Định Lý Điểm Bất Động

7/23/2019 Định Lý Điểm Bất Động

http://slidepdf.com/reader/full/dinh-ly-diem-bat-dong 1/66

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

§¹i häc th¸I nguyªnTr-êng ®¹i häc s- ph¹m

----------------------------------

Tr-¬ng thÞ h¶i yÕn

Mét sè ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng

Chuyªn ngµnh : Gi¶i tÝch M· sè : 60.46.01

LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc:

PGS.TS TRƯƠ NG XUÂN ĐỨC HÀ

Th¸i Nguyªn - 2008




MỤC LỤC Lời nói đầu…………………………………………………………………...2

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị……………………………………...4

1.1.Tính compact và tính đầy đủ……………………………………………...4

1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số…………………………………5

1.3. Tập sắp thứ tự…………………………………………………………….5

1.4. Không gian điểm bất động……………………………………………….6

1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ……………………9

Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủvà ứng dụng của định lí Banach…………………………………………...12

2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach……………………………………………12

2.2. Miền bất biến cơ sở ……………………………………………………..15

2.3. Phươ ng pháp liên tục cho ánh xạ co…………………………………….17

2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co…………………………………….20

2.5. Mở r ộng nguyên lí ánh xạ co Banach…………………………………...23

2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert…………………………...28

2.7. Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân……………….36

Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự . .39

3.1. Định lí Knaster - Tarski………………………………………………....39

3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps…………………….42

3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa tr ị……………………………………..45

3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach…………...473.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn………………………………...48

Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51

4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….……………………………..51

4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức………………………....56

4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff – Kakutani………...60

Kết luận……………………………………………………………………..63

Tài liệu tham khảo………………………………………………………….64




LỜI NÓI ĐẦU

Cho C là một tập con của không gian X , F là một ánh xạ từ C vào X . Phải đặt những điều kiện nào trên C , X và F để có thể khẳng định sự

tồn tại của một điểm 0

x trong C sao cho0 0

Fx x= ? Điểm 0

x như vậy gọi là

điểm bất động của ánh xạ F .

Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng

dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơ i, các bao hàm thức vi phân và

trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số k ết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế k ỉ XX, trong đó phải k ể đến nguyên lí điểm bất

động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Các k ết quả kinh

điển này đã được mở r ộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau.

Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơ n một số

định lí điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji. Fixed point

Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới

thiệu những k ết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và

tính lồi.

Bố cục của luận văn gồm 4 chươ ng với những nội dung chính sau đây:

Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi

luận văn.

Chương 2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ

của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở r ộng và ứng dụng

của nó.

Chương 3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ

tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch. Xét mối liên hệ

giữa khái niệm thứ tự và tính đầy đủ ta thu được Định lí Bishop – Phelps,

Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland. Trong chươ ng này còn trình




bày điểm bất động của ánh xạ co đa tr ị, đồng thời xét một vài ứng dụng vào

nghiên cứu hình học của không gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn.

Chương 4. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi cụ thể

là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM.

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS

Trương Xuân Đức Hà , tác giả xin bày tỏ lòng kính tr ọng và sự biết ơ n sâu

sắc đến cô. Tác giả xin chân thành cảm ơ n các thầy cô giáo phản biện đã đọc

và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo

Khoa Toán, Tr ường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện

Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ , động viên tác giả

trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả

xin gửi lời cảm ơ n chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều

kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này.

Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không

tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả r ất mong nhận được sự góp ý từ thầy côvà các bạn. Tác giả xin chân tr ọng cảm ơ n!

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2008.

Học viên

Tr ươ ng Thị Hải Yến




Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chươ ng này ta nhắc lại một số khái niệm và một số định lí quan tr ọng

được dùng trong luận văn [ ] [ ] [ ] [ ]( )1 , 2 , 4 , 5 .

1.1. Tính compact và tính đầy đủ

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian mêtric với mêtric d. Một dãy

{ }n x trong X được gọi là dãy Cauchy nếu ,lim ( , ) 0n mn m d x x→∞ = , tức là với mọi

0ε > , tồn tại 0n sao cho với mọi0

,n m n> ta có ( , )n md x x ε < .

Định nghĩa 1.1.2. Không gian mêtric X gọi là đầy đủ (hay đầy) nếu mọi dãy

Cauchy trong nó đều hội tụ.

Ví dụ: n là không gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Euclid.

Định nghĩa 1.1.3. Tập con A của không gian mêtric X được gọi là t ập

compact nếu với mọi dãy { }n x trong A , tồn tại dãy con { }k n

x hội tụ đến một

phần tử của A . Tập A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A của A trong

X là compact.

Ví dụ: Mọi tập đóng và bị chặn trong n là tập compact.

Định nghĩa 1.1.4. Cho X và Y là hai không gian Banach. Toán tử

: ( )T D T X Y ⊆ → được gọi là toán tử compact nếu T là liên tục và T biến

một tập bị chặn thành một tập compact tương đối.

Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor). Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy

hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Ta nhắc lại, dãy hình

cầu { }n B (với dãy bán kính tương ứng { }nr ) được gọi là thắt dần nếu

1n n B B+ ⊆ , với mọi 1n ≥ và lim 0nn

r →∞

= .




Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder). Cho M là một tập không

r ỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X , và giả sử :T M M → là

toán tử compact. Khi đó, T có một điểm bất động.

1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số

Cho X là không gian mêtric. Giả sử A X ∅ ≠ ⊂ , : f A → và0

x A∈ .

Định ngh ĩa 1.2.1. Hàm f bị chặn dưới trên A nếu tồn tại : ( )h f x h∈ ≥

với mọi x A∈ . Hàm f bị chặn trên trên A nếu tồn tại : ( )h f x h∈ ≤ với

mọi x A∈ .Định ngh ĩa 1.2.2. Hàm f là nửa liên tục dưới tại

0 x A∈ nếu với mọi 0ε > ,

tồn tại 0δ > sao cho0

( ) ( ) f x f x ε − < với mọi 0( , ) x B x δ ∈ , tức là

00

lim inf ( ) ( ) x x

f x f x→

≥ . Trong đó, { }0

0lim inf ( ) inf : ( ) , ( )

n n x x

f x u x x f x u→

= ∃ → → .

Nếu f là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x A∈ thì f được gọi là nửa liên tục

dưới trên A . Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên A nếu hàm f − là

nửa liên tục dưới trên A .

1.3. Tập sắp thứ tự

Định nghĩa 1.3.1. Tập X cùng với quan hệ ° thoả mãn

i) x x° với mọi x X ∈ (tính phản xạ).

ii) x y° , y x° kéo theo x y= (tính phản đối xứng).

iii) x y° , y z° kéo theo x z° (tính bắc cầu).được gọi là t ập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự “° ”.

Định nghĩa 1.3.2. Tập con A X ⊂ được gọi là t ập sắp thứ tự tuyến tính (hay

xích) nếu với , x y A∈ bất kì thì hoặc x y° hoặc y x° .

Giả sử X là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự ° và A là một tập

con khác r ỗng của X .




Định nghĩa 1.3.3. Một phần tử a X ∈ gọi là phần t ử cực đại của X nếu quan

hệ a x° kéo theo x a= , với mọi x X ∈ . Một phần tử a X ∈ gọi là phần tử

cực tiểu của X nếu quan hệ x a° kéo theo x a= , với mọi x X ∈ .

Định nghĩa 1.3.4. Phần tử a X ∈ gọi là cận trên của tập A nếu x a° với mọi

x A∈ .Nếu a A∈ và a là một cận trên của A thì a gọi là phần tử lớn nhất

của A và kí hiệu là max A . Phần tử a X ∈ gọi là cận dưới của tập A nếu

a x° với mọi x A∈ . Nếu a A∈ và a là một cận dưới của A thì a gọi là

phần tử nhỏ nhất của A và kí hiệu là min A .

Định nghĩa 1.3.5. Phần tử a X ∈ gọi là supremum của A (hay cận trên đúng

của A ) nếu nó là phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp các cận trên của A ,

và kí hiệu là sup A . Phần tử a X ∈ gọi là infimum của A (hay cận dưới đúng

của A ) nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của A ,

và kí hiệu là inf A .

Định nghĩa 1.3.6. Tập hợp A được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận

trên. Tập hợp A được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới. Tập hợp A

được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.

Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn). Giả sử X ≠ ∅ là tập sắp thứ tự bộ phận. Nếu mọi

xích của X đều có cận trên thì X có phần tử cực đại.

1.4. Không gian điểm bất động

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một không gian tôpô ( Hausdorff ) và f là một

ánh xạ liên t ục của X, hoặc của một tập con của X , vào X . M ột điểm

x X ∈ được gọi là một điểm bất động đối với f nếu ( ) x f x= . T ập tất cả các

điểm bất động của f ký hiệu là ( )Fix f .

Người ta có thể thấy được trong định nghĩa này, dạng điển hình của các

định lí về tồn tại trong giải tích. Ví dụ: tìm một nghiệm của phương trình

( ) 0P z = , trong đó P là một đa thức phức, tương đương với việc tìm một




điểm bất động của ánh xạ ( ) z z P z− . Tổng quát hơn, nếu D là toán tử bất

k ỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình

0 Du = (tương ứng 0u Duλ = ) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh

xạ u u Du− (tương ứng u Duλ ) có một điểm bất động. Như vậy, những

điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại

một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích.

Cho một không gian X và ánh xạ liên tục : f X X → . Sự tồn tại một

điểm bất động đối với f có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất của không

gian X , hơn là vào tính chất của ánh xạ f .

Định nghĩa 1.4.2. M ột không gian tôpô ( Hausdorff ) X được gọi là không

gian điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên t ục : f X X → đều có một điểm bất

động.

Ví dụ 1.4.3.

(i) Một khoảng đóng bị chặn , J a b = ⊂ bất kỳ là một không gian điểm

bất động. Thật vậy, cho : f J J → ta có ( ) 0a f a− ≤ và ( ) 0b f b− ≥ , theo

định lý giá trị trung bình phương trình ( ) 0 x f x− = có một nghiệm trong J,

do đó f có một điểm bất động.

(ii) Tập số thực không là không gian điểm bất động, vì ánh xạ

1 x x + không có điểm bất động.

Trong trường hợp tổng quát, rất khó để kiểm định là một không gian cólà không gian điểm bất động hay không, những k ết quả thuộc loại đó thường

có r ất nhiều hệ quả tôpô quan tr ọng. Một ví dụ là định lí điểm bất động

Brouwer chỉ ra rằng: M ọi tập compact lồi trong n đều là không gian điểm

bất động .

Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: nếu X là

không gian điểm bất động và :h X Y → là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên




tục :g Y Y → , ánh xạ 1 :h g h X X − → có một điểm bất động0 x nên

0 0( ) ( )g h x h x= và 0( )h x là một điểm bất động đối với g.

Ví dụ 1.4.4. Đồ thị của hàm liên tục : , f a b → , cho bởi

= 0

1sin 0 1

( )

0

x khi x f x x

khi x

< ≤=

là đồng phôi vào [ ],a b , vì thế nó là một không gian điểm bất động.

Nếu X không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng r ằng một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động. Để hợp thức hoá khái

niệm này, chúng ta mở r ộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2:

Định nghĩa 1.4.5. Cho X là một không gian tôpô ( Hausdorff ) và M

là một

lớp các ánh xạ liên t ục : f X X → . N ếu mọi f ∈M có điể m bất động thì X

được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với M .

Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: M ọi không gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ co.

Khái niệm trên là đặc biệt quan tr ọng khi M là lớp các ánh xạ

compact, ngh ĩa là những ánh xạ liên tục : f X X → với bao đóng ( ) f X của

( ) f X là compact, các ánh xạ thuộc loại này xuất hiện một cách tự nhiên

trong các vấn đề của giải tích phi tuyến.

Ví dụ 1.4.6. (i) Ta đã biết không là không gian điểm bất động. Trong thực tế,

là một không gian điểm bất động tương ứng với lớp ánh xạ compact. Nếu ánh

xạ : f → là compact thì ( ) f chứa trong đoạn hữu hạn ,a b nào đó;

khi đó tự ánh xạ : , , f a b a b → có một điểm bất động.




(ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích

đã khẳng định rằng: M ọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là

không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact .

Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử

dụng các k ỹ thuật tươ ng tự để chỉ ra r ằng tính chất là không gian điểm bất

động là một bất biến tôpô. Chẳng hạn, một tập mở bất kì ( ),a b ⊂ , cũng như

đồ thị của 1sin , 0 1 x x

< < , là một không gian điểm bất động đối với các

ánh xạ compact.

1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ

Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động

không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn { }, ,a b a b ⊂

không có tính chất điểm bất động. Tuy nhiên, một số không gian con có thể

thừa k ế tính chất điểm bất động.

Định nghĩa 1.5.1. M ột tập con A X ⊂ được gọi là t ập co rút của X nếu có

một ánh xạ liên tục :r X A→ sao cho ( )r a a= với mỗi a A∈ ; ánh xạ r được

gọi là ánh xạ co rút của X đến A.

Ta lưu ý r ằng một tập co rút của một không gian Hausdorff nhất thiết là

một tập đóng, vì { }: ( ) ( ) A x r x id x= = , trong đó ( ).id là ánh xạ đồng nhất.

Chẳng hạn, nếu E là một không gian định chuẩn và{ }:K x E x= ∈ ≤ñ ñ là một hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ,

thì :r E K → ñ được cho bởi

( )

y khi y

r y ykhi y

y

≤=

>

ñ

ñ ñ (1.1)

là ánh xạ co rút chuẩn tắc từ E đến K ñ .




Tầm quan trọng của khái niệm này trong lý thuyết điểm bất động bắt

nguồn từ k ết quả sau:

Định lí 1.5.2. N ếu X là một không gian điểm bất động (tương ứng , một

không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact ) thì X cũng là không

gian điểm bất động với mọi tậ p co rút của X .

Chứng minh. Giả sử :r X A→ là ánh xạ co rút và :i A X → là ánh xạ

nhúng, ta có Ar i id = . Xét ánh xạ liên tục bất kì : f A A→ khi đó

:i f r X X → có một điểm bất động, giả sử đó là0

x . Từ 0 0( )i f r x x=

suy ra

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

Ar x r i f r x id f r x f r x = = = ,

do đó0( )r x là một điểm bất động của f .

Tương tự ta cũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với các

ánh xạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X . □

Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động thì

chắc chắn r ằng X là không gian điểm bất động. Thật vậy, mọi tập con { }a là

không gian điểm bất động và là tập co r út của không gian bất kì.

Ta minh hoạ thêm k ỹ thuật co rút bằng cách suy ra từ định lí điểm bất

động Schauder k ết quả cơ bản dưới đây:

Định lí 1.5.3 (Thay phiên phi tuyến). Cho E là một không gian tuyến tính

định chuẩn và K ñ là hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính . Khi đó

mỗi ánh xạ compact :F K E →ñ có ít nhất một trong các tính chất sau thoả

mãn:

(a) F có điểm bất động ,

(b) T ồn tại x K ∈∂ ñ và ( )0,1λ ∈ sao cho ( ) x F xλ = .




Chứng minh. Cho :r E K → ñ là ánh xạ co rút chuẩn tắc. Theo định lí

Schauder, ánh xạ hợp compact :r F K K → ñ ñ có một điểm bất động ( ) x rF x= .

Theo công thức (1.1), nếu ( )F x K ∈ ñ thì ( )F x ≤ ñ , ta có

( ) ( ) x rF x F x= = ,

vì thế F có điểm bất động. Nếu ( )F x K ∉ ñ thì ( )F x > ñ , ta tìm thấy

( )( )

( )

F x x rF x

F x= = ñ

suy ra ( )( )

F x x

F x= =ñ ñ , do đó x K ∈∂ ñ và ta có thể lấy 1

( )F xλ = <

ñ.




Chương 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNGTRONG KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG

CỦA ĐỊNH LÍ BANACH

Chươ ng này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính chất đầy

đủ. Chúng ta trình bày Nguyên lí ánh xạ co Banach, và các mở r ộng của nó,

một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

và một số ứng dụng của Định lí Banach [ ]( )4

2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach

Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng r ộng rãi nhất là

nguyên lí ánh xạ co Banach. Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện

trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác

tuỳ ý.Cho ( , ) X d , ( , )Y ñ là hai không gian mêtric và ánh xạ :F X Y → của

những không gian mêtric. Nếu F thoả mãn

( , ) ( , )Fx Fz Md x z≤ñ

với M là hằng số cố định và mọi , x z X ∈ thì F được gọi là ánh xạ Lipschitz.

Giá tr ị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschit z ( ) L F của F . Nếu ( ) 1 L F < ,

ánh xạ F được gọi là ánh xạ co với hằng số co ( ) L F . Nếu ( ) 1 L F ≤ , ánh xạ F

được gọi là ánh xạ không giãn.

Lưu ý r ằng ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục. Thật vậy, lấy0 x X ∈ bất

kì, cho 0ε > , với mọi x X ∈ , theo định nghĩa ánh xạ Lipschitz ta có

0 0( , ) ( , )Fx Fx Md x x≤ñ

nên 0( , )d x x M

ε

δ < = . Như vậy, F liên tục tại 0 x .




Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi ( ) 1 L F < nên

ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục.

Cho Y là một tập bất kì và cho ánh xạ :F Y Y → . Lấy y Y ∈ bất kì, ta

định ngh ĩa ( )nF y bằng quy nạp như sau: đặt 0( ) y F y= ta có 0( )Fy F F y= ,

2 ( )F y F Fy= ,…. Cứ tiếp tục quá trình đó ta được 1 ( )n nF y F F y

+ = . Ta gọi

nF y là bước lặp thứ n của Fy , và tập { }: 0,1,...n

F y n = là quỹ đạo của y

bởi F .

Định lí 2.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Cho ( , )Y d là một không gian

mêtric đầy đủ và :F Y Y → là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất một đ iểm bất

động u và nF y u→ với mỗi y Y ∈ .

Chứng minh. Cho 1α < là hằng số co của F . Tr ước tiên ta chứng minh F

có nhiều nhất một điểm bất động: giả sử 0 0 x y≠ và0 0 0 0,Fx x Fy y= = , ta có

( )0 0 0 0 0 0 0 0( , ) , ( , ) ( , )d x y d Fx Fy d x y d x yα = ≤ < ,

điều này vô lí.

Để chứng minh tính tồn tại, ta phải chỉ ra r ằng cho y Y ∈ bất kì, dãy

{ }nF y hội tụ đến điểm bất động u . Đầu tiên ta có 2( , ) ( , )d Fy F y d y Fyα ≤ và

do quy nạp

1 1( , ) ( , ) ( , )n n n n nd F y F y d F y F y d y Fyα α + −≤ ≤ ≤

Như vậy, cho n bất kì và 0 p > , ta thu được

11 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

n pn n p n n n p n p i i

i n

d F y F y d F y F y d F y F y d F y F y+ −

+ + + − + +

=

≤ + + = ∑

1 1 1( ) ( , ) (1 ) ( , )n n n p n pd y Fy d y Fyα α α α α α + + − −≤ + + + ≤ + + +

1(1 ) ( , ) ( , )1

nn p

d y Fy d y Fyα

α α α α

−≤ + + + + =−

.




Vì 1α < nên 0nα → , điều này chỉ ra r ằng { }nF y là dãy Cauchy. Do d là đầy

đủ vì thế

n

F y u→ với u Y ∈ . Vì F liên tục , ta có

1

( )

n n

F y F F y Fu

+

= → ;nhưng { }1n

F y+ là một dãy con của dãy { }n

F y nên Fu u= , tức là F có điểm

bất động u . Ta thấy r ằng với mỗi y Y ∈ , giới hạn của dãy { }nF y tồn tại và có

một điểm bất động mà F có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi dãy

{ }nF y đều hội tụ đến cùng một điểm. □

Ta thấy r ằng từ

( , ) ( , )1

nn n p

d F y F y d y Fyα

α

+ ≤−

với mọi 0 p >

tìm được

( , ) lim ( , ) ( , )1

nn n n p

pd F y u d F y F y d y Fy

α

α

+

→∞= ≤

−,

sai số của bước lặp thứ n khi xuất phát từ y Y ∈

được hoàn toàn xác định bởi hằng số co α và khoảng cách ban đầu ( , )d y Fy .

Nguyên lí Banach có một dạng địa phươ ng hữu ích liên quan tới hình

cầu mở B trong một không gian mêtric đầy đủ Y và một ánh xạ co từ B đến Y

sao cho nó không dịch chuyển tâm của hình cầu quá xa.

Hệ quả 2.1.2. Cho ( , )Y d là không gian mêtric đầy đủ và

{ }0 0( , ) : ( , ) B B y r y d y y r = = < .

Cho :F B Y → là một ánh xạ co với hằng số 1α < . N ếu0 0( , ) (1 )d Fy y r α < −

thì F có một điểm bất động.

Chứng minh. Nếu 0 0( , ) (1 )d Fy y r α < − , chọn r ε < ta có

0 0( , ) (1 ) (1 )d Fy y r α ε α ≤ − < − .

Giả sử { }0: ( , )K y d y y ε = ≤ là hình cầu đóng. Xét ánh xạ :F K K → . Nếu




y K ∈ thì

0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )d Fy y d Fy Fy d Fy y≤ +

0( , ) (1 ) . (1 )d y yα α ε α ε α ε ε ≤ + − ≤ + − = ,

vì thế ( )F K K ⊆ . Khi đó :F K K → là ánh xạ co. Do K là hình cầu đóng nên

K là đầy đủ. Theo nguyên l í ánh xạ co Banach, :F K K → có duy nhất một

điểm bất động. Vậy :F B Y → có điểm bất động. □

2.2. Miền bất biến cơ sở

Trong hầu hết các ứng dụng, không gian mêtric đầy đủ Y là một khônggian Banach. Định lí ánh xạ co Banach dẫn đến một kết quả đặc biệt có ích

trong ứng dụng.

Cho X là một tập con của không g ian Banach E . Cho một ánh xạ

:F X E → , ánh xạ x x Fx− của X vào E được gọi là trường gắn với F

và kí hiệu là ( ) f x x Fx= − . Trường : f X E → xác định bởi ánh xạ co

:F X E → được gọi là trường co.Định lí 2.2.1 (Miền bất biến của trường co). Cho E là một không gian

Banach, U E ⊂ mở, và :F U E → là ánh xạ co với hằng số co 1α < . Cho

: f U E → là một trường gắn với F, ( ) f x x Fx= − . Khi đó:

(a) : f U E → là một ánh xạ mở ; trong trường hợp riêng, ( ) f U E ⊂ là mở ,

(b) : ( ) f U f U → là một đồng phôi.

Chứng minh.

(a) Ta chứng minh : f U E → là một ánh xạ mở . Cho u U ∈ bất kì, nếu

( , ) B u r U ⊂ thì [ ] [ ]( ),(1 ) ( , ) B f u r f B u r α − ⊂ . Chọn [ ]0 ( ),(1 ) y B f u r α ∈ −

bất kì. Giả sử : ( , )G B u r E → là ánh xạ xác định bởi 0

Gy y Fy= + . Ta có với

mọi1 2, ( , ) y y B u r ∈

1 2 0 1 0 2 1 2 1 2( ) ( )Gy Gy y Fy y Fy Fy Fy y yα − = + − + = − ≤ − với 1α < ,




nên G cũng là ánh xạ co với hằng số co 1α < và

0 0 ( ) (1 )Gu u y Fu u y f u r α − = + − = − ≤ − .

Theo Hệ quả 2.1.2, tồn tại một điểm0

( , )u B u r ∈ sao cho0 0

Gu u= và

0 0 0Gu y Fu= + , vì thế

0 0 0 0 0 0( ) y Gu Fu u Fu f x= − = − = ,

ta được [ ]0 ( , ) y f B u r ∈ và

[ ] [ ]( ),(1 ) ( , ) B f u r f B u r α − ⊂ .

(b) Ta thấy r ằng nếu ,u U ∈u thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f u f u Fu F u Fu F − = − − − = − − −u u u u u

(1 )u Fu F u u uα α ≥ − − − ≥ − − − = − −u u u u u .

Nếu ( ) ( ) 0 f u f − =u thì từ nhận xét trên ta có 0u − =u , vì thế u = u và f là

một đơn ánh. Vì với mọi ( ) ( ) f x f U ∈ tồn tại x U ∈ sao cho ( ) f x x Fx= −

do đó f là một toàn ánh. Như vậy, : ( ) f U f U → là một song ánh, mở , liêntục nên nó là một đồng phôi. □

Hệ quả 2.2.2. Cho E là một không gian Banach và :F E E → là ánh xạ co.

Khi đó trường t ươ ng ứng f I F = − là một phép đồng phôi từ E lên E .

Chứng minh. Theo Định lí 2.2.1, ta chỉ cần chỉ ra ( ) f E E = . Lấy0

, y E ∈ giả

sử :G E E → xác định bởi0 ( ) x y F x+ . Ta có với mọi

1 2, x x E ∈

1 2 0 1 0 2( ) ( )Gx Gx y Fx y Fx− = + − +

1 2 1 2Fx Fx x xα = − ≤ − với 1α < ,

nên G là ánh xạ co với hằng số co 1α < . Theo Định lí 2.1.1, tồn tại điểm

0 x E ∈ thoả mãn

0 0Gx x= và

0 0 0Gx y Fx= + nên

0 0 0 0 0 0( ) y Gx Fx x Fx f x= − = − =

vì thế ( ) f E E = . Như vậy, f I F = − là một phép đồng phôi từ E lên E . □




2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co

Cho ( , )Y d là một không gian mêtric đầy đủ và X là một tập con đóng

trong Y với phần trong U khác r ỗng và biên A X = ∂ . Ký hiệu ( , ) X Y C là tập

tất cả các ánh xạ co từ X lên Y .

Cho ánh xạ co :F X Y → , ta quan tâm tới sự tồn tại nghiệm của

phương tr ình ( ) x F x= . Một phương pháp để xác định phương trình có

nghiệm hay không bắt đầu bằng việc nhúng F trong họ tham số hoá { } H λ

của các ánh xạ nối F với một ánh xạ G đơn giản hơn, và cố gắng biến đổi về bài toán tìm nghiệm của phương trình ( ) x G x= . Về mặt hình học, ta biến đổi

đồ thị của F về đồ thị của G và rút ra k ết luận từ phép biến đổi r ằng: nếu đồ

thị của G cắt đường chéo X Y Y Y ∆ ⊂ × ⊂ × thì đồ thị của F cũng cắt đường

chéo ∆ .

K ết quả chính của chúng ta trong phần này là đưa ra điều k iện sao cho

điều kiện k

ết lu

ận trên là h

ợp lý. Cho( , )Λ ñ

là một không gian tham số với

khoảng cách , một họ { }: H

λ λ ∈ Λ nào đó của các ánh xạ trong ( , ) X Y C

phụ thuộc vào tham số λ ∈ Λ .

Định nghĩa 2.3.1. M ột họ { }: H λ λ ∈ Λ của các ánh xạ trong ( , ) X Y C được

gọi là α -co, trong đó 0 1α ≤ < , 0 M > , 0 1< ≤ù , nếu ta có:

[ ]1 2 1 2( ), ( ) ( , )d H x H x d x xλ λ α ≤ với mọi λ ∈ Λ và

1 2, x x X ∈ , (2.1)

[ ]( ), ( ) ( , )d H x H x M λ µ λ µ ≤

ùñ với mọi x X ∈ và ,λ µ ∈ Λ . (2.2)

Ta thấy r ằng:

(i) Nếu { } H λ

là α -co thì ánh xạ : H X Y Λ × → xác định bởi

( , ) ( , ) ( ) x H x H xλ λ λ =

là liên tục;

(ii) Ánh xạ H xác định họ { } H λ và ngược lại;




(iii) Cho tham số λ ∈ Λ , tập điểm bất động ( )Fix H λ

hoặc là r ỗng hoặc

chỉ có một điểm bất động là xλ ;

(iv) Đặt ( ) x H xλ λ λ = và ( ) x H xµ µ µ = , theo (2.1) và (2.2) ta có

( , ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( )d x x d H x H x d H x H x d H x H xλ µ λ λ µ µ λ λ µ λ µ λ µ µ

= ≤ +

[ ]( , ) ( , ) M d x xλ µ λ µ α ≤ +ù

ñ ,

vì thế [ ](1 ) ( , ) ( , )d x x M λ µ

α λ µ − ≤ ù

ñ và do đó

[ ]( , ) ( , )1

M d x xλ µ

λ µ α

≤−

ùñ . (2.3)

Cho ( , ) X Y A

C là tập tất cả các ánh xạ F trong ( , ) X Y C sao cho hạn

chế : A

F A Y → không có điểm bất động trên biên A của X . Bây giờ ta có thể

trình bày k ết quả chính:

Định lí 2.3.2 (Định lí hàm ẩn cơ bản). Cho Λ là t ập li ên thông và

{ }: H λ λ ∈ Λ là một họ α -co trong ( , ) X Y AC . Khi đó:

(i) N ếu phương trình ( ) H x xλ = có một nghiệm với λ ∈ Λ thì nó có duy

nhất một nghiệm xλ với mỗi λ ∈ Λ ,

(ii) N ếu ( ) x H xλ λ λ = với λ ∈ Λ thì ánh xạ x

λ λ t ừ Λ vào U là Hölder

liên t ục.

Chứng minh.

(i) Xét tập

{ }: ( ),Q x H x x U λ λ λ λ λ = ∈ Λ = ∈ ,

ta thấy r ằng Q ⊂ Λ , và Q khác r ỗng vì theo giả thiết phương trình ( ) H x xλ =

có một nghiệm với λ ∈ Λ .

(a) Q là tập đóng trong Λ : Thật vậy, giả sử { }nλ là một dãy trong Q sao cho

0nλ λ → với ( )n n n x H xλ λ λ = và ( )m m m x H xλ λ λ = . Theo (2.3) ta có




[ ]( , ) ( , )1n m n m

M d x xλ λ λ λ

α ≤

−

ùñ ,

điều này chỉ ra r ằng dãy { }n

xλ là một dãy Cauchy. Ta có d đầy đủ nên

0n x xλ → với

0 x X ∈ và H liên tục, vì thế

0 0 0( ) ( )

n n n x H x x H xλ λ λ λ λ λ = → = ,

k ết quả này dẫn đến 00 0( ) x H xλ = . Như vậy,

0 Qλ ∈ .

(b) Q là tập mở trong Λ : Thật vậy, cho 0 Qλ ∈ với

0 0 0( ) x H xλ λ λ = , ta cố định

một hình cầu mở { }0 0

( , ) : ( , ) B x r x X d x x r U λ λ = ∈ < ⊆ , và chọn 0ε > sao

cho (1 ) r

M ε α ≤ −ù , trong đó hằng số M và lấy ở công thức (2.2). Bây giờ,

nếu λ là một điểm bất kì của hình cầu mở

{ }0 0( , ) : ( , ) B λ ε λ λ λ ε = ∈ Λ <ñ ,

ta tìm được

0 0 0 0 0( ), ( ), ( )d H x x d H x H x

λ λ λ λ λ λ λ = [ ]0( , ) M λ λ ≤

ùñ

(1 ) (1 )r

M M r M

ε α α < ≤ − = −ù .

Theo Hệ quả 2.1.2, H λ có một điểm bất động

0( , ) x B x r λ λ ∈ với mỗi λ ∈ Λ

thoả mãn ( ) H x xλ λ λ = , do đó Qλ ∈ . Vì vậy 0

( , ) B Qλ ε ⊂ và ta k ết luận

0 IntQλ ∈ .

Ta có Q là tập con thực sự khác r ỗng vừa đóng, vừa mở trong Λ và do

tính liên thông của Λ , như vậy Q = Λ . Vì H λ là ánh xạ co của không gian

mêtric đầy đủ nên H λ có duy nhất một điểm bất động, hơ n nữa phương tr ình

( ) H x xλ = có nghiệm xλ

với mọi λ ∈ Λ , vì thế nó có duy nhất một nghiệm

xλ với mọi λ ∈ Λ .




(ii) Giả sử ( ) x H xλ λ λ = với λ ∈ Λ , ta chứng minh ánh xạ : p U Λ →

xác định bởi xλ λ → là Hölder liên tục. Theo (2.3), ta có

[ ] [ ]( ), ( ) ( , ) ( ), ( ) ( , )1

M d p p d x x d H x H xλ µ λ λ µ µ λ µ λ µ

α = = ≤ −

ùñ

với mọi ,λ µ ∈ Λ thoả mãn điều kiện Hölder bậc ( ]0,1∈ù . □

2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co

Trong mục này, ta giả thiết rằng không gian mêtric Y là một tập con lồi

đóng C của một không gian Banach E và không gian tham sốΛ

là [ ]0,1 . Tacó k ết quả sau:

Định lí 2.4.1 (Luân phiên phi tuyến ). Cho U là một tập con lồi mở (t ươ ng

đối) của C với 0 U ∈ . Khi đó ánh xạ co bị chặn :F U C → có ít nhất một

trong các tính chất sau:

(i) F có duy nhất một điểm bất động ,

(ii) T ồn tại 0 y U ∈∂ và (0,1)λ ∈ sao cho 0 0( ) y F yλ = .

Chứng minh. Cho [ ]( , ) 0,1 x U λ ∈ × và đặt ( ) ( ) H x F xλ

λ = . Dễ thấy

[ ]{ }: 0,1 H λ λ ∈ là một họ α -co trong ( , )U C C với 1=ù . Thật vậy, ta có

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) H x H x F x F xλ λ λ λ − = − 1 2( ) ( )F x F xλ = −

1 2 x xα λ ≤ − với mọi

1 2, x x U ∈ và [ ]0,1λ ∈ ,

( ) ( ) ( ) ( ) H x H x F x F xλ µ λ µ − = −

( )F xλ µ = − với [ ], 0,1λ µ ∈ và mọi x U ∈ .

Nếu { } H λ không có điểm bất động trên biên U ∂ , ta có 0

(0) 0 H = . Theo Định

lí 2.3.2,1

H F = cũng có một điểm bất động trong U . Nếu { } UH ( , )U C λ ∂⊄ C

thì F λ phải có một điểm bất động0

x trên biên U ∂ với [ ]0,1λ ∈ nên

0 0 0( ) ( ) H x F x xλ λ = = . Nếu 0λ = thì 0 0( ) 0F x xλ = = , điều này mâu thuẫn với




giả thiết 0 U ∈ , vì thế 0λ ≠ . Nếu 1λ = thì1 0 0 0( ) ( ) H x F x x= = , do đó

0 x là

điểm bất động của F trên U ∂ , hoặc tính chất (ii) đúng. Hơ n nữa, H λ là ánh

xạ co nên điểm bất động nếu có là duy nhất. □

Từ Định lí 2.4.1 có thể suy ra định lí điểm bất động đối với ánh xạ co

khi ta đặt điều kiện mạnh để không cho khả năng thứ hai trong Định lí 2.4.1

xảy ra:

Hệ quả 2.4.2. Cho U là một tập con lồi mở (t ươ ng đối) của C với 0 U ∈ và

cho || là một chuẩn bất kì trong không gian Banach E, t ập lồi C chứa trong

không gian Banach E. Giả sử :F U C → là ánh xạ co bị chặn sao cho với

mọi x U ∈∂ , một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(i) ( )F x x≤| | | |,

(ii) ( ) ( )F x x F x≤ −| | | |,

(iii) 2 2 2( ) ( )F x x x F x≤ + −| | | | | | ,

(iv) ( ), ,F x x x x≤ , trong đó , là một tích vô hướng trong E .

Khi đó F có duy nhất một điểm bất động.

Chứng minh. Giả sử F không có điểm bất động, F có một điểm z U ∈∂ với

( ) z F zλ = , 0 1λ < < , trong trường hợp riêng ( ) 0F z ≠ .

(i) Từ giả thiết (i), ta có

( ) ( ) ( )F z F z F zλ λ =≤| | | | | |

và do đó 1 λ ≤ , điều này trái với 0 1λ < < nên không tồn tại z U ∈∂ và

0 1λ < < sao cho ( ) z F zλ = . Theo Định lí 2.4.1, F có duy nhất một điểm bất

động.

(ii) Từ giả thiết (ii), ta có

( ) ( ) ( ) 1 ( )F z F z F z F zλ λ ≤ − = −| | | | | |

vì thế 1 1λ ≤ − , điều này trái với 0 1λ < < do đó không tồn tại z U ∈∂ và




0 1λ < < sao cho ( ) z F zλ = . Theo Định lí 2.4.1, F có duy nhất một điểm bất

động.

(iii) Từ giả thiết (iii), ta có

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )F z F z F z F z F z F zλ λ λ λ ≤ + − = + −| | | | | | | | | |

và do đó

2 21 (1 ) (1 ) 1λ λ λ λ ≤ + − < + − = ,

điều này vô lí, vì thế không tồn tại z U ∈∂ và 0 1λ < < sao cho ( ) z F zλ = .

Theo Định lí 2.4.1, F có duy nhất một điểm bất động. (iv) Từ giả thiết (iv), ta có

2( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( )F z F z F z F z F z F z F z F zλ λ λ λ λ = ≤ = ,

vì thế 2λ λ ≤ kéo theo 0λ ≤ hoặc 1λ ≥ , điều này trái với 0 1λ < < nên không

tồn tại z U ∈∂ và 0 1λ < < sao cho ( ) z F zλ = . Theo Định lí 2.4.1, F có duy

nhất một điểm bất động. □

K ết qủa tiếp theo trình bày một dạng cơ bản của định lí xuyên tâm đối

của Borsuk.

Hệ quả 2.4.3 (Định lý xuyên tâm đối). Cho U là một tập con mở của một

không gian Banach ( , ) E , U đối xứng qua gốc và 0 U ∈ , cho :F U E → là

một ánh xạ co bị chặn sao cho ( ) ( )F x F x= − − với mọi x U ∈∂ . Khi đó F có

duy nhất một điểm bất động.

Chứng minh. Vì U đối xứng qua gốc và 0 U ∈ nên nếu x U ∈∂ thì x U − ∈∂ ,

và F là ánh xạ co bị chặn thoả mãn ( ) ( )F x F x= − − với mọi x U ∈∂ , do đó

( ) ( ) ( )F x F x x xα − − ≤ − − ,

vì thế ( )F x x xα ≤ < với 0 1α ≤ < là hằng số co của ánh xạ F . Như vậy,

( )F x x< với mọi x U ∈∂ . Theo Định lí 2.4.2(i), F có duy nhất một điểm

bất động. □




2.5. Mở rộng của định lí Banach

Có nhiều cách mở rộng định lí Banach trong một không gian mêtric

đầy đủ tuỳ ý, ở đó tính co của ánh xạ có thể được làm yếu đi. Các k ết quả đều

dựa trên một nguyên lý chung liên quan tới ảnh của các hình cầu khi tâm của

chúng không chuyển dịch quá nhiều.

Định lí 2.5.1. Cho ( , ) X d là một không gian mêtric đầy đủ và :F X X → là

một ánh xạ (không nhất thiết phải liên tục). Giả sử

V ới mỗi 0ε > có một ( ) 0δ ε > sao cho nếu ( , ) ( )d x F x δ ε < thì

[ ]( , ) ( , )F B x B xε ε ⊂ . (2.4)

Khi đó , nếu 1( , ) 0n nd F u F u

+ → với u X ∈ bất kì thì dãy { }nF u hội tụ đến một

điểm bất động của F.

Chứng minh. Đặt n

nF u u= .

Trước tiên ta phải chứng minh dãy { }nF u hội tụ đến z X ∈ . Ta sẽ chỉ

ra { }nu là một dãy Cauchy. Lấy 0ε > , chọn N đủ lớn để

1( , ) ( )n nd u u δ ε + < với mọi n N ≥ .

Với n N = , ta có1( , ) ( , ) ( ) N N N N

d u u d u Fu δ ε + = < thì [ ]( , ) ( , ) N N F B u B uε ε ⊂

(theo giả thiết) nên1

( , ) N N N

Fu u B u ε += ∈ , vì thế 1

( , ) N N

d u u ε + < . Ta thấy r ằng

2 1 3 2( , ), ( , ) N N N N N N u Fu B u u Fu B uε ε + + + += ∈ = ∈ ,….

Cứ tiếp tục quá trình đó, ta được

( , )k

N N k N F u u B u ε += ∈ với mọi 0k ≥

nên ( , ) N N k d u u ε + < . Như vậy,

( , ) ( , ) ( , ) 2k s k N N sd u u d u u d u u ε ε ε ≤ + < + = với mọi ,s k N ≥

vì thế { }nu là một dãy Cauchy. Do d đầy đủ nên dãy { }nu hội tụ đến z X ∈ .

Ta còn phải chứng minh z là điểm bất động đối với F : Thật vậy, giả




sử ( , ) 0d z Fz a= > , ta có thể chọn ,3

n

au B z

∈

sao cho

1( , )n nd u u + = ( ) ( ), ( ) , ( )

3

n

n n n

ad u F F u d u F u δ

= <

.

Theo giả thiết, ta có

, ,3 3

n n

a aF B u B u

⊂

.

Do cách chọnnu nên ,

3n

a z B u

∈

, vì thế ,

3n

aFz B u

∈

, điều này vô lí vì

nếu ( , ) ( , ) ( , ) 23 3

n n

a ad Fz u d Fz z d u z a≥ − ≥ − = thì ,

3n

aFz B u

∉

. Như vậy,

( , ) 0d z Fz = , tức là Fz z= . □

Để minh hoạ ta phát biểu hai định lí mở rộng nguyên lý Banach.

Định lí 2.5.2. Cho ( , ) X d là không gian mêtric đầy đủ và cho :F X X → là

một ánh xạ thoả mãn

[ ]( , ) ( , )d Fx Fy d x yϕ ≤ ,

t rong đó :ϕ + +→ là hàm không giảm (không nhất thiết phải liên tục) sao

cho ( ) 0nt ϕ → với mỗi t > 0 cố định. Khi đó F có duy nhất một điểm bất

động u và nF x u→ với mỗi x X ∈ .

Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng ( )t t ϕ < với mỗi 0t > . Thật vậy, giả

sử ( )t t ϕ < với 0t > , do tính đơn điệu của ϕ , ta có [ ] 2( ) ( ) ( )t t t ϕ ϕ ϕ ϕ ≤ = ,….

Cứ tiếp tục quá trình trên, ta được

2( ) ( ) ( )nt t t t ϕ ϕ ϕ ≤ ≤ ≤ ≤ với mọi 0n > ,

điều này trái với giả thiết ( ) 0nt ϕ → với mỗi 0t > cố định. Vậy ( )t t ϕ < với

mỗi 0t > . Với nhận xét này ta bắt đầu chứng minh định lí:

Theo giả thiết và nhận xét trên, ta có




[ ]1 1( , ) ( , ) ( , )n n n n nd F x F x d F x F x d x Fxϕ ϕ + − ≤ ≤ ≤

và [ ]( , ) 0n

d x F xϕ → , vì vậy 1

( , ) 0n n

d F x F x+

→ với mỗi x X ∈ .Tiếp theo, cho 0ε > , chọn ( ) ( )δ ε ε ϕ ε = − . Lấy ( , ) z B x ε ∈ bất k ì ta có

[ ]( , ) ( )d z xϕ ϕ ε < ; nếu ( , ) ( )d x Fx δ ε < thì

[ ]( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )d Fz x d Fz Fx d Fx x d z xϕ δ ε ϕ ε ε ϕ ε ε ≤ + < + < + − = ;

do đó ( , )Fz B x ε ∈ , từ điều này ta được [ ]( , ) ( , )F B x B xε ε ⊂ . Theo Định lí

2.5.1, F có một điểm bất động u vàn

F x u→ với mỗi x X ∈ .Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động u đối với

F : Giả sử tồn tại hai điểm bất động u ≠ u của F . Theo nhận xét trên, với

( , ) 0d u >u ta có [ ]( , ) ( , )d u d uϕ <u u nên

[ ]( , ) ( , ) ( , ) ( , )d u d Fu F d u d uϕ = ≤ <u u u u ,

điều này vô lí, do đó u ≡ u . □

Tiếp theo ta phát biểu một dạng yếu hơ n của định lí Banach:

Định lí 2.5.3. Cho ( , ) X d là không gian mêtric đầy đủ và :F X X → là một

ánh xạ thoả mãn

( , ) ( , ) ( , )d Fx Fy x y d x yα ≤ ,

t rong đó : X X α +× → có tính chất: cho đoạn bất kì [ ] { }, \ 0a b +⊂ ,

{ }su p ( , ) : ( , ) ( , ) 1 x y a d x y b a bα λ ≤ ≤ = < .

Khi đó F có duy nhất một điểm bất động u và nF x u→ với mỗi x X ∈ .

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh F có điểm bất động: Với mỗi x X ∈ ,

dãy { }1( , )n nd F x F x

+ không tăng, vì 1α < nên

1 1( , ) ( , ) ( , )n n n nd F x F x d F x F x d x Fx

+ −< < <

và dãy này bị chặn, vì thế { }1

( , )n n

d F x F x+

hội tụ đến 0a ≥ . Ta phải có 0a = :




ngược lại, [ ]1( , ) , 1n nd F x F x a a

+ ∈ + với mọi n đủ lớn, ta có thể chọn một giá

tr ị n và đặt ( , 1)c a aλ = + ta được

1( , ) 1n na d F x F x a

+≤ ≤ + ,

1 2 1( , ) ( , ) ( 1)n n n na d F x F x cd F x F x c a

+ + +≤ ≤ ≤ + ,

2 3 1 2 2( , ) ( , ) ( 1)n n n na d F x F x cd F x F x c a

+ + + +≤ ≤ ≤ + ,….

Cứ tiếp tục quá trình trên, ta có

1 1( , ) ( , ) ( 1)n k n k n k n k k a d F x F x cd F x F x c a

+ + + + − +≤ ≤ ≤ ≤ +

với mọi 0k > , điều này mâu thuẫn, vì với 1c < thì 0k c → .

Bây giờ , cho 0ε > , giả sử ,2

ε λ λ ε

=

và chọn min , (1 )

2

ε δ ε λ

= −

.

Giả sử ( , )d x Fx δ < và lấy ( , ) z B x ε ∈ thì

( , ) ( , ) ( , )d Fz x d Fz Fx d Fx x≤ + .

Ta có hai khả năng:

a) Nếu ( , )2

d z x ε < thì

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2 2

d Fz x z x d z x d Fx x d z x d Fx x ε ε

α ε ≤ + < + < + = ;

b) Nếu ( , )2

d z xε

ε ≤ < thì

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1 )d Fz x z x d z x d Fx xα λε λ ε ε ≤ + < + − = .

Từ đó ta có ( , )d F z x ε < kéo theo ( ) ( , )F z B x ε ∈ , vì thế [ ]( , ) ( , )F B x B xε ε ⊂ .

Theo Định lí 2.5.1, F có điểm bất động u và nF x u→ với mỗi x X ∈ .

Cuối cùng ta chứng minh điểm bất động u của F là duy nhất: giả sử

tồn tại u≠u và ,Fu u F = =u u , khi đó

( , ) ( , ) ( , ) ( , )d u d Fu F u d uα = ≤u u u u ,

điều này trái với ( , ) 1uα <u nên u ≡ u . □




Có cách khác để mở rộng định lí Banach là không so sánh ( , )d Fx Fy

với ( , )d x y mà tập trung vào biến động của ( , )d x Fx .

Định lí 2.5.4. Cho ( , ) X d là một không gian mêtric đầy đủ và : X ϕ +→ là

một hàm không âm tuỳ ý (không nhất thiết liên tục). Giả sử

{ }inf ( ) ( ) : ( , ) ( ) 0 x y d x y a aϕ ϕ µ + ≥ = > với mọi 0a > . (2.5)

Khi đó mọi dãy { }n x trong X thoả mãn ( ) 0n xϕ → đều hội tụ đến một điểm

u X ∈ .

Chứng min h. Giả sử { }: ( ) ( )n n A x x xϕ ϕ = ≤ là các tập kh ác r ỗng và họ hữu

hạn bất kì có giao khác r ỗng. Ta chỉ ra ( ) 0n Aδ → : cho 0ε > bất kì, chọn N

đủ lớn sao cho1

( ) ( )2

n xϕ µ ε < với mọi n N ≥ , khi đó cho n N ≥ bất kì và

, n x y A∈ ta có

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2n n x y x yϕ ϕ ϕ ϕ µ ε µ ε µ ε + ≤ + < + =

.

Theo giả thiết, ( , )d x y ε < vì thế ( )n Aδ ε ≤ . Như vậy ( ) 0n

Aδ → . Vì

( ) ( ) 0n n A Aδ δ = → . Theo Định lí Cantor , có duy nhất

n

n

u A∈ và từn n

x A∈

với mỗi n thì n x u→ . Cho dãy { }n y bất kì khác thoả mãn ( ) 0n

yϕ → ta được

( ) ( ) 0n n x yϕ ϕ + → và theo giả thiết làm tương tự ta có ( , ) 0n nd x y → , do đó

n y u→ . □

Định lí điểm bất động kéo theo kết quả sau:

Định lí 2.5.5. Cho ( , ) X d là không gian mêtric đầy đủ và :F X X → liên t ục.

Giả sử hàm ( ) ( , ) x d x Fxϕ = có tính chất (2.5) và inf ( , ) 0 x X

d x Fx∈

= . Khi đó F có

duy nhất một điểm bất động.

Chứng minh.




Theo giả thiết và Định lí 2.5.4, trong X tồn tại { }n x u→ sao cho

( ) ( , ) 0 inf ( , )n n n

x X

x d x Fx d x Fxϕ ∈

= → =

Do F liên tục nên khin x u→ thì nFx Fu→ , vì thế ( , ) 0d u Fu = suy ra

Fu u= .

Ta đi chứng minh tính duy nhất của điểm bất động: giả sử tồn tại u ≠ u

sao cho u Fu= , F =u u thoả mãn (2.5), tức là

{ } { }in f ( ) ( ) : ( , ) in f ( , ) ( ) : ( , ) 0 0u d u a d u Fu d F d u aϕ ϕ + ≥ = + ≥ = >u u u, u u

với mọi 0a > , điều này vô lí. Như vậy, F có duy nhất một điểm bất động. □

Nhận xét r ằng Định lí 2.5.5 có thể suy ra Định lí Banach. Thật vậy,

nếu ( , ) ( , )d Fx Fy d x yα ≤ với hằng số 1α < thì

(1 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d x y d x y d x y d x y d Fx Fyα α − = − ≤ −

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d x Fx d Fx Fy d Fy y d Fx Fy d x Fx d y Fy≤ + + − = + ,

vì thế hàm ( ) ( , ) x d x Fxϕ = thoả mãn

{ }in f ( , ) ( , ) : ( , ) (1 ) ( ) 0d x Fx d y Fy d x y α α α µ α + ≥ = − = > ,

và inf ( , ) 0 x X

d x F x∈

= . Từ đó ta có 1( , ) 0n nd F x F x

+ → với mỗi x X ∈ . Vì F là

ánh xạ co nên

1 1( , ) ( , ) ( , )n n n n nd F x F x d F x F x d x Fxα α + −≤ ≤ ≤ ,

do đó ( , ) 0d x Fx →

suy ra Fx x=

. □ 2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Nguyên lý Banach phát biểu cho ánh xạ co trong một không gian

mêtric đầy đủ tuỳ ý. Cho không gian một cấu trúc phức tạp hơ n ta có thể nới

lỏng tính co của ánh xạ thành tính không giãn, tất nhiên tính duy nhất của

điểm bất động không thể bảo toàn. Trong mục này chúng ta xét không gian

Hilbert thực, ta có mệnh đề sau




Mệnh đề 2.6.1. Cho H là một không gian Hilbert , và giả sử ,u u là hai phần

t ử của H. Nếu có một phần tử x H ∈ sao cho , x u R x R− ≤ − ≤u và

2

u x r

+− ≥

u thì 2 22u R r − ≤ −u

Chứng minh. Theo quy tắc hình bình hành ta có

( ) ( )22 2 2 2

2 2 ( ) ( )u x x u x x u x x u− = − − − = − + − − − + −u u u u

2 22 2 4

2

u x x u x

+= − + − − −

uu ,

do đó 2 2 2

4 4u R r − ≤ −u . Như vậy, 2 22u R r − ≤ −u . □

Ta áp dụng mệnh đề này đi nghiên cứu ánh xạ không giãn trên các tập

bị chặn:

Bổ đề 2.6.2. Cho C H ⊂ là một t ập bị chặn và giả sử :F C C → là ánh xạ

không giãn. Giả sử x, y và 2

x y

a

+

= đều thuộc vào C. Nếu ( ) x F x ε − ≤ ,

( ) y F y ε − ≤ thì

( ) 2 2 ( )a F a C δ ε − ≤ ,

trong đó ( )C diamC δ = .

Chứng minh. Vì

( ) ( )2 2a F a a F a x y x y+ + − = − − −

( ) ( )

2 2

a F a a F a x y

+ +≤ − + −

nên ít nhất một trong các số hạng ở vế phải, giả sử đó là số hạng đầu phải thoả

mãn




( ) 1

2 2

a F a x x y

+− ≥ − .

Ta có1

2 2

x y x a x x y

+− = − = − và

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x F a x F x F x F a x F x F x F a− = − + − ≤ − + −

1

2 x a x yε ε ≤ + − = + − .

Theo Mệnh đề 2.6.1, ta được

2 21 1

( ) 22 2

a F a x y x yε

− ≤ + − − −

22 2 x y x yε ε ε ε = + − = + − .

Do , x y C ∈ nên ( ) x y C δ − ≤ . Ta chọn ε không vượt quá ( )C δ , vì thế

( ) 2 2 ( )a F a C δ ε − ≤ . □

Định lí 2.6.3 (Browder – Göhde – Kirk). Cho C là một t ập khác r ỗng , lồi

đóng , bị chặn trong không gian Hilbert. Khi đó mỗi ánh xạ không giãn

:F C C → có ít nhất một điểm bất động.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử 0 C ∈ . Với mỗi số nguyên

2,3,n = đặt 1

1nF F n

= −

, do C lồi và chứa gốc nên :n

F C C → . Ta có F

là ánh xạ không giãn nên ( ) ( )F x F y x y− ≤ − , do đó

1 1( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )

n nF x F y F x F y

n n

− = − − −

1 11 ( ) ( ) 1F x F y x y

n n

= − − ≤ − −

.




Vì1

1 1n

− <

với 2,3,n = nên mỗi ánh xạ :nF C C → là ánh xạ co. Theo

nguyên lí ánh xạ co Banach, tồn tại n x sao cho ( )n n n

F x x= . Khi đó

1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )

n n n n n n n x F x F x F x F x F xn

− = − = − −

1 1 ( ) ( )

nF x C n n

δ = ≤

Với mỗi 2n ≥ , xét

1: ( ) ( )nQ x C x F x C

nδ

= ∈ − ≤

,

ta có2 3Q Q⊃ ⊃ là dãy giảm của các tập đóng và

nQ khác r ỗng (vìn n x Q∈ ).

Ta thấy r ằng nếu 28,

n x y Q∈ thì

2

1( ) ( )

8 x F x C

nδ − ≤ với x C ∈ ,

2

1( ) ( )

8 y F y C

nδ − ≤ với y C ∈ .

Theo Bổ đề 2.6.2, ta được

2

( ) 1( ) 2 2 ( ) ( )

8

C a F a C C

n n

δ δ δ − ≤ =

nên2

n

x ya Q

+= ∈ .

Đặt { }inf :n nd x x Q= ∈ . Vì nQ là dãy giảm nên2 3

d d ≤ ≤ là dãy

các số thực không giảm, bị chặn bởi ( )C δ , hội tụ đến một số d nào đó. Ta xét

28

1 0,n n

A Q B d n

= +

2

1 1: ( ) ( ) :

8

x C x F x C x C x d

n n

δ

= ∈ − ≤ ∈ ≤ +




khi đó n A là dãy giảm của các tập đóng, khác r ỗng. Ta tìm đường kính của

n A : nếu , n x y A∈ thì

1 10 , 0 x d y d

n n− ≤ + − ≤ + ,

và ta thấy r ằng 02 n

x yd

+− ≥ . Theo Định lí 2.6.1, ta tìm được

( )2

2 1 2 2 212 2 2n n x y d d dn n d d

n

− − − ≤ + − = + + −

.

Số hạng ở vế phải là chặn trên của ( )n Aδ và khi n → ∞ thì ( ) 0n

Aδ → . Theo

Định lí Cantor, có một 0 n

n

x A∈ suy ra 20 8nn

x Q∈ , vì thế

0 0 2

( )( )

8

C x F x

n

δ − ≤ với mọi n.

Do đó 0 0( ) 0 x F x− = (vì n → ∞ thì2

( )0

8

C

n

δ → ). Như vậy,

0 0Fx x= . □

Cho C là một hình cầu đóng trong không gian Hilbert H . Bây giờ ta

sẽ xét ánh xạ không giãn xác định trên C lấy giá tr ị trong H . Với mục đích

này ta cần tính chất không giãn của ánh xạ co rút chuẩn tắc của H vào C :

Bổ đề 2.6.4. Cho H là một không gian Hilbert và { }:C x H x c= ∈ ≤ là

hình cầu đóng. Xác định một ánh xạ :r H C → bởi

( ) ,

.

x khi x cr x x

c khi x c x

≤=

≥

Khi đó :r H C → là ánh xạ không giãn.

Chứng minh. Tr ước tiên ta thấy nếu , 0u ≠u thì

( )( ), ( ) ( ) 0u r u r r u− − ≤u .

Thật vậy, nếu u c≤ thì ( )r u u= nên




( )( ), ( ) ( ) 0u r u r r u− − =u .

Nếu u c≥ thì ( )

u

r u c u= , ta có

( )( ), ( ) ( ) , ( )

u uu r u r r u u c r c

u u

− − = − −

u u

1 , ( ) 1 , ( )c u c u

u r c u r cu u u u

= − − = − −

u u .

Nếu c≤u thì ( )r =u u , ta được

( )( ), ( ) ( ) 1 , 1 ( , ) ,c u c cu

u r u r r u u c u uu u u u

− − = − − = − −

u u u

( ) ( )2

1 , 1 ( , )c c c

u u u c uu u u

= − − = − −

u u .

Nếu c≥

u thì ( )r c=

u

u u nên

( )( ), ( ) ( ) 1 ,c u

u r u r r u u c cu u

− − = − −

uu

u

( ) ( )1 , , 1 , ,c u c c c

u c u c u uu u u u

= − − = − −

uu u

u u

( )1 ,c c u c uu

= − −

uu

.

Như vậy, nếu u c≥ , ta có

( )

( )

( )

1 , ,

( ), ( ) ( )

1 , ;

cu c u khi c

uu r u r r u

c cu c u khi c

u

− − ≤

− − =

− − ≥

u u

u

u u

u




và do ( , )u u≤u u , vì thế ( )( ), ( ) ( ) 0u r u r r u− − ≤u với , 0u ≠u . Với nhận

xét này ta bắt đầu chứng minh bổ đề:

Đặt ( ) ( )a x r x r y y= − + − , ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y r x r y x r x r y y r x r y a− = − + − + − = − + ,

khi đó

( )2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 2 , ( ) ( ) x y r x r y a r x r y a a r x r y− = − + = − + + − .

Theo nhận xét trên, ta được

( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )a r x r y x r x r y y r x r y− = − + − −

( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 x r x r y r x y r y r x r y= − − − − − − ≥

nên2 2

( ) ( ) x y r x r y− ≥ − , vì thế :r H C → là ánh xạ không giãn. □

Định lí 2.6.5 (Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ không giãn). Cho H là một

không gian Hilbert và C là hình cầu đ óng { }: x H x c∈ ≤ . Khi đó với mỗi

ánh xạ không giãn :F C H → có ít nhất một trong hai tính chất sau:

)a F có một điểm bất động ,

)b T ồn tại x C ∈∂ và (0,1)λ ∈ sao cho ( ) x F xλ = .

Chứng minh. Theo Định lí 2.6.4, ánh xạ :r H C → là ánh xạ không giãn, vì

thế ánh xạ :r F C C → cũng là ánh xạ không giãn. Do C là một tập lồi

không r ỗng, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H nên theo Định lí 2.6.3,

ánh xạ r F có ít nhất một điểm bất động, tức là ( )rF x x= với x C ∈ . Chứng

minh tươ ng tự Định lí 1.5.3, ta có nếu ( )F x C ∈ thì ( ) ( ) x rF x F x= = nên F

có một điểm bất động. Nếu ( )F x C ∉ thì( )

( )( )

cF x x rF x

F x= = nên x C ∈∂ và

ta có thể lấy 1( )

c

F xλ = < . □

Từ Định lí 2.6.5 có thể suy ra định lí điểm bất động đối với ánh xạ




không giãn khi ta đặt điều kiện mạnh để không cho khả năng thứ hai trong

Định lí 2.6.5 xảy ra:

Hệ quả 2.6.6. Cho { }:C x H x r = ∈ ≤ và :F C H → là ánh xạ không giãn.

Giả thiết r ằng với mọi x C ∈∂ , một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

)a ( )F x x≤ ,

)b ( ) ( )F x x F x≤ − ,

)c2 2 2

( ) ( )F x x x F x≤ + − ,

)d ( ) 2, ( ) x F x x≤ ,

)e ( ) ( )F x F x= − − .

Khi đó F có điểm bất động.

Chứng minh. Ta chứng minh hoàn toàn tương tự Hệ quả 2.4.2 và Hệ quả 2.4.3.

Hệ quả 2.6.7. Cho H là một không gian Hilbert và :F H H → là ánh xạ

không giãn. Giả sử ( ) ( ), ( ) x x F x x xµ − ≥ , trong đó ( ) xµ → ∞ khi

x → ∞ . Khi đó trường không giãn ( ) ( ) x f x x F x= − là toàn ánh.

Chứng minh. Cho một điểm 0

y H ∈ , giả sử [ ]0( ) ( )g x x F x y= − + với

x H ∈ . Vì

( ) [ ]( ) ( )( )0 0

0

, ( ), ( ) , ( ) ( , ) x x F x y x g x x x F x x y x y

x x x xµ

− + −= = − ≥ −

nên cho 0r > đủ lớn,

( ), ( ) 0 x g x ≥ với mọi x H ∈ và x r = .

Ta có { }: :G C x H x r H = ∈ ≤ → xác định bởi 0

( ) ( )G x F x y= + là một ánh

xạ không giãn. Từ ( ), ( ) 0 x g x ≥ suy ra

( ) ( ) ( )0 0, ( ) , ( ) , ( ) 0 x g x x F x y x x G x x− = + − = − ≤

nên ( ) ( ), ( ) , 0 x G x x x− ≤ do đó




( )2

, ( ) ( , ) x G x x x x≤ = với mọi x C ∈∂ .

Theo H ệ quả 2.6.6(d), tồn tại điểm 0 x sao cho 0 0( )G x x=

và 0 0 0( ) ( )G x F x y= +

,do đó

0 0 0( )F x y x+ = suy ra

[ ]0 0 0 0( ) ( ) 0g x x F x y= − + = .

Vì thế 0 0 0 0( ) ( ) y x F x f x= − = . Như vậy, tr ường không giãn gắn với F xác

định bởi ( ) ( ) x f x x F x= − là toàn ánh. □

Nguyên lý Banach có r ất nhiều ứng dụng, ta đi trình bày một trong số

các ứng dụng đó:

2.7. Ứng dụng nguyên lý Banach cho phương trình vi phân

Để sử dụng nguyên lý Banach ta cần có :F Y Y → là ánh xạ co đối với

mêtric đầy đủ d nào đó trong Y . Nếu F không là ánh xạ co đối với một

mêtric này, ta có thể tìm thấy mêtric đầy đủ khác của Y để F là ánh xạ co.

Ví dụ 2.7.1. Ánh xạ tuyến tính ( )1( , ) 8 8 ,10

x y x y x y+ + của 2 vào 2

không là ánh xạ co với mêtric

[ ] 2 2( , ),( , ) ( ) ( )d x y z x z y= − + −W W

nhưng nó là ánh xạ co với hằng số co9

10 đối với mêtric

[ ]( , ),( , )d x y z x z y= − + −W W Như vậy, với mỗi mêtric đầy đủ d trong Y xác định một lớp ( )d F của các

ánh xạ :F Y Y → là các ánh xạ co đối với d và nói chung là ( ) ( )d d ≠F F ,

Ngay cả khi các mêtric d và d là tươ ng đươ ng.

Nhắc lại r ằng: Nếu E là một không gian Banach thì hai chuẩn x và

x là tươ ng đươ ng nếu có các hằng số , 0m M > sao cho m x x M x≤ ≤ .




Do đó một ánh xạ là Lipschitz trong chuẩn này thì cũng là Lipschitz trong

chuẩn tươ ng đươ ng khác. Như vậy, để nghiên cứu một ánh xạ Lipschitz

:F E E → , người ta thường tìm một chuẩn mới mà theo đó F là ánh xạ co.

Các chú ý này được minh hoạ trong chứng minh sau đây về sự tồn tại

nghiệm đối với phương tr ình tích phân loại hai.

Định lí 2.7.2. Cho [ ] [ ]: 0, 0,K T T × × → là liên t ục và thoả mãn một điều

kiện Lipschitz

( , , ) ( , , )K t s x K t s y L x y− ≤ −

với mọi [ ] [ ]( , ) 0, 0,s t T T ∈ × và , x y ∈ . Khi đó cho [ ]0,C T ∈u bất kì phương

trình

( )0

( ) ( ) , , ( ) (0 )

t

u t t K t s u s ds t T = + ≤ ≤∫u

có duy nhất một nghiệm [ ]0,u C T ∈ . Hơn nữa, nếu ta xác định một dãy hàm

{ }nu quy nạp bởi việc chọn [ ]0 0,u C T ∈ và đặt

( )1

0

( ) ( ) , , ( )

t

n nu t t K t s u s ds+ = + ∫u ,

thì dãy { }nu hội tụ đều trên [ ]0,T đến nghiệm duy nhất u.

Chứng minh. Cho E là không gian Banach của tất cả các hàm thực liên tục đa

tr ị trên [ ]0,T được trang bị chuẩn

0 max ( ) Lt

t T g e g t

−

≤ ≤=| | .

Chuẩn này tươ ng đươ ng với chuẩn sup x , vì

Lt e x x x

− ≤ ≤| | ;

và hơ n nữa, nó đầy đủ.

Xác định :F E E → bởi




( )0

( )( ) ( ) , , ( )t

F g t t K t s g s ds= + ∫u .

Để chứng minh phương tr ình tích phân có duy nhất một nghiệm, ta phải

chứng minh :F E E → có duy nhất một điểm bất động. Ta đi chỉ ra r ằng F

là ánh xạ co: Thật vậy, ta có

0( ) ( ) max ( )( ) ( )( ) Lt

t T F g F h e F g t F h t

−

≤ ≤− = −| |

( ) ( )0

0

max , , ( ) , , ( )t

Lt

t T e K t s g s K t s h s d

−

≤ ≤≤ −∫

0 00 0

max ( ) ( ) max ( ) ( )t t

Lt Lt Ls Ls

t T t T L e g s h s ds L e e e g s h s ds

− − −

≤ ≤ ≤ ≤≤ − = −∫ ∫

0 00

1 max max

t Lt Lt Ls Lt

t T t T

e L g h e e d s L g h e

L

− −

≤ ≤ ≤ ≤

−≤ − = −∫| | | |

(1 ) Lt e g h

−≤ − −| | .

Vì 1 1 Lt e−− < nên ánh xạ :F E E → là ánh xạ co. Theo nguyên lý Banach thìthứ nhất F có duy nhất một điểm bất động u E ∈ và thứ hai dãy { }nu xác

định bởi quá trình lặp được mô tả trong phát biểu của định lí sẽ hội tụ đều

trong chuẩn x| | , do đó nó cũng hội tụ đều trong chuẩn sup x . Như vậy, F

với chuẩn sup x cũng có điểm bất động.




Chương 3

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNGTRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Có thể thấy r ằng định lí Banach và các mở rộng của nó là dựa trên tính

đầy đủ của không gian. Tiếp theo chúng ta trình bày một số định lí cơ bản về

điểm bất động dựa trên thứ tự. Các k ết quả này có tầm quan trọng trong đại

số, lý thuyết ôtomat, ngôn ngữ toán, phiếm hàm tuyến tính giải tích, lý thuyếtxấp xỉ, lý thuyết điểm tới hạn. [ ]( )4

3.1. Định lí Knaster - Tarski

Cho ( , )P ° là một tập sắp thứ tự bộ phận. Ta nói r ằng, một ánh xạ

:F P P→ là bảo toàn thứ tự nếu ( ) ( )F x F y° khi và chỉ khi x y° .

Định lí 3.1.1 (Knaster - Tarski). Cho ( , )P ° là một tập sắp thứ tự bộ phậnvà :F P P→ là ánh xạ bảo toàn thứ tự. Giả sử có b P∈ thoả mãn cả hai

điều kiện:

(1) ( )b F b° và

(2) M ọi xích trong { }: x P x b∈ ± đều có cận trên đúng .

Khi đó tập các điểm bất động của F là khác r ỗng và trong số chúng có một

điểm bất động λ cực đại trong P (t ức là ( )F λ λ = và a không là điểm bất

động nếu a λ ).

Chứng minh. Xét tập sắp thứ tự bộ phận

{ } { }: ( ) :Q x x F x x x b= ° ± .

Vì b Q∈ nên Q không r ỗng. Ta chứng minh mọi xích C trong Q đều có cận




trên. Thật vậy, nếu { }:

sup x P x b

u C ∈

=±

thì,

b u

c u c C

∀ ∈

(3.1)

Do tính bảo toàn thứ tự của F , ta có ( ) ( )F c F u° và vì c C Q∈ ⊂ nên

( ) ( )c F c F u° ° với mỗi c C ∈ ,

điều này chỉ ra r ằng ( )F u là cận trên của C , vì thế ( )u F u° . (3.2)

Từ (3.1) và (3.2), ta có u Q∈ . Như vậy, mọi xích C trong Q đều có cận trên.

Theo bổ đề K uratowski - Zorn, Q có phần tử cực đại λ . Từ ( )F λ λ ° ta có

[ ]( ) ( )F F F λ λ ° và ( )b F λ λ , vì thế ( )F Qλ ∈ . Nếu ( )F λ λ ≠ , điều này

mâu thuẫn với tính cực đại của λ trong Q , do đó ( )F λ λ = . Như vậy, tập các

điểm bất động của F là khác r ỗng.

Ta còn phải chứng minh λ là cực đại trong P: giả sử tồn tại a là một

điểm bất động khác λ của F trong P sao cho a λ . Khi đó ( )F a a= và do

b aλ nên a Q∈ . Như vậy, ta có a Q∈ và a λ (do giả định), điều này

trái với tính cực đại của λ trong Q . Vì thế a không là điểm bất động nếu

a λ . □

Trong một tập sắp thứ tự bộ phận P, những “xích đếm được” có thể

được xem như là một “dãy”, và cận trên đúng của dãy đó (nếu tồn tại) được

xem như là giới hạn của “dãy”. Theo hướng đó ta định ngh ĩa ánh xạ liên tục

trên tập sắp thứ tự và xét điểm bất động của ánh xạ liên tục trên tập sắp thứ tự.Định nghĩa 3.1.2. Cho tập sắp thứ tự bộ phận P . Một ánh xạ :F P P→ được

gọi là liên t ục nếu mỗi xích đếm được { }ic của P có cận trên đúng và

{ }( ) { }sup sup ( )i iF c F c = .

Ta thấy ánh xạ liên tục :F P P→ là bảo toàn thứ tự. Thật vậy, với

, x y P∈

nếu x y° và đặt { }sup , y x y=

, do F liên tục ta có




{ }( ) { }( ) sup , sup ( ), ( )F y F x y F x F y= = ,

do đó ( ) ( )F x F y° .

Cho các ánh xạ liên tục :F P P→ , nới lỏng các điều kiện đối với P

trong Định lí 3.1.1 ta có thể tìm được điểm bất động của F nhờ phươ ng pháp

xấp xỉ liên tiếp (phươ ng pháp dãy lặp):

Định lí 3.1.3 (Tarski - Kantorovitch). Cho ( , )P ° là một tập sắp thứ tự bộ

phận và :F P P→ là ánh xạ liên t ục. Giả sử có một phần t ử b P∈ thoả mãn

cả hai điều kiện:

(i) ( )b F b° và

(ii) M ọi xích đếm được trong { }: x P x b∈ ± đều có cận trên đúng .

Khi đó F có một điểm bất động sup ( )n

n

F bµ = và µ là cận dưới đúng của tập

các điểm bất động của F t rong { }: x P x b∈ ± .

Chứng minh. Theo giả thiết F là ánh xạ liên tục nên F bảo toàn thứ tự. Ta

có ( )b F b° và F bảo toàn thứ tự nên [ ] 2( ) ( ) ( )F b F F b F b=° ,…. Cứ tiếp

tục quá trình đó, ta được 1( ) ( )n nF b F b

+° với mọi 1n ≥ , do đó { }( ) : 1nF b n ≥

là một xích trong { }: x x b± . Dễ thấy xích { }( ) : 1nF b n ≥ là đếm được. Theo

giả thiết, tồn tại µ sao cho sup ( )n

n

F bµ = . Vì F liên tục nên

{ } 1( ) sup ( ) sup ( ) sup ( )n n n

n n n

F F F b F F b F bµ µ + = = = = .

Như vậy, µ là một điểm bất động của F .

Giả sử µ là một điểm bất động khác của F trong { }: x x b± , ta phải

chứng minh µ µ ° . Thật vậy, do b µ ° ta có ( ) ( )F b F µ µ =° , bằng phươ ng

pháp lặp liên tục ta được ( )nF b µ ° với mọi 1n ≥ , do đó µ là một cận trên




của { }( ) : 1nF b n ≥ . Vì thế µ µ ° . □

3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - PhelpsK ết hợp tính thứ tự và tính đầy đủ có thể đưa đến một định lí điểm bất

động khác.

Cho : X ϕ → là hàm thực trên không gian mêtric ( , ) X d và 0λ > .

Bishop - Phelps định nghĩa quan hệ ,ϕ λ ° trên X bởi

,( , ) ( ) ( ) x y d x y x y

ϕ λ λ ϕ ϕ ⇔ ≤ −° .

Dễ thấy,ϕ λ

° là quan hệ sắp thứ tự bộ phận trong X . Thật vậy, với mọi

, , x y z X ∈ ta có

i) Tính phản xạ: , x xϕ λ ° ( , ) ( ) ( )d x x x xλ ϕ ϕ ⇔ ≤ − với mọi x X ∈ ;

ii) Tính bắc cầu:

,

,

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

x y d x y x y

y z d y z y z

ϕ λ

ϕ λ

λ ϕ ϕ

λ ϕ ϕ

≤ −⇔

≤ −

°

°

do đó

[ ]( , ) ( , ) ( ) ( )d x y d y z x zλ ϕ ϕ + ≤ − ;

vì ( , ) ( , ) ( , )d x y d y z d x z+ ≥ ta có ( , ) ( ) ( )d x z x zλ ϕ ϕ ≤ − . Như vậy,

, x zϕ λ ° với mọi , x z X ∈ ;

iii) Tính phản đối xứng:

,

,

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

x y d x y x y

y x d y x y x

ϕ λ

ϕ λ

λ ϕ ϕ

λ ϕ ϕ

≤ −⇔

≤ −

°

°

do đó [ ]( , ) ( , ) 0d x y d y xλ + ≤ . Vì 0λ > , ( , ) ( , ) 0d x y d y x= ≥ nên ( , ) 0d x y =

kéo theo

x y= với mọi , x y X ∈ .

Ta có thể thấy được quan hệ ,ϕ λ ° là thứ tự bộ phận trong X .




Không gian X cùng với quan hệ sắp thứ tự bộ phận,ϕ λ ° kí hiệu là

, X ϕ λ . Ta quy ước

,1 X X ϕ ϕ = và viết ϕ ° hoặc đơ n giản ° thay cho ,1ϕ ° .

Định lí 3.2.1. (Bishop - Phelps). Cho ( , ) X d là không gian mêtric đầy đủ và

: X ϕ → là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Khi đó cho 0 , x X ϕ λ ∈

bất kì , có một phần tử cực đại *

, x X

ϕ λ ∈ với *

0 , x x

ϕ λ ° . Nói một cách chính

xác hơ n: cho0

x X ∈ bất kì luôn t ồn t ại một phần tử * x X ∈ sao cho

* *

0 0( ) ( , ) ( ) x d x x xϕ λ ϕ + ≤

và

* *( ) ( ) ( , ) x x d x xϕ ϕ λ < + với mọi * x x≠ .

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả thiết 1λ = và xét,1 X X ϕ ϕ = .

Cho z X ϕ ∈ bất kì, kí hiệu { }( ) :T z y y z= ± . Ta thấy

{ } { }( ) : ( , ) ( ) ( ) : ( ) ( , ) ( )T z y d z y z y y y d z y zϕ ϕ ϕ ϕ = ≤ − = + ≤

và ánh xạ ( ) ( , ) y y d z yϕ + là hàm nửa liên tục dưới nên ( )T z là tập đóng

trong X .

Cho 0 x X ϕ ∈ , ta xây dựng dãy tăng

0 1 2 x x x ° ° ° . Bằng cách quy

nạp liên tiếp: Đầu tiên ta chọn { }1 0 0 0( ) : ( ) ( , ) ( ) x T x y X y d x y xϕ ϕ ∈ = ∈ + ≤

sao cho

[ ]1 0( ) 1 inf ( ) : ( ) x y y T xϕ ϕ ≤ + ∈ ,chọn { }2 1 0 1 1

( ) ( ) : ( ) ( , ) ( ) x T x y T x y d x y xϕ ϕ ∈ = ∈ + ≤ sao cho

[ ]2 1

1( ) inf ( ) : ( )

2 x y y T xϕ ϕ ≤ + ∈ ,…

Cứ tiếp tục quá trình trên, ta chọn

{ }1 2 1 1( ) ( ) : ( ) ( , ) ( )n n n n n x T x y T x y d x y xϕ ϕ − − − −∈ = ∈ + ≤

sao cho




[ ]1

1( ) inf ( ) : ( )n n x y y T x

nϕ ϕ −≤ + ∈ .

Dễ thấy dãy 0 1( ) ( )T x T x⊃ ⊃ là dãy giảm các tập đóng . Tiếp theo, ta ước

lượng đường kính của tập hợp ( )nT x khi 1n ≥ : cho

1( ) ( )n nT x T xξ −∈ ⊂ ta có

[ ]1

1( ) inf ( ) : ( ) ( )n n y y T x x

nϕ ξ ϕ ϕ −≥ ∈ ≥ −

suy ra

1( ) ( )n x

n

ϕ ϕ ξ − ≤ ,

và n x ξ ° do đó 1

( , ) ( ) ( )n nd x xn

ξ ϕ ϕ ξ ≤ − ≤ . Lấy , ( )n x y T x∈ bất kì, khi đó

[ ], ( ) , ( )

( ) sup ( , ) sup ( , ) ( , )n n

n n n x y T x x y T x

d ia mT x d x y d x x d x y∈ ∈

= ≤ +

1 1 2 0n

n n n

→∞≤ + = → với mọi 1n ≥ .

Như vậy, { } 1( )n nT x ∞

= là dãy hình cầu đóng, lồng nhau, thắt dần. Vì d đầy đủ

nên theo Bổ đề Cantor, có duy nhất một điểm *

0

( )n

n

x T x∞

=

∈ . Do đó

*

0( ) x T x∈ , vì thế *

0 x x° .

Ta sẽ chứng minh * x là phần tử cực đại trong X ϕ , tức là nếu * x z° thì

*

x z= . Thật vậy, vì*

x z° nên 0 x z° (do*

0 x x° ) , ta có 0( ) z T x∈ . Vì*

x z° nên1

x z° , mà0

( ) z T x∈ nên1

( ) z T x∈ . Cứ tiếp tục quá trình đó, ta

được { }*

0

( )n

n

z T x x∞

=

∈ = , tức là * x z= và * x là phần tử cực đại trong X ϕ . □

Định lí Bishop - Phelps đưa đến một k ết quả tr ực tiếp sau:

Định lí 3.2.2 (Caristi). Cho ( , ) X d là không gian mêtric đầy đủ và

: X ϕ → là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn d ưới. Cho :F X X → là hàm




(không nhất thiết liên tục) thoả mãn ( , ) ( ) ( )d x Fx x Fxϕ ϕ ≤ − với mọi x X ∈ .

Khi đó F có một điểm bất động.

Chứng minh. Xét tập sắp thứ tự bộ phận X ϕ . Theo Định lí Bishop - Phelps,

tồn tại0

x là một phần tử cực đại trong X ϕ . Theo giả thiết, ta có

0 0 0 0( , ) ( ) ( )d x Fx x Fxϕ ϕ ≤ −

vì thế 0 0

x Fx° trong X ϕ . Nhưng vì 0

x là cực đại trong X ϕ

nên ta phải có

0 0Fx x= . □

Ta thấy sự tồn tại của điểm bất động đối với ánh xạ co F trong không

gian mêtric đầy đủ ( , ) X d là hệ quả của Định lí Caristi. Thật vậy, nếu ta có

( , ) ( , )d Fx Fy d x yα ≤ với 0 1α ≤ <

thì 2( , ) ( , )d Fx F x d x Fxα ≤ . Khi đó

2(1 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d x Fx d x Fx d x Fx d x Fx d Fx F xα α − = − ≤ −

vì thế 1 1 2( , ) (1 ) ( , ) (1 ) ( , )d x Fx d x Fx d Fx F xα α − −≤ − − − .

Đặt 1( ) (1 ) ( , ) x d x Fxϕ α −= − . Dễ thấy, ( ) xϕ là hàm liên tục và

1( ) (1 ) ( , ) ( , ) 0 x d x Fx d x Fxϕ α −= − > >

nên ( ) xϕ bị chặn dưới; đồng thời

( , ) ( ) ( )d x Fx x Fxϕ ϕ ≤ −

.Theo Định lí Car isti, ánh xạ co F có một điểm bất động.

3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị

Trước khi nghiên cứu định lí điểm bất động của ánh xạ co đa trị, ta cần

có định nghĩa sau:

Định nghĩa 3.3.1. Cho ( , ) X d là một không gian mêtric. Ta kí hi ệu ( )( ),C X DB

là không gian các tập con khác r ỗng, đóng, bị chặn của X . Khi đó




{ }( , ) max su p( , ),su p( , )a A b B

D A B d a B d b A∈ ∈

= với ( , ) in f ( , )b B

d a B d a b∈

=

được gọi là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập , ( ) A B C X ⊂ B .

Định nghĩa 3.3.2. Cho ( , ) X d là một không gian mêtric. Một ánh xạ đa trị

: ( ) X C X →F B được gọi là α -co nếu tồn tại 0 1α ≤ < sao cho

( )( ), ( ) ( , ) D x y d x yα ≤F F với mọi , x y X ∈ .

Mở r ộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho ánh xạ đa tr ị ta thu được định

lí Nadler.

Định lí 3.3.3 (Nadler). Cho ( , ) X d là một không gian mêtric đầy đủ và ánh

xạ đ a tr ị : ( ) X C X →F B là α -co . Khi đó F có một điểm bất động.

Chứng minh. Trước tiên ta lưu ý rằng: cho x X ∈ và ( ) y x∈ F bất kì, ta có

( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( , )d y y D x y d x yα ≤ ≤F F F .

Bây giờ , cố định 0ε > . Cho x X ∈ bất kì, tồn tại ( ) ( ) y x xε ∈ F thoả mãn

( ) ( ), ( ) (1 ) , ( )d x y x d x xε ε ≤ + F ,

suy ra ( ) ( )1

, ( ) , ( )1

d x y x d x xε ε

≤+

F . Từ đó ta nhận được

( ) ( ) ( )1

, ( ) , ( ) , ( )1

d x y x d x x d x y xε ε α α

ε

− ≤ − +

F

( ) ( ), ( ) ( ), ( )d x x d y x F y xε ε ≤ − F .

Đặt ( )1

1( ) , ( )

1 x d x xε ϕ α

ε

−

= − + F . Ta chọn ε sao cho

1

1 α

ε >

+, khi đó

ε ϕ

là liên tục, bị chặn dưới và

( ) ( ), ( ) ( ) ( )d x y x x y xε ε ε ε ϕ ϕ ≤ −

vì thế ( ) x y xε ϕ ε ° với x X ∈ , ( ) ( ) y x xε ∈ F . Theo Định lí Bishop - Phelps, tồn

tại*

x là một phần tử cực đại đối với quan hệ thứ tự ε ϕ ° trong X ε ϕ và từ cách




xây dựng ta có * *( ) x y xε ϕ ε ° , do đó * *( ) x y xε = . Như vậy, * *( ) x x∈ F . □

3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach Xét ( , ) B B z r = là hình cầu đóng trong không gian Banach với chuẩn

. . Cho x B∉ bất kì, bao lồi của x và B được gọi là giọt , ký hiệu là ( , ) x BD .

Dễ thấy, nếu ( , ) y x B∈y D thì ( , ) ( , ) y B x B⊂D D và nếu 0 z = thì y x≤ .

Định lí 3.4.1 (Danes). Cho A là t ập con đóng của không gian Banach E, giả

sử \ z E A∈ và đặt ( , ) B B z r = là hình cầu đóng có bán kính ( , )r d z A R< = .

Cho :F A A→ là ánh xạ liên t ục thoả mãn ( ) ( , )F a A a B∈ D với mỗi

a A∈ . Khi đó với mỗi x A∈ , ánh xạ F có một điểm bất động trong

( , ) A x B D .

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0 z = . Cho x A∈ thì

x R= ≥ñ . Đặt ( , ) X A x B= D . Xét các ánh xạ :F X X → , ta ước lượng

y Fy− trên X : cho y X ∈ , ta có thể chọn b B∈ sao cho (1 )Fy tb t y= + − với 0 1t ≤ ≤ , suy ra

(1 ) (1 ) (1 )Fy tb t y tb t y t b t y= + − ≤ + − = + − .

Vì b B∈ nên b r ≤ . Ta có y X ∈ do đó y A∈ suy ra y R≥ . Điều này chỉ

ra r ằng 0 y b R r − ≥ − > . Từ đó ta tìm được

y Fy y Fyt y b R r

− −≤ ≤− − .

Như vậy,

(1 ) y Fy y tb t y ty tb t y b− = − − − = − = −

( ) ( ) ( ) ( )r

t y b t x b t r y Fy R r

+≤ + ≤ + = + ≤ −

−

ññ .

Đặt ( )

r

x x R r ϕ

+

= −

ñ

ta có ( ) xϕ là hàm thực liên tục, bị chặn dưới và




( ) ( ) y Fy y Fyϕ ϕ − ≤ − .

Theo Định lí Car isti, F có một điểm bất động trong ( , ) X A x B= D . □

Định lí 3.4.2 (Định lí giọt nước tựa). Cho A là một tập đ óng trong không

gian Banach E và một đ iểm \ z E A∈ với ( , ) 0d z A R= > . Khi đó cho

r R< < ñ , có một điểm0

x A∈∂ với

0 z x− ≤ ñ và ( ) { }0 0, ( , ) A x B z r x= D .

Chứng minh. Xét ( , ) A A B z= ñ ta có A là tập con đóng, khác r ỗng của E .

Xét ( , ) B B z r = và :F A A→ thoả mãn với mỗi x A∈ thì ( , )Fx A x B∈ D

sao cho Fx x≠ nếu { }( , ) A x B x≠ D . Theo định lí Danes, F có điểm bất

động trong ( , ) A x B D với mỗi x A∈ , ta giả sử đó là0

x . Nếu0 int( ) x A∈

thì { }0 0( , ) A x B x≠ D . Theo cách xác định ánh xạ F thì

0 0Fx x≠ , mâu

thuẫn với tính bất động của 0

x . Do đó 0

x A∈∂ và { }0 0( , ) A x B x= D , hơ n

nữa 0 x A∈ nên 0 z x− ≤ ñ .

Ngoài ra ta còn có thể chứng minh { }0 0 0( , ) ( , ) A x B A x B x= = D D .

Thật vậy, ( , ) A A B z= ñ suy ra 0 0( , ) ( , ) ( , ) A x B A B z x B= D ñ D . Ta có

0 z x− ≤ ñ suy ra0 ( , ) x B z∈ ñ , và ( , ) ( , ) B z r B z⊂ ñ nên

0( , ) ( , ) x B B z⊂D ñ .

Như vậy, { }0 0 0( , ) ( , ) A x B A x B x= = D D . □

3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn

Cho : X ϕ → là hàm thực trên không gian mêtric X với

{ }inf ( ) : x x X η ϕ = ∈ hữu hạn.

Nhắc lại r ằng: Một cực tiểu hoá của ϕ là phần tử0

x X ∈ sao cho

0( ) xϕ η = . Một cực tiểu chặt của ϕ là phần tử0

x X ∈ sao cho hệ thức




0( ) ( ) z xϕ ϕ ≤ kéo theo0 z x= . Một dãy { }n x trong X mà ( )n xϕ η → được gọi

là dãy cực tiểu hoá đối với ϕ .

Định lí 3.5.1 (Ekeland). Cho ( , ) X d là không gian mêtric đầy đủ và

: X ϕ → là hàm nửa liên tục dưới bị chặn d ưới bởi η . Cho { }n x là một dãy

cực tiểu hoá đối với ϕ và ( )1

2( ) 0n n xλ ϕ η = − > . Khi đó tồn tại một dãy cực

tiểu hoá { }n y đối với ϕ sao cho với số tự nhiên n ta có

(i) ( ) ( )n n y xϕ ϕ ≤ và ( , )n n nd x y λ ≤ ,

(ii)n y là cực tiểu chặt của hàm :n

X ϕ → cho bởi

( ) ( ) ( , )n n n z z d z yϕ ϕ λ = + với z X ∈ ,

(iii) ( ) ( ) ( ) ( , )n n n n n y y z d z yϕ ϕ ϕ λ = ≤ + với z X ∈ .

Chứng minh.

(i) Trước tiên ta xây dựng dãy { }n y . Cho một số tự nhiên n , ta xét

không gian, n

X ϕ λ với ( )

12( )

n n xλ ϕ η = − . Áp dụ ng Định lí Bishop – Phelps

trong không gian, n

X ϕ λ , cho điểm

n x có tồn tại một phần tử

n y trong , n

X ϕ λ

thoả mãn

(a), nn n x yϕ λ ° và

(b)n y là cực đại trong , n

X ϕ λ .

Bây giờ ta chỉ ra rằng n y và hàm nϕ thoả mãn các tính chất từ (i) đến (iii).

Thật vậy, theo giả thiết ( )1

2( )n n xλ ϕ η = − suy ra 2( )n n xϕ η λ = + . Do ϕ

bị chặn dưới bởi η , , nn y X ϕ λ ∈ nên ( )n yϕ η → . Từ định nghĩa của quan hệ

, nn n x yϕ λ

° trong, n

X ϕ λ

, ta có ( , ) ( ) ( )n n n n nd x y x yλ ϕ ϕ ≤ − . Khi đó, ta tìm được

( ) 21 1( , ) ( ) ( ) ( )n n n n n n

n n

d x y x yϕ ϕ η λ η λ

λ λ

≤ − ≤ + − =




và ( ) ( )n n x yϕ ϕ ≥ , vì ( ) ( ) 0n n

x yϕ ϕ − ≥ .

(ii) Để chứng minhn y là cực tiểu chặt ta chỉ ra r ằng nếu ( ) ( )n n n

z yϕ ϕ ≤

thìn

y z= . Thật vậy, giả sử ( ) ( )n n n z yϕ ϕ ≤ với z X ∈ , ta có

( ) ( ) ( , ) ( ) ( )n n n n n n z z d z y y yϕ ϕ λ ϕ ϕ = + ≤ =

suy ra ( , ) ( ) ( )n n nd z y y zλ ϕ ϕ ≤ − . Theo quan hệ thứ tự trong

, n X ϕ λ

, ta có

, nn y zϕ λ ° . Mặt khác, n y là cực đại trong, n

X ϕ λ nên n y z= .

(iii) Theo chứng minh (ii), ta có nếu , n n z y

ϕ λ ° thì ( ) ( )n n n z yϕ ϕ ≥ suy ra

( ) ( ) ( ) ( ) ( , )n n n n n n y y z z d z yϕ ϕ ϕ ϕ λ = ≤ = + với mọi z X ∈ . □

Hệ quả 3.5.2. Cho E là một không gian Banach, : E ϕ → là một hàm khả vi

trên E và bị chặn d ưới bởi η và { }n x là một dãy cực tiểu hoá đối với ϕ . Khi

đó tồn tại một dãy cực tiểu hoá { }n y trong E đối với ϕ sao cho ( ) ( )n n y xϕ ϕ ≤

với mỗi n và ( ) 0n D yϕ → trong * E .

Chứng minh. Theo Định lí Ekeland, tồn tại một dãy cực tiểu hoá { }n y trong E

đối vớiϕ sao cho ( ) ( )n n y xϕ ϕ ≤ với mọi n . Với ( )

1

2( )n n xλ ϕ η = − , ta có

( ) ( )n n n y z z yϕ ϕ λ ≤ + − với mọi z E ∈ .

Với n cho trước, đặtn z y= + u với mọi E ∈u . Từ đó ta có ước lượng

( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n y y y y yϕ ϕ λ ϕ λ ≤ + + + − = + +u u u u với mọi E ∈u

và vì thế

*0

0

( ) ( )( ) lim sup n n

n n E

y y D y

ϕ ϕ ϕ λ

→ ≤≠

− += ≤

ñ ñuu

u

u.

Khi đó 0nλ → thì ( ) 0n D yϕ → trong * E với mọi n . □




Chương 4

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI

ĐIỂM BẤT ĐỘNG DỰA TRÊN TÍNH LỒI

Chươ ng này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi, cụ

thể là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM. [ ]( )4

4.1. Nguyên lý ánh xạ KKMĐầu tiên ta nhắc lại một số định ngh ĩa liên quan đến ánh xạ đa tr ị:

Cho X và Y là hai tập; t ập tất cả các tập con của X kí hiệu là 2 X .

Ánh xạ : 2Y S X → được gọi là ánh xạ đa trị. Các tập Sx là các giá tr ị của S .

Kí hiệu { }( , ) :S G x y X Y y Sx= ∈ × ∈ là đồ thị của S và ( ) x X

S X Sx∈

= là ảnh

của S .

Ánh xạ ngược của ánh xạ S là ánh xạ 1 : 2 X S Y

− → xác định bởi

{ }1 : y S y x X y Sx− = ∈ ∈ . Các giá tr ị của 1S

− được gọi là các thớ của S .

Ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ S là ánh xạ * : 2 X S Y → xác định bởi

* 1\ y S y X S y−= . Các giá tr ị của *

S được gọi là các đối thớ của S .

Ta thấy, S là toàn ánh (tức là ( )S X Y = ) nếu và chỉ nếu các thớ 1S y

−

đều không rỗng. Điểm bất động của ánh xạ đa trị : 2 X S X → là điểm 0 x X ∈

thoả mãn0 0

x Sx∈ . Dễ thấy, nếu S có một điểm bất động thì 1S − cũng có một

điểm bất động.

Xét không gian véc tơ tôpô (Hausdorff) E (trên trường ) và A E ⊂ ,

ta thườ ng kí hiệu bao lồi của A là convA hoặc [ ] A . Cho số tự nhiên n ∈

bất kì, ta viết[ ] { }

:1n i i n= ∈ ≤ ≤ .




Định nghĩa 4.1.1. Cho E là một không gian véc tơ tôpô ( Hausdorff ) và

X E ⊂ là một tậ p con tu ỳ ý. M ột ánh xạ đ a tr ị : 2 E G X → được gọi là ánh xạ

Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz (gọi tắt là ánh xạ KKM ) nếu tính chất

[ ] { }1

1

, , ( )s

s i

i

A conv x x G A Gx=

= ⊂ =

được thoả mãn với mỗi tập con hữu hạn { }1, ,

s A x x= của X .

Ta nói r ằng G là ánh xạ KKM mạnh nếu

(i) x Gx∈ với mỗi x X ∈ và

(ii) Các đối thớ *G y của G là lồi.

Bổ đề 4.1.2. Cho E là một không gian véc tơ tôpô ( Hausdorff ) , C E ⊂ lồi và

: 2 E G C → là ánh xạ KKM mạnh. Khi đó G là ánh xạ KKM.

Chứng minh. Đặt { }1, , s A x x C = ⊂ và giả sử [ ]0 y A∈ .

Ta phải chứng minh 0

1

s

i

i

y Gx

=

∈ . Thật vậy, theo giả thiết G là ánh xạ

KKM mạnh nên0 0

y Gy∈ với mọi [ ]0 y A∈ do đó *

0 0 y G y∉ , vì vậy

[ ] *

0 A G y⊄ .

Ta có G là ánh xạ KKM mạnh nên tập *0G y lồi, vì thế tồn tại ít nhất

một điểmi x của A sao cho *

0i x G y∉ suy ra 1

0i x G y−∈ , điều này có ngh ĩa là

0 i y Gx∈ , do đó 0

1

s

i

i

y Gx=

∈ . Như vậy, [ ]1

s

i

i

A Gx=

⊂ . □

Bổ đề 4.1.3 . Cho E là một không gian véc tơ tôpô ( Hausdorff ) và C E ⊂ là

một tập lồi không rỗng. Giả sử : 2C G C → là ánh xạ đa trị sao cho

* : 2C G C → không là ánh xạ KKM. Khi đó

(i) T ồn tại một điểm C ∈W thoả mãn ( )conv G∈W W ,

(ii) N ếu G có giá tr ị lồi thì G có một điểm bất động.




Chứng minh.

(i) Vì *G không là ánh xạ KKM n ên tồn tại điểm { }1, , nconv x x∈ W

với1, , n

x x C ∈ thoả mãn

( )* -1 1

1 1 1

\ \ \n n n

i i i

i i i

C G x C C G x G x−

= = =

∈ = = W ,

suy rai x G∈ W với mỗi [ ]i n∈ , do đó { }: 1,2..., ( )iconv x i n conv G= ⊂ W . Ta

có { }1, , nconv x x∈ W , vì vậy ( )conv G∈W W .

(ii) Từ G có giá tr ị lồi ta có GW lồi, vì thế ( )conv GW lồi.Theo (i), ( )conv G∈W W do đó G∈W W . □

Trước khi đưa ra một số ví dụ của ánh xạ KKM, ta nhắc lại một số định

ngh ĩa:

Cho E là một không gian véc tơ tôpô (Hausdorff), C E ⊂ là tập con

lồi. Hàm :C ϕ → được gọi là lồi nếu ( )(1 ) ( ) (1 ) ( )tx t y t x t yϕ ϕ ϕ + − ≤ + −

với mọi [ ]0,1t ∈ và , x y C ∈ . Tổng và cực đại của hai hàm lồi là lồi. Một hàm

:C → y được gọi là lõm nếu −y là lồi.

Một hàm : C ϕ → được gọi là t ựa lồi nếu { }: ( ) y C yϕ λ ∈ < lồi với

mỗi λ ∈ . Hàm :C → y được gọi là t ựa lõm nếu −y là tựa lồi. Ta thấy

mọi hàm lồi đều là tựa lồi.

Ví dụ 4.1.4. Cho , X Y là hai t ập con lồi của hai không gian véc tơ tôpô

( Hausdorff ) X E vàY

E . Giả sử : f X Y × → là hàm lõm - lồi (t ức là ,

( , ) x f x y là lõm với mỗi y Y ∈ và ( , ) y f x y là lồi với mỗi x X ∈ ). Khi

đó ánh xạ : 2 X Y G X Y

×× → xác định bởi

{ }X( , ) ( , ) : ( , ) ( , ) 0Y G x y x y E E f x y f x y′ ′ ′ ′= ∈ × − ≤

là ánh xạ KKM mạnh. Thật vậy,




i) ( , ) ( , ) x y G x y∈ với mỗi ( , ) x y X Y ∈ × ,

ii) Ta có ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y′ ′− là lõm nên đối thớ của G

{ }*( , ) ( , ) : ( , ) ( , ) 0G x y x y X Y f x y f x y′ ′ ′ ′= ∈ × − >

là lồi. Do đó, Gx là ánh xạ KKM mạnh. □

Ví dụ 4.1.5. Cho C là t ập con lồi của không gian véc tơ tôpô ( Hausdorff ) E

và :g C C × → là hàm thoả mãn

a) ( , ) 0g x x ≤ với mỗi x C ∈ ,

b) ( , ) x g x y là t ựa lõm trên C với mỗi y C ∈ .

Khi đó ánh xạ : 2C G C → cho bởi { }: ( , ) 0 x Gx y C g x y= ∈ ≤ là ánh xạ

KKM mạnh. Thật vậy,

i) x Gx∈ với mỗi x C ∈ , vì ( , ) 0g x x = với mọi x C ∈ ,

ii) Ta có ( , ) x g x y là tựa lõm trên C với mỗi y C ∈ nên đối thớ của G

{ }* : ( , ) 0G y x C g x y= ∈ >

là lồi. Như vậy, Gx là ánh xạ KKM mạnh. □

Cho E là một không gian véc tơ tôpô (Hausdorff). Một tập con A của

E được gọi là đóng hữu hạn nếu giao của nó với không gian hữu hạn chiều

L E ⊂ là đóng trong không gian tôpô Euclid c ủa L .

Ta nhắc lại r ằng: Một họ { }: Aλ

λ ∈ Λ các tập con của một tập nào đó

được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu giao của mỗi họ con hữu hạn làkhông r ỗng.

Định lí 4.1.6 (Nguyên lý ánh xạ KKM ). Cho X E ⊂ và : 2 E G X → là một

ánh xạ KKM có giá tr ị đóng , lồi , hữu hạn. Khi đó họ { } x X

Gx∈

có tính chất

giao hữu hạn.




Chứng minh. Giả sử { }1, ,

n A x x= là một tập con hữu hạn các phần tử của

X . Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh [ ] 1

n

i

i A Gx

= ≠ ∅ . (4.1)

Nếu A là tập chỉ có một phần tử x của X thì mệnh đề đúng vì x Gx∈ với

x X ∈ bất kì. Giả sử mệnh đề đúng với tập A chứa ( 1n − ) phần tử. Ta sẽ chỉ

ra mệnh đề đúng với tập A chứa n phần tử: theo giả thiết quy nạp,

{ }\ j i

j i

Gx A x≠

≠ ∅ nên với mỗi [ ]i n∈ , ta chọn một phần tửi

y trong tập

{ }\ j i

j i

Gx A x≠

;

và xét tập compact lồi [ ] [ ]1, , nY y y A= ⊂ . Để chứng minh (4.1), ta phải

chứng minh

1

n

i

i

Gx Y =

≠ ∅ .

Giả sử1

n

i

i

Gx Y =

= ∅ . Ta xét trong không gian hữu hạn chiều L sinh bởi A ,

giả sử d là khoảng cách Euclid trong L . Lưu ý r ằng vìi

Gx L là đóng trong

L nên ta có ( , ) 0i

d x Gx Y = nếu và chỉ nếui

x Gx Y ∈ .

Với mỗi [ ] j n∈ , : j Y ϕ → xác định bởi ( ) ( , ) j j y d y Gx Y ϕ = . Lưu ý

r ằng với mỗi jϕ lồi và liên tục, hàm :Y ϕ → cho bởi

{ }1( ) max ( ), , ( )n y y yϕ ϕ ϕ = với y Y ∈ cũng lồi và liên tục. Vì ϕ là hàm liên

tục trên tập compact nên tồn tại y Y ∈ là điểm mà tại đó ϕ đạt cực tiểu. Từ

điều giả định 1

n

i

i

Gx Y =

= ∅ ta phải có ( ) 0 yϕ > vì nếu ( ) 0 yϕ = thì

1( ) ( ) 0n y yϕ ϕ = = = suy ra

1

n

n

i

y Gx Y =

∈ = ∅ , điều này vô lí. Vì G là ánh




xạ KKM nên [ ]1

n

i

i

Y A Gx=

⊂ ⊂ và vì thế y thuộc vào một trong các tậpiGx ,

giả sử đó là nGx .

Ta ước lượng hàmiϕ tại điểm (1 )

t n z t y t y= + − của đoạn , n y y Y ⊂ .

Trước tiên, cho i n= , vì n y Gx Y ∈ nên ( ) ( , ) 0n n y d y Gx Y ϕ = = . Ta có

( ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )n t n n n n n n n z t y t y t y t y t yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + − ≤ + − ≤ − .

Khi 1t → ta thấy r ằng ( ) 0n t zϕ → và vì thế khi cho0

t đủ gần 1 ta được

0

( ) ( )n t z yϕ ϕ < . (4.2)

Hơn nữa, cho [ ]1i n∈ − , vì ( ) 0i n yϕ = nên

0 0 0( ) ( ) (1 ) ( ) ( )i t i i n

z t y t y yϕ ϕ ϕ ϕ ≤ + − < . (4.3)

Từ (4.2) và (4.3), ta có [ ]{ } 0 0

( ) max ( ) : ( )t i t z z i n yϕ ϕ ϕ = ∈ < với

0,t n z y y ∈ ,

mâu thuẫn với( ) yϕ là cực tiểu. Vậy

1

n

i

i

Gx Y =

≠ ∅ . □

Định lí 4.1.7 (Dạng hình học của nguyên lý KKM). Cho E là một không

gian tôpô tuyến tính ( Hausdorff ) , X E ⊂ và : 2 E G X → là ánh xạ KKM có

giá tr ị lồi , đóng sao cho0

Gx là compact với0

x X ∈ . Khi đó giao

{ }:Gx x X ∈ là không r ỗng.

4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức

Ngay sau đây chúng ta đưa ra một ứng dụng của nguyên lý ánh xạ

KKM thường xuất hiện trong lý thuyết trò chơ i và Toán kinh tế.

Định lí 4.2.1 (von Newmann). Cho X và Y là hai t ập con không r ỗng , lồi ,

compact của hai không gian tôpô tuyến tính ( Hausdorff ) X E vàY E . Giả sử

: f X Y × → là hàm thực thoả mãn




(i) ( , ) x f x y là lõm và nửa liên tục trên với mỗi y Y ∈ ,

(ii) ( , ) y f x y là lồi và nửa liên tục dưới với mỗi x X ∈ .

Khi đó

( A) Có một điểm0 0

( , ) x y X Y ∈ × sao cho

0 0( , ) ( , ) f x y f x y≤ với mọi ( , ) x y X Y ∈ × .

Điểm0 0

( , ) x y được gọi là điểm yên ngựa đối với f.

( B) 0 0

y Y y Ymaxmin ( , ) = ( , ) = minmax ( , )

x X x X f x y f x y f x y

∈ ∈∈ ∈.

Chứng minh .

(A). Theo Ví dụ 4.1.4, ánh xạ : 2 X Y G X Y

×× → xác định bởi

{ }X( , ) ( , ) : ( , ) ( , ) 0Y G x y x y E E f x y f x y′ ′ ′ ′= ∈ × − ≤

là ánh xạ KKM mạnh vì hàm f là hàm lõm - lồi. Theo Bổ đề 4.1.2, G là ánh

xạ KKM. Hơn nữa, do với mỗi ( , ) x y hàm ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y′ ′ ′ ′− là lồi

và nửa liên tục dưới nên các tập ( , )G x y là lồi, đóng. Theo Định lý 4.1.7, tồn

tại0 0

( , ) x y sao cho 0 0( , ) ( , ) x y G x y∈ với mọi ( , ) x y X Y ∈ × ; điều này nói một

cách chính xác r ằng 0 0( , ) x y là một điểm yên ngựa đối với f .

B) Ta có ( , ) max ( , ) x X

f x y f x y∈

≤ suy ra min ( , ) minmax ( , ) y Y y Y x X

f x y f x y∈ ∈ ∈

≤ do đó

maxmin ( , ) minmax ( , ) y Y y Y x X x X

f x y f x y∈ ∈∈ ∈

≤ (4.4)

Theo ý (A), 0 0( , ) ( , ) f x y f x y≤ với mọi ( , ) x y X Y ∈ × . Khi đó, cho 0

x x= ở vế

trái ta được 0 0 0( , ) ( , ) f x y f x y≤ với mọi y Y ∈ nên

0 0 0( , ) min ( , ) max min ( , ) y Y y Y x X

f x y f x y f x y∈ ∈∈

≤ ≤ (4.5)

Tươ ng tự, cho0

y y= ở vế phải ta được 0 0 0( , ) ( , ) f x y f x y≤ với mọi x X ∈ vì

thế




0 0 0min max ( , ) max ( , ) ( , ) y Y x X x X

f x y f x y f x y∈ ∈ ∈

≤ ≤ (4.6)

Do (4.5) và (4.6), ta có

0 0min max ( , ) ( , ) max min ( , )

y Y y Y x X x X f x y f x y f x y

∈ ∈∈ ∈≤ ≤ (4.7)

Từ (4.4) và (4.7),0 0

y Y y Ymaxmin ( , ) = ( , ) = minmax ( , )

x X x X f x y f x y f x y

∈ ∈∈ ∈ □

Từ định lý trên ta thu được hai kết quả quan trọng trong lý thuyết hệ vô

hạn các bất đẳng thức.

Cho X E ⊂ là tập compact lồi trong không gian tô pô tuyến tính

(Hausdorff) E và cho { }ϕ Φ = là một họ không rỗng c ác hàm thực

: X ϕ → , với ϕ là lồi và nửa liên tục dưới. Để đưa ra công thức tổng quát

ta giả sử [ ]Φ là bao lồi của Φ trong không gian véc tơ X , chúng ta sẽ xét

hai vấn đề sau:

( )1P Tồn tại0

x X ∈ sao cho0

( ) 0 xϕ ≤ với mọi ϕ ∈Φ .

( )2P Với mỗi [ ]∈ Φy tồn tại x X ∈ sao cho ( ) 0. x ≤y

Định lí 4.2.2. Hai bài toán ( )1P và ( )2P là tương đương. Nói cách khác, hoặc

a) Có0

x X ∈ thoả mãn0

( ) 0 xϕ ≤ với mọi ϕ ∈Φ , hoặc

b) Có [ ]∈ Φy sao cho ( ) 0 x >y với mọi x X ∈ .

Chứng minh.

2( ) ( )⇒1P P . Hiển nhiên vì nếu tồn tại 0 x X ∈ sao cho 0( ) 0 xϕ ≤ với

mọi ϕ ∈Φ , ta chọn 0

x x= và ϕ ≡y , thì với mỗi [ ]∈ Φy , tồn tại x X ∈ sao

cho ( ) 0. x ≤y

1( ) ( )⇒2P P . Giả sử ( )2P đúng, tức là với mỗi [ ]∈ Φy tồn tại x X ∈

sao cho ( ) 0 x ≤y ; và xét { }( ) : ( ) 0S x X xϕ ϕ = ∈ ≤ . Ta phải chứng minh




( )S ϕ

ϕ ∈Φ

≠ ∅ . Từ các tập ( )S ϕ là lồi, đóng và không r ỗng (do ( )2P ), ta chỉ ra

r ằng họ { }( ) :S ϕ ϕ ∈Φ có tính chất giao hữu hạn. Giả sử 1, , nϕ ϕ ∈Φ ; tập

1

1

( , , ) : 0, , 1n

n

n i i

i

iλ λ λ λ =

Λ = ∈ ≥ ∀ =

∑ ,

và trên tích của hai tập compact lồi X và Λ ta xét hàm : f X × Λ → cho

bởi

1

( , ) ( )n

i ii

f x xλ λ ϕ =

=

∑

Ta có ( , ) x f x λ là lõm và nửa liên tục trên với mỗi λ ∈ Λ ; ( , ) f xλ λ là

lồi và nửa liên tục dưới với mỗi x X ∈ . Theo Định lí 4.2.1, f có một điểm

yên ngựa, tức là tồn tại 0

( , ) x X λ ∈ × Λ sao cho 0

( , ) ( , ) f x f xλ λ ≤ với mọi

( , ) x X λ ∈ × Λ . Ta có thể nói cách khác, tồn tại 0

x X ∈ và [ ]1

n

i i

i

λ ϕ =

= ∈ Φ∑y

sao cho0

( ) ( )i x xϕ ≤ y với mọi [ ]i n∈ và mọi x X ∈ . Theo ( )2P , tồn tại x X ∈

sao cho ( ) 0 x ≤y nên 0

( ) ( ) 0i x xϕ ≤ ≤y với mọi [ ]i n∈ , do đó 01

( )n

i

i

x S ϕ =

∈ .

Như vậy, ( )S ϕ

ϕ ∈Φ không r ỗng, ngh ĩa là tồn tại 0

x X ∈ thoả mãn 0( ) 0 xϕ ≤ với

mỗi ϕ ∈Φ . □

Giả sử X là một tập và { }ϕ Φ = là một họ khác r ỗng của các hàm

thực : X ϕ → . Ta nói r ằng Φ là lõm theo ngh ĩa của Fan (hoặc đơ n giản là

F - lõm) nếu với mọi tổ hợp lồi 1

n

i i

i

λ ϕ =

∑ của 1, , nϕ ϕ ∈Φ có ϕ ∈Φ sao cho

1

( ) ( )n

i i

i

x xϕ λ ϕ =

≥ ∑ với mỗi x X ∈ .




Hệ quả 4.2.3. Cho X là t ập con k hác r ỗng , lồi , compact của một không gian

tôpô tuyến tính ( Hausdorff ) E và { }ϕ Φ = là một họ F - lõm các hàm thực ,

lồi , nửa liên tục dưới : X ϕ → . Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

) A T ồn tại0

x X ∈ sao cho0

( ) 0 xϕ ≤ với mọi ϕ ∈Φ ,

) B V ới mỗi ϕ ∈Φ t ồn tại x X ∈ sao cho ( ) 0 xϕ ≤ .

Chứng minh.

A)⇒ B). Giả sử không tồn tại 0

x X ∈ sao cho0

( ) 0 xϕ ≤ với mọi ϕ ∈Φ .

Theo Định lí 4.2.2, ta có tổ hợp lồi [ ]1

n

i i

i

λ ϕ =

∈ Φ∑ sao cho

1

( ) 0n

i i

i

xλ ϕ =

>∑ với mọi x X ∈ ,

và do { }ϕ Φ = là họ F - lõm, vì thế

1

( ) ( ) 0n

i i

i

x xϕ λ ϕ

=

≥ >∑ với mọi x X ∈ ,ϕ ∈Φ ;

tức là không tồn tại x X ∈ sao cho ( ) 0 xϕ ≤ ,ϕ ∈Φ . Như vậy, nếu tồn tại

0 x X ∈ sao cho 0( ) 0 xϕ ≤ với mọi ϕ ∈Φ thì với mỗi ϕ ∈Φ tồn tại x X ∈ sao

cho ( ) 0 xϕ ≤ .

(B)⇒ (A). Hiển nhiên vì nếu với mỗi ϕ ∈Φ tồn tại x X ∈ sao cho ( ) 0 xϕ ≤ ,

ta chọn

0 x x= thì tồn tại 0 x X ∈ sao cho 0( ) 0 xϕ ≤ với mọi ϕ ∈Φ . □

4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff - Kakutani

Trong phần này ta phát biểu một định lí điểm bất động cho các ánh xạ

affine liên tục, đó là định lí Markoff – Kakutani.

Cho E là một không gian tôpô tuyến tính, * E là không gian liên hợp của

E , tức là * E là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E . Ta nói




r ằng E có đủ nhiều các phiếm hàm tuyến tính nếu các phần tử của * E là tách

được các điểm của E , tức là với mọi 0 x E ≠ ∈ có một *l E ∈ sao cho ( ) 0l x ≠ .

Định lí 4.3.1. Cho E là một không gian tôpô tuyến tính ( Hausdorff ) có đủ

nhiều các phiếm hàm tuyến tính, C E ⊂ là một tập compact, lồi, khác rỗng và

:F C E → là một ánh xạ affine liên tục. Giả thiết rằng với mỗi , y C y Fy∈ ≠ ,

đoạn thẳng [ ], y Fy chứa ít nhất hai điểm của C . Khi đó ( )Fix F ≠ ∅ .

Chứng minh. Cho l là một phần tử của * E . Trước tiên, ta giải bất phương

trình trong C ( ) 0.l Fy y− ≤ (4.8)

Xét hàm liên tục : .C

l C → Do l là hàm liên tục trên tập compact C nên

tồn tại0

y C ∈ là cực đại trong C . Nếu0 0

Fy y≠ thì theo điều giả định, tồn tại

0λ > sao cho điểm0 0(1 )Fy yλ λ + − nằm trong C . Khi đó

[ ]0 0 0(1 ) ( )l Fy y l yλ λ + − ≤ ,

và vì vậy0 0

( ) 0.l Fy yλ − ≤ Vì 0λ > nên ta có0 0

( ) 0,l Fy y− ≤ tức là0

y là

nghiệm của bất phương trình (4.8).

Bây giờ ta xét trên C họ { }ϕ Φ = của các hàm lồi liên tục : C ϕ →

xác định bởi ( ) ( ), , y l Fy y y C ϕ = − ∈ trong đó *.l E ∈ Theo Định lý 4.2.2, tồn

tại0

y C ∈ sao cho0 0

( ) 0l Fy y− ≤ với mọi *.l E ∈ Vì E có đủ nhiều các hàm

tuyến tính nên với mọi 0 0 0Fy y− ≠ thì có một *l E ∈ sao cho 0 0( ) 0l Fy y− ≠ .

Giả sử 0 0

( ) 0l Fy y− < ta có0 0

( ) 0l Fy y− − > , điều này mâu thuẫn với

0 0( ) 0l Fy y− − ≤ vì *

l E − ∈ . Do vậy, từ0 0

( ) 0l Fy y− ≤ với mọi *l E ∈ sẽ tồn

tại0

y C ∈ thoả mãn0 0

( ) 0l Fy y− = , tức là0 0

Fy y= . Vậy ( ) .Fix F ≠ ∅ □

Định lý 4.3.2 (Markoff - Kakutani). Cho C là một tập compact, lồi, khác

r ỗng trong một không gian tôpô tuyến tính ( Hausdorff ) với đủ nhiều các




phiếm hàm tuyến tính và F là một họ giao hoán các ánh xạ affine liên t ục từ

C vào C . Khi đó F có một điểm bất động chung.

Chứng minh. Theo Định lý 4.3.1, với mỗi F ∈F ta có ( )Fix F ≠ ∅ . Hơn

nữa, ( )Fix F là tập compact, đóng trong tập compact C và ( )Fix F là tập lồi

(vì F là ánh xạ affine).

Ta phải chứng minh rằng { }( ) :Fix F F ∈ ≠ ∅ F . Vì mỗi tập ( )Fix F

là compact, ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi giao hữu hạn

1

1( , , ) ( )

n

n i

iFix F F Fix F

=≡ ≠ ∅ .

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp: Với 1n = định lý đúng vì

( )Fix F ≠ ∅ với mỗi F ∈F . Giả thiết1

( , , )iFix F F ≠ ∅ với i n< , ta phải

chứng minh

1( , , )nFix F F ≠ ∅ .

Do họ F giao hoán nên[ ] [ ]

( ) ( )i n n i

F F x F F x= . Cho1 1

( , , )n

x Fix F F −

∈ ta có

( )iF x x= vì thế

[ ] [ ]( ) ( ) ( )i n n i nF F x F F x F x= =

với mỗi i n< . Như vậy, ( )nF x là điểm bất động của

iF với mỗi i n< hay

1 1( ) ( , , )

n nF x Fix F F −∈ ,

Vì1 1( , , )nFix F F − là tập compact, lồi, k hác r ỗng nên theo Định lí 2.3.3.1 ta

được

1( , , )nFix F F ≠ ∅ . □




KẾT LUẬN

Luận văn “Một số định lí điểm bất động” trình bày một cách chi tiết

hơn một số định lí điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji. Fixed

point Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Cụ thể luận văn đã tập hợp

được các kết quả sau:

1. Hệ thống các khái niệm: Tính compact và tính đầy đủ, tính bị chặn và

tính liên tục của hàm số, tập sắp thứ tự, điểm bất động , không gian

điểm bất động.

2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ của không

gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng của

nó.




3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự như

Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski – Kantorovitch, Định lí

Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Car isti, Định lí Ekeland,

Định lí Nadler, Định lí Danes.

4. Nguyên lí ánh xạ KKM và điểm bất động của ánh xạ Affine.



Tài liệu tham khảo

1. Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lí thuyết hàm

và giải tích hàm - tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

2. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm và giải tích

hàm - tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội .

3. Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lí điểm bất động,

Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.

4. A.Granas, J.Dugundji (2003), Fixed point Theory, Springer – Verlag,

NewYork.

5. E.Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its applications I,

Springer.

Documents

Định Lý Điểm Bất Động