DINAMICA DE UN MODELO DE ELECCIONINTERTEMPORAL CON EL FUNCIONAL

DE UZAWA

Guiomar Martin HerránAlq Dolores Soto Torres

RESUMEN.— En este trabajo se analiza la dinámica asociada a unmodelo de elección intertemporal, formulado en términos del funcional deutilidad introducido por Uzawa y donde se incorpora un factor exógeno,las rentas obtenidas fuera del mercado de capitales, en la variación delstock de capital. El estudio se centra en determinar cuándo es posible, par-tiendo de una posición estacionaria, alcanzar otro estado de equilibrio delsistema dinámico obtenido tras una modificación del valor de las rentasexógenas. Se consideran dos tipos diferentes de modificaciones del pará-metro: permanente y temporal.

1. ThITRODUCCION

Considerando el problema de elección intertemporal planteado por M.Kamien y N. Schwartz (1981) y E. Silberberg (1990), en este trabajohemos sustituido el funcional objetivo clásico, que supone un tanto de des-cuento constante en todo el horizonte temporal, por el introducido por H.Uzawa (1968).

Este autor estableció que el tanto de preferencia en el tiempo dependede los niveles de utilidad del consumo presente y futuro, y probó que unaumento en la utilidad presente a lo largo de una curva de indiferenciaproducirá un descenso en el tanto de preferencia en el tiempo. Uzawaimpone además de un tanto de preferencia dependiente de todo el horizon-te temporal del flujo de utilidad, ciertos postulados de independencia yconsistencia. De este modo, expresó la estructura de preferencia en eltiempo en términos del siguiente funcional de utilidad intertemporal:

-U (C)= u [c(t)] e

I 8 fulclz»Idz dt

150 Guiomar Martin Herrán, Mg Dolores Soto Torres

donde la función 3(u) que denomina función tanto de preferencia satisfacelas siguientes condiciones:

3(u) > 0, S'(u) > 0, 8"(u) > 0, V u > 0

y 8(u) — S'(u)u > 0, indicando que entre dos flujos de consumo estaciona-rios se prefiere el que tenga un nivel más alto de utilidad instantánea. Lasegunda de las condiciones anteriores implica que un aumento en el nivelde consumo en cierta fecha futura, aumentará el tanto de descuento paratodo el consumo que se efectŭe después, mientras que la tercera se necesi-ta para obtener una función de consumo continua.

En cuanto a la ecuación que describe los cambios en el stock de capital,consideramos dos factores internos, el consumo y los intereses generadospor el propio stock. Estos ŭltimos recogidos en una función, que en gene-ral supondremos no lineal, a diferencia de la hipótesis clásica. Por otrolado, incluimos un factor externo que representa las ganancias obtenidasfuera del mercado de capitales y que puede modificarse en el tiempo.

Una vez planteado el modelo como un problema de control óptimo uti-lizamos el Principio del Máximo de Pontryagin para su resolución. De estemodo, obtenemos un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales, queproporciona las condiciones necesarias para el capital y el consumo pue-dan ser soluciones optimales del problema.

El objetivo del trabajo es determinar en qué casos es posible, partiendode una posición de equilibrio, alcanzar otra correspondiente al sistemadinámico que se obtiene tras un cambio en el valor de las ganancias ajenasal mercado de capitales. Se consideran modificaciones del parámetro, per-manentes y temporales, suponiendo en este ŭltimo caso que tras un inter-valo de tiempo el parámetro toma de nuevo el valor original. Para llevarloa cabo, seguiremos la técnica de J. Pichtford (1989) y P. Sen y S. J. Tur-novsky (1989).

En la segunda sección del trabajo planteamos el modelo, para a conti-nuación en las dos siguientes estudiar, cuando existan, las trayectorias deajuste del consumo y del capital, desde un estado de equilibrio a otro, si semodifica el valor del parámetro permanente o temporalmente. El análisisse realiza para los distintos tipos de estabilidad que puede presentar elestado de equilibrio. El trabajo finaliza con unas conclusiones.

2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO

Consideramos un consumidor con una función de utilidad u(c) queverifica las condiciones usuales, esto es, u(c) e 02), U(C) > 0, 14C) > 0,

U ''(C) > 0, para cualquier valor del consumo, lim u(c) = .00 y lim u-(c)= O.c->0 c->«,

Suponemos que el individuo tiene una dotación inicial de capital Ico yque su stock puede modificarse debido por una parte al consumo, c, y por

Dinómica de un modelo de elección intertemporal con el funcional de Uzawa 151

otra a las ganancias desde el stock de capital, que recogemos mediante unafunción de interés i(k), que consideramos de clase CO) con i(0) = 0 yi'(u) > 0 para cualquier valor del capital. Por ŭltimo, supondremos que lamodificación puede originarse por las ganancias obtenidas fuera del mer-cado de capitales, representadas por un parámetro a, con a � O. Así, lavariación del stock de capital podemos expresarla como:

k . i(k)- c + a, k(0) = ko.

El objetivo del individuo consiste en maximizar la utilidad del consu-mo sujeto a su restricción presupuestaria. Por tanto, utilizando el funcionalde utilidad introducido por Uzawa, donde el tanto de preferencia en el

tiempo A(t) = it 31-u(c(z)ijdz depende del perfil temporal del flujo conti-o

nuo de utilidad u[c(t)] a través de la función ku(c)], podemos plantear elproblema como:

max r u[c(tilet)dtc o

,.(t) = 3 [u(c(t))/, A(0) = 0,

k = i(k)- c + a, k(0) = ko.

Considerando como variable de integración A en vez de t, tenemos elsiguiente planteamiento equivalente:

max f- u e---° dA

c Jo d(u)

(- i k)- c + a

k = , k(0) = ko,3(u)

donde iz denota la derivada respecto a A.Para resolver este problema de control óptimo derivamos las condicio-

nes necesarias que proporciona el Principio del Máximo, considerandopara ello el hamiltoniano asociado al problema:

u i(k)- c + aH (c,k,y)= + xv

8(u) 3(u)

donde tif, variable de coestado asociada al stock de capital, continua y conderivada continua a trozos es una función que depende de A. Seg ŭn elPrincipio de Pontryagin tenemos:

152 Guiomar Martin Herrán, 1111 Dolores Soto Torres

u(c)ö(u) — u(c)3 (u)u'(c) —8(u) —3'(u)u'(c)[i(k)— c + a]H', = 0 — + lif

3(u)23(u)2

Írk = - (lif -‘0,

y por tanto

(1) u(c)ô(u) — u(c)ö(u)u(c) + kif [-3(u)-3'(u)u'(c)(i(u)— c + a)] = 0,

i'(k) (2)y = iir [1_

3(u)].

La ecuación (1) define una ecuación implícita que podemos denotarcomo ot = oc [Iir (,), c, k] = O. Operando con ella y realizando tediosos cál-culos, obtenemos un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales queestablece las condiciones necesarias para que el consumo y el stock decapital puedan ser solución optimal de nuestro problema:

• 3u'(3 — u8') (3 + 3'u'(i(k)— c + a)— i'(k)]=

3(u')2 (8 — u8") + u"3 (3 — u8') + (u)3 (i(k)— c + a) [(3)2 — 33"]

k = i(k)— c + a,

donde se ha eliminado la variable de la que depende cada una de las fun-ciones para simplificar la notación'.

Directamente del sistema dinámico se puede observar que el stock decapital crece en los puntos situados por debajo de la curva c = i(k) + a ydecrece en los que verifican c > i(k) + a. Sin embargo, no puede concluir-se lo mismo sobre la variable consumo sin imponer previamente hipótesisadicionales a las funciones de utilidad, de intereses y tanto de preferencia.

A la hora de analizar la dinámica asociada a este sistema de ecuacionesdiferenciales, debido a que, por el criterio de Bendixson 2, este sistemadinámico no puede tener órbitas cerradas, el estudio puede reducirse a laestabilidad de los posibles puntos de equilibrio (k*, c*) que si existen,verificarán:

c* = i(k*) + a,.5 [u(c*)] = i' (k*).

1 u = u(c), 8 = 3(u).2 Guckheimer y Holmes, pp. 43-44.

0.3

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

GRÁHCO 1 GRÁFICO 2

u.(8— u8') i"(k*)

(u')2 (8 — u8") + u"(8 — u8')i.(k*)

J =

Dinámica de un modelo de elección intertemporal con el funcional de Uzawa 153

Si la función de intereses es no convexa o no cóncava, tendremosgarantizado un ŭnico estado de equilibrio. Bajo este supuesto, ademásnotemos que la ecuación 8[u(c)] — i(k) = 0 define implícitamente unacurva que por las condiciones impuestas a las funciones de utilidad y tantode preferencia, será creciente estrictamente con el capital si la función de

dc i(k) intereses es estrictamente convexa, ya que =y estric-

dk 8[u'(c)]u'(c)tamente decreciente cuando i(k) < 0, como muestran las gráficas (1) y (2).

Para determinar la estabilidad del estado de equilibrio (k*, c*), calcula-mos la matriz jacobina asociada al sistema evaluándola en dicho punto.Así, tenemos:

donde 8 está valorada en u(c*) y la función de utilidad en c*. El determi-nante de esta matriz es:

u'(8 — u8')i"(k) f(c) .IJI = = 1"(k).

(u)2 (8' — u8") + u"(8 — u8') g(c)

donde

f(c)= u'(c)(8[u(c)] — u(c)87u(c)]),

g(c)= (u'(c))2(87u(c)] — u(c)8" [u(c)]) + u"(c)8[u(c)] (8[u(c)] — u(c)8[u(c)]).

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

-i(k)442

i(k)44/

1_5

k2..c2.)

GRÁFICO 3

GRÁFICO 4

154 Guiomar Martín Herrán, M4 Dolores Soto Torres

Debido a la ŭltima condición impuesta a la función tanto de preferen-cia, f(c) es siempre positiva para cualquier valor de consumo y necesitán-dose que g(c) no se anule para poder escribir el sistema dinámico en lasvariables de estado y de control, k y c respectivamente, por lo que supone-mos que g(c) mantiene el signo. Luego, si suponemos que g(c) es siemprepositiva, el signo del determinante vendrá determinado por el de i(k)siendo siempre el opuesto; coincidiendo si g(c) es negativa para cualquiervalor de la variable consumo.

Llevaremos a cabo nuestro estudio dependiendo del signo del determi-nante, separando los tres casos posibles, positivo, negativo o cero, peroagrupando en cada uno de ellos las distintas combinaciones entre los sig-nos de las funciones g(c) e i"(k). En cada caso consideraremos los dostipos posibles de cambios del valor de las ganancias obtenidas fuera delmercado de capitales, permanentes y temporales, debiendo serialar queindependientemente de si la curva definida por 8[a(c)] = i(k) es crecienteo decreciente, cuando se ha modificado el valor del parámetro a, el valorde la variable consumo en los puntos de equilibrio crece con a, mientras

dcque el capital decrece, como ilustran los gráficos (3) y (4), con — positivay negativa, respectivamente. dk

3. ANALISIS DEL PUNTO DE SILLAi(k)

Supongamos en primer lugar que se verifica IJI < 0, por lo que >0g(c)

debiendo ambas funciones presentar el mismo signo, tendremos que(k*, c*) tiene un comportamiento de punto de silla. El polinomio caracte-rístico asociado a la matriz jacobiana vendrá dado por:

21.2 — i'(k* )X f(c)i"(k),g(c)

Dinámica de un modelo de elección intertemporal con el funcional de Uzawa 155

siendo sus autovalores,

'\Ii'(k*)± (i'(k*))2 + 4 f(c)i"(k)g(c)

2

X1 positivo y X2 negativo.El Teorema de Hartman-Grobman 3 permite estudiar el sistema (3) a tra-

vés del comportamiento de su sistema linealizado. Además, el Teorema dela Variedad Estable para un punto fijo no hiperbólico, caracteriza las varie-dades estable e inestable, que pasan por el estado de equilibrio, y cuyastangentes en él son el subespacio estable e inestable. Restrigiéndonos a unanálisis lineal, determinamos los subespacios estable e inestable en unentorno del punto de equilibrio (k*, c*):

Es (k*, c*) = {(k, c): c — c* = (i'(k*)— k2) (k— k*)},E" (k*, c*) = {(k, c): c — c* = (i'(k*) — Xi) (k — k*)},

con pendientes positiva y negativa, respectivamente. Para poder compararlos valores de las pendientes de los subespacios en dos puntos de equili-brio distintos se deben imponer un gran n ŭmero de hipŭtesis adicionalessobre las funciones del modelo.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

GRÁFICO 5

El gráfico (5) muestra, con una función de intereses marginal decre-ciente, cómo basta considerar el análisis lineal para partiendo de la posi-

3 Guckheimer y Holmes, p. 13.

X1,2 =

k(0) = 21,(2)_ x(21 )1

156 Guiomar Martin Herrŭn, Mg Dolores Soto Torres

ción estacionaria inicial E i tras un aumento del valor de las gananciasexternas, llegar al estado de equilibrio E2 del nuevo sistema dinámico.Para ello, el sistema deberá seguir E"(E i ) hasta alcanzar Es (E2) en unpunto, que denotamos por (k(0), ĉ(0)) (E(0) en el gráfico), y a partir de ahía través de Es (E2) llegar al equilibrio correspondiente a a = a2.

Estimando el punto intersección del subespacio inestable del estadoestacionario original y del estable del equilibrio que queremos alcanzar,(k(0), ĉ(0) tenemos:

(k(0), é(0)) E E" (e, c7) n Es (k >2', c),

bastando intercambiar los papeles de (k7, c*i) y (k*2 , c*2) en el caso de que elparámetro a disminuya. Operando y simplificando obtenemos las siguien-tes expresiones de (k(0) y ĉ(0):

(2) * ,, (1) *c* — c* + 2n, k — A k1 2 1 2 2 i

** (2)

1 2 Iĉ(0) , c* +

xf1) ci—c2+ X (k* - k

)*

1 2 9X(2)_ , ( I )

1 1\'' 2

donde el superíndice en los autovalores indica a cuál de los dos puntos deequilibrio está asociado, (1) el del sistema con a l y (2) el correspondienteal equilibrio del nuevo sistema con a2.

Dependiendo de que la curva que define implícitamente los estados deequilibrio sea creciente o decreciente, es diferente la evolución de losvalores de equilibrio del consumo y capital, cuando se modifica el valordel parámetro a. Por tanto, hay que tenerlo en cuenta al establecer compa-raciones entre el valor de k(0) y ĉ(0) y los de las variables consumo y capi-tal en ambos puntos de equilibrio.

Así, cuando la función de intereses es no convexa se verifican las rela-ciones, ĉ(0) > c*, y k(0) < ri ; mientras que si i"(k)> 0 ŭnicamente se puededeterminar k(0) < k*2 . Luego si se cumple la primera condición como ilus-tra el gráfico (5), para pasar del punto de equilibrio inicial (k, c*I) al esta-do estacionario del nuevo sistema, en una primera fase hasta alcanzar(k(0), ĉ'(0)), el capital disminuye y el consumo aumenta, y a partir de estepunto ambas variables crecen hasta alcanzar el punto de equilibrio final(r2 , c*2) siguiendo su subespacio estable.

Si la función de intereses es no cóncava no podemos establecer laevolución del consumo y del capital al resultar insuficiente la informa-

Dinámica de un modelo de elección inte •temporal con el funcional de Uzawa 157

ción sobre las posiciones relativas de los subespacios asociados a ambospuntos.

Además, se puede calcular el tiempo T que tarda una trayectoria concondición inicial una pequeria perturbación del equilibrio original enalcanzar el punto (k(0), é(0)). Para ello consideramos una condición inicialsobre el subespacio inestable de c) que denotamos por (17, y siresolvemos el sistema linealizado en un entorno del estado estacionariooriginal tenemos:

(C(t) — ) J(kl, ept -I C,

= Pe P

k(t)— Tc. — k *

donde

u)e

e.1(k*1, c*/)1 t

0

( x(9 k(i)

Y P =

Además, F — ct = V21) — kt). Expresando en forma paramétrica estacondición inicial tenemos:

(

c(0) ). ( C7

k(0)1 )

Operando, obtenemos:

c(t)— c *I =1.1ky„

e `,* ku),

k(t)— k =ple ,

y valorando estas expresiones en t = T e igualando los valores de k(T) yc(T) con los que proporciona la condición (k(T), c(T)) = (ic(0), ĉ(0)), obte-nemos la expresión de T, que permite resolver el problema,

1 [cT— + X(21 )(14— e)T — ln I.

k(1) vi(x(12) _x(21)

158 Guiomar Martin Herrán, lt42 Dolores Soto Torres

Con pt negativo si i"(k* ) lo es y su signo cuando i"(k* ) > 0 depende decomo sean las pendientes de los subespacios estables, pero siempre mante-niendo el sentido del logaritmo anterior.

En el caso de un cambio temporal en el valor de las ganancias obtenidasfuera del mercado de capitales, podemos obtener unas condiciones inicialesapropiadas para conseguir el nuevo objetivo. Este será poder volver al esta-do de equilibrio inicial después de evolucionar con el sistema dinámico cona2, durante el tiempo que se mantenga el nuevo valor del parámetro a. Paradeterminar la condición inicial (kr(0), cr(0)) que depende del tiempo Tdurante el cual a = a2 , estimamos una trayectoria aproximada del sistemadada por una solución (k(t), c(t)) del linealizado en un entorno del punto deequilibrio final a la que imponemos la condición (k(T), c(T)) e Es(k7, c*]).Operando tenemos:

c(t) - cl= A(Ä,(;))(22))/B(X2/)),(22),t) (cT(0)- c'2̀ ) + 21,(21)C(X(21),1(22),t)(4-(0)-14)],

k(t)— k'2̀ = A(X(),X(22)) [C(X(21) ,1,(22) ,t) (c70)— c) + D(X(21),X(22),t)(kT(0)— k>2')]

con c(T)— c, = X.,(1) (k(T)— k7) y donde:

1A(X(2), X(22) ) =

B(x(21) , 222), t) = (x(22) )2 ex52), + x,(21) xf2)

e 2 t,

c(x(21) , x(22) , t) =_. x(22) exylt + eet,

D(x(21) , 21,(22) , t) _ x(21) exn, + ect,

Valorando la primera expresión en t = T, puede despejarse c(T) e igualan-do este valor al de la ŭltima condición, se obtiene cr(0). Por otra parte,kT(0) puede determinarse sustituyendo c i-(0) en la segunda condición.

4. EQUILIBRIO INESTABLE

Si el determinante de la matriz jacobiana en el punto de equilibrio espositivo entonces los signos de las funciones i"(k*) y g(c* ) no coinciden, yel tipo de inestabilidad que presenta (k*,c*) dependerá del discriminantede la ecuación característica que en este caso viene dado por,

D = (i'(k*))2 + 4 f(c*)

i(k*).g(c*)

11 (2) 1 (2 )2 , ".' 1

2

1.8

1.6

/.4

1.2

1_5 2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0o21.50.5

2

1.8

1.6

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

00

Dinámica de un modelo de elección intertemporal con el funcional de Uzawa 159

Así, si D > 0 tenemos dos autovalores reales distintos positivos y (k*,c*)será un nodo inestable. Cuando D = 0, aparece un autovalor positivo doblei'(k*) ,2 y el punto de equilibrio es un nodo impropio inestable (Gráfica 7).

Por ŭltimo, los autovalores serán complejos conjugados con partes reales

positivas i'(k*)

2 si D < 0, apareciendo una fuente inestable (Gráfica 8).

GRÁFICO 6

GRÁFICO 7

GRÁF1C0 8

160 Guiomar Martin Herrán, Dolores Soto Torres

Debido a esta inestabilidad si dejamos el punto de equilibrio inicialnunca más podremos alcanzar otro estado estacionario, ni en el caso de uncambio permanente del parámetro a ni si éste es temporal.

El ŭltimo caso posible es que el determinante jacobiano se anule, situa-ción que sólo puede presentarse, dados los supuestos considerados sobrelas funciones f(c) y g(c), cuando i"(k*) = O. Aquí el punto de equilibriosería no hiperbólico y para poder llevar a cabo el análisis objeto de nuestroestudio, deberíamos calcular una aproximación de la variedad central enun entorno de dicho punto, que implica unos cálculos en exceso laboriosossi se consideran funciones generales.

5. CONCLUCIONES

Este trabajo considera un modelo de elección intertemporal, donde elfuncional objetivo es el introducido por Uzawa. Así, el tanto de preferen-cia no es constante sino una función que depende de la utilidad del consu-mo. La restricción presupuestaria del consumidor incluye, por un lado, unafunción de intereses cuya concavidad o convexidad juega un papel impor-tante en nuestro estudio. Además, en esta ecuación incorporamos lasganancias obtenidas fuera del mercado de capitales, factor exógeno almodelo.

Dependiendo del comportamiento de las funciones de preferencia y deintereses, analizamos el cambio en los valores de equilibrio del capital ydel consumo, cuando se esperan modificaciones en el valor de las ganan-cias externas tanto permanentes como temporales. Además, cuando puedealcanzarse la nueva posición de equilibrio, indicamos qŭe tipo de condi-ciones iniciales deben considerarse dependiendo de cómo sea la modifica-ción. Estimando el tiempo que se tarda en llevar a cabo dicho paso.

BIBLIOGRAFIA

Guckenheimer, J. y Holmes, P. (1983): Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems andBifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag. New York.

Kamien, M. I. y Schwartz, N. L. (1981): Dynamic Optimization: The Calculus of Varia-tions and Optimal Control in Economics and Management. North-Holland. NewYork.

Pitchford, J. (1989): «Optimum Borrowing and the Current Account when there are fluc-tuations in Income». Journal of Internacional Economics. Vol. 26, pp. 345-358.

Sen, P. y Turnovsky, A. (1989): «Deterioration of the terms of Trade and Capital Accumu-lation: A re-examination of the Laursen-Metzler Effect». Journal of International Eco-nomics. Vol. 26, pp. 227-250.

Silberberg, E. (1990): The Structure of Economics: A Mathematical Analysis. Mac Graw-Hill. New York.

Dinamica de un modelo de elección intertemporal con el funcional de Uzawa 161

Uzawa, H. (1968): «Time Preference, the Consumption Function and Optimum Asset Hol-dings», en Value, Capital and Growth: Papers in Honour of Sir John Hicks. J. N.Wolfe, Ed. Chicago, Aldine.

Verhulst, F. (1990): Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag. Berlin.