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Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 2
• DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
Studia le CAUSE FISICHE che determinano il moto del punto
o Formulazione quantitativa della legge del moto
Caso particolare:
o Lo studio delle condizioni per cui un punto resta in quiete!
Dinamica e inerzia
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 3
• Osservazione fondamentale:
Prima Galileo (1564-1642) e poi Newton (1643-1727) avevano capito
che la VARIAZIONE DI VELOCITÀ ( che implica accelerazione), in
modulo, direzione, o entrambi, è dovuta all’AZIONE DI UNA FORZA
ACCELERAZIONE FORZA
o La variazione dello STATO DI MOTO di un punto è determinata
dall’INTERAZIONE del punto con l’AMBIENTE CIRCOSTANTE
Dinamica e inerzia
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 4
FORZA
Grandezza che esprime e misura l’INTERAZIONE tra sistemi fisici
o Concetto legato inizialmente alla sensazione di sforzo muscolare, o sforzo
esercitato da sistemi meccanici (molle, leve)
Constatazione: NON è necessario un CONTATTO per esercitare una forza
o INTERAZIONE A DISTANZA (gravitazione, elettrostatica)
Alla forza si associano i concetti di INTENSITÀ E DIREZIONALITÀ
Introduzione al concetto di forza
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 5
Un MOTO ACCELERATO segnala la PRESENZA DI UNA FORZA AGENTE
Esempio: Moto circolare uniforme
o Velocità costante in modulo, ma con
direzione variabile per effetto
dell’accelerazione centripeta
quindi per effetto di UNA FORZA!
o Se la forza si annulla, il punto cessa il moto
circolare uniforme e inizia un moto rettilineo
uniforme diretto lungo la tangente alla
circonferenza nel punto in cui è cessata
l’azione della forza!
Introduzione al concetto di forza
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 6
Detta anche PRIMA LEGGE DI NEWTON o PRINCIPIO D’INERZIA
Se su un oggetto non agiscono forze (o la risultante è nulla),
esso non subisce cambiamenti di velocità
Se era in quiete, rimane in quiete
Se era in movimento, si muove di moto rettilineo uniforme
• Definizione di INERZIA
La tendenza di un corpo a rimanere fermo o a proseguire di moto
rettilineo e uniforme IN ASSENZA DI FORZE»
Prima Legge della Dinamica
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 7
• Il Principio d’inerzia implica una particolare scelta di sistemi di riferimento nei
quali essa è SEMPRE VALIDA
In alcuni sistemi di riferimento la legge potrebbe non essere valida!
Ogni sistema in moto rettilineo ed uniforme RISPETTO ad un sistema
inerziale è anch’esso inerziale
o Un sistema in moto accelerato NON PUÒ ESSERE INERZIALE
o Un sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto alle
stelle lontane può essere considerato con buona approssimazione inerziale
o La Terra può essere considerata un sistema inerziale, nonostante abbia una
piccola accelerazione dovuta al suo moto
Sistemi di riferimento inerziali
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 8
• Se si tenta di modificare lo stato di moto di un corpo, questo SI OPPONE a tale cambiamento
L’opposizione è una misura della risposta di un corpo a forze esterne
Un corpo manifesta «un’INERZIA» al cambiamento dello stato di moto
INERZIA è collegata alla MASSA del corpo, che nel S.I. si misura in kg
• Osservazione:
A parità di forza agente: MAGGIORE la massa MINORE l’accelerazione risultante sul corpo
o Relazione sperimentale tra masse e accelerazioni:
𝒎𝟏
𝒎𝟐=𝒂𝟐𝒂𝟏
Definizione di MASSA
Proprietà intrinseca del corpo, indipendente da come viene misurato o da ciò che lo circonda
La massa è una grandezza scalare ed è additiva
Massa inerziale
UNITÀ DI MISURA
𝒌𝒈
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 9
• Lo stato di moto «naturale» degli oggetti è essere in quiete, oppure in moto
rettilineo uniforme
Le forze sono RESPONSABILI del cambiamento rispetto allo stato di quiete o
di moto rettilineo uniforme
• Due tipi di forze:
Forze di CONTATTO
o Conseguenza del contatto fisico fra due oggetti
CAMPI DI FORZE
o Agiscono tramite lo spazio, senza contatto fisico
A livello microscopico, esistono SOLO CAMPI DI FORZE
Forze
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 10
FORZE DI CONTATTO CAMPI DI FORZE
Forze
𝒎 𝑴
−𝒒 +𝑸
𝑭𝒆𝒓𝒓𝒐 𝑵 𝑺
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 11
Legge FONDAMENTALE della dinamica del punto
• Formulazione QUANTITVA del legame tra FORZA e STATO DEL MOTO
𝑭 = 𝒎 𝒂
o 𝑭: forza che esprime l’interazione del punto materiale con l’ambiente circostante
o 𝒂: accelerazione del punto VARIAZIONE della sua VELOCITÀ nel tempo
o 𝒎: massa inerziale ( punto «materiale»)
Se 𝒂 = 𝟎 𝒗 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 si ritrova il principio d’inerzia: 𝑭 = 𝟎
Formalmente si indica anche come:
𝑭 = 𝒎𝒅𝒗
𝒅𝒕= 𝒎
𝒅𝟐𝒓
𝒅𝒕𝟐
Dalle caratteristiche della forza si ricavano
quelle del moto, e viceversa!
• È una LEGGE VETTORIALE: 𝑭𝒙 = 𝒎 𝒂𝒙, 𝑭𝒚 = 𝒎 𝒂𝒚, 𝑭𝒛 = 𝒎 𝒂𝒛
Seconda Legge della Dinamica
UNITÀ DI MISURA
𝒌𝒈𝒎/𝒔𝟐 = 𝑵"𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏"
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 12
DEFINIZIONE DI QUANTITÀ DI MOTO
𝒑 ≡ 𝒎𝒗
Forma più generale della seconda legge della dinamica
𝑭 =𝒅𝒑
𝒅𝒕
Lo stato dinamico del punto è individuato dalla quantità di moto, in cui
compaiono la massa e la velocità
Valida per 𝒗 ≪ 𝒄 (𝒄 = velocità della luce)
• Nel caso particolare in cui 𝑭 = 𝟎 si ha una LEGGE DI CONSERVAZIONE
La quantità di moto è COSTANTE (SI CONSERVA)
Quantità di moto e impulso
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 13
• L’azione di una forza 𝑭 durante un tempo 𝒅𝒕 provoca una variazione infinitesima
della quantità di moto del punto
DEFINIZIONE DI IMPULSO
Ԧ𝑱 ≡ න
𝟎
𝒕
𝑭𝒅𝒕 = න
𝒑𝟎
𝒑
𝒅𝒑 = 𝒑 − 𝒑𝟎 = 𝚫𝒑
Rappresenta l’integrale della forza nel tempo
TEOREMA DELL’IMPULSO
L’impulso di una forza applicata ad un punto materiale (con 𝒎 costante)
provoca la variazione della sua quantità di moto
Ԧ𝑱 = 𝒎 𝒗 − 𝒗𝟎 = 𝒎𝚫𝒗
o FORMA INTEGRALE della seconda legge della dinamica
• Valuta l’effetto complessivo in un intervallo di tempo finito
o Se la forza è costante: 𝚫𝒗 = 𝑭 𝚫𝒕/𝒎
o E’ sempre possibile calcolare il valor medio della forza agente: 𝑭𝒎 = 𝚫𝒑/𝚫𝒕
Quantità di moto e impulso
UNITÀ DI MISURA
𝑵𝒔
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 14
• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 = 𝟓𝟎 𝒈 che si muove con velocità
costante 𝒗 = 𝟐𝒎/𝒔 e che urta contro un muro, posto a 𝟗𝟎° rispetto alla
traiettoria. Esso rimbalza ripercorrendo l’iniziale traiettoria rettilinea
con velocità −𝒗.
Si calcolino:
1. La variazione di quantità di moto;
2. Il valor medio della forza agente durante l’urto di durata Δ𝒕 = 𝟏𝟎−𝟑𝒔.
Esercizio 3.1
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 15
• PESO = Forza gravitazionale
Causata dall’attrazione
gravitazionale che la Terra esercita
su tutti i corpi
Vicino alla superficie terrestre,
un corpo di massa 𝒎 risente della
FORZA PESO 𝑷 diretta verso il
centro della Terra:
𝑷 = 𝒎𝒈
o Direzione normale alla superficie
terrestre
o L’ accelerazione di gravità 𝒈 sulla
superficie della Terra è
INDIPENDENTE dalla massa del
corpo, dipende invece dalla massa
e dal raggio della Terra
Forza peso
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 16
ATTENZIONE A NON CONFONDERE I CONCETTI DI MASSA E PESO
Anche se sono tra loro collegati
Il PESO 𝑷 è il modulo della forza peso esercitata dalla Terra
su un oggetto di massa 𝒎
o Noi di fatto misuriamo il modulo di tale forza chiamandolo peso
o La forza peso è il risultato dall’interazione di un corpo con la Terra
Lo stesso oggetto di massa 𝒎 ad esempio posto sulla Luna risulterebbe
avere un peso pari a 𝟏/𝟔 del suo peso sulla Terra!
o Sulla luna, si misura un differente valore di 𝒈!
Forza peso
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Quando due corpi 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 interagiscono, le forze esercitate da un corpo sull’altro
sono UGUALI IN MODULO E DIREZIONE, ma hanno VERSO OPPOSTO
𝑭𝟏,𝟐 = −𝑭𝟐,𝟏
«PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE»
Le due forze hanno la stessa RETTA D’AZIONE
NON ESISTE UNA FORZA ISOLATA
o Le forze vanno considerate sempre a coppie
Terza Legge della Dinamica
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 18
ESEMPI
• La forza che il martello esercita sul chiodo è
uguale e contraria a quella che
il chiodo esercita sul martello
• La forza che il tavolo esercita sul monitor
(detta forza NORMALE) è la reazione alla
forza che il monitor esercita sul tavolo.
• La forza (di AZIONE) che la Terra esercita
sul monitor è uguale ed opposta alla forza
(di reazione) che il monitor esercita sulla Terra
Terza Legge della Dinamica
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 19
• In base alla Terza Legge della Dinamica, la stessa forza che la Terra esercita su
di noi viene da noi esercitata sulla Terra.
Assumendo che la nostra massa sia 𝒎 = 𝟔𝟎 𝒌𝒈, e sapendo che la massa della
Terra vale 𝑴𝑻 = 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈 , si calcoli:
1. L’accelerazione da noi esercitata nei confronti della Terra.
Esercizio 3.2
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 20
• Si consideri il caso in cui su un punto materiale agiscano contemporaneamente
più forze 𝑭𝟏, 𝑭𝟐, … , 𝑭𝒏
DEFINIZIONE di RISULTANTE
𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 +⋯+ 𝑭𝒏 =
𝒊
𝑭𝒊
INDIPENDENZA delle azioni simultanee
𝒂 =𝑹
𝒎=
𝒊
𝑭𝒊𝒎=
𝒊
𝒂𝒊
o 𝒂: accelerazione del punto materiale è pari alla somma vettoriale delle accelerazioni che il punto avrebbe se agisse ogni forza da sola• Dallo studio del moto di un punto materiale si ottengono
informazioni solo sulla risultante 𝑹 delle forze agenti sul punto stesso, NON sulle singole forze
In presenza di più forze, ciascuna agisce indipendentemente dalle altre
𝒂𝒊 = 𝑭𝒊/𝒎
Risultante delle forze
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 21
• Affermare che la forza agente su un punto è nulla, non implica necessariamente
che sul punto non agiscano forze, ma che LA SOMMA DELLE FORZE agenti sul
punto, ovvero che la RISULTANTE 𝑹 sia NULLA
DEFINIZIONE DI EQUILIBRIO STATICO
Se 𝑹 = σ𝒊𝑭𝒊 = 𝒎𝒂 = 0 e il punto ha inizialmente velocità nulla
il punto materiale RIMANE IN QUIETE
𝑹𝒙 = 𝑹𝒚 = 𝑹𝒛 = 𝟎 σ𝒊𝑭𝒙,𝒊 = 𝟎, σ𝒊𝑭𝒚,𝒊 = 𝟎, σ𝒊𝑭𝒛,𝒊 = 𝟎
Equilibrio statico
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 22
• Un punto materiale è sottoposto ad una forza 𝑭𝟏 = 𝟑𝟒 𝑵, diretta lungo il verso
negativo dell’asse 𝒚, e ad una forza 𝑭𝟐 = 𝟐𝟓 𝑵, la cui direzione forma un
angolo 𝜽 = 𝟑𝟎° con l’asse 𝒚, nel verso negativo dell’asse 𝒙 e
positivo dell’asse 𝒚.
1. Calcolare modulo, direzione e verso della forza 𝑭𝟑 che occorre applicare
al punto materiale per mantenerlo in equilibrio statico.
Esercizio 3.3
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 23
Detta anche REAZIONE VINCOLARE
• Due corpi a contatto esercitano uno sull’altro le FORZE DI CONTATTO
• Se le superfici sono prive di attrito, le forze di contatto sono sempre
DIRETTE NORMALMENTE (=PERPENDICOLARMENTE) ad esse.
Forza normale
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 24
• Un vincolo è una qualunque LIMITAZIONE DELL’AMBIENTE AL MOTO del corpo
Limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo
ESEMPI:
Una fune
Una superficie d’appoggio o rotaia
Un asse fisso
Un punto fisso
Vincoli
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 25
• Un vincolo è una qualunque LIMITAZIONE DELL’AMBIENTE AL MOTO del corpo
Limitazione avviene per contatto tra corpo e vincolo
ESEMPI:
Una fune
Una superficie d’appoggio o rotaia
Un asse fisso
Un punto fisso
Vincoli
Il contatto tra corpo e vincolo
produce un’interazione che si
manifesta sotto forma di forza
Per la 3° Legge della
Dinamica, la forza con cui il
corpo agisce sul vincolo è
uguale e contraria a quella,
detta reazione vincolare, con
cui il vincolo agisce sul corpo
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 26
ESEMPIO: Oggetto poggiato su un tavolo (supporto rigido)
Il supporto si deforma e reagisce esercitando una FORZA NORMALE 𝑵perpendicolare alla superficie stessa
o 𝑵 eguale e contraria alla forza peso 𝑷 o alla risultante 𝑹 delle forze agenti
o In caso di equilibrio: 𝑹 + 𝑵 = 𝟎
• Le reazioni vincolari non sono note a priori
Si ricavano caso per caso, analizzando le altre forze agenti
• In generale, le reazioni vincolari hanno sia componenti perpendicolari che
tangenziali alla superficie stessa di contatto
o Vincolo liscio
• Solo la componente
perpendicolare
(reazione normale)
o Vincolo scabro
Reazioni vincolari
𝑵𝑹
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FILI E FUNI
Oggetti che trasmettono la forza solo in trazione
Esempio contrario: le barre possono trasmettere
la forza sia in trazione, sia in compressione,
che in sforzo di taglio
CARRUCOLE
Le considerazioni svolte possono essere estese
al caso in cui siano presenti carrucole
e quindi la fune cambia direzione
Fili, funi, carrucole
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 28
Quando un filo è fissato ad un corpo e tirato si dice che esso è sotto tensione
• Il filo esercita sul corpo una forza detta TENSIONE
Direzione: quella del filo
Verso: quello di trascinamento del corpo
• Spesso, il filo si considera IDEALE
Privo di massa ed inestensibile
Esercita la sua funzione
nel medesimo modo su ciascuno
dei suoi estremi
Questo non cambia anche in caso si
utilizzino carrucole
• Un filo si dice «allentato» quando 𝑻 = 𝟎
Tensione dei fili
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 29
• Un semaforo di peso 𝟏𝟐𝟐 𝑵 pende da un cavo leggero connesso ad altri due
cavi leggeri come in figura, con 𝜽𝟏 = 𝟑𝟕° e 𝜽𝟐 = 𝟓𝟑°.
1. Determinare le tensioni dei tre cavi in condizione di equilibrio.
Esercizio 3.4
𝜽𝟏 𝜽𝟐
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 30
• Forze agenti sulla cassa
Tensione della corda di 𝑻
La forza peso: 𝑭𝒈 = 𝑷
La forza normale 𝑵 esercitata dal pavimento
• Risoluzione applicando la Seconda Legge della Dinamica alle componenti x e y:
𝑭𝒙 = 𝑻 = 𝒎𝒂𝒙
𝑭𝒚 = 𝑵−𝒎𝒈 = 𝟎 → 𝑵 = 𝒎𝒈
Se 𝑻 = 𝒄𝒐𝒔𝒕. 𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝒕. Moto uniformemente accelerato
Azione dinamica delle forze
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 31
• Costituita da due oggetti di massa 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 connessi da un filo inestensibile di
massa trascurabile, posto sopra una carrucola priva di massa.
• Studio del rapporto tra forza peso, massa e accelerazione
1. Tensione: 𝑻𝟏 = 𝑻𝟐 = 𝑻
È la stessa per i due oggetti (un solo filo!)
2. Accelerazione: 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐 = 𝒂 È la stessa per i due oggetti (connessi dal filo!)
3. Soluzione: Risolvere separatamente
ATTENZIONE AI VERSI DI 𝑻 e 𝒂 !!!!!
ቊ𝑻 −𝒎𝟏 𝒈 = 𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟐 𝒂
𝒂 = 𝒈𝒎𝟐 −𝒎𝟏
𝒎𝟏 +𝒎𝟐
𝑻 = 𝒈𝟐𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒎𝟏 +𝒎𝟐
Esempio: Macchina di Atwood
𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒎𝟏𝒎𝟐
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 32
• Si consideri una persona di 𝟕𝟓 𝒌𝒈 in un ascensore in movimento.
1. Si calcoli la reazione vincolare nei seguenti casi:
a) L’ascensore sale con accelerazione costante di 𝟏𝒎/𝒔𝟐;
b) L’ascensore scende con accelerazione costante di 𝟏𝒎/𝒔𝟐;
c) L’ascensore sale con velocità costante di 𝟑𝒎/𝒔.
Esercizio 3.5
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 33
• Si consideri un punto materiale di massa 𝐦 = 𝟎. 𝟖 𝒌𝒈, inizialmente in quiete,
sottoposto all’azione di una forza costante 𝑭𝟏, avente direzione e verso dell’asse
x e modulo 𝑭𝟏 = 𝟏𝟔 𝑵. Dopo un tempo 𝒕𝟏 = 𝟑 𝒔 cessa l’azione della forza e si
osserva che il punto rallenta uniformemente, fermandosi all’istante 𝒕𝟐 = 𝟗 𝒔.
Si calcolino:
1. La velocità e lo spazio percorso dal punto materiale in 𝒕𝟏;
2. La decelerazione del punto materiale prima di 𝒕𝟐;
3. La forza 𝑭𝟐 parallela all’asse x che agisce durante la frenata;
4. Lo spazio totale percorso.
Esercizio 3.6
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 34
• Si consideri un corpo, assimilabile ad un punto materiale di massa 𝒎,
appoggiato su un PIANO INCLINATO rispetto all’orizzontale di un angolo 𝜽
Piano inclinato
𝜽
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 35
• Si consideri un corpo, assimilabile ad un punto materiale di massa 𝒎,
appoggiato su un PIANO INCLINATO rispetto all’orizzontale di un angolo 𝜽
• Conviene scegliere
Asse 𝒙 lungo il piano inclinato
Asse 𝒚 perpendicolare al piano
Scomporre la forza peso nelle due componenti:
ቊ𝒙: 𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒎 𝒂𝒙𝒚: 𝑵 −𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟎
Piano inclinato
𝜽
𝑵
𝑷
𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝜽
Moto
uniformemente
accelerato
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 36
• Se su un corpo non agiscono forze allora:
a) Rimane in quiete
b) Continua con moto rettilineo uniforme se era in moto o rimane
in quiete se era fermo
c) Continua con moto rettilineo uniformemente accelerato
Quesiti di riepilogo (1)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 37
• Se su un corpo non agiscono forze allora:
a) Rimane in quiete
b) Continua con moto rettilineo uniforme se era in moto o
rimane in quiete se era fermo
c) Continua con moto rettilineo uniformemente accelerato
Quesiti di riepilogo (1)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 38
• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta per la massa?
a) La massa è il peso in assenza di gravità;
b) La massa è proporzionale all’accelerazione del corpo quando
soggetto ad una forza
c) La massa è l’inerzia che presenta un corpo alla variazione del
suo stato di moto
d) La massa rappresenta la capacità di un corpo di variare il suo
stato quando è in quiete
Quesiti di riepilogo (2)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 39
• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta per la massa?
a) La massa è il peso in assenza di gravità;
b) La massa è proporzionale all’accelerazione del corpo quando
soggetto ad una forza
c) La massa è l’inerzia che presenta un corpo alla variazione
del suo stato di moto
d) La massa rappresetna la capacità di un corpo di variare il suo
stato quando è in quiete
Quesiti di riepilogo (2)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 40
• Si consideri un corpo appoggiato su un piano orizzontale a cui venga applicata
una forza 𝑭𝒆𝒙𝒕 parallela al piano d’appoggio
Si osserva sperimentalmente che il corpo NON ENTRA IN MOVIMENTO ma
oppone una certa RESISTENZA allo scorrimento
FORZA DI ATTRITO: schematizzabile come una forza TANGENTE alla
superficie
A livello microscopico, l’attrito è dovuto ai
legami (delle vere e proprie microsaldature)
che si instaurano tra i corpi a contatto.
Forza di attrito
𝑭𝒂𝒕𝒕
𝑭𝒆𝒙𝒕
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 41
• Sperimentalmente si osserva che il corpo NON ENTRA IN MOVIMENTO finché il
modulo della forza 𝑭 applicata al corpo non abbia superato un certo valore
proporzionale alla reazione vincolare 𝑵 esercitata sul corpo:
𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙 = 𝝁𝒔 𝑵
𝝁𝒔: COEFFICIENTE DI ATTRITO STATICO
(adimensionale)
FORZA DI ATTRITO RADENTE STATICO: 𝑭𝒔 = −𝑭
È presente finché 𝑭 ≤ 𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙
o Condizione di quiete: 𝑭 ≤ 𝝁𝒔𝑵
o Condizione di moto: 𝑭 > 𝝁𝒔𝑵
Attrito radente statico
𝑵
𝑭 𝑭𝒔
𝑷
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 42
• Quando 𝑭 > 𝝁𝒔𝑵, il corpo entra in movimento lungo il piano.
Una nuova forza SI OPPONE ora al moto!
• FORZA DI ATTRITO RADENTE DINAMICO
𝑭𝒅 = 𝝁𝒅 𝑵
𝝁𝒅: COEFFICIENTE DI ATTRITO DINAMICO (adimensionale)
• Per una data coppia di superfici risulta sempre:
𝝁𝒅 < 𝝁𝒔
• La forza di attrito dinamico:
Non dipende dalla velocità del corpo rispetto al piano d’appoggio
Ha verso CONTRARIO rispetto alla direzione del moto (ෝ𝒖𝒗: versore
velocità)
𝑭𝒅 = −𝝁𝒅 𝑵 ෝ𝒖𝒗
Attrito radente dinamico
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 43
• Riassumendo: Un piano reale si oppone al moto di un corpo poggiato su di esso con una forza di attrito. Fintanto che il corpo resta fermo, si parla di attrito statico
𝑭𝒔, caratterizzato da un valore massimo 𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙; quando il corpo è in movimento si
parla di attrito dinamico 𝑭𝒅 = 𝒄𝒐𝒔𝒕.
1. Per vincere i legami tra superfici a contatto a livello microscopico è necessaria una forza che stira e rompa tali legami Questo spiega l’attrito statico
2. I legami si riformano continuamente ad ogni contatto con le asperità Questo spiega l’attrito dinamico
• L’attrito è sempre proporzionale all’effettiva superficie di contatto, dunque alla reazione vincolare:
𝑭𝒂𝒕𝒕 ∝ 𝑵
• Le forze di attrito vanno incluse nella somma σ𝑭 che appare nella Seconda Legge della Dinamica.
Attrito statico e dinamico
𝑭𝒙
𝑭𝒂𝒕𝒕
𝑭𝒔,𝒎𝒂𝒙𝑭𝒂𝒔 𝑭𝒂𝒅
Caso
statico
Caso
dinamico
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 44
• Come studiato in cinematica, un corpo che percorre una circonferenza di raggio 𝒓 a velocità costante è
soggetto ad un’accelerazione centripeta 𝒂𝑵 = 𝒗𝟐/𝒓.
• Una forza 𝑭𝒓 che provoca un’accelerazione centripetaagisce nella direzione del centro del cerchio
Questa forza produce un cambiamento nelladirezione del vettore velocità e un moto circolare
• Se la risultante delle forze 𝑹 agenti su un punto
materiale presenta una componente 𝑭𝒓 ortogonale alla traiettoria, questa risulta curvilinea
𝑭𝒓 = 𝒎𝒂𝑵 =𝒎𝒗𝟐
𝒓
• In generale, 𝑹 ha anche componente tangente 𝑭𝑻, responsabile della variazione del modulo della velocità
Se 𝑭𝑻 = 𝟎, il moto lungo la traiettoria è uniforme e 𝒂𝑵 è l’unica accelerazione
Forze centripete prodotte da Rotaie; Pneumatici; Fili che collegano il corpo ad un punto fisso; Vincoli che fanno incurvare la traiettoria.
Forze centripete
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 45
• La forza che accelera un’automobile è la FORZA DI ATTRITO AL SUOLO
1. Il motore applica una forza sulle ruote
2. Il fondo delle ruote applica forze in direzione contraria al moto sulla
superficie stradale, mentre la reazione (della strada sulle ruote) produce
il moto in avanti dell’automobile
• Si consideri una curva orizzontale piatta
La forza centripeta è data dalla forza di attrito statico
Velocità massima alla quale l’automobile può affrontare la curva
𝒎𝒗𝒎𝒂𝒙𝟐
𝒓≤ 𝝁𝒔𝒎𝒈
𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝝁𝒔 𝒈 𝒓
o Notare come la velocità massima
NON DIPENDA dalla massa
dell’automobile
Moto di un’automobile in curva
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 46
• Nel 1901 un acrobata di un circo si lanciò nel numero del giro della morte in
bicicletta su una pista circolare verticale.
Assumendo che la pista sia un cerchio di raggio 𝑹 = 𝟐. 𝟕 𝒎, si calcoli:
1. Il minimo valore che deve raggiungere la velocità della bicicletta per
rimanere in contatto nel punto più in alto della pista.
Esercizio 3.7
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 47
• Un auto di massa 𝑴 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒌𝒈 viaggia con velocità costante 𝒗 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔 su
una pista circolare di raggio 𝑹 = 𝟏𝟗𝟎𝒎.
Si calcoli:
1. Il minimo valore di coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada che
impedisce all’auto di slittare.
Esercizio 3.8
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 48
Punto materiale appeso tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile
Posizione verticale in 𝑪 = posizione di EQUILIBRIO STATICO
• Seconda Legge della Dinamica
𝑷+ 𝑻 = 𝒎𝒂
• ቊ𝒙: −𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒎 𝒂𝑻𝒚: 𝑻 −𝒎𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒎 𝒂𝑵
𝑷𝒕 = −𝒎𝒈 𝒔𝒆𝒏 𝜽 è una
forza di richiamo verso C,
visto che tende a riportare
il corpo in equilibrio
o Tale forza NON ha
direzione costante!
Pendolo semplice
𝑷
𝑷𝑻
𝜽
𝒙
𝒚
𝑳𝑻
𝑷𝑵
𝑶
𝑪
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Equazione differenziale del moto del pendolo
𝒅𝟐𝜽
𝒅𝒕𝟐+𝒈
𝑳𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝟎
Per piccole oscillazioni (piccoli angoli, 𝜽 < 𝟏𝟎°): 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≅ 𝜽
LEGGE ORARIA del moto
𝜽(𝒕) = 𝜽𝟎𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒕 + 𝝓𝟎)
o 𝜽𝟎: ampiezza dell’oscillazione
o 𝝓𝟎: fase iniziale
Pulsazione: 𝝎 = 𝒈/𝑳 , Periodo: 𝑻 = 𝟐 𝝅 𝑳/𝒈
o Entrambi non dipendono dalla massa dell’oggetto, ma dalla lunghezza del filo
LEGGE ORARIA (dello spostamento lungo l’arco di circonferenza
𝒔 𝒕 = 𝑳𝜽 𝒕 = 𝑳 𝜽𝟎 𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒕 + 𝝓𝟎)
o Ampiezza: 𝑨 = 𝑳 𝜽𝟎
Pendolo semplice
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• La forza di attrito statica ha espressione:
a) 𝟎
b) 𝝁𝒔𝑴𝒈
c) 𝝁𝒔𝑵
d) ≤ 𝝁𝒔𝑵
Quesiti di riepilogo (3)
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• La forza di attrito statica ha espressione:
a) 𝟎
b) 𝝁𝒔𝑴𝒈
c) 𝝁𝒔𝑵
d) ≤ 𝝁𝒔𝑵
Quesiti di riepilogo (3)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 52
• Studio del moto di un corpo in un fluido (liquido o gas)
Il mezzo esercita una forza di resistenza che si oppone al moto
La forza risultante è opposta al moto ed è in genere PROPORZIONALE
ALLA VELOCITÀ
𝑭 = −𝒃𝒗
Accelerazione: 𝒂 = −𝒃𝒗/𝒎
o In presenza di una forza di attrito viscoso non è possibile realizzare una
condizione di equilibrio statico, poiché se 𝒗 = 𝟎, la forza si annulla!
• Il moto nei mezzi viscosi può essere molto più complesso
Es. Un oggetto si muove nell’aria con una velocità abbastanza grande
da produrre moti turbolenti nell’aria
Forza di attrito viscoso
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• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 che cade in un fluido.
Assumendo che le uniche forze agenti siano la forza peso e la forza di attrito
viscoso, si determini:
1. L’andamento della velocità in funzione del tempo;
2. Cosa succede nel limite di 𝒗 = 𝒈𝒎/𝒃.
Esercizio 3.9
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LEGGE DI HOOKE: DEFINIZIONE DI FORZA ELASTICA (unidimensionale)
• Forza di direzione costante, con verso sempre rivolto ad un punto 𝑶, chiamato
centro, e con modulo proporzionale alla distanza da 𝑶.
𝑭 = −𝒌 𝒍 − 𝒍𝟎 ෝ𝒖𝒙 = −𝒌 𝒙 ෝ𝒖𝒙
𝒌: COSTANTE ELASTICA della molla
𝒍𝟎: lunghezza a riposo della molla
𝒙: deformazione della molla
o Se si assume la forza diretta lungo l’asse 𝒙,
il segno meno indica opposizione allo
spostamento
Forza elastica
𝑭
𝑭
𝒍𝟎
𝒍 > 𝒍𝟎
𝒍 < 𝒍𝟎
Molla allungata: Forza di richiamo
Molla compressa: Forza repulsiva
UNITÀ DI MISURA
𝑵/𝒎
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• Dalla seconda legge di Newton 𝒂 =𝑭
𝒎= −
𝒌
𝒎𝒙 si ricava:
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐+𝒌
𝒎𝒙 = 𝟎
MOTO ARMONICO SEMPLICE
Legge oraria:
𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝓𝟎)o Pulsazione
𝝎 = 𝒌/𝒎o Periodo
𝑻 = 𝟐𝝅 𝒎/𝒌
Nei punti di massimo allungamento e compressione: Accelerazione massima e velocità nulla
Nel punto di equilibrio: Accelerazione nulla e velocità massima(con opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)
Forza elastica
𝑭
𝑭
𝒍𝟎
𝒍 > 𝒍𝟎
𝒍 < 𝒍𝟎
Molla allungata: Forza di richiamo
Molla compressa: Forza repulsiva
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• Un carrello sale lungo un piano inclinato di 𝟐𝟎° con accelerazione costante
𝒂𝟏 = 𝟐𝒎/𝒔𝟐. Sul carrello si trova un corpo di massa 𝒎 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝒌𝒈, fissato ad
una parete del carrello tramite una molla di costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟐 𝑵/𝒎.
Non ci sono attriti e oscillazioni.
1. Calcolare di quanto si allunga la molla e in che verso;
2. Verificare cosa cambia se l’accelerazione vale 𝒂𝟐 = 𝟓𝒎/𝒔𝟐 ,
assumendo che il carrello scenda verso il basso.
Esercizio 3.10
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• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta?
a) Il periodo di oscillazione del pendolo è proporzionale alla
massa;
b) Il periodo di oscillazione del pendolo è linearmente
dipendente dalla lunghezza del filo;
c) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla
lunghezza del filo;
d) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende da 𝒌/𝒎.
Quesiti di riepilogo (4)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 58
• Quale affermazione delle seguenti `e l’unica corretta?
a) Il periodo di oscillazione del pendolo è proporzionale alla
massa;
b) Il periodo di oscillazione del pendolo è linearmente
dipendente dalla lunghezza del filo;
c) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla
lunghezza del filo;
d) Il periodo di oscillazione del pendolo dipende da 𝒌/𝒎.
Quesiti di riepilogo (4)
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 59
• Un oggetto di peso 𝑷 = 𝟕𝟎𝟎 𝒌𝑵 è tirato tramite una corda ad un angolo di 𝟑𝟎°rispetto al piano orizzontale con una forza pari a 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑵.
1. Determinare l’accelerazione con la quale si muove l’oggetto.
Esercizio 3.11
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• Si consideri un blocco di massa 𝑴 = 𝟑. 𝟑 𝒌𝒈 poggiato su una superficie liscia e
senza attrito, collegato tramite una fune inestensibile ed una carrucola (ideale)
ad un’altra massa 𝒎 = 𝟐. 𝟏 𝒌𝒈.
Si assumano cavi e puleggia senza massa.
1. Determinare le accelerazioni delle due masse e le tensioni dei fili.
Esercizio 3.12
𝑴
𝒎
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Problemi con punti materiali collegati tra loro
• I problemi sono spesso riconducibili alla dinamica del punto materiale
1. Si sceglie il sistema di riferimento più opportuno;
o Tenendo conto che la dinamica effettiva non dipende dal
sistema di riferimento scelto, è possibile scegliere
un sistema diverso per ogni punto materiale
2. Si schematizzano TUTTE le forze agenti su ogni corpo
(diagramma di corpo libero);
• Si ha spesso a che fare con funi inestensibili
I punti materiali ai capi di una fune ideale risentono della stessa tensione
e si muovono con le stesse accelerazioni (e velocità!)
Caveat
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• Due alpinisti di massa 𝒎 = 𝟔𝟓 𝒌𝒈 e 𝑴 = 𝟖𝟓 𝒌𝒈 si trovano sul bordo di un
crepaccio di un ghiacciaio, con pendenza 𝜽 = 𝟐𝟓° e sono tra loro legati. Uno dei
due cade trascinando anche il primo. Prima che riesca a fermarsi con la piccozza,
l’alpinista rimasto sul ghiacciaio scivola senza attrito.
Si calcolino:
1. L’accelerazione che hanno i due alpinisti durante la caduta;
2. La tensione della corda.
Esercizio 3.13
𝒎
𝑴
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• Una scatola di massa 𝒎𝟏 = 𝟑 𝒌𝒈 su uno scivolo privo di attrito inclinato di 𝟑𝟎° è
collegata ad un’altra di massa 𝒎𝟐 = 𝟏 𝒌𝒈 appoggiata su una superficie
orizzontale egualmente priva di attrito. Ad 𝒎𝟏 è applicata una forza 𝑭 di
modulo 𝑭 = 𝟐. 𝟑 𝑵 diretta come in figura.
Si calcolino:
1. La tensione nella corda;
2. L’intensità massima di 𝑭 per evitare che la corda si allenti.
Esercizio 3.14
𝒎𝟐
𝒎𝟏
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• Tre blocchi di massa 𝒎𝟏 = 𝟏𝟐 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟐𝟒 𝒌𝒈 e 𝒎𝟑 = 𝟑𝟏 𝒌𝒈 sono collegati
tra loro come in figura e sono spinti verso destra su un piano orizzontale liscio da
una forza 𝑻𝟑 = 𝟔𝟓 𝑵.
Si calcolino:
1. L’accelerazione del sistema;
2. Le tensioni 𝑻𝟏 e 𝑻𝟐.
Esercizio 3.15
𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝟑
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• Si considerino due masse 𝒎𝟏 = 𝟖 𝒌𝒈 e 𝒎𝟐 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈 unite tramite una corda
che scivolano su due piani inclinati lisci. La massa 𝒎𝟏 si trova su un piano inclinato
di 𝜽𝟏 = 𝟒𝟎°, mentre 𝒎𝟐 si trova su un piano inclinato di 𝜽𝟐 = 𝟓𝟎°.
1. Determinare l’accelerazione e la tensione della fune.
Esercizio 3.16
𝜽𝟐𝜽𝟏
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• Si consideri il sistema in figura. Si considerino gli attriti trascurabili e la carrucola
come ideale. I valori delle masse sono:
𝒎𝑨 = 𝟐𝟎𝟎 𝒈, 𝒎𝑩 = 𝟑𝟎𝟎 𝒈 e 𝒎𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 𝒈.
1. Calcolare il valore di 𝑭 affinchè 𝒎𝑨 rimanga in quiete rispetto a 𝒎𝑩.
Esercizio 3.17
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 67
• Si consideri una cassa di massa 𝒎 = 𝟔𝟕 𝒌𝒈 che viene trascinata sul pavimento
mediante una corda attaccata alla cassa ed inclinata di 𝟏𝟓° sopra l’orizzontale.
1. Se il coefficiente d’attrito statico è 𝟎. 𝟓, si calcoli il modulo della forza
minima necessaria a smuovere la cassa;
2. Se il coefficiente di attrito dinamico è 𝟎. 𝟑𝟓, si calcoli l’accelerazione della
cassa, trascinata con la stessa forza calcolata al punto precedente.
Esercizio 3.18
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 68
• Una forza 𝑭 parallela ad una superficie inclinata di 𝟏𝟓° rispetto al piano
orizzontale agisce su un blocco di peso 𝟒𝟓 𝑵 appoggiato su di essa, come
indicato in figura.
I coefficienti di attrito tra blocco e piano inclinato sono 𝝁𝒔 = 𝟎. 𝟓 e 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟑.
Se il blocco è inizialmente fermo, si determini il modulo della forza d’attrito
per i seguenti valori di 𝑭:
a) 𝑭 = 𝟓 𝑵;
b) 𝑭 = 𝟖 𝑵;
c) 𝑭 = 𝟏𝟓 𝑵.
Esercizio 3.19
𝑭
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 69
• Si consideri la figura sottostante, nella quale due blocchi di massa 𝒎𝑨 = 𝟏𝟎 𝒌𝒈e 𝒎𝑩 sono collegati tra loro attraverso una puleggia. La massa 𝑨 si trova su un
piano inclinato di 𝟑𝟎°. Il coefficiente d’attrito dinamico vale 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟐.
1. Se 𝒎𝑨 scivola lungo il piano inclinato con velocità costante, si determini il
valore di 𝒎𝑩.
Esercizio 3.20
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 70
• Si considerino i due blocchi raffigurati aventi 𝒎 = 𝟏𝟔 𝒌𝒈, 𝑴 = 𝟖𝟖 𝒌𝒈.
Il coefficiente d’attrito statico tra i due blocchi pari a 𝝁𝒔 = 𝟎. 𝟑𝟖.
La superficie su cui poggia la massa 𝑴 è priva d’attrito.
1. Si calcoli la minima intensità di 𝑭 necessaria a tenere 𝒎 attaccato a 𝑴.
Esercizio 3.21
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 71
• Si considerino i due corpi mostrati in figura, con mA = 𝟏𝟎 𝒌𝒈 e 𝒎𝑩 = 𝟑 𝒌𝒈.
I coefficienti di attrito statico e dinamico tra 𝑨 ed il piano inclinato (con 𝜽 = 𝟒𝟎°) sono rispettivamente 𝝁𝒔 = 𝟎. 𝟓𝟔 e 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟐𝟓.
1. È possibile che il sistema rimanga in quiete?
2. Si calcoli l’accelerazione del sistema nei seguenti casi
a) 𝑨 è in moto in salita;
b) 𝑨 è in moto in discesa.
Esercizio 3.22
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 72
• Si consideri una massa 𝑴𝟏 = 𝟏 𝒌𝒈, posta sopra una massa 𝑴𝟐 = 𝟐. 𝟓 𝒌𝒈.
Le due masse sono collegate tra loro da una fune inestensibile.
Una terza massa 𝑴𝟑 = 𝟓 𝒌𝒈 è collegata ad 𝑴𝟐 come mostrato in figura.
Il coefficiente di attrito dinamico è 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟑 per tutte le superfici in contatto.
Si calcolino:
1. L’accelerazione;
2. Le tensioni delle funi.
Esercizio 3.23
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 73
• Si considerino due blocchi di massa 𝑴𝑨 = 𝟒 𝒌𝒈 e 𝑴𝑩 = 𝟔 𝒌𝒈. Al corpo 𝑨 è
applicata una forza 𝑭 = 𝟐𝟎 𝑵. Si considerino trascurabili gli attriti.
Si calcolino:
1. L’accelerazione dei blocchi;
2. La reazione vincolare tra i due blocchi.
Esercizio 3.24