000 12 o. , e o o. () o o 0,0()() ··1. 000 º·ººº 1,000 º·ººº º·ººº O, 00 O ª· o o o 1·,000
No exemplo obtivemos os coeficientes de impacto
referentes ao deslocamento horizontal do ponto 4 e ao desloca
mento vertical do ponto ·7, · conforme o quadro abaixo.
DESLOCAMENTO VERTICAL DESLOCAMENTO HORIZONTAL
PF DO PONTO 7 DO PONTO 4 . --T F. VENANCIO MARCOS M. F.VENANCIO MARCOS M.
FILHO .. JUNG. ALENCAR FILHO JUNG ALENCAR
2, O .. .1, 4.4. 1., 51 .1, 49 . 1,30 1,14 1, 1 7
1, 5 - 1, 74 1, 70 2., 00 1, 89 1,93
1., .O 1,61 1, 7.1 1, 68 . 2, 9 9. . .3., 00 2, 9_8
O .,.5 _ . 1, .1.7. 1 J., 2.2. J.,J.9. 1, .7.2 J.,.8.6 1,78
Observações:
1
11 Para o calculo dos deslocamentos verticais PF i o segundo P!
r{odo, correspondendo à frequJncia W=.1.24, 84 rad/seg, enqua;::
to que para os deslocamentos norizontais Jle i o primeiro P!
rlodo, correspondendo ã frequJncia W=53,-1 rad/seg
2) T i o tempo gasto pela carga para atravessar o vao l
31 Foram· considerados intervalos de tempo i·guais a PF 20
4) Os mesmos· resultados sao encontradoe quando con,fideramoe en
gastes nos pontos 1 e 13.
13 ,9
V.2.2 - Exemplo 2
"'T" 1
1
1
X:vt
--t----1
1 2 3 4 ~~J •• "'
,r·,u,.,,.,.
~ ~ , 1 b=0,8m 12
14,
p
1
-------~---~ X
5 6 7 8 9 10
.;:.~r t +a:1,Sm f- 16
'l 17 14c
e: 0,9 m 14 18
~-15 19
77
+- ~ 'l
3b l=4a 3b
Do mesmo modo q·ue no· caso anterior podemos definir:
.1 Gl = -2 g
b
M2 = M10 M3 M. Gl
b = = = -9 g
M5 M6 M? Gl
= = = - a g
M15 M19 1 G2
= = 2 - c g
M12 = M13 = M14 = M16 = Ml? MlB G2
= = - c g
M4 M6 1
~1 [a+b) G2 c] = = 2g +
Estudamos aqui os coeficientes de impacto referen
tes ao deslocamento horizontal do ponto 11 e ao deslocamento
vertical do ponto 6," conforme o quadro abaixo.
DESLOCAMENTO VERTICAL DESLOCAMENTO HORIZONTAL
DO PONTO 6 DO PONTO 11 PF -
T F. VENANCIO M. F. VENANCIO M.
FILHO ALENCAR FILHO. ALENCAR
2 ,.O 1, 48 1,52 o, 56. O, 50
.. .1., .5. - .1., .?4 1,3.0 .1, 24
1, .o 1, .6.2 1., .68 4, .5.0. 4,43
0.,.5 0,93 0,9? .. 2,.1.6 2, 21
141
Observações:
li As caracterlsticas geomitricas e elasticas da estrutura sao
as mesmas do problema anterior.
2) Para o ciilculo dos deslocamentos verticais PF e o segundo
per{odo correspondendo à fr~quência W=B0,7 rad/seg
Para os deslocamentos horizontais PF é o primeiro perlod0
correspondendo à frequência W=37,4 rad/seg.
3) T é o tempo gasto pelo carregamento para pe·rcorrer o veio
centaZ.
4) Foram considerados intervalos de tempo iguais a PF 2Õ
51 Os mesmos resultados sao encontrados quando· consideramos ·en
gastes nos pontos 15 e 19.
6) Naturalmente os coeficientes menores que a unidade sao de
validade apenas teórica.
14~
V.2.3 - Exemplo 3
p
5 6 7 8 9 10 11
~ ~ 4 22
1 1 a=2,0m
!·1,25m 23
2 24
1
l ~ 1 l 1 l=4a
12 13 14 15 16
26
27
28
k 1 l
17
18
19
20
21
~ 1
143
4b
)t
X
Do mesmo modo que nos casos anteriores, podemos de
finir as massas pontuai~ nos v&rios n5s da estrutura.
M2 = M3 = M4 = MlB = M19 = M20 =
M22 M23 M24 M26 M27 M28 ª2
= = = = = = - a g
M5 M17 1 CG 1 ª2 bl = = 2g a +
M6 = M7 = MB = MlO =
Mll M12 M14 M15 M16 ª1
= = = = = - a g
M9 MlJ 1 C2G 1 G2 b) = = 2g a +
Neste exemplo obtivemos os coeficientes de impacto
referentes ao deslocamento horizontal do ponto 5 - -e a reaçao
horizontal no ponto 21 , conforme quadro que se segue.
144
[DESLOCAMENTO HORIZONTAL 1 '
f
REAÇÃO HORIZONTAL 1
1 1 PF 1 DO.PONTO 5 NO PONTO 21 ' -'[
1 MARCOS M. MARCOS M. 1
JUNG ALENCAR JUNG 1 ALENCAR 1
' 2, O O ,81 o, 88 1,99 1 1,80 j '
1 1 1,5
' 1, 43 1, 52 3,·37 ' 3, 31 1
' 1~0 5, 24 5, 30 3, 09 3, 02 1
1
O, 5 2, 1 O 2, 06 1,45 l - 1
1 l
Observações:
1) PF é o período fundamental, correspondente a frequên
cia W=40,8 rad/seg .
2) T é o tempo gasto pela carga para atravessar o vao "l"
3) Foram considerados· intervalos de tempo i:guais a PF 2Õ
41 Naturalmente os coefioientes menores que a unidade sao
de validade apenas teórica,
5) As características geométricas e elástioas da estrutura
são das mesmas dos problemas anteriores.
145
V.2.4 - Exemplo 4
100
425
4 3 1
215 75 100 100 1 1 1
'l 1 50
5
x:vt
6
550
7 e
~ 1
p
9
~ 1
4
Í·"º a:100
400 3
2
1
600
50 550
10 11 12 13 14
22
23
24
25
600
15 16
" 'l 50
17
18
19
146
20
21
Secções transversais
1)
2)
~56
14
3)
14
Trata-se de um pórtico plano com membros horizon
tais de inircia variavel segundo lei parabólica,
Os membros verticais têm as mesmas dimensões trans
versais que os dos demais exemplos.
Para efeito de obtençáo das mas·sas discretas sub.;t
tituimos os arcos de parabola por segmentos retos horizontais
passando por seus pontos médios,
Dessa maneira as massas sao calculadas analogame~
te aos casos anteriores,
14?
No exemplo obtivemos os coeficientes de impacto~
ferentes ao deslocamento horizontal do ponto 17 e ao desloca
mento vertical do ponto 8
DESLOCAMENTO DESLOCAMENTO
PF HORIZONTAL DO VERTICAL DO -T PONTO 1 7 PONTO 8
2,.0 1,13 1,36
1., 5 2, 01 1, 6 9
1, O 3, 60 1., 81
1
O, 5 · 1, 66 1., 05
Observações:
12 Para o cálculo dos deslocamentos verticais PF e o segun
do período, correspondendo à frequíincia W=112,5 rad/seg.,
enquanto que para os deslocamentos horizontais êle é o prf
meiro período, correspondendo à frequência W=48,6 rad/seg.
2) T e o tempo gasto pela carga para atravessar o váo l
3) Foram considerados intervalos de tempo iguais a PF 20
148
V.3 - Considerações sobre uso das expressoes para cálculo de
coeficientes de impacto.
Utilizando as expressões apresentadas em III.4.6, en
contramos para os exemplos anteriores, os resultados abaixo:
t !EXEMPLO
COEFICIENTES DE IMPACTO
RILEM ÁREA AASHO DIN ABNT
19 1, 36 1, 39 1,35 1, 36 1,37
29 ' 1,361 1, 30 1, 39 1, 35 1 1, 35
!
39 1, 25 1, 39 1,33 1 1, 34 1,341
49 1,27 1, 39 1,35 1, 3 5 1,36
Podemos verificar que, para nosso tipo de estrutur~
encontraremos sempre, para qualquer das expressões, um coeficf
ente de impacto entre os valores 1,25 e 1,39, valor este bem
inferior aos coeficientes máximos encontrados em todos os exem
plos. Concluimos assim que, para nosso tipo estrutural, os va
lares dados por aquelas expressões não podem ser utilizados in
discriminadamente, mas apenas quando a velocidade das
móveis estiver dentro de uma determinada faixa.
cargas
Nos exemplos apresentados observamos que os valores
maiores dos coeficientes de impacto se verificam para as rela
çoes PF T
PF =l,OeT=1,s, decrescendo para relações
PF T
ex-
teriores a esse intervalo, AI então i que se enquadrariam os
149
valores enaontrados no quadro anterior, dado pelas expressoes.
Entretanto para relaçóes PF T
maiores que 1,5, o a&laulo das
veloaidades aorrespondentes nos d& valores muito altos, muitas
vezes maiores que 200 km/h, e portanto
apliaação em nosso estudo.
inteiramente fora de
a relação
A aonalusão final, logiaamente, é que apenas quando
PF T
for menor que 0,5, os valores dados pelas ex-
pressões podem ser utilizados. O a&laulo das veloaidades aor-
respondentes nos exemplos a esses valores, aonfirma a hip6tese
feita em III.4.6 aom relação às veloaidades adotadas nas ex
periênaias aom as quais se obtiveram as expressóes.
O quadro abaixo apresenta o a&laulo das veloaida
des aorrespondentes aos aasos dos exemplos:
PF 2,0
PF 1, 5
PF 1,0 1
PF 0,5 -- - = - = - = EXEMPLO T T T T
V V V V V V V V
(m/s) (Km/h) (m/s) (Km/h) (m/s) (Km/h) (m/s) (Km/h)
19 76,1 274,0 57,7 207,7 38,1 138,6 19,02 68,5
29 71,4 257,0 53,6 1 193,0 35, 7 ' 128,5 17,9 64,4 1
1
39 103,9 374,0 77,9 280,4 51,9 186,8 25,9 93,2
49 93,0 334,8 .69,? 251,1 46,5 167,4 23,2 83,5
1
1 1
! 1
1$0
V.4 - Conalusões finais
V.4.1 - Os máximos valores dos coefiaientes de impaato oaorrem
para valores da relação PF T
entre 1,0 e 1,5.
V.4.2 - Considerando-se desloaamentos vertiaais e horizontais,
os milximos valores dos aoefiaientes de impaato sãoªº!'..
respondentes aos Últimos. Consequentemente para os e~
forças os máximos aoefiaientes de impaato seríio osªº!'..
respondentes aos esforços assoaiados aos desloaamentos
horizontais.
V.4.3 - Coefiaientes de impaato aalaulados por expressóes obti
das de normas ou publiaações de assoaiações téaniaas
só deverão ser usados quando a veloaidade de desloaa
mento das aargas níio ultrapassar o valor máximo de a
proximadamente 80 Km/h, a menos que a expressao usada
venha aaompanhada de indiaações a respeito da veloaida
de adotada.
151
ANEXOS:
A.1 - Notações utilizadas
a - Abscissa onde atuam as cargas concentradas aplica
das sobre uma barra. Também significa coeficiente
angular de uma reta ou trecho do comprimento ileuma
barra.
b - Coeficiente do têrmo quadrático em equaçao polino
mial, ou trecho do comprimento de uma barra.
c - Coeficiente do têrmo cúbico em equaçao polinomial,
ou trecho do comprimento de uma barra.
g - Aceleração da gravidade .
j e k
Pontos extremos de uma barra.
l - Comprimento de barra.
m - Momento torsor distribuido aplicado,
n - Carga axial distribuida aplicada.
p ~ Carga dis tribuida aplicada ,
P. e pz y Cargas concentradas aplicadas nas direções y e z.
s - Dis·tancia em pes entre vigas longitudinais dé pon
tes.
152
t - Variável tempo.
v - Veloai'dade de des,loaamento do aarregamento.
x, y e z
Sistema de eixos aoordenados.
X , y e Z s s s
Sistema global de eixos aoordenados.
XAS' YAs e ZAS
Coordenadas no sistema global, de um ponto no pla-
no
xM, yM e zM
Sistema local de eixos coordenados.
A - Ação generalizada.
A - Área da secçao transversal de uma barra. X
e c z
Cossenos diretores do eixo xM em relação ao sis~
tema global.
D - Deslocamento generalizado.
E - Módulo de elasticidade longitudinal.
G - Módulo de elasticidade transversal ou peso das bar
ras por metro linear.
G - Carga permanente total em um vao aonsiderado. t
153
I , I , I2 X y
~ Momentos de inércia da secçao transversal.
K e K yy zz
~ Rigidezes de mola de apoios elásticos
L !ndice do vetor de estado, significando a esque!
da.
M Massa concentrada pontual,
M Momento concentrado aplicado na direção y , ey
M Momento concentrado aplicado na direção z. ez
M Momento fletor na secçao "s" na direção y. sy
M Momento fletor na secçao "s II na direção z sz
Mt Momento torsor
M te - Momento torsor concentrado aplicado.
Mts - Momento torsor na secçao us 11•
M Momento fletor na direção y. y
M Momento fletor na direção z. z
N Esfôrço normal .
Ne Carga axial aplicada.
P Carga concentrada aplicada, fixa ou móvel.
PF Periodo fundamental.
P e P y z
- Cargas concentradas aplicadas nas direções y e z .
Qy - Esfôrço cortante na direção y ,
Qsy - Esfôrço cortante atuante na secçao "s" , na dire
çao y.
Qz - Esfôrço cortante na direção z.
Qsz - Esfôrço cortante atuante na seaçao "s", na dire
çao z .
R - Indice do vetor de estado, significando a direita.
X, Y e Z
- Desloaamentos respectivamente nas direções x, y
a
B
e z
- Coeficiente de dilatação térmica ,
- Ângulo entre e o plano vertical de XM e y s,
que define a posição dos eixos principais da peç~
y - Valor muito grande ( 00 ) introduzido na diagonal
da matriz
8 - Rotação na secçao "s ", em torno de y • sy
88
z - Rotação na seaçao "s", em torno de z ,
e e e y z
- Rotações em torno de y e z respectiva mente,
155
- Rotação em torno de x ,
Q - Coeficiente de impacto.
W - Frequência de vibração .
6t - Variação de temperatura.
{ } - Vetor
{A} A - Vetor das açoes no ponto A .
{ A } . J,i
Vetor das - ponto ,, j,, da barra "i ,, - açoes no
{Aw} - Vetor das açoes geradas pelas massas pontuais em
vibração ,
{ D }A - Vetor dos deslocamentos no ponto A .
{D} . . J, 1,
- Vetor dos deslocamentos no ponto njn da barra
"i"" .
{FAJ - Parte do vetor das cargas de
çoes .
{FvJ - Parte do vetor das cargas de
deslocamentos.
[F~, devida as a-
devida aos
· { P} . - Vetor das cargas externas aplicadas no nó ni n , 1,
ou vetor das cargas nodais equivalentes, para a
barra ,, •. tr 1, •
156
{R} - Vetor de reaçoes em um n5,
{TAC} - Parte do vetor das cargas de [Tl devida aos ,
esforços.
ITDC} - Parte do vetor das cargas de [TJ , devida aos
des-locamentos.
{ Ü}. - Vetor de deslocamentos nodais virtuais na barra " ,, i ,,
{ ÜI }i - Vetor de deslocamentos no interior da barra "i ",
devidos a { Ü}. "
{ LI • } - Vetor de deformações impostas no n5 "i" . "
[ J - Matriz quadrada ou retangular.
[F] - Matriz fronteira .
[Fl. - Matriz fonteira do -J
no "j" .
- Submatrizes quadradas 6x6, componentes de [F]
[!iJ - Matriz fronteira do n5 em que se conecta a rami
ficação.
[x] - Matriz diagonal das rigidezes de mola, introduzi
da em [F] para considerar a existência de apoios
elásticos.
157
[R] - Mat:t>iz de :t>otação 3x3 ,
[:ri:} - Mat:t>iz de :t>otação 12x12 ,
[s] - Mat:t>iz 6X6 int:t>oduzida em [F] pa:t>a leva:t> em
conside:t>ação a existênaia de :t>amificação.
[T] - Mat:t>iz de t:t>ansfe:t>ência.
[T]i- Mat:t>iz de t:t>ansfe:t>ênaia da ba:t>l'a "i" .
[!o~, [!oA] , [!A~ e [!AA] - Submat:t>izes quad:t>adas 6x6, componentes de [TJ
[TR] -Mat:t>iz de t:t>ansfe:t>ênaia de :t>amificação,
[ V J - Mat:t>iz diagonal 6x6, int:t>oduzida em [F]
leva:t> em aonside:t>ação as"descontinuidades ge:t>àdas
por {,Ai,;}.
[y] - Mat:t>iz diagonal 6x6 , int:t>oduzida em [F] pa:t>a
leva:t> em aonside:t>ação a existência de libe:t>ações
gene:t>alizadas nos nós.
1E8
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