Dinamicka_stabilnost

8/16/2019 Dinamicka_stabilnost

1/5


2/5

Tri homospojeni s

štap AB ,

spojena

rastojanj

trenje ivertikalniravnotežeRješenje:Na osnov

1

1

2P E c

gdje je:

2 2 sil

1 2h h

3 coh l

Za male

sin ,

pa slijedi1 4

l ,

2

3

4 l

1 2h h

3

l h l

Uvrštava

12

2P E

11

3P c

E

22P E

Uslov sta2

2

2P E

32

11

G c

l

gena jed zglobno

na rasto

e opruga

l 2 = 34l ,

masu op položaj, ako su p

slike pot

21

1

2 c

1 1 sinl

3s

4

l

cosl

,

, 1 22

c c

glove vrij

cos 1

:

,

2

4

l l ,

2

,

jem 1G

2

4

l c

2

2l G

2

32

c l

ilnost rav2

232

c l

aka štapi mogu se

janju l 1

krutosti

opruga

ruga odrštapovari tome op

encijalne

22 1G

sin4

l ,

in ,

c .

di:2

2

,

2 3G

1 3

2 4c

2 2l

G l

notežnog

0G l

, svakikretati u

4

l od

c 1 = 2c ,

rutosti c

diti veliB i BC ruge nena

nergija si

1 2 2h G h

, te 1

2

c

2

2l

l

oložaja:

užine l ivertikaln

nepokretn

a za št

= c . Za

inu c priti polož

pregnute.

stema je:

3 3G h ,

2 c dobij

2

l G G

težine j ravni. Z

e take

p CD , n

emaruju

i kojoj j stabiln

a se:

2

4

l G

,

i

e

2

2

l l G

etiri štakoji se nslici. Štavertikalnc 2 postakrutosti

stabilnepoložaju

Rješenje:

1

1

2P E c

Za male

1

1(

2P E c

1(P E c

2

12(P

E c

Uslov sta

2

20P

E

pa, tri dulaze u vepovi sum položajljene u o1 i c 2 pri k

avnoteže.istema. T

2 22

1

2c

glove vrij

22

7)

2c

2

7)

2c

2

7)

2c G

bilnost ra

1 2( )c c

ine l i jetikalnoj rzglobnou pomousloncima ojoj e ver

Oprugeenje zane

3 cos2

l G

di: cos

27

4G Gl

l

l

notežnog7

2Gl

dan 2l, trvni obraovezani.dvije spirA i B . Otikalni pol

u nenapmariti.

2 cosGl

2

12

oložaja:

i težina G uju sisteSistem

alne oprudrediti vrožaj siste

egnute p

1

1(

2 c

, te jedanprikaza

e održave krutost

ijednost za biti po

i vertikal

22

7)

2G

2G ,nau

c 1 ibiraožaj

om

cos


3/5

Homogeni ugaonik AOB se sastoji od dva štapa istih

težina G i istih dužina OA OB l koji su meusobnospojeni pod uglom 90°. Ugaonik se može obrtati okohorizontalne nepokretne ose koja prolazio kroz taku O.

Na kraju štapa OA postavljen je teret težine Q. Ugaonik

se održava u položaju statike ravnoteže prikazanom naslici pomou horizontalne opruge krutosti c

deformisane za veliinu f st. Opruga je za štap OB privršena na rastojanju a od ose rotacije O. Odreditiuslove stabilnosti prikazanog ravnotežnog položaja.

Rješenje

Potencijalna energija sistema:

2

sin sin cos2 2

1( sin )

2

p

st

l l E Q l G G

c f a

za male uglove:2

sin ; cos 12

2

2

12 2 2

1( )

2

p

st

l l E Q l G G

c f a

( )2 2

p

st

E l l Q l G G c a f a

Statiki uvjet ravnoteže se dobije iz uvjeta da

je za 0 , 0 p E

:

0

0 p E

0 ( 0) 02 2

st

l l Q l G G c a f a

02

st

l Q l G c f a

Ovaj izraz se mogao dobiti i postavljanjem jednaina ravnoteže, tj. momentne jednaine za taku O .

0O M 02 O l Q l G F a

02

st

l Q l G c f a

Uz statiki uvjet slijedi:

2

2

p E l G c a

2

2

2 2

p E l G c a

Uvjet stabilnosti ravnoteže dat je sa:2

20

p E

Uvrštavanjem drugog izvoda potencijalneenergije dobije se uvjet stabilnostiravnoteže u obliku:

2 02

l c a G ili

2

2

l c a G

Štapa OA obrtati okmasa m .2c 1 = 2c 2 prikazanprikazan

1

1

2

12 2

P

P

E c

c E

31

36P E

31

18P E

Uslov sta2

2

3

1P E

3631

m c

l

dužine l ,o zglobatap i ma

= c 3 = c zana slici odm položaj

2

2

1

2

12

l

l

2 2l

2c l

ilnost ra

2 2c l

g

ase 2m. Na kraja su povedva neporediti uslou opruge

2

3

2

c l

c l

2g l

m g l

notežnog

0m g l

oji leži uA štapaani puteretna zidve stabilnu nenapr

2

1

2

1 22 2 3

c

c

2 m g l

oložaja:

ertikalnojalazi se k tri opru. Za ravn

osti ravnognute.

2

2

l

l m

ravni mooncetrisae krutosti

otežni polteže. U

1

1

g l

g l

e sea

žaj

2

2

22

2

m

m g

2

12

12 2

l g

l

2


4/5

Sistem na slici predstavlja dvojno

klatno. Štapovi OA dužine l l i AB

dužine l 2, zanemarljivih masa, na

svojim krajevima nose terete masa m 1 i

m 2. Štapovi se kreću u vertikalnoj

ravni, tako što su međusobno zglobnovezani, a štap OA je zglobno vezan za

nepomičnu tačku. Obrtanju štapova se

suprostavljaju dvije spiralne opruge

krutosti k 1 i k 2. Odrediti uslove pod

kojima će vertikalan položaj štapova

biti položaj stabilne ravnoteže. U

vertikalnom položaju opruge su

nenapregnute.

Potencijalna energija

2 2 2

22

1 1 2 1 2 1 2

1 11 1 1

2 2 2 2 2P E m gl m g l l k k

1 2 1 1 2 2P E m m gl k k k

2 2 2 2

P E

m gl k k

2

11 1 2 1 2 12

P E c k k m m gl

2

22 2 2 22

P E c k m gl

2

12 21 2

P E c c k

Uslovi stabilnosti ravnoteže 11 1 2 1 2 10 0c k k m m gl

11 12 1 2 1 2 1 221 22 2 2 2 2

0 0c c k k m m gl k

c c k k m gl

21 2 1 2 1 2 2 2 2 0k k m m gl k m gl k


5/5

Sistem prikazan

na slici sastoji se

od dva homogena

štapa AB i CD ,

dužina 2l i 3l

(slika). Masaštapa je AB je m ,

a CD je 32

m . Na

krajevima

štapova su

postavljen tereti

mase 2m . Štapovi su vezani međusobno i za vertikalnu ravan

horizontalnim oprugama krutosti c (slika). Odrediti uslove podkojima će vertikalan položaj štapova biti položaj stabilne

ravnoteže sistema. U vertikalnom položaju opruge su

nenapregnute.

Potencijalna energija

2 2 2 2

2 2 2

3 31 2 2 1 1 2 3 1

2 2 2 2 2 2

1 1 12 2 2

2 2 2

P E mgl mg l mg l mg l

c l c l c l l

2 29 5 4

P E cl mgl cl

2 2334 4

4

P E cl mgl cl

2

2

11 2 9 5

P E c cl mgl

2

2

22 2

334

4

P E c cl mgl

2

212 21 4P E c c cl

Uslovi stabilnosti ravnoteže

2

11 0 9 5 0

9 5 0

c cl mgl

cl mg

2 2

11 12

2 2

21 22

2

9 5 4

0 0334 4

4

339 5 4 4 0

4

cl mgl cl c c c c cl cl mgl

cl mg cl mg cl

22 2 2377 1652

4 400c l cglm g m

Documents

Dinamicka_stabilnost